Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCH
CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan
Nghệ An - 2014
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và
chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả
Nguyễn Thị Kiều Nga
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi
- PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã tận tình dìu dắt tôi từ những
bước chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học. Với tất
cả niềm say mê khoa học và tâm huyết của người thầy, cô không chỉ dạy
tôi về tri thức toán học mà còn dạy tôi phương pháp nghiên cứu, cách
phát hiện và giải quyết vấn đề. Hơn nữa, cô còn luôn quan tâm, động
viên và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp khó khăn trong cuộc sống. Tôi thấy
mình thật may mắn khi được làm khoa học dưới sự hướng dẫn của cô.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn thứ
hai của tôi - TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Cô đã luôn quan tâm, nhắc
nhở và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập, nghiên
cứu. Có những lúc khó khăn trong cuộc sống đã làm tôi nản chí, lúc đó
cô như người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tôi vượt qua mọi khó
khăn.
Tôi xin trân trọng cám ơn GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy
là người đầu tiên đưa tôi đến với Đại số giao hoán và tận tình dạy dỗ
tôi từ khi tôi còn là học viên cao học. Như một người cha, thầy vẫn luôn
quan tâm và giúp đỡ tôi trong học tập và trong cuộc sống.
Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đại
học, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện cho tôi học
tập.
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2 đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo
và đồng nghiệp trong Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
đã quan tâm động viên và và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi làm
nghiên cứu sinh.
Tôi vô cùng biết ơn cô Tạ Thị Phương Hòa đã luôn giành cho tôi
những tình cảm trìu mến. Tôi xin cám ơn các anh chị em trong nhóm
xêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên về những trao đổi khoa học
và chia sẻ trong cuộc sống. Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu và em
Trần Nguyên An đã dành cho tôi những tình cảm quý báu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia
đình của mình. Những người luôn động viên chia sẻ khó khăn và luôn
mong mỏi tôi thành công. Tôi xin cám ơn Chồng và hai Con trai yêu
quí, những người đã chấp nhận mọi khó khăn, gánh vác toàn bộ công
việc cho tôi để tôi yên tâm học tập. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp
tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này.
5
Nguyễn Thị Kiều Nga
Mở đầu 7
1 Kiến thức chuẩn bị
21 21 24 27
1.1 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . 1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay
33 34 2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 41 47 2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . .
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
3.1 Giá suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 54 55 60
4 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 73
4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen- Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Liên hệ với môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 74 86
Kết luận và kiến nghị 92
Các công trình liên quan đến luận án 93
6
Tài liệu tham khảo 93
1. Lý do chọn đề tài
Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực
đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Ta luôn có depth M (cid:54) dim M . Nếu depth M = dim M
thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay. Lớp vành và môđun Cohen-
Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ
hợp và Hình học đại số.
Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đã được
giới thiệu và quan tâm nghiên cứu. Hai mở rộng đầu tiên là lớp vành
(môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng.
Với mọi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = (cid:96)(M/xM ) − e(x; M ), trong đó e(x; M ) là số bội của M ứng với hệ tham số x. Ta luôn có I(x; M ) (cid:62) 0
với mọi hệ tham số x của M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu
I(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M . Vì thế, năm
1965, D. A. Buchsbaum [7] đã đưa ra giả thuyết rằng I(x; M ) là một
hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Năm 1973, W. Vogel
và J. St¨uckrad [54] đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết
của D. A. Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành
và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D. A. Buchsbaum.
Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum. Sau đó N. T. Cường, P.
Schenzel và N. V. Trung [50] đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun M
thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo mọi hệ
tham số x của M , và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
7
Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy
rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán.
Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn của môđun
Cohen-Macaulay. Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì
dim R/p = d với mọi p ∈ AssR M . Khi nghiên cứu cho trường hợp
môđun trộn lẫn, R. P. Stanley [47] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-
Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P. Schenzel [45], N.
T. Cường và L. T. Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên
vành địa phương. Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng
cho trường hợp môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã giới
thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy.
Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp
vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen-
(cid:91)
Macaulay suy rộng. Cho x = (x1, . . . , xd) là hệ tham số của M . Đặt
1 . . . xt
d).
d
t>0
, . . . , xt+1 )M :M xt QM (x) = ((xt+1 1
Khi đó QM (x) là môđun con của M và xM ⊆ QM (x). R. Hartshorne
[27] đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì xM = QM (x)
với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M , tức là
J(x; M ) = e(x; M ) − (cid:96)(cid:0)M/QM (x)(cid:1) = 0.
Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J(x; M ) < ∞,
trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M (xem [16]). Vì thế,
năm 2003, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã nghiên cứu lớp môđun M
thỏa mãn điều kiện J(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x
của M . Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-Macaulay. Đồng thời
N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] cũng nghiên cứu lớp môđun M với tính
chất sup J(x; M ) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tập tất cả các hệ tham
8
số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđun
Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay
dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay
và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđun
được quan tâm trong Đại số giao hoán và cấu trúc của chúng đã được
biết đến thông qua các công trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47],
[48], [49],[50], [53]... Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến
tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quan
tâm của Đại số giao hoán.
Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-Macaulay
chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski (xem R.
Hartshorne [28], P. Schenzel [53]) hoặc về chiều của quỹ tích (xem [10],
[11]) khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vành
Gorenstein địa phương. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn
đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng
thời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính
catenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều
kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức.
Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tính
Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích
không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy
rộng.
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án
của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa
9
phương Noether ".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay và
một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không
Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng thời chứng minh một
số kết quả mới về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary,
tính catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay của
các thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương và
kiểu đa thức.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của môđun
hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether liên quan đến
tính Cohen-Macaulay.
4. Phạm vi nghiên cứu
Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán. Luận án
tập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa
phương Noether.
5. Phương pháp nghiên cứu
Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giới thiệu bởi
M. Brodmann và R. Y. Sharp [5], đồng thời đưa ra khái niệm giá suy
rộng để mô tả các quỹ tích. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng một số lý thuyết
quan trọng của Đại số giao hoán để nghiên cứu như lý thuyết đối đồng
điều địa phương, lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứ
cấp, kiểu đa thức...
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu về
10
các quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu
trúc một số lớp môđun đang được quan tâm trong Đại số giao hoán
như môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun
Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả
Cohen-Macaulay, môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực
đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Với I là
iđêan của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Ký hiệu (cid:98)R và (cid:99)M tương ứng là đầy đủ theo tôpô m-adic của R và M . Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M , ký hiệu nCM(M ), là tập các
iđêan nguyên tố p sao cho Mp không Cohen-Macaulay. Quỹ tích không
Cohen-Macaulay đã được R. Hartshorne [28] đề cập đến vào năm 1966.
Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương, R. Hartshorne [28]
đã chỉ ra rằng quỹ tích này là tập đóng theo tôpô Zariski. Tính đóng của
quỹ tích không Cohen-Macaulay cũng được chỉ ra bởi P. Schenzel [53].
Chú ý rằng khi quỹ tích không Cohen-Macaulay là tập đóng thì chiều
của nó được định nghĩa. Một số kết quả về chiều của quỹ tích không
Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với kiểu đa thức và chiều của các
môđun đối đồng điều địa phương đã được chứng minh bởi N. T. Cường
[10], [11].
Cho đến nay việc nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay chỉ
tập trung vào tính đóng hoặc tính toán chiều của nó mà chưa quan tâm
đến vấn đề mô tả quỹ tích này. Một số quỹ tích khác của môđun hữu
hạn sinh liên quan đến tính Cohen-Macaulay còn chưa được nghiên cứu.
Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không
Cohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích
11
không Cohen-Macaulay dãy và không Cohen-Macaulay suy rộng dãy,
quỹ tích giả Cohen-Macaulay và giả Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng
thời chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính
catenary, tính catenary phổ dụng, điều kiện Serre, chiều của môđun đối
đồng điều địa phương và kiểu đa thức.
Kết quả đầu tiên của luận án là đưa ra một số công thức tính
quỹ tích không Cohen-Macaulay và chiều của nó. Chúng tôi mô tả quỹ
tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá giới thiệu bởi M. Brod-
R(M ), được cho bởi công thức
mann và R. Y. Sharp [5]. Nhắc lại rằng giả giá thứ i của M , kí hiệu là Psuppi
R(M ) = {p ∈ Spec(R) | H i−dim(R/p)
pRp
Psuppi (Mp) (cid:54)= 0}.
Khi đó, quỹ tích không Cohen-Macaulay được mô tả trong Định lý 2.1.5
R(M )). Hơn
0(cid:54)i (Psuppi và Hệ quả 2.1.6. Ở đây, chúng tôi phát biểu gộp lại như sau:
Định lý 2.1.5. nCM(M ) = (cid:83)
R(M ) ∩ Psuppj d−1
(cid:91) nữa, nếu R là catenary và M đẳng chiều thì R(M ). i=0 Psuppi nCM(M ) = Tiếp theo, chúng tôi xét mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen- Macaulay với các môđun đối đồng điều địa phương và tính không trộn (cid:98)R (cid:99)M . lẫn của các vành R/p với p ∈ SuppR(M ). Theo M. Nagata [36], môđun
M được gọi là không trộn lẫn nếu dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = d với mọi (cid:98)p ∈ Ass m(M ). Đặt a(M ) = a0(M )a1(M ) . . . ad−1(M ). Với mỗi số nguyên i, đặt ai(M ) = AnnR H i 0(cid:54)i Định lý 2.2.1. Đặt T (M ) = (cid:83) Var(ai(M ) + aj(M )). Khi đó các 12 khẳng định sau là đúng. (i) Nếu vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì nCM(M ) = T (M ). Trong trường hợp này, nCM(M ) là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski. (ii) Nếu nCM(M ) = T (M ) thì vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng và R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ min AssR M. Năm 1980, M. Nagata [37] đã đưa ra câu hỏi: Giả sử (R, m) là miền nguyên địa phương Noether không trộn lẫn. Cho p ∈ Spec(R). Khi đó R/p có là vành không trộn lẫn? Năm 1983, M. Brodmann và C. Rotthaus [4] đã xây dựng một miền nguyên địa phương, Noether (R, m) có chiều 3 thỏa mãn điều kiện (cid:98)R là miền nguyên và tồn tại p ∈
Spec(R), dim(R/p) = 2 và (cid:98)R/p (cid:98)R có iđêan nguyên tố nhúng. Ví dụ này là
câu trả lời phủ định cho câu hỏi của M. Nagata. Với kết quả sau, chúng p ∈ SuppR(M ) trong mối quan hệ với quỹ tích không Cohen-Macaulay
và điều kiện Serre của M . Nhắc lại rằng, cho r > 0 là một số nguyên. tôi đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của vành R/p với Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) nếu depth(Mp) ≥ min{r, dim(Mp)} với mọi p ∈ SuppR(M ). Chú ý rằng môđun M thỏa mãn điều kiện Serre (S1) nếu và chỉ nếu AssR M = min AssR M.
Định lý 2.2.3. Cho r (cid:62) 1 là số nguyên. Giả sử M đẳng chiều và M thỏa mãn điều kiện Serre (Sr). Nếu nCM(M ) = Var(a(M )) thì R/p
không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppR(M ) thỏa mãn dim(R/p) (cid:62) d − r. Khái niệm kiểu đa thức của M , kí hiệu là p(M ), được giới thiệu bởi N. T. Cường [11] nhằm nghiên cứu cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether. Nếu ta kí hiệu bậc của đa thức không là −1 thì M là 13 Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu p(M ) = −1 và M là Cohen-Macaulay
suy rộng nếu và chỉ nếu p(M ) (cid:54) 0. Trong [10], [11], N. T. Cường đã nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M trong mối m(M ) và
kiểu đa thức p(M ) của M . Ông đã chỉ ra rằng, trong trường hợp tổng quan hệ với chiều của các môđun đối đồng điều địa phương H i quát, dim(R/a(M )) (cid:62) p(M ) (cid:62) dim nCM(M ). Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương thì ta có đẳng thức p(M ) = dim(R/a(M )) và nếu thêm điều kiện M đẳng chiều thì p(M ) = dim nCM(M ). Điều này chứng tỏ khi p(M ) càng lớn thì tính chất của M càng xa hơn tính Cohen-Macaulay. Trong luận án này, chúng tôi mở rộng các kết quả trên cho trường hợp vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và xét trong trường hợp môđun M bất kì, không nhất thiết đẳng chiều. Định lý 2.3.4. Ký hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều bé hơn d. Khi đó dim(R/a(M )) ≥ p(M ) ≥ max (cid:8) dim nCM(M ), dim UM (0)(cid:9). Các đẳng thức xảy ra với mọi môđun M khi và chỉ khi R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Kết quả thứ hai của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng và xét tính đóng của nó. Như chúng ta đã biết, môđun Cohen-Macaulay suy rộng là mở rộng của môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của nó được nghiên cứu bởi các nhà toán học N. T. Cường, N. V. Trung, P. Schenzel, J. St¨uckrad, W. Vogel và nhiều tác giả khác trên thế giới. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun hữu hạn sinh M . Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M , kí hiệu nGCM(M ), là tập hợp các iđêan nguyên tố p sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy 14 rộng. Chú ý rằng tính Cohen-Macaulay được đặc trưng bởi tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương. Vì thế chúng tôi đã sử dụng các tập giả giá để mô tả thành công quỹ tích không Cohen-Macaulay của M (xem Định lý 2.1.5). Chúng ta đã biết rằng M là môđun Cohen- m(M )) < ∞ với mọi i < d. Do đó,
chúng tôi thấy rằng phải có một tập tương tự như tập giả giá để mô tả Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu (cid:96)(H i quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng. Vì thế, chúng tôi giới thiệu R(M ), được cho bởi công thức khái niệm giá suy rộng. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giá suy rộng thứ i
của M , ký hiệu là Lsuppi R(M ) = {p ∈ Spec(R) | (cid:96)Rp (cid:0)H i−dim(R/p)
pRp Lsuppi (Mp)(cid:1) = ∞}. Chúng tôi nghiên cứu giá suy rộng trong mối quan hệ với giả giá, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương, dịch chuyển qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa. Sử dụng giá suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng như (cid:91) sau: R(M ) ∩ Lsuppj R(M )). Hơn 1(cid:54)i (Lsuppi Định lý 3.2.2. nGCM(M ) = (cid:91) nữa, nếu M là đẳng chiều và R là catenary thì R(M ). 1(cid:54)i nGCM(M ) = Lsuppi Rõ ràng quỹ tích không Cohen-Macaulay của M chứa quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng. Trong trường hợp vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, M đẳng chiều và M không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, chúng tôi chỉ ra mối quan hệ giữa nCM(M ) và nGCM(M ) trong Hệ quả 3.2.3 như sau: nGCM(M ) = nCM(M ) \ min nCM(M ). Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng nGCM(M ) của M rất 15 ít khi là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski. Chúng tôi chỉ ra rằng, với điều kiện vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và môđun M đẳng chiều thì nGCM(M ) đóng khi và
chỉ khi p(M ) (cid:54) 1 (Mệnh đề 3.2.4). Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khác như quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Công cụ chính để chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này là các giả giá, giá suy rộng và lọc chiều của môđun. Nhắc lại rằng khái niệm lọc chiều của môđun được giới thiệu đầu tiên bởi P. Schenzel trong [45] và được N. T. Cường, Đ. T. Cường [12] điều chỉnh lại đôi chút để thuận tiện hơn cho việc sử dụng. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa lọc chiều của N. T. Cường và Đ. T. Cường [12]. Một lọc các môđun con m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mk = M H 0 của M được gọi là lọc chiều của M nếu Mi là môđun con lớn nhất của Mi+1 có chiều bé hơn dim Mi, với mọi i = 0, . . . , k − 1. Chú ý rằng lọc chiều của một môđun luôn tồn tại và xác định duy nhất. Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiều của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12). Chúng tôi chỉ ra rằng, với một số điều kiện về chiều của các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính là phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M/UM (0) (phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M/UM (0)), với UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Trong trường hợp tổng 16 quát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tích giả Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) với phần bù của hợp của các quỹ tích không Cohen-Macaulay (quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương của lọc chiều của M . Kí hiệu pCM(M ) là quỹ tích giả Cohen-Macaulay của M , tức là pCM(M ) là tập hợp các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giả Cohen-Macaulay. Đặt nPCM(M ) = Spec(R) \ pCM(M ). Chú ý rằng
nếu d < 2 thì nPCM(M ) = ∅. Khi d (cid:62) 2 ta có kết quả sau. Định lý 4.1.4. Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương. Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Cho d (cid:62) 2. Nếu dim(R/p) = d hoặc dim(R/p) (cid:54) 2 với mọi p ∈ (cid:91) AssR M thì m(M/UM (0))(cid:1). 0 nPCM(M ) = nCM(M/UM (0)) = Var (cid:0) AnnR H i m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của M . Đặc biệt, nếu d (cid:54) 3 thì pCM(M ) là mở theo tôpô Zariski.
(ii) Giả sử H 0 (cid:91) t
(cid:91) Đặt dim Mi = di với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó m(Mi/Mi−1)(cid:1). i=1 i=1,...,t
r=1,...,di−1 nPCM(M ) ⊆ Var (cid:0) AnnR H r nCM(Mi/Mi−1) = Chúng tôi chỉ ra ví dụ chứng tỏ rằng với mọi d (cid:62) 4, tồn tại môđun hữu hạn sinh M chiều d trên vành địa phương Noether (R, m) sao cho pCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa. Vì thế pCM(M ) không là tập mở của Spec(R) theo tôpô Zariski (Ví dụ 4.1.5). Nhắc lại rằng một tập con T của Spec(R) được gọi là ổn định với phép tổng quát hóa nếu với mọi p, q ∈ Spec(R), p ⊂ q mà q ∈ T thì p ∈ T . Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng của M , kí hiệu pGCM(M ), 17 là tập hợp các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giả Cohen- Macaulay suy rộng. Đặt nPGCM(M ) = Spec(R) \ pGCM(M ). Chú ý
rằng nếu d < 3 thì nPGCM(M ) = ∅. Khi d (cid:62) 3 ta có kết quả sau. Định lý 4.1.10. Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương. (cid:91) Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Cho d (cid:62) 3. Nếu dim R/p = d hoặc dim R/p (cid:54) 3 với mọi p ∈ AssR M
thì R(M/UM (0)). 1(cid:54)i Lsuppi nPGCM(M ) = nGCM(M/UM (0)) = m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của M . Đặc biệt, nếu d (cid:54) 4 thì pGCM(M ) là ổn định với phép tổng quát hóa.
(ii) Giả sử H 0 (cid:91) (cid:91) Đặt di = dim Mi. Khi đó R(Mi/Mi−1). 1(cid:54)i(cid:54)t i=1,...,t
r=1,...,di−1 nPGCM(M ) ⊆ Lsuppr nGCM(Mi/Mi−1) = Chúng tôi cũng đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng với mọi d (cid:62) 5, tồn tại môđun hữu hạn sinh M có chiều d trên vành địa phương Noether (R, m) sao cho pGCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa. Vì thế nó không là tập mở của Spec(R) theo tôpô Zariski (Ví dụ 4.1.11). Phần cuối của luận án là một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M ) của M (Mệnh đề 4.2.2). 7.2. Cấu trúc luận án Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở như biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, tính catenary của vành, môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy 18 rộng. Chương 2 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay dựa theo bài báo [20] và một phần bài báo [39]. Mục 2.1 mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá và đưa ra một số kết quả về tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay (Định lý 2.1.5). Mục 2.2 đưa ra mối quan hệ của quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenary của vành R/ AnnR M , điều kiện Serre của M và tính không trộn lẫn của các vành địa phương R/p với các iđêan nguyên tố p ∈ SuppR(M ) (Định
lý 2.2.1, Định lý 2.2.3). Mục 2.3 đưa ra mối quan hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay, kiểu đa thức và chiều của các môđun đối đồng địa phương (Định lý 2.3.4). Chương 3 trình bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dựa theo bài báo [39]. Mục 3.1 giới thiệu giá suy rộng và nghiên cứu một số tính chất của giá suy rộng trong mối quan hệ với tập giả giá, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chuyển dịch giá suy rộng qua đầy đủ m-adic và qua địa phương hóa. Mục 3.2 là phần chính của chương, miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy rộng (Định lý 3.2.2). Chúng tôi cũng đưa ra đặc trưng tính đóng của giá suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng (Mệnh đề 3.2.4). Cuối chương, chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy (tương ứng không Cohen- Macaulay suy rộng dãy) qua quỹ tích không Cohen-Macaulay (tương ứng không Cohen-Macaulay suy rộng) của các môđun thương trong lọc chiều của M (Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.12). Chương 4 trình bày một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen- Macaulay như quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Chương này được viết dựa theo bài báo [41]. Mục 4.1 mô tả quỹ tích giả Cohen- Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng (Định lý 4.1.4, Định 19 lý 4.1.10). Chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ chứng tỏ rằng quỹ tích giả Cohen-Macaulay không mở theo tôpô Zariski khi d (cid:62) 4 (Ví dụ 4.1.5) và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng không mở (thậm chí không ổn
định với phép tổng quát hóa) khi d (cid:62) 5 (Ví dụ 4.1.11). Mục 4.3 đưa ra một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M ) (Mệnh đề 4.2.2). Cuối cùng, Mệnh đề 4.2.6 đưa ra một mô tả về quỹ tích không Cohen- 20 Macaulay suy rộng chính tắc của M . Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết về tập iđêan nguyên tố gắn kết, tính catenary của vành, môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng nhằm thuận tiện cho việc theo dõi kết quả trong các chương sau. Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, A là R-môđun Artin và N là một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh hay Artin). Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và một số kết quả về tính catenary của vành sẽ được dùng trong luận án. Định nghĩa 1.1.1. Cho q ⊂ p là các iđêan nguyên tố của R. Một dãy các iđêan nguyên tố q = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = p sao cho pi (cid:54)= pi+1, với mọi i = 0, . . . , n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hòa q nào thỏa mãn pi ⊂ q ⊂ pi+1 và pi (cid:54)= q (cid:54)= pi+1. Khi đó n được gọi là giữa p và q nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố độ dài của dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q. Ta nói vành R là catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một 21 dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài. Chú ý rằng nếu R là vành địa phương Noether thì dim R < ∞. Do đó với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p. Trong trường hợp này vành R là catenary khi và chỉ khi mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu tiên được chỉ ra bởi W. Krull năm 1937 (xem [51]). Ông chứng minh rằng nếu K là một trường thì mọi K-đại số hữu hạn sinh đều là vành catenary. Đặc biệt, vành đa thức trên trường K là catenary. Năm 1946, I. Cohen [8] đã chứng minh rằng mọi vành địa phương đầy đủ là catenary. Sau đó, M. Nagata [37] đã chứng tỏ rằng mọi miền nguyên, địa phương tựa không trộn lẫn là catenary. Nếu R là vành catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R). Hơn nữa, vành thương của vành catenary là catenary. Vì thế hầu hết các vành được biết đến trong Hình học đại số đều là catenary. Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary thường được sử dụng trong luận án. Mệnh đề 1.1.2. (Xem [41]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) R là catenary. (ii) dim R/q = dim R/p + ht p/q với mọi q ⊆ p, p, q ∈ Spec(R). Với mọi iđêan nguyên tố p của R ta luôn có bất đẳng thức ht p + dim R/p ≤ dim R. Nếu R là miền nguyên địa phương catenary thì đẳng thức xảy ra, tức là ht p + dim R/p = dim R. Do đó năm 1954, I. S. Cohen [9] đã đưa ra 22 câu hỏi liệu một miền nguyên địa phương R thỏa mãn công thức chiều ht p + dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R có là miền catenary? Câu trả lời khẳng định được R. J. Ratliff đưa ra năm 1972. Mệnh đề 1.1.3. [42, Định lý 2.2] Một miền nguyên địa phương Noether R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có ht p + dim R/p = dim R. Hơn nữa, năm 1977, S. McAdam và R. J. Ratliff đã mở rộng kết quả trên cho các vành địa phương đẳng chiều. Nhắc lại rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p của R. Định lý 1.1.4. (Xem [35]) Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều. Khi đó R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có ht p + dim R/p = dim R. Một loại đặc biệt của vành catenary là vành catenary phổ dụng được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.5. (Xem [33]) Vành R được gọi là vành catenary phổ dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary. Giả sử S là R-đại số hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a1, . . . , at ∈ S sao cho S = R[a1, . . . , at]. Do đó S đẳng cấu với một vành thương của vành đa thức R[x1, . . . , xt]. Vì vành thương của vành catenary là vành catenary nên vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa thức hữu hạn biến trên R là catenary. Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn và vành trộn 23 lẫn theo thuật ngữ của M. Nagata [36]. Định nghĩa 1.1.6. Vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu vành đầy đủ m-adic (cid:98)R của R là đẳng chiều, tức dim (cid:98)R/(cid:98)p = dim (cid:98)R với mọi
(cid:98)p ∈ min Ass (cid:98)R. Vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dim (cid:98)R/(cid:98)p = dim (cid:98)R
với mọi (cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R. Định lý 1.1.7. [33, Định lý 31.6] Giả sử vành R là tựa không trộn lẫn. Khi đó (i) R là catenary phổ dụng. (ii) Rp là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R). (iii) Nếu I là iđêan của R thì R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là tựa không trộn lẫn. Kết quả sau cho chúng ta điều kiện để một vành là catenary phổ dụng. Định lý 1.1.8. [33, Định lý 31.7] Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là catenary phổ dụng. (ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary. (iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R). Chú ý rằng mọi vành có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 2 là catenary. Nếu dim R ≤ 1 thì dim R[x] ≤ 2, do đó R[x] là catenary. Vì vậy, nếu dim R ≤ 1 thì R là catenary phổ dụng. Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A. Grothendieck vào những năm 1960 (xem [26]), sau đó được quan tâm nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán trên thế giới như R. Hartshorne, M. Brodmann, J. Rotman, C. Huneke... Lý thuyết đối đồng điều địa phương 24 đã có những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học. Ngày nay nó trở thành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình học Giải tích, Hình học Đại số... Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại định nghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương như tính chất độc lập với vành cơ sở, tính Artin, tính triệt tiêu và không triệt tiêu... Trước tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm hàm tử I-xoắn. n≥0 Định nghĩa 1.2.1. (Xem [4, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R.
Với mỗi R-môđun N , đặt ΓI(N ) = (cid:83)
(0 :N I n). Nếu f : N → N (cid:48) là đồng cấu các R-môđun thì f (ΓI(N )) ⊆ ΓI(N (cid:48))). Do đó ta có đồng cấu
ΓI(f ) : ΓI(N ) → ΓI(N (cid:48)) được xác định bởi ΓI(f )(x) = f (x). Khi đó
ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến, khớp trái và nó được gọi là hàm tử I-xoắn. Từ đó ta có định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương như sau. Định nghĩa 1.2.2. (Xem [4, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0, I(−) vào R-môđun N được kí hiệu là H i động H i hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI(−) được gọi là hàm tử đối đồng điều
địa phương thứ i đối với I và được kí hiệu là H i
I(−). Kết quả của tác
I(N ) và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của N với giá I. Sau đây là một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận án. Định lý sau đây chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không phụ thuộc vào vành cơ sở (xem [4, Định lý 4.2.1]). Chú ý rằng, nếu f : R → R(cid:48) là một đồng cấu vành và N (cid:48) là R(cid:48)-môđun thì N (cid:48) có cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi f , trong đó phép nhân vô hướng của phần tử 25 r ∈ R với phần tử m(cid:48) ∈ N (cid:48) là f (r)m(cid:48). Định lý 1.2.3. (Tính độc lập với vành cơ sở). Cho R(cid:48) là R-đại số và N (cid:48) là R(cid:48)-môđun. Cho I là iđêan của R. Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có đẳng I(N (cid:48)) các R-môđun. IR(cid:48)(N (cid:48)) ∼= H i cấu H i Khi R(cid:48) là R-đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [4, Định lý 4.3.2]). Khi đó ta có R(cid:48)-đẳng cấu H i Định lý 1.2.4. (Định lý chuyển cơ sở phẳng). Cho R(cid:48) là R-đại số phẳng.
I(N ) ⊗R R(cid:48) ∼= H i
IR(cid:48)(N ⊗R R(cid:48)) với mọi i ≥ 0. Cho p là iđêan nguyên tố bất kỳ của của R. Khi đó Rp là R-đại số phẳng. Từ Định lý 1.2.4 ta luôn có Rp-đẳng cấu I(N ) ⊗R Rp IRp H i ∼= H i (N ⊗R Rp). ∼= Np với mọi R-môđun N nên Hơn nữa, vì N ⊗R Rp I(N ))p IRp (H i ∼= H i (Np). Một trong những kết quả quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (xem [4, 6.1.2, 6.1.4]) I(N ) = 0 với Định lý 1.2.5. (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) H i mọi i > dim N . Định lý 1.2.6. (Định lý không triệt tiêu) Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh khác không có chiều n. Khi đó m(M ) (cid:54)= 0. H n Ngoài ra, tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương còn liên quan đến các môđun I-xoắn (xem [4, Hệ quả 2.1.7]) và bậc số học của iđêan (xem [4, Hệ quả 3.3.3]). Đặc biệt Định lý Lichtenbaum-Hartshorne cho ta tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương tại cấp cao 26 nhất với giá tùy ý (xem [4, Định lý 8.2.1]). Nhìn chung môđun đối đồng điều địa phương không là môđun hữu hạn sinh và cũng không là môđun Artin. Định lý sau (xem [4, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6]) chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại hoặc tại cấp cao nhất luôn là Artin. Định lý 1.2.7. Giả sử rằng (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó m(M ) là R-môđun Artin với mọi số tự nhiên i. (i) H i I (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I. (ii) Nếu dim M = d thì H d Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I. G. Macdonald [31] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ. Trong tiết này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả về biểu diễn thứ cấp. Định nghĩa 1.3.1. (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N (cid:54)= 0 và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên N là toàn cấu hoặc lũy linh. p, và ta gọi N là p-thứ cấp. Trong trường hợp này, Rad(AnnR N ) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là (ii) Cho N là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của N là một phân tích N = N1 + . . . + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni. Nếu N = 0 hoặc N có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , n. Dễ thấy rằng nếu N1, N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N . Vì thế mọi biểu diễn thứ 27 cấp của N đều có thể đưa được về dạng tối thiểu bằng cách ghép chung những thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố và bỏ đi những thành phần thừa. Tập hợp {p1, . . . , pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N , kí hiệu là AttR N . Các hạng tử Ni, i = 1, . . . , n, được gọi là các thành phần thứ cấp của N. Nếu pi là tối thiểu trong tập AttR N thì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi là thành phần thứ cấp cô lập của N . Mệnh đề 1.3.2. Giả sử N là một R-môđun biểu diễn được. Khi đó các khẳng định sau là đúng. (i) AttR N (cid:54)= ∅ khi và chỉ khi N (cid:54)= 0. (ii) Tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa AnnR N chính là tập các phần tử tối thiểu của AttR N .
(iii) Cho 0 → N (cid:48) → N → N (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn (cid:48)(cid:48) (cid:48) (cid:48)(cid:48) được. Khi đó ta có . AttR N ⊆ AttR N ⊆ AttR N ∪ AttR N Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được. Định lý 1.3.3. [31, 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được. (cid:98)R-môđun. Với cấu trúc này, một môđun con của A xét như R-môđun
khi và chỉ khi nó là môđun con của A xét như (cid:98)R-môđun. Do đó A là
(cid:98)R-môđun Artin và ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn
kết như sau. Cho A là R-môđun Artin. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như (cid:98)R(A)}. Bổ đề 1.3.4. [4, 8.2.4 và 8.2.5] AttR(A) = {(cid:98)p ∩ R | (cid:98)p ∈ Att Kết quả sau đây, gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu, 28 thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận án. m (M )). pRp (Mp)). Khi đó q ∈ AttR(H i+t Định lý 1.3.5. [43, Định lý 4.8] Giả sử M (cid:54)= 0 và p ∈ SuppR(M ) sao
cho dim R/p = t. Giả sử i (cid:62) 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố
với q ⊆ p sao cho qRp ∈ AttRp(H i Từ Định lý 1.3.5 ta có hệ quả sau. m(M ). Hệ quả 1.3.6. [43, Hệ quả 4.9] Giả sử M (cid:54)= 0 và p ∈ AssR M với
m(M ) (cid:54)= 0 và p ∈ AttR H t
dim R/p = t. Khi đó H t Theo Định lý 1.2.7, môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại là Artin, do đó nó có biểu diễn thứ cấp (xem Định lý m(M ) được cho bởi công thức 1.3.3). Tập iđêan nguyên tố gắn kết của H d sau. Định lý 1.3.7. [34, Định lý 2.2] Giả sử M (cid:54)= 0 và dim M = d. Khi đó m(M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}. m(M ) (cid:54)= 0 và AttR(H d H d Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng là hai lớp môđun quen thuộc và quan trọng trong Đại số giao hoán. Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả thường sử dụng trong luận án về hai lớp môđun này. Ta ký hiệu (R, m) là vành địa phương Noether với m là iđêan cực đại, M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d và I là iđêan của R. Ta luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M (xem [6, Mệnh đề 1.2.12]). Từ đó, ta có định nghĩa vành và môđun Cohen-Macaulay như sau. Định nghĩa 1.4.1. (Xem [33, Trang 134]) M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M (cid:54)= 0 và depth M = dim M . Nếu R là môđun Cohen- 29 Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay thường được sử dụng trong luận án (xem [33, Định lý 17.3], [33, Trang 137]). Mệnh đề 1.4.2. Các khẳng định sau là đúng. (i) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay. Khi đó dim R/p = dim M với mọi p ∈ AssR M . Khi đó M không có iđêan nguyên tố nhúng. (ii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì Mp là Rp-môđun Cohen- Macaulay với mọi iđêan nguyên tố p của R. (iii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là M -dãy. (iv) R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi vành các chuỗi lũy thừa hình thức R[[x1, . . . , xn]] là vành Cohen-Macaulay. Để nêu một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay, trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm số bội (xem [48, Trang 24]). Một hệ các phần tử x = (x1, . . . , xt) của R sao cho (cid:96)(M/(x1, . . . , xt)M ) < ∞ được gọi là hệ bội của M . Khi đó ký hiệu bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x được định nghĩa qui nạp theo t như sau: Với t = 0, tức là (cid:96)(M ) < ∞ ta
đặt e(∅; M ) = (cid:96)(M ). Giả sử t (cid:62) 1. Đặt (0 :M x1) = {m ∈ M | mx1 = 0}.
Khi đó (x2, . . . , xt) là hệ bội của M/x1M và (0 :M x1). Vì thế ta định nghĩa e(x; M ) = e(x2, . . . , xt; M/x1M ) − e(x2, . . . , xt; 0 :M x1). Cho q là iđêan của R sao cho (cid:96)(M/qM ) < ∞. Khi đó, ta có hàm
Hilbert-Samuel Pq(n) = (cid:96)(M/qn+1M ). Chú ý rằng tồn tại một đa thức
pq(n) bậc d sao cho với n đủ lớn, ta có Pq(n) = pq(n). Hơn nữa, tồn tại các số nguyên e0(q; M ) > 0, e1(q; M ), . . . , ed(q; M ) sao cho với n đủ lớn, (cid:32) (cid:33) (cid:33) (cid:32) ta có 30 Pq(n) = e0(q; M ) + e1(q; M ) + . . . + ed(q; M ). n + d
d n + d − 1
d − 1 Hệ số e0(q; M ) gọi là số bội của M ứng với iđêan q. Nếu x = (x1, . . . , xd) là hệ tham số của M và q = (x1, . . . , xd)R thì e0(q; M ) = e(x; M ). Hơn
nữa, ta luôn có 0 (cid:54) e(x; M ) (cid:54) (cid:96)(M/xM ) (xem [48, Bổ đề 3.3]). Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thường sử dụng trong luận án (xem [33, Định lý 17.3, Định lý 17.5, Định lý 17.11], Định lý 1.2.5). Mệnh đề 1.4.3. Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay. (ii) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = (cid:96)(M/xM ). (iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có e(x; M ) = (cid:96)(M/xM ). (iv) (cid:99)M là môđun Cohen-Macaulay.
(vi) M/xM là môđun Cohen-Macaulay với mọi phần tử M -chính qui x ∈ m. m(M ) = 0 với mọi i = 0, . . . , d − 1. (vii) H i Với mỗi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = (cid:96)(M/xM ) − e(x; M ).
Khi đó I(x; M ) (cid:62) 0 với mọi hệ tham số x. Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì I(x; M ) = 0 với mọi hệ tham số x của M . Năm 1965, D. A. Buchsbaum [7] đã đặt ra giả thuyết: I(x; M ) là hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Tuy nhiên, năm 1973, W. Vogel và J. St¨uckrad [54] đã đưa ra một loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết của D. A. Buchsbaum là không đúng. Nghĩa là, nhìn chung I(x; M ) phụ thuộc vào hệ tham số x. Mặc dù câu hỏi của D. A. Buchsbaum không đúng nhưng nó dẫn đến việc nghiên cứu một lớp môđun mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay. Cụ thể W. Vogel và J. St¨uckrad đã giới thiệu lý thuyết môđun Buchsbaum (xem [48]). M được gọi là môđun Buchsbaum nếu I(x; M ) là hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Ngay 31 sau đó, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [50] đã nghiên cứu lớp môđun có tính chất sup I(x; M ) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tất cả các hệ tham số x của M và họ gọi lớp môđun đó là môđun Cohen- Macaulay suy rộng. Như vậy, lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng là mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay và môđun Buchsbaum. Một số tính chất sau của môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thể xem trong [49, Bổ đề 1.2; Bổ đề 1.6; Bổ đề 1.7]. Mệnh đề 1.4.4. (i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ m(M ) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. khi M/H 0 (ii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và x là phần tử tham số của M . Khi đó M/xM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (iii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó Mp là môđun p ∈ SuppR(M ) \ {m}, hơn nữa SuppR(M ) là catenary. Điều ngược lại
cũng đúng nếu R là vành thương của vành Cohen-Macaulay. Cohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d với mọi iđêan nguyên tố Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng (xem [49]). Mệnh đề 1.4.5. Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. m(M )) < ∞ với mọi i = 0, . . . , d − 1.
(iii) (cid:99)M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
(iv) Tồn tại một hệ tham số x = (x1, . . . , xd) của M sao cho (ii) (cid:96)(H i 1, . . . , x2 d)M ) − e(x2 1, . . . , x2 d; M ). 32 I(x; M ) = (cid:96)(M/(x2 Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Hình học đại số và Tổ hợp. Nhắc lại rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M . Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M , kí hiệu nCM(M ), là tập hợp tất cả iđêan nguyên tố p sao cho Mp không là Cohen-Macaulay. Quỹ tích không Cohen-Macaulay đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như R. Hartshorne [28], P. Schenzel [53], N. T. Cường [10], [11] khi vành cơ sở là thương của một vành Gorenstein. Mục tiêu của chương này là sử dụng các tập giả giá định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [5] để mô tả quỹ tích không Cohen- Macaulay trong trường hợp tổng quát (khi R là vành địa phương Noether tùy ý), đồng thời nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary, tính không trộn lẫn của vành, điều kiện Serre đối với môđun. Phần cuối của chương dành cho việc nghiên cứu chiều 33 của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Nội dung của chương được trình bày dựa theo bài báo [20] và một phần của bài báo [39]. Trong tiết này chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinh qua các tập giả giá và xét tính đóng của nó. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm giả giá và giả chiều của một môđun hữu hạn sinh được định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp trong [5]. R(M ), được cho bởi công thức Định nghĩa 2.1.1. (i) Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của
M , kí hiệu là Psuppi R(M ) = {p ∈ Spec(R) | H i−dim(R/p) pRp Psuppi (Mp) (cid:54)= 0}. (ii) Giả chiều thứ i của M , kí hiệu là psdi(M ), được xác định bởi R(M )}. psdi(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ Psuppi Sau đây là một số tính chất của tập giả giá cần cho việc chứng R(M ). minh kết quả chính của tiết này. Với mỗi tập con T của Spec(R) và mỗi
số tự nhiên i (cid:62) 0, ký hiệu (T )i = {p ∈ T | dim(R/p) = i}. Khi đó, ta có
kết quả sau. R(M )(cid:1) i = (AssR M )i. Bổ đề 2.1.2. Cho i (cid:62) 0 là một số nguyên. Các khẳng định sau là đúng.
(i) dim(R/p) (cid:54) i với mọi p ∈ Psuppi
(ii) (cid:0) Psuppi R(M ). Khi đó H i−dim(R/p) pRp (Mp) (cid:54)= 0. Do Chứng minh. (i) Lấy p ∈ Psuppi
đó i (cid:62) dim(R/p). R(M )(cid:1) pRp i khi và chỉ khi H 0 (ii) Ta có p ∈ (cid:0) Psuppi (Mp) (cid:54)= 0 và dim(R/p) = i. Chú ý rằng 34 AssRp(Mp) = {qRp | q ∈ AssR(M ), q ⊆ p}. R(M ))i khi và chỉ khi pRp ∈ AssRp(Mp) và
R(M ))i khi và chỉ khi p ∈ (AssR M )i. Do đó p ∈ (Psuppi
dim(R/p) = i. Vì thế, p ∈ (Psuppi Bổ đề được chứng minh. m(M )) được R(M ) và tập Var(AnnR(H i Mối quan hệ giữa tập Psuppi cho bởi bổ đề sau. Bổ đề 2.1.3. Cho i (cid:62) 0 là một số nguyên. Khi đó m(M )). R(M ) ⊆ Var(AnnR(H i Psuppi R(M ). Khi đó H i−dim(R/p) pRp (Mp) (cid:54)= 0. Vì pRp Chứng minh. Lấy p ∈ Psuppi
H i−dim(R/p) m(M )) theo Mệnh đề 1.3.2(ii). Vì thế p ⊇ AnnR(H i (Mp) là Rp-môđun Artin nên theo Mệnh đề 1.3.2(i), tồn tại
(Mp)(cid:1) với iđêan nguyên
(cid:0)H i−dim(R/p)
pRp
m(M )) theo Định lý 1.3.5. Do đó q ⊇
m(M )). Vậy m(M )). R(M ) ⊆ Var(AnnR H i iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttRp
tố q ⊆ p. Suy ra q ∈ AttR(H i
AnnR(H i
Psuppi Tập con T của Spec(R) được gọi là ổn định với phép đặc biệt hóa R(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa và đóng với không nếu với mọi p, q ∈ T , p ⊆ q mà p ∈ T thì q ∈ T . Kết quả sau cho ta điều
kiện để Psuppi gian tôpô Zariski (xem [5, Bổ đề 2.2] và [5, Mệnh đề 2.5]). R(M ) là ổn định với phép Bổ đề 2.1.4. (i) Nếu R là catenary thì Psuppi m(M )) với mọi số nguyên i. R(M ) = Var(AnnR(H i đặc biệt hóa. R(M ) là đóng. (ii) Nếu vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-
Macaulay thì Psuppi
Đặc biệt Psuppi Kết quả chính thứ nhất của Chương là đưa ra công thức mô tả 35 quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá. R(M ) và Định lý 2.1.5. Giả sử p ∈ SuppR(M ). Khi đó các khẳng định sau là
đúng.
(i) Tồn tại j (cid:54) d sao cho p ∈ Psuppj depth(Mp) = k − dim(R/p), dim(Mp) = t − dim(R/p), R(M )}. {i | p ∈ Psuppi {i | p ∈ Psuppi R(M )} và t = max
i(cid:54)d
R(M ) ∩ Psuppj
R(M )). 0(cid:54)i trong đó k = min
i(cid:54)d
(ii) nCM(M ) = (cid:83) (Psuppi (cid:91) (iii) Giả sử s là một số nguyên và s (cid:54) d. Khi đó R(M ) = {p ∈ SuppR(M ) | depth(Mp) + dim(R/p) (cid:54) s}. i(cid:54)s Psuppi R(M ) thì Mp là môđun Cohen-Macaulay có chiều pRp pRp Psuppi (iv) Nếu p /∈ (cid:83)
i R(M ). Chứng minh. (i) Lấy p ∈ SuppR(M ). Khi đó Mp (cid:54)= 0. Đặt dim Mp = n.
Vì Mp (cid:54)= 0 nên n (cid:62) 0. Do đó H n
(Mp) (cid:54)= 0. Vì n + dim(R/p) (cid:54) d nên
tồn tại j (cid:54) d sao cho n = j − dim(R/p). Do đó H j−dim(R/p)
(Mp) (cid:54)= 0.
Tức là tồn tại j (cid:54) d thỏa mãn p ∈ Psuppj R(M )}. Khi đó p ∈ Psuppk R(M ). {i | p ∈ Psuppi (Mp) (cid:54)= 0. Vì p /∈ Psuppi R(M ) với mọi i < k nên
(Mp) = 0 với mọi i < k. Do đó depth(Mp) = k − dim(R/p). pRp Đặt k = min
i(cid:54)d
Do đó H k−dim(R/p)
pRp
H i−dim(R/p) R(M )}. Khi đó p ∈ Psuppt R(M ). Do đó R(M ) với mọi i > t nên suy ra pRp {i | p ∈ Psuppi pRp H t−dim(R/p)
H i−dim(R/p) Đặt t = max
i(cid:54)d
(Mp) (cid:54)= 0. Vì p /∈ Psuppi
(Mp) = 0 với mọi i > t. Vì vậy dim(Mp) = t − dim(R/p). (ii) Lấy p ∈ nCM(M ). Khi đó depth(Mp) < dim(Mp). Theo (i) R(M )}. Do đó p ∈ Psuppk R(M ) ∩ Psuppt {i | p ∈ Psuppi {i | p ∈ ta có k < t với k = min
i(cid:54)d R(M ) ∩ Psuppj R(M )} và t = max
i(cid:54)d
R(M ) với k < t. Ngược
R(M ) với 0 (cid:54) i < j (cid:54) d. Khi đó 36 Psuppi
lại, lấy p ∈ Psuppi depth(Mp) (cid:54) i − dim(R/p) < j − dim(R/p) (cid:54) dim(Mp) theo (i). Do đó
p ∈ nCM(M ). p ∈ Psuppr R(M ). Khi đó ta có tồn tại r (cid:54) s sao cho
{i | p ∈ Psuppi
R(M )} thì k (cid:54) r (cid:54) s. Theo Psuppi (iii) Lấy p ∈ (cid:83)
i(cid:54)s
R(M ). Đặt k = min
i(cid:54)d (i) ta có depth(Mp) + dim(R/p) = (k − dim(R/p)) + dim(R/p) = k (cid:54) s. R(M ). Thật vậy, nếu p /∈ (cid:83)
i(cid:54)s Psuppi Psuppi Ngược lại, lấy p ∈ SuppR(M ) sao cho depth(Mp) + dim(R/p) (cid:54) s. Ta
chứng tỏ rằng p ∈ (cid:83)
R(M ) thì
i(cid:54)s depth(Mp) > s−dim(R/p) theo (i). Nghĩa là depth(Mp)+dim(R/p) > s. Điều này vô lý. Vậy khẳng định được chứng minh. R(M ). Khi đó depth(Mp) + dim(R/p) = d Psuppi (iv) Giả sử p /∈ (cid:83)
i theo (iii). Do đó Mp là Cohen-Macaulay có chiều d − dim(R/p). Cho i (cid:62) 0 là một số nguyên. Chú ý rằng giả giá thứ i của môđun M nhìn chung không là tập đóng (xem [5, Ví dụ 3.1, Ví dụ 3.2]). Nếu vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay
thì Psuppi
R(M ) đóng với mọi i. Chúng tôi chỉ ra rằng, trong trường hợp
vành R/ AnnR(M ) là catenary thì Psuppi
R(M ) đóng đối với một số cấp
i đặc biệt. Hơn nữa, từ Định lý 2.1.5 chúng ta có công thức sau đây mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp M đẳng chiều. R(M ) đóng với i = 0, 1, d và d−1
(cid:91) Hệ quả 2.1.6. Giả sử M đẳng chiều và vành R/ AnnR M là catenary.
Khi đó Psuppi R(M ). i=0 R(M ) ⊆ {m}. Do đó Psupp0 nCM(M ) = Psuppi R(M ) là tập đóng.
R(M ). Khi đó dim(R/p) (cid:54) 1. Nếu dim(R/p) = 1 thì 37 Chứng minh. Ta có Psupp0
Lấy p ∈ Psupp1 pRp H 0 (Mp) (cid:54)= 0 . Vì thế p ∈ AssR M. Do đó R(M ) ⊆ {m} ∪ {p ∈ AssR M | dim(R/p) = 1}. Psupp1 R(M ) có hữu hạn phần tử cực tiểu. Vì R/ AnnR M là vành
R(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa theo Bổ đề
R(M ) là tập con đóng của Spec(R) theo Vì thế Psupp1
catenary nên Psupp1
2.1.4. Điều này suy ra Psupp1 (cid:91) tôpô Zariski. Vì M đẳng chiều theo giả thiết nên m(M )). p∈AssR M,dim(R/p)=d R(M ) = Var(AnnR M ) theo [38, Var(p) = Var(AnnR H d Var(AnnR M ) = R(M ) đóng và Vì R/ AnnR M là catenary nên Psuppd
Hệ quả 3.4 (iv)]. Do đó Psuppd R(M ) R(M ) = Psuppi R(M ) ∩ Psuppd Psuppi R(M ). 0(cid:54)i(cid:54)d−1 với mọi i = 1, . . . , d − 1. Vì vậy nCM(M ) = (cid:83) Psuppi Kết quả sau suy ra từ Định lý 2.1.5 (ii) cho chúng ta một điều kiện đủ để nCM(M ) đóng. R(M ) đóng với mọi i (cid:54) d thì nCM(M ) đóng. Hệ quả 2.1.7. Nếu Psuppi Câu hỏi tự nhiên đặt ra là phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.1.7 có đúng không? Hệ quả sau đây cho ta câu trả lời trong trường hợp dim M = 3 và M đẳng chiều. 2
(cid:91) Hệ quả 2.1.8. Giả sử M đẳng chiều và dim M = 3. Nếu R/ AnnR M
là catenary thì Psuppi
R(M ) đóng với mọi i (cid:54)= 2 và R(M ). i=0 nCM(M ) = Psuppi R(M ) đóng. 38 Đặc biệt, nCM(M ) đóng khi và chỉ khi Psupp2 R(M ) đóng với mọi i (cid:54)= 2 và nCM(M ) = (cid:83)2 i=0 Psuppi R(M ) đóng. Giả sử Psupp2 R(M ) ∪ Psupp0 R(M ) đóng. Chứng minh. Vì M đẳng chiều và dim M = 3 nên theo Hệ quả 2.1.6,
Psuppi
R(M ). Do
đó, nếu Psupp2
R(M ) đóng thì nCM(M ) đóng. Ngược lại, giả thiết rằng
nCM(M ) đóng. Ta chứng minh Psupp2
R(M )
không đóng. Do R/ AnnR(M ) là catenary nên Psupp2
R(M ) ổn định với
phép đặc biệt hóa theo Bổ đề 2.1.4. Vì Psupp2
R(M ) không đóng nên nó
có vô hạn phần tử cực tiểu. Chú ý rằng 1 (cid:54) dim(R/p) (cid:54) 2 với mọi
p ∈ min Psupp2
R(M ) theo Bổ đề 2.1.2(i). Hơn nữa ta có dim(R/p) (cid:54) 1
với mọi p ∈ Psupp1
R(M ). Vì vậy, mỗi phần tử cực tiểu của
Psupp2
R(M ) là phần tử cực tiểu của nCM(M ). Do đó nCM(M ) có vô
hạn phần tử cực tiểu và vì thế nCM(M ) không đóng. Điều này là vô lý.
Vì thế nCM(M ) đóng khi và chỉ khi Psupp2 M. Brodmann và R. Y. Sharp trong [5, Ví dụ 3.1] đã đưa ra ví dụ R(M ) không đóng. Theo Hệ quả 2.1.8 quỹ về một miền nguyên địa phương Noether (R, m) chiều 3 sao cho R là
catenary phổ dụng và Psupp2 tích không Cohen-Macaulay của miền nguyên này không đóng. Trong trường hợp vành R/ AnnR M không catenary thì phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.1.7 còn đúng không? Câu trả lời là không đúng. Trước khi đưa ra phản ví dụ, chúng ta có tính chất sau đây. R(M ) = ∅, Psupp1 R(M ) ⊆ {m} và Hệ quả 2.1.9. Giả sử dim M = 3 và dim(R/p) = 3 với mọi p ∈ AssR M .
Giả sử R/ AnnR M không catenary. Khi đó Psupp3
R(M ) không đóng. Hơn
nữa, Psupp0 R(M ) ∩ Psupp3 R(M ). nCM(M ) = Psupp2 R(M ) ⊆ {m}. Vì thế để chứng minh nCM(M ) = Psupp2 39 Chứng minh. Theo giả thiết M đẳng chiều và vành R/ AnnR M không
catenary nên Psupp3
R(M ) không đóng theo [38, Hệ quả 3.4 (iv)]. Vì
dim(R/p) = 3 với mọi p ∈ AssR M nên ta có Psupp0
R(M ) = ∅ và
Psupp1
R(M ) ∩ R(M ), theo Định lý 2.1.5 ta chỉ cần chứng minh m ∈ Psupp2
m(M ) (cid:54)= 0. Do đó m ∈ Psupp3
R(M ). Vì dim M = 3 nên H 3 R(M )∩
R(M ).
Mặt khác, vì R/ AnnR M không catenary nên tồn tại p ∈ AssR M sao Psupp3
Psupp3 cho R/p là miền nguyên chiều 3 không catenary. Đặt U = {q ∈ Spec(R), q ⊇ p | dim R/q + ht q/p = 2}. Vì R/p (cid:0)( (cid:98)R/p (cid:98)R)(cid:14)U (cid:98)R H 3 m(R/p) nên dim (cid:98)R/(cid:98)p = 2. Vì không catenary nên tồn tại iđêan nguyên tố q ∈ U . Vì dim R/q+ht q/p = (cid:98)R H 3 (cid:91) 2 nên q (cid:54)= m và q (cid:54)= p. Do đó dim R/q = 1. Do đồng cấu R → (cid:98)R là
phẳng nên tồn tại (cid:98)q ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho (cid:98)q ∩ R = q. Vì q (cid:54)= m nên (cid:98)q (cid:54)= m (cid:98)R.
Suy ra 0 < dim (cid:98)R/(cid:98)q (cid:54) dim R/q = 1. Vì thế dim (cid:98)R/(cid:98)q = 1. Ký hiệu
(cid:98)R/p (cid:98)R(0) là môđun con lớn nhất của (cid:98)R/p (cid:98)R có chiều bé hơn dim (cid:98)R/p (cid:98)R.
U
(cid:98)R/p (cid:98)R(0)(cid:1). Do đó
Theo [14, Định lý 4.6 (iii)], ta có (cid:98)q /∈ Supp
(cid:98)R
(cid:98)q (cid:43) Ann
m(R/p). Vì đồng cấu R → (cid:98)R là phẳng nên nó thỏa mãn
Định lý đi xuống theo [33, Định lý 9.5]. Do đó ht (cid:98)q (cid:62) 1. Vì thế tồn
tại (cid:98)p ∈ Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R) sao cho (cid:98)p ⊂ (cid:98)q và (cid:98)p (cid:54)= (cid:98)q. Do đó dim (cid:98)R/(cid:98)p (cid:62) 2. Vì
(cid:98)q (cid:43) Ann (cid:98)R (cid:99)M = p∈AssR M Ass Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R) ( (cid:99)M )) (cid:98)R (cid:99)M . Do đó (cid:98)p ∈ Att
m(M ) (cid:54)= 0. Vậy ta có m ∈ Psupp2 (cid:98)R(H 2
m (cid:98)R
R(M ). theo [33, Định lý 23.2(ii)] nên (cid:98)p ∈ Ass
theo Hệ quả 1.3.6. Vì thế H 2 Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng nếu bỏ đi giả thiết vành R/ AnnR M là catenary thì phát biểu ngược lại của Hệ quả 2.1.7 không đúng. Ví dụ 2.1.10. Tồn tại miền nguyên địa phương Noether R chiều 3 thỏa
mãn quỹ tích không Cohen-Macaulay của R đóng nhưng Psupp2(R) và
Psupp3(R) không đóng. 40 Chứng minh. Theo [5, Ví dụ 3.2], tồn tại (R, m) là miền nguyên địa
phương Noether chiều 3 thỏa mãn R không catenary, Psupp2(R) và Psupp3(R) không đóng và Psupp2(R) \ {m, 0} = {p ∈ Spec(R) | ht(p) + dim(R/p) = 2}, Psupp3(R) = {p ∈ Spec(R) | ht(p) + dim(R/p) = 3}. Khi đó theo Hệ quả 2.1.9 ta có nCM(R) = Psupp2(R) ∩ Psupp3(R) ⊆ {m, 0}. Vì dim R = 3 nên 0 /∈ Psupp2(R). Mặt khác, do R không catenary nên R không Cohen-Macaulay theo Định lý 1.1.7. Do đó nCM(R) = {m} là tập đóng. Mục tiêu của chúng tôi trong tiết này là nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary của vành R/ AnnR M và tính không trộn lẫn của các vành địa phương R/p với các iđêan nguyên tố p ∈ SuppR(M ). Theo M. Nagata [36], M được gọi
là tựa không trộn lẫn nếu (cid:99)M đẳng chiều, nghĩa là dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = d với mọi
(cid:98)R (cid:99)M . Ta nói M là không trộn lẫn nếu dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = d với mọi
(cid:98)p ∈ min Ass
(cid:98)R (cid:99)M .
(cid:98)p ∈ Ass m(M ). Đặt a(M ) = a0(M )a1(M ) . . . ad−1(M ). Với mỗi số nguyên i, đặt ai(M ) = AnnR H i 0(cid:54)i Định lý 2.2.1. Đặt T (M ) = (cid:83) Var(ai(M ) + aj(M )). Khi đó các khẳng định sau là đúng. (i) Nếu vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì nCM(M ) = T (M ). (ii) Nếu nCM(M ) = T (M ) thì vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng 41 và R/p là không trộn lẫn với mọi p ∈ min AssR M. Chứng minh. (i) Kết quả được suy ra từ Bổ đề 2.1.4(ii) và Định lý 2.1.5(ii). (ii) Lấy p ∈ min AssR M. Đặt dim(R/p) = t. Ta chứng minh R/p là không trộn lẫn. Thật vậy, giả sử trái lại R/p không là vành không (cid:91) trộn lẫn. Khi đó tồn tại (cid:98)p ∈ Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R) sao cho dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = k < t. Chú
ý rằng t (cid:54) d nên k < d. Theo [33, Định lý 23.2 (ii)], ta có (cid:98)R (cid:99)M = (cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R). p∈AssR M (cid:98)R(H k
m (cid:98)R
m(M ). Do đó (cid:98)p ∈ Att (cid:98)R(H k Ass Ass Do đó (cid:98)p ∈ Ass
(cid:98)R (cid:99)M . Vì dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = k nên theo Hệ quả 1.3.6 ta có
( (cid:99)M ) ∼=
( (cid:99)M )). Ta luôn có đẳng cấu các (cid:98)R-môđun H k
(cid:98)p ∈ Att
m (cid:98)R
H k
m(M )). Theo Bổ đề 1.3.4 ta có p = (cid:98)p ∩ R ∈
AttR(H k
m(M )). Vì thế ak(M ) ⊆ p theo Mệnh đề 1.3.2. Vì dim(R/p) = t và
p ∈ AssR M nên p ∈ AttR(H t
m(M )) theo Hệ quả 1.3.6. Do đó, theo Mệnh
đề 1.3.2 ta có at(M ) ⊆ p. Điều này chứng tỏ p ∈ Var(ak(M )+at(M )), với
k < t (cid:54) d. Từ giả thiết T (M ) = nCM(M ) nên ta có p ∈ nCM(M ). Chú ý rằng p ∈ min AssR M theo giả thiết nên Mp có độ dài hữu hạn. Do đó Mp là môđun Cohen-Macaulay. Điều này mâu thuẫn với p ∈ nCM(M ). Như vậy R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ min AssR M. Để chứng minh R/ AnnR M là catenary phổ dụng, theo Định lý 1.1.8 ta chỉ cần chứng minh R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Var(AnnR M ). Thật vậy, lấy p ∈ Var(AnnR M ). Khi đó tồn tại q ∈ min AssR M sao cho q ⊆ p. Theo chứng minh ở trên, ta có R/q là không
trộn lẫn. Vì R/p đẳng chiều nên theo Định lý 1.1.7(iii), ta có R/p ∼=
(R/q)/(p/q) là tựa không trộn lẫn. Năm 1980, M. Nagata [37] đã đưa ra câu hỏi: Giả sử (R, m) là miền nguyên địa phương Noether không trộn lẫn. Cho p ∈ Spec(R), khi đó R/p có là vành không trộn lẫn? Năm 1983, M. Brodmann và C. Rotthaus [3] 42 đã xây dựng một miền nguyên địa phương Noether (R, m) có chiều 3 thỏa mãn điều kiện (cid:98)R là miền nguyên và tồn tại p ∈ Spec(R), dim(R/p) = 2
và (cid:98)R/p (cid:98)R có iđêan nguyên tố nhúng. Ví dụ này đã đưa ra câu trả lời phủ
định cho câu hỏi của M. Nagata. Trước khi đưa ra điều kiện để R/p là vành không trộn lẫn, chúng ta có kết quả sau liên quan đến điều kiện Serre của môđun M . Đây là kết quả bổ trợ cho việc chứng minh kết quả chính của tiết này. Cho r > 0 là một số nguyên. Nhắc lại rằng môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) nếu depth(Mp) ≥ min{r, dim(Mp)} với mọi p ∈ SuppR(M ). Chú ý rằng môđun M thỏa mãn điều kiện Serre (S1) nếu và chỉ nếu AssR M không có iđêan nguyên tố nhúng tức là AssR M = min AssR M . Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M luôn thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) với mọi r > 0. Bổ đề 2.2.2. Cho r > 0 là một số nguyên. Giả sử M đẳng chiều và R(M ) thỏa mãn R/ AnnR M là catenary. Khi đó M thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) khi và
chỉ khi psdi(M ) (cid:54) i − r với mọi i < d. Hơn nữa, nếu M thỏa mãn điều
kiện (Sr) thì dim(R/p) (cid:54) d − r − 1 với mọi p ∈ nCM(M ). Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn điều kiện (Sr). Ta chứng tỏ rằng
psdi(M ) (cid:54) i − r với mọi i < d. Giả sử trái lại, tồn tại số nguyên
n < d sao cho psdn(M ) > n − r. Lấy p ∈ Psuppn
dim(R/p) = psdn(M ). Theo Định lý 2.1.5(iii) ta có depth(Mp) + dim(R/p) (cid:54) n < d. Do đó 43 depth(Mp) (cid:54) n − dim(R/p) = n − psdn(M ) < n − (n − r) = r theo Định lý 2.1.5(i). Vì M thỏa mãn điều kiện Serre (Sr) nên ta có depth(Mp) = dim(Mp). Theo giả thiết M đẳng chiều và R/ AnnR M là catenary nên depth(Mp) + dim(R/p) = dim(Mp) + dim(R/p) = d. Điều này là vô lý, chứng tỏ psdi(M ) (cid:54) i − r với mọi i < d. Ngược lại, giả sử psdi(M ) (cid:54) i − r với mọi i < d. Ta chứng minh M thỏa mãn điều kiện (Sr). Lấy p ∈ SuppR(M ). Nếu Mp là môđun Cohen-
Macaulay thì rõ ràng M thỏa mãn điều kiện (Sr). Giả sử Mp không là 0(cid:54)i(cid:54)d−1
p ∈ Psuppk R(M )} thì k < d và
R(M ). Theo giả thiết dim(R/p) (cid:54) psdk(M ) (cid:54) k − r. Vì thế, Psuppi môđun Cohen-Macaulay, tức là p ∈ nCM(M ). Theo Hệ quả 2.1.6 ta có
p ∈ (cid:83)
R(M ). Đặt k = min{i | p ∈ Psuppi theo Định lý 2.1.5 (i) ta có depth(Mp) = k − dim(R/p) (cid:62) k − (k − r) = r. Do đó M thỏa mãn điều kiện (Sr). Năm 1982, P. Schenzel [52, Bổ đề 3.2.1] đã chỉ ra rằng nếu R là thương cuả vành Gorenstein địa phương và M đẳng chiều thì M thỏa
mãn điều kiện Serre (Sr) nếu và chỉ nếu dim(R/ai(M )) (cid:54) i − r với mọi
i < d. Bổ đề 2.1.4 và Bổ đề 2.2.2 cho ta thấy kết quả trên vẫn đúng trong trường hợp vành R/ AnnR M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Định lý sau đưa ra một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của vành R/p với p ∈ SuppR(M ). Định lý 2.2.3. Cho r (cid:62) 1 là số nguyên. Giả sử M đẳng chiều và M 44 thỏa mãn điều kiện Serre (Sr). Nếu nCM(M ) = Var(a(M )) thì R/p
không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppR(M ) thỏa mãn dim(R/p) (cid:62) d − r. Chứng minh. Chứng minh bằng qui nạp theo r. Xét trường hợp r = 1. (cid:91) Ta cần chứng minh R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ SuppR(M ) thỏa
mãn dim R/p (cid:62) d − 1. Đặt 0(cid:54)i T (M ) = Var(ai(M ) + aj(M )). (cid:91) Theo Định lý 2.1.5 (ii) và Bổ đề 2.1.3 ta có R(M ) ∩ Psuppj R(M )) ⊆ T (M ) ⊆ Var(a(M )). 0(cid:54)i (Psuppi nCM(M ) = Vì nCM(M ) = Var(a(M )) theo giả thiết nên nCM(M ) = T (M ). Do đó R/ AnnR(M ) là catenary phổ dụng theo Định lý 2.2.1 (ii). Chú ý rằng M đẳng chiều và M thỏa mãn điều kiện Serre (S1) theo giả thiết.
Do đó theo Bổ đề 2.2.2 dim(R/q) (cid:54) d − 2 với mọi q ∈ nCM(M ). Lấy
p ∈ SuppR(M ) sao cho dim(R/p) (cid:62) d − 1. Ta xét 2 trường hợp sau.
Trường hợp 1. Giả sử dim(R/p) = d. Khi đó p ∈ min AssR M . Vì thế R/p là không trộn lẫn theo Định lý 2.2.1(ii). Trường hợp 2. Giả sử dim(R/p) = d − 1. Vì M thỏa mãn điều kiện Serre (S1) nên AssR M = min AssR M. Do đó dim(R/q) = d với mọi q ∈
AssR M . Do đó p (cid:42) q với mọi q ∈ AssR M . Vì thế tồn tại x ∈ p sao cho x
là phần tử chính qui của M . Ta chứng minh rằng R/p là không trộn lẫn. (cid:91) Thật vậy, giả sử trái lại, R/p là trộn lẫn. Khi đó tồn tại (cid:98)p ∈ Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R)
sao cho dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = k < d − 1. Vì x ∈ p và dim(R/p) = dim(M/xM )
nên p ∈ min(AssR(M/xM )). Theo [33, Định lý 23.2 (ii)], ta có (cid:98)R( (cid:99)M /x (cid:99)M ) = q∈AssR(M/xM ) Ass Ass( (cid:98)R/q (cid:98)R). (cid:98)R( (cid:99)M /x (cid:99)M ). Từ dãy khớp Do đó (cid:98)p ∈ Ass 45 0 → M x→ M → M/xM −→ 0, ta có dãy khớp cảm sinh m(M )/xH k m(M ) → H k m(M/xM ) −→ 0 :H k+1 m (M ) x → 0. (cid:98)R( (cid:99)M /x (cid:99)M ) và dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = k nên (cid:98)p ∈ Att (cid:98)R(H k
( (cid:99)M /x (cid:99)M ))
m (cid:98)R
m(M/xM )) theo Bổ đề 0 → H k (1) (cid:0)H k p ∈ AttR m(M )/xH k m(M )(cid:1) ∪ AttR(0 :H k+1 m (M ) x). m(M )/xH k m(M )(cid:1) thì p ∈ AttR(H k m (M ) x) thì p ∈ Var(Ann(0 :H k+1 (cid:0)H k
Nếu p ∈ AttR
m(M )). Do đó p ∈
Var(ak(M )). Nếu p ∈ AttR(0 :H k+1
m (M ) x)).
Do đó p ∈ Var(ak+1(M )). Vì thế p ∈ Var(ak(M )) ∪ Var(ak+1(M )). Do Vì (cid:98)p ∈ Ass
theo Hệ quả 1.3.6. Do đó p = (cid:98)p ∩ R ∈ AttR(H k
1.3.4. Vì vậy, từ dãy khớp (1) ta có k < d − 1 nên p ∈ Var(a(M )). Do đó, p ∈ nCM(M ) theo giả thiết. Điều này mâu thuẫn với dim(R/p) = d − 1. Do đó khẳng định được chứng minh với r = 1. Giả sử r > 1 và kết quả đúng với mọi R-môđun hữu hạn sinh L đẳng chiều thỏa mãn điều kiện Serre (Sr−1) và nCM(L) = Var(a(L)).
Lấy p ∈ SuppR(M ) thỏa mãn dim(R/p) (cid:62) d − r. Nếu dim(R/p) = d
thì R/p không trộn lẫn theo Định lý 2.2.1 (ii). Giả sử dim(R/p) < d. Vì dim(R/q) = d với mọi q ∈ AssR M nên p (cid:54)⊆ q với mọi q ∈ AssR M. Do đó tồn tại x ∈ p sao cho x là phần tử chính qui của M . Lấy q ∈ SuppR(M/xM ). Vì M thỏa mãn điều kiện (Sr) và x là phần tử Mq-chính
qui nên ta có depth(M/xM )q = depth(Mq) − 1 ≥ min{dim(M/xM )q, r − 1}. Vậy M/xM thỏa mãn điều kiện Serre (Sr−1). Lấy q ∈ min AssR(M/xM ). Khi đó qRq ∈ AssRq(M/xM )q. Do đó depth(Mq) = 1. Do r > 1 nên M
thỏa mãn điều kiện Serre (S2). Vì thế dim(Mq) = 1. Theo chứng minh 46 phần trên nCM(M ) = T (M ). Do đó R/ Ann M là catenary theo Định lý 2.2.1(ii). Vì M đẳng chiều và R/ AnnR M là catenary nên dim Mq + dim R/q = d. Do đó dim(R/q) = d − 1. Vì thế M/xM đẳng chiều. Theo Định lý q ∈ Var(a(M/xM )). Khi đó tồn tại k < d − 1 để q ∈ Var(ak(M/xM )). 2.1.5 (ii) và Bổ đề 2.1.3 ta có nCM(M/xM ) ⊆ Var(a(M/xM )). Lấy Do đó từ dãy khớp (1) ta có tồn tại k < d để q ∈ Var(ak(M )). Điều này dẫn đến q ∈ Var(a(M )). Vì thế theo giả thiết ta có q ∈ nCM(M ), tức là Mq không là môđun Cohen-Macaulay. Vì x là Mq chính qui nên Mq/xMq không là Cohen-Macaulay. Do đó (M/xM )q không là môđun Cohen-Macaulay, tức là q ∈ nCM(M/xM ). Vì thế nCM(M/xM ) = Var(a(M/xM )). Chú ý rằng p ∈ SuppR(M/xM ) và dim(R/p) ≥ d − r = dim(M/xM ) − (r − 1). Bây giờ áp dụng giả thiết qui nạp với môđun M/xM , ta có R/p là không trộn lẫn. Định lý được hoàn toàn chứng minh. Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay đã được nghiên cứu bởi N. T. Cường [10], [11]. Ông đã chứng minh rằng chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay có liên quan chặt chẽ đến kiểu đa thức và chiều của các môđun đối đồng điều địa phương. Mục tiêu của tiết này là mở rộng một số kết quả đã được chỉ ra bởi N. T. Cường [10], [11] về mối quan hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay với kiểu đa thức 47 và chiều của các môđun đối đồng điều địa phương. Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm kiểu đa thức được giới thiệu bởi N. T. Cường [11]. Cho x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của M và n = (n1, . . . , nd) là một bộ d số nguyên dương. Đặt 1 , . . . , xnd d )M (cid:1) − n1 . . . nde(x; M ). IM,x(n) := (cid:96)(cid:0)M/(xn1 Nhìn chung IM,x(n) không phải là đa thức khi n1, . . . , nd (cid:29) 0 (xem [23]). Tuy nhiên, IM,x(n) luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi các đa thức, chẳng hạn n1...ndI(x; M )) (xem [11, Hệ quả 2.2]). Chú ý rằng, bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm IM,x(n) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x (xem [11, Định lý 2.3]). Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây. Định nghĩa 2.3.1. (Xem [11, Định nghĩa 2.4]) Bậc bé nhất của tất cả đa thức chặn trên hàm IM,x(n) là một bất biến của M (không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x). Bất biến này được gọi là kiểu đa thức của M và ký hiệu là p(M ). Kiểu đa thức của môđun có thể cho ta biết nhiều thông tin về cấu trúc của môđun đó. Chẳng hạn, nếu qui ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1 và M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0. Vì thế kiểu đa thức của một môđun có thể coi như là một độ đo tốt xem môđun đó gần với tính Cohen-Macaulay như thế nào. Sau đây là một số tính chất về kiểu đa thức cần cho việc chứng minh kết quả chính của tiết (xem [11, Bổ đề 2.6], [11, Định lý 3.1], [11, Định lý 3.3]). Định lý 2.3.2. (i) p(M ) = p( (cid:99)M ).
(ii) p(M ) ≤ dim(R/a(M )). (iii) Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương. Khi đó ta có p(M ) = dim(R/a(M )). Nếu thêm điều kiện M đẳng chiều thì p(M ) = 48 dim nCM(M ). Ký hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều bé hơn d. p∈AssR M N (p) là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con Đặt 0 = (cid:84) (cid:84) 0 của M . Đặt (AssR M )d = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}. Khi đó p∈(AssR M )d N (p). Kết quả sau đây là hiển nhiên. UM (0) = Bổ đề 2.3.3. (i) AssR UM (0) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) < d}. (ii) AssR(M/UM (0)) = (AssR M )d. Định lý 2.3.2 cho ta thấy khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương và môđun M đẳng chiều thì chiều của quỹ tích không Cohen- Macaulay có mối quan hệ chặt chẽ với kiểu đa thức và chiều của các môđun đối đồng điều địa phương. Kết quả sau của chúng tôi mở rộng các mối quan hệ trên trong trường hợp vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và môđun M bất kỳ (không nhất thiết đẳng chiều). Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay thì nCM(M ) = ∅ và UM (0) = 0. Do đó, trong trường hợp M trộn lẫn, để đo tính chất của M gần với tính Cohen-Macaulay như thế nào, chúng ta cần xác định đồng thời chiều của nCM(M ) và chiều của UM (0). Nhìn chung nCM(M ) của M không là tập con đóng của Spec(R) với tôpô Zariski, nhưng nó luôn ổn định với phép đặc biệt hóa. Vì thế, chúng ta đặt dim nCM(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ nCM(M )}. Định lý 2.3.4. Ta luôn có dim(R/a(M )) ≥ p(M ) ≥ max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Các đẳng thức xảy ra với mọi môđun M khi và chỉ khi R là catenary phổ 49 dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Chứng minh. Theo Định lý 2.3.2(ii) ta có dim(R/a(M )) ≥ p(M ). Ta chứng minh p(M ) ≥ max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Thật vậy, lấy p ∈ nCM(M ) sao cho dim(R/p) = dim nCM(M ). Khi đó tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R) sao cho dim(R/p) = dim( (cid:98)R/P ).
∼= Mp ⊗Rp (cid:99)RP . Vì Rp → (cid:99)RP là
Ta luôn có đẳng cấu (cid:99)RP -môđun (cid:100)MP
đồng cấu phẳng nên theo [6, Mệnh đề 1.2.16] và [6, Định lý A.11] ta có depth (cid:100)MP = depth Mp + depth (cid:99)RP /p (cid:99)RP và dim (cid:100)MP = dim Mp +
dim (cid:99)RP /p (cid:99)RP . Vì Mp không là môđun Cohen-Macaulay nên depth (cid:100)MP <
dim (cid:100)MP . Do đó (cid:99)MP không là môđun Cohen-Macaulay. Vì thế P ∈
nCM( (cid:99)M ). Điều này dẫn đến dim nCM(M ) (cid:54) dim nCM( (cid:99)M ). Vì vậy, theo
Định lý 2.3.2 ta có (cid:98)R U (cid:99)M (0) = k. Khi đó tồn tại P ∈ Ass p(M ) = p( (cid:99)M ) = dim( (cid:98)R/a( (cid:99)M )) ≥ dim nCM( (cid:99)M ) ≥ dim nCM(M ). (cid:99)M (0) là môđun con lớn nhất của (cid:99)M có chiều bé hơn d. Khi đó
Ký hiệu U
(cid:92)UM (0) ⊆ U
(cid:99)M (0)
(cid:99)M (0). Giả sử dim U
(cid:98)R( (cid:99)M ) và k < d theo Bổ đề 2.3.3.
thỏa mãn dim( (cid:98)R/P ) = k. Do đó P ∈ Ass
Do đó P ∈ Psuppk
( (cid:99)M )
(cid:98)R (cid:98)R H k
m (cid:98)R ( (cid:99)M ) theo Bổ đề 2.1.2(ii). Vì thế P ⊇ Ann theo Bổ đề 2.1.3. Vì k < d nên theo Định lý 2.3.2 ta có (cid:98)R/ Ann (cid:98)R H k
m (cid:98)R p( (cid:99)M ) ≥ dim (cid:0) ( (cid:99)M )(cid:1) ≥ dim( (cid:98)R/P ) = k. Vì thế, ta có (cid:99)M (0) ≥ dim (cid:92)UM (0) = dim UM (0). p(M ) = p( (cid:99)M ) ≥ k = dim U Do đó p(M ) ≥ max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Vậy 50 dim(R/a(M )) ≥ p(M ) ≥ max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Bây giờ chúng ta chứng minh vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu dim(R/a(M )) = p(M ) = max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. m (cid:98)R Thật vậy, giả sử R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-
m(M ) ∼=
Macaulay. Chú ý rằng ta luôn có đẳng cấu của các (cid:98)R-môđun H i
H i ( (cid:99)M ) với mọi i ≥ 0. Do đó, theo Định lý 2.3.2 ta có (cid:98)R/ Ann m(M )(cid:1). (cid:98)R H i dim (cid:0) p(M ) = p( (cid:99)M ) = dim( (cid:98)R/a( (cid:99)M )) = max
i m(M )) với mọi R(M ) = Var(AnnR H i Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay
nên theo Bổ đề 2.1.4(ii) ta có Psuppi i ≥ 0. Vì vậy, theo [20, Mệnh đề 2.4] ta có (cid:98)R/ Ann (cid:98)R H i
(cid:54) dim(R/ AnnR H i m(M )(cid:1)
m(M )) (cid:54) psdi(M ). psdi(M ) (cid:54) psdi( (cid:99)M ) = dim (cid:0) Điều này dẫn đến p(M ) = dim(R/a(M )). Ta chứng minh p(M ) (cid:54) max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Thật vậy, đặt p(M ) = t. Vì p(M ) = dim(R/a(M )) nên tồn tại số nguyên i < d thỏa mãn dim(R/ai(M )) = t. Lấy p ∈ min Var(ai(M )) sao cho R M . Do đó p ∈ Psuppj 51 dim(R/p) = t. Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là
Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.1.4(ii) ta có p ∈ min Psuppi
R(M ). Do
đó t (cid:54) psdi(M ) (cid:54) i < d theo Bổ đề 2.1.2(i). Giả sử p ∈ min AssR M.
Vì t < d nên theo Bổ đề 2.3.3 ta có p ∈ AssR UM (0). Điều này dẫn đến
t (cid:54) dim UM (0). Giả sử p /∈ min AssR M. Vì p ∈ SuppR(M ) nên tồn tại
q ∈ min AssR M thỏa mãn q ⊆ p. Đặt dim(R/q) = j. Khi đó, theo Bổ
đề 2.1.2(ii) ta có q ∈ Psuppj
R(M ) theo Bổ đề R(M ) ∩ Psuppj R(M ). Vì p /∈ min AssR M và
R(M ) nên p /∈
R(M ) nên j (cid:54)= i. Do đó p ∈ nCM(M ) R(M ). Vì p ∈ min Psuppi 2.1.4(i). Vì vậy p ∈ Psuppi
q ∈ min AssR M nên q (cid:54)= p. Mặt khác, do q, p ∈ Psuppj
min Psuppj
theo Định lý 2.1.5. Điều này dẫn đến t (cid:54) dim nCM(M ). Vì thế p(M ) (cid:54) max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Theo chứng minh phần trên p(M ) ≥ max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Vậy p(M ) = max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Ngược lại, giả sử với mọi môđun hữu hạn sinh M ta có dim(R/a(M )) = p(M ) = max{dim nCM(M ), dim UM (0)}. Lấy p ∈ Spec(R). Đặt dim(R/p) = n. Đặt ai = AnnR(H i
m(R/p)) với
mọi i (cid:54) n − 1 và a = a0 . . . an−1. Vì dim Rp/pRp = 0 nên (R/p)p là
Cohen-Macaulay. Do đó p /∈ nCM(R/p). Vì thế dim nCM(R/p) < n. Chú ý rằng 0 là môđun con lớn nhất của R/p có chiều bé hơn n. Do đó dim(R/a) = dim nCM(R/p) < n theo giả thiết. Do đó a (cid:54)⊆ p. Vì thế, tồn m(R/p) = 0
với mọi i < n. Điều này có nghĩa là R/p có một chặn đều cho linh hóa tại x ∈ a \ p. Khi đó x là phần tử tham số của R/p và xH i tử đối đồng điều địa phương. Vì thế R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay theo [21, Hệ quả 4.3(i)⇔ (iii)]. Định lý được chứng minh. Giả sử M là đẳng chiều. Nếu p ∈ AssR UM (0) thì dim(R/p) < d. Do đó p là iđêan nguyên tố nhúng của M . Vì thế dim Mp > 0. Vì p ∈ AssR M nên pRp ∈ AssRp(Mp) . Do đó depth Mp = 0. Suy ra p ∈ nCM(M ). Do đó
dim nCM(M ) (cid:62) dim UM (0). Vì vậy max{dim nCM(M ), dim UM (0)} =
dim nCM(M ). Do đó, theo Định lý 2.3.4 và lập luận tương tự như phần 52 cuối của Định lý 2.3.4 ta có kết quả sau. Hệ quả 2.3.5. R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay khi và chỉ khi dim(R/a(M )) = p(M ) = dim nCM(M ) với mọi môđun M đẳng chiều. Kết luận Chương 2 Trong chương này, chúng tôi đã thu được các kết quả sau đây. - Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá. - Chỉ ra quan hệ giữa tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính đóng của các tập giả giá. - Nghiên cứu mối quan hệ của quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenary của vành, các điều kiện Serre trên M và tính không trộn lẫn của vành R/p với p ∈ SuppR(M ).
- Mở rộng một số kết quả đã biết về chiều của quỹ tích không Cohen- 53 Macaulay. Trong suốt chương này, ta luôn xét (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng được N. T. Cường- P. Schenzel- N. V. Trung giới thiệu và nghiên cứu trong [50] là mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay. Cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã được làm rõ thông qua địa phương hóa, đầy đủ hóa, lí thuyết môđun đối đồng điều địa phương, lí thuyết bội (xem [49], [50]). Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun hữu hạn sinh. Để nghiên cứu quỹ tích này, trước hết chúng tôi giới thiệu khái niệm giá suy rộng và nghiên cứu một số tính chất của nó. Tiếp theo chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua các giá suy rộng và xét tính đóng của quỹ tích. Sử dụng các kết quả về quỹ tích không Cohen- Macaulay trong Chương 2 và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng trong Chương này, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Nội dung của 54 chương này được trình bày dựa theo bài báo [39]. Trong tiết này, chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu một số tính chất của giá suy rộng trong mối liên hệ với giả giá, tính catenary của vành, chuyển qua đầy đủ m-adic và địa phương hóa. R(M ), được cho bởi công thức Định nghĩa 3.1.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giá suy rộng thứ i của
M , ký hiệu là Lsuppi R(M ) = {p ∈ Spec(R) | (cid:96)Rp (cid:0)H i−dim(R/p)
pRp Lsuppi (Mp)(cid:1) = ∞}. Sau đây là mối quan hệ giữa giá suy rộng và giả giá. Bổ đề 3.1.2. Nếu R là catenary thì R(M ) \ min Psuppi R(M ) ⊆ Lsuppi R(M ). Psuppi R(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa. R(M ). Khi đó tồn tại
R(M ) nên R(M ) \ min Psuppi
R(M ) sao cho q ⊂ p và q (cid:54)= p. Vì q ∈ Psuppi Đặc biệt Lsuppi qRq Chứng minh. Lấy p ∈ Psuppi
q ∈ min Psuppi
H i−dim(R/q) (Mq) (cid:54)= 0. Vì R là catenary nên dim R/q = dim R/p + ht p/q = dim R/p + dim(Rp/qRp). ∼= qRq. Do đó Ta luôn có (Mp)qRp ∼= Mq và q(Rp)qRp q(Rp)qRp (Mq) ∼= H i−dim(R/p)−dim(Rp/qRp) (Mp)qRp. 0 (cid:54)= H i−dim(R/q)
qRq Rp (Mp). Theo Bổ đề 2.1.3 ta có pRp (Mp). Mặt khác, vì q (cid:54)= p nên Điều này dẫn đến qRp ∈ Psuppi−dim(R/p)
qRp ⊇ AnnRp H i−dim(R/p) pRp (Mp)(cid:1) > 0. dim (cid:0)Rp/ AnnRp H i−dim(R/p) (cid:0)H i−dim(R/p)
pRp (Mp)(cid:1) = ∞, tức là R(M ). 55 Vì vậy, theo [18, Mệnh đề 2.4] ta có (cid:96)Rp
p ∈ Lsuppi R(M ) \ min Psuppi R(M ) và vì thế p ∈ Psuppi Lấy q ⊆ p, q (cid:54)= p là các iđêan nguyên tố sao cho q ∈ Lsuppi R(M ).
R(M ). Vì R là catenary nên theo Bổ đề 2.1.4(i) ta
R(M ). Do đó
R(M ) R(M ) theo bao hàm thức vừa chứng minh. Vì vậy, Lsuppi Khi đó q ∈ Psuppi
có p ∈ Psuppi
p ∈ Lsuppi ổn định với phép đặc biệt hóa. Phát biểu ngược lại của Bổ đề 3.1.2 là không đúng. Xét (R, m) là pRp miền nguyên chiều 2 được xây dựng bởi D. Ferrand and M. Raynaud ( (cid:98)R) (cid:54)= 0. Vì H 1 m (cid:98)R ( (cid:98)R) nên H 1 (cid:0)H 1
m (cid:98)R [22] thỏa mãn tính chất tồn tại iđêan nguyên tố nhúng (cid:98)q ∈ Ass (cid:98)R với
dim (cid:98)R/(cid:98)q = 1. Khi đó R là catenary. Ta chỉ ra rằng Psupp1(R) = {m}
and Lsupp1(R) = {m}. Thật vậy, vì R là miền nguyên nên Ass R =
{0}. Lấy p ∈ Psupp1(R). Khi đó dim R/p (cid:54) 1. Nếu dim R/p = 1 thì
H 0
(Rp) (cid:54)= 0. Do đó p ∈ Ass R. Điều này là vô lý. Nếu dim R/p = 0
m(R) ∼=
thì p = m. Vì (cid:98)q ∈ Ass (cid:98)R và dim (cid:98)R/(cid:98)q = 1 nên H 1
m (cid:98)R
m(R) (cid:54)= 0. Vì thế m ∈ Psupp1(R). Lấy p ∈ Lsupp1(R).
H 1
Khi đó dim R/p (cid:54) 1. Lập luận tương tự như trên ta có dim R/p (cid:54)= 1.
( (cid:98)R)(cid:1). Do đó (cid:98)q ∩ R ∈ Vì (cid:98)q ∈ Ass (cid:98)R và dim (cid:98)R/(cid:98)q = 1 nên (cid:98)q ∈ Att
(cid:98)R
AttR(H 1
m(R)) theo Bổ đề 1.3.4. Chú ý rằng m(R)). Vì thế
m(R)) = ∞ theo [4, Hệ quả 7.2.12]. m(R)) (cid:54)= {m}. Do đó (cid:96)(H 1 Ass R = {(cid:98)p ∩ R | (cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R} theo [32, Mệnh đề 9.A]. Do đó 0 = (cid:98)q ∩ R ∈ AttR(H 1
AttR(H 1
Vì thế m ∈ Lsupp1(R). Kết quả sau cho ta mối quan hệ giữa giá suy rộng với các tập giả giá và tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa m(M ). phương H i Bổ đề 3.1.3. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó m(M ). R(M ) ⊆ Psuppi R(M ) \ min AttR H i 56 Lsuppi Hơn nữa, nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay thì R(M ) \ min Psuppi R(M ) = Lsuppi
= Psuppi m(M ). R(M )
R(M ) \ min AttR H i Psuppi R(M ). Khi đó ta có p ∈ Psuppi R(M ). Vì Chứng minh. Lấy p ∈ Lsuppi (cid:0)H i−dim(R/p)
pRp (Mp)(cid:1) = ∞ nên theo [18, Mệnh đề 2.4] ta có (cid:96)Rp pRp (Mp)(cid:1) > 0. dim (cid:0)Rp/ AnnRp H i−dim(R/p) pRp m(M ) theo Định lý 1.3.5 và vì
m(M ). Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
R(M ) = (Mp) thỏa mãn dim(Rp/qRp) > 0 m(M ). Vì thế Do đó tồn tại qRp ∈ AttRp H i−dim(R/p)
và q ⊂ p, q (cid:54)= p. Do đó q ∈ AttR H i
thế p /∈ min AttR H i
thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.1.4(ii) ta có Psuppi
Var(AnnR H i m(M ). R(M ) = min AttR H i min Psuppi Do đó, theo Bổ đề 3.1.2 ta có R(M ) \ min Psuppi R(M ) = Lsuppi
= Psuppi m(M ). R(M )
R(M ) \ min AttR H i Psuppi Bổ đề được hoàn toàn chứng minh. Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay thì theo [1, Mệnh đề 3.2] ta có R(M ) = (cid:8)P ∩ R | P ∈ Psuppi
(cid:98)R Psuppi ( (cid:99)M )(cid:9). Kết quả tương tự không đúng đối với giá suy rộng. Tuy nhiên chúng ta 57 có bao hàm thức sau đây. Bổ đề 3.1.4. Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì R(M ) ⊆ (cid:8)P ∩ R | P ∈ Lsuppi
(cid:98)R Lsuppi ( (cid:99)M )(cid:9). R(M ). Khi đó theo Bổ đề 3.1.3 ta có p ∈ Psuppi R(M ) \ min Psuppi R(M ). Chứng minh. Lấy p ∈ Lsuppi pRp Lấy P ∈ Ass( (cid:98)R/p (cid:98)R) thỏa mãn dim(R/p) = dim( (cid:98)R/P ). Khi đó ta có
R(M ) nên H i−dim(R/p)
P ∩ R = p. Vì p ∈ Psuppi
(Mp) (cid:54)= 0. Do đồng cấu tự nhiên Rp → (cid:98)RP là phẳng nên theo Định lý 1.2.4 ta có pRp P (cid:98)RP H i−dim( (cid:98)R/P ) (Mp) (cid:54)= 0. ( (cid:99)MP ) ∼= (cid:98)RP ⊗ H i−dim(R/p) Điều này dẫn đến P ∈ Psuppi
(cid:98)R
q ∈ min Psuppi ( (cid:99)M ). Do p /∈ min Psuppi
R(M ) nên tồn tại
R(M ) thỏa mãn q ⊂ p và q (cid:54)= p. Vì đồng cấu tự nhiên
R → (cid:98)R thỏa mãn tính chất đi xuống theo [33, Định lý 9.5] nên tồn tại
iđêan nguyên tố Q ⊂ P thỏa mãn ht(P/Q) ≥ ht(p/q) và Q ∩ R = q. Do R là catenary nên dim(R/q) ≥ dim( (cid:98)R/Q) = dim( (cid:98)R/P ) + ht(P/Q) ≥ dim(R/p) + ht(p/q) = dim(R/q). qRq Q (cid:98)RQ (Mq) (cid:54)= 0 và ( (cid:99)MQ) (cid:54)= 0, do đó
( (cid:99)M ). Vì ( (cid:99)M ). Vì q (cid:54)= p nên Q (cid:54)= P . Do đó P /∈ min Psuppi
(cid:98)R ( (cid:99)M ) theo Bổ đề 3.1.3. Suy ra dim(R/q) = dim( (cid:98)R/Q). Mặt khác, vì H i−dim(R/q)
đồng cấu tự nhiên Rq → (cid:98)RQ là phẳng nên H i−dim( (cid:98)R/Q)
Q ∈ Psuppi
(cid:98)R
vậy P ∈ Lsuppi
(cid:98)R Ví dụ sau chỉ ra rằng chiều ngược lại của Bổ đề 3.1.4 là không đúng. Ví dụ 3.1.5. Cho t > 0 là một số nguyên. Khi đó tồn tại một vành địa 58 phương Noether (R, m) sao cho nó là thương của vành địa phương chính (cid:98)RP ( (cid:98)R/p (cid:98)R). Vì thế, theo Bổ đề 3.1.3 ta có qui và thỏa mãn điều kiện tồn tại p ∈ Spec(R), P ∈ Spec( (cid:98)R) sao cho
P ∩ R = p và dim( (cid:98)RP /p (cid:98)RP ) = t. Lấy Q (cid:98)RP ∈ Ass
( (cid:98)RP /p (cid:98)RP ) thỏa mãn
(cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R), Q ⊂ P . Hơn nữa, Q (cid:54)= P
dim( (cid:98)RP /Q (cid:98)RP ) = t. Khi đó Q ∈ Ass
vì t > 0. Đặt dim( (cid:98)R/Q) = k. Khi đó Q ∈ Psuppk
( (cid:98)R/p (cid:98)R) theo Bổ đề
(cid:98)R
2.1.2. Điều này dẫn đến P ∈ Psuppk
( (cid:98)R/p (cid:98)R) theo Bổ đề 2.1.4. Do đó
(cid:98)R
P /∈ min Psuppk
(cid:98)R (cid:98)R( (cid:98)R/p (cid:98)R) nên Q ∩ R = p. Vì Q ∈ Psuppk
(cid:98)R
R(R/p) theo [1, Mệnh đề 3.2]. Do đó p ∈ min Psuppk ( (cid:98)R/p (cid:98)R). P ∈ Psuppk
(cid:98)R ( (cid:98)R/p (cid:98)R) \ min Psuppk
(cid:98)R ( (cid:98)R/p (cid:98)R) = Lsuppk
(cid:98)R ( (cid:98)R/p (cid:98)R) nên p ∈
R(R/p). Vì
R(R/p). Đặt M := R/p. Khi đó R(M ). ( (cid:99)M ) và P ∩ R = p mà p /∈ Lsuppk Vì Q ∈ Ass
Psuppk
vậy, theo Bổ đề 3.1.3 ta có p /∈ Lsuppk
P ∈ Lsuppk
(cid:98)R Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa giá suy rộng của M và giá suy rộng của địa phương hóa của nó. Mệnh đề 3.1.6. Giả sử R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Khi đó với mọi p ∈ SuppR(M ) ta có R(M ), q ⊆ p(cid:9). (Mp) = (cid:8)qRp | q ∈ Lsuppi Lsuppi−dim(R/p)
Rp Chứng minh. Do R là catenary nên theo [1, Bổ đề 2.1] ta có R(M ), q ⊆ p(cid:9) (Mp) = (cid:8)qRp | q ∈ Psuppi Psuppi−dim(R/p)
Rp Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên theo [1, Định lý 1.2(i)] ta có m(M ), q ⊆ p(cid:9) (cid:0)H i−dim R/p
pRp (Mp)(cid:1) = (cid:8)qRp | q ∈ min AttR H i min AttRp Rp (Mp). Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ qRp ∈ Psuppi−dim(R/p) Lấy qRp ∈ Lsuppi−dim(R/p)
hình thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 3.1.3, ta có pRp Rp 59 (Mp). (Mp) \ min AttRp H i−dim(R/p) Rp (Mp) nên từ đẳng thức thứ nhất ta có q ∈ R(M ). Vì qRp /∈ min AttRp H i−dim(R/p) (Mp) nên từ đẳng thức thứ pRp
m(M ). Do đó q ∈ Lsuppi Vì qRp ∈ Psuppi−dim(R/p)
Psuppi
hai ta có q /∈ min AttR H i R(M ) theo Bổ đề 3.1.3.
R(M ) và q ⊆ p. Khi đó theo Bổ đề 3.1.3 Ngược lại, lấy q ∈ Lsuppi q ∈ Psuppi m(M ). R(M ) \ min AttR H i ta có Rp Điều này dẫn đến qRp ∈ Psuppi−dim(R/p) (Mp) theo [1, Bổ đề 2.1]. Vì thế q(Rp)qRp H i−dim(R/p)−dim(Rp/qRp) (Mp)qRp (cid:54)= 0. Vì R là catenary nên dim R/q = dim R/p + ht p/q = dim R/p + dim Rp/qRp. ∼= qRq. Do đó Ta luôn có (Mp)qRp ∼= Mq và q(Rp)qRp q(Rp)qRp H i−dim(R/p)−dim(Rp/qRp) (Mq). (Mp)qRp ∼= H i−dim(R/q)
qRq qRq
(Mq) có độ dài vô hạn (Mq) qRq (Mq) (cid:54)= 0. Chú ý rằng qRq /∈ min AttRq H i−dim(R/q)
m(M ). Do đó, ta có H i−dim(R/q) q(Rp)qRp (Mp)qRp có độ dài Rp (Mp). Vì thế H i−dim(R/q)
qRq
vì q /∈ min AttR H i
theo [4, Hệ quả 7.2.12] và do đó H i−dim(R/p)−dim(Rp/qRp)
vô hạn. Điều này suy ra qRp ∈ Lsuppi−dim(R/p) Trong tiết này, chúng tôi sử dụng các giá suy rộng để miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng và nghiên cứu tính đóng của nó trong mối quan hệ với kiểu đa thức. Sử dụng các kết quả của quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, chúng tôi miêu tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không 60 Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Định nghĩa 3.2.1. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M , kí hiệu nGCM(M ), là tập tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ SuppR(M ) sao
cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (cid:91) Định lý sau đây là kết quả chính của Chương. R(M ) ∩ Lsuppj R(M )). Hơn 1(cid:54)i (Lsuppi Định lý 3.2.2. nGCM(M ) = (cid:91) nữa, nếu M là đẳng chiều và R là catenary thì R(M ). 1(cid:54)i (cid:0)H t Lsuppi nGCM(M ) = pRp Chứng minh. Lấy p ∈ nGCM(M ). Khi đó tồn tại 1 (cid:54) t < dim Mp thỏa
(Mp)(cid:1) = ∞. Đặt i = t + dim(R/p). Khi đó
mãn (cid:96)Rp (cid:0)H i−dim(R/p)
pRp R(M ). Đặt k = dim Mp. Khi đó t < k. Theo Định lý (Mp)(cid:1) = ∞. (cid:96)pRp pRp (cid:0)H k Do đó p ∈ Lsuppi
1.3.7 ta có H k (Mp) (cid:54)= 0 và pRp (Mp)(cid:1) = (cid:8)qRp ∈ AssRp(Mp) | dim(Rp/qRp) = k(cid:9). AttRp Do đó pRp (Mp)(cid:1) = k. dim (cid:0)R/ AnnRp H k (cid:0)H k pRp (cid:0)H j−dim(R/p) Chú ý rằng các môđun chiều 1 luôn là Cohen-Macaulay suy rộng. Vì pRp p ∈ nGCM(M ), tức là Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng
(Mp)(cid:1) = ∞. Đặt j =
nên k (cid:62) 2. Theo [18, Mệnh đề 2.4] ta có (cid:96)Rp
R(M )
k +dim(R/p). Khi đó (cid:96)Rp
và suy ra p ∈ Lsuppi R(M ) ∩ Lsuppj R(M ). (Mp)(cid:1) = ∞. Do đó p ∈ Lsuppj (cid:91) Vì 1 (cid:54) t < k (cid:54) d nên 1 (cid:54) i < j (cid:54) d. Do đó R(M ) ∩ Lsuppj R(M )). 1(cid:54)i 61 nGCM(M ) ⊆ (Lsuppi R(M )∩Lsuppj R(M ) với 1 (cid:54) i < j (cid:54) d. Khi
(Mp)(cid:1) = ∞. Theo Định lý 1.2.5, ta có j − dim(R/p) (cid:54) pRp Ngược lại, lấy p ∈ Lsuppi
(cid:0)H j−dim(R/p) đó (cid:96)Rp
dim Mp. Do đó i − dim(R/p) < dim Mp. (cid:0)H i−dim(R/p)
pRp (Mp)(cid:1) = ∞. Điều này suy ra Mp không là (cid:91) Chú ý rằng (cid:96)Rp
môđun Cohen-Macaulay suy rộng, tức là p ∈ nGCM(M ). Do đó R(M ) ∩ Lsuppj R(M )) ⊆ nGCM(M ). 1(cid:54)i (Lsuppi R(M ). Khi đó (cid:96)Rp và p ∈ Lsuppi Giả sử M đẳng chiều và R là catenary. Lấy i ≥ 0 là một số nguyên
(Mp)(cid:1) = ∞. Do đó (cid:96)Rp(Mp) =
(cid:0)H i−dim(R/p)
pRp
∞. Vì Mp (cid:54)= 0 nên p ∈ Var(AnnR M ). Vì (cid:96)Rp(Mp) = ∞ nên dim Mp > 0.
Do đó tồn tại qRp ∈ AssRp(Mp), q ⊂ p, q (cid:54)= p. Do đó q ∈ Var(AnnR(M )).
Vì thế p ∈ Var(AnnR M ) \ min Var(AnnR M ). Do đó R(M ) ⊆ Var(AnnR M ) \ min Var(AnnR M ). Lsuppi R(M ) = Var(AnnR M ). Do Vì R là catenary và M đẳng chiều nên Psuppd R(M ) R(M ) \ min Psuppd đó theo bổ đề 3.1.2 ta có R(M ). Var(AnnR M ) \ min Var(AnnR M ) = Psuppd
⊆ Lsuppd R(M ) ⊆ Lsuppd R(M ) với mọi i < d. Từ (i) ta có (cid:91) Vì vậy, Lsuppi R(M ). 1(cid:54)i nGCM(M ) = Lsuppi Định lý được chứng minh hoàn toàn. Vì nGCM(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa nên chúng ta có thể định nghĩa chiều của nó như sau: dim nGCM(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ nGCM(M )}. 62 Kết quả dưới đây cho ta mối quan hệ giữa nGCM(M ) và nCM(M ). Hệ quả 3.2.3. Giả sử M không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó các phát biểu sau là đúng. (i) Nếu R là catenary thì nGCM(M ) ∪ min nCM(M ) ⊇ nCM(M ). (ii) Nếu R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay và M đẳng chiều thì nGCM(M ) = nCM(M ) \ min nCM(M ). Trong trường hợp này dim nGCM(M ) = dim nCM(M ) − 1 = p(M ) − 1. R(M ) và p /∈ min Psuppj Chứng minh. (i) Lấy p ∈ nCM(M ). Giả sử p /∈ min nCM(M ). Khi đó R(M ) ∩ Lsuppj R(M ) theo Định lý 2.1.5. Vì
R(M ) và Psuppj
R(M )
R(M ) ∩ Psuppj
R(M ).
R(M ). Vì thế
R(M ) theo Bổ đề 3.1.2. Do đó p ∈ nGCM(M ) tồn tại q ∈ min nCM(M ) thỏa mãn p ⊃ q và p (cid:54)= q. Do đó tồn tại
R(M ) ∩ Psuppj
i < j (cid:54) d thỏa mãn q ∈ Psuppi
R là catenary nên theo Bổ đề 2.1.4(i) ta có Psuppi
ổn định với phép đặc biệt hóa. Do đó p ∈ Psuppi
Vì p (cid:54)= q nên p /∈ min Psuppi
p ∈ Lsuppi theo Định lý 3.2.2. (ii) Lấy p ∈ nGCM(M ) thì p ∈ nCM(M ). Giả sử rằng p ∈ m(M ). Đặt a(M ) = a0(M ) . . . ad−1(M ). min nCM(M ). Với mỗi số nguyên i, đặt ai(M ) = AnnR H i R(M ) = Var(ai(M )) theo Bổ đề 2.1.4. Vì R là catenary và
M đẳng chiều nên nCM(M ) = Var(a(M )) theo Hệ quả 2.1.6. Do đó R(M ). Vì vậy p /∈ Lsuppi p ∈ min Var(a(M )). Mặt khác, vì p ∈ nGCM(M ) và M đẳng chiều
nên tồn tại i < d sao cho p ∈ Lsuppi
R(M ) theo Định lý 3.2.2. Do đó,
p ∈ Psuppi
R(M ) = Var(ai(M )) theo Bổ đề 2.1.4. Vì a(M ) ⊆ ai(M ) nên
p ∈ min Var(ai(M )). Do đó p ∈ min Psuppi
R(M )
theo Bổ đề 3.1.3. Điều này là mâu thuẫn. Vậy nGCM(M ) = nCM(M ) \ 63 Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay
nên Psuppi min nCM(M ). Vì R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay và M đẳng chiều nên theo Định lý 2.3.4 ta có dim nCM(M ) = p(M ). Do đó dim nGCM(M ) = dim nCM(M ) − 1 = p(M ) − 1. Chú ý rằng giả thiết vành R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay trong Hệ quả 3.2.3(ii) là không bỏ đi được. Xét (R, m) là miền nguyên địa phương Noether chiều 2 được xây dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud [22]. Vành này có tính chất tồn tại Q ∈ Ass (cid:98)R
sao cho dim( (cid:98)R/Q) = 1. Do đó thớ hình thức của R ứng với iđêan 0
không là Cohen-Macaulay. Ta có R là catenary và R đẳng chiều. Mặt
khác Psupp0(R) = ∅, Psupp1(R) = {m} và Lsupp1(R) = {m}. Do đó nCM(R) = {m} và nGCM(R) = {m}. Vì thế đẳng thức trong Hệ quả 3.2.3(ii) là không đúng. R(M ) và Kết quả sau cho chúng ta đặc trưng tính đóng của Lsuppi nGCM(M ). R(M ) đóng khi và chỉ khi Lsuppi R(M ) ⊆ {m}. Mệnh đề 3.2.4. Giả sử R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức R(M ) ⊆ {m} thì Lsuppi R(M ) (cid:54)⊆ {m}. Lấy p ∈ Lsuppi của R là Cohen-Macaulay. Khi đó
(i) Lsuppi
(ii) Nếu p(M ) (cid:54) 1 thì nGCM(M ) đóng.
(iii) Nếu nGCM(M ) đóng và M đẳng chiều thì p(M ) (cid:54) 1. R(M ) là đóng. Ngược
R(M ) sao cho p (cid:54)= m. Theo
R(M ) R(M ). Do đó tồn tại q ∈ min Psuppi Chứng minh. (i) Nếu Lsuppi
lại, giả sử Lsuppi
Bổ đề 3.1.3 ta có p /∈ min Psuppi thỏa mãn p ⊃ q. Chú ý rằng R(M )}. psdi(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ Psuppi R(M ) = Var(ai(M )) 64 Do đó psdi(M ) ≥ 2. Đặt psdi(M ) = t. Vì R là catenary phổ dụng với
mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên Psuppi R(M ) là đóng. Vì thế tồn tại một dãy các
R(M ) là p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pt = m. Vì t ≥ 2
. Khi đó dim R1 = 2. Chú 2 = p2/p0 và R1 = (R(cid:48))p(cid:48) 2 theo Bổ đề 2.1.4. Do đó Psuppi
iđêan nguyên tố trong Psuppi
nên đặt R(cid:48) = R/p0, p(cid:48)
ý rằng một vành địa phương có hữu hạn iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu chiều của nó không quá 1 theo [33, Định lý 31.2]. Do đó Spec(R1) là tập vô hạn. Đặt R(M ). Chú ý rằng p0 ∈ min Psuppi R(M ) là
R(M ). Do đó
R(M ). Điều này
R(M ) vô hạn phần tử cực R(M ), tức là Lsuppi U := {p ∈ Spec(R) | p0 ⊂ p ⊂ p2, p (cid:54)= p0, p (cid:54)= p2}. R(M ) không đóng. Vì Spec(R1) là tập vô hạn nên U là tập vô hạn. Do Psuppi
đóng nên U ⊆ Psuppi
p /∈ min Psuppi(M ). Vì vậy, theo Bổ đề 3.1.3, p ∈ Lsuppi
dẫn đến U ⊆ min Lsuppi
tiểu. Vì vậy, Lsuppi m(M ) ∼= H i (ii) Nếu d = 0 thì M là Cohen-Macaulay. Do đó Mp là Cohen-Macaulay. Vì thế nGCM(M ) = ∅ là tập đóng. Xét d > 0. Đặt M = M/UM (0). Vì
p(M ) (cid:54) 1 nên dim UM (0) (cid:54) 1 và dim nCM(M ) (cid:54) 1 theo Định lý 2.3.4.
Vì vậy, từ dãy khớp 0 → UM (0) → M → M → 0 ta có H 0
m(M ) = 0,
m(M ) → H 1
H i
m(M ) với mọi i ≥ 2 và có dãy khớp H 1
m(M ) → 0.
Do đó dim(R/a(M )) (cid:54) dim(R/a(M )). Vì thế p(M ) = dim(R/a(M )) (cid:54) dim(R/a(M )) = p(M ) (cid:54) 1. Chú ý rằng AssR M = {p ∈ AssR M | dim R/p = d}. Do đó M đẳng
chiều. Vì vậy, theo Định lý 2.3.4 ta có dim nCM(M ) = p(M ) (cid:54) 1. p ∈ min nGCM(M ). Nếu p /∈ AssR UM (0) thì p /∈ SuppR UM (0) từ
∼= M p. Vì thế p ∈ nGCM(M ) ⊆ {m}. Điều
dim UM (0) (cid:54) 1. Do đó Mp
này là mâu thuẫn. Do đó p ∈ AssR UM (0). Vì thế min nGCM(M ) ⊆ Do đó ta có nGCM(M ) ⊆ {m} theo Hệ quả 3.2.3(ii). Giả sử m (cid:54)= AssR UM (0) ∪ {m} là tập hữu hạn. Vì nGCM(M ) là ổn định với phép 65 đặc biệt hóa và có hữu hạn phần tử cực tiểu nên nGCM(M ) là đóng. (iii) Vì M đẳng chiều nên p(M ) = dim nCM(M ). Giả sử p(M ) ≥ 2. Khi đó dim nCM(M ) ≥ 2. Đặt dim nCM(M ) = k. Lấy q ∈ nCM(M ) thỏa mãn dim(R/q) = k. Vì nCM(M ) đóng nên tồn tại một dãy tăng các iđêan nguyên tố trong nCM(M ) là p0 ⊂ . . . ⊂ pk = m. Lý luận tương tự như chứng minh phần (i), ta có V := {p ∈ Spec(R) | p0 ⊂ p ⊂ p2, p (cid:54)= p0, p (cid:54)= p2} là vô hạn. Vì M đẳng chiều nên V ⊆ min nGCM(M ) theo hệ quả 3.2.3. Do đó nGCM(M ) là không đóng. Sau đây chúng tôi chỉ ra rằng giả thiết M đẳng chiều trong Hệ quả 3.2.3(ii) và Mệnh đề 3.2.4 không thể bỏ đi được. Ví dụ 3.2.5. Cho d > r ≥ 2 là các số nguyên. Đặt R = K[[x1, . . . , xd, y1, . . . , yr]] là vành chuỗi lũy thừa hình thức d + r biến trên trường K. Đặt p1 = (x1, . . . , xd)R và p2 = (y1, . . . , yr)R. Đặt M1 = R/p1, M2 = R/p2 và M = M1 ⊕ M2. Ta có AssR M = {p1, p2}, dim M1 = r và dim M2 = hoặc Mp
Macaulay theo Mệnh đề 1.1.4(ii). Vì dim (cid:0)R/ AnnR(H r
(cid:96)(H r dim M = d. Gọi UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều bé hơn d.
Khi đó UM (0) ∼= M1. Đặt m = (x1, . . . , xd, y1, . . . , yr)R. Khi đó m là iđêan
cực đại duy nhất của R. Lấy p ∈ SuppR M \ {m}. Vì AssR M = {p1, p2}
∼= (M1)p
nên p ∈ Var(p1) \ Var(p2) hoặc p ∈ Var(p2) \ Var(p1). Do đó Mp
∼= (M2)p. Vì M1 và M2 là Cohen-Macaulay nên Mp là Cohen-
m(M ))(cid:1) > 0 nên
m(M )) = ∞. Do đó M không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng
theo Mệnh đề 1.4.5. Vì thế nCM(M ) = {m} = nGCM(M ). Điều này dẫn đến nGCM(M ) (cid:54)= nCM(M ) \ min nCM(M ). Hơn nữa, nGCM(M )
là đóng. Vì UM (0) ∼= M1 nên theo Định lý 2.3.4 ta có 66 p(M ) = max{dim nCM(M ), dim UM (0)} = r ≥ 2. Dựa vào các kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay trong Chương 2 và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng vừa trình bày ở trên. Chúng tôi mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Chú ý rằng khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu đầu tiên bởi R. P. Stanley [47] cho các mô đun phân bậc. Sau đó khái niệm này được P. Schenzel [45], N. T. Cường và L. T. Nhàn [21] giới thiệu và nghiên cứu cho trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho các môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy và nghiên cứu cấu trúc của lớp môđun này. Trước hết, chúng tôi nhắc lại các khái niệm lọc Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay dãy. Các trình bày chi tiết có thể xem trong [13], [19] và [45]. m(M ) = N0 ⊂ N1 ⊂ . . . ⊂ Nk = M
các môđun con của M được gọi là lọc Cohen-Macaulay nếu mỗi môđun Định nghĩa 3.2.6. (i) Một lọc H 0 thương Ni+1/Ni là Cohen-Macaulay và dim(Ni+1/Ni) < dim(Ni+2/Ni+1), với mọi i = 0, . . . , k − 1. (ii) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu M có lọc Cohen-Macaulay. Khái niệm lọc chiều của môđun được giới thiệu đầu tiên bởi P. Schenzel trong [45] và được N. T. Cường, Đ. T. Cường [12] điều chỉnh lại đôi chút để thuận tiện hơn cho việc sử dụng. Sau đây chúng tôi nhắc lại khái niệm lọc chiều theo N. T. Cường, Đ. T. Cường [12]. m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mk = M các
môđun con của M được gọi là lọc chiều của M nếu Mi là môđun con Định nghĩa 3.2.7. Một lọc H 0 lớn nhất của Mi+1 có chiều bé hơn dim Mi, với mọi i = 0, . . . , k − 1. Vì M là môđun Noether nên lọc chiều luôn tồn tại và duy nhất. m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của M 67 Hơn nữa, cho H 0 p∈AssR M
sơ thu gọn của môđun 0 của M . Khi đó, với mỗi i = 1, . . . , t − 1, ta có (cid:84) N (p) là một phân tích nguyên và đặt dim Mi = di. Giả sử 0 = (cid:84) dim R/p>di N (p). Nếu M có lọc Cohen-Macaulay thì lọc đó là duy Mi = nhất và chính là lọc chiều của M (xem [19, Bổ đề 4.4]). Rõ ràng nếu M là môđun chiều 1 thì M có lọc Cohen-Macaulay m(M ) ⊂ M và vì thế M là môđun Cohen-Macaulay dãy. Nếu M là
môđun Cohen-Macaulay thì M là môđun Cohen-Macaulay dãy với lọc là H 0 m(M ) ⊂ M . Chú ý rằng tổng trực tiếp của
hữu hạn môđun Cohen-Macaulay dãy là một môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay là 0 = H 0 dãy (xem [19, Mệnh đề 4.5 (i)]). Lớp môđun Cohen-Macaulay dãy có một số tính chất tương tự như môđun Cohen-Macaulay. Chẳng hạn M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì Mp là môđun Cohen-Macaulay dãy với mọi p ∈ SuppR(M ) (xem [19, Mệnh đề 4.7]). Rõ ràng nếu M là
môđun Cohen-Macaulay dãy thì (cid:99)M là môđun Cohen-Macaulay dãy. Định nghĩa 3.2.8. Quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M , ký hiệu nSCM(M ), là tập hợp gồm tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ SuppR(M )
sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay dãy. Quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và chiều của nó đã được nghiên cứu bởi N. T. Cường, D. T. Cường and H. L. Trường [13] thông qua một loại hệ tham số đặc biệt gọi là hệ tham số tốt. Ở đây, chúng tôi sử dụng các tập giả giá để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy. m(M ) = M0 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của Mệnh đề 3.2.9. Cho H 0 M . Đặt dim Mi = di và Li = Mi/Mi−1 với mọi i = 1, . . . , t. t
(cid:91) t
(cid:91) di−1
(cid:91) (i) Nếu R là catenary thì R(Li). r=1 i=1 i=1 68 nSCM(M ) = Psuppr nCM(Li) = (ii) Nếu R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen- t
(cid:91) di−1
(cid:91) Macaulay thì m(Li)(cid:1). r=1 i=1 nSCM(M ) = Var (cid:0) AnnR H r Trong trường hợp này, nSCM(M ) là tập con đóng của Spec(R). Hơn p(Li). nữa, dim nSCM(M ) = max
i=1,...,t Chứng minh. (i) Lấy p ∈ SuppR(M ). Giả sử (Mt−1)p (cid:54)= Mp. Đặt UM (0)
là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Khi đó Mt−1 = UM (0). Do đó p ∈ SuppR(Mt/Mt−1) = SuppR(M/UM (0)). Vì thế tồn tại
q ∈ AssR M, dim R/p = d sao cho q ⊆ p theo Bổ đề 2.3.3(ii). Vì R là catenary nên theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta có dim(Mt−1)p < d − dim(R/p) = dim(R/q) − dim(R/p) (cid:54) dim Mp. Do đó (Mt−1)p ⊆ UMp(0), với UMp(0) là môđun con lớn nhất của Mp
có chiều nhỏ hơn dim Mp. Chúng ta chứng minh (Mt−1)p = UMp(0).
Thật vậy, giả sử (Mt−1)p (cid:54)= UMp(0). Khi đó, tồn tại iđêan nguyên tố
rRp ∈ AssRp(UMp(0)/(Mt−1)p). Do đó, ta có dim(Rp/rRp) < dim Mp và
rRp ∈ AssRp(M/Mt−1)p. Điều này dẫn đến r ∈ AssR(M/Mt−1) và do đó
dim(R/r) = d theo Bổ đề 2.3.3(ii). Vì R là catenary nên dim(Mp) (cid:54) d − dim(R/p) = dim(R/r) − dim(R/p) = dim(Rp/rRp). Điều này là vô lý. Vì thế, nếu (Mt−1)p (cid:54)= Mp thì (Mt−1)p = UMp(0). Tiếp
tục quá trình này, ta có hoặc (Mi−1)p = (Mi)p hoặc (Mi−1)p = U(Mi)p(0)
với mọi i (cid:54) t. Do đó, từ họ {(Mi)p}i=0,1,...,t, chúng ta có thể trích ra một
dãy các môđun con pRp 69 H 0 (Mp) = (Mi0)p ⊂ (Mi1)p ⊂ . . . ⊂ (Mir)p = Mp làm thành lọc chiều của Mp. Vì thế, p ∈ nSCM(M ) nếu và chỉ nếu tồn t
(cid:91) tại i ∈ {1, . . . , t} sao cho p ∈ nCM(Li). Do đó i=1 nSCM(M ) = nCM(Li). Chú ý rằng Li là đẳng chiều theo Bổ đề 2.3.3. Vì AssR Li = {p ∈ AssR Mi | dim R/p = di > 0} R(Li) = ∅ với mọi i ≥ 1. Do đó theo Hệ quả với mọi i ≥ 1 nên Psupp0 t
(cid:91) t
(cid:91) di−1
(cid:91) 2.1.6 ta có R(Li). r=1 i=1 i=1 nSCM(M ) = Psuppr nCM(Li) = (ii) Khẳng định được suy ra từ (i), Bổ đề 2.1.4(ii) và Hệ quả 2.3.5. Phần còn lại của tiết này là mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy của môđun hữu hạn sinh. Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm lọc Cohen-Macaulay suy rộng và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [19]. m(M ) = N0 ⊂ N1 ⊂ . . . ⊂ Nk = M
các môđun con của M được gọi là lọc Cohen-Macaulay suy rộng nếu mỗi Định nghĩa 3.2.10. (i) Một lọc H 0 môđun thương Ni+1/Ni là Cohen-Macaulay suy rộng và dim(Ni+1/Ni) < dim(Ni+2/Ni+1), với mọi i = 0, . . . , k − 1. (ii) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy nếu M có lọc Cohen- Macaulay suy rộng. Chú ý rằng nếu M có lọc Cohen-Macaulay suy rộng thì nó là m(M ) =
N0 ⊂ N1 ⊂ . . . ⊂ Nk = M là lọc Cohen-Macaulay suy rộng của M và
H 0
m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của M thì k = t và duy nhất tới các thành phần m-nguyên sơ. Nghĩa là, nếu H 0 70 (cid:96)(Mi/Ni) < ∞ với mọi i = 1, . . . , k (xem [19, Bổ đề 4.4 (iii)]) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng hoặc M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Giả sử R là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein. Khi đó mọi môđun M có dim M ≤ 2 đều là Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy có một số tính chất tương tự như tính chất của môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Chẳng hạn, M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy thì Mp là môđun Cohen-Macaulay dãy với mọi p ∈ SuppR(M ) \ {m} (xem [19, Mệnh đề 4.7 (ii)]). Định nghĩa 3.2.11. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy của M , ký hiệu nSGCM(M ), là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ SuppR M sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. m(M ) = M0 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều
của M . Đặt dim Mi = di và Li = Mi/Mi−1 với i = 1, . . . , t. Nếu R là t
(cid:91) di−1
(cid:91) t
(cid:91) Mệnh đề 3.2.12. Cho H 0 R(Li). r=1 i=1 i=1 Lsuppr catenary thì nSGCM(M ) = nGCM(Li) = Chứng minh. Lấy p ∈ SuppR(M ). Bằng cách lập luận tương tự như
trong chứng minh Mệnh đề 3.2.9, ta có hoặc (Mi−1)p = (Mi)p hoặc (Mi−1)p là môđun con lớn nhất của (Mi)p có chiều bé hơn dim(Mi)p với mọi i = 1, . . . , t. Do đó, từ họ {(Mi)p}i=0,1,...,t, chúng ta có thể trích ra một lọc pRp H 0 (Mp) = (Mi0)p ⊂ (Mi1)p ⊂ . . . ⊂ (Mir)p = Mp các môđun con của Mp mà nó là lọc chiều của Mp. Vì thế, Mp không là Cohen-Macaulay suy rộng dãy khi và chỉ khi tồn tại i ∈ {1, . . . , t} 71 sao cho (Li)p không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Do đó ta có
nSGCM(M ) = (cid:83)t
i=1 nGCM(Li). Vì Li đẳng chiều với mọi i = 1, . . . , t t
(cid:91) t
(cid:91) di−1
(cid:91) nên theo Định lý 3.2.2 ta có R(Li). r=1 i=1 i=1 nSGCM(M ) = Psuppr nCM(Li) = Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng dãy thì Mp là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, với mọi p ∈ SuppR(M ) theo [19,
Mệnh đề 4.7(i)]. Do đó nSGCM(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa. Vì vậy, chúng ta có thể định nghĩa chiều của nSGCM(M ) như sau: dim nSGCM(M ) = max{dim(R/p) | p ∈ nSGCM(M )}. Do đó, từ Mệnh đề 3.2.12 và Hệ quả 3.2.3(ii) ta có kết quả sau. m(M ) = M0 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của
M . Đặt Li = Mi/Mi−1 với mọi i = 1, . . . , t. Giả sử R là catenary phổ Hệ quả 3.2.13. Cho H 0 dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Nếu M không là môđun Cohen-Macaulay dãy thì p(Li) − 1. dim nSGCM(M ) = max
i=1,...,t Kết luận Chương 3 Trong chương này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau. - Đưa ra khái niệm giá suy rộng và chứng minh một số tính chất của giá suy rộng. - Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suy rộng. - Nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. - Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng dãy qua lọc chiều, giả giá và giá suy rộng. 72 - Đưa ra một số ví dụ để làm sáng tỏ các kết quả trong toàn chương. Trong suốt chương này, chúng tôi luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Lớp môđun giả Cohen-Macaulay và giả Cohen-Macaulay suy rộng được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] tương ứng là mở rộng của các lớp môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Trong chương này chúng tôi nghiên quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen- Macaulay suy rộng. Chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả các quỹ tích trên qua quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng của một môđun thương tương ứng. Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả liên quan đến quỹ tích không Cohen- Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M ) của M . 73 Nội dung của chương này được trình bày dựa theo bài báo [40]. Mục tiêu của chúng tôi trong tiết này là sử dụng các tập giả giá và giá suy rộng để nghiên cứu quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm môđun giả Cohen-Macaulay được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [19]. (cid:91) Cho x = (x1, . . . , xd) là một hệ tham số của môđun M . Đặt 1 . . . xt d). d t>0 , . . . , xt+1 QM (x) = )M :M xt ((xt+1
1 Khi đó QM (x) là một môđun con của M . Vì M là môđun Noether nên tồn tại số tự nhiên t0 (cid:29) 0 sao cho (cid:1). 1 1 . . . xt0 d d , . . . , xt0+1 QM (x) = (cid:0)(xt0+1 )M :M xt0 Việc nghiên cứu môđun QM (x) là cần thiết vì: Trước hết, nó liên quan đến Giả thuyết đơn thức nổi tiếng của M. 1 . . . xt Hochster [29]: d /∈
)R với mọi t > 0 và với mọi hệ tham số x = (x1, . . . , xd) d , . . . , xt+1 Cho R là vành giao hoán, địa phương, dim R = d. Khi đó xt
(xt+1
1
của R. Ta có thể phát biểu lại giả thuyết này dưới dạng tương đương như sau: Cho R là vành giao hoán, địa phương, dim R = d. Khi đó R (cid:54)= QR(x) với mọi hệ tham số x = (x1, . . . , xd) của R. Mặt khác, N. T. Cường và V. T. Khôi [15] đã chứng minh rằng môđun thương M/QM (x) ∼= M (1/(x1, . . . , xd, 1)) 74 nên hàm độ dài (cid:96)(M/QM (x(n))) cũng chính là hàm độ dài của môđun
các thương suy rộng (cid:96)(cid:0)M (1/(xn1
d , 1))(cid:1). Vì thế môđun QM (x(n)))
1 , . . . , xnd liên quan đến câu hỏi mở thứ hai của R. Y. Sharp và M. A. Hamieh [44] mà ta có thể phát biểu lại như sau: (cid:96)(M/QM (x(n))) có phải là đa thức theo n khi n (cid:29) 0 hay không? Với mỗi hệ tham số x của M , dễ thấy xM ⊆ QM (x). Do đó, (cid:96)(M/QM (x)) ≤ (cid:96)(M/xM ) < ∞. Hơn nữa, theo [16, Bổ đề 3.1] ta còn có một bất đẳng thức liên hệ giữa số bội và độ dài như sau: e(x; M ) ≥ (cid:96)(M/QM (x)). Vì thế hiệu 1 , . . . , xnd JM (x) := e(x; M ) − (cid:96)(M/QM (x)) là một số nguyên không âm. Cho n = (n1, . . . , nd) là một bộ gồm d số
nguyên dương. Ký hiệu x(n) = (xn1
d ). Khi đó x(n) cũng là một hệ tham số của M . Đặt JM,x(n) := n1 . . . nde(x; M ) − (cid:96)(cid:0)M/QM (x(n))(cid:1). Khi đó câu hỏi mở thứ hai của R. Y. Sharp và M. A. Hamieh [44] được phát biểu dưới dạng tương đương là: Hàm JM,x(n) có phải là đa thức theo n khi n (cid:29) 0 hay không? N. T. Cường, M. Morales and L. T. Nhàn [17] đã chứng tỏ rằng nhìn chung hàm JM,x(n) không phải là đa thức theo n khi n (cid:29) 0. Tuy nhiên, JM,x(n) luôn có giá trị không âm và nó bị chặn trên bởi các đa thức. Hơn nữa, N. T. Cường và N. Đ. Minh trong [16] đã chỉ ra rằng bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm JM,x(n) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x và bậc bé nhất này ký hiệu là pf (M ). Định nghĩa 4.1.1. (Xem [19, Định nghĩa 2.2]) M gọi là môđun giả 75 Cohen-Macaulay nếu pf (M ) = −∞. Rõ ràng, nếu dim M (cid:54) 1 thì M là giả Cohen-Macaulay. Theo R. Hartshorne [27], nếu x là M -dãy thì xM = QM (x). Do đó, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì JM (x) = e(x; M ) − (cid:96)(M/QM (x)) = e(x; M ) − (cid:96)(M/xM ) = 0. Vì thế M là giả Cohen-Macaulay. Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun giả Cohen-Macaulay là môđun giả Cohen-Macaulay (xem [19, Bổ đề 2.5]). Trong trường hợp M là tựa không trộn lẫn, nếu M là giả Cohen- Macaulay thì Mp là giả Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR(M ) (xem
[19, Mệnh đề 3.7 (i)]). Giả sử vành cơ sở R là thương của một vành Gorenstein và M có lọc chiều là 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M . Khi đó M là Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu Mi là giả Cohen-Macaulay với mọi i = 1, . . . , t (xem [19, Định lí 5.1 (a)]). Kí hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều bé hơn d. Bổ đề sau cho ta đặc trưng của môđun giả Cohen-Macaulay. Bổ đề 4.1.2. ( Xem [19]) Các khẳng định sau là đúng (i) M là giả Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu (cid:99)M là giả Cohen-Macaulay.
(ii) Nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương thì M là giả Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu M/UM (0) là Cohen-Macaulay. Định nghĩa 4.1.3. Quỹ tích giả Cohen-Macaulay của môđun M , ký hiệu pCM(M ), là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giả Cohen-Macaulay. Đặt nPCM(M ) = Spec(R) \ pCM(M ). Chú ý rằng nếu d (cid:54) 1 thì pCM(M ) = Spec(R). Định lý sau đây là một trong những kết quả chính của tiết này, mô tả quỹ tích giả Cohen-Macaulay của M . Định lý 4.1.4. Cho d (cid:62) 2. Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa 76 phương. Khi đó các khẳng định sau là đúng. (cid:91) (i) Nếu dim(R/p) = d hoặc dim(R/p) (cid:54) 2 với mọi p ∈ AssR M thì m(M/UM (0))(cid:1). 0 Var (cid:0) AnnR H i nPCM(M ) = nCM(M/UM (0)) = m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của M . Đặc biệt, nếu d (cid:54) 3 thì pCM(M ) là tập mở.
(ii) Giả sử H 0 (cid:91) t
(cid:91) Đặt dim Mi = di với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó m(Mi/Mi−1)(cid:1). i=1 i=1,...,t
r=1,...,di−1 nPCM(M ) ⊆ nCM(Mi/Mi−1) = Var (cid:0) AnnR H r Chứng minh. (i) Lấy p ∈ SuppR(M ). Giả sử (UM (0))p (cid:54)= Mp. Khi đó ta
có p ∈ SuppR(M/UM (0)). Theo Bổ đề 2.3.3 ta có AssR(M/UM (0)) = {q ∈ AssR M | dim(R/q) = d}. Do đó, tồn tại q ∈ AssR M sao cho q ⊆ p và dim(R/q) = d. Vì R là thương của vành Gorenstein địa phương nên R catenary. Do đó dim(UM (0))p < d − dim(R/p) = dim(R/q) − dim(R/p) = ht(p/q) (cid:54) dim Mp. Gọi UMp(0) là môđun con lớn nhất của Mp có chiều bé hơn dim Mp. Vì
dim(UM (0))p < dim Mp nên ta có (UM (0))p ⊆ UMp(0). Ta chứng minh
(UM (0))p = UMp(0). Thật vậy, giả sử (UM (0))p (cid:54)= UMp(0). Khi đó tồn tại
rRp ∈ AssRp(UMp(0)/(UM (0))p). Điều này dẫn đến dim(Rp/rRp) (cid:54) dim(UMp(0)/(UM (0))p) < dim(Mp). Vì UMp(0)/(UM (0))p ⊆ Mp/(UM (0))p nên rRp ∈ AssRp(Mp/(UM (0))p) và
do đó r ∈ AssR(M/UM (0)). Vì thế dim(R/r) = d. Do R là catenary nên 77 dim(Mp) (cid:54) d − dim(R/p) = dim(R/r) − dim(R/p) = dim(Rp/rRp)). Điều này vô lý. Vậy (UM (0))p = UMp(0) là môđun con lớn nhất của Mp có
chiều bé hơn dim(Mp). Do đó, theo Bổ đề 4.1.2(ii) ta có p ∈ nPCM(M ) khi và chỉ khi p ∈ nCM(M/UM (0)). Giả sử (UM (0))p = Mp. Khi đó p (cid:54)= m. Chúng ta chứng minh rằng dim(UM (0))p (cid:54) 1. Thật vậy, lấy q ∈ AssR UM (0) sao cho q ⊆ p. Vì AssR UM (0) = {r ∈ AssR M | dim(R/r) < d} nên dim(R/q) < d. Do đó dim(R/q) (cid:54) 2 theo giả thiết. Điều này
dẫn đến dim(UM (0))p (cid:54) 1. Vì (UM (0))p = Mp nên dim Mp (cid:54) 1. Do
đó Mp là giả Cohen-Macaulay, tức là p /∈ nPCM(M ). Mặt khác, ta có (M/UM (0))p = Mp/(UM (0))p = 0 nên p /∈ nCM(M/UM (0)). Do đó nPCM(M ) = nCM(M/UM (0)). Vì AssR(M/UM (0)) = {q ∈ AssR M | dim(R/q) = d} R(M/UM (0)) = ∅. Vì M/UM (0) đẳng chiều và R là catenary nên Psupp0 (cid:91) nên theo Hệ quả 2.1.6 ta có R(M/UM (0)). 0 Psuppi nCM(M/UM (0)) = Vì R là thương của vành Gorenstein địa phương nên R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Theo Bổ đề 2.1.4(ii) ta (cid:91) (cid:91) có m(M/UM (0))(cid:1). R(M/UM (0)) = 0 0 Psuppi Var (cid:0) AnnR H i (ii) Chứng minh khẳng định bằng qui nạp theo t. Nếu t = 0 thì m(M ). Vì thế nPCM(M ) = ∅, khẳng định là đúng. Với t = 1
thì dim(R/p) = d với mọi p ∈ AssR M \ {m}. Vì thế, theo kết quả M = H 0 (i) khẳng định đúng với t = 1. Giả sử t > 1 và khẳng định đúng với 78 t − 1. Lấy p ∈ nPCM(M ). Giả sử (Mt−1)p (cid:54)= Mp. Lý luận tương tự như chứng minh (i), ta có (Mt−1)p là môđun con lớn nhất của Mp có chiều i=1,...,t bé hơn dim Mp. Do đó p ∈ nCM(M/Mt−1) theo Bổ đề 4.1.2(ii), và do đó
p ∈ (cid:83) nCM(Mi/Mi−1). Giả sử (Mt−1)p = Mp. Khi đó p ∈ nPCM(Mt−1). Chú ý rằng lọc
m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt−1. Áp dụng giả thiết (cid:91) (cid:91) p ∈ chiều của Mt−1 là H 0
qui nạp cho Mt−1 ta có R(Mi/Mi−1). i=1,...,t−1 i=1,...,t−1
r=1,...,di−1 Psuppr nCM(Mi/Mi−1) = (cid:91) nCM(Mi/Mi−1). Theo Bổ đề 2.1.4(ii) ta có Do đó nPCM(M ) ⊆ (cid:83)
1(cid:54)i(cid:54)t m(Mi/Mi−1)(cid:1). r=1,...,di−1 nCM(Mi/Mi−1) = Var (cid:0) AnnR H r (cid:91) t
(cid:91) Vì thế m(Mi/Mi−1)(cid:1). i=1 i=1,...,t
r=1,...,di−1 nPCM(M ) ⊆ nCM(Mi/Mi−1) = Var (cid:0) AnnR H r Định lý được hoàn toàn chứng minh. Ví dụ sau chỉ ra rằng nhìn chung pCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa. Do đó trong trường hợp tổng quát pCM(M ) không là tập mở theo tôpô Zariski. Nhắc lại rằng U ⊆ Spec(R) được gọi là ổn định q ∈ U thì p ∈ U . với phép tổng quát hóa nếu với mọi p, q ∈ Spec(R) thỏa mãn p ⊆ q mà Ví dụ 4.1.5. Cho d ≥ 4 là một số nguyên. Khi đó tồn tại một vành địa phương Noether (R, m) và một R-môđun hữu hạn sinh M có chiều d sao cho pCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa. Đặc biệt, 79 pCM(M ) không là tập con mở của Spec(R) theo tôpô Zariski. Chứng minh. Cho d ≥ 4 là một số nguyên. Đặt R = K[[x1, ..., xd+1]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với d + 1 biến trên trường K. Khi đó m = (x1, . . . , xd+1)R là iđêan cực đại duy nhất của R. Đặt M1 = R/xd+1R và M2 = (x1, x2)M3, trong đó M3 = R/(x3, x4)R. Đặt M = M1 ⊕ M2. Khi đó dim M = d, AssR M1 = {xd+1R} và AssR M2 = ∼= (M2)p. Hơn nữa, chúng ta có dãy khớp {(x3, x4)R}. Đặt p = (x1, . . . , xd)R. Khi đó ta có p /∈ SuppR(M1) và
p ∈ SuppR(M2). Vì thế Mp 0 → (M2)p → (M3)p → Rp/(x1, . . . , x4)Rp → 0. Ta có (M3)p là môđun Cohen-Macaulay có chiều d − 2 và dim(Rp/(x1, . . . , x4)Rp) = d − 4 ≥ 0. pRp (M2)p = 0 (cid:1) (cid:54)= 0. (cid:0)Rp/(x1, . . . , x4)Rp Chú ý rằng dim(M2)p = d − 2. Từ dãy khớp trên ta có H i
với mọi i (cid:54) d − 4 và (M2)p H d−3
pRp ∼= H d−4
pRp Do đó (M2)p không là Cohen-Macaulay. Đặt U(M2)p(0) là môđun con lớn
nhất của (M2)p có chiều bé hơn dim(M2)p. Vì AssR(M2) = {(x3, x4)R}
và (x3, x4)R ⊂ p nên AssRp(M2)p = {(x3, x4)Rp}. Do đó U(M2)p(0) = 0.
Điều này dẫn đến (M2)p không là môđun giả Cohen-Macaulay theo Bổ đề 4.1.2(ii). Do đó p /∈ pCM(M ). Kí hiệu UM (0) là môđun con lớn nhất
của M có chiều bé hơn dim M. Khi đó M/UM (0) ∼= M1. Vì M1 là Cohen-
Macaulay nên m ∈ pCM(M ). Do đó pCM(M ) là không ổn định với phép tổng quát hóa. Vì thế, pCM(M ) không là tập mở với tôpô Zariski. Nhắc lại rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M đã được nghiên cứu bởi N. T. Cường, D. T. Cường and H. L. Trường [13] thông qua hệ tham số tốt và đã được miêu tả trong [13, Bổ đề 5.1]. Trong 80 Chương 3, chúng tôi miêu tả quỹ tích này thông qua các giả giá (xem Mệnh đề 3.2.9). Từ Định lý 4.1.4, chúng ta có thể nhận lại được các kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy nSCM(M ) của M m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều Hệ quả 4.1.6. Cho H 0 (cid:91) (cid:91) của M . Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương. Khi đó 1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t nSCM(M ) = nPCM(Mi) = nCM(Mi/Mi−1) là tập con đóng của Spec(R) với tôpô Zariski. nPCM(Mi). Chứng minh. Theo [19, Định lý 5.1(a)], nSCM(M ) = (cid:83)
1(cid:54)i(cid:54)t (cid:91) (cid:91) Từ Định lý 4.1.4 ta có 1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t nPCM(Mi) ⊆ nCM(Mi/Mi−1). nCM(Mi/Mi−1). Khi đó tồn tại 1 (cid:54) i (cid:54) t sao Ngược lại, lấy p ∈ (cid:83)
1(cid:54)i(cid:54)t cho p ∈ nCM(Mi/Mi−1). Do đó (Mi)p (cid:54)= (Mi−1)p. Lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 4.1.4(i) ta có (Mi−1)p là môđun con lớn nhất của (Mi)p có chiều nhỏ hơn dim(Mi)p. Vì (Mi)p/(Mi−1)p không là (cid:91) (cid:91) Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 4.1.2(ii) ta có p ∈ nPCM(Mi). Do đó 1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t nCM(Mi/Mi−1) ⊆ nPCM(Mi). (cid:91) (cid:91) Vậy 1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t nSCM(M ) = nPCM(Mi) = nCM(Mi/Mi−1). Hệ quả được chứng minh. Phần cuối của tiết này dành để mô tả quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng của các môđun hữu hạn sinh. Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số đặc trưng của môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng. 81 Định nghĩa 4.1.7. (Xem [19, Định nghĩa 2.2]) M gọi là môđun giả
Cohen-Macaulay suy rộng nếu pf (M ) (cid:54) 0 (cid:32) (cid:33) d−1
(cid:88) Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó R. Y. Sharp m(M )) i=1 (cid:96)(H i và M. A. Hamieh [44] đã chỉ ra rằng JM,x(n) = d − 1
i − 1 với n (cid:29) 0. Do đó nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M là giả Cohen-Macaulay suy rộng. Theo N. T. Cường- N. Đ. Minh [16], nếu
M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d > 1 thì pf (M ) (cid:54) d − 2. Vì thế, nếu
dim M (cid:54) 2 thì M là giả Cohen-Macaulay suy rộng. Tổng hữu hạn của các môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng (xem [19, Mệnh đề 4.5 (ii)]). Giả sử vành cơ sở R là thương của một vành Gorenstein và M có lọc chiều là 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M . Khi đó M là Cohen-Macaulay suy rộng dãy nếu và chỉ nếu Mi là giả Cohen-Macaulay suy rộng với mọi i = 1, . . . , t (xem [19, Định lý 5.3 (a)]). Bổ đề sau đây cho ta đặc trưng của môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng. Bổ đề 4.1.8. (Xem [19]) Các khẳng định sau là đúng. (i) M là giả Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu (cid:99)M là môđun giả
Cohen-Macaulay suy rộng. (ii) Nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương thì M là giả Cohen- Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu M/UM (0) là Cohen-Macaulay suy rộng. Định nghĩa 4.1.9. Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng của M , ký hiệu pGCM(M ), là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p sao cho Mp là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng. Đặt nPGCM(M ) = Spec(R) \ pGCM(M ). Chú ý rằng nếu d (cid:54) 2 thì pGCM(M ) = Spec(R). Kết quả sau cho ta sự mô tả quỹ tích giả 82 Cohen-Macaulay suy rộng của M . Định lý 4.1.10. Cho d (cid:62) 3. Giả sử R là thương của vành Gorenstein (cid:91) địa phương . Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu dim R/p = d hoặc dim R/p (cid:54) 3 với mọi p ∈ AssR M thì R(M/UM (0)). 1(cid:54)i Lsuppi nPGCM(M ) = nGCM(M/UM (0)) = m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của M . Đặc biệt, nếu d (cid:54) 4 thì pGCM(M ) là ổn định với phép tổng quát hóa.
(ii) Giả sử H 0 (cid:91) (cid:91) Đặt di = dim Mi. Khi đó R(Mi/Mi−1). 1(cid:54)i(cid:54)t i=1,...,t
r=1,...,di−1 nPGCM(M ) ⊆ Lsuppr nGCM(Mi/Mi−1) = (cid:91) Chứng minh. (i) Vì M/UM (0) là đẳng chiều nên theo Định lý 3.2.2 ta có R(M/UM (0)). 1(cid:54)i Lsuppi nGCM(M/UM (0)) = Do đó ta chỉ cần chứng minh nPGCM(M ) = nGCM(M/UM (0)). Thật vậy, lấy p ∈ SuppR(M ). Giả sử (UM (0))p (cid:54)= Mp. Bằng cách lập luận
tương tự như trong chứng minh của Định lý 4.1.4(i) ta có (UM (0))p là môđun con lớn nhất của Mp có chiều nhỏ hơn dim(Mp). Do đó, theo Bổ đề 4.1.8(ii) ta có p ∈ nPGCM(M ) khi và chỉ khi p ∈ nGCM(M/UM (0)). q ⊆ p. Theo Bổ đề 2.3.3 ta có Giả sử (UM (0))p = Mp thì p (cid:54)= m. Lấy q ∈ AssR UM (0) sao cho AssR UM (0) = {r ∈ AssR M | dim(R/r) < d}. Do đó dim(R/q) < d. Vì thế dim(R/q) (cid:54) 3 theo giả thiết. Điều này
dẫn đến dim(UM (0))p (cid:54) 2. Vì (UM (0))p = Mp nên dim Mp (cid:54) 2. Do đó
Mp là giả Cohen-Macaulay suy rộng hay p /∈ nPGCM(M ). Mặt khác, (M/UM (0))p = Mp/(UM (0))p = 0 nên p /∈ nGCM(M/UM (0)). Vì vậy 83 nPGCM(M ) = nGCM(M/UM (0)). (ii) Chứng minh khẳng định bằng qui nạp theo t. Nếu t = 0 thì m(M ) = M . Do đó nPGCM(M ) = ∅, khẳng định là đúng. Với t = 1 thì
dim R/p = d với mọi p ∈ AssR M \ {m}. Vì thế theo kết quả (i) khẳng H 0 p ∈ nPGCM(M ). Giả sử (Mt−1)p (cid:54)= Mp. Lập luận tương tự như trong định đúng với t = 1. Giả sử t > 1 và khẳng định đúng với t − 1. Lấy chứng minh (i) ta có (Mt−1)p là môđun con lớn nhất của Mp có chiều nGCM(Mi/Mi−1). nhỏ hơn dim Mp. Do đó p ∈ nGCM(M/Mt−1) theo Bổ đề 4.1.8(ii) và do
đó p ∈ (cid:83)
1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t−1 Giả sử (Mt−1)p = Mp. Khi đó p ∈ nPGCM(Mt−1). Chú ý rằng
m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt−1. Áp dụng giả
nGCM(Mi/Mi−1). Do đó nGCM(Mi/Mi−1). Vì Mi/Mi−1 đẳng chiều với mọi (cid:91) (cid:91) lọc chiều của Mt−1 là H 0
thiết qui nạp với môđun Mt−1 ta có p ∈ (cid:83)
nPGCM(M ) ⊆ (cid:83)
1(cid:54)i(cid:54)t
1 (cid:54) i (cid:54) t nên theo Định lý 3.2.2 ta có R(Mi/Mi−1). 1(cid:54)i(cid:54)t i=1,...,t
r=1,...,di−1 nPGCM(M ) ⊆ Lsuppr nGCM(Mi/Mi−1) = Định lý được chứng minh. Ví dụ sau chỉ ra rằng nhìn chung pGCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa. Do đó trong trường hợp tổng quát pGCM(M ) không là tập mở theo tôpô Zariski. Ví dụ 4.1.11. Cho d ≥ 5 là một số nguyên. Khi đó tồn tại một vành địa phương Noether (R, m) và một R-môđun hữu hạn sinh M có chiều d sao cho pGCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa. Do đó pGCM(M ) không là tập con mở của Spec(R) theo tôpô Zariski. Chứng minh. Cho d ≥ 5 là một số nguyên. Cho K là một trường. Đặt R = K[[x1, ..., xd+1]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với 84 d + 1 biến trên K. Khi đó m = (x1, . . . , xd+1)R là iđêan cực đại duy nhất của R. Đặt M1 = R/xd+1R và M2 = (x1, x2)M3, trong đó M3 = R/(x3, x4)R. Đặt M = M1⊕M2 và p = (x1, . . . , xd)R. Khi đó dim M = d. Bằng cách lập luận tương tự như chứng minh trong Ví dụ 4.1.5 ta có
∼= (M2)p pRp
(cid:0)Rp/(x1, . . . , x4)Rp m ∈ pGCM(M ), H i
H d−4
pRp (M2)p = 0 với mọi i ≤ d − 4 và H d−3
pRp
(cid:1). Theo giả thiết d ≥ 5 nên (M2)p)(cid:1) = d − 4 ≥ 1. dim (cid:0)R/Ann(H d−3
pRp Vì thế (cid:96)(H d−3
pRp (M2)p) = ∞. Do đó (M2)p không là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng. Đặt U(M2)p(0) là môđun con lớn nhất của (M2)p có chiều bé
hơn dim(M2)p. Lập luận tương tự như chứng minh trong Ví dụ 4.1.5
ta có U(M2)p(0) = 0. Vì thế (M2)p không là môđun giả Cohen-Macaulay
suy rộng theo Bổ đề 4.1.8(ii). Do đó p /∈ pGCM(M ). Suy ra pGCM(M ) không ổn định với phép tổng quát hóa. Do đó, pGCM(M ) không là tập mở theo tôpô Zariski. Chú ý rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy đã được chúng tôi miêu tả trong Chương 3 thông qua các giá suy rộng (xem Mệnh đề 3.2.12). Từ Định lý 4.1.10, chúng ta có thể nhận lại được kết quả tương tự về quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy. m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều Hệ quả 4.1.12. Cho H 0 (cid:91) (cid:91) của M . Giả sử R là thương của vành Gorenstein địa phương . Khi đó 1(cid:54)i(cid:54)t 1≤i≤d nSGCM(M ) = nPGCM(Mi) = nGCM(Mi/Mi−1) là ổn định với phép đặc biệt hóa. (cid:91) Chứng minh. Theo [19, Định lý 5.3(a)] ta có 1(cid:54)i(cid:54)t 85 nSGCM(M ) = nPGCM(Mi). (cid:91) (cid:91) Theo Định lý 4.1.10 ta có 1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t nGCM(Mi) ⊆ nGCM(Mi/Mi−1). nGCM(Mi/Mi−1). Khi đó tồn tại 1 (cid:54) i (cid:54) t sao Ngược lại, lấy p ∈ (cid:83)
1(cid:54)i(cid:54)t cho p ∈ nGCM(Mi/Mi−1). Do đó (Mi)p (cid:54)= (Mi−1)p. Lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 4.1.4(i), ta có (Mi−1)p là môđun con lớn nhất của (Mi)p có chiều nhỏ hơn dim(Mi)p. Vì (Mi)p/(Mi−1)p không là Cohen- Macaulay suy rộng nên theo Bổ đề 4.1.8(ii) ta có p ∈ nPGCM(Mi). Do (cid:91) (cid:91) đó 1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t nGCM(Mi/Mi−1) ⊆ nPGCM(Mi). (cid:91) (cid:91) Vì thế 1(cid:54)i(cid:54)t 1(cid:54)i(cid:54)t nPGCM(Mi) = nGCM(Mi/Mi−1). Hệ quả được chứng minh. Trong toàn bộ tiết này, chúng tôi luôn giả thiết R là thương của vành Gorenstein địa phương (R(cid:48), m(cid:48)) có chiều n. Trong tiết này chúng tôi đưa ra một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M ) của M . Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm môđun chính tắc được giới thiệu bởi P. Schenzel [46]. Định nghĩa 4.2.1. (Xem [46, Định nghĩa 2.1]) Với mọi số nguyên i ≥ 0,
ký hiệu K i(M ) là R-môđun Extn−i
R(cid:48) (M, R(cid:48)). Môđun K i(M ) được gọi là
môđun khuyết thứ i của M và K(M ) := K d(M ) được gọi là môđun chính 86 tắc của M . Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay (tương ứng môđun Cohen-Macaulay suy rộng) thì K(M ) là môđun Cohen-Macaulay (tương ứng môđun Cohen-Macaulay suy rộng). Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen- Macaulay (tương ứng quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của K(M ) và quỹ tích không Cohen-Macaulay (tương ứng quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng) của M . Mệnh đề 4.2.2. Các khẳng định sau là đúng. (i) nCM(K(M )) ⊆ nCM(M ). (ii) nGCM(K(M )) ⊆ nGCM(M ). Chứng minh. (i) Lấy p ∈ nCM(K(M )). Khi đó p ∈ SuppR(K(M )). Vì AssR K(M ) = {q ∈ AssR(M ) | dim(R/q) = d} nên tồn tại q ∈ AssR M thỏa mãn dim R/p = d và q ⊆ p. Theo giả thiết R là thương của vành Gorenstein địa phương nên R là catenary. Vì thế d = dim R/q = dim R/p + ht p/q (cid:54) dim R/p + dim Mp (cid:54) d. Do đó dim R/p+dim Mp = d. Điều này dẫn đến (K(M ))p ∼= K(Mp) (theo
[46, Mệnh đề 2.2]). Vì thế K(Mp) không là môđun Cohen-Macaulay. Do đó Mp không là môđun Cohen-Macaulay. Vậy, p ∈ nCM(M ). luận tương tự như trong chứng minh (i) ta có (K(M ))p (ii) Lấy p ∈ nGCM(K(M )). Khi đó p ∈ SuppR(K(M )). Lập
∼= K(Mp).
Vì p ∈ nGCM(K(M )) nên K(Mp) không là môđun Cohen-Macaulay p ∈ nGCM(M ). suy rộng. Do đó Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Vì thế Hệ quả sau cho ta mối quan hệ giữa kiểu đa thức của môđun chính 87 tắc K(M ) và kiểu đa thức của M . Hệ quả 4.2.3. p(K(M )) (cid:54) p(M ). Chứng minh. Vì R là thương của vành Gorenstein địa phương nên R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Do đó theo Định lý 2.3.4 ta có p(M ) = max{dim nCM(M ), dim U0(M )}. Do K(M ) đẳng chiều nên p(K(M )) = dim nCM(K(M )). Vì thế, theo Mệnh
đề 4.2.2(i) ta có p(K(M )) (cid:54) p(M ). Ví dụ sau chứng tỏ rằng nhìn chung chiều ngược lại của Mệnh đề 4.2.2 không đúng. Ví dụ 4.2.4. Cho d (cid:62) 3 là một số nguyên và K là một trường. Đặt R = K[[x1, . . . , xd]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức d biến trên K. Khi đó R là vành Cohen-Macaulay và m = (x1, . . . , xd)R là iđêan cực đại duy nhất của R. Đặt M = (x2, . . . , xd)R. Ta có dim R = dim M = d, dim(R/M ) = 1. m(R) và H i m(M ) ∼= H d m(R/M ), H d m(M ) ∼= H 1 Vì d ≥ 3 nên từ dãy khớp 0 → M → R → R/M → 0 chúng ta có H 2
m(M ) = 0 với mọi i (cid:54)= 2, d.
Hơn nữa, từ dim(R/M ) = 1 chúng ta có (cid:96)R(H 2
m(M )) = ∞. Do đó M
không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Vì thế m ∈ nGCM(M ) và m(M ) ∼= H d m(R) và R là Cohen-
Macaulay nên K(M ) là Cohen-Macaulay. Do đó nCM K(M ) = ∅ và vì do đó m ∈ nCM(M ). Mặt khác, vì H d thế nGCM K(M ) = ∅. Phần cuối của tiết này dành để miêu tả quỹ tích không Cohen- Macaulay suy rộng chính tắc. Nhắc lại rằng khái niệm môđun Cohen- Macaulay suy rộng chính tắc được giới thiệu bởi N. T. H. Loan và L. T. Nhàn [30] là mở rộng của khái niệm môđun chính tắc được giới thiệu bởi P. Schenzel [46]. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính 88 tắc nếu môđun K(M ) là Cohen-Macaulay suy rộng. Chú ý rằng nếu M là môđun có dim M (cid:54) 3 hoặc M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Hơn nữa, nếu M/UM (0) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng là các môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Định nghĩa 4.2.5. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc của M , ký hiệu nGCMC(M ), là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. q ∈ min AssR M thì (cid:91) Mệnh đề 4.2.6. (i) Nếu dim(R/q) = d hoặc dim(R/q) (cid:54) 4 với mọi R(K(M )). 1(cid:54)i nGCMC(M ) = nGCM(K(M )) = Lsuppi Đặc biệt, nếu dim M ≤ 5 thì nGCMC(M ) ổn định với phép đặc biệt hóa. m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc chiều của M . Đặt (ii) Cho H 0 (cid:91) (cid:91) dk = dim Mk. Khi đó R(K(Mk)). k=1,...,t k=1,...,t
i=1,...,dk−1 nGCMC(M ) ⊆ Lsuppi nGCM(K(Mk)) = Chứng minh. (i) Vì AssR K(M ) = {q ∈ AssR(M ) | dim(R/q) = d} nên (cid:91) K(M ) đẳng chiều. Do đó, theo Định lý 3.2.2 ta có R(K(M )). 1(cid:54)i(cid:54)d−1 nGCM(K(M )) = Lsuppi Vì thế, ta chỉ cần chứng minh nGCMC(M ) = nGCM(K(M )). Thật 89 vậy, lấy p ∈ SuppR(M ). Nếu p ∈ SuppR(K(M )) thì lập luận tương tự
như trong chứng minh Mệnh đề 4.2.2(i), ta có K(Mp) ∼= (K(M ))p. Vì
thế p ∈ nGCMC(M ) khi và chỉ khi p ∈ nGCM(K(M )). Giả sử p /∈ SuppR(K(M )). Khi đó p /∈ nGCM(K(M )) và p (cid:54)= m. Vì p ∈ SuppR(M )
nên tồn tại q ∈ AssR M sao cho q ⊆ p. Mặt khác, do p /∈ SuppR(K(M ))
nên dim(R/q) < d. Do đó, theo giả thiết dim Mp (cid:54) 3. Vì thế Mp là
môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, tức là p /∈ nGCMC(M ). Do đó nGCMC(M ) = nGCM(K(M )). (ii) Chứng minh khẳng định bằng qui nạp theo t. Nếu t = 0 thì m(M ) = M . Do đó nGCMC(M ) = ∅, khẳng định là đúng. Với t = 1
thì dim R/p = d với mọi p ∈ AssR M \ {m}. Vì thế theo kết quả (i) H 0 khẳng định đúng với t = 1. Giả sử t > 1 và khẳng định đúng với t − 1.
Lấy p ∈ nGCMC(M ). Nếu p ∈ SuppR(K(M )) thì K(Mp) ∼= (K(M ))p.
Do đó p ∈ nGCM(K(M )). Nếu p /∈ SuppR(K(M )) thì q (cid:42) p với mọi
q ∈ AssR M thỏa mãn dim(R/q) = d. Vì AssR(M/Mt−1) = {q ∈ AssR M | dim(R/q) = d} nên p /∈ SuppR(M/Mt−1). Do đó, từ dãy khớp 0 → (Mt−1)p → Mp → (M/Mt−1)p → 0 ta có Mp ∼= (Mt−1)p. Vì thế p ∈ nGCMC(Mt−1). Chú ý rằng lọc chiều của Mt−1 là m(M ) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt−1.
Áp dụng giả thiết qui nạp cho Mt−1, ta có p ∈ (cid:83) H 0 k=1,...,t−1 nGCM(K(Mk)). Vì K(Mk) đẳng chiều với mọi k = 1, . . . t − 1 nên theo Định lý 3.2.2 ta (cid:91) (cid:91) có R(K(Mk)). k=1,...,t k=1,...,t
i=1,...,dk−1 Lsuppi nGCM(K(Mk)) = 90 Mệnh đề được chứng minh. Kết luận chương 4 Trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả sau. - Mô tả quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. - Đưa ra một số kết quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của môđun chính tắc K(M ) của M . 91 - Đưa ra một số ví dụ để làm sáng tỏ các kết quả trong toàn chương. 92 1. Kết luận
Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả sau.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá và đưa
ra mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenary
phổ dụng và tính không trộn lẫn của vành.
- Mở rộng một số kết quả về chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng thông qua các giá suy
rộng và đặc trưng tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy
rộng.
- Mô tả một số quĩ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích
giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích
không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Đồng thời đưa ra một số kết
quả về quỹ tích không Cohen-Macaulay và không Cohen-Macaulay suy
rộng của môđun chính tắc K(M ) của M .
2. Kiến nghị
Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau.
- Nghiên cứu một số quỹ tích như quỹ tích không Cohen-Macaulay, quỹ
tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ
tích giả Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp môđun phân bậc trên
vành phân bậc.
- Nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay có chiều lớn hơn s.
- Dựa vào các kết quả đã biết về quỹ tích để nghiên cứu cấu trúc của
vành và môđun.
- Nghiên cứu tính chất ổn định của quỹ tích liên quan đến đối đồng điều
địa phương phân bậc. 1. N. T. Cuong, L. T. Nhan, N. T. K. Nga (2010), "On pseudo sup-
ports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules",
J. Algebra, 323, 3029-3038. 2. L. T. Nhan, N. T. K. Nga, P. H. Khanh (2013), "Non Cohen-Macaulay
locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm. Algebra, To
appear, DOI:10.1080/00927872.2013.811675. 3. N. T. K. Nga (2013), "Some loci related to Cohen-Macaulayness", Journal of Algebra and Its Applications, To appear,
DOI:10.1142/S0219498814500212. - Xêmina Đại số hàng tuần - Đại học Thái Nguyên. - Xêmina của Tổ Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh. - Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Thái Nguyên, 11/2011. - Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 8/2012. - Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 8/2013. Tiếng Anh [1] T. N. An (2013), "On the attached primes and shifted localiza-
tion principle for local cohomology modules" , Algebra Colloquium,
(4)20, 671-680. [2] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to commu- tative algebra, Reading Mass: Addison-Wesley. [3] M. Brodmann and C. Rotthaus (1983), "A peculiar unmixed do- main", Proc. AMS., (4)87, 596-600. [4] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: An alge-
braic introduction with geometric applications, Cambridge Univer-
sity Press. [5] M. Brodmann and R. Y. Sharp (2002), "On the dimension and
multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math. J., 167,
217-233. [6] W. Bruns and J. Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press (Revised edition). [7] D. A. Buchsbaum (1965), Complexes in local ring theory, In: Some aspects of ring theory, C. I. M.E., Rome. [8] I. S. Cohen (1946), "On the structure and ideal theory of complete local rings", Trans. Amer. Math. Soc., 59, 54-106. [9] I. S. Cohen (1954), "Length of prime ideal chains", Amer. J. Math., 76, 654-668. [10] N. T. Cuong (1991), "On the dimension of the non Cohen-Macaulay
locus of local rings admitting dualizing complexes", Math. Proc.
Camb. Phil. Soc., 109, 479-488. [11] N. T. Cuong (1992), "On the least degree of polynomials bounding
above the differences between lengths and multiplicities of certain
systems of parameters in local rings", Nagoya Math. J., 125, 105-
114. [12] N. T. Cuong and D. T. Cuong (2007), "On sequentially Cohen- Macaulay modules", Kodai Math. J., 30, 409-428. [13] N. T. Cuong, D. T. Cuong and H. L. Truong (2010), "On a new
invariant of finitely generated modules over local rings", Journal of
Algebra and Its Applications, 9, 959-976. [14] N. T. Cuong, N. T. Dung, L. T. Nhan (2007), "Top local cohomology
and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated
module", Comm. Algebra, (5)35, 1691-1701. [15] N.T. Cuong, V. T. Khoi (1999), "Modules whose local cohomology
modules have Cohen-Macaulay Matlis duals", In: Proc. of Hanoi
Conference on Algebra Geometry, Commutative Algebra and Com-
putation Methods, D. Eisenbud (Ed.), Springer-Verlag, 223-231. [16] N. T. Cuong and N. D. Minh (2000), "Lengths of generalized frac-
tions of modules having small polynomial type", Math. Proc. Camb.
Phil. Soc., (2)128, 269-282. [17] N. T. Cuong, M. Morales and L. T. Nhan (2003), "On the length of generalized fractions", J. Algebra, 265, 100-113. [18] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On the Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J. Math., (2)30, 121-130. 95 [19] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2003), "On pseudo Cohen-Macaulay
and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules", J. Algebra, 267,
156-177. [20] N. T. Cuong, L. T. Nhan, N. T. K. Nga (2010), "On pseudo supports
and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules", J.
Algebra, 323, 3029-3038. [21] M. T. Dibaei and R. Jafari (2011), "Cohen-Macaulay loci of mod- ules", Comm. Algebra, 39, 3681-3697. [22] D. Ferrand and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d’un anneau
local Noetherian", Ann. Sci. E’cole Norm. Sup., (4)3, 295-311. [23] J-L. Garcia Roig and D. Kirby (1986), "On the Koszul homology
modules for the powers of a multiplicity systems", Mathematika, 33,
96-101. [24] S. Goto (1980), "On Buchsbaum rings", J. Algebra, 67, 272-279. [25] S. Goto (1983), "On the associated graded rings of parameters ideal in Buchsbaum rings", J. Algebra, 85, 490-534. [26] A. Grothendieck (1967), Local homology, Lect. Notes in Math., 20, Springer-Verlag Berlin- Heidelberg- New York. [27] R. Hartshorne (1966), "Property of A-sequence", Bull. Soc. Mat. France, 4, 61-66. [28] R. Hartshorne (1966), Residues and duality, Lect. Notes in Math., 20, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verllog. [29] M. Hochster (1973), "Contracted ideals from integral extensions of regular rings", Nagoya Math. J, 51, 25-43. [30] N. T. H. Loan and L. T. Nhan (2013), "On generalized Cohen-
Macaulay canonical modules", Comm. Algebra, (12)41, 4453-4462. [31] I. G. Macdonald (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring ", Symposia Mathematica, 11, 23-43. [32] H. Matsumura (1970), Commutative algebra, W. A. Benjamin, New 96 York. [33] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Uni- versity Press. [34] I. G. Macdonald and R. Y. Sharp (1972), "An elementary proof of
the non-vanishing of certain local cohomology modules", Quart. J.
Math. Oxford, (2)23, 197-204. [35] S. McAdam and L. J. Ratliff (1977), "Semi-local taut rings", Indiana Univ. Math. J., 26, 73-79. [36] M. Nagata (1962), Local rings, Interscience, New York. [37] M. Nagata (1980), "On the chain problem of prime ideals", Nagoya Math. J., 80, 107-116. [38] L. T. Nhan and T. N. An (2009), "On the unmixedness and the
universal catenaricity of local rings and local cohomology modules",
J. Algebra, 321, 303-311. [39] L. T. Nhan, N. T. K. Nga, P. H. Khanh (2013), "Non Cohen-
Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus",
Comm. Algebra, To appear, DOI:10.1080/00927872.2013.811675. [40] N. T. K. Nga (2013), related loci to Cohen-
"Some
Macaulayness", Journal of Algebra and Its Applications, To
appear, DOI:10.1142/S0219498814500212. [41] L. J. Ratliff (1971) , "Characterizations of catenary rings", Amer. J. Math., 93, 1070-1108. [42] L. J. Ratliff (1972), "Catenary rings and the altitude formula", Amer. J. Math., 94, 458-466. [43] R. Y. Sharp (1975), "Some results on the vanishing of local coho- mology modules", Proc. London Math. Soc., 30, 177-195. [44] R. Y. Sharp and M. A. Hamieh (1985), " Lengths of certain gener- 97 alized fractions", J. Pure. Appl. Algebra, 38, 323-336. [45] P. Schenzel (1998), "On the dimension filtration and Cohen-
Macaulay filtered modules", In: Proc. of the Ferrara meeting in
honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Bel-
gium, 245-264. [46] P. Schenzel (2004), "On birational Macaulayfications and Cohen- Macaulay canonical modules", J. Algebra, 275, 751-770. [47] R. P. Stanley (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, Sec- ond edition, Birkh¨auser Boston-Basel-Berlin. [48] J. St¨uckrad and W. Vogel (1986), Buchsbaum rings and applications, Spinger-Verlag. [49] N. V. Trung (1986), "Toward a theory of generalized Cohen- Macaulay modules", Nagoya Math. J., 102, 1-49. Tiếng Đức [50] N. T. Cuong, P. Schenzel, N. V. Trung (1978), "Verallgeminerte Cohen-Macaulay moduln", Math-Nachr., 85, 156-177. [51] W. Krull (1937), "Zum Dimensionsbegriff der idealtheiorie", Math. Z., 42, 745-766. [52] P. Schenzel (1982), Dualisierende Komplexe in der lokalen Alge-
bra und Buchsbaum Ringe, Lecture Notes in Math., 907, Berlin-
Heidelberg- New York, Springer- Verlag. ..
at und
verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln", Math. Nachr., 69, 227-
242. [53] P. Schenzel (1975), "Einige Anwendungen der lokalen dualit [54] J. St¨uckrad and W. Vogel (1973), "Eine Verallgemeinerung der Mul- 98 tiplicitats theorie", J. Math. Kyoto Univ., 13, 513-528.Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Tính catenary của vành
1.2 Môđun đối đồng điều địa phương
1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin
1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay
suy rộng
Chương 2
Quỹ tích không Cohen-Macaulay
2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay
2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính
không trộn lẫn
2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay
Chương 3
Quỹ tích không Cohen-Macaulay
suy rộng
3.1 Giá suy rộng
3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng
Chương 4
Một số quỹ tích liên quan đến tính
Cohen-Macaulay
4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả
Cohen-Macaulay suy rộng
4.2 Liên hệ với môđun chính tắc
Kết luận và kiến nghị
Các công trình liên quan đến luận án
Các kết quả trong luận án đã được
báo cáo và thảo luận tại
Tài liệu tham khảo
