Giải tích hàm một biến - Toán cao cấp: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Toán cao cấp giải tích hàm một biến" phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới hạn của dãy số; giới hạn và tính liên tục của hàm một biến; đạo hàm và vi phân của hàm một biến. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích hàm một biến - Toán cao cấp: Phần 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Nguyễn Đình Huy (Chủ biên) Nguyễn Quốc Lân, Lê Xuân Đại TOÁN CAO CẤP GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH 2015
51 89/176-05 Mã số: 8I092M5 GD-05
Lời nói đầu Cuốn sách dành cho các bạn sinh viên trường Đại học Bách Khoa TpHCM. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: ytkadai@hcmut.edu.vn Ngày 13 tháng 01 năm 2014 Nhóm tác giả
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Chương 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Khái niệm dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Lời giải bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . 18 2.1. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Giới hạn vô cùng bé của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Giới hạn vô cùng lớn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Khái niệm đạo hàm của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Tìm giới hạn dạng vô định theo qui tắc L’ Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5. Khai triển Taylor - Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Chương 4. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1. Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
MỤC LỤC 1 4.2. Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3. Tích phân của những hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4. Tích phân của hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5. Tích phân của hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.7. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.8. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.9. Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.10. Ứng dụng của tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.11. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THÔNG THƯỜNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.1. Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2. Bài tập phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4. Bài tập phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.5. Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6. Bài tập hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 CÁC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM GIỮA KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.1. Đề thi giữa kỳ giải tích 1- Ca 1 năm 2012-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 CÁC ĐỀ THI TỰ LUẬN CUỐI KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.1. Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 1 năm học 2013-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.2. Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 2 năm học 2013-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Chương1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1. Khái niệm dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Lời giải bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Khái niệm dãy số Diện tích hình tròn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều Tính gần đúng diện tích của hình tròn có bán kính R Hình 1.1: Diện tích hình tròn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều A = lim An = πR2 . n→∞
1.1 Khái niệm dãy số 3 1.1.1 Định nghĩa dãy số Định nghĩa 1.1. Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên tập hợp số thực R được gọi là dãy số. Dãy số được kí hiệu là (xn ). xn được gọi là phần tử tổng quát thứ n của dãy số. 1 1 1 Ví dụ 1.1.1. Cho dãy (xn ) với xn = thì x1 = 1, x2 = , . . . , xn = , . . . n 2 n 1.1.2 Sự biểu diễn hình học của dãy số Phương pháp thứ nhất. Dãy số (xn ) được biểu diễn bằng đồ thị của nó từ những điểm (n, xn ). Hình 1.2: Biểu diễn dãy số trên mặt phẳng Phương pháp thứ hai. Dãy số (xn ) được biểu diễn bởi những điểm của trục Ox Hình 1.3: Biểu diễn dãy số trên trục số thực 1.1.3 Tính chất của dãy số 1. Tính tăng và tính giảm. Định nghĩa 1.2. Dãy số (xn ) được gọi là dãy tăng (dãy giảm) nếu như với mọi n ∈ N luôn có bất đẳng thức xn < xn+1 (xn > xn+1 ). Định lý 1.1: Bất đẳng thức Bernoulli. Nếu số h > −1 và h = 0 thì luôn có bất đẳng thức (1 + h)n > 1 + nh với mọi số tự nhiên n 2. n 1 Ví dụ 1.1.2. Dãy xn = 1+ , (n ∈ N) là dãy tăng. n
4 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ n 1 xn+1 Chứng minh. Vì xn = 1+ > 0 nên ta chỉ cần chứng minh xn > 1. Ta có n 1 n+1 n+1 xn+1 (1 + n+1 )n+1 ( n+2 )n+1 n+2 n+1 n2 + 2n n+1 = 1 = n+1 n = n+1 . = . = xn (1 + n )n ( n+1 ) n n+1 n n n2 + 2n + 1 n n+1 1 n+1 1 n+1 n n+1 = 1− . > 1− . = . =1 (n + 1)2 n n+1 n n+1 n Như vậy xn < xn+1 n+1 1 Ví dụ 1.1.3. Dãy số xn = 1+ , (n ∈ N) là dãy giảm. n 1 xn Chứng minh. Vì xn = (1 + n )n+1 > 0 nên ta chỉ cần chứng minh > 1. Ta có xn+1 1 n+2 n+2 xn (1 + n )n+1 ( n+1 )n+1 n n+1 n n n2 + 2n + 1 n = 1 = n+2 n+2 = n+2 . = . = xn+1 (1 + n+1 )n+2 ( n+1 ) n+1 n+1 n2 + 2n n+1 n+2 1 n 1 n n+1 n = 1+ . > 1+ . = . = 1. n(n + 2) n+1 n n+1 n n+1 Như vậy xn > xn+1 2. Tính bị chặn. Định nghĩa 1.3. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là bị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈ R), sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có xn M (xn m). Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới) của dãy (xn ). Định nghĩa 1.4. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là bị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có m xn M. Định nghĩa 1.5. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi số ∀M ∈ R (m ∈ R), tồn tại số hạng của dãy số xn0 sao cho xn0 > M (xn0 < m). n+1 1 Ví dụ 1.1.4. Dãy số xn = 1+ (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0, và bị chặn trên bởi số n M = (1 + 1)2 = 4. Chứng minh. Vì dãy này là dãy giảm nên với mọi ∀n ∈ N luôn có xn x1 = 4. Với mọi ∀n ∈ N ta có xn > 0 1 Ví dụ 1.1.5. Dãy số xn = (1 + n )n , (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0 và bị chặn trên bởi số M = 4. n n+1 1 1 Chứng minh. Với mọi ∀n ∈ N luôn có xn > 0, và xn = 1+ < 1+ 4 n n
1.2 Giới hạn của dãy số 5 Hình 1.4: Ý nghĩa hình học của giới hạn của dãy số 1.2 Giới hạn của dãy số 1.2.1 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.6. Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy (xn ) ⊂ R, nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại số N = N (ε) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức |xn − a| < ε. Chú ý. Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (xn ) ⊂ R thì ta viết là lim xn = a. n→∞ Định nghĩa 1.7. Dãy số (xn ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a ∈ R được gọi là dãy hội tụ đến a. Khi đó ta viết là xn → a. Định nghĩa 1.8. Dãy số (xn ) ⊂ R được gọi là phân kỳ nếu như mọi số ∀a ∈ R không là giới hạn của dãy số này, có nghĩa là a không tồn tại hoặc bằng ∞. 1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số Định lý 1.2 Mọi dãy hội tụ (xn ) ⊂ R đều bị chặn. Chú ý. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ dãy an = (−1)n bị chặn nhưng phân kỳ. Định lý 1.3 Nếu dãy số (xn ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 1.4 Nếu dãy số (xn ) ⊂ R và (yn ) ⊂ R có giới hạn hữu hạn tương ứng là a và b thì: 1. lim |xn | = |a|. n→∞ 2. lim (xn ± yn ) = a ± b n→∞ 3. lim (xn .yn ) = a.b. n→∞ xn a 4. Nếu bổ sung thêm điều kiện b = 0 thì ta có lim = . n→∞ yn b 1.2.3 Những giới hạn cơ bản
6 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Những giới hạn cơ bản 1. lim q n = 0, |q| < 1. lnp n n→∞ 6. lim = 0, ∀p, ∀α > 0. n→∞ nα 1 √ 2. lim = 0, α > 0. 7. lim n np = 1, ∀p. n→∞ nα n→∞ 1 √ n 3. lim = 0, α > 0. 8. lim a = 1, a > 0. n→∞ n→∞ lnα n n 1 1 4. lim n = 0. 9. lim 1+ = e. n→∞ e n→∞ n np a n 5. lim = 0, ∀p. 10. lim 1+ = ea , ∀a. n→∞ en n→∞ n Chú ý. Với p, α > 0, a > 1, khi n → ∞ thì lnp n 0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức xn > M (xn < −M ; |xn | > M ). 1 1 Chú ý. = 0; = ∞ ∞ 0
1.2 Giới hạn của dãy số 7 Ví dụ 1.2.2. Dãy số xn = q n (n ∈ N) với q > 1 có giới hạn lim q n = +∞. n→∞ 1 Chứng minh. Vì 0 < q < 1 nên theo giới hạn cơ bản, ta có n 1 1 lim = lim = 0. n→∞ q n→∞ qn 1 Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M > 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 này tồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức | q1 − 0| = q1 < ε = M , có n n 1 nghĩa là q n > M (∀n > N ). Như vậy lim q n = +∞ n→∞ Ví dụ 1.2.3. Dãy số xn = q n (n ∈ N) với q < −1 có giới hạn lim q n = ∞. n→∞ Chứng minh. Vì 0 < | 1 | < 1 nên theo giới hạn cơ bản, ta có q 1 1 1 lim | |n = lim = lim n = 0. n→∞ q n→∞ |q|n n→∞ |q | 1 Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M > 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 này n 1 1 tồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức || q1 | − 0| = |q|n < ε = M , có nghĩa là |xn | = |q n | = |q|n > M (∀n > N ). Như vậy lim q n = ∞ n→∞ Chú ý. Số +∞ và −∞ trong trường hợp này không là giới hạn của dãy xn = q n (n ∈ N) với q < −1. Vì với mọi số chẵn n thì xn = q n > 0, còn với mọi số lẻ n thì xn = q n < 0. 1.2.6 Dãy con Định nghĩa 1.10. Cho dãy số (xn ) ⊂ R và n1 < n2 < . . . < nk < . . . một dãy số tự nhiên tăng bất kỳ, khi đó dãy số xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . được gọi là dãy con của dãy (xn ). Dãy con được kí hiệu là (xnk ). Định nghĩa 1.11. Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (xn ), nếu như tồn tại dãy con (xnk ) của dãy (xn ), hội tụ đến số c. Ví dụ 1.2.4. Cho dãy (xn ) với xn = (−1)n . Với n = 2k thì dãy {1, 1, . . . , 1, . . .} được gọi là 1 dãy con của dãy (xn ) và giới hạn riêng của nó x2k → 1, k → ∞. Với n = 2k + 1 thì dãy {−1, −1, . . . , −1, . . .} cũng là 1 dãy con của dãy (xn ) và giới hạn riêng của nó x2k+1 → −1, k → ∞. 1.2.7 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ Nếu như dãy (xn ) hội tụ đến số a, thì với mọi dãy con (xnk ) của dãy (xn ), giới hạn của nó là a. lim xn = a =⇒ lim xnk = a n→∞ k→∞ Định lý 1.6 Nếu dãy (xn ) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy (xn ) đều bằng nhau và bằng giới hạn của dãy số (xn ). Chú ý. Để chứng minh dãy (xn ) phân kỳ ta làm như sau: Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau. Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
8 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ví dụ 1.2.5. Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn riêng khác nhau. Đối với dãy (xn ) = (−1)n (n ∈ N), dãy con của nó (x2k ) = (−1)2k = 1 và (x2k−1 ) = (−1)2k−1 = −1 có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1. Chúng không bằng nhau. Ví dụ 1.2.6. Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng. Dãy số 1, 2, . . . , n, . . . không có giới hạn riêng. 1.3 Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass Định lý 1.7 Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R bị chặn trên (dưới) x1 x2 ... xn ... y (x1 x2 ... xn ... z), thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu như dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn ) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞). 1 Ví dụ 1.3.1. Chứng minh rằng dãy số (xn ) = (1 + n )n (n ∈ N) có giới hạn hữu hạn. Giới hạn này được kí hiệu là e. Chứng minh. Như ta đã biết dãy (xn ) trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theo định lý Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn n 1 lim 1+ = e. n→∞ n Chú ý. Số e là số siêu việt (không phải là số đại số). Nó không là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên có bậc n 1. Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle. 1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số n2 n3 Ví dụ 1.4.1. Tìm giới hạn I = lim − 2 . n→∞ n+1 n +1 Giải. 1 n2 (n2 + 1) − n3 (n + 1) n2 − n3 n −1 I = lim = lim = lim = = −1. n→∞ (n + 1)(n2 + 1) n→∞ (n + 1)(n2 + 1) n→∞ (1 + 1 )(1 + 1 ) n n2 (n + 1)4 − (n − 1)4 Ví dụ 1.4.2. Tìm giới hạn I = lim . n→∞ (n2 + 1)2 − (n2 − 1)2 Giải. (n + 1 − n + 1)(n + 1 + n − 1)((n + 1)2 + (n − 1)2 ) 2n(n2 + 1) I = lim = lim = ∞. n→∞ (n2 + 1 − n2 + 1)(n2 + 1 + n2 − 1) n→∞ n2
1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 9 1 Ví dụ 1.4.3. Tìm giới hạn I = lim √ . n→∞ n( n2 − 1 − n) Giải. √ 1 n2 − 1 + n 1− n2 +1 I = lim = lim = = −2. n→∞ n(n2 − 1 − n2 ) n→∞ −1 √ n2 + 1 − n Ví dụ 1.4.4. Tìm giới hạn I = lim √ √ . n→∞ n+1− n Giải. √ √ 1 + 1 + 1 (n2 + 1 − n2 )( n + 1 + n) n n2 n I = lim √ = lim = 0. n→∞ (n + 1 − n)( n2 + 1 + n) n→∞ 1 1+ n2 +1 √ n2 + 1 − n Ví dụ 1.4.5. Tìm giới hạn I = lim √ √ . n→∞ n3 + 1 − n n Giải. √ √ 1 √ (n2 + 1 − n2 )( n3 + 1 + n n) n+ n3 + n I = lim √ = lim = ∞. n→∞ (n3 + 1 − n3 )( n2 + 1 + n) n→∞ 1 1+ n2 +1 √ √ 4 n3 + n − n Ví dụ 1.4.6. Tìm giới hạn I = lim √ . n→∞ n + 2 + n + 1 Giải. 4 1 1 1 n + n3 − n I = lim = 0. n→∞ 2 1 1 1+ n + n + n2 1.4.2 Dùng định lý kẹp tìm giới hạn của dãy số Ví dụ 1.4.7. Tìm giới hạn 1 + 2 2 + . . . + nn lim . n→∞ nn Giải. Đặt 1 + 2 2 + . . . + nn an = . nn Khi đó ta có nn n1 + n2 + . . . + nn nn+1 − n nn − 1 n n 1= an = = . < . nn nn (n − 1)nn nn n − 1 n−1 n Vì → 1 nên an → 1 khi n → ∞. n−1 1 Ví dụ 1.4.8. Tìm giới hạn I = lim √ n→∞ n! Giải. n2 Bằng phương pháp qui nạp toán học ta có thể chứng minh được n! > , ∀n ∈ N. 4 1 2 2 Do đó 0 < √ < . Mặt khác lim = 0 nên I = 0. n! n n→∞ n
10 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ √ n Ví dụ 1.4.9. Tìm giới hạn I = lim n n→∞ Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có √ √ n(n − 1) √ √ n = (1 + ( n n − 1))n = 1 + n( n n − 1) + + ( n n − 1)2 + . . . + ( n n − 1)n . 2 n(n−1) √ √ 2 Với mọi ∀n > 1 ta có n > 2 (nn − 1)2 . Do đó với mọi ∀n > 1, 0 < n n−1< . n−1 2 √ Mặt khác lim = 0 nên lim n n − 1 = 0 hay I = 1. n→∞ n−1 n→∞ √ Ví dụ 1.4.10. Tìm giới hạn I = lim n a, a > 1. n→∞ Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có √ √ n(n − 1) √ √ a = (1 + ( n a − 1))n = 1 + n( n a − 1) + + ( n a − 1)2 + . . . + ( n a − 1)n . 2 √ √ a Với a > 1 ta có a > n( n a − 1). Do đó 0 < n a − 1 < . n a √ Mặt khác lim = 0 nên lim n a − 1 = 0 hay I = 1. n→∞ n n→∞ Ví dụ 1.4.11. Tìm giới hạn I = lim q n , |q| < 1. n→∞ Nếu q = 0 thì I = 0. 1 1 Nếu q = 0 thì ta có > 1, do đó = 1 + h, h > 0. Theo bất đẳng thức Bernoulli (1.1) ở trang |q| |q| 3, ta có 1 1 n = (1 + h)n > 1 + nh > nh ⇒ 0 < |q|n < . |q| nh 1 Mặt khác lim = 0 nên I = 0. n→∞ nh n Ví dụ 1.4.12. Tìm giới hạn I = lim , a > 1. n→∞ an Theo công thức nhị thức Newton ta có an = (1 + (a − 1))n = 1 + n(a − 1) n(n − 1) + (a − 1)2 + . . . + (a − 1)n . 2 n(n−1) n 2 Với a > 1 ta có an > 2 (a − 1)2 . Do đó 0 < < . Mặt khác an (n − 1)(a − 1)2 2 lim = 0 nên I = 0. n→∞ (n − 1)(a − 1)2 (−1)n Ví dụ 1.4.13. I = lim , α>0 n→+∞ nα Giải. Với α > 0 ta có −1 (−1)n 1 nα nα nα −1 1 Mặt khác lim α = lim α = 0 nên I = 0. n→∞ n n→∞ n
1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 11 1.4.3 Sử dụng giới hạn cơ bản 1 + 7n+2 Ví dụ 1.4.14. Tìm giới hạn của dãy an = 3 − 7n 1 2 7n + 7 1 Chia tử số và mẫu số cho 7n ta được lim an = lim = −49 vì lim = 0. n→∞ n→∞ 3 − 1 n→∞ 7n 7n 2n+2 + 3n+3 Ví dụ 1.4.15. Tìm giới hạn lim n→∞ 2n + 3 n Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có 4.2n 3n + 33 an = 2n 3n +1 4.2n n + 33 2n Do đó lim an = lim 3 n = 27 vì lim n = 0. n→∞ n→∞ 2n +1 n→∞ 3 3 5.2n − 3.5n+1 Ví dụ 1.4.16. Tìm giới hạn lim n→∞ 100.2n + 2.5n Chia tử số và mẫu số cho 5n ta có 5.2n 5n − 3.5 an = 100.2n 5n + 2 5.2n n 5n − 3.5 15 2 Do đó lim an = lim 100.2n =− vì lim n = 0. n→∞ n→∞ 5n + 2 2 n→∞ 5 (−1)n .6n − 5n+1 Ví dụ 1.4.17. Tìm giới hạn lim n→∞ 5n − (−1)n .6n+1 Chia tử số và mẫu số cho (−6)n ta có 5.5n 1− (−6)n an = 5n (−6)n −6 5.5n 1− (−6)n 1 Do đó lim an = lim 5n =− n→∞ n→∞ (−6)n −6 6 5n vì lim = 0. n→∞ (−6)n 2n + 3−n Ví dụ 1.4.18. Tìm giới hạn lim n→∞ 2−n − 3n Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có 2n 1 3n + 9n an = 1 6n − 1 2n 1 3n + 9n 2n 1 1 Do đó lim an = lim 1 = 0 vì lim = lim n = lim n = 0. n→∞ n→∞ n − 1 n→∞ 3n n→∞ 9 n→∞ 6 6 1 (−1)n + n Ví dụ 1.4.19. Tìm giới hạn lim 1 n→∞ n2 − (−1)n Chia tử số và mẫu số cho (−1)n ta có (−1)n 1+ n an = (−1)n n2 −1 (−1)n 1+ n Do đó lim an = lim n = −1 vì n→∞ n→∞ (−1) −1 n2 (−1)n (−1)n lim = lim = 0. n→∞ n n→∞ n2
12 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.4.4 Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu 1 1 1 Ví dụ 1.4.20. Chứng minh rằng dãy an = + 2 + ... + n hội tụ. 5+1 5 +1 5 +1 Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì 1 an+1 = an + 5n+1 +1 nên an+1 > an . Dãy an bị chặn trên. Thật vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 5 − 5n+1 1 1 1 an = + 2 + ... + n < + 2 + ... + n = 1 = 1− < . 5+1 5 +1 5 +1 5 5 5 1 −5 4 5n 4 Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. 1 1 1 Ví dụ 1.4.21. Chứng minh rằng dãy an = + 2 + ... + n hội tụ. 3+1 3 +2 3 +n Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì 1 an+1 = an + 3n+1 +n+1 nên an+1 > an . Dãy an bị chặn trên. Thật vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 3 − 3n+1 1 1 1 an = + 2 + ... + n < + 2 + ... + n = = 1− < . 3+1 3 +2 3 +n 3 3 3 1 −13 2 3n 2 Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. 2n Ví dụ 1.4.22. Chứng minh rằng dãy an = hội tụ và tìm giới hạn của nó. n! Giải. Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì 2n+1 an+1 (n+1)! 2 = 2n = < 1, ∀n > 1. an n! n+1 nên an+1 < an . Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ. 2 Giả sử lim an = a. Ta có an+1 = an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta n→∞ n+1 được 2 lim an+1 = lim . lim an . n→∞ n→∞ n + 1 n→∞ 2n Do đó a = 0.a ⇒ a = 0. Vậy lim = 0. n→∞ n! √ √ Ví dụ 1.4.23. Cho dãy a1 = 2, an+1 = 2an . Chứng minh rằng dãy (an ) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 13 Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 < . . . . Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi 2. √ √ √ Thật vậy, a1 = 2, a2 = 2a1 < 2.2 = 2. Giả sử đã chứng minh được rằng an 2. Ta sẽ chứng minh an+1 2. √ √ Thật vậy, an+1 = 2an 2.2 = 2. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 2, ∀n ∈ N Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. √ Giả sử lim an = a. Ta có an+1 = 2an ⇒ a2 = 2an . Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n+1 n→∞ n → ∞ ta được lim a2 = 2. lim an . n→∞ n+1 n→∞ √ Do đó a2 = 2.a ⇒ a = 0 a = 2. Vì an > 2 nên a = 2. Vậy lim an = 2. n→∞ √ √ √ Ví dụ 1.4.24. Cho dãy x1 = a, x2 = a+ a, . . . , xn = a+ a + ... + a, a > 0. Chứng n dấu căn minh rằng dãy (xn ) hội tụ và tìm giới hạn của nó. Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 < . . . . Ta sẽ chứng minh dãy xn bị chặn trên √ bởi a + 1. √ √ √ √ √ √ Thật vậy, x1 = a < a + 1, x2 = a + a < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a + 1. √ √ Giả sử đã chứng minh được rằng xn a + 1. Ta sẽ chứng minh xn+1 a + 1. √ √ √ √ Thật vậy, xn+1 = a + xn < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a + 1. Vậy theo nguyên lý qui √ nạp ta có xn a + 1, ∀n ∈ N Như vậy, dãy xn đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. √ Giả sử lim xn = x. Ta có xn+1 = a + xn ⇒ x2 = a + xn . n+1 n→∞ Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được lim x2 = a + lim xn . n+1 n→∞ n→∞ √ √ √ 1− 1 + 4a 1+ 1 + 4a 1 + 1 + 4a Do đó x2= a+x ⇒ x = x = . Vì xn > 0 nên x = . Vậy √ 2 2 2 1 + 1 + 4a lim xn = . n→∞ 2 1.4.5 Sử dụng giới hạn của số e Sử dụng giới hạn của số e tính giới hạn dạng 1∞ n 1 lim 1+ =e n→∞ n un 1 Nếu lim un = ∞ thì lim 1+ =e n→∞ n→∞ un n 1 Ví dụ 1.4.25. Tìm giới hạn lim 1+ , k∈N n→∞ n+k
14 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giải. n n (n+k). n+k 1 1 lim 1+ = lim 1+ = e1 = e. n→∞ n+k n→∞ n+k n n Ví dụ 1.4.26. Tìm giới hạn lim . n→∞ n+1 Giải. n n −(n+1). −(n+1) 1 1 lim 1− = lim 1− = e−1 . n→∞ n+1 n→∞ n+1 n 1 Ví dụ 1.4.27. Tìm giới hạn lim 1+ . n→∞ 2n Giải. n n 2n. 2n 1 1 1 lim 1+ = lim 1+ = e2 . n→∞ 2n n→∞ 2n 2n 2n + 1 Ví dụ 1.4.28. Tìm giới hạn lim . n→∞ 2n 2n 2n 2n + 1 1 lim = lim 1+ n = e. n→∞ 2n n→∞ 2 1.4.6 Chứng minh dãy số phân kỳ Để chứng minh dãy (xn ) phân kỳ ta làm như sau: Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau. Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ. 2n + 3 Ví dụ 1.4.29. Chứng minh rằng dãy an = (−1)n phân kỳ. 3n + 1 Giải. Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có 2.2k + 3 2 a2k = (−1)2k → , 3.2k + 1 3 2.(2k + 1) + 3 2 a2k+1 = (−1)2k+1 →− 3.(2k + 1) + 1 3 khi k → ∞. Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ. 1.4.7 Tóm tắt các khái niệm cơ bản của chương 1 Giới hạn của dãy số 1. Những giới hạn cơ bản 2. Định lý kẹp 3. Định lý Weierstrass 4. Giới hạn của số e 5. Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số chứng minh dãy số phân kỳ
1.5 Bài tập 15 1.5 Bài tập Bài tập 1.5.1. Tìm giới hạn của các dãy số sau 2n + 1 n−5 3n+2 sin(n3 ) 1. lim 13. lim √ n→+∞ ln(1 + 5 n3 + 1) n→∞ n+3 √ √ 2. lim n( n 2 − 1) 14. lim n( n 6 − 1) n→∞ n→∞ cos(n2 ) ln(n2 − n + 1) 3. lim √ 15. I = lim n→∞ ln(1 + 4 n) n→∞ ln(n10 + n + 1) 2 n 4. lim 1 + lg 2 10n n→∞ n 16. I = lim n→∞ lg 2 n √ 5. lim n n4 + 5n n→∞ ln(n2 + 2n cos n + 1) √ 17. I = lim 6. lim n n5 + 7n n→∞ 1 + ln(n + 1) n→∞ √ cos(n4 ) 18. I = lim n n2 .3n + 4n n→∞ 7. lim √ n→∞ ln(1 + 4 n3 + 2n) 19. I = lim n n + (−1)n n→∞ ln(n2 + 3) 8. lim √ ln(2n3 + n) n→∞ n 5n + 1 √ 20. I = lim sin n n→∞ n+5 9. lim √ n→∞ n n 2n2 − 5n + 3 √ n 21. I = lim 10. lim n 2 + 3n n→∞ n5 + 1 n→∞ n nπ n n4 + 3 n 11. lim cos 22. I = lim n→∞ n + 1 2 n→∞ n + 5n n+ (−1)n √ 12. lim 23. I = 6+ 6+ 6 + ... n→∞ n − (−1)n Bài tập 1.5.2. Sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu: 1. Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau: 0 < a1 < 1, an+1 = an (2 − an ), ∀n 1. √ √ 2. Cho dãy a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. Chứng minh rằng dãy (an ) hội tụ và tìm giới hạn của nó. n! 3. Chứng minh rằng dãy an = hội tụ và tìm giới hạn của nó. nn Lời giải bài tập chương 1 3n+2 2n + 1 n−5 1.5.1 1. lim =8 n→∞ n+3 √ 2. lim n( n 2 − 1) = ln 2 n→∞ cos(n2 ) 3. lim √ =0 n→∞ ln(1 + 4 n) n 2 4. lim 1+ = e2 n→∞ n √ n 5. lim n4 + 5n = 5 n→∞
16 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ √ n 6. lim n5 + 7 n = 7 n→∞ cos(n4 ) 7. lim √ =0 n→∞ ln(1 + 4 n3 + 2n) ln(n2 + 3) 2 8. lim √ = n→∞ ln(2n3 + n) 3 √ sin n 9. lim √ =0 n→∞ n √ 10. lim n 2n + 3n = 3 n→∞ n nπ 11. lim cos Không tồn tại n→∞ n+1 2 n + (−1)n 12. lim =1 n→∞ n − (−1)n sin(n3 ) 13. lim √ =0 n→+∞ ln(1 + 5 n3 + 1) √ 14. lim n( n 6 − 1) = ln 6 n→∞ 1 1 1 1 ln(n2 (1 − n + n2 )) 2 ln(n) + ln(1 − n + n2 ) 15. I = lim = lim . n→∞ ln(n10 (1 + 1 + 1 )) n→∞ 10 ln(n) + ln(1 + 1 + 1 ) n9 n10 n9 n10 1 Chia tử số và mẫu số cho ln n ta được I = 5 2 lg(n) + lg10 16. I = lim n→∞ lg(n) Chia tử số và mẫu số cho lg(n) ta được I = 1 ln(n2 (1 + 2 cos n + n2 )) n 1 2 ln(n) + ln(1 + 2 cos n + n2 ) n 1 17. I = lim 1 = lim 1 . n→∞ 1 + ln(n(1 + n )) n→∞ 1 + ln(n) + ln(1 + n ) Chia tử số và mẫu số cho ln n ta được I = 2 2 n ln(n2 .3n + 4n ) ln(4n ( n 4.3 + 1)) n lim lim 18. I = lim (n2 .3n + 4n )1/n = en→∞ n = e n→∞ n = n→∞ 2 n n ln(4) + ln( n 4.3 n + 1) lim e n→∞ n = eln 4 = 4. (−1)n n ln(n + (−1)n ) ln(n(1 + n )) ln(n) + ln( (−1) + 1) n lim lim lim 19. I = lim (n+(−1)n )1/n = en→∞ n = en→∞ n = en→∞ n = n→∞ e0 = 1. 24 1/n ln(5 − n+5 ) 5n + 1 lim 20. I = lim = en→∞ n = e0 = 1. n→∞ n+5 2n2 − 5n + 3 ln 1/n n5 + 1 ln(2n2 − 5n + 3) − ln(n5 + 1) 2n2 − 5n + 3 lim lim 21. I = lim = en→∞ n = en→∞ n = n→∞ n5 + 1 2 5n 3 1 ln(2n ) + ln(1 − 2n2 + 2n2 ) − ln(n5 ) − ln(1 + n5 ) lim e n→∞ n = e0 = 1. n4 + 3 n ln 1/n n + 5n ln(n4 + 3n ) − ln(n + 5n ) n4 + 3n lim lim 22. I = lim = en→∞ n = e n→∞ n = n→∞ n+5 n n4 n ln(3n ) + ln( 3n + 1) − ln(5n ) + ln( 5n + 1) lim 3 3 en→∞ n = eln 5 = 5 √ 23. I = 6 + 6 + 6 + . . . = 3