Đề thi Toán cao cấp A2 năm học 2014-2015 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM<br /> KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN<br /> BỘ MÔN TOÁN<br /> <br /> <br /> ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN CAO CẤP A2<br /> Mã môn học: 1001012<br /> Ngày thi: 16/01/2015<br /> <br /> ĐỀ<br /> Câu I (3,5đ)<br /> 3<br /> <br /> 1. Trong không gian vectơ<br /> <br /> , chứng minh tập M <br /> <br />  x , x , x  : x  2x<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br />  x3  0 là một không<br /> <br /> gian con, tìm một cơ sở và số chiều của M .<br /> <br /> 2 x  y  mz  m<br /> <br /> 2. Giải và biện luận hệ phƣơng trình sau theo tham số m:  x  my  3z  0 .<br /> 2 x  m  1 y  1<br /> <br /> <br /> <br /> Câu II (4đ)<br /> Cho ánh xạ tuyến tính f :<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> xác định nhƣ sau:<br /> <br /> f  x; y; z    y  z; x  y  ,<br /> <br /> B  u1  1;1;1 , u2  1;1;0  , u3  1;0;0  là một cơ sở của không gian vectơ<br /> <br /> 3<br /> <br /> và tập<br /> <br /> E  v1  1;0  , v2  1;1 .<br /> 1. Chứng minh E là một cơ sở của không gian vectơ<br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> 2. Tìm ma trận của f đối với các cơ sở B, E .<br /> 3. Tìm một cơ sở và số chiều của Kerf .<br /> 4. Tìm một vectơ u <br /> <br /> 3<br /> <br /> 2 <br /> .<br /> 1 <br /> <br /> <br /> sao cho toạ độ của vectơ f  u  đối với cơ sở E là <br /> <br /> Câu III (2,5đ)<br /> Cho dạng toàn phƣơng f  x1 , x2 , x3   2 x12  2 x1x3  2 x2 2  2 x2 x3  3x32 .<br /> 1. Đƣa dạng toàn phƣơng f  x1 , x2 , x3  về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao.<br /> 2. Tìm hạng và xét dấu dạng toàn phƣơng trên.<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> Câu<br /> <br /> Nội dung<br /> Với mọi u   x1 , x2 , x3  , v   y1 , y2 , y3   M ,  <br /> <br /> , ta có:<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> <br /> + u  v   x1  y1 , x2  y2 , x3  y3  . Do<br /> <br />  x1  y1   2  x2  y2    x3  y3    x1  2x2  x3    y1  2 y2  y3   0<br /> nên u  v  M .<br /> + Với mọi u   x1 , x2 , x3   M , với mọi   R<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  u   x1 , x2 , x3  . Do<br /> <br />  x1   2  x2    x3     x1  2x2  x3   0<br /> <br /> 1<br /> <br /> nên  u  M .<br /> 3<br /> <br /> Vậy M là một không gian con của<br /> <br /> .<br /> <br />  x1  2a  b<br /> <br /> x1  2 x2  x3  0   x2  a<br />  a, b <br /> x  b<br />  3<br /> <br /> I<br /> <br /> Một cơ sở của M:<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> .<br /> <br />  2,1,0 , 1,0,1<br /> <br /> dim M  2 .<br /> D  m2  7m, D1  2m2  3m  3, D2  5m  6, D3  m2  3m  1<br /> <br /> 0,25<br /> 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1 0<br /> 1 0,<br /> 1 1<br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> m  7 , D2  29  0 nên hệ phƣơng trình vô nghiệm.<br /> <br /> 2<br /> <br /> m  0  m  7 , hệ phƣơng trình có nghiệm duy nhất<br /> 2m2  3m  3<br /> 5m  6<br /> m2  3m  1<br /> .<br /> x<br /> ,y  2<br /> ,z <br /> m2  7m<br /> m  7m<br /> m 2  7m<br /> m  0 , D2  6  0 nên hệ phƣơng trình vô nghiệm.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> suy ra E độc lập tuyến tính trong<br /> 2<br /> <br /> cơ sở của<br /> <br /> 2<br /> <br /> . Mà E  dim<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  2 nên E là một<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> .<br /> <br />  2<br /> f  u1    2,0  , suy ra  f  u1   E    .<br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> II<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1 <br /> f  u2   1,0  , suy ra  f  u2   E    ,<br /> <br /> <br />  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  1<br /> f  u3    0,1 , suy ra  f  u3   E    .<br /> <br /> <br /> 1 <br /> <br /> 0,25<br /> <br />  2 1 1<br /> .<br /> 0 1<br /> <br /> <br /> <br />  f B , E   0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> Kerf   x, y, z  <br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br />  y  z  0<br /> :<br /> .<br />  x  y  0<br /> <br />  x1  a<br /> y  z  0<br /> <br />   x2  a<br /> <br /> x  y  0<br /> x  a<br />  3<br /> Một cơ sở của Kerf:<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> a   .<br /> <br />  1, 1,1 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> dim Kerf  1.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Gọi u   x, y, z  là vectơ cần tìm.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2 <br />  f  u   E    , suy ra f  u   2v1  v2  1, 1 .<br /> <br /> <br />  1<br /> 4<br /> <br /> Mặt khác, f  u    y  z, x  y  . Vậy<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> y  z 1<br /> .<br />  x  y  1<br /> <br />  y  z, x  y   1, 1  <br /> <br /> Chọn u là một nghiệm của hệ trên, chẳng hạn u   1,0,1 .<br /> Đa thức đặc trƣng: PA      3  7 2  14  8 .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Giá trị riêng:   1,   2,   4 .<br /> Với   1 , VTR đltt: 1  1,1,1 .<br /> Với   2 , VTR đltt:  2   1,1,0  .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Trực chuẩn:<br /> 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Với   4 , VTR đltt: 3   1, 1, 2  .<br /> <br /> III<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  1 1 1 <br />  1 1 2 <br />  1 1 <br /> ,<br /> ,<br /> ,<br /> ,0  , 3  <br /> ,<br /> ,<br />  , 2   <br /> .<br /> 2 2 <br /> <br />  3 3 3<br />  6 6 6<br /> <br /> 1  <br /> <br /> 1 / 3 1 / 2 1 / 6 <br />  x1 <br />  y1 <br /> <br /> <br />  <br />  <br /> Đặt P  1 / 3 1 / 2 1 / 6  , X   x2  , Y   y2  ,<br /> <br /> <br /> x <br /> y <br /> 1 / 3<br /> 0<br /> 2/ 6 <br />  3<br />  3<br /> <br /> <br /> phép biến đổi trực giao X  PY đƣa f về dạng chính tắc<br /> f  y1 , y2 , y3   y12  2 y2 2  4 y32 .<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Do 1  0, 2  0, 3  0 nên r  f   3 và f xác định dƣơng.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Chú thích: Các vectơ riêng độc lập tuyến tính có thể ghi dƣới dạng cột.<br /> <br />