zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình kinh tế chất lượng - ôn lại thống kê - 3

Chia sẻ: Muay Thai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

115
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong phần này chúng ta trình bày hai thủ tục có thể thay thế nhau để ước lượng các thông số chưa biết của phân phối xác suất mà các quan sát x1, x2, . . . , xn được rút ra từ đó. trong Phụ lục, Phần 2.A.3, ta mô tả thêm một phương pháp nâng cao. trong phần thảo luận tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng nhà khảo sát biết được bản chất của phân phối xác suất nhưng chưa biết các giá trị của các thông số. Phương pháp Momen Phương pháp lâu đời nhất để...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình kinh tế chất lượng - ôn lại thống kê - 3

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Trong phaàn naøy chuùng ta trình baøy hai thuû tuïc coù theå thay theá nhau ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá chöa bieát cuûa phaân phoái xaùc suaát maø caùc quan saùt x1, x2, . . . , xn ñöôïc ruùt ra töø ñoù. trong Phuï luïc, Phaàn 2.A.3, ta moâ taû theâm moät phöông phaùp naâng cao. trong phaàn thaûo luaän tieáp theo, chuùng ta seõ giaû söû raèng nhaø khaûo saùt bieát ñöôïc baûn chaát cuûa phaân phoái xaùc suaát nhöng chöa bieát caùc giaù trò cuûa caùc thoâng soá. Phöông phaùp Momen Phöông phaùp laâu ñôøi nhaát ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá laø phöông phaùp momen. Neáu moät phaân phoái coù k thoâng soá chöa bieát, thuû tuïc nhaèm tính toaùn heä soá caùc momen maãu k baäc nhaát cuûa phaân phoái vaø söû duïng chuùng nhö laø caùc öôùc löôïng cuûa caùc momen toång theå töông öùng. Trong Phaàn 2.2, chuùng toâi ñaõ coù löu yù raèng trung bình toång theå cuûa phaân phoái (µ) cuõng ñöôïc ñeà caäp ñeán nhö laø momen baäc nhaát cuûa phaân phoái xung quanh giaù trò goác. Ñoù laø giaù trò trung bình coù troïng soá cuûa taát caû caùc x coù theå coù, caùc troïng soá laø caùc xaùc _ suaát töông öùng. Trung bình maãu (x) laø trò trung bình soá hoïc cuûa caùc quan saùt maãu x1, x2, . _ . . , xn . Baèng phöông phaùp caùc momen, x ñöôïc tính nhö laø moät öôùc löôïng cuûa µ. Phöông sai cuûa moät bieán ngaãu nhieân laø σ2 = E [(X – µ)2] vaø ñöôïc bieát nhö laø momen baäc hai xung quanh giaù trò trung bình. Phöông sai maãu (s2), ñöôïc ñònh nghóa trong Phöông trình (2.9), ñöôïc söû duïng nhö laø moät öôùc löôïng cuûa phöông sai toång theå cuûa phaân phoái. Trong nhieàu tröôøng hôïp (ví duï nhö, phaân phoái chuaån), trung bình vaø phöông sai ñaëc tröng hoaøn toaøn cho moät phaân phoái, vaø do ñoù khoâng coù nhu caàu phaûi söû duïng caùc momen baäc cao hôn nhö laø giaù trò kyø voïng cuûa (X – µ)3. Chuùng ta seõ thaáy trong Phaàn 2.6 raèng trung bình maãu coù moät soá tính chaát mong muoán. Cuøng vôùi nguyeân lyù naøy coù theå ñöôïc aùp duïng ñeå öôùc löôïng heä soá cuûa söï töông quan giöõa hai bieán ngaãu nhieân X vaø Y (xem Ñònh nghóa 2.5). Goïi x1, x2, . . . , xn vaø y1, y2, . . . , yn laø caùc maãu quan saùt ngaãu nhieân ñoäc laäp (vôùi côõ maãu n) töông öùng vôùi X vaø Y. Phöông sai toång theå giöõa chuùng ñöôïc cho trong Ñònh nghóa 2.4 laø E [(X – µx) (Y – µy)], trong ñoù µx vaø µy laø caùc trung bình toång theå töông öùng cuûa X vaø Y. Moät trò öôùc löôïng cuûa thoâng soá naøy ñöôïc cho bôûi phöông sai maãu 1 ∑ (x – x) (y – y) _ _ (2.10) Sxy = Cov(X, Y) = i i n–1 Neáu caùc caëp giaù trò cuûa xi vaø yi ñöôïc veõ ra ñoà thò, chuùng ta coù ñöôïc moät ñoà thò nhö Hình 2.7, trong ñoù X vaø Y coù töông quan thuaän vôùi nhau (nghóa laø, X vaø Y noùi chung laø cuøng dòch chuyeån theo cuøng moät höôùng). Chuùng ta ñaõ coù ñeà caäp raèng moät ñoà thò ñieåm nhö vaäy ñöôïc goïi laø bieåu ñoà phaân taùn. Hình 2.6 cuõng töông töï nhö vaäy ngoaïi tröø vieäc trung bình veõ nhöõng ñieåm ñeà caäp ñeán toång theå, trong khi ôû ñaây noù laïi ñeà caäp ñeán maãu. Ramu Ramanathan 25 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ __ Baèng caùch chuyeån ñoåi caùc truïc thaønh caùc ñöôøng neùt ñöùt xuaát phaùt töø ñieåm (x,y), chuùng ta _ _ __ coù theå thaáy raèng (xi – x) vaø (yi – y) laø nhöõng khoaûng caùch töø ñieåm trung bình (x,y). Hình 2.7 Moät Bieåu ñoà Phaân taùn ñoái vôùi Töông quan Thuaän Y 1 2 _ y 4 3 X _ x 0 Hình 2.8 Moät Bieåu ñoà Phaân taùn ñoái vôùi Moái quan heä xaáp xæ baäc hai Y 1 2 _ y 3 4 X _ x 0 Ramu Ramanathan 26 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Neáu moái quan heä laø döông, chuùng ta seõ kyø voïng haàu heát caùc ñieåm ñeàu naèm trong _ _ caùc phaàn tö thöù nhaát vaø thöù ba maø trong ñoù tích soá (xi – x) (yi – y) seõ döông. Do caùc tích soá aâm cuûa caùc ñieåm trong phaàn tö thöù hai vaø thöù tö haàu nhö bò laán aùt bôûi caùc tích soá döông, chuùng ta seõ kyø voïng ñoàng phöông sai laø döông. Baèng lyù luaän töông töï, chuùng ta coù theå thaáy raèng neáu moái quan heä laø aâm, haàu heát caùc ñieåm seõ naèm trong phaàn tö thöù hai vaø thöù tö, taïo ra moät ñoàng phöông sai aâm. Ñieàu naøy cho thaáy raèng neáu X vaø Y coù töông quan thuaän, thì ñoàng phöông sai vaø do ñoù töông quan giöõa chuùng cuõng seõ thuaän. Moät moái quan heä aâm seõ cho moät heä soá töông quan aâm. Heä soá töông quan maãu ñöôïc cho bôûi _ _ sxy ∑ (xi – x) (yi – y) (2.11) rxy = = _ _ sxsy [∑ (x – x)2]1/2 [∑ (y – y)2]1/2 i i trong ñoù sx vaø sy laø caùc ñoä leäch chuaån maãu (caên baäc hai cuûa caùc phöông sai) töông öùng cuûa X vaø Y. Trong Phaàn 2.3 chuùng ta ñaõ coù ñeà caäp ñeán vaán ñeà heä soá töông quan laø moät ñaïi löôïng ño löôøng moái quan heä tuyeán tính giöõa X vaø Y. Hình 2.8 laø moät bieåu ñoà phaân taùn cho ta thaáy tröôøng hôïp khi Y laø moät haøm xaáp xæ baäc hai cuûa X. chuùng toâi löu yù raèng caùc _ _ ñieåm ñöôïc phaân taùn trong caû boán phaàn tö cuûa bieåu ñoà, vaø do ñoù toång ∑ (xi – x) (yi – y) haàu nhö raát nhoû, cho moät giaù trò rxy nhoû. Vì vaäy, moät rxy nhoû khoâng coù nghóa laø X vaø Y khoâng coù quan heä chaët cheõ vôùi nhau, maø coù nghóa laø chuùng khoâng coù quan heä tuyeán tính chaët cheõ. Baøi taäp 2.24 minh hoïa khaùi nieäm söï töông quan ñöôïc aùp duïng cho ñöôøng cong Phillips. Ñoái vôùi nhöõng ngöôøi söû duïng GRETL, Phaàn Thöïc haønh treân Maùy tính 2.3 (xem Phuï luïc D, Baûng D.1) chöùng toû raèng vieäc tính toaùn caùc ñoàng phöông sai vaø töông quan giöõa ñieåm trung bình ôû ñaïi hoïc vaø ñieåm trung bình ôû trung hoïc theo döõ lieäu trong DATA 2-2, ñöôïc moâ taû trong Phuï luïc D. Haõy söû duïng chöông trình rieâng cuûa baïn vôùi DATA 2-2 ñeå xaùc minh laïi caùc keát quaû ñöôïc trình baøy ôû ñaây. Baûng 2.8 Soá lieäu Keát quaû töø Maùy tính ñöôïc giaûi thích töøng phaàn minh hoïa cho caùc trò thoáng keâ toùm taét khaùc nhau. Caùc chuù giaûi ñöôïc qui ñònh ôû daïng rieâng khaùc vôùi daïng ñöôïc söû duïng cho caùc keát quaû maùy tính. x = colgpa = Grade point average in College y = hsgpa = Grade point average in High School Correlation between x and y = 0.406662 Summary Statistics, using the observations 1 – 427 Ramu Ramanathan 27 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Variable MEAN MEDIAN MIN MAX x 2.7855 2.79 0.85 3.97 y 3.55785 3.59 2.29 4.5 Variable S.D. C.V. SKEW EXCSKURT x 0.54082 0.194155 -0.203647 -0.0517458 y 0.419577 0.11793 -0.401241 -0.220107 Min vaø Max laø nhöõng giaù trò nhoû nhaát vaø lôùn nhaát trong maãu. Median laø giaù trò cuûa x hoaëc y tính theo moãi beân cuûa giaù trò naøy seõ coù 50% caùc quan saùt. C.V. laø heä soá bieán thieân (MEAN/S.D.) ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong Phaàn 2.2. SKEW laø moät ñaïi löôïng ño löôøng söï phaân phoái cuûa bieán sai leäch bao xa so vôùi ñieåm ñoái xöùng (trong baøi naøy goïi laø ñoä leäch skewness). Moät giaù trò baèng khoâng cho bieát ñieåm ñoái xöùng xung quanh giaù trò khoâng. Moät giaù trò döông cho bieát ñoä leäch veà beân phaûi vôùi moät nhaùnh daøi theo höôùng naøy. Moät giaù trò aâm cho bieát ñoä leäch ñoái xöùng skewness sang beân traùi vôùi moät nhaùnh daøi theo höôùng naøy. EXCKURT laø ñoä leäch kurtosis, nghóa laø, ñoä kurtosis –3. Kurtosis laø moät ñaïi löôïng ño löôøng ñoä roäng hình choùp cuûa moät phaân phoái. Phaân phoái chuaån coù kurtosis laø 3. Moät phaân phoái daøn traûi roäng seõ coù moät giaù trò kurtosis aâm, vaø moät phaân phoái heïp seõ coù moät giaù trò kurtosis döông. Ñoä leäch skewness vaø kurtosis khoâng ñöôïc thaûo luaän trong baøi vì chuùng khoâng ñöôïc söû duïng nhieàu trong kinh teá löôïng. Neáu muoán bieát theâm chi tieát veà caùc ñaïi löôïng naøy, haõy xem saùch cuûa Ramanathan (1993, Phaàn 3.5). Moät phieân baûn giaûi thích keát quaû ñöôïc trình baøy ôû Baûng 2.8. Baûng cuõng cung caáp theâm caùc ñaïi löôïng thoáng keâ toùm taét chöa ñöôïc thaûo luaän ôû phaàn treân. Phöông Phaùp Bình Phöông Toái Thieåu (hay Bình Phöông Toái Thieåu Thoâng Thöôøng) Trong kinh teá löôïng, phöông phaùp ñöôïc söû duïng phoå bieán nhaát ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá laø phöông phaùp bình phöông toái thieåu (cuõng coøn ñöôïc bieát ñeán döôùi teân bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng hay OLS). Maëc duø noù ñöôïc söû duïng chuû yeáu ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá cuûa moät moâ hình hoài qui daïng PRICE = α + βSQFT + u ñaõ gaëp phaûi trong Chöông 1, phöông phaùp naøy coøn raát höõu ích trong tröôøng hôïp öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa moät bieán ñôn ngaãu nhieân X. Töøng quan saùt xi coù theå ñöôïc xem nhö moät giaù trò öôùc löôïng cuûa maãu trung bình µ vì E(xi) = µ. Sai soá trong giaù trò öôùc löôïng naøy laø ei = xi – µ (töùc laø, xi = µ + ei). Xem xeùt toång bình phöông cuûa sai soá naøy trong toång theå maãu. Töùc laø, ñaët ESS (µ) = ∑ ei2 = ∑ (xi – µ)2. Phöông phaùp bình phöông toái thieåu choïn giaù trò öôùc löôïng µ maø toång bình phöông sai soá maãu laø nhoû nhaát. Vieäc bình phöông caùc sai soá giaûi quyeát ñöôïc hai vaán ñeà. Ñaàu tieân, noù loaïi boû daáu cuûa sai soá. Vì vaäy, nhöõng sai soá coù giaù trò döông vaø aâm ñöôïc xem xeùt nhö nhau. Thöù hai, vieäc bình phöông seõ loaïi boû nhöõng sai soá lôùn bôûi vì nhöõng sai soá nhö theá bò phoùng ñaïi leân nhieàu khi laáy bình phöông. Ramu Ramanathan 28 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Ñeå coù ñöôïc µ , öôùc löôïng µ baèng caùch toái thieåu ESS, vieát ESS nhö sau: ˆ ESS ( µ ) = ∑ (xi – µ )2 = ∑ (xi – x + x – µ )2 ˆ ˆ ˆ 2 2 = ∑ (xi – x ) + ∑ ( x – µ ) + 2∑ ( x – µ )(xi – x ) ˆ ˆ 2 2 = ∑ (xi – x ) + ∑ ( x – µ ) ˆ Bôûi vì x – µ trong soá haïng thöù ba laø moät haèng soá, neân noù coù theå ñöôïc loaïi ra (xem Phuï ˆ Luïc 2.A.1) vaø, theo Tính Chaát 2.A.4, soá haïng thöù ba baèng khoâng. Do trong soá haïng ñaàu khoâng coù µ , neân chuùng ta thaáy raèng ESS ñöôïc toái thieåu ñoái vôùi vieäc löïa choïn µ neáu vaø ˆ ˆ chæ neáu chuùng ta cho µ = x , ñieàu naøy noù coù theå laøm cho soá haïng thöù hai baèng khoâng. Do ˆ ñoù, giaù trò öôùc löôïng bình phöông toái thieåu cuûa µ laø giaù trò trung bình maãu x . Trong phaàn phuï luïc cuûa chöông, chuùng ta seõ thaûo luaän moät thuû tuïc khaùc, hieän ñaïi hôn: giaù trò öôùc löôïng thích hôïp cöïc ñaïi (MLE). Nhöõng ngöôøi ñoïc coù quan taâm neân ñoïc phaàn naøy. (Ñeå thaáy ñöôïc vieäc söû duïng nhöõng phöông phaùp dieãn taû trong phaàn naøy trong öôùc löôïng caùc hoài qui nhö theá naøo, xem tieáp Phaàn 3.1 vaø 3.2.) 2.6 Caùc Tính Chaát Cuûa Öôùc Löôïng Trong phaàn tröôùc chuùng ta ñaõ thaûo luaän hai thuû tuïc öôùc löôïng maø noù choïn trung bình maãu laø öôùc löôïng cuûa µ. Trong ví duï chieàu cao cuûa ngöôøi trong Phaàn 2.5, moät öôùc löôïng thay theá ñoù laø laáy caùc chieàu cao cuûa nhöõng ngöôøi cao nhaát vaø nhöõng ngöôøi thaáp nhaát vaø laáy trung bình. Öôùc löôïng naøo toát hôn? Ñeå coù theå traû lôøi ñöôïc nhöõng caâu hoûi loaïi nhö theá naøy, chuùng ta caàn moät vaøi tieâu chí trong vieäc choïn löïa giöõa nhöõng öôùc löôïng khaùc nhau. Moät vaøi tieâu chuaån ñaõ ñöôïc thieát laäp ñeå ñaùnh giaù “söï thích hôïp” cuûa moät öôùc löôïng, nhöng trong nhöõng phaàn sau chuùng ta chæ thaûo luaän caùc khaùi nieäm ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân nhaát trong kinh teá löôïng. Moät vaøi khaùi nieäm trong ñoù aùp duïng ñöôïc cho nhöõng côõ maãu nhoû vaø nhöõng khaùi nieäm khaùc chæ thích hôïp ñoái vôùi nhöõng côõ maãu lôùn. Nhöõng Tính Chaát Cuûa Öôùc Löôïng Côõ Maãu Nhoû ˆ Kyù hieäu chuaån cho thoâng soá chöa bieát laø θ vaø kyù hieäu moät giaù trò öôùc löôïng laø θ . Neân ˆ nhaán maïnh raèng θ laø moät haøm soá cuûa nhöõng quan saùt x1, x2, … , xn vaø noù khoâng phuï thuoäc vaøo baát kyø thoâng soá chöa bieát naøo. Do ñoù moät giaù trò öôùc löôïng nhö vaäy laø moät trò thoáng ˆ keâ maãu. Tuy nhieân, bôûi vì x laø nhöõng bieán ngaãu nhieân, neân θ cuõng ngaãu nhieân. ˆ KHOÂNG THIEÂN LEÄCH Bôûi vì θ laø moät bieán ngaãu nhieân, neân noù coù moät phaân phoái xaùc ˆ suaát vôùi giaù trò trung bình naøo ñoù, goïi laø E( θ ). Neáu giaù trò trung bình naøy töông ñöông Ramu Ramanathan 29 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ vôùi thoâng soá chöa bieát θ, chuùng ta noùi raèng giaù trò öôùc löôïng laø khoâng thieân leäch. Do vaäy, chuùng ta coù ñònh nghóa sau. ÑÒNH NGHÓA 2.7 (Khoâng Thieân Leäch) ˆ ñöôïc goïi laø giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa θ neáu E( θ ) = θ. ˆ Moät öôùc löôïng θ Neáu söï caân baèng naøy khoâng ñöôïc duy trì, thì öôùc löôïng ñöôïc goïi laø bò thieân leäch vaø ñoä ˆ thieân leäch laø E( θ ) - θ. ˆ Maëc duø vôùi moät cuoäc thöû nghieäm cho tröôùc θ coù theå khoâng baèng θ, neáu chuùng ta ˆ laëp laïi moät löôïng lôùn soá laàn thöû vaø tính toaùn θ töøng laàn moät, thì trò trung bình cuûa nhöõng giaù trò naøy seõ laø θ neáu giaù trò öôùc löôïng laø khoâng thieân leäch. Nhö ñaõ moâ taû trong Phaàn 2.4, neáu chuùng ta giöõ coá ñònh côõ maãu ôû n, thöïc hieän nhieàu laàn thí nghieäm naøy, tính toaùn θˆ cho töøng laàn, vaø hình thaønh moät phaân phoái taàn suaát, thì chuùng ta thu ñöôïc phaân phoái ˆ maãu cuûa θ . Tính khoâng thieân leäch ñoøi hoûi trò trung bình cuûa phaân phoái naøy laø giaù trò θ thöïc. HIEÄU QUAÛ Trong khi tính thieân leäch roõ raøng laø moät ñaëc tính mong muoán cuûa baát kyø öôùc löôïng naøo, chuùng ta cuõng caàn theâm tieâu chuaån bôûi vì coù theå xaây döïng moät soá luôïng khoâng giôùi haïn nhöõng öôùc löôïng khoâng thieân leäch. Trong ví duï ño löôøng chieàu cao, chuùng ta bieát raèng giaù trò trung bình maãu x khoâng thieân leäch bôûi vì E( x ) = µ. Nhöng giaù trò öôùc löôïng khaùc, vöøa ñöôïc ñöa ra tröôùc ñaây, tính ñoä cao trung bình cuûa nhöõng ngöôøi cao nhaát (goïi laø xmax) vaø cuûa nhöõng ngöôøi thaáp nhaát (goïi laø xmin) cuõng khoâng thieân leäch. ˆ ˆ ˆ Ñaët θ = 1 (xmax + xmin). Tieáp theo E( θ ) = 1 [E(xmax) + E(xmin)] = µ, vaø do vaäy θ cuõng 2 2 khoâng thieân leäch. Thaät deã daøng chöùng minh raèng baát kyø giaù trò trung bình troïng soá naøo cuûa x laø moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa µ, mieãn laø caùc troïng soá khoâng ngaãu nhieân vaø coù toång baèng 1. Do ñoù chuùng ta caàn theâm tieâu chí ñeå phaân bieät giöõa hai öôùc löôïng khoâng thieân leäch. Chuùng ta ñaõ bieát raèng phöông sai cuûa moät bieán ngaãu nhieân laø moät ñaïi löôïng ño löôøng söï phaân taùn cuûa noù xung quanh giaù trò trung bình. Veà maët trung bình, moät phöông sai nhoû hôn coù nghóa laø caùc giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân seõ gaàn vôùi giaù trò trung bình hôn nhöõng giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân khaùc vôùi cuøng giaù trò trung bình nhöng coù phöông sai cao hôn. Ñieàu naøy gôïi yù raèng chuùng ta coù theå söû duïng phöông sai cuûa hai öôùc löôïng khoâng thieân leäch nhö laø giaù trò trung bình cuûa vieäc choïn löïa giöõa hai giaù trò. Xeùt veà trung bình, giaù trò öôùc löôïng vôùi phöông sai nhoû hôn roõ raøng ñöôïc mong muoán hôn vì noù gaàn vôùi giaù trò trung bình thöïc θ. Ñoù chính laø khaùi nieäm hieäu quaû. ÑÒNH NGHÓA 2.8 (Hieäu Quaû) ˆ ˆ ˆ a. Ñaët θ1 vaø θ 2 laø hai öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa thoâng soá θ. Neáu Var ( θ1 ) < Var ˆ ˆ ˆ ( θ ), thì chuùng ta noùi raèng θ hieäu quaû hôn θ . 2 1 2 Ramu Ramanathan 30 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ ˆ ˆ b. Tæ soá [Var ( θ1 )]/[Var ( θ 2 )] ñöôïc goïi laø hieäu quaû töông ñoái. c. Giöõa taát caû nhöõng giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa θ, giaù trò vôùi phöông sai nhoû nhaát ñöôïc goïi laø öôùc löôïng khoâng thieân leäch coù phöông sai toái thieåu. ˆ Chuùng ta haõy öùng duïng ñònh nghóa naøy vaøo ví duï chieàu cao. Ñaët θ1 laø trung bình ˆ maãu vaø θ 2 laø trung bình ñoä cao cuûa nhöõng ngöôøi cao nhaát vaø nhöõng ngöôøi thaáp nhaát. Töø ˆ ˆ Tính chaát 2.10a, Var ( θ ) = σ2/n vaø Var ( θ ) = σ2/2. Neáu côõ maãu lôùn hôn hai, θ coù ˆ 1 2 1 ˆ ˆ phöông sai nhoû nhaát vaø doù ñoù roõ raøng seõ ñöôïc öa thích hôn. Do vaäy, θ1 hieäu quaû hôn θ 2 . SAI SOÁ BÌNH PHÖÔNG TRUNG BÌNH Xem xeùt hai öôùc löôïng: Moät khoâng thieân leäch vaø giaù trò kia maëc duø thieân leäch nhöng laïi coù phöông sai nhoû hôn nhieàu, haøm yù noùi raèng, veà maët trung bình, noù coù theå gaàn vôùi giaù trò trung bình thöïc hôn laø giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch. Trong tröôøng hôïp naøy, chuùng ta coù theå saün saøng cho pheùp moät vaøi sai leäch ñeå coù theå coù ñöôïc lôïi veà phöông dieän phöông sai. Moät phöông phaùp cho pheùp vieäc ñaùnh ñoåi naøy giöõa söï khoâng thieân leäch vaø phöông sai laø sai soá bình phöông trung bình. ÑÒNH NGHÓA 2.9 (Sai Soá Bình Phöông Trung Bình) ˆ a. Sai soá bình phöông trung bình cuûa moät öôùc löôïng θ ñöôïc ñònh nghóa laø MSE (θ) = E[( θ - θ)2], ñoù laø giaù trò kyø voïng cuûa bình phöông ñoä leäch cuûa θ töø θ. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b. Neáu θ1 vaø θ 2 laø hai öôùc löôïng thay theá cuûa θ vaø MSE ( θ1 ) < MSE ( θ 2 ), thì θ1 ñöôïc ˆ goïi laø hieäu quaû bình phöông trung bình so vôùi θ . Neáu caû hai giaù trò ñeàu khoâng thieân 2 ˆ leäch, thì θ1 seõ hieäu quaû hôn, nhö trong Ñònh Nghóa 2.8a. c. Giöõa taát caû caùc öôùc löôïng coù theå coù cuûa θ, giaù trò vôùi sai soá bình phöông trung bình nhoû nhaát ñöôïc goïi laø giaù trò öôùc löôïng sai soá bình phöông trung bình toái thieåu. Deã daøng chæ ra ñöôïc sai soá bình phöông trung bình töông ñöông vôùi toång phöông sai ˆ vaø bình phöông cuûa nhöõng ñoä thieân leäch. Do vaäy, neáu b(θ) = E( θ ) - θ laø ñoä thieân leäch ˆ ˆ trong öôùc löôïng θ , thì MSE = Var( θ ) + [b(θ)]2. Löu yù raèng b(θ) ñoäc laäp vôùi caùc giaù trò x vaø do ñoù noù coá ñònh vaø khoâng ngaãu nhieân. ˆ ˆ ˆ ˆ MSE = E[( θ - θ)2] = E[ θ - E( θ ) + E( θ ) – θ]2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = E[ θ - E( θ ) + b(θ)]2 = E[ θ - E( θ )]2 + [b(θ)]2 + 2b(θ) E[ θ - E( θ )] ˆ ˆ Soá haïng ñaàu tieân laø phöông sai cuûa θ vaø soá haïng thöù ba baèng khoâng bôûi vì E( θ ) ˆ ˆ ˆ ˆ khoâng ngaãu nhieân vaø do ñoù E[ θ - E( θ )] = E( θ ) - E( θ ) = 0. Keát quaû mong muoán xuaát hieän ngay theo sau. Ramu Ramanathan 31 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Khaùi nieäm sai soá bình phöông trung bình ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân hôn trong vieäc löïa choïn giöõa nhöõng döï baùo khaùc nhau cuûa moät bieán ngaãu nhieân (xem Chöông 11). Caùc döï baùo thöôøng bò thieân leäch – töùc laø, chuùng öôùc löôïng quaù möùc hoaëc laø öôùc löôïng döôùi möùc moät caùch coù heä thoáng bieán quan taâm – nhöng moät vaøi giaù trò döï baùo coù theå coù phöông sai nhoû hôn. Do ñoù sai soá bình phöông trung bình laø moät ñaïi löôïng höõu ích vì noù coù xeùt ñeán caû söï thieân leäch vaø phöông sai cuûa giaù trò döï baùo ñoù. Nhöõng Tính Chaát Cuûa Öôùc Löôïng Côõ Maãu Lôùn Taát caû nhöõng tính chaát thaûo luaän trong phaàn tröôùc thích hôïp ñoái vôùi nhöõng côõ maãu höõu haïn. Ñoâi khi moät öôùc löôïng coù theå khoâng mang moät hay nhieàu hôn nhöõng tính chaát mong muoán trong moät côõ maãu nhoû, nhöng khi côõ maãu trôû neân lôùn, nhieàu tính chaát mong muoán coù theå ñöôïc duy trì. Do ñoù, neân quan taâm nghieân cöùu ñeán nhöõng tính chaát cuûa caùc côõ maãu lôùn naøy, hoaëc tieäm caän. Trong nhöõng thaûo luaän sau ñaây, chuùng ta cho côõ maãu n taêng leân ˆ khoâng giôùi haïn. Bôûi vì moät öôùc löôïng seõ phuï thuoäc vaøo n, neân chuùng ta kyù hieäu noù laø θ n . Tính chaát côõ maãu lôùn thöôøng ñöôïc söû duïng nhaát laø tính nhaát NHAÁT QUAÙN ˆ quaùn.Theo thuaät ngöõ tröïc giaùc, nhaát quaùn coù nghóa laø khi n taêng leân, giaù trò öôùc löôïng θ n seõ tieán ñeán giaù trò θ thöïc. Hay noùi caùch khaùc, chuùng ta bieåu dieãn moät maãu ngaãu nhieân ˆ cuûa baát kyø côõ maãu naøo töø toång theå lôùn vaø tính θ . Tieáp theo chuùng ta veõ theâm moät quan ˆ saùt vaø tính toaùn laïi θ vôùi quan saùt theâm naøy. Chuùng ta laëp laïi quaù trình naøy nhieàu laàn, vaø nhaän ñöôïc moät chuoãi caùc öôùc löôïng cho θ. Neáu chuoãi naøy hoäi tuï veà θ khi n taêng leân voâ ˆ taän, thì θ laø moät giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa θ. Ñònh nghóa chính thöùc cuûa söï nhaát quaùn ñöôïc cho trong Ñònh Nghóa 2.10. ÑÒNH NGHÓA 2.10 (Söï Nhaát Quaùn) ˆ Moät öôùc löôïng θ n ñöôïc goïi laø moät giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa θ neáu lim P(θ − ε ≤ n→∞ θˆn ≤ θ + ε) = 1, cho taát caû caùc ε > 0 . Tính chaát naøy ñöôïc bieåu dieãn nhö plim( θˆn ) = θ. Chuùng ta haõy nghieân cöùu ñònh nghóa naøy kyõ löôõng hôn. Xem xeùt khoaûng coá ñònh ˆ (töùc laø, khoâng ngaãu nhieân) (θ − ε , θ + ε), vôùi ε laø moät soá döông baát kyø. Bôûi vì θ n laø moät öôùc löôïng phuï thuoäc vaøo moät maãu caùc quan saùt, neân noù laø moät bieán ngaãu nhieân. Do ñoù ˆ chuùng ta coù theå tính xaùc suaát maø θ n naèm trong khoaûng xaùc ñònh ñoù. Neáu xaùc suaát naøy ˆ taêng leân 1 khi n taêng leân voâ taän ñoái vôùi baát kyø giaù trò ε > 0 naøo, thì chuùng ta noùi raèng θ n laø moät öôùc löôïng nhaát quaùn cuûa θ. ˆ Ñieåm naøy ñöôïc minh hoïa trong Hình 2.9, noù bieåu dieãn phaân phoái maãu cuûa θ n = x cho nhieàu giaù trò khaùc nhau cuûa côõ maãu n. Chuùng ta löu yù raèng phaân phoái naøy trôû neân Ramu Ramanathan 32 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ ˆ ngaøy caøng “bò neùn chaët” khi côõ maãu taêng leân. Noùi moät caùch khaùc, phöông sai cuûa θ n tieán ˆ ñeán 0 khi côõ maãu taêng leân. Trong giôùi haïn, phaân phoái cuûa θ seõ trôû thaønh ñieåm ñôn θ. n Hình 2.9 Phaân Phoái Maãu Cuûa x Khi Côõ Maãu Taêng Leân, n3 > n2 > n1 f( x ) n3 n2 n1 x θ Hình 2.10 Phaân Phoái Maãu Cuûa Moät Öôùc Löôïng Thieân Leäch, Nhöng Nhaát Quaùn, n3 > n2 > n1 f(θˆ ) n3 n2 n1 θˆ Caàn nhaán maïnh raèng, caùc khaùi nieäm khoâng thieân leäch vaø nhaát quaùn töông ñoái khaùc nhau veà quan ñieåm. Khoâng thieân leäch coù theå ñöôïc duy trì cho baát kyø côõ maãu naøo, nhöng söï nhaát quaùn thì hoaøn toaøn chæ aùp duïng ñöôïc ñoái vôùi khaùi nieäm côõ maãu lôùn. Hình 2.10 minh hoïa giaù trò öôùc löôïng thieân leäch nhöng nhaát quaùn. Söï thieân leäch coù bao haøm luoân söï nhaát quaùn hay khoâng? Hoaøn toaøn khoâng, nhö seõ chæ ra trong ví duï phaûn baùc ngay sau ñaây. Quan saùt ñaàu tieân, x1, laø moät giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa trò trung bình θ bôûi vì E(x1) = θ. Nhöng khi cho n →∞ thì seõ khoâng laøm cho x1 tieán ñeán θ vôùi baát kyø giaù trò trung bình naøo. Ramu Ramanathan 33 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ (Tieáp tuïc xem trong Phaàn 3.3 ñeå thaáy ñöôïc nhöõng khaùi nieäm naøy ñöôïc öùng duïng trong kinh teá löôïng nhö theá naøo) KHOÂNG THIEÂN LEÄCH TIEÄM CAÄN* Söï thieân leäch trong moät öôùc löôïng seõ khaùc nhau giöõa giaù trò kyø voïng cuûa noù vaø thoâng soá thöïc θ. Söï thieân leäch naøy coù theå phuï thuoäc vaøo côõ maãu, n. Neáu söï thieân leäch ñi ñeán khoâng khi n taêng leân voâ cöïc, chuùng ta noùi raèng giaù trò öôùc löôïng laø khoâng thieân leäch tieäm caän. ÑÒNH NGHÓA 2.11 (Khoâng Thieân Leäch Tieäm Caän)* ˆ ˆ Moät öôùc löôïng θ n ñöôïc goïi laø khoâng thieân leäch tieäm caän neáu nhö lim E (θ n ) = θ, hay noùi n→∞ ˆ caùch khaùc, neáu lim bn (θ ) = 0, vôùi bn(θ) = E( θ n ) - θ. n→∞ HIEÄU QUAÛ TIEÄM CAÄN* Khoâng coù moät öôùc löôïng ñôn naøo coù theå hieäu quaû nhaát (töùc laø, coù phöông sai nhoû nhaát) cho taát caû caùc giaù trò θ. Moät vaøi giaù trò khaù toát cho moät soá giaù trò θ naøo ñoù vaø nhöõng giaù trò khaùc thì hieäu quaû hôn trong nhöõng khoaûng giaù trò khaùc cuûa θ. ˆ Ví duï, ñaët θ = 1,25, khoâng caàn bieát giaù trò cuûa caùc quan saùt laø bao nhieâu. Neáu giaù trò θ thöïc ñuùng baèng hay gaàn baèng 1,25, thì ñaây laø öôùc löôïng töông ñoái toát; nhöng khi giaù trò thöïc naèm ngoaøi 1,25, thì öôùc löôïng naøy keùm. Tuy nhieân, khi gaëp phaûi nhöõng giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn, thì khoaûng giaù trò cuûa θ maø coù moät giaù trò öôùc löôïng hieäu quaû hôn moät giaù trò öôùc löôïng khaùc thu heïp laïi khi côõ maãu taêng leân. Trong giôùi haïn khi n → ∞, phaân phoái cuûa taát caû caùc giaù trò öôùc löôïng nhaát quaùn trôû veà giaù trò thöïc θ (löu yù laø phöông sai baèng khoâng). Do ñoù öu tieân thuoäc veà nhöõng giaù trò öôùc löôïng maø tieán ñeán giaù trò thöïc θ theo caùch nhanh nhaát coù theå (töùc laø, nhöõng giaù trò maø phöông sai cuûa chuùng hoäi tuï veà khoâng nhanh nhaát). Ñoù chính laø khaùi nieäm hieäu quaû tieäm caän ñöôïc ñònh nghóa moät caùch chính thöùc trong Ñònh Nghóa 2.12. Theo thuaät ngöõ tröïc giaùc, öôùc löôïng nhaát quaùn, aùp duïng cho côõ maãu lôùn, seõ hieäu quaû tieäm caän khi phöông sai cuûa noù nhoû hôn phöông sai cuûa baát kyø öôùc löôïng nhaát quaùn naøo khaùc. ÑÒNH NGHÓA 2.12 (Hieäu Quaû Tieäm Caän)* ˆ Moät öôùc löôïng nhaát quaùn θ1 ñöôïc goïi laø hieäu quaû tieäm caän neáu ñoái vôùi taát caû caùc öôùc ˆ löôïng nhaát quaùn khaùc θ 2 ˆ  Var(θ1 )  < 1 cho taát caû caùc giaù trò θ lim  ˆ n → ∞ Var(θ )  2 2.7 Phaân Phoái Chi-Bình Phöông, Phaân Phoái-t vaø Phaân Phoái-F Ramu Ramanathan 34 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Trong vieäc kieåm ñònh caùc giaû thuyeát cuûa nhöõng moâ hình kinh teá löôïng, coù boán phaân phoái ñöôïc söû duïng chuû yeáu. Ñoù laø phaân phoái chuaån, phaân phoái chi-bình phöông, phaân phoái-t cuûa Student, vaø phaân phoái-F cuûa Fisher. Chuùng ta ñaõ xem xeùt phaân phoái chuaån vaø nhöõng tính chaát cuûa noù. Trong phaàn naøy, chuùng ta seõ thaûo luaän ba phaân phoái coøn laïi. Phaân Phoái Chi-Bình Phöông Phaân phoái cuûa toång bình phöông cuûa n bieán ngaãu nhieân chuaån chuaån hoùa ñoäc laäp ñöôïc goïi laø phaân phoái chi-bình phöông (χ2) vôùi n baäc töï do vaø ñöôïc vieát laø χ n . Chính thöùc 2 hôn, xem xeùt n bieán ngaãu nhieân Z1, Z2,…, Zn, taát caû ñeàu tuaân theo phaân phoái ñoäc laäp vaø gioáng nhau (idd) nhö phaân phoái chuaån N(0,1). Ñònh nghóa moät bieán U môùi baèng toång bình phöông cuûa taát caû caùc giaù trò Z. Do vaäy, U = Z12 + Z 2 + ... + Z n = ∑ Zi2 2 2 Phaân phoái cuûa bieán ngaãu nhieân U laø χ n . Bôûi vì U khoâng aâm, neân phaân phoái chi- 2 bình phöông chæ ñöôïc xaùc ñònh trong khoaûng 0 ≤ u ≤ ∞. Haøm maät ñoä cuûa χ n chæ phuï 2 thuoäc vaøo moät thoâng soá, goïi laø baäc töï do (thöôøng vieát taét laø d.f.). Trò trung bình cuûa χ n 2 coù theå ñöôïc xem laø n. Hình 2.11 bieåu dieãn ñoà thò caùc maät ñoä chi-bình phöông cho moät soá caùc giaù trò choïn loïc cuûa baäc töï do. Chuùng ta löu yù raèng khi n = 1, haøm maät ñoä giaûm hoaøn toaøn. Ñoái vôùi nhöõng baäc töï do cao hôn, noù seõ taêng nhanh ñeán ñieåm cöïc ñaïi nhöng heïp daàn sang beân phaûi vôùi moät “ñuoâi” daøi. Moät soá tính chaát cuûa χ2 ñöôïc toùm taét trong Tính Chaát 2.12. Hình 2.11 Phaân Phoái Chi-Bình Phöông Vôùi Caùc Baäc Töï Do d.f. (n) 1, 5, vaø 10 f(χ2) n=1 n=5 n = 10 χ2 Ramu Ramanathan 35 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tính chaát 2.12 a. E( χ n ) = n, töùc laø, giaù trò kyø voïng cuûa moät bieán ngaãu nhieân chi-bình phöông chính laø 2 baäc töï do d.f cuûa noù b. Phaân phoái chi-bình phöông coù tính chaát coäng theâm; goïi laø, neáu U ∼ χ m vaø V ∼ χ n vôùi 2 2 U vaø V ñoäc laäp, thì toång cuûa chuùng U + V ∼ χ m + n . Do ñoù toång cuûa nhieàu bieán ngaãu 2 nhieân chi-bình phöông ñoäc laäp thì cuõng laø chi-bình phöông vôùi baäc töï do d.f. töông ñöông vôùi toång cuûa d.f. c. Neáu x1, x2, …, xn laø caùc bieán ñoäc laäp vaø ngaãu nhieân tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi trung bình µi vaø phöông sai σ i2 , thì toång bình phöông U = ∑(xi - µi)2/ σ i2 coù phaân phoái chi-bình phöông vôùi n baäc töï do d.f. Keát quaû naøy coù töø döõ kieän cho raèng Zi = (xi - µi)/σi coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa vaø Z laø caùc bieán ñoäc laäp, do ñoù laøm cho toång bình phöông cuûa chuùng baèng χ n . Nhö trong moät tröôøng hôïp ñaëc bieät, neáu µi = µ vaø 2 σ i2 = σ2 – töùc laø, neáu caùc giaù trò Z laø iid – thì ∑(xi - µi)2/σ2 ∼ χ n . 2 Baûng in trong bìa tröôùc cuûa quyeån saùch vaø Baûng A.3 cuûa Phuï Luïc A bieåu dieãn caùc giaù trò cuûa χ2 maø dieän tích phía beân phaûi töông öùng vôùi nhöõng xaùc suaát ñöôïc xaùc ñònh. Do ñoù, ví duï, ñoái vôùi baäc töï do d.f laø 15 dieän tích phía beân phaûi cuûa 24,9958 laø 0,05. Phaàn 2.8 veà kieåm ñònh caùc giaû thuyeát minh hoïa vieäc söû duïng phaân phoái chi-bình phöông naøy. Phaân Phoái-t Student Phaân phoái cuûa tæ leä giöõa moät bieán chuaån vôùi caên baäc hai cuûa χ n ñoäc laäp ñöôïc goïi laø 2 phaân phoái t Student vôùi n baäc töï do (vaø ñöôïc vieát laø tn). Giaû söû Z ∼ N(0,1) vaø U ∼ χ n , 2 vôùi Z vaø U ñoäc laäp. Ñònh nghóa bieán ngaãu nhieân t = Z/ U / n =(Z n )/ U . Phaân phoái cuûa t laø phaân phoái-t vôùi n baäc töï do. Baûng naèm ôû bìa sau cuûa cuoán saùch vaø Baûng A.2 bieåu dieãn caùc giaù trò cuûa t maø phaàn dieän tích trong caùc nhaùnh töông öùng vôùi nhöõng xaùc suaát xaùc ñònh. Moät vaøi tính chaát cuûa phaân phoái-t ñöôïc ñöa ra trong Tính Chaát 2.13. Tính Chaát 2.13 Phaân phoái-t vôùi n baäc töï do d.f. coù nhöõng tính chaát sau a. Phaân phoái-t laø ñoái xöùng qua goác toïa ñoä vaø coù hình daïng töông töï nhö trong phaân phoái chuaån b. Ñoái vôùi ni lôùn, phaân phoái-t tuaân theo moät caùch gaàn ñuùng vôùi phaân phoái N(0,1). Söï gaàn ñuùng laø töông ñoái toát ngay caû vôùi n = 30. Nhö trong moät ví duï, vôùi baäc töï do d.f. laø 15, dieän tích ôû nhaùnh beân phaûi taïi ñieåm 1,753 laø 0,05, töùc laø P(t > 1,753) = 0,05. Bôûi vì tính chaát ñoái xöùng naøy, P(t < 1,753 hoaëc t Ramu Ramanathan 36 Thuïc Ñoan/Haøo Thi

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.