Luận án Tiến sĩ Toán học: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến giới thiệu tới các bạn về phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff, phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến chứa giá trị biên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Nghieân cuùu sinh BUØI TIEÁN DUÕNG CAÙC COÂNG TRÌNH KHOA HOÏC ÑAÕ ÑÖÔÏC COÂNG BOÁ COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN LUAÄN AÙN TIEÁN SYÕ TOAÙN HOÏC Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc : TS. NGUYEÃN THAØNH LONG PGS.TS. NGUYEÃN HOÄI NGHÓA TP. HOÀ CHÍ MINH – 2005
LÔØI CAM ÑOAN  Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa toâi. Caùc keát quaû vaø soá lieäu trong luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong baát kyø moät coâng trình naøo khaùc. Taùc giaû luaän aùn
Lôøi caûm ôn  Con xin ghi taïc coâng ôn sinh thaønh vaø döôõng duïc cuûa Cha meï ñeå con khoân lôùn neân ngöôøi. Toâi xin ghi ôn taát caû Quyù Thaày, Coâ ñaõ daïy cho toâi töø thuôû aáu thô cho ñeán ngaøy toâi ñöôïc thaønh ñaït hoâm nay. Kính göûi ñeán TS. Nguyeãn Thaønh Long, Khoa Toaùn – Tin cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân Thaønh phoá Hoà Chí Minh, cuøng PGS. TS. Nguyeãn Hoäi Nghóa, Ban Sau Ñaïi Hoïc cuûa Ñaïi Hoïc Quoác Gia Thaønh phoá Hoà Chí Minh, loøng bieát ôn vaø taát caû nhöõng tình caûm toát ñeïp nhaát vì söï taän tuïy daïy doã cuûa Quyù Thaày ñaõ daønh cho toâi, keå caû nhöõng nghieâm khaéc caàn thieát cuûa Quyù Thaày trong vieäc höôùng daãn cho toâi hoïc taäp vaø nghieân cöùu khoa hoïc, nhaèm giuùp toâi ñöôïc neân ngöôøi. Toâi cuõng xin baøy toû loøng bieát ôn ñeán Quyù Thaày phaûn bieän ñoäc laäp luaän aùn, Quyù Thaày trong Hoäi ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Boä moân, Hoäi ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Nhaø nöôùc, ñaõ ñoùng goùp nhieàu yù kieán quyù baùu, giuùp cho toâi hoaøn thaønh toát ñeïp luaän aùn naøy. Chaân thaønh caûm ôn Quyù Thaày, Coâ cuøng caùc Chuyeân vieân ôû Vuï Ñaïi hoïc vaø Sau Ñaïi hoïc cuûa Boä Giaùo Duïc vaø Ñaøo Taïo, vaø ôû Phoøng Sau Ñaïi hoïc cuûa Truôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giuùp cho toâi hoaøn taát caùc thuû tuïc hoïc taäp vaø baûo veä luaän aùn tieán syõ. Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn Ban Giaùm Hieäu Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí Minh cuøng Quùy Thaày, Coâ ñoàng nghieäp thuoäc Khoa Khoa hoïc Cô Baûn ñaõ ñoäâng vieân vaø taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoaøn taát vieäc hoïc taäp, nghieân cöùu khoa hoïc. Ñaëc bieät xin ñöôïc caûm ôn Thaïc syõ Ninh Quang Thaêng, Khoa Tröôûng Khoa Khoa Hoïc Cô Baûn cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí Minh, ngöôøi laõnh ñaïo, ngöôøi anh, vaø laø ñoàng nghieäp ñaõ luoân saùt caùnh beân toâi, giuùp ñôõ raát nhieàu cho toâi trong söï nghieäp giaûng daïy, quaûn lyù toå chöùc ñeå cho toâi taäp trung hoaøn thaønh ñöôïc luaän aùn tieán syõ naøy. Sau cuøng, toâi xin göûi taát caû nhöõng tình caûm yeâu thöông vaø loøng bieát ôn ñoái vôùi gia ñình, nôi ñaõ göûi gaém ôû toâi nieàm tin, nôi cho toâi nhöõng an laønh vaø söùc maïnh, nhôø ñoù toâi coù theå vöôït qua khoù khaên, trôû ngaïi ñeå hoïc taäp, nghieân cöùu vaø hoaøn thaønh luaän aùn tieán syõ cuûa mình. Buøi Tieán Duõng
PHAÀN MÔÛ ÑAÀU Trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng nhö Vaät lyù, Hoùa hoïc, Cô hoïc, Kyõ thuaät, ... thöôøng xuaát hieän caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán raát phong phuù vaø ña daïng. Ñaây chính laø nguoàn ñeà taøi khoâng bao giôø caïn maø raát nhieàu caùc nhaø toaùn hoïc töø tröôùc ñeán nay quan taâm nghieân cöùu. Hieän nay, vôùi nhöõng thaønh töïu cuûa Toaùn hoïc hieän ñaïi, nhieàu coâng cuï saâu saéc döïa vaøo neàn taûng cuûa Giaûi tích haøm ñaõ xaâm nhaäp vaøo töøng baøi toaùn bieân phi tuyeán cuï theå ôû moät möùc ñoä naøo ñoù. Tuy nhieân, nhìn moät caùch toång quaùt, chuùng ta vaãn chöa coù moät phöông phaùp toaùn hoïc chung ñeå giaûi quyeát cho moïi baøi toaùn bieân phi tuyeán. Do ñoù coøn raát nhieàu caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán vaãn chöa giaûi hoaëc giaûi ñöôïc moät phaàn töông öùng vôùi soá haïng phi tuyeán cuï theå naøo ñoù. Trong luaän aùn naøy chuùng toâi seõ khaûo saùt moät soá baøi toaùn bieân coù lieân quan ñeán nhieàu vaán ñeà trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng. Chaúng haïn caùc phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi caùc loaïi ñieàu kieän bieân khaùc nhau xuaát hieän trong caùc baøi toaùn moâ taû dao ñoäng cuûa moät vaät ñaøn hoài ( moät daây hoaëc moät thanh ñaøn hoài) vôùi caùc raøng buoäc phi tuyeán ôû beà maët vaø taïi bieân, hoaëc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vôùi moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính treân moät neàn cöùng hoaëc moät neàn ñaøn nhôùt vôùi caùc raøng buoäc ñaøn hoài phi tuyeán ôû beà maët, caùc raøng buoäc lieân heä vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt. Coâng cuï ñeå khaûo saùt caùc baøi toaùn bieân treân ñöôïc chuùng toâi söû duïng vaø trình baøy trong luaän aùn laø caùc phöông phaùp cuûa Giaûi tích haøm phi tuyeán nhö: phöông phaùp Galerkin, phöông phaùp compact vaø ñôn ñieäu, phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính lieân heä vôùi caùc ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp tieäm caän ... Ngoaøi phaàn toång quan ôû chöông môû ñaàu, keát quaû chính cuûa luaän aùn seõ ñöôïc trình baøy trong hai chöông sau: Chöông 1: Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff 2 2 u tt  B(t , u )u xx  f ( x, t , u , u, u t , u ), x    (0,1), 0  t  T , (0.1) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát u x (0, t )  h0 u (0, t )  g 0 (t ), u (1, t )  g1 (t), (0.2) vaø ñieàu kieän ñaàu u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.3)
trong ñoù B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g1 laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø h0  0 laø haèng soá cho tröôùc. Trong phöông trình (0.1) caùc soá haïng phi tuyeán 2 2 B(t , u ) vaø f ( x, t , u , u , u t , u ) phuï thuoäc vaøo tích phaân 2 N 2 u u (t )   ( x, t ) dx. (0.4)  i 1 x i Phöông trình (0.1) ñöôïc toång quaùt hoùa töø phöông trình moâ taû dao ñoäng cuûa moät daây ñaøn hoài (Kirchhoff [16]): 2  E L u    hu tt  P0  ( y , t ) dy u , 0  x  L , 0  t  T, (0.5)  2 L 0 y  xx   ôÛ ñaây u laø ñoä voõng,  laø khoái löôïng rieâng, h laø thieát dieän, L laø chieàu daøi sôïi daây ôû traïng thaùi ban ñaàu, E laø moâñun Young vaø P0 laø löïc caêng luùc ban ñaàu. Tuy nhieân, trong nhieàu taøi lieäu sau naøy ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vaãn goïi phöông trình thuoäc daïng (0.5) laø phöông trình soùng chöùa toaùn töû Carrier hoaëc gheùp teân chung vaø goïi laø phöông trình soùng chöùa toaùn töû Kirchhoff-Carrier. Thaät ra giöõa hai baøi baùo goác cuûa Kirchhoff (1876)[16] vaø cuûa Carrier (1945)[7] coù söï khaùc bieät, bôûi vì chuùng toâi tìm thaáy trong [7] cuûa Carrier ñaõ coâng boá naêm 1945 thì phöông trình khoâng phaûi thuoäc daïng (0.5), maø laïi laø L   u tt   P0  P1  u 2 ( y , t )dy u xx , 0  x  L , 0  t  T, (0.6)  0  trong ñoù P0 , P1 laø caùc haèng soá döông. Trong moät soá tröôøng hôïp rieâng cuûa B vaø f, baøi toaùn Cauchy hay hoãn hôïp cho phöông trình (0.1) ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû nhö Ebihara, Medeiros vaø Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong hai coâng trình gaàn ñaây (xem [31, 32]), caùc taùc giaû Medeiros, Limaco, Menezes ñaõ cho moät toång quan caùc keát quaû veà khía caïnh toaùn hoïc coù lieân quan ñeán moâ hình Kirchhoff-Carrier. Trong [14], Frotta chuù yù nghieân cöùu phöông trình soùng cho mieàn n-chieàu   IR n 2 u tt  B( x, u )u  f ( x, t ), x  , 0  t  T , (0.7) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu. Thay vì xeùt (0.7), Larkin[18] nghieân cöùu phöông trình soùng
2 u tt  B( x, t , u (t ) )u  g ( x, t , u t )  f ( x, t ), x  , 0  t  T , (0.8) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu, vôùi 2 2 u (t )   u ( x, t ) dx.  Trong [37], caùc taùc giaû Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghieân cöùu baøi toaùn vôùi phöông trình soùng 2 u tt  B( u )u  u t  f (u )  0, x    (0,1), 0  t  T , (0.9) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp phi tuyeán vaø ñieàu kieän ñaàu. Trong [38], Tucsnak nghieân cöùu baøi toaùn 2  1 u   u tt  a  b  ( y , t ) dy u xx  0, 0  x  1 , t  0, (0.10)  y   0  u (0, t )  0, u x (1, t )   u t (1, t )  0, t  0, (0.11) u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.12) trong ñoù a  0, b  0,   0 laø caùc haèng soá cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.10) - (0.12) moâ taû söï keùo giaõn sôïi daây. Trong [30] Medeiros ñaõ khaûo saùt baøi toaùn (0.1) - (0.3) vôùi f  f (u )  bu 2 , ôû ñaây b laø moät haèng soá döông cho tröôùc,  laø moät taäp môû bò chaän cuûa IR 3 . Trong [15], Hosoya vaø  Yamada ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi f  f (u )   u u, trong ñoù  > 0 ,   0 laø caùc haèng soá cho tröôùc. Trong [8] Dmitriyeva ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn 2 u tt  .2 u  u u   u t  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ), (0.13) 2  2u u  0,  v  0 treân , 2 i (0.14) i 1 xi u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.15) trong ñoù,   (0, )  (0, ), vectô v  (v1 , v 2 ) laø phaùp tuyeán ñôn vò treân bieân  höôùng ra ngoaøi,    2 h 2 / 6, vôùi h,  laø caùc haèng soá döông. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.13)-(0.15) moâ taû dao ñoäng phi tuyeán cuûa moät baûn hình vuoâng coù taûi troïng tónh. Trong [26], N.T Long vaø caùc taùc giaû ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn
2  1 u tt   .2 u  B( u )u   u t u t  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ), (0.16) u u  0,  0 treân  , (0.17) v u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.18) trong ñoù  > 0,  > 0, 0 <  < 1 laø caùc haèng soá cho tröôùc vaø  laø moät taäp môû bò chaän cuûa IR n . Baèng caùch toång quaùt keát quaû cuûa [8, 26], caùc taùc giaû N.T Long vaø T.M. Thuyeát [27] ñaõ xeùt baøi toaùn 2 u tt  .2 u  B( u )u  f (u , u t )  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ), (0.19) u u  0,  0 treân  , (0.20) v u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ). (0.21) Trong [9], Alain Phaïm ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø daùng ñieäu tieäm caän khi   0 cuûa nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (0.1) - (0.3) vôùi B  1 lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát Dirichlet u (0, t )  u (1, t )  0, (0.22) ôû ñaây soá haïng phi tuyeán coù daïng f   f 1 (t , u ). Sau ñoù, trong [10] Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long ñaõ xeùt baøi toaùn (0.1) - (0.3) vôùi B  1 vaø soá haïng phi tuyeán coù daïng f   f1 (t , u, u t ) (0.23) Trong [21] N.T. Long vaø T.N. Dieãm ñaõ khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán u tt  u xx  f ( x, t , u, u x , u t )   f1 ( x, t , u , u x , u t ), x  (0,1), 0  t  T , 0.24) lieân keát vôùi ñieàu kieän ñaàu (0.3) vaø ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát u x (0, t )  h0 u (0, t )  u x (1, t )  h1u (0, t )  0, (0.25) trong ñoù h0 , h1 laø caùc haèng soá döông cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp f  C 2 ([0,1]  [0, )  IR 3 ) vaø f1  C 1 ([0,1]  [0, )  IR 3 ), trong [12] thu ñöôïc keát quaû thu ñöôïc lieân quan ñeán khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm baøi toaùn nhieãu ñeán caáp 2 theo moät tham soá  ñuû nhoû. Keát quaû naøy tieáp tuïc ñöôïc môû roäng trong [24] vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff: 2 2 u tt  [b0  B( u x )   .B1 ( u x )] u xx (0.26)  f ( x, t , u, u x , u t )   f1 ( x, t , u , u x , ut ),
lieân keát vôùi ñieàu kieän (0.3) vaø (0.22) trong ñoù b0  0 laø haèng soá cho tröôùc vaø B  C 2 ( IR ), B1  C 1 ( IR ), B  0, B1  0 laø caùc haøm cho tröôùc. Trong chöông naøy, chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà: Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi lieân keát baøi toaùn vôùi moät daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp vaø chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn baèng phöông phaùp Galerkin thoâng duïng keát hôïp vôùi phöông phaùp compact. Chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong chöông naøy cuõng nhö trong caùc baøi baùo [6, 10, 21, 23, 24, 33] khoâng theå söû duïng trong caùc baøi baùo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34] Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu 2 2 u tt  [ B(t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx 2 2 (0.27)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f1 ( x, t , u , u x , u t , u x ) vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu u ε ( x, t ) ñeán caáp N+1 theo moät tham soá beù . Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn (0.1) - (0.3) töông öùng vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát 2 2 u tt  B( u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1), 0  t  T , (0.28) u x (0, t )  h0 u (0, t )  u (1, t )  0, (0.29) u ( x,0)  u~0 ( x), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.30) trong ñoù B, f , u~0 , u~1 laø caùc haøm cho tröôùc. ÔÛ ñaây, soá haïng phi tuyeán ôû veá phaûi cuûa (0.28) xaùc ñònh bôûi haøm f ñöôïc giaû söû raèng f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR ) vaø theâm moät soá ñieàu kieän phuï. Keá tieáp chuùng toâi môû roäng vieäc khaûo saùt cuõng vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff-Carrier nhöng laïi lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát nhö sau: 2 2 u tt  B(t , u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1), 0  t  T , (0.31) u x (0, t )  h0 u (0, t )  g 0 (t ), u (1, t )  g1 (t), (0.32) u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.33) trong ñoù B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g1 laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát sau. Baèng vieäc ñaët aån phuï thích hôïp, chuùng toâi ñöa baøi toaùn (0.31) - (0.33) veà baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát thuoäc daïng (0.28) - (0.30) vôùi söï ñieàu chænh laïi caùc haøm B, f , u~0 , u~1 trong (0.28) - (0.30) thaønh caùc haøm
~ ~ B , f , v~0 , v~1 . Tuy nhieân ñeå giaûi baøi toaùn (0.31) - (0.33) thì giaû thieát f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR ) khoâng ñuû maø phaûi laø f  C 1 ([0,1]  IR  IR 3  IR ), dó nhieân cuõng phaûi boå sung theâm moät soá ñieàu ~ ~ kieän phuï. Maët khaùc cho duø f  C 1 ([0,1]  IR  IR 3  IR ), thì vôùi caùc döõ kieän B , f , v~0 , ~v1 cho baøi toaùn (0.31) - (0.33) cuõng khoâng aùp duïng tröïc tieáp keát quaû ñaõ khaûo saùt cho baøi toaùn (0.28) - (0.30). Ñieàu naøy cho thaáy raèng baøi toaùn (0.28) - (0.30) laø tröôøng hôïp rieâng cuûa baøi toaùn (0.31) - (0.33), nhöng veà keát quaû thì laïi laø khoâng. Chính vì vaäy, chuùng toâi vaãn phaûi trình baøy hai baøi toaùn (0.1) - (0.3) töông öùng vôùi hai ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát vaø khoâng thuaàn nhaát. Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt phöông trình nhieãu 2 2 u tt  [ B (t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx 2 2 0.34)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f1 ( x, t , u , u x , u t , u x ) lieân keát vôùi (0.32) vaø (0.33). Khi ñoù vôùi caùc giaû thieát thích hôïp veà B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g1 , chuùng toâi thu ñöôïc moät nghieäm yeáu u ε ( x, t ) coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû. Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän ñeán caáp cao hôn cho phöông trình nhieãu 2 2 u tt  [ B ( u x )  ε.B1 ( u x )] u xx 2 2 (0.35) lieân keát vôùi (0.29)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f ( x, t , u, u x , u t , u x ) vaø (0.30). Chuùng toâi thu ñöôïc moät nghieäm yeáu u ε ( x, t ) coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät tham soá  ñuû nhoû vaø caùc giaû thieát thích hôïp cho B, f , u~0 , u~1 . Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1, d2] Chöông 2: Chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi moät phöông trình tích phaân phi tuyeán chöùa giaù trò bieân. Baøi toaùn ñaët ra laø tìm moät caëp haøm (u, P) thoûa u tt  u xx  f (u, u t )  0, x    (0,1), 0  t  T , (0.36) u x (0, t )  P(t ), u (1, t )  0, (0.37) u ( x,0)  u 0 ( x ), u t ( x,0)  u1 ( x), (0.38) trong ñoù f , u 0 , u1 laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù seõ ñöôïc giaû thieát sau. AÅn haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa moät phöông trình tích phaân phi tuyeán
t P(t )  g (t )  H (u (0, t ))   K (t  s, u (0, s ))ds, (0.39) 0 trong ñoù g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc. Baøi toaùn (0.36) - (0.39) ñaõ ñöôïc nhieàu taùc giaû quan taâm nghieân cöùu theo nhieàu kieåu ñieàu kieän bieân khaùc nhau töông öùng vôùi caùc yù nghóa cô hoïc naøo ñoù, chaúng haïn nhö : Trong [1], N.T. An vaø N.Ñ. Trieàu vaø trong [20] N.T. Long, Alain P.N. Ñònh ñaõ xeùt baøi toaùn (0.36), (0.38) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân u x (0, t )  P(t ), u (1, t )  0, (0.40) trong ñoù aån haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân thöôøng P ' ' (t )   2 P (t )  hu tt (0, t ), 0  t  T , (0.41) P(0)  P0 , P' (0)  P1 , (0.42) ôû ñaây   0, h  0, P0 , P1 laø caùc haèng soá cho tröôùc [1, 20]. Trong [1] ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa baøi toaùn (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) vôùi u 0  u1  P0  0 vaø f (u , u t )  Ku   .u t , (0.43) vôùi K vaø  laø caùc haèng soá döông cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.41), (0.42) laø moâ hình toaùn hoïc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính coù moät ñaàu ñaët treân moät neàn cöùng. Baèng vieäc giaûi baøi toaùn (0.41), (0.42) ta thu ñöôïc P(t) bieåu thò theo P0 , P1 ,  , h, u tt (0, t) vaø sau khi tích phaân töøng phaàn, ta ñöôïc t P(t )  g (t )  hu (0, t )   k (t  s )u (0, s )ds, (0.44) 0 trong ñoù  1  g (t )  ( P0  h0 u (0)) cos  t  ( P1  hu1 (0)) sin  t ,   (0.45) k (t )  h sin  t. Baèng caùch khöû bôùt moät aån haøm P(t) thì ñieàu kieän bieân (0.37) coù daïng
t u x (0, t )  g (t )  hu (0, t )   k (t  s )u (0, s )ds, u (1, t )  0. (0.46) 0 Cuõng vôùi f (u , u t )  Ku  .u t , trong [5], Bergounioux, N.T. Long vaø Alain P.N. Ñònh ñaõ khaûo saùt baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.44) vaø u x (0, t )  P(t ), u x (1, t )  K 1u (1, t )   .u t (1, t )  0, (0.47) ôû ñaây K ,  , K1 , 1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc. Baøi toaùn naøy moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính töïa treân moät neàn ñaøn nhôùt vôùi caùc raøng buoäc tuyeán tính ôû beà maët vaø caùc raøng buoäc lieân keát vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt. Trong tröôøng hôïp  1 f (u , u t )  u t u t (0    1), (0.48) Ñ.Ñ. AÙng vaø Alain P.N. Ñònh trong [3] ñaõ thieát laäp ñöôïc moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät nghieäm toaøn cuïc cho baøi toaùn (0.36) - (0.38) vôùi P, u 0 , u1 laø caùc haøm cho tröôùc. Baèng söï toång quaùt hoùa cuûa [1, 3, 20], baøi toaùn (0.36) - (0.38) cuõng ñöôïc xeùt bôûi - Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long [11,12] vôùi k  0 vaø P(t )  g (t )  H (u (0, t )), (0.49) ôû ñaây H laø haøm cho tröôùc cuõng nhaän tröôøng hôïp H(s) = hs nhö laø tröôøng hôïp rieâng. - N.T. Long vaø T.M. Thuyeát [28] vôùi t P (t )  g (t )  H (u (0, t ))   k (t  s )u (0, s )ds. (0.50) 0 Trong chöông naøy, chuùng toâi thöïc hieän hai phaàn chính. ÔÛ phaàn thöù 1, chuùng toâi chöùng minh ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu toaøn cuïc cuûa baøi toaùn (0.36) - (0.39). Vieäc chöùng minh döïa treân cô sôû cuûa phöông phaùp xaáp xæ Galerkin keát hôïp vôùi caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm, caùc kyõ thuaät cuûa phöông phaùp compact vaø phöông phaùp hoäi tuï yeáu. Trong phaàn xaáp xæ Galerkin, chuùng toâi cuõng söû duïng ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng Schauder ñeå kieåm tra söï toàn taïi cuûa nghieäm xaáp xæ. Söï khoù khaên chính gaëp phaûi trong phaàn naøy laø ñieàu kieän bieân taïi x  0 . Ta chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa ñaõ söû duïng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33] khoâng duøng ñöôïc trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]. Trong phaàn thöù 2 cuûa chöông naøy, chuùng toâi chöùng minh nghieäm (u,P) laø oån ñònh ñoái
vôùi caùc haøm g, H vaø K. Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong [1, 3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3]. Caùc keát quaû treân ñaây cuûa luaän aùn ñaõ ñöôïc coâng boá trong ([d1]-[d4]) vaø ñaõ tham gia baùo caùo trong caùc hoäi nghò: - Hoäi nghò veà Phöông trình ñaïo haøm rieâng vaø ÖÙng duïng, Haø Noäi, 27-29/12/99. - Hoäi nghò Toaùn hoïc Vieät nam toaøn quoác laàn thöù 6, Hueá, 7-10/9/2002. - Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 2, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 5-2000. - Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 3, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 10-2002. - Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 22/12/2000. - Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 21-22/12/2002.
Chöông 1 PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN COÙ CHÖÙA TOAÙN TÖÛ KIRCHHOFF 1.1. Giôùi thieäu Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff ñöôïc lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp 2 2 u tt  B(t , u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1), 0  t  T , (1.1.1) u x (0, t )  h0 u (0, t )  g 0 (t ), u (1, t )  g1 (t), (1.1.2) u ( x,0)  u~0 ( x), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (1.1.3) trong ñoù B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g 1 laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá giaû thieát naøo ñoù maø ta seõ ñaët sau. 2 2 Trong phöông trình (1.1.1) caùc soá haïng phi tuyeán B(t , u x ) vaø f ( x, t , u , u x , u t , u x ) phuï thuoäc vaøo tích phaân 1 2 2 ux   u x ( x, t ) dx. (1.1.4) 0 Chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa phöông cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi hai tröôøng hôïp thuaàn nhaát ( g 0 (t )  g1 (t )  0 ) vaø khoâng thuaàn nhaát ( g 0 (t )  0  g 1 (t ) ). YÙ töôûng vaø coâng cuï toång quaùt ñeå khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm laø thieát laäp moät daõy qui naïp tuyeán tính lieân keát vôùi baøi toaùn, sau ñoù söû duïng xaáp xæ Galerkin vaø phöông phaùp compact ñeå chöùng minh daõy naøy hoäi tuï maïnh veà nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp. Söï duy nhaát nghieäm ñöôïc chöùng minh nhôø vaøo boå ñeà Gronwall sau moät soá caùc pheùp tính toaùn vaø ñaùnh giaù cuï theå. Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu 2 2 u tt  [ B(t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx 2 2 (1.1.5)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε. f1 ( x, t , u , u x , u t , u x )
lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu u ε ( x, t ) ñeán moät caáp naøo ñoù phuï thuoäc vaøo tính trôn cuûa caùc haøm B, B1 , f , f1 theo moät tham soá beù . Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát 2 2 u tt  B( u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x  (0,1), 0  t  T , (1.1.6) u x (0, t )  h0 u (0, t )  u (1, t )  0, (1.1.7) u ( x,0)  u~0 ( x), u t ( x,0)  u~1 ( x), (1.1.8) trong ñoù B, f , u~0 , u~1 laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø h0  0 laø haèng soá cho 2 tröôùc. Trong phöông trình (1.1.6) soá haïng phi tuyeán B( u x ) baây giôø khoâng phuï thuoäc vaøo bieán thöù 1 2 2 nhaát ( bieán thôøi gian t ) maø chæ phuï thuoäc vaøo tích phaân u x   u x ( x, t ) dx . Sau ñoù, vôùi moät soá giaû 0 thieát naøo ñoù treân caùc haøm cho tröôùc B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g 1 vaø baèng vieäc ñoåi aån haøm baèng pheùp tònh tieán v( x, t )  u ( x, t )   ( x, t ),   x t  1 ( x  1) g (t )  e h0 ( x  t ) g (t ), (1.1.9)  ( , ) 1 h 0 1  0 baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát sau 2 ~ 2 vtt  B(t , v x (t )   x (t ) )v xx  f ( x, t , v, v x , vt , v x (t )   x (t ) ), (1.1.10) 0  x  1, 0  t  T , v x (0, t )  h0 v(0, t )  v(1, t )  0, (1.1.11) v( x,0)  v~0 ( x), vt ( x,0)  v~1 ( x), (1.1.12) trong ñoù ~ f ( x, t , v, v x , vt , z )  f ( x, t , v   , v x   x , vt   t , z )  B (t , z ) zz   tt , (1.1.13) v~0 ( x )  u~0 ( x )   ( x,0), v~1 ( x)  u~1 ( x )   t ( x,0). (1.1.14) Tuy nhieân, baøi toaùn (1.1.10) - (1.1.13) khoâng söû duïng ñöôïc keát quaû cuûa baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8). Do ñoù, chuùng toâi tieáp tuïc trình baøy chöùng minh keát quaû toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi tröôøng hôïp khoâng thuaàn nhaát ( g 0 (t )  0  g 1 (t ) ).
Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt phöông trình nhieãu (1.1.5) lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø thu ñöôïc moät nghieäm yeáu u ε ( x, t ) coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû. Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän cho phöông trình nhieãu 2 2 u tt  [ B ( u x )  ε B1 ( u x )] u xx 2 2 (1.1.15)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε f 1 ( x, t , u , u x , u t , u x ) lieân keát vôùi (1.1.7) vaø (1.1.8) ñeå thu ñöôïc moät nghieäm yeáu u ε ( x, t ) coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät tham soá beù . Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1, d2]. 1.2. Kyù hieäu vaø caùc keát quaû chuaån bò Chuùng ta boû qua caùc ñònh nghóa cuûa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng. Ta kyù hieäu LP  LP(Ω ), H m  H m (Ω ), H 0m  H 0m(Ω ), QT  Ω  ( 0 ,T), T  0. Ta duøng kyù hieäu  ,  ñeå chæ tích voâ höôùng trong L2 hay caëp tích ñoái ngaãu cuûa moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vôùi moät phaàn töû cuûa moät khoâng gian haøm Kyù hieäu  ñeå chæ chuaån trong L2 vaø kyù hieäu  X ñeå chæ chuaån trong moät khoâng gian Banach X. Ta goïi X  laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa X. Ta kyù hieäu LP (0, T ; X ), 1  p  , laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm ño ñöôïc u : ( 0 ,T)   X, sao cho 1 T P  p u LP (0 ,T ; X )    u (t ) X dt    neáu 1  p  , 0  vaø u L  ( 0,T ; X )  ess sup u (t ) X neáu p  . 0t T Kyù hieäu u (t ), u t (t )  u (t ), u tt (t )  u(t ), u x (t )  u (t ), u xx (t )  u (t ) thay cho u ( x, t ), (u / t )( x, t ), ( 2 u / t 2 )( x, t ), (u / x )( x, t ), ( 2 u / x 2 )( x, t ) laàn löôït töông öùng. Vôùi f = f(x,t,u,v,w,z), ta ñaët
D1 f  f / x, D2 f  f / t , D3 f  f / u, D4 f  f / v, D5 f  f / w, D6 f  f / z. Baây giôø ñaët V  { v  H 1 (0,1) : v (1)  0 }, (1.2.1) 1 a(u, v)   u x ( x)v x ( x)dx  h0 u (0)v(0). (1.2.2) 0 Khi ñoù V laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa H 1 vaø treân V thì ba chuaån v H1 , v x , v V  a (v, v) laø töông ñöông. Chuùng ta coù caùc boå ñeà sau Boå ñeà 1.2.1. Pheùp nhuùng V  C 0 ([0,1]) laø compact vaø vôùi moïi v  V , ta coù v C 0 ([0 ,1])  vx  v V , (1.2.3) 1 v H1  v x  v V  max(1, h0 ) v H1 . (1.2.4) 2 Boå ñeà 1.2.2. Daïng song tuyeán tính ñoái xöùng a( , ) ñöôïc ñònh nghóa trong (1.2.2) laø lieân tuïc treân V  V vaø cöôõng böùc treân V. ~ } cuûa L2 goàm caùc haøm rieâng { w Boå ñeà 1.2.3. Toàn taïi moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert { w ~ } töông öùng j j vôùi giaù trò rieâng  j sao cho : 0  1   2  ...   j  ..., lim  j   , (1.2.5) j   ~ , v)   w a( w ~ , v vôùi moïi v  V , j = 1, 2, ... (1.2.6) j j j ~ /  } cuõng laø moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa V ñoái vôùi tích voâ höôùng Hôn nöõa, daõy {w j j ~ cuõng thoûa baøi toaùn giaù trò bieân a( , ). Maët khaùc, w j   w ~  w ~ trong , j j j ~ ~ ~  w jx (0)  h0 w j (0)  w j (1)  0, (1.2.7)  ~  V  C  ([0,1]). w  j Vieäc chöùng minh caùc boå ñeà 1.2.1 vaø 1.2.2 thì khoâng coù gì khoù khaên vaø phöùc taïp, ta coù theå boû qua. Ñoái vôùi boâû ñeà 1.2.3, phaàn chöùng minh coù theå tìm thaáy trong [35], trang 137, Ñònh lyù 6.2.1, vôùi H = L2 , coøn V, a( , ) ñöôïc ñònh nghóa bôûi (1.2.1) vaø (1.2.2) .
1.3. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát Chuùng ta baét ñaàu khaûo saùt baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8) vôùi caùc giaû thieát ñöôïc ñaët ra döôùi ñaây ( H 1 ) : h0  0 ( H 2 ) : u~0  V  H 2 , u1  V ; ( H 3 ) : B  C 1 ( IR ), B ( z )  b0  0; ( H 4 ) : f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR ) thoûa ( H 4' ) : f (1, t , u , v, w, z )  0 vôùi moïi t, z  0 vaø (u , v, w)  IR 3 , ( H 4'' ) : Di f  C 0 ([0,1]  IR  IR 3  IR ), i  1, 3, 4, 5, 6. (Chuù yù raèng khoâng caàn thieát f  C 1 ([0,1]  IR  IR 3  IR ). Vôùi B vaø f thoûa caùc giaû thieát ( H 3 ) vaø ( H 4 ) töông öùng, ta xaây döïng caùc haèng soá sau ñoái vôùi moãi M > 0 vaø T > 0 K 0  K 0 ( M , T , f )  sup f ( x, t , u , v, w, z ) , (1.3.1) 6 K 1  K 1 ( M , T , f )  sup( D1 f   Di f )( x, t , u , v, w, z ), (1.3.2) i 3 ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn 0  t  T , 0  x  1, u  v  w  M , 0  z  M 2 . ~ K 0  K 0 ( M , B)  sup B( z ) , (1.3.3) 0 z M 2 ~ K 1  K 1 ( M , B )  sup B' ( z ) . (1.3.4) 0 z M 2 Vôùi moãi M > 0 vaø T > 0, ta ñaët W ( M , T )  { v  L (0, T ;V  H 2 ) : vt  L (0, T ;V ), vtt  L2 (QT ), (1.3.5) v L ( 0 ,T ;V  H 2 ) , vt L ( 0 ,T ;V ) , v tt L2 ( QT )  M }, W1 ( M , T )  {v  W ( M , T ), vtt  L (0, T , L2 )}. (1.3.6) Ta lieân keát baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8) vôùi moät daõy quy naïp tuyeán tính {u m } sau Tröôùc heát, choïn soá haïng ñaàu tieân u 0  u~0 . Giaû söû raèng u m 1  W1 (M , T ). (1.3.7) Sau ñoù, tìm u m  W1 ( M , T ) thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính um (t ), v  bm (t )a (u m (t ), v)   Fm (t ), v vôùi moïi v  V , (1.3.8)
u m (0)  u~0 , u m (0)  u~1 , (1.3.9) ôû ñaây bm (t )  B( u m 1 (t ) 2 ),  2 (1.3.10) Fm ( x, t )  f ( x, t , u m 1 (t ), u m 1 (t ), u m 1 (t ), u m 1 (t ) ). Khi ñoù, ta coù Ñònh lyù 1.3.1. Giaû söû caùc giaû thieát ( H 1 )  ( H 4 ) ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính {u m }  W1 ( M , T ) ñöôïc xaùc ñònh bôûi (1.3.8)  (1.3.10). Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñònh lyù bao goàm nhieàu böôùc Böôùc1. Xaáp xæ Galerkin (xem Lions[17]) ~ /  } nhö ñaõ neâu ra trong boå ñeà 1.2.3. Trong V ta choïn cô sôû tröïc chuaån Hilbert {w j  w j j Ñaët k u m( k ) (t )   c mj (k ) (t ) w j , (1.3.11) j 1 trong ñoù c mj (k ) thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính um( k ) (t ), w j   bm (t )a(u m( k ) (t ), w j )   Fm (t ), w j  , 1  j  k, (1.3.12) u m( k ) (0)  u~0k , u m( k ) (0)  u~1k , (1.3.13) ôû ñaây u~0k  u~0 maïnh trong V  H 2 , (1.3.14) u~1k  u~1 maïnh trong V . (1.3.15) Töø giaû thieát u m 1  W1 (M , T ) ta suy ra heä phöông trình (1.3.12)  (1.3.13) coù duy nhaát nghieäm u m( k ) (t ) trong khoaûng 0  t  Tm( k )  T . Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây cho pheùp ta laáy Tm( k )  T vôùi moïi m vaø k. Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Ñaët t 2 S (k ) m (t )  X (k ) m (t )  Y(k) m (t )   um( k ) ( s ) ds, (1.3.16) 0
ôû ñaây 2 X m( k ) (t )  u m( k ) (t )  bm (t )a (u m( k ) (t ), u m( k ) (t )), (1.3.17) 2 Ym( k ) (t )  a (u m( k ) (t ), u m( k ) (t ))  bm (t ) u m( k ) (t ) . (1.3.18) Töø (1.3.12), (1.3.13) vaø (1.3.16)  (1.3.18), ta ñöôïc t 2 S (k ) m (t )  S (k ) m (0)   bm ( s ) a(u m( k ) ( s ), u m( k ) ( s ))  u m( k ) (s ) ds 0   t t + 2  Fm ( s), u m( k ) ( s) ds  2  a ( Fm ( s), u m( k ) ( s))ds 0 0 t 2   um( k ) (s ) ds 0 = S m( k ) (0)  I 1  I 2  I 3  I 4 . (1.3.19) Chuùng ta tieán haønh ñaùnh giaù caùc tích phaân coù maët trong veá phaûi cuûa (1.3.19). Tích phaân thöù 1. Ta coù 2 bm (t )  B( u m 1 (t ) ), 2 bm (t )  2 B ( u m1 (t ) )u m 1 (t ), u m 1 (t ). (1.3.20) Duøng giaû thieát ( H 3 ), ta thu ñöôïc töø (1.3.4) vaø (1.3.7), raèng  bm (t )  2 B  u m 1 (t ) 2  ~ u m 1 (t ) u m 1 (t )  2 M 2 K 1 . (1.3.21) Keát hôïp (1.3.16)  (1.3.18) vaø (1.3.21), ta ñöôïc ~ t 2M 2 K1 I1   S m( k ) ( s )ds. (1.3.22) b0 0 Tích phaân thöù 2. Töø (1.3.1), (1.3.10), (1.3.16) vaø (1.3.17), ta coù t t (k) I 2  2  Fm ( s ) u m ( s ) ds  2 K 0  S m( k ) (s ) ds. (1.3.23) 0 0 Tích phaân thöù 3. Töø (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) vaø (1.3.10) ta suy ñöôïc raèng 2 2 Fm (s ) V = Fm (s)  h0 Fm2 (0, s)  4 K12 (1  3M 2 )  h0 K 02 . (1.3.24)
Do vaäy töø (1.3.16), (1.3.18) vaø (1.3.24) ta thu ñöôïc t I 3  2  Fm ( s ) V u m( k ) ( s ) ds V 0 t  2[2 K 1 1  3M 2  h0 K 0 ] S m( k ) (s )ds. (1.3.25) 0 Tích phaân thöù 4. Phöông trình (1.3.12) ñöôïc vieát laïi um( k ) (t ), w j   bm (t ) u m( k ) (t ), w j    Fm (t ), w j  , 1  j  k, (1.3.26) theo ñoù ta thay w j bôûi um( k ) (t ) vaø tích phaân hai veá ta ñöôïc t t t 2 2 2  u (k ) 2 (k ) m ( s ) ds  2 b (s ) um m ( s ) ds  2  Fm (s ) ds. (1.3.27) 0 0 0 Töø (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) vaø (1.3.18), ta keát luaän t ~ I 4  2 K 0  S m( k ) ( s )ds  2TK 02 . (1.3.28) 0 Keát hôïp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) vaø (1.3.28), ta coù t S (k ) m (t )  S (k ) m 2  2 (0)  2TK  2 2 K 1 1  3M  (1  h0 ) K 0 0  S m( k ) ( s ) ds 0 ~ ~ M 2 K1  t ( k )   2 K 0    S m ( s )ds b   0 0 1  S m( k ) (0)  2TK 02  T [2 K 1 1  3M 2  (1  h0 ) K 0 ]2 2 ~  ~ M 2 K1  t ( k )  21  K 0   S m ( s )ds  b0  0 t  S m( k ) (0)  C1 ( M , T )  C 2 (M ) S m( k ) (s )ds , (1.3.29) 0 ôû ñaây  2 1 2 2 C1 ( M , T )  2TK 0  2 T [2 K 1 1  3M  (1  h0 ) K 0 ] ,   ~ (1.3.30)  C 2 (M )  21  K~ M 2 K1  0  .   b   0 