Luận án Tiến sĩ Vật lí: Nghiên cứu sự lan truyền xung laser trong môi trường nguyên tử ba mức khi có mặt hiệu ứng EIT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜ NG ĐẠI HỌC VINH ---------- HOÀNG MINH ĐỒNG NGHIÊN CỨU SỰ LAN TRUYỀN XUNG LASER

TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ BA MỨC KHI CÓ MẶT

HIỆU ỨNG EIT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ

NGHỆ AN - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜ NG ĐẠI HỌC VINH ---------- HOÀNG MINH ĐỒNG NGHIÊN CỨU SỰ LAN TRUYỀN XUNG LASER

TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ BA MỨC KHI CÓ MẶT

HIỆU ỨNG EIT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ

Chuyên ngành: QUANG HỌC Mã số : 62.44.01.09

Ngườ i hướng dẫn khoa học: GS.TS. Đinh Xuân Khoa

NGHỆ AN - 2017

LỜ I CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung của bản luận án này là công trình nghiên

cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đinh Xuân Khoa.

Các kết quả trong luận án là trung thực và được công bố trên các ta ̣p chı́ chuyên ngành ở trong nước và quốc tế.

Tá c giả luận á n

Hoàng Minh Đồng

iii

LỜ I CẢ M ƠN

Luâ ̣n án đươ ̣c hoàn thành dưới sự hướ ng dẫn khoa ho ̣c củ a GS.TS.

Đinh Xuân Khoa. Tôi xin đươ ̣c bày tỏ lò ng biết ơn chân thành nhất đến thầy giáo hướng dẫn - người đã đặt đề tài, giúp đỡ, hướng dẫn tâ ̣n tình và động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô giáo, các nhà khoa học, các

bạn đồng nghiệp và các NCS của khoa Vật lý & Công nghệ Trường Đại học

Vinh về những ý kiến đóng gó p khoa ho ̣c bổ ı́ch cho nô ̣i dung luâ ̣n án, ta ̣o điều kiê ̣n tố t nhất trong thời gian tôi học tập và nghiên cứ u khoa ho ̣c tại

trườ ng.

Tôi cũng xin đươ ̣c cảm ơn Ban giám hiê ̣u trườ ng Cao đẳng giao thông

vận tải Miền Trung đã giú p đỡ và ta ̣o mo ̣i điều kiê ̣n thuâ ̣n lơ ̣i nhất cho viê ̣c ho ̣c tập và nghiên cứu của tôi trong những năm qua.

Cuố i cù ng, tôi xin gử i lờ i cảm ơn sâu sắc đến gia đı̀nh, ngườ i thân và

ba ̣n bè đã quan tâm, đô ̣ng viên và giú p đỡ để tôi hoàn thành bản luâ ̣n án này.

Xin trân trọng cảm ơn !

Tá c giả luận á n

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾ T TẮ T TIẾ NG ANH

DÙ NG TRONG LUẬN Á N

Từ viết tắ t Nghı ̃a

EIT

Electromagnetically Induced Transparency – Sự trong suố t cảm ứ ng điê ̣n từ .

CPT

Coherence Population Trapping – Bẫy đô ̣ cư trú kết hơ ̣p.

LWI

Lasing Without Inversion – Phát laser không có đảo lộn đô ̣ cư trú.

Self-phase modulation – Tự biến điệu pha

SPM

group-velocity dispersion – Tán sắc vận tốc nhóm

GVD

SGC

Spontaneously generated coherence – Đô ̣ kết hơ ̣p đươ ̣c ta ̣o bở i phát xa ̣ tự phát

Real part – Phần thực

Imaginary part – Phần ảo

Rotating wave approximation – Gần đúng sóng quay

RWA

Slowly-varying envelope approximation – Gần đúng hàm bao biến

SVEA

thiên chậm

DANH MỤC CÁ C KÝ HIỆU DÙ NG TRONG LUẬN Á N

Ký hiê ̣u

Giá trị

Nghı ̃a

2,998  108 m/s Vâ ̣n tố c ánh sáng trong chân không

m

dnm

Mômen lưỡng cực điê ̣n củ a dịch chuyển n

Cườ ng đô ̣ điê ̣n trườ ng chù m laser điều khiển

Cườ ng đô ̣ điê ̣n trườ ng chù m laser

Năng lươ ̣ng riêng củ a tra ̣ng thái n

Xung lươ ̣ng gó c toàn phần của nguyên tử

Hamtilton toàn phần

Hamilton củ a nguyên tử tự do

Hamilton tương tác giữa hệ nguyên tử và trườ ng ánh sáng

1,38  10-23 J/K Hằng số Boltzmann

mRb

1,44  10-25 kg

Khố i lươ ̣ng củ a nguyên tử Rb

Chiết suất hiê ̣u dụng

Mâ ̣t độ nguyên tử

Độ lớn vectơ phân cực điê ̣n (vı̃ mô)

Nhiê ̣t độ tuyê ̣t đối

0

1,26  10-6 H/m Đô ̣ từ thẩm của chân không

8,85  10-12 F/m Đô ̣ điê ̣n thẩm của chân không

0



Hằng số điện môi tỷ đối

nm

Tần số gó c của di ̣ch chuyển nguyên tử

c

Tần số gó c của chù m laser điều khiển

p

Tần số góc củ a chù m laser



Tốc đô ̣ phân rã tự phát



Tốc đô ̣ suy giảm tự phát đô ̣ kết hơ ̣p

vc

Tốc đô ̣ suy giảm đô ̣ kết hơ ̣p do va cha ̣m

Ma trận mâ ̣t đô ̣



Tần số Rabi



Tần số Rabi suy rộng



Tần số Rabi gây bởi trường laser điều khiển

c

p

Tần số Rabi gây bởi trườ ng laser

Độ lê ̣ch giữa tần số laser với tần số di ̣ch chuyển



nguyên tử (viết tắt: độ lệch tần số)

c

Độ lê ̣ch giữa tần số củ a laser điều khiển vớ i tần số di ̣ch chuyển nguyên tử

Đô ̣ lê ̣ch giữa tần số củ a laser với tần số di ̣ch

p

chuyển nguyên tử



Khoảng cách giữa các mức năng lượng

Độ rộng xung

0

Độ rộng Doppler



Tham số liên kết nguyên tử với trường

p

Tham số liên kết nguyên tử với trường laser

Tham số liên kết nguyên tử với trường laser điều khiển

c

vii

Độ sâu quang học

p

Tốc độ bơm không kết hợp

Pha của trường laser

p

Pha của trường laser điều khiển

c

Độ lệch pha của trường laser và trường laser



điều khiển

Góc giữa hai mô men lưỡng cực điện



viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THI ̣

Nô ̣i dung

Hı̀nh

Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử hai mức.

1.1

Dao động của độ cư trú trong trạng thái kích thích.

1.2

1.3

Xung Gaussian với độ rộng xung 0 = 1 và diện tích xung 0t = 2.

1.4

Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang tương tác với

trường laser và trường laser điều khiển.

1.5

Sơ đồ kı́ch thı́ch nguyên tử ba mứ c năng lượng cấu hình: (a) bậc thang, (b) lambda và (c) chữ V [9].

1.6

Nguyên tử ba mứ c được kích thı́ch bở i hai trườ ng laser theo cấu hı̀nh bậc thang: (a) sự mô tả tra ̣ng thái nguyên tử trần và (b) sự mô tả tra ̣ng thái

nguyên tử mă ̣c [66].

Hai nhánh kı́ch thı́ch nguyên tử từ trạng thái cơ bản 1 tới trạng thái 2 :

1.7

nhánh 1, kı́ch thı́ch trực tiếp 1

2 và nhánh 2, kı́ch thı́ch gián tiếp

3    .

(a) đồ thị hê ̣ số hấp thu ̣ và (b) đồ thi ̣ hê ̣ số tán sắc: đườ ng liền nét ứ ng vớ i

1.8

khi có trườ ng laser điều khiển còn đườ ng đứ t nét ứ ng với khi không có trườ ng laser điều khiển [66].

Các mức năng lượng siêu tinh tế của nguyên tử 87Rb [33, 67], thường được

1.9

sử dụng trong cấu hình bậc thang.

Sơ đồ hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang được kích thích bởi trường

2.1

laser và trường laser điều khiển.

Sự biến thiên theo thời gian của hàm bao xung laser p(,) khi cố định độ

2.2

rộng xung 0 = 25 ps, tại các độ sâu quang học khác nhau: p = 0 (màu

xanh liền nét), p = 5 ns-1 (màu đỏ đứt nét), p = 10 ns-1 (màu đen chấm

chấm). Cường độ đỉnh và diện tích xung của xung laser điều khiển được cho

như trên hình.

2.3

Sự biến thiên theo thời gian của hàm bao xung laser p(,) khi cố định độ

rộng xung 0 = 25 ns, tại các độ sâu quang học khác nhau: p = 0 (màu

xanh liền nét), p = 5 ns-1 (màu đỏ đứt nét), p = 10 ns-1 (màu đen chấm

chấm). Cường độ đỉnh và diện tích xung của xung laser điều khiển được cho

như trên hình.

Sự biến thiên theo thời gian của các độ cư trú tại các độ sâu quang học khác

2.4

nhau p = 0 (đường liền nét) và p = 10 ns-1 (đường đứt nét). Cường độ

đỉnh và diện tích xung của xung laser điều khiển tương ứng là Ωc0 = 10 GHz và

Ωc0τ0 = 250.

2.5

Sự biến thiên theo thời gian của hàm bao xung laser p(,) khi cố định độ

rộng xung 0 = 0,25 s, tại các độ sâu quang học khác nhau: p = 0 (màu

xanh liền nét), p = 5 ns-1 (màu đỏ đứt nét), p = 10 ns-1 (màu đen chấm

chấm). Cường độ đỉnh và diện tích xung của xung laser điều khiển được cho

như trên hình.

2.6

(a) Sự biến thiên dạng hàm bao của xung laser theo thời gian 0 tại độ sâu

quang học p = 5 ns-1; (b) Sự biến thiên của biên độ đỉnh của xung laser

theo độ sâu quang học tại các độ rộng Doppler khác nhau với độ rộng xung

0 = 1 ns và c0 = 10 GHz.

3.1

a) Sơ đồ hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang được kích thích bởi

trường laser và trường laser điều khiển. b) Sự định hướng giữa hai mômen

lưỡng cực

và

khi không trực giao.

 12d

 23d

Sự tiến triển không-thời gian của xung laser p(,) đối với các giá trị khác

3.2

nhau của p = 0 (a), 0,3 (b), 0,7 (c) và 1 (d). Các tham số khác được sử dụng

là:  = 0, 1 = 1,22 và R =1,22.

Sự biến thiên của biên độ đỉnh trường laser theo độ sâu quang học đối với các giá

3.3

trị khác nhau của tham số p. Các tham khác được chọn:  = 0 và R = 1 = 1,22.

3.4

Sự tiến triển theo thời gian của xung laser p(,) theo độ lệch pha , được

biểu diễn dạng ba chiều (a) và hai chiều (b) khi p = 0,7 và p = 5ns-1 và R

= 1 = 1,22.

Sự biến thiên của Im(21) và Re(21) theo độ lệch pha khi tham số p =

3.5

0,7 và R = 1 = 1,22.

3.6

Sự tiến triển thời gian của xung laser p(,) theo tốc độ bơm kết hợp R tại độ

sâu quang học p = 5ns-1, tham số p = 0,7 và độ lệch pha  = 0 (a),  (b).

DANH MỤC CÁ C BẢ NG BIỂ U

Nô ̣i dung

Bả ng

P1

Chuyển đổi các đại lươ ̣ng điện từ giữa hệ đơn vi ̣ SI và Gaussian [2].

P2

Các hằng số vâ ̣t lí trong hê ̣ đơn vi ̣ SI và hệ đơn vi ̣ Gaussian [2].

xii

MỤC LỤC

TỔ NG QUAN ........................................................................................................... 1 Chương 1: LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG CỘNG HƯỞNG. 8

1.1. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử hai mức .............................. 8 1.1.1. Hình thức luận ma trận mật độ ...................................................... 10

1.1.2. Tiến triển nguyên tử trong gần đúng sóng quay ........................... 11

1.1.3. Dao động Rabi và diện tích xung .................................................. 12

1.1.4. Các phương trình Maxwell và phương trình sóng ........................ 14

1.1.5. Phương trình sóng trong gần đúng hàm bao biến thiên chậm ...... 16

1.1.6. Sự mở rộng không đồng nhất ........................................................ 18

1.2. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử ba mức ............................. 19

1.2.1. Haminton tương tác trong gần đúng sóng quay ............................ 23

1.2.2. Hệ phương trình lan truyền cặp xung laser trong gần đúng hàm bao biến thiên chậm ................................................................................ 25 1.2.3. Sự bẫy đô ̣ cư trú kết hơ ̣p ............................................................... 27 1.2.4. Sự trong suố t cảm ứ ng điê ̣n từ ...................................................... 29 1.3. Các tính chất vật lý của hệ nguyên tử ba mức ................................ 35

1.3.1. Nguyên tử Rb ................................................................................ 35

1.3.2. Cấu trúc tinh tế .............................................................................. 36

1.3.3. Cấu trúc siêu tinh tế ...................................................................... 37 1.4. Kết luâ ̣n chương 1 .............................................................................. 40

Chương 2: SỰ LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG EIT MỞ RỘNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT ............................................................................ 42 2.1. Hệ phương trình Maxwell-Bloch cho sự lan truyền xung .............. 42

2.2. Mô phỏng số ........................................................................................ 46 2.2.1. Thuật toán Runge-Kutta ................................................................ 47

2.2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn ..................................................... 49

2.3. Lan truyền xung trong môi trường mở rộng không đồng nhất .... 50 2.3.1. Xung lan truyền trong miền pico giây .......................................... 51

2.3.2. Xung lan truyền trong miền nano giây ......................................... 53

2.3.3. Xung lan truyền trong miền micro giây ........................................ 59

xiii

2.3.4. Ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler ............................................ 61

2.4. Kết luận chương 2 .............................................................................. 62

Chương 3: ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ ĐỊNH HƯỚNG MÔ MEN LƯỠNG CỰC ĐIỆN VÀ PHA LÊN SỰ LAN TRUYỀN XUNG .................................................... 64 3.1. Mô hình lý thuyết ................................................................................. 64

3.2. Ảnh hưởng của SGC lên sự lan truyền xung laser ............................... 70

3.3. Ảnh hưởng của độ lệch pha lên lan truyền của xung laser .................. 74

3.4. Vai trò của bơm không kết hợp ............................................................ 77

3.5. Kết luận chương 3 ................................................................................ 79 KẾ T LUẬN CHUNG ............................................................................................. 80 CÁ C CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦ A TÁ C GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ ................ 82 TÀ I LIỆU THAM KHẢ O ..................................................................................... 83 PHỤ LỤC ................................................................................................................ 91

xiv

TỔ NG QUAN

1. Lı́ do cho ̣n đề tài

Trong vài thập kỷ qua, chủ đề về lan truyền xung laser mà không bị

biến dạng (soliton) đã và đang thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu

của các nhà khoa học do chúng có những ứng dụng tiềm năng trong thông tin

quang, chuyển mạch toàn quang và xử lý dữ liệu quang [1-3]. Thông thường,

để hình thành soliton quang thì các hiện tượng giãn xung (do tán sắc) và sự

nén xung (do tính phi tuyến) phải cân bằng nhau [2]. Trong thực tế, khi xung

ánh sáng lan truyền trong môi trường cộng hưởng thì sự hấp thụ và tán sắc sẽ

làm suy giảm tín hiệu và biến dạng xung. Vì thế, để thu được xung ổn định thì

người ta thường sử dụng ánh sáng có cường độ lớn và độ rộng xung cực ngắn.

Điều này cũng đòi hỏi những công nghệ phức tạp và tốn kém. Hơn nữa, trong

hầu hết các ứng dụng vào thiết bị quang tử hiện đại thường đòi hỏi cường độ

ánh sáng thấp và có độ nhạy cao. Vì vậy, làm giảm hấp thụ trong miền cộng

hưởng là giải pháp tối ưu để giảm cường độ của xung lan truyền đồng thời

tăng hiệu suất hoạt động của các thiết bị ứng dụng.

Hiện nay, một giải pháp đơn giản để làm giảm hấp thụ là sử dụng hiệu

ứng trong suốt cảm ứng điện từ (Electromagnetically Induced Transparency:

EIT) [4-13]. Hiệu ứng EIT về mặt lý thuyết đươ ̣c đề xuất bở i Harris và cộng

sự vào năm 1989 [6], sau đó kiểm chứng bằng thực nghiệm vào năm 1991 [7].

Bản chất của EIT là kết quả của sự giao thoa lượng tử giữa các biên độ xác

suất dịch chuyển bên trong hệ nguyên tử được cảm ứng bởi các trường laser

kết hợp. Do sự triệt tiêu hấp thụ nên tính chất tán sắc của môi trường cũng bị

thay đổi căn bản theo hệ thức Kramer-Kronig. Trong chế độ dừng, hiệu ứng

EIT đã được sử dụng để làm chậm đáng kể vận tốc nhóm ánh sáng cộng

hưởng [11] hay tăng cườ ng tính phi tuyến của môi trườ ng [14-17]. Như vâ ̣y,

môi trườ ng EIT không chı̉ làm giảm sự hấp thu ̣ mà cò n làm tăng cườ ng tı́nh chất phi tuyến. Hơn nữa, do đô ̣ cao và đô ̣ dốc củ a đườ ng cong tán sắc có thể điều khiển đươ ̣c theo trườ ng laser điều khiển nên hê ̣ số phi tuyến cũng điều khiển đươ ̣c [15]. Vı̀ vâ ̣y, môi trườ ng EIT trở nên lý tưở ng để tạo các hiệu ứng quang phi tuyến ta ̣i các cườ ng đô ̣ ánh sáng rất thấp hay thâ ̣m chı́ đơn photon [18, 19], điều khiển đươ ̣c đă ̣c trưng hoa ̣t đô ̣ng củ a thiết bi ̣ [20, 21], phát laser mà

không đảo lộn độ cư trú (LWI) [6, 22] và chuyển mạch toàn quang [23, 24], v.v.

Do những tính chất ưu việt của môi trường EIT nên nó cũng đang được

kỳ vọng để tạo ra các xung lan truyền ổn định với công suất rất nhỏ cũng như

các xung dài. Vì vậy, lan truyền xung ánh sáng trong môi trường EIT đang

được nhiều nhóm quan tâm nghiên cứu. Một số công trình tiên phong về lan

truyền xung trong môi trường EIT đã được nghiên cứu bởi Eberly [25] và

Harris cùng cộng sự [26]. Kể từ đó, đã có nhiều công trình nghiên cứu lan

truyền xung sử dụng hiệu ứng EIT được công bố, tiêu biểu như sự tạo soliton

quang trong hệ ba và năm mức [27], lan truyền đoạn nhiệt của các xung ngắn

khi có mặt EIT [28], điều khiển động học lan truyền xung ánh sáng [29-35],

sự hình thành và lan truyền cặp xung soliton quang siêu chậm [36], điều khiển

photon sử dụng EIT [37], v.v.

Những nghiên cứu ban đầu về lan truyền xung trong môi trường EIT

thường được bỏ qua ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler. Điều này chỉ có thể

phù hợp với các môi trường nguyên tử lạnh hoặc khi xung laser cực ngắn.

Tuy nhiên, khi ứng dụng vào các thiết bị quang ở điều kiện thông thường thì

ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler lên dạng xung dài (ns) cũng cần được

xem xét. Một trong những nghiên cứu ban đầu về ảnh hưởng của mở rộng

Doppler lên sự lan truyền xung trong môi trường nguyên tử hai mức đã được

thực hiện bởi Wilson-Gordon và cộng sự [38]. Kết quả cho thấy ảnh hưởng

của Doppler gây ra các dao động ở đuôi xung. Những dao động này phụ thuộc

mạnh vào độ rộng Doppler, cụ thể đuôi xung dao động với chu kì nhỏ hơn và

cường độ lớn hơn khi độ rộng Doppler tăng. Sau đó, ảnh hưởng của mở rộng

Doppler lên trong quá trình lan truyền xung cũng được nghiên cứu ở nhiều

khía cạnh khác nhau, như ảnh hưởng của các hiệu ứng tuyến tính và phi tuyến

lên lan truyền xung [39, 40], điều khiển pha của lan truyền ánh sáng [41, 42],

nén xung laser bởi điều khiển kết hợp [43]. Các nghiên cứu này cũng cho thấy

sự mở rộng Doppler có thể dẫn tới sự suy giảm xung khi lan truyền trong môi

trường nguyên tử.

Gần đây nhất, T. Nakajima và cộng sự [44] đã nghiên cứu sự lan truyền

của hai chuỗi xung laser ngắn trong môi trường ba mức cấu hình lambda dưới

điều kiện EIT. Bằng cách tăng dần diện tích xung laser điều khiển, nhóm

nghiên cứu Nakajima đã rút ra được điều kiện xung laser không bị biến dạng

khi lan truyền trong môi trường. Tuy nhiên, công trình này cũng chỉ mô

phỏng kết quả trong miền pico giây, trong khi nhiều ứng dụng như truyền

thông tin quang cần thực hiện với miền xung laser dài hơn. Hơn nữa, các kết

quả thu được trong công trình [44] đã bỏ qua hiệu ứng Doppler mà nó sẽ ảnh

hưởng đáng kể khi chúng ta áp dụng cho môi trường khí ở điều kiện thông

thường. Hai vấn đề này sẽ được chúng tôi nghiên cứu bổ sung trong mô hình

này và được thực hiện trong chương 2 của luận án.

Ngoài hiệu ứng giao thoa lượng tử của các biên độ xác suất dịch

chuyển còn có một hiệu ứng giao thoa lượng tử khác xảy ra giữa các kênh

phát xạ tự phát do sự định hướng không trực giao của các mômen lưỡng cực

điện được cảm ứng bởi hai trường laser. Sự giao thoa này sẽ tạo ra một độ kết

hợp nguyên tử được gọi là độ kết hợp được tạo bởi phát xạ tự phát

(Spontaneously Generated Coherence - SGC) [45]. Về mặt thực nghiệm, hiệu

ứng SGC đã được quan sát lần đầu bởi Xia và cộng sự năm 1996 trong phân

tử natri [46]. Ngay sau đó, ảnh hưởng của SGC lên các tính chất quang ở

trạng thái dừng của môi trường EIT cũng đã được nghiên cứu rộng rãi, tiêu

biểu như: ảnh hưởng của SGC lên sự phát laser không đảo lộn độ cư trú [47],

hệ số hấp thụ và tán sắc [48-50], sự làm chậm vận tốc nhóm ánh sáng [51,

52], tăng cường phi tuyến Kerr [53-55], lưỡng ổn định quang [56, 57], v.v.

Kết quả nghiên cứu cho thấy, sự có mặt của SGC làm cho môi trường trở nên

trong suốt hơn tuy nhiên độ rộng miền phổ trong suốt bị thu hẹp; tán sắc lớn

hơn và dốc hơn,… Hơn nữa, các kết quả cũng cho thấy rằng, tác dụng của

SGC làm môi trường khí nguyên tử trở nên bất đối xứng, do đó tính đáp ứng

của môi trường rất nhạy với pha của các trường laser đưa vào [58]. Gần đây,

để tăng cường vai trò ảnh hưởng của SGC lên hệ số hấp thụ và tán sắc, Fan và

cộng sự đã đưa thêm một trường bơm không kết hợp vào mô hình nguyên tử

ba mức năng lượng cấu hình bậc thang [59]. Nghiên cứu đã cho thấy bơm

không kết hợp có tác dụng làm cho ảnh hưởng của SGC và pha lên các tính

chất quang trở nên hiệu quả hơn.

Cho đến nay, mặc dù nghiên cứu ảnh hưởng của SGC và pha tương đối

lên các đặc tính quang học của môi trường EIT dưới điều kiện dừng đã được

công bố nhiều [45-59]. Tuy nhiên, ảnh hưởng của SGC và pha tương đối lên

quá trình lan truyền xung laser dưới điều kiện EIT vẫn chưa được nghiên cứu

một cách đầy đủ [41, 60] và chưa có công bố về ảnh hưởng của SGC lên dạng

soliton của xung laser. Đây là vấn đề được chúng tôi quan tâm nghiên cứu

trong đề tài này. Sử dụng mô hình hệ nguyên tử ba mức trong công trình của

Fan [59], chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của SGC cũng như pha tương đối

lên dạng hàm bao của xung laser dưới điều kiện EIT và sẽ được chúng tôi

trình bày trong chương 3 của luận án.

Với tı́nh cấp thiết củ a vấn đề nghiên cứu, chú ng tôi cho ̣n đề tài “Nghiên cứu sự lan truyền xung laser trong môi trường nguyên tử ba mức khi có mặt

hiệu ứng EIT” làm đề tài nghiên cứ u củ a mı̀nh.

2. Mu ̣c tiêu nghiên cứ u

 Nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số laser điều khiển lên quá trình

lan truyền xung laser.

 Nghiên cứu ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler lên quá trình lan truyền

xung laser trong các miền xung khác nhau.

 Nghiên cứu ảnh hưởng của sự định hướng không trực giao của các

mômen lưỡng cực điện lên quá trình lan truyền xung laser khi có mặt

của bơm không kết hợp.

 Nghiên cứu ảnh hưởng của pha tương đối lên quá trình lan truyền xung

laser khi có mặt của bơm không kết hợp.

3. Nô ̣i dung nghiên cứ u

 Xây dựng bài toán tương tác giữa nguyên tử ba mứ c với các trường

laser, từ đó dẫn ra hệ các phương trı̀nh ma trâ ̣n mâ ̣t đô ̣;

 Sử dụng hệ phương trình lan truyền Maxwell-Bloch cho hệ nguyên tử ba

mức cấu hình bậc thang khi tính đến ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler;

 Sử dụng hệ phương trình lan truyền Maxwell-Bloch cho hệ nguyên tử ba

mức cấu hình bậc thang khi xét đến ảnh hưởng của sự định hướng không

trực giao của các mô men lưỡng cực điện và pha tương đối với sự có mặt

của bơm không kết hợp;

 Viết chương trình số để giải hệ phương trình Maxwell-Bloch cho các

trường hợp trên.

 Nghiên cứu ảnh hưởng của diện tích và cường độ đỉnh xung laser điều khiển lên sự hình thành xung soliton trong các miền xung khác nhau

khi không có và khi có mặt hiệu ứng Doppler dưới điều kiện EIT;

 Nghiên cứu ảnh hưởng của sự định hướng không trực giao của các mô

men lưỡng cực điện và pha tương đối lên quá trình lan truyền xung

laser khi có mặt của bơm không kết hợp;

 Điều khiển độ lệch pha của trường laser và trường laser điều khiển để

thu được xung laser lan truyền ổn định;

4. Phương phá p nghiên cứ u

 Sử du ̣ng phương pháp lý thuyết: bao gồ m hình thức luận ma trận mâ ̣t

đô ̣ và các gần đú ng lưỡng cực điê ̣n, gần đúng sóng quay và gần đúng hàm bao biến thiên chậm;

 Sử du ̣ng phương pháp số để giải hệ phương trình Maxwell-Bloch và mô

phỏng các kết quả nghiên cứu thông qua các đồ thi ̣.

5. Bố cục củ a luâ ̣n á n

Ngoài phần tổng quan và kết luâ ̣n chung, luâ ̣n án bao gồ m ba chương có

nô ̣i dung như sau:

Chương 1. Lan truyền xung trong môi trường cộng hưởng

Trong chương này, chú ng tôi trình bày mô hình lý thuyết hệ phương

trình Maxwell-Bloch cho hệ nguyên tử và trường. Chúng tôi sử dụng các

phương pháp gần đúng sóng quay và gần đúng hàm bao biến thiên chậm để

thiết lập phương trình cho lan truyền xung laser đơn, sau đó áp dụng tương tự

cho lan truyền đồng thời của hai xung laser. Bản chất vâ ̣t lý củ a hiệu ứng EIT. Cuối cùng, chúng tôi trình bày về cấu trúc nguyên tử thực 87Rb được sử dụng

để mô tả kết quả nghiên cứu.

Chương 2. Sự lan truyền xung laser trong môi trường EIT mở rộng

không đồng nhất

Trong chương này, chúng tôi dẫn ra hệ phương trình Maxwell-Bloch

cho lan truyền cặp xung laser đơn trong môi trường nguyên tử ba mức cấu

hình bậc thang khi có mặt hiệu ứng Doppler. Cơ sở phương pháp số để giải hệ

phương trình Maxwell-Bloch trong trường hợp này. Từ đó, xét ảnh hưởng của

diện tích cũng như cường độ đỉnh của xung laser điều khiển lên quá trình lan

truyền xung laser trong trường hợp có và không có ảnh hưởng của sự mở rộng

Doppler trong các miền xung khác nhau. Chúng tôi tìm điều kiện để có xung

lan truyền ổn định, so sánh và xét ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler lên sự ổn

định trong các miền xung này.

Chương 3. Ảnh hưởng của sự định hướng mô men lưỡng cực điện và pha

lên sự lan truyền xung

Trong chương này, chú ng tôi dẫn ra hệ phương trình Maxwell-Bloch

cho lan truyền cặp xung laser đơn trong môi trường nguyên tử ba mức cấu

hình bậc thang khi định hướng của các mô men lưỡng cực điện không trực

giao và sự có mặt của bơm không kết hợp. Chúng tôi tìm bộ tham số cho xung

lan truyền ổn định mà chưa xét tới sự định hướng không trực giao của các mô

men lưỡng cực điện hay độ lệch pha giữa hai trường laser. Sau đó, chúng tôi

khảo sát ảnh hưởng của SGC, độ lệch pha và vai trò của bơm không kết hợp

lên quá trình lan truyền xung laser.

Chương 1

LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG CỘNG HƯỞNG

Trong chương này, chúng ta khảo sát sự lan truyền của các xung laser

thông qua môi trường nguyên tử với các dịch chuyển hấp thụ. Sử dụng mô

hình bán cổ điển để mô tả sự tương tác của các xung laser với môi trường

nguyên tử. Trong mô hình bán cổ điển các xung laser được biểu diễn như các

trường cổ điển trong khi đó các nguyên tử được biểu hiện tuân theo cơ học

lượng tử. Trong luận án này, chúng tôi giả sử các xung laser được xem như

các sóng phẳng lan truyền theo một chiều.

Trước hết, chúng tôi xét lan truyền của xung laser đơn trong môi

trường nguyên tử chỉ có hai trạng thái năng lượng. Từ đó dẫn ra được các

phương trình Maxwell-Bloch để mô tả tương tác của hệ xung-nguyên tử bằng

cách sử dụng các phương pháp gần đúng. Sau đó, dẫn ra hệ các phương trình

lan truyền của hai xung laser trong hệ nguyên tử ba mức.

1.1. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử hai mức

Chúng ta xét một trường quang học với sóng lan truyền dọc theo trục z

và được viết dưới dạng hàm bao của sóng mang:



t  

 i kz



 

(1.1)

c c . .





  E z t ,





 z t e ,

 

ở đây

là hàm bao của trường laser, ω là tần số và k = ω/c là số sóng.



,z t

Chúng ta quan tâm đến sự tương tác cộng hưởng và giả sử tần số ω rất gần

với tần số dịch chuyển của nguyên tử.

|2



|1

Hình 1.1. Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử hai mức.

Kí hiệu năng lượng riêng của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích

và

. Khi đó, Hamilton tương tác của

của nguyên tử tương ứng là

1

2

nguyên tử với trường laser là:

1 1

2 2

ˆ   d E .

(1.2)







  1

  2

Toán tử mômen lưỡng cực điện có dạng:

(1.3)

1 2

2 1

 d

ˆ   d d 



Giả sử trạng thái nguyên tử có thể biểu diễn dưới dạng hàm sóng  thì sự

tiến triển của nó được biểu diễn bởi phương trình Schrödinger:

 i







(1.4)

 t 

đối với các nguyên tử hai mức thì hàm sóng có dạng:



(1.5)

  t  

  c t 1

  c t 2

ở đây c1(t) và c2(t) là biên độ xác suất phụ thuộc thời gian của các mức |1 và

|2, tương ứng.

1.1.1. Hình thức luận ma trận mật độ

Trong thực tế, môi trường là tổng hợp của rất nhiều hạt với các hàm

sóng khác nhau, do đó để mô tả trạng thái của hệ hạt ta phải sử dụng hình

thức luận ma trận mật độ vớ i đă ̣c trưng pha trô ̣n thố ng kê các tra ̣ng thái lươ ̣ng tử để mô tả sự tiến triển theo thờ i gian củ a hê ̣. Nếu tất cả các trạng thái riêng

của tập hợp các trạng thái củ a hê ̣ là cùng một trạng thái  , tức là hệ nằm

trong một trạng thái thuần khiết khi đó toán tử mật độ liên hệ với hàm sóng

theo [10, 62]:

c 1

* c c 1 2



  

(1.6)

  12   22

   

  

* c c 2 1

c 2

   

   

Nói chung, ma trận mật độ là một hàm của cả không gian và thời gian, để

,z t

thuận tiện cho kí hiệu, chúng ta đặt





  12

Các phần tử trên đường chéo của ma trận mật độ

11 và

22 là độ cư

trú của mức |1 và |2 tương ứng và các phần tử ngoài đường chéo

  12

1 2c c

là độ kết hợp giữa chúng. Khi các nguyên tử không thể được đặc trưng bởi

hàm sóng đơn, các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ

12 có thể

không có liên hệ trực tiếp với các phần tử đường chéo

11 và

22 , trong

trường hợp như vậy chúng ta nói các nguyên tử đang ở trạng thái pha trộn.

Đối với cả trạng thái pha trộn và thuần khiết, ma trận mật độ phải có

vết bằng đơn vị (

 

 ) vì xác suất được bảo toàn trong hệ kín. Toán tử

22 1

ma trận mật độ tiến triển theo thời gian được xác định [63]:

 

(1.7)



 

i 

  t 

Phương trình (1.7) được gọi là phương trình Liouville hay phương trı̀nh Von Neumann mô tả sự tiến triển theo thời gian của toán tử mật độ, xác định rõ sự đóng góp của tập hợp các trạng thái lượng tử chịu tác dụng của toán tử

Hamilton toàn phần.

Ở dạng ma trận, Hamilton toàn phần của nguyên tử-trường là:

  .d E



(1.8)

  1   * d E

  2

    

   

1.1.2. Tiến triển nguyên tử trong gần đúng sóng quay

Để làm đơn giản Hamilton tương tác, chúng ta sử dụng gần đúng sóng

quay (Rotating Wave Approximation: RWA), trong đó chúng ta bỏ qua các số

hạng dao động nhanh. Để thực hiện điều này, chúng ta đưa vào ma trận biến

đổi unita [62]:

1 0

i t  1

(1.9)

U e 



t  

 i kz



  

  

Biến đổi ma trận mật độ theo:

†



R U U W 

(1.10)

ở đây chỉ số trên RW là kí hiệu trong cơ sở sóng quay. Chúng ta có thể thấy

rằng phương trình Liouville là dạng bất biến dưới hình thức biến đổi unita:



R 

(1.11)

  

 

 t 

Khi đó, Hamilton trong cơ sở sóng quay có dạng:

†

(1.12)

RH W

UHU i



  

 t 

 U U  

 



Sử dụng độ lệch tần

 , Hamilton toàn phần trong cơ sở này là:

  1  

t  

 i kz





   d E e . 12





(1.13)



t  

 i kz





 

   d E e . 21



   

   

t  

 i kz



 

2* e

trái

là

t  

2 



 i kz



và số hạng ngoài đường chéo bên   . Trong khi thực hiện gần đúng sóng quay, chúng ta

Từ biểu thức (1.1) của điện trường thì số hạng ngoài đường chéo bên phải là  Ee  Ee

      e





 

và giả sử hàm bao

biến đổi

bỏ qua các số hạng dao động nhanh 2i

t



,tz

chậm so với sóng mang. Sử dụng gần đúng này, ta tìm Hamilton toàn phần

trong RWA:

0   .   d 12    2 . (1.14) H      .   0  d 21              2            

ở đây, chúng ta đã sử dụng định nghĩa tần số Rabi:





 212 d

 z t ,



  . 

z t , . (1.15) 

Tần số Rabi đóng một vai trò quan trọng trong hệ nguyên tử-trường, vì nó chứa

cả toán tử mô men lưỡng cực nguyên tử và hàm bao biến thiên chậm của trường.

1.1.3. Dao động Rabi và diện tích xung

 

Các lời giải của phương trình Liouville trong RWA được xác định đối

  là không đổi. Khi được kích

 ,z t





 ,z t 

  và 0

với trường đơn sắc

thích bởi trường như vậy độ cư trú nguyên tử dao động có chu kỳ giữa các

trạng thái cơ bản và kích thích, theo biểu thức [62, 64]:

sin

/ 2





  t





 22

, (1.16)

tại tần số cộng hưởng chính xác (Δ = 0). Quá trình này được gọi là dao động

   được gọi là diện tích

  t

t 0

Rabi, được minh họa trong hình 1.2. Với

22 tại thời

xung, cho phép ta xác định độ cư trú của trạng thái kích thích

điểm t bất kỳ.

Hình 1.2. Dao động của độ cư trú trong trạng thái kích thích.

Từ hình 1.2 ta thấy, ban đầu nguyên tử ở trạng thái cơ bản, sau đó

0t là bội lẻ của π và trở lại trạng thái cơ

chuyển lên trạng thái kích thích khi

0t là bội chẵn của π. Với diện tích bằng 2π tạo ra một dao động toàn

bản khi

phần của độ cư trú.

Sử dụng diện tích xung là thuận tiện để chúng ta mô tả hàm bao xung



phụ thuộc thời gian, được định nghĩa:





  z



, d  





, (1.17)

và có dạng như trong hình 1.3.

Hình 1.3. Xung Gaussian với độ rộng xung 0 = 1 và diện tích xung 0t = 2.

1.1.4. Các phương trình Maxwell và phương trình sóng

Sự lan truyền củ a trườ ng điê ̣n từ trong môi trườ ng vâ ̣t chất cũng như bất cứ một hiệu ứng điện từ nào khác, đươ ̣c mô tả bở i các phương trı̀nh Maxwell. Khi các xung laser tương tác với môi trường, chúng tác động đến

phân cực của môi trường. Mối liên hệ giữa các trường điện và từ biến thiên

theo thời gian có da ̣ng [1, 61]:

 D    e

, (1.18)

 0B  

, (1.19)

  E   

 H

 J



 



, (1.20)

 B  t   D  t 

. (1.21)

 là véctơ cảm ứ ng điê ̣n, B

 trong đó , D

 là véctơ cảm ứ ng từ , E  là véctơ cườ ng đô ̣ từ trườ ng, J

là véctơ cườ ng

 đô ̣ điê ̣n trườ ng, H e là mâ ̣t đô ̣ điê ̣n tı́ch trong môi trườ ng vâ ̣t chất.

là véctơ dòng điê ̣n dẫn và

Ta khảo sát môi trườ ng vâ ̣t chất không có các điê ̣n tı́ch tự do và không

có dò ng điện tự do, vì vâ ̣y:

(1.22)

e  , 0  J 

(1.23) . 0

 H 0

  E P 

Ta cũng giả thiết môi trườ ng không có tı́nh từ hoá, do đó phương trı̀nh liên hê ̣ giữa các trườ ng điện và từ có da ̣ng:  B (1.24) ,

 0D 

0 và

0 lần lươ ̣t là đô ̣ điê ̣n thẩm và đô ̣ từ thẩm trong chân không.

(1.25) .

trong đó ,  Véc tơ P là phân cực vı̃ mô củ a môi trườ ng mô tả hiệu ứng tích lũy của mô-

men lưỡng cực trong mỗi nguyên tử.

Kết hợp các phương trình Maxwell và chỉ khảo sát sự đáp ứng lưỡng

cực điê ̣n của môi trườ ng vâ ̣t chất, khi đó phương trình sóng có da ̣ng [63]:

 E

 P

    

 

1 2 c

 t 

1 c  0



, (1.26)

 0 0

 E

(

)

ở đây, là vâ ̣n tốc ánh sáng trong chân không. Đây là da ̣ng tổ ng

2  

quát nhất của phương trình só ng lan truyền trong môi trườ ng điện môi. Số ha ̣ng thứ nhất ở vế trái của phương trı̀nh (1.26) có thể khai triển thành:  E     (1.27) .

 0D 

Trong quang tuyến tính với môi trường đẳng hướ ng, số ha ̣ng thứ nhất ở vế

 phải củ a phương trı̀nh này bằng không do phương trình Maxwell

 0E  

nên . Trong quang phi tuyến số ha ̣ng này thườ ng không triê ̣t tiêu

ngay cả đố i với các vật liê ̣u đồng nhất. Tuy nhiên, trong nhiều trườ ng hơ ̣p chú ng ta sử du ̣ng sóng phẳng và trong gần đú ng hàm bao biến thiên châ ̣m thı̀ số ha ̣ng này cũng có thể được bỏ qua, do đó phương trı̀nh sóng (1.26) đươ ̣c viết la ̣i dướ i da ̣ng [63]:

 E

 P

 2 E  



1 2 c

 t 

1 c  0

. (1.28)

1.1.5. Phương trình sóng trong gần đúng hàm bao biến thiên chậm

Ta sẽ xét lan truyền của trường laser dọc theo trục z, khi đó từ phương

 E

 P





trình (1.28) ta có:

 0

1 2 c

 z 

 t 

, (1.29)

 ở đây P

là phân cực (phụ thuộc không gian và thời gian). Đối với môi trường

điện môi của các nguyên tử hai mức với mật độ số hạt N, phân cực được biểu

diễn như sau:

 P N 

 ˆ d

(1.30a)





(1.30b)



  N d 12

  21 12 , d   21



t  

 i kz



 i kz







(1.30c)

RW  21

 d  21 12

  N d 12



Trong (1.30c), ta đã viết độ phân cực theo các biến sóng quay như đã được

định nghĩa trong phần 1.1.2. Lấy đạo hàm và sau đó nhóm các số hạng cùng

tần số trong phương trình sóng Maxwell, ta thu được:

2  

            k ik 2       1 2 c  z   z   i 2  z   z           (1.31)

2 RW   12

RW  12

.     Nd 12  0  RW i 2   12 t   t          

Ta lại giả sử các trường biến đổi chậm so với sóng mang và thực hiện gần







đúng hàm bao biến thiên chậm (SVEA), như dưới đây:

;

  z 

  2 z 

  z 







(1.32a)

;



  t 

  2 t 

  t 

. (1.32b)



Tương tự như vậy, các biến sóng quay là biến thiên chậm khi:

RW  12

RW   12 t 

. (1.33)



Sử dụng các gần đúng SVEA và RWA, đồng thời và chú ý k = ω/c,

 0 0

 

, ta tìm được phương trình sóng biến thiên chậm:





 Nd 12

R  12

 z 

1  c t 

  

  

i   2 c  0

. (1.34)

Hoặc theo tần số Rabi,

R i 2     12

, (1.35)   z  1  c t       







ở đây

N d 12  02 c 

, (1.36)

là tham số liên kết nguyên tử với trường laser hay còn gọi là hệ số lan truyền

của laser trong môi trường. Hệ các phương trình (1.7) và (1.35) được gọi là hệ

phương trình Maxwell-Bloch xét cho hệ nguyên tử hai mức.

1.1.6. Sự mở rộng không đồng nhất

Trong môi trường thực, có rất nhiều lý do mà các hiệu ứng dịch chuyển

cộng hưởng tần số có thể khác nhau từ nguyên tử này sang nguyên tử khác,

chẳng hạn như tạp chất hay môi trường không đồng nhất nói chung. Ví dụ,

các cơ chế chi phối trong hệ chúng tôi nghiên cứu là hiệu ứng Doppler, trong

đó vận tốc nguyên tử là khác nhau dẫn đến các tần số cộng hưởng khác nhau

từ điểm nhìn thấy laser. Để tính toán cho sự mở rộng không đồng nhất này, chúng

12 thông qua sự phân cực trong phương trình Maxwell [62]:

ta tính trung bình



 d  

 12

12g

 

. (1.37)

 g  có dạng phân bố Maxwell-Boltzmann đối với chất khí.



Hàm phân bố

 g  có dạng [39, 62]:



0 p

Theo các số hạng của độ lệch tần, hàm phân bố

exp



  

   p kv m

1 kv m

   

   

   

   

k   2 /



, (1.38)

v m

k T m 2 / B

ở đây là số sóng, là vận tốc có xác suất lớn nhất

2 ln 2



tương ứng với độ mở rộng Doppler được cho bởi:

 v m c

(1.39) .

1.2. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử ba mức

Trong phần này, chúng ta xét sự tiến triển của hai trường laser trong hệ

nguyên tử ba mức có cấu hình bậc thang như trong hình 1.4. Ở đây |1 là trạng

thái cơ bản, |2 và |3 là các trạng thái kích thích. Dịch chuyển lưỡng cực điện

cho phép giữa các trạng thái |1|2 và giữa các trạng thái |2|3, trong khi

p và biên độ

p ) được đưa vào dịch chuyển |1|2 và trường laser điều

dịch chuyển giữa |1|3 là bị cấm lưỡng cực. Một trường laser yếu (tần số

c và biên độ

c ) kích thích dịch chuyển |2|3.

khiển mạnh (tần số

Hình 1.4. Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang tương tác với

trường laser và trường laser điều khiển.

Chúng ta giả sử trường laser và trường laser điều khiển lan truyền cùng

chiều dọc theo trục z và các trường laser được mô tả cổ điển phụ thuộc vào

điện trường theo thời gian và không gian. Do đó, có thể viết tổng của hai



  p

 i k z p



 i k z c

  c

trường ở dạng hàm bao sóng mang như sau:





 z t e ,



 z t e ,

c c . . (1.40)      E z t ,   p   c

p và

p là các tần số trường laser và laser điều khiển, trong khi

ở đây

c p

 ,   p z t

  ,  c z t

c c

và là số sóng và và là các hàm bao

trường biến thiên chậm.

i

Năng lượng riêng của các trạng thái nguyên tử là , với i = 1, 2, 3 và

toán tử mô men lưỡng cực cho hệ này có thể viết:

 ˆ d 1 2 2 3 2 1 3 2 . (1.41)      d 12  d 23  d 21  d 32

Khi đó, Hamilton toàn phần là một ma trận 3x3, có dạng :

   d E 12

. (1.42) H    1   d E 21 0   d E 23

0    2   d E 32   3              

Sự tiến triển nguyên tử được đặc trưng bởi ma trận mật độ 3x3:

   13 12     22 23    32 33

     

    

. (1.43)

Tương tự như ở phần 1.1, các phần tử đường chéo của ma trận mật độ

biểu hiện cho độ cư trú nguyên tử ở các trạng thái tương ứng, còn các phần tử

ngoài đường chéo biểu hiện cho độ kết hợp giữa chúng. Độ kết hợp ở trạng

12 là đặc biệt quan trọng đối với điều khiển xung quang học.

thái cơ bản

Sự tiến triển theo thời gian của các toán tử ma trận mật độ đối với hệ

nguyên tử ba mức tương tác với hai trường laser cũng được mô tả theo

phương trình Liouville (1.7), trong đó H và  được xác định theo các phương

trình (1.42) và (1.43).

Đố i vớ i các nguyên tử thực, do thờ i gian số ng củ a các mứ c kı́ch thı́ch là hữu ha ̣n nên trong nguyên tử luôn luôn xảy ra các quá trı̀nh tích thoát làm giảm đô ̣ cư trú và độ liên kết giữa các mứ c nguyên tử . Ngoài ra, các nguyên tử trong chất khı́ thường va chạm với nhau và với thành bình. Sự va chạm như vâ ̣y sẽ ảnh hưởng tới quá trình quang học và làm thay đổi bên trong các trạng thái lượng tử, kết quả là nguyên tử thay đổi từ mức năng lượng này sang mức

năng lượng khác, từ trạng thái này sang trạng thái khác, từ đó làm gián đoạn

quá trình phát xạ ánh sáng và có thể làm giảm thời gian sống hiệu dụng của trạng thái kích thích. Vı̀ vâ ̣y, ta phải đưa thêm vào phương trı̀nh ma trâ ̣n mâ ̣t đô ̣ (1.7) các số hạng phân rã theo hiê ̣n tượng luâ ̣n này. Đối với các phần tử ma trận nằm trên đường chéo chı́nh (mô tả đô ̣ cư trú của các mứ c), hiê ̣n tươ ̣ng suy giảm này được hiểu là sự phân rã đô ̣ cư trú từ mứ c trên xuố ng mứ c dướ i. Đối vớ i các phần tử nằ m ngoài đườ ng chéo chı́nh đó là sự suy giảm độ kết hơ ̣p do sự thay đổ i trong các tra ̣ng thái củ a hê ̣ nguyên tử . Ta thường mô tả các quá trình này bằng cách lấy các phương trình ma trận mật độ có dạng [63]:

 











 

  nn

 nm mm

 nn



i 





E n

 

n m 

, (1.44a)





  nm

    nm nm

i 

. (1.44b)

nm là tốc độ phân rã độ cư trú từ mức m tới mức n và

nm là tốc

Ở đây,

nm .

độ suy giảm độ kết hợp

nm củ a các phần tử ngoài đường chéo của ma trận

Tốc độ suy giảm

mật độ không hoàn toàn không phụ thuộc vào tốc độ suy giảm của các phần

tử trên đường chéo. Thực tế, dưới các điều kiện tổng quát thı̀ tốc độ suy giảm của các phần tử ngoài đường chéo có thể được biểu diễn [63]:





   





vc  nm

1 2

, (1.45)

n và m tương ứng là các tốc độ phân rã toàn phần của độ cư trú

trong đó ,

n được cho bởi biểu thức [63]:

rời khỏi mức n và m . Như vâ ̣y,

  n



(

)

k E E k n

. (1.46)

nm trong phương trình (1.45) là tốc độ lệch pha lưỡng cực do các

Đại lượng



quá trình va chạm, không liên quan tới sự di chuyển độ cư trú và thường được gọi là tốc độ lệch pha riêng [63]. Tốc đô ̣ phân rã do va cha ̣m đối vớ i chất khı́ đươ ̣c cho bởi biểu thứ c [61]:

2 r N



vc  nm

k T B M

  

1/2   

1  vc

, (1.47)

vc là thờ i gian trung bı̀nh giữa các va cha ̣m, r là bán kı́nh nguyên

/ 2

M m

trong đó,

tử , là khố i lươ ̣ng nguyên tử rú t go ̣n, Bk là hằng số Boltzmann, N là

mâ ̣t đô ̣ nguyên tử , P là áp suất và T là nhiê ̣t đô ̣ củ a chất khí.

  



Để mô tả các quá trình tı́ch thoát tổng quát hơn và để thuận lơ ̣i hơn cho các tı́nh toán sau này, chú ng tôi bao hàm tất cả các quá trı̀nh suy giảm trong toán tử  được xác định bở i [12]:

L nm nm



n m ,

, (1.48)

trong đó:



L 







nm nm

2        nm mn

nm mn

1   2

n m

, (1.49)

  nm

và là toán tử lưỡng cực nếu với là toán tử mật độ nếu n m

n m

 

    .

. Đó là mô ̣t ma trâ ̣n vuông sao cho phần tử ta ̣i hàng thứ n và cô ̣t thứ m bằng đơn vi ̣ cò n các phần tử khác bằng không. Khi đó, phương trı̀nh Liouville tổng quát có da ̣ng [12]:





i 

  t 

(1.50)

1.2.1. Haminton tương tác trong gần đúng sóng quay

Bằng cách chuyển sang hệ quy chiếu quay để bỏ qua các số hạng dao

động nhanh. Đối với hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang, biến đổi unita



  p

 i k z p



được thực hiện trong hệ quy chiếu quay [62]:

 i 2





 i k z c

  c

. (1.51) 0 0 1 0 0 U e 

0 0 e            

†





UHU i 

Hamilton tương tác trong cơ sở sóng quay:

U  t 

, (1.52)



  p

 i k z p



 i k z p







i  2

Ta thực hiện các phép tính:

UH e





  d E . 21

0   d E . 23

 e  1 







 i k z c

  c

 i k z c

  c



  e  3

   d E e . 12   2    d E e . 32



      

      

(1.53)



  p

 i k z p





   d E e . 12



  p

†

 i k z p



 i k z c

  c

UHU









 i k z c

  c

  1    d E e . 21 0



0    d E e . 23   3

  2    d E e . 32



      

        

(1.54)

    p



†

 0 0 



    c

 . (1.55) 0 i     t   U U    0 0   2 0             



  p

 i k z p





   d E e . 12



  p

 i k z p



 i k z c

  c



Do đó:







 i k z c

  c

     d E e . 21 0



0    d E e . 23  

0    d E e . 32



      

        

, (1.56)

  p

 p 

  c

c  

với: ; là các độ lệch tần tương ứng.

Sử dụng định nghĩa của trường trong phương trình (1.40), ta thấy rằng

mỗi phần tử ngoài đường chéo có bốn số hạng. Chúng ta có thể phân tích một



 2



  p

 i k z p



 i k z p



 i k z p



 i k z c

  c

phần tử để thấy rõ điều này,





  p

 i k z p



 i k z c

  c

e e e      d 12   c    d E e . 12 (1.57)

e .    d 12  d 12  d 1 2   p  *  p  *  e c

Trong gần đúng sóng quay, ta loại bỏ các số hạng thay đổi quá nhanh, bao

t gồm các số hạng dao động bằng hai lần tần số laser 2 p i

, cũng và 2 c t i



 i    p c



. Như phần trước, ta cũng giả sử rằng

và thay đổi chậm so với các tần số quang học. các hàm bao như tổng và hiệu của chúng    ,  ,   c z t p z t

Thay thế các số hạng dao động nhanh với giá trị trung bình bằng không, ta tìm

*   p

 



 d 12

 *  p

 

RWA



được:

0  d 23

  p    d 21 p

  c

  2



 

0  d 32

 *  c

       

     



 

*   c 2

           

         

z t ,





z t ,









, (1.58)









    d c c 

  d 122 p 

trong đó: và , tương ứng là các

tần số Rabi của trường laser và trường laser điều khiển.

1.2.2. Hệ phương trình lan truyền cặp xung laser trong gần đúng hàm

bao biến thiên chậm

Ở đây, chúng ta dẫn ra các phương trình sóng biến thiên của Maxwell

cho lan truyền xung trong môi trường ba mức cấu hình bậc thang. Độ phân

 ˆ d

 P N 

cực điện môi cho hệ ba mức này với mật độ số nguyên tử N là [62]:

(1.59a)









  p

 i k z p



 i k z c

  c

(1.59b) c c . .     d 23  23   N d  12 12

RW  12

RW  32

. (1.59c) e e c c . .     N d 12  d 23





Chúng ta sẽ tiếp tục thực hiện trong hệ quy chiếu sóng quay và sử dụng các

biến RW trong (1.59c). Tương tự như đã thực hiện đối với các nguyên tử hai

mức bằng cách thay phân cực và trường quang học đối với môi trường ba

mức bậc thang vào trong phương trình sóng Maxwell (1.35) và nhóm các số



hạng có cùng tần số. Gần đúng SVEA trong trường hợp này là:

;

 i

  i z 

  i 2 z 

  i z 



(1.60a)

;

 i

 i

 i

  i t 

  i 2 t 

  i t 

, (1.60b)

ở đây i = p hoặc c. Ta cũng áp dụng các biến sóng quay và giả sử các biến



sóng quay biến đổi chậm qua một chu kì quang học:

RW   12 p

RW   23 p

RW   12 t 

RW   23 t 

. (1.61)

Sử dụng gần đúng SVEA ở (1.60) và RWA (1.61) thay vào phương trình

(1.29), ta thu được các phương trình cho mỗi tần số Rabi của trường laser và

trường laser điều khiển là:

RW i 2      12 p p

, (1.62a)   z  1  c t       

RW i 2     23 c c

 p

 c

. (1.62b)   z  1  c t       



 c

 p

N d 23  c 02 

N d 12  c 02 

Với: và tương ứng là các tham số lan truyền

của trường laser và trường laser điều khiển.

Hệ các phương trình (1.50) và (1.62) được gọi là hệ phương trình

Maxwell-Bloch xét cho hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang tương tác

với hai trường laser. Chúng ta sẽ thực hiện trong RWA và SVEA do đó sẽ bỏ

kí hiệu trên RWA trong các biểu thức sau này.

1.2.3. Sự bẫy đô ̣ cư trú kết hơ ̣p

1 và 2

1 bi ̣ cấm

Ta khảo sát hê ̣ nguyên tử ba mứ c năng lươ ̣ng được kı́ch thı́ch bở i hai trườ ng laser, như mô tả trên hình 1.5, trong đó có hai di ̣ch chuyển đươ ̣c phép

3 , cò n di ̣ch chuyển 3



E 2

E 3

E 1

lưỡng cực điê ̣n là 2

lưỡng cực điê ̣n. Sự phân loại của các sơ đồ kı́ch thı́ch phụ thuộc vào các mức năng lượng tương đối của ba trạng thái: (a) sơ đồ kı́ch thı́ch bâ ̣c thang với và (c) sơ đồ kı́ch E 1 , (b) sơ đồ kı́ch thı́ch lambda với

E 1

E 3

và . Mô ̣t trườ ng laser cườ ng đô ̣ Ep tương ứ ng thı́ch chữ V với

p đă ̣t vào di ̣ch chuyển 2

1 và

  p

d 122

 / p



c đă ̣t

vớ i tần số Rabi và tần số

  c

 d 232 c

3 , vớ i

ijd là mômen lưỡng cực di ̣ch chuyển.

và tần số mô ̣t trườ ng laser Ec tương ứ ng vớ i tần số Rabi

vào di ̣ch chuyển 2

Hı̀nh 1.5. Sơ đồ kı́ch thı́ch nguyên tử ba mứ c năng lượng cấu hình: (a) bậc thang, (b) lambda và (c) chữ V [9].

Ta khảo sát hiê ̣n tươ ̣ng bẫy độ cư trú kết hợp (Coherence Population Trapping: CPT) trong hê ̣ ba mứ c cấu hı̀nh bậc thang như Hı̀nh 1.5a. Các tần số

21 và

23 . Các đô ̣ lê ̣ch tần số di ̣ch chuyển mô ̣t

di ̣ch chuyển nguyên tử là

 

photon củ a các chù m laser so vớ i tần số di ̣ch chuyển nguyên tử là:

 p 

  c

c  

. (1.63) và

Đô ̣ lệch tần số hai photon là [9]:

[(

(

)

)]

 

    



    .

(1.64)

Hamilton toàn phần bao gồ m Hamilton củ a nguyên tử tự do H0 và Hamilton

i



tương tác bởi hai trườ ng laser , có da ̣ng [9]:

H H

   

, (1.65)

Các trạng thái riêng của Hamilton toàn phần củ a hệ nguyên tử và các

trường laser là sự chồng chất tuyến tı́nh củ a các tra ̣ng thái nguyên tử trần 1 ,

2 và 3 . Đối vớ i trườ ng hơ ̣p cô ̣ng hưở ng chı́nh xác hai photon, tứ c là

0 

thì hai trong ba trạng thái riêng của Hamilton toàn phần là sự chồ ng chất kết

hơ ̣p đố i xứ ng và bất đối xứ ng củ a hai trạng thái trần 1 và 3 , có da ̣ng [9]:

BS 



 





1 

DS 



 

, (1.66)





1 

, (1.67)

)

     (

2 p

2 1/2 c

. trong đó ,

Ta thấy rằ ng, không có thành phần củ a tra ̣ng thái trần 2 xuất hiê ̣n

trong các sự chồng chất này. Tra ̣ng thái chồ ng chất BS đươ ̣c liên kết vớ i

tra ̣ng thái trung gian 2 thông qua sự tương tác lưỡng cực điê ̣n, tứ c là BS

là tra ̣ng thái sáng. Ngươ ̣c la ̣i, tra ̣ng thái DS không đươ ̣c liên kết vớ i tra ̣ng

thái 2 , tứ c là DS là tra ̣ng thái tố i hay tra ̣ng thái giam cầm đô ̣ cư trú .

Chú ng ta có thể thấy đươ ̣c điều này bằ ng cách thiết lâ ̣p mômen lưỡng cực

p và

giữa tra ̣ng thái BS và DS vớ i tra ̣ng thái nguyên tử trần 2 : nếu đô ̣ lớ n

c xấp xı̉ nhau thı̀ dấu âm trong sự chồng chất

củ a hai trườ ng liên kết

 DS d

củ a các tra ̣ng thái 1 và 3 ta ̣o thành tra ̣ng thái DS dẫn đến mômen di ̣ch

chuyển bi ̣ triê ̣t tiêu. Thực tế, hai số ha ̣ng ta ̣o thành biên đô ̣ di ̣ch

chuyển giữa tra ̣ng thái DS và tra ̣ng thái 2 có đô ̣ lớ n bằng nhau nhưng

ngươ ̣c dấu [9], do đó biên đô ̣ di ̣ch chuyển toàn phần bi ̣ triê ̣t tiêu. Trong bứ c tranh cổ điển, điều này tương đương vớ i trườ ng hơ ̣p electron đươ ̣c điều khiển bở i hai trườ ng laser ma ̣nh, trong đó các lực điê ̣n tác du ̣ng lên electron có cù ng đô ̣ lớ n nhưng ngươ ̣c hướ ng. Sự tương tác này dẫn đến lực toàn phần bi ̣ triê ̣t tiêu, do đó electron vẫn đứ ng cân bằng.

Tra ̣ng thái DS không đươ ̣c liên kết vớ i các trườ ng laser, do đó

nguyên tử ở trong tra ̣ng thái DS không thể tiến triển vào các tra ̣ng thái khác

củ a hê ̣. Nguyên tử cư trú trong trạng thái tố i thông qua quá trı̀nh bơm quang

ho ̣c: nguyên tử đươ ̣c bơm vào tra ̣ng thái 2 sau đó có thể phân rã tự phát vào

các tra ̣ng thái riêng củ a hê ̣ nguyên tử và trườ ng. Tuy nhiên, nguyên tử trong

tra ̣ng thái DS không thể đươ ̣c kı́ch thı́ch trở la ̣i tra ̣ng thái 2 , dẫn tớ i sự tı́ch

lũy đô ̣ cư trú trong tra ̣ng thái DS . Quá trı̀nh này đươ ̣c go ̣i là sự giam cầm đô ̣

cư trú kết hơ ̣p - CPT [5].

1.2.4. Sự trong suố t cả m ứ ng điê ̣n từ

Để giải thích bản chất của hiệu ứng EIT, chúng tôi sử dụng hình 1.6b.

Trường điều khiển tạo ra một cặp các trạng thái mặc tương đương gần nhau |-

p

và |+. Một nguyên tử ở trạng thái cơ bản |1 hấp thụ các photon dò

p là lệch

(không cộng hưởng trong bức tranh nguyên tử trạng thái mặc, khi

p

tần từ cả hai trạng thái |- và |+ và bằng một nửa khoảng năng lượng 

trong hai con đường có thể |1|- và |1|+, mà từ quan điểm của trạng thái

trần dẫn đến kích thích tới trạng thái trần |2. Việc phá hủy sự giao thoa giữa

các biên độ chuyển tiếp tương ứng để hai kênh dẫn đến sự triệt tiêu (hoặc ít

nhất là giảm) sự hấp thụ của chùm laser [9, 66].

cườ ng đô ̣ mạnh hơn nhiều so với trườ ng còn la ̣i, chẳng ha ̣n Trong CPT hiệu ứ ng giao thoa sinh ra đối vớ i cả hai trườ ng liên kết bởi vı̀ chú ng có cườ ng đô ̣ xấp xỉ nhau. Tuy nhiên, nếu mô ̣t trong hai trườ ng có    thı̀ hiê ̣u

c là vươ ̣t trô ̣i.

p có

ứ ng giao thoa xảy ra do quá trình được điều khiển bở i trường

c có cườ ng đô ̣ ma ̣nh đươ ̣c go ̣i là trườ ng laser điều khiển cò n

Khi đó

cườ ng đô ̣ yếu hơn đươ ̣c go ̣i là trườ ng laser. Chúng ta có thể viết tra ̣ng thái 1

theo các tra ̣ng thái BS và DS như sau:





 





1 

. (1.68)

   thı̀ tra ̣ng thái 1 gần như tương đương

Rõ ràng, trong trườ ng hợp

vớ i tra ̣ng thái DS , tứ c là tra ̣ng thái tố i, do đó sự hấp thu ̣ tớ i tra ̣ng thái 2 sẽ

bi ̣ triê ̣t tiêu. Nguyên tử vẫn nằm trong tra ̣ng thái 1 trong quá trı̀nh tương tác

vớ i hai trườ ng laser. Trườ ng laser truyền qua môi trường mà không bi ̣ mất

mát do hấp thu ̣, tứ c là môi trườ ng trở nên trong suố t.

Hı̀nh 1.6. Nguyên tử ba mức được kích thı́ch bở i hai trườ ng laser theo cấu hı̀nh bậc thang: (a) sự mô tả tra ̣ng thái nguyên tử trần và (b) sự mô tả tra ̣ng thái nguyên tử mă ̣c [66].

   thı̀ ta có thể xem hê ̣ ba mứ c gồ m các tra ̣ng thái

1 , 2 và 3 bao gồ m mô ̣t hê ̣ con hai mứ c đươ ̣c liên kết ma ̣nh chứ a hai

Ngoài ra, khi

tra ̣ng thái 2 và 3 , vớ i mô ̣t tra ̣ng thái đươ ̣c liên kết yếu 1 gắn liền vớ i hê ̣

con này. Như vâ ̣y, ta có thể mô tả đơn giản hệ con này dựa vào các tra ̣ng thái nguyên tử mă ̣c, sinh ra do sự tương tác ma ̣nh (trường laser điều khiển c đặt

2 làm cho trạng thái 2 bi ̣ tách thành các trạng thái

 và  có khoảng cách năng lượng bằng

c

vào dịch chuyển 3

) như Hı̀nh 1.6. Khi trườ ng

c  thı̀ các tra ̣ng thái nguyên tử mă ̣c

laser điều khiển cô ̣ng hưở ng, tứ c là

củ a hê ̣ con là [9]:

 







1 2

, (1.69)

 







1 2

. (1.70)

12 từ tra ̣ng thái 1 tớ i các tra ̣ng

Biên đô ̣ di ̣ch chuyển ta ̣i tần số cô ̣ng hưở ng

thái nguyên tử mặc sẽ bằng tổng củ a các sự đó ng gó p từ các tra ̣ng thái nguyên

 d

 

 





tử mă ̣c  và  , tứ c là bằ ng [9]:   d d







ijd là mômen di ̣ch chuyển. Như ta đã giả thiết ở trên, di ̣ch chuyển

, (1.71)

trong đó ,

d  . Vı̀ vâ ̣y,

giữa các tra ̣ng thái 1 và 3 thı̀ bi ̣ cấm lưỡng cực điê ̣n, tứ c là

biên độ di ̣ch chuyển toàn phần hay sự hấp thu ̣ bi ̣ triê ̣t tiêu.

Trong trườ ng hơ ̣p, trườ ng điều khiển không cô ̣ng hưở ng thì các tra ̣ng

thái nguyên tử trần 2 và 3 sẽ đóng góp tớ i các tra ̣ng thái nguyên tử mă ̣c

   [9].

với các biên độ xác suất khác nhau và biên độ xác suất di ̣ch chuyển toàn phần

triê ̣t tiêu ta ̣i điều kiê ̣n cô ̣ng hưở ng hai photon

EIT cũng có thể đươ ̣c giải thı́ch dựa vào sự giao thoa lươ ̣ng tử xảy ra giữa các nhánh kı́ch thı́ch khác nhau như hı̀nh 1.7. Sự giao thoa củ a các biên

p , tức là

độ xác suất dịch chuyển giữa các trạng thái 2 và 1 bao gồm hai nhánh

khác nhau: một nhánh là do sự kích thích chỉ bởi chù m laser

nhánh trực tiếp từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 ; một nhánh khác, là do sự có

c , tức là nhánh gián tiếp từ trạng thái 1 tới 2

mặt của chù m laser thứ hai

rồi từ |2 lên |3 sau đó phân rã xuố ng trạng thái 2 . Do trườ ng laser điều

khiển ma ̣nh hơn nhiều so vớ i trườ ng dò nên thực tế biên đô ̣ xác suất di ̣ch chuyển củ a nhánh gián tiếp có đô ̣ lớ n bằng biên đô ̣ xác suất di ̣ch chuyển củ a nhánh trực tiếp nhưng ngươ ̣c dấu nhau [66]. Vı̀ vâ ̣y, biên đô ̣ di ̣ch chuyển toàn phần bi ̣ triê ̣t tiêu, dẫn đến sự trong suố t đố i vớ i chù m laser dò khi lan truyền qua môi trườ ng nguyên tử .

Hình 1.7. Hai nhánh kı́ch thı́ch nguyên tử từ trạng thái cơ bản 1 tới trạng thái 2 :

nhánh 1, kı́ch thı́ch trực tiếp 1

2 và nhánh 2, kı́ch thı́ch gián tiếp

3    .

Hı̀nh 1.8. (a) đồ thi ̣ hê ̣ số hấp thu ̣ và (b) đồ thi ̣ hệ số tán sắc: đườ ng liền nét ứ ng vớ i khi có trườ ng laser điều khiển còn đườ ng đứ t nét ứ ng vớ i khi không có trườ ng laser điều khiển [66].

(1) .

Các tı́nh chất quang ho ̣c của môi trườ ng chủ yếu phu ̣ thuô ̣c vào cấu trú c năng lươ ̣ng bên trong hệ nguyên tử hay phân tử. Sự đáp ứ ng tuyến tính củ a

(1)

Im(

nguyên tử ta ̣i ánh sáng cộng hưở ng được mô tả bở i đô ̣ cảm điê ̣n bâ ̣c nhất

) xác đi ̣nh sự mất mát củ a trườ ng ánh sáng

(1)

Re(

Phần ảo củ a đô ̣ cảm điê ̣n

) xác đi ̣nh sự khú c xa ̣. Khi chưa

(1)

Im(

do nguyên tử hấp thu ̣, cò n phần thực

) ta ̣i di ̣ch chuyển đươ ̣c phép

(1)

Re(

có trườ ng laser điều khiển, da ̣ng củ a

Hê ̣ số khú c xa ̣ lưỡng cực là hàm của tần số vì có da ̣ng Lorentz với đô ̣ rô ̣ng đươ ̣c xác đi ̣nh bở i tốc đô ̣ suy giảm đô ̣ cư trú củ a mứ c kı́ch thı́ch (đườ ng đứt nét trong hı̀nh 1.8a). ) có da ̣ng tán sắ c quen thuô ̣c vớ i đườ ng tán sắ c di ̣

(1)

Im(

) chi ̣u sự giao

thườ ng trong miền cô ̣ng hưở ng (đường đứ t nét trong hình 1.8b).

Khi có mă ̣t củ a trườ ng laser điều khiển, trong

(3) thể hiê ̣n sự giao

thoa triê ̣t tiêu ngay ta ̣i tần số cô ̣ng hưở ng, tứ c là môi trườ ng đươ ̣c điều khiển kết hơ ̣p trở nên trong suốt đố i vớ i chù m laser dò như mô tả bở i đường liền nét trong hı̀nh 1.8a. Thực tế, nếu chı̉ có sự trong suốt củ a môi trườ ng đa ̣t đươ ̣c ta ̣i tần số cô ̣ng hưở ng thı̀ điều này cũng không phải là vấn đề đáng quan tâm bở i vı̀ đô ̣ trong suố t có bâ ̣c tương tự cũng có thể thu đươ ̣c dễ dàng khi điều chı̉nh tần số ánh sáng ra xa cô ̣ng hưở ng. Tuy nhiên, điều quan tro ̣ng là trong miền

( 3) trong miền cô ̣ng hưở ng (vớ i sự hấp thu ̣

phổ trong suố t ta ̣i cô ̣ng hưở ng thı̀ sự đáp ứ ng phi tuyến

thoa tăng cườ ng, tứ c là giá tri ̣ củ a

triê ̣t tiêu) thı̀ lớ n hơn nhiều so vớ i khi không có mă ̣t củ a trườ ng laser điều khiển [10]. Hơn nữa, sự tán sắc biến thiên trong miền cô ̣ng hưở ng hoàn toàn khác so vớ i sự tán sắc di ̣ thườ ng quen thuô ̣c, như đươ ̣c mô tả bở i đườ ng liền nét trong hı̀nh 1.8b. Xuất hiê ̣n mô ̣t đườ ng tán sắc thườ ng trong miền phổ trong suốt ta ̣i tần số cô ̣ng hưở ng vớ i đô ̣ dố c tán sắ c có thể đươ ̣c điều khiển bở i mô ̣t trườ ng laser ma ̣nh. Như vâ ̣y, mă ̣c dù trườ ng laser dò truyền qua môi

trườ ng trở nên trong suố t nhưng vẫn có sự tán sắc lớ n và tı́nh phi tuyến ma ̣nh. Điều này sẽ dẫn đến các hiê ̣u ứ ng chẳng ha ̣n như ánh sáng châ ̣m hay ánh sáng siêu nhanh, sự nén xung hay làm dừ ng ánh sáng. Sự thay đổi đô ̣t ngô ̣t củ a các tı́nh chất quang ho ̣c thu đươ ̣c trong môi trườ ng nguyên tử kết hơ ̣p đã ta ̣o điều kiê ̣n thuâ ̣n lơ ̣i cho viê ̣c nghiên cứ u quang phi tuyến ngưỡng thấp trong môi trườ ng khı́ [9].

1.3. Các tính chất vật lý của hệ nguyên tử ba mức

Trong các phần trước, ta thu được một mô hình toán học cho hai trường

laser tương tác với hệ nguyên tử ba mức cũng như một trường laser tương tác

với hệ nguyên tử hai mức. Các kim loại kiềm, đặc biệt là natri, Rubidi và

Cesium tất cả đều có vạch D nằm trong dịch chuyển quang học có thể được

mô tả bởi các mô hình này trong một giới hạn nhất định. Trong phần này

chúng tôi trình bày các đặc trưng của nguyên tử Rb.

1.3.1. Nguyên tử Rb

Nguyên tử rubidium (Rb) là nguyên tố kim loa ̣i kiềm có nguyên tử số là 37, tứ c là có 37 electron xung quanh hạt nhân nhưng chỉ có mô ̣t electron hoá

trị. Các tính chất quang học củ a các nguyên tử Rb sinh ra từ sự tương tác giữa electron hoá trị này với trườ ng điê ̣n từ tại các tần số quang ho ̣c. Nguyên tử Rb

có cấu trúc nguyên tử thích hơ ̣p cho các thí nghiê ̣m quang ho ̣c lươ ̣ng tử cũng như các thí nghiệm về EIT và các hiệu ứ ng liên quan, bở i vı̀ tần số củ a các dịch chuyển củ a nguyên tử Rb phù hợp vớ i các tần số đươ ̣c sử du ̣ng trong các thiết bị công nghiê ̣p thương ma ̣i.

Ta ̣i nhiê ̣t đô ̣ phò ng Rb là thể rắn và có màu xám ba ̣c. Điểm nó ng chảy là 312,46 K tương ứ ng vớ i 39,31 C0 ta ̣i áp suất p = 0,1 MPa = 1 bar và điểm sôi là 961 K tương ứ ng vớ i 688 C0 [67]. Thông qua quá trı̀nh cân bằng nhiê ̣t

7,738





giữa thể rắ n hay lỏ ng và thể hơi củ a nguyên tử Rb dẫn tớ i hê ̣ thứ c phu ̣ thuô ̣c nhiê ̣t đô ̣ [67]:





log 10

4215 T

. (1.72)

Mâ ̣t đô ̣ nguyên tử đươ ̣c tı́nh toán từ đi ̣nh luâ ̣t khı́ lý tưở ng, p = NkBT, trong đó N là số nguyên tử trên mét khố i và kB là hằng số Boltzmann.

5 S ,

5 P ,

1/2

3/2

Nguyên tử Rb có hai đồng vị: Rb85 là đồ ng vị bền chiếm 72% trong tự nhiên còn Rb87 là đồng vị không bền chiếm 28%. Trong luâ ̣n án này chú ng tôi

3/2

5/2

5 D và

5 D . Kı́ hiê ̣u này có nghı̃a là: số nguyên đứ ng đầu (số 5) chı̉ số

chủ yếu quan tâm đến đồng vi ̣ 87Rb vớ i các tra ̣ng thái

  L S  

lượng tử chı́nh củ a electron hoá trị; chı̉ số trên (số 2) go ̣i là đô ̣ bô ̣i 2S + 1, tứ c là spin toàn phần củ a tất cả các electron liên kết; các chữ cái S, P và D là kı́ hiê ̣u xung lươ ̣ng gó c quỹ đa ̣o củ a electron hoá tri ̣, tương ứ ng vớ i số lươ ̣ng tử xung lượng góc quỹ đa ̣o bằng 0, 1 và 2; chỉ số dướ i (1/2, 3/2, ...) là xung

 lươ ̣ng gó c toàn phần, tứ c là J là spin của electron hoá trị.

, vớ i L là xung lươ ̣ng góc quỹ đa ̣o và S

1.3.2. Cấu trúc tinh tế

Các vạch phổ nguyên tử là kết quả của các dịch chuyển electron giữa

 và xung lượng góc quỹ đạo L

các mức nguyên tử khác nhau. Sự tách mứ c tinh tế là do sự tương tác giữa

 xung lươ ̣ng góc spin electron S

làm tách các

 số lượng tử xung lượng góc toàn phần của electron J

mức năng lượng trong trạng thái kích thích. Sự tách tinh tế được đặc trưng bởi

 J

  L S  

 Giá trị của số lượng tử J

. (1.73)

nằm trong khoảng:

L S

J L S

    .

(1.74)

5 S . 1/2

 Đố i vớ i trạng thái cơ bản có L = 0 và S = 1/2 nên J = 1/2 là trạng thái 2

 Đố i vớ i trạng thái kích thích thứ nhất có L = 1 và S = 1/2 nên J = 1/2 và

5 P và 2

5 P . 3/2

1/2

3/2, gồ m các tra ̣ng thái 2

5 D và 2 3/2

5 D . 5/2

 Đố i vớ i trạng thái kích thích thứ hai có L = 2 và S = 1/2 nên J = 3/2 và

5/2, gồ m các tra ̣ng thái 2

L   bị cấm, 0

L = 0, 1, nhưng dịch chuyển

Các di ̣ch chuyển tinh tế tuân theo quy tắc lọc lựa:

J   bị cấm. 0

S = 0, (1.75)

J = 0, 1, nhưng dịch chuyển

P thườ ng đươ ̣c go ̣i là đườ ng D1 có bướ c só ng

S 1/2

1/2

 

Di ̣ch chuyển

5 P

 = 794,978 nm và thờ i gian số ng tra ̣ng thái kı́ch thı́ch là 27,70 ns tương ứ ng vớ i tố c đô ̣ phát xa ̣ tự phát là (2 ) 5,746 

S 1/2

3/2

MHz. Di ̣ch chuyển

MHz [67]. (2 ) 6,065  thườ ng đươ ̣c go ̣i là đườ ng D2 có bướ c só ng  = 780,241 nm và thờ i gian số ng tra ̣ng thái kı́ch thı́ch là 26,24 ns tương ứ ng vớ i tốc đô ̣ phát xa ̣ tự phát là  

1.3.3. Cấu trúc siêu tinh tế

với

 Sự tách mứ c siêu tinh tế xảy ra do sự tương tác của spin hạt nhân I  xung lượng góc toàn phần của electron J

 bởi số lượng tử xung lượng góc toàn phần của nguyên tử F

. Sự tách siêu tinh tế được đặc trưng

 I

  F J  

(1.76) .

 Giá trị của số lượng tử F

I F J

    .

nằm trong khoảng:

(1.77)

Các di ̣ch chuyển siêu tinh tế tuân theo quy tắc lọc lựa:

(1.78) 0, 1 F   .

Spin hạt nhân của nguyên tử Rb85 là 5 / 2 I 

3 / 2 I  và củ a nguyên tử 87Rb là , do đó sự tách siêu tinh tế của các trạng thái của Rb85 và 87Rb là khác nhau:

Đố i vớ i nguyên tử 85Rb:

2, 3

5 S bi ̣ tách thành hai tra ̣ng thái là 2 5

1/2

S F  , 1/2

5 P và

5 P bi ̣ tách thành các tra ̣ng

1/2

3/2

.  Tra ̣ng thái cơ bản 2

2, 3

1, 2, 3, 4

 Tra ̣ng thái kı́ch thı́ch thứ nhất

P F  , 1/2

P F  , 3/2

2 5 D bi ̣ tách thành các tra ̣ng

2 5 D và 3/2

5/2

. thái là 2 5 và 2 5

1, 2, 3, 4

0, 1, 2, 3, 4, 5

D F  ,

 Tra ̣ng thái kı́ch thı́ch thứ hai

3/2

5/2

và 2 5 . thái là 2 5

Đố i vớ i nguyên tử 87Rb:

1, 2

5 S bi ̣ tách thành hai tra ̣ng thái là 2 5

1/2

S F  , 1/2

2 5 P bi ̣ tách thành các tra ̣ng

2 5 P và 1/2

3/2

.  Tra ̣ng thái cơ bản 2

1, 2

0, 1, 2, 3

 Tra ̣ng thái kı́ch thı́ch thứ nhất

P F  , 1/2

P F  , 3/2

2 5 D bi ̣ tách thành các tra ̣ng

2 5 D và 3/2

5/2

. thái là 2 5 và 2 5

0, 1, 2, 3

1, 2, 3, 4

D F  ,

 Tra ̣ng thái kı́ch thı́ch thứ hai

3/2

5/2

và 2 5 . thái là 2 5

Khi nghiên cứu hiệu ứng EIT trong môi trường Rb, tùy thuộc vào cấu

hình kích thích người ta chọn các mức năng lượng phù hợp. Với cấu hình bậc

thang, các mức năng lượng siêu tinh tế liên quan có thể được mô tả như Hình 1.9.

Hình 1.9. Các mức năng lượng siêu tinh tế của nguyên tử 87Rb [33, 67], thường được sử dụng trong cấu hình bậc thang.

Ở đây các trạng thái xác định có thể được lựa chọn như sau: |1 = |5S1/2,

F = 2, |2 = |5P1/2, F = 2, |3 = |5D3/2, F = 1, γ21 = 6 MHz và γ32 = 1 MHz

[33]. Trong trường hợp này, trường dò và trường điều khiển có bước sóng

tương ứng 795 nm (|1 = |5S1/2, F = 2↔|2 = |5P1/2, F = 2) và 762 nm (|2 =

|5P1/2, F = 2 ↔ |3 = |5D3/2, F = 1), có thể thu được từ laser diode.

Các dịch chuyển mô men lưỡng cực có thể được tính toán cho từng mô





 ˆ J d J

2.9931

C.m





2.53 10 

hình [67] và đối với phân cực tuyến tính ảnh hưởng của moment lưỡng cực là:

eff

ea 0

1 3

, (1.79)

ở đây J và J' là các giá trị mô men động lượng quỹ đạo đối với trạng thái cơ

bản và trạng thái kích thích, e là điện tích của electron, a0 là bán kính Bohr và

các giá trị số được lấy từ [67]. Hệ số 1/3 xảy ra do ánh sáng bị phân cực tuyến

tính và do đó chỉ tương tác với một thành phần duy nhất của toán tử lưỡng cực.

1.4. Kết luâ ̣n chương 1

Để xét động học lan truyền xung laser trong môi trường nguyên tử,

chúng tôi xuất phát từ mô hình đơn giản nguyên tử hai mức năng lượng tương

tác với một trường laser. Từ đó phát triển cho sự lan truyền đồng thời của hai

trường laser trong môi trường nguyên tử ba mức.

Để đơn giản trong tính toán, chúng tôi đã sử du ̣ng lý thuyết bán cổ điển về sự tương tác giữa hê ̣ nguyên tử và các trườ ng ánh sáng. Các quá trı̀nh tích thoát đươ ̣c đưa vào bài toán tương tác giữa hê ̣ nguyên tử và trườ ng ánh sáng bằng cách sử du ̣ng hı̀nh thứ c luâ ̣n ma trận mâ ̣t đô ̣. Theo cách tiếp câ ̣n này, sự tiến triển theo thời gian củ a đô ̣ cư trú cũng như đô ̣ kết hơ ̣p đươ ̣c xác đi ̣nh bở i phương trình Liouville. Các quá trı̀nh tích thoát như sự phát xa ̣ tự phát hay sự va cha ̣m đươ ̣c đưa vào một cách hiện tượng luâ ̣n bằng cách cô ̣ng thêm số ha ̣ng suy giảm trong phương trı̀nh Liouville.

Để xác đi ̣nh đươ ̣c các phần tử ma trận mâ ̣t đô ̣, chúng tôi dẫn ra Hamilton củ a hê ̣ nguyên tử và trườ ng ánh sáng trong gần đú ng lưỡng cực điê ̣n

và gần đúng sóng quay.

Xuất phát từ các phương trình Maxwell, chúng ta dẫn ra phương trình

lan truyền sóng tổng quát. Sử dụng gần đúng sóng quay và gần đúng hàm bao

biến thiên chậm cho phương trình sóng, chúng ta đã dẫn ra được các phương

trình cho sự lan truyền xung laser trong môi trường nguyên tử ba mức năng

lượng cấu hình bậc thang.

Đối với hệ nguyên tử ba mức tương tác kết hợp với hai trường laser, sự

giao thoa lươ ̣ng tử xảy ra giữa các biên độ xác suất dịch chuyển giữa các kênh khác nhau dẫn tớ i sự triê ̣t tiêu hê ̣ số hấp thu ̣ đối với trườ ng laser dò , tạo ra một cửa sổ trong suốt hẹp (gọi là cửa sổ EIT). Sử dụng đặc tı́nh này củ a môi trườ ng

nguyên tử ba mức, chú ng tôi áp du ̣ng để nghiên cứ u khả năng tạo và duy trì sự ổn định dạng xung laser trong các chương sau.

Trong chương này chúng tôi cũng trình bày về cấu trúc của nguyên tử

Rb là đối tượng được chúng tôi lựa chọn để mô phỏng các kết quả nghiên cứu

của luận án.

Chương 2

SỰ LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG EIT MỞ RỘNG

KHÔNG ĐỒNG NHẤT

Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu động học lan truyền

và đặc trưng hấp thụ trường laser trong môi trường nguyên tử ba mức năng

lượng cấu hình bậc thang khi có mặt hiệu ứng Doppler. Đầu tiên, chúng ta

dẫn ra chi tiết hệ phương trình Maxwell-Bloch cho tương tác của hai trường

laser với môi trường nguyên tử ba mức năng lượng trong hai trường hợp: bỏ

qua ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler và khi tính đến ảnh hưởng của sự mở

rộng Doppler. Sau đó áp dụng phương pháp số để mô phỏng quá trình lan

truyền xung laser. Sự ảnh hưởng của diện tích xung laser điều khiển trong các

miền xung khác nhau và độ rộng Doppler lên sự hình thành EIT của xung

laser được nghiên cứu chi tiết.

2.1. Hệ phương trình Maxwell-Bloch cho sự lan truyền xung

Xét sơ đồ hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang được kích thích bởi

trường laser và trường laser điều khiển như trong hình 2.1. Ở đây |1 là trạng

thái cơ bản, |2 và |3 là các trạng thái kích thích. Các dịch chuyển lưỡng cực

điện giữa các trạng thái |1|2 và giữa các trạng thái |2|3 là cho phép,

trong khi dịch chuyển giữa |1|3 là bị cấm lưỡng cực. Ta kí hiệu tương ứng

21 và 32 là tốc độ phân rã từ các trạng thái |2 và trạng thái |3. Một trường

p và biên độ

p ) được đưa vào dịch chuyển |1|2 và

laser yếu (tần số

c và biên độ

c ) kích thích dịch

trường laser điều khiển mạnh (tần số

chuyển |2|3.

Hình 2.1. Sơ đồ hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang được kích thích bởi

trường laser và trường laser điều khiển.

Sự tiến triển theo thời gian của các phương trình ma trận mật độ đối với

hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang tương tác với hai trường laser được

 

    ,

mô tả theo phương trình Liouville (1.50):





i 

  t 

(2.1)





trong đó  được xác định,

 22

     21 23 23 

   21 12    33       32

   32 13   33

  22         21 21      32 31

    

. (2.2)

Trong gần đúng sóng quay, kết hợp các phương trình (1.58), (2.1) và (2.2) ta

dẫn ra dạng tường minh của hệ phương trình ma trận mật độ:



 

  11

 22

 12

i *   p 2

i   2

, (2.3a)

 

 

  22

 22

 33

 12

 21

 32

i   2

i *   p 2

i   2

i *    23 c 2

, (2.3b)

 

  33

 33

 32

i   2

i *    c 23 2

, (2.3c)

)

 

i  

  12

(  12

)  12

(    11

i *   p 2

i *    c 13 2

)

, (2.3d)

 

i  

  21

(  12

)  21

(    11

 31

i   2

i   2

, (2.3e)

)

 

i  



  23

  23

 23

(    22

 13

i   2

)

 

i  

, (2.3f)



  23

  23

 32

(    22

 31

i *   c 2

i *   p 2

, (2.3g)

 

i  



  13

  13

 13

 23

 12

i *   p 2

i   2

 

i  

, (2.3h)



  31

  13

 31

 32

 21

i   2

i *   c 2

. (2.3i)

Để thuận tiện hơn, chúng ta chuyển các phương trình (1.62) và (2.3)

sang hệ quy chiếu chuyển động bằng cách thay thế các biến thời gian và

không gian trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm t và z bởi các biến  và 

z và

thông qua mối liên hệ z c / , với c là tốc độ ánh sáng trong t  

chân không. Trong hệ quy chiếu này các phương trình (2.3) sẽ có dạng tương

tự với sự thay thế các biến t  và z  , trong khi đó các phương trình



Maxwell (1.62) được viết lại như sau:

  , 

  2 i      12

  



. (2.4a)

  , 

  2 i     23

  

. (2.4b)

 p

 c



 c

 p

12 

N d 23  c 02 

N d 02 

và là các hằng số lan truyền. Hệ các ở đây,

phương trình (2.3) và (2.4) mô tả sự tiến triển theo không-thời gian của các

xung laser trong môi trường nguyên tử ba mức khi ta bỏ qua sự ảnh hưởng

của hiệu ứng Doppler.

Ở trên chúng ta mới chỉ xét chuyển động của hệ các nguyên tử ở nhiệt

độ thấp mà có thể bỏ qua các hiệu ứng chuyển động nhiệt. Tuy nhiên, khi hệ

ta xét ở nhiệt độ phòng hoặc cao hơn thì các nguyên tử chuyển động với vận

tốc mà dịch chuyển tần số do hiệu ứng Doppler là không thể bỏ qua so với độ

rộng tự nhiên được cho bởi tốc độ phân rã bức xạ . Khi tính đến ảnh hưởng

của sự mở rộng Doppler, thì độ lệch tần số của các trường laser bị dịch



chuyển theo mối quan hệ sau [41]:

  v

0    p

v c p

, (2.5a)



  v

0    c

v c c

, (2.5b)



là vận tốc của nguyên tử chuyển động dọc theo trục z, ở đây, 

  











0    p

   21

0 c

   32

và là các độ lệch tần số của

các trường laser và trường laser điều khiển tương ứng khi nguyên tử đứng yên (v = 0).

Để tính ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler đối với mỗi trường, chúng ta

0 p

giả sử vận tốc của các nguyên tử là tuân theo phân bố Maxwell-Boltzmann:

exp



  

   p kv m

1 kv m

   

   

   

   

, (2.6)

với,



v m

2 B k T m

, (2.7)

là vận tốc nguyên tử có xác suất lớn nhất [39], khi đó độ rộng Doppler D

được cho bởi:

2 ln 2



v m

 p c

. (2.8)

Khi xét đến hiệu ứng mở rộng Doppler, 12 và 23 cần được tính theo (1.37).

Do đó, ta có thể viết lại các phương trình lan truyền của các trường laser và







) d  

( , ) 

trường laser điều khiển như sau:



 12 , ( ,  

2 i    p





  



, (2.9a)





) d  

( , ) 



 23 , ( ,  

2 i    c





  

. (2.9b)

Hệ các phương trình (2.3) và phương trình (2.9) mô tả sự tiến triển theo

không-thời gian của các xung laser trong môi trường khi tính đến sự ảnh

hưởng của hiệu ứng mở rộng Doppler.

2.2. Mô phỏng số

Các phương trình vi phân (2.3), (2.4) và (2.9) mô tả tương tác của hệ

các nguyên tử và trường laser với các tham số cường độ trường và thời gian

tùy ý. Đây là một bài toán phức tạp nên rất khó tìm nghiệm giải tích trong

trường hợp tổng quát. Khi đó, lời giải số là một giải pháp hữu hiệu cho phép

chúng ta xác định các nghiệm mà có thể thay đổi các tham số dễ dàng. Ở đây,

chúng tôi sử dụng kết hợp phương pháp Runge-Kutta bậc 4 cho thời gian và

phương pháp sai phân hữu hạn cho không gian để giải bài toán lan truyền

xung laser. Code mô phỏng máy tính được chúng tôi viết trong phần mềm

Matlab 7.9, để tạo ra các hình vẽ trong luận án.

Từ điều kiện trạng thái ban đầu của nguyên tử tại thời điểm 0 là

(,0,) và điều kiện biên đối với trường ánh sáng đối với toàn miền thời

gian tại vị trí 0 là (0,). Sự tiến triển của các phương trình (2.3) có thể

được giải với sự có mặt của các nguyên tử tại vị trí 0 đối với tất cả thời gian

(,0,). Từ đây cho phép chúng ta trở lại ước lượng vế phải của (2.9) tại 0,

bây giờ cả (0,) và (0,) đều đã biết, gần đúng của (1,) có thể được

thực hiện, ở đây 1 = 0 +  biểu diễn vị trí “bước” tiếp theo trong môi

trường. Quá trình tiếp theo có thể được lặp lại để tìm (1,,) và (2,) và

tiếp tục như vậy. Theo cách này, sự tiến triển của xung laser thông qua môi

trường có thể được thực hiện thông qua một chiều dài và khoảng thời gian.

    còn các thành phần khác bằng không, tức ban đầu tất các các





Trong trường hợp quan tâm ở đây, điều kiện ban đầu đối với hệ nguyên tử

nguyên tử ở trong trạng thái cơ bản. Điều kiện biên đối với trường ánh sáng

0 

chính là hàm bao của xung đầu vào. tại

2.2.1. Thuật toán Runge-Kutta

Phương pháp được chọn để giải các phương trình (2.3) đối với sự tiến

triển thời gian của các nguyên tử là thuật toán Runge-Kutta bậc bốn, thường

được gọi là RK4 [65]. Phương pháp này cho phép giải các phương trình vi

phân thường dạng:

  

 , ,  

 

 ,  

(2.10)

được giải với mỗi  và v tại tập hợp hữu hạn của thời gian  i , với bước

 . Đối với mỗi  và v cố định,

 f   có dạng là vế phải



  

nhảy

của các phương trình (2.3).

i , thì sau đó giá trị của nó tại

Nếu giá trị của  được biết tại thời điểm

1i  có thể tìm được như sau. Đầu tiên, chúng ta tính

bước thời gian tiếp theo

bốn hệ số theo thuật toán Runge-Kutta:



 ,  



 ,  i

 f    , i i



(2.11a) , ,  k 1    





  



1/2

 , 

k 1 2

      i 

  

 f  

  

(2.11b)







  



, f    i i

1/2

 , 

k 2 2

  

  

  

  

(2.11c)





 , 

 ,     i i



k f , , , (2.11d)  k       



k 1

k 3

Sau đó các  được tính tại bước thời gian tiếp theo

  

  

   i

 1

 6

. (2.12)

Giả sử rằng hàm phụ thuộc của xung đầu vào lên biến thời gian  là

0 

được biết tại điểm bắt đầu vào môi trường . Tuy nhiên, trong trường

hợp tổng quát khi mô phỏng các giá trị của  sẽ chỉ được biết tại các thời gian rời rạc  i . Điều này đặt ra một vấn đề trong việc xác định k2 và k3 mà

phụ thuộc vào giá trị của trung bình  giữa hai bước thời gian liên tiếp. Khi

 đủ nhỏ và xung đầu vào là biến thiên chậm, như đã giả sử ở phần 2.2.1, giá





 ,  i

1



trị trung bình này có thể ước lượng xấp xỉ.







 ,  i

1/2



  2

. (2.13)

Để thực hiện cho tích phân theo v trong (2.9), một mảng của  được tạo





k . Thuật toán trên được sử dụng để tính mỗi

,i   .

ra với chỉ số độ lệch tần  và hàm phân bố g() được xác định tại một tập hợp rời rạc của độ lệch tần 

2.2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn

Như thực hiện với thời gian, chiều dài của môi trường được rời rạc thành một tập hợp của các điểm  j . Xung laser đầu vào được xác định



 0, i 

đối với mỗi j trong cửa sổ thời gian mô phỏng. Sau khi các toán tử

j , giá trị của tích

ma trận mật độ đã được tìm cho mỗi thời gian tại vị trí

i bởi [62]:



d g

(

)

)  



phân là gần đúng cho mỗi

  

 g  

   j i

 :       i









, (2.14)

ở đây  là bước chia của độ lệch tần. Vì không có phương pháp tốt cho gần

đúng của  tại j+1/2 và j+1 cho đến khi  được biết tại những vị trí này, do đó

thuật toán RK4 không thể sử dụng lại ở đây.

Tuy nhiên, như đã đề cập đến ở cuối phần trước hàm bao  được giả sử

là biến thiên chậm theo cả thời gian và không gian, do đó phương pháp đơn

giản của lan truyền vị trí tiếp theo được thực hiện. Đạo hàm theo không gian

trong các phương trình (2.9) thì được tiếp cận sử dụng phương pháp sai phân

 

 1,    j i

 ,   j i



hữu hạn, tức là thương số của Newton.



  

 ,   j i



 

(2.15)

Do đó giá trị của xung tại vị trí tiếp theo được xác định,



 



 1 ,   j i 



 ,   j i



     i



. (2.16)

2.3. Lan truyền xung trong môi trường mở rộng không đồng nhất

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của diện tích và

cường độ đỉnh của xung laser điều khiển lên quá trình lan truyền của xung

laser trong môi trường nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang trong các miền

xung khác nhau khi không có mặt hiệu ứng Doppler (tức D = 0) và khi có mặt

hiệu ứng Doppler (tức D  0).

Chúng ta biểu diễn các kết quả lan truyền của cặp xung laser và laser

điều khiển bằng cách giải số hệ các phương trình Maxwell-Bloch (2.3), (2.4)

và (2.9) cho hệ nguyên tử và các trường laser. Sử dụng kết hợp phương pháp

Runge-Kutta bậc bốn và sai phân hữu hạn như đã trình bày ở phần 2.2, cho

các phương trình biến thiên theo thời gian và không gian. Môi trường áp dụng

' 2

F 

là khí nguyên tử 87Rb mà các trạng thái |1, |2 và |3 tương ứng với các mức

F  . Chúng tôi chọn bộ tham số đối với hệ







 '' 1

1/25P

3/2

5S1/2(F=2), và

21 = 2π6 MHz,

32 = 2π MHz,

3 

795

29 C m .



nguyên tử và các trường laser [30, 67]:

15 10 m

762

p 

0p = 0.02

d 21 2.53.10

c 

N , ; nm, nm, 

    là chung cho tất cả các đồ thị trong chương này. Chiều

GHz và

p mà được gọi là độ sâu quang

dài lan truyền biểu diễn trong đơn vị của

học [25]. Giả sử hàm bao biến thiên chậm tại lối vào môi trường có dạng hàm

  0

    

  



Gaussian, tức là:



  0,   

, (2.17)

với 0 là độ rộng xung của các xung laser đơn mà được giả sử là như nhau cho

cả xung laser và xung laser điều khiển.

2.3.1. Xung lan truyền trong miền pico giây

Trước tiên, chúng ta nghiên cứu ảnh hưởng của cường độ đỉnh c0 và

diện tích xung (c00) của xung laser điều khiển lên động học lan truyền của

25ps

  0

xung laser, khi cố định độ rộng xung như được mô tả trong hình

2.2. Kết quả biểu diễn sự biến thiên theo thời gian của hàm bao xung laser

( , ) p 

p khác nhau:

p (đường liền nét

tại các độ sâu quang học

màu xanh), 5 ns-1 (đường màu đỏ đứt nét) và 10 ns-1 (đường chấm chấm màu

đen) với cường độ đỉnh của xung laser điều khiển thay đổi từ c0 = 40 GHz

(hình 2.2a và 2.2a1), 100 GHz (hình 2.2b và 2.2b1), 400 GHz (hình 2.2c và

2.2c1), 1 THz (hình 2.2d và 2.2d1).

độ rộng xung 0 = 25 ps, tại các độ sâu quang học khác nhau: p = 0 (màu xanh

liền nét), p = 5 ns-1 (màu đỏ đứt nét), p = 10 ns-1 (màu đen chấm chấm). Cường

độ đỉnh và diện tích xung của xung laser điều khiển được cho như trên hình.

Hình 2.2. Sự biến thiên theo thời gian của hàm bao xung laser p(,) khi cố định

Trong hình 2.2, ở cột trái chúng ta biểu diễn cho trường hợp bỏ qua

hiệu ứng Doppler (D = 0) tương ứng với các hình từ (a) đến (d); cột phải với

các hình từ (a1) đến (d1) tương ứng cho trường hợp tính đến sự mở rộng

2,5



Doppler với D = 3,15 GHz tương ứng với nhiệt độ phòng. Từ các hình 2.2a và

c 

0 0

, 2.2b, chúng ta thấy rằng khi diện tích xung laser điều khiển là nhỏ

xung laser bị hấp thụ đáng kể bởi môi trường trong quá trình lan truyền và

mỗi xung laser bị phá vỡ thành một vài xung con với biên độ dương và âm

[27, 44, 68]. Số biến điệu ở đuôi xung laser tăng khi khoảng cách lan truyền

tăng. Chúng ta chú ý rằng khi diện tích xung laser điều khiển là nhỏ và độ

rộng xung là ngắn hơn thời gian sống của trạng thái trên |2 thì lan truyền của

xung laser không tuân theo định luật hấp thụ Beer [69]. Do đó sườn phải của

1 THz

xung laser có thể lan truyền với khoảng cách dài hơn [44, 68]. Tuy nhiên, khi

c 

(hình cường độ đỉnh của xung laser điều khiển tăng lớn hơn nhiều

2.2d) và do đó diện tích xung cũng trở nên lớn hơn Ωc0τ0 = 25, khi này xung

laser lan truyền hầu như không bị biến dạng, hiệu ứng EIT lý tưởng đạt được.

Lý do vật lý cho trường hợp này là do độ sâu và độ rộng của cửa sổ EIT tăng

khi cường độ laser điều khiển tăng [13], vì vậy ảnh hưởng của môi trường lên

dạng xung trong trường hợp này là không đáng kể.

Xét tương tự cho sự biến thiên của hàm bao xung laser ở cột phải khi

có mặt hiệu ứng Doppler. So sánh các đồ thị trong hai cột trái và phải chúng

ta thấy rằng động học biến đổi của dạng hàm bao xung laser gần như giống

nhau. Như vậy, sự ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler trong miền xung này

(xung có độ rộng xung ngắn cỡ pico) là không đáng kể và có thể bỏ qua.

Chúng ta có thể hiểu rõ điều này bởi vì trong miền pico giây, thời gian mà các

nguyên tử tiếp xúc với xung laser là nhỏ, do đó sự thay đổi vận tốc của

nguyên tử trong mỗi chu kì của xung laser là không đáng kể. Ngoài ra, hiệu

ứng trong suốt tự cảm có thể đạt được trong miền xung này do độ rộng thời

gian xung ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của trạng thái kích thích |2

(cỡ 27 ns). Do đó ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler trong miền xung cỡ pico

giây là không đáng kể.

2.3.2. Xung lan truyền trong miền nano giây

Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu ảnh hưởng của diện tích xung và cường

độ đỉnh của xung laser điều khiển lên động học lan truyền của xung laser, khi

25 sn

  0

cố định độ rộng xung (xấp xỉ thời gian sống của trạng thái trên |2)

như được biểu thị trong hình 2.3. Kết quả biểu diễn quá trình biến thiên theo

( , ) p 

thời gian của hàm bao xung laser tại các độ sâu quang học khác

p , 5 và 10 ns-1. Thay đổi cường độ đỉnh của xung laser điều khiển

nhau

từ c0 = 0,4 GHz đến 200 GHz tương ứng với các đồ thị trong hình 2.3 ở cả

hai cột trái (D = 0) và cột phải (D = 3,15 GHz).

Hình 2.3. Sự biến thiên theo thời gian của hàm bao xung laser p(,) khi cố định

độ rộng xung 0 = 25 ns, tại các độ sâu quang học khác nhau: p = 0 (màu xanh

liền nét), p = 5 ns-1 (màu đỏ đứt nét), p = 10 ns-1 (màu đen chấm chấm). Cường

độ đỉnh và diện tích xung của xung laser điều khiển được cho như trên hình.

Từ hình 2.3, chúng ta thấy rằng đối với xung có diện tích nhỏ và vừa

(Ωc0τ0 ≤ 25) thì xung laser gần như bị phá hủy hoàn toàn sau khi đi vào môi

trường do hấp thụ cộng hưởng của môi trường nguyên tử gây ra, khi này EIT

chưa xuất hiện như thấy ở hình 2.3a và hình 2.3b. Khi tăng cường độ đỉnh của

xung laser điều khiển (do vậy diện tích của xung laser điều khiển cũng tăng)

thì dạng hàm bao của xung laser đã có sự ổn định đáng kể sau khi đi vào môi

trường, sườn sau của xung gần như không bị thay đổi, EIT bắt đầu xuất hiện;

tuy nhiên đỉnh xung thì vẫn còn dao động mạnh quanh giá trị ban đầu cùng

với sự biến dạng của sườn trước như thấy trong các hình 2.3c và hình 2.3d.

Hiện tượng này là do sự mất mát chuẩn bị cho sự hình thành EIT của xung

laser và đã được giải thích bởi Harris và cộng sự [27, 44]. Khi cường độ đỉnh

của xung laser điều khiển tăng lên đến 40 GHz thì dao động ở đỉnh xung đã

biến mất, sự mất mát sườn trước cũng giảm đi đáng kể như ở hình 2.3e. Đặc

biệt khi chúng ta tăng cường độ đỉnh của xung laser điều khiển lên tới 200

GHz tương ứng với diện tích xung đạt tới giá trị Ωc0τ0 = 5×103 như thấy trong

hình 2.3f, thì dạng hàm bao của xung laser hầu như là không thay đổi, tức là

khi này hiệu ứng EIT đạt được gần như lý tưởng hay chúng ta thu được xung

laser lan truyền có dạng soliton. Các kết quả thu được ở đây là phù hợp tốt với

các kết quả đã thu được trong công trình [27, 44] cho hệ nguyên tử ba mức

cấu hình lambda và có thể thấy rõ khi xem xét hai hình có cùng diện tích xung

(ví dụ hình 2.3c và hình 2d trong công trình [44]).

Chúng ta xét tương tự cho trường hợp tính đến sự mở rộng Doppler

như được biểu diễn trong cột phải của hình 2.3. Từ các đồ thị này chúng ta

quan sát thấy động học xảy ra là tương tự như ở cột trái nhưng để hiệu ứng

EIT của xung laser được hình thành thì cường độ đỉnh của xung laser điều

khiển cần phải lớn hơn, do đó diện tích xung cũng phải lớn hơn so với trường

hợp bỏ qua sự mở rộng Doppler. Ví dụ tại các cường độ đỉnh của xung laser

điều khiển bằng nhau (hình 2.3f và hình 2.3f1), xung laser đạt tới dạng EIT

muộn hơn khi có mở rộng Doppler. Cơ chế này là do sự mở rộng Doppler đã

làm suy giảm hiệu suất EIT [13], do đó xung laser khi này sẽ bị suy giảm

nhanh hơn so với trường hợp bỏ qua sự mở rộng Doppler. Như vậy, tại các

diện tích xung laser điều khiển nhỏ cỡ Ωc0τ0 (cid:3409) 25 (khi hiệu ứng EIT chưa

xuất hiện) thì ảnh hưởng của Doppler là đáng kể, tuy nhiên khi diện tích xung

laser điều khiển là lớn (Ωc0τ0 = 103), tức khi hiệu ứng EIT đạt được gần lý

tưởng thì ảnh hưởng của Doppler lên dạng xung laser là không đáng kể.

Để biết được sự phân bố độ cư trú của nguyên tử khi dạng xung ổn

định, chúng ta xét sự biến thiên độ cư trú của các trạng thái theo thời gian tại

điểm đầu vào p = 0 (đường liền nét màu xanh) và điểm cuối môi trường p

= 10 ns-1 (đường đứt nét màu đỏ) khi hiệu ứng EIT đạt được tương ứng với

hình 2.3d. Như chúng ta thấy ở trong hình 2.4, tại p = 0 khi các xung ánh

sáng là kết hợp chính xác, các nguyên tử thể hiện dao động Rabi mạnh trong

độ cư trú của chúng. Khi xung dò đi qua môi trường và sự hình thành EIT

được biểu hiện, khi đó độ cư trú nguyên tử là bị bẫy trong trạng thái tối ổn

định tương đương với trạng thái |1. Do đó, trạng thái |1 là không liên kết với

trạng thái |2, tức là hấp thụ tới trạng thái |2 biến mất và dao động trong độ

cư trú là ít hơn rõ rệt như thấy đường màu đỏ đứt nét trên hình 2.4a. Như vậy

sự dao động của các độ cư trú là tương tự với kết quả đã thu được ở trong

công trình [27] đối với trường hợp hệ nguyên tử ba mức cấu hình lambda.

Hình 2.4. Sự biến thiên theo thời gian của các độ cư trú tại các độ sâu quang học

khác nhau p = 0 (đường liền nét) và p = 10 ns-1 (đường đứt nét). Cường độ đỉnh

và diện tích xung của xung laser điều khiển tương ứng là Ωc0 = 10 GHz và Ωc0τ0 = 250.

2.3.3. Xung lan truyền trong miền micro giây

Hình 2.5. Sự biến thiên theo thời gian của hàm bao xung laser p(,) khi cố định

độ rộng xung 0 = 0,25 s, tại các độ sâu quang học khác nhau: p = 0 (màu xanh

liền nét), p = 5 ns-1 (màu đỏ đứt nét), p = 10 ns-1 (màu đen chấm chấm). Cường

độ đỉnh và diện tích xung của xung laser điều khiển được cho như trên hình.

Để thấy được rõ hơn sự ảnh hưởng của độ rộng xung 0 lên sự hình

thành EIT của xung laser chúng ta khảo sát sự tiến triển theo thời gian của

hàm bao xung laser p(,) khi cố định độ rộng xung τ0 = 0,25 µs như được

biểu diễn trong hình 2.5. Bằng cách so sánh hình 2.5 và hình 2.3 chúng ta thấy

rằng sự biến thiên hàm bao của xung laser trong hai trường hợp này là có sự

tương tự. Hiệu ứng EIT lý tưởng cũng có thể đạt được bằng cách tăng cường

độ đỉnh của xung laser điều khiển. Tuy nhiên, trong trường hợp miền xung dài

cỡ micro giây thì hiệu ứng EIT lý tưởng đạt được tại diện tích xung lớn hơn

hàng chục lần (Ωc0τ0 = 2,5×104) như thấy trong hình 2.5f và hình 2.3f. Điều

này có thể giải thích là do thời gian sống của trạng thái trên |2 (cỡ 27 ns) là

ngắn hơn so với độ rộng xung trong miền micro giây (thời gian xung laser tồn

tại trong một chu kì bức xạ của mức trên trong hệ ta xét là lâu), do đó xung

laser bị suy giảm và hấp thụ mạnh [13, 44].

Bằng cách so sánh các đồ thị trong hai cột trái và phải cho hai trường

hợp không có mặt sự mở rộng Doppler và có mặt sự mở rộng Doppler chúng

ta cũng thấy rằng ảnh hưởng của mở rộng Doppler làm xung bị phá vỡ và hấp

thụ gần như hoàn toàn ở diện tích xung vừa và nhỏ khi cường độ đỉnh của

xung laser điều khiển là khá lớn như thấy trong các hình 2.5a-2.5d. Khi cường

độ đỉnh của xung laser điều khiển lớn và do đó diện tích xung laser điều khiển

là rất lớn thì xung laser lan truyền với hấp thụ không đáng kể, tuy nhiên vẫn

còn sự biến điệu ở hai bên sườn trái và phải của xung, tức khi này sự hình

thành hiệu ứng EIT cho hàm bao xung laser là đạt được. Đặc biệt khi cường

độ đỉnh của xung laser điều khiển Ωc0 = 100 GHz (lớn hơn độ rộng Doppler

nhiều) nên khi này xung lan truyền mà không bị suy hao với biến dạng nhỏ ở

sườn trước và sườn sau. Hơn nữa, kết quả cũng cho thấy rằng ảnh hưởng của

sự mở rộng Doppler là lớn trong miền xung dài hơn như chúng ta thấy khi so

sánh các hình 2.2, hình 2.3 và hình 2.5.

2.3.4. Ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler

Để thấy rõ hơn ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler lên dạng hàm bao

của xung laser trong quá trình lan truyền, chúng ta vẽ dạng hàm bao theo thời

gian của xung laser (hình 2.6a) và biên độ đỉnh theo độ sâu quang học (hình

2.6b) đối với các độ rộng Doppler khác nhau. Hình vẽ cho thấy rằng khi độ

rộng Doppler D tăng (với giá trị vừa phải của diện tích xung) thì biên độ đỉnh

của xung giảm và giảm theo khoảng cách lan truyền như thấy ở hình 2.6b.

Mặt khác, biên độ dao động của xung con là lớn hơn nhưng lại dao động với

chu kì nhỏ hơn (tức dao động nhanh hơn) khi độ rộng Doppler tăng như thấy

ở hình 2.6a. Kết quả này cũng tương tự với các kết quả thu được trong công

trình [38].

Hình 2.6. (a) Sự biến thiên dạng hàm bao của xung laser theo thời gian 0 tại độ sâu

quang học p = 5 ns-1; (b) Sự biến thiên của biên độ đỉnh của xung laser theo độ

sâu quang học tại các độ rộng Doppler khác nhau với độ rộng xung 0 = 1 ns và

c0 = 10 GHz.

2.4. Kết luận chương 2

Chúng tôi đã nghiên cứu sự lan truyền của các xung laser trong môi

trường EIT ba mức bậc thang dưới ảnh hưởng của mở rộng Doppler trong các

miền độ rộng xung từ micro giây đến pico giây, kết quả cho thấy rằng:

Khi tăng diện tích của xung laser điều khiển thì sự lan truyền xung laser

dò đạt đến trạng thái ổn định, tức là xung không bị méo và không bị suy hao

khi đi vào môi trường (hình thành hiệu ứng EIT). Hiệu ứng EIT đối với xung

laser ngắn thì dễ đạt được hơn so với xung dài. Cụ thể, để hình thành hiệu ứng

EIT đối với xung dài thì diện tích xung laser điều khiển (Ωc0τ0 = 5×103) còn đối

với xung laser ngắn thì diện tích xung laser điều khiển (Ωc0τ0 = 25).

Ảnh hưởng của mở rộng Doppler là có thể bỏ qua trong miền độ rộng

xung ngắn (cỡ pico giây) nhưng lại có ảnh hưởng đáng kể trong các miền có

độ rộng xung dài (từ nano giây và dài hơn). Tại các giá trị trung bình của diện

tích xung laser điều khiển, hiệu ứng Doppler có thể tăng cường dao động tại

đuôi của xung laser. Ngoài ra, ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler là đáng kể

khi hiệu ứng EIT chưa hình thành và ảnh hưởng này là nhỏ khi hiệu ứng EIT

được thiết lập và không đáng kể khi hiệu ứng EIT đạt được gần như lý tưởng.

Khi hiệu ứng EIT được thiết lập, hầu hết độ cư trú được bẫy trong trạng

thái tối tương ứng với trạng thái cơ bản và do đó các dao động trong độ cư trú

là rất nhỏ.

Chương 3

ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ ĐỊNH HƯỚNG MÔ MEN LƯỠNG CỰC ĐIỆN VÀ

PHA LÊN SỰ LAN TRUYỀN XUNG

Chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu động học lan truyền của

xung laser khi xét đến ảnh hưởng của sự định hướng không trực giao của các

mô men lưỡng cực điện và độ lệch pha của trường laser và laser điều khiển

trong môi trường nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang khi có mặt của bơm

không kết hợp. Vai trò của bơm không kết hợp đối với sự ảnh hưởng của độ

kết hợp được tạo bởi phát xạ tự phát (SGC) và pha tương đối lên quá trình lan

truyền xung laser.

3.1. Mô hình lý thuyết

Khi sự đi ̣nh hướ ng giữa các mômen lưỡng cực điê ̣n do hai trườ ng laser đă ̣t vào hai di ̣ch chuyển bên trong hê ̣ nguyên tử nhiều mứ c là không trực giao thı̀ có thể sinh ra hiê ̣u ứ ng giao thoa giữa các kênh phát xa ̣ tự phát củ a các di ̣ch chuyển đó. Nhờ sự giao thoa này mà có thể ta ̣o ra tra ̣ng thái chồ ng chất kết hơ ̣p. Để thấy rõ đươ ̣c mối quan hê ̣ này, chúng ta xét hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang với các mức cách đều nhau có sơ đồ như trong hình 3.1a.

2 trường laser yếu

Trong cấu hình này chúng ta đặt vào dịch chuyển 1

3 . Chúng ta kí hiệu

1 với tần số sóng mang p và trường laser điều khiển mạnh 2 với tần số

1 và

2 là các tốc độ phân rã từ các trạng thái khích thích trên 2 và 3 tương

sóng mang c được đặt vào dịch chuyển 2

ứng. Một chùm bơm không kết hợp với tốc độ bơm 2R được đặt vào giữa các

mức 1 và 3 [59]. Chúng ta đưa vào mô hình bơm không kết hợp mục đích

làm tăng cường các phát xạ từ mức trên xuống dưới và để thấy rõ hơn ảnh

hưởng của sự giao thoa của các kênh phát xạ tự phát mà ta sẽ nghiên cứu bên

 và

 , với

ijd (ij = 12, 23) là các phần tử mômen

  d E 122

  1

  2

  232 d E

dưới. Ở đây tần số Rabi của các trường laser được định nghĩa là

lưỡng cực điện.

Hình 3.1. a) Sơ đồ hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang được kích thích bởi

trường laser và trường laser điều khiển. b) Sự định hướng giữa hai mômen lưỡng

cực

và

khi không trực giao.

 12d

 23d

 12d

 23d

Vı̀ các mômen lưỡng cực không trực giao nên chú ng ta có thể khảo sát sự sắp xếp sao cho mỗi trườ ng chı̉ tác du ̣ng vào mô ̣t di ̣ch chuyển, như đươ ̣c

lần lượt là véctơ mô men lưỡng cực và mô tả trong hình 3.1b. Gọi

và 3 ↔ 2 dướ i tác du ̣ng củ a điện tương ứng vớ i các di ̣ch chuyển 2 ↔ 1

trường laser và trường laser điều khiển.

 

    .

Phương trı̀nh Liouville mô tả sự tiến triển củ a các phần tử ma trâ ̣n mật đô ̣ khi tính đến số hạng giao thoa lượng tử trong phát xa ̣ tự phát có dạng tương tự (1.50):





i 

  t 

(3.1)

(

)

  



  



S 

Tuy nhiên thành phần  được xác định như sau [58]:

 S S i

 j

 S S i

 j

 i



i j ,

1 

, (3.2)

   là tốc độ phân rã tự phát từ mức 2 xuống

trong đó: với i = j = 1,

   là tốc độ phân rã tự phát từ mức 3 xuống

mức 1 ; với i = j = 2,

   là đại lượng đặc trưng cho độ kết hợp gây ra bởi

mức 2 ; với i ≠ j,

2 .

1 và

tốc độ phát xạ tự phát

1 2

2 1

2 3

3 2



 S 1

 12

 S 1

 21

 2

 23

 2

 32

. (3.3)

ij là ma trâ ̣n vuông cấp 3, trong đó phần tử ma trâ ̣n ở hàng thứ i và

Ma trâ ̣n

2  

 23

  

  1 22 2  

 

cô ̣t thứ j bằng 1, còn la ̣i bằng không. Khai triển (3.2) ta được:

 32

  1 12   1 22

   2 13      23

1 23 2  

21  33 2      32

2  2 33

     21      2 31

    

, (3.4)

Từ các phương trı̀nh (3.4) và (3.1) chúng ta dẫn ra hê ̣ các phương trı̀nh ma trâ ̣n mâ ̣t đô ̣ tiến triển theo thờ i gian. Sử dụng các gần đúng sóng quay và gần đúng lưỡng cực điện, chúng ta có thể viết các phương trình ma trận mật

độ như sau [59]:

2  

  11

 11

   1 22

 12

i *    1 2

i   1 2

, (3.5a)

 

  22

   1 22

 2 33

 12

 2 23

i   1 2

i *    1 21 2

i *    2 32 2

i   2

, (3.5b)



 

  33

 11

 2 33

 2 23

i *    2 32 2

i   2

)

, (3.5c)

    



  12

)   1 12

(    11

 2 13

  1

 2 23

i *   1 2

i   2

, (3.5d)

)

    



  21

)   1 21

(    11

 2 31

  1

 2 32

i *   1 2

i   2

)

 

i  

, (3.5e)



  23

    2

 23

(    22

 13

i *   2 2

i   1 2

)

, (3.5f)

 

i  



 31

  32

    2

 32

(    22

i *   2 2

i   1 2

R i

 

  

, (3.5g)



  13

   2 13

i *    1 23 2

i *    2 12 2

R i

 

  

, (3.5h)



  31

   2 31

i *    1 32 2

i *    2 21 2

, (3.5i)

j ) và điều kiện bảo toàn



 . Ở đây

   22

33 1

   ji

*

với (i

j ;

  ij

là toán tử độ cư trú khi i = j và là toán tử lưỡng cực khi i

  p

   21

  c

   32

là các độ lệch tần số của các trường laser và

trường laser điểu khiển từ các dịch chuyển tương ứng. Trong trường hợp các

2 p

mức gần nhau, được liên kết bởi hai trường laser với các tần số khác nhau sẽ

  2 23

, dẫn tới trong phương trình Bloch quang học có thêm số hạng

mà nó mô tả kết quả của hiệu ứng giao thoa lượng tử từ các liên kết chéo giữa

2 và 2

3 , tức là hiệu ứng phát xạ tự phát

các phát xạ tự phát 1

(SGC); tham số p os c   đặc trưng cho cường độ giao thoa,  là    . d d 12   . d d 12

1p  .

 12d

 23d

0 90 

góc giữa hai mômen lưỡng cực và . Do ( ) suy ra 0

Tham số p đóng vai trò rất quan trọng trong sự tạo ra độ kết hợp cảm ứng do

phát xạ tự phát. Khi hai mômen lưỡng cực song song thì ảnh hưở ng củ a hiê ̣u

1p       ; ngược la ̣i, khi hai 2

ứ ng giao thoa lươ ̣ng tử là lớ n nhất

momen lưỡng cực trực giao thı̀ không có sự giao thoa do phát xa ̣ tự phát hay p     .

0

Nếu khoảng cách giữa các mứ c cách đều nhau thı̀ ảnh hưở ng củ a đô ̣ kết hơ ̣p được tạo bởi phát xa ̣ tự phát là đáng kể, khi đó hiệu ứng SGC được đưa

1 , độ mạnh của SGC sẽ thay đổi theo ; mặt khác nếu

vào tính toán

thì không có hiệu ứng SGC. Do SGC, các đặc trưng của hệ không chỉ phụ

thuộc vào biên độ và các độ lệch tần mà còn phụ thuộc vào độ lệch pha của

trường laser và trường laser điều khiển, do đó chúng ta có thể biểu diễn các

p và

c là các pha của trường

tần số Rabi như là các tham số phức. Ký hiệu

exp

  

pi





exp

laser và trường laser điều khiển tương ứng, thì chúng ta có





   2 c

ci



và và độ lệch pha giữa các trường laser và trường laser điều

 . Đặt





   p c

   23

23 exp

ci 

  ii

pi 

   12

12 exp





 



khiển là , , ,

 , thì từ các phương trình (3.5) chúng ta thu được:



c 

   13

 13 exp i

và

2  

  11

  11

    1 22

     12





i   2

, (3.6a)

 

  22

    1 22

  2 33

     12 21

     23









i   2

, (3.6b)



 

  33

  11

  2 33

     23





i   2 c

, (3.6c)

)

    



  12

 )   1 12

  (    11

  13

  1

  2 23 

i   2

i   2

)

, (3.6d)

    



  21

 )   1 21

  (    11

  31

  1

  2 32 

i   2

i   2

, (3.6e)

)

 

i  



  23

    2

  23

  (    22

  13

i   2

)

 

i  

, (3.6f)



  31

  32

    2

  32

  (    22

i   2

R i

, (3.6g)

 

  



  13

    13 2

  23

  12

i   2

i   2

R i

 

  

. (3.6h)



  31

    2 31

  23

  21

i   2

i   2

, (3.6i)

ở đây các phương trình này là tương tự các phương trình (3.5) ngoại trừ 

 exp i

 

  

được thay thế bởi .

Quá trình lan truyền của xung laser trong môi trường nguyên tử bị chi

phối bởi các phương trình Maxwell. Sử dụng các gần đúng hàm bao biến

thiên chậm và gần đúng sóng quay, chúng ta thu được các phương trình lan

truyền sóng cho các trường laser và trường laser điều khiển như sau:

( , ) z t

(3.7b)

(3.7a) , z t ( , ) z t ( , )    i 2     12 p  z  1  c t       

1  c t 

   2 i    23 c  z       

 m



ở đây,

, với n = 1, 3 là các hằng số lan truyền. Để thuận tiện

 m

N d 2 n  02 c 

chúng ta chuyển các phương trình (3.6) và (3.7) sang hệ quy chiếu phòng thí

z và

/ z c

, với c là tốc độ ánh sáng trong

nghiệm bằng cách thay

chân không. Trong hệ quy chiếu này các phương trình (3.6) sẽ tương tự bởi

thay thế t  và z  , trong khi các phương trình (3.7) được viết lại:



( , ) 

(3.8a)

 2 i ( , )      12

  





( , ) 

(3.8b)

2 i ( , )     23

  

Để nghiên cứu quá trình lan truyền trong môi trường nguyên tử ba mức

cấu hình bậc thang với SGC và biến điệu của độ lệch pha khi có bơm không

kết hợp chúng ta giải số hệ các phương trình (3.5) và (3.8) bởi các thuật toán

đã được trình bày ở chương 2. Chúng ta cũng giả sử hàm bao của trường là

biến đổi chậm và tại điểm vào môi trường có dạng như (2.17). Cũng để thuận

tiện chúng tôi sử dụng kí hiệu  thay cho  trong các hình vẽ ở chương này.

t  

3.2. Ảnh hưởng của SGC lên sự lan truyền xung laser

Trước tiên để thấy rõ ảnh hưởng của SGC và pha tương đối lên quá

trình lan truyền xung laser, chúng tôi tìm điều kiện để thu được xung lan

truyền ổn định bằng cách cho  = 0 (tức là đã bỏ qua ảnh hưởng của SGC và

do đó độ lệch pha  trong trường hợp này cũng được bỏ qua). Chúng ta khảo

sát sự tiến triển theo không-thời gian của xung laser p(,) và tìm được bộ

tham số cho sự hình thành hiệu ứng EIT lên dạng xung laser (tức xung laser

lan truyền có dạng gần như không biến dạng), được biểu diễn trên hình 3.2a.

Giá trị thích hợp của các tham số được chọn trong hình 3.2a là: 0 = 25 ns,

biên độ đỉnh của xung laser, xung laser điều khiển và độ lệch tần số của các

trường laser. Các tham số này cũng được sử dụng chung cho tất cả các hình

trong chương này.

Tiếp theo, để nghiên cứu ảnh hưởng của SGC lên sự hình thành EIT

của xung laser chúng ta cố định  = 1 và độ lệch pha  = 0, sau đó khảo sát sự

tiến triển theo không thời gian của xung laser p(,) tại các giá trị khác nhau

của tham số giao thoa lượng tử p. Các tham số khác được chọn trong hình 3.2

0p  thì

là: 1 = 1,22 và R = 1,22. Các kết quả cho thấy rằng khi tham số

EIT gần như lý tưởng đạt được, khi đó hàm bao của xung laser là không bị

suy hao trong quá trình lan truyền như hình 3.2a. Tuy nhiên khi SGC được

biểu hiện, tức là p  0, thì hàm bao của xung laser bị phá hủy đáng kể trong

khi lan truyền và dao động của sườn trước tăng lên khi tham số p tăng như

thấy trong các hình (3.2b)-(3.2d). Chúng ta cũng lưu ý rằng các dao động chủ

yếu là xảy ra ở sườn trước của xung và các dao động này tăng khi khoảng

cách lan truyền tăng. Tuy nhiên suy giảm của đỉnh xung do hấp thụ là không

đáng kể như thấy trong hình 3.3, ở đây chúng tôi vẽ biên độ đỉnh của xung

laser theo khoảng cách lan truyền đối với các giá trị khác nhau của tham số p.

Điều này là hoàn toàn phù hợp bởi môi trường nguyên tử là trong suốt hoàn

toàn đối với xung laser và SGC không phá hủy EIT [47]. Lý do chủ yếu cho

các dao động tại sườn trước của xung laser với SGC có nguyên nhân từ ảnh

hưởng của SGC lên hấp thụ của xung dò đã được nghiên cứu trong công trình

[47]. Công trình này đã cho thấy rằng đỉnh hấp thụ ở cả hai bên tần số trung

tâm (độ lệch tần bằng không) trở nên lớn hơn khi p tăng và độ rộng vạch phổ

hẹp hơn so với trường hợp không có SGC.

p0 = 0.05 GHz, c0 = 25 GHz và p = c = 0; tương ứng là độ rộng xung,

Hình 3.2. Sự tiến triển không-thời gian của xung laser p(,) đối với các giá trị

khác nhau của p = 0 (a), 0,3 (b), 0,7 (c) và 1 (d). Các tham số khác được sử dụng là:

 = 0, 1 = 1,22 và R =1,22.

Hình 3.3. Sự biến thiên của biên độ đỉnh trường laser theo độ sâu quang học đối với

các giá trị khác nhau của tham số p. Các tham số khác được chọn:  = 0 và R = 1 = 1,22.

3.3. Ảnh hưởng của độ lệch pha lên lan truyền của xung laser

Để thấy được vai trò điều khiển của độ lệch pha giữa hai trường laser,

chúng ta cố định tham số p = 0,7 và khảo sát sự tiến triển theo thời gian của

xung laser p(,) tại độ sâu quang học p = 5ns-1 đối với các giá trị khác nhau

của độ lệch pha  như được biểu thị trong hình 3.4. Từ hình 3.4a chúng ta có

thể thấy rằng hàm bao của xung laser phụ thuộc rất nhạy vào độ lệch pha và

ảnh hưởng của độ lệch pha lên sự tiến triển theo thời gian của xung laser là

biến đổi với chu kì 2. Đối với 0   < /2: ta thấy tại  = 0, do SGC tạo ra

dao động sườn trước bị biến dạng như thấy trong hình 3.2c, khi  tăng thì biên

độ dao động tại sườn trước của xung laser là giảm. Đặc biệt khi  = /2 các

dao động biến mất, đó là do ảnh hưởng của SGC lên dạng xung bị triệt tiêu

khi pha giữa trường laser và trường laser điều khiển là vuông góc. Đối với /2

<   : với  tăng thì biên độ dao động tại sườn trước của xung tăng dần và

động ở sườn trước của xung trong miền /2 <    và 0   < /2 là ngược

pha nhau như thấy trên hình 3.4b. Đây cũng là quy luật biến đổi của hấp thụ

và tán sắc theo độ lệch pha với quy luật tương tự như [59] khi xét hệ trong

trạng thái dừng. Tương tự như vậy, tại  = 3/2 các dao động là biến mất, trong

khi đó tại  = 2 các dao động là lớn nhất và trùng với trường hợp  = 0.

Để giải thích rõ bản chất vật lý của hiện tượng này chúng ta khảo sát

Im(21) và Re(21) tương ứng với hấp thụ và tán sắc của trường laser theo độ

lệch pha khi tính đến ảnh hưởng của SGC và có mặt của bơm không kết hợp

như trình bày trong hình 3.5. Từ hình 3.5 chúng ta thấy rằng Im(21) và

Re(21) biến đổi có chu kì liên hệ với độ lệch pha với chu kì 2. Khi  = 0

hoặc  = 2, hấp thụ đạt được giá trị lớn nhất và độ tán sắc dn/d là biến

thiên nhiều nhất dó đó ảnh hưởng của SGC lên hấp thụ và hiệu ứng lan truyền

xung laser là lớn nhất; trong khi đó khi  = /2 hoặc  = 3/2 thì cả hấp thụ

và độ tán sắc dn/d đều bằng không do đó ảnh hưởng của SGC lên hiệu ứng

lan truyền cũng bị triệt tiêu. Hơn nữa, từ hình 3.5 chúng ta cũng thấy rằng tại

các vị trí độ lệch pha  = /2 và  = 3/2 thì tính chất của môi trường bị đảo

ngược từ khuếch đại sang hấp thụ và ngược lại. Do sự thay đổi tính chất của

môi trường tại các vị trí đặc biệt này nên đây cũng là lý do để lý giải cho sự

triệt tiêu các dao động tại sườn trước của xung laser trong quá trình lan truyền

hay là làm suy giảm ảnh hưởng của SGC khi độ lệch pha thỏa mãn bằng một

số lẽ lần /2.

 =  dao động là lớn nhất mà tương tự như khi  = 0. Tuy nhiên, các dao

Hình 3.4. Sự tiến triển theo thời gian của xung laser p(,) theo độ lệch pha ,

được biểu diễn dạng ba chiều (a) và hai chiều (b) khi p = 0,7 và p = 5ns-1 và R =

1 = 1,22.

Hình 3.5. Sự biến thiên của Im(21) và Re(21) theo độ lệch pha khi tham số

p = 0,7 và R = 1 = 1,22.

3.4. Vai trò của bơm không kết hợp

Để thấy được vai trò của bơm không kết hợp trong điều khiển SGC và

độ lệch pha đối với quá trình lan truyền xung laser chúng ta khảo sát sự tiến

triển thời gian của xung laser p(,) theo tốc độ bơm không kết hợp R khi

cố định tại độ sâu quang học p = 5ns-1, tham số p = 0,7 và độ lệch pha  = 0

hay  =  được mô tả như trong hình 3.6. Từ hình 3.6 chúng ta có thể thấy

rằng khi R = 0, tức là khi không có bơm không kết hợp thì chỉ có những dao

động nhỏ ở sườn trước của xung, khi đó ảnh hưởng của SGC lên sự hình

thành hiệu ứng EIT của xung laser là rất nhỏ. Tuy nhiên, khi bơm không kết

hợp có mặt thì vai trò của SGC và độ lệch pha trở nên rất nhạy với tốc độ

bơm không kết hợp. Khi tăng tốc độ bơm không kết hợp thì biên độ dao động

tại sườn trước của xung tăng nhanh, nhưng biên độ đỉnh của xung thì dao

động quanh giá trị biên độ đỉnh ban đầu p0. Ngoài ra bằng cách so sánh các

hình 3.6a và 3.6b chúng ta có thể quan sát thấy sự biểu hiện của độ lệch pha

có thể điều khiển dao động tại sườn trước của xung như chúng ta đã phân tích

ở trong hình 3.4 ở trên.

Hình 3.6. Sự tiến triển thời gian của xung laser p(,) theo tốc độ bơm kết hợp R

tại độ sâu quang học p = 5ns-1, tham số p = 0,7 và độ lệch pha  = 0 (a),  (b).

3.5. Kết luận chương 3

Trong chương này, chúng tôi đã nghiên cứu động học lan truyền của

xung laser trong hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang dưới ảnh hưởng của

SGC, độ lệch pha giữa trường laser và trường laser điều khiển khi có mặt của

bơm không kết hợp lên sự hình thành hiệu ứng EIT của xung laser:

xung tăng khi tham số giao thoa p tăng và dao động lớn nhất khi p = 1.

Đồng thời dao động ở sườn trước cũng tăng theo độ sâu quang học khi

xung lan truyền vào môi trường.

 Khi tính đến ảnh hưởng của SGC, biên độ của dao động ở sườn trước của

rất nhạy khi có mặt của SGC. Khi cố định tham số p và xét tại một độ sâu

quang học, biên độ dao động tại sườn trước của xung thay đổi theo pha

tương đối. Khi pha tương đối thay đổi từ 0 đến /2 thì biên độ dao động

này giảm, đặc biệt tại  = /2 thì các dao động tại sườn trước của xung

biến mất, tức sự ảnh hưởng của SGC lên sự hình thành EIT của xung laser

trong quá trình lan truyền là được bỏ qua trong trường hợp này. Khi pha thay

đổi từ /2 đến  thì biên độ các dao động này lại tăng, tại  =  thì biên độ

dao động này giống với tại  = 0 nhưng dao động ngược chiều. Khi pha

tương đối thay đổi từ  đến 3/2 thì quá trình lặp lại giống như trong miền

từ 0 đến /2 nhưng dao động ngược chiều, tại  = 3/2 thì dao động ở

sườn trước của xung laser bị triệt tiêu. Khi pha tương đối thay đổi từ 3/2

đến 2 thì quá trình lặp lại giống như trong miền từ /2 đến  nhưng dao

động ngược chiều, tại  = 2 thì dao động ở sườn trước của xung hoàn

toàn giống với tại  = 0.

 Ảnh hưởng của pha tương đối  giữa trường laser và laser điều khiển cũng

KẾ T LUẬN CHUNG

Trong công trình này, chúng tôi đã nghiên cứu động học lan truyền của

xung laser trong môi trường EIT ba mức bậc thang khi tính đến hiệu ứng

Doppler hoặc xét đến sự định hướng không trực giao của các mômen lưỡng

cực điện, bằng cách giải số hệ phương trình Maxwell-Bloch quang học cho hệ

nguyên tử 87Rb và các trường laser. Các kết quả chính như sau:

của xung laser (dạng EIT) dễ đạt được tại diện tích xung laser điều khiển

nhỏ cỡ Ωc0τ0 = 25; còn đối với các xung dài (có độ rộng xung cỡ ns hoặc lớn

hơn) thì cần diện tích xung laser điều khiển lớn hơn cỡ Ωc0τ0 = 5×103.

 Đối với các xung ngắn (có độ rộng xung cỡ ps hoặc nhỏ hơn) thì sự ổn định

kể và có thể bỏ qua đối với xung ngắn, còn đối với xung dài thì ảnh hưởng

của hiệu ứng Doppler là đáng kể và gây ra các dao động mạnh ở đuôi

xung. Khi độ rộng Doppler tăng lên thì biên độ các dao động này tăng. Do

đó, khi tính đến mở rộng Doppler để xung đạt được dạng ổn định thì diện

tích xung laser điều khiển phải lớn hơn so với khi không có Doppler.

 Ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler lên dạng của xung laser là không đáng

ứng bởi chùm laser và laser điều khiển làm sinh ra độ kết hợp gọi là SGC.

Độ lớn của SGC phụ thuộc vào góc lệch giữa các mômen lưỡng cực điện

được đặc trưng bởi tham số giao thoa p. Sự có mặt của SGC gây ra các dao

động ở sườn trước của xung, các dao động này tăng khi khoảng cách lan

truyền tăng. Tại một độ sâu quang học nhất định, khi tăng tham số p thì

các dao động tại sườn trước của xung cũng tăng.

 Sự định hướng không trực giao giữa các mômen lưỡng cực điện được cảm

rất nhạy khi có mặt của SGC. Khi cố định tham số p và xét tại một độ sâu

 Ảnh hưởng của pha tương đối  giữa trường laser và laser điều khiển cũng

quang học, biên độ dao động tại sườn trước của xung thay đổi (tăng hoặc

giảm) theo pha tương đối với chu kì /2, còn khi kể đến cả chiều dao động

thì chu kì là 2. Đặc biệt, khi pha tương đối bằng một số lẻ lần /2 thì các

dao động tại sườn trước của xung biến mất. Khi pha tương đối bằng không

hoặc bằng một số nguyên lần  thì biên độ dao động này là mạnh nhất.

SGC và pha tương đối lên dạng xung thể hiện rõ rệt hơn.

Các kết quả thu được là hữu ích để các nhà thực nghiệm lựa chọn cấu

hình và các tham số của laser khi nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng EIT trong

chế độ lan truyền xung. Nó cũng là nền tảng để nghiên cứu các ứng dụng

trong chuyển mạch toàn quang, xử lý thông tin lượng tử và truyền thông tin

quang.v.v.

Bên cạnh những kết quả đã thu được, đề tài cũng chưa nghiên cứu ảnh

hưởng đồng thời của hiệu ứng Doppler và sự định hướng không trực giao của

các mômen lưỡng cực điện. Chưa nghiên cứu ảnh hưởng của các tán sắc bậc

cao hoặc phi tuyến lên sự lan truyền xung trong môi trường EIT. Đây sẽ là

những nội dung nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi trong thời gian tới. Ngoài

ra, đề tài hoàn toàn có phát triển cho các môi trường hệ nguyên tử 4 hoặc 5

mức với các cấu hình kích thích khác nhau.

Các kết quả nghiên cứ u trong luâ ̣n án đã đươ ̣c trı̀nh bày trong các hô ̣i nghi ̣ khoa ho ̣c trong nướ c và quố c tế như: Hô ̣i nghi ̣ Quang ho ̣c quang phổ toàn quố c lần thứ 8 được tổ chức vào tháng 8 năm 2012 tại Đà nẵng và lần

thứ 9 được tổ chức vào tháng 11 năm 2016 tại Ninh Bình; Hội nghị học thuật

của các nhà khoa học trẻ các nước ASEAN được tổ chức vào tháng 11 năm

2015 tại Bangkok Thái Lan. Các kết qủa nghiên cứ u chı́nh trong đề tài đã đươ ̣c công bố trên các ta ̣p chı́ uy tı́n trong và ngoài nướ c.

 Bơm không kết hợp giữa mức |1 và |3 có vai trò làm cho ảnh hưởng của

CÁ C CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦ A TÁ C GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ

1. Dinh Xuan Khoa, Hoang Minh Dong, Le Van Doai and Nguyen Huy Bang,

“Propagation of laser pulse in a three-level cascade inhomogeneously

broadened medium under electromagnetically induced transparency

conditions”, Optik 131 (2017) 497–505.

2. Dinh Xuan Khoa, Hoang Minh Dong, Le Van Doai and Nguyen Huy Bang,

“Influences of spontaneously generated coherence and relative phase on

propagation effect in a three-level cascade atomic medium with incoherent

pumping”, manuscript submission in J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.

3. H. M. Dong, L. V. Doai, V. N. Sau, D. X. Khoa and N. H. Bang,

“Propagation of laser pulse in a three-level cascade atomic medium

under conditions of electromagnetically induced transparency”,

Photonics Letter of Poland, Vol. 8, N 3 (2016) 73-75.

4. H. M. Dong, L. V. Doai, P. V. Trong, M. V. Luu, D. X. Khoa, V. N. Sau

and N.H. Bang, “Propagation dynamics of laser pulse in a three-level V-

type atomic medium under electromagnetically induced transparency”,

The 4th academic conference on natural science for young scientists,

master and phd. Students from asean countries (2016) 337-344.

5. H. M. Dong, D. T. Thuy, V. N. Sau, T. M. Hung, M. V. Luu, B. D.

Thuan and T. T. Lam, “Effects of nonlinear absorption and third order

dispersion on soliton propagation in optical fiber”, Photonics Lettes of

Poland, Vol. 8 (3) (2016), 76-78.

6. Hoang Minh Dong, Dinh Xuan Khoa, Bui Dinh Thuan, “Ảnh hưởng của

nhiễu loạn điều kiện đầu lên lan truyền soliton quang học”, Ta ̣p chı́ Nghiên cứ u khoa ho ̣c và công nghệ quân sự, số 29 (2014) 105-113.

TÀ I LIỆU THAM KHẢ O

[1] G. P. Agrawal, “Nonlinear Fiber Optics”, Academic Press, San Diego,

California (2001).

[2] Hasegawa. A, M. Matsumoto, “Optical solitons in fibers”, Springer-

Verlag Berlin Heidelberg (2003).

[3] Haus H, “Optical-fiber solitons, their properties and uses”, P IEEE 81

(1993) 970–83.

[4] M. Shapiro, P. Brumer, in: B. Bederson, H. Welther (Eds), “Advances in

Diego, (1999) pp 287-345.

[5] H. R. Gray, R. M. Whiteley, C. R. Stroud, “Coherent trapping of atomic

Atomic, Molecular and Optical Physics”, Vol. 42, Academic Press, San

[6] A. Imamoglu, S.E. Harris, “Lasers without inversion: interference of

populations”, Opt. Lett. 3 (1978) 218.

[7] K.J. Boller, A.

Imamoglu, S.E. Harris, “Observation of

electromagnetically induced transparency”, Phys. Rev. Lett. 66

(1991) 2593.

[8] S. E. Harris, “Electromagnetically induced transparency”, Phys.

dressed lifetime-broadened states”, Opt. Lett. 14 (1989) 1344-1346.

Today 50 (1997) 36.

[9] J. P. Marangos, “Topical

review electromagnetically induced

[10] M. Fleischhauer, A. Imamoglu, J.P. Marangos “Electromagnetically

induced transparency: Optics in coherent media”, Rev.Mod. Phys.

transparency”, J. Mod. Optics 45 (1998) 471.

77 (2005) 633.

[11] L.V. Hau, S. E. Harris, Z. Dutton, C.H. Bejroozi, “Light speed reduction to

[12] J. Wang, L.B. Kong, X.H. Tu, K.J. Jiang, K. Li, H.W. Xiong, Y. Zhu, M.S.

Zhan., “Electromagnetically induced transparency in multi-level cascade

17 metres per second in an ultracold atomic gas”, Nature 397 (1999) 594.

[13] D. X. Khoa, P. V. Trong, L. V. Doai and N. H. Bang, “Electromagnetically

scheme of cold rubidium atoms”, Phys. Lett. A 328 (2004) 437.

induced transparency in a five-level cascade system under Doppler

[14] H. Schmidt and A. Imamoglu, “Giant Kerr nonlinearities obtained by

broadening: an analytical approach”, Phys. Scr. 91 (2016) 035401.

[15] H. Wang, D. Goorskey, and M. Xiao, “Atomic coherence induced Kerr

electromagnetically induced transparency”, Opt. Lett. 21 (1996) 1936.

(2002) 335–347.

[16] D.X. Khoa, L.V. Doai, D.H. Son and N.H. Bang, “Enhancement of self-

nonlinearity enhancement in Rb vapor”, J. Mod. Opt, vol. 49, No. 3/4

Kerr nonlinearity via electromagnetically induced transparency in a five-

(2014) 1330 – 1334.

[17] L. V. Doai, D. X. Khoa, and N. H. Bang, “EIT enhanced self-Kerr

level cascade system: an analytical approach”, J. Opt. Soc. Am. B 6

nonlinearity in the three-level lambda system under Doppler broadening”,

Phys. Scr. 90 (2015) 04550.

[18] S.E. Harris, J.E. Field and A. Imamoglu, “Nonlinear Optical Processes

(1990) 1107-1110.

[19] S.E. Harris and L.V. Hau, “Nonlinear Optics at Low Light Levels”, Phys.

Using Electromagnetically Induced Transparency”, Phys. Rev. Lett. 64

Rev. Lett. 82 (1999) 4611.

[20] H. Wang, D. Goorskey, and M. Xiao, “Controlling light by light with three-

[21] A. Joshi and M. Xiao, “Controlling nonlinear optical processes in multi-

level atoms inside an optical cavity", Opt. Lett. 27 (2002) 1354.

[22] J Mompart and R Corbal´an, “Lasing without inversion”, Quantum

Semiclass. Opt. 2, R7–R24 (2000).

[23] B.S. Ham, “Nonlinear Optics of Atoms and Electromagnetically Induced

level atomic systems”, Progress in Optics 49 (2006) 97-175.

(2002) 2477.

[24] A. Fountoulakis, A. F. Terzis, E. Paspalakis, “All-optical modulation

based on electromagnetically induced transparency”, Phys. Lett. A 374

(2010) 3354.

[25] J. H. Eberly, “Transmission of dressed fields in three-level media”, Quant.

Transparency: Dark resonance based optical switching”, J. Mod. Opt. 49

Semi. Opt. 7 (1995) 373.

[26] S. E. Harris and Z. F. Luo, “Preparation energy for electromagnetically

[27] F. T. Hioe and R. Grobe, “Matched Optical Solitary Waves for Three- and

induced transparency”, Phys. Rev. A 52 (1995) R928.

[28] V. G. Arkhipkin, I.V. Timofeev, “Adiabatic propagation of short pulses

Five-Level Systems”, Phys. Rev. Lett. 73 (1994) 2559.

under conditions of electromagnetically induced transparency”, Quant.

Electron. 30 (2000) 180.

[29] G. Demeter, D. Dzsotjan, and G. P. Djotyan, “Propagation of frequency-

chirped laser pulses in a medium of atoms with a -level scheme”, Phys.

Rev. A 76, (2007) 023827.

[30] Luís E. E. de Araujo, “Propagation of ultrashort pulses in multilevel

systems under electromagnetically induced transparency”, Phys. Rev. A

73, (2006) 053821.

[31] Y. Qi, Y. Niu, F. Zhou, Y. Peng, and S. Gong, “Phase control of coherent

pulse propagation and switching based on electromagnetically induced

transparency in a four-level atomic system”, J. Phys. B: At. Mol. Opt.

Phys. 44 (2011) 085502.

[32] M. Kiffner, T. N. Dey, “Dynamical control of pulse propagation in

023829.

[33] R. Yu, J. Li, P. Huang, A. Zheng, X. Yang, “Dynamic control of light

electromagnetically induced transparency”, Phys. Rev. A 79 (2009)

propagation and optical switching through an RF-driven cascade-type

[34] E. Paspalakis, N.J. Kylstra and P. L. Knight, “Propagation and generation

atomic medium”, Phys. Lett. A 373 (2009) 299

(2002) 053808.

[35] E. Ignesti, R. Buffa, L. Fini, E. Sali, M.V. Tognetti, S. Cavalieri,

dynamics in a coherently prepared four-level system”, Phys. Rev. A 65

“Controlling the propagation of broadband light pulses by electromagnetically

[36] G. Huang, K. Jiang, M. G. Payne and L. Deng, “Formation and

induced transparency”, Opt. Commun. 285 (2012) 1185.

propagation of coupled ultraslow optical soliton pairs in a cold three-state

Imamoglu, “Controlling photons using

[37] M. D. Lukin, and A.

double--system”, Phys. Rev. E 73 (2006) 056606.

electromagnetically induced transparency”, Nature 413 (2001) 273.

[38] N. Schupper, H. Friedmann, M. Matusovsky, M. Rosenbluh, and A. D.

Wilson-Gordon, “Propagation of high-intensity short resonant pulses in

[39] R. Fleischhaker and J. Evers, “Nonlinear effects in pulse propagation

inhomogeneously broadened media”, J. Opt. Soc. Am. B 16 (1999) 1127.

(2008) 043805

[40] L. Li, G. Huang, “Linear and nonlinear light propagations in a Doppler-

through Doppler-broadened closed-loop atomic media”, Phys. Rev. A 77

broadened medium via electromagnetically induced transparency”, Phys.

Rev. A 82 (2010) 023809.

[41] Qiao H X, Yang Y L, Tan X, Tong D M and Fan X J, “Phase modulation of

[42] L. E. Zohravi, M. Abedi, and M. Mahmoudi, “Phase-Controlled

propagation effect with Doppler broadening”, Chin. Phys. B 17 (2008) 3734.

Transparent Superluminal Light Propagation in a Doppler-Broadened

[43] R. Buffa, S. Cavalieri, E. Sali, and M. V. Tognetti, “Laser-pulse

Four-Level N-Type System”, Comm. Theo. Phys. 61 (2014) 506–516.

compression by coherent control in a Doppler-broadened medium:

[44] G. Buica, T. Nakajima, “Propagation of two short laser pulse trains in a Λ-

Analytical and numerical studies”, Phys. Rev. A 76 (2007) 053818.

type three-level medium under conditions of electromagnetically induced

[45] J. Javanainen, “Effect of State Superpositions Created by Spontaneous

transparency”, Opt. Commun. 332 (2014) 59.

[46] H. R. Xia, C. Y. Ye, and S. Y. Zhu, “Experimental Observation of

Emission on Laser-Driven Transitions”, Europhys. Lett. 17 (1992 ) 407.

Spontaneous Emission Cancellation”, Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 103.

[47] Hong-mei Ma, Shang-qing Gong, Cheng-pu Liu, Zhen-rong Sun, Zhi-zhan

Xu, “Effects of spontaneous emission-induced coherence on population

[48] S.-q. Gong, Z.-z. Xu, “The effect of phase fluctuation on absorption and

inversion in a ladder-type atomic system”, Optics Comm. 223 (2003) 97-101.

[49] M. Sahrai, “The effect of the spontaneously generated coherence on the

dispersion in a V medium”, Opt. Comm. 115 ( 1995) 65-70.

dynamical behaviors of the dispersion and the absorption”, Eur. Phys. J.

Special Topics 160 (2008) 383–390.

[50] H.-M.Ma, S.-Q. Gong, Z.-R. Sun, R.-X. Li, and Z.-Z. Xu, “Effects of

spontaneously induced coherence on absorption of a ladder-type atom”,

Chin. Phys. 11 (2006) 2588.

[51] Y. Bai, H. Guo, D. Han, H. Sun, “Effects of spontaneously generated

342–346.

[52] M. Mahmoudi, M. Sahrai and H. Tajalli, “The effects of the incoherent

coherence on the group velocity in a V system”, Phys. Lett A 340 (2005)

pumping field on the phase control of group velocity”, At. Mol. Opt. Phys.

39 (2006) 1825–1835.

[53] Wang H, Goorskey D and Xiao M, “Enhanced Kerr Nonlinearity via

(2001) 073601.

[54] Niu Y P and Gong S Q, “Enhancing Kerr nonlinearity via spontaneously

Atomic Coherence in a Three-Level Atomic System”, Phys. Rev. Lett. 87

[55] Y. Bai, T. Liu, X. Yu, "Giant Kerr nonlinearity in an open V-type system

generated coherence”, Phys. Rev. A 73 (2006) 053811.

with spontaneously generated coherence”, Optik 124 (2012) 613-613.

[56] Dong chao Cheng, Cheng pu Liu, Shang qing Gong, “Optical bistability

and multistability via the effect of spontaneously generated coherence in a

[57] K.I. Osman, A. Joshi, “Induced coherence and optical bistability in a four-

three-level ladder-type atomic system”, Phys Let A 332 (2004) 244-249.

[58] A. Li, H. Ma, X. Tan, Y. Yang, D. Tong, X. Fan, “Phase control of probe

level system with incoherent pumping”, Optics Comm. 293 (2013) 86-94.

response in an open ladder type system with spontaneously generated

[59] X.J. Fan, A.Y. Li, F.G. Bu, H.X. Qiao, J. Du, Z.Z. Xu, “Phase-dependent

coherence”, Opt. Comm. 280 (2007) 397–403.

properties for absorption and dispersion in a closed equispaced three-level

[60] Z.-B. Liu, Y. Liang, K.-N. Jia and X.-J. Fan, “Influence of Doppler

ladder system”, Optik 119 (2008) 540-544.

broadening and spontaneously generated coherence on propagation effect

024206.

in a quasi lambda-type four-level system”, Chin. Phys. B 21 (2) (2012)

[61] Lê Văn Đoài, “Điều khiển hê ̣ số phi tuyến Kerr của môi trườ ng khı́ nguyên tử Rubi dựa trên hiệu ứ ng trong suốt cảm ứ ng điện từ ”, Luâ ̣n á n tiến sı̃ vâ ̣t lý , Trườ ng Đại ho ̣c Vinh (2014).

[62] Elizabeth Groves, “Soliton Solutions for High-Bandwidth Optical Pulse

[63] R.W. Boyd, “Nonlinear Optics 3rd”, Academic Press, 2008.

[64] S. L. McCall and E. L. Hahn, “Self-induced transparency”, Phys. Rev. 183

(1969) 457.

[65] Hans J. Weber and George B. Arfken, “Essential Mathematical Methods

Storage and Retrieval”, Ph.D.thesis, University of Rochester (2013).

for Physicists”, Elsevier Academic Press, 2004.

[66] K. Kowalski, V. Cao Long, K. Dinh Xuan,M. Głódź 1, B. Nguyen Huy, J.

Szonert, Electromagnetically Induced Transparency, CMST SI (2) (2010)

131-145.

[67] Daniel Adam Steck, “Rb87 D Line Data”, http://steck.us/alkalidata.

[68] M.D. Crisp, Propagation of small-area pulses of coherent light through a

[69] S.E. Harris, Electromagnetically induced transparency with matched

pulses, Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 551.

resonant medium, Phys. Rev. A 1 (1970) 1604.

PHỤ LỤC

Cá c hệ đơn vi ̣ trong quang ho ̣c

Trong quang học, có hai hê ̣ đơn vi ̣ thườ ng đươ ̣c sử du ̣ng là hê ̣ đơn vị SI và hệ đơn vi ̣ Gaussian. Trong phu ̣ lu ̣c này, chú ng tôi trı̀nh bày đơn vị củ a hai hê ̣ này và sự chuyển đối giữa chúng.

Bảng P1 Chuyển đổi củ a các đa ̣i lươ ̣ng giữa các hê ̣ đơn vi ̣ SI và Gaussian [63].

Đa ̣i lượng

Ký hiê ̣u Đơn vi ̣ SI Hê ̣ số nhân Đ.vi ̣ Gaussian

100

Chiều dài

1000

Khối lượng

Thờ i gian

105

dyn

Lực

107

erg

Năng lươ ̣ng

107

erg/s

Công suất

10c

statA

Cườ ng đô ̣ dò ng điê ̣n

10c

statC hay esu

Điê ̣n tích

106/c

statV

Hiê ̣u điê ̣n thế

105/c2

Điê ̣n trở

stat

105/c2

statH

R 

Cuô ̣n cảm

10-5/c2

Điê ̣n dung

V/m

104/c

statV/cm

Điê ̣n trườ ng

Bả ng P2 Các hằng số vâ ̣t lı́ trong hê ̣ đơn vi ̣ SI và hê ̣ đơn vi ̣ Gaussian [63].

Đơn vi ̣ SI

Đ.vi ̣ Gaussian

Đa ̣i lượng

Ký hiê ̣u Giá trị

Vận

2,998

108 m/s

1010 cm/s

tốc ánh sáng

trong chân không

8,854

10-12 F/m

Độ điê ̣n thẩm trong

0

chân không

1,256

10-6 H/m

Độ

thẩm

trong

0

từ chân không

6,022

10-23 mol-1

Hằng số Avogadro

6,626

10-34 J/s

10-27 erg.s

Hằng số Planck

1,380

10-23 J/K

10-26 erg/K

Hằng số Boltzmann

1,602

10-19 C

Điê ̣n tı́ch electron

4,803

10-10 esu

9,109

10-31 kg

10-28 g

Khối lươ ̣ng electron

5,291

10-11 m

10-9 cm

Bán kı́nh Bohn

Electron volt

1eV

1,602

10-19 J

10-12 erg

Trong hệ đơn vị SI, sự phân cực đươ ̣c liên hê ̣ vớ i cườ ng đô ̣ trườ ng theo

hê ̣ thứ c:

(1)

(2)

(3)



P t ( )

E t ( )

2 E t ( )

3 E t ( )







    0

 (A1)

trong đó ,



, (A2)

/F m



8,85 10 

 0



, (A3)





C 2 m

, (A4)



 V  m

F 1



, (A5)

C V

Do đó , đơn vi ̣ của các đô ̣ cảm điê ̣n là:

(1) không có thứ nguyên, (A6)

(2)

, (A7)



1 E

(3)

. (A8)





 

  

1 2 E

m V

  

  

Trong hệ đơn vị Gaussian, sự phân cực được liên hê ̣ vớ i cường đô ̣

trườ ng theo hê ̣ thứ c:

(1)

( 2)

(3)

P t ( )

E t ( )

2 E t ( )

3 E t ( )













  (A9)

Tất cả các đa ̣i lươ ̣ng củ a trườ ng: E, P, D, B, H và M có cù ng đơn vi ̣. Đơn vi ̣ củ a P và E là:

. (A10)











statvolt cm

statcoulomb cm

erg 3 cm

   

1/2   

Do đó , đơn vi ̣ củ a các đô ̣ cảm điê ̣n là:

(1) không có thứ nguyên, (A11)

1/2



(2)

, (A12)





 

  

1 E

cm statvolt

erg 3 cm

  

  

   

  

1 

(3)

. (A13)



  

  

1 2 E

cm statvolt

erg 3 cm

  

  

   

  

Chuyển đổi giữa các đơn vi ̣: sử du ̣ng các biểu thứ c (A2) và (A10) và

statvolt

300



mỗi liên hê ̣ 1

, chú ng ta tı̀m đươ ̣c:

. (A14)

E SI (

)

3 10

E Gaussian

(

)

 

      m V      

Để tìm đươ ̣c mỗi liên hê ̣ giữa các độ cảm điê ̣n tuyến tính trong hê ̣ đơn vị SI và hệ đơn vị Gaussian, chú ng ta sử du ̣ng các biểu thứ c củ a đô ̣ điê ̣n di ̣ch:

(1)

, trong đơn vi ̣ SI, (A15a)

)



E P 







 0

(1)

, trong đơn vị Gaussian. (A15b)

)