Kiến thức cơ bản về Số phức

Chia sẻ: Trần Văn Thắng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

124
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Số phức là 1 trong những nội dung quan trọng mà các em học sinh được học trong chương trình Toán Giải tích lớp 12. Để giúp các em có thêm tư liệu tham khảo và hiểu rõ hơn về số phức mời các em tham khảo tài liệu sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kiến thức cơ bản về Số phức

ÑAÏI SOÁ Số Phức định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2 = −1 Dạng đại số của số phức Hai số phức bằng nhau: Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ : Cho z1 = 5 + 3i ; z 2 = a + 3i tìm tất cả các số thực m để z1 = z 2 Giải : a = 5 z1 = z 2 ⇔ 5 + 3i = a + 3i ⇔  ⇔a =5 3 = 3 Phép cộng và phép trừ của hai số phức : Cho hai số phức . z1 = a 1 + b1i và z 2 = a 2 + b 2i khi đó Phép cộng . a 1 + b1i + a 2 + b 2i = ( a 1 + a 2 ) + ( b1 + b 2 ) i Phép trừ . a 1 + b1i − ( a 2 + b 2i ) = ( a 1 − a 2 ) + ( b1 − b 2 ) i Tóm lại : Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Ví dụ : Tìm phần thực và phần ảo của số phức . z = ( 3 + 9i ) + ( 6 + 5i ) 61
ÑAÏI SOÁ Giải : z = ( 3 + 9i ) + ( 6 + 5i ) = 12 + 14i ⇒ Re z = 12 ; Im z = 14 Phép nhân Cho hai số phức . z1 = a 1 + b1i và z 2 = a 2 + b 2i khi đó Phép nhân . ( a1 + b1i ).( a 2 + b 2i ) = ( a 1a 2 − b1b 2 ) + ( a 1b 2 + b1a 2 ) i Tóm lại : Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i 2 = −1 Ví dụ : thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại z = (1 − 2i )( 2 + i ) + 5i 2 số Giải : ( ) z = (1 − 2i )( 2 + i ) = (1 − 2i ) 4 + 4i + i 2 2 = (1 − 2i )( 3 + 4i ) = 3 − 2i − 8i 2 = 11 − 2i Định nghĩa số phức liên hợp: Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức . z = ( 2 − 5i )(1 + 3i ) Giải : z = ( 2 − 5i )(1 + 3i ) = 2 + i − 15i 2 = 17 + i vậy số phức liên hợp là z = 17 − i Tính chất của số phức liên hợp: Cho z ,w là hai số phức z, w là hai số phức liên hợp z+z là một số thực z.z là một số thực 62
ÑAÏI SOÁ z=z khi z là một số thực z+w = z+w zn = ( z) với n là số tự nhiên n z.w = z.w z=z Phép chia hai số phức cho z = a + bi , w = c + di (w ≠ 0) ta có . z a + bi ( a + bi )( c − di ) ac − adi + bci − bdi 2 = = = w c + di ( c + di )( c − di ) c2 + d 2 = ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i = ac + bd + ( bc − ad ) i c2 + d2 c2 + d2 c2 + d 2 ( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu ) Dạng lượng giác Imz 63
ÑAÏI SOÁ b M(a;b) ≡ a + bi r Trục thực 0 ϕ Rez a Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: Mod( z ) = r = a 2 + b 2 ký hiệu z vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau . z = 4 + 3i Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 4 2 + 32 = 5 Định nghĩa argument của số phức :  a bi  z = a + bi = a 2 + b 2   2 +    a +b a 2 + b2 2  Trong đó . 64
ÑAÏI SOÁ   r = a + b 2 2   a cos ϕ = ⇒ z = r ( cos ϕ + sin ϕi )  a + b2 2  b sin ϕ =   a 2 + b2 là dạng lượng giác  a cos ϕ =  a + b2 2 Mọi nghiệm của hệ phương trình  gọi là argument sin ϕ = b   a 2 + b2 của số phức z = a + bi ≠ 0 . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần 2π và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Góc ϕ được giới hạn trong khoảng 0 ≤ ϕ < 2π hoặc − π ≤ ϕ ≤ π Ví dụ: Tìm argument của số phức z = 1 + 3i Giải : a = 1 , b = 3 ta tìm góc ϕ  a 1 cos ϕ = =  r 2 π π  ⇒ϕ= vậy Argz = sin ϕ = b = 3 3 3   r 2 Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: 65
ÑAÏI SOÁ ϕ = ϕ 2 + k 2π z1 = z 2 ⇔  1 r1 = r2 Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. z1.z 2 = r1.r2 [ cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + sin ( ϕ1 + ϕ 2 ).i ] Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : ( ) z = (1 + i ) 1 − 3i Giải : ( z = (1 + i ) 1 − 3i)  π π   π π  = 2  cos + sin .i 2 cos− + i sin − .   4 4   3 3   π π π π = 2 2 cos −  + i sin  −  4 3 4 3 π π = 2 2 cos− + sin − i 12 12 Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. z1 r1 = [ cos( ϕ1 − ϕ 2 ) + sin ( ϕ1 − ϕ 2 ).i] z 2 r2 Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : 2 − 12i z= − 3 +i Giải : 66
ÑAÏI SOÁ 1 3  4 −  2 2 i  2 − 12i 2 − 2 3i z= = =   − 3 +i − 3 +i − 3 1  2  2 + 2 i     −π −π 2 cos + i sin   7π 7π  =  3 3  = 2 cos− + i sin −  5π 5π  6 6  cos + i sin 6 6 Dạng mũ số phức Định lý Euler (1707-1783): z = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. z = − 3 + i Giải :  3 1  z = − 3 + i = 2 −   2 + 2 i    5π 5π  = 2 cos + i sin   6 6  5π i. = 2e 6 Ví dụ: 67