Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 6

Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

134
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi toán cao cấp 3 trường đhspkt hưng yên - đề số 6', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 6

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản Đề số: 06 Học phần: Toán cao cấp 3 Ngày thi: Thời gian làm bài: 90 phút. Cho hàm số: Câu 1: x3 x 2 y2 y z = + − xy + − x − 32 4 2 1. Tìm cực trị của hàm 2. Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 300 3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng ch ất Câu 2: ABC với A (3, 0, 0), B (0, 2, 0), C(0, 0, 1). I = ∫ ( x + y )dx + ( x − y )dy , trong đó C là đường ellip Câu 3: Tính C 2 2 x y + 2 = 1 lấy theo chiều ngược kim đồng hồ. 2 a b Giải phương trình vi phân: Câu 4: y’’-4y’+4y= e 2 x x x + 1 thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và y’=0. Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn Giảng viên ra đề 2:
Câu 1: Tìm cực trị của hàm x3 x 2 y2 y z= + − xy + −x− 3 2 4 2 z’x=x2+x-y-1=0 y1 z’y=-x+ − =0 →y=2x+1 22 Thay vào z’x ta có: x2 + x − 2x − 1 − 1 = x2 − x − 2 = 0 Nghiệm x1= -1 → y1= -1 M1 (-1, -1). x2 = 2 → y2= 5 M2 (2, 5) M1 (-1, -1) M2 (2, 5) z xx = 2 x +1 = r '' -1 5 z xy =− =s '' 1 -1 -1 1 1 1 z '' = =t yy 2 2 2 1 5 s2 - rt (-1)2+ >0 (-1)2- 0 cực tiểu y ’ z x(N)= 1+1-1-1=0 2 2. N 11 z’y(N)=-1+ − =-1 x 22 π −1 ∂z -2 = −1.cos =
xy + + z =1 32 xy + =1 Đường thẳng AB: 32 1) Khối lượng của tam giác: 2 2 36 + 4 +9 1  1  ∫∫ ds =∫∫ 1 + ÷ + ÷ dxdy = ∫∫ dxdy 3  2  9.4 s Dxy Dxy 7 7 y ∫∫ dxdy = 2 = B 2 6 Dxy x C A 2) Tìm xG: 2 2− x 3 3 3 7 7 7 2 ∫∫ xds = ∫∫ x. dxdy = ∫ dx ∫ xdy = ∫ x(2 − x )dx 6 60 60 3 s Dxy 0 7 2x2  3 7 2 2 x3 7 7 = ∫  2x − ÷dx = ( x − = (9 − 6) = 3 ) 0 6 0 3 6 9 6 2 →xG = 1 3) Tìm yG: 3 3− y 7 →y = 2 2 2 7 ∫∫ yds = 6∫ ∫ ydx = dy G 3 3 s 0 0 4) Tìm zG: 2 2− x 3 3 2 x y2 3 7 xy 7 7 2− x ∫∫ 6 0 zds = ∫ dx ∫ (1 − − )dy = ∫ dx( y − y − ) = 3 0 32 60 3 4 6 s 0 1 →zG= 3 21 Toạ độ trọng tâm (1, , ). 33 Câu 3: I = ∫ ( x + y )dx + ( x − y )dy C Tham số hoá đường cong C ta có:
x = acosϕ , y = b sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π 2π I = ∫ ( x + y )dx + ( x − y )dy = ∫ [−(acosϕ + b sin ϕ )a sin ϕ + (acosϕ − b sin ϕ )bcosϕ ]dϕ C 0 2π 2π −( a + b ) (a 2 + b 2 ) 2 2 1 = ∫[ sin 2ϕ + abcos2ϕ ]dϕ = ( cos2ϕ + ab sin 2ϕ ) =0 0 2 4 2 0 Áp dụng công thức Green với P = x + y, Q = x − y ∂Q ∂P − = 1 −1 = 0 ∂x ∂y Vậy I = 0 Câu 4: Giải phương trình vi phân: y’’-4y’+4y= e2 x x x + 1 thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và y’=0 • Phương trình thuần nhất: y’’-4y’+4y=0 Phương trình đặc trưng: λ 2 − 4λ + 4 = 0 → (λ − 1) 2 = 0 → λ1 = λ2 = 2 → y1 = e , y2 = xe 2x 2x • Phương trình không thuần nhất: Phương pháp hằng số biến thiên: . { c1e2 x + c2 xe2 x = 0 ' ' ⇒ 2 c1e2 x + c2 (2 xe 2 x + e 2 x ) = e 2 x x x +1 ' ' { ' ' c1 + c2 x = 0 ⇒ ' ' 2 c1 + c2 (2 x +1) = x x +1 PT2-2PT1→ c2 = x x + 1 ' →c2= x x + 1dx = ∫ ( x + 1 − 1) x + 1dx = ∫  ( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 dx 3 1 ∫     2 2 5 3 = ( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + c2 * 5 3 Thay vào tìm c1 ta có: c1' = − c2' .x = − x 2 x + 1
∫ → c1 = − x x + 1dx 2 Đặt x+1=t → x 2 = ( t − 1) = t 2 − 2t + 1 2 ) ( 27 45 23 → c1 = − ∫ ( t 2 − 2t + 1) tdt = − ∫ t 2 − 2t 2 + t 5 3 1 dt = − t 2 + t 2 − t 2 + c1* 2 7 5 3 Vậy y= 2  2 * 4 2 2 7 5 3 5 3 − ( x + 1) 2 + ( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + c1*  e 2 x +  ( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + c2  xe 2 x 7   5  5 3 3 Thay điều kiện ta có: 16 4 c1 = , c2 = * * 15 105
Thang điểm z’x=x2+x-y-1=0 Bài 1(2đ): (0.25) y1 z’y=-x+ − =0 (0.25) 22 M1 (-1, -1) (0.25) M2 (2, 5) (0.25) M1 không cực trị (0.25) M2 cực tiểu (0.25) Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 300 (0.25) Hướng thay đổi nhanh nhất là –j (0.25) Vẽ được hình Bài 2(3 đ): (0.5) Lập phương trình mặt phẳng xy 2 + = 1, y = − + 2 (0.5) 32 3 7 Khối lượng (0.5) 2 Lập tích phân tính xG (0.25) Tính tích phân tính xG suy ra kết quả 1 (0.25) Lập tích phân tính yG (0.25) Tính tích phân tính yG suy ra kết quả 2/3 (0.25) Lập tích phân tính zG (0.25) Tính tích phân tính zG suy ra kết quả 1/3 (0.25) Tham số hoá đường cong C ta có: Bài 3(1 đ): x = acosϕ , y = b sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π (0.25)
I = ∫ ( x + y ) dx + ( x − y ) dy C 2π ∫ [−(acosϕ + b sin ϕ )a sin ϕ + (acosϕ − b sin ϕ )bcosϕ ]dϕ = 0 2π −( a + b ) 2 2 ∫[ sin 2ϕ + abcos2ϕ ]dϕ = 2 0 (0.5) 2π (a 2 + b 2 ) 1 cos2ϕ + ab sin 2ϕ ) =( =0 0 4 2 Áp dụng công thức Green với P = x + y, Q = x − y ∂Q ∂P − = 1 −1 = 0 (0.25) ∂x ∂y Lập phương trình thuần nhất. Bài 4: (1/2) Tính nghiệm thuần nhất. (1/2) Lập C2 = ∫ x x + 1dx (1/2) 2 2 5 3 Tính C2= ( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + c2 * (1/2) 5 3 ∫ Lập c1 = − x x + 1dx 2 (1/2) 2 4 2 7 5 3 Tính C1= − ( x +1) ( x +1) 2 − ( x +1) 2 + c1* + (1/2) 2 7 5 3 16 Thay biểu thức trên ta được c1 = * (1/2) 105 4 = * c2 (1/2) 15