HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chia sẻ: Anh Dung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

954
lượt xem 89
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'hệ phương trình vi phân cấp 1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0 Hệ tổng …. quát Fn(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0 x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) Hệ chính …. tắ c xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) t : biến x1, x2 , …, xn : ẩn hàm
BÀI TOÁN CAUCHY Tìm nghiệm hệ x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) ……………………… xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) Thỏa điều kiện x1(t0) = α1 ………….. xn(t0) = αn Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n hằng số tự do.
PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước. B2: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1) hàm Vd: yx' = x'(t = 2y + et = ) (1) = (2) =y' = y'(t = −x + 3y − et ) �� −x'+ 3y'− et � = −2y − et + 3y'− et �y= ye x �y (3) �� ' = 2y + et x � ' = 2y + et x
(3) � y"− 3y'+ 2y = −2et Tt cấp 2 hệ số hằng t 2t t � y = C 1e + C 2 e + 2te t (2) � x = − y'+ 3y − e t 2t t t 2t t t = − C 1e − 2C 2e − 2(t+ 1)e + 3(C 1e + C 2e + 2t ) − e e t 2t t � x = 2C 1e + C 2 e + (4t− 3)e Vậy nghiệm hệ đã cho là: yx = 2C 1et + C 2 e2 t + (4t− 3)et = = t 2t =y = C 1e + C 2 e + 2t et
HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG X’(t) = AX(t) + F(t) xx ) � 1 (t � � 1 (t � x ) � (t � ��t � x2 ( ) x2 ) (Hệ ẩn X �) = � (t � X (t = � ) � �M � �M � hàm ) � (t � ��t � �n ) � x �n ( ) � x �1 (t � f ) A = ( ai ) : a r � � cap m t an vuong �n � (t � f ) j F(t = �2 � ) �M � � (t � Cho trước �n ) � f
yx' = x'(t = 2y + et = ) Vd: 1 / = =y' = y'(t = − x + 3y − et ) �(t � x ) �0 1� �t� e X (t = � � A = � ) F(t = � � ) �y(t � ) �−1 3 � � �− t� e � � � 1 2� 1 � + sin t� t �(t � x ) ) � 4 1 � (t + � t � 2 / X (t = 2 X ) � 2 � , X (t = �(t � ) y ) � � � � � 3 −2 � 0 � t − ln t� �(t � � � �e � � )� z =x' = x + y + 2z + t+ sin t = 2 � � ' = 2x + 4y + z + t y � =z' = 3y − 2z + et − ln t
PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT -1 X’ = AX + F(t) X’ = AX + F(t) ⇔ X’ chéo hóa được( ⇔ ∃ P:=P AP = + P- A = PDP-1X + F(t)⇔ P-1X’ DP-1X D (chéo) ) 1F(t) Đặt Y = P-1X: ⇔ Y’ = DY + G(t) y λ �1 ' � �1 0 K 0 �y1 � �1 (t � � g ) =y1 '(t = λ1y1 (t + g1 ( t ) ) ) � ' � � λ K 0 �y � � (t � � =y '(t = λ y (t + g (t y2 0 2 2 � �2 ) � g = 2 ) 2 2 ) 2 ) � � � = �� + = = � � � ..... ..................... �.... � � � ... � =.................................. � � � � �� =yn '(t = λnyn (t + gn (t ) ) ) yn '� � 0 K λn �yn � �n (t � � 0 � g ) = giải X = PY Hệ n ptvp tuyến tính cấp 1
xx1 = 2x2 + et = x � 0 2� �t� e (1) = A =� � (t = � t� ,F ) x= = −x1 + 3x2 − et − �1 3 � �e � − = 2 � � � 1� 2 � 0� 1 −1 y x � 1 � −1 � 1 � P=� � =� ,D , � Y =P X �� P � � = � 1� 1 � 2� 0 y �2 � x �2 � −1 � −1 � 1 −1 1 � t � � et � � −1� e 2 P =� , � P F(t = � ) = � t� � t� � �� − �1 2 � � 1 2 �−e � � 3e � − � � − � (1) � Y −= D Y + P −1F(t) �1 = y1 + 2et �y� �1 = 2t t + C 1et �y e �� t t 2t �� 2y2 − 3e y2 = � 2 = 3e + C 2 e y
�1 = y1 + 2et �y� �1 = 2t t + C 1et �y e �� y� 2y2 − 3et � 2 = 3et + C 2 e2 t �2 = y �2 �t t + C 1et � 1�2 e X = PY = � � � t � 1 � 1�3e + C 2e2 t � � � � �C 1et + C 2 e2 t + 4t t + 3et � 2 e =� � � et + C e2 t + 2t t + 3et � C e �1 2 � Vậy nghiệm (1) là: xx1 (t = 2C 1et + C 2 e2 t + 4t t + 3et = ) e = =x2 (t = C 1et + C 2 e2 t + 2t t + 3et ) e
Cách tìm ma trận P và ma trận chéo D Bước 1: tìm nghiệm pt: det(A – λI ) = 0 (*) Bước 2: với mỗi λ, tìm nghiệm hệ (A – λI )P = 0, P≠ 0 • Ma trận P có các cột là các nghiệm cơ bản của các hệ pt trên. • Ma trận đường chéo D có các phần tử trên đường chéo là các λ (số lần xuất hiện của mỗi λ là số bội của λ trong pt (*)). •Vị trí của λ trên đường chéo tương ứng với vị trí của nghiệm cơ bản trong P.
PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT X’(t) = AX(t) ⇔ Y’ = DY ∃ P: P-1AP = D (chéo) y λ �1 ' � �1 0 K 0 �y1 � � =y1 '(t = λ1y1 (t ) ) � ' � � λ K 0 �y � y2 0 2 � =y '(t = λ y (t � � � �� 2� = 2 ) 2 2 ) = = = � � � ..... ..................... �.... � � =........................ � � � � � � =yn '(t = λnyn (t �yn '� � 0 K λn �yn � 0 � = ) ) λy1 ( t) = c1eλ1t n = � X = PY = � keλktPk c λ2 t =y2 ( t) = c2 e k=1 = = k =.................... = λ λn t {X = ekàtPộ,tk = 1,.., n} =yn ( t) = cne k P k ck thứ k của P l � em ltcua � � � aP nghi �� t he t he huan nhat
Ñ ònh Lyù: eä X ’ A X (t), a traän A có H = m n giaù trò ri c λ1, eâng thöï λ2 λn … (khoâng baét buoäc phaân eät), töông bi öùng vectô eâng , P , … n ri P , P ñoäc laäp tuyeán tính ⇒ Nghieäm toång n X ( t) = [ x1 ( t) , x2 ( t) , K , xn ( t) ] = = ckeλktPk T quaùt thuaàn nhaát: k=1
Vd: =x1 = x1 + x2 + 2x3 x � 1 2� 1 � x� x1 + x2 + 2x3 � X = � 1 2 � �+ = 2 1 X � � �� 2x + 2x + 4x x3 = 1 � 4 4� 2 � 2 3 � � A 1− λ 1 2 2 =λ1 = 0 A − λI = 1 1− λ 2 = λ (6 − λ ) = 0 = = 2 4 4−λ =λ2 = 6 1 � 1 2 �p1 � � ( A − λ1I)P = 0 �� 1 1 2 �p2 � 0 � = � � � � �2 �p � � 4 4� 3 � � � � 1� �2 � chọn P1 = � 1� 2 = �0 � − ,P � � � � �0 � � 1� − � � � �
− �5 1 2 �p1 � � ( A − λ2 I)P = 0 � � 1 −5 2 �p2 � 0 � = � � � � �2 2 −2 �p � � � � 3� � 1 �� 1� �2 � chọn P3 = �� 1 P1 = � 1� 2 = �0 � − ,P �� 2 �0 � � 1� − �� λ1t λ1t λ2 t 6t X 1 = e P1 = P1, X 2 = e P2 = P2 , X 3 = e P3 = e P2 �1 � C x � 1 + C 2 + C 3e6 t � 3 � � � X = � kX k C � � 2 � � −C 1 + C 3e x = 6t � � � k=1 � �� x3 � �−C 2 + 2C 3e6 t � � � � �
Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất X0 : nghiệm tổng quát hệ pt thuần nhất X = X0 + Xr X’(t) = AX(t) (1) Xr : nghiệm riêng hệ pt không thuần nhất Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất X0 = C1X1 + C2X2 + …+ CnXn { Xk , k = 1, ..,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1) PP biến thiên hằng số tìm Xr = C1(t)X1 + …+ Cn(t)Xn r X Ci tìm từ hệ pt: C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t)