Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HÀ ANH TUẤN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HÀ ANH TUẤN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu

NGHỆ AN - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa được công bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào từ trước đến nay.

Tác giả

Hà Anh Tuấn

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu. Tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy hướng dẫn - Người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu. Thầy đã dành nhiều công sức, kiên nhẫn, tận tình chỉ bảo, dẫn dắt, giảng dạy cho tôi về những kiến thức, kinh nghiệm và tư duy của người làm Toán.

Tôi xin cảm ơn Trường đại học Vinh, Khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học, các phòng chức năng của Nhà trường, quý thầy cô trong Bộ môn Toán Giải tích, Hội đồng khoa học Khoa Toán đã cho tôi một môi trường học tập và nghiên cứu lý tưởng và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tôi xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Cơ bản, anh chị em và bạn bè đồng nghiệp tại Trường Đại học Giao thông Vận tải TP Hồ Chí Minh. Xin chân thành cảm ơn TS. Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland, Mỹ) và TS. Lê Văn Hiển (Đại học Hà Tĩnh) đã có những trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến quý báu.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bố Mẹ, cảm ơn anh, chị, em và những người thân trong gia đình, những người đã luôn động viên, kiên nhẫn và mong đợi kết quả học tập của tôi. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn tới vợ tôi Hoàng Yến và các con Huy Hoàng, Bá Dương, những người đã luôn hy sinh rất nhiều, luôn lo lắng và mong mỏi tôi tiến bộ từng ngày. Tôi xin được dành tặng luận án này cho những người mà tôi yêu thương.

Nghệ An, ngày 10 tháng 03 năm 2022

Tác giả

Hà Anh Tuấn

MỤC LỤC

Mở đầu 7

Chương 1. Một số kết quả về phép tính vi phân suy rộng

trong giải tích biến phân 15

1.1. Các khái niệm và tính chất bổ trợ . . . . . . . 15 . . . . . . .

1.2. Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng . . . . 26 . . . . . . .

1.3. Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . 59 . . . . . . .

Chương 2. Điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính

quy mêtric mạnh của dưới vi phân 60

2.1. Điều kiện tối ưu cho hàm chính thường nửa liên tục dưới dựa

vào đạo hàm đồ thị dưới gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2. Quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và

tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân . 76 . . . . . . .

2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . 92 . . . . . . .

Chương 3. Điều kiện tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán

quy hoạch nón 93

3.1. Điều kiện cần tối ưu bậc hai . . . . . . . . . . 93 . . . . . . .

3.2. Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh . . . . . . 105 . . . . . . .

3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Kết luận chung và kiến nghị 114

Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 116

Tài liệu tham khảo 117

MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN

∃x

∀x

tồn tại phần tử x

với mọi phần tử x

f : X → Y F : X ⇒ Y gphF

domF

ánh xạ đơn trị từ X vào Y

rgeF Br(x) B

ánh xạ đa trị từ X vào Y đồ thị của ánh xạ F : X ⇒ Y miền hữu hiệu của ánh xạ F : X ⇒ Y ảnh của ánh xạ F : X ⇒ Y hình cầu đóng tâm x bán kính r > 0

hình cầu đơn vị đóng

đạo hàm của ánh xạ f tại x

tập hợp số thực

∇f (x) R R− R+ R

tập hợp số thực không dương

Rn +

Rn −

tập hợp số thực không âm tập số thực mở rộng R ∪ {±∞} không gian Ơclit thực n chiều tập hợp các phần tử trong Rn có mọi tọa độ không âm tập hợp các phần tử trong Rn có mọi tọa độ không dương

∅

x ∈ X

x là phần tử trong không gian X

Ω ⊂ X

Ω là tập hợp con của X

tập hợp rỗng

(cid:104)., .(cid:105)

(cid:107).(cid:107)

AT intΩ

tích vô hướng trong không gian Rn chuẩn sinh bởi tích vô hướng (cid:104)., .(cid:105) trong Rn tức là (cid:107)x(cid:107) = (cid:112)(cid:104)x, x(cid:105) với mọi x ∈ Rn ma trận chuyển vị của ma trận A

phần trong của tập hợp Ω

x → ¯x và x ∈ Ω

convΩ Ω⊥ Ωo clΩ {xi} ϕ → ¯x x x Ω→ ¯x ε ↓ 0

ε → 0 và ε ≥ 0

bao lồi của tập hợp Ω phần bù trực giao của tập hợp Ω trong Rn nón cực của Ω trong Rn bao đóng của tập Ω dãy phần tử trong Rn x → ¯x và ϕ(x) → ϕ(¯x)

khoảng cách Ơclit từ phần tử x đến tập hợp Ω

hàm chỉ của tập Γ

d(x, Ω) δΓ o(t) o(t2) P := Q (cid:3)

vô cùng bé bậc cao hơn t vô cùng bé bậc cao hơn t2 P được định nghĩa bởi Q

lim inf ψ

kết thúc chứng minh

giới hạn dưới của hàm số ψ

giới hạn trên của hàm số ψ

nón pháp tuyến chính quy của tập hợp Ω tại x

nón pháp tuyến qua giới hạn của tập hợp Ω tại x

lim sup ψ (cid:98)NΩ(x) NΩ(x) TΩ(x) DF

nón tiếp tuyến của tập Ω tại x

đạo hàm đồ thị của ánh xạ F

đạo hàm đồ thị dưới gradient của hàm f

dưới vi phân chính quy của hàm số f

dưới vi phân qua giới hạn của hàm số f

D(∂f ) (cid:98)∂f ∂f ∂pf σ(cid:0)·, Ω(cid:1)

dưới vi phân gần kề của hàm số f

hàm tựa của tập hợp Ω

tập hợp các nhân tử Lagrange tương ứng với (x, x∗) tập hợp các nhân tử Lagrange mở rộng

tập hợp nhân tử theo hướng v nón tới hạn của tập hợp Γ tại (x, x∗) nón tới hạn của hàm f tại (x, x∗) hàm Lagrange

hàm Lagrange mở rộng

Λ(x, x∗) ΛG(¯x) Λ(x, x∗; v) KΓ(x, x∗) Kf (x, x∗) L(x, λ) LG(x, α, λ) Pu Du subregF (¯x|¯y)

bài toán tối ưu phụ thuộc vào tham số u bài toán đối ngẫu của bài toán Pu môđun tính dưới chính quy mêtric

của ánh xạ F tại (¯x, ¯y)

môđun chính xác của điều kiện QG(f, ¯x)

tăng trưởng bậc hai tại ¯x

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MFCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz

MSCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric

RCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson

MỞ ĐẦU

Giải tích biến phân là một lĩnh vực toán học được hình thành và phát

triển do nhu cầu nghiên cứu các bài toán tối ưu, cân bằng và điều khiển,

trong đó phép tính vi phân suy rộng nằm ở vị trí trung tâm [32, 46]. Tên

gọi “Giải tích biến phân” cho lĩnh vực toán học này được đề xuất năm

1998 bởi Rockafellar và Wets [46] và sau đó được chấp nhận rộng rãi. Tuy

nhiên, các khái niệm cơ bản, những ý tưởng chính và nhiều kết quả quan

trọng của giải tích biến phân đã tồn tại từ lâu [21, 32, 46].

Giải tích biến phân bậc hai là một bộ phận của giải tích biến phân,

nghiên cứu các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai và các vấn đề liên quan.

Những cấu trúc này xuất hiện một cách tự nhiên khi khảo sát các hệ biến

phân được mô tả thông qua dưới vi phân hoặc nón pháp tuyến [9, 25].

Cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai cũng xuất hiện khi nghiên cứu các

bài toán tối ưu không trơn và tối ưu có ràng buộc [9, 33, 45, 46]. Những

năm gần đây, giải tích biến phân bậc hai luôn thu hút được sự quan tâm

nghiên cứu của nhiều nhà toán học và có nhiều kết quả thú vị theo hướng

này đã được thiết lập [4, 9, 23, 32, 33, 46].

Phép tính vi phân suy rộng có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu

và tối ưu số [29, 32, 33, 37, 46]. Đặc biệt, nó giúp mở rộng và hợp nhất

các điều kiện cực trị cho nhiều lớp bài toán tối ưu [33]. Chẳng hạn, dưới

vi phân bậc nhất đã được dùng để thiết lập các quy tắc Fermat suy rộng.

Từ đó, nhờ hệ thống quy tắc tính toán, người ta dẫn ra được các quy

tắc nhân tử Lagrange suy rộng [32, 33, 46]. Tương tự như các cấu trúc vi

phân suy rộng bậc nhất, các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai cũng có

vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các điều kiện tối ưu. Điều kiện

cần và điều kiện đủ cực trị cho hàm chính thường nửa liên tục dưới biểu

diễn được thông qua tính nửa xác định dương và xác định dương của dưới

đạo hàm bậc hai [46]. Tập tiếp xúc bậc hai được dùng để thiết lập điều

kiện cực trị cho các bài toán tối ưu có ràng buộc [7, 9]. Dưới vi phân bậc

hai Fréchet đã được dùng trong các điều kiện cần cực trị cho bài toán tối

ưu trơn không ràng buộc [14] và có ràng buộc tuyến tính [1].

Từ phương diện tối ưu số, các điều kiện tối ưu đóng vai trò thiết yếu

trong việc thiết kế và phân tích sự hội tụ của các thuật toán [38]. Mặt

khác, khi giải các bài toán thực tế [49] người ta thường cần sự hỗ trợ của

máy tính và kết quả thu được là những lời giải số (với một tiêu chuẩn

dừng nào đó, sau hữu hạn bước lặp, máy tính sẽ xuất ra một nghiệm,

gọi là lời giải số). Do nhiều nguyên nhân khác nhau, nhiễu và sai số xuất

hiện trong quá trình giải là không thể tránh khỏi. Điều này dẫn đến độ

tin cậy của một lời giải số phụ thuộc rất lớn vào đặc tính ổn định của bài

toán. Chính vì thế, người ta rất quan tâm đến các điều kiện tối ưu đảm

bảo một sự ổn định nào đó của nghiệm [36, 40, 43]. Mục đích nghiên cứu

của luận án là sử dụng và phát triển một số công cụ của giải tích biến

phân bậc hai để thiết lập các điều kiện tối ưu loại này.

Nhằm làm rõ các vấn đề nghiên cứu, tiếp theo chúng tôi sẽ nhắc lại

một số kết quả về điều kiện tối ưu đảm bảo sự ổn định của nghiệm và

một số vấn đề liên quan đến những đóng góp của luận án.

Năm 1980, S. M. Robinson [43] đã giới thiệu điều kiện đủ bậc hai

mạnh cho quy hoạch phi tuyến và chứng minh rằng đối với lớp bài toán

này nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính và điều kiện đủ

bậc hai mạnh được thỏa mãn tại điểm dừng thì hệ Karush-Kuhn-Tucker

là chính quy mạnh tại điểm tương ứng ([43, Theorem 4.1]). Năm 1995,

J. F. Bonnans và A. Sulem chỉ ra rằng nếu điểm dừng được xét là một

cực tiểu địa phương thì chiều ngược lại cũng đúng ([10, Theorem 4.10]).

Năm 1996, A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar ([22, Theorem 1]) chứng

minh được rằng: tính chính quy mạnh của bất đẳng thức biến phân trên

tập lồi đa diện là tương đương với tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm

của bài toán tuyến tính hóa của nó với nhiễu chuẩn tắc. Nhờ đó, bằng

cách sử dụng tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính chất Aubin [31], các tác

giả này thu được đặc trưng tính chất chính quy mạnh của bài toán qua

điều kiện mặt tới hạn ([22, Theorem 2]). Một số mở rộng của các kết quả

đề cập ở trên đã được thiết lập cho lớp bài toán quy hoạch nón bậc hai

[8, 42] và lớp bài toán quy hoạch nửa xác định [50].

Năm 1998, R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar [40] giới thiệu khái

niệm cực tiểu địa phương ổn định xiên. Ở đó, hai tác giả này đã thiết

lập một đặc trưng của điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên qua tính

xác định dương của dưới vi phân bậc hai qua giới hạn cho lớp hàm chính

quy gần kề liên tục dưới vi phân ([40, Theorem 1.3]). Đối với quy hoạch

phi tuyến thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính,

tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương và tính chính quy mạnh của hệ

Karush-Kuhn-Tucker là tương đương [36]. Tuy nhiên, khác với tính chính

quy mạnh của hệ Karush-Kuhn-Tucker, tính ổn định xiên của cực tiểu

địa phương không kéo theo điều kiện chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến

tính được thỏa mãn [35]. Điều này góp phần thúc đẩy các nhà toán học

tiếp tục nghiên cứu tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương cho các

quy hoạch phi tuyến với những điều kiện chuẩn hóa yếu hơn [31, 34, 35].

Vì quy tắc tính dưới vi phân bậc hai qua giới hạn thường yêu cầu

điều kiện chuẩn hóa mạnh nên đặc trưng ổn định xiên của Poliquin và

Rockafellar [40] khó áp dụng cho bài toán tối ưu chỉ thỏa mãn điều kiện

chuẩn hóa ràng buộc yếu. Do đó, một số cấu trúc vi phân suy rộng khác

đã được xem xét khi nghiên cứu tính ổn định xiên [12, 34]. Đặc biệt,

N. H. Chieu, L. V. Hien và T. T. A. Nghia [12] đã chứng minh được rằng

tính xác định dương đều của đạo hàm đồ thị dưới gradient đặc trưng

được tính ổn định xiên của điểm cực tiểu địa phương nếu hàm được xét

là chính quy gần kề liên tục dưới vi phân. Mặt khác, với một số giả thiết,

một điểm cực tiểu địa phương là ổn định xiên nếu và chỉ nếu điều kiện

tăng trưởng bậc hai đều được thỏa mãn [18, 34]. Do đó, về cơ bản, tính

xác định dương đều của đạo hàm đồ thị dưới gradient và điều kiện tăng

trưởng bậc hai đều là hai tính chất tương đương.

Ngoài điều kiện tăng trưởng bậc hai đều, điều kiện tăng trưởng bậc

hai cũng là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu và tối ưu số

[2, 3, 5, 9, 13, 17, 19, 20, 28, 29, 30, 46]. Nó có thể được sử dụng để chứng

minh tốc độ hội tụ của các thuật toán tối ưu [5, 19, 41] cũng như phân

tích nhiễu của các bài toán tối ưu [9]. Đối với hàm khả vi liên tục hai lần,

điều kiện tăng trưởng bậc hai tương đương với tính xác định dương của

ma trận Hesse của hàm mục tiêu tại điểm dừng. Đối với hàm không trơn,

đặc trưng của điều kiện tăng trưởng bậc hai qua tính xác định dương của

dưới đạo hàm bậc hai cũng đã được thiết lập [46]. Do sự tương đương giữa

tính xác định dương đều của đạo hàm đồ thị dưới gradient và điều kiện

tăng trưởng bậc hai đều, câu hỏi được đặt ra tự nhiên là: Điều kiện tăng

trưởng bậc hai và tính xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient

có quan hệ với nhau như thế nào? Đây là vấn đề thứ nhất được nghiên

cứu trong luận án này.

Năm 2014, J. Aragón Artacho và M. H. Geoffroy [3] đã chứng minh

rằng đối với các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, tính xác định

dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient tại điểm dừng tương đương với

điều kiện tăng trưởng bậc hai. Đối với các hàm không lồi, A. Eberhard

và R. Wenczel ([24, Theorem 71(2)]) đưa ra điều kiện đủ để điều kiện

tăng trưởng bậc hai được thỏa mãn. Điều kiện này yếu hơn điều kiện xác

định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient. Tuy nhiên, ví dụ của chúng

tôi (Ví dụ 2.1.12) chỉ ra rằng kết quả này của Eberhard và Wenczel là

không chính xác. Đối với các hàm chính thường nửa liên tục dưới, chúng

tôi chứng minh được rằng tính nửa xác định dương của đạo hàm đồ thị

dưới gradient tại một điểm dừng kéo theo điểm dừng này là cực tiểu địa

phương và dưới vi phân là dưới chính quy mêtric mạnh. Mặt khác, theo

D. Drusvyatskiy, B. S. Mordukhovich và T. T. A. Nghia [20], tính dưới

chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân tại điểm cực tiểu địa phương là

đủ để đảm bảo điều kiện tăng trưởng bậc hai đúng. Do đó, đối với các

hàm chính thường nửa liên tục dưới, tính xác định dương của đạo hàm

đồ thị dưới gradient tại điểm dừng kéo theo điều kiện tăng trưởng bậc hai

(Định lý 2.1.6). Tuy nhiên, chiều ngược lại là không đúng (Ví dụ 2.1.7).

Vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án này là: Với những lớp

hàm nào, điều kiện tăng trưởng bậc hai kéo theo dưới vi phân là dưới chính

quy mêtric mạnh? Mối liên hệ giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính

dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân đã được nhiều nhà toán

học quan tâm. Năm 1995, R. Zhang và J. Treiman [53] chứng minh được

một số kết quả về điều kiện tăng trưởng bậc hai cho các hàm có ánh xạ

ngược của dưới vi phân là Lipschitz trên. Năm 2008, J. Aragón Artacho

và M. H. Geoffroy [2] đã phát triển ý tưởng của Zhang và Treiman [53]

bằng cách thay tính chất Lipschitz trên bởi một số tính chất chính quy

mêtric của dưới vi phân, nhưng chỉ tập trung vào trường hợp hàm lồi.

Đặc biệt, đối với các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới và xét tại

điểm cực tiểu, họ chỉ ra rằng điều kiện tăng trưởng bậc hai thỏa mãn khi

và chỉ khi dưới vi phân là dưới chính quy mêtric mạnh ([2, Theorem 3.5]).

Đối với các hàm chính thường nửa liên tục dưới và xét tại điểm cực tiểu

địa phương, năm 2014, D. Drusvyatskiy, B. S. Mordukhovich, T. T. A.

Nghia [20] cho thấy tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân

kéo theo điều kiện tăng trưởng bậc hai. Năm 2015, sử dụng các kết quả

từ hình học nửa đại số, D. Drusvyatskiy và A. D. Ioffe [17] chứng minh

được rằng chiều ngược lại cũng đúng nếu hàm được xét là nửa đại số.

Chúng tôi thu được kết quả tương tự như kết quả của Drusvyatskiy và

Ioffe [17] nhưng cho một số lớp hàm khác, bao gồm lớp hàm chính quy

gần kề, liên tục dưới vi phân và khả vi trên đồ thị hai lần (Định lý 2.2.6)

và lớp hàm lồi biến phân (Định lý 2.2.11). Cách tiếp cận của chúng tôi

ở đây là dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient và hệ thống các quy tắc

tính toán của giải tích biến phân. Một số phát triển gần đây theo hướng

này có thể tìm thấy trong các công trình [28, 29, 30, 41], ở đó các tác giả

nghiên cứu mô hình hàm hợp với các hàm thành phần thỏa mãn các giả

thiết nhất định, đảm bảo hàm hợp liên tục dưới vi phân, chính quy gần

kề và khả vi trên đồ thị hai lần.

Vấn đề thứ ba được nghiên cứu trong luận án này là: Khảo sát các điều

kiện tối ưu bậc hai cho bài toán quy hoạch nón thỏa mãn điều kiện chuẩn

hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric? Đối với quy hoạch nón thỏa mãn

điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson, các điều kiện tối ưu bậc hai đã

được thiết lập năm 1999 bởi J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [7].

Các kết quả theo hướng này đã được tổng hợp và trình bày trong tài liệu

[9]. Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric yếu hơn điều

kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson. Chúng tôi thu được các điều kiện

cần tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán quy hoạch nón thỏa mãn điều

kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric. Đặc biệt, tính nửa xác

định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient của tổng hàm mục tiêu và

hàm chỉ của tập ràng buộc là điều kiện cần tối ưu cho các bài toán quy

hoạch nón được xem xét (Định lý 3.1.13). Nó được chứng minh là tương

đương với điều kiện cần bậc hai của Bonnans, Cominetti và Shapiro [7].

Từ kết quả này, kết hợp với điều kiện đủ bậc hai cho cực tiểu địa phương

mạnh, chúng tôi thu được một số đặc trưng của điều kiện tăng trưởng

bậc hai (Định lý 3.2.1). Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy

mêtric không những có vai trò quan trọng trong việc thiết lập điều kiện

cần bậc hai mà còn là điều kiện không thể thiếu để đảm bảo dưới vi phân

của tổng hàm mục tiêu và hàm chỉ của tập ràng buộc là dưới chính quy

mêtric mạnh tại điểm cực tiểu địa phương mạnh (Ví dụ 3.2.7). Điều kiện

chuẩn hóa ràng buộc này cũng cho phép chúng tôi thiết lập được mối liên

hệ giữa một số điều kiện tối ưu bậc hai đã có và các điều kiện tối ưu mới

dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient. Gần đây, bằng một cách tiếp cận

khác, Mohammadi, Mordukhovich và Sarabi [28, 29, 30] đã chỉ ra rằng

đối với các bài toán quy hoạch nón được xem xét ở đó, tổng của hàm mục

tiêu và hàm chỉ của miền ràng buộc là liên tục dưới vi phân, chính quy

gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần. Do đó, một số kết quả của chúng tôi

về quy hoạch nón có thể chứng minh bằng cách áp dụng trực tiếp kết quả

của chúng tôi ở phần trước và kết quả đề cập ở trên của Mohammadi,

Mordukhovich và Sarabi.

Tiếp theo chúng tôi giới thiệu về cấu trúc của luận án. Ngoài các phần:

Lời cam đoan; Lời cảm ơn; Mục lục; Một số kí hiệu dùng trong luận án;

Danh mục các chữ viết tắt; Mở đầu; Kết luận và kiến nghị; Danh mục

các công trình khoa học của nghiên cứu sinh và Danh mục tài liệu tham

khảo, nội dung luận án được trình bày trong ba chương.

Chương 1 chúng tôi trình bày một số kết quả về phép tính vi phân

suy rộng trong giải tích biến phân.

Mục 1.1 chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản trong giải tích

biến phân làm cơ sở cho việc giới thiệu các kết quả chính của luận án.

Mục 1.2 chúng tôi trình bày các vấn đề của hàm khả vi hai lần theo

nghĩa mở rộng và thiết lập một số quy tắc tính toán.

Chương 2 chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện tăng trưởng

bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân.

Mục 2.1 chúng tôi trình bày điều kiện tối ưu của hàm chính thường,

nửa liên tục dưới dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient.

Mục 2.2 chúng tôi trình bày quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng

trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân của

một số lớp hàm không chính quy gần kề.

Chương 3 chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu bậc hai

cho lớp bài toán quy hoạch nón.

Mục 3.1 chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần tối ưu bậc

hai.

Mục 3.2 chúng tôi trình bày các đặc trưng của sự tăng trưởng bậc hai

trong trường hợp bài toán quy hoạch nón.

Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại các seminar của

Bộ môn Giải tích thuộc Khoa Toán học - Trường Đại học Vinh; Hội thảo

Kỉ niệm 60 năm thành lập Đại học Vinh - ngành Toán (19/09/2019) và

các Hội nghị NCS của Trường Đại học Vinh. Những kết quả chính của

luận án này đã được viết thành ba bài báo, trong đó một bài đăng ở SIAM

Journal on Optimization ([13]), một bài đăng ở Journal of Optimization

Theory and Applications ([15]) và một bài đăng ở Tạp chí Khoa học Đại

học Vinh ([51]).

Tác giả

Hà Anh Tuấn

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN SUY

RỘNG TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN

Chương này được chúng tôi dành để thiết lập các quy tắc tính toán

biến phân bậc hai. Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản

và kết quả đã biết trong giải tích biến phân. Tiếp theo, chúng tôi thiết lập

một số quy tắc tổng dạng đẳng thức của hàm khả vi hai lần theo nghĩa

mở rộng và một hàm chính thường nửa liên tục dưới đối với đạo hàm đồ

thị dưới gradient, dưới đạo hàm bậc hai và dưới đạo hàm parabol. Sau

đó, chúng tôi thiết lập một số mở rộng của các kết quả trong [30].

1.1 Các khái niệm và tính chất bổ trợ

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và các kết quả

đã biết trong giải tích biến phân để sử dụng trong các phần tiếp theo.

Nếu không có giải thích gì thêm thì các không gian được sử dụng trong luận án là các không gian Ơclit Rn, với n là số nguyên dương.

1.1.1 Định nghĩa. [46, Chapter 5] Quy tắc F đặt mỗi x ∈ Rn tương ứng một và chỉ một tập F (x) ⊂ Rm được gọi là ánh xạ đa trị từ không gian Rn vào không gian Rm, được kí hiệu là F : Rn ⇒ Rm. Nếu với mọi x ∈ Rn, tập hợp F (x) chỉ có đúng một phần tử trong Rm thì ta nói F là một ánh xạ đơn trị từ không gian Rn vào không gian Rm và kí hiệu

F : Rn → Rm.

1.1.2 Định nghĩa. [46] Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm. (i) Miền hữu hiệu của F được kí hiệu và xác định bởi

(ii) Miền ảnh của F được kí hiệu và xác định bởi

domF := (cid:8)x ∈ Rn | F (x) (cid:54)= ∅(cid:9).

(iii) Đồ thị của F được kí hiệu và xác định bởi

rgeF := (cid:8)y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x)(cid:9).

(iv) Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn được định nghĩa bởi

F −1(y) = (cid:8)x ∈ Rn | y ∈ F (x)(cid:9), ∀y ∈ Rm.

gphF := (cid:8)(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)(cid:9).

1.1.3 Định nghĩa. [32, 46] Cho hàm số f : Rn → R. (i) Miền hữu hiệu của hàm f được kí hiệu và xác định bởi

(ii) Hàm f được gọi là chính thường nếu

domf := (cid:8)x ∈ Rn | f (x) < ∞(cid:9).

(iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu

f (u) ≥ f (x).

lim inf u→x

(iv) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới địa phương tại ¯x ∈ domf nếu tồn tại ε > 0, sao cho mọi tập có dạng {x ∈ Bε(¯x)| f (x) ≤ α} là tập đóng, trong đó α ≤ f (¯x) + ε.

domf (cid:54)= ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn.

TΩ(¯x) := (cid:8)v ∈ Rn| ∃ tk ↓ 0, vk → v sao cho ¯x + tkvk ∈ Ω, ∀k ∈ N(cid:9).

(ii) Nón pháp tuyến chính quy của Ω tại ¯x ∈ Ω được định nghĩa bởi

≤ 0(cid:9).

1.1.4 Định nghĩa. [46] Cho Ω là tập con khác rỗng của Rn. (i) Nón tiếp tuyến của Ω tại ¯x ∈ Ω được kí hiệu và xác định bởi

(cid:104)v, x − ¯x(cid:105) (cid:107)x − ¯x(cid:107)

x Ω→¯x

(iii) Nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại ¯x ∈ Ω được xác định bởi

NΩ(¯x) := (cid:8)v ∈ Rn | ∃x Ω→ ¯x và vk ∈ (cid:98)NΩ(xk) sao cho vk → v(cid:9).

(cid:98)NΩ(¯x) := (cid:8)v ∈ Rn | lim sup

w ∈ TΩ(¯x) được kí hiệu và xác định bởi

T 2 Ω(¯x, w) := (cid:8)u ∈ Rn | ∃tk ↓ 0, uk → u sao cho ¯x + tkw + 1

Ω(¯x, w) (cid:54)= ∅ và với mỗi u ∈ T 2

kuk ∈ Ω, ∀k ∈ N(cid:9) . 2t2 Tập Ω được gọi là khả đạo hàm parabol (parabolically derivable) tại ¯x đối với w ∈ Rn nếu T 2 Ω(¯x, w) tồn tại ε > 0 và cung ξ : [0, ε] → Ω sao cho

ξ(0) = ¯x, ξ(cid:48)

+(0) = w và ξ(cid:48)(cid:48)

+(0) = u,

Nếu ¯x (cid:54)∈ Ω thì ta quy ước NΩ(¯x) = (cid:98)NΩ(¯x) := ∅. (iv) Tập tiếp xúc bậc hai (second-order tangent set) của Ω tại ¯x đối với

+(0)

trong đó

ξ(cid:48) +(0) := lim t↓0

+(0) := lim t↓0

ξ(t) − ξ(0) t

ξ(t) − ξ(0) − tξ(cid:48) 1 2t2

và ξ(cid:48)(cid:48)

Mệnh đề sau đây cho thấy nón pháp tuyến chính quy bằng nón cực

của nón tiếp tuyến.

1.1.5 Mệnh đề. [32, Theorem 1.10] Giả sử Ω ⊂ Rn và ¯x ∈ Ω. Khi đó,

(1.1) (cid:98)NΩ(¯x) = TΩ(¯x)o = (cid:8)v ∈ Rn | (cid:104)v, u(cid:105) ≤ 0, ∀u ∈ TΩ(¯x)(cid:9).

Trường hợp Ω là tập lồi, các khái niệm nón tiếp tuyến và nón pháp

tuyến ở trên được quy về nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến, tương ứng,

TΩ(¯x) = cl{w| ∃λ > 0 sao cho ¯x + λw ∈ Ω}.

theo nghĩa của giải tích lồi. Tức là:

(cid:98)NΩ(¯x) = NΩ(¯x) = {v ∈ Rn| (cid:104)v, x − ¯x(cid:105) ≤ 0, ∀x ∈ Ω}.

, ∀w ∈ Rn.

f (¯x + tw(cid:48)) − f (¯x) t

df (¯x)(w) := lim inf t ↓ 0 w(cid:48)−→w

1.1.6 Định nghĩa. [46] Cho hàm số f : Rn → ¯R hữu hạn tại ¯x ∈ Rn và v ∈ Rn. Dưới đạo hàm (subderivative) của hàm số f tại điểm ¯x là hàm df (¯x) : Rn → [−∞, ∞] được xác định bởi

DF (¯x|¯y)(w) :=

, ∀w ∈ Rn,

v ∈ Rm (cid:12) (cid:111) (cid:12) (cid:12) (w, v) ∈ TgphF (¯x, ¯y)

1.1.7 Định nghĩa. [32, 33, 46] Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm có domF (cid:54)= ∅. Đạo hàm đồ thị của F tại ¯x ∈ domF đối với ¯y ∈ F (¯x) là ánh xạ đa trị DF (¯x|¯y) : Rn ⇒ Rm được xác định bởi (cid:110)

gphDF (¯x|¯y) = TgphF (¯x, ¯y).

nghĩa là

Chú ý rằng, nếu ánh xạ đơn trị F : Rn → Rm khả vi tại ¯x thì

DF (¯x)(w) =

∇F (¯x)(w)

, ∀w ∈ Rn.

(cid:110) (cid:111)

D(f + F )(cid:0)x|f (x) + y(cid:1) = ∇f (x) + DF (x|y), ∀y ∈ F (x).

1.1.8 Bổ đề. [23, Proposition 4A.2] Giả sử f : Rn → Rm là ánh xạ khả vi tại x và F : Rn ⇒ Rm là ánh xạ đa trị. Khi đó, ta có

1.1.9 Định nghĩa. [23, 33] Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi là dưới chính quy mêtric tại (¯x, ¯y) ∈ gphF nếu tồn tại κ, r > 0 sao cho

(1.2) d(cid:0)x; F −1(¯y)(cid:1) ≤ κd(cid:0)¯y; F (x)(cid:1), ∀x ∈ Br(¯x).

Kí hiệu

subreg F (¯x|¯y) := inf

κ ∈ R+

(cid:110)

(cid:12) (cid:111) (cid:12) (cid:12) ∃ r > 0 sao cho (1.2) đúng

1.1.10 Định nghĩa. [23, 33] Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x ∈ domF đối với ¯y ∈ F (¯x) nếu tồn tại

(cid:107)x − ¯x(cid:107) ≤ κd(cid:0)¯y; F (x) ∩ V (cid:1), ∀x ∈ U.

hằng số κ > 0, lân cận U của ¯x và lân cận V của ¯y sao cho

Như vậy, nếu ¯x là điểm cô lập đối với F −1(¯y) thì tính dưới chính quy

mêtric trở thành tính dưới chính quy mêtric mạnh.

(i) Dưới vi phân chính quy của ϕ tại ¯x được định nghĩa bởi

1.1.11 Định nghĩa. [32, 33, 44, 46] Giả sử ϕ : Rn → R và ¯x ∈ Rn có ¯y := ϕ(¯x) hữu hạn.

(cid:98)∂ϕ(¯x) := (cid:8)x∗ ∈ Rn | (x∗, −1) ∈ (cid:98)Nepiϕ(¯x, ¯y)(cid:9),

∂ϕ(¯x) := (cid:8)x∗ ∈ Rn | (x∗, −1) ∈ Nepiϕ(¯x, ¯y)(cid:9).

(iii) Dưới vi phân gần kề (proximal subdifferential) của ϕ tại ¯x được định

trong đó epiϕ := (cid:8)(x, α) ∈ Rn × R | α ≥ ϕ(x)(cid:9) là tập trên đồ thị của ϕ. (ii) Dưới vi phân qua giới hạn của ϕ tại ¯x được định nghĩa bởi

nghĩa bởi

> −∞

∂pϕ(¯x) :=

v ∈ Rn| lim inf x→¯x

ϕ(x) − ϕ(¯x) − (cid:104)v, x − ¯x(cid:105) (cid:107)x − ¯x(cid:107)2

(iv) Dưới vi phân suy biến (singular subdifferential) của hàm ϕ tại ¯x được

(cid:110) (1.3) (cid:111) .

xác định bởi

∂∞ϕ(¯x) := (cid:8)v ∈ Rn| (v, 0) ∈ Nepi ϕ

(cid:0)¯x, ϕ(¯x)(cid:1)(cid:9).

∂ϕ(¯x) = (cid:8)v ∈ Rn| ∃(xk, vk) → (¯x, v)

Nếu |ϕ(¯x)| = ∞ thì ta quy ước ∂pϕ(¯x) = ∂ϕ(¯x) = (cid:98)∂ϕ(¯x) := ∅. Ta có

(1.4)

với vk ∈ ∂pϕ(xk) và ϕ(xk) → ϕ(¯x)(cid:9).

Do đó ∂pϕ(¯x) ⊂ ∂ϕ(¯x). Mặt khác, ta có (cid:98)∂ϕ(¯x) ⊂ ∂ϕ(¯x) và

∂ϕ(¯x) =

v ∈ Rn | ∃xk

ϕ → ¯x, vk → v với vk ∈ (cid:98)∂ϕ(xk)

(cid:110) (cid:111) (1.5)

Nếu ϕ là hàm lồi thì ∂pϕ(¯x), (cid:98)∂ϕ(¯x) và ∂ϕ(¯x) trùng với dưới vi phân theo nghĩa của giải tích lồi

(cid:8)x∗ ∈ Rn | (cid:104)x∗, x − ¯x(cid:105) ≤ ϕ(x) − ϕ(¯x), ∀x ∈ Rn(cid:9).

Cho hàm ϕ : Rn → R hữu hạn tại ¯x và ¯v ∈ ∂ϕ(¯x). Khi đó, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân ∂ϕ tại ¯x đối với ¯v được gọi là đạo hàm đồ thị dưới gradient của hàm ϕ tại ¯x đối với ¯v, được kí hiệu là D(∂ϕ)(cid:0)¯x|¯v(cid:1).

1.1.12 Nhận xét. Trong luận án này, luôn giả thiết hàm số được xét là

hàm nửa liên tục dưới. Vì thế, ánh xạ dưới vi phân có giá trị đóng (xem

[46, Theorem 8.6]).

Ví dụ sau chỉ ra rằng, đối với hàm chính thường nửa liên tục dưới, đồ

thị của ánh xạ dưới vi phân không đóng địa phương.

1.1.13 Ví dụ. Cho hàm f : R → R được xác định bởi

nếu x < −1,  0

x + 1 2n

2n , − 3 2n+2

f (x) =

(cid:1), n = 0, 1, 2, ..., nếu x ∈ (cid:2) − 1

−x − 1 2n+1

2n+2 , − 1 2n+1

(cid:1), n = 0, 1, 2, ..., nếu x ∈ (cid:2) − 3

−1

  nếu x ≥ 0.

Dễ thấy f chính thường nửa liên tục dưới. Ta có

{0}

 nếu x < −1 hoặc x > 0,

{1}

2n , − 3 2n+2

{−1}

nếu x ∈ (cid:0) − 1 (cid:1), n = 0, 1, 2, ...,

2n+2 , − 1 2n+1

nếu x ∈ (cid:0) − 3 (cid:1), n = 0, 1, 2, ...,

{−1, 1}

(cid:98)∂f (x) =

2n+2 , n = 0, 1, 2, ...,

(−∞, 0] nếu x = 0,

nếu x = − 3

[−1, 1]

2n , n = 0, 1, 2, ...

  nếu x = − 1

Áp dụng (1.5), ta được

{0}

 nếu x < −1 hoặc x > 0,

{1}

2n , − 3 2n+2

{−1}

(cid:1), n = 0, 1, 2, ..., nếu x ∈ (cid:0) − 1

2n+2 , − 1 2n+1

∂f (x) =

{−1, 1}

nếu x ∈ (cid:0) − 3 (cid:1), n = 0, 1, 2, ...,

2n+2 , n = 0, 1, 2, ...,

(−∞, 0] nếu x = 0,

nếu x = − 3

[−1, 1]

2n , n = 0, 1, 2, ...

  nếu x = − 1

Với 0 < (cid:15) < 1, ta có

−

∈ gph∂f ∩ B(cid:15)(0, 0), ∀n ∈ N.

1 (cid:17) 2n , (cid:15)

(cid:16)

Tuy nhiên, khi cho n → ∞, ta có

−

→ (0, (cid:15)) (cid:54)∈ gph∂f.

1 (cid:17) 2n , (cid:15) Điều này chứng tỏ gph∂f không đóng địa phương tại (0, 0).

(cid:16)

1.1.14 Định nghĩa. [46] Cho hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x. (i) Hàm f được gọi là khả vi (khả vi chặt, tương ứng) tại ¯x nếu có ma

= 0

lim x→¯x

f (x) − f (¯x) − ∇f (¯x)(x − ¯x) (cid:107)x − ¯x(cid:107)

trận ∇f (¯x) cỡ 1 × n, được gọi là (ma trận) Jacobi của f tại ¯x, sao cho

= 0, tương ứng

lim x,u→¯x

f (x) − f (u) − ∇f (¯x)(x − u) (cid:107)x − u(cid:107)

(ii) Hàm f được gọi là khả vi hai lần tại ¯x (theo nghĩa cổ điển) nếu nó khả vi trên một lân cận U nào đó của ¯x và có ma trận ∇2f (¯x) cỡ n × n,

(cid:17) (cid:16)

= 0.

∇f (x) − ∇f (¯x) − ∇2f (¯x)(x − ¯x) (cid:107)x − ¯x(cid:107)

lim x U→¯x

được gọi là (ma trận) Hesse của f tại ¯x, sao cho

w được cho bởi

1.1.15 Định nghĩa. [46] Cho f : Rn → R và ¯x ∈ dom f. Giả sử w ∈ Rn sao cho df (¯x)(w) ∈ R. (i) Dưới đạo hàm bậc hai (second subderivative) của f tại ¯x đối với v và

∆2

τ f (¯x|v)(w(cid:48)),

d2f (¯x|v)(w) = lim inf τ ↓ 0 w(cid:48)−→w

(1.6)

∆2

τ f (¯x|v)(w(cid:48)) :=

f (¯x + τ w(cid:48)) − f (¯x) − τ (cid:104)v, w(cid:48)(cid:105) 1 2τ 2

(ii) Dưới đạo hàm parabol (parabolic subderivative) của f tại ¯x đối với

w và đối với z là

f (¯x + tw + 1

2t2z(cid:48)) − f (¯x) − tdf (¯x)(w)

1 2t2

d2f (¯x)(w|z) := lim inf t ↓ 0 z(cid:48)−→z

(iii) Hàm số f được gọi là khả vi trên đồ thị hai lần (twice epi-differentiable) tại ¯x đối với ¯v nếu với mỗi w ∈ Rn và τk ↓ 0 được chọn, đều tồn tại wk → w sao cho

f (¯x|v)(wk) → d2f (¯x|¯v)(w).

∆2 τk

trong đó

(iv) Hàm số f được gọi là khả vi trên đồ thị parabol (parabolically epi-

differentiable) tại ¯x đối với w nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

dom d2f (¯x)(w|·) = {z ∈ Rn | d2f (¯x)(w|z) < ∞} (cid:54)= ∅,

f (¯x + tkw + 1

kzk) − f (¯x) − tkdf (¯x)(w)

2t2

với mỗi z ∈ Rn và tk ↓ 0 tồn tại zk → z sao cho

d2f (¯x)(w|z) = lim k→∞

1 2t2 k

(1.7)

< ∞.

f (¯x|¯v)(wk) = d2f (¯x|¯v)(w) và

∆2 tk

lim k→∞

(cid:107)wk − w(cid:107) tk

lim sup k→∞

1.1.16 Định nghĩa. [30, Definition 3.1] Hàm f : Rn → R được gọi là chính quy parabol (parabolically regular) tại ¯x đối với ¯v ∈ Rn nếu f (¯x) ∈ R và với mọi w có d2f (¯x|¯v)(w) < ∞ tồn tại tk ↓ 0 và wk → w sao cho

(1.8) Tập ∅ (cid:54)= Ω ⊂ Rn được gọi là chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v nếu hàm chỉ δΩ chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v.

Mohammadi và Sarabi ([30, Proposition 3.6]) đã chỉ ra rằng hàm số f : Rn → R là chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v ∈ ∂pf (¯x) nếu và chỉ nếu

d2f (¯x|¯v)(w) = inf z∈Rn

(1.9) (cid:8)d2f (¯x)(w|z) − (cid:104)z, ¯v(cid:105)(cid:9) , ∀w ∈ Kf (¯x, ¯v),

Kf (¯x, ¯v) := {w ∈ Rn | df (¯x)(w) = (cid:104)¯v, w(cid:105)}

trong đó

được gọi là nón tới hạn (critical cone) của hàm f tại (¯x, ¯v). Hơn nữa, nếu hàm f chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v và w ∈ dom d2f (¯x|¯v) thì tồn tại ¯z ∈ dom d2f (¯x)(w|·) sao cho

d2f (¯x|¯v)(w) = d2f (¯x)(w|¯z) − (cid:104)¯z, ¯v(cid:105).

(1.10)

1.1.17 Định nghĩa. [39, 46] Hàm số f : Rn → R được gọi là chính quy gần kề (prox-regular) tại ¯x ∈ domf đối với ¯v ∈ ∂f (¯x) nếu tồn tại r, ε > 0 sao cho với mọi x, u ∈ Bε(¯x) mà |f (u) − f (¯x)| < ε, ta có

f (x) ≥ f (u) + (cid:104)v, x − u(cid:105) −

(cid:107)x − u(cid:107)2, ∀v ∈ ∂f (u) ∩ Bε(¯v).

r 2

(1.11)

Ta thấy rằng lớp hàm chính quy gần kề chứa lớp hàm lồi. Hơn nữa, từ (1.11) suy ra rằng ∂f (u) ∩ Bε(¯v) ⊂ ∂pf (u) khi (cid:107)u − ¯x(cid:107) < ε với |f (u) − f (¯x)| < ε. Như vậy, với mọi (x, v) ∈ gph∂f đủ gần (¯x, ¯v) và f (x)

đủ gần f (¯x), ta có v là dưới vi phân gần kề của f tại ¯x, tức là v ∈ ∂pf (¯x).

1.1.18 Bổ đề. [46, Theorem 13.36] Giả sử f : Rn → R chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân tại ¯x đối với ¯v. Khi đó, tồn tại các số r, (cid:15) > 0

sao cho

(cid:104)v2 − v1, x2 − x1(cid:105) ≥ −r (cid:107)x2 − x1(cid:107)2 ,

(1.12)

với mọi x1, x2 ∈ B(cid:15)(¯x), v1 ∈ ∂f (x1) ∩ B(cid:15)(¯v) và v2 ∈ ∂f (x2) ∩ B(cid:15)(¯v).

|ϕ(x) − ϕ(u)| ≤ κ.(cid:107)x − u(cid:107), ∀x, u ∈ Ω ∩ U.

1.1.19 Định nghĩa. [28] Hàm ϕ : Rn → R được gọi là liên tục Lipschitz địa phương tại ¯x đối với tập Ω ⊂ domϕ nếu ¯x ∈ Ω, tồn tại κ ∈ R+ và lân cận U của ¯x sao cho

1.1.20 Bổ đề. [30, Proposition 2.2] Giả sử hàm f : Rn → R liên tục Lipschitz địa phương tại ¯x đối với miền hữu hiệu của nó. Khi đó, ta có

dom df (¯x) = Tdom f (¯x).

Hơn nữa, ta có df (¯x)(w) hữu hạn, với mọi w ∈ Tdom f (¯x).

1.1.21 Bổ đề. [30, Proposition 4.1] Giả sử hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x, liên tục Lipschitz địa phương tại ¯x đối với miền hữu hiệu của nó và f khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w ∈ Tdom f (¯x). Khi đó, các khẳng

(¯x, w).

(ii) dom f khả đạo hàm parabol tại ¯x đối với w.

định sau thỏa mãn: (i) dom d2f (¯x)(w|·) = T 2 dom f

1.1.22 Bổ đề. [46, Proposition 13.64] Cho hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x và w là véctơ sao cho df (¯x)w hữu hạn. Khi đó, d2f (¯x)(w|·) : Rn → R là hàm nửa liên tục dưới. Hơn nữa, với mọi v thỏa mãn df (¯x)w = (cid:104)v, w(cid:105),

{d2f (¯x)(w|z) − (cid:104)v, z(cid:105)} ≥ d2f (¯x|v)(w).

inf z

ta có

1.1.23 Bổ đề. [46, Example 13.62] Giả sử hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x và w là véctơ sao cho df (¯x)w hữu hạn. Khi đó,

epi d2f (¯x)(w|·) = T 2 (cid:0)(¯x, f (¯x)), (w, df (¯x)w)(cid:1). epi f

Hơn nữa, hàm f khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w khi và chỉ khi epi f khả đạo hàm parabol tại (cid:0)¯x, f (¯x)(cid:1) đối với (cid:0)w, df (¯x)w(cid:1).

{d2f (¯x)(w|z) − (cid:104)¯v, z(cid:105)} = d2f (¯x|¯v)(w), ∀w ∈ Kf (¯x, ¯v).

inf z

1.1.24 Bổ đề. [30, Proposition 3.6] Giả sử f : Rn → R hữu hạn tại ¯x và ¯v ∈ ∂pf (¯x). Khi đó, f chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v khi và chỉ khi

Hơn nữa, với mỗi w ∈ dom d2f (¯x|¯v), tồn tại ¯z ∈ dom d2f (¯x)(w|·) sao

d2f (¯x)(w|¯z) − (cid:104)¯v, ¯z(cid:105) = d2f (¯x|¯v)(w).

cho

{(cid:104)v, x(cid:105) − f (x)}

f ∗(v) := sup x

Nhắc lại rằng [46, trang 473] hàm f ∗ : Rn → R xác định bởi

được gọi là liên hợp của hàm f : Rn → R.

e→ f ∗.

e→ f ⇔ f ∗ k

e→ f có nghĩa là lim inf

1.1.25 Bổ đề. [46, Theorem 11.34] Giả sử rằng f, fk : Rn → R với k = 1, 2, . . . , là các hàm chính thường, nửa liên tục dưới và lồi. Khi đó,

e→ f khi và chỉ khi với mỗi x ∈ Rn, ta có

(cid:1) = lim sup (cid:1) = epi f. Trong đó, fk (cid:0)epi fk (cid:0)epi fk

fk(xk) ≥ f (x)

1.1.26 Bổ đề. [46, Proposition 7.2] Giả sử rằng fk, f : Rn → R với k = 1, 2, . . . . Khi đó, fk

lim inf k

với mọi dãy xk → x,

fk(xk) ≤ f (x)

(1.13)

lim sup k

với dãy xk → x nào đó.   

d2f (¯x|v)(w) = ∞ khi (cid:104)v, w(cid:105) < df (¯x)(w);

1.1.27 Bổ đề. [46, Proposition 13.5] Giả sử f : Rn → R hữu hạn tại ¯x. Khi đó, hàm d2f (¯x|v) nửa liên tục dưới, thuần nhất dương bậc hai và

d2f (¯x|v)(w) = −∞ khi (cid:104)v, w(cid:105) > df (¯x)(w).

  (1.14) 

1.2 Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của hàm khả

vi hai lần theo nghĩa mở rộng. Mối quan hệ của lớp hàm khả vi hai lần

theo nghĩa mở rộng và lớp hàm chính quy gần kề. Chúng tôi thiết lập

được một số quy tắc tính toán vi phân suy rộng bậc hai và thu được các

mở rộng của một số kết quả trong [30].

1.2.1 Định nghĩa. [46] Cho hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x. Hàm f được gọi là khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng (twice differentiable

at ¯x in the extended sense) nếu f khả vi tại ¯x và tồn tại ma trận A cỡ

n × n, lân cận U của ¯x và tập con D của U với µ(U \D) = 0 sao cho hàm

f liên tục Lipschitz trên U, khả vi trên D và

= 0,

∇f (x) − ∇f (¯x) − A(x − ¯x) (cid:107)x − ¯x(cid:107)

lim x D→¯x

trong đó µ kí hiệu độ đo Lebesgue trên Rn. Ma trận A là duy nhất và được gọi là (ma trận) Hesse của f tại ¯x theo nghĩa mở rộng và cũng được kí hiệu bởi ∇2f (¯x).

F : Rn → Rm, x (cid:55)→ (cid:0)F1(x), F2(x), ..., Fm(x)(cid:1)

Một cách tự nhiên, ta nói rằng ánh xạ

là khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng nếu Fk khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với mọi k = 1, 2, ..., m.

Ví dụ dưới đây chúng tôi chỉ ra rằng hàm khả vi hai lần có thể không

chính quy gần kề.

1.2.2 Ví dụ. Xét hàm số f : R → R xác định bởi

√ x3 3

xcos 1 x

g(x) =

nếu x (cid:54)= 0,  

xcos 1

 0 nếu x = 0.

√ 3 x2 3

√ x + x 3

xsin 1 x

∇g(x) =

nếu x (cid:54)= 0, Với mọi x ∈ R, ta có  

nếu x = 0,  0

√

xcos 1

xsin 1

và hàm g khả vi hai lần trên R. Bằng tính toán, ta thu được:

√ 70 9 x 3

x + 14

x − 1 3√

x2 cos 1

∇2g(x) =

nếu x (cid:54)= 0,  

 0 nếu x = 0.

∇g(¯x) = 0. Thật vậy, với r > 0 cố định, ta xét

, k = 1, 2, . . . .

uk =

, xk =

1 2kπ

1 π 2 + 2kπ

Bây giờ, ta chỉ ra rằng hàm g không chính quy gần kề tại ¯x = 0 đối với

−(cid:104)∇g(uk) − ∇g(xk), uk − xk(cid:105) − r |uk − xk|2

Khi đó, ta có đánh giá

−

= −

2kπ − 1

1 (2kπ)2 3√

2kπ

π 2 +2kπ

1 √ 2 +2kπ(cid:1) 3 (cid:0) π

π 2 +2kπ

(cid:1)2 (cid:1) − r(cid:0) 1 (cid:105) .(cid:0) 1 (cid:104) 10 3

≥

− r

− 10 3

1 (2kπ)2 3√

2kπ

π 4kπ(cid:0) π

2 +2kπ(cid:1)

π 2 +2kπ

2 +2kπ(cid:1)

(cid:104) (cid:105)

≥

1 √ 2 +2kπ(cid:1) 3 (cid:0) π (cid:104) 1 − 8

> 0, với mọi k đủ lớn.

kπ − 8r 3√

kπ

32(kπ)2 3√

π kπ(cid:0) π

2 +2kπ(cid:1)

(cid:105)

Như vậy, (1.12) không thỏa mãn. Do đó, theo Bổ đề 1.1.18 hàm g không

chính quy gần kề tại ¯x = 0 đối với ¯v = 0.

¯x theo nghĩa mở rộng và có Hesse trùng với Hesse mở rộng. Định lý 13.51 trong [46] khẳng định rằng mọi hàm dưới C 2 trên một tập mở đều khả vi

Ta thấy rằng nếu hàm f khả vi hai lần tại ¯x thì nó khả vi hai lần tại

hai lần theo nghĩa mở rộng hầu khắp nơi trên tập mở đó. Hơn nữa, trong

ví dụ sau chúng tôi chỉ ra rằng, tồn tại hai hàm khả vi liên tục hai lần sao

cho hàm max của chúng khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng nhưng không

khả vi hai lần.

1.2.3 Ví dụ. Cho hàm f : R2 → R được cho bởi f (x, y) = max{x4, y4} với mọi (x, y) ∈ R2. Rõ ràng, f liên tục Lipschitz địa phương tại (0, 0) và

∇f (x, y) =

 nếu |x| > |y|,

(4x3, 0)  (0, 4y3) 

(0, 0)

nếu |x| < |y|,

nếu x = y = 0.

max{x4 − x4

0, 0}

= max{4x3

0, 0},

x − x0

lim x→x+ 0

= lim x→x+ 0

max{x4 − x4

0, 0}

= min{4x3

0, 0}.

f (x, y0) − f (x0, y0) x − x0 f (x, y0) − f (x0, y0) x − x0

x − x0

= lim x→x− 0

lim x→x− 0

0, 0} (cid:54)= max{4x3

∇f (x,y)−∇f (0,0)

Với mọi (x0, y0) ∈ R2 sao cho |x0| = |y0| (cid:54)= 0, ta có   

lim (x,y) D→(0,0)

và Do min{4x3 0, 0}, điều này cho thấy rằng f không khả vi tại (x0, y0) ∈ R2 với |x0| = |y0| (cid:54)= 0. Do đó, f không khả vi hai lần tại (0, 0). Mặt khác, với D = {(x, y) ∈ R2 | |x| (cid:54)= |y|}, ta có µ(R2\D) = 0 (cid:107)(x,y)−(0,0)(cid:107) = 0, trong đó µ là độ đo Lebesgue trên R2.

Điều này chứng tỏ rằng f khả vi hai lần tại (0, 0) theo nghĩa mở rộng và ∇2f (0, 0) = 0 ∈ R2×2.

Khái niệm hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng được Rockafellar

và Wets đề cập trong cuốn sách chuyên khảo Variational Analysis ([46]).

Tuy nhiên, cho đến nay chưa có thêm các công bố mới nào về loại hàm

này. Định lý dưới đây chúng tôi thiết lập được một số tính chất của hàm

khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng.

(i) Hàm f + g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma trận Hesse

1.2.4 Định lý. Cho các hàm số f, g : Rn → R, ¯x ∈ Rn và hằng số α. Giả sử các hàm số f, g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng. Khi đó,

∇2(f + g)(¯x) = ∇2(f )(¯x) + ∇2(g)(¯x).

(ii) Hàm αf khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma trận Hesse

mở rộng được cho bởi

∇2(αf )(¯x) = α∇2(f )(¯x).

(iii) Hàm f.g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma trận Hesse

mở rộng được cho bởi

g(¯x)∇2f (¯x) + (cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T .∇g(¯x) + (cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T .∇f (¯x) + f (¯x)∇2g(¯x).

(iv) Nếu g(¯x) (cid:54)= 0 thì hàm f

g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với

mở rộng được cho bởi ∇2(f.g)(¯x) =

.∇g(¯x)

.∇f (¯x)

−

∇2( f

g )(¯x) = ∇2f (¯x)

g(¯x) −

ma trận Hesse mở rộng được cho bởi

g(¯x)∇2g(¯x)−2(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T

∇g(¯x)

−f (¯x).

[g(¯x)]3

(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T [g(¯x)]2 (cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T [g(¯x)]2

Chứng minh. Do f, g là các hàm khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng

µ(U \ Df ) = 0, µ(U \ Dg) = 0

nên ta có

với U là một lân cận nào đó của ¯x, µ là độ đo Lebesgue trên Rn. Do đó

0 ≤ µ(cid:2)U \ (cid:0)Df ∩ Dg

(cid:1)(cid:1)(cid:3) (cid:1)(cid:3) = µ(cid:2)(cid:0)U \ Df ∪ (cid:0)U \ Dg

≤ µ(cid:0)U \ Df

(cid:1) = 0. (cid:1) + µ(cid:0)U \ Dg

(cid:1)(cid:3) = 0. Hơn nữa, vì f, g là các hàm liên tục

|f (x1) − f (x2)| ≤ κ1 (cid:107)x1 − x2(cid:107) và |g(x1) − g(x2)| ≤ κ2 (cid:107)x1 − x2(cid:107) ,

Suy ra µ(cid:2)U \ (cid:0)Df ∩ Dg Lipschitz địa phương tại ¯x nên tồn tại (cid:15) > 0, κ1 > 0, κ2 > 0 sao cho

m1 = min{|f (x)| | x ∈ B(cid:15)(¯x)}, M1 = max{|f (x)| | x ∈ B(cid:15)(¯x)},

m2 = min{|g(x)| | x ∈ B(cid:15)(¯x)}, M2 = max{|g(x)| | x ∈ B(cid:15)(¯x)}.

(i) Hàm f + g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng:

với mọi x1, x2 ∈ B(cid:15)(¯x). Đặt

≤ (κ1 + κ2) (cid:107)x1 − x2(cid:107) .

Thật vậy, vì f, g là các hàm khả vi tại ¯x nên hàm f + g khả vi tại ¯x. Với mọi x1, x2 ∈ B(cid:15)(¯x), ta có (cid:12)f (x1) + g(x1) − (cid:0)f (x2) + g(x2)(cid:1)(cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ |f (x1) − f (x2)| + |g(x1) − g(x2)|

Suy ra hàm f + g liên tục Lipschitz trên B(cid:15)(¯x). Mặt khác, ta có

+(cid:2)∇g(x)(cid:3)T

−

+(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:17)

−

∇2f (¯x)+∇2g(¯x)

(x−¯x)

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:13) (cid:2)∇f (x)(cid:3)T (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

0 ≤

(cid:107)x−¯x(cid:107)

(cid:13) (cid:13) −∇2g(¯x)(x−¯x) (cid:13) (cid:13)

(cid:13) (cid:13) −∇2f (¯x)(x−¯x) (cid:13) (cid:13)

(cid:13) (cid:2)∇g(x)(cid:3)T (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:13) (cid:2)∇f (x)(cid:3)T (cid:13) (cid:13) (cid:13)

≤

−(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T (cid:107)x−¯x(cid:107)

−(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:107)x−¯x(cid:107)

→ 0 khi x

Df ∩Dg−→ ¯x.

(cid:16) (cid:17) (cid:16)(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T

Do đó,

−

∇2f (¯x)+∇2g(¯x)

(x−¯x)

= 0.

(cid:107)x−¯x(cid:107)

lim Df ∩Dg −→ ¯x

(cid:16) (cid:17) (cid:16)(cid:2)∇(f +g)(x)(cid:3)T (cid:17) (cid:16)(cid:2)∇(f +g)(¯x)(cid:3)T (cid:17)

(ii) αf khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng:

Như vậy, hàm f + g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma trận Hesse mở rộng là ∇2(f + g)(¯x) = ∇2f (¯x) + ∇2g(¯x).

|αf (x1) − αf (x2)| ≤ |α| |f (x1) − f (x2)|

≤ |α| κ1 (cid:107)x1 − x2(cid:107) , ∀x1, x2 ∈ B(cid:15)(¯x).

Thật vậy, vì f khả vi tại ¯x nên αf khả vi tại ¯x. Ta có

α(cid:2)∇f (x)(cid:3)T

−α∇2f (¯x)(x−¯x)

−α(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T (cid:107)x−¯x(cid:107)

lim Df −→¯x x

Suy ra, hàm αf liên tục Lipschitz trên U = B(cid:15)(¯x). Mặt khác, ta có

−∇2f (¯x)(x−¯x)

= 0.

−(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T (cid:107)x−¯x(cid:107)

= α lim Df −→¯x x

(cid:2)∇f (x)(cid:3)T

(iii) Hàm f.g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng. Thật vậy, vì f, g

Do đó, hàm αf khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma trận Hesse mở rộng là ∇2(αf )(¯x) = α∇2f (¯x).

|f (x1).g(x1) − f (x2).g(x2)|

≤ |f (x1).g(x1) − f (x1).g(x2)| + |f (x1).g(x2) − f (x2).g(x2)|

= |f (x1)| |g(x1) − g(x2)| + |g(x2)| |f (x1) − f (x2)|

≤ (M1.κ2 + M2κ1) (cid:107)x1 − x2(cid:107) , ∀x1, x2 ∈ B(cid:15)(¯x).

là các hàm khả vi tại ¯x nên hàm f.g khả vi tại ¯x. Ta có

A := g(¯x)∇2f (¯x) + (cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T .∇g(¯x) + (cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T .∇f (¯x) + f (¯x)∇2g(¯x),

Chứng tỏ rằng hàm f.g liên tục Lipschitz trên U = B(cid:15)(¯x). Hơn nữa, với

f (x).(cid:2)∇g(x)(cid:3)T

+g(x)(cid:2)∇f (x)(cid:3)T

−f (¯x).(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T

−g(¯x)(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T

−A(x−¯x)

(cid:107)x−¯x(cid:107)

f (x)(cid:2)∇g(x)(cid:3)T

−f (¯x)(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T

−

ta có

(x−¯x)

(cid:107)x−¯x(cid:107)

g(x)(cid:2)∇f (x)(cid:3)T

−g(¯x)(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T

−

(cid:104)(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:105) .∇f (¯x)+f (¯x)∇2g(¯x) (1.15)

(x−¯x)

(cid:107)x−¯x(cid:107)

(cid:104)(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T (cid:105) .∇g(¯x)+g(¯x)∇2f (¯x)

f (x)(cid:2)∇g(x)(cid:3)T

−f (¯x)(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T

−

Mặt khác,

.∇f (¯x)+f (¯x)∇2g(¯x)

(cid:107)x−¯x(cid:107)

(cid:104)(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:105) (x−¯x)

−(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:1)∇f (¯x)(x−¯x)

(cid:107)x−¯x(cid:107)

(cid:0)(cid:2)∇g(x)(cid:3)T (cid:2)∇g(x)(cid:3)T (cid:2)f (x)−f (¯x)−∇f (¯x)(x−¯x)(cid:3) (cid:107)x−¯x(cid:107)

f (¯x)

→ 0 khi x

Df ∩Dg−→ ¯x.

−(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:107)x−¯x(cid:107)

(cid:104)(cid:2)∇g(x)(cid:3)T (cid:105) −∇2g(¯x)(x−¯x)

(1.16)

g(x)(cid:2)∇f (x)(cid:3)T

−g(¯x)(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T

−

Tương tự, ta có

.∇g(¯x)+g(¯x)∇2f (¯x)

(cid:107)x−¯x(cid:107)

(cid:104)(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T (cid:105) (x−¯x)

→ 0 khi x

Df ∩Dg−→ ¯x.

(1.17)

−f (¯x).(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T

−g(¯x)(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T

−A(x−¯x)

= 0.

(cid:107)x−¯x(cid:107)

lim Df ∩Dg −→ ¯x

Từ (1.15), (1.16) và (1.17) suy ra +g(x)(cid:2)∇f (x)(cid:3)T f (x).(cid:2)∇g(x)(cid:3)T

Do đó, hàm f.g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma trận

∇2(f.g)(¯x) = g(¯x)∇2f (¯x)+(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T .∇g(¯x)+(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T .∇f (¯x)+f (¯x)∇2g(¯x).

g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng.

(iv) Hàm f Trước hết, ta chứng minh rằng hàm 1

g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở

Hesse mở rộng là

g(¯x)∇2g(¯x) − 2[∇g(¯x)]T ∇g(¯x) [g(¯x)]3

rộng, với ma trận Hesse mở rộng là:

−

≤

(cid:107)x1 − x2(cid:107) .

Thật vậy, vì hàm g khả vi tại ¯x và g(¯x) (cid:54)= 0 nên 1 g khả vi tại ¯x. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng g(x) (cid:54)= 0 với mọi x ∈ B(cid:15)(¯x), với (cid:15) > 0 nào đó. Khi đó, ta có m2 > 0. Với mọi x1, x2 ∈ B(cid:15)(¯x), ta có

|g(x1) − g(x2)| |g(x1)| . |g(x2)|

κ2 m2 2

B :=

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) 1 1 (cid:12) (cid:12) g(x2) g(x1) (cid:12) g liên tục Lipschitz trên B(cid:15)(¯x). Xét Điều này chứng tỏ hàm 1 g(¯x)∇2g(¯x) − 2[∇g(¯x)]T ∇g(¯x) [g(¯x)]3

∇g(¯x)

∇g(x)

(cid:2) (cid:3)T Ta có (cid:2)

[g(¯x)]2 −B(x−¯x) (cid:107)x−¯x(cid:107)

−g(¯x)[g(x)]2∇2g(¯x)(x−¯x)+2[g(x)]2[∇g(¯x)]T ∇g(¯x)(x−¯x)

−g(¯x)[g(x)]2(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T

[g(¯x)]3(cid:2)∇g(x)(cid:3)T

[g(x)]2[g(¯x)]3(cid:107)x−¯x(cid:107)

(cid:3)T [g(x)]2 −

−∇2g(¯x)(x−¯x)

= 1

−

[g(¯x)]2 .

−(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:107)x−¯x(cid:107)

2(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T [g(¯x)]3

. g(x)−g(¯x)−∇g(¯x)(x−¯x) (cid:107)x−¯x(cid:107)

Dg→ ¯x,

[g(x)]2[g(¯x)]3 . g(¯x)−g(x)

(cid:107)x−¯x(cid:107) .H → 0 khi x

(cid:2)∇g(x)(cid:3)T

[g(¯x)]2(cid:2)∇g(x)(cid:3)T +g(¯x)g(x)(cid:2)∇g(x)(cid:3)T −2[g(x)]2(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T (cid:105) (cid:104) .

trong đó H =

Từ đó suy ra

= 0.

(cid:2)∇g(x)(cid:3)T [g(x)]2 −

[g(¯x)]2 khả vi tại ¯x đối với Dg. Như vậy, hàm 1

g khả vi hai

lim Dg → ¯x x Do đó, ánh xạ − ∇g lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma trận Hesse mở rộng là −B.

(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T [g(¯x)]2 − B(x − ¯x) (cid:107)x − ¯x(cid:107)

g là các hàm khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, với ma

Cuối cùng, vì f, 1 nên theo (iii), hàm f

.∇g(¯x)

.∇f (¯x)

−

∇2( f

g )(¯x) = ∇2f (¯x)

g(¯x) −

trận Hesse mở rộng là

g(¯x)∇2g(¯x)−2(cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T

∇g(¯x)

−f (¯x).

[g(¯x)]3

(cid:2)∇f (¯x)(cid:3)T [g(¯x)]2 (cid:2)∇g(¯x)(cid:3)T [g(¯x)]2

(cid:3) Định lý được chứng minh.

∂∞ϕ1(¯x) ∩ ∂∞(−ϕ2)(¯x) = {0}.

1.2.5 Bổ đề. [33, Theorem 2.19] Cho ϕ1, ϕ2 : Rn → R là các hàm nửa liên tục dưới và ¯x ∈ dom ϕ1 ∩ dom ϕ2. Giả sử rằng

∂(ϕ1 + ϕ2)(¯x) ⊂ ∂ϕ1(¯x) + ∂ϕ2(¯x).

Khi đó, ta có

¯x sao cho

1.2.6 Bổ đề. [46, Theorem 13.2] Giả sử f : Rn → R khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng. Khi đó, ∂f (¯x) = {∇f (¯x)} và tồn tại lân cận U của

∅ (cid:54)= ∂f (x) ⊂ ∇f (¯x) + ∇2f (x − ¯x) + o((cid:107)x − ¯x(cid:107))B, ∀x ∈ U.

(1.18)

f (x) = f (¯x) + (cid:104)∇f (¯x), x − ¯x(cid:105) +

(cid:104)x − ¯x, ∇2f (¯x)(x − ¯x)(cid:105) + o((cid:107)x − ¯x(cid:107)2).

1 2

Hơn nữa, hàm f khả vi chặt tại ¯x và

(1.19)

Chúng tôi thu được các quy tắc tổng dạng đẳng thức đối với đạo hàm

đồ thị dưới gradient, dưới đạo hàm bậc hai và dưới đạo hàm parabol.

1.2.7 Định lý. Cho hàm ϕ : Rn → R khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng và hàm ψ : Rn → R chính thường nửa liên tục dưới địa phương tại ¯x. Giả sử ¯v ∈ ∂(ϕ + ψ)(¯x). Khi đó, ta có

D∂(ϕ + ψ)(¯x|¯v)(w) = ∇2ϕ(¯x)(w) + D∂ψ(cid:0)¯x|¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w),

(1.20)

(1.21)

d2(ϕ + ψ)(cid:0)¯x|¯v(cid:1)(w) = (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) + d2ψ(cid:0)¯x|¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w), d2(ϕ + ψ)(¯x)(w|z) = (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) + ∇ϕ(¯x)z + d2ψ(¯x)(w|z),

(1.22)

với mọi w ∈ Rn và z ∈ Rn.

¯v + tkzk ∈ ∂(ϕ + ψ)(¯x + tkwk), ∀k ∈ N∗.

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh (1.20). Giả sử w ∈ Rn và z ∈ D∂(ϕ + ψ)(¯x|¯v)(w). Khi đó, tồn tại tk ↓ 0 và (wk, zk) → (w, z) sao cho

Vì ϕ khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng nên ϕ liên tục Lipschitz địa

∂(ϕ + ψ)(¯x + tkwk) ⊂ ∂ϕ(¯x + tkwk) + ∂ψ(¯x + tkwk)

⊂ ∇ϕ(¯x) + tk∇2ϕ(¯x)(wk) + o((cid:107)tkwk(cid:107))B

+∂ψ(¯x + tkwk), với mọi k ∈ N∗ đủ lớn.

phương tại ¯x. Theo Bổ đề 1.2.5 và (1.18), ta được

Từ đó, ta có

∈ ∂ψ(¯x + tkwk),

zk − ∇2ϕ(¯x)(wk) +

o((cid:107)tkwk(cid:107)) tk

(cid:17) (cid:16) (cid:0)¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1) + tk

hay

∈ gph∂ψ.

wk, zk − ∇2ϕ(¯x)(wk) +

o((cid:107)tkwk(cid:107)) tk

(cid:16) (cid:17) (cid:0)¯x, ¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1) + tk

Mặt khác,

→ (cid:0)w, z − ∇2ϕ(¯x)(w)(cid:1) khi k → ∞.

wk, zk − ∇2ϕ(¯x)(wk) +

o((cid:107)tkwk(cid:107)) tk

(cid:16) (cid:17)

Do đó,

(cid:0)¯x, ¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1). (cid:0)w, z − ∇2ϕ(¯x)(w)(cid:1) ∈ Tgph∂ψ

z − ∇2ϕ(¯x)(w) ∈ D∂ψ(¯x|¯v − ∇ϕ(¯x)(w).

Nói cách khác,

Điều này chỉ ra rằng

D∂(ϕ + ψ)(¯x|¯v)(w) ⊂ ∇2ϕ(¯x)(w) + D∂ψ(cid:0)¯x|¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w).

(1.23)

D∂ψ(¯x|¯v − ∇ϕ(¯x))(w) = D∂(cid:0)ϕ + ψ + (−ϕ)(cid:1)(¯x|¯v − ∇ϕ(¯x))(w)

⊂ D∂(cid:0)ϕ + ψ(cid:1)(¯x|¯v)(w) + ∇2(−ϕ)(¯x)(w)

= D∂(cid:0)ϕ + ψ(cid:1)(¯x|¯v)(w) − ∇2(ϕ)(¯x)(w).

Chú ý rằng hàm (−ϕ) khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng với ∇2(−ϕ)(¯x) = −∇2ϕ(¯x). Sử dụng (1.23), ta có

Từ đó suy ra

∇2ϕ(¯x)(w) + D∂ψ(¯x|¯v − ∇ϕ(¯x))(w) ⊂ D∂(ϕ + ψ)(¯x|¯v)(w).

(1.24)

D∂(ϕ + ψ)(¯x|¯v)(w) = ∇2ϕ(¯x)(w) + D∂ψ(¯x|¯v − ∇ϕ(¯x))(w), ∀w ∈ Rn.

Do đó, từ (1.23) và (1.24), ta được

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng (1.21) thỏa mãn. Lấy bất kì w ∈ Rn.

∆2

t ϕ(cid:0)¯x|∇ϕ(¯x)(cid:1)(w(cid:48)).

Do ϕ khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng nên theo (1.19), ta có

(cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) = lim t ↓ 0 w(cid:48)−→w

d2(ϕ + ψ)(¯x|¯v)(w)

∆2

t (ϕ + ψ)(¯x|¯v)(w(cid:48))

= lim inf t ↓ 0 w(cid:48)−→w

Do đó,

= lim inf t ↓ 0 w(cid:48)−→w

∆2

t ψ(cid:0)¯x|¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w(cid:48))

= (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) + lim inf t ↓ 0 w(cid:48)−→w

= (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:105) + d2ψ(cid:0)¯x|¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w).

(cid:0)¯x|∇ϕ(¯x)(cid:1)(w(cid:48)) + ∆2 (cid:104) ∆2 t (cid:105) t ψ(cid:0)¯x|¯v − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w(cid:48))

Cuối cùng, ta chỉ ra rằng (1.22) thỏa mãn. Thật vậy, ta có ϕ khả vi

(ϕ+ψ)(¯x+tw(cid:48))−(ϕ+ψ)(¯x) t

d(ϕ + ψ)(¯x)(w) = lim inf t ↓ 0 w(cid:48)−→w

tại ¯x nên

+ ψ(¯x+tw(cid:48))−ψ(¯x) t

= lim inf t ↓ 0 w(cid:48)−→w

ψ(¯x+tw(cid:48))−ψ(¯x) t

= ∇ϕ(¯x)w + lim inf t ↓ 0 w(cid:48)−→w

= ∇ϕ(¯x)w + dψ(¯x)(w),

∀w ∈ Rn.

(cid:105) (cid:104) ϕ(¯x+tw(cid:48))−ϕ(¯x) t

ϕ(¯x+tw+ 1

2 t2z(cid:48))−ϕ(¯x)−t∇ϕ(¯x)w

= (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) + ∇ϕ(¯x)z, ∀w, z ∈ Rn.

1 2 t2

lim inf t ↓ 0 z(cid:48)−→z

Vì ϕ khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng nên theo (1.19), ta được

(ϕ+ψ)(¯x+tw+ 1

2 t2z(cid:48))−(ϕ+ψ)(¯x)−td(ϕ+ψ)(¯x)(w)

1 2 t2

d2(ϕ + ψ)(cid:0)¯x(cid:1)(w|z) = lim inf t ↓ 0 z(cid:48)−→z

Do đó, ta có

2 t2z(cid:48))−ϕ(¯x)−t∇ϕ(¯x)w

2 t2z(cid:48))−ψ(¯x)−tdψ(¯x)(w)

+ ψ(¯x+tw+ 1

1 2 t2

= lim inf t ↓ 0 z(cid:48)−→z

ψ(¯x+tw+ 1

2 t2z(cid:48))−ψ(¯x)−tdψ(¯x)(w)

1 2 t2

= (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) + ∇ϕ(¯x)z + lim inf t ↓ 0 z(cid:48)−→z

= (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) + ∇ϕ(¯x)z + d2ψ(¯x)(w|z), ∀w ∈ Rn, z ∈ Rn.

(cid:105) (cid:104) ϕ(¯x+tw+ 1

(cid:3) Định lý được chứng minh.

Cho hàm ψ : Rn → R hữu hạn tại ¯x ∈ Rn. Giả sử rằng tồn tại lân

cận O của ¯x sao cho hàm ψ biểu diễn được dưới dạng

ψ(x) = g ◦ F (x), ∀x ∈ O,

(1.25)

trong đó, ánh xạ F : Rn → Rm khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng và hàm g : Rm → R chính thường, nửa liên tục dưới, lồi và liên tục Lipschitz địa phương tại F (¯x) đối với miền hữu hiệu của g, với hằng số Lipschitz là (cid:96) ∈ R+, tức là tồn tại lân cận V của F (¯x) sao cho

|g(y1) − g(y2)| ≤ (cid:96)(cid:107)y1 − y2(cid:107), ∀y1, y2 ∈ dom g ∩ V.

(1.26)

Ta thấy rằng

(dom ψ) ∩ O = {x ∈ O | F (x) ∈ dom g}.

(1.27)

Nhắc lại rằng hàm ψ = g◦F ([28, Definition 3.2]) được gọi là thỏa mãn

điều kiện ràng buộc chuẩn hóa dưới chính quy mêtric (metric subregularity

qualification condition) (MSCQ) tại ¯x ∈ dom ψ nếu tồn tại hằng số κ ∈ R+ và lân cận U của ¯x sao cho

(1.28) d(x; dom ψ) ≤ κd(cid:0)F (x); dom g(cid:1), ∀x ∈ U.

(1.29) 1.2.8 Bổ đề. [28, Theorem 3.4] Cho ánh xạ F : Rn → Rm khả vi tại ¯x ∈ Rn và hàm g : Rm → R liên tục Lipschitz địa phương tại F (¯x) đối với miền hữu hiệu của nó. Giả sử hàm ψ = g ◦ F thỏa mãn điều kiện ràng buộc chuẩn hóa MSCQ tại ¯x, với hằng số κ ∈ R+. Khi đó, ta có d(g ◦ F )(¯x)(w) = dg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1), ∀w ∈ Rn.

ψ = g ◦ F thỏa mãn điều kiện ràng buộc chuẩn hóa MSCQ tại ¯x. Khi đó,

1.2.9 Bổ đề. [28, Theorem 3.5] Cho F : Rn → Rm khả vi chặt tại ¯x ∈ Rn, hàm g : Rm → R lồi nửa liên tục dưới địa phương tại F (¯x) và liên tục Lipschitz địa phương tại F (¯x) đối với miền hữu hiệu của g. Giả sử, hàm

∂(g ◦ F )(¯x) = ˆ∂(g ◦ F )(¯x) = ∇f (¯x)∗∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1).

(1.30)

1.2.10 Bổ đề. Cho hàm ψ : Rn → R biểu diễn được dưới dạng (1.25) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ tại ¯x với môđun κ. Giả sử w ∈ Rn. Khi đó, ánh xạ Sw : Rm ⇒ Rn cho bởi

Sw(p) := {u ∈ Rn| ∇F (¯x)u+∇2F (¯x)(w, w)+p ∈ T 2

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1)} dom g

(1.31)

thỏa mãn bao hàm thức

Sw(p) ⊂ Sw(0) + κ.(cid:107)p|(cid:107).B, ∀p ∈ Rm.

(1.32)

∇F (¯x)u + ∇2F (¯x)(w, w) + p ∈ T 2

Chứng minh. Lấy p ∈ Rn và u ∈ Sw(p), theo (1.31), ta có

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.4 (iv), tồn tại tk ↓ 0 sao cho

F (¯x)+tk∇F (¯x)w +

t2 k

1 2

F (cid:0)¯x + tkw + 1

(cid:0)∇F (¯x)u+∇2F (¯x)(w, w)+p(cid:1) ∈ dom g, ∀k ∈ N.

+ 1

Theo Bổ đề 1.2.6, với k đủ lớn, ta có ku(cid:1) = F (¯x) + tk∇F (¯x)w 2t2

2t2

(cid:1), (cid:0)∇F (¯x)u + ∇2F (¯x)(w, w)(cid:1) + o(cid:0)t2 k

kết hợp điều này và hàm ψ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

MSCQ, ta có

d(cid:0)¯x + tkw + 1

F (cid:0)¯x + tkw + 1

ku(cid:1); dom g 2t2

(cid:17) (cid:16) ku; dom ψ(cid:1) ≤ κ.d 2t2

(cid:107)p(cid:107) +

≤ 1

2κ.t2

o(cid:0)t2 k t2 k

(cid:1) (cid:17) (cid:16)

Do đó, tồn tại yk ∈ dom ψ sao cho

ku − yk

2t2

(cid:107)p(cid:107) +

(cid:107)dk(cid:107) ≤

1 2

o(cid:0)t2 k t2 k

¯x + tkw + 1 t2 k

(cid:1) (cid:16) (cid:17) với dk :=

Lấy dãy con nếu cần, giả sử rằng tồn tại d ∈ Rn sao cho dk → d khi k → ∞. Từ đó, ta được

κ(cid:107)p(cid:107).

(cid:107)d(cid:107) ≤

1 2

(1.33)

¯x + tkw +

ku − t2 t2

kdk = yk ∈ (dom ψ) ∩ O, với k đủ lớn.

1 2

Mặt khác, không mất tính tổng quát, giả sử rằng

Khi đó, từ (1.27) suy ra rằng

F (cid:0)¯x + tkw +

t2 ku − t2

kdk

1 2

(cid:1) ∈ dom g.

Do đó, theo Bổ đề 1.2.6, ta có

F (cid:0)¯x + tkw + 1

kdk

ku − t2

2t2

(cid:1)

= F (¯x) + tk∇F (¯x)w + 1

+ o(cid:0)t2 k

2t2

(cid:16) (cid:1). (cid:17) ∇F (¯x)(u − 2dk) + ∇2F (¯x)(w, w)

Từ đó, ta có

∈ dom g.

F (¯x)+tk∇F (¯x)w+

∇F (¯x)(u−2dk)+∇2F (¯x)(w, w)+

t2 k

1 2

o(cid:0)t2 k t2 k

(cid:1) (cid:17) (cid:16)

Do đó,

∇F (¯x)(u − 2dk) + ∇2F (¯x)(w, w) ∈ T 2

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

u − 2d ∈ Sw(0).

Điều này chứng tỏ

(cid:3) Bổ đề được chứng minh.

Mệnh đề sau đây là sự mở rộng của các kết quả ở [30, Proposition 4.3]

và [30, Theorem 4.4]

dψ(¯x)(w) = dg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1), ∀w ∈ Rn,

∂pψ(¯x) = ∂ψ(¯x) = ∇F (¯x)∗∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1),

1.2.11 Mệnh đề. Giả sử hàm ψ : Rn → R biểu diễn được dưới dạng (1.25) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ tại ¯x. Khi đó,

Tdom ψ(¯x) =

w ∈ Rn (cid:12) (cid:110) (cid:12) (cid:12) ∇F (¯x)w ∈ Tdom g

(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:111) .

(i) Ta có

z ∈ T 2

(¯x, w) ⇔ ∇F (¯x)z +∇2F (¯x)(w, w) ∈ T 2

Hơn nữa, nếu w ∈ Tdom ψ(¯x) và g khả vi trên đồ thị parabol tại F (¯x) đối với ∇F (¯x)w thì các khẳng định sau thỏa mãn:

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1) dom ψ dom g

và dom ψ khả đạo hàm parabol tại ¯x đối với w. (ii) Với mọi z ∈ Rn, ta có

d2ψ(¯x)(w|z) = d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w).

(iii) dom d2ψ(¯x)(w|·) = T 2

(¯x, w).

(1.34)

(iv) Hàm ψ khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w.

dom ψ

Chứng minh. Do F : Rn → Rm khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng

∇2F (¯x)(x − ¯x, x − ¯x) + o((cid:107)x − ¯x(cid:107)2)

F (x) = F (¯x) + (cid:104)∇F (¯x), x − ¯x(cid:105) +

1 2

nên theo Bổ đề 1.2.6, ta có

(1.35)

và f khả vi chặt tại ¯x. Kết hợp với hàm ψ = g ◦ F thỏa mãn điều kiện

chuẩn hóa ràng buộc MSCQ tại ¯x và Bổ đề 1.2.8, suy ra

dψ(¯x)(w) = dg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1), ∀w ∈ Rn.

(1.36)

Theo Bổ đề 1.2.9, ta thu được

∂pψ(¯x) ⊂ ∂ψ(¯x) = ∇F (¯x)∗∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1).

(1.37)

ψ(x)−ψ(¯x)−(cid:10)∇F (¯x)∗y,x−¯x(cid:11) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

lim inf x→¯x

g(cid:0)F (¯x)+∇F (¯x)(x−¯x)+ 1

2 ∇2F (¯x)(x−¯x,x−¯x)+o((cid:107)x−¯x(cid:107)2)(cid:1)−g(cid:0)F (¯x)(cid:1)−(cid:10)y,∇F (¯x)(x−¯x)(cid:11)

= lim inf

(cid:107)x−¯x(cid:107)2

x→¯x

2 ∇2F (¯x)(x−¯x,x−¯x)+o((cid:107)x−¯x(cid:107)2)(cid:11)

= lim inf

g(cid:0)F (¯x)+∆(x)(cid:1)−g(cid:0)F (¯x)(cid:1)−(cid:10)y,∆(x)(cid:11)+(cid:10)y, 1 (cid:107)x−¯x(cid:107)2

x→¯x

≥ lim inf

− 1

g(cid:0)F (¯x)+∆(x)(cid:1)−g(cid:0)F (¯x)(cid:1)−(cid:10)y,∆(x)(cid:11) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

2(cid:107)y(cid:107) · (cid:107)∇2F (¯x)(cid:107) > −∞,

x→¯x

Tiếp theo, ta chứng minh rằng ∇F (¯x)∗∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1) ⊂ ∂pψ(¯x). Lấy bất kì y ∈ ∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1). Vì g là hàm lồi nên ta có y ∈ ∂pg(cid:0)F (¯x)(cid:1). Do đó

∆(x) := ∇F (¯x)(x−¯x)+

∇2F (¯x)(x−¯x, x−¯x)+o((cid:107)x−¯x(cid:107)2) → 0 khi x → ¯x.

1 2

trong đó

Điều này chứng tỏ ∇F (¯x)∗y ∈ ∂pψ(¯x), từ đó ta được

F (¯x)∗∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1) ⊂ ∂pψ(¯x).

(1.38)

Từ (1.37) và (1.38) suy ra

∂pψ(¯x) = ∂ψ(¯x) = ∇F (¯x)∗∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1).

(1.39)

Tdom ψ(¯x) = dom dψ(¯x) = (cid:8)w ∈ Rn | ∇F (¯x)w ∈ dom dg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:9)

Hơn nữa, từ (1.36) và Bổ đề 1.1.20, ta được

= (cid:8)w ∈ Rn | ∇F (¯x)w ∈ Tdom g

(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:9).

Bây giờ, giả sử rằng w ∈ Tdom ψ(¯x) và hàm g khả vi trên đồ thị parabol tại F (¯x) đối với ∇F (¯x)w. Do hàm g liên tục Lipschitz địa phương (cid:0)F (¯x)(cid:1), theo tại F (¯x) đối với miền hữu hiệu của nó và ∇F (¯x)w ∈ Tdom g Bổ đề 1.1.21, dom g khả đạo hàm parabol tại F (¯x) đối với ∇F (¯x)w.

Chứng minh (i). Lấy bất kì w ∈ Tdom ψ(¯x). Trước hết, ta chứng minh

(¯x, w) (cid:54)= ∅.

T 2 dom ψ

(1.40)

Vì hàm g khả vi trên đồ thị parabol tại F (¯x) đối với ∇F (¯x)w nên, theo

Bổ đề 1.1.21, dom g khả đạo hàm parabol tại F (¯x) đối với ∇F (¯x)w. Theo

Định nghĩa 1.1.4 (iv), ta có

T 2 dom g

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1) (cid:54)= ∅.

∇F (¯x)0 + ∇2F (¯x)(w, w) + p = z ∈ T 2

Lấy z ∈ T 2 (cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). Đặt p := z − ∇2F (¯x)(w, w), ta có dom g

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

0 ∈ Sw(p) hay Sw(p) (cid:54)= ∅.

Điều này chứng tỏ rằng

Sw(p) ⊂ Sw(0) + κ(cid:107)p(cid:107)B.

Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.10, ta có

Sw(0) (cid:54)= ∅.

Do đó,

Ta lại có

Sw(0) = {u ∈ Rn| ∇F (¯x)u + ∇2F (¯x)(w, w) ∈ T 2

= T 2

(¯x, w).

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1)} dom g

dom ψ

(¯x, w), ta có

Như vậy (1.40) được chứng minh.

Lấy w ∈ Tdom ψ(¯x) và z ∈ T 2 dom ψ

u := ∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w) ∈ T 2

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

F (¯x) + t∇F (¯x) +

t2u ∈ dom g, ∀t > 0 đủ nhỏ.

1 2

Từ đó suy ra

d(cid:0)¯x + tw + 1

2t2z; dom ψ(cid:1)

Khi đó, theo điều kiện (1.27), ta có

≤ κd

≤ κ(cid:107)F (cid:0)¯x + tw + 1

2t2z(cid:1); dom g 2t2z(cid:1) − (cid:0)F (¯x) + t∇F (¯x)w + 1

2t2u(cid:1)(cid:107) = o(cid:0)t2(cid:1).

(cid:17) (cid:16) F (cid:0)¯x + tw + 1

¯x + tw +

t2z − zt = o(cid:0)t2(cid:1), ∀t > 0 đủ nhỏ.

1 2

Vì thế, tồn tại zt ∈ dom ψ sao cho

2t2z + o(cid:0)t2(cid:1), ta có

ξ(0) = ¯x, ξ(cid:48)

+(0) = w, ξ(cid:48)(cid:48)

+(0) = z.

Xét ξ(t) := zt = ¯x + tw + 1

u := ∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w).

Vậy dom ψ khả đạo hàm parabol tại ¯x đối với w. Lấy z ∈ Rn và đặt

z /∈ T 2

(¯x, w).

Giả sử rằng

dom ψ

Ta luôn có

(¯x, w).

(1.41) dom d2ψ(¯x)(w|·) ⊂ T 2 dom ψ

d2ψ(¯x)(w|z) = ∞.

Vì vậy, ta có

Kết hợp với (i), ta được

u /∈ T 2

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

(cid:0)F (¯x)(cid:1), ta thu được Khi đó, áp dụng Bổ đề 1.1.21 và ∇F (¯x)w ∈ Tdom g

(1.42) dom d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| · (cid:1) = T 2 (cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1) = ∞.

Từ đó, ta có

(¯x, w).

Như vậy, (1.34) thỏa mãn, với mọi z /∈ T 2 dom ψ

kzk

ψ(cid:0)¯x+tkw+ 1 2 t2

d2ψ(¯x)(w|z) ≤ lim inf k→∞

kzk

ψ(cid:0)¯x+tkw+ 1 2 t2

≤ lim sup

Bây giờ, xét dãy tk ↓ 0 và đặt zk := z, với k ∈ N∗, ta có

k→∞

≤ ∞ = d2ψ(¯x)(w|z).

(cid:1)−ψ(¯x)−tkdψ(¯x)(w) 1 2 t2 k (cid:1)−ψ(¯x)−tkdψ(¯x)(w) 1 2 t2 k

ψ(cid:0)¯x + tkw + 1

kzk

2t2

Từ đó suy ra

d2ψ(¯x)(w|z) = lim k→∞

(1.43) (cid:1) − ψ(¯x) − tkdψ(¯x)(w) 1 2t2 k

(¯x, w).

với mọi z /∈ T 2 dom ψ

(¯x, w) và xét dãy bất kì tk ↓ 0. Khi đó, tồn tại zk → z

Lấy z ∈ T 2

dom ψ khi k → ∞ sao cho

xk := ¯x + tkw +

t2 kzk ∈ dom ψ, ∀k ∈ N.

1 2

(1.44)

Hơn nữa, vì hàm g khả vi trên đồ thị parabol tại F (¯x) đối với ∇F (¯x)w

d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1)

nên tồn tại uk → u sao cho

kuk

g(cid:0)F (¯x)+tk∇F (¯x)w+ 1 2 t2

1 2 t2 k

= lim k→∞

(1.45) (cid:1)−g(cid:0)F (¯x)(cid:1)−tkdg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)

Sử dụng (i), ta có

u ∈ T 2

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1) < ∞.

Kết hợp với (1.42), ta được

F (¯x) + tk∇F (¯x)w +

t2 kuk ∈ dom g, với k đủ lớn.

1 2

Điều này suy ra

Chú ý rằng g liên tục Lipschitz địa phương tại F (¯x) đối với miền hữu

hiệu của nó với hằng số Lipschitz là (cid:96) ≥ 0. Khi đó, theo Bổ đề 1.1.21 (i),

kzk

ψ(cid:0)¯x+tkw+ 1 2 t2

d2ψ(¯x)(w|z) ≤ lim inf k→∞

kzk

ψ(cid:0)¯x+tkw+ 1 2 t2

≤ lim sup

(1.44) và (1.45), ta thu được

k→∞

≤ lim sup

g(cid:0)F (xk)(cid:1)−g(cid:0)F (¯x)(cid:1)−tkdg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1) 1 2 t2 k

k→∞

≤ lim k→∞

g(yk)−g(cid:0)F (¯x)(cid:1)−tkdg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1) 1 2 t2 k g(cid:0)F (xk)(cid:1)−g(yk) 1 2 t2 k

+ lim sup k→∞

≤ d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1)

(cid:96)(cid:107)∇F (¯x)zk + ∇2F (¯x)(w, w) − uk +

o(cid:0)t2 (cid:1) t2k (cid:107)

+ lim sup k→∞

= d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1).

(cid:1)−ψ(¯x)−tkdψ(¯x)(w) 1 2 t2 k (cid:1)−ψ(¯x)−tkdψ(¯x)(w) 1 2 t2 k

Do đó,

d2ψ(¯x)(w|z) ≤ d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1).

(1.46)

d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1) ≤ d2ψ(¯x)(w|z).

Mặt khác, với mọi z ∈ Rn, ta có

d2ψ(¯x)(w|z) = d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1)

Kết hợp với (1.46), ta được

ψ(cid:0)¯x + tkw + 1

kzk

2t2

và

d2ψ(¯x)(w|z) = lim k→∞

(1.47) (cid:1) − ψ(¯x) − tkdψ(¯x)(w) 1 2t2 k

(¯x, w).

với mọi z ∈ T 2

(iii) Lấy z ∈ T 2

(¯x, w), kết hợp với (i), ta có

dom ψ Như vậy (ii) được chứng minh.

u ∈ T 2

dom ψ

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

d2ψ(¯x)(w|z) = d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|u(cid:1) < ∞.

Theo (ii) và (1.42), ta thu được

z ∈ dom d2ψ(¯x)(w|·).

Điều này chứng tỏ

Do đó,

(¯x, w).

dom d2ψ(¯x)(w|·) ⊃ T 2 dom ψ

Kết hợp với (1.41), ta được

(¯x, w).

dom d2ψ(¯x)(w|·) = T 2 dom ψ

Cuối cùng, từ (iii) và (1.40), ta có

dom d2ψ(¯x)(w|·) (cid:54)= ∅.

Mặt khác, từ (1.43) và (1.47), ta được (1.7) thỏa mãn, với mọi z ∈ Rn. (cid:3) Vì vậy, theo Định nghĩa 1.1.15(iv), ta có (iv) được chứng minh.

1.2.12 Nhận xét. Để chứng minh Mệnh đề 1.2.11 chúng tôi dựa theo

lược đồ chứng minh trong [29, Theorem 4.5] và [30, Theorem 4.4].

Tương tự [29, Proposition 4.6], chúng tôi thu được kết quả sau.

1.2.13 Bổ đề. Giả sử f : Rn → R là một hàm lồi, nửa liên tục dưới với f (¯x) ∈ R, ¯v ∈ ∂f (¯x), w ∈ Kf (¯x, ¯v) và f khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w. Khi đó, hàm d2f (¯x)(w|·) lồi chính thường nửa liên tục dưới.

d2f (¯x)(w|·)∗(v) = ∞

Hơn nữa, f chính quy parabol tại ¯x đối với v và ta có

khi v ∈ Rn\A(¯x, w);  

d2f (¯x)(w|·)∗(v) = −d2f (¯x|v)(w)

 khi v ∈ A(¯x, w),

trong đó A(¯x, w) := {v ∈ ∂f (¯x) | df (¯x)(w) = (cid:104)v, w(cid:105)}.

Chứng minh. Do hàm f nửa liên tục dưới, hữu hạn tại ¯x và df (¯x)(w) = (cid:104)¯v, w(cid:105) ∈ R nên theo Bổ đề 1.1.22, ta có d2f (¯x)(w|·) nửa liên tục dưới và

d2f (¯x)(w|z) − (cid:104)¯v, z(cid:105) ≥ d2f (¯x|¯v)(w) ∀z ∈ Rn.

(1.48)

Chú ý rằng, hàm f lồi và ¯v ∈ ∂f (¯x), ta có

≥ 0.

d2f (¯x|¯v)(w) = lim inf w(cid:48)→w

f (¯x + tw(cid:48)) − f (¯x) − t(cid:104)¯v, w(cid:48)(cid:105) 1 2t2

(1.49)

Do đó d2f (¯x)(w|z) > −∞ với mọi z ∈ Rn. Kết hợp điều này với dom d2f (¯x)(w|·) (cid:54)= ∅, hàm d2f (¯x)(w|·) chính thường. Theo Bổ đề 1.1.23,

epi d2f (¯x)(w|·) = T 2 (cid:16)(cid:0)¯x, f (¯x)(cid:1), (cid:0)w, df (¯x)(w)(cid:1)(cid:17) epi f

kết hợp với f khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w, ta có epi f khả đạo hàm parabol tại (cid:0)¯x, f (¯x)(cid:1) đối với (cid:0)w, df (¯x)(w)(cid:1). Lại vì hàm f lồi, ta suy ra d2f (¯x)(w|·) lồi.

Lấy bất kì v ∈ Rn. Xét hai trường hợp sau.

Trường hợp 1. v ∈ A(¯x, w). Khi đó, w ∈ Kf (¯x, v), theo Bổ đề 1.1.24,

{d2f (¯x)(w|z) − (cid:104)v, z(cid:105)} = d2f (¯x)(w|·)∗(v).

−d2f (¯x|v)(w) = − inf z∈Rn

ta được

(cid:104)v, w(cid:105). Đặt

f (¯x + tw + 1

2t2z) − f (¯x) − tdf (¯x)(w)

∀z ∈ Rn, t > 0.

υt(z) :=

1 2t2

Trường hợp 2. v ∈ Rn\A(¯x, w). Khi đó, hoặc v (cid:54)∈ ∂f (¯x) hoặc df (¯x)(w) (cid:54)=

∀v ∈ Rn, t > 0.

υ∗ t (v) =

f (¯x) + f ∗(v) − (cid:104)v, ¯x(cid:105) 1 2t2

df (¯x)(w) − (cid:104)v, w(cid:105) 1 2t

Ta có

Hơn nữa, vì hàm f khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w nên theo Định nghĩa 1.1.15(ii), epi υt hội tụ về epi d2f (¯x)(w|·) khi t ↓ 0. Chú ý rằng υt(·) và d2f (¯x)(w|·) là các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới t hội tụ về epi d2f (¯x)(w|·)∗ khi t ↓ 0. Do đó, nên theo Bổ đề 1.1.25, epi υ∗

(vk).

υ∗ tk

d2f (¯x)(w|·)∗(v) = lim k→∞

theo Bổ đề 1.1.26, với mọi tk ↓ 0, tồn tại vk → v sao cho

Nếu v (cid:54)∈ ∂f (¯x) thì f (¯x) + f ∗(v) − (cid:104)v, ¯x(cid:105) > 0. Khi đó, do f ∗ nửa liên tục

(vk)

υ∗ tk

d2f (¯x)(w|·)∗(v) = lim k→∞

dưới, ta được

+ df (¯x)(w) − (cid:104)vk, w(cid:105)

(cid:17)

2 tk

= lim k→∞

= ∞.

(cid:16) f (¯x)+f ∗(vk)−(cid:104)vk,¯x(cid:105) tk

(cid:104)v, w(cid:105) < df (¯x)(w).

Nếu df (¯x)(w) (cid:54)= (cid:104)v, w(cid:105), theo (1.49) và Bổ đề 1.1.27, ta có

[(cid:104)vk, x(cid:105) − f (x)] − (cid:104)vk, ¯x(cid:105) ≥ 0 ∀k.

f (¯x) + f ∗(vk) − (cid:104)vk, ¯x(cid:105) = f (¯x) + sup x∈Rn

Mặt khác,

(vk)

υ∗ tk

d2f (¯x)(w|·)∗(v) = lim k→∞

Do đó,

(cid:17)

+ df (¯x)(w)−(cid:104)vk,w(cid:105) 1 2 tk

= lim k→∞

= ∞.

df (¯x)(w)−(cid:104)vk,w(cid:105) 1 2 tk

≥ lim k→∞

(cid:16) f (¯x)+f ∗(vk)−(cid:104)vk,¯x(cid:105) 1 2 t2 k

(cid:3) Bổ đề được chứng minh.

1.2.14 Định nghĩa. [30] Ta nói rằng hàm ψ := g ◦ F có biểu diễn (1.25)

thỏa mãn các giả thiết cơ bản tại (¯x, ¯v) ∈ gph ∂ψ nếu

(H1) Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (1.28) thỏa

mãn tại ¯x;

(H2) Với mỗi y ∈ Λ(¯x, ¯v), hàm g khả vi trên đồ thị parabol tại F (¯x) đối

(cid:0)F (¯x), y(cid:1); với mọi u ∈ Kg

(H3) Hàm g chính quy parabol tại F (¯x) đối với mọi y ∈ Λ(¯x, ¯v).

Λ(¯x, ¯v) := (cid:8)y ∈ ∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1) | ∇F (¯x)∗y = ¯v(cid:9)

Trong đó

là tập nhân tử Lagrange (Lagrangian multipliers) tương ứng với (¯x, ¯v).

1.2.15 Bổ đề. [46, Example 11.41] Giả sử k : Rn → R và h : Rm → R

(cid:104)c, x(cid:105) + k(x) + h(cid:0)b − Ax(cid:1)

min x∈Rn

là các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó, bài toán

(cid:104)b, y(cid:105) − h∗(y) − k∗(cid:0)A∗y − c(cid:1),

max y∈Rm

có đối ngẫu là

trong đó A ∈ Rm×n, b ∈ Rm và c ∈ Rn.

d2f (¯x|¯v)(w) ≥ −r(cid:107)w(cid:107)2.

1.2.16 Bổ đề. [30, Proposition 2.1] Giả sử hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x và ¯v ∈ ∂pf (¯x). Khi đó, với mỗi w ∈ Rn, tồn tại r ∈ R+ sao cho

Hơn nữa, d2f (¯x|¯v) là hàm chính thường.

1.2.17 Bổ đề. [30, Proposition 4.5] Cho hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x, ¯v ∈ ∂pf (¯x) và f liên tục Lipschitz địa phương tại ¯x đối với miền hữu hiệu của nó. Giả sử rằng w ∈ Kf (¯x, ¯v) và f khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w. Khi đó, hàm d2f (¯x)(w|·) chính thường nửa liên tục dưới và

f (x, u) với f là hàm

liên tục Lipschitz đối với miền hữu hiệu của nó.

1.2.18 Bổ đề. [46, Proposition 2.22] Nếu p(u) = inf x lồi trên Rn × Rm thì p là hàm lồi trên Rm.

1.2.19 Định nghĩa. [46, trang 322] Cho hàm số ϕ : Rn → R. Hàm ϕ được gọi là tĩnh lặng dưới tại ¯x (calm at ¯x from below) với hằng số (cid:96) ≥ 0

nếu ϕ(¯x) hữu hạn và tồn tại lân cận U của ¯x sao cho

ϕ(x) ≥ ϕ(¯x) − (cid:96)(cid:107)x − ¯x(cid:107), ∀x ∈ U.

(1.50)

1.2.20 Bổ đề. [29, Proposition 5.1] Giả sử ϕ : Rn → R là hàm lồi và tĩnh lặng dưới tại ¯x, với hằng số (cid:96) ≥ 0. Khi đó, tồn tại ¯v ∈ ∂ϕ(¯x) sao

cho (cid:107)¯v(cid:107) ≤ (cid:96).

Nhúng bài toán tối ưu không ràng buộc

f (x)

min x∈Rn

(1.51)

vào họ bài toán tối ưu chứa tham số (Pu)

ϕ(x, u),

min x∈Rn

(1.52)

trong đó ϕ : Rn × Rm → ¯R và ϕ(x, 0) = f (x). Hàm giá trị tối ưu liên kết với bài toán (Pu) là

ϕ(x, u)

v(u) := inf x∈Rn

(1.53)

Bài toán đối ngẫu (Du) của bài toán (Pu) được cho bởi

{(cid:104)u∗, u(cid:105) − ϕ∗(0, u∗)},

max u∗∈Rm

(1.54)

ϕ∗(x∗, u∗) :=

{(cid:104)x∗, x(cid:105) + (cid:104)u∗, u(cid:105) − ϕ(x, u)}.

sup (x,u)∈Rn×Rm

trong đó

Kí hiệu

val(Pu) := v(u), val(Du) := v∗∗(u).

Vì v(u) ≥ v∗∗(u) nên val(Pu) ≥ val(Du). Số val(Pu) − val(Du) ≥ 0 được gọi là khoảng cách đối ngẫu (duality gap) giữa bài toán (Pu) và bài toán đối ngẫu (Du).

1.2.21 Bổ đề. [9, Theorem 2.142] Nếu ∂v(u) (cid:54)= ∅, với u ∈ Rm thì val(Pu) = val(Du) và tập nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu (Du) trùng với ∂v(u).

1.2.22 Bổ đề. [30, Proposition 3.4] Giả sử f : Rn → R hữu hạn tại ¯x, ¯v ∈ ∂pf (¯x) và dom d2f (¯x)(w|·) (cid:54)= ∅ với mọi w ∈ Kf (¯x, ¯v). Khi đó, với mọi w ∈ Kf (¯x, ¯v), tồn tại r ∈ R+ sao cho

{d2f (¯x)(w|z) − (cid:104)z, ¯v(cid:105)} < ∞.

−r(cid:107)w(cid:107)2 ≤ d2f (¯x|¯v)(w) ≤ inf z∈Rn

(1.55)

Hơn nữa, dom d2f (¯x|¯v) = Kf (¯x, ¯v).

1.2.23 Bổ đề. [30, Proposition 3.8] Cho hàm f : Rn → R hữu hạn tại ¯x, ¯v ∈ ∂pf (¯x) và hàm f khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối với w ∈ Kf (¯x, ¯v).

{d2f (¯x)(w|z) − (cid:104)z, ¯v(cid:105)}

Giả sử rằng f chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v. Khi đó, hàm f khả vi

min z∈Rn

d2f (¯x|¯v)(w) =

nếu w ∈ Kf (¯x, ¯v), trên đồ thị hai lần tại ¯x đối với ¯v và  

∞

 trường hợp còn lại.

Bây giờ, xét bài toán tối ưu

−(cid:104)z, ¯v(cid:105) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w)(cid:1).

min z∈Rn

(1.56)

Chúng tôi thu được mệnh đề sau

1.2.24 Mệnh đề. Giả sử hàm ψ : Rn → R được biểu diễn dưới dạng (1.25) và thỏa mãn các giả thiết cơ bản (H1) − (H3) tại (¯x, ¯v). Khi đó,

(i) Với mỗi w ∈ Kψ(¯x, ¯v), bài toán (1.56) có đối ngẫu là

ta có các khẳng định sau:

max y∈Λ(¯x,¯v)

(1.57) (cid:10)y, ∇2F (¯x)(w, w)(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)|y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)(w)(cid:1);

giá trị tối ưu của bài toán (1.56) và bài toán đối ngẫu (1.57) bằng nhau và hữu hạn. Hơn nữa, Λ(¯x, ¯v; w) ∩ τ B (cid:54)= ∅, trong đó Λ(¯x, ¯v; w) là tập

nghiệm tối ưu của bài toán (1.57) và

τ := κ(cid:96)(cid:107)∇F (¯x)(cid:107) + κ(cid:107)¯v(cid:107) + (cid:96),

(1.58)

(ii) Hàm ψ chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v và

d2ψ(¯x|¯v)(w)

trong đó (cid:96) và κ được lấy từ (1.26) và (1.28), tương ứng.

= max y∈Λ(¯x,¯v)

(cid:8)(cid:10)y, ∇2F (¯x)(w, w)(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)|y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9)

max y∈Λ(¯x,¯v)∩(τ B)

(cid:8)(cid:10)y, ∇2F (¯x)(w, w)(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)|y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9) ,

(1.59)

với mọi w ∈ Rn, trong đó τ được lấy từ (1.58). (iii) Hàm ψ khả vi trên đồ thị hai lần tại ¯x đối với ¯v.

dψ(¯x)(w) = (cid:104)¯v, w(cid:105), y ∈ ∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1) và ∇F (¯x)∗y = ¯v.

Chứng minh. (i) Lấy bất kì w ∈ Kψ(¯x, ¯v) và y ∈ Λ(¯x, ¯v). Khi đó, ta có

dg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1) = (cid:104)¯v, w(cid:105) = (cid:104)∇F (¯x)∗y, w(cid:105) = (cid:104)y, ∇F (¯x)w(cid:105).

Do đó, theo Mệnh đề 1.2.11, ta được

Từ đó suy ra

∇F (¯x)w ∈ Kg

(cid:0)F (¯x), y(cid:1).

Theo (H2), hàm g khả vi trên đồ thị parabol tại F (¯x) đối với ∇F (¯x)w. Do đó, theo Bổ đề 1.2.13, hàm d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(∇F (¯x)w|·) lồi chính thường nửa liên tục dưới. Vì vậy, từ Bổ đề 1.2.15, suy ra rằng bài toán (1.56) có

đối ngẫu Fenchel là:

max ∇F (¯x)∗y=¯v

(1.60) (cid:10)y, ∇2F (¯x)(w, w)(cid:11) − d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|·)∗(y).

Lấy bất kì y ∈ Rm với ∇F (¯x)∗y = ¯v. Khi đó, nếu y (cid:54)∈ ∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1), theo Bổ đề 1.2.13, ta có

d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|·)∗(y) = ∞.

(1.61)

Nếu ngược lại thì ta được y ∈ Λ(¯x, ¯v). Khi đó, theo (H3), hàm g chính

y ∈ ∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1) và dg(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1) = (cid:104)y, ∇F (¯x)w(cid:105).

quy parabol tại F (¯x) đối với y. Chú ý rằng

Do đó, theo Bổ đề 1.2.13, ta có

d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|·)∗(y) = −d2g(cid:0)F (¯x)|y)(w).

(1.62)

{−(cid:104)¯v, z(cid:105)+d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| ∇F (¯x)z+∇2F (¯x)(w, w)+p(cid:1)},

ϑ(p) := inf z∈Rn

Từ (1.61) và (1.62), bài toán (1.60) viết được dưới dạng (1.57). Xét hàm ϑ : Rm → [−∞, ∞] cho bởi

(1.63)

∂ϑ(0) (cid:54)= ∅.

với p ∈ Rm. Ta chứng minh

ϑ(0) ∈ R.

Đầu tiên, ta chỉ ra rằng

¯v ∈ ∂ψ(¯x) = ∂pψ(¯x).

Từ Mệnh đề 1.2.11, ta có

d2ψ(¯x|¯v)(w)

{−(cid:104)z, ¯v(cid:105) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| ∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w)(cid:1)}

≤ inf z∈Rn

< ∞.

Hơn nữa, từ Mệnh đề 1.2.11 (ii) và (1.55), ta có đánh giá sau:

−r(cid:107)w(cid:107)2 ≤ d2ψ(¯x|¯v)(w) ≤ ϑ(0) < ∞, ∀w ∈ Kf (¯x, ¯v).

Kết hợp đánh giá này với Bổ đề 1.2.16, tồn tại hằng số r ∈ R+ sao cho

Từ đó suy ra ϑ(0) ∈ R.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng

ϑ(p) ≥ ϑ(0) − τ (cid:107)p(cid:107), ∀p ∈ Rn,

(1.64)

up := ∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w) + p ∈ dom d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| · (cid:1).

trong đó τ được lấy từ (1.58). Thật vậy, lấy (p, z) ∈ Rm × Rn sao cho

Theo (1.42), ta có

up ∈ T 2

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1). dom g

Bây giờ, xét ánh xạ Sw : Rm ⇒ Rn cho bởi

Sw(p) := {z| ∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w) + p ∈ T 2

(cid:0)F (¯x), ∇F (¯x)w(cid:1)}, dom g

z = z0 + κ(cid:107)p(cid:107)b.

với p ∈ Rm. Ta có z ∈ Sw(p), kết hợp với (1.32), tồn tại z0 ∈ Sw(0) và b ∈ B sao cho

∇F (¯x)z0 + ∇2F (¯x)(w, w) ∈ dom d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| · (cid:1).

Mặt khác, từ (1.42) và z0 ∈ Sw(0), ta thu được

up − (cid:0)∇F (¯x)z0 + ∇2F (¯x)(w, w)(cid:1) = p + κ(cid:107)p(cid:107)∇F (¯x)b. Theo Bổ đề 1.2.17, hàm d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| · (cid:1) liên tục Lipschitz đối với miền hữu hiệu của nó. Khi đó, ta có

Từ đó suy ra

−(cid:104)¯v, z(cid:105) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|up ≥ −(cid:104)¯v, z0(cid:105) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|∇F (¯x)z0 + ∇2F (¯x)(w, w)(cid:1)

−(cid:96)(cid:107)p + κ(cid:107)p(cid:107)∇F (¯x)b(cid:107) − κ(cid:107)p(cid:107)(cid:104)¯v, b(cid:105)

≥ ϑ(0) − (cid:0)(cid:96)κ(cid:107)∇F (¯x)(cid:107) + κ(cid:107)¯v(cid:107) + (cid:96)(cid:1)(cid:107)p(cid:107) ≥ ϑ(0) − τ (cid:107)p(cid:107).

(cid:1)

(z, p) (cid:55)→ −(cid:104)¯v, z(cid:105) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w|∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w) + p(cid:1)

Do đó (1.64) được chứng minh. Chú ý rằng d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| · (cid:1) là hàm chính thường và lồi. Điều này suy ra rằng

là hàm lồi trên Rn × Rm. Áp dụng Bổ đề 1.2.18, ta có ϑ là hàm lồi trên Rm. Do đó, từ (1.64) và Bổ đề 1.2.20, tồn tại ¯y ∈ ∂ϕ(0) sao cho

¯y ∈ ∂ϕ(0) ∩ (τ B).

(1.65)

Điều này chứng tỏ rằng ∂ϕ(0) (cid:54)= ∅.

Áp dụng (1.65) và Bổ đề 1.2.21, giá trị tối ưu của bài toán (1.56)

Λ(¯x, ¯v; w) = ∂ϕ(0).

trùng với giá trị tối ưu của bài toán đối ngẫu (1.57) và ta có

(ii) Tập nhân tử Lagrange Λ(¯x, ¯v) thỏa mãn điều kiện

Kết hợp điều này với (1.65), khẳng định (i) được chứng minh.

Λ(¯x, ¯v) ∩ (τ B) (cid:54)= ∅.

(1.66)

d2ψ(¯x|¯v)(w) ≥ sup

Với mọi w ∈ Rn, ta có

y∈Λ(¯x,¯v)

(cid:8)(cid:10)y, ∇2F (¯x)(w, w)(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:12) (cid:12)y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9)

kết hợp đánh giá này và (i), ta thu được

d2ψ(¯x|¯v)(w) ≥ max y∈Λ(¯x,¯v)

(cid:8)(cid:10)y, ∇2F (¯x)(w, w)(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:12)

(cid:12)y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9) . (1.67)

d2ψ(¯x|¯v)(w)

{d2ψ(¯x)(w|z) − (cid:104)z, ¯v(cid:105)}

≤ inf z∈Rn

{d2g(cid:0)F (¯x)(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w| ∇F (¯x)z + ∇2F (¯x)(w, w)(cid:1) − (cid:104)z, ¯v(cid:105)}

= inf z∈Rn

{(cid:104)y, ∇2F (¯x)(w, w)(cid:105) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:12)

Mặt khác, với w ∈ Kψ(¯x, ¯v), sử dụng (1.55), (1.34) và (i), ta có đánh giá

max y∈Λ(¯x,¯v)∩(τ B)

(cid:12)y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)},

{d2ψ(¯x)(w|z) − (cid:104)z, ¯v(cid:105)}.

d2ψ(¯x|¯v)(w) = inf z∈Rn

kết hợp với (1.67) ta được (1.59) thỏa mãn với mọi w ∈ Kψ(¯x, ¯v) và

Do đó, theo Bổ đề 1.1.24, hàm ψ chính quy parabol tại ¯x đối với ¯v.

Theo Mệnh đề 1.2.11 (iv), hàm ψ khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x đối

với w ∈ Kψ(¯x, ¯v) và dom d2ψ(¯x)(w|·) (cid:54)= ∅. Vì thế, theo Bổ đề 1.2.22,

dom d2ψ(¯x|¯v) = Kψ(¯x, ¯v).

Lại vì d2ψ(¯x|¯v) là hàm chính thường nên với w /∈ Kψ(¯x, ¯v), ta được

dom d2ψ(¯x|¯v)(w) = ∞.

Do giả thiết (H1), với mọi y ∈ Λ(¯x, ¯v), ta có

w ∈ Kψ(¯x, ¯v) ⇐⇒ ∇F (¯x)w ∈ Kg

(1.68) (cid:0)F (¯x), y(cid:1).

Do đó, với w /∈ Kψ(¯x, ¯v), ta suy ra

∇F (¯x)w /∈ Kg

(cid:0)F (¯x), y(cid:1), ∀y ∈ Λ(¯x, ¯v).

d2g(cid:0)F (¯x)(cid:12)

Kết hợp điều này với giả thiết (H2) và Bổ đề 1.2.22, ta có

(cid:12)y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1) = ∞, ∀w /∈ Kψ(¯x, ¯v).

Kết hợp với (1.66), giá trị hai vế của (1.59) bằng ∞ với mọi w /∈ Kψ(¯x, ¯v). Như vậy, (1.66) được thỏa mãn, với mọi w ∈ Rn. (iii) Theo Mệnh đề 1.2.11 (iv), hàm ψ khả vi trên đồ thị parabol tại ¯x

đối với w ∈ Kψ(¯x, ¯v). Áp dụng (ii) và Bổ đề 1.2.23, suy ra f khả vi trên (cid:3) đồ thị hai lần tại ¯x đối với ¯v.

1.2.25 Nhận xét. Với giả thiết của Mệnh đề 1.2.24, hàm g chính quy parabol tại F (¯x) đối với y ∈ ∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1) thỏa mãn ∇F (¯x)∗y = ¯v. Do đó, ta không thể áp dụng [30, Proposition 4.6] để biến đổi (1.60) thành (1.57),

do [30, Proposition 4.6] yêu cầu tính chính quy parabol của g tại F (¯x) đối với mọi y ∈ ∂g(cid:0)F (¯x)(cid:1). Đó là lý do Bổ đề 1.2.13 được sử dụng. Lưu ý rằng các kết quả trong các Mệnh đề 1.2.11 và Mệnh đề 1.2.24 được thiết

lập trong [30] đối với trường hợp F khả vi hai lần.

1.3 Kết luận Chương 1

Trong Chương 1, chúng tôi đạt được các kết quả sau đây:

Thiết lập được các quy tắc tính ma trận Hesse mở rộng cho các hàm

tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng

tại một điểm (Định lý 1.2.4).

Thiết lập được quy tắc tổng đối với đạo hàm đồ thị dưới gradient,

dưới đạo hàm bậc hai và dưới đạo hàm parabol (Định lý 1.2.7).

Thiết lập được quy tắc tính dưới đạo hàm, dưới vi phân của hàm hợp.

Nếu thêm vào điều kiện hàm thành phần khả vi trên đồ thị parabol thì

hàm hợp khả vi trên đồ thị parabol và thu được công thức tính dưới đạo

hàm parabol của hàm hợp (Mệnh đề 1.2.11). Hơn nữa, nếu các hàm thành

phần thỏa mãn các giả thiết cơ bản (Định nghĩa 1.2.14) thì hàm hợp là

chính quy parabol, khả vi trên đồ thị hai lần và chúng tôi thu được công

thức tính dưới đạo hàm bậc hai của hàm hợp (Mệnh đề 1.2.24). Những

kết quả này là sự mở rộng các kết quả [30, Theorem 5.2 và Theorem 5.4].

CHƯƠNG 2

ĐIỀU KIỆN TĂNG TRƯỞNG BẬC HAI VÀ TÍNH DƯỚI

CHÍNH QUY MÊTRIC MẠNH CỦA DƯỚI VI PHÂN

Chương này được chúng tôi dành để trình bày các vấn đề sau. Vấn đề

thứ nhất, chúng tôi thiết lập các điều kiện đủ bậc hai cho điều kiện tăng

trưởng bậc hai của hàm chính thường và nửa liên tục dưới. Vấn đề thứ

hai, chúng tôi khảo sát và xây dựng một số lớp hàm thỏa mãn điều kiện

tăng trưởng bậc hai kéo theo tính dưới chính quy mêtric mạnh của ánh

xạ dưới vi phân.

2.1 Điều kiện tối ưu cho hàm chính thường nửa liên tục dưới dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient

Trong phần này, chúng tôi sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient thiết

lập được các điều kiện đủ bậc hai cho điều kiện tăng trưởng bậc hai. Hiện

nay, cách tiếp cận này có thuận lợi là các công thức tính đạo hàm đồ thị

dưới gradient đã được thiết lập. Ý tưởng đầu tiên về việc sử dụng đạo

hàm đồ thị dưới gradient để nghiên cứu điều kiện tăng trưởng bậc hai

do Eberhard và Wenzcel [24] khởi xướng. Trong [24, Theorem 71(2)], họ

khẳng định rằng đối với lớp hàm nửa liên tục dưới, bị chặn gần kề và ổn

định gần kề điều kiện đủ loại hai tại điểm dừng đảm bảo điều kiện tăng

trưởng bậc hai được thỏa mãn. Tuy nhiên, trong Ví dụ 2.1.12 chúng tôi

chỉ ra rằng khẳng định này của họ không đúng.

2.1.1 Định nghĩa. [9, 52] Cho hàm chính f : Rn → R, ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai (viết tắt QGC) tại điểm ¯x ∈ Rn nếu tồn tại γ > 0 và môđun κ > 0 sao cho

f (x) − f (¯x) ≥

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bγ(¯x).

κ 2

(2.1)

Khi đó, điểm ¯x được gọi là cực tiểu địa phương mạnh của hàm f.

¯x là cực tiểu địa phương mạnh của f với môđun κ(cid:9).

Kí hiệu QG (f ; ¯x) := sup (cid:8)κ > 0 |

Giả sử ánh xạ H : Rn ⇒ Rm là thuần nhất dương, nghĩa là 0 ∈ H(0)

(cid:107)y(cid:107),

(cid:107)H(cid:107)+ = sup (cid:107)x(cid:107)≤1

sup y∈H(x)

và H(λx) = λH(x), với λ > 0. Chuẩn trên của H được cho bởi

với quy ước supy∈∅ (cid:107)y(cid:107) = −∞ (xem [23, trang 202]).

2.1.2 Bổ đề. [23, Proposition 4A.6] Giả sử ánh xạ H : Rn ⇒ Rm là

(cid:107)H(cid:107)+ = inf

(cid:110) (cid:111)

d(cid:0)0,H −1(y)(cid:1).

= sup (cid:107)y(cid:107)=1

thuần nhất dương. Khi đó, ta có (cid:12) (cid:12) κ > 0 (cid:12)(cid:107)y(cid:107) ≤ κ(cid:107)x(cid:107), ∀(x, y) ∈ gph H

Mệnh đề sau cung cấp một tiêu chuẩn quan trọng của tính chất dưới

chính quy mêtric mạnh, được Dontchev và Rockafellar phát biểu trong

cuốn sách chuyên khảo Implicit Functions and Solution Mappings ([23]).

Tuy nhiên, chúng tôi đã đưa ra chứng minh cho thấy rằng giả thiết “đồ

thị ánh xạ đa trị đóng địa phương” trong Mệnh đề là không cần thiết về

mặt bản chất, hoàn toàn có thể bỏ được mà không làm thay đổi kết luận.

2.1.3 Mệnh đề. (xem [23, Theorem 4C.1]) Giả sử F : Rn ⇒ Rm và (¯x, ¯y) ∈ gphF. Khi đó, ánh xạ F là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x đối

với ¯y khi và chỉ khi

DF (cid:0)¯x(cid:12)

(2.2) (cid:12)¯y(cid:1)−1(0) = (cid:8)0(cid:9).

Hơn nữa, ta có

subreg F (cid:0)¯x|¯y(cid:1) =

inf

(cid:107)z(cid:107)| z ∈ DF (¯x|¯y)(w), (cid:107)w(cid:107) = 1

(2.3) (cid:110) (cid:111).

Chứng minh. Giả sử F là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x đối với ¯y, với

môđun κ. Khi đó, tồn tại lân cận U của ¯x, V của ¯y sao cho

(cid:107)x − ¯x(cid:107) ≤ κ.d(cid:0)¯y, F (x) ∩ V (cid:1), ∀x ∈ U.

(2.4)

(¯x, ¯y) + tk(uk, vk) ∈ gphF, ∀k ∈ N∗.

Lấy v ∈ Rm và u ∈ DF (¯x|¯y)−1(v), theo Định nghĩa 1.1.7, tồn tại tk ↓ 0 và (uk, vk) → (u, v) sao cho

(cid:107)¯x + tkuk − ¯x(cid:107) ≤ κ.d(cid:0)¯y, F (¯x + tkuk) ∩ V (cid:1) ≤ κ(cid:107)¯y − (¯y + tkvk)(cid:107), ∀k ∈ N∗.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết (¯x, ¯y) + tk(uk, vk) ∈ U × V với mọi k ∈ N∗. Khi đó, từ (2.4), ta có

(cid:107)uk(cid:107) ≤ κ(cid:107)vk(cid:107), ∀k ∈ N∗.

Do đó,

(cid:107)u(cid:107) ≤ κ(cid:107)v(cid:107).

Cho k → ∞, ta thu được

DF (¯x|¯y)−1(0) ⊂ {0}.

Từ đó suy ra

{0} ⊂ DF (¯x|¯y)−1(0).

Mặt khác, vì (0, 0) ∈ TgphF (¯x, ¯y) nên

DF (¯x|¯y)−1(0) = {0}.

Do đó,

(cid:107)u(cid:107) ≤ κ(cid:107)v(cid:107), ∀u ∈ DF (¯x|¯y)−1(v), ∀v ∈ Rm.

Ngược lại, giả sử DF (¯x|¯y)−1(0) = {0}. Khi đó, tồn tại κ > 0 sao cho

uk ∈ DF (¯x|¯y)−1(vk) và (cid:107)uk(cid:107) > k(cid:107)vk(cid:107), ∀k ∈ N∗.

Thật vậy, nếu điều này không đúng thì với mỗi k ∈ N∗, tồn tại (uk, vk) sao cho

Bằng cách thay dãy con nếu cần, ta có thể giả sử

= u ∈ Rn \ {0}.

lim k→∞

(cid:107)uk(cid:107)

(cid:17) (cid:16) uk

Mặt khác,

= 0,

∈ TgphF (¯x, ¯y), TgphF (¯x, ¯y) là tập đóng.

lim k→∞

(cid:17) (cid:17) (cid:16) uk

(cid:107)uk(cid:107)

uk (cid:107)vk(cid:107)

(cid:16) uk (cid:107)vk(cid:107)

(u, 0) ∈ TgphF (¯x, ¯y).

Do đó,

0 (cid:54)= u ∈ DF (¯x|¯y)−1(0).

Từ đó suy ra

DF (¯x|¯y)−1(0) = {0}.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

(cid:107)u(cid:107) ≤ κ(cid:107)v(cid:107), ∀u ∈ DF (¯x|¯y)−1(v), ∀v ∈ Rm.

Như vậy,

(cid:107)DF (¯x|¯y)−1(cid:107)+ ≤ κ < +∞.

Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2, ta có

Do đó,

subreg F (¯x|¯y) ≥ (cid:107)DF (¯x|¯y)−1(cid:107)+.

(2.5)

Bây giờ, ta chứng minh, với mỗi ε > 0, tồn tại lân cận U × V của (¯x, ¯y)

sao cho

(cid:107)x − ¯x(cid:107) ≤ (κ + ε)(cid:107)y − ¯y(cid:107), ∀(x, y) ∈ gphF ∩ (U × V ).

(2.6)

(xk, yk) → (¯x, ¯y)

Thật vậy, giả sử tồn tại ε0 > 0 để không tồn tại lân cận U × V của (¯x, ¯y) sao cho (2.6) đúng. Khi đó, tồn tại (xk, yk) ∈ gphF, sao cho

và

(cid:107)xk − ¯x(cid:107) > (κ + ε0)(cid:107)yk − ¯y(cid:107), ∀k ∈ N∗.

(2.7)

→ u (cid:54)= 0 và

→ v.

xk − ¯x (cid:107)xk − ¯x(cid:107)

yk − ¯y (cid:107)xk − ¯x(cid:107)

Thay bằng dãy con nếu cần, giả sử

, ∀k ∈ N∗.

tk := (cid:107)xk − ¯x(cid:107), uk :=

, vk :=

xk − ¯x tk

yk − ¯y tk

Đặt

v ∈ DF (¯x, ¯y)(u).

Ta có tk ↓ 0, (uk, vk) → (u, v) và (¯x, ¯y)+tk(uk, vk) = (xk, yk) ∈ gphF, ∀k ∈ N∗. Do đó,

(cid:107)u(cid:107) ≥ (κ + ε0)(cid:107)v(cid:107).

Hơn nữa, chia hai vế của (2.7) cho tk và cho k → ∞, ta thu được

(cid:107)u(cid:107) ≤ κ(cid:107)v(cid:107).

Điều này mâu thuẫn với

Vậy, với mỗi ε > 0, tồn tại lân cận U × V của (¯x, ¯y) sao cho (2.6) đúng.

(cid:107)x − ¯x(cid:107) ≤ (κ + ε).d(cid:0)¯y, F (x) ∩ V (cid:1), ∀x ∈ U.

Khi đó, ta có

subreg F (¯x|¯y) ≤ (cid:107)DF (¯x|¯y)−1(cid:107)+.

Điều này chứng tỏ F dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x đối với ¯y và

subreg F (¯x|¯y) = (cid:107)DF (¯x|¯y)−1(cid:107)+ =

1 inf{(cid:107)z(cid:107)| z ∈ DF (¯x|¯y)(w), (cid:107)w(cid:107) = 1}

Kết hợp với (2.5) và Bổ đề 2.1.2, ta có

(cid:3) Vậy, ta có điều phải chứng minh.

¯x khi và chỉ khi dưới vi phân ∂f là dưới chính quy mêtric mạnh tại cực

2.1.4 Bổ đề. [2, Theorem 3.5] Giả sử hàm f : Rn → R lồi chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó, f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai tại

tiểu ¯x đối với 0, nghĩa là, tồn tại ε > 0 và (cid:96) > 0 sao cho

(cid:96)d(cid:0)0; ∂f (x)(cid:1) ≥ (cid:107)x − ¯x(cid:107), ∀x ∈ Bε(¯x),

(2.8)

trong đó d(cid:0)0; ∂f (x)(cid:1) là khoảng cách từ 0 đến ∂f (x).

2.1.5 Bổ đề. [20, Corollary 3.3] Cho f : Rn → R là hàm số chính thường nửa liên tục dưới và 0 ∈ ∂f (¯x) với ¯x ∈ dom f. Giả sử rằng ánh xạ dưới vi

phân ∂f là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x đối với 0, với môđun κ > 0 và tồn tại các số thực r ∈ (0, κ−1) và δ > 0 sao cho

f (x) ≥ f (¯x) −

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bδ(¯x).

r 2

(2.9)

Khi đó, với mọi α ∈ (0, κ−1), tồn tại η > 0 sao cho

f (x) ≥ f (¯x) +

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bη(¯x).

α 2

(2.10)

Trường hợp f là hàm lồi, [3, Corollary 3.7] đã chỉ ra rằng điều kiện

tăng trưởng bậc hai (QGC) có thể được đặc trưng bởi tính xác định dương

của đạo hàm đồ thị dưới gradient. Đối với trường hợp f là hàm chính

thường nửa liên tục dưới, có thể không lồi. Kết quả sau đây, chúng tôi

cho thấy rằng tính xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient là

điều kiện đủ cho điều kiện tăng trưởng bậc hai.

(i) Điều kiện tăng trưởng bậc hai (2.1) được thỏa mãn tại ¯x.

(ii) ¯x là cực tiểu địa phương và ∂f là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x

2.1.6 Định lý. Giả sử f : Rn → R là hàm chính thường nửa liên tục dưới và ¯x ∈ dom f. Xét các khẳng định sau đây:

(iii) 0 ∈ ∂pf (¯x) và D(∂f )(¯x|0) xác định dương, theo nghĩa

đối với 0.

(cid:104)z, w(cid:105) > 0,

(2.11)

(iv) 0 ∈ ∂pf (¯x) và tồn tại c > 0 sao cho

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) và w ∈ dom D(∂f )(¯x|0) \ {0}.

(cid:104)z, w(cid:105) ≥ c(cid:107)w(cid:107)2,

(2.12)

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) và w ∈ dom D(∂f )(¯x|0).

(iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i).

Khi đó, các quan hệ kéo theo sau đây thỏa mãn

QG(f ; ¯x) ≥ inf

Hơn nữa, nếu (iv) thỏa mãn thì

z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯x|0)

(cid:110) (cid:104)z,w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (2.13) (cid:111) ,

với quy ước rằng 0/0 = ∞.

Chứng minh. Giả sử rằng (iv) thỏa mãn, nghĩa là 0 ∈ ∂pf (¯x) và điều kiện (2.12) thỏa mãn với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) và w ∈ dom D(∂f )(¯x|0). Ta

sẽ chứng minh rằng công thức (2.13) đúng. Thật vậy, vì 0 ∈ ∂pf (¯x) nên 0 ∈ ∂f (¯x) và tồn tại các số r, γ > 0 sao cho, với mọi x ∈ Bγ(¯x), ta có

f (x) − f (¯x) ≥ −

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2.

r 2

(2.14)

g(x) := f (x) +

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2.

s 2

Bây giờ, lấy s > r bất kì và đặt

Khi đó, kết hợp với (2.14), ta có

g(x) − g(¯x) ≥

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bγ(¯x).

s − r 2

(2.15)

∂g(x) = ∂f (x) + s(x − ¯x).

Chú ý rằng

0 ∈ ∂g(¯x).

Do đó,

Áp dụng Bổ đề 1.1.8, ta có

D(∂g)(¯x|0)(w) = D(∂f )(¯x|0)(w) + sw, ∀w ∈ Rn.

(2.16)

z − sw ∈ D(∂f )(¯x|0)(w).

Lấy bất kì (z, w) ∈ Rn × Rn, với z ∈ D(∂g)(¯x|0)(w), ta suy ra

(cid:104)z − sw, w(cid:105) ≥ c(cid:107)w(cid:107)2.

Kết hợp điều này với (2.12), ta được

Từ đó, ta có

(cid:107)z(cid:107) · (cid:107)w(cid:107) ≥ (cid:104)z, w(cid:105) ≥ (c + s)(cid:107)w(cid:107)2.

(2.17)

D(∂g)(¯x|0)−1(0) = {0},

Do đó,

¯x đối với 0. Hơn nữa, từ (2.3), ta được

subreg ∂g(¯x|0) ≤ (c + s)−1.

kết hợp với Mệnh đề 2.1.3, ánh xạ ∂g là dưới chính quy mêtric mạnh tại

Bất đẳng thức (2.15) chứng tỏ ¯x là cực tiểu địa phương của hàm g. Điều

g(x) ≥ g(¯x) +

2(subreg ∂g(¯x|0)+ε)(cid:107)x − ¯x(cid:107)2

≥ g(¯x) +

2((c+s)−1+ε)(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bη(¯x).

này cùng với Bổ đề 2.1.5, với mọi ε > 0, tồn tại η ∈ (0, γ) sao cho

f (x) = g(x) −

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2,

s 2

Lại vì

kết hợp với bất đẳng thức trên, ta thu được

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2

f (x) ≥ f (¯x) + 1 2

= f (¯x) + 1 2

c c+s −sε (c+s)−1+ε(cid:107)x − ¯x(cid:107)2.

(cid:104) (cid:105) (c+s)−1+ε − s (2.18)

Bằng cách chọn ε > 0 đủ nhỏ, ¯x là cực tiểu địa phương mạnh của f với

môđun dương nhỏ hơn nhưng gần c một cách tùy ý. Hơn nữa, bất đẳng

thức (2.13) được suy ra từ (2.18) khi cho ε ↓ 0 và c → [vế phải của (2.13)].

(iv) ⇒ (iii) là hiển nhiên.

(ii) ⇒ (i) được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.1.5.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng: (iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i)

Để hoàn tất chứng minh, ta sẽ chỉ ra rằng (iii) ⇒ (ii).

Giả sử rằng (iii) thỏa mãn, nghĩa là 0 ∈ ∂pf (¯x) và điều kiện (2.11)

D(∂f )(¯x|0)−1(0) = {0}.

thỏa mãn. Điều này suy ra rằng

¯x đối với 0, với môđun κ > subreg∂f (¯x|0) ≥ 0 bất kì. Do 0 ∈ ∂pf (¯x) nên tồn tại r, γ > 0 thỏa mãn (2.14). Lấy tùy ý s > r và xác định

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2.

g(x) := f (x) +

s 2

Do đó, theo Mệnh đề 2.1.3, ánh xạ ∂f là dưới chính quy mêtric mạnh tại

Khi đó, với mọi (z, w) ∈ Rn × Rn, sao cho z ∈ D(∂g)(¯x|0)(w), từ (2.16),

z − sw ∈ D(∂f )(¯x|0)(w).

ta có

(cid:104)z − sw, w(cid:105) ≥ 0.

Khi đó, áp dụng (2.11), ta được

(cid:107)z(cid:107) · (cid:107)w(cid:107) ≥ (cid:104)z, w(cid:105) ≥ s(cid:107)w(cid:107)2.

Từ đó, ta có

Kết hợp điều này với (2.2) và (2.3), ánh xạ ∂g là dưới chính quy mêtric

subreg ∂g(¯x|0) ≤ s−1.

mạnh tại ¯x đối với 0 và

Vì hàm g thỏa mãn (2.15) nên ¯x là cực tiểu địa phương của g. Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.5, với mọi ε > 0 thỏa mãn sε s−1+ε < κ−1, tồn tại δ ∈ (0, γ)

g(x) ≥ g(¯x) +

2(subreg ∂g(¯x|0)+ε)(cid:107)x − ¯x(cid:107)2

≥ g(¯x) +

2(s−1+ε)(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bδ(¯x).

sao cho

2(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ta thu được (cid:105) (cid:107)x − ¯x(cid:107)2

Do f (x) = g(x) − s

f (x) ≥ f (¯x) + 1 2

sε

= f (¯x) − 1 2

s−1+ε(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bδ(¯x).

sε

(cid:104) 1 s−1+ε − s

s−1+ε < κ−1 và ∂f là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x đối với 0 với môđun κ nên theo Bổ đề 2.1.5, ¯x là cực tiểu địa phương của f. (cid:3)

Cuối cùng, vì

Định lý được chứng minh.

Ví dụ sau cho thấy rằng, các điều kiện (2.11) và (2.12) nói chung

không là điều kiện cần của cực tiểu địa phương mạnh.

2.1.7 Ví dụ. Cho hàm f : R → R được xác định bởi

 nếu x ∈ {0} ∪ [1, +∞),

1 2n

2n+2 , 1

2n ), n = 0, 1, 2, ...,

f (x) =

nếu x ∈ [ 3

2x − 1 2n+1

2n+1 ,

3 2n+2 ), n = 0, 1, 2, ...,

nếu x ∈ [ 1

f (−x)

  nếu x < 0.

f (x) ≥ f (0) + |x|2, ∀x ∈ [−1, 1],

Ta thấy rằng

điều này có chứng tỏ ¯x = 0 là cực tiểu địa phương mạnh của f .

∞ (cid:91)

× {0} ⊂ gph ∂f.

1 2n , −

3 2n+2

1 2n

n=0

(cid:33) Mặt khác, (cid:32) ∞ (cid:91) (cid:1) (cid:1) ∪ {0} ∪ (cid:0) − (cid:0) 3 2n+2 ,

Suy ra

R × {0} ⊂ Tgph ∂f (¯x, 0).

(cid:104)z, w(cid:105) = 0.

Khi đó, với w ∈ R\{0} và z = 0 ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), ta có

Điều này chứng tỏ các điều kiện (2.11) và (2.12) không là điều kiện cần

cực tiểu địa phương mạnh.

Cho hàm f : Rn → R. Ta nói rằng hàm f bị chặn gần kề (prox- bounded) [46] nếu tồn tại số thực λ > 0 và x ∈ Rn sao cho eλf (x) > −∞, trong đó

(cid:107)w − x(cid:107)2 (cid:9) ≤ f (x)

eλf (x) := inf w

1 2λ

(cid:8)f (w) +

là hàm bao Moreau (Moreau envelope function).

2.1.8 Định nghĩa. [24] Cho hàm f : Rn → R chính thường nửa liên tục dưới, với ¯x ∈ dom f và 0 ∈ ∂pf (¯x). Ta nói rằng điều kiện đủ loại hai thỏa

mãn tại ¯x nếu tồn tại c > 0 sao cho, với mọi w ∈ dom D(∂pf )(¯x|0) và (cid:107)w(cid:107) = 1, ∃ z ∈ D(∂pf )(¯x|0)(w) sao cho

(cid:104)z, w(cid:105) ≥ c.

(2.19)

2.1.9 Định nghĩa. [24, Definition 39] Cho hàm f : Rn → R và p ∈ ∂pf (¯x). (i) Đạo hàm đồ thị λ−ổn định gần kề (λ− proximally stable graphical

derivative) của ∂pf tại ¯x đối với p được cho bởi

Dλ(∂pf )(¯x|p)(u) =

(cid:110) (cid:0)∂pf (¯x + tkuk) − p(cid:1), (cid:12) (cid:12) ∃zk ∈ 1 (cid:12)

(2.20) với zk → z, (tk, uk) → (0+, u),

r(f,¯x+tkuk,p+tkzk), ∀k

(cid:111) . với λ <

Trong đó, r(f, x, p) := inf{r > 0 thỏa mãn bất đẳng thức (2.21)}

f (u) ≥ f (x) + (cid:104)p, u − x(cid:105) −

(cid:107)u − x(cid:107)2 , ∀u.

r 2

(ii) Nón tiếp tuyến λ−ổn định gần kề (λ−proximally stable tangent cone)

(2.21)

T λ

(¯x, p) = {(u, z)| z ∈ Dλ(∂pf )(¯x|p)(u)}

được cho bởi

= gphDλ(∂pf )(¯x|p)(·).

(iii) Ta nói f ổn định gần kề tại ¯x đối với p ∈ ∂pf (¯x) nếu

gph∂pf

T λ

(¯x, p) = Tgph∂pf (¯x, p).

λ>0

(cid:91) gph∂pf

2.1.10 Bổ đề. Giả sử hàm f : Rn → R lồi chính thường nửa liên tục dưới và p ∈ ∂pf (¯x). Khi đó, hàm f ổn định gần kề tại ¯x đối với p.

f (u) ≥ f (x) + (cid:104)p, u − x(cid:105), ∀u.

Chứng minh. Do hàm f lồi nên với mọi p ∈ ∂pf (x), x ∈ Rn, ta có

r(f, x, p) = 0, ∀p ∈ ∂pf (x), x ∈ Rn.

Do đó, (2.21) được thỏa mãn, với mọi r > 0. Từ đó, suy ra

λ <

, ∀λ > 0.

1 r(f, x, p)

Khi đó, với mọi p ∈ ∂pf (x) và x ∈ Rn, ta có

Theo Định nghĩa 2.1.9 (i), với p ∈ ∂pf (¯x), ta có

Dλ(∂pf )(¯x|p)(u) =

(cid:110) (cid:0)∂pf (¯x + tkuk) − p(cid:1), (cid:12) (cid:12) ∃zk ∈ 1 (cid:12)

với zk → z, (tk, uk) → (0+, u),

r(f,¯x+tkuk,p+tkzk), ∀k

(cid:111) với λ <

(cid:110) z (cid:0)∂pf (¯x + tkuk)(cid:1) − p, (cid:12) (cid:12) ∃zk ∈ 1 (cid:12)

= D(∂pf )(¯x|p)(u).

(cid:111) với zk → z, (tk, uk) → (0+, u)

T λ

(¯x, p) = gphDλ(∂pf )(¯x|p)(·)

Do đó, theo Định nghĩa 2.1.9 (ii), với mọi λ > 0, ta có

= gphD(∂pf )(¯x|p)(·)

= Tgph∂pf (¯x, p).

gph∂pf

Từ đó suy ra

(¯x, p) = (cid:83)

λ>0 T λ

λ>0 Tgph∂pf (¯x, p)

= Tgph∂pf (¯x, p)

= Tgph∂pf (¯x, p).

(cid:83) gph∂pf

p ∈ ∂pf (¯x).

Do vậy, theo Định nghĩa 2.1.9 (iii), hàm f là ổn định gần kề tại ¯x đối với (cid:3)

2.1.11 Định lý. [24, Theorem 71(2)] Cho f : Rn → R là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn gần kề và 0 ∈ ∂pf (¯x). Giả sử rằng f ổn định gần kề và thỏa mãn điều kiện đủ loại hai tại ¯x. Khi đó, ¯x là cực tiểu địa phương

mạnh của f.

Định lý 2.1.11 được Eberhard và Wenczel đưa ra năm 2009 trong bài báo [24], khẳng định rằng nếu f : Rn → R là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn gần kề và ổn định gần kề thì điều kiện đủ loại hai tại ¯x với 0 ∈ ∂pf (¯x) đảm bảo điều kiện tăng trưởng bậc hai của hàm f tại ¯x được thỏa mãn.

Tuy nhiên, ví dụ sau chúng tôi chỉ ra rằng khẳng định của Định lý 2.1.11

là không chính xác.

2.1.12 Ví dụ. Xét hàm số f : R → R cho bởi

αn+1x + βn+1

 nếu x > 1

f (x) =

nếu αn+1 < x ≤ αn, n = 0, 1, 2, . . . (2.22)

nếu x = 0

+∞

  nếu x < 0,

n (cid:88)

, βn+1 =

αn =

1 (n + 1)!

1 k!(k + 2)!

k=0

trong đó

với n = 0, 1, 2, . . ., β0 = 0, và β = limn→∞ βn.

Dễ dàng thấy rằng hàm f lồi chính thường nửa liên tục dưới, với

nghiệm tối ưu toàn cục ¯x = 0. Suy ra, f là hàm bị chặn gần kề. Do đó,

theo Bổ đề 2.1.10, hàm f là ổn định gần kề tại ¯x đối với 0. Hơn nữa, tính

∂pf (x) = ∂f (x)

toán trực tiếp, ta được

{1}

[αn+1, αn]

 nếu x > 1

{αn+1}

nếu x = αn, n = 0, 1, 2, . . . (2.23)

nếu αn+1 < x < αn, n = 0, 1, 2, . . .

nếu x = 0 R−

∅

  nếu x < 0.

K := {(w, z)| 0 ≤ z ≤ w} ∪ {0} × R−.

Đặt

Ta có

gph ∂pf ⊂ K

và

T := Tgph ∂pf (¯x, 0) ⊂ TK(¯x, 0) = K.

(2.24)

K ⊂ T.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng

• Trường hợp 1: Với (w, z) = (0, 0). Khi đó, rõ ràng (w, z) ∈ T .

• Trường hợp 2: Với z = 0 < w. Chọn tn = αn

w . Ta có

tn ↓ 0 khi n → ∞.

Lấy bất kì (w, z) với 0 ≥ z ≥ w và xét các trường hợp sau:

= (αn, αn+1) ∈ gph ∂pf, ∀n ∈ N∗.

w n + 2

Khi đó, (cid:16) (cid:17)

→ (w, 0) ∈ T.

w n + 2

Từ đó suy ra (cid:17) (cid:16)

• Trường hợp 3: Với 0 < z ≤ w. Cố định k ∈ N thỏa mãn

≤

1 k + 2

z w

Đặt

tn :=

αn w

với n ≥ k.

Ta có

tn(w, z) =

αn,

∈ {αn} × [αn+1, αn] ⊂ gph ∂pf.

αnz w

(cid:16) (cid:17)

{(w, z)| 0 ≤ z ≤ w} ⊂ T.

Do đó,

z ∈ ∂pf (0) với mọi n ∈ N∗.

1 n

Hơn nữa, với mỗi z ∈ R− và n ∈ N, ta có

(0, z) ∈ T

Điều này có nghĩa là

{0} × R− ⊂ T.

hay

K ⊂ T.

Như vậy, ta chứng minh được rằng

K = T.

Kết hợp điều này với (2.24), ta được

1 ∈ D(∂pf )(¯x|0)(1),

Mặt khác,

κ = 1. Tuy nhiên, các điều kiện (2.11), (2.12) không thỏa mãn và điều

điều này chứng tỏ rằng điều kiện đủ loại hai (2.19) thỏa mãn tại ¯x với

kiện tăng trưởng bậc hai (2.1) không thỏa mãn tại ¯x. Điều này cho thấy

rằng phát biểu trong Định lý 2.1.11 là không chính xác, ngay cả trong

trường hợp hàm lồi.

2.2 Quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng trưởng

bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân

Trong phần này, chúng tôi thiết lập một số đặc trưng của điều kiện

tăng trưởng bậc hai cho hàm lồi biến phân và lớp hàm biểu diễn dưới dạng

tổng của một hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và một hàm liên

tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ hai lần. Đối với các

lớp hàm này, chúng tôi chứng minh được rằng điều kiện tăng trưởng bậc

hai tương đương với sự xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient

và tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ dưới vi phân.

2.2.1 Định nghĩa. [39, 46] Hàm số f : Rn → R được gọi là liên tục dưới vi phân (subdifferentially continuous) tại ¯x đối với ¯v nếu ¯v ∈ ∂f (¯x) và

với mọi dãy (xk, vk) → (¯x, ¯v), với vk ∈ ∂f (xk), ta có f (xk) → f (¯x).

Khái niệm về lớp hàm lồi biến phân sau đây được giới thiệu bởi R. T.

Rockafellar trong tài liệu [47]

2.2.2 Định nghĩa. [47] Cho hàm f : Rn → R chính thường, nửa liên tục dưới và (¯x, ¯v) ∈ gph ∂f. Ta nói rằng hàm f lồi biến phân (variationally

[Xε × V ] ∩ gph ∂f = [X × V ] ∩ gph ∂ ˆf

convex) tại ¯x đối với ¯v nếu tồn tại lân cận X × V của (¯x, ¯v) và hàm lồi nửa liên tục dưới ˆf ≤ f trên X và ε > 0 sao cho

(cid:0)[Xε × V ] ∩ gph ∂f (cid:1), trong đó Xε := và f (x) = ˆf (x) với mỗi x ∈ ΠX {x ∈ X|f (x) < f (¯x) + ε} và ΠX : Rn × Rn → Rn là ánh xạ được cho bởi ΠX(x, v) = x, với x ∈ Rn và v ∈ Rn.

Lớp các hàm lồi biến phân chứa lớp các hàm lồi. Tuy nhiên, lớp hàm

này có thể gồm các hàm không lồi [47, 48]. Lưu ý rằng tính lồi biến phân

kéo theo tính chính quy gần kề và tính liên tục dưới vi phân của hàm số

[47, Theorem 1].

Để đi đến các kết quả chính trong phần này, chúng tôi cần các kết

quả bổ trợ sau đây.

¯v ∈ ∂f (¯x). Khi đó, ta có

2.2.3 Bổ đề. [46, Theorem 13.40] Giả sử hàm f : Rn → R chính quy gần kề, liên tục dưới vi phân và khả vi trên đồ thị hai lần tại ¯x đối với

D(∂f )(¯x|¯v) = ∂h với h =

d2f (¯x|¯v).

1 2

(2.25)

2.2.4 Bổ đề. [46, Theorem 13.24] Giả sử f : Rn → R là hàm chính thường và ¯x ∈ Rn. Khi đó, ¯x là cực tiểu địa phương mạnh của f khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (¯x) và d2f (¯x|0)(w) > 0, với mọi w (cid:54)= 0.

2.2.5 Bổ đề. Giả sử h : Rn → R là hàm chính thường và thuần nhất dương bậc hai theo nghĩa h(λw) = λ2h(w), với mọi λ > 0 và w ∈ dom h.

(cid:104)z, w(cid:105) = 2h(w).

Khi đó, với mọi w ∈ dom h và z ∈ ∂h(w), ta có

Chứng minh. Giả sử w ∈ dom h. Lấy z ∈ ∂h(w). Khi đó, theo (1.3) và

wk → w, h(wk) → h(w), zk → z.

(1.4), tồn tại các dãy {wk} ⊂ dom h, zk ∈ ∂ph(wk) và εk, rk > 0, sao cho

h(u) − h(wk) ≥ (cid:104)zk, u − wk(cid:105) −

(cid:107)u − wk(cid:107)2, ∀u ∈ Bεk(wk).

rk 2

Ta có

(λ2 − 1)h(wk) = h(λwk) − h(wk)

Chọn u = λwk ∈ Bεk(wk), trong đó 0 < λ và (cid:107)wk(cid:107) · |λ − 1| < εk. Sử dụng bất đẳng thức trên và tính thuần nhất dương bậc hai của h, ta thu được

≥ (cid:104)zk, (λ − 1)wk(cid:105) − rk

2 (λ − 1)2(cid:107)wk(cid:107)2.

(2.26)

(λ + 1)h(wk) ≥ (cid:104)zk, wk(cid:105) −

(λ − 1)(cid:107)wk(cid:107)2.

rk 2

Khi λ > 1 và (cid:107)wk(cid:107) · (λ − 1) < εk. Từ bất đẳng thức (2.26), ta có

2h(wk) ≥ (cid:104)zk, wk(cid:105).

Cho λ ↓ 1, ta được

(λ + 1)h(wk) ≤ (cid:104)zk, wk(cid:105) −

(λ − 1)(cid:107)wk(cid:107)2.

rk 2

Tương tự, khi 0 < λ < 1 và (cid:107)wk(cid:107) · (1 − λ) < εk, kết hợp với (2.26), ta có

2h(wk) ≤ (cid:104)zk, wk(cid:105).

Cho λ ↑ 1, ta được

(cid:104)zk, wk(cid:105) = 2h(wk), k = 1, 2, · · ·

Do đó, ta có

(cid:104)z, w(cid:105) = 2h(w).

Cho k → ∞, ta được

(cid:3) Như vậy, Bổ đề được chứng minh.

Cho ϕ : Rn → R là hàm khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, F : Rn → Rm là ánh xạ khả vi hai lần và g : Rm → (−∞, +∞] là hàm

lồi chính thường nửa liên tục dưới và liên tục Lipschitz địa phương tại F (¯x), với hằng số (cid:96) ∈ R+ đối với miền hữu hiệu của nó. Xét bài toán tối ưu sau đây:

f (x) := ϕ(x) + g(cid:0)F (x)(cid:1).

min x∈Rn

(2.27)

L(x, y) = ϕ(x) + (cid:104)F (x), y(cid:105) − g∗(y),

[(cid:104)y, v(cid:105) − g(v)] là đỗi ngẫu Fenchel của hàm g.

Hàm Lagrange liên kết với bài toán (2.27) được cho bởi

trong đó g∗(y) := sup v∈Rm

Theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả đã biết về mối quan hệ tương

đương giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric

mạnh của ánh xạ dưới vi phân (ngoại trừ kết quả của Drusvyatskiy và

Ioffe [17]) chỉ được thiết lập cho các lớp con của lớp hàm chính quy gần

kề. Sử dụng hệ thống quy tắc phép toán, chúng tôi xem xét các hàm biểu

diễn được dưới dạng tổng của một hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng

và một hàm liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị

hai lần. Chúng tôi chứng minh được rằng các hàm dạng này thỏa mãn

hai yêu cầu. Một là, các hàm dạng này có thể không chính quy gần kề.

Hai là, điều kiện tăng trưởng bậc hai tương đương ánh xạ dưới vi phân

là dưới chính quy mêtric mạnh. Kết quả được chúng tôi phát biểu thành

Định lý dưới đây.

−∇ϕ(¯x). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) Điều kiện tăng trưởng bậc hai (2.1) được thỏa mãn tại ¯x.

(ii) Ánh xạ ∂f dưới chính quy metric mạnh tại ¯x đối với 0 và

2.2.6 Định lý. Giả sử f : Rn → R là hàm số được biểu diễn dưới dạng f (x) = ϕ(x) + ψ(x) với mọi x ∈ Rn, trong đó ϕ : Rn → R khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng, 0 ∈ ∇ϕ(¯x) + ∂ψ(¯x) và ψ : Rn → R liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần tại ¯x đối với

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + d2ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w) ≥ 0, ∀w ∈ Rn.

(iii) ¯x là cực tiểu địa phương của f và ánh xạ ∂f dưới chính quy mêtric

(2.28)

(iv) Ta có

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) > 0, (2.29) với mọi w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)\{0} và z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w). (v) Tồn tại c > 0 sao cho

mạnh tại ¯x đối với 0.

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) ≥ c(cid:107)w(cid:107)2,

(2.30)

với mọi w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1) và z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w).

(vi) Với mọi w ∈ Rn\{0}, ta có

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + d2ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w) > 0.

(2.31)

w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1),

Nếu một trong các khẳng định trên thỏa mãn thì

QG(f ; ¯x) = inf

   

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2

z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w) (2.32)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)  

với quy ước rằng 0/0 = ∞.

Chứng minh. Áp dụng Định lý 1.2.7, ta có

D∂(ϕ + ψ)(¯x|0)(w) = ∇2ϕ(¯x)(w) + D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w)

(2.33)

d2(ϕ + ψ)(cid:0)¯x|0(cid:1)(w) = (cid:10)w, ∇2ϕ(¯x)w(cid:11) + d2ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w), ∀w ∈ Rn. (2.34)

và

(i) ⇔ (vi) và (iii) ⇒ (ii).

Do đó, theo (2.34) và Bổ đề 2.2.4, ta được

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng 0 ∈ ∂pf (¯x). Do ψ liên tục dưới vi

> −∞.

lim inf x→¯x

ψ(x) − ψ(¯x) + (cid:104)∇ϕ(¯x), x − ¯x(cid:105) (cid:107)x − ¯x(cid:107)2

phân và chính quy gần kề tại ¯x đối với −∇ϕ(¯x), ta có

Mặt khác, do ϕ khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng nên từ (1.19),

ϕ(x) = ϕ(¯x) + (cid:104)∇ϕ(¯x), x − ¯x(cid:105) +

(cid:104)x − ¯x, ∇2ϕ(¯x)(x − ¯x)(cid:105) + o((cid:107)x − ¯x(cid:107)2).

1 2

suy ra

= lim inf

ϕ(x)−ϕ(¯x)−(cid:104)∇ϕ(¯x),x−¯x(cid:105) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

2 (cid:104)x−¯x,∇2ϕ(¯x)(x−¯x)(cid:105)+o((cid:107)x−¯x(cid:107)2) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

lim inf x→¯x

x→¯x

≥ − 1

2(cid:107)∇2ϕ(¯x)(cid:107) > −∞.

Từ đó, ta có đánh giá sau

f (x)−f (¯x) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

lim inf x→¯x

Do đó,

= lim inf

+ ψ(x)−ψ(¯x)+(cid:104)∇ϕ(¯x),x−¯x(cid:105) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

x→¯x

= lim inf

+ lim inf

ϕ(x)−ϕ(¯x)−(cid:104)∇ϕ(¯x),x−¯x(cid:105) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

ψ(x)−ψ(¯x)+(cid:104)∇ϕ(¯x),x−¯x(cid:105) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

x→¯x

> −∞.

(cid:105) (cid:104) ϕ(x)−ϕ(¯x)−(cid:104)∇ϕ(¯x),x−¯x(cid:105) (cid:107)x−¯x(cid:107)2

Điều này chứng tỏ 0 ∈ ∂pf (¯x).

(v) ⇒ (iv) ⇒ (iii) thỏa mãn. Hơn nữa, ta có

w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1),

Vì vậy, theo (2.33) và Định lý 2.1.6, suy ra rằng các phép kéo theo

QG(f ; ¯x) ≥ inf

   

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2

z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w) (2.35)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)  

Bây giờ, ta chứng minh (ii) ⇒ (i). Giả sử ∂f dưới chính quy mêtric

mạnh tại ¯x đối với 0, với môđun κ > 0 và (2.28) thỏa mãn. Từ (2.34), ta

được

d2f (cid:0)¯x|0(cid:1)(w) ≥ 0, ∀w ∈ Rn.

(2.36)

Cố định r ∈ (0, κ−1) bất kì. Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho

f (x) ≥ f (¯x) −

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bδ(¯x).

r 2

(2.37)

(cid:107)xk − ¯x(cid:107)2.

f (xk) < f (¯x) −

r 2

k (xk − ¯x), với k ∈ N. Ta có τk ↓ 0 khi Đặt τk := (cid:107)xk − ¯x(cid:107) và wk := τ −1 k → ∞. Hơn nữa, bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có thể giả thiết rằng

Thật vây, giả sử ngược lại rằng khẳng định này không thỏa mãn. Khi đó, với mỗi k ∈ N, tồn tại xk ∈ B1/k(¯x) sao cho

f (¯x+τ w)−f (¯x)−τ (cid:104)0,w(cid:105) 1 2 τ 2

{wk} hội tụ về ¯w ∈ Rn khi k → ∞. Do vậy, ta có d2f (cid:0)¯x|0(cid:1)( ¯w) = lim inf τ ↓0 w−→ ¯w

f (¯x+τkwk)−f (¯x) 1 2 τ 2 k

≤ lim inf k→∞

f (xk)−f (¯x) 1

2 < 0.

2 (cid:107)xk−¯x(cid:107)2 ≤ − r

= lim inf k→∞

Điều này mâu thuẫn với (2.36). Do đó, tồn tại số thực δ > 0 sao cho

(2.37) thỏa mãn. Theo Bổ đề 2.1.5, điều kiện tăng trưởng bậc hai (2.1)

thỏa mãn và ta có (ii) ⇒ (i).

QG(f ; ¯x) ≤ inf

(cid:27)

w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1), z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w)

Cuối cùng, ta chứng minh (i) ⇒ (v) và (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:26)(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2

(2.38)

Giả sử ¯x là cực tiểu địa phương mạnh với môđun κ được lấy từ (2.1). Từ

(2.1) và (1.6), ta có

d2f (¯x|0)(w) ≥ κ(cid:107)w(cid:107)2, ∀w ∈ Rn.

(2.39)

Vì ψ liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần

d2ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(·). (2.40)

D(∂ψ)(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1) = ∂h với h(·) =

1 2

tại ¯x đối với −∇ϕ(¯x) ∈ ∂ψ(¯x) nên từ Bổ đề 2.2.5, suy ra

(2.41) Chú ý rằng từ (1.6) và (2.39), hàm h là chính thường và thuần nhất dương bậc hai. Khi đó, với mỗi w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1) và z ∈ D(∂ψ)(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w) = ∂h(w), theo Bổ đề 2.2.5 và (2.40), ta được (cid:104)z, w(cid:105) = 2h(w) = d2ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w),

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) = (cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + d2ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w)

= d2f (¯x|0)(w)

≥ κ(cid:107)w(cid:107)2,

kết hợp với (2.33), (2.34), (2.39) và (2.41) ta có

w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1),

điều này suy ra (v) được thỏa mãn và ta có đánh giá sau

κ ≤ inf

   

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2

z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)  

Kết hợp điều này với κ là môđun bất kì của cực tiểu địa phương mạnh ¯x, suy ra rằng (2.38) thỏa mãn. Từ (2.35) và (2.38), ta thu được (2.32). (cid:3)

Trường hợp hàm ϕ = 0, chúng tôi thu được hệ quả trực tiếp sau đây

của Định lý 2.2.6

2.2.7 Hệ quả. Cho f : Rn → R là hàm chính thường, nửa liên tục dưới và ¯x ∈ dom f. Giả sử rằng 0 ∈ ∂f (¯x) và hàm f liên tục dưới vi phân,

chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần tại ¯x đối với 0. Khi đó, các

(i) Điều kiện tăng trưởng bậc hai (2.1) được thỏa mãn tại ¯x.

(ii) ¯x là cực tiểu địa phương và ∂f là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x

khẳng định sau là tương đương:

(iii) Ta có

(cid:104)z, w(cid:105) > 0,

đối với 0.

(iv) Tồn tại số thực dương c, sao cho

(cid:104)z, w(cid:105) ≥ c(cid:107)w(cid:107)2,

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) và w ∈ domD(∂f )(¯x|0) \ {0}.

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) và w ∈ domD(∂f )(¯x|0).

QG(f ; ¯x) = inf

Hơn nữa, nếu một trong các khẳng định (i) − (iv) thỏa mãn thì

z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯x|0)

(cid:110) (cid:104)z,w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (2.42) (cid:111)

(cid:3) Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lý 2.2.6, với ϕ = 0.

Như vậy, bằng cách sử dụng công cụ đạo hàm đồ thị dưới gradient và

hệ thống quy tắc tính toán của giải tích biến phân, Định lý 2.2.6 chỉ ra

rằng, đối với lớp hàm chính quy gần kề, liên tục dưới vi phân và khả vi

trên đồ thị hai lần, cực tiểu địa phương mạnh biểu diễn được thông qua

tính xác định dương theo nghĩa (2.11) và (2.12) của đạo hàm đồ thị dưới

gradient tại điểm dừng đối với 0. Hơn nữa, đối với lớp hàm này, điều kiện

tăng trưởng bậc hai tương đương với tính dưới chính quy mêtric mạnh

của dưới vi phân tại cực tiểu địa phương đối với 0.

Hệ quả 2.2.7 cho phép chúng tôi khôi phục kết quả [24, Corollary 73]

2.2.8 Hệ quả. Cho f : Rn → R là hàm chính thường, nửa liên tục dưới và ¯x ∈ dom f. Giả sử rằng 0 ∈ ∂f (¯x) và hàm f liên tục dưới vi phân,

chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần tại ¯x đối với 0. Khi đó, các

(i) ¯x là cực tiểu địa phương mạnh.

(ii) Điều kiện đủ loại hai trong Định nghĩa 2.1.8 thỏa mãn tại ¯x. Nghĩa

khẳng định sau là tương đương:

là, tồn tại c > 0 sao cho với mỗi w ∈ domD(∂pf )(¯x|0) và (cid:107)w(cid:107) = 1, tồn tại z ∈ D(∂pf )(¯x|0)(w) thỏa mãn (cid:104)z, w(cid:105) ≥ c.

Chứng minh. Do f liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên

đồ thị hai lần tại ¯x đối với 0 ∈ ∂f (¯x) nên theo (2.1) và (1.6), ta được

d2f (¯x|0)(w) ≥ κ(cid:107)w(cid:107)2, ∀w ∈ Rn.

(2.43)

Mặt khác, vì f chính quy gần kề, liên tục dưới vi phân và khả vi trên đồ

thị hai lần tại ¯x đối với 0 ∈ ∂f (¯x) nên từ công thức (2.25), ta thu được

d2f (¯x|0)(·).

D(∂f )(¯x|0) = ∂h với h(·) =

1 2

(2.44)

Chú ý rằng từ (1.6) và (2.43), h chính thường và thuần nhất dương bậc

hai. Do đó, với mỗi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) = ∂h(w), theo Bổ đề 2.2.5, (2.43)

(cid:104)z, w(cid:105) = d2f (¯x|0)(w), ∀z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) = D(∂pf )(¯x|0)(w).

và (2.44), ta được

Vì vậy, khẳng định (ii) tương đương với khẳng định (iv) trong Hệ quả (cid:3) 2.2.7. Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

2.2.9 Hệ quả. Cho ϕ : Rn → R là hàm khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng và ψ := g ◦ F, trong đó F : Rn → Rm khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng và hàm g : Rm → R lồi chính thường nửa liên tục dưới và liên tục Lipschitz địa phương tại F (¯x) đối với miền hữu hiệu của nó. Giả

sử rằng 0 ∈ ∇ϕ(¯x) + ∂ψ(¯x), các giả thiết cơ bản (H1) − (H3) thỏa mãn

đối với ψ tại (¯x, ¯v) với ¯v := −∇ϕ(¯x) và ψ là hàm chính quy gần kề tại ¯x

(i) Điều kiện tăng trưởng bậc hai (2.1) được thỏa mãn tại ¯x.

(ii) ∂f dưới chính quy metric mạnh tại (¯x, 0) và

đối với ¯v. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

xxL(¯x, ¯y)w, w(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)|y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9) ≥ 0,

max y∈Λ(¯x,¯v)

(2.45) (cid:8)(cid:10)∇2

với mọi w ∈ Kψ(¯x, ¯v). (iii) ¯x là cực tiểu địa phương của f := ϕ + ψ và ∂f là dưới chính quy

(iv Ta có

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) > 0, (2.46) với mọi w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)\{0} và z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w). (v) Tồn tại c > 0 sao cho

metric mạnh tại (¯x, 0).

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) ≥ c(cid:107)w(cid:107)2,

(2.47)

với mọi w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1) và z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w). (vi) Với mọi w ∈ Kψ(¯x, ¯v)\{0}, ta có

xxL(¯x, ¯y)w, w(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:12)

max y∈Λ(¯x,¯v)

(2.48) (cid:8)(cid:10)∇2 (cid:12)y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9) > 0.

w ∈ domD∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1),

Nếu một trong các khẳng định trên được thỏa mãn thì

QG(f ; ¯x) = inf

   

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + (cid:104)z, w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2

z ∈ D∂ψ(cid:0)¯x| − ∇ϕ(¯x)(cid:1)(w)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)  

với quy ước 0/0 = ∞.

Chứng minh. Theo giả thiết, hàm ψ chính quy gần kề và liên tục dưới vi

phân tại ¯x đối với ¯v và theo Mệnh đề 1.2.24, hàm ψ khả vi trên đồ thị

hai lần tại ¯x đối với ¯v. Hơn nữa, vì hàm g liên tục Lipschitz địa phương

tại F (¯x) đối với miền hữu hiệu của nó và F liên tục Lipschitz quanh ¯x

d2ψ(cid:0)¯x(cid:12)

nên hàm hợp ψ = g ◦ F liên tục dưới vi phân tại ¯x đối với ¯v. Mặt khác,

theo Mệnh đề 1.2.24, ta có (cid:12)¯v(cid:1)(w)

= max y∈Λ(¯x,¯v)

(cid:8)(cid:10)∇2F (¯x)(w, w)(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:12) (cid:12)y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9) , ∀w ∈ Rn.

(cid:104)∇2ϕ(¯x)w, w(cid:105) + d2ψ(cid:0)¯x|¯v(cid:1)(w)

Điều này suy ra rằng

xxL(¯x, y)w, w(cid:11) + d2g(cid:0)F (¯x)(cid:12)

= max y∈Λ(¯x,¯v)

(cid:8)(cid:10)∇2 (cid:12)y(cid:1)(cid:0)∇F (¯x)w(cid:1)(cid:9) , ∀w ∈ Rn.

Chú ý rằng d2ψ(¯x|¯v) là hàm chính thường nửa liên tục dưới với miền hữu hiệu dom d2ψ(¯x|¯v) = Kψ(¯x, ¯v). Do đó, áp dụng Định lý 2.2.6, ta có điều (cid:3) phải chứng minh.

2.2.10 Nhận xét. Với các giả thiết cơ bản (H1) − (H3), trong [30],

• Nếu ϕ và F khả vi hai lần tại ¯x, thì (i) ⇔ (vi).

• Nếu ϕ và F khả vi liên tục hai lần tại ¯x, thì (iii) ⇔ (vi).

Mohammadi và Sarabi đã chỉ ra rằng:

Đối với lớp các hàm lồi biến phân, chúng tôi thu được kết quả sau

2.2.11 Định lý. Cho f : Rn → R là hàm chính thường, nửa liên tục dưới và ¯x ∈ dom f. Giả sử rằng 0 ∈ ∂f (¯x) và f là hàm lồi biến phân tại ¯x đối

(i) Điều kiện tăng trưởng bậc hai (2.1) được thỏa mãn tại ¯x.

(ii) ¯x là cực tiểu địa phương và ∂f là dưới chính quy mêtric mạnh tại ¯x

với 0. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(iii) D(∂f )(¯x|0) xác định dương theo nghĩa (2.11). Tức là, ta có

(cid:104)z, w(cid:105) > 0,

đối với 0.

(iv) D(∂f )(¯x|0) xác định dương theo nghĩa (2.12). Tức là, tồn tại c > 0

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) và w ∈ domD(∂f )(¯x|0) \ {0}.

(cid:104)z, w(cid:105) ≥ c(cid:107)w(cid:107)2,

sao cho

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) và w ∈ domD(∂f )(¯x|0).

QG(f ; ¯x) ≥ inf

Hơn nữa, nếu một trong các khẳng định (i) − (iv) thỏa mãn thì

(cid:110) (cid:104)z,w(cid:105) (cid:107)w(cid:107)2 (cid:12) (cid:111) (cid:12) (cid:12) z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯x|0)

≥ 1

2QG(f ; ¯x).

(2.49)

[X × V ] ∩ gph ∂f = [X × V ] ∩ gph ∂ ˆf ,

Chứng minh. Do f lồi biến phân tại ¯x đối với 0 nên tồn tại lân cận mở X × V của (¯x, ¯v) và hàm lồi ˆf ≤ f trên X thỏa mãn

(cid:0)[X × V ] ∩ gph ∂f (cid:1). Hơn nữa, từ tính và f (x) = ˆf (x), với mỗi x ∈ ΠX chất lồi biến phân của hàm f tại ¯x đối với 0 ∈ ∂f (¯x) và (1.11), ta có 0 ∈ ∂ ˆf (¯x) và 0 ∈ ∂pf (¯x). Ta chỉ cần chứng minh rằng (i) ⇒ (iv) và

bất đẳng thức bên phải của (2.49). Giả sử rằng ¯x là cực tiểu địa phương

mạnh với môđun κ. Khi đó, tồn tại γ > 0 sao cho

f (x) − f (¯x) ≥

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Bγ(¯x).

κ 2

(2.50)

(¯x, 0) + tk(wk, zk) ∈ [X × V ] ∩ gph ∂f = [X × V ] ∩ gph ∂ ˆf .

Bây giờ, lấy bất kì z ∈ D∂f (¯x|0)(w). Từ Định nghĩa 1.1.7, tồn tại tk ↓ 0 và (zk, wk) → (z, w) sao cho

(cid:0)[X × V ] ∩ gph ∂f (cid:1). Kết hợp điều này với

ˆf (¯x + tkwk) = f (¯x + tkwk)

≥ f (¯x) + κ

k(cid:107)wk(cid:107)2

2 t2

= ˆf (¯x) + κ

k(cid:107)wk(cid:107)2, với k đủ lớn.

2 t2

Lưu ý rằng ¯x, ¯x + tkwk ∈ ΠX (2.50), ta được

ˆf (¯x) − ˆf (¯x + tkwk) ≥ −(cid:104)tkzk, tkwk(cid:105), ∀k.

Hơn nữa, vì ˆf lồi và (¯x, 0) + tk(wk, zk) ∈ gph ∂ ˆf nên

(cid:104)zk, wk(cid:105) ≥

(cid:107)wk(cid:107)2, với k đủ lớn.

κ 2

Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta thu được

(cid:107)w(cid:107)2.

(cid:104)z, w(cid:105) ≥

κ 2

Cho k → ∞, ta được

Điều này chứng tỏ (i) ⇒ (iv) và bất đẳng thức bên phải của (2.49) được (cid:3) chứng minh.

Sau đây là các ví dụ được thiết kế để minh họa cho các kết quả mà

chúng tôi đã thiết lập được trong phần này.

2.2.12 Ví dụ. Xét hàm số g : R → R được cho bởi

3 cos 1

x 10

x + x4

3 cos 1

x 10

x + 1

 nếu x ≥ 1,

x + (2n+1)(2n2+2n+1)

n3(n+1)3

(n+1)3 − 1 n3

n+1, 1

g(x) =

n = 1, 2, ...

nếu x ∈ (cid:2) 1 (cid:1),

nếu x = 0,

g(−x)

  nếu x < 0.

Khẳng định 1: Hàm g khả vi hai lần tại ¯x = 0 theo nghĩa mở rộng,

nhưng không khả vi hai lần tại ¯x.

3 cos 1

x + 4x3

x + x 4

3 x 7

3 cos 1

3 sin 1

 Thật vậy, chúng ta thấy rằng hàm g khả vi tại ¯x và 3 sin 1 nếu x > 1,

3 x 7

x + x 4

x + (2n+1)(2n2+2n+1)

n3(n+1)3

n+1, 1

n = 1, 2, ...

∇g(x) =

nếu x ∈ (cid:0) 1 (cid:1),

nếu x = 0,

−∇g(−x)

− 1 n

(cid:110) (cid:12) (cid:12) nếu x ∈ (cid:0) − ∞, 0(cid:1) \   (cid:12) n ∈ N∗(cid:111)

Đặt

U = (−1, 1), D = (−1, 1) \

xcos 1

(cid:12) (cid:12) và A = 0. (cid:12) n ∈ Z∗(cid:111) (cid:110) 1 n

∇g(x)−∇g(¯x)−A(x−¯x) (cid:107)x−¯x(cid:107)

√ x + 3

xsin 1 x

n3(n+1)3|x|

(cid:12) (cid:12) + (2n+1)(2n2+2n+1) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

√ (cid:12) + (cid:12) (cid:12) (cid:12) 3

xcos 1 x

xsin 1 x

≤ 10 3

n3(n+1)2

→ 0 khi n → ∞.

Khi đó, ta có µ(U \D) = 0, hàm g liên tục Lipschitz trên U với hằng số κ = 1 và khả vi tại mỗi điểm trong D, ở đây µ là độ đo Lebesgue trên R. Hơn nữa, với mỗi x ∈ (cid:0) 1 (cid:1) với n ∈ N∗, ta có n+1, 1 n √ (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12) (cid:12) 10 (cid:12) 3 x 3 √ (cid:12) (cid:12)x 3 (cid:12) (cid:12) + (2n+1)(2n2+2n+1)

= 0.

∇g(x) − ∇g(¯x) − A(x − ¯x) (cid:107)x − ¯x(cid:107)

lim x D→¯x

Từ đó suy ra

Do đó, hàm g khả vi hai lần tại ¯x theo nghĩa mở rộng. Mặt khác, vì g n với n ∈ Z∗ nên g không khả vi hai lần tại ¯x. không khả vi tại các điểm 1

Khẳng định 2: Hàm g không chính quy gần kề tại ¯x đối với ¯v = 0.

, xk =

uk =

1 2kπ

1 π 2 + 2kπ

Với r > 0 và với mỗi k = 1, 2, . . . , chọn

−(cid:104)∇g(uk) − ∇g(xk), uk − xk(cid:105) − r |uk − xk|2

= −

−

Ta có

+ (2m+1)(2m2+2m+1) m3(m+1)3

1 (2kπ)2 3√

2kπ

1 √ 2 +2kπ(cid:1) 3 (cid:0) π

π 2 +2kπ

(cid:104) 10 3

− (2n+1)(2n2+2n+1) n3(n+1)3

2kπ − 1

π 2 +2kπ

(cid:1)2 (cid:105) .(cid:0) 1 (cid:1) − r(cid:0) 1

+ (2n+1)(2n2+2n+1) n3(n+1)3

− 10 3

1 (2kπ)2 3√

2kπ

1 √ (cid:0) π 2 +2kπ(cid:1) 3

π 2 +2kπ

(cid:104)

− (2m+1)(2m2+2m+1) m3(m+1)3

2kπ − 1

π 2 +2kπ

(cid:1)2 (cid:105) .(cid:0) 1 (cid:1) − r(cid:0) 1

≥

− 15

− 10 3

(m+1)3 − r

1 (2kπ)2 3√

2kπ

π 4kπ(cid:0) π

2 +2kπ(cid:1)

1 √ 2 +2kπ(cid:1) 3 (cid:0) π

π 2 +2kπ

2 +2kπ(cid:1)

(cid:104) (cid:105)

≥

−

− 15

(2kπ)3 − r (kπ)2

1 8kπ 3√

kπ

1 (kπ)2 3√

kπ

π 4kπ(cid:0) π

2 +2kπ(cid:1)

(cid:104) (cid:105)

≥

1 − 8

> 0, với k đủ lớn.

kπ − 15 kπ. 3√

kπ

− 8r 3√ kπ

32(kπ)2 3√

π kπ(cid:0) π

2 +2kπ(cid:1)

(cid:104) (cid:105)

Điều này chỉ ra rằng bất đẳng thức (1.12) không thỏa mãn. Do đó, theo

Bổ đề 1.1.18 hàm g không chính quy gần kề tại ¯x = 0 đối với ¯v = 0.

2.2.13 Ví dụ. Cho ánh xạ F : R → R2 xác định bởi F (x) = (cid:0)F1(x), F2(x)(cid:1), với F1(x) = −x và F2(x) = −x3. Hàm ϕ : R → R được cho bởi

◦ F (x), ∀x ∈ R.

ϕ(x) = 2x + g(x), ∀x ∈ R, trong đó, hàm g được lấy từ Ví dụ 2.2.12. Hàm ψ : R → R xác định bởi ψ(x) = δR2

−

Xét bài toán tối ưu

ϕ(x) + ψ(x).

min x∈R

(2.51)

Theo Ví dụ 2.2.12, hàm ϕ khả vi hai lần tại ¯x = 0 theo nghĩa mở rộng

Γ = {x ∈ R | Fi(x) ≤ 0, i = 1, 2} = R+.

và không chính quy gần kề tại ¯x = 0 đối với ¯v = 0. Đặt

−

thỏa mãn (H2) và (H3). Hơn nữa, ta thấy rằng Ta có, hàm δR2

d(x; Γ) =

nếu x ≥ 0  0 

|x|

 nếu x < 0

d(cid:0)F (x); R2 −

√

x2 + x6

và nếu x ≥ 0  0  (cid:1) =  nếu x < 0.

Từ đó suy ra

d(x; Γ) ≤ d(cid:0)F (x); R2 −

(cid:1).

Điều này chứng tỏ (H1) được thỏa mãn tại ¯x.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng ¯x là cực tiểu địa phương mạnh. Thật

xcos

≥ 0

√ x + x3 3

1 x

vậy, với mọi x ∈ Γ ∩ B và n ∈ N∗, ta có

x +

(2n + 1)(2n2 + 2n + 1) n3(n + 1)3

1 (n + 1)3 −

1 n3 ≥ x4 ≥ 0.

và

ϕ(x) − ϕ(¯x) ≥ x ≥ x2, ∀x ∈ Γ ∩ B.

Do đó, ta thu được

Như vậy ¯x là cực tiểu địa phương mạnh. Do đó, theo Định lý 2.2.6, ta có

các khẳng định (i) − (vi) được thỏa mãn.

2.3 Kết luận Chương 2

Trong Chương 2, sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient và hệ thống

các quy tắc tính toán của giải tích biến phân, chúng tôi đạt được những

kết quả sau đây:

Thiết lập được các điều kiện đủ bậc hai cho điều kiện tăng trưởng bậc

hai đối với hàm chính thường nửa liên tục dưới (Định lý 2.1.6).

Thu được các đặc trưng điều kiện tăng trưởng bậc hai đối với lớp hàm

biểu diễn được dưới dạng tổng của một hàm khả vi hai lần theo nghĩa

mở rộng và một hàm liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi

trên đồ thị hai lần (Định lý 2.2.6).

Thiết lập được các đặc trưng cho điều kiện tăng trưởng bậc hai đối

với lớp hàm lồi biến phân (Định lý 2.2.11).

CHƯƠNG 3

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU BẬC HAI CHO MỘT LỚP BÀI

TOÁN QUY HOẠCH NÓN

Chương này chúng tôi dành để nghiên cứu các điều kiện tối ưu bậc

hai của một lớp bài toán tối ưu có cấu trúc xác định, đó là bài toán tối ưu với ràng buộc quy được về C2-nón thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng

buộc dưới chính quy mêtric. Đối với lớp bài toán này, chúng tôi chỉ ra

rằng điều kiện tăng trưởng bậc hai tương đương với sự xác định dương

của đạo hàm đồ thị dưới gradient và tính dưới chính quy mêtric mạnh

của dưới vi phân.

3.1 Điều kiện cần tối ưu bậc hai

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán tối ưu có ràng buộc sau đây:

(P )

g(x)

q(x) ∈ Θ,

min x∈Rn

sao cho (3.1)

trong đó g : Rn → R và q : Rn → Rm với q(x) = (cid:0)q1(x), ..., qm(x)(cid:1), là các hàm số khả vi liên tục hai lần và Θ là một tập con lồi đóng của Rm.

Kí hiệu Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ} là tập chấp nhận được của bài

toán (3.1) và cố định ¯x ∈ Γ và ¯y = q(¯x). Đặt

f (x) := g(x) + δΓ(x), ∀x ∈ Rn,

(3.2)

trong đó

δΓ(x) :=

nếu x ∈ Γ  0 

∞ nếu x /∈ Γ



là hàm chỉ của tập Γ. Khi đó, bài toán (3.1) có thể viết dưới dạng bài

f (x).

min x∈Rn

toán tối ưu không ràng buộc

3.1.1 Định nghĩa. [9] Điểm ¯x ∈ Γ được gọi là cực tiểu địa phương mạnh

của bài toán (3.1) nếu tồn tại các số thực κ > 0, γ > 0 sao cho

g(x) ≥ g(¯x) +

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2 với mọi x ∈ Γ ∩ Bγ(¯x).

κ 2

(3.3)

Nghĩa là, ¯x là cực tiểu địa phương mạnh của hàm f xác định ở trên.

Khi đó, ta nói rằng bài toán (3.1) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai

tại ¯x.

Điểm ¯x được gọi là cực tiểu địa phương của bài toán (3.1) nếu điều

kiện (3.3) thỏa mãn với γ > 0 và κ = 0. Điểm ¯x được gọi là một điểm

(cid:0)q(¯x)(cid:1) sao cho dừng khi tồn tại nhân tử Lagrange λ ∈ NΘ

0 = ∇g(¯x) + ∇q(¯x)T λ.

(3.4)

(i)

QG(cid:0)(P ); ¯x(cid:1) := sup(cid:8)κ| điều kiện (3.3) được thỏa mãn(cid:9),

Các kí hiệu:

QG(cid:0)(P ); ¯x(cid:1) = QG(cid:0)f ; ¯x(cid:1).

nghĩa là

(ii) Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1) là tập các nhân tử Lagrange thỏa mãn (3.4). (iii) KΓ (cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1).

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1) = TΓ(¯x) ∩ {−∇g(¯x)}⊥ là nón tới hạn của tập Γ tại

3.1.2 Định nghĩa. [9] Tập con lồi, đóng Θ ⊂ Rm được gọi là tập quy được về C 2-nón (C 2-cone reducible) tại ¯y đối với nón lồi đóng C ⊂ Rl nếu tồn tại lân cận V ⊂ Rm của ¯y và ánh xạ khả vi liên tục hai lần h : V → Rl sao cho

h(¯y) = 0, ∇h(¯y) là toàn ánh và Θ ∩ V = (cid:8)y ∈ V | h(y) ∈ C(cid:9).

(3.5)

Γ = {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ},

3.1.3 Định nghĩa. [9, 11, 25] Xét tập ràng buộc

ở đây q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và Θ là tập con đóng, khác rỗng của Rm. Ta nói (i) Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (metric subreg-

Mq(x) = q(x) − Θ là dưới chính quy mêtric tại (¯x, 0). (ii) Điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson (Robinson’s constraint qual-

ularity constraint qualification) (MSCQ) thỏa mãn tại ¯x ∈ Γ nếu ánh xạ

ification) (RCQ) thỏa mãn tại ¯x ∈ Γ nếu điều kiện sau thỏa mãn:

0 ∈ int {q(¯x) + ∇q(¯x)Rn − Θ}.

(3.6)

3.1.4 Bổ đề. [11, Lemma 2.5] Cho q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần, Θ ⊂ Rm là một tập lồi, đóng khác rỗng, ¯x ∈ Γ := {x | q(x) ∈ Θ} và điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ thỏa mãn tại ¯x ∈ Γ. Khi đó, tồn tại η > 0 sao cho NΓ(x) trùng với ∂pδΓ(x), với mọi x ∈ Bη(¯x) và được xác định bởi

NΓ(x) = ∂pδΓ(x) = {∇q(x)T λ| λ ∈ NΘ(q(x))}, ∀x ∈ Bη(¯x).

(3.7)

Dưới điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric tại ¯x, từ

(3.7), ta có

∂pf (x) = ∇g(x) + ∂pδΓ(x) = ∂f (x), ∀x ∈ Bη(¯x),

(3.8)

trong đó η được lấy từ Bổ đề 3.1.4. Hơn nữa, từ (3.8) rõ ràng 0 ∈ ∂pf (¯x) nếu và chỉ nếu ¯x là điểm dừng trong (3.4). Kết hợp (3.8) và quy tắc đạo

D(∂f )(¯x|0)(w) = D(∇g + NΓ)(¯x|0)(w)

hàm đồ thị của tổng trong Bổ đề 1.1.8, ta thu được

= ∇2g(¯x)w + DNΓ(¯x| − ∇g(¯x))(w).

(3.9)

Bổ đề sau đây được trích từ [25, Corollary 5.4], nó cung cấp công thức

tính đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến của tập chấp nhận được dưới điều

kiện chuẩn hóa ràng buộc MCSQ.

3.1.5 Bổ đề. [25, Corollary 5.4] Giả sử ¯x là điểm dừng của bài toán

DNΓ(¯x, −∇g(¯x))(w) =

(cid:1)w | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x); w(cid:1)(cid:111) (3.1), điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ thỏa mãn tại ¯x và Θ là tập quy được về C2-nón tại ¯y = q(¯x). Khi đó, ta có (cid:110)(cid:0)∇2(λT q)(¯x) + (cid:101)Hλ

KΓ

(cid:0)¯x,−∇g(¯x)(cid:1)(w), ∀w ∈ Rn,

(3.10)

Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x); w(cid:1)

trong đó tập Λ(¯x, −∇g(¯x); w) được cho bởi

= argmax

wT ∇2(λT q)(¯x)w + wT (cid:101)Hλw| λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:111) (cid:110)

(cid:54)= ∅

(3.11)

và

∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T (cid:17)−1

(λ), h(·)

(cid:29) (cid:28)(cid:16) (3.12) (cid:0)q(¯x)(cid:1)∇q(¯x)w. (cid:101)Hλw := ∇q(¯x)T ∇2

Lấy bất kì z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), từ (3.8), (3.9) và (3.10), ta có

w ∈ dom D(∂f )(¯x|0) = KΓ

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1).

KΓ

Khi đó, tồn tại ¯λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x); w(cid:1) và u ∈ N

z = ∇2g(¯x)w + (cid:0)∇2(¯λT q)(¯x) + (cid:101)H¯λ

(cid:0)¯x,−∇g(¯x)(cid:1)(w) sao cho (cid:1)w + u.

Từ đó, ta có

(cid:104)z, w(cid:105) = (cid:104)∇2g(¯x)w, w(cid:105) + wT ∇2(¯λT q)w + wT (cid:101)H¯λw + (cid:104)u, w(cid:105).

(3.13)

(cid:104)u, w(cid:105) = 0.

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1) là nón nên Vì KΓ

(cid:104)z, w(cid:105) = max (cid:8)wT ∇2L(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:9) (3.14) (cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1), z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), trong đó L(x, λ) := với mọi w ∈ KΓ g(x) + (cid:104)λ, q(x)(cid:105) là hàm Lagrange, với x ∈ Rn, λ ∈ Rm. Kết hợp điều này

Kết hợp với (3.11) và (3.13), ta được

max (cid:8)wT ∇2L(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:9) > 0,

với Định lý 2.1.6, ta được điều kiện bậc hai sau:

(3.15) (cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1), là điều kiện đủ để ¯x là cực tiểu địa phương với mọi w ∈ KΓ mạnh khi điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ được thỏa mãn tại điểm

dừng ¯x. Kết quả này đã được biết đến trong [9, Theorem 3.137] nhưng

dưới điều kiện chuẩn hóa ràng buộc RCQ, một điều kiện chuẩn hóa ràng

buộc mạnh hơn thực sự điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ. Hơn nữa,

(3.15) cũng là điều kiện cần cho ¯x là cực tiểu địa phương mạnh dưới điều

kiện chuẩn hóa ràng buộc RCQ.

Giả sử Q : q−1(V ) → R(cid:96) cho bởi Q(x) = h ◦ q(x), với h và V được

lấy từ (3.5).

∇Q(¯x)z + (cid:104)w, ∇2Q(¯x)w(cid:105) + y ∈ TC(∇Q(¯x)w),

3.1.6 Bổ đề. [25, Propostion 3.1] Giả sử hệ q(x) ∈ Θ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ tại ¯x ∈ Γ. Khi đó, với mỗi w ∈ Rn mà ∇Q(¯x)w ∈ C tồn tại κ > 0 sao cho ∀(z, y) ∈ Rn × R(cid:96) thỏa mãn

∇Q(¯x)˜z + (cid:104)w, ∇2Q(¯x)w(cid:105) ∈ TC(∇Q(¯x)w) và (cid:107)˜z − z(cid:107) ≤ κ(cid:107)y(cid:107).

đều tồn tại ˜z ∈ Rn thỏa mãn các điều kiện

Ψ(y) := (cid:8)z ∈ Rn | ∇Q(¯x)z + (cid:104)w, ∇2Q(¯x)w(cid:105) + y ∈ TC(∇Q(¯x)w)(cid:9)

Bất đẳng thức trên suy ra rằng ánh xạ Ψ xác định bởi:

Ψ(y) ⊂ Ψ(0) + κ(cid:107)y(cid:107)BRn, ∀y ∈ R(cid:96).

có tính chất Lipschitz trên tại 0, nghĩa là

3.1.7 Bổ đề. [9, trang 242] Giả sử w ∈ Rn thỏa mãn ∇Q(¯x)w ∈ C. Khi

đó, ta có

T 2 C

(cid:0)∇Q(¯x)w(cid:1). (cid:0)Q(¯x), ∇Q(¯x)w(cid:1) = TC

3.1.8 Bổ đề. [25, Lemma 5.2] Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ

thỏa mãn đối với hệ q(x) ∈ Θ tại ¯x thì điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

MSCQ cũng thỏa mãn đối với hệ Q(x) ∈ C tại ¯x.

3.1.9 Bổ đề. Giả sử bài toán (3.1) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng (cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)

buộc MSCQ tại cực tiểu địa phương ¯x. Khi đó, với mỗi w ∈ KΓ và z ∈ Rn sao cho

∇Q(¯x)z + (cid:104)w, ∇2Q(¯x)w(cid:105) ∈ T 2 C

(3.16) (cid:0)Q(¯x), ∇Q(¯x)w(cid:1),

∇g(¯x)z + (cid:104)w, ∇2g(¯x)w(cid:105) ≥ 0.

ta có

Chứng minh. Lấy bất kì w ∈ K(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1) và z ∈ Rn thỏa mãn (3.16). Khi đó, tồn tại tk ↓ 0 sao cho

= o(t2

Q(¯x) + tk∇Q(¯x)w +

t2 k

1 2

k). (3.17)

(cid:17) (cid:16) (cid:0)∇Q(¯x)z + (cid:104)w, ∇2Q(¯x)w(cid:105)(cid:1); C

Đặt x(tk) := ¯x + tkw + 1

2t2 kz, ta có (cid:16)

= d

Q(cid:0)x(tk)(cid:1); C

Q(¯x) + tk∇Q(¯x)w

(cid:16) (cid:17)

+ 1

k), C

2t2

= o(t2

k).

(cid:17) (cid:0)∇Q(¯x)z + (cid:104)w, ∇2Q(¯x)w(cid:105)(cid:1) + o(t2

Vì bài toán (3.1) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ tại ¯x

d(cid:0)x; Γ ∩ q−1(V )(cid:1) = d(x; M −1

Q (0)(cid:1) ≤ κd(cid:0)0; MQ(x)(cid:1) = κd(cid:0)Q(x); C(cid:1), ∀x ∈ U.

nên theo Bổ đề 3.1.8, ánh xạ đa trị MQ(x) = Q(x) − C là dưới chính quy mêtric tại ¯x đối với 0 = Q(¯x) ∈ R(cid:96). Do đó, tồn tại lân cận U của ¯x và số thực κ > 0, sao cho

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng x(tk) ∈ U, với mọi k. Do đó, ta có

= o(t2

Q(cid:0)x(tk)(cid:1); C

k).

(cid:17) (cid:16) d(cid:0)x(tk); Γ ∩ q−1(V )(cid:1) ≤ κd

(cid:107)x(tk) − ˜x(tk)(cid:107) = o(t2

k).

Suy ra, với mỗi k, tồn tại ˜x(tk) ∈ Γ ∩ q−1(V ) thỏa mãn

Chú ý rằng x(tk) → ¯x khi k → ∞ và ¯x là nghiệm tối ưu của bài toán (3.1), ta có thể giả sử rằng g(cid:0)˜x(tk)(cid:1) ≥ g(¯x), với mọi k. Mặt khác, bằng cách sử dụng khai triển Taylor, ta được

g(cid:0)x(tk)(cid:1) = g(¯x) + tk∇g(¯x)w +

k),

t2 k

1 2

(cid:0)∇g(¯x)z + (cid:104)w, ∇2g(¯x)w(cid:105)(cid:1) + o(t2

g(cid:0)x(tk)(cid:1) = g(cid:0)˜x(tk)(cid:1) + o(t2 k).

và

100

Từ đó, ta có

g(¯x) + tk∇g(¯x)w +

t2 k

k) ≥ g(¯x), ∀k.

1 2

(cid:0)∇g(¯x)z + (cid:104)w, ∇2g(¯x)w(cid:105)(cid:1) + o(t2

Kết hợp điều này với ∇g(¯x)w = 0, ta thu được

t2 k

k) ≥ 0.

1 2

(cid:0)∇g(¯x)z + (cid:104)w, ∇2g(¯x)w(cid:105)(cid:1) + o(t2

(cid:3) Điều này suy ra rằng ∇g(¯x)z + (cid:104)w, ∇2g(¯x)w(cid:105) ≥ 0.

Xét bài toán tối ưu (Pu) trong (1.52) và bài toán đối ngẫu (Du) trong

(1.54) của bài toán (Pu).

3.1.10 Định nghĩa. [9] Ta nói rằng bài toán (Pu) là tĩnh lặng (calm) nếu val(Pu) hữu hạn và ∂v(u) (cid:54)= ∅.

3.1.11 Bổ đề. [9, Proposition 2.147] Giả sử rằng val(Pu) hữu hạn. Khi đó, nếu bài toán (Pu) tĩnh lặng thì val(Pu) = val(Du) (không có khoảng cách đối ngẫu) và tập nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu (Du) khác rỗng. Do đó, nếu val(Pu) = val(Du) thì bài toán đối ngẫu (Du) có nghiệm tối ưu khi và chỉ khi bài toán (Pu) tĩnh lặng.

Giả sử X, Y là các không gian hữu hạn chiều và C ⊂ X, K ⊂ Y là

các nón lồi đóng, khác rỗng. Ta xét ánh xạ tuyến tính A : X → Y và ánh

Ψ : Y ⇒ X

xạ đa trị

cho bởi

Ψ(y) := {x ∈ C| Ax + b + y ∈ K}.

(3.18)

Ψ(y) ⊂ Ψ(0) + κ(cid:107)y(cid:107)BX;

3.1.12 Bổ đề. [9, Proposition 2.186] Cho X, Y là các không gian hữu hạn chiều và ánh xạ đa trị Ψ : Y ⇒ X được cho bởi (3.18). Giả sử rằng (i) Ψ(y) có tính chất Lipschitz trên tại 0, nghĩa là với mỗi y ∈ Y

101

(ii) Với mỗi d ∈ Y, ánh xạ đa trị t (cid:55)→ Ψ(td) là Lipschitz trên tại t = 0.

hoặc

(cid:104)α, x(cid:105) sao cho Ax + b ∈ K

min x∈C

Khi đó, bài toán (P ) :

là tĩnh lặng, trong đó α ∈ X là một vectơ cho trước.

Về nguyên tắc, một bài toán tối ưu có ràng buộc bao giờ cũng viết

được về bài toán tối ưu không ràng buộc, với hàm mục tiêu là hàm nhận

giá trị thực suy rộng. Những thành tựu của giải tích biến phân và lý

thuyết tối ưu cho đến thời điểm thực hiện nghiên cứu đã giúp chúng tôi

có thông tin về tính liên tục dưới vi phân và chính quy gần kề của hàm

chỉ của tập ràng buộc ([16, Theorem 31(b)] và [11, Lemma 2.5]). Thông

tin hàm chỉ của tập ràng buộc có khả vi trên đồ thị hai lần hay không

là chưa có cơ sở để khẳng định. Điều này dẫn đến, bài toán tối ưu có

ràng buộc không thể xem như một trường hợp riêng của bài toán tối ưu

không ràng buộc được xét trong Định lý 2.2.6 hay Định lý 2.2.11. Bây

giờ, chúng tôi trình bày kết quả chính của phần này, kết quả này đưa ra

các điều kiện cần bậc hai cho bài toán quy hoạch nón với tập ràng buộc quy được về C 2-nón.

3.1.13 Định lý. Giả sử bài toán (3.1) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ tại điểm dừng ¯x và tập Θ quy được về C2-nón tại ¯y = q(¯x)

(i) ¯x là cực tiểu địa phương của bài toán (3.1).

(ii) D(∂f )(¯x|0) nửa xác định dương theo nghĩa

đối với nón lồi đóng C. Xét các khẳng định sau:

(cid:104)z, w(cid:105) ≥ 0,

(3.19)

(iii) Với mỗi w ∈ dom D(∂f )(¯x|0), tồn tại z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w) sao cho

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯x|0).

(cid:104)z, w(cid:105) ≥ 0.

(3.20)

102

(iv) Với mỗi w ∈ KΓ

max (cid:8)wT ∇2L(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:9) ≥ 0,

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1), ta có

với (cid:101)Hλ được xác định bởi (3.12).

Khi đó, ta có (i) ⇒ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv).

¯x là cực tiểu địa phương của bài toán (3.1). Với mỗi w ∈ KΓ ta xét bài toán quy hoạch tuyến tính ( (cid:101)P ) xác định như sau:

∇g(¯x)z + (cid:104)w, ∇2g(¯x)w(cid:105)

inf z∈Rn

( (cid:101)P )

Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh (i) ⇒ (iv). Thật vậy, giả sử rằng (cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1),

(cid:0)∇Q(¯x)w(cid:1), sao cho ∇Q(¯x)z + (cid:104)w, ∇2Q(¯x)w(cid:105) ∈ TC

xL(¯x, µ)w

sup µ∈R(cid:96)

( (cid:101)D)

bài toán đối ngẫu của bài toán ( (cid:101)P ) được cho bởi wT ∇2

µ ∈ NC

sao cho (cid:0)∇Q(¯x)w(cid:1), ∇Q(¯x)T µ = −∇g(¯x),

trong đó L(x, µ) = g(x) + (cid:104)µ, Q(x)(cid:105), (x, µ) ∈ Rn × R(cid:96). Theo Bổ đề 3.1.6, tập chấp nhận được của bài toán ( (cid:101)P ) khác rỗng. Hơn nữa, từ Bổ đề 3.1.7 và Bổ đề 3.1.9, ta có val( (cid:101)P ) hữu hạn và val( (cid:101)P ) ≥ 0. Theo Bổ đề 3.1.6, ta có ánh xạ Ψ có tính chất Lipschitz trên tại 0 nên từ các Bổ đề 3.1.11 và

Bổ đề 3.1.12 suy ra rằng val( (cid:101)P ) = val( (cid:101)D) và tập nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu ( (cid:101)D) khác rỗng. Chú ý rằng với λ = ∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T µ, ta có

wT ∇2

xL(¯x, µ)w = wT ∇2

xL(¯x, λ)w +

= wT ∇2

(cid:68) (cid:69) µ, (∇q(¯x)w)T ∇2h(cid:0)q(¯x)(cid:1)(∇q(¯x)w)

xL(¯x, λ)w+ ∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T (cid:17)−1

= wT ∇2

xL(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw.

(cid:68)(cid:16) (cid:69) (λ), (∇q(¯x)w)T ∇2h(cid:0)q(¯x)(cid:1)(∇q(¯x)w)

103

Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)

Bây giờ, ta chứng minh rằng

. (3.21)

(cid:110) (cid:111) (cid:0)∇Q(¯x)w(cid:1), ∇Q(¯x)T µ = −∇g(¯x) (cid:12) λ = ∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T µ (cid:12) (cid:12) µ ∈ NC

Chứng minh bao hàm thức “⊂” trong (3.21). Lấy bất kì

µ ∈ NC

(cid:0)∇Q(¯x)w(cid:1) ⊂ C o,

với ∇Q(¯x)T µ = −∇g(¯x).

λ = ∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T µ ∈ ∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T C o

= ∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T NC(Q(¯x))

= NΘ(q(¯x)).

Vì C là một nón lồi nên

Hơn nữa, ta có

∇q(¯x)T λ = ∇q(¯x)T ∇h(cid:0)q(¯x)(cid:1)T µ = ∇Q(¯x)T µ = −∇g(¯x).

(3.22)

Điều này chứng tỏ rằng λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1). Do đó bao hàm thức “⊂” trong (3.21) được chứng minh.

Chứng minh bao hàm thức “⊃” trong (3.21).

Lấy bất kì λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1). Do

λ ∈ NΘ(q(¯x)) = ∇h(q(¯x))T NC

(cid:0)Q(¯x)(cid:1),

µ ∈ NC(Q(¯x)) = C o

nên tồn tại

λ = ∇h(q(¯x))T µ.

sao cho

∇Q(¯x)T µ = −∇g(¯x).

Tương tự (3.22), ta có

104

(cid:104)µ, ∇Q(¯x)w(cid:105) = (cid:104)∇Q(¯x)T µ, w(cid:105) = (cid:104)−∇g(¯x), w(cid:105) = 0.

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1), ta có Hơn nữa, với w ∈ KΓ

µ ∈ NC(∇Q(¯x)w).

Vì C là nón lồi nên từ đẳng thức trên, ta được

Do đó, bao hàm thức “⊃” trong (3.21) được chứng minh.

Như vậy, đẳng thức (3.21) được chứng minh.

val( (cid:101)D) = max (cid:8)wT ∇2L(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:9). (3.23)

Mặt khác, từ (3.5), ta có ∇h(q(¯x))T là đơn ánh, suy ra rằng

Do val( (cid:101)D) = val( (cid:101)P ) ≥ 0 nên kết hợp với đẳng thức (3.23), ta thu được khẳng định (iv).

(iv) ⇔ (iii) ⇔ (ii).

Bây giờ, ta chứng minh

Lấy bất kì z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), với w ∈ dom D(∂f )(¯x|0). Từ đẳng thức

(3.9) và Bổ đề 3.1.5, ta có

dom D∂f (¯x|0) = KΓ

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1).

(iv) ⇔ (iii) ⇔ (ii).

Khi đó, kết hợp với (3.14), ta thu được

(cid:3) Như vậy, định lý được chứng minh.

Đối với bài toán quy hoạch phi tuyến, ánh xạ h trong định nghĩa của tập quy được về C 2-nón có thể được chọn là ánh xạ affin và do đó (cid:101)Hλu = 0, với mọi u ∈ Rn. Trong trường hợp này, phép kéo theo (i) ⇒ (iv) được thiết lập bởi Guo và cộng sự [26, Theorem 2.1] dưới điều kiện tĩnh

lặng (calmness condition), đó là một điều kiện chuẩn hóa ràng buộc yếu

hơn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ.

105

3.2 Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh

Trong phần này, chúng tôi dành để thiết lập các điều kiện tối ưu bậc

hai và tính ổn định nghiệm của bài toán quy hoạch nón. Đầu tiên, chúng

tôi thiết lập được mối liên hệ giữa các điều kiện tối ưu đã được thiết

lập trước đó và các điều kiện đủ bậc hai thông qua đạo hàm đồ thị dưới

gradient. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh rằng điều kiện chuẩn hóa ràng

buộc dưới chính quy mêtric cũng đảm bảo điều kiện cần cho cực tiểu địa

phương mạnh được thỏa mãn. Sau đó, chúng tôi chỉ ra rằng điều kiện

chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric dẫn ra được dưới vi phân

của tổng hàm mục tiêu và hàm chỉ của tập ràng buộc là dưới chính quy

mêtric mạnh. Nghĩa là, tính ổn định nghiệm của bài toán được đảm bảo.

3.2.1 Định lý. Giả sử bài toán (3.1) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ tại điểm dừng ¯x và Θ là tập quy được về C2-nón tại ¯y = q(¯x)

(i) ¯x là cực tiểu địa phương mạnh của bài toán (3.1).

(ii) ¯x là cực tiểu địa phương của bài toán (3.1) và ∂f là dưới chính quy

đối với nón lồi đóng C. Các khẳng định sau đây là tương đương:

(iii) D(∂f )(¯x|0) xác định dương theo nghĩa của (2.11).

(iv) D(∂f )(¯x|0) xác định dương theo nghĩa của (2.12).

(v) Điều kiện đủ loại hai trong Định nghĩa 2.1.8 thỏa mãn tại ¯x, nghĩa là,

mêtric mạnh tại ¯x đối với 0.

(vi) Điều kiện đủ bậc hai được thỏa mãn tại ¯x theo nghĩa, với mỗi w ∈

tồn tại c > 0 sao cho với mỗi w ∈ dom D(∂pf )(¯x|0) mà (cid:107)w(cid:107) = 1, điều kiện (2.19) được thỏa mãn.

KΓ

max (cid:8)wT ∇2L(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:9) > 0.

(vii) Tồn tại κ > 0 sao cho max (cid:8)wT ∇2L(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:9) ≥ κ(cid:107)w(cid:107)2, (3.24)

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1) \ {0}, ta có

106

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1). với mọi w ∈ KΓ

QG((P ); ¯x) =

inf

max (cid:8)wT ∇2L(¯x, λ)w + wT (cid:101)Hλw | λ ∈ Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)(cid:9).

Hơn nữa, nếu một trong các khẳng định (i) − (vii) thỏa mãn thì

w∈KΓ

(cid:0)¯x,−∇g(¯x)(cid:1),(cid:107)w(cid:107)=1

(3.25)

Chứng minh. Ta có, ¯x là cực tiểu địa phương mạnh của bài toán (3.1),

(cid:107)x − ¯x(cid:107)2, ∀x ∈ Γ.

gκ(x) := g(x) −

κ 2

với môđun κ khi và chỉ khi ¯x là cực tiểu của hàm số

(cid:104)z, w(cid:105) ≥ κ(cid:107)w(cid:107)2,

Áp dụng Định lý 3.1.13 bằng cách thay hàm g bởi hàm gκ(x), kết hợp với sử dụng quy tắc tổng của đạo hàm đồ thị, ta được

(i) ⇒ (iv). Tiếp theo, từ (3.14), ta có (iv) ⇔ (vii) và bất đẳng thức “≤”

với mọi z ∈ D(∂f )(¯x|0)(w), w ∈ dom D(∂f )(¯x|0). Từ đó, ta thu được

trong công thức (3.25).

Hơn nữa, từ (3.7) và (3.8), ta có ∂pf (x) = ∂f (x), với x thuộc lân cận nào đó của ¯x. Điều này cùng với (3.14) chỉ ra rằng (iv) ⇔ (v). Tiếp tục

(iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Như vậy, ta đã chứng minh được sự tương đương của

sử dụng (3.14), ta có (vii) ⇒ (vi) ⇒ (iii). Từ Định lý 2.1.6, ta thu được

các khẳng định (i) − (vii). Cuối cùng, bất đẳng thức “≥” trong công thức (cid:3) (3.25) được suy ra từ (2.13). Định lý được chứng minh.

3.2.2 Nhận xét. Sự tương đương của (i) và (vi) trong Định lý 3.2.1 được

thiết lập bởi Bonnans và Shapiro [9, Theorem 1.137] dưới điều kiện chuẩn

hóa ràng buộc Robinson (RCQ), đó là một điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

mạnh hơn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ. Phiên bản trước đó của

107

điều kiện tối ưu bậc hai không có khoảng cách này (no gap second order

optimality condition) đối với bài toán phi tuyến đã được chứng minh bởi

Ben-Tal trong [6] và Ioffe trong [27] dưới điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

Mangasarian-Fromovitz (MFCQ), một trường hợp đặc biệt của điều kiện

chuẩn hóa ràng buộc Robinson (RCQ).

Trong ví dụ sau chúng tôi chỉ ra trường hợp điều kiên chuẩn hóa ràng

buộc MSCQ được thỏa mãn, trong khi điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

RCQ không được thỏa mãn.

3.2.3 Ví dụ. Xét bài toán (EP 1) như sau:

g(x)

q(x) ∈ Q3,

min x∈R3

sao cho (3.26)

Q3 = (cid:8)(s0, s1, s2) ∈ R3 | s0 ≥

1 + s2 s2 2

trong đó (cid:113) (cid:9)

là một nón bậc hai trong R3. Hàm mục tiêu và ánh xạ ràng buộc, tương

g(x) :=

ứng, được cho bởi

1+x2 x2

2 và q(x) := (cid:0)2x2

2, x2

2−x3, x2

2+x3

1 2

(cid:1), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

Γ := (cid:8)x| q(x) ∈ Q3

Ta biết rằng nón bậc hai Q3 là quy được về C2-nón. Hơn nữa, ta có

2 ≥ |x3|(cid:9).

(cid:9) = (cid:8)x = (x1, x2, x3) ∈ R3| x2

g(x) − g(¯x) = 1

1 + x2 2

2x2

= 1

1 + 1

2 + 1

2x2

≥ 1

1 + 1

2 + 1

2x2

2|x3|

≥ 1

1 + x2

2 + x2 3)

2(x2

= 1

2(cid:107)x(cid:107)2,

Với ¯x = (0, 0, 0), ta có

108

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ Γ với |x3| ≤ 1. Do đó, ¯x là cực tiểu địa phương mạnh của bài toán (3.26).

∇q(¯x) =

(cid:33) Bằng tính toán trực tiếp, ta có (cid:32)0 0

, NQ3

0 0 0 −1 1 0 0

(cid:0)q(¯x)(cid:1) = −Q3.

√

Do đó, ta thu được

2|t|] × {t} × {t},

(−∞, −

NQ3

t∈R

(cid:91) (cid:0)q(¯x)(cid:1) ∩ ker∇q(¯x)T =

điều này chứng tỏ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson (RCQ) (3.6)

không thỏa mãn tại ¯x.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

MSCQ thỏa mãn tại ¯x.

Thật vậy, ta có q(x) ∈ −Q3 khi và chỉ khi x2 = x3 = 0.

(cid:1) = 0 khi q(x) ∈ Q3 ∪ (−Q3).

Từ đó suy ra d(cid:0)q(x); Q3 Nếu q(x) /∈ Q3 ∪ (−Q3), chú ý rằng ta có

2 = (cid:112)2x4

2 − x3)2 + (x2

2 + x3)2 − 2x2

2 + 2x2

3 − 2x2 2

≥ (|x3| + x2

2) − 2x2 2

= |x3| − x2

2 > 0.

(cid:112)(x2

Từ đó, ta thu được

d(cid:0)q(x); Q3

3 − 2x2 2

2 + 2x2

1√ 2

nếu q(x) ∈ Q3 ∪ (−Q3),   (cid:1) = (cid:1)  (cid:0)(cid:112)2x4 nếu q(x) (cid:54)∈ Q3 ∪ (−Q3).

Nếu q(x) ∈ Q3 ∪ (−Q3), ta có

d(x; Γ) = d(cid:0)q(x); Q3

(cid:1) = 0.

109

|x3|x2

d(x; Γ) ≤ (cid:107)x − u(cid:107) = (cid:12)

(cid:1) ∈ Γ, ta có Nếu q(x) (cid:54)∈ Q3 ∪ (−Q3), với u := (cid:0)x1, x2, x3

= (cid:12)

|x3|x2 (cid:12) (cid:12)

(cid:12)x3 − x3 (cid:12) (cid:12)

= |x3| − x2 2

√

(cid:12)|x3| − x2 2

≤

2d(cid:0)q(x); Q3

(cid:1).

¯x. Cuối cùng, áp dụng Định lý 3.2.1, ta có các khẳng định (i) − (iv) được

Điều này chứng tỏ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ thỏa mãn tại

krk, điều kiện sau thỏa mãn

thỏa mãn.

d(cid:0)rk; T 2

K(y, d)(cid:1) = 0,

lim k→∞

3.2.4 Định nghĩa. [9, Definition 3.85] Ta nói rằng tập K ⊂ Rm là chính quy bậc hai ngoài (outer second order regular) tại điểm y ∈ K theo hướng d ∈ TK(y) tương ứng với ánh xạ tuyến tính M : Rn → Rm nếu với mọi yk ∈ K, có dạng yk := y + tkd + 1 2t2

trong đó tk ↓ 0 và rk = M wk + ak, với {ak} là một dãy hội tụ trong Rm, {wk} là một dãy trong Rn thỏa mãn tkwk → 0.

Cho f : Rn → R và q : Rn → Rm là các ánh xạ khả vi liên tục hai lần

f (x) sao cho q(x) ∈ K.

min x∈Rn

và K là tập lồi đóng. Ta xét bài toán (P )

Hàm LG(x, α, λ) = α.f (x) + (cid:104)λ, q(x)(cid:105), trong đó (x, α, λ) ∈ Rn × R × Rm, được gọi là hàm Lagrange mở rộng của bài toán (P ). Tập ΛG(x0) được cho bởi

−∇xLG(x0, α, λ) = 0, λ ∈ NK

ΛG(x0) :=

(cid:41) (cid:0)q(x0)(cid:1),

α ≥ 0, (α, λ) (cid:54)= (0, 0)

(cid:40) (α, λ) ∈ R × Rm(cid:12) (cid:12) (cid:12)

110

gọi là tập nhân tử Lagrange mở rộng.

Xét điều kiện tối ưu bậc hai sau:

∇2

(3.27) Với mọi h ∈ C(x0) \ {0}, tồn tại (α, λ) ∈ ΛG(x0) sao cho xLG(x0, α, λ)(h, h) − σ(cid:0)λ, T (h)(cid:1) > 0,

σ(cid:0)λ, T (h)(cid:1) :=

(cid:0)q(x0)(cid:1), (cid:104)λ, ∇q(x0)h(cid:105) = 0 (cid:0)q(x0), ∇q(x0)h(cid:1) và trong đó T (h) := T 2 K  nếu λ ∈ NK 0 

+∞

 trường hợp còn lại.

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1),

3.2.5 Bổ đề. [9, Theorem 3.86] Cho x0 là điểm chấp nhận được của bài toán (P ) và ΛG(x0) (cid:54)= ∅. Giả sử rằng với mỗi h ∈ C(x0) ≡ KΓ tập K chính quy bậc hai ngoài tại q(x0) theo hướng ∇q(x0)h tương ứng với ánh xạ tuyến tính M = ∇q(x0). Khi đó, nếu điều kiện tối ưu bậc hai (3.27) thỏa mãn thì điều kiện tăng trưởng bậc hai thỏa mãn tại x0.

3.2.6 Nhận xét. Khẳng định (vi) thiết lập trong Định lý 3.2.1 là tương

đương với điều kiện đủ được nêu ra trong Bổ đề 3.2.5 đảm bảo điểm dừng

là cực tiểu địa phương mạnh. Hơn nữa, nó còn đảm bảo rằng ánh xạ dưới

vi phân là dưới chính quy mêtric mạnh dưới điều kiện chuẩn hóa ràng

buộc MSCQ.

Ví dụ sau chúng tôi chỉ ra trường hợp các điều kiện đủ cực tiểu địa

phương mạnh trong Bổ đề 3.2.5 được thỏa mãn, trong khi điều kiện chuẩn

hóa ràng buộc MSCQ không được thỏa mãn. Khi đó, ánh xạ dưới vi phân

không có tính chất dưới chính quy mêtric mạnh.

3.2.7 Ví dụ. Xét bài toán

(EP 2)

g(x) := 1

2x2

min x∈R

sao cho q(x) ∈ Θ, (3.28)

x6 sin 1

x nếu x (cid:54)= 0,

trong đó

q(x) =

 

 nếu x = 0,

111

và Θ = {0}.

Γ := q−1(Θ) = {0} ∪

: n = ±1, ±2, ±3, ...

Đặt (cid:27)

(cid:26) 1 nπ

= 2n+1

(n+1)π

2n(n+1)π , n = 1, 2, ..., ta có

d(xn; Γ) =

1 2n(n + 1)π

(cid:17) Với xn = 1 2 (cid:16) 1 nπ + 1

| ≤

d(cid:0)q(xn); Θ(cid:1) = |x6

n sin

2n(n + 1)π

1 xn

và (cid:19)6 (cid:18) 2n + 1

= 0,

lim n→∞

d(cid:0)q(xn); Θ(cid:1) d(xn; Γ)

Do đó,

điều này chứng tỏ rằng điều kiện chuẩn hóa ràng buộc MSCQ không thỏa

mãn tại ¯x = 0 ∈ Γ.

Hơn nữa, ta có

KΓ

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1) = R, Λ(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1) = R,

và

ΛG(¯x) =

(α, λ) ∈ R+ × R

(cid:110) (cid:111)

(cid:110)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) ∇xLG(¯x, α, λ) = 0, (α, λ) (cid:54)= (0, 0) (cid:12) (cid:111) (α, λ) ∈ R+ × R (cid:12) , (cid:12) (α, λ) (cid:54)= (0, 0)

LG(x, α, λ) = αg(x) + (cid:104)λ, q(x)(cid:105).

trong đó

Với

T (h) = T 2 Θ

(cid:0)q(¯x), ∇q(¯x)h(cid:1) = {0},

σ(λ, T (h)(cid:1) = 0, ∀h ∈ R.

ta có

112

hT ∇2

xLG(¯x, α, λ)h − σ(λ, T (h)(cid:1) = |h|2 > 0,

Từ đó suy ra

(cid:104)λ, v(cid:105).

σ(λ, T (h)(cid:1) = sup v∈T (h)

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1)\{0}, (α, λ) ∈ ΛG(¯x), trong đó với mọi h ∈ KΓ

∇q(¯x). Do đó, theo Bổ đề 3.2.5, ¯x là cực tiểu địa phương mạnh. Chú ý rằng với f (x) = g(x) + δΓ(x), x ∈ R, ta có

(cid:0)¯x, −∇g(¯x)(cid:1), tập Θ = {0} là chính quy bậc Mặt khác, với mỗi h ∈ KΓ hai ngoài tại q(¯x) theo hướng ∇q(¯x)h tương ứng với ánh xạ tuyến tính

∂f (x) =

R nếu x ∈ Γ,  

 ∅ nếu x ∈ R\Γ.

¯x đối với 0 ∈ ∂f (¯x).

Do đó, ánh xạ ∂f (·) không có tính chất dưới chính quy mêtric mạnh tại

113

3.3 Kết luận Chương 3

Trong Chương 3, chúng tôi xét bài toán quy hoạch nón với ràng buộc quy được về C 2−nón thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy

mêtric và đạt được các kết quả sau đây:

Thiết lập được các điều kiện cần cực tiểu địa phương thông qua tính

nửa xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient (Định lý 3.1.13).

Thiết lập được các đặc trưng điều kiện tăng trưởng bậc hai thông qua

tính xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient và chỉ ra rằng dưới

vi phân của tổng hàm mục tiêu và hàm chỉ của tập ràng buộc là dưới

chính quy mêtric mạnh (Định lý 3.2.1).

114

KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận chung

Luận án này được dành để nghiên cứu một số cấu trúc vi phân suy

rộng bậc hai và ứng dụng vào lý thuyết tối ưu. Kết quả chính của luận

án bao gồm:

- Thiết lập được một số tính chất của hàm khả vi hai lần theo nghĩa

mở rộng (Định lý 1.2.4) và một số quy tắc tính toán về tổng đối với đạo

hàm đồ thị dưới gradient, dưới đạo hàm bậc hai và dưới đạo hàm parabol

(Định lý 1.2.7).

- Thiết lập được điều kiện đủ của cực tiểu địa phương mạnh cho hàm

chính thường nửa liên tục dưới thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient

(Định lý 2.1.6).

- Đặc trưng được điều kiện tăng trưởng bậc hai thông qua đạo hàm

đồ thị dưới gradient và tính dưới chính quy mêtric mạnh đối với các lớp

hàm lồi biến phân (Định lý 2.2.11) và lớp hàm biểu diễn được dưới dạng

tổng của hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và một hàm liên tục dưới

vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần (Định lý 2.2.6).

- Thiết lập được các điều kiện cần tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán

quy hoạch nón thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy

mêtric (Định lý 3.1.13).

115

- Đặc trưng được điều kiện tăng trưởng bậc hai thông qua đạo hàm

đồ thị dưới gradient và tính dưới chính quy mêtric mạnh đối với bài toán

quy hoạch nón với điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric

(Định lý 3.2.1).

2. Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo

Chúng tôi thấy rằng các vấn đề của luận án này có thể được tiếp tục

phát triển theo các hướng sau:

- Việc đánh giá môđun chính xác của điều kiện tăng trưởng bậc hai

đối với hàm lồi biến phân là vấn đề cần được nghiên cứu thêm trong thời

gian tới.

- Nghiên cứu sự tương đương của điều kiện tăng trưởng bậc hai và

tính chất dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân đối với lớp các

hàm có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hàm khả vi liên tục hai

lần và hàm lồi.

116

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. N. H. Chieu, L. V. Hien, T. T. A. Nghia and H. A. Tuan (2021),

Quadratic growth and strong metric subregularity of the subdiffer-

ential via subgradient graphical derivative, SIAM J. Optim., 31, 545–

568.

2. N. H. Chieu, N. T. Q. Trang and H. A. Tuan (2022), Quadratic

growth and strong metric subregularity of the subdifferential for a

class of non-prox-regular functions, J. Optim. Theory Appl., 194,

1081–1106.

3. H. A. Tuan (2021), Some results on second order differentiability in

the extended sense of functions, Vinh University Journal of Science,

Vol 50, No 3A, 77–86.

117

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] D. T. V. An and N. D. Yen (2021), Optimality conditions based

on the Fréchet second-order subdifferential, J. Glob. Optim., 81,

351–365.

[2] F. J. Aragón Artacho and M. H. Geoffroy (2008), Characterization

of metric regularity of subdifferentials, J. Convex Anal., 15, 365–

380.

[3] F. J. Aragón Artacho and M. H. Geoffroy (2014), Metric subregu-

larity of the convex subdifferential in Banach spaces, J. Nonlinear

Convex Anal., 15, 35–47.

[4] B. Bank, J. Guddat, D. Klatte, B. Kummer and K. Tammer (1982),

Non-Linear Parametric Optimization, Springer Fachmedien Wies-

baden GmbH, Berlin.

[5] J. Bello-Cruz, G. Li and T. T. A. Nghia (2021), On the Q-linear

convergence of forward-backward splitting method. Part I: Conver-

gence analysis, J. Optim. Theory Appl., 188, 378–401.

[6] A. Ben-Tal (1980), Second order and related extremality conditions

in nonlinear programming, J. Optim. Theory Appl., 31, 143–165.

[7] J. F. Bonnans, R. Cominetti and A. Shapiro (1999), Second order

optimality conditions based on parabolic second order tangent sets,

SIAM J. Optim., 9, 466–492.

118

[8] J. F. Bonnans and H. Ramírez (2005), Perturbation analysis of

second-order cone programming problems, Math. Program., 104,

205–227.

[9] J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Op-

timization Problems, Springer, New York.

[10] J. F. Bonnans and A. Sulem (1995), Pseudopower expansion of so-

lutions of generalized equations and constrained optimization prob-

lems, Math. Program., 70, 123–148.

[11] N. H. Chieu and L. V. Hien (2017), Computation of graphical deriva-

tive for a class of normal cone mappings under a very weak condi-

tion, SIAM J. Optim., 27, 190–204.

[12] N. H. Chieu, L. V. Hien and T. T. A. Nghia (2018), Characteriza-

tion of tilt stability via subgradient graphical derivative with appli-

cations to nonlinear programming, SIAM J. Optim., 28, 2246–2273.

[13] N. H. Chieu, L. V. Hien, T. T. A. Nghia and H. A. Tuan (2021),

Quadratic growth and strong metric subregularity of the subdif-

ferential via subgradient graphical derivative, SIAM J. Optim., 31,

545–568.

[14] N. H, Chieu, G. M. Lee and N. D. Yen (2017), Second-order sub- differentials and optimality conditions for C 1-smooth optimization

problems, Appl. Anal. Optim., 1, 461–476.

[15] N. H. Chieu, N. T. Q. Trang and H. A. Tuan (2022), Quadratic

growth and strong metric subregularity of the subdifferential for a

class of non-prox-regular functions, J. Optim. Theory Appl., 194,

1081–1106.

119

[16] G. Colombo and L. Thibault (2010), Prox-regular sets and appli-

cations, in Handbook of Nonconvex Analysis, D. Y. Gao and D.

Motreanu, eds., International Press, Boston, 99–182.

[17] D. Drusvyatskiy and A. D. Ioffe (2015), Quadratic growth and

critical point stability of semi-algebraic functions, Math. Program.,

153, 635–653.

[18] D. Drusvyatskiy and A. S. Lewis (2013), Tilt stability, uniform

quadratic growth, and strong metric regularity of the subdifferen-

tial, SIAM J. Optim., 23, 256–267.

[19] D. Drusvyatskiy and A. S. Lewis (2018), Error bounds, quadratic

growth, and linear convergence of proximal methods, Math. Oper.

Res., 43, 919–948.

[20] D. Drusvyatskiy, B. S. Mordukhovich and T. T. A. Nghia (2014),

Second-order growth, tilt stability and metric regularity of the sub-

differential, J. Convex Anal., 21, 1165–1192.

[21] A. L. Dontchev (2021), Lectures on Variational Analysis. Springer

Nature Switzerland AG, 6330 Cham, Switzerland.

[22] A. L. Dontchev and R. T. Rockafellar (1996), Characterizations of

strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex

sets, SIAM J. Optim., 6, 1087–1105.

[23] A. L. Dontchev and R. T. Rockafellar (2014), Implicit Functions

and Solution Mappings. A view from variational analysis. Second

edition. Springer Series in Operations Research and Financial En-

gineering. Springer, New York.

[24] A. Eberhard and R. Wenczel (2009), Some sufficient optimality

conditions in nonsmooth analysis, SIAM J. Optim., 20, 251–296.

120

[25] H. Gfrerer and B. S. Mordukhovich (2019), Second-order variational

analysis of parametric constraint and variational systems, SIAM J.

Optim., 29, 423–453.

[26] L. Guo, G. Lin and J. J. Ye (2013), Second-order optimality con-

ditions for mathematical programs with equilibrium constraints, J.

Optim. Theory Appl., 158, 33–64.

[27] A. D. Ioffe (1979), Necessary and sufficient conditions for a local

minimum. 1: A reduction theorem and first order conditions, SIAM

J. Control Optim., 17, 245–250.

[28] A. Mohammadi, B. S. Mordukhovich and M. E. Sarabi (2022), Vari-

ational analysis of composite models with applications to continuous

optimization, Math. Oper. Res., 47, 397–426.

[29] A. Mohammadi, B. S. Mordukhovich and M. E. Sarabi (2021),

Parabolic regularity in geometric variational analysis, Trans. Amer.

Math. Soc., 37, 1711–1763.

[30] A. Mohammadi and M. E. Sarabi (2020), Twice epi-differentiability

of extended-real-valued functions with applications in composite op-

timization, SIAM J. Optim., 30, 2379–2409.

[31] B. S. Mordukhovich (1993), Complete characterization of open-

ness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunc-

tions, Trans. Amer. Math. Soc., 340, 1–35.

[32] B. S. Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized

Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications, Springer, Berlin.

[33] B. S. Mordukhovich (2018), Variational Analysis and Applications,

Springer International Publishing AG.

121

[34] B. S. Mordukhovich and T. T. A. Nghia (2015), Second-order char-

acterizations of tilt stability with applications to nonlinear program-

ming, Math. Program., 149, 83–104.

[35] B. S. Mordukhovich and J. V. Outrata (2013), Tilt stability in non-

linear programming under Mangasarian-Fromovitz constraint qual-

ification, Kybernetika, 49, 446-464.

[36] B. S. Mordukhovich and R. T. Rockafellar (2012), Second-order sub-

differential calculus with applications to tilt stability in optimiza-

tion, SIAM J. Optim., 22, 953–986.

[37] B.S. Mordukhovich and M. E. Sarabi (2018), Critical multipliers

in variational systems via second-order generalized differentiation,

Math. Program., 169, 605–648.

[38] J. Nocedal and S. Wright (2006), Numerical Optimization, 2 ed.

Springer Series in Operations Research and Financial Engineering,

Springer.

[39] R. A. Poliquin and R. T. Rockafellar (1996), Prox-regular functions

in variational analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 348, 1805–1838.

[40] R. A. Poliquin and R. T. Rockafellar (1998), Tilt stability of a local

minimum, SIAM J. Optim., 8, 287–299.

[41] W. Ouyang and A. Milzarek (2021), A trust region-type normal

map-based semismooth Newton method for nonsmooth nonconvex

composite optimization, https://arxiv.org/abs/2106.09340.

[42] J. V. Outrata and H. Ramírez (2011), On the Aubin property of

critical points to perturbed second-order cone programs, SIAM J.

Optim., 21, 798–823.

122

[43] S. M. Robinson (1980), Strongly regular generalized equations,

Math. Oper. Res., 5, 43–62.

[44] R. T. Rockafellar (1981), Proximal subgradients, marginal val-

ues, and augmented Lagrangians in nonconvex optimization, Math.

Oper. Res., 6, 424–436.

[45] R. T. Rockafellar(1989), Second-order optimality conditions in non-

linear programming obtained by way of epi-derivatives, Math. Oper.

Res., 14, 462–484.

[46] R. T. Rockafellar and R. J.-B. Wets (1998), Variational Analysis,

Springer, Berlin.

[47] R. T. Rockafellar (2019), Variational convexity and the local mono-

tonicity of subgradient mappings, Vietnam J. Math., 47, 547–561.

[48] R. T. Rockafellar (2019), Progressive decoupling of linkages in op-

timization and variational inequalities with elicitable convexity or

monotonicity, Set-valued and Variational Anal., 27, 863–893.

[49] J. A. Snyman and D. N. Wilke (2018), Practical Mathematical Op-

timization: Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algo-

rithms, Second Edition, Springer.

[50] D. F. Sun (2006), The strong second order suffcient condition and

constraint nondegeneracy in nonlinear semidefinite programming

and their implications, Math. Oper. Res., 31, 761-776.

[51] H. A. Tuan (2021), Some results on second order differentiability in

the extended sense of functions, Vinh University Journal of Science,

Vol 50, No 3A, 77–86.

123

[52] D. Ward (1994), Characterizations of strict local minima and nec-

essary conditions for weak sharp minima, J. Optim. Theory and

Appl., 80, 551–571.

[53] R. Zhang and J. Treiman (1995), Upper-Lipschitz multifunctions

and inverse subdifferentials, Nonlinear Anal., 24, 273–286.

Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu

1.1 Các khái niệm và tính chất bổ trợ

1.2 Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng

1.3 Kết luận Chương 1

2.1 Điều kiện tối ưu cho hàm chính thường nửa liên tục dưới dựa vào đạo hàm đồ thị dưới gradient

2.2 Quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng trưởng

bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân

2.3 Kết luận Chương 2

3.1 Điều kiện cần tối ưu bậc hai

3.2 Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh

3.3 Kết luận Chương 3

Có thể bạn quan tâm

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Cơ sở lý luận và thực tiễn kiểm sát việc giải quyết các vụ án kinh doanh, thương mại về tranh chấp hợp đồng tín dụng theo thủ tục giám đốc thẩm của Viện kiểm sát nhân dân ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Cơ sở lý luận và thực tiễn kiểm sát việc giải quyết các vụ án kinh doanh, thương mại về tranh chấp hợp đồng tín dụng theo thủ tục giám đốc thẩm của Viện kiểm sát nhân dân ở Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Chất lượng công chức quản lý nhà nước về kinh tế cấp huyện ở thành phố Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Chất lượng công chức quản lý nhà nước về kinh tế cấp huyện ở thành phố Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Xây dựng đội ngũ giảng viên trẻ theo tư tưởng Hồ Chí Minh ở các trường sĩ quan quân đội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Xây dựng đội ngũ giảng viên trẻ theo tư tưởng Hồ Chí Minh ở các trường sĩ quan quân đội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Các điều kiện thúc đẩy sự ra đời tiền kỹ thuật số (CBDC) của Ngân hàng Nhà nước Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Các điều kiện thúc đẩy sự ra đời tiền kỹ thuật số (CBDC) của Ngân hàng Nhà nước Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Xây dựng lối sống cho sinh viên các trường đại học ở Đồng bằng sông Cửu Long hiện nay theo tư tưởng Hồ Chí Minh

Luận án Tiến sĩ: Xây dựng lối sống cho sinh viên các trường đại học ở Đồng bằng sông Cửu Long hiện nay theo tư tưởng Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Hoàn thiện pháp luật về quyền thành lập tổ chức của người lao động tại doanh nghiệp ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Hoàn thiện pháp luật về quyền thành lập tổ chức của người lao động tại doanh nghiệp ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm lâm sàng, cận lâm sàng và kết quả điều trị ở bệnh nhân tổn thương mạn tính động mạch đùi - khoeo bằng phương pháp can thiệp nội mạch qua da

Luận án Tiến sĩ: Biến đổi sinh kế của người Sán Dìu huyện Sơn Dương, tỉnh Tuyên Quang

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hình ảnh cộng hưởng từ sức căng khuếch tán, tưới máu thận ghép và mối quan hệ với lâm sàng và siêu âm Doppler

Luận án Tiến sĩ: Phát triển suy luận và thái độ thống kê cho sinh viên sư phạm toán qua dạy học thống kê

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu lựa chọn dung dịch lôi cuốn sử dụng trong công nghệ màng thẩm thấu chuyển tiếp để xử lý nước nhiễm mặn thành nước sinh hoạt

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phương pháp nâng cao độ chính xác phát hiện và nhận dạng tiếng Việt trong ảnh căn cước công dân và ảnh ngoại cảnh

Luận án Tiến sĩ: Biến đổi của hát Xoan tại các làng Xoan gốc tỉnh Phú Thọ (qua nghiên cứu trường hợp làng Xoan Phù Đức và An Thái)

Luận án Tiến sĩ: Bồi dưỡng năng lực thực hành cho học sinh qua sử dụng thí nghiệm tự tạo trong dạy học chương “Từ trường” Vật lí 12 trung học phổ thông CHDCND Lào

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok