zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích I - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Tieuduongchi Duongchi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Báo xấu

36
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích I" cung cấp cho học viên những nội dung về: phép tính vi phân hàm một biến số; phép tính tích phân hàm một biến số; hàm nhiều biến số; đạo hàm riêng và vi phân cấp cao, cực trị; tích phân kép;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích I - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I CÁC NHÓM NGÀNH 1, 2 VÀ 3 Hà Nội - 2018
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  “Non s«ng ViÖt Nam cã trë nªn t-¬i ®Ñp hay kh«ng  D©n téc ViÖt Nam cã b-íc tíi ®µi vinh quang ®Ó s¸nh vai víi c¸c c-êng quèc n¨m ch©u ®-îc hay kh«ng  ChÝnh lµ nhê ë mét phÇn lín ë c«ng häc tËp cña c¸c em” 9. 1945. Hồ Chí Minh
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Để tạo điều kiện học tốt trong quá trình học theo học chế tín chỉ, bài giảng Giải tích 1 cho các nhóm ngành 1, 2 và 3 được viết trên cơ sở đề cương Giải tích 1 của Bộ môn Toán cơ bản cho các em sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội (có kèm theo đề cương các nhóm ngành). Bài giảng chứa đựng đầy đủ các kiến thức cơ bản, các dạng toán quan trọng và có minh hoạ bằng các đề thi cuối kỳ từ K50 đến nay và bài giải mẫu. Các bài tập phong phú về dạng và đều có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho các em sinh viên tự học tốt. Do khối lượng bài giảng có hạn, nên không thể đưa vào lời giải của tất cả các ví dụ cũng như các đề thi của các khóa trước, mà chỉ dẫn ra lời giải của một số dạng toán tiêu biểu. Những lời giải thú vị sẽ được thực hiện trên lớp. Vì vậy cuốn bài giảng này không đặt mục đích thay thế bài giảng lý thuyết trên lớp. Đây là tài liệu có ích cho các em sinh viên muốn đạt kết quả tốt môn học này. Ghi chú. Bài giảng này nên phô tô một mặt, còn một mặt để sinh viên ghi chép
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài 1. Hàm số, dãy số...........................................................................................1 Bài 2. Giới hạn, liên tục ........................................................................................7 Bài 3. Đạo hàm và vi phân ................................................................................ 16 Bài 4. Đạo hàm và vi phân cấp cao, định lí về hàm khả vi .............................. 22 Bài 5. Định lí về hàm khả vi và ứng dụng ......................................................... 26 Bài 6. Khảo sát hàm số...................................................................................... 33 CHƯƠNG II. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài 7. Tích phân bất định................................................................................... 37 Bài 8. Tích phân xác định .................................................................................. 41 Bài 9. Tích phân xác định, tích phân suy rộng ................................................. 46 Bài 10. Tích phân suy rộng................................................................................ 53 Bài 11. Ứng dụng của tích phân xác định ........................................................ 59 CHƯƠNG III. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 12. Hàm nhiều biến ..................................................................................... 65 Bài 13. Đạo hàm riêng và vi phân ..................................................................... 71 Bài 14. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao, cực trị .......................................... 76 Bài 15. Cực trị có điều kiện ............................................................................... 83 Bài 16. Tích phân kép (Nhóm ngành 3) ............................................................ 86 Tài liệu học tập ................................................................................................... 94 Đề thi giữa kỳ và cuối kỳ năm học 2016-2017-2018....................................... 95
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN BÀI 1 (§1.1  §1.5)  Tổng quan  Phương pháp học §1.1 Mở đầu :Các tập hợp số , , ,  Đặt vấn đề I. Sơ lược về các yếu tố logic 1. Điều kiện cần và đủ PQ PQ 2. Mệnh đề tương đương P  Q 3. Chứng minh logic a) Phương pháp bắc cầu: (P  Q, Q  R)  (P  R) b) Phương pháp phủ định: (P  Q)  (Q  P ) c) Phương pháp chỉ ra phản ví dụ 4. Phương pháp quy nạp. Cần chứng minh mệnh đề T(n) đúng  n  Giả sử có +) T(1) đúng +) T(k) đúng  T(k + 1) đúng, k  . Khi đó T(n) đúng  n  . 2  n  n  1   ,n 3 3 3 Ví dụ. 1 + 2 + ... + n =  .  2  II. Các tập hợp số 1. Sự cần thiết mở rộng tập hợp số    . 2. Hệ tiên đề của tập hợp số thực a) (+, .): a, b, c  có a + b  , a.b  giao hoán, kết hợp b)  a, b   ! x  : a + x = b. c)  a, b  , a  0  ! x  : a.x = b. d)  a, b   a  b hoặc b  a 1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầu. e) Tiên đề supremum A , A bị chặn trên đều có supremum  A , A bị chặn dưới đều có infimum  Chú ý Từ trên nhận được các tính chất đã biết ở phổ thông, chẳng hạn  T/c Archimede:  a, b  ,a>0n : na > b.  trù mật trong :  a, b  ,a 0  a < x < a. b) |x| > b, b > 0  x > b hoặc x < b. c) |a + b|  |a| + |b| d) |ab| = |a||b| a a e)  ,b0 b b § 1.3 HÀM SỐ  Đặt vấn đề 1. Định nghĩa. X  , tương ứng f: X  là hàm số nếu thoả mãn: +) x  X  f(x)  +) x1 = x2  f(x1) = f(x2) Khi đó X là tập xác định, còn {f(x), x  X} là tập giá trị. Ví dụ 1. Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 128ft/s. Tên lửa này chuyển động lên hoặc xuống theo đường thẳng. Bằng thực nghiệm, độ cao của tên lửa được cho bởi công thức f(t) = 128t  16t2 Ví dụ 2. x  x 2  y 2  1 2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x Ví dụ 3. Tìm tập xác định y  cos  x Ví dụ 4. a) Tìm tập giá trị y  sin x  cos x b) (K59) Tìm tập xác định và tập giá trị y  lg(1 2sinx) .  7 ( (   k 2 ;  k 2 );( ;lg3) ) 2 6 2x 1 c) (K60) Tìm tập xác định y  arcsin . (   x  1) 1 x 3 Ví dụ 5. Tìm f(x) biết f    x  1  x 2 , x > 0. 1 x 2. Một số khái niệm a) Đồ thị của hàm y = f(x) là {(x, f(x)), x  TXĐ} b) y = f(x) chẵn   x  MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ 1. y  3 1  x   3 1  x  c) y = f(x) lẻ   x  MXĐ có f(x) = f(x) Ví dụ 2. a) y = ax  ax, a > 0. b) (K59) y  sinx  cos2 x . (không chẵn, không lẻ) d) Hàm y = f(x) tuần hoàn   T  0: f(x + T) = f(x),  x  TXĐ. Số T > 0 bé nhất để f(x + T) = f(x),  x được gọi là chu kì. Ví dụ 3. y  tan x đ) Hàm hợp: y = f(x), x = (t), có hàm hợp y = f   f((t)) e) Hàm ngược: y = f(x), TXĐ X, TGT: Y có hàm ngược x = (y)  +) (f )(y) = y,  y  Y +) (  f)(x) = x,  x  X Hàm ngược của hàm y=f(x) thường được ký hiệu là y  f 1( x ) Ví dụ 4. a) y  1  x 2 với 1  x  0, có x   1  y 2 , y  [0 ; 1]. b) (K59) f ( x )  2 x  2 x , trên (,0] . x  x2  4 ( y  log2 : [2, )  ( ,0] ). 2 3
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn § 1.4. HÀM SỐ SƠ CẤP 1. Định nghĩa. Các hàm số sơ cấp cơ bản là x, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx, và các hàm lượng giác ngược. 2. Các hàm số sơ cấp cơ bản a) y = x, TXĐ: phụ thuộc  , đồ thị  (1 ; 1),   . b) y = ax, 0 < a  1, TXĐ: , TGT: y > 0, đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi a < 1 ax + y =ax ay , ax  y = ax / a y c) y = logax, 0 < a  1, TXĐ: x > 0, TGT: , đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi a < 1 x logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x|  loga|y|, logax =  loga|x|; y y = logax có hàm ngược là x = ay. d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx. e) Các hàm lượng giác ngược    +) y = arcsinx: [1 ; 1]    ;  là hàm ngược của hàm y = sin x  2 2 +) y = arccosx: [1 ; 1]  [0 ; ] là hàm ngược của hàm y = cosx    +) y = arctanx: ( ; )    ;  là hàm ngược của hàm y = tan x  2 2 +) y = arccotx : ( ; )  (0 ; ) là hàm ngược của hàm y = cotx f) Các hàm hyperbolic e x  e x +) y = sinhx= là hàm sin-hyperbolic của x 2 e x  e x +) y = coshx= là hàm cosin-hyperbolic của x 2 sinhx e x  e x +) y = tanhx=  là hàm tan-hyperbolic của x cosh x e x  e x coshx e x  e x +) y = cothx=  là hàm cotan-hyperbolic của x sinh x e x  e  x Các hàm hyperbolic có một số tính chất tương tự các hàm lượng giác, cụ thể : +) cosh2 x  sinh2 x  1 +) cosh2x  2cosh2 x  1  2sinh2 x  1 1 1 +) 1  tanh2 x  2 +) coth2 x  1  cosh x sinh2 x 1 +) cosh2x  cosh2 x  sinh2 x +) coth2 x  1  sinh2 x +) sinh( x  y )  sinhxcosh y  sinh y cosh x +) sinh2x  2sinh x cosh x 4
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) cosh( x  y )  coshxcosh y  sinh x sinh y t anhx  tanh y 2t anhx +) tanh( x  y )  +) tanh2x  1  tanh x tanh y 1  tanh2 x 3. Hàm số sơ cấp Định nghĩa. Tạo nên từ các hàm số sơ cấp cơ bản bởi số hữu hạn các phép tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp và các hằng số Ví dụ 1. y  3 x+sinx Ví dụ 2. y = |x| x  Ví dụ 3. y  sin t 2dt . 0 § 1.5. DÃY SỐ  Đặt vấn đề 1. Định nghĩa. x1, x2, ..., xn, ..., xi  . 2. Giới hạn. a) Định nghĩa lim xn  a, a     > 0, bé tuỳ ý,  N( ):  n > N( ) thì có |xn  a| <  . n  Định nghĩa. Khi lim xn     M > 0, lớn tuỳ ý,  N:  n > N có |xn| > M, ta nói dãy số n  phân kì b) Tính chất 1) lim xn  a , a > p (a < p)  N: n > N có xn > p (xn < p) n  2) lim xn  a , xn  p (xn  p)  a  p (a  p) n  3) lim xn  a , lim xn  b  a = b. n  n  4) lim xn  a  M > 0: |xn|  M, n. n  c) Phép toán Có lim xn  a , lim y n  b , khi đó ta có n  n  xn a lim  xn  y n   a  b ; lim  xn y n   ab ; lim  , b  0, yn  0,  n. n  n  n  y n b 5
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn d) Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn.  dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn trên (dưới)  có giới hạn. 2) Tiêu chuẩn kẹp. Có xn  yn  zn, lim xn  a  lim zn  lim y n  a . n  n n  3) Tiêu chuẩn Cauchy.  lim xn  a    > 0, N( ): m, n > N có |xm  xn| <  . n  Ví dụ 1. Cho dãy xn: x1  2, xn 1  2  xn . Chứng minh rằng {xn} hội tụ và tìm giới hạn. 1 1  Ví dụ 2. Cho dãy xn: x1  0, xn 1   xn  . Chứng minh rằng {xn} hội tụ và 2 xn  tìm giới hạn. HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 6
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 2. (§1.6 - §1.8) §1.6. Giới hạn hàm số  Đặt vấn đề 1 1 a) lim 2 x  ? b) lim ? c) lim ? x 1 x 0 x x  x I. Định nghĩa  ĐN1. x0  là điểm tụ của X   (U ( xo ) \ xo )  X   ,   > 0.  ĐN2. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo lim f  x   a   (xn)  X, xn  x0, xn  x0  f(xn)  a. x  x0  ĐN3. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,   ( ) > 0: 0 < |x  x0| <  ( )  |f(x)  a| <  . x  x0 Chú ý. ĐN2  ĐN3. 1 Ví dụ 1. lim  3x  2 Ví dụ 2. lim cos x 2 x 0 x II. Tính chất và phép toán 1) Tính chất a) lim f  x   a, lim f  x   b  a = b x  x0 x  x0 b) lim f  x   a  lim  f  x   a   0 x  x0 x  x0 c) f(x) = c  lim f  x   c x  x0 d) f(x)  h(x)  g(x), x  U 0  x0  ; lim f  x   a  lim g  x   lim h  x   a x  x0 x  x0 x  x0 e) lim f  x   a , f(x)  c, x  U 0  x0  \ x0   a  c x  x0 f) lim f  x   a , a > p  f(x) > p, x  U 0  x0  \ x0  x  x0 2. Phép toán a) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x   g  x    a  b x  x0 x  x0 x  x0 f x a b) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x  .g  x    a.b và lim  , (b  0) x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 g  x  b 7
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3. Khử dạng vô định 0  a) Các dạng vô định ; ; 0. ;    ; 1 ; 00 ; 0 0  b) Khử dạng vô định. Sử dụng các phép biến đổi đại số và các giới hạn đặc biệt x sin x  1 lim  1 ; lim  1    e x 0 x x   x x 4 2 x Ví dụ 1. lim Ví dụ 2. lim  2  x  tan x 0 x x 2 4 2 x 1  x  2 Ví dụ 3. lim   x 1 x  1  1 cot2 x  Ví dụ 4. a)(K53) lim  cos x  (e 2) x 0 1 tan x  x  1  sinx x b)(K59) lim  1  cos  (1) c)(K59) lim   ( e3 ) x 0  3 x 0  1  2sin x  2 1  4x 1 2 1 d)(K62) 1) lim x 0 ln(1  3x) .( ) 2) lim x 0  ln(e  2x)  sinx . e (e ) 3 III. Giới hạn hàm hợp, một phía, vô cực 1. Giới hạn hàm hợp. lim u  x   u0 , lim f  u   a  lim f  u  x    a x  x0 u u0 x  x0 2. Giới hạn một phía. Định nghĩa 4. lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,   ( ) > 0: 0 < x  x0 <  ( )  |f(x)  a| <  . x  x0 Định nghĩa 5. lim f  x   b    > 0 bé tuỳ ý,   ( ) > 0: 0 < x0  x <  ( )  |f(x)  b| <  . x  x0 Mối liên hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn lim f  x   a  lim f  x   a  lim f  x  x  x0 x  x0 x x0 3. Giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực Định nghĩa 6. lim f  x   a   (xn)   có lim f  xn   a x  n  Định nghĩa 7. lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,  N( ) > 0: |x| > N( )  |f(x)  a| < . x  Chú ý. ĐN6  ĐN7. 8
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x2  4  x Ví dụ 1. lim Ví dụ 2. lim  x 1 x  x  5 x  x  2x 4 x  1 Ví dụ 3. lim  x x 1 x 1 Ví dụ 4(K52) 1. lim  sin x  sin 1  x 2  (0) x  2. lim  cos x  1  cos x  1 (0) x  x2  2 Ví dụ 5(K58) a) lim  cos  ( e2 ) b)(K60) xlim [ 3 x3  3x 2  x2  2x ]. (2) x   x  Định nghĩa 8. lim f  x      (xn)   có lim f  xn    x  n  Định nghĩa 9 lim f  x      N > 0 lớn tuỳ ý,   (N) > 0: |x  x0| <  (N)  |f(x)| > N. x  x0 Khi đó ta bảo f ( x ) không có giới hạn khi x  x0 . §1.7. Vô cùng bé, vô cùng lớn  Đặt vấn đề I. Vô cùng bé I. Định nghĩa.  (x) là vô cùng bé (VCB), x  x0  lim   x   0 . x  x0 2. Tính chất. a)  (x) là VCB, x  x0, c = const  c (x) là VCB khi x  x0. n b) i(x), i  1, n là VCB khi x  x0    i  x  là VCB khi x  x 0 i 1 c)  (x) là VCB khi x  x0, f(x) bị chặn trong U 0 (x0)   (x)f(x) là VCB, x  x0 3. Liên hệ giữa VCB và giới hạn Định lí. lim f ( x )  L  f(x)  L là VCB khi x  x0 (hay f(x) = L + (x),  (x) là VCB) x x0 4. So sánh VCB. Giả sử  (x), (x) là các VCB khi x  x0.  x Định nghĩa.  (x)   (x)  lim 1 x  x0   x   x Định nghĩa. (x) là VCB cùng cấp với VCB (x) khi x  x0  lim  a \{0} x  x0   x  9
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  x Định nghĩa.  (x) là VCB cấp cao hơn VCB (x) khi x  x0  lim 0 x  x0   x  Ví dụ 1. a) sinx  x, ex  1  x, ln(1 + x)  x, (1 + x)  1  x , arcsinx  x , arctanx  x khi x  0 1 ex b)(K55) Cho   x   ,   x   e  1  x  x . 2 Chứng minh rằng   x    x  khi x  0. 1 c)(K55) Cho   x   e  1  2x  2 x ,   x   ex . Chứng minh rằng   x    x  khi x  0. d)(K59) So sánh hai VCB sau trong quá trình x 1 : 2   x   tan( x )  e( x 1)  1,   x  1 c os x  lnx . (2 VCB cùng bậc) 5. Ứng dụng tìm giới hạn  x  x a)  (x)    x  , (x)    x  , x  x0  lim  lim x  x0   x  x  x0   x   e x  1 tan x 1  3x 4 1  4x  1 3 Ví dụ 2. lim Ví dụ 3(K53) lim ( 4) x 0 sin2 x x 0 1 x  1 b) (x) là VCB cấp cao hơn  (x) khi x  x0   (x) +  (x)   (x) x  sin x Ví dụ 4. lim x 0 x3 c) Quy tắc ngắt bỏ VCB :  (x), (x) là các VCB khi x  x0; m  x    k  x  ,  (x) là VCB có cấp thấp nhất; 1 k 1  x  x n  x   k  x  ,  (x) là VCB có cấp thấp nhất 1  lim x  x0   x   lim 1 x  x0 1  x  k 1 x  sin3 x  tan4 x Ví dụ 5. a) lim x 0 4x  x 4  5x8 x 2 ln(1  4 x ) x ln(1  3 x 2 ) b)(K56) 1) lim (2) 2) lim (3) x 0 2 x 3  3 tan x 4 x 0 x 3  2sin4 x x 3 (e2 x  1) x 3 (e3 x  1) 3) lim (2) 4) lim (3) x 0 x 4  2x 5 x 0 x 4  3x5 ln(cos3x ) 3 c)(K61) 1) Tìm a, để lim 1 ( a   ,  2 ) x 0 ax 2 10
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 x x 5 2) lim ( ) (e5 ) x 5 5 II. Vô cùng lớn 1. Định nghĩa. f(x) xác định U 0 (x0) (có thể trừ x0), f(x) là vô cùng lớn (VCL) khi x  x0  lim f  x    x  x0 Chú ý. Hàm là VCL  không bị chặn  Ví dụ 6. f(x) = x sinx là không bị chặn nhưng không phải là VCL. 2. Liên hệ giữa VCB và VCL 1 a) f(x) là VCB, x  x0 và f(x)  0  là VCL khi x  x0. f x 1 b) f(x) là VCL, x  x0  là VCB khi x  x0. f x 3. So sánh các VCL. Giả sử A(x), B(x) là các VCL khi x  x0, Ax a) A(x) là VCL cấp cao hơn VCL B(x), x  x0  lim  x  x0 B  x  Ax b) A(x), B(x) là các VCL cùng cấp, x  x0  lim a 0 x  x0 B  x  Ax c) A(x), B(x) là các VCL tương đương, x  x0  lim  1. x  x0 B  x  4. Ứng dụng tìm giới hạn a) Cho các VCL tương đương A(x)  A  x  , B(x)  B  x  , Ax Ax x  x0  lim  lim x  x0 B  x  x  x0 B  x  b) Quy tắc ngắt bỏ VCL : Cho A(x), B(x) là các VCL khi x  x0; m Ax   Ak  x  , A (x) là VCL có cấp cao nhất; 1 k 1 n Bx   Bk  x  , B (x) là VCL có cấp cao nhất 1 k 1 Ax A x  lim  lim 1 x  x0 B  x  x  x0 B1  x  11
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 9x  x  x  2 4 3 9 Ví dụ 7. lim   3x 2  x  1 x  2009 x 4 2009 Ví dụ 8. Tính giới hạn 1 1  cot( x 2 1) cot(1 x 2 ) a)(K54) 1. lim(2  x ) (e 2) 2. lim (2  x ) 2 (e ) x 1 x 1 (1  4 x )ln(1  2 x ) (1  9 x )ln(1  3 x ) 3. lim ( 2ln 4 ) 4. lim ( 2ln3 ) x 0 x  2x2 3 3x  4x x 0 2 3 b)(K58) 1) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x   : 1 1 1  ( x )  ln(1  )sin và  (x)  2 , (a=1) x x ax 2) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x  0 :  ( x )  ln(1  ax 2 ) và  (x)  ( 1  x 2  1) , (a=-0,5) 1  t anx  1  sinx 1 3) lim  , ( ) x 0 ln(1  x 3 ) 4 1 c)(K60) lim (e x  3 x ) sinx ( e4 ) x 0 d)(K61) Tìm a, để f ( x )  ln(3x  5x ) và g ( x )  ax  là hai VCL tương đươpng khi x   ( a  ln5,  1) § 1.8. HÀM SỐ LIÊN TỤC  Đặt vấn đề I. Hàm liên tục 1. Định nghĩa. f(x) liên tục tại x0  +) f(x) xác định trên U 0 (x0) +) lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f  x   0 ) x x0 x 0 f(x) liên tục trái tại x0  +) f(x) xác định trên U 0 (x0)  {x < x0} +) lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 Tương tự ta có ĐN liên tục phải. Định nghĩa. f(x) liên tục trên (a ; b)  f(x) liên tục tại  x  (a ; b) f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) liên tục trong (a ; b), liên tục trái tại b và liên tục phải tại a. 12
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  1  x sin , x0 Ví dụ 1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0: f  x    x a, x 0 Ví dụ 2.(K51)  1  sin  x  1, x 1 a) Tìm a để y   1 liên tục tại x = 1. (  a)  2 x 1  1 a, x 1   1  sin  x  1 , x  1 b) Tìm a để y   1 liên tục tại x = 1. (  a)  2 x 1  1 a, x  1  Ví dụ 3. a)(K55) a sin  arccot x  , x  0 1. Tìm a để y   liên tục tại x = 0. (a = 0)  2 cosln x  cosln x  x , x  0 a cos  arctan x  , x  0 2. Tìm a để y   liên tục tại x = 0. (a = 0). sinln  x  x   sinln x, x  0 2  ln(1  x )  sinx  x0 1 b)(K59) 1. Tìm a để y   x sin x liên tục tại x = 0. (  ).  2 a x 0 1  cos2x  x0 2. Xét tính liên tục f ( x )   ln(1  x 2 ) . (chỉ liên tục tại x  0 ).  x 0  0  x  cos nêu | x | 1 c)(K60) Xét tính liên tục f ( x)   2 . ( \{  1} ).  | x  1| nêu | x | 1  x  cos nêu | x | 1 d)(K62) Tìm a để hàm số sau liên tục trên : f ( x)   2 . (-1 và 4).  | x  1| nêu | x | 1 2. Tính liên tục của các hàm sơ cấp. Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên các khoảng mà hàm số đó xác định. 13
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3. Phép toán. Cho f(x), g(x) liên tục tại x0  f(x)  g(x) liên tục tại x0, f(x)g(x) liên f x tục tại x0 và liên tục tại x0 nếu g(x0)  0 g x 4. Ý nghĩa. f(x) liên tục trên [a ; b]  đồ thị là đường liền nét. 5. Tính chất Định lí 1. (Weierstrass 1) f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) bị chặn trên [a ; b] Định lí 2. (Weierstrass 2) f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên [a ; b] Định lí 3 (Bolzano-Cauchy). f(x) liên tục trên [a ; b], M = max f , N = min f ,   a ; b  a ; b  [m ; M]   c  [a ; b]: f(c) =  . Hệ quả. f(x) liên tục trên [a ; b], f(a)f(b) < 0   c  (a ; b): f(c) = 0. 6. Điểm gián đoạn Định nghĩa. f(x) xác định U 0 (x0), gián đoạn tại x0  f(x) không liên tục tại x0. f(x) xác định U 0 (x0)\{x0} thì ta bảo f(x) gián đoạn tại x0 Định nghĩa. Điểm gián đoạn x0 của hàm f(x) là điểm gián đoạn loại 1   lim f  x  ,  lim f  x  . x  x0 x  x0 Các điểm gián đoạn còn lại được gọi là điểm gián đoạn loại 2. 1 sin x Ví dụ 4. f  x   Ví dụ 5. f  x   e x x Ví dụ 6(K54) Phân loại điểm gián đoạn của hàm số 1 a) f ( x )  x 1 (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) 1 2 x 1 b) f ( x )  x 1 (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) 1 3 x Ví dụ 7(K56) Các điểm sau là các điểm gián đoạn loại gì của hàm số 1  1 a) x = 0 ; f ( x )  (loại 1) b) x  , f (x)  (loại 1) 23 cot x 2 3  2tan x Ví dụ 8 a)(K60) Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số 14
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2 sinx 1. y  2 x 2  (x = 2 là loại 2; x = 0 là loại 1) x 1 1 x 2. y  21 x e x (x = 1; x = 0 là loại 2) b)(K61) 1. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số :  1  x  0, 9 y   2  log3 x (x = 0 là gi đ bỏ được; x = 9 là gi đ loại 2)  x  0, 9  3 6 2. Tìm điểm gián đoạn của hàm số : f ( x )  lim , x ( x  1 ) n  2  x 2n Định nghĩa. f(x) liên tục từng khúc trên [a;b] khi [a;b] chia thành hữu hạn đoạn và hàm f(x) liên tục trên mỗi đoạn này. II. Hàm số liên tục đều Định nghĩa. f(x) liên tục đều trên X    > 0 bé tuỳ ý.   ( ) > 0,  x1, x2  X, |x1  x2| <  ( )  |f(x1)  f(x2)| <  . 1  , x  (0 ; 1] Ví dụ 8. a) y = x + 2. b) y   x 0, x 0 Định lí (Cantor). f(x) liên tục trong [a ; b]  f(x) liên tục đều trong [a ; b] 15
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 3. §1.9. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN  Đặt vấn đề I. Định nghĩa. f(x) xác định trong U 0  x0  , f'(x0) = a f ( x0  x )  f ( x0 )  lim  a x 0 x Ví dụ 1. y = 2010, tính y' Ví dụ 2. y = x3, tính y’ Ví dụ 3. y = ax, 0 < a  1, tính y' Ví dụ 4. y = |x|, xét y'(0), y'(-1) a) Ý nghĩa hình học f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại x = x0. b) Ý nghĩa cơ học. Xét chất điểm M chuyển động thẳng, không đều với quãng đường là S(t) tính từ điểm O nào đó. Khi đó vận tốc tức thời S (t )  S (t 0 ) tại t0 là v (t0 )  lim  S(t0 ) t  t0 t  t0 Ví dụ 5. Một người đi xe máy với vận tốc 30km/h trong nửa đầu tiên của đoạn đường và 20km/h trong nửa thứ hai. Hỏi vận tốc trung bình là bao nhiêu? (24km/h) Ví dụ 6. Một tên lửa bắn thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 m/s và đạt độ cao trong t giây là S = tv0  16t2 a) Tìm vận tốc ở thời điểm t b) Mất bao lâu để tên lửa đạt tới độ cao tối đa? c) Tính vận tốc tên lửa khi chạm đất d) Vận tốc ban đầu là bao nhiêu để tên lửa chạm đất sau khi bắn 15 giây. dy c) Ý nghĩa thực tế. là suất biến đổi của y theo x. dx Ví dụ 7. Cho hình tròn bán kính r, ta có S = r2, ta có S' = 2r. Như vậy suất biến đổi diện tích của một hình tròn theo bán kính chính bằng chu vi của nó. Ví dụ 8. Một cái thang dài 13ft đứng dựa vào bức tường thì chân thang bị trượt ra xa bức tường với tốc độ không đổi 6ft/s. Đầu trên của chiếc thang chuyển động xuống dưới nhanh như thế nào khi chân thang cách tường 5ft? Ví dụ 9. Người ta hút dầu ra khỏi thùng để làm sạch nó. Biết sau khi hút t phút lượng dầu còn lại trong thùng là V = 40(50  t)2 lít. a) Tìm lượng dầu hút trung bình trong 20 phút đầu tiên. 40.502  40.302 ( v tb   3200 (l/p)) 20 16

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.