Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 9

Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

170
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi toán cao cấp 3 trường đhspkt hưng yên - đề số 9', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 9

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 09 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Cho hàm số : Câu 1: x2 x y3 y 2 z= −+ + − xy − y 423 2 1. Tìm cực trị của hàm 2. Tại điểm N(1;-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 300 3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng nh ất Câu 2: ABC với A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,3). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy chọn 3 điểm A(-1,1), B(0,0) và Câu 3: C(2,1). L là đường cong kín theo chiều dương, trong đó : • Đoạn nối A với B có phương trình y = x 2 • Đoạn nối B với C có phương trình x = 2 y 2 • Đoạn thẳng nối C với A là đường thẳng. ∫ I = i 3 x(2 y + 1)dy + 2( x 2 + y 2 )dx Tính L Kiểm chứng kết quả thông qua việc sử dụng công thức Green Giải hệ phương trình vi phân: Câu 4: { y ' =−2 y +2 z +e x z ' =3 y −z +e −2 x thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
Bài 1: 1.Tìm cực trị: x1 zx = − − y = 0 → x = 2 y +1 ' 22 z 'y = y 2 + y − x − 1 ⇒ y2 + y − 2 y −1 −1 = 0 ⇒ y2 − y − 2 = 0 y1 = −1 → x1 = −1 y2 = 2 → x2 = 5 M 1 (−1, −1), M 2 ( 5, 2 ) M 2 ( 5, 2 ) M 1 (−1, −1) 1 1 1 z xx = =r '' 2 2 2 z xy = −1 = s '' -2 -1 z 'yy = y + = ' 2 1 t -1 5 1 5 s2 - rt (-1)2+ >0 (-1)2-
x Phương trình đường thẳng AB: + y = 1 2 1. Khối lượng của tam giác ABC: x 1− 2 2 2 3 7 7 7 7 1 +  ÷ + ( 3) dxdy = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫∫ ds = ∫∫ ∫ dy = 2 .1 = 2 2 2 2 20 S Dxy Dxy 0 : 2. Tìm x G x 1− 2 2 x 2 7 7 7 y =1− ∫∫ xds = D x. 2dxdy = 2 ∫ dx ∫∫ ∫ 2∫ xdy = dx.xy 2 y =0 S 0 0 0 xy  x 7  x2  7  x 2 x3  2 7  2 2 4 7 7 ∫  2 2 0 2  2 2 6  2 3 3 dx.x 1 − ÷ = ∫  x − ÷dx =  − ÷ 0 =  2 − ÷ = = 20 7 2 → xG = 3 = 73 2 3. Tìm yG: x 1− 2 2 x y2 2 7 7 7 y =1− ∫∫ yds = D y. 2dxdy = 2 ∫ dx ∫∫ ∫ 2∫ ydy = dx. 2 y =0 2 S 0 0 0 xy 2 1 x 7  x2  2 2 7 7 = ∫ dx. 1 − ÷ = ∫ 1 − x + ÷dx = 2 2 20 4 0 4 6 7 1 → yG = 6 = 73 2 4. Tìm zG:  3 xy 3 y 2  y =1− 2 2 x 7  3 7 ∫∫ 2ds = 2 D  3 − 2 x − 3 y ÷dxdy = 2 ∫ dx  3 y − 2 − 2 ÷ y =0 ∫∫     S 0 xy 7  3 3x 3x 2  7  3x 3x 2 3x3  2 7 2 2 ∫ 2 4 = −− dx =  − − ÷0 =  ÷ 8 2 2 4 8 2 0 7 → zG = 2 = 1 y 7 2 2 A C Bài 3: x i =∫ + ∫ ∫ ∫ + B -2 -1 1 2 L BA AC CB -2
1.Trên đoạn AB: y = x 2 , x : −1 → 0 0 ∫ 3x(2 y + 1)dy + 2( x + y )dx = ∫ [3x(2 x + 1)2 x + 2( x + x )]dx 2 2 2 4 2 −1 AB 0 = ∫ [(6x 3 + 3x).2 x + 2 x 4 + 2 x 2 ]dx = −1 0 0 14 8 82 14 8 = ∫ (14x 4 + 8 x 2 )dx = ( x5 + x3 ) = + = −1 5 3 15 5 3 −1 2. Trên đoạn CA: y = 1, x :1 → −1 −1 −16 −1 2 ∫ 3x(2 y + 1)dy + 2( x + y )dx = ∫ 2(1 + x 2 )dx = (2 x + x 3 ) = 2 2 31 3 CA 1 3. Trên đoạn BC: y = x, x : 0 →1 1 1 1 3 ∫ 3x(2 y + 1)dy + 2( x + y ) dx = ∫ [2(x + x) + 3(2 x +1). ]dx = ∫ (2x 2 + 5 x + 2 2 2 x )dx 2 2x BC 0 0 125 3 2 5 25 = ( x3 + x 2 + x ) = + + 1 = 2 032 3 2 6 82 16 25 43 ∫ i 3x(2 y + 1)dy + 2( x + y 2 )dx = −+ = 2 Vậy . 15 3 6 10 L Dùng công thức Green: P = 2( x 2 + y 2 ) , Q = 3x(2 y + 1) ∂Q ∂P − = 6y + 3− 4y = 2y + 3 ∂x ∂y y2 1 ∫∫ (2 y + 3)dxdy = ∫ dy ∫ (2 y + 3)dx −y D 0 1 1 2 45 3 = ∫ (2 y + 3)( y 2 + y )dy = ( y 4 + y 3 + y 2 + 2 y 2 ) 0 4 5 0 2 4 43 = +1+ + 2 = 4 5 10 Bài 4: y '' = −2 y ' + 2 z ' + e x = −2 y ' + 2 ( 3 y − z + e −2 x ) + e x
= 2 y ' + y − z + e− x + x − 22 6 2 e = y' + y − y − ' + x + x + e− x 22 2 6 2 y e e = 3 y ' + y + e x + e− x − 22 4 2 ⇒ '' + y ' − y = e x + e − x 22 y 3 4 2 Phương trình thuần nhất: y '' + 3 y ' − 4 y = 0 λ + λ− =0 2 3 4 → 1 = λ =4 ⇒ 1 =e x , y2 =e − x λ 1, 2 4 y Phương pháp biến thiên hằng số: { c1' e x + c2 e− 4 x = 0 ' ⇒ 5c2 e −4 x = −2e x − 2e −2 x ' ' −4 x −2 x 'x x c1e − 4 c2 e = 2 e + 2 e 2 2 2 1 c2 = − e5 x − e 2 x ⇒ c2 = − e5 x − e 2 x + c2 ' * 5 5 25 5 2 2 −3 x 2 2 −3 x * 5c1' e x = 2e x + 2e −2 x → c1' = + e → c1 = x − e + c1 55 5 15 Vậy nghiệm tổng quát: 2 * 2 * 2 1 y =  x − e −3 x + c1 ÷e x +  e5 x + e 2 x + c2 ÷e −4 x 5   25  15 5 2 2 2 1 = xe x − e −2 x + c1 e x + e x + e−2 x + c2e −4 x * * 5 15 25 5  * 2 2 1 = xe x +  c1 + ÷e x + e −2 x + c2 e −4 x * 5  25  15 Thay vào tìm được z. 3 x 3  * 3  x * −4 x z= xe +  c1 − ÷e − c2e 2 25  5 Từ điều kiện ban đầu ta có: −11 * * 1 C1 + C2 = 75 C1 = 75 *   ⇒  C * = −4  3 C* − C* = 9 2 50  1 2 2   25 Thay vào ta có: 2 x  7  x 1 −2 x 4 −4 x 3 4 x 4 −4 x y= xe +  ÷e + e − e , z = xe − e+ e x  25  5 15 25 5 25 25
Thang điểm: Bài 1: 0.5 x1 zx = − − y = 0 → x = 2 y +1 ' (1.5đ) 22 z 'y = y 2 + y − x = 1 ⇒ y2 + y − 2 y −1 −1 = 0 ⇒ y2 − y − 2 = 0 y1 = −1 → x1 = −1 y2 = 2 → x2 = 5 Hàm số không đạt cực trị tại M 1 (−1, −1) 0.25 Hàm số đạt cực đại tại M 2 ( 5, 2 ) 0.25 Hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng 0.25 hợp với trục Ox một góc 300 0.25 Hướng thay đổi nhanh nhất là : i-2j Vẽ hình Bài 2 0.25 Phương trình mặt phẳng ABC (2.5 đ ) 0.25 Lập công thức ,tính khối lượng 0.25 2 3 1 +  ÷ + ( 3) dxdy ∫∫ ds = ∫∫ 2 2 S Dxy 7 7 7 0.25 = ∫∫ dxdy = .1 = 2 2 2 Dxy Lập công thức ,tính 0.25 7 2 0.25 → xG = 3 = 73 2 Lập công thức ,tính 0.25 7 1 0.25 → yG = 6 = 73 2
0.25 7 ∫∫ 2ds = 2 S 7 → zG = 2 = 1 0.25 7 2 Bài 3: Trên AB (3 đ) 0 ∫ 3x(2 y + 1)dy + 2( x + y ) dx = ∫ [3 x(2 x 2 + 1)2 x + 2( x 4 + x 2 )]dx 2 2 −1 AB 0.5 82 = 15 0.5 Trên BC 1 1 ∫ 3x(2 y + 1)dy + 2( x + y ) dx = ∫ [2(x 2 + x) + 3(2 x +1). 2 2 ]dx 0.5 2x BC 0 25 = 0.5 6 Trên CA −1 −1 2 ∫ 3 x(2 y + 1)dy + 2( x 2 + y 2 )dx = ∫ 2(1 + x 2 )dx = (2 x + x 3 ) 0.5 31 CA 1 −16 0.5 = 3 Bài 4 0.5 ⇒ y '' + 3 y ' − 4 y = 2e x + 2e −2 x (3 đ) Phương trình thuần nhất: 0.5 Nghiệm tổng quát y = C1e x + C2e 4 x 0.25 2 2 c2 = − e5 x − e 2 x ' 5 5 2 1 0.5 c2 = − e5 x − e 2 x + c2 * 25 5 0.25 2 2 −3 x 5c1' e x = 2e x + 2e −2 x → c1' = +e 55 0.5 2 2 x − e −3 x + c1 → c1 = * 5 15 Tìm ra y 0.25 Tìm ra Z 0.25