Luận án Tiến sĩ Vật lý: Dẫn nhảy bước biến đổi trong các hệ điện tử định xứ mạnh

Thouless (1974) [116] chứng minh rằng, tham số w l\v\ trong mô hình

Anderson liên quan đơn trị với đại lượng gọi là conductance không thứ nguyên g:

Lổ

troni đó: conductance G của một hypercube ả chiều cạnh L liên hệ với độ dẫn ơ"bới

hệ thức:

G = ơư'1 (1.4)

Khác với độ dẫn (X, conductance g nói chuns phụ thuộc vào kích thước của

hệ. Thouless cho rằng đặc trưng dẫn của một hệ vĩ mô tuy thuộc dáng điệu của hàm

g(L). N ếu khi tăng L, g dẫn đến giới hạn hữu hạn xác định bởi định luật Ohm thì hệ

là kim loại. Còn ngược l ạ i, nếu g -> 0:

gccexp{-Lỉệ) (1.5)

thì hệ mang tính điện mỏi. Độ dài đạc trưng £ t h ì nh 1.2) phụ thuộc vào bản chất của

hệ và được gọi là độ dài định xứ (localization length). Giới hạn định luật Ohm

được gọi là giới hạn mất trật tự yếu, còn giới hạn (1.5) là giới hạn mất trật tự mạnh.

Phát triển ý tưởng trên của Thouless, nám 1979 Abrahams và các đồng tác

giả [1] đề xuất hệ thức scaling nổi tiếng cho sự phụ thuộc tổng quát của g và L:

(1.6)

A W = f f - í% jaL a In L

Đây là hệ thức cơ bản của lý thuyết định xứ Anderson. Hệ thức này đã cho

những tiên đoán quan trọng:

(ỉ) tồn tại chuyển pha kim loại - điện môi trong hệ 3 chiều (3D) và đó là một

chuyển pha loại hai, nghĩa là không tổn tại độ dẫn kim loại cực tiếu của Mott;

(2) trong các hệ 2 chiều (2D) và Ì chiều (ID) sóng electron luôn định xứ, không

tổn tại trạng thái kim loại.

Như vậy, lý thuyết các hệ mất trật tự bao gồm 2 giới hạn quan trọng: mất trật

tự yếu và mật trật tự mạnh. Trong giới hạn mất trật tự yếu, sóng electron có thế

truyền ra xa, hệ mang tính kim loại. dẫn xảy ra theo cơ chế khuếch tán, các tính toán

lý thuyết có thể thực hiện trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn. Trong giới hạn mát

trật tự mạnh, sóng electron định xứ mạnh trong miền khônơ gian hẹp, hệ mang tính

[t£l,KOC c'.'CC CA HẠ N o i,

17

điện môi, sự dẫn điện xây ra theo cơ^chế nháy (hopping), các phương pháp tính toán

quen thuộc cho hệ electron tán xạ yếu không còn sử dụng được nữa.

Ngoài ra, quan trọng là trong Hamiltonian Anderson (1.1) chưa tính đến

tương tác electron - electron. Nếu tính đến tương tác này sẽ dẫn tới nhiều hiệu ứng

vật lý quan trọng, nhất là ớ nhiệt độ thấp. Vai trò của tương tác electron - electron là

vấn đề hay nhất và cũng là khó nhất trong ỉý thuyết các hệ mất trật tự. Nghiên cứu

ảnh hưởng của tương tác electron - electron lên các tính chất động, trước hết là dẫn

nhảy bước biến đổi (Variable-Range Hopping - V R H ), của hệ electron định xứ

mạnh chính là mục tiêu của luận án này. Để tiếp cận vấn đề, trong các tiết tiếp theo

của chương này chúng tôi sẽ giới thiệu ngắn gọn về khái niệm dẫn nhảy và các

phương pháp tính độ dẫn điện (hay điện trờ suất) trong cơ chế nháy.

1.2 DẪN Đ IỆN T R O NG C ÁC HỆ E L E C T R ON ĐỊ NH xứ MẠ N H: D AN N HẢY

Dẫn nhảy (hopping conduction) là cơ chế dẩn chủ đạo ở nhiệt độ thấp trong

các hệ mất trật tự với các trang thái electron định xứ manh, chang han như trong các

vật liệu vỏ định hình, trong bán dẫn pha tạp nhẹ. các polymer dẫn, thậm chí trong

ống nanocarbon hay sợi D N A. Để cụ thể, dưới đây chúng tôi trình bày về dẫn nhảy

trong bán dẫn pha tạp nhẹ, là loại vật liệu được nghiên cứu thực nghiệm sớm và đầy

Ạ1^

đủ nhất về dẫn nhảy.

A BC D Tl

Hình 1.3: Sự phụ thuộc của điện trớ suất vảo nhiệt độ của bán dan pha tạp nhẹ

ớ nhiệt độ cao, bán dan có độ dẫn điện riêng liên quan tới sự kích hoạt nhiệt

18

các electron từ vùng hoa trị lên vùng dẫn (miên A trên hình 1.3). Mật độ các hạt

dẫn điện riêng là những hàm số mũ của nhiệt độ. K hi giảm nhiệt độ thì mật độ các

hạt dẫn điện riêng giảm rất nhanh cho tới khi chúng nhò hơn mật độ hạt dẫn đóng

góp bởi các tâm tạp chất. Tiếp tục giảm nhiệt độ thì sự dẫn điện được xác định chủ

yếu bời mật độ và các tính chất của tạp chất. Vì thế, dẫn điện lúc đó gọi là dẫn điện

tạp chất. Ở nhiệt độ đù thấp, xuất hiện miền bão hoa B, tại đó tất cả các tâm tạp bị

ion hoa và mật độ hạt dẫn không phụ thuộc vào nhiệt độ. Sự phụ thuộc của điện trò

vào nhiệt độ ở miền này hoàn toàn được xác định bời sự phụ thuộc của độ linh động

hạt tải điện vào nhiệt độ, chẳng hạn điện trở giảm khi nhiệt độ giảm liên quan tới sự

yếu đi của tán xạ electron lên phonon. Nhiệt độ càng giảm, các electron tái hợp trớ

lại với tâm tạp (miền C). Sự phụ thuộc nhiệt độ cùa độ dẫn điện trong miền này được

xác định hoàn toàn bởi sự giảm nhanh của nồng độ electron tự do. K hi nhiệt độ tiếp

tục giảm thì xuất hiện thời điểm mà năng lượng nhiệt không đu để kích hoạt

electron từ vùng tạp chất lên vùng dẫn, nhưng vẫn đủ đế electron có thể nhảv

(hopping) trực tiếp theo các tâm tạp (miền D). Đó là dẫn nháy (hopping conduction).

Electron nhảy từ donor đang bị chiếm (occupied) sang donor trống (empty). VI thế,

điều kiện cần của dẫn nhảy là sự có mặt của các donor trông. Cơ chế dẫn nháy tươns

ứng với độ linh động nhỏ, bới sự nhảy của electron liên quan với sự phu vếu các

hàm sóng của các donor cạnh nhau. Trên hình 1.3 mô tả sự thay đổi điện trớ của bán

dẫn pha tạp nhẹ khi nhiệt độ giảm. M i ền A với độ dốc gần thẳng đứng tươns ứng với

dẫn điện riêng của bán dẫn, các miền B - C -D ứng với vùng dẫn tap chất, trong đó B

là miền bão hoa, c là miền tái hợp còn D là miền dẫn nhảy. Đối với Ge, với mật độ

donor là ND * l o '5e m-3 thì miền dẫn điện riêng ứng với T > 400K. miền bão hoa khi

50K < T < 400K , miền tái hợp khi 7K

khi T * 1K.

K hả nâng dẫn nhảy đã được B. Gudden và w. Schottky đoán nhặn lý thuyết

từ năm 1935. Các số liệu thực nghiêm đáu tiên về dẫn nhảy được G. Bush và H.

Labhart thu nhận trên cacbua-silic năm 1946, c.s. Hung và J. Gliessman [38] thu

nhận trên Silic và German năm 1954. Sau đó, dẫn nháy đã được nghiên cứu nhiều

lần trong Ge, Si... và nhiều bán dẩn khác. Trên hình 1.4 biểu diễn sự phụ thuộc của

19

điện trở suất vào nghịch đảo của nhiệt độ đối với Ge loại p theo số liệu thực nghiệm

của Fritzsche và Cuevas [32] với nồng độ acceptor (Ga) NA (đơn vị em"3) tăng dẩn:

(1) - 7,5.lo14 ; (2) - 1.4.1015 ; (3) - 1.5.1015 ; (4) - 2/7.10'5 ; (5) - 3,6.1015 ; (6) -

4.9.101 5; (7) - 7,2.101 5; (8) - 9,0.1015; (9) - 1.4.1016 ;(10) - 2.4.10'6; ( l i) - 3.5.1016 ;

(12) - 7,3.101 6; (13) - l,0.101 7; (14) - 1.5.1017; (15) - 5.3.10'7; (16) - 1,35.10'*. Tất

cả các đường cong với độ chính xác cao có thế mô tả bằng còng thức gần đúng:

' f.

ì

f 8 gi

p-'(T) = p;[ exp

(1.7)

+ p, exp

Số hạng thứ nhất tưcmg ứng với dẫn vùng. Thực tế nó là như nhau đối với mọi

nồng độ của acceptor. Số hạng thứ hai tương ứng với dẫn nhảy. Rõ ràng là dẫn nhảy

T(K)

10

300 lo

0.8

0.2

0.4

0.6

Hình 1.4: Sự phụ thuộc của điện trở suất vào nghịch đáo của nhiệt độ đối với Ge

loại ọ theo số liệu thực nghiệm của Fritzsche và Cuevas [32].

có một năng lượng kích hoạt £3 xác định, tuy nhó so với s{. Nhảy theo các donor,

electron hấp thụ hoặc bức xạ phonon dẫn đến sự phụ thuộc dạng hàm e-mũ của độ

20

dẫn điện vào nhiệt độ. K hi tăng nồng độ tạp chát, năng lượng kích hoạt ban đẩu có

táng một chút. Điều này liên quan tới sự tăng của thế Coulomb ngẫu nhiên gây bởi

các tâm tạp mang điện. Tuy nhiên, tiếp tục tăng nồng độ tạp chất dẫn đến sự phu của

các hàm sóng các tâm tạp cạnh nhau táng lên và £3 giảm đi. Kết quả là khi

NA = 1.5.lo17 cm'- (đường số 14) thì nâng lượng £3 = 0. Dưới đây chi xét sự dẫn

nhảy trong miền nồng độ tạp nhỏ. Trên hình 1.4 còn cho tháy rất rõ một nét đặc

trưng của dẫn nhảy: sự phụ thuộc rất mạnh của đại lượng fa vào nồng độ tạp chất.

Giá trị của có thể xác định dựa vào hình 1.4 nếu ngoại suy phần thẳng của nhiệt

độ thấp đến r_l = 0, tức là tìm giao điểm của đường thẳng này với trục toa độ. K hi

táng nồng độ tạp chất lên 30 lần thì Ps giảm lo17 lần. Sự phụ thuộc rõ nét đó được

giả thiết ngay có dạng hàm mũ và Pi được viết dưới dạng:

(1.8) p3=p03exp[f(ND)]

là các hàm lũy thừa của nồng độ tạp chất. Nguyên nhàn vật lý trong đó: Pt)3 vầf(ND)

của sự phụ thuộc dạng hàm e-mũ (1.8) là rỏ ràng: xác suất nhảy giữa hai tâm tạp

được xác định bởi sự phủ của các hàm sóng. Khoảng cách giữa các tâm tạp mà ta

quan tâm là rất lớn so với bán kính Bohr (do nồng độ tạp nhò) trong khi hàm sóng

định xứ mạnh, giảm e-mủ theo khoảng cách, vì thế tích phân phủ 2 Ìửa các tạp chất

cũng giảm theo hàm e-mũ với khoảng cách giữa chúng. K hi giảm nồng độ thì

khoảng cách trung bình giữa các tàm tạp tăng lên, xác suất nhảy giảm e-mủ và do đó

độ dẫn điện giảm. Sự phụ thuộc dạng hàm ^-mũ (1.8) của điện trở suất vào nồng độ

tạp chất là bằng chứng thực nghiệm quan trọng cua cơ chế dãn nhảy.

Ev

-*

(a) (b)

Hình 1.5: Các trạng thái định xứ lân cận mức Fermi (a) và mật độ trạng thái (b).

Các kết quả đo hiệu ứng Hall và độ linh động của electron trong miền dẫn

lì

nhảy (miền D) [14, 32, 67] đã dẫn đến một kết luận là không thế giải thích dẫn nháy

theo quan niệm về tán xạ, chẳng hạn trên phonon, của các electron chuẩn tự do

(quasi-free electron) mà cẩn xây dựng lv thuyết dẫn nhảy trên cơ sở những ý tướng

mới mà quan trong nhất là ý tướng về các trạng thái electron định xứ. Sự tương tác

với các phonon và sự phủ của các hàm sóng của các trạng thái định xứ phải dẫn đến

sự nháy thưa thớt từ một trạng thái này sang trạng thái khác. Trong hai tiết tiếp theo

chúng tôi sẽ giới thiệu vắn tắt cơ sở của lý thuyết hiện đại về dẫn nhảy.

1.3 LƯỚI T RỞ N GẪU N H I ÊN M I L L E R - A B R A H A MS

Miller và Abrahams [59] đã đề xuất phương pháp tính điện trờ suất của hệ ở

chế độ dẫn nhảy như sau: Từ hàm sóng định xứ của các electron trên các donor

riêng biệt, tính xác suất chuyển dịch của electron giữa 2 donor ì và ỳ với sự hấp thụ

hoặc bức xạ phonon. Sau đó, tính số electron thực hiện chuyển dịch trong một đem

vị thời gian khi không có điện trường. K hi có điện trường vếu thì các dịch chuyển

thuận và ngược không cân bằng nữa, tức là xuất hiện dòng tỷ lệ với điện trường.

Tính dòng tuyến tính sẽ tìm được điện trở Rịị ứng với chuyến dịch ỉ - j. Do các tâm

donor có vị trí và năng lượng ngẫu nhiên các yếu tố trở Rịj cũng hoàn toàn ngẫu

nhiên. Và như vậy bài toán tính trở vĩ mô cùa hệ dẫn về tính trở tương đương của

một lưới các điện trở ngẫu nhiên (random resistors network).

Xét 2 donor ì và ì với toa độ ĩ. và ĩ j, trên hai donor chỉ có một electron . G iả

sử WỢ'-Ĩ.) = PịỢ) là hàm sóng ớ trạng thái cơ bản của donor cô lập ỉ, thoa mãn

-r\. Vì khoảng cách phương trình Schrodinger (HQ +UỴF = EỸ với u - -e11hc\r

điển hình giữa hai donor ru - ịĩị - rị là rất lớn so với độ dài đạc trưng của hàm sóng,

sự phủ của các hàm % và *Fj là rất yếu. Do tương tác của electron với cả hai donor

mà trạng thái suy biến tách ra. Trong khuôn khổ phương pháp tổ hợp tuyến tính các

quỹ đạo nguyên tử ( L C A O ), hàm sóng của các trạng thái tách ra là tố hợp của các

/ 2( l± J ^ ^ r ) ~l

/ 2(^ ±«F)

hàm nguyên tử đ ối xứng và phi đ ối xứng.

(1.9) ^L 2= 2 -,

22

Tính nans lượng của các trạng thái Ì, 2 với Hamiltonian:

H =

(1.10)

2 ì Ho--Tr^--r—r\ /c|/- - r .|

fcự - ĩA

sẽ được:

(1.11)

£1 2= - £0- - L - +/

ớ đây: //(, là Hamiltonian của electron trong tinh thế tuần hoàn, Eo là mức nâng

lượng của donor cô lập, K là hằng sô điện mòi, còn ỈỊj là tích phân phủ:

/ = [ l ^ ^ - n —\ d r-

dr r \ dr

(1.12)

J

K ] r - / ;|

If r - r.

Do ảnh hướng mạnh của năng lượng tương tác W(r) của electron với các

tâm tạp tích điện bao quanh các donor ì và j, đối với hầu hết các cập donor, bất đẳng

thức sau được thoa mãn:

(1.13)

4^ w { r ) - W { r ) » Iii

Rõ ràng. sự dịch chuyển của electron từ trạng thái

sang trạng thái *Fj có

nghĩa là dịch điên tích -e một khoảng là /;... Sự phát sinh dòng điện liên quan tới

những dịch chuyển này. Năng lượng phonon bị hấp thụ trong dịch chuyến ì —> j

bằng đ . Do đ cỡ khoáng vài meV nén chuyến dịch ì —> ì chí có thế xảy ra với sự

tham gia của phonon âm bước sóng dài. Đế đơn giản, Miller và Abrahams coi rằng

electron chỉ tương tác với một nhánh âm có phổ đẳng hướng.

Xác suất chuyển dịch ì ->ị với hấp thụ phonon là:

(1.14)

n = í Ă

h {2xỴ Tỉ 17 Trì

trong đó: V() là thể tích nguyên tố mạng tinh thể, s: vạn tốc âm, CỊ: vectơ sóng của

phonon, còn:

. 1 /1

lư/Ni

M, = iE,

J V " e "7 ?f ; . ' í /F

(1.15)

K2VuSủ;

23

là yếu tố ma trận của tương tác electron - phonon. ơ đây, Eịi hàng số thế biến dạng,

d: mật độ tinh thể, Nq: số phonon có xung lượng q . G iả sử, số lấp đầy ìĩị = (0; 1) của

donor ỉ thăng giáng theo thời gian. Chuyến dịch ì -> ì chỉ xảy ra ở các thời điếm khi

rtị = 4 và ỉij = 0. Vì thế. số electron thực hiện dịch chuyển trong một đơn vị thời gian

bằng:

(1.16)

/ ; = < 7 V i(- ( l - «y)>

trong đó: trung bình lấy theo thời gian. Đại lương Yiị thăng giáng theo thời gian. Đó

là do các donor bên cạnh ỉ váy có số lấp đẩy thay đổi theo thời gian, bằng thế năng

của mình, chúng tạo nên hiệu các nâng lượng đ , vì thế tạo ra sự thảng giáng cho

4 và cả Yiỳ

Đế đơn giản bài toán, ta giả thiết rằng số lấp đầy và nũng lượng các nút

không thảng giáng theo thời gian và bằng các giá trị trung bình của chúng. Nói cách

khác, hệ được mò tả trong khuôn khổ gần đúng của trường tự hợp, tương tự gần

đúng Hartree. Gần đúng này gồm:

1. Mỗi donor đươc đặc trưng bới một số lấp đáy trung bình: < lĩ. >= f .

2. Coi rằng mỗi donor có một năng lượng trung bình (theo thời gian) cua mức

electron trong trường của tất cả các tâm tạp và electron còn lại.

(1.17)

KÌ?, -r

M

/ /cr - rf\

ở đó: tống thứ nhất lấy theo tất cả các acceptor, còn tổng thứ hai lấy theo tất cả các

donor ngoại trừ donor í, giá trị (Ì - kk )e có nghĩa là điện tích trung bình của donor k.

3. Năng lượng của phonon bị hấp thụ trong dịch chuyến / -> j được viết dưới dạng :

Với gần dúns này thì:

(1.18)

Hi =rù

e xP

í

2r,\ •s J

24

{le

là hàm. phàn bố Fermi, /V(x) là

trong đó: Y\ =

1 + 4£Ì 2fo

í

Ét ã ' ~ị4 nds'K v 3^ J

hàm phàn bố phonon: N(x) = (e"tT

-

ly'.

Tương tự (1.18). đối với dịch chuyển nsươc j -> i, với bức xạ phonon thì:

í

2r ^

(1.19)

/ > y >p - -f

[ A ^;- £ , . ) + I ] / ; ( 1 - / ; .) ỉ

/

V

Y ếu tố dòng giữa các donor ỉ và ỳ:

(1.20)

j..=-e{r - r) (I / V i/

ị/ Nếu không có điện trường (E = 0) thì hàm fị có dang cân bằng:

í ù

\

+ 1

(1-21)

exp

f , = fĩ

trong đó: £° là giá trị trung bình của mức nũng lượng donor ì khi E = 0, JU là mức

Fermi còn thừa số 1/2

liên quan đến sự xuất hiện 2 trạng thái spin của donor bị

chiếm, ở nhiệt độ thấp đang xét thì năng lượng £ữ khác rất ít so với năng lượng

tương ứng ớ nhiệt độ không. Từ (1.19) - (1.21) suy ra khi E = 0 thì: ru = r = r ĩ,

do đó: J = 0. K hi E t- 0 sự cân bằng giữa các chuyến dịch ị —> ỉ và ỉ —> ì bị vi

phàm. Điều đó xảy ra do các nguyên nhàn sau:

- Thứ nhất, mức Fermi thay đối ỖỊẤ: làm các electron phân bố lại theo các

donor, tức là tạo nên một số gia ổfi của hàm phân bố (1.21):

-0

í

SỊ - SfỊị - JU

(1.22)

f , ( E ) = f :+s f ,=

exp

+

- Thứ hai, dưới tác dụng của điện trường xảy ra sự biến đổi các mức năng

lượng các donor / và ỳ.

(1.23)

s. = £° + Se ; Se. = eEĩ + 2 —

K k*\ K\r - r

25

Số hạng thứ nhất của Se Ị là tác dụng trực tiếp của điện trường ngoài, còn số

hạng thứ hai là sự biến đ ối của tương tác Coulomb do sự phùn bố lại các electron

(xem 1.17). Kết quả làm thay đổi nâng lượng của phonon bị hấp thụ Sj - £ị , năng

lượng này là tham số của hàm Planck.

Nếu mạch hờ (mẫu nằm trong tụ điện), thì trong điện trường xuất hiện trạng

thái cùn bàng mới, ở đó ỗjUị - -ổs.. Để tính độ dẫn điện ta cẩn xét mạch kín. Trong

trường hợp nàv, sự cân bằng bị phá huv và ỖỊẦ. * -de . Nếu điện trường nhỏ đến

mức mà các số gia ổjLtị và ỗSị nhò so với kBT thì trong các biếu thức đối với Fjj và rịh

các hàm s ố f j , fj N(Sj - Si) có thế phàn tích thành chuỗi theo các số gia này. K hi đó.

+

trong gần đúng tuyến tính, yếu tố dòng ụ - j) có dạng:

+

foi

5 s< - { ô ụ>

Se<

}1

(1 -2 4)

Jii = TT

ky ỉ

ớ đó: là tán suất (số chuyến dịch trong mót đơn vị thời gian) của chuvến dịch j

—> ì và í —> j ở trạng thái cân bàng. Biếu thức Jịị có thế viết lại dưới dạng định luật

Ohm:

(1.25) - ơ ,)

trong đó:

(1-26)

K,=4Ễr e í

lị

-

e1

ổi

-eU. =ổs (1.27) =eEr.+ổfd. + —y ~z-ị K M K\Ĩ.

-rk\

Đại lượng - eưị có thể xem như giá trị địa phương của thế điện hoa (tính từ

/ù) của electron trên donor ì. K hi đó. Ui - Uị là hiệu điện thế cho chuyến dịch ị -> j.

Còn đại lượng Rịj có nghĩa là điện trở của chuyến dịch đó.

Chuvển từ hai donor đến hệ thực bao gồm số rất lớn các donor liên kết nhau

bâng các trớ Rị (hình 1.6), nếu bàng một cách nào đó tìm dươc Ui, thì có thế tính

được dòng giữa hai donor bất kì. Dòng toàn phán đi qua mẫu được xác định là tổng

26

các dòng qua tiết diện thảng của mẫu. Như vậy, sự dẫn điện của mẫu được xác định

hoàn toàn bởi các điện trớ Rịj. Bài toán về tính độ dẫn nhảy của hệ được chuyển về

tính độ dẫn của lưới trở, mà mỗi nút của lưới trùng với một donor, giữa mỏi cặp nút

nối mót điên trở R!:.

Hình 1.6: Lưới trở ngẩn nhiên Miller - Abrahams

Để thuận tiện, biếu thức Rị. được viết riêng thành tích cua thừa số phụ thuộc

e-mủ vào ĩ'ij và nâng lượng các donor, và thừa số khác phu thuộc yếu vào các tham

số này. Thay các hàm cân bằng N, / °, /° vào biểu thức cho rr , có thế thấy rằng, ở

ũ

ũ

0

nhiệt độ thấp kBT «

-JU

0 s. -e]

e) -M , với phân bố tuy ý của s° và s° đ ối si

với mức Fermi thì đại lượng 7"*° được viết dưới dạng:

2r, >

0

j-*0

(1.28) exp

r0 = r, , e xp

trong đó:

(1.29)

su = ị ịei -£iị + \ei - ju\ + \£j - ^ \)

Khi đó, theo (1.26):

(1.30) /?( /=^exp(7,y)

vơi:

27

Chí số "0" trong kí hiệu năng lượng được bỏ đi cho gọn. Điều đặc biệt quan

trọng của lưới trở (1.30) là phổ giá trị Rị. rất rộng. Trong các bán dẫn pha tạp nhẹ,

khoảng cách trung bình giữa các donor là rD = [(4/r/3)iVư]~l /3 cỡ khoảng 6-^12 bán

kính Bohr. K hi đó. điện trở của cặp với Ị-ịj = 2rD và cặp với r,y = rD sẽ hơn kém nhau

lần. Ớ nhiệt độ thấp thì số hạng năng lượng trong (1.31) cũng dẫn đến sự

eì2 -r e24

thăns giáng rất mạnh của điện trở. Phương pháp thích hợp nhất đế tính điện trò hiệu

dụng của lưới trở với phổ rất rộng như vậy là phương pháp lý thuyết thấm [105] mà

chúng tôi sẽ trình bày trong tiết tiếp theo.

1.4 ĐỘ DẪN Đ IỆN CỦA CÁC HỆ RẤT K H Ô NG ĐONG N H ẤT T R O NG G AN

Đ Ú NG LÝ T H U Y ẾT T H Ấ M.

Lý thuyết thấm (percolation) do Broadbent và Hammersley [16] đề xuất năm

1957 đã rất mau chóng trỏ thành một phương pháp hiệu quả trong rất nhiều ngành

khoa học mà trước hết là vật lý. Trong giới hạn của vấn đề liên quan đến tính độ dẫn

nhảy trong luận án này chúng tôi sẽ chỉ giới thiệu ngắn gọn những hai bài toán cơ

bản của lý thuyết thấm là bài toán mạng (lattice problems) và bài toán nút ngẫu

nhiên (Random site problem hav continuum problem) và ứng dụng của chúng để

tính độ dẫn điện các môi trường rất khổng đổng nhất.

1.4.1 Bài toán mạng [105]

G iả sử có một mạng vô hạn 2 hoặc 3 chiều. Trong đó, tất cả các nút lân cận

được nối với nhau bằng các đường liên kết (bonds). Mỗi đường liên kết có 2 khá

năng: thông hoặc tắc (unblocked or blocked, với ngụ ý đơn giản, chẳng hạn là cho

hay khôns cho nước thấm qua). G ợi X là xác suất để một liên kết bất kỳ là thông, thì

với một mạng vô han lý tưởng, điều này cũng ngụ ý X là phần (mật độ ti đối) các nút

thông, còn (L - x) là phán các nút tắc.

28

Bây giờ, ta làm ướt một nút nào đó trong mạng (nối nó vào một nguồn nước),

nước từ nút này sẽ theo các liên kết thông làm ướt các nút lân cận. Khi đó, có 2 khả

nâng: hoặc quá trình thám kế tiếp xảy ra liên tục và số nút bị ướt tăng lên vô hạn,

hoặc nước chỉ thấm đến một số hữu hạn nút rồi dùng lại. Rõ ràng là, nếu X = Ì,

nghĩa là tất cả các liên kết đều thông thì từ một nút bất kỳ, nước luôn có thể chảy và

làm ướt toàn mạng. Còn nếu X = 0, nghĩa là tất cả các liên kết đều tắc thì nước từ

một nút không thể chảy làm ướt thêm bất kỳ nút nào. Như vậy, khả năng để nước từ

một nút làm thấm ướt một số vô hạn các nút khác là tuy thuộc giá trị của tham số X.

Gọi p( h ){ x) là xác suất để nước từ một nút có thể làm ướt một số vô hạn các

nút trong mạng. Rỏ ràng là, xác suất này phụ thuộc vào số chiều cũng như cấu trúc

mạng. Ta thấy, với mỗi mạng khi X nhỏ p( b )( x) = 0, vì trong trường hợp này, đa số

tuyệt đối các liên kết là tắc, nước không thể thấm ra xa. Tăng X lên, đến một giá trị

X = xc nào đó, xác suất p(

b\ x) đột ngột trở thành khác không và tăng nhanh đến

p(b\x) = l theo qui luật:

b

P(

)( x ) o z ( x - xcỴ,

x > xc

(1.32)

trong đó /?là một chỉ số cơ bản của bài toán và có giá trị chỉ phụ thuộc vào số chiều:

p « 1.4 cho các mạng 2 chiều và

0.4 cho các mạng 3 chiều.

b

Giá trị X = xc, ở đó sự thấm vô hạn bắt đầu xảy ra ( Pi

)( x) * 0) được gọi là

ngưỡng thấm. Giá trị xc phụ thuộc vào loại mạng. Bài toán vừa trình bày ở trên được

gọi là bài toán liên kết (bond problem).

Một loại bài toán mạng khác, gọi là bài toán nút (site problem) có nội dung

như sau: trong bài toán nút, tất cả các liên kết trong mạng được xem là thòng, còn

các nút (sites) thì lại có thể thông hoặc tắc: các nút tắc không cho nước thấm qua để

có thể chảy đến các nút khác. Gọi X là phần nút thông và tương tự như trên P(s)(JC) là

xác suất để nước từ một nút bất kỳ có thể chảy làm ướt một số vô hạn các nút khác.

Cũng tương tự như bài toán liên kết, với mỏi mạng có tổn tại một giá trị

X = xc, ở đó xác suất pỉs)(x)

trở nên khác không. Các giá trị xc này cũng được gọi là

ngưỡng thấm của mạng khảo sát. Giá trị ngưởng thấm của một số mang cơ bản được

29

là ngưỡng thấm tương ứng cua bài toán

cho trong bảng 1.1, trong đó xc(b) và xc(s)

liên kết và bài toán nút.

Bảng 1.1: Giá trị ngưỡng thám của một số mạng cơ bản.

Mạng

xc(b)

xc(s)

Vuông

0.50

0.59

Tam giác

0.34

0.50

Kim cương

0.39

0.43

Lập phươna đơn giản

0.27

0.31

Lập phương tâm khối

0.18

0.25

Lập phương tâm mặt

0.12

0.20

Ngoài ngưởng thấm xc(b), xc(s), một đặc trưng quan trọng của bài toán thấm

và đóng vai trò quan trọng trong các ứng dụng vật lý là độ dài kết hợp (correlation

length) L. Độ dài L được định nghĩa là kích thước đặc trưng của đám các nút đã

số

được thấm ướt. V ới X < xCĩ số các nút được thấm ướt là hữu hạn. Tại X = xc(s),

các nút được thấm ướt trờ nén ỉớn vô hạn và tiến đến vỏ cùng. Trong miền X gần đến

xc về phía dưới. hàm L(x) có dạng:

L{x)cc\x-XC\~\

\ X - XC\ «Ỉ

(1.33)

trong đó, Wà một trong số các chí số cơ bản cua lý thuyết thấm và đóng vai trò quan

trọng trong lý thuyết độ dẫn điện của các hệ khống trật tự. Giá trị của 1/phụ thuộc

chí vào số chiều: V- 4/3 (d = 2) và 1/a 0.89 (d = 3).

1.4.2 Bài toán nút ngầu nhiên [105]

Bài toán nút ngầu nhiên đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết dẫn nháy. Bài

toán được phát biểu như sau: Già sử có các nút phân bố ngẫu nhiên trong không gian

với mật độ /V, rjỊj là một hàm nào đó của vectơ Kị. nối các nút / và ỳ. V ới một số ỉ] đã

cho ta qui ước. gọi 2 nút /, ì là liên kết với nhau nếu:

>7,

(1.34)

30

Hai nút liên kết với nhau hoặc trực tiếp, hoặc bắc cầu qua các nút liên kết

khác thì được gọi là thuộc cùng một đám (cluster). K hi đó, nội dung của bài toán là

tìm ngưỡng thám 7C, tức là giới hạn dưới của ĩ] mà ớ đó tồn tại một đám vô hạn.

Đem giản nhất trong bài toán nút ngẫu nhiên là bài toán với điều kiện liên kết:

/-,

nshĩa là: rjiị chính là khoảng cách giữa các nút ì và ỳ. Bài toán này thường gọi là }'-

thấm (r - percolation) và ngưỡng ì\. tương ứng gọi là bán kính thấm.

Bán kính thấm rc phụ thuộc vào mật độ nút yV, và về thứ nguyên, nó tí lệ với

N'Ud (ã là số chiều: ả = 2, 3). N h i ều khi thay cho rc người ta đưa vào xét đại lượng:

B,. =ị

4 d = 3 (1.36) d = 2 7tNr-\

nghĩa là: số trung bình các liên kết tính trên một nút, và bài toán tìm Bc (hay rc)

thường gọi tương ứng là bài toán hình cầu (cho ả = 3) hay hình tròn (cho ả = 2). Các

bài toán này thường gặp trong lý thuyết dẫn nhảy (khi tìm sự phụ thuộc của năng

lượng kích hoạt vào mật độ tạp). Ngoài đại lượng Bc (hav rc), tương tự như trong bài

toán mạng, một đặc trưng quan trọng của bài toán nút ngẫu nhiên là kích thước đặc

trưng của các đám tới hạn được định nghĩa là:

N Aid (1.37)

trong đó: V là một chỉ số đạc trưng.

Nói chung, các đại lượng Bc (hay rc), vchỉ có thế tìm gần đúng (chẳng hạn

bằng phương pháp chuỗi [22]) hoặc tính số bằng phương pháp mỏ phòng trên máy

tính điện tử (MTĐT). Quan trọng là, các đại lượng Bc và V có tính tổng quát: giá trị

của chúng không phụ thuộc vào bản chất và cấu trúc của hệ. mà chi phụ thuộc vào

số chiều. V ới (1-2, các tính toán chính xác cho V = 4/3 và Br « 4.5. V ới ả = 3 thì

sa 2.7. K hi đó, từ hệ thức (ỉ.36) tươnơ ứng có: V sa 0.88 và Bc

31

ì.2N~m. rc( £ / = 3 ) * 0 . 8 7 Wr /3 và rc{d = 2) *

1.4.3 Độ dẫn điện của mòi trường rất không đồng nhát

Trong tiết 1.3 đã giói thiệu rằng việc tính độ dẫn nhảy dẫn đến bài toán về

tính độ dẩn điện của một mạng trở ngẫu nhiên (random resistors network) Miller-

Abrahams với phố trở rất rộng. G iả sử có một lưới lập phương, các nút cạnh nhau

được nối bời những điện trở ngẫu nhiên. Viết các điện trỏ này dưới dạng:

(1.38) R = Rữ exp(77')

Trong đó: Rị) là đại lượng không đổi, còn biến ngẫu nhiên ĩ]' phân bố đều trong

ỉ. Cần tìm độ dẫn điện của lưới, và xác định sự phụ khoảng - rj0 < rf< ĩ]ữ với 7o »

thuộc của nó vào ĨỊ{). Hệ với 7o lớn như vậy được gọi là các hệ rất không đổng nhất

với tính chất quan trọng nhất là phổ rất rộng các giá trị địa phương của độ dẫn. (Các

hệ có ĩ]' thăng giáng mạnh là những đối tượng phù hợp rất tốt với điều kiện áp dụng

lý thuyết thấm). L ời giải bài toán trên theo phương pháp lý thuyết thấm [105] được

thực hiện như sau: cho một số rị nào đó trong khoáng - rj{) < ĩ] < ĨỊ0 và thay tất cả các

điện trở với Tị' > rị bằng các điện trơ vô cùng lớn (nói đơn giản là gở bỏ chúng). G iả

sử độ dẫn điện cua lưới trở tương ứng với giá trị ỉ] đã cho là ơịĩ]). Độ dẫn của toàn

lưới phụ thuộc vào 7(>, là ơị ĩ]{)). Việc cho rị xác định xác suất của điện trở được chọn

một cách tuy ý, là không bị gỡ bò:

(1.39)

trong đó: F(rj') là hàm phân bố của ỉ], mà theo điều kiện bài toán thì có dạng:

\TỊ] < 7JG I77I > rj{

(ỉ.40) khi khi

Hình 1.7: Sự phụ thuộc cua độ dẫn diện vào giá trị cực đại của sổ mũ ĩ].

32

Từ (1.39) và (1.40) thu được:

+ 7)/2ifc

(1.41)

Với các giá trị của rị gần với - 7]Q, đại lượng „*( 7) nhỏ và các điện trở chưa bị

gỡ tạo nên những cụm cô lập (isolated clusters). K hi đó ơịĩ]) = 0. Tăng dần 77, khi rị

đạt giá trị ngưỡng TỊC, khi đó A'(7) bằng ngưỡng thấm xc(b) cho bài toán liên kết, thì

cụm vô hạn được tạo ra từ các điện trớ chưa bị gỡ. Theo (1.41), giá trị tới hạn TỊC xác

định bởi điều kiện:

(1-42)

xc(ồ) = (/7o+77c)/2/7o

K hi tâng tiếp rị từ TỊC đến ĩ]c + Ì, do sự tạo thành cụm vỏ hạn nên độ dẫn điện

ơịrị)

trở nên khác không và tảng rất nhanh (hình 1.7). Đó là do ở trong miền các giá

trị rị này thì độ dài kết hợp giảm nhanh:

le T ni

(1.43)

tin) * /0 [x(ĩj)- xc ]-v ~lữ{rj-

với /() là chu kỳ của lưới lập phương, do đó số các mạch dẫn mắc song song trong

lưới của cụm vô hạn tăng lên rất nhanh. Trong khi đó, nếu ĩ] thav đối một lượng nhò

hơn Ì thì sự thay đổi giá trị lớn nhất của các điện trở riêng tham gia vào cụm có thể

Ì đại lượng ơi ĩ]) tăng theo hàm mũ:

bỏ qua. Do vậy. khi rị - TỊC «

Ơ {Ĩ Ị) GC (rj - rjc Ý, với b > 0.

Cụm vò hạn xuất hiện khi hiệu Ĩ J - Ĩ JC cỡ đơn vị, được gọi là mạng con tới

hạn. Điện trở cua mạng con tới hạn được xác định bới nhữna điện trở lớn nhất của

nó (vì theo định nghĩa, các điện trở nàv không thế mắc phân nhánh với các điện trớ

nhỏ hơn khác, nếu khác đi thi thấm đã xảy ra khi rị < rjc). Vì vậy, đối với độ dẫn

điện của mạng con tới han thì:

(1.44)

ơ(7]c +1) * ơ0 exp(-7c.)

ờ đây: số mũ được viết với độ chính xác đến số hang cỡ đơn vị. Sự tăng tiếp theo của

rj sẽ không thế làm thay đổi đáng kể ơịì]), mặc dù tiếp tục táng độ dày đặc của lưới

cụm vô hạn. Vấn đề là, bảy giờ khi ì] - qc thay đối vài lần, sẽ có các trớ rất lớn, lớn

hơn exp(/7c) được mắc vào. Nhũng trở mới này dù có số lượng lớn, mắc phàn nhánh

33

với mạng con tới hạn, thực tế không làm thay đổi ơ{rỊ) (hình 1.7). Như vậy, xét về

bậc giá trị thì mạng con tới hạn xác định độ dẫn điện của lưới trở ngẫu nhiên:

(1-45) G"(?70) = Co exp(-/7c)

Công thức (1.45) là cồng thức rất quan trọng của lý thuyết dẫn nhảy. Ta đi

đến kết luận tổng quát và quan trọng cho tất cả các môi trường rất không đổng nhất

[7, 105]: nếu các phần tử của môi trường được mắc vào theo thứ tự tâng dần của các

điện trở thì số mũ của hàm exponent mô tả độ dẫn điện hiệu dụng sẽ được xác định

bởi những phần tử gảy ra thấm đẩu tiên. Kết luận này đã trở thành cơ sở của lý

thuyết dẫn nhảy.

nên: Đối với lưới lập phương thì xc(b) = 0.25. Từ (1.41) thu được: ĨJC = -ĩ]Q/2,

(1.46) ơ(77o) = ơỉ , e x p ( - 70/ 2)

Ì, vì trong trường hợp này, nhờ sự phân tán Công thức (ỉ.46) chỉ đúng với r/{) »

mạnh các điện trở mà từ toàn lưới có thể tách ra mạng con tới han và viết độ dẫn

điện dưới dạng (ỉ.44). Điều quan trọng là, khi 7(J rất lớn thì sự phụ thuộc của ơi) vào

7J0 chỉ là lũy thừa và không thể so sánh với nhân tử chính là hàm e'-md trong (1.46).

Trên thực tế, lý thuyết dẫn nhảy hiện đại được xây dựng cơ bản dựa trên

phương pháp lý thuyết thấm. Trong tiết 1.5 dưới đây chúng tôi sử dung phương pháp

này để thiết lập định lượng định luật M on - định luật về sự phụ thuộc nhiệt độ của

điện trớ dẫn nhảy trong miền bước nhảy biến đ ổ i, với giả thiết bỏ qua tương tác

Coulomb giữa các electron định xứ.

1.5 DẪN N HẢY BƯỚC BIÊN Đổ i: ĐỊ NH L UẬT M O TT

Năm Ỉ968, Mott [63] nhân xét rằng, ở nhiệt đô thấp. dẫn nhảy dược xác định

chí bởi các trạng thái với năng lượng trong một dải hẹp gần mức Fermi. V ới giả thiết

rằng mật độ trạng thái (Density of States - DOS) tại múc Fermi là không đói và

khác không, ông đề xuất hệ thức nổi tiếng về sự phu thuộc của điên trở vào nhiệt độ:

( 1 . 4 7)

^ 0 p(T) = p0e xp T = 1 li

34

với: g{ịi) là DOS ở mức Fermi, pd là hệ số không đổ i.

Sự phụ thuộc (1.47) thường gọi là định luật Mott. Định luật Mott cho hệ ba

chiều có thể nhận được một cách định tính như sau: Xét hệ với các trạng thái định

xứ gần mức Fermi (hình 1.8). Do trong (1.30) biểu thức của Rjj có chứa nhàn tử

exp(«sv I kBT) và nhiệt độ rất thấp nên đóng góp chính vào sự dẫn điện sẽ là các điện

trở với những giá trị Sịị rất nhỏ. Theo định nghĩa của Sịị (xem 1.29) thì điều đó nghĩa

là Si và Si nằm trong một dải hẹp gần mức Fermi, ngoài ra bề rộng dải này giảm khi

T giảm. N ếu DOS ở mức Fermi g(jj) * 0 thì trong toàn dải năng lượng đang quan

tâm (ở nhiệt độ đủ thấp), g(s) có thể coi là không đ ổi và bằng g(jù). Ngoài ra do độ

rộng của dải nhỏ nên các trạng thái rơi vào vùng đó nói chung nằm rất xa nhau, và

sự phàn bố không gian của chúng là ngẫu nhiên. Xét các mức năng lượng nằm trong

dải đối xứng quanh mức Fermi, xác định bới bất đắng thức:

\Ci-M\ZGo

(1-48)

Số trạng thái trong dải:

(1.49) N(sữ) = 2g(ju)sũ

H ì nh 1.8: Dái các trạng thái có nâng lượng cách mức Fermi mội lượng nhỏ hơn sn.

Bển phải vè mật độ trạng thái g(s) , vùng các trạng thái bị chiếm được gạch chéo

Dùng (ỉ.30) đế đánh ơiá điện trờ, liên hệ với sự dẫn nhảy giữa hai nút điển

1 /3 giữa các

hình trong dải. K hi đó, ĩ'iị được thay bàng khoáng cách điên hình

nút, còn £jị được thay bàng £Ị>:

35

(1.50)

p = Poexp

p0exp

Nu\sữ)ậ

kHT

k.T

[g(M)e0]Uỉệ

Rõ ràng là với 5) lớn thì vai trò chính trong số mũ của hàm e-mũ trong (1.50)

là số hạng thứ hai, dẫn đến /ơ(£<)) giảm khi Sa giảm. K hi ỂJ| đủ nhỏ thì hai số hạng sẽ

cùng cỡ và nếu giảm tiếp ỄỊ, thì P(Ể<,) lại tăng. Đó là do trong trường hợp nàv các

trạng thái trong dải là rất hiếm và vai trò quyết định là giảm sự phủ của chúng. Như

vậy, do cạnh tranh giữa sự phủ và kích hoạt mà p(£tỊ) có cục tiếu khi:

3/4

£n =£0{T) =

(1.51)

Với ý nghĩa đó nên dải với độ rộng 3,(7) gọi là dải tối ưu. Đương nhiên, có thể giả

thiết rằng dẫn điện của cả hệ, xét về bậc, có giá trị xác định bởi dải tối ưu. K hi đó,

thay (1.51) vào (1.50) sẽ nhận được định luật Mott (1.47).

Công thức (1.51) cho thấy sự hợp lý của giả thiết ban đầu rằng khi nhiệt độ

đủ thấp, dải trạng thái (gây nên sự dẫn điện) có bề rộng nhỏ. Nếu gọi đạo hàm

là năng lượng kích hoạt tương ứng nhiệt độ đã cho. thì từ định luật

d(ln p)ld(kHTỴ]

Mott suy ra rằng năng lượng kích hoạt có giá trị cỡ £{](T) và giảm đơn điệu với sự

giảm của nhiệt độ, tỷ lệ với Tm. Vì vậy, độ dẫn (theo Mott) được gọi là độ dẫn điện

với nâng lượng kích hoạt giảm. Tên gọi đó bao gồm không chí định luật (1.47) mà

cho cả những sự phụ thuộc vào nhiệt độ khác, dạng:

trong đó 0

(1.52)

P(T) = pữ e x p [ ( T0/ r ) ' ],

Độ dài điển hình của bước nhảy ĩ, tức là khoáng cách trung bình ỉ'ij giữa các

trạng thái trong dải tối ưu được ước lượng từ (1.49) và (1.51):

1 /4

r*[g(MK(T)Vn*ậ(TJT)

(1.53)

Như vậy, khi giảm nhiệt độ, độ dài điển hình của bước nháy tăng tý lệ với

T'u4. Đế phùn biệt với dần nhảy bước nháy trung bình không đổi. mà điện trở đã

được mô tả bới cống thức: p = /?0exp(£3 /kHT), với 63 không đối. dẫn nháy được

mô tả bởi định luật (1.47), có bước nhảy /• thay đối theo T clươc gọi là dẫn nhảy bước

biến đổi (Variable Range Hopping - V R H ).

36

Trên đây là những lập luận định tính để suy ra công thức (1.47). Bây giờ,

chúng ta sẽ dẫn ra công thức này một cách chặt chẽ trên cơ sở phương pháp lý

thuyết thấm. Bài toán thám được bắt đầu từ điều kiện liên kết là:

(i-54)

2f+ềín"

và cần phải tìm ngưỡng thấm rjc. Giá trị cực đại của Si ị và rơ thoa mãn (1.54) sẽ là:

rmưx = <Ẹĩ]/2

(1.55)

Smax = kQTr]\

Theo (ỉ.29) ta có:

nếu {£. - u)(e

-ụ) < 0

.

ịSị —£-Ị

-ụ)(£ị

-ju)>0

max(|^ -M\,\GJ

-M\)'

nếu (s.t

ịSị - t ị ị eỊ - j u \<

£*max.

do đó, từ điều kiện: Sịj < sm ux suy ra:

Đưa vào các biến không thứ nguyên sau:

(1.56)

Si = nỉrmax,

Ai = (Sị- M)/smax.

Khi đó điều kiện liên kết (1.54) có dạng:

(1.57)

s,j+4j

trong đó:

(1.58)

sti = k - ^l =ru/r>na,i

-Á

AÁ + ịA,

-

(1.59)

4 = - UJ ù

2

Từ (1.49) và (1.55) suy ra nồng độ các nút thuộc dải U I < Ì là:

= ^g(ju)kBTf>Tj4

(1.60)

n{rj) = 2g{ụ)smJiM

Bây giờ. đế tìm ĩ ]c cần giải bài toán thấm sau: Trorm không gian cho trước

có các nút phân bố ngẫu nhiên với tổng nồng độ n(ĩ]). Năng lượng trong mỏi nút là

4, và tất cả giá trị nũng lượng này phân bố đều trong khoáng |4| < Ì. Cần tìm nồng

độ ngưỡng n(rjc) = nc tại thời điếm lần đáu tiên xuất hiện thấm trong toàn hệ, với

liên kết thấm đã cho bới (1.57). K hi tìm đươc nc, biểu thức (1.60) sẽ cho:

37

Thay ngưỡng thấm (1.61) vào (1.45) chúng ta có định luật (1.47) với:

A = 4nc (1-62)

Nhiều tác giả có những đánh giá khác nhau [7, 42, 63, 83. 99] và thu được

nhữns giá trị nc tương đối khác xa nhau, trong khoảng từ 2 đến 7. Bài toán thấm nói

trên đã được giải trên MTĐT bàng phương pháp Monte Carlo cho nc = 5.7 ± 0.3 , tức

là /?3 = 2 1 . 2 ± 1 .2 [ I U ].

Định luật M on cho trường hơp hai chiều á = 2 [15] có dạng:

(1.63) P = Po exp[(f0 / 7 ) "3], f0 = p/ktìg(M)ệ2

trong đó: là mặt độ trạng thái 2 chiều ờ mức Fermi. Trong trường hợp này, hệ

số P nhận giá trị J3 = 1 3 . 8 ± 0 . 8. Trường hợp một chiều ã = Ì thì ọ = 1/2. Tuy

nhiên, do tính chất đặc thù của hệ thấm ỉ chiều nên kết quả nàv là không chắc chắn.

Khả năng áp dụng công thức (1.52) với p = 1/2 cho hệ 1D được tháo luận trong

chương 5.

Hàng chục công trình thực nghiệm về dẫn nhảy đã được thúc hiện. H i ll [36]

và Zabrodskii [126] đã sử dụng những phép gần đúng khác nhau đế phân tích các số

liệu thực nghiệm cho vật liệu vỏ định hình và họ đã kết luận rằng phần lớn các giá

trị thực nghiệm của số mũ ọ là tập trung xung quanh điểm /; = 0.25 phù hợp với định

luật Mott. Bên cạnh đó, khi phân tích các số liệu thực nghiệm nhận được ở bán dẫn

pha tạp, Zabrodskii và Zinov'eva [128] thấy rằng, với loại vật liệu này, số mũ ọ

trong công thức (ỉ.52) lại gần với giá trị /; = 0.5. Đâu là nguyên nhân của sự khác

nhau này? Đó chính là do tương tác giữa các electron định xứ. điều này sẽ được

phân tích trong chương tiếp theo.

38

Chương 2

ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC ELECTRON - ELECTRON

LÊN MẬT Độ TRẠNG THÁI VÀ sự PHỤ THUỘC NHIỆT ĐỘ

CỦA ĐỘ DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đổi

Trong chương Ì đã trình bày ý tường của Mott là ở nhiệt độ thấp, dẫn điện

trong các hệ electron định xứ mạnh chủ yếu được xác định bởi các trạng thái

electron thuộc lân cặn hẹp của mức Fermi. Bò qua tương tác electron - electron,

Mott giả thiết rằng DOS đơn hạt trong miền này là không phụ thuộc vào năng lượng:

Tuy nhiên, tương tác giữa các g(s) = gữ = const và đã thu được định luật T~Uid+i).

electron định xứ sẽ gây nên ảnh hưởng quan trọng, trước hết là đến dáng điệu của

DOS và sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn điện V R H. Đây là nội dung sẽ được chúng

tôi nghiên cứu trong chương 2 này. Tiết 2.1 trình bầy những khảo sát định tính và

các phương pháp khảo sát định lượng khe Coulomb trong DOS. Các hiệu ứng chắn

lên thế tương tác Coulomb làm thay đổi dạng hàm DOS được chỉ ra trong tiết 2.2. Sự

ảnh hướng của khe Coulomb lên độ dẫn V RH sẽ trình bầy trong tiết 2.3. Vấn đề

chuyển của độ dẫn từ dáng điệu Mott đến dáng điệu ES khi nhiệt độ giám được

nghiên cứu trong tiết 2.4. M ột chuyển tương tự trong vật liệu vô định hình. nhưng

2. Ì MẬT ĐỘ TRẠNG THÁI ĐỊNH xứ LÀN CẬN MỨC F E R MI

khi nhiệt độ tâng, được đề cập trong tiết cuối 2.5 của chương.

2.1.1 Khảo sát định tính:

Efros và Shklovskii (ES) [25] chỉ ra rằng, do tương tác Coulomb xa giữa các

electron định xứ [82], khi r = 0, ở lân cận mức Fermi mặt độ trạng thái không phải

là hữu hạn và không đổi như Mott đã giả định mà có một khe, trong đó DOS giảm

dần và bằng không tại E = ụ. Khe này đươc gọi là khe Coulomb. Dưới đây, chúng

tôi sẽ trình bày lập luận định tính của Efros và Shklovskii [105].

Khi nồng độ tạp chất nhỏ. các hiệu ứng lượng tứ liên quan tới sự phủ của

những trạng thái cạnh nhau có thể coi là yếu, còn bản thân các trạng thái là định xứ

39

mạnh. Các electron có thể dịch chuyển từ một donor sang một donor khác, do đó hệ

nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động. Ó nhiệt độ không (T = 0), sự phân bố các

electron theo các donor được xác định bởi điều kiện cực tiểu của năng lượng tĩnh

điện toàn phần:

(2.1)

K

k

I

2 / /*/' /',,

kk'

ở đây: nk là số choán đẩy các donor, nk - 0 nếu donor k bị ion hoa, nk = Ì nếu donor

k là trung hoa. Tổng lấy theo tất cả các toa độ của các donor và acceptor tương ứng

với các chỉ dẫn trên dấu lấy tổng ì. Tập hợp các số choán đầy {} phải tìm từ điều

kiện cực tiểu (2.1) khi tổng số electron Znk là xác định.

Năng lượng đơn hạt Si của nút ỉ tức là thế năng tạo bời tất cả các nút tích điện

trong hệ, tính từ mức Fermi:

e

(2.2)

K

k

Ki.

/ Ki

Hiển nhiên là ở trạng thái cơ bản (hình 2.1):

í0,

£ > 0

(2-3)

n: =

£ .. <0

Hình 2.1: Các mức năng lượng trong dải nấng lượng gần mức Fermi

Nghĩa là các trạng thái có năng lượng thấp hơn mức Fermi là bị choán, còn

trên mức Fermi thì còn trống. Mặt khác, ở trạng thái cơ bản, bất kì sự dịch chuyển

electron nào đều làm tăng nâng lượng toàn phần cùa hệ. tức là thay đổi năng lượng

đ ứng với dịch chuyển electron ì -> j bất kỳ phải là dương. Từ (2.1) có:

40

(2.4)

4= £ j - £i- eĩ/ K riị>0

trong đó số hạng cuối cùng mô tá tương tác Coulomb giữa các tâm ỉ và j.

Chính bất đẳng thức (2.4) dẫn đến sự xuất hiện khe Coulomb trong DOS.

Thật vậy, từ (2.4) suy ra rằng các trạng thái gần mức Fermi cần nằm khá xa nhau.

Xét các donor, nâng lượng của chúng ớ trong một dải hẹp từ -s/2 đến e/2 quanh

mức Fermi. Theo (2.4), khoảng cách /•„• giữa hai donor bất kì của dải này (£.£. < 0

vì nằm hai phía mức Fermi) không thế nhỏ hơn e1 ỊKS. Suy ra, nổns độ donor n{s)

trong dải độ rộng (e) không thể vượt £3te*/e6, và do đó mặt độ trạng thái

g(s) = dn(è)Ịds giảm về không khi £ —> 0 không chậm hơn so với s2. Hơn nữa,

g(s) cũng không giảm mạnh hơn s2, vì nếu không như vậy thì khoảng cách trung

bình sẽ lớn hơn é1 Ị Kẽ, còn năng lượng tương tác nhò hơn e2. Tương tác vếu như

vậy thì không thể là nguyên nhân của sự giảm mật độ trạng thái.

Xuất phát từ những lập luận trên. Efros và Shklovskii đã đề xuất các còng thức

sau cho mật độ trạng thái trong miền khe Coulomb:

ti

,

(2.5)

g\£) = ad^—\6\

a.d = d /x

é

Khe Coulomb (2.5) là kết quả của tương tác Coulomb tầm xa giữa các

electron ở các tâm định xứ khác nhau. Dẻ thấy rằng nếu không tính đến số hạng

tương tác e2/fơ-ịj trong (2.4) ta sẽ nhận được giới hạn M on g(s) - const. Ngoài ra,

quan trọng là (2.5) nhận được ở trạng thái cơ bán. tức là trong giới hạn T - 0 trong

hệ tương tác thuần Coulomb.

Bề rộng khe Coulomb á được xác định bằng cách càn bằng các vế phải của

(2.5) với gị). K hi £ « A thì các mô tả trên là thích hợp, còn khi s » ả thì hiệu ứng

Coulomb không dẫn đến bất kì sự hạn chế nào của DOS. và DOS có giá trị bằng gi).

Do vậy:

-

e*2Ín

ả * - ^r w = 3) và = 2)

K

e\> A*?-¥-(d K

41

Có hai phương pháp được sử dụng để nghiên cứu định lượng khe Coulomb,

đó là giải phương trình tự hoa hợp (self-consistent equation SCE) và mổ hình hoa hệ

trẽn máy tính điện tử (computer modeling). Sau đây chúng tồi lần lượt trình bầy cá

hai phương pháp này.

2.1.2 Phương trình tự hoa hợp (SCE): Khe Coulomb.

Để mô tả DOS lân cặn mức Fermi ớ nhiệt độ không, Efros đề xuất phương

trình tự hoa hợp (self-consistent equation SCE) [27]:

x eU m g(E)

C j„

ỊdE (2.6) g(s) = g„ exp

d Kã ị ụ\ + E)

trong đó: gao là DOS ở xa mức Fermi, nơi mà tương tác Coulomb là không đáng kế.

Ý tướng dẫn ra phương trình tự hoa hợp (2.6) cho trường hợp ba chiểu như sau: K hi

T = 0, hệ ở trạng thái cơ bản. Để nâng lượng của hệ là nhỏ nhất thì đối với cặp 2 nút

ì và ỳ bất kỳ, năng lượng Si > 0 và Sj < 0 nằm cách nhau một khoảng Vị, cần thoa mãn

điều kiện (2.4). Xét một nút choán đầy có năng lượng e < 0. Từ điều kiện (2.4) suy

ra rằng, ở trong hình cầu có tâm là vị trí nút và bán kính r = e2 ỊK\S\ không tồn tại

nhũng nút còn trống có năng lượng E < e2/ĩơ'-\e\. Số trung bình các nút như vậy

é

/ . i r - | fi

trong nửa lớp hình cầu (r,r + ổr) bằng: SN -2m'lSr ỊdEg(E). Như vậy, số nút

0

trên toàn hình cầu là:

e1 Ịx\e\

e1

N = 2TĨ Ịdrr2

lxr-\£\ ỊdEg(E)

0

(2.7)

0

Xác suất để nút bị chiếm tỷ lệ với exp(-/V). Mặt khác. xác suất này tỷ lệ với DOS

ÌỊ{£) cần tìm. Từ đ ó, suy ra phương trình (2.6). Đối VỚI hệ hai chiều phương trình

(2.6) cũng tìm theo cách tương tự.

T hế tương tác Coulomb giữa các electron cách nhau một khoáng r là

(p(r) = e2/KỈ- + £ ), ta có thể viết lại các phương trình (2.6) dưới . Đặt /•, t: = ezỊK(S

dạng:

42

(2.8)

g(£) = ể oo exp -^ỊdEg(E)reiE

Tích phân trong đối số của hàm ổ-mũ là số trạng thái trung bình mà đối với

các trạng thái đó thì bất đẳng thức sau không thoa mãn: \s\ + \E\ >

năng lượng £ và E nằm ở hai bên mức Fermi. Đưa vào các biến không thứ nguvên

& £ và ơ:

(2.9)

r = a.R, s = (e2/m)Eì

í = (r/tfV)ơ

ta có thể viết phương trình (2.8) dưới dạng:

=

] r f F Ơ ( F)4 + / ( £ )[

(2.10)

n^l = _ ĩl"ỊdE'G(E')Rị+E.

l

G«

3 í

3 [Ề

ì

trong đó:

/ ( £) = ^)dEịG(E')-G(E-E))Rị

(2.11)

3 Ê

Các phương trình (2.10) - (2.11) có thể dễ dàng giải số. Tuy nhiên chúng tôi

không đi sâu vào điều đó, mà dừng l ại ở khảo sát gần đúng thấp nhất. Trong gần

đúng bậc không G(E) = const thì f(E) = 0. Từ phương trình (2.Ỉ0) ta có:

2*

££

+

l ác

GdE

3

dE

G iả sử hàm f(E) là đã biết thì nghiệm của phương trình (2.12) là:

e

x

p

[

/

(

g

g ( g) = f,

)]

(2.13)

tính tích phân ờ mẫu

Trong gần đúng bậc không t h ì / ( £) = 0, thay RE. =Ỉ/E\

số của (2.13) ta thu được: G(E) = ( 3 / ; r ) £2. Sử dụng (2.9) ta thu được khe Coulomb

(2.6) với hệ số a3 = 3/Tư. Thực hiện hoàn toàn tương tự thu được khe Coulomb trong

hệ hai chiều (2.6) với hệ số: a2 = 2 / T I. Như vậy trong gần đúng bậc không các

phương trình tự hoa hợp (2.6) cho chính xác khe Coulomb (2.5). Kết quả mô phòng

dưới đây sẽ góp phần khẳng định sự đúng đắn của lời giải phương trình tự hoa hợp.

43

2.1.3 Mô phòng khe Coulomb trẽn máy tính điện tử

Trong một thời gian dài khe Coulomb đã là đề tài tranh cãi rất sôi nổi của

nhiều nhà vật lý hàng đầu trên thế giới [65, 84]. Bởi vì việc xác định thực nghiệm

trực tiếp khe Coulomb là rất khó (xem 2.1.4), nên một mặt người ta đã tiến hành rất

nhiều thực nghiệm số. mô tả trực tiếp hệ trên máy tính điện tứ (MTĐT) [12, 23, 24,

60, 96, 121], mạt khác kiểm tra gián tiếp sự tổn tại của khe Coulomb thông qua sự

phụ thuộc nhiệt độ của V R H.

Các thực nghiệm số, mặc dù rất khác nhau về thuật toán. về miền giá trị các

tham số, về các chi tiết định lượng, nói chung đều dựa trẽn phương pháp mô phỏng

trạng thái cơ bản được đề xuất đáu tiên trong [12, 24], trong đó Baranovskii và các

đồng tác giá [12] mồ phong một mẫu mạng, còn Efros và các đổng tác giả [24] thực

hiện tính toán cho một mô hình thực của bán dẫn pha tạp nhẹ. Phương pháp mô

phỏng [24] có thể tóm tắt thành một quy trình gồm các bước:

1. Tạo ngẫu nhiên toa độ của N donor và NA = KN acceptor trong một mỏ

hình lập phương (hoặc vuông) cạnh L. Ta kháo sát bán dẫn loại n và K là độ bù trừ.

2. Gán (Ì - K)N electron cho (Ì - K) donor chọn ngẫu nhiên.

3. Tính năng lượng Si của tất cả các donor theo công thức (2.2). Chọn ra một

donor có năng lượng cực đại ep trong số các donor bị choán đầy, một donor có năng

lượng cực tiểu 8 trong số các donor còn trống. Điều kiện (2.3) được kiểm tra cho tất

cả các donor, tức là tìm mức Fermi ỊM Nếu €p > eq (như thường l ệ, trường hợp này sẽ

xảy ra với phân bố ban đầu ngẫu nhiên của electron) thì số choán đầy của các donor

p và q sẽ thay đ ố i, np = 0 và n = l. Điều này tương ứng với sự chuyển của electron

từ donor p sang donor q. Sau đó. nâng lượng Si được tính lại từ đẩu để xác định các

giá trị cực đại Sp và cực tiểu €q mới, và nếu ep > €q thì election lại chuyển từ p sang q.

tức là khi tất cả các donor Quá trình kiếm tra điều kiện (2.3) chí kết thúc khi sp < £r

choán đầv có năng lượng thấp nhát (thấp hơn năng lượng của tất cả các donor còn

trống).

4. Tiếp theo, thực hiện cực tiếu hoa năng lượng tống cộng (2.1). Sự thay đổi

nũng lượng tống cộng (2.1) khi một electron chuyên từ donor bị chiếm / sang donor

44

còn trống j có thế xác định được từ bất đẳng thức (2.4). K iểm tra (2.4) đối với mỏi

cặp chứa một donor bị chiếm và một donor còn n ống. Nếu (2.4) không thoa mãn thì

electron chuyển từ donor ì sang donor ỳ, rồi lại tiến hành kiểm tra lại từ đầu. Quan

trọng là, mọi phép chuyển electron thực hiện bởi chương trình cực tiểu hoa đều làm

giảm năng lượng tổng cộng (2.1) của hệ. Cuối cùng, quy trình cực tiểu hoa tạo ra táp

hợp số choán đẩy (tij) và nâng lượng ( 8 i( thoa màn đổng thời các điều kiện (2.3) và

(2.4). Kết quả là xác định được trạng thái, trong đó sự chuyến của bất kỳ electron

nào từ donor này sang donor khác đều làm tâng nâng lượng tổng cộng của hệ.

N

-0.8 -0.4 0.4 0.8 0 e-M

Hình 2.2: Kết quả mô phỏng mật độ trạng thái trong miên khe Coulomb cho

trường hợp ả = 3, K = 0.5 và N = 1600 (đường liên nét) [24]; đường đứt nét là kết

(e2Niỉ3ỈK),

quà của Baranovskii et ai [12] cho mạng 14xl4x 14. Năng lượng tính trong đơn vị

còn mật độ trạng thủi trong đơn vị ị fde2N~2U).

Trạng thái nhận được gọi là trạng thái gán cơ bản. Nghiên cứu thống kê nũng

lượng toàn phần của một số lớn các trạng thái gần cơ bán ứng với các cấu hình tạp

45

ngẫu nhiên khác nhau ta sẽ xác định được trạng thái cơ bản của hệ. Tại trạng thái

này ta tính DOS g(s) và xác định mức Fermi ụ.

Trên hình 2.2 trình bày đồ thị DOS cho trường hợp ả = 3, K = 0,5 và

N = 1600. Rõ ràng tại mức Fermi có một khe mềm (soft gap). K iểm tra cẩn thận

cho thấy trong miền gần /A DOS mô tả rất tốt bởi định luật (2.5): g(s)= ( ĩ / f t ) s2.

Lưu đồ mô tả thuật toán và chương trình mô phỏng tìm nâng lượng cực tiểu

và xác định mật độ trạng thái viết trên ngôn ngữ F O R T R AN được trình bầy trong

phụ lục 1. Chương trình này có thể dễ dàng mỡ rộng để tính đến các hiệu ứng chắn

khác nhau. Trong hình 2.4 và 2.5 chúng tôi trình bầy kết quả mò phỏng của mình

cho thế chắn Yukawa (hệ 3 chiều) và chắn do gate kim loại (hệ 2 chiều), tập trung

chủ yếu vào miền nâng lượng hẹp lân cận mức Fermi.

2.1.4 Quan sát thực nghiệm

Cho đến gần đây, sự tổn tại của khe Coulomb chí có thể kiểm tra gián tiếp

thòng qua sự phu thuộc nhiệt độ của độ dẫn điện V R H: sự phụ thuộc lnơ*(r)x T~ị{2

được xem là hệ quả trực tiếp của khe Coulomb. Chỉ vài năm trơ lại đâv người ta mới

có thể quan sát trực tiếp khe Coulomb bằng các thí nghiệm phố chui ngầm

(tunneling spectroscopic) cho cả hệ 3D [19] và 2D [57].

Khi giữa vật dẫn và một kim loại thông thường có một bờ thế đủ cao để

không có dòng cổ điển. nhưng cũng đủ mỏng để có chui ngầm lượng tử thì

conductance chui ngầm ở nhiệt độ T: uy, T) = dl/đV, được tính bằng [47]:

(2.14)

ớ đây: 77) là conductance khi không có tương tác, V là hiệu điện thế, Gịs, T)ỈGo là

DOS một hạt có tương tác tính theo giá trị không tương tác Go, / là hàm Fermi (lấy

ụ = 0). Trong hầu hết các phép đo chui ngầm, conductance chuẩn hoa rfí thường lấy

ớ V tương đối cao, khi ĨJV)

là không đổi hoặc chỉ phụ thuộc yếu vào năng lượng.

Theo (2.14) conductance chuẩn hoa F(V)/ r{) trực tiếp cho ta G(eV, T)/Gt) với thăng

giáng nhiệt phụ thuộc ơflơịeV). K hi nhièt độ đủ thấp. thăng giáng nhiệt độ có thể bỏ

46

r0 tỷ lệ trực tiếp với G(eV, T)/G{). Trong [47] các tác giả đo r(V, T)

qua và r(V,T)/

trong các mẫu Si:B ba chiều trong miền rộng các giá trị của nồng độ electron và

nhiệt độ. Sự phụ thuộc rọ /) nhận được, như trình bày ờ trên, cho ta chính xác dạng

1.0

phụ thuộc năng lượng của DOS Gị£).

ỉ

Si:B

RỒ

0.8

o

0.6

>

o o o oo

nine = 86%

+

0.4

>

0.2

o IOẮ: • 4.2K • 1.0K • Q.SK

Xề

1

0.0

1 -1

0 K ( m V)

Hình 2.3: AT/ỉé' Coulomb trong mẫu tinh thểSUB quan sát được trực tiếp nhờ kỹ

thuật đo chui ngâm [47].

Trên hình 2.3 (mượn lại từ [47]) ta thấy rõ dáng điêu của rỵV) ờ nhiệt độ

khác nhau. Rõ ràng là ở nhiệt độ thấp nhất (T = 0.5K) ỈJV) xung quanh V = 0 (tức là

Gịe) xung quanh mức Fermi) có dạng parabol. So sánh cu thể thấy đường cong thực

nghiêm phù hợp rất tốt với định luật khe Coulomb (2.5) cho trường hợp 3D. K hi

nhiệt độ tăng lên khe Coulomb bị đầy dán theo quv luật phù hợp khá tốt với dự đoán

của Levin và đổng tác giả [49], như sẽ trình bày trong tiết tiếp theo.

Như vậy, cùng với các kết quá mò phòns trên MTĐT. các sổ liệu thực

nghiệm về V RH ơịT), các phép đo phò chui ngầm đã khẳng định hoàn toàn sự tồn

tại của khe Coulomb và do đó đặt dấu chấm hết cho cuộc tranh cãi nhiều nám vé vấn

47

đề này.

Vấn đề tiếp theo sẽ là, dáng điệu khe Coulomb sẽ bị thay đổi như thế nào

dưới tác dụng của các hiệu ứng chắn, của hiệu ứng nhiệt độ hữu hạn, hay là của hiệu

ứng kích thước hữu hạn ...? Trong tiết tiếp theo chúng tôi nghiên cứu ánh hướng của

một trong những hiệu ứng nêu trên - các hiệu ứng chắn.

2.2 CÁC H IỆU ÚNG C HẮ N.

2.2.1 Trường hợp 3D: chán Yukawa

Các tác giả của công trình [77] đã giải phương trình tự hợp cho hệ ba chiều,

đổng thời mô phỏng hệ với thế chán Yukawa:

V(r) = — e x p ( - r /r ).

(2.15)

Kỉ'

sl{ eVfO's)

Hình 2.4: Sự phụ thuộc năng lượng của mật độ trạng thái: đường liền nét ỉà

lời giải số của phương

trình

tự hoa hợp; đường nét dứt là gần đúng bậc không

(2.16); các chấm là khe Coulomb 3D (2.5), các điểm tròn là kết quà mô phỏng [77].

Từ phương trình tự hoa có thể nhận được các phương trình tương tự (2. l i) và

(2.13) với gần đúng bậc không:

3

G0(E) =

2.16)

2K[3-{Rị +3R +3)exp(-/?, )]

48

liên hệ với E theo phương trình: trong đó RE

(2.17) E = exp(-RE)/RE

Sử dụng gần đúng bậc không (2.16) với (2.17) dễ dàng giải số các phương

trình tự hoa hợp (2. l i) và (2.13). Kết quá tính số phương trình tự hoa hợp và kết quả

mô phòng được thể hiện trên hình 2.4.

Có thể thấy là trong vùng năng lượng nhỏ kết quả mô phòng trẽn MTĐT phù

hợp tốt với nghiệm phương trình tự hợp. Một tính chất quan trong khác là DOS có

cực tiểu nhưng khác không ớ tại mức Fermi. Như vậy hiệu ứng chắn đã làm "đầy"

thêm mật độ trạng thái định xứ ớ mức Fermi.

2.2.2 Trường hợp 2D: chán do cổng kim loại

Trong các phép đo trong hệ hai chiều S i - M O S F ET [124], người ta luôn phải

metal gate (AI)

SiO,

sử dụng một cổng kim loại (metal gate) nhằm điều chinh nong độ hạt tải (hình 2.5'à).

\ m

(a)

source source AI AI

dram dram AI AI

p-Si

di

di

(b)

Hình 2.5: (a) - Sơ đồ cấu trúc của mẩu sử dụng trong thí nghiệm [124].

(b) — Điện tích ảnh ì' của ì do hưởng ứng điện trên cổng kim loại.

Cốns kim loại được đặt sons song mặt phắns của hệ hai chiều, cách hệ một

khoang là tỉ. Ánh hưởng của cổng kim loại lên tươns tác Coulomb giữa hai nút ì và 7

có thể mô tá bằng một điện tích hướng ứng /' là ảnh cứa /. cách / mót khoáng là 2d

49

(hình 2.5b). Biểu thức thế chắn do xuất hiện ảnh là [5]:

e'

(2.18)

K

y/r2 +

4dz

Nếu khoảng cách giữa các trạng thái ì và ì là nhò so với khoảng cách 2d giữa

điện tích thực và ảnh (r « 2d) thì ảnh hướng của chắn là không đáng kể. K hi r đủ

lớn thì tương tác với ánh gàv nên chắn là đáng kể. Như vậy, khoáng cách ả đóng vai

trò độ dài chán (tương tự rs trong chắn Yukawa của hệ 3D). Việc tính tự hoa hợp

DOS cho thế chắn (2.Ỉ8) được thực hiện tương tự như đã làm ớ 2.1.2. Dùng các phép

biến đổi tương tự các phương trình (2.9) - (2.10) ta thu được:

Ì (2.19)

G(E)

= Ị e x p [ - / ( £ )] }

2

vời:

(2.20)

f(E) = - ỊdE'(G(E')

-

G(E'-E))Rị

- í

Ì

ớ gần đúng bậc không. G(E) = const. f(E) = 0. thì:

(2.21)

G(E)

Nếu đối biến tích phân theo RE dưa vào liên hệ:

(2.22)

+ 4

ta thu được trong gần đúng bác không:

Rị +8

re

(2.23)

+ 4

R.

( R ị + 4 f2

2

G(E)

(2.24)

Tương tự. các phương trình (2.16) và (2.17) có thế viết dưới dạng:

- GiR ., )]

m ) = I )dR, Ịl - —ệj—ẶG{R,

/ ( l i, i

(2.25)

Rị ( 4 + 4ỳ/ 2J

2

ỉ

G(RL)

Các phương trình (2.24) - (2.25) dễ dàng giai số. Kết quá được thế hiện trên

50

hình 2.6 bằng đường liền nét. còn gần đún2 bậc không (2.23) bằng đường nét đút.

-0.4

-0.6

-0.2

0.2

0.4

0.6

H ì nh 2.6: Lời giải số phương trình lự hoa hợp {đường liền nét) và kết quá mô phỏng ( x)

mật độ trạng thái G(E) với thế chắn (2.18). Đường nét đứt tương ứng với gần đúng bậc

không (2.23)

Kết quả mô phòng sứ dụng thuật toán trình bầy trong 2.1.3 với thế chắn

(2.18) cũng được thể hiện trên hình 2.6. Ta thấy trong miền năng lượng gần mức

Fermi, các điếm mô phòng ký hiệu bàng ( X) trùng hợp khá tốt với lời giải phương

trình tự hòa hợp.

Để kết thúc tiết này chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng khe Coulomb (2.5) là

tính chất cua hệ tương tác thuần Coulomb và ứ nhiệt độ không (7 = 0). Các hiệu ứng

chắn ánh hướng mạnh đến dáng điệu của khe. làm cho g(s) trở nên có giá trị hữu

hạn tại năng lượng Fermi (hình 2.5, 2.6) và do đó. như sau này sẽ trình bày, Linh

hường đến dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ của V R H. Mặt khác, nhiệt độ hữu han cũng

51

làm cho gịs) khác khống ớ £= JU. Levin và đồng tác giả [49] đã chỉ ra rằng, sự phu

thuộc nhiệt độ cùa gi sì tại s - JU có dạng:

•

ả-

fo)m* T" (2.26)

ĩ " ị Ke

K

Điều này cũng thấy rõ trong hình 2.3 mô tả dạng g(e) xác định bằng phép đo

chui nsầm ớ nhiệt độ khác nhau. Tuy nhiên, cũng cần nói rằng, đa số các phép đo

V RH được thực hiện ở nhiệt độ rất thấp, nén hiệu ứng nhiệt độ hữu hạn thường rất

nhò và khe Coulomb (2.5) được xem là thoa đáng. Dưới đây chúng ta sẽ xét ảnh

hướng của khe Coulomb, tức là cua tương tác electron - electron, lẻn sự phụ thuôc

nhiệt độ của độ dẫn điện V R H.

2.3 SỰ P HỤ T H UỘC N H IỆT ĐỘ CỦA D AN N HẢY BƯỚC B I ẾN Đổi

2.3.1 Định luật Efros-Shklovskii

Như trên đã nói. sự tổn tại của khe Coulomb ảnh hướnơ trước hết đến sự phu

thuộc nhiệt độ của V R H. ES đã chi ra rằng. với khe Coulomb (2.5) thay vì định luật

(2.27)

p{T)=P(ìexp[(TjT)U2ì,

Tu=p/'lkHKậ

Mott (1.47) sự phụ thuộc nhiệt độ của trớ riêng V RH trở nên có dạng [25]:

trong đó: các hệ số Pi * 2,7 [29] và p2 * 6.2 [73]. Định luật (2.27) có thế nhận được

một cách đơn giản bằng quy trình cực tiếu hoa số mũ exponent:

(2.28) rj = 2r/ệ + E/kttT

của xác suất nhảy do Mott đề xuất. Thật vậy, sử dụng hệ thức:

(2.29) s)g(e)d£ = ỉ

0

trong đó: s = TU'1 cho hệ 2D và 5 = (4/3);rr1 cho hệ 3D, già) xác định trong (2.5), ta

có thế biếu diễn r qua s. Thay kết quả nhận được vào (2.28). rồi tìm sm ứng với cực

tiếu của ì]. Thay sm này và r vào (2.28) được biếu thức trong số mũ hàm exponent

của p. Biếu thức nhặn được chính là (2.27). Tưv nhiên, quy trình này khôníĩ cho

phép xác định chính xác các hệ số pd . Các giá trị /?(/ ở trên nhặn được dưa trên

52

phương pháp lý thuyết thấm và sau đó được kiểm tra trực tiếp bàng nhiều mỏ phỏng

trên máy tính điện tử cũng như so sánh với thực nghiệm. Dưới đây chúng tối trình

bấy một số quan sát thực nghiệm định luật ES-T ~I /2 trong các loại vật liệu và cấu

trúc khác nhau cho cả các mẫu khối (3D) và màng mỏng (2D).

2.3.2 Quan sát thực nghiệm

Vì khe Coulomb xuất hiện ở lân cận mức Fermi nén định luật ES (2.27) chỉ

quan sát được ở nhiệt độ đu thấp. Đối với vật liệu vô định hình, định luật ES (2.27)

chỉ có thể quan sát được ớ nhiệt độ rất thấp (khoảng IK đối với a-Ge), nhưng ở nhiệt

độ thấp như vậy thì điện trớ của vô định hình quá lớn đến mức mà khó có thế đo

chính xác được. Chính vì vậy mà đối với phần lớn vật liệu loại này, như đã trình bầy

ờ cuối tiết 1.5, chủ vết! quan sát thấy định luật Mott (1.47) với số mũ p - 0.25 .

Nhiều quan sát để kiểm nghiệm định luật ES đã được tiến hành trong các bán

dẫn pha tạp ở nhiệt độ thấp ớ cả hệ 3D và 2D. Shlimak và Nikulin [109] đo điện trở

suất ọ của bán dẫn khối Ge loại p với độ bù trừ K = 0.4 đến nhiệt độ rất thấp

T « 0, ÌK. Số liệu thực nghiệm pịT) đã thu được trên nhiều vật liệu khối khác nhau:

Ge loại n [6. 92], Ge có độ bù trừ lớn [127] và AsGa [30, 88]. Phân tích tất cả các số

liệu thực nghiệm này, Zabrodskii [126] chỉ ra rằng số mũ p trong còng thức (1.52)

có giá trị trong khoảng từ 0.25 đến 0.7, trong đó phần lớn tập trung xung quanh

p = 0,5, tức là tuân theo định luật ES (2.27) chứ không phải định luật Mott (1.47).

Công trình thực nghiệm đầu tiên với mục đích thấm tra định luật ES 2D

(2.27) là của nhóm tác giả Timp eĩ ai. [118, 119] được thực hiện trên silicon pha

natri M O S F E T s. Sau đó các quan sát xác nhận định luật ES 2D được thòng báo bới

một số nhóm nghiên cứu trên các loại vật liệu và cấu trúc khác nhau như: Tremblay

et ai [120] (Ga A s / A lx Ga! _x As với độ linh động thấp), Ishida et ai. [40] (transitor

silicon đa tinh thế), Singh et ai. [110] (PBCO), Fung et ai. [33] (các cấu trúc carbon

hạt và xốp). Gần đây Dahm eĩ ai. [21] thông báo ràng số liệu của họ đo trên mẫu 2D

GaAs/Al() 3 Ga,, 7As không những; tuân theo định luật ES tron" miền rộng điện trờ mà

còn phù hợp với kết quá lý thuyết của Aleiner-Shklovskii [5] về chắn gate kim loại

(2D) trong toàn miền nhiệt độ chuyển. Mason et ai. [56] đo độ dần V RH trong Si-

53

M O S F ET và chỉ ra rằng số liệu độ dẫn nhạn được tuân theo rất tốt định luật 2D ES

trong miền rộng (ít nhất là 4 bậc) giá trị điện trớ. Chính những thực nghiêm này

trong thời gian đầu góp phẩn khảng định sự tổn tại khe Coulomb trong mật độ trạng

thái. Gần đây, định luật T'm của ES còn quan sát được ở nhiều hệ có cấu trúc phức

tạp như polymers dẫn [89. 94], sợi D NA [20], granular metal [53, 104], hệ các chấm

lượng tứ [124].

Trong thực tế, ớ một số thí nghiệm đo trong dải rộng nhiệt độ. cả ĩ định luật

M on (1.47) và ES (2.27) đổng thời được quan sát trong cùng mót mau nhưng ớ miền

nhiệt đô khác nhau: định luật M o t t - 7 " "< í'+'í ớ miền nhiệt độ tương đối cao và định

luật ES-T~U2 ờ miền nhiệt độ thấp hoặc ngược lại, ngoài ra còn có sự chuyến liên

tục giữa hai giới hạn nhiệt độ này. Đó là chuyến Mott - ES mà chúng tôi sẽ trình

bầy trong 2 tiết cuối của chương này.

2.4 C H U YỂN M O T T- E F R O S - S H K L O V S K II

2.4.1 Quan sát thực nghiệm

Trong hệ 3D: Rosenbaum et ai. [91] quan sát miền chuyến nói trẽn xảy ra

trong mẫu vô định hình NiASi,_A ớ trong khoảng nhiệt độ giữa 30K và 40K. còn

là khoáng giữa 10K và 30K. Chuyến M on - ES được quan sát thấy trong In Ov

trong nhiều vật liệu khác nhau bơi mót số nhóm tác giả khác như Zhang ai ai. [129],

Kabasawa [43], Shlimak eĩ ai. [108], Rosenbaum [90].

Việc quan sát thực nghiệm 2D V RH trong các mành mỏng gặp nhiều khó

khản vì V RH 2D chỉ thoa mãn khi bể dày của mẫu 2D không vượt quá khoảng nhảy

tối ưu, chẳng hạn với N ixS i | .x, khoáng này khoáng 15nin. Nhưng nếu mẫu được chế

tạo quá mỏng đế điều kiện trẽn thỏa mãn thì sẽ có thế bị ánh hướng của cấu trúc

fractal. Vì thế số liệu thực nghiệm 2D không phons phú như trường hợp 3D. Tuy

vậy chuyến Mott-ES vẫn được thông báo bới một số nhóm nghiên cứu: lshida et ui.

[40] (trong transitor silicon đa tinh thế). Singh eĩ ai. [ì 10] (trong PBCO). Các tác giả

này chi ra sự chuyển từ đinh luật M on 2D T~ỉn đến định luật ES-T~U1 khi nhiệt đô

giảm mặc dù miền đinh luật ES thế hiện là chưa đủ lớn. Khi đo độ dẫn V RH trong

54

S i - M O S F E Ts trong dải rộng nhiệt độ Mason eĩ ai. [56] quan sát thấy hiệu ứng khe

Coulomb xuất hiện ớ miền nhiệt độ trung gian, và khi nhiệt độ thấp hơn thì do

khoảng nhảy trở nên lớn hơn bán kính chắn (chắn do gate kimloại trong M O S F E T ' s)

thì tương tác tầm xa Coulomb bị chắn và vì thế V RH trở lại với biếu hiện Mott. M ột

chuyển tương tự từ định luật ES 2D đến Mott 2D cũng được Dahm et ai. [21] nghiên

cứu trong GaAs/Alo^GaojAs.

Ngoài chuyển Mott-ES nêu trên còn có những thòng báo về sự chuyến trong

đến biếu hiện T~v với 1/4 < V < Ì ớ nhiều điện trớ V RH từ biểu hiện Mott-r~l / ( t y + lỉ

vật liệu khác nhau ở cả hệ 2D và 3D [70. 71]. Nhóm nghiên cứu Shlimak eĩ ai. [107]

quan sát thấy hiện tượng chuyển gây bới từ trường, còn Shabar và Ovaclyahu [101]

thông báo về sự chuyến 2D-3D trong điện trường mạnh.

2.4.2 Biểu thức giải tích tổng q u át cho sự phu thuộc nhiệt đô của V RH

Trong mục nàv chúng tôi đề cập đến sự chuvến liên tục từ định luật M on

(1.47) đến định luật ES (2.23) khi nhiệt độ giảm. Các chuyến ngược lại sẽ kháo sát

trong các phẩn sau. Sự chuyển Mott-ES khi giảm nhiệt độ là biếu hiện của vai trò

tương tác Coulomb ở nhiệt độ thấp. Mô tả giải tích sự chuyến liên túc giữa hai định

luật Mott và ES là đề tài của nhiều cons trình gần đây. Nhưns. mỗi lý thuyết hiện có

thường chí giới hạn ở mô tá kết quá thực nghiệm cho một lớp vật liệu nào đó. ơ đày,

chú ý là, các kết quá lý thuyết trước hết cũng lại phụ thuôc mạnh vào dạng hàm

DOS G(E) được chọn dùng trong tính toán.

Có nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau đã được sử dụntĩ đế mò tả sự

chuvển tiếp nói trẽn [4. 58, 74, 91]. Các tác giả [74, 91] dựa vào việc sử dụng một

DOS "hiệu dụng" có dạng:

1

Gf ( £ ) = < * , £ ; '- (2.30)

trona đó: Ed là một thông số thoa mãn: a-jEj'1 = G{]. Hàm DOS (2.30) là lời giải của

phương trình tự hoa hợp ở gần đúng bậc tiếp theo nên tất nhiên là sẽ dẫn đến

g(E) = G0 (theo Mott) trong giới hạn \E\ » Ej và dán đến khe Coulomb (2.5) trong

55

DOS ớ giới hạn ngược lại. Dựa vào DOS (2.30) và sử dụng phương pháp tối ưu tiêu

chuẩn cua Mott, các biếu thức sau đã tìm ra để mô tả sự chuyến tiếp Mott - ES trong

độ dẩn [74,91]:

(2.31)

Fứụrụ*X)lứ{dFd{x)ldx)

= ịỊM#%

/«íTte /kĩ)

(2.32)

ÍT ị ị = [2d/(^EJkT^T(FMr

+ {EJkT)x

(2.33)

7]d=2rỉậ

- Yfd~

{)l2d = 9/2 khi

trong đó: X = e/Ed, với e là năng lượng nhảy tối ưu, Qd = d\d

í/ = 3 và QtỊ = Ì khi á = 2, còn:

F , ( x )= J- ^ /r

(2.34)

Giải các phương trình từ (2.31) - (2.34) với từng trường hợp ã - 2 hoặc ả = 3,

tìm được ngưỡng thấm /7(/ và do đó có được độ dẫn điện như hàm nhiệt độ:

(2.35)

ơ(T) = ơữcxp[-rjd(T)]

thì G = Go và các phương trình (2.31) - (2.34) cho

Trong giới hạn: \E\ » Eứ

lại định luật Mott với các hệ số:

=27fx

và

« 1 8 . 1. Trong giới hạn

\E\ « ED thì DOS (2.30) dẫn đến khe Coulomb (2.5) ớ lân cận mức Fermi và ta lại

nhận được định luật ES với:

= 8 và /3^ Rí 7.27. Giải số các phương trình từ

(2.31) - (2.34) cho miền rộng các giá trị của nhiệt độ T, ta sẽ nhận được đườnơ cons

r/j(T) liên tục mô tả sự chuyển giữa hai giới hạn.

Các phương trình (2.31) - (2.34) mô tả chuyển Mott - ES khi nhiệt đô giảm.

Trong khi ở một số thí nghiệm, nhất là với vật liệu vô định hình. lại quan sát thấy

một chuyến tương tự nhưng theo chiều tăng của nhiệt độ. Chúng tôi cho ràng trong

thưc tế không tổn tại một dạng D OS chung cho mọi hê electron định xứ mạnh đã

được nghiên cứu thực nghiệm. Những vật liệu và/hoạc cấu trúc khác nhau hẳn là có

dạng hàm DOS khác nhau. Có nhiều nguyên nhàn dan đến sự khác nhau này: khe

Coulomb (2.5) vốn được đề xuất cho nhiệt độ T = 0 và cho thế thuần Coulomb, hiệu

ứne chắn và nhiệt độ hữu hạn làm DOS thay đối và trở nén khác khổng ớ mức

Fermi; Thè thũng giáng ngẫu nhiên và hiệu ứng kích thước hữu hạn cũníĩ có thế

56

đóng vai trò quan trọng. Từ những nhận xét này, trong tiết 2.5 dưới đây, chúng tôi

đề xuất một dạng hàm DOS đơn giản và tính cụ thế độ dẫn V RH cho vật liệu vô

định hình bằng phương pháp lý thuyết thấm. Kết quả thu được mô tá chuyển Mott -

ES nói trên.

2.5 DẪN N H ÁY BƯỚC BIÊN Đổi T R O NG VẬT L IỆU VÔ ĐỊ NH HÌNH

2.5.1 Mô hình mật độ trạng thái cho vật liệu vô định hình

Định luật Mott (1.47) đã được quan sát ớ số lớn thực nghiệm với vặt liệu vô

định hình nhưng có một thực tế là [78]: mặc dù đường cong thực nghiệm

có dáng điệu phù hợp với quy luật lý thuyết T~U4, song giá trị thực ln(ơ(T)/ơữ)

nghiệm của độ dẩn thường lớn hơn nhiều bậc so với giá trị lý thuyết, tính theo

(1.47). Về mặt vật lý, sự khác ỉệch này trước hết có thế liên quan đến dáng điệu của

DOS ở gần mức Fermi. N ếu DOS không phải là ỉchòng đối như Mott giả định mà

tăng nhanh cùng với \E~ ụ\, thì giá trị lý thuyết của crsẽ lớn hơn. và như vậy sự

khác lệch giữa lý thuyết và thực nghiệm sẽ (phán nào) được giải quyết.

Định luật ES -r~l/2(2.27) cũng đã được quan sát ở nhiều hệ vỏ định hình.

Nhưng, ở đây lại xuất hiện một vấn đề khác: giá trị lý thuyết của rES (và tươnơ ứng

giá trị độ dài định xứ ệ) tính theo (2.27) thường khác xa với giá trị thực nghiêm.

Nhu đã trình bày ở trên, các kết quả lý thuyết tính độ dẫn điện phụ thuộc rất

mạnh vào dạng hàm DOS G(E) được chọn dùng trong tính toán. Trong luận án này,

để tính độ dần nhảy V RH ơịT) của vật liệu vô định hình. chúng tôi đề xuất một

dạng DOS đơn giản nhưng lại mô tả gần đúng hơn dáng điệu của DOS ỏ gần mức

Fermi. Đó là:

(2.36) Ga(E)=g0[l + (E/EQ)2]

ở đây: E 3 (£•-//), go = G(E = 0) là tham số thực nghiệm (go trong mô hình của

Mott), năng lượníĩ Eịị xác định bới điều kiện: gịị/Eị =a, =3K*4/W> . Rõ ràng các

dang hàm DOS g(s) = go của Mott và g(g) (2.5) của ES có thế xem như các giới hạn

của DOS (2.36):

57

khi E « E(l

So *

GẢE)

khi E » E„

Mặt khác, so với hai trường hợp giới hạn Mott và ES thì dạng hàm (2.36) mỏ

tả gần đúng hơn dáng điệu định tính được thừa nhận rộng rãi đối với DOS ờ gần mức

Fermi của vật liệu vô định hình. Dáng điệu đó là: DOS có cực tiểu (khác không) tại

E = LI và tầng dán theo \E- Ị.i\ cả về hai phía [66]. Hơn nửa, dạng DOS (2.36) là đủ

đơn giản đế việc tính ơỢ) có thế thực hiện được trong dải rộng giá trị nhiệt độ r,

tiện lợi trong so sánh với thực nghiệm.

2.5.2 T í nh độ dẫn nhảy V RH cho vật liệu vô định h ì nh

Như đã trình bầy trong tiết 1.3 của chương Ì, Miller và Abrahams đã chí ra rằng

[59], việc tính độ dẫn nhảy có thế quv về bài toán tính trở tương đương của một

mạng các điện trở ngẫu nhiên và sẽ chuyển về bài toán liên kết

trong lý thuyết

thấm. và độ dẫn điện xác định theo ngưỡng thấm bơi biểu thức (2.35).

Xuất phát từ DOS (2.36) chúng tôi tính ơịT) cho dải rộng các giá trị nhiệt độ,

dựa trên phương pháp đề xuất bời Eữos eĩ ai. [29]. VỚI mỗi cặp nút. cách nhau /\

dựng hai hình cầu bán kính /72, tâm tại các nút. Tính tống thế tích của tất cả các

hình cầu như vậy, nhưng chỉ với các cặp nút liên kết thấm với nhau, trong toàn hệ.

Tỷ số giữa tổng thế tích này với thế tích của toàn hệ là:

ứ)

(2.37)

a=

ỊF(Ú)J-)9

7 c-

— r\ừvd(ù 6

trong đó hàm phân bố cặp:

F{Ú>J-)=-

ỊỊG(Eì)G{E2)ổ(Eỉ2(r)-ứ))dEỉdE2

\EX-E,\-e2IKT,

k h i £(£\ <0

với:

maxi|£j|,|£2|},

khi £ , £2 > 0

và 0 là hàm bậc thang 9(,t) = Ì nếu X > 0; Q(x) = 0 nếu X < 0.

Dễ nhận thấy là trong trường hợp giới han T -> 00. số hạng 0)/kBT bèn trong

hàm 9 sẽ bằng không, các tích phàn ịj(E)đE sẽ đơn giản là tổng số nút N có trong

58

một đơn vị thể tích của hệ (chẳng hạn, mặt độ tâm tạp), và bài toán khảo sát rút về

bài toán liên kết giản đơn của các nút phân bố ngẫu nhiên trong không gian (không

có mạt năng lượng). Đây là bài toán quen thuộc trong lý thuyết thấm với ngưỡng

thấm là r = rc = 0.875N"1 /3 trong đó N là mật độ nút. Thành thử trong giới hạn này,

(2.38)

đại lượng a là hoàn toàn xác định:

Tương tự như bài toán phần thể tích trong lý thuyết thấm, các tác giả [29] giả

thiết rằng, đại lượng a theo (2.37) là một bất biến, không phụ thuộc nhiệt độ, nghĩa

là a(T) = OQ = inv. Sử dụng tính bất biến này với mật độ trạng thái g(s) đã cho, dễ

dàng tính các tích phân trong (2.37) để nhận ngưỡng thấm ĩ]c, như hàm của nhiệt

độ, và do đó, thay vào (2.35) tìm được phụ thuộc ơịT). ở đây, để tính ơ(T) cho các

hệ vô định hình chúng tôi dùng bất biến (2.37) với mật độ trạng thái để xuất (2.36).

Các tích phân trong (2.37) được thực hiện chi tiết trong phụ lục 2. Cuối cùng chúng

tôi nhận được phương trình đại số sau xác định TỊC như hàm của nhiệt độ:

r f c& + ArfcV'lS* + A^cĩìco^) = Ì (2.39)

là trong đó: s = (q/Eữg0ậ*y*lẰ tham số thực nghiệm, (q = 21,1), 7JCƠ = (TM / r )I /4

ngưỡng thấm ứng với mô hình Mott, các hệ số: AỊ = 2/27 và A2 = 7/2970.

Phương trình (2.39) có thể dễ dàng giải số. K ết quả nhận được sẽ cho sự phụ

thuộc liên tục vào nhiệt độ của 7]c (tức là ơ(T)), bao gồm đoạn chuyển giữa hai định

luật giới hạn.

2.5.3 Thảo luận kết quả

Trên hình 2.7 là kết quả giải số phương trình (2.39) cho một số giá trị điển

0

hình của tham số 5, tương ứng các hệ vô định hình phổ biến. Chảng hạn, với a-Ge:

£ = 1 0 A, go = 3.lo18 eVlcm3 [78] thì EQ * O.QlleV và giá trị tương ứng của s là

s = 25 , còn giá trị rica = 30 là ứng với T = ÌOOK.

59

. Như vậy, đổ thị

Để ý ràng, trên trục hoành của hình 2.7 là rjco = (TM ÍT)

nhận được thực chất cũng là mô tả phụ thuộc 7 J c( T) (và do đó là ơ(T))

trong dải rộng

các giá trị của nhiệt độ. Điều đáng chú ý đầu tiên là dáng điệu đồ thị ớ hai giới hạn:

TỊaì lớn (T thấp) và T JC0 nhỏ (T cao). Trong giới han nhiệt độ thấp, như thấy trên hình

2.7, tất cả các đường cong, với giá trị khác nhau của tham số s đều tiệm cận về dạng

r ị, oe T JC 0, nghĩa là trong giới hạn này, lời giải của phương trình (2.39) cho lại định

luật Mott: \n(ơ(T)/ơữ)

= Ĩ]C(T) oe r~"4. Trong giới hạn ngược l ạ i, (ở nhiệt độ cao),

các đường cong số rõ ràng có dạng parabol rjc oe JJIQ9 nghĩa là trong giới hạn này,

t

2.

lời giải của phương trình (2.39) cho lại định luật ES: ln(cr(D/cr0) = T ỊcỢ ) o c T ~i

Do vậy, như đã trình bày ớ trên, kết quả số trên hình 2.7 bao hàm cả định luật (1.47)

và (2.27) như hai trường hợp giới hạn.

40

30

(1): s = 0 (2): s = 10 (3): s = 15 (4): s = 20 (5): s = 25 (6):S = 30

ỵ 20

10 -

'co

Hình 2-7: Kết quả giãi số phương trình (2.39) cho một số giá trị điển hỉnh của tham sô

s, tương ứng các hệ vô định hình phó biến.

60

Quan trọng hơn là, các đường cong trên hình 2.7 cho thấy sự phụ thuộc liên

tục của ơ{T) vào r, và như vậy chúng mô tả sự chuyển tiếp giữa hai định luật giới

hạn - là hiện tượng đang được nghiên cứu mạnh cả trong lý thuyết và thực nghiệm

[4. 58, 74, 91]. Các đường cong nhận được mô tả định tính kết quả thúc nghiệm mới

đây [37] về Mott - ES chuyến tiếp trong hệ với thế Coulomb chắn.

Một kết quả đáng kể nữa mà ta thấy rõ trên hình 2.7 là: với cùng giá trị 5, giá

trị ngưỡng ĩ]c ứng với DOS (2.36) là nhỏ hơn nhiều so với 7]Ci) ứng với mô hình Mott

G(E)

- gữ. Chẳng hạn. với 5 = 25, ở giá trị ĨJC0 = 30 ta có tương ứng r/c = 20. Điều

này nghĩa là: ở giá trị nghiên cứu của tham số s (tương ứng với a-Ge, như đã nói ờ

trên) giá trị cua độ dẫn tính theo mô hình mật độ trạng thái cua chúng tôi là

e xP ( 7 co " V e )=

lẩn. lớn hơn giá trị tương ứng tính theo mô hình iMott, và do đó

kết quả này giải quyết một phần khó khăn về sự khác nhau giữa giá trị độ dẫn điện

thực nghiệm và giá trị độ dẫn điện lý thuyết (tính theo Mott) đã nêu trong phần đầu

của tiết này.

Tóm lại, trong chương 2 chúng tôi đã trình bầy ảnh hướng của tương tác

electron - electron lên mật độ trạng thái và sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn điện

trong miền bước nhảv biến đổi. Khe Coulomb trons DOS là hệ quả của tương tác

Coulomb xa giữa các electron định xứ. Các hiệu ứng chắn làm thay đổi dáng điệu

của DOS ớ gần mức Fermi. Kết quá mô phỏng trên MTĐT và giải phương trình tự

hoa hợp với thế chắn (2.18) là rất phù hợp với nhau và cùng thống nhất ràng, tại múc

Fermi. DOS có một cực tiếu có giá trị khác không, phụ thuộc vào tham số chắn.

Tương tác thuần Coulomh hay bị chắn đêu ảnh hướng trực tiếp đến dáng điệu phụ

thuộc nhiệt độ của độ dẫn V R H. Sự chuyển trons độ dẫn, từ dáng điệu Mott-ơ(7) oe

Y~\ỉ(d+Ì)

x J-\12 ỵ^ị ntiiệt độ giảm, là biểu hiện của vai trò

fâữ ^ng

(j j ệU £S

tương tác Coulom ở nhiệt độ thấp, và được mỏ tả giải tích bằng các phương trình

(2.31) - (2.34) nhờ sử dụng hàm DOS (2.30). M ột chuyến tương tự ớ vật liệu vổ

định hình nhưng theo chiều tâng của nhiệt đố đươc mô tá bằng phương trình đơn

gián (2.39) nhờ sử dụng hàm DOS (2.36) và áp dung phương pháp lý thuyết thấm.

61

Chương 3

CÁC HIỆU ÚNG TƯƠNG TÁC COULOMB TRONG

SUẤT NHIỆT ĐIỆN ĐỘNG Ở MIẾN DẪN NHÁY BƯỚC BIẾN Đổi

Trong chương 2 chúng tôi đã đề cập đến một tính chất động được quan tâm

nhiều nhất trong các hệ electron định xứ mạnh, đó là độ dẫn điện V R H. Cho đến

nav, vai trò của tương tác Coulomb trong đỗ dẫn điện de đã được nghiên cứu kỹ

lưỡng cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Trong khi đó ảnh hưởng cứa tương tác này lên

các tính chất động khác như suất nhiệt điện động V R H, còn ít được biết đến, mạc

dù. như M on đã nhận xét [63, 66], suất nhiệt điện động nhạy cám với các thông số

vật liệu hơn so với các tính chất đông khác. Do đó việc nghiên cứu suất nhiệt điện

động V RH có thể cho nhiều thòng tin có giá trị về vật liệu như dấu điện tích của hạt

tải điện chính, khối lượng hiệu dụng, vị trí mức Fermi... Mặt khác suất nhiệt điện

động V RH dễ đo hơn so với các đại lượng nhiệt đông khác thường được nghiên cứu.

Trong chương 3 này, chúng tỏi sẽ khảo sát các hiệu ứng tương tác Coulomb trong

đại lượng nhiệt động quan trọng này. Tiết 3.1 giới thiệu cách tính suất nhiệt điện

độns ở miền dẫn nhảy bước biến đối theo phương pháp lý thuyết thấm. Cũns như độ

dẫn V R H, dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ của suất nhiệt điện động V RH SỰT) phu

thuộc rất mạnh vào dạng hàm DOS G(E) ở lân cận mức Fermi. Sứ dụng hàm mặt độ

trạng thái (2.30) đã trình bầy ớ chương 2, trong tiết 3.2 chúng tôi tìm được biếu thức

tổng quát S(T) cho cả hộ hai chiều và ba chiều. Tiết 3.3 sẽ khảo sát suất nhiệt điện

động V RH trong vật liệu vô định hình.

3. Ì SUẤT N H I ỆT Đ IỆN ĐỘ NG V RH T R O NG G AN Đ Ú NG LÝ T H U Y ẾT T H ẤM

Khi xuất hiện gradient nhiệt độ VT trong bán dẫn thì cũng xuất hiện mót loạt

các hiện tượng nhiệt điên. Đế dòng các electron dẫn trong bán dẫn bằng không thì

các electron phải nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động. Điều đó đòi hỏi cả nhiệt

độ và thế hoa phái không đổi. Khi nhiệt độ T hoặc thế hoa ỊẦ thay đổi phái xuất hiện

dòng các điện tích tự do mà trong gần đúng bậc nhất dòng đó tỉ lệ với VT và V a.

Suất điện đỏng gây nén dòng điện trong mách khi đó gọi là suất nhiệt điện đông.

62

Phương trình liên hệ mật độ dòng J với mật độ dòng năng lượng q khi có mặt

điện trường Q, các gradient nhiệt độ T và thế hoa ụ có dạng [131]:

e

+—J-ỉố7T (3.1) q = £j e e

ớ đây: crlà độ dần điện, s là suất nhiệt điện động, nia. nhiệt dung Peltier. Đế tìm sự

phụ thuộc cua suất nhiệt điện động vào nhiệt độ trong miền V R H, Zvyagin xuất phát

từ phương trình trong lý thuyết động học dẫn nháy [131]:

=- I h " i (1-n/ ) - w - ( i - "i)]

(3.2) (in. dí

trong đó: ìĩị là số choán đầy khòns cân bằng trung bình của các trạng thái định xứ

nút í, Ỵịị là xác suất dịch chuyến electron có sự tham gia của phonon giữa các nút ị

và j. V ới điện trường yếu. nhiệt độ tháp và các gradient nhỏ, phương trình (3.2) có

thể tuyến tính hoa. Từ hàm phân bố cân bàng:

r(lor)

Ì + exp (3.3)

~

J F.I

trong đó: Xi là vị trí nút I. /u{Xị, ĩ) và T(xh t) là giá trị cục bộ của thế hoa và nhiệt độ.

Sử dụng (3.3) và tuyến tính hoa phương trình (3.2) thì nhận được phương trình:

=-(kjrỵ[r:ni{ul-uf

đôn. (3.4) dĩ

trong đó: ổn = n - f (s ) với f(e ) là hàm phân bố Fermi, = (ỵịịtĩ.ịl - rt •)) là số

electron thực hiện dịch chuyến trong một đơn vị thời gian ớ trạng thái càn bàng

nhiệt động, còn:

£< S7T + TV

+ x._

u. = v: + kHT5n

_kHT

(3.5)

với Vị là thế năng của điện trường tại nút ì.

Các phương trình (3.4) tương đương với phương trình mò tá lưới trớ Miller -

Abrahams [59]. Vì vậy, có thế áp dụng vào đây phương pháp lý thuyết thấm tươníi

63

tự như đã thực hiện đối với độ dẫn điện V RH [79, 80]. Dựa vào phương pháp lý

thuyết thấm, Zvyagin đã dẫn ra biểu thức sau đối với suất nhiệt điện động V RH

w

[131]:

s =

(3.6)

eT

ỊEG{E)P(E)CIE

với w là năng lượng chuyến, được xác định bới:

w =

(3.7)

\G{E)p{E)dE

trong đó: E là năng lượng đơn hạt tính từ mức Fermi, G(E) là mật độ trạng thái, còn:

\E\ + \E'\ +

\E-É^ 2/- P(E)= ỊdrỊdEG{E')9 (3.8) 2kaT í *

ớ đây: 9 là hàm bậc thang, rjc là ngưỡng thấm.

Các phương trình (3.6) - (3.8) cho thấy. cũng giống như độ dẫn V RH đả mô

tả ở trên, suất nhiệt điện động V RH SỰT) được xác định hoàn toàn bới dang của DOS

G(E) của các trạng thái định xứ lân cận mức Fermi, về mặt định tính. Burn và

Chaikin [18] cho rằng, với DOS không phu thuôc năng lượng (Mott-DOS) thì suất

nhiệt điện động phụ thuộc nhiệt độ theo quy luật S(Mott) oe T U-l )/(

đến tương tác electron - electron. DOS được mô tả bởi phương trình (2.5) thì suất

nhiệt điện động khòns phụ thuộc vào nhiệt độ. Như vậy, đối với cùng vếu tố nhiệt

độ, suất nhiệt điện động V RH nhạy cảm hơn so với độ dẫn V R H.

Chú ý rằng DOS đối xứng khône có đóng 2Óp nào vào suất nhiệt điện động

[131], nghĩa là với DOS đối xứng thì 5 = 0. G iả sử rằng DOS là hàm biến đối châm

theo năng lượng £, ta có thế khai triển:

/

clìaG(E)

;•:=<)

/

\ £ + ... (3.9)

clE

X

Bỏ các số hạng từ đạo hàm bậc hai trớ đi, chi giữ lại số hạng bậc nhát, đó là

\

(3.10)

phần không đ ối xứng có dạng:

+ ỵE)

Ga{EỊl

E

G(E)=Gữ{E

clE

X

f«u

ì

64

được giá thiết trong đó: Gữ(E) là phần đối xứng. Phần không đối xứng Gữ(E)YjE

là nhỏ.

Như vậy, đế nhận được biếu thức suất nhiệt điện động V RH trong dải rộng

nhiệt độ chứa cả hai giới hạn. chúng tôi xuất phát từ hàm DOS (3.Ỉ0), trong đó cần

chọn phần đ ối xứng GQ(E). Sau đó tính các tích phàn (3.7) và (3.8) theo hàm DOS

đã chọn. Trong chương 2 chúng ta đã thấy ràng, các hàm DOS (2.30) và (2.36) đã

được sử dụng và rất thành công trong mô tả sự phụ thuộc liên tục của độ dẫn V RH

vào nhiệt độ. Vi vậy trong 2 tiết tiếp theo dưới đây chúng tôi sẽ sử dụng chính các

hàm DOS này đế thực hiện việc tính suất nhiệt điện động V RH S(T) trong dải rộng

nhiệt độ.

3.2 B IỂU THỨC GIẢI TÍCH TỔ NG QUÁT

Trong đã trình bầy ớ tiết 2.4, hệ các phương trình (2.31) - (2.34) đã được xây

dựng [74. 91] để mô tả chuyến M on - ES trong độ dẫn điện V RH ơịT) khi nhiệt độ

giảm. Các phương trình này đã được thiết lập bàng cách sử dụng quy trình cực tiểu

hoa số mũ exponent của xác suất nhảy với hàm mật độ trạng thái (2.30). Bây giờ

chúng tôi sẽ sử dụng DOS (2.30) như phần đối xứng G0( £) trong (3.10) đế tính suất

nhiệt điện động V RH SỰT) cho cá hê hai chiều và ba chiều.

3.2.1 Hệ hai chiều (2D)

Mát độ trạng thái là:

(3.11)

G\E) = a^-P-{\ + ydE)

Thay (3.11) vào (3.8) đế tính các tích phàn. Trước khi thực hiện tính các tích

và đưa vào các kí phân ta viết lại chúng dưới dạng không thứ nguyên, đặt: s = EỉE2

hiệu:

a= a2E2:

J3 = ữ2ỵ2 E;

Ta có:

65

ữ

khi

£>0

\s\

£\s\

/ \

s £+1

w + l

£ +1

khi £ <0

8 a—— + Ổ £+1 a— . -£- + 1

p—- -£ + 1

Khi đó (3.6) được viết lại dưới dạng:

= —4^-, trong đó:

1 ft eT Q2

ÍT

\E\ +

\EU\E-E

p2 =

ịdRịEG{È)dE\G{E)dF6 li

2Ấr„7"

í

2r kl + k'l + k - f 'l

2*877E,

77c - —- 9

V

2r

|£| + |£'| + | £ - £'

Q, = Jí/à jơ(£)ư£jG(£')đ£'ớ

7c -

7 c-

-

. li

2kBT/E,

2r

\e\ + \£'\ +

\s-s

Đặt:

Ịl{2)dR

p2 = Eị

/( 2) = Ịeg(e)d£ Ịg(e')d£'0 Va-

2kJIE,

\S\ + \S'\ +

\E-SỸ

J(2) = Ịg(s)d£

Ịg(s')d£'ỡ

ịj(l)dR

Q2 = Eị

2r ệ '

T ìc

2kJIE.

Cận của miền lấy tích phân năng lượng và không gian được suy ra từ đối số

của hàm bậc thang 9:

R

-

ỉ -

\R < %. Kí hiệu: c J- f nc; K = ^ r -.

\E\, £ ' <4

=ĩ?ckHT

V

toe)

2

E2

2

R0

ta có:

\s\,\£'\

0

Việc tính /< 2) và /( 2) với được trình bầy chi tiết trong phụ lục 3. Kết quả thu

đươc:

4

9

6

3

66

-ịln(A + Ì)-l2Aln(A

+ ì)~-Àìn(A

+ ì)+4ln-(A + Ì)

và:

+ 21n2(4 + l ) + 4 1 n2U + l)+2fỈ5(éz£±Oí/f fj

Thay zl = c (l - r) và thực hiện tích phàn không gian hai chiều (theo R):

I

tiu

ta có:

I

£ =

3 J 7uWr

J7,2,

2£2

Ị ^

199

81

77

91

3

1

«0

P2 z r3 í

= aB2nR:Eị{^-C

19 ^3 -——C +——C +—c+ —— +——

- 24

450

360

45

120

30 c

Ì „,

41 22 Ì

\

l n2(c + l)

In(c + 1)+

C' +2C + —- + — -- + —~ 16

3 c

77 Ì 1 - 30 c -ị

15

4 - 2 —+ —r + 2 c c2

và:

I

2 j /( 1 ,dR = iTcRịEị

\jwrdr

Q, = £2

1

71

-

ln(c + l)

apiKRịE;

ị-C2 + -C + — + - - -

0

^

2 4

9

6

3C

V A -C + 5 + 6-- + - -7 3

c

3 c

,

l na(c + l) + 2 j « / r p'

dx c ( l - . v ) - .v +

2 c

1 c2

Cuối cùng, chúng tôi nhãn được:

(3

£, ì?j(r) V j Q i ( r)

với:

/>, = 3600(c +l)2 ln:(c +l)

- ( l 2 0 Cs + 3600CJ + m o ó c2 + 13200C + 42óo) ln(c + l)

67

+ 7 5 C6 - 7 6 C5 + 9 9 5 C4 + 3640C3 +7290C2 +4260C

Ổi = 1800(c +l)2 ln2(c +1)

-(2400C5 + 9000C2 + 10800C +42ũo)ln(C + 1)

+ 450C4 + 3200C3 + 6900C2 + 4200C +

„l n (-v;+ l)

Ị SOÓC- \rclr t " -' 0J

1

rfr c ( l - / - ) -* +1

Trong các biếu thức của p2, Qi à trên thì sự phụ thuộc vào T được viết qua đại

Bản thân 7c cũng phụ thuộc vào nhiệt độ theo các phương

lượng c = rjc(kBT/E2).

trình (2.31) - (2.34), mà đối với hê hai chiều thì chúng có dạng:

•[x-ỉn(x + \)Ỵìn = { ^ ->E J k X>)U 2{ E J k j)

(3.13)

x +

(3.14)

ly lệ = 2/{TĨ/3^E2

/kBT£> )'/2[.v - ln(.v +1)]-"3

(3.15)

nc=2r/ậ

+ (EJkHT).x

Như vậy, để tính suất nhiệt điện động V RH Si ớ nhiệt độ đã cho. cần giải sô

các phương trình (3.13)-(3.15) đế tìm ÌJC. Sau đó. thav giá trị vừa ùm được của r]c

vào (3.12) ta sẽ thu được sự phụ thuộc liên tục c ú a S2 vào nhiệt độ.

3.2.2 Hệ ba chiều (3D)

Mật độ trạng thái là:

(3.16)

G,(E) = a,EỈ-ặ—{\

+ y:E)

+ CỊỊ

b

Thay (3.16) vào (3.8) đế tính tích phân (3.7) và (3.8). Cũng biến đổi về dạng không

thứ nguyên tương tự như truồng hóp hai chiều, sứ dụng các kí hiệu: a = a,E;\

K hi

đ ó:

p = a:j:El-

s +1

€ +1

68

Ì R

trong đó:

Viết lại (3.6) dưới dạng:

s

eTQ,

\E\ + \E'\ + \E-

P, =

ịdR\EG{E)dEịG{E')dE'6

2kBT

2r 4

\s\ + \e'\ + \e - e'

2r

= E\ ỊdR ịeg{e)de Ịg(s')ds'ỡ

2kBT/E3

í "

)

\E\ + \E'\ + \E - E >

03 =

ịdR\G(E)dEịG{E')dE'e

2kBT

$

'

)

t

\s\ + \£'\ + \e - £'\

2r

=

E:ịdRịg{s)ds\g{s')de'e

2kBTỈE3

' ậ "

ì

Đát:

Ịl{3)dR

p3 = Eị

ì® = ỊegựỊde

\g{e%)dếO

7 c~7

2kJ/Ẽ3

và:

2r

\s\ + \s'\ + \e-sỸ

Q, = E:

Ịj{ì)dR

JM = Ịg(e)de Ịg(£')de'6

2kBT/E3

Những tính toán chi tiết các tích phân /( 3) và /3) được thực hiện trong phụ lục

4. Kết quả là:

-đ + \4AarclgA — đarctg -

í/t+\AAarctgA--ÂarctgA- 4

3

.'•í — \xÁĂ +l)+zl2 ln(zl2 +l) 3

3 ó

- j £ % Ị f £ ± i ]dg

-larctg A + - in2 ụ- +1 )- AarCtịA:e)de

va:

3zl2 - iAarctgA + 2ứ/'Cfg24 + 2 ln(zf +1)+ 2 f^H£Lé g )dg

/( 3 )= a2

n

5 + 1

Thay zl = c(l - r) và thực hiện tích phân không gian ba chiều (theo /?):

69

Do

ỊdR = 4TĨ ỊR2dR = AnRị ịrdr,

ta có:

0

Ố

£3 = Eị Ịl{ì)dR = AnRịEl

\l(i)rdr

2

5

1 ^4

li

li

7^

RA p i p BÍ = aB4nR:E,{—C

- — c3+ - C - — - ^- + 2 arctgC

45

6

loe3

——— c +—- + ——-•+ Ì 15

900

l o e2

84

l n ( c2

+l )+i / , - 2 /:- 2 /3- /4

- L e2- — — -— 9 30

l o e2

3£ .2J —cl- - - ị\

= «24 ^ ?0

arctgC

3 3 C3

9 3 c2

l n ( c2+ l ) + 2Ạ + 2 /3j

ho 2 2 Ì 3 3 c

vớ i:

/, = j/-2ln2[c2(l->f+l]d

/3 = parctg2[c(l-;-)+l]í/r

0

= V p-r,arctg[c(l-r)-.t]dt

J

3

J

V -Ì

4

J

J)

x2+l

Cuối cùng, chúng tỏi nhặn được biếu thức:

(3.17)

ạ(r) Q3(r)

V Vỹ

VỚI :

'/» = (210c5 - 7000C5 - 6900c)ln(c: + ỉ)

+ ( - H Ó C6 + 7350C4 - 693oWctgC

+ (75C' - 1799C5 + 4620C' + 6930c)

70

+ 6 3 0 0 C3( /I/ 2 - 2 /2- 2 /3- /4).

Ổ3 = 4200c(l + c2)

ln(l + c2) + 4200(1 - C4JarctgC

+ 630C5 - 2800C3 - 4200C + 12600C3(/2 + / 3)

Trong các biếu thức p?ỳ Q3 ở trên thì sự phụ thuộc vào T được viết qua đại

Bản thân 7C cũng phụ thuộc vào nhiệt độ theo các phương

lượng c = TJc(kBTI£3).

trình (2.31) - (2.34), trong trường hợp ba chiều các phương trình (2.31) - (2.34) có

dạng:

x\x-aivlg(x)]-4n

(3.18)

/(X2 +l) = {97rfâìEJ2klirj))iỉì{EJkHT)

2rlẸ = 6mi(xP™EJkJ™Ỵ[x-wig{x)Ỵm

(3.19)

(3.20)

rjc=2r/ệ

+ (EJkBT)x

Để tính suất nhiệt điện động V RH ớ nhiệt độ đã cho, cần giải phương trình

(3.18) - (3.20) để tìm ĩ]c. Sau đó. thay giá trị vừa tìm được của TỊC vào (3.17) đế tính

S3. Nhân tử Yd chi mức độ không đối xứng của DOS được xem là mót tham số vật

liệu. có thể nhận các giá trị khác nhau cả về dấu và độ lớn.

Cần chú ý rằng, rjc trong biểu thức suất nhiệt điện động (3.12), (3.17) cũng

phải tính theo các DOS (3.10) chứa cả phán khỏns đối xứng VỊ . Tuy vậy, nó sẽ dẫn

đến số hạng tỉ lệ với ỵ] và do đó có thế bó qua vì nhỏ.

3.2.3 Thảo luận

Trong giới hạn năng

lượng cao. khi DOS (2.30) dẫn đến M on DOS

thì các phương

trình

(2.31)

-

(2.34) cho ngưởng

thấm

g = gồ= const

rị =(ĩÌrf)/r)IArf+l\ các biếu thức (3.12) và (3.17) sẽ dẫn đến các biếu thức đã biết

[80] của suất nhiệt điện động:

(3.21)

S,(Mott)=-r,EJl2ìv:T°kl/e 6

S,{Mott)=—y,E,TlmiT"2kl

le

(3.22)

71

Trong giới hạn ngược lại, khi DOS có dạng khe Coulomb mô tả bới phương

(T&/TỴ\

trình (2.5) thì các phương trình (2.31) - (2.34) cho ngưỡng thấm nd =

các biểu thức (3.Ỉ2) và (3.17) sẽ dẫn đến các biểu thức sau cho suất nhiệt điện động

V RH cùa hệ hai chiều và ba chiều:

I e

(3.23)

s2 (ES) = —r2 EJ^kl

(3.24)

Sz(ES) = ^Ỵ,E^kịle

53

Hệ số 5/42 trong (3.22) trùng chính xác với kết quá của Zvvagin [131] và rất

phù hợp với kết quả tìm được của Pollak và Friedman [80], của Overhof và Thomas

[79]. Các hệ số chúng tôi tìm được trong các biểu thức (3.21), (3.23), (3.24) là mới.

Vậy các biếu thức (3.Ỉ2) và (3.17) thực sự mô tả sự chuyển tiếp liên tục của

suất nhiệt điện động V RH từ sự phụ thuộc vào nhiệt độ theo s oe YịJ-ì)ỉị(J+iì

trong các

phương trình (3.21), (3.22) dẫn đến không phụ thuộc vào nhiệt độ trong các phương

trình (3.23), (3.24) khi nhiệt độ giảm. Rõ ràng là suất nhiệt điện động V RH nhạy

cảm với nhièt độ hơn so với độ dẫn V R H. Bản thân độ dẫn VRH phụ thuộc vào

nhiệt độ được nghiên cứu rất rộng rãi [4, 58. 70, 85, 91, 117] trong những năm gần

đây.

Trên hình 3.1 là đổ thị của sự phụ thuộc suất nhiệt điện động V RH vào nhiệt

độ (đường liền nét), vẽ cùng với các giới hạn tiệm cận tương ứng: (3.21) - (3.22)

(đường các chấm) và (3.23) - (3.24) (đường đút nét). Suất nhiệt điện động VRH đo

còn nhiệt độ trong đơn vị Ej. Giá trị các tham số

trong đơn vị: Sữ =(ktì /e)ỵdEj,

EJkJi

=10"3. Tham số tuy chọn

được chọn: E2/kJl;}

= 2.10" và EJkHT^]

Eứ dùng để khớp khi so sánh với các sò liệu đo thực tế.

Đồ thị cho thấy sự biến đối không đơn điệu của suất nhiệt điện động: có một

cực tiểu nôn* ớ một giá trị nhiệt độ nào đó giữa hai giới han cho cá hai chiều và ba

chiều. Chúnơ tôi cho rằng cực tiếu này là kết quá cạnh tranh của 2 hiệu ứng: một

liên quan đến năng lương nháy giảm khi nhiệt độ giám, một liên quan đến vai trò

của phán khống đối xứng trong DOS vì nó trở nên quan trong hơn ớ nhiệt độ thấp.

72

8 r

1

J

1

L

1 I -10 -5 5 10

0 mBTIEd)

H ì nh 3.1 Sự phụ thuộc của suất nhiệt điện động VRH vào nhiệt độ vẽ cùng

với các giới hạn (3.21) - (3.24).

Về thực nghiệm, còn tương đối ít các số liệu về suất nhiệt điện động V R H.

Graener [34] quan sát thấy quy luật 53 oe 7"" trong F e304 _ KFX. M ới đây, khi đo

mẫu Fe(Nj _ XWX) 04 trong một dải rộng của nhiệt độ, Schmidbauer [97] đồng thời

quan sát thấy sự biếu hiện của quy luật M on r~"4 của độ dẫn và quy luật Txn của

suất nhiệt điện động giống như phương trình (3.22) với dấu âm của ỵ, ở nhiệt độ

không quá thấp (khoảng 300K). V ới suất nhiệt điện động V RH dương được thể hiện

tương tự trong Ge:Ga ở T < 2K được quan sát bời Andreev et ai. [9], Các số liệu của

Buhannic [17] cho lớp ĩ chiều FexZrSe2 với X = 0.09 - 0.2 cho thấy suất nhiệt điện

động V RH tuân theo quv luật r, /3 như phương trình (3.21) cho hệ hai chiều. Trong

một công trình gần đày, các tác giá Yamaura K ., Young D.P., và Cava R.J. [123] đã

sử dụng kết quả của chúng tôi và so sánh với những số liệu đo thực nghiêm của họ

trên mẫu cobalt oxide Sr2Y(,.5Co207.

73

Có khá nhiều thông báo về sự không phụ thuộc vào nhiệt độ của suất nhiệt

điện động ở nhiệt độ thấp [ l i, 112, 114] nhưng chúng tôi thấy không có những số

liệu có thể so sánh định lượng với các phương trình (3.23), (3.24). Những khó khản

trong việc đo suất nhiệt điện động V RH ớ nhiệt độ thấp là do một số nguyên nhân:

1) Giá trị của suất nhiệt điện động thường nhỏ (\s\ < 20 V K "1) nên thậm chí nó

không vượt trội cả sai số đo.

2) Suất nhiệt điện động V RH rất nhạy cảm với điều kiện tạo mẫu đo, chang hạn:

mức chân không, độ tinh khiết, nhiệt đô nền chúng có thể ảnh hướng tới dạng

hàm DOS và vị trí mức Fermi.

3) Có thể xảy ra sự bù trừ lẫn nhau giữa suất nhiệt điện động V RH liên quan tới

phần không đối xứng cùa DOS và suất nhiệt điện động V RH liên quan tới đóng

góp tương quan Hubbard gây bới các đác tính cua hàm phân bố electron, khi hai

phần này trái dấu nhau [9].

Lưu ý tới tất cá nhữne khó khăn nêu trên. chúng tôi cho rằng đường cong

chuyển tiếp trên hình mô tả định tính nhũng số liệu đo suất nhiệt điện động V RH

trong FexZrSe2 và trong a-Ge với một cực tiểu nông được để cập trong công trình

[131].

Cũng giống như với độ dẫn V R H, bẽn cạnh những thí nghiệm quan sát thấv

chuyển Mott - ES khi nhiệt độ giảm còn có những thôns báo về chuyến này nhưng

xảy ra theo chiều tăng của nhiệt đô. Phần lớn những chuyển như vậy xảy ra ớ vật

liệu vô định hình. Đây là nội dung mà chúng tồi muốn đề cập đến trong tiết 3.3.

3.3 SUẤT N H IỆT Đ IỆN ĐỘ NG V RH C HO VẬT L I ỆU vô ĐỊ NH HÌNH

3.3.1 Biểu thức suất nhiệt điện động V RH cho vật liệu vô định hình

Việc mô tả lý thuyết suất nhiệt điện động V RH cho hệ bất trật tự nói chung

và cho vật liêu vô định hình nói riêng gập phải mót số khó khăn. Một trong số các

nguyên nhân là do việc nghiên cứu định lượng chính xác thường dài dòng, phức tạp

và nhữnư biếu thức giải tích chỉ có thế nhận được cho những mỏ hình mật độ trạng

thái đơn giản nhất, như một số tác giả đã thực hiện [66. 79, 131]. về thực nghiệm.

74

những số liệu quan sát suất nhiệt điện động V RH cho vật liệu vô định hình cho thấy

có quy luật là: ớ miền nhiệt độ tương đối cao thì suất nhiệt điện động gần như không

thay đổi, còn ớ miền nhiệt độ thấp thì suất nhiệt điện động tăng nhanh theo sự tăng

nhiệt độ [17, 34, 51, 52]. Ngoài ra còn quan sát thấy sự phụ thuộc liên tục của suất

nhiệt điện động V RH vào nhiệt độ giữa hai giới hạn này. Cho đến nay vẫn chưa có

cồng trình lý thuyết đầy đu nào mô tả những tính chất này.

Trong tiết 2.5 của chương 2 đã trình bày tháo luận về sự lựa chọn hàm mật độ

trạng thái (2.36) đế mỏ tá sự chuyến tiếp giữa các biểu hiện Mott và ES trong độ dẫn

điện V RH của vật liệu vô định hình. Trong tiết này, để thu được biểu thức giải tích

cho suất nhiệt điện động V RH ỏ vật liệu vô định hình chúng tôi sẽ sử dụng hàm mật

độ trạng thái với phần đối xứng (2.36) nêu trên:

(3.25)

Gư(E) = Gữ{\ + E2/Eị)

Sử dụng quy trình tính suất nhiệt điện đông V RH đả trình bầy trong tiết 3.2,

trước tiên xác định ngưỡng thấm rjc(T) theo quy trình cúc tiếu hoa số mũ exponent

của xác suất nhay do Mott đề xuất [63], rồi tìm s theo các phương trình (3.6) - (3.8).

Nàng lượng nhảv E được xác định bới tương tác giữa electron định xứ với

phonon. do đó xác suất nhảy có dạng [105]:

p = vnh e xp (- 2' * / £- Eỉ k j )= V. exp(- n)

(3.26)

với số mũ exponent:

(3.27)

ĩj = 2rfệ + EtkHT

trong đỏ: V

là tần số của phonon. Như vây xác xuất nhảy sẽ lớn nhất khi đối số

cực tiếu. Nâng lượng nháv E liên hệ với khoáng

của hàm e-mũ: rị - lì'lệ + BịkBT

nhảy /• bơi điều kiện chuẩn hoa: số trạng thái trong thể tích đã cho bằng đơn vị:

(3.28)

-7ĨT ịG(E)dE = ỉ

Dựa vào hàm DOS (3.25), kết hợp với (3.28) ta có:

4

í

£2

(3.29)

3E2

ì J

75

Thay r cho bởi (3.29) vào (3.27):

ĩ

1-1/3 \

4

ẹ

kHT

-7ỉG»E\ 1 + 3E 0

/

Để tìm giá trị cực tiểu của ĩ ]c ta tính đạo hàm và giải phương rj'(E) = 0, cuối

cùng chúng tôi thu được các phương trình xác định ngưỡng thấm rjc(n như sau:

lĩ

T

(3.30)

1/3

-4/3

T ^

f2>

í

T,

ỉ *-

(3.31)

í = Q J3

3

J

V

-1/3

Ì

\ 1/3

X

X +

(3.32)

T 0 —

* M J

ĨL-L í ~e

Ô = (3/2)(4;r/3)I /3 * 2.4.

với:x = £ / £0, Tữ=EJkH9

TM =pJkHG,ệ\

Các phương trình (3.30) - (3.32) dễ dàng giải số đế xác định ỉ]c như hàm của

nhiệt độ. Trong giới hạn khi X » Ì, từ phương trình (3.30) - (3.32) ta xác định được

1 /4

7JC - ỢM / 7 )i /4 - trùng chính xác với định luật Mon T "\ Trong trường hợp giới

- chính là định luật ES- T

hạn ngược lại, khi X « ĩ, ta có rjc = (TLS /T)iỉ2

- 1 /2 Như

vậy các phương trình cũng mỏ tả chuyển Mott-ES trong độ dẫn điện.

Cuối cùng, suất nhiệt điện động V RH được tính theo các phương trình (3.6) -

(3.8) với hàm DOS bất đối xứng biến đổi chậm:

(3.33)

G{E) = Gữ(l + E2/EỉỊl + yE).

I P

Viết lai (3.6) dưới dang: Su = — —, trong đó:

eT Go

Pư = E3

ữỊladR,

Qa = Eị

ỊjadR

với:

2r

\s\ + \s'\ + \s - s'

/„ =

\eg{e)de\g{e')de'e n,

2kllT/Eí

76

2r

\s\ + \s'\ +

s'\y

/„ = Ịg(e)de ịg{e')de'0

J

,

2k,T/E0

Những tính toán chi tiết các tích phân la và Ja được thực hiện trong phụ lục 5.

Kết quả là:

6

112

3

30

Thay á = c(l - r) và thực hiện tích phân không gian ba chiều (theo R):

Ì

K„

ỊdR = 4/r ỊR2dR = <\7TRị Ịr2dr ,

ta có:

±A4

pa = AnRịEị Ịiy-dr = AxRịEl Ịtâị

r dr

n

n

lis A A *r

.7 * . 29 A , +^+^-Al Ì LẢ o

r ár

= WlElrt

(l - rỴ + Zc*(l - r)6 ^ C8(l - rj

6

112

j| V • 4

0 V

3^ o2

= 4 ^0

3£0

' 1 „4 84

1 „i c +— c 216

29 +^—C 55440

= 4 < £0

2 W s c H l - r )2 + | c « ( l - r )4

+ ^-C<(l-,-)6 w

f 1

1 1

0

Ơ

3-2-2 —c2 + — Ơ+ —

\10

63

0

1080

chúng tôi nhận được biểu thức tính suất nhiệt điện

Thay c = ric{kBTIEữ),

động V RH biếu diễn qua ngưỡng thấm rjc:

SJL=

[\6)niT.2 +Í29/55440Ì77Í7.4 2T 1/84+ (1/216)^7-/+(29/55440)77^

(3.34)

4 -7^4 l/10 + (i/63)7c7, +(1/1080)^.7;

77

và trong đó: 7; = ktìTIE0 =TỊTữ Sữ=ỵE0kJe.

Vậ y, để tính suất nhiệt điện động V RH Su ớ nhiệt độ cho trước, trước hết cần

tính r/c từ phương trình (3.30) - (3.32), sau đó thay giá tạ rjc tìm được vào phương

trình (3.34) để ứnhSa.

3.3.2 T hảo ỉuận

Trong trường hợp tới hạn, khi E « £0, biểu thức (3.30) - (3.32) cho giá trị

còn còng thức (3.34) dẫn đến định luật -ĩ*"2: f fc = (TM /T)U4,

(3.35) S(MoU) = ~ỵEữTJU2kị/e

Trong giới hạn ngược lại, khi DOS (3.25) có dạng khe Coulomb (2.5), và do

từ (3.34) chúng tôi thu được đó biểu thức (3.30) - (3.32) cho giá trị ĩ]c = ( lạ IT)"1,

biếu thức sau cho suất nhiệt điện động V R H:

(3.36) S(ES)=7^ỵEJ,skị/e

L ời giải số của phương trình (3.34) và các biếu thức giới hạn (3.35) và (3.36)

(phương trình được minh hoa trên hình 3.2. Nhìn vào hình vẽ chúng ta thấy rõ ràng là, tồn tại chuyển liên tục của suất nhiệt điện động V RH từ định luật Mott-rl /2

3.35) sang sự không phụ thuộc nhiệt độ (phương trình 3.36) khi nhiệt độ tảng. Sự

chuyển tiếp của suất nhiệt điện động V RH đó cần phái được quan sát thấy đồng thời

cùng với sự chuyển tiếp của độ dẫn điện V R H. Hình vẽ lổng, trong hình 3.2 biểu

diễn sự chuyển tiếp cứa độ dẫn điện. trong đó ln(ĩỊt) được vè phụ thuộc vào ln(T).

Độ dốc của các đường thảng tiệm cận lần lươt bàng - 1 /4 (đường các gạch) và

- 1 /2 (đường các chấm). Đó chính là sự chuyến trong độ dẫn V RH từ biếu hiện

M on ơ oe T~U4 đến biểu hiện ES ơ oe T~in đã trình bầy trong chương 2. Như vậy,

bên cạnh sự chuyến tiếp của độ dẫn điện V RH quan sát được trong vật liệu vó định

hình, còn tồn tại chuyển tiếp liên tục nhạy cảm hơn trong suất nhiệt điện động V RH

78

được miêu tả bới phương trình (3.34).

7r

'

-

.

.

o1 0

• 50

. 150

. 200

. 100 T

Hình 3.2: Sự phụ thuộc suất nhiệt điện động VRH vào nhiệt độ ớ vật liệu vô định hình

vẽ cùng các giới hạn (3.35), (3.36). Hình vẽ lồng mô tả chuyến Mon - ES trong dô dẫn.

Nhiệt độ dược tính trong đơn vị EịJkB

Về thực nghiệm, các phép đo suất nhiệt điện động V RH ớ nhiệt độ thấp đã

ớ độ dẫn điện và t h áy có sự tăng của suất

được thực hiện bởi nhiều tác giả trên a-Ge và a-Si. K hi đo các tính chất độna của

mẫu bán dẫn vỏ định hình a-Ge trong dải rộng các giá trị nhiệt độ. Lewis [51. 52] đã quan sát được định luật Mott ơ GC r~"4

nhiệt điện động V RH nhanh hơn quy luật s cc rl /: ở nhũng nhiệt độ thấp nhất. Đối

với hầu hết các chất bán dẫn vô định hình, ở miền nhiệt độ tương đối cao, suất nhiệt

điện động hầu như là không đối [17. 34, 51, 52], tức là sự phụ thuộc nhiệt độ của

suất nhiệt điện động yếu hơn so với quy luật s oe T1/2. Chúng tôi cho rằng, các tính

chất phụ thuộc nhiệt độ nêu trẽn của suất nhiệt điện động V RH có thể mò tá dinh

tính bàng đường cong trên hình 3.2. M ạc dù vậy, vẫn còn những khó khăn khi so

sánh định lượng các kết quá lý thuyết về suất nhiệt điện động V RH với thực nghiệm,

những nguyên nhân chính đã được trình bầy trong tiết 3.2. Do vậy, hiện nay lý

thuyết dẫn nhảy chỉ có thế cung cấp những mô tả định tính các số liệu thực nghiệm

về suất nhiệt điện dộng V R H.

79

Đế kết thúc chương này, chúng tôi tống kết tại những nội dung chính đã trình

bầy. Sử dụng một mật độ trạng thái đơn giản (2.31) cho vật liệu vô định hình và

bằng phương pháp lý thuyết thấm chúng tôi đã tìm được biểu thức giải tích (3.34)

mô tả định tính sự chuyển của suất nhiệt điện động trong miền dẫn nhảy bước biến

đổi từ quy luật M on s oe r, /: đến quy luật ES khổng phụ thuộc nhiệt độ khi nhiệt

độ tâng (song song với các phương trình mô tả sự chuyển ở độ dẫn điện V RH từ biểu hiện Mott ơ GC r*l/4 đến biếu hiện ES ơ GC r~"2). Biểu thức thu được có dạng đơn giản, tiện lợi khi so sánh với thực nghiệm. Kết quả nhàn được phù hợp định tính

với đường cong thục nghiệm quan sát được ớ a - Ge hay a - Si.

Cũns áp dụng phương pháp lý thuyết thấm, chúng tôi đã tìm được biếu thức

tổng quát mô tả sự chuyến tiếp liên tục của suất nhiệt điện động V RH từ dáng điệu

M on TiJ~ịililỉ+u ớ nhiệt độ cao đến dáns điệu không phụ thuộc nhiệt độ ớ nhiệt độ

thấp khi nhiệt độ giám. Sự chuyến này là biếu hiện cua vai trò tương tác Coulomb ớ

nhiệt độ thấp. Biếu thức ùm được bàng phương pháp sử dung một DOS "hiệu dụng"

(2.30). Chính DOS này đã được dùng đế mỏ tá chuyến tiếp M on - ES trong độ dẫn

điện V R H. Như vậy, hiện tượng chuyển tiếp cua cả hai đặc trưng được nghiên cứu

nhiều nhất cho đến nay, là độ dần điện và suất nhiệt điện động V R H, được mò tả

đẩy đu bới cùng phương pháp lý thuyết thấm và sử dụng cùng một DOS "hiệu

dụng11 với cùng một tham số vật liệu Ed đế khớp với giá trị thực nghiệm. Sự thành

còng đó đã gợi ý chúng tôi sử dụng hàm DOS này đế nghiên cứu ánh hướng của

tương tác electron - electron lên độ dẫn ác V R H. Vấn đề này sẽ đươc trình bầy

80

trong chương tiếp theo.

Chương 4

DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đổi PHỤ THUỘC TẦN số

Trong thời gian gần đây, các hiện tượng mới của dẫn nhảy được quan sát ở

các vật liệu khác nhau và những mô tả lý thuyết tương ứng chủ yếu tập trung vào:

1) Sự chuyến ở điện trở (resistance crossover) gây bởi các yếu tố khác nhau

(nhiệt độ [95], từ trường [107] và điện trường [loi]).

2) Trờ từ âm do các nguồn khác nhau trong cả dẩn nhảy gần nhất [122] và

dẫn nhảy bước nhảy biến đổi [76].

3) Các hiệu ứng dẫn nhảy phi tuyến được coi là có tác động quan trọng đến

đặc tính của các cảm biến (sensor) nhiệt dẫn nhảy bước nhảy biến đổi [93].

Tuy nhiên, tất cả những quá trình trên đều liên quan tới dẫn nhảy de. Trong

khi đó, trong suốt mấy thập kỷ qua, các nghiên cứu cũng như hiểu biết về dẫn nháy

ác chưa tiến triển nhiều mặc dù các số liệu thúc nghiệm tiếp tục được bố sung [98].

Trong các chương 2 và 3 chúng ta đã nghiên cún ảnh hưởng của tương tác

electron - electron lên độ dẩn điện de V RH và suất nhiệt điên động VRH. Đối với

nhiêu hệ vật lý, tương tác electron - electron gây nên ảnh hường quan trọng lẽn sự

phụ thuộc nhiệt độ và tần số của độ dẫn điên ác. Trong chương 4 này chúng tôi sẽ

khảo sất sự phụ thuộc nhiệt độ và tần số cua độ dẫn điện trong chế độ hổi phục

(relaxation regime). Tiết 4.1 giới thiệu phép gần đúng cặp được sử dụng để thiết lập

công thức tính độ dẩn điện ác. Một lán nửa hàm DOS (2.30) được chúng tòi sử dụng

trong tiết 4.2 để xác định hàm phân bố cặp và thu được biểu thức độ dẫn ác phụ

thuộc nhiệt độ và tẩn số cho cả hẻ hai chiêu và hệ ba chiều. Tiết cuối cùng 4.3 của

chương này được dành đế thảo luân. phân tích kết quả thu được. so sánh với kết quá

lý thuyết và thực nghiệm đã có.

4.1 PHÉP G ẦN ĐÚNG CẬP

Tính chất chính tiêu biểu của dẫn điên ác khác biệt với dẫn điện de là, trong

dẫn nháy ác chỉ cần electron chuyến dịch giữa một cặp các trạng thái định xứ- Trong

khi đó đối với dẫn nhảy de, phải có một đường thấm nối liên tục các trạng thái đến

81

các điện cực đế cho dòng chạy qua. Đây chính là điếm xuất phát khác biệt cơ bản

trong việc xác định các gần đúng lý thuyết khi tính độ dẫn nhảy ác. Trong miền tần

số thấp, Summerfield [115] để xuất gần đúng cập mở rộng (extended pair

approximation-EPA) và thu được những kết quả phù hợp khá tốt với thực nghiệm.

Dưới đây ta sử dụng phép gần đúng cặp, được đề xuất bời Pollak và Geballe [81], áp

dụng cho trường hợp tần số điện trường ngoài lớn. Cũng trong miền tần số cao này

lại tồn tại hai cơ chế vật lý khác nhau ứng với hai miền khác nhau của tần số điện

trường ngoài. Ớ miền tần số rất lớn và nhiệt độ khá thấp hú) » kBT. đóng góp

chính vào độ dẫn điện là từ quá trình hấp thụ cộng hướng bới các cặp đom đã choán

đầy (không có trợ giúp của phonon). Trong trường hợp này, nâng lượng ũ cần thiết

cho sự dịch chuyển electron giữa các nút trong cặp bằng năng lượng híl của lượng

tử của điện trường ngoài [26]. Những nghiên cún đầu tiên trong miền tần số rất lớn

được công bố trong công trình của Blinowski và Mycielski [13], và được thảo luận

chi tiết trong [26]. Trong luận án này chúng tôi chỉ khảo sát độ dẫn điện ác ở miền

tần số tương đối nhỏ hơn, gọi là chế độ hồi phục. Điện trường ngoài làm thay đổi

không đáng kể số choán đầv cân bằng của các nút và gây nên sự hổi phục về trạng

thái cân bằng xác định bởi giá trị tức thời của điện trường. Trong chế độ dẫn điện

hồi phục này, các electron dịch chuyến giữa nút (các trạng thái định xứ) nhờ có sự

trợ giúp của phonon. Năng lượng cần thiết cho sự dịch chuyến electron giữa các nút

trong cập có giá trị cỡ kBT [26].

Theo Pollak và Geballe [81], trong phép gần đúng cập, đóng góp chính vào

dẫn nhảy tần số cao là của những cạp có tần số chuyển vào cỡ tần số của điện trường

nơoài co. Khoảng cách giữa các trạng thái trong những cặp như vậy được xác định

bới:

(4.1) r = i- ln

co

2

trong đó: ệ là độ dài định xứ. vph là tần số đặc trưng của phonon (* lo12 H- lo13 S1).

Việc tính độ dẫn ác oịco) gồm 2 bước: Trước tiên. tính độ dẫn cho từng cặp đơn, sau

đó tính trung bình độ dẫn này với tất cá các cặp. Tính chất quan trọng nhất liên quan

82

tới gần đúng của các cặp là đối với từng cặp tốc độ nhảy của electron giữa các nút

trong cặp đó lớn hơn rất nhiều so với tốc độ nhảy của electron giữa các nút đó với

các nút của các cặp khác xung quanh. Nói một cách khác, mỗi cặp được xem như là

một hệ con kín với mỏ men lưỡng cực [26]:

)•'

(4.2)

/2kj)Ỵ(l

+ im

qd(<ữ,a,r)=

e r (ể E r / kBr ) [ 4 c o sh 2{n

ở đây: E là cường độ điện trường ứng với tần số co, r là vectơ á-chiều nối ĩ nút với

nhau trong từng cặp và i ? là năng lượng kích hoạt (tức là năng lượng cẩn thiết cho sự

dịch chuyển electron giữa các nút trong cặp). G iả thiết sự dịch chuyển này là chui

ngầm nhờ sự giúp đỡ của phonon và có tán số đặc trưng:

= % e x p ( - 2 r / £ ).

(4.3)

Mô men lưỡng cực trong một đơn vị thể tích 3D (hoặc diện tích 2D) được

định nghĩa là:

.

(4.4)

QA®)=

ỊỊCỊ/Ì&IŨ

,r,T}iadr

,T}jd(a

ở đây: •%(/?, r. T) là hàm phân bố cặp với ý nghĩa là 2{d~\)7t^{f2,ỉ\T)rJ'[dr

chính

là xác suất tìm thấy cặp nút chứa nút còn trống và nút choán đấy trong một đơn vị

thế tích (hoặc diện tích), với khoảng cách giữa các nút trong cặp thuộc khoảng

[r. r + di*] và nâng lượng kích hoai trong khoáng [ũ, ũ + dũị.

Hàm phân bố cặp được xác định như sau [26]:

í

2

\

(4.5)

Ịg(e2)d£2S

ífa(ữ,r,r)= ]g(eì)d£y

e

ị

£ . - € • >-

Ũ

Kỉ'

ở đây: g(e) là mặt độ trạng thái (DOS) gần mức Fermi. Năng lượng đơn hạt Si được

tính từ mức Fermi. Số hạng e21 KI' trong đối số của hàm ỏ- ớ phương trình (4.5) mô

tả tương tác Coulomb giữa các electron. Thực ra công thức (4.5) chí đúng cho nhiệt

độ không còn ở nhiệt độ T bất kỳ thì dưới dấu tích phân còn biếu thức chứa các hàm

phàn bố Fermi /(e), tuy nhiên đế việc tính toán được đơn giản, ta sẽ sử dung hàm

phân bố (4.5) ớ những nhiệt đô khác không, thoa mãn điều kiên n + e2/ỉơ'm

»kHT

[41].

Đô dẫn được định nghĩa là [26]:

83

(4.6)

o-J{ũ)) = ~lmQJ{ú))ũ}/E.

Thay các phương trình (4.2) - (4.4) vào phương trình (4.6) ta có:

—,

(4.7)

-3 M =^ yd;ụa r

- f e r1

•

(4.8)

J Q

*Á<»)~a>Sydr)dn, 2£Hr

0

(l + íyV)cosh2(í2/2Ấ:sr)

Sử dụng phương trình (4.3) để đưa vào biến mới nhay cho biến r: dr = - — 2 ĩ

ta được:

< r3( « ) = £ ^v f t o ^ r y - ^ - r f — ^ f e f e Zl

d n, (4.9)

96

l + ứ>r

J/ :t ìr c o sh

0

ự2Ị2kaT)

l

n

^

(4.10)

^f - 1 + ứí r

*M=^-SW 64

J w^

ỉ ktìT cosh ựỉ

^. /2kBT)

Vì các cặp nút có ra ứ;"1 đóng góp chính vào các tích phân (4.9) và (4.10), nên

trong gần đúng bậc nhất ta có:

(4.11)

T)*n,

ơ M= ^ e r ^Ả ^ ] ) — r % ^l

\ to )

192

i kttT cosh ựĩ ỉ 2kuTỊ

(4.12)

g> ) = ^er» l n f^ - T ]- r^:^l

128

^ co J ịkHT cosh

-.dữ. ự2/2kBT)

Trong biếu thức (4.5) hàm phàn bố cặp ;Fdự2,r,r) về cơ bán được xác định

bởi dạng hàm DOS ớ lân cận mức Fermi. Trong chương Ì ta đã biết rằng, khi bỏ qua

tương tác electron-electron, Mon đã giá thiết: g(s) = Go = const, và dẫn đến định luật

nổi tiếng T'U(

cho độ dần nhảy de. Efros-Shklovskii (ES) [105] chí ra rằng, do hệ

quả của tương tác Coulomb xa giữa các trạng thái định xứ, DOS giảm về không tại

mức Fermi, xuất hiện khe Coulomb:

(4.13)

gd(E) = aít\E\*~\

aứ = ( á / x ^ / e1)

và do đó dẫn đến định luật T'ị/2

cho sự phụ thuộc của độ dẩn de vào nhiệt độ.

84

Để mô tả sự chuyển từ định luật M o n -rl / ( J + ,) đến định luật ES-r~"2 trong

phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn de, nhóm tác giả [74, 91] đã đề xuất một dạng DOS

tổng quát:

(4.14)

sAE)

= auEr J£|'~L-, .

trong đó: Ed là tham số tuy chọn. Trong chương 3 chúng tôi đã sử dụng dạng DOS

đến dáng điệu không phu thuộc nhiệt độ do khe

(4.14) để mô tả sự chuyển của suất nhiệt điện động V RH từ dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ dạng Mott-rr f'l ) W + lì Coulomb trong DOS.

Đối với dẫn nhảy ác, Austin và M on đã sử dùng hàm DOS g(s) = G0 = const

để tính độ dẫn nháy cr3 cho hệ 3 chiều (3D) ở nhiệt độ hữu han và đã tìm ra định luật

ơ(T)ccT

[10]. Sử dụng chính phương pháp này nhưng với dạng DOS (4.13), ES

[26, 28] đã xác định được biếu thức ơi co) trong các giới hạn ớ tần số thấp và tần số

cao ờ nhiệt độ không. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng hàm DOS tổng quát

(4.14) để tính độ dẫn điện ác trong dải rộng của tần số và nhiệt độ cho cả hệ 2 chiều

(2D) và 3 chiêu (3D). Biếu thức tổng quát thu được bao gồm các kết quá của Austin-

Mott và ES như những trường hợp riêng. Quỵ trình tính toán là chuẩn như đã đề cập

ở trên và các tính toán chi tiết cho hệ 2 chiều và 3 chiều sẽ được trình bày dưới đây.

4.2 B IỂU THỨC TỔ NG QUÁT CỦA ĐỘ D AN Đ IỆN AC V RH

Thay dạng cụ thế cùa hàm DOS vào (4.5) đế tính hàm phàn bố cặp íFd(í2,r,r),

sau đó đưa hàm phân bố cặp nhân được vào (4.11) và (4.12) đế tính độ dẫn điện ác

ơ{co) cho hệ 3 chiều và 2 chiều.

4.2.1 Hệ ba chiều (3D)

Dạng hàm DOS cho hệ ba chiều:

E1

»(E) = %E: —

E; + E2

Thay biếu thức (4.14) vào (4.5) chúng ta xác định được hàm phân bố cặp:

85

í

ì

£

,- — -Ũ KT

—00

ữ+e2 ỉ ta-

Ẽ

{Ei-n-e1/iq-Ỵ

3

ĩ

c' 7

1

V

77"^1

= a- F^'C J 0 í

+E-

rĩ £. + £0 (£, -n-e-/KJ-)

Chuyển về dạng không thứ nguyên: đát £ = — và z = — + — —, ta có:

KTEQ

EỮ

( Í - Z )2+1

c2+l

r C t

g

( Z)

n

( Z 2

+

1)

2£3

TJ(/2,/-,r) = aJ

(4.15)

5 Z - 2 a r c t g ( Z) + 2a

+ 2l

Z2+4

Z ( Z ' + 4)

Thay (4.15) vào (4.8) để tính cr.(íu.r). Ta viết lại (4.15) dưới dạng:

2Ì 5 ^ ± i |"

(X, A, W) = a. E\ ị À' - 2arctg(x)+ 2+

trong đó: X = z,0 = w + —

Do điều

—— ; w = ——— ; A = 2/c,T

/ơ* £,

/cr 2Jfc»r

Áy

H

(ti

ti

-

tứ

kiện ũ ~ £wr và ũ -ve' Ị Ki'ư » kHT nên X « A. Đế tính tích phân ta khai triển

hàm F3(JC,A,W0 thành chuỗi lũy thừa theo X/ A «l xung quanh điếmX = 0:

„ ln(w/2 + l)

AFỈaì{0)

narctgW

x,A,W) = a: E^ + W-2K«ẽW

F ì

i

+ 2^

„, + 2 ^ặ^ + ị^

(4.16)

L r

trong đó: F, (JC) = -arctg (,v + w) + - —Ề^ 7 " 1—- +

s

5V

6

U + H / ) - +4

S i, (JC+ W)[4 + (x + W)-\

còn f \( n )( 0) là giá trị đạo hàm bậc n của hàm số FỊ(X) tại điểm JC = 0.

theo (4.11). Cuối cùng chúng tôi thu

Sử dụng (4.16), ta tính đươc ơ}(coS)

đươc biểu thức sau cho độ dẫn ác cho hệ 3 chiều:

86

arctgVK

ln(l + w2)

w

W(W2 +4) w2(4 + w2)

f vpk ì ị 1 arctgW \0> J 2

ÍỈY

Y"

«

1

•

(4.17)

(")(0)f

+(In 2)7; +ỹ-r["F3

jcosh

(JC)

M»I /z!

trong đó: 7^ = 2kBT/E,

Một số giá trị của tích phản f-

0 cosh"(x)

í — — - « 1 3 52

to2; í ——— = —;

u 2/ ị cosh (x)

J cosh (JC) 12

0J cosh (JC)

=1; —7 T— = 0J cosh (JC)

0

Có thế nhận thấy rằng với n càng lớn thì giá trị các tích phân này là nhò so

với n!, vì vậy tuy vào mục đích cụ thế mà có thể giữ lại một vài số hạng đầu tiên

trong tống vô hạn của (4.17) đế mô tả số liệu thực nghiệm.

4.2.1 Hệ hai chiều (2D)

Đối với hệ 2 chiều hàm DOS có dạng:

gĩ(E) = d_E:

E, + \E\

Thực hiện các tính toán tương tự như cho hệ 3 chiều, chúng tòi nhân được:

Ũ

E, - E,

Kĩ

clE,

E,-n-

KT

E,

-ũ-é2/lơ-

E

clE,

= a;_E„ Ị

£, +£„ £,-n-e-/KT

+ E(

C-Z

Chuyển về dang không thứ nguyên tương tự như hê 3 chiều, ta có: c

:ụn,r,T) = a;Eị( c + l C-Z + 1

87

ln(Z + l)

%(n,r,T)

(4.18)

= a:E. Z - 2 1 n (Z + l) + 2

Z + 2

Tương tự như cho hệ 3 chiều. Ta viết lại (4.18) dưới dạng:

ln(X + l)

ln(X +1) + 2

F2 (x, A, W) = aịEị IX-2

X + 2

e2

ũ

e

°-:W

=

A =

trong đó: X = ZfU = — H — -— = w

KT,_.2k0T

2kJ

Kr„E,

tri

7.

Ì

E-, KT E, Do điều kiện Q ~ kBT và n + e2ỊKT,

» kBT nén X « A. Khai triển hàm

Ì xung quanh điểm X = 0. Ta có:

Fĩ (x, A, W) thành chuỗi lũy thừa theo X Ị A «

+ w r£

FJx,A,W) = a;El wr-21n(wr + i )+ 2j ^ ±u

W + 2

A

ln(w + i)

w

+

2aiE̱\(-\Ỵ

+

w + \

(W + 2)"+l

X

-W"±

(4.19)

n + i-1 {w + \)'^ {w + 2) \ A"

Thav (4.19) vào (4.12) chúng tôi nhận được biếu thức sau cho độ dẫn điện ác

trong hệ hai chiều:

e

Ì

ln(w + l)

In(W + l)

/>/<

ĩ

T \ _K

2 E -2 rì

í

03 Ị

+ (In 2)7: +

ơ2{cữ,T) = —a;E;ệ

9

J

I

ứ?

W W+ 2)

- — In A:

w

Ị

ln(jy + l) ý

Ị

cosh (x)

B(W +1)"

+ (W + 2)"+l " ừ

(W + 2)'

Ì /ỉ +1 - ỉ' (W + irw

I(-1)'T," tt-l

(4.20)

.

trong đó: Tị = 2k8T/E2

Các biểu thức (4.17) và (4.20) là tổng quát để mò tả sự phụ thuộc của độ dẫn

điên ác vào cả nhiệt độ và tần số trong dải rộng giá trị của các tham số này. cho hệ

hai chiều và ba chiều tương ứng. Trong phần tiếp theo chúng tối sẽ thảo luận chi tiết

các biếu thức đã nhận được ớ trẽn và so sánh với những kết quả đo độ dẫn de ớ bán

dẫn a-Si.

88

4.3 K ẾT Q UÀ SỐ VÀ T HẢO LUÂN

Trước hết xét sự phụ thuộc vào tần số. Trong giới hạn nhiệt độ thấp

e2/KTI0,

cho T = 0 trong các công thức (4.17) và (4.20) ta có: kBT «

ít

+

+ 2T^ ;g

2

( H /; + 2T^ ,; W(W2 + 4)

1> W2(W2

l -ị a r c t g ( l V) (4.21) w +4)

I w

(4.22) W (W + 2) 8

Ì, hay 2r ì, ớ giới hạn tần số cao w = ế2/ lơ; £ư » /ặ - l n ( vM /CỜ)«

các biểu thức (4.2ỉ) và (4.22) tiến đến các công thức đã biết của ES [26] và Efros

[28] tương ứng:

(4.23)

) ]3

» [ln( V „„ ( «5 £• )2 —

°3 0» ) =

K

48

(4.24) ơAứ>) = ^—{a.E.Ỵ ^ - < y [ l n ( vM/ ứ > ) ]2

K

8

Trong trườn? hợp ngược lai (tần số thấp), w « Ì, thì các biểu thức (4.21) và

Ì

(4.22) tiến đến các biếu thức sau:

co Cũ ít (4.25) ơAcú) =

2 e a: —:

3 /c5 \niyJco)

7 ; ĩ ; —r 90 7 10 l n ( v ,»

/

X

...

I

e

l e (4.26)

z - —ỉccoệ

K £7, (ứ)) = - — —- C ù) *3

2

48 12

Các biểu thức (4.25) và (4.26) trùng chính xác với các công thức tìm được bới

ES [26] và Efros [28] khi sử dụng hàm DOS (4.13). Những biểu thức này cũng cho

thấy rõ vai trò quan trọng của tương tác Coulomb giữa các electron-electron ớ nhiệt

độ thấp [28].

Trong thực nghiệm, sự phụ thuộc của độ dẫn ác vào tần số thường đươc giả

thiết có dạng: ơ oe co vói số mũ s < ì. Sử dụng gần đúng mót electron với mật độ

trạng thái khác không ớ mức Fermi. Austin và Mon [10] tìm được:

(4.27) s = Ì - 4 [tai V i

)

tJ c o ) ] -\

89

Giá trị của s tính theo (4.27) không phù hợp tốt với số liệu thực nghiệm. Đạc

biệt giá tri thực nghiêm của s thường tăng khi nhiệt độ giảm [41] và rất gần với ì

hơn so với giá trị tiên đoán bởi còng thức (4.27). Chẳng hạn, Abskowitz và các đồng

tác giả [3] thông báo rằng s = ỉ cho a-Si. Nguyên nhản của sự không thống nhất này

có thể là do sự tương quan (correlation) trong phân bố các nút [26].

1.0 r

0.9

0.8

w 0.7

0.6

0.5

/ Mott

0.4

Ị

10

20

25

/ ©)

15 In(v

v ph

Hình 4.1: Đồ thị sự phụ thuộc của Sj - ả (in ơ J )/d(lnco) vào ỉn(v hỊcũ) cho

hệ hai chiều (d - 2) và ba chiều (ả = 3). Tần số vỊjk = Ì0[ĩ Hz. Tấn số điện trường

ngoài từ 107/r đến ìơ}Hz. Tham số A -le2

/(ỉcệEd) = 60 cho cả hệ hai chiều và

ba chiều. Đường liền nét vè theo các biểu thức (4.28) và (4.29). Đường các gạch đìa

theo công thức Ausíin-Moíí (4.27). Đường gạch-chấm theo các biểu thức (4.23) và

(4.24) của ES.

Đối với kết quả của chúng tôi, từ các phương trình (4.21), (4.22) ta có:

ã lnơ

ả In co

(4.28)

s, = l- 3[ln( VPJ(Ù

)]-' + sr

90

,

s, = Ì - 2[In( vn„ /co)]-' + sc2

(4.29)

r

a

r

c

2W

trong đó cả sc2 và sc3 đều dương và xác định theo các biểu thức sau:

haretflfWQ 3a

2Wln(W2

2 In(^2 + Ị)

8 t^} I l y2 + 4

cW (W2 + 4)2

2 W1 +4 M/(VK2 + 4) + 1) {W1- + 4)2

=

S.,

w

^ a r c t g ^O

arctg(H/) W(W2+4) + l n ( W2+ l) W2(W2+4)

W+

HW

+

l)_2W

+ l) + 2W W + 2 2 W + 2 le1

+ l) (W + 2)2 (W + 2Y

Á. với A =

=

Sc2

w W(W + 2)

Trên hình 4. ỉ là đồ thị sự phụ thuộc của So và Sì vào tần số. Ta thấy cả s2 và í3

cùng giảm khi ứ; tảng. Điều quan trọng là, như có thể thấy rõ trẽn hình 4.1, các giá

trị sd của chúng tòi đều lớn hơn của Mott và của ES, đổng thời gần với giá trị thực

nghiêm s = Ì hơn [3].

Bây giờ ta xét đến sự phụ thuộc của độ dẫn vào nhiệt độ. Bò qua số hạng

tương tác Coulomb e2/KT và sứ dụng constant DOS, Austin và Mott [10] đã tìm

đươc cho hê 3 chiều đinh luât sau:

(4.30)

ơ™{(0j)=ĩ-ỉ;ie1a>mvi)Jco)YGlkJ. 4o

Sử dụng chính gần đúng đó, Efros [28] tìm cho hệ hai chiều (2D) định luật:

< 7 ,w( t f T ) = - ^ V ) ]3G0

2*8r-

Ì Zo

(4.31)

Trong tính toán của chúng tôi, từ (4.17) và (4.20), ớ gần đúng bậc không có

ngay biểu thức:

( V

\

2

kj

cr3(ứ>,r) = — ( l n 2 ) a { £3V a r £5l n4

V M J

(4.32)

MA

4 In

k.T.

(4.33) ơAco.T) = — ( In 2)a;E;e2mệ

lĩ 8

Dễ dàng chi ra rằng. ngoại trừ thừa số nhân. các biếu thức (4.32) và (4.33) là

91

hoàn toàn trùng với các công thức Austin - Mott (4.30) và Efros (4.31) tương ứng.

Như vậy, trong các trường hợp giới hạn cho sự phụ thuộc cả vào tần số và nhiệt độ

kết quả của chúng tôi phù hợp chính xác với các biếu thức đã biết của Mott-Austin

ES tương ứng.

Về thực nghiệm, ớ nhiệt độ thấp sự phụ thuộc vào nhiệt độ vào độ dán điện

ác là yếu hơn so với (4.30, 4.31) [54]. Hauser và các đồng tác giả [35] đo trên a-Si

cho thấy Ơ\(T) bão hoa ở nhiệt độ thấp và sự phụ thuộc tuyến tính vào nhiệt độ cho

bới công thức (4.26) không còn quan sát thấy ở nhiệt độ ĩ

=5 iOOK.

.

10r

1

1

Ị

1

'

1—

01 0

50

100

150

200

250

300

T(K)

Hình 4.2: Sự phụ thuộc vảo nhiệt độ của độ dẫn điện ác. Đường liền nét vẽ theo

(4.34), đưỜM> nét đứt - theo công thức Austin-Mott

(430), các điểm hình vuông

là số liệu thực nghiệm đo trên mẫu a-Si [35].

Để mô tả dáng điêu này của Ơ \ ( D, chúng tôi giữ lại số hạng tí lệ với T2

trong các công thức (4.17) và (4.20). Khi dó biểu thức độ dẫn điện có dạng:

ơ ( ú ) J) = ơ{ũ))+

AT + BT\

(4.34)

với A và ổ là các số dương với A » B. Khi đó các sô liệu thực nghiệm do trong

mẫu a-Si [35] ớ tần số co = l o4 s'[ có thế so sánh với giá trị tính theo cóng thức

92

(4.34) với A « 1 0 "3 và

fi«7.10~\ Trẽn hình 4.2 vẽ đổ thị sự phụ thuộc của

Ơ{CÙJ)IƠ{G>) vào T theo các biểu thức (4.34) (đường liền nét) và (4.30) (đường nét

đứt) cùng với số liệu của [35]. Rõ ràng là đường liền nét vẽ theo (4.34) phù hợp tốt

với số liệu cùa [35] trong dải rộng nhiệt độ.

Tóm lại, bằng việc áp dụng phép gần đúng cặp của Pollak và Geballe và sử

dụng hàm mật độ trạng thái tống quát (2.26) chúng tôi đã thu được biểu thức giải

tích tổng quát mỏ tả sự phụ thuộc của độ dẫn điện ác V RH vào cả nhiệt độ lẫn tần

số trong chế độ dẫn hồi phục, cho cả hệ hai chiều và ba chiều. Trong các giới hạn

tần số cao và tần số thấp biểu thức nhận được trùng với các kết quả đã biết của Mott

và ES tươns ứng. Số mũ s trong công thức biểu diễn sự phu thuộc của độ dẫn ác vào

tần số ơ cc Cú" tính theo biểu thức của chúng tôi lớn hơn giá tri s tương ứng tính theo

các giới hạn Mott và ES. nghĩa là s « Ì và gần với giá trị thực nghiệm, về phụ thuộc

nhiệt độ, trong gần đúng bậc không biểu thức của chúng tôi trùng với các quy luật

phụ thuộc nhiệt độ tuyến tính của Austin - Mon (ba chiều) và Efros (hai chiều). Với

việc giữ lại số hạng tỷ lệ với T2 thì kết quả của chúng tỏi mô tả tốt số liệu thực

nghiệm cho các mẫu ứ-Si trong dải rộng nhiệt độ. Cũng như đối với suất nhiệt điện

động V RH ở chương 3. trong biếu thức giải tích cho độ dẫn điện ác V RH của chúng

tôi chỉ chứa một tham số tuy chọn Eứ, điều này giúp cho việc so sánh với thực

nghiệm có thể thực hiện một cách dễ dàng.

93

Chương 5

DẪN NHẢY BƯỚC BIẾN Đổi TRONG HỆ THẤP CHIỂU

Trong thời gian gần đây, dẫn nhảy bước biến đ ổi ( V R H) trong các hệ thấp chiều

được chú ý đặc biệt [2, 106, 124]. Sự quan tâm đó xuất phát không chỉ từ những

hướng vật lý cơ bản mà còn từ những tiềm nâng ứng dụng thực tế liên quan đến các

cấu trúc nanô như: giếng lượng tử (2 chiều - 2D), dây lượng tử (một chiều - 1D) và

các chấm lượng tử. Trong các chương trước đây, dẫn V RH được khảo sát trong các

hệ đẳng hướng vô hạn, nên các hiêu ứng kích thước hữu hạn và ảnh hưởng vi cấu

trúc của vật liệu chưa được nhắc đến. Trong chương 5 này dẫn V RH được nghiên

cứu trong các hệ thấp chiều, ở đó vai trò của các hiệu ứng nêu trẽn là không thể bỏ

qua. Tiết 5.1 giới thiệu sự chuyến đối chiều (dimensional crossover) được xem là

liên quan đến vi cấu trúc ở một số hệ dẫn nhảy thực tế. Trên cơ sở đó mô hình hệ

dẫn bất đẳng hướng được xảy dựng và phương pháp tính điện trờ của nó được trình

bầy trong tiết 5.2. Các đạc trưng thấm cua mò hình tương ứng được khảo sát trong

tiết 5.3. Kết quả mỏ phòng cho hệ một chiều hữu hạn và hệ hai chiều theo mỏ hình

trên lần lượt được thảo luận trong 2 tiết cuối cùng của chương này.

5.1 ĐẶT V ẤN ĐỀ

Như đã biết trong chương Ì, định luật Mott về sự phu thuộc nhiệt độ của điện trơ

V RH có dạng tống quát [63]:

(5.1) P(T) = pữ exp(T0 I T )Ỉ H M ì. T0 = ftề/kBg0ệd

trong đó: p() là nhân tử phụ thuộc yếu vào nhiệt độ và thường bò qua sự phụ thuộc

này, pd là hẹ số có giá trị lần lượt bằng 18,1; 27/n; 8 tương ứng với các hệ 3, 2 và Ì

chiều [70]. Định luật Mott (5.1) thu được trên cơ sở giả thiết mật độ các trạng thái

định xứ gần mức Fermi là không đ ổ i: g(E) 3 go = const.

Trong định luật Mott (5.1) thì ả có giá trị xác định {ả = Ì, 2. 3) phụ thuộc vào

hệ là ID 2D hay 3D tương ứng, nghĩa là sự phụ thuộc vào nhiệt độ của điện trở

V RH được xác định bởi số chiều không gian của hệ (tất nhiên là trong giới hạn của

giả thiết về sự không đối của DOS). Tuy nhiên gần đây xuất hiện những thông báo

94

mới về việc quan sát thấy sự chuyến đổi chiều trong dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ

của độ dẫn nhảy bước biến đ ổi ( V R H) trong nhiều hợp chất khác nhau như: polymer

dẫn [89, 94] hoặc silic xốp [123]... Khác với sự chuyển gây ra bởi điện trường

[101], sự chuyển đ ổi chiểu trong [89, 94, 123] được cho là có liên quan đến đạc tính

cấu trúc vi mổ của vật liệu. Trong polymer dẫn các dây thẳng song song liên kết yếu

với nhau nhờ những tâm tạp thưa thớt hoặc các hạt kim loại nhò. Ở mức pha tạp thấp

(nồng độ tạp) [89] hoặc/và nhiệt độ thấp [123] tốc độ nhảy điển hình giữa các dây

là nhỏ hơn nhiều so với tốc độ nhảy điển hình trong dây ưị nên sự dẫn có biểu rE

hiện gần một chiều (quasi-one dimensional - Q1D). K hi mức pha tạp (hoặc nhiệt độ)

tăng nhanh và đến một mức pha tạp (nhiệt độ) tới hạn, nó tăng, tốc độ chuyển của rE

trở nên so sánh được với rh tức là 2 hướng - song song và vuông góc với hướng cứa

dây - trở nên tương đương về phương diện thấm. Điều này có thể tạo ra trong Q1D

sự chuyển đ ối chiều đến 2D (hoặc 3D) trong dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ của độ

dẫn nhảy V R H.

Shante [102] nghiên cứu một mó hình gom số lượng lớn các dây sone song

liên kết yếu với nhau theo cách là có sự nhảy được phép. nhưng hiếm giữa các dây.

Đối với những hệ phang (2D), mô hình của Shante cho thấy do sự liên kết hữu hạn

giữa các dây, độ dẫn ở miền nhiệt độ thấp trò nên đẳng hướng 2D với số mũ V trong

hệ thức In p(T) oe T~v là ự = 1/3 (kiểu M on 2D) trong giới hạn nhiệt độ thấp, và

tăng chậm theo nhiệt độ đến giá trị V* 1/2,7 [102]. Tuy nhiên, tính đẳng hướng, tức

là sự bằng nhau của 2 số mũ V của điện trở theo hướng dọc ( LR longitudial

resistance - điện trở dọc I n / /) và theo hướng vuông góc với dây (TR transverse

resistance - điện trở ngang In / r) có thế bị phá vỡ trong một khoảng nhiêt đô tương

đối cao nào đó, như Zvyagin đã nhận xét trong [133]. Cần nhấn mạnh là, tất cả

những thảo luận trong [102, 133] là ứng với hệ vò hạn, ớ đó các chi tiết bất đẳng

hướng cấu trúc topo có thể bị trung bình hoa và dẫn tới đẳng hướng trong dẫn nháy

ớ nhiệt độ thấp, khi mà khoảng nhảy điển hình vào cỡ băng hoặc vượt khoảng cách

95

giữa hai dây cạnh nhau. Từ đây có thế nảy sinh một số càu hòi như: tính đảng hướng

còn được tiếp tục không trong các hệ kích thước hữu hạn?, hoặc liệu cả hai điện trờ

(LR, TR) có luôn tuân theo định luật Mott 2D không?

Trong chương này, chung tôi mô phòng điện trở V RH trong mô hình hai

chiều bất đẳng hướng thúc tế hơn mô hình của Shante. Tuy mẫu vẫn gồm các dây

dẫn song song cách đều nhau, nhưng có điểm khác là xuất hiện thèm các tâm tạp

định xứ trong khoáng không gian giữa các dây. Ngoài ra. sẽ đặc bièt chú ý đến hiệu

ứng kích thước hữu hạn. Mô hình này được chúng tôi xây dựng tương ứng với các hệ

thực đã được nghiên cứu trong thực nghiệm [89, 94. 123] và sẽ mô tả chi tiết trong

tiết 5.2.

Phương pháp thám được thừa nhận rộng rãi là một trong những gần đúng tốt

nhất trong mô tả các tính chất dẫn nhảy [72, 105]. Dùng phương pháp thấm đế khảo

sát mỏ hình trẽn, chúng tôi sẽ xác định: (i) các đặc trưng thấm trong hệ 2 chiều (tiết

5.3), (li) kháo sát dẫn nháy bước biến đối (VRH) cho hệ một chiều hữu hạn (tiết 5.4)

và (iii) dẫn nháy V RH trong hệ hai chiều bất đẳng hướng mạnh (tiết 5.5).

5.2 MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Chúng tôi khảo sát mầu vuông (L X L) có các cạnh song song với các trục X

và y của hệ toa độ de Cartesien (hình 5.1). Trong mẫu có a dây thảng chứa các nút

(nguyên tử) sao cho các dàv song song với hướng X và cách đều nhau. Dọc theo mồi

dây có các nút sắp xếp ngẫu nhiên theo phân bố Poisson với khoáng cách trung bình

giữa các nút bằng Ì (đơn vị chiều dài trong mô phỏng). Tiếp theo. các tâm tạp (đảo

kim loại nhỏ) được mò hình hoa bằng các nút thêm vào một cách ngẫu nhiên ớ

khoảng không gian giữa các dây với uổng độ tạp S<1. Giả thiết khoảng cách giữa

các dây liền kề d là rất lớn so với khoáng cách trung bình giữa các nút trên dây:

d» l. Hơn nữa, mỏi nút í tại vị trí toa độ r (ở cả trên dây hoặc giữa các dây) được

gán cho một núng lượng E chọn ngẫu nhiên với phân bố đều trong khoảng từ

- w p đến w 12. Kết quá là chúng ta có một mô hình tiêu biểu đế nghiên cứu dan

nhảy Mott 2D với đặc thù cần nhấn manh là sư bất đáng hướng trong cáu trúc topo

96

của hệ phù hợp với mô tả thực nghiêm [89, 94, 123]. Mỗi tập hợp các toa độ nút

• • M

• • • • • ••

•

• M •

M • • •

ngẫu nhiên [ ĩ. ] cùng vói năng lượng ngẫu nhiên [ Ei ] sẽ là một cấu hình nút.

X

>

L,

H ì nh 5.1 Mô hỉnh: các dây dẫn song song liên kết yếu với nhau qua các tâm tạp

phân bố ngẫu nhiên trong khoáng không gian giữa các dây

Trong mỏ hình đề xuất ờ trên. mỗi mẫu mô phỏng được đặc trưng bời 3 thòng

số vật lý: kích thước mau L, khoáng cách d giữa các dây (hoặc số dây n) và mật độ

tạp s giữa các dây (mật độ dài của các nút trên dây bằng ỉ). Tại giới hạn s = 0, mô

hình rút về trường hợp đã được nghiên cứu trong các tài liệu [102. 133] nếu L vô

cùng lớn, đặc biệt nếu chí có một dây (n = Ì) và L hữu hạn thì mò hình trở thành

dây đơn hữu hạn [48]. Trong giới hạn khác, khi mật độ tạp s > Ì, thực tế ta sẽ có

97

một hệ chuẩn đẳng hướng. V ới 0 < s «ỉ, mẫu mô phỏng là bất đẳng hướng mạnh,

thể hiện ờ chỗ là nhảy dọc theo dây thì dễ hơn nhiều so với nhảy theo hướng vuông

góc với dây.

Như ta đã trình bầy trong chương Ì, vấn đề tính trỏ V RH trong mô hình nghiên

cứu ở trên có thế rút về việc tính trớ tương đương của lưới trơ ngầu nhiên Miller -

Abrahams [7. 59, 105], trong đó sự nhảy giữa 2 site ỉ và ì là tương đương với điện

ln(v*o)=2|/- -ĩị/ệ +

-vị + ịE; -M\ + \E,. -EjtylkJaTt,

(5.2)

trở Ra nối ì với ỳ sao cho:

trong đó: ?ị và Bị là vectơ vị trí và năng lượng của nút i, ịị là thế hoa, R0 là nhân tử

mà sự phụ thuộc vào nhiệt độ và vị trí cua Rữ là tương đối yếu và thường được bỏ

qua.

K hi mô phỏng thì biểu thức (5.2) được viết lại dưới dạng không thứ nguyên.

Trong mỏ hình tính toán của chúng tôi ở phần này, khoảng cách trung bình giữa các

nút trên dây được chọn là đơn vị độ dài. còn bề rộng dải w được chọn làm đơn vị

năng lượng. T hế hoa JU có thể nhận bất kì giá trị nào trong miền từ - 0,5 đến 0.5

(trong đơn vị W).

Theo gần đúng thấm [7, 105], số mũ rjc trong công thức p = p0 exp(?7c) của

lưới trở (5.2) có thế xác định như là ngưỡng của bài toán thấm liên tục với điều kiện

TỊ.. < ĨJC, trong đó rjịj đã được định nghĩa trong phương trình (5.2). Trong mỏ hình

của chúng tôi, do sự bất đẳng hướng mạnh trong cấu trúc topo nên quá trình thấm

dọc theo hướng dây diễn ra dẻ dàng hơn theo hướng vuông góc với dây. Nói cách

khác, đối với mẫu đã cho, P*ỢLR) sẽ nhò hơn / / ( T R ), hoặc dưới dạng ngưỡng

thể đươc xem

Ve He có

thấm thì TỊị = ln(yơ" / A>) < 7c = ỉ n( pẢ / A) • Do đó< tí số

như là mức độ bất đ ối xứng trong điện trờ V RH của hệ đang nghiên cứu.

Vậy với các tham số cho trước L. d. s và nhiệt đô không thứ nguyên

Ị = le T/W chúng ta cần phải tính 2 đại lượng ri, rị cho mỗi cấu hình và mỗi giá

trị của thế hoa Ị.L V ới múc đích này. sử dụng quy trình kiếm tra thấm tiêu chuán như

98

trong [75] chúng tôi khảo sát thấm theo 2 hướng: từ cạnh trái sang cạnh phái (đối

với 7JC) và từ cạnh trên xuống canh dưới (đối với rjc) của mẫu. Để tìm được giá trị

trung bình toàn bộ <7, ngưỡng thấm ^uỉđược trung bình theo rất nhiều cấu

hình ngẫu nhiên {r, E}. Việc tính toán được tiến hành trên các mẫu có kích thước:

L = 100, 200, 400, 800 và 1000; với ả = lo, 20 và các giá trị khác nhau của s giữa

0 và 1. Số cấu hình sử dụng đế tính trung bình là k = 5000 cho L = 100

và giảm khi L tăng sao cho k xL2(tức là tổng "diện tích" sử dụng trong kiểm tra

thấm) là gần như không đổi cho tất cả các trường hợp được nghiên cứu.

Trong mỏ hình trên, ở giới hạn T -> ao ta có mô hình thấm 2 chiều bất đẳng

hướng của các nút với toa đô ngẫu nhiên (bài toán /--thấm). Do tính ngẫu nhiên của

toa độ các nút mà hệ này có thế COI như là một mô hình thấm liên tục trong môi

trường cấu trúc bất đẳng hướng [50. 69, 105]. Trước khi khảo sát dẫn V RH chúng

tôi khảo sát mô hình toán học này.

5.3 TRƯỜNG HỢP NHIỆT ĐỘ VÔ HẠN: BÀI TOÁN R-THAM

Khi T —> co mô hình trở thành bài toán /'-thấm, được đạc trưng bơi 2 tham số

vật lý: mật độ dây p = n/L «1 và mật độ tạp giữa các dây s < Ì (mật độ dài của

nút trong dây bằng ỉ). Trong giới hạn: /1 = 1 và s = 0 chúng ta có hộ Ì chiều hữu hạn

có độ dài L. Trong giới hạn: s -> Ì thì hệ trở thành hệ chuẩn đẳng hướng 2 chiều.

Với: l/L < p < Ì và s<ì cho trước, hệ là bất đối xứng với nghĩa là theo hướng song

với dây. sự thấm thực hiện dẻ dàng hơn theo hướng vuông góc với dây. Nói cách

khác, đối với cùng một mẫu hữu han có mật độ tạp s thấp, bán kính ngưỡng R'c khi

xét thấm từ cạnh trên xuống cạnh dưới của mẫu theo hướng vuông góc với dây (TP -

transverse percolation - thấm ngang) sẽ lớn hơn bản kính ngưỡng tương ứng R'c khi

xét thấm từ cạnh trái sang cạnh phái của mẫu dọc theo hướng dây (LP - longitudial

percolation - thấm dọc): nghĩa là: R'cỈRề

c > 1. Tất nhiên, tỷ số này sẽ giảm khi mật

độ s tăng. Do đó, đương nhiên có thể giả thiết rằng phái tổn tại một nồng độ tới hạn:

s = s

thì cá hai bán kính chấm thực tế trùng nhau. Sự thay

sao cho với moi s>sc

99

đổi như vậy trong mối liên hệ giữa 2 bán kính thấm có lẽ sẽ tạo nên sự "chuyển đổi

chiều" trong đản V RH bởi vì dẫn V RH được xác định chủ yếu bởi độ dài bước nhảy

điển hình mà chính độ dài bước nhảy này lại liên quan đến bán kính thấm tương ứng

[105]. Theo định nghĩa, mật độ tới hạn sc phụ thuộc vào mật độ dây. Mặc dù vậy,

với p cho trước thì các vấn đề sau vẫn còn chưa rõ:

1) Biểu hiện của sự chuyển đổi chiều phụ thuộc như thế nào vào kích thước L

của mẫu (nếu ở đó có chuyển trong hệ vô hạn)?

2) Có hay không sự chuyển đổi chiều tương tự ở các đặc trưng thấm khác như

chỉ số thấm Ì/[72, 105], chiều fractal D [72] ?

Để trả lời những câu hỏi trẽn đây, cả hai chiều thấm TP và LP được đổng thời

mô phỏng trong các mẫu có kích thước L khác nhau và giá trị s khác nhau, cho một

số giá trị điển hình của mật độ dâv p. Giả thiết về sự chuyến đối chiều trên sẽ được

kiểm tra bằng cách so sánh các đặc trưng tương ứng của thấm dọc (LP) và thấm

ngang (TP), có tính đến các hiệu ứng kích thước hữu hạn. Lưu đổ mô tả thuật toán

và chương trình mô phỏng xác định ngưỡng thấm và các đặc trưng thấm khác viết

trên ngôn ngữ FORTRAN được trình bầy ờ phần phụ lục 6. Dưới đây là các kết quả

thu được sau khi chạy chương trình trên MTĐT và xử lý số liệu .

5.3.1 Tính toán và kết quả sò

Như thường lệ [72, 105], điều kiện biên tuần hoàn chí áp dụng ở hướng

vuông góc với hướng thấm. Đối với mỏi hướng, bán kính ngưỡng có thể tính nhờ sử

dụng thuật toán tiêu chuẩn cho bài toán /--thấm [72, 105]. Cho trước khoảng cách R.

Hai nút ị và ị được xem là liên kết với nhau nếu khoảng cách Tị. giữa chúng thoa

mãn điều kiện Tị- < R, hoặc là chúng không liên kết nếu

> R. Bán kính ngưởng

thấm được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất R, sao cho các liên kết ly < R tạo thành

một mạng thấm nối 2 cạnh. Mạng thấm như vậy thường được gọi là cụm tới hạn (tức

là cụm lớn nhất chứa các nút nối nhau khi xảy ra thấm nối hai cạnh) còn tổng số nút

thuộc cụm tới hạn thì được gọi là khối lượng (mass) của cụm (cụm tới hạn được

minh hoa trên hình 5.5).

100

Như vậy, với mỗi cấu hình, chúng tôi có thể tính được bán kính thấm Rị, (ì)

vkR'C{L)> và cả khối lượng của cụm tới hạn: MỤ)(L)

và M{I){L)

cho LP và TP tương

ứng. Các đại lượng R và M thăng giáng từ cấu hình này đến cấu hình khác. Giá trị

trung bình theo cấu hình của chúng sẽ xác định bán kính thấm và khối lượng tới hạn

cho mẫu có kích thước L: ^'M / ,(L)= và MỤW(L)=<

MM']{L)>.

Sự phụ thuộc của cả aệỴI)(L)

và MM )( L) vào kích thước L là hệ quả tự

nhiên của hiệu ứng kích thước hữu hạn mà chúng ta đang khảo sát. Để nghiên cứu

hiệu ứng này và tìm bán kính thấm cũng như các đặc trưng thấm khác tương ứng cho

hệ vỏ hạn, ứng với mỗi p và sẹ chúng tôi thực hiện mô phỏng các mẫu có kích thước

khác nhau: L = 100, 200, 400, 600, 800 và 1000.

Trong khi mỏ phỏng, cùng với việc tính trung bình các đại lượng

và M{Ị)'{Ị){L),

chúng tôi luôn tính các giá trị [72. 105]:

SR^{I)(L)=<

( R ^ ' \ L ) ^ ' \ L )Ỵ >"2

(5.3)

ÕMM){L)=<

(M[Ị)X'\L)-MWI)(L))-

>ÌN-

(5.4)

với số lượng cấu hình tăng từng bậc và sử dụng chủng nhằm mục đích đánh giá sai

số của kết quả mô phòng.

Đại lượng ỖR^}('] liên hệ với chỉ số thấm Vụỵt)

[55, 72, 105] theo hệ thức :

ỔR^{Ị){L)ozL-Uviim

(5.5)

Như vậy để xác định vụ ) ị

i) có thể dựa vào số liệu mỏ phỏng để vẽ đồ thị cua -

ìnSR{lị{l)(L)

phụ thuộc vào InL. Khi đó Vụ){l) chính là nghịch đảo độ nghiêng của

các đường thẳng trên đồ thị. Trên hình 5.2 thể hiện kết quả tính cho trường hợp

p = 0A và một số giá trị của mật độ tạp s (s = 0.05; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 từ dưới lên).

Đối với mỗi giá trị s, các điểm mô phòng cho LP được mò tả trên hình vẽ băng kí

hiệu hình tròn đạc (•), còn TP bằng kí hiệu tam giác (A). Trong hình 5.2 cũng như ờ

các hình vẽ sau này, sai số đều không vượt quá kích thước của các kí hiệu. Có thể

thấy rõ trên hình 5.2 là, đối với mỏi s, các điểm mỏ phỏng cho cả LP và TP đều nằm

t oi

trên các đường thẳng, tức là tuân theo khá tốt hệ thức (5.5). Quan trọng hơn là độ

nghiêng của tất cả các đường thẳng (nét liền đối với LP và nét đứt đói với TP) nằm

trong giải hẹp giá trị: 0.71 ± 0.02; tương ứng với V- 1.41 ± 0.04.

4 5 6 7

In L

H ì nh 5.2 Các giá trị mô phỏng - InỔR'C(L) và - In ỔR'C(L) ve theo InL cho trường

hợp p = 0A và các giá trị s = 0.05; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 (từ trẽn xuống)

Những số liệu mô phỏng ứng với các giá trị khác của s (0 < s < L) tuy không

đươc vẽ trên hình 5.2 nhung cũng có các tính chất hoàn toàn tương tự. VI vậy, với

sai số nhỏ hơn 3 % kết quả mô phỏng của chúng tôi cho thấy rằng: ứng với giá tri p

đã cho chỉ tồn tại một giá tri của chỉ số thấm vcho cả LP và TP với bất kỳ giá trị

nào của s trong khoảng 0 < s < 1.

tương ứng với hệ vò hạn, có thể xác Bán kính thấm ì{!u,)(s)=^m(L^co)f

^ - ^ ( LỊ o c r "^

(5.6)

định bới hê thức sau [55. 72, 105]:

){ L) được vẻ phu thuỏc vào L~ỈỈỰỊ!W)

Trên hình 5.3. đại lương ^) X Ì đối với

102

trường hợp /7 = 0.1 và các giá trị s khác nhau: s = 0.01:0.05: 0.1: 0.2; 0.3 và 0.4

(từ trên xuống), sử dụng V xác định trực tiếp từ hình 5.2. Giao điểm của các đường

thẳng (đường nét liền ứng với LP và đường nét đứt ứng với TP) với trục tung

*£*°(L)

tương ứng với bán kính

thấm (rỊỊ] hoặc ỉ ị]) của hệ vô hạn

(L->oo,L~l

->0).

7

Á

Ì

Á

y

^

-é

±•

Ì I 0

1 0.02

1 0.04

1 0.06

T-1/V(l),(t>

Hình 5.3: ///ểỉ/ líTỉg Ảíc/i rAuớc /«7ỉí /ỉạ/7 C i ỉứ các

tí>tA

táấm: đại lượng * [ ÍM ,Ỉ( L)

í/ỉẠrr vẽp/tụ f/ittdc vào í/"""1-"1 J<9/ với ínrôttg /lớp yơ = 0.1 và các giá trị s khác

nhau: 5 = 0.01: 0.05; 0.1: 0.2; 0.3 và OA (từ trên xuống)

103

Rõ ràng, với mỗi mẫu kích thước hữu hạn L à mọi í, giá trị bán kính ^ ( L)

(A) của TP đều lớn hơn giá trị tương ứng

thì hai bán kính thấm thay đổi theo 2 hướng ngươc nhau: a$)(L)

tăng còn atỤJ(L)

giảm. Sự thay đổi khác nhau của bán kính thấm LP và TP liên quan tới hiệu ứng

kích thước hữu hạn tương tự những điều đã thảo luận trong [69]. Hiệu ứng kích

thước hữu hạn trong LP, như đã đề cập kĩ trong [75], chủ yếu liên quan đến các nút

ở gần biên. Đối với TP hiệu ứng này được hiểu là nếu khoảng cách giữa các dây

song song là xác định (tức là cho trước p) thì khi chiều dài dâv càng lớn, đường

thấm tối ưu giữa các dây càng ngắn. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của LP và TP thay

đổi theo hai hướng ngược nhau là điểm đặc biệt của mô hình bất đắng hướng này.

Một kết quả quan trọng có thế thấy trên hình 5.3 là đối với mỗi giá tri của

các điếm mô phóng cho cả LP và TP đều tuân theo hộ thức (5.6). Mặc dù đối với bất

r&^{L)

kỳ giá trị hữu hạn nào của Ly bán kính ^C{L)

luôn lớn hơn

(s càng nhỏ thì

sự khác biệt này càng lớn), nhưng do sự biến đổi theo hai chiều ngược nhau như mô

tả ó trên nên với mỏi mật độ tạp s được khảo sát: 0 < s < ỉ trong giới hạn L -> 00 thì

hai bán kính

thấm nàv có xu hướng

tiến đến giới hạn

trùng nhau:

ĩ'P(s)=

r^](s) = rc( s ). Bán kính rc( s) giảm khi s Vầng. Với sai số nhò hơn 3 %, kết

quả tính rc(s) được trình bầy trong bảng (5.1).

Bảng 5.1

0.3

0.1

0.2

0.4

0.05

0.01

s

2.271

1.934

1.726

3.534

2.898

4.987

ì

to

Một đặc trung quan trọng nữa cua bài toán thấm đề cập ờ trên là tính chất

phu thuộc vào kích thước mẫu L khi L -> co của khối lượng đám thấm tới hạn

M{L) =< Aí(L)>, tức là giá trị trung bình của tổng số các nút thuộc về đám thấm

lớn nhất tại ngưỡng thám. Mandelbrot [55] là người đầu tiên đưa ra ý tưởng sau và

hiện nay được thừa nhàn rộng rãi: đám thấm tới hạn mó tá cấu trúc fractal và khối

lương đám thấm liên hệ với L như sau:

104

M{L\_

(5.7)

oe ư

trong đó D là chiều fractal.

4 I

ỉ 4

1 5

1 6

l_ 7

l nL

Hình 5.4: Sự phụ thuộc của \nM[l)(L)

(•) và \nJỉà'](L)

(À) vào lnL cho trường

hợp p = 0.1 và các giá trị s = 0.05; 0.1; 0.2; 0.3 và OA (từ trên xuống). Hệ số

góc của các dường thẳng chính là chiêu fractal D.

Trong mô phỏng này, với các giá trị đã cho L, p và ò\ chúng tôi

tính khối

lượng đám thấm Jll cho cả 2 trường hợp LP (Min) và TP (M{,)), Trên hình 5.4 thể

hiện sự phụ thuộc của \nJlụì(L)

(•) và \nM[t){L)

(A) vào lnL cho trường hợp

== 0. Ì và các giá trị của mật độ tạp s: s - 0.05: 0.1; 0.2; 0.3 và 0.4 (từ trên

xuống). Các đường thẳng (đườn£ nét liền của LP và đường nét đứt của TP) cho thấy

là trong tất cả các trường hợp được nghiên cứu, các điếm mò phòng rất phù hợp với

105

hệ thức (5.7) của Mandelbrot. Điều thú vị là chiều fractal D - biểu thị bằng hệ số

góc của các đường thẳng - là như nhau cho cả 2 trường hợp LP và TP với mọi s được

xét. Từ hình 5.4, chúng ta xác định đươc giá tri D = 1.94 ± 0.04.

(a)

(b)

(c)

(d)

Hình 5.5: Ví dụ vé đám thấm tới hạn cho các mẫu với L = 400 và p= 0.1.

(a) và (c) LP với s = 0.1 và 0.3; (b) và (d) TP với s = 0.1 vã 0.3 rương ứng.

Chú ý rằng, với mọi mẫu kích thước hữu hạn L, như đã thấy trên hình 5.4,

Í

khối lượng M[

)( L) cùa TP luôn lớn hơn khối lượng MỤ){L)

của LP. Điều này được

minh hoa rõ qua các đám thấm vẽ trên hình 5.5a (của LP) và 5.5b (của TP) ứng với

s = 0A hoặc trên hình 5.5c (của LP) và 5.5d (cùa TP) cho trường hợp s = 0.3: Tuy

nhiên, điều quan trọng là trong tất cả các trường hợp được nghiên cứu thì cả hai khối

lượng đám thấm cùa LP và TP với cùng một mẫu kích thước L đều có chung giá trị

của số mũ D trong phương trình (5.7).

106

Vậ y, với cả 3 đặc trưng (chỉ số thấm K bán kính thấm rc(s) và chiều fractal

D\ kết quả mô phỏng của chúng tôi trong các hình vẻ 5.2 - 5.4 cho trường hợp

p = 0.1 đã chỉ ra rằng: đối với mẫu vỏ hạn, hai chiều thấm dọc (LP) và thấm ngang

(TP) là tương đương nhau, tức là hệ có thể coi như hộ 2 chiều thấm đẳng hướng với

mọi s.

Chúng tôi cũng đã thực hiện những tính toán tương tự cho một số giá trị khác

của p trong khoảng: 0. Ì < p < 0.2 (trong các hệ thực tế, khoảng cách giữa các dây

cạnh nhau luôn lớn hơn nhiều so với khoảng cách trung bình giữa các nút trong mót

dây [133]). về mặt định tính, các kết quả thu được là tương tự với kết quả của

trường hợp p = 0.1 như đã trình bày trên các hình 5.2 - 5.4. Tất cả đểu xác nhận

một giả thuyết chung về sư biếu hiện của hệ 2 chiều đẳng hướng thấm trong hệ vô

hạn chí với một chí số V cũng như một giá trị D cho tất cả mọi s, cho cả LP và TP.

Một điều đáng ngạc nhiên là với sai số 3%, giá trị cả 3 đặc trưng

(v, rc(s), D)

dường như không nhạy cảm với sự thay đổi của p trong miền giá trị khảo sát dù các

bán kính thấm giới hạn r ^ ' ^ z. ->oo) và mật độ tới hạn SC(L) đều phụ thuộc rất rõ

vào p (xem hình 5.6 dưới đây). Vậy, trong khi bán kính thấm phụ thuộcvào cả 2 yếu

tố p và s, thì chỉ số thấm ự* 1.41 ± 0.04 và chiều fractal D * 1.94 ± 0.04 có thế

được coi là tổng quát, ít nhất là trong miền các tham số đã nghiên cứu.

5.3.2 Thảo luận

Qua số liệu mô phỏng thu được (trên hình vẽ 5.2 - 5.4 và cả tính toán với các

giá trị khác của p và s không vẽ trên hình) chúng tôi đưa ra một số đề xuất:

1) Tổn tại chỉ một giá trị chỉ số tới hạn và chỉ một chiều fractal không phụ

thuộc vào hướng thấm (LP hoác TP), vào mật độ tạp s trong khoảng 0 < s < Ì và vào

p trong khoảng giá trị được quan tâm 0. Ì

2) Mặc dù đối với hê hữu hạn, bán kính ngưởng thấm theo chiều ngang

ra[t)(L)

luôn lớn hơn bán kính ngưỡng thâm theo chiều dọc «[i*(L) nhưng đối với

hê vô han. hai bán kính này trùng nhau /-, m^ÌL

->QC) = <>(L - X O) và rc giảm

107

khi p và s tâng. Vậ y, trong hệ vô hạn. với miền giá trị p và s cho trước thì thấm

ngang và thấm dọc tương đương nhau - các đạc trưng v% D, bán kính ngưỡng thấm,

tương ứng trùng nhau. Nói cách khác, hệ 2D trớ nên thấm đắng hướng mạc dù có sự

bất đẳng hướng về cấu trúc.

Để hiểu rõ những kết quả tìm được. chúng tôi giả thiết một các tống quát

rằng, trong hệ vô hạn, về phương diên thấm, tính bất đẳng hướng không liên quan

tới cấu trúc topo của mòi trường mà liên quan tới quy tắc phát sinh đám thấm [44]

(tính bất đắng hướng cùa mỏi trường bị trung bình hoa khi kích thước cùa hệ mở

rộng tới vô cùng). Trong một mõi trường đáng hướng 2 chiều đồng nhất, như đã biết,

hai quy tắc khác nhau, chảng hạn - quy tắc thấm tròn (circle) (thấm đẳng hướng) và

quy tắc thấm tiến (forward) (thấm định hướng) - sẽ dẫn tới hai lớp thấm khác nhau,

được đặc trưng bởi các ơiá trị vvà. D khác nhau. Cụ thế là: với thấm đẳng hướng có

1/ = ỰQ = 4/3 và D = Dồ =91/48 (đây là các giá trị chính xác [72]), với thám định

hướng có Vị, * 1.73 và V, Si 1,1 [31]. Trong mô hình đang xét, mặc dù hệ là bất

đẳng hướng nhưng quv tác phát sinh đám thấm là đẳng hướng (thấm tròn) và đổng

nhất cho cả LP và TP. bới vậv cả hai loại thấm ngang TP và thấm dọc LP thuộc về

cùng một lớp, có cùng V và cùng D. Bản chất (chẳng hạn, cấu trúc ngoài) của hệ

đươc thế hiện qua giá trị các đại lượng này: 1/33 1.41 và D * 1.94. ở đây chúng tôi

không giải thích định lượng sự khác nhau giữa các giá trị K và D tìm được trong mô

hình nàv với giá trị v{) và Do đã nêu ớ trên, mà chỉ giả thiết ràng chúng có thể liên

quan tới cấu trúc topo khác nhau của hai hệ tương ứng. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng

nhận thấy ráng các giá trị V và D tìm được không trái ngược với hệ thức thấm nổi

tiếng: D = d - p iv trong đó ả- 2 và (3- 5/36 [68].

trong hệ vò hạn, chúng tôi có một số ước lượng Còn về bán kính thấm rc(s)

sẽ gần sau. K hi s gán bằng Ì, hệ có thể xem như gần đáng hướng, và vì vậy, rc(s)

đến giá trị 1.19 - là giá trị xác định đươc từ hệ thức thấm /zrj = Bc với Bc = 4.5

trong bài toán thấm hình tròn [105]. Trong giới han ngươc lau khi s -> 0. bán kính

thấm r.{s) sẽ băng khoảng cách giữa các dây canh nhau và băng Up (ví du:

108

Hp = lo với các số liệu trên hình 5.3). Vậ y, thúc tế, miền giá trị 1.19 < rịs)< p~l

đã được quan sát trong mô phòng (trong hình 5.3 ứng với p- o.ỉ).

Ì

0.8

0.6

3

va

0.4

0.2

0

0.004

0.008

0.012

L1

Hình 5.6: Sự phụ thuộc vào kích thước của mại độ tới hạn SC(L) cho hệ hữu hạn ứng

vói một số giá trị của p (từ trên xuống): 0.05, OA, 0.2.

Bây Ơ1Ờ, vấn đề đặt ra là, nếu không có sự chuvển của bán kính thấm trong hệ

vô hạn thì liệu có sự chuyển nào trong hệ hữu hạn không? Xuất phát từ điều này.

chúnơ tôi tiến hành nghiên cứu xem có sự chuyến cùa bán kính thấm không trong

trường hợp kích thước mẫu L từ 100 < L < ỉ000 với ọ cho trước khi cho mật độ tạp s

thay đối. Cần lưu ý ràng, độ dẫn nhảy được xác định chủ yếu bới bán kính thấm. Kết

109

quả mô phỏng cho thấy, đối với mỗi giá trị của u thực sự có tổn tại mật độ tới hạn

thì <àjỊ}{L) > ^ ' ( l ), còn với

sC{L) phụ thuộc vào kích thước: với mọi s < Sc(L)

s > SC(L) thì hai bán kính thấm trùng nhau. Tất nhiên, mật độ SC(L) cũng phụ thuộc

vào p (hình 5.6). Nói cách khác, thấm trở nên đắng hướng trong hệ vô hạn - trùng

hợp với kết quả ở hình 5.3. Trong các hệ hữu hạn, tính bất đẳng hướng trong cấu

trúc mòi trường, trong điều kiện biên hoặc trong mò hình mẫu [130], có thể gây nên

ảnh hưởng khác nhau tới quá trình thấm theo các hướng khác nhau, và do đó, dẫn tới

các bán kính thấm tương ứng khác nhau. Chúng tôi giả thiết rằng, thảo luận trên đây

không chí đúng với hệ ĩ chiều mà những kết luận chính còn có thể mò rộng để áp

dụng định tính cho hệ 3 chiều, mà ở đó, thậm chí còn có nhiều hơn sự lựa chọn quá

trình thấm theo bất kỳ hướng nào.

Xét về mật thực nghiệm, đối với hệ hữu hạn, sự chuyển đổi chiều trong thấm

có thể biểu hiện, chẳng hạn, trong sự phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn nhảy bước biến

đổi Mott: Ơ"(T)GC exp[-(7*0/TỴ] với X phụ thuộc vào chiều không gian [89, 123].

Reedijk và các đổng tác giả [88] đã quan sát thấy sự chuyển rõ ràng của ơịT) từ chế

độ gần một chiều (quasi-1D) với X = 1/2 [86] sang chế độ 3 chiều với X = 1/4 ớ

polymer dẫn PMBTh pha tạp FeCụ với mức pha tạp c tảng từ c < Co = 0.12 đến

c>cữ. Một điều chắc chắn là. sự chuyển này gây ra bới sự tăng liên kết giữa các

dây của mẫu.

Về lý thuyết, những tháo luận rộng rãi về sự phụ thuộc nhiệt đô của dẫn nhảy

trong các hợp chất bất đẳng hướng gần một chiều đã có từ hàng tháp ki nay [86,

102]. Gán đây nhất, Zvyagin [133] đã phân tích dẫn nhảy trong hệ tương ứng với

trường hợp giới hạn s - 0 của mô phỏng mà chúng tôi thực hiện. Samukhin và các

đổng tác giả [94] đã đề xuất mò hình lưới fractal đế mô tả dẫn phi kim loại trong các

polvmer dẫn. Trong tiết 5.5 chúng tôi phát triển mô hình thấm trong hình 5.1 thành

mỏ phỏng Monte-Carlo cho độ dẫn V RH như hàm của nhiệt đô. Còn trong tiết 5.4

dưới đây sẽ trình bầy mô phóng dẫn nháy V RH trong các hệ một chiều hữu han. Với

đặc thù riêng, vấn để dẫn nhảy V RH trong các hệ một chiều hữu hạn là rất thời sự về

mặt công nghệ, đồng thời cũng còn nhiều tranh cãi về mặt lý thuyết.

110

5.4 V RH T R O NG HỆ MỘT C H IỂU HƯU HẠN

Trong phần này đề cập đến một giới hạn của mô hình, đó là hê rút lại chỉ còn

một dây hữu hạn. Biếu thức định luật Mott tống quát cho hệ ÌD vô hạn có dạng [63]:

(5.8)

P(T) = p0 exp(r0 IT)m,

r0 =

fixkềg£*.

Tuy nhiên, không thể áp dụng trực tiếp định luật tống quát (5.8) cho trường

hợp Ì chiều (ID). Kurkijarvi [46] là nguôi đâu tiên chỉ ra ràng, do sự phân kỳ cùa

yếu tố không gian đối với dây đơn vô hạn, ở nhiệt độ gần không (T -> 0) dạng tiệm

cận của sự phụ thuộc pỢ)

là:

p(T) = pcpxpỢiỉT)

,

(5.9)

và a = 1/4. Bằng việc tối ưu hoa tốc độ nhảy trong (r - £)-không

với 7^ = aịkHgữậ

gian, Raikh và Ruzin [86] sau đó cũng thu được biếu thức (5.9) nhưng với a

-1/2.

Giá trị a = 1/2 cũng tìm được bới tác giả của [133].

Chú ý là biếu thức (5.9) cho p(T) được đề xuất cho dây đơn vò han ớ giới han

nhiệt độ thấp. Đối với những dây đơn hữu hạn, Brenig và các cộng sự [15] chi ra sự

T'iỉ2,

nhưng điện trở lại phụ

phụ thuộc nhiệt độ pự) có dạng M on \n(p(T)/p0)oz

thuộc vào chiều dài L của dây: p = p(T, L). Nghiên cứu vấn đề này bằng phương

pháp thấm, Lee và cộng sự [48, 100] chí ra ràng ớ gần đúng bậc nhất, sự phụ thuộc

vào chiều dài L và nhiêt độ của điện trở V RH trong các dây hun hạn có thể biểu diễn

dưới dạng:

< ln(/7/A)>= V, mm[ìn(2Lỉệ)]ỉn

,

(5.10)

trong đó: < ... > ngụ ý là trung bình theo toàn bộ. mà trung bình này được giả thiết

Biểu thức tương tư

là tương đương với trung bình theo thế hoa [48]; T2 - {kHgữặy'.

(5.10) cũng được Hunt [39] tìm ra sau đó ít làu. chỉ với khác biệt nhỏ trong đối số

của hàm log: thừa số 2 được thay bới € — 2.718... Vậy, theo phương trình (5.10), đối

với các dây có L/ậ cho

trước, điện

trớ V RH phụ

thuộc vào nhiệt độ:

> QC T'ìn

. Mạt khác. với nhiệt độ đã cho thì sư phụ thuộc vào chiều dài

< \n(plpfl)

IU

của điện trở V RH lại có dạng: < l n( / > / / 70) > a c [ l n ( 2 L / £ ) ] "2. Biểu thức (5.10) sẽ

tiến tới biểu thức (5.9) của Kurkijarvi khi L rất lớn và nhiệt độ đủ thấp [39].

Theo Lee [48], trong trường hợp giới hạn của các dây 1D hữu hạn, hệ nhảy

không tự trung bình hoa. do đó nếu chỉ tính trung bình theo cấu hình thì không so

sánh được với thúc nghiệm. Đế các đai lượng tìm được có thế so sánh được với kết

quả giải tích và thực nghiệm, Lee đề xuất cần phối hợp trung bình theo thế hoa và

theo cấu hình. Trung bình theo thế hoa bắt nguồn từ một thực tế là kết quả đo thực

nghiêm được trung bình theo điện áp cổng [49, 100]. Trong phần này, tất cả các giá

của hệ 1D được tìm theo cách sau. Trước hết, với mỗi cấu

trị trung bình kép <ĩ]c>

hình, chúng tối tính trung bình rjc theo 200 giá trị ụ. cách đều nhau từ -0.4 đến 0.4.

Sau đó, các ngưỡng thấm đã được trung bình thế đó sẽ được trung bình tiếp theo các

cấu hình nút ngẫu nhiên. Chú ý rằng, với một giá trị ỊẤ đã cho thì ngưỡng thấm thăng

giáng mạnh từ cấu hình này sang cấu hình khác (mạnh hơn thăng giáng theo giá trị

jU đối với từng cấu hình nút đã cho). Tuy nhiên, sau khi trung binh với 200 giá trị ụ

theo cấu hình lại thường rất nhỏ. Vì vậy, đế thu được

thì thăng giáng của < ĨỊC >

giá trị trung bình kép không cần thiết phái tính theo nhiều cấu hình. Chúng tôi

đã thúc hiện tính toán cho các mẫu của hệ ID với chiều dài: L = 1000. 2000. 4000,

8000, 16000. 32000 và 64000. Số cấu hình nút ngẫu nhiên được sử dụng đế tìm các

đại lượng trung bình kép khoáng từ 50 đến 200 (tý lệ nghịch với Lị Dưới đày trình

bầy kết quả mô phóng.

Trên hình 5.7 là kết quả tính đại lương < rjc >=< \ n ( p / p , )> cho các dây

đơn hữu hạn với một số giá trị L ệ khác nhau trong một dải rộng của nhiệt độ

t = k T/W. Trong tất cả các mẫu nghiên cứu đều thấy có chung tính chất điên hình

về sự phụ thuộc vào nhiệt đỏ của <ĩ]c> là: trong một khoáng nhiệt độ nào đó, các

điếm mô phỏng tuân theo quy luật cc r"2

(mò

tá ẵần

đ ú n8 b ởl

đ ườ ns

thẳng nét liền trên hình 5.7), sau đó đô dóc giảm dần khi nhiệt đô thấp hơn (đường

nét đứt). Như vây. kết quá mò phóng đối với dây đơn hữu hạn. một mặt xác nhận sự

phụ thuộc T~ịí2

của điện trờ vào nhiệt độ như ờ phương trình (5.10), mặt khác cũng

112

cho thấy rằng, miền nhiệt độ - nơi quan sát được sự phụ thuộc r"2 này - không

mở rộng tới giới hạn nhiệt độ không (T = OK) như giả thiết trong [48, 100], mà chỉ

Ị

Ị

1

1

1—

1

đến giới hạn nhiệt độ thấp fc, ví dụ tại mũi tên ở đường cong dưới cùng của hình 5.7.

0 Ị 0

Ị 20

ì 40

1 60

1 80

100

t-V2

Hình 5.7: Dây hữu hạn một chiều: < rjc >=< ln(pị Po) > phụ thuộc rm với một số giá

trị (L ệ): (64000, 20); (16000, 20); (4000. 20); (1000. 20); và (1000, 50) ị nì trên

xuống) Đường thắng liền nét ứng với định luật t 'm (công thức 5.10). Đường nét dứt nối

các điểm mô phỏng nằm ngoài miền í""2

113

Nhiệt độ te phụ thuộc rỏ ràng vào cả kích thước L cùa dây và độ dài định xứ ộ với

giá trị ệcho trước. tc tăng khi L tăng và ngươc lại, còn với L cho trước thì te tăng khi

ệtàng. Điều này thể hiện rõ ở các đường cong vẽ trên hình 5.7: bốn đường trên cùng

ứng với mẫu mô phỏng có cùng giá trị ệ nhưng L khác nhau; hai đường dưới cùng

ứng với mẫu có cùng L = 1000 nhưng với giá trị £khác nhau, là ệ= 20 (x) và ặ= 50

(A). Có thể hiểu được một cách định tính sư tổn tại của nhiệt độ thấp giới hạn tc nói

trên dưa vào biểu thức dưới đây về khoảng nhảy điển hình, ứng với miền VRH trong

phương trình (5.10) [48, 105]:

r>*ịỉ{TJT)U2

(5.11)

Hệ thức này có nghĩa là rh tăng liên tục khi T giảm. Tuy nhiên, do rh không

thế vượt quá giá trị kích thước L của mẫu nên sẽ tổn tại giá trị nhiệt độ Tc sao cho

với mọi T

thì khoảng nhảy rh - bị giới hạn bới L - sẽ thôi không tăng nữa dù T

tiếp tục giảm. Nghĩa là. với T < Tc thì hệ thức (5.11) không còn đúng nữa vì dẫn khi

đó không còn là "dẫn nhảy bước biến đối" và không phải là đối tượng quan tâm cùa

phương trình (5.10). Điều cẩn chú ý ở đây là, mặc dù khoảng nhảy bị giới hạn bởi L

trong miền nhiệt độ T < Tc, điện trở cua mẫu vẫn tăng khi nhiệt độ giảm là do số

hạng (oe T~x) trong phương trình (5.2) (xem đường nét đứt trên hình 5.2). Ngoài ra,

nhân tứ ệ trong hệ thức (5.11) giúp giải thích tại sao Te càng cao khi độ dài định xứ

càng tăng.

Từ thực tế khoáng nhảy bị giới hạn bởi độ dài L của dây khi T < Te như đề

cặp ở trên, chúng tôi dề xuất hệ thức đơn giản sau cho Tc:

]n{2L/ệ).

TcxT2{LlệỴ

Hệ thức này viết lại dưới dạng không thứ nguyên trong mô phỏng như sau:

r, ocệư2ìn(2L/ệ),

(5.12)

ở đây r, = w/(k ệ). Hệ thức (5.12) đươc so sánh với số liệu mô phỏng trên hình vẽ

lồng trong hình 5.7. ớ đó giá trị mò phong te cĩươc biếu diễn phu thuôc vào đai lượng

q{L ặ)=ệL~2 \n{*>Llặ) cho các mẫu mò phóng có L và £ khác nhau. Rõ ràng là.

114

mặc dù có sai số tương đối lớn nhưng các điểm mô phỏng vẫn nằm dọc theo đường

thẳng, điều này xác nhận sự phù hợp của hệ thức (5.12). Hệ thức này rất hữu ích

trong việc quan sát định luật (5.10).

25

0

ý

20

ổ

A

V

15

7 7

2.4

2.6

2.8

1/2

[ l n ( 2 U ? )l

được vè theo [ìn(2L/ệ)] ở nhiệt dô Hình 5.8: Hệ ỈD hữu hạn: < 7JC >=< ỉn(pỉp0)>

t - 0.002 thuộc miên t 'm . Các điểm mô phỏng íừỉg với các mẫu có L= 1000. 2000,

4000, 8000,16000, 32000 và 64000 và với ậ= 20 (•) vả c=50 (A)

M ột hệ quá nữa có thế thấy trong hình 5.7 liên quan tới câu hòi là. đô dài dây

mô phòng phái như thế nào thì có thể quan sát được định luật (5.9) cho hệ mót chiều

115

vô hạn [48]. về cơ bản, chỉ có thể quan sát định luật này trong giới hạn nhiệt độ

T -> 0 [46]. Tuy nhiên, như đã thảo luận ở trên, kết quá thế hiện trên hình 5.7 cho

thấy rõ rằng cơ chế dẫn nhảy bước biến đổi ở dây hữu hạn là không hiện thực tại bất

cứ nhiệt độ thấp nào. Bơi vậy. những kết quả mô phòng đưa chúng tôi đến giả thiết

rằng, thực tế là không thể quan sát được biểu hiện kích hoạt (5.9) ở sự phụ thuộc

nhiệt độ của điện trở V RH trong bất kỳ dây mỏ phỏng hữu hạn nào.

M ột hướng cần nghiên cứu khác cua biểu thức (5.10) là sự phụ thuộc của

điện trở V RH vào chiều dài dây, được thế hiện trên hình 5.8. ở đây đại lượng

được vẽ theo [\n{2Llặ)]ul

ớ nhiệt độ ĩ = 0.002, thuộc miền

=

f1 / 2. Số liệu sử dụng trong hình 5.8 này chính là số liệu trong hình 5.7 của các dây

có chiều dài từ 1000 đến 64000, với các độ dài định xứ là £ = 20 (•) và £ = 50

(À).Trong cả hai trường hợp ứng với hai giá trị của ệ đều thấy rõ là, các điếm mô

cho bởi

phỏng đều tuân đúng theo hệ thức tuyến tính < tn(yơ/p0) >cc [\n(2L/ậ)]ỉn

phương trình (5.10). Tóm lại, kết quà mô phỏng của chúns tôi trên các hình 5.7 và

5.8 xác nhận sự phu thuộc của điện trỏ vào cả 2 yếu tố nhiệt độ và độ dài được mỏ tả

bởi công thức (5.10), nhưng chí ở trong miền nhiệt độ T > T trong đó Tt. phụ thuộc

vào L và ặ Tất nhiên, sự phụ thuộc của điện trở vào chiêu dài dây, như thấy trên

hình 5.8, chỉ có thể hiện thực ớ miền nhiệt độ fm và biểu thức (5.10) chỉ đúng cho

các dây có L/ậ đủ lớn. M ột câu hỏi được đặt ra là quy luật f1 /2 của dây đơn có còn

đúng không trong các hệ gom nhiều dây liên kết với nhau. Đó là vấn đề được trình

bấy trong tiết cuối cùng 5.5 dưới đây.

5.5 V RH T R O NG HỆ H AI C H I ỀU BẤT ĐANG HƯỚNG: " C H U YỂN Đối CHIỀU ?"

Trước khi thực hiện mỏ phòng trong trường hợp ĩ chiều, chúng tôi có nhận

xét là do chỉ quan tâm đến sự phu thuộc vào nhiệt độ của điện trớ nên có thể viết lại

đ ó:

hệ thức (5.2) dưới dạng đơn giản hơn là: nil 3 (í / 2hị =1

- õ I + Eiị /'

t r o nỗ

E -E

. và khi đó ta giải bài toán

ị)/2 và t = (ệ/2)kHT/w

+ E - JU

Eii={\Ei-jU

116

thấm tương ứng 7* < Tj'c. Chiều dài định xứ giờ đây chỉ đem giản là tham số ẩn. Việc

viết lại hệ thức (5.2) như ờ trên thực chất chỉ là đổi tuyến tính thang đo nhưng sẽ

giúp chúng ta tránh được những hệ quá lớn trong tính toán vì kích thước mẫu thường

là rất lớn: L» ệ, chẳng hạn như, một mẫu ứng với các giá trị L = 1000 , CỈ = ÌQ và

s = 0.2 đã chứa tới 3.lo5 nút. Cần nhấn mạnh ràng ở đây ta không quan tâm tới giá

trị của điện trớ mà chỉ chú trọng tới sự phụ thuộc vào nhiệt độ cùa điện trở, còn sự

phụ thuộc này Lại không bị ảnh hưởng bởi việc thay đối tuyến tính thang đo như trên

(định lý Sinai - xem chương 5 của [105]). Tất nhiên, ở đây chiều dài định xứ là nhu

nhau cho cả dẫn theo chiều dọc và ngang.

Cán lưu ý rằng, tất cá những gì chúng tôi đã thảo luận trên đây liên quan tới

bài toán TỊ -thấm cũng áp dụng được với ì]' -thấm. Hơn nữa, sự khác nhau quan

trọng giữa (/7, t) và (rj\t*)

là sự thay đổi thang đo. nén từ đây trở đi đế đơn giản

chúng ta bỏ qua kí hiệu o và giả thiết là cả ĨJC và / được tính với thang đo tuy ý.

Trước

tiên

ta nghiên cứu đồng

thời sự phụ

thuộc nhiệt độ cua 2 số mũ

< 7^Ị'"LỈ >=< l n ( / ?t t L L )/P o )> và độ lớn của chúng, sau đó phân tích vai trò của các

hiệu ứng kích thước hữu hạn.

Trên hình 5.9, cho thấy sự phụ thuộc vào lnt của đ ại lượng In< 77^. > (kí

x > (kí hiệu bới 0 và A) cho mẫu L = 100 nhưng với mật độ

hiệu bới • và x) và In <7t

tạp s khác nhau: 5 = 0.1 (hình 5.9a), £ = 0.4 (hình 5.9b). Để xét ảnh hướng của

khoảng cách ả giữa các dây, ờ mỗi mật độ tạp chúng tôi lại tính rfc và ĩ fc với:

ả = 10 (những điếm ờ phía dưới • và 0 ), và ả = 20 (những điểm ờ phía trẽn X và A).

Tính chất quan trọng nhất quan sát đươc trong hình 5.9 này là, trong mọi

trường hợp được nghiên cứu, các điếm mỏ phòng cho 7C

X và ĩ fc ở nhiệt độ thấp đều

có chung quy luật là tuân theo hệ thức tuyến tính In < 7]fL) >= - v h ư. Tuy nhiên, hệ

số V - xác định bới độ dốc của các đường thẳng, đ ối với vị và 7" lại có sự khác

nhau (đường nét liền ứng vói ni- • đ ườ nể nét đứt ứng với n: )• Đổi với trường hợp 77-

(đườn* nét đút), giá trị V đều nằm trong dải hep VL = 0.325 ± 0.005 với mọi ứ và s.

117

Trong khi đó, với trường hợp rfc (đường nét liền), giá trị của vt giảm nhẹ khi ả

giảm và/hoặc s tăng. Ta có thể so sánh: với s = 0.1 (hình 5.9a) thì vầ * 0.38 (khi ả

= 20) và vt * 0.36 (khi J = 10), còn với s = 0.4 (hình 5.9b) thì vt a 0.34 (d = 10).

CA

~ 2.2

2.0

Ạ

1.8 !Ẹ ĩ 3 ẳ

1.6

ũ V é

1.4

1.8

Lổ

1.4

1.2

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -10 -0.5

In t (arbitrary shift)

Hình 5.9: Sự phụ thuộc vào Im của đại lượng In < 7jị > (kí hiệu bài • và x) và

ỉn<7j1>

(kí hiệu bả o và ả) cho mẫu L = 100 nhưng với mật độ tạp s khác

nhau: s = 0.1 (hình 5.9a), s = 0.4 (hình 5.9b)

Đó là cơ sở đế có thế tin rằng đối với các dày đơn hữu han. giá trị vt sẽ tiến đến 1/2

118

khi sr -> 0 và ã rất lớn. Mặt khác. sự tâng của s không chi làm giảm độ lớn của chính

V, mà còn làm giảm độ lớn tương đối giữa vn và vx: trên hình 5.9a với s = OA thì

thấy rõ là rì > rjị, còn trên hình 5.9b (j = 0.4) thì các điểm của 7^ và ĩ fc với

cùng d là gần như trùng nhau, và cùng tuân theo định luật M on (đường liền nét vẽ

bên canh để so sánh), đạc biệt là ở miền nhiệt độ thấp.

-3

-2.5

-2

-Ì

-0.5

-1.5 (arbitrary shift)

In t

H ì nh 5.10: Kết quả cho mẫu L = 1000, ả = lo, với nồng độ tạp s khác

nhau: J = 0.1, 0.2, 0.3 và 0.4 (từ trên xuống)

Tất cả kết quả có trên hình 5.9 với L = 100 cũng đã được quan sát thấy trong

các mẫu mó phỏng với kích thước lớn hơn, đến L = 1000. về mạt định tính. sự phụ

thuộc của 7U J l) như là hàm của nhiệt độ là như nhau. nhưng khi giá trị L càng lớn thì

119

vai trò cùa á và s cũng như sự khác biệt giữa 2 số mũ trở nên yếu hơn. Chàng hạn.

kết quả cho trường hợp L = 1000, ả =

lo nhưng với giá trị s khác nhau:

S = 0.1;0.2;0.3và0.4(từ

trên xuống trên hình 5.10). Kí hiệu • và o cho các điểm

mô phỏng tương ứng rjf và 7W v ới t ừ ng g iá

t rị của ^ C h

ú

ng

ta có

t hể

t hấy

rõ

t

r ên

hình 5.10 là, trừ trường hợp s nhỏ nhất (s = 0.1), các giá trị mô phòng cùa TỊ® và

r j f] thực tế trùng nhau tại mỗi nhiệt độ và cùng tuân theo định luật Mott (các đường

thẳng có hệ số góc » -1/3). Do đó, một cách tương đối, có thể giả thiết rằng, đối với

các mẫu lớn như L = 1000 và ả = lo thì điện trở dọc (LR) và ngang (TR) có thể xem

như bằng nhau, tức là hệ trớ thành đẳng hướng, khi mật độ tạp s có giá trị khoảng từ

0.2 trở lên.

Cũng như kết luận đã nêu ra trong 5.4, tính chính xác tỉ số TJc/ffc v ới đ cho

trước, khi nồng độ s thay đổ i, chúng tôi khảng định rằng: với mỏi mẫu kích thước u

thì rjc /7Jc > Ì và

luôn tồn tại một nồng độ tạp tới hạn Se mà với mọi s < sc

vn> V « 1/3. ngược lại, với mọi s > Se thì hai số mũ của điện trờ sẽ trùng nhau:

7c /7"

-

l và vn =VL W 1/3. Một cách tống quát, kết quá mô phỏng của chúng tôi

cho thấy: với mỗi mẫu kích thước hữu hạn, đều tổn tại một nồng độ tạp tới hạn, ở đó

độ dẫn V RH chuyến từ chế độ bất đắng hướng sang đẳng hướng cùng với biểu hiện

Mott của sự phụ thuộc nhiệt độ cho hệ 2 chiều r~"3. Đạc biệt, điện trở dọc V RH

của mẫu hữu hạn có biểu hiện chuyến từ dạng 1D hữu hạn - tức là ĩ fc X r"" với

ựn * 1/2 như phương trình (5.10) tới biểu hiện Mott 2D với Ì/,, 231/3. Chúng tôi cho

rằng, trên cơ sớ sự chuyển đó có thể hiểu được sự chuyển đối chiều gây bởi các tạp

chất đã quan sát được trong dẫn nhảy của nhiều hợp chất [89, 94].

Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng sư chuyển chiều đó chí là tính chất của hệ hữu

hạn. Đế kiếm chứng điều này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát 2 vấn đề:

1) Nồng độ tới hạn Se phụ thuộc vào L như thế nào?

X /7" thay đối ra sao khi L thay đổi?

2) V ới nồng độ tạp s cho trước, tỉ số 7C

Vấn đề thứ nhất đã được chi ra trẽn hình vẽ lổng trong hình 5.10. Do sc giảm

đơn điệu khi L tâng nén ta có thể giả thiết rằng ớ giới han L -> co, dù s nhỏ đến đâu

120

thì mọi hệ luôn đẳng hướng và tuân theo định luật Mott r ~ "\ Ở hệ hữu hạn, theo

các hướng khác nhau thì tính bất đẳng hướng trong cấu trúc vật liệu, trong kích

thước mâu hoặc trong điều kiện biên, sẽ gây nên ảnh hường khác nhau lên độ dẫn

[72]. Tuy nhiên, trong hệ vô hạn, tính bất đẳng hướng bị trung bình hoa theo tất cả

các hướng, do đó sẽ tạo ra sự đắng hướng của dẩn thấm.

1.03

1.02

=

Q

1.01

a ú >

- AT

1.0

0.004

0.006

0.002

Hình 5 l i- 7v số ĩ]-1 In - phụ thuộc vào L'y cho các mẫu có (ỉ = 10 và với s khác nhau

í = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4

JTiwwigJ

Vấn đề thứ hai được trình bày trên hình vẽ 5.11: đổ thị biếu diễn sự phụ thuộc

giữa tý SỐ Tít li'- v à0 L_l

c h0 c ác m ảu có d = 10 và v ới * k h ác

nhau'

121

X /77".

s = 0.1;0.2;0.3;0.4(từ trên xuống). Rõ ràng là, với các giá trị s trẽn, tỷ số 7C

đều tiến đến Ì khi L -» co. Điều này có nghĩa là, hai điện trở V RH - TR và LR -

trong hệ vô hạn luôn trùng nhau, tức là hai hướng dẫn nhảy luôn luôn tương đương

bất kể s là bao nhiêu. Vậ y, cả hai kết quá đã trình bày trên hình 5.10 và 5.11 thống

nhất rằng sự chuyển quan sát được chỉ đơn giản là hệ quả của hiệu ứng kích thước

hữu hạn. Không có sự chuyển đổi chiều nào liên quan tới độ lớn tý số ĩ ì ị ị ĩ fc cũng

như sự chuyển đ ổi chiều trong biểu hiện phụ thuộc nhiệt độ của LR 77" trong hệ vô

hạn - nơi độ dẫn V RH luôn là đẳng hướng và tuân theo định luật Mott 2 chiều.

Cuối cùng, chúng tôi cho rằng, mặc dù những kết quả nhân được ở chương 5

chỉ luận giải đ ối với V RH M o n, nhưng về mật định tính, các kết quả này cũng có

thể áp dụng cho V RH với khe Coulomb, mà V RH 2D này đã được thảo luận rất chi

tiết trong [73,74, 121].

Đế kết thúc chương này, chúng tỏi tóm tắt những kết quá đã thu được:

ì) Sự thấm được mô phỏng trong hệ hai chiều gồm các dây song song cách

đều nhau. liên kết với nhau bới các tâm tap thưa phân bố ngẫu nhiên trong khoáng

giữa các dây. Qua so sánh kết quá mô phỏng thấm dọc theo dây (LP) và thấm ngang

vuông góc với dây (TP), chúng tôi thấy ràng:

ỉ) Trong hệ hai chiều vô hạn, hai hướng thấm là tương đương, tức là: hộ thấm

hai chiều đắng hướng với mọi giá trị của mặt độ dây p và mật độ tạp s.

2) Trong hệ hai chiều hữu hạn. tồn tại mật độ tới hạn sc phụ thuộc vào kích

thước, ở đó xảy ra sự chuyển trong bán kính thấm: với s < sclhì bán kính thấm TP

lớn hơn bán kính thấm L P. còn khi s > í,.thì hai bán kính thấm trùng nhau.

Để giải thích kết quả mô phòng thấm thu được trên đây chúng tòi cho rằng,

trong hệ vồ hạn, tính bất đắng hướng trong thấm không liên quan tới cấu trúc topo

của mồi trường mà liên quan tới quv tắc phát sinh đám thấm. Sư chuyến ớ bán kính

thấm nói trên trong các hệ hữu hạn có thế áp dụng đế mô tá sự chuyển đối chiều

trong sự phụ thuộc vào nhiệt độ của đỏ dẫn nháy ớ nhiều vật liệu khác nhau đã được

quan sát thực nghiệm.

122

li) Bằng mô phòng V RH trong các hệ ỈD trên MTĐT chúng tôi tính đô dẫn

V RH Ơ(T) cho các mẫu với độ dài rất khác nhau và trong miền rộng của nhiệt độ.

Kết quả nhận được, một mặt khảng định dạng phụ thuộc

bằng phương pháp lý thuyết thấm truyền thống, mặt khác chí ra giới hạn nhiệt độ có

thể áp dụng các biểu thức lý thuyết này. Kết quả này là cơ sở trong xác định miền

nhiệt độ đế có thể quan sát V RH trong các hệ ÌD hữu han.

in) Phát triển mổ hình thấm 2D bất đẳng hướng thành mô phỏng độ dẫn

V RH kiểu Mott 2D. Các giá trị V trong liên hệ In p( Uj oe T~v đã được tính đối với cả

điện trở dọc (LR) f f[ ì) và điện trớ ngang (TR) fỷL) trong các mẫu có kích thước u

khoảng cách ả giữa các dây. và mật độ tạp s khác nhau, trong dải rộng nhiệt độ.

Kết quả mô phỏng cho thấy:

Ì) Với mỏi hệ kích thước hữu hạn, tổn tại sự chuyển trong độ lớn tương đối giữa LR

và TR từ chồ TR > LR đến chỗ TR trùng với LR, sự chuyển này gâv bới các tạp

trong khoảng không gian giữa các dây.

2) Khi sự chuyển xảy ra thì MỊ thay đối từ giá trị MỊ = 1/2 (dang một chiều hữu hạn)

đến giá trị Vịị = 1/3 (dang Mon hai chiều), tức là dạng chuyến đối chiều.

3) Sự chuyển nêu trên chỉ là hệ quả của hiệu ứng kích thước hữu hạn. Trong hệ vô

hạn. nơi mà dẫn nhảy V RH luôn là đẳng hướng và tuân theo định luật Mon 2D.

Chúng tôi ràng những kết quả này có thế hữu ích để mô tả sự chuyển đổi

chiều gàv bởi tạp trong dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn điên V RH đã quan

sát được ờ một số hợp chất như polymer dẫn [88, 93] hoặc silic xốp [121]. về sự

chuyển gây bới nhiệt độ [121] cũng có dang tương tự: ờ nhiệt độ tương đối cao, khi

khoảng nhảy còn khá nhỏ thì electron chỉ có thế nhảy dọc theo dày và V RH biểu

hiện như hệ 1D, trong khi đó, ở nhiệt độ thấp, khi khoáng nhảy là đu lớn thì hướng

vuông góc trớ nên dẫn điện được và V RH trớ thành 2D.

123

K ẾT L UẬN

Các kết quả chính của luận án gom:

1) Tính mật độ trạng thái electron định xứ trong lân cận mức Fermi của hệ hai

chiều có tính đến hiệu ứng chắn thế Coulomb do có mặt cổng kim loại. Kết quả

nhận được bằng hai phương pháp, giải phương trình tự hoa hợp và mô phòng hệ

trên M T Đ T, là phù hợp với nhau.

2) Nhận được biểu thức tổng quát mô tả phụ thuộc nhiệt độ của độ dẫn V RH trong

các bán dẫn vô định hình. Biểu thức nhận được, về định tính, bao các biểu thức

đã có như các trường hợp riêng, về định lượng, phù hợp với thực nghiệm hơn.

3) Nhận được biểu thức tổng quát mò tả sự phụ thuộc nhiệt độ của suất nhiệt điện

động trong miền V RH cho các hệ mất trật tự hai và ba chiều. Biểu thức đúng

trong dải rộng của nhiệt độ, bao các biểu thức của Mon và của Efros-Shklovskii

như hai trường hợp riêng ở nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp tương ứng, và do đó chỉ

ra một cách hệ thống vai trò của tương tác electron - electron.

4) Tính suất nhiệt điện động trong miền V RH cho các vật liệu vò định hình. Kết

quả nhận được mò tả tốt dáng điệu thực nghiệm sự phụ thuộc nhiệt độ cùa suất

nhiệt điện động.

5) Nhận đươc biểu thức tổng quát của độ dẫn nhảy ác vào cả tần số và nhiệt độ

trong miền tần số cao tương ứng gần đúng cặp cho các hệ hai và ba chiều. Trong

khi kết quả phụ thuộc tần số cho lại các biểu thức của Austin-Mott và Efros đã

biết ờ các giới hạn, sự phụ thuộc nhiệt độ mô tả tốt một số kết quả thực nghiệm.

6) Đề xuất một mồ hình mới cho hiện tượng thấm trong các hệ hai chiều bất đẳng

hướng mạnh. Tính các đặc trưng cơ bản của bài toán thấm (bán kính ngưỡng, chỉ

số tiêu chuẩn, chiều fractal) theo cả hai phương dọc và ngang.

7) Bằn<* mô phỏng trên máy tính điện tử, nghiên cứu thống kê độ dẫn V RH của hệ

hai chiều bất đẳng hướng mạnh trong sự phụ thuộc vào: cấu trúc vi mô, nhiệt độ

và kích thước của hệ. Đề xuất khả năng chuyển dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ từ

đặc trưng một chiều sang đặc trưng hai chiều khi tăng nồng độ tạp trong hệ kích

thước hữu hạn. Đề xuất biểu thức về giới hạn quan sát được sự phụ thuòc nhiệt

độ dạng Mott của độ dẫn V RH trong các hệ một chiều hữu hạn.

124

D A NH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG Bố

CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Đặng Đình Tới, (1999), "Về dẫn nhảy bước biến đổi trong vật liêu vỏ định hình",

Tạp chí Khoa học Đại học Quốc Gia Hà Nội, KHTN, t. XV n°4 tr. 41-46.

2. Nguyen Van Lien and Dang Dinh Toi, (1999), "Coulomb.Correlation Effects in

Variable - Range Hopping Thermopower", Phys. Letters A, 261, pp. 108-113.

3. Dang Dinh Toi. (2001), "Coulomb Correlation Effects on the high frequency

hopping conduction in disordered systems", VNU. Journal of Science. Nat. Sã., t.

XVIL a°3, pp. 38-45.

4. Nguyen Van Lien, Dang Dinh Toi and Nguyen Hoai Nam. (2002), "A continuum

percolation model in an anisotropic medium: dimensional crossover ?", Phvsica A,

316, pp. 1-12.

5. Dang Dinh Toi and Nguyên Quang Bàu, (2002), "On The Vanable Range

Hopping Thermopower in amorphous material", VNU. Journal of Science. Nat. Sà.,

t. XVIII, n°2, pp. 46-51.

6. Nguyen Van Lien and Dang Dinh Toi. "Variable Range Hopping in finite one

dimensional and anisotropic two dimensional systems", Physica B {accepted).

125

TÀI L IỆU T H AM K HẢO

Ì Abrahams E., Anderson p. w., Licciardello D. c. and Ramaknshman T. V.

(1979), "Scaling theory of localization: Absence of quantum diffution

in two dimensions", Phys. Rev. Len, 42. pp. 673 ­ 676.

2 Abrahams E„ Kravchenko s. v., and Sarachik M. p. (2001), "Metallic

behavior and related phenomena in two dimensions", Rev. Mod. Phys.,

73, pp. 251 ­ 266.

3 Abskowitz M, Le Comber p. G. and Spear w. E. (1976), "High­frequency

electrical conductivity of a­Si at low temperature", Commun. on Phys.<

24, pp. 407 ­ 411.

4 Aharony A ., Zhang Y. and Sarachic M. p. (1992), "Universal crossover in

variable range hopping with Coulomb interactions", Phys. Rev. Lett., 68,

pp. 3900 ­ 3903.

5 Aleiner I. L. and Shklovskii B. I. (1994), "Effect of screening of the Coulomb

interaction on the conductivity in the quantum Hall regime", Phvs. Rev. ổ,

49, pp. 13721­13727.

6 Allen F. R., Adkins c. (1972), "Electrical conduction in heavily doped

germanium", Phil. Mag., 26, pp. 1027 ­ 1032.

7 Ambegaokar v., Halpenn B. I., and Langer J. s. (1971), "Hopping

conductivity in disordered systems", Phys. Rev. ổ. 4. pp. 2 6 1 2 ­ 2 6 1 6.

8 Anderson p. w. (1958), "Absence of diffusion in certain random latties",

Phys. Rev., 109, pp. 1492 ­ 1505.

9 Andreev A. G., Zabrodskii A. G., Egorov s. v.. and Zvyagin I. p. (1997),

"Thermopower of transmutation­doped Ge:Ga in the region for hopping

conductivity". Semiconductors, 31, pp. 1008 ­ 1013.

0 Austin I. G and M on N. F. (1969), "Polarons in crystalline and non­

crystalline materials", Adv. Phys., 18, pp. 41 ­ 4 5.

1 Bar ­ Yam Y. and Joannopoulos J. D. (1987), "Theories of defects in

126

amorphous semiconductors", J. Non-Cryst solids, 97, pp.467­474.

12 Baranovskii s. D., Efros A. u Gelmont B. u and Shklovskii B. I. (1979),

"Coulomb gap in disordered systems: Computer simulation", /. Phys. c,

12, pp. 1023- 1028.

13 Blinowski I, and Mycielski J. (1965), "Theory of Absorption of Electro

magnetic Radiation by Hopping in n-Type Silicon and Germanium. II",

Phys. Rev., 140, pp. 1024- 1030.

14 Bottger H., Bryksin V. (1977), 'Theory of the Hall effect in the hopping con

duction regime in disordered systems", Phys. Stat. Sol. ổ, 80, pp. 569-573.

15 Brenig w., Dohler G. H„ Heyszenau H. (1973), " Hopping conductivity in

highly anisotropic systems", Phil. Mag., 27, pp. 1093 - 1099.

16 Broatbent s. R. and Hammersley J. M. (1957), "Percolation processes. I.

Crystal and mazes", Proc. Cambridge Phil. Sóc. 53, pp. 629 - 635.

17 Buhannic M. A.. Danot M, Colombet p., Dordor p., and Filion G. (1986).

"Thermopower and low-dc-field magnetization study of the layered

FexZrSe2 compounds: Anderson-tvpe localization and anisotropic spin-

glass behavior". Phys. Rev. B. 34, pp. 4790 - 4795.

18 Burns M. J. and Chaikin p. M. (1985), "Interaction effects and thermoectnc

power in low-temperature hopping", /. PỈĨVS. c. 18, pp. 743 - 749.

19 Chan H. B.. Glicofridis p. I., Ashoon R. c, and Melloch M. R. (1987),

"Universal linear density of states for tunneling into the two-dimensional

electron gas in a magnetic field". Phys. Rev. Lett., 79, pp. 2867 - 2870.

20 Chen X. and Kobayashi T. (2002), "The effect of the electron-electron

interactions on localization in one-dimensional disordered model with

long-range coưelation". Solid State Commun., 122, pp. 479 - 483.

21 Dahm A. J. (1995). "Screening of the Coulomb Gap in a Disordered Two-

Dimensional Electron System", Bull Am. Phys. Sóc, 40. pp. 86 - 90.

22 Dalton N. w.. Domb c. and Sykes M. F. (1964). "Dependence of critical

concentration of dilute ferromagnet on the range of interaction", Proc.

Phys. Sóc. (London). 83, pp. 496 - 502.

23 Davies J. H. Lee p. A., and Rice T. M. (Ỉ984). "Properties of the electron

127

glass", Phys. Rev. ổ, 29, pp. 4260 - 4271.

24 Efros A. L., Nguyen V. u and Shklovskii B. I. (1979), "Impurity band

structure in lightly doped semiconductors", /. Phys. c, 12, pp. Ỉ869­1872.

25 Efros A. L. and Shklovskii B. I. (1975), "Coulomb gap and low­ temperature

conductivity of disordered systems", /. Phys. c, 8, pp. L49 ­ L52.

26 Efros A. L. and Shklovskii B. I. (Elsevier 1985), "Electron­Electron Interac­

tions in disordered systems", ed. by Efros A.L. and Pollak M ., pp. 444­461.

27 Efros A. L. (1976), "Coulomb gap in disordered systems", /. Phys. c, 9, pp.

2021 ­2026.

28 Efros A. L. (1985), "High­frequency hopping electrical conductivity of dis­

ordered two­dimensional systems". Sov. Phys.' JETP, 62, pp.1834 ­ 1838.

29 Efros A. L„ Nguyen V.L., and Shklovskii B. I. (1979), "Variable range

hopping in doped crystalline semiconductors". Solid State Commun.. 32,

pp. 851 ­856.

30 Emeryanenko o. v., Nasledov D. N.. Nikulin E. L Timchenko I. N. (1972),

"Impurity conduction in n­type GaAs at very low temperatures". Sov.

Phys. Semicond., 6, pp. 1926 ­ 1932.

31 Feder J. (1989), Fractals, Plenum Press, New York.

32 Fritzsche H., Cuevas M. (1960), "Impurity conduction in transmutation­

doped p­xye germanium", Phys. Rev., 119. pp. 1238 ­ 1244.

33 Fung A. w. p., Wang z. H., Dresselhaus M. s.. Dresselhaus G., Kekala R.

w. and Endo M. (1994), "Coulomb­gap magnetotransport in granular and

porous carbon structures", Phys. Rev. B, 49. pp. 17325 ­ 17335.

34 Graener H., Rosenberg M, Whall T. E.,and Jones M. R. (1979), "The low­

temperature resistivity and Seebeck coefficient of flounne­substituted

magnetite", Philos, Mag. B, 40. pp. 389­399.

35 Hauser J. J., Pasteur G. A. and Staudinger A. (1981), "ac­conductivity and

optical properties of amorphous Si (H) sputtered at 77 K '\ Phys. Rev. B,

15, pp. 5844 ­ 5848.

128

36 Hill R. M. (1976), "On the observation of vanable range hopping", Phys. Stat.

Sol. A, 35, pp. 601 -604.

37 Hu X. u Van Keuls F. w., Carmi Y., Jiang H. w„ and Dahm A. J. (1995),

"Screening of the Coulomb gap". Solid State Commun., 96, pp. 65 - 68.

38 Hung c. s„ Gliessman J. R. (1954), "Resistivity and Hall effect of germa

nium at low temperatures". Phys. Rev., 96, pp. 1226 - 1231.

39 Hunt A. (1993), "General treatment of one-dimensional hopping conduction".

Solid State Commun., 86, pp. 765 - 768.

40

Ishida Sh., Takaoka s., Murase K., Shipai s., and Serikawa T. (1994),

"Variable-Range Hopping in Polycrystalline Silicon Thin-Film

Transistor", /. Phys. Sóc. Jpn.. 63, pp. 1254 - 1257.

41

Ivkin E. B., and Kolomiets B. T. (1970), "High-frequency conductivity of

arsenic selenide", /. Non-Ciyst. Solids, 3, pp. 41 - 46.

42 Jones R., Schaich w. (1972), "Theorv of impurity band hopping conduction".

/. Phys. c, 5, pp. 4 3 - 4 7.

43 Kabasavva u. (1993), "Size effect on variable-range-hopping transport in

PrBa2Cu,07_/\ Phys. Rev. Lett., 70, pp. 1700 - 1703.

44 Kinzel w. (1983), in "Percolation Structures and Processes ", edited by

Deutcher G., Zallen R., and Adler L, Adam Hilger- Bristol, pp. 425 - 481.

45 Kittel c. (1977), Introduction to Solid State Physics, 4lh-edition. John Wiley

& sons. New York.

46 Kurkijarvi J. (1973), "Hopping conduction in one dimension", Phys. Rev. ổ, 8.

pp. 922 - 924.

47 Lee M. Massey J. G-, Nguyen V. u Shklovskii B. I. (1999), "Coulomb gap

in a doped semiconductor near the metal-insulator transition: Tunneling

experiment and scaling Ansatz", Phys. Rev. B, 60, pp. 1582 - 1591.

48 Lee p. A. (1984), "Variable-Range Hopping in Finite One-Dimensional

Wires", Phys. Rev. Lett., 53. pp. 2042 - 2045.

49 Levin E. L, Nguyen V. L- Shklovskii B. I., and Efros A. L. (1987),

"Coulomb <*ap and hopping electric conduction: computer simulation",

129

Sov. Phys. -JETP, 65, pp. 842 - 848.

50 Levinstein M. E„ Shklovskii B. L, Shur M. s., and Efros A. L. (1975), 'The

Relation between the critical exponents of percolation theory", Sov. Phys.

-JETPA1, pp. 197 -203.

51 Lewis A. J. (1976), "Conductivity and thermoelectric power of amorphous

germamium and amorphous silicon", Phys. Rev. ổ, 13, pp. 2565 ­ 2575.

52 Lewis A. J. (1976), "Use of hydrogenation in the study of the transport

properties of amorphous germanium", Phys. Rev.

14, pp. 658 ­ 668.

53 Lin c. H. and Wu G. Y. (2000), "Hopping conduction in granular metals",

Physica 5, 279, pp. 341­346.

54 Long A. R. (1982), "Frequency­dependent loss in amorphous semicon­

ductor". Adv. Phys.< 31, pp. 553 ­ 559.

55 Mandelbrot B. (1982), The Fractal Geometij of Nature, Freeman. San

Francisco.

56 Mason w., Kravchenko s. V. Bowker G. E., and Furneaux J. E., (1995).

''Experimental evidence for a Coulomb gap in two dimensions", Phvs. Rev.

ổ, 52, pp. 7857­7859.

57 Massey J. G­, and Lee M. (1996), "Electron Tunneling Study of Coulomb

Correlations across the Metal­Isulator Transition in Si:B", Phys. Rev.

Len.. 11, pp. 3399­3402.

58 Meir Y. (1996), "Universal Crossover between Efros­Shklovskii and Mott

Vanable­Range­Hopping Regimes", Phys. Rev. Lett., 77. pp. 5265­5267.

59 Miller A. and Abraham E. (1960), "Impurity conduction at low concen­

tration", Phys. Rev., 120. pp. 745 ­ 751.

60 Mobius A., Richter

and Dnttler B. (1992), "Coulomb gap in two­ and

three­dimensional systems: Simulation resultsfor large samples", Phys.

Rev, B, 45, pp. 11568 ­ 11579.

6 Ị Mooij J H. (1973), "Electrical conduction in concentrated disordered

transition metal alloys", Phys. Status Solid A. 17. pp. 521­530.

« Mott N. F. and Davis E. A. (1979), Electron Processes in Noncrystalline

130

Materials, 2nd-edition, Claredon Press, Oxford.

63 Mott N. F. (1968), "Conduction in glasses containing transition metal ions",

/. Non-CĩystaL Solids, 1, pp. i - 9.

64 Mon N. F. (1974), Metal - Insulator Transitions. Taylor and Francis, London.

65 Mon N. F. (1976), "The effect of electron interacton on variable-range

hopping", Philos. Mag., 34, pp. 643 - 647.

66 Mott N. F. (1993), Conduction in Non-Cijstalline Materials, Claredon Press,

Oxford.

67 Movaghar B., Pohlmann B., Wurtz D. (1981), "The Hall mobility in hopping

conduction", /. Phys. c, 14, pp. 5127 - 5132.

68 Nakhmerov E. p., Prigorin V. N., and Samukhin A. N. (1989), "Hopping

transport in quasione-dimensional systems with weak disorder", Sov.

Phys. Solid State, 31, pp. 368 - 375.

69 Nguyen V. L. and Canessa E. (1998), "A model for anisotropic directed

percolation", Phys. Rev. £, 57, pp. 2467 - 2476.

70 Nguyên V. L. and Rosenbaum R. (1997), "General crossovers from two-

dimensional Mott T'm

to T~v variable-range hopping", Phys. Rev. ổ, 56,

pp. 14960- 14963.

71 Nguyen V. L. and Rosenbaum R. (1998), "General resistance crossover

expression for three-dimensional variable-range hopping", /. Phys.:

Condens. Matter, 10, pp. 6083 - 6090.

72 Nguyen V. L. and Rubio A. (1995), "Percolation in 2-D random systems:

from isotropic to directed", Solid State Commwu 95. pp. 833 - 840.

73 Nguyen V. L. (1984), "Two-dimensional hopping conduction in a magnetic

field", Sov. Phys.- Semicond., 18. pp. 335 - 340.

74 Nguyên V. L. (1995), "Crossovers in two-dimensional variable range

hopping", Phys. Lett. A, 207, pp. 379 - 384.

75 N-uyen V. u Shklovskii B. L, and Efros A.L. (1979), "Activation energy

of hopping conduction in lightly doped semiconductor", Sov. Phys,

Semicond.1 13. pp. 1281 - 1288.

131

76 Nguyen V. u Spivak B. z., and Shklovskn B. I. (1985), "Tunnel hops in

disordered systems", Sov. Phys.-JETP. 62, pp. 1021 - 1028.

77 Nguyen V. L, Raikh M. E., and Efros A. L. (1986), "Low-temperature density

of states in a gapless semiconductor near its Fermi surface", Sov.

Phys.Solid State, 28, pp. 2019 - 2022.

78 Ortuno M. and Pollak M. (1983), "Hopping transport in a-Ge and a-Si'\

Philos. Mag. B. 47, pp. L93 - L98.

79 Overhof H. and Thomas p. (1984), Electronic Transport in Hydrogenated

Amorphous Semiconductor. Spring, Berlin.

80 Pollak M. and Fnedman L. (1989), '-"Localization and Metal-ỉnsuỉaĩor

Transitions", edited by Fntzsche H. and Adler D., Plenum Press, New

York, pp. 347-412.

81 Pollak M. and Geballe T. H. (1961), " Low-frequency conductivity due to

hopping processes in silicon", Phys. Rev., 122, pp. 1742 - 1748.

82 Pollak M. (1970). "Effect of carrier-carrier interaction on some transport

properties in disordered semiconductors". Dicuss. Faraday Sóc. 50, pp.

13-16.

83 Pollak M. (1972). "A percolation treatment of d.c. hopping conduction",/.

Non-Crystal. Solids, 11. pp. 1 - 7.

84 Pollak M. (1980). "The Coulomb gap: a review and new developments",

Philos. Mag. B. 65, pp. 657 - 667.

85 Polyakov D. G. and Shklovskii B. L (1993), "Variable range hopping as the

mechanism of the conductivity peak broadening in the quantum Hall

regime", Phys. Rev. Len.. 70, pp. 3796 - 3799.

86 Raikh M. E. and Ruzin I. M. (1989) "Fluctuations of the hopping conductance

of one-dimensional systems", Sov. Phys.-JETP, 68. pp. 642-647.

87 Raikh M. E. and Ruzin L M. (1991), "Mesoscopic phenomena in solids', ed.

by Altshuler B. A. Lee p. A., and Webb R. A.,North-Holland. Amsterdam.

88 Redfield D. (1973), "Observation of log Ơ - r1 /2 in three-dimensional

energy-band tails", Phys. Rev. Lett., 30. pp. Ỉ319 - 1323.

132

89 Reedijk J. A ., Martens H. c. F., and Brom H. B. (1999), "Dopant-Induced

crossover from ID to 3D charge transport in conjugated polymers", Phys.

Rev. Lett., 83, pp. 3904 - 3907.

90 Rosenbaum R. (1991), "Crossover from Mott to Efros-Shklovskii vanable-

range-hopping conductivity in InxOy films", Phys. Rev. 5, 44, pp.3599-3603

91 Rosenbaum R., Nguyen V. u Graham M. R. and Witcom M. (1997), "A

useful Mott-Efros-Shklovskii resistivity crossover formulation for three-

dimensional films" , /. Phys.: Condens. Matter. 9, pp. 6247 - 6256.

92 Sadasiv G., (1962). "Magnetoresistance in germanium in the impurity

conduction range", Phys. Rev.. 128. pp. 1131 - 1137.

93 Sadoulet B. (1993), "Low temperature detectors: An assessment". /. Low

Temp. Phys., 93, pp. 821 - 825.

94 Samukhin A. N ., Prigodin V. N ., and Jastrabik L. (1997), "Critical

Percolation and Transport in Nearly One Dimension", Phys. Rev. Len.,

78, pp. 326 - 329.

95 Sandow B.. Gloos K.. Rentzsch R., Ionov A. N ., and Schirmacher w. (2001),

"Electronic coưelation effects and the Coulomb gap at finite

temperature", Phys. Rev. Lett., 86. pp. 1845 - 1848.

96 Sarvestani M ., Schreiber M. and Vojta T. (1995). "Coulomb gap at finite

temperatures", Phys. Rev. 5, 52, pp. 3820 - 3823.

97 Schmidbauer E. (1998), "Electrical conductivity, thermopower and 5 7Fe

/. Mossbauer spectroscopy of solid solutions Fe(Nbj.xWx)04, 0 < X < 0.4",

Phys. Condens. Matter, 10, pp. 8279-8292.

98 Schroder T. B. and Dyre J. c. (2000), "Scaling and universality of ác

conduction in disordered solids", Phys. Rev. Lett., 84, pp. 310 - 317.

99 Seager c. H. Pike c E. (1974), "Percolation and conductivity: a computer

study", Phys. Rev. B, 10, pp. 1435 - 1441.

100 Serota R. A ., Kalia R. K., and Lee p. A. (1986). "New aspects of variable-

range hopping in finite one-dimensional wires", Phys. Rev. B, 33. pp.

133

8441-8446.

101 Shabar D. and Ovadyahu z. (1990), "Dimensional crossover in the hopping

regime induced by an electric field", Phys. Rev. Lett., 64, pp. 2293 - 2297.

102 Shante V. K. s. (1977), "Hopping conduction in quasi-one-dimensional

disordered compounds", Phys. Rev. ổ, 16, pp. 2597 - 2 6 1 1.

103 Shante V. K ., Varma c. M ., Block A. N. (1973), "Hopping conductivity in

"one-dimensional" disordered compounds", Phys. Rev. B, 8. pp. 4885-4889

104 Sheng p. and Klafter J. (1983), "Hopping conductivity in granular

disordered systems", Phys. Rev. ổ, 27, pp. 2583-2586.

105 Shklovskii B. I. and Efros A. L. (1984), Electronic Properties of Doped

Semiconductor, Springer Verlag, Berlin.

106 Shlimak I. S-, Khondaker s. L, Pepper M ., and Ritchie D. A. (2000),

"Influence of parallel magnetic fields on a single-laver two- dimensional

electron system with a hopping mechanism of conductivity", Phys. Rev.

B, 61, pp. 7253 - 7256.

107 Shlimak I. s., Kaveh M„ Yosefin M. Lea M. J., and Fozooni p. (1992),

"Crossover phenomenon for hopping conduction in strong magnetic fields",

Phys. Rev. Lett., 68, pp. 3076 - 3079.

108 Shlimak I. s., Lea M. J., Fozooni p., Stefanyi p. and Ionov A. N. (1993),

"Density of states near the Fermi level from measurements of variable

range hopping magnetoresistance in germanium", Phys. Rev. s, 48, pp.

11796- 11803.

109 Shlimak I. s., Nikulin E. A. (1972), "Conductivity of doped germanium at

110 Singh M., Tarutami Y., Kabasawa u.. and Takagi K. (1994), 'Temperature

ultralow temperatures", Lett. toJETP, 15, pp. 20 - 24.

and electric-field dependence of hopping transport in low-dimensional

devices", Phys. Rev. ổ. 50, pp. 7007 - 7015.

111 Skal A s Shklovskii B. I. (1971), "Mott equation for low temperature edge

conductivity", Sov. Phys.-Solid State, 16. pp. 1190 - 1193.

134

112 Smith z. E. and Wagner s. (1985), "Intrinsic dangling-bond density in hvdroaenated amorphous silicon", Phys. Rev. B. 32, pp. 5510 - 5513.

113 Stauffer D. and Ahrony A. A. (1994), An Introduction to Percolation

Theory, 2nd Ed. Taylor & Francis, London.

114 Street R. A ., Kakalios J., and Hayes T. M ., (1986), "Thermal equilibration

in doped amorphous silicon", Phys. Rev. s, 34, pp. 3030 - 3033.

115 Summerfield s. (1985), "Universal low-frequency behaviour in the a.c.

hopping conductivity of disordered systems", Pha Mag. ổ, 52, pp. 9-22.

116 Thouless D. J. (1974), "Electrons in disordered systems and the theory of

localization", Phys. Rev. c, 13, pp. 94 - 102.

117 Tieke B., Fletcher R., Zeitler u., Geim A. K., Henim M ., and Maan J. c.

(1997), "Fundamental Relation between Electrical and Thermoelectric

Transport Coefficients in the Quantum Hall Regime", Phys. Rev. Lett.,

78, pp. 4 6 2 1 - 4 6 2 4.

118 Timp G., Fowler A. B„ Hartstein A ., and Butcher B. N. (1986), "Absence

of a Coulomb gap in a two-dimensional impurity band", Phys. Rev. ổ, 33.

pp. 1499-1502.

119 Timp G ., Fowler A. B., Hartstein A., and Butcher B. N. (1986), "Hopping

conduction in a two-dimensional impurity band". Phys. Rev. B, 34, pp.

8771-8785. -

120 Tremblay F., Pepper M, Newbury R., Ritchie D. A., Peacock D. c, Frost J.

E. F., Jones G. A. c, and H i ll G. (1990), "Hopping in a low-mobility

G a A s - A l G a As heterojunction in the limit of low electronic

concentrations", /. Phys.: Conclens. Matter, 2, pp. 7367 -7371.

121 Tsigankov D. R, and Efros A. L. (2002), "Variable Range Hopping in Two-

Dimensional Systems of Interacting Electrons", Phys. Rev. Lett., 88, pp.

122 Wang X. R. and X ie X. c. (1997), "Negative magnetoresistance in the

1 7 6 6 0 2- 176606.

nearest-neighbor hopping conduction", Europhys. Lett. 38, pp. 55 - 59.

123 Yakimov A. I., Dvurechenckii A. V. , Stepina N. p., Scherbakova L. A .,

Adkins c J. Chormy V. z.. Dravin V. A. and Groetzschel R. (1997),

135

"The temperature-induced transition from 3D to ID hopping conduction

in porous amorphous S iu. M n ;\ /. Phys.: Condens. Matter, 9, pp. 889-899.

124 Yakimov A. I., Dvurechenskii A. v., Kirienko V. v., Yakovlev Y u. L

Nikiforov A. L, and Adkins c. J. (2000), "Long-range Coulomb

interaction in arrays of self-assembled quantum dots", Phys. Rev. B. 61,

pp. 1 0 8 6 8- 10876.

125 Yamaura K ., Young D. p.. and Cava R. J. (2001), "Thermally induced

variable-range-hopping crossover and ferromagnetism in the layered

cobalt oxide SrjYosCojCV, Phys. Rev. £, 63, pp. 64401 - 64405.

126 Zabrodskii A. G. (1977), "Hopping conduction and density of localized

states near the Fermi level", Sov. Phys.-Semicond.. 11, pp. 345 - 353.

127 Zabrodskii A. a, Ionov A. N ., Korchazhkina R. L., Shiimak L s. (1973),

"Resistivity of heavilv doped and compensated germanium", Sov. Phvs.-

Semicond., 7, pp. 1277 - 1282.

128 Zabrodskii A. G., Zinov'eva K. N. (1983), "Critical behavior of parameters

of H-Ge in the vincitv of compensation-induced Anderson transition". Sov.

Phys. -JKTP Lett., 37, pp. 369 - 372.

129 Zhang Y ., Dai p.. Levy M, and Sarachic M. p. (1990), "Probind the Coulomb

Gap in Insulating n-Type CdSe \ Phys. Rev. Lett., 64. pp. 2687-2690.

130 Z i ff R. M ., Lorenz c. D., and Kleban p. (1999), "Shape-dependent

universality in percolation", Physica A. 266. pp. 17 - 26.

131 Zvyagin I. p. (1991), "Hopping Transport in Solids", edited by Pollak M. and

Shklovskii B. I., Amsterdam: Elsevier/North-Holland, pp. 143 - 174.

132 Zvyagin I. p. (1973), "On the theory of hopping transport in disordered

semiconductors", Phys. Status Solidi B, 58, pp. 443 - 449.

133 Zvyagin I- p. (1995), "Anisotropy in the hopping conductivity of quasi-one-

136

dimensional systems", Sov. Phys. -JETP. 107, pp. 175 - 186.

P HỤ L ỤC Ì

Lưu đồ mò tả thuật toán mô phỏng tìm năng lượng cực tiểu và xác định mật độ

trạng thái:

B E G IN

Vào số liêu

Tạo toa độ ngẫu nhiên cho các donor và acceptor

Tạo số choán đầy [n, ban đầu ngẫu nhiên

Tính nâng lượng các donor theo (2.2)

np = 1 = 0

Tìm donor p {np = 1) có Sp min và donor ạ {nq = 0) có €p max

<ỉ

{ỉĩị}

Đúng

Trạng thái gần cơ ì bản ị Si) và

In ra Lấy trung bình theo cấu hình tìm đươc DOS và ịi E ND ĩ

137

Chương trình mô phỏng

"Cực tiểu hoa nàng lượng và tìm mặt độ trạng thái"

g hệ hai chiều với thế chán: V(r) = —

viết trên ngôn ngữ F O R T R AN

V/*2 +4

Program gap2d

Parameter! nm = 10020, mem = 250 )

Common e(nm), x(nm+ỉ), y(nm),

Ch(nm), Ig(-mem:mem), g(-mem:mem),

Nd, na, ne, de, estep, rq,

M e, en, ép, jn, jp, sd, sef, sef2, ldum

Losical ch

external ran3, ur

open( I, file = 'in.dat')

open( 2, file = out.dat1)

read(l,*) nd. de. M l, M 2, idum

read(l,*) estep, me. rq, xxi

write( 2, 200)

wnte( 2. 300 ) nd, de. estep, ldum, rq

sd = n d * * ( l . / 2 .)

na = nint( nd * de )

wnte( 2, 400 ) na

dn = nd * estep

do 20 ki = Ì, MI

do 40 k 2= 1,M2

rb = ran3(idum)

x(l) = -alog(rb )

do ì ì = L ná

138

rồ = ran3(idum)

x(i+l) = x(i) - alog( rb )

rb = ran3(idum)

y(i) = sd * rò

e(i) = 0.

Continue

do 2 i = Ì, nd

x(i) = sd * ( x(i) / xí ná + Ì ))

continue

do 4 í = Ì, na

xa = sd * ran3(idum)

va = sd * ran3(idum)

do 3 j = Ì, nd

uraij = ura(j,xa,ya)

= + uraij

continue

continue

sdc = 1. - de

nơ = nd - na

ne = 0

do 5 ì = Ì, nd

ch(i) = .false,

continue

do 7 i = Ì, nd

if( ch(i)) go to 7

rb = ran3(idum)

if( rb .St. sdc ) go to 7

t r u e-

139

chù) =

ne = ne + Ì

if( ne .eq. ao ) go to 8

continue

go to 6

do 10 Ì = Ì, nd

if(ch(i))go to 10

do9 j = l,nd

if( j .eq. i) go to 9

e(j) = e(j) - ur(i,j)

continue

continue

en = -1000000.

Ép = 1000000.

Do li i= l , nd

if( ch(i) ) then

if( e(i) .gi. en ) then

en = e(i)

jn = i

endif

else

if( e(i) .Ít. ép ) then

ep = e(i)

jp = i

endif

endif

continue

if( ép .gt. en ) go to 12

call order

140

call coulb

efc = (en + ép) / 2.

Sef = sef + efc

Sef2 = sef2 + efc * etc

do 13 i = l , nd

je = nint( (e(i) - efc) / estep )

if( abs( je ) .le. me ) ig(je) = ig(je) + 1

continue

continue

fik = float(ktra)

ef = sef / fik

def = sqrt( abs( sef2 / fik - ef * e f ))

dnk = dn * fik

do 14 i = -me. me

ei = i * estep

g( i ) = ig( i ) / d nk

continue

write( 2, 500 ) ktra. ne, ef, def

wnte( 2, 600 ) g ( 0)

do 16 i = 1. me

mi = -i

ei = i * estep

em = -ei

write( 2, 650 ) em, g(mi), ei, g(i)

continue

continue

format( i5, 3 Í 8 . 4 / 3 Ì 4, ao )

141

formati 20x. ' S T R U C T U RE OF 2D-IMPƯRITY BANDS' /

22x, 'The case of Gate Screening Potential l./r-l./sqrt(r*r+4.)' /

20x, 30('=))

300

format(/. 3x, 'Number of Donors: Nd =', i5,

4x, 'Degree of compensation: K =', ũ AI

3x, 'Estep( for DOS ) =\ f8.4, 3x, 'idum =\ i io /

3x, 'Choosen Parameter Rq =', f8.4 )

400

format( 3x, 'Number of acceptors: Na =\ i5 / 3x, 30('-'))

500

formate // 3x, 'Number of Configs. =', i5. 3x, 'Ne =', i5 /

l l x, 'E(Fermi) =\ el2.4,1 +/-e!2.4 )

600

formaK/ lOx, 'DENSITY OF IMPURITY STATES: g(0) =', el2.4 )

650

format( 2( lx, e

f 9A 2x, 'g(e) =', e l 2A V, 3x ))

Stop

1000

End

**********************************

Subroutine coulb

parameter! nm = 10020, mem = 250 )

common e(nm), x(nm+l), y(nm),

ch(nm), ig(-mem:mem), g(-mem:mem),

nd, na, ne, de, estep, rq,

me, en, ép. jn, jp, sd, sef. sef2, idum

logical ch

external ur

1 = 0

do 8 i = l,nd

if( ch(i)) go to 8

xi = xù)

ei = e(i)

ri = i./(ei - en)

142

im = minO( 1-1, nd-i)

if( im .eq. 0 ) go to 4

do 3 li = L, im

ki = ỉ — li

k2 = ì + lì

k3 = 2 * li

12 = 0

d o 2j = k l , k 2 , k3

if( ri .Ít. abs( xi - x ( j ) )) then

12 = 12 + Ì

go to 2

else

if( .not. ch(j) ) go to 2

de = ei - e(j) - ur(ió)

if( de .Ít. 0. ) go to 7

endif

continue

if( 12 .eq. 2 ) go to 8

continue

if( (2 * i - ná) .Ít. 0 ) then

k4 = 2 * i

do 5 j = k4, nd

if( (xi - x(j) + ri) .Ít. 0. ) go to 8

if( .not. cho*)) go to 5

de = ei - e(j) - ur(i,j)

if( de -Ít. 0. ) goto 7

continue

go to 8

143

else

k4 = 2 * i - nd - 1

do 6 jj = 1, k4

J = k 4 - j j+ L

if( (xi - x(j) - ri) .gt. O.)go to 8

iff .not. ch(j)) go to 6

de = ei - e(j) - ur(ij)

if(de .It. O.)go to 7

continue

go to 8

endif

1 = 1 + 1

jp = i

jn = j

call order

continue

if( 1 .gt. 0 ) go to i

Return

End

function ur(i. j)

parameter^ nm = 10020. mem = 250 )

common e(nm). x(nm+l), y(nm),

ch(nm), ig(-mem:mem), g(-mem:mem), >

nd, na, ne, de, estep, rq, >

me, en, ép, jn, jp, sd. sef, sef2, idum >

logical ch

d2(a. b) = mini (a-b) ** 2, (a-b-sd) ** 2, (a-b+sd) **2 )

144

d = d2(x(j),x(i)) + d2(y(j),y(i)) + rq

r = sqrt(d)

ur= l . / r- L/sqrt(d + 4.)

return

entry ura( ì, XX, yy )

da = d2(x(i), XX) + d2(y(i), yy) + rq

ra = sqrt(da)

ura = ỉ./ra - ì.Ị sqrt(da + 4.)

return

end

subroutine order

parameter( nm = 10020, mem = 250 )

common e(nm), x(nm+l), y(nm),

ch(nm), Ig(-mem:mem), g(-mem:mem).

nd, na, ne, de, estep. rq, me, en, ép, jn, jp, sd, sef, sef2, idum

logical ch

en = -1000000.

ep= 1000000.

ch( jp ) = .true.

ch( jn ) = .false,

do 3 i = 1, nd

if( i .eq. jn ) go to 2

e(i)"= e(i) - ur(ijn)

if( í .eq. jp ) go to 3

e(i) = e(i) + ur(ijp)

continue

do 4 i = 1. nd

145

if( ch(i)) then

if( e(i) .gt. en ) then

en = e(i)

jn = i

endif

else

if( e(i) -It. ép ) then

ép = e(i)

jp = i

endif

endif

continue

if( en .gt. ép ) go to 1

return

end

function ran3(idum)

P A R A M E T ER ( M B IG = 1000000000, M S E ED = 161803398,

MZ = 0. F A C=

l . / M B I G)

S A VE iff, inext, inextp, ma

D A TA iff /0/

if( idum.lt.o .or. iff.eq.o ) then

iff = 1

mj = M S E ED - iabs( ldum )

mj = mod( mj, MBIG )

ma(55) = mj

m k= L

do 11 i= 1.54

146

li = mod( 21*1, 55 )

ma(ii) = mk

mk = mj - mk

if( mk.lt. MZ ) mk = mk + M B IG

mj = ma(ii)

continue

do 13 k= 1,4

do 12 i = 1,55

ma( i) = ma( i) - ma( ỉ + mod( i + 30, 55 ))

if( ma(i) .It. MZ ) ma(i) = ma(i) + M B IG

continue

continue

inext = 0

inextp = 31

idum = ỉ

endif

inext = inext + Ì

if( inext .eq. 56 ) inext = ỉ

inextp = inextp + Ì

if( inextp .eq. 56 ) inextp = Ì

mj = ma( inext) - mai inextp )

if( mj .It. MZ ) mj = mj + M B IG

mát inext) = mj

ran3 = mj * F AC

return

147

end

PHỤ LỤC 2

Tính các tích phân (2.37) cho độ dan điện của vật liệu vò định hình.

Đế tính các tích phàn (2.37) ta viết hàm F(coj') qua tổng 4 tích phân sau:

F{ũ>.r) = ±ỊỊG(EME2)S(Eì2(r)-ũ>)dExdE2 =

+/2+ / ,+/4)

Xi

33

với: -Cớ); El, E2>0

0

0

X)

0

/, = ỊdE, f 0 . E2 < 0

0

-áo

0

0

-ao

—ao

/, = frf£, f d £ , G ( £, ) G ( £ J ) 4 Ei 2( f ) - « )i E„ E2 < 0

0

ao

/4 = JdE, j d £:G ( £, )G(E,)s(£,2('-)- ©); E, < 0 . E2 > 0

0

-ao

EỊ

Để ý rằng:

»

rư

ẸỊ

x>

/, =/, = j c f e }^ fi£G(Ẹ)ỗ(£i -#)+ Jc(£)d£

-(ũ)=2G{<ù)\G{È)dE

0

0

ố

ỉ ỉ

/: = /4 = } d £, °jí/£2G(£, ) ơ ( £, Jff(ff, - £ , - *) = ] í / £ G ( £ ) G ( o- ff)

0

0

-áo

At

a>

Do đó: F(a>.r) = (/,+/,)= 2G(a>)Ịc(£V£ + jj£G(£)G(<» - £ ).

0

ố

...

ứ) 2r

n —:

Khi đó:

148

a, = 7r3 2G(/£ ớ tron a đó:

_

í tì!

a, = f d f i > J d3r ^ r3| J

r «r

í

Các cận tích phân suy ra từ đối số của hàm bác thang:

= rn kĩ ậ 2

Tính a,

í-ì 2

a, = fr* < t of 4O T-:J r - , -3( 2 G (í y)f G ( £ > /£

, 2)

-> V 3;

7

2 \

V

1-

1 + £T E

-0 y

V 3;

V1?

^0 A

V 2 J

ì ì

<

2 V

ú)

2

d cũ

1-

g i ị Ì ú? ÚJ + - — 3 E kSrỊ õ >

V

1 + ^ R2 ^0 A

2

4

2

Ị j k j r f )' Ị W4

630 £0 16632 £0

Ọ 60

l 3 > V 2 J í 07 Ý v 3, IVJ

56

Tính a ,:

ta 2r n- — - —

= »1 f' V* j£to(f dEG(£)G(fl> - £ ) W i7 - §

2r

= £1 f ' V d rf " - E)ị trong đó: X(r) = k j rj

í

Trước tiên ta lấy tích phân:

149

i

1 +-

aa>)=Ị(KEXKứỉ-E)=Ị&

1+

-0

J

)

2

30 £ 0

2

Lấy tiếp tích phân theo Cù, ta có:

leo'

ì co'

= glị

P{r)=ựìQ{ũ3)dco

4

3 £„

30 £„4

_ „ J lV2 [2

Ì Ì „ 6E-

Ì Ì 180£0

Cuối cùng lấy tích phân theo /- với X = X(r) = kgTrj

4

1

2.

3

ề

ĩ

*

[2

6EỈ

180 £0

trong đó:

n1

i

Í C H/2

r5ưr

'.=^4 rí1*4

2

3 £ „2 *

6

2

= 5 Ỉ 4 ( ^r^ í f (Ì I 9

18 £

*

s "

- r )4r Vz = - ^ — # ( *ar i 7 )4 T?*sn ÍT2 v 22680 £0

7 T2 SỈ, Kin-(

Ì

180

3

3 £,4 A

7

2

L s ì ỉ

'

2993760 E.4 v B 2993760 £,

£ _ 1L 540 El

Vây: a = a, + a, =

go

4

2

3 ạ. r„y Ị 112

2

504

Ị ! 15840

1 ẾM. £0

toi! £0

'

| 2 for/?)2 £;

27

| 7 (V^y £„4 2970

- 2 ,

112

Uy

ta

v ới 0« =18-1

Sử dụng giá trị a = a0 = (/r/l8)0.8756 và r„ =fljtĩSẦ%

thu được phương trình (2.29).

150

P HU LỤC 3

Tính các tích phàn r2 ), Ì1 21 cho biếu thức suất nhiệt điên động VRH hè hai chiều.

ir

lm =

ịsg(s)de\g{e')de>9 He­

ậ

\s\ + ịs\ + \s -A) )

2kJ/E2

2r

\s\ + \e\ +

ị£-s'

- J-

và: Jw = \g{s)ds\g{s')d£'o\uL.

U J / E.

Cận của miền lấy tích phàn năng lượng và không gian được suy ra từ đối số của

hàm bác thang 9:

R <

. Nếu kí hiệu:

\E\,\F\zAi=rĩckJ

2

C = ^ ĩ ĩc; RB= ^;

c

11

1

1

E,

0

/• = — =>|4|£l 0 < r < l. 2

fl0

Trong khi tính các tích phân thì các số hạng tý lệ với (ì1,

tức là tý lệ với ỵ2 sẽ được bỏ

qua vì nhỏ.

Tính í'2': Có thể có 6 khá nâng của năng lượng E và E ':

1) E > 0. É' < 0:

s'+ỉ

off,

=

f

«

ri-

S + IJ

£ + 1

= ỉu+hk­ỉu

­Iu"!**1*­1*

trong đó:

€, 4-1

ỡ2 plgVg r-wgrc/f. + l Ì *

151

3 \

2 ) E < 0. É' >0:

£+1 f'+l £j +1 • 6Ì + 1

trong đó:

£ +1 -0 £, +1 £• + 1 -0 +1

1

&I o e / ?2

1 ri 8 da (ứ-s g.d&

£ + Ì ểt +1 £• + 1 -0 £j +1

í - :- , rí 2)

Do / » - / „ ; / ,. * /t o; /l4 = /3f nên: /12 = /r +/ị2) =2(/ỊÒ - / „ . ).

£3c te (tí-*

v

v

7 2

= — ^ + - ^ + — z f + - ^ - - zf ln(zl + ỉ ) - - zf ln(zl + l)-2zlln(zl + l ) - - l n ( zl + l) [12 9 12 6 3 ' 6

^£

Ố/6\

f as 0-6 a bị 8 + 1^ €t +

fife

«H

ỉ

04

£J+1

Ị_ ,

+1

/l 2= / í2ỉ + / ỉ2 ,= 2 ( /I f c- /1 (.)

Jji — z J4+ ^ ^+ — 42+ - ^ - - ^ l n (4 + l) - 3^ ln(4 + l)-4zlln(zl + l ) - - l n (4 + l)

:

= a 12 9 6 • •

2 N

3 ) E > E' >0:

— Wf a —+ ff+ij n £•'+!

£•+1

152

Trong đó:

£ de FBydSf

£ +1 -0 5, +1

4) E < E' < 0:

í

r —— - f i - £ — d sl

í\

-£ + 1

+ l

6ị+\

sx +1

trong đó:

= /,.

ĩ ^22 +1

Do đó: /M= / í2 )+ / í2ỉ= 2 ( /3 4+ /3 r)

£ + Ì •"£•,+ Ì

ayổỊ-zf — J +- zf +- 4— i

+- Ã \ịA+1) -zll^zl+l)—li^+1)+- Iff u+1)

frf-« sì de.

= ap\i^-LA

+±J +±J ln(zl + l)-zlln(zl + l) + >2U + l)

Ì , 2

Ì 2

2

'2

0 e'ds /. =e0ịL^Ự^Ị e+\*

s,+\

V â y: /3 4= / r+ / :2 ,= 2 ( /3 f c+ /3, .)

ln(zl+l)-4zlln(zl+l)-^ln(zl+l)+21n2(zl+l)

=aấ-A --A +-J +-A--À\ĩ(A+ì)+2Â 6

H.4

3

3

9

3

5 ) E ' > E > 0:

tà 8ẩ£

te £,de.

/» . f tóp í MU . j f a ^ i i w i . ^ ^ v', •*K é+\ ể+l) rư e2ds

tu s:dsx

6) É' < E < 0:

153

ỉ^ = l j ( s ' ) d£'Ị£ g(S) d s = lị

ị

C

ì-; Ị a

"í

-e'+l

-£ + l

/? — Me ' - £• + ! Ị

ì

a —

*i +1

' Sy ±lj

Trong đó: /, = / -;

f « = ' 5* = / 3, = « # {ỉ ắ - ^ + ị á ^ - A1

J

Lỡ

2

2

\n{A +1) - 4 ln(4 +1)+- In2 (4 + l ) Ị; 2

2

Như vậy:

/5 6= / í2 )+ ' f = 2 ( /5, + /5 r) =

= a/?Ị—

Vậy:

/<2> = £ / /21 =a/3 - / J4 - - zf +—Â +-A--\Ĩ(A+\)-\1A\Í(A+\)--A

ln(zl+l)+4In2fzl+l)

Tính .ỉ'2': Có thể có 6 khả nâng của nâng lượng E và E ':

1) E > 0. E' < 0:

6

Ọ

[

-£t

a

P —

/ ,( 2 )= j> K> ' X* - f

£• + 1

ể +

2 s

ữ s

í

-í

8,+ì

£, +1

s s+l

£ + 1

Trong đó:

í, +1

zl2 + 4Z1 - 4zl ln(zd + 0-4 ln(zl + l) + 2 r l n^ + 1

£^ de

/ =./, => ĩi 2) =2/,,, =a

•' I,-

J

I*

w

•' I

lá

*

£ + Ì

(2)

2) E < 0, E' > 0:

/2

( 2) = Ị&te l_g{s]ds = J

3) E > E' > 0:

_ a

6

J^=[g{s)dslg{s')d8'

a—— + p

1

1

3r

3u

ư

J 3ft

+

tie'* J*. +/,» +/,,

e+l

s+\

£'+1

£'+1

}4"£

sds

fiSids

te£,de

s2ds

s]ds

s, + 1

4) E' > E > 0:

( 2) = f

/4

fg( s ) e t e =/

•U) 3

5) E < E' < 0:

£+1

£+1 Ị

trong đó:

8ÍS fiSydSy _J

e+l* s] +1

=

6) E ' < E < 0:

f^

/ỉ2>

/6

l 2) = £g( ^ '

= a2{242-4zlln(zl + l)+21n2(^ + l)

/3 56 = 2 / <2 )+ 2 / f> = 4/3 = 4 a2{1 — [^

Vậy:

( 2 ))

/U )=^= 2( / ,( 2 )

+/3

( 2 )^5

=

155

P HỤ L ỤC 4

Tính các tích phân J<3 ),/3Ỉ cho biểu thức suất nhiệt điện động V RH hệ ba chiều.

Iị>) =

ịeg{e)de\g{€ì)dếe

7 c - —-

2kBT/E,

vã:

2r

ịsị + ịsị +

ịe-e'

J[ l) =

\g{e)de\g{s')dM

7 c-

US

IE 3

J

Cận của miền lấy tích phân năng lượng và không gian được suy ra từ đối số của

hàm bậc thang giống tương tự như trường hợp hai chiều. Có 6 khả nâng của năng

lượng E và É ':

Tính

ỉi3):

1) E > 0 , E' <0:

3

\

dế

+1

3

\ d ể ,.

a

P4

Si +1

*i +ly

= Ix.+I\k-K-ỉ\*"I\u+ỉ\>-h<

d o/woc /?2 có thể bỏ qua.

trong đó:

2) E< 0, E' > 0:

3

\

í +1

r +1

- á—

£, +1

£, + Ì

156

trong đó:

2 ỉ* s2ds

* £- +1 *

ứ e de ^ k Fl 4.1 i

Ịú-S sỉ de £7 +1

-h

side ] Ì £ +1 -0 ểf + Ì

p

£ +1

£ - +ì

J> £2 i i Ji

» » + .1

Do /,» - / „ ; / ,. = / , . ; /„ =/2f nên: /I2 = / ,( 2 )+ /f = 2(/,4-7l r).

= a / ? j - z l4 - - 42 +3zlarctgzl--zl3arctg^-llnừ + l ) + i z l2l n ừ + l )- parctgfc- U i:

v

;

[12

3

3

6

2

A

? +l

-2zlarctgd + lln(zf

ta(á»

v

v

= «4-^ ^

2

7 2

+l )4 f £ẩ ± ^ l ỉ ± lk ; 2J>

£-+\

[24

2

Vậy:

/ ,2= / í2 l+ /f = 2 ( / ,A- / „ .)

\ĨI{A2 + ì)

= é#i — ả' - — zl2 + lOzlarctgzl - -zl3arctgzl - — l nừ +\)+2A2

12

3

3

3

\ A - SỴ+\

.-..'ỉn

de

10

arctg(zl-f). -2f T. -'de

s- +1

h

£ - +\

3) E > E' > 0:

3 M

í12

sảe ĩ a —:— + 0,

£• + Ì

£• +1

í +1 £ +1

* / , . + / , „ + / , „,

trong đó:

157

É1* da

te sỉ da.

de.

+ 1

4) E < E' < 0:

3

\

'£

Ị .

: + 0—-

de'

'2

*-/4 o+/4 f t+/4r

3 A "éi-»•£-<.

trong đó:

Do đó: /3 4= / j2 )+ / «)= 2 ( /3 t+ /J r)

* s + 1 Bị + 1

v

= a/3\-A* +-A2 - i ( z j - a r c t g z l )2 - - l nừ +1)--zl'arctgzll J

7 3

[4

2

6

6

5) E ' > E > 0:

ĩ

s\

• P - f ^f í {" -hi+" Tĩĩ

'>"' - r MU í «w* - ỉ í

ị tuftte

f

tf&i r _ a?ỂỂLTẺẾL-i

= „fí t e m

í ^ +1 * fff +1

6) É' < E < 0:

158

3 4

Ì

Du

6fr

ói-

«i +1

sị + Ì

- ln(zl2 +1)}2;

tron g đó: I6a = /5 f l; /w = /Jề = /3f =

o

e de

ce£Ìd£ ĩ* == 00 ĩ ^7 í ^7 • ^ Ẳ d4 - \Al - - (A -a r c t^ )2 +1 l n(^ +1) 2

•° s - +1* sỉ +1

12

6

6

Như vậy: /5 6= / ị2 >+ /f = 2 ( /5 A+ /5 r)

Do đó:

/M J 6= 2 ( /3 A+ 2 /3 r+ /S r)

= a/?j—-d4 - z l2 + 24arctgzl--43arctg4-arctg2zl--ztf ln(/l2 + l ) + - l i r ( z l2 +l)Ị

Vậy:

v

;

-A4 -—A2 + 14zlarctgzl - - ĂaictgA - — ln(á2 +\)+A2 [aU2 + l) 4

3

3

3

'

y

,\

, .

Ị , -2arctg 4 + - In zr +11-21

+

- (tí arctg(4 - s) . T

r J^ l n M- i - )2 I ^ —-

Tính J(ji:

1) E>0,E'<0:

cte,

+Jíh - /,

£ - +1

í +1

•í «

rđ->: s.ds,

-

a p eăs ?-*ẽịâe^

, r-J ate (tí-* f.ite

tà Sis ^g,gg,,

*e2ds , a_flf,f_2f.r*^r:

4

=<*

159

b

s2 + ỉ

2) E < 0, E' > 0:

( 3) = f

£_ g(*>fe =/

/2

3) E > É' > 0:

a—— +

a—^— + 0—«— Ids' £, 2+ l,

Do: Jlh =JU

+1

7

ữ / ?f £ J Í ? £ f £ L •~

/ j a = a 2r ^ i rặ £ L;

/ 3 i = a jỡr ^ r ặ £ L;

+ 1

4) E' > E > 0:

( 3) =

f ểậặfe =J

/4

5) E < E' < 0:

£, 2+l

3

\

de'

+ 1

-J5b

-J5c

™J5U

í

£j + Ì

•r

ố*2 +1

£ +1

' + ly

trong đó

l

=„fìf £ ^g fg'3 ^'

fs2ds psỊds, _

„ati** fg'J g' - ĩ • ĩ

s\ + 1

6 ) E < E ' < 0:

{i)=(j(e')de'ỉs(e)de

= J?

J6

= 2a2 k - 2^arctg4 + arctg^Ị

Jm = 2Ự, + / ,) = 4/3u = 4cr f 4^

2

1

ì

ì h _

í +r

f, +1

ỉdỉs

Vậy:

160

3zf - 8zlarctg/l + 2arctg2zl + 2 In u2 +l)+2f —

PHỤ L UC 5

Tính tích phàn pa), fa) cho suất nhiệt điện động VRHcủa vật liêu vỏ đinh hình.

2r k|+k|+b-5,l>

/( u) =

ịsg{s)deịg{s')ds'e

7c - ỉ

2kBT/Et

\s\+s'\+ ]£-£'

/W = Ịg{e)ds

Ịgịe')đeỵ

2r 7 c - —-

2k8T/E0

Tính I:

1) E > 0 , E' <0:

(ì) = Ịsg(e)dslAg{e')ds'= %Gữ{l + £

2Ịl + ye)£d£lG0{l

+ e;Ịl +

ỵ£ì}ie

[(24Z14 +672A1 +1680)4-r(3zf +224Z13 + 420zl)- r2 (4zl6 + 72zl4 +168zl2 )]|

= G;ị-^-À

2) E < 0, E' > 0:

( a) = f

/2

Ég(4fc = f G0 (1 + è1 Xì + ỵs')de> l a G0 (1 + s2 Ịl + ys)sds

Ã' [- [lAA* + 672À +1680)+r(3zli +224Ã + 420A)+ r^đ + nà +168zf)]

0 [10080 3) E < 0 , E' >0:

ỵsyiè

( a) = %sg{s)de[g{e')ds /3

= lGữ{^s'-\\

+ ỵ8)sds[Gữ{\ + e'1\\ +

Ì . 3. 4 ., Ì

— /-:

G:\-d +—ắ +

+r\

+ — A* \ + ỵ

10

28 36

3 ,4 . 25 „6 . 7 8

72 96

15 21

LJ

4) E < E' < 0:

/

— zf + — ả' + —ẩ 28 10

36

5) E' > E > 0:

lói

3

I

' +—A* + — A1 +r

í Ì = Gịị-À 6

20

28

24

360

160

15

105

45

6) E' < E < 0:

hM =

í« ( í) A r .= j >0(l + ^)(i + ?< ^' íG0(l + ff

2)(l + ^£

= G

6

28

20 ™

I24

360

160

J

rl l5

105

45

Vậ y: / " " = £ / , .=

tô

Ì

112

Tính fa >:

1) E>0,E' <0:

/,, u) = f g(s>fc L ste'V*' = f Go (ì+í2 X i + LG" (*+*'2 X i +^

2

6

60

1120

180

I 24

2) E < 0, E' > 0:

( u) = £ g(ff'>te' í g(s>te =i/,""

/2

3) E > E' > 0:

/ ,w = f ^ M ^ *- f G0(l + ^)(l + ^ ( G0(l + ^)(l + ^'

Ì

,n

12

12

4) E'>E>0:

Jỵ] = [g(s)ds

ị

g(s)ds=jr

5) E < E' < 0:

/,'"»= [i8{e)deỊg{e')de

= j° G0(l + *2)(l + r4^f Co(l + *,2)(l + ^'

'ỉ"

6) E

//-'-j^Vte'f

vay:

/ ^ t ^ ^ ^ Íả ^ Ẫ^

162

PHỤ L ỤC 6

Lưu đổ mô tả thuật toán tìm bán kính thấm (ngưỡng thấm) và khối lượng đám

thấm trong mô hình bất đảng hướng mạnh 2 chiều:

BEGIN

í

/ Vào số liệu

ầ Tạo toa độ ngẫu nhiên và năng lượng cho các nút

khối lượng đám thấm theo phương X

khối lượng đám thấm theo phương y

<„ Ì < Tính ngưỡng thấm và < Tính ngưỡng thấm và

Lấv trung bình theo cáu hình

tìm được rư vhJL^

In ra

END

163

Chương trình mỏ phỏng

Thấm và dẫn nhảy VRH

trong các hệ một chiều và hệ hai chiều bất đắng hướng mạnh

viết trên ngổn ngữ FORTRAN

P R O G R AM V RH

P A R A M E T ER ( Nmax = 330000 )

Common /c/ x(Nmax), y(Nmax), e(Nmax),

N, de, nsite, np, XX, SOI, s02, xmax IU ds

OPEN( l,file = 'in.dat')

OPEN( 2, file = 'out.dat')

read( Ì,* ) N, M l, M2, iseed

read( Ì,* ) ds, dy, dens, de, T, SOI, s02

jy = nint(float(N)/dy)

dy = float(N)/float(jy)

ns = nint(dens*dy*N)

ijp = 0*y+ 1)*N

ijd = jy*ns

nsite = ijp + ijd

wnte(2,999) T, N, nsite, ijd, jy+l, dens, de, dy, ds

xmax = float(N)

do 200 ki = Ì, MI

do 100 k2= 1,M2

doi = 0, jy

rn = ran3(iseed)

il =j*N + Ì

x(il) = - alog(rn)

y(il) = j*dy

rn = ran3(iseed)

164

e(il) = (rn-.5 yr

do ỉ i= L,N-1

rn = ran3(iseed)

i2 = j *N + i + 1

x(i2) = x(i2-l)-alog(rn)

y(i2)=j*dy

rn = ran3(iseed)

e(i2) = (ra - .5 )/T

continue

xN = X(i2)

do i = i l, Ì2

x(i) = N * x(i)/xN

enddo

enddo

d o 2j = 0,jy-l

do 2 i = 1, ns

x(ij) = N*ran3(iseed)

y(ij) = j*dy + dy*ran3(iseed)

e(ij) = ( ran3(iseed) - .5 )/T

2 continue

de = .6

call order

Rx = XX

Do 6 ix = 1, nsite

xy = x(ix)

x(ix) = y(ix)

y(ix) = xy

165

u = ijp + j *ns + í

6 continue

de = 0.

call order

K HI

Ry = XX

write(2, 99) Rx, Ry

0 J

100 continue

200 continue

99 FORMAT(4(2x, E14.8))

>

9 99 F 0 R M A T ( T 1 : % \ T 2 6 : H 0 P P I NG IN Q U A S I - 1D S Y S T E M S ' , /,

>

T5,Temperature: T = F8.4,/,

>

T5.'Length of polymer chain: N = 16,/,

T5.Total number of sites :

nsite = 18,/,

T5.'Number of dopped sites:

Ns = \ 18,/,

>

T5,'Number of polymer chains:

jy = ', 13,/,

>

T5,'Density of dopped sites:

den = \ F8.4,A

>

T5.'Thickness of electrode:

de = '. F8.47,

>

T 5, 'Distance between polymer chain: dy = ', F8.4,/,

T5, 'Error in calculation percol. threshold: ds = El 1.5)

S T OP

E ND

*****j£n (j of Main Proơram *********************************

Subroutine order

P A R A M E T ER ( Nmax = 330000 )

Common Id x(Nmax), y(Nmax). e(Nmax),

N, de. nsite, áp, X X, SOI, s02, xmax

do 4 i = 1. nsite - 1

li = 1+1 xi = x(i)

166

ik = i

do 40 k = li, nsite

if (x(k) .It. xi) then

xi = x(k)

40 ik = k

end if

continue

xm = x(i)

yy = y(i)

ee = e(i)

x(i) = x(ik)

y(i) = y(ik)

e(i) = e(ik)

x(ik) = xm

y(ik) = yy

e(ik) = ee

continue

np = 0

do 5 k = 1, nsite

if (x(k) .gt. de) goto 6

np = np + 1

continue

si = SOI

17

s2 = s02

XX = find(sl,s2)

Return

End

167

***********************************

function find(xi,x2)

C O M M ON ỊĨI ds

Note: xỉ < x2

if (lpercol(xl) - Ipercol(x2)) 12, 11, 12

1 find = - 1.0

wnte(2,*)' Invalid SOI, s02 !*

go to 16

12 XÚ-» ( xi +x2)/2.

if (lpercol(xO)) 13, 13, 14

13 i f ( ( x O - x l ) / xl .le. ds)then

xa = (XO + x2) / 2.

goto 15

else

xi = xơ

goto 12

end if

14 Ì f ( ( x 2 - x 0 ) / x 2 . 1 e. ds ) then

xa = (x0 + x l ) / 2.

goto 15

else

x2 = x0

goto 12

end if

Ị s find = xa

Return

End

***** * *******************************************

168

Function lpercol(ss)

P A R A M E T ER ( Nmax = 330000 )

D I M E N S I ON kb(Nmax), ka(Nmax), ko(Nmax), nz(Nmax),kc(Nmax)

Common Id x(Nmax), y(Nmax), e(Nmax),

N, de, nsite, np, XX, SOI, s02, xmax

L O G I C AL ko

do i = 1, np

ka(i) = i

ko(i) = .true.

nz(i) = 0

enddo

do i = np + I, nsite

ko(i) = .false.

nz(i) = i

enddo

jl = n p +l

no = np

mass = np

1 = 0

jmax = 0

do 10 il = I, no

I = ka(il)

xi = x(i)

yi = y(i)

ei = e(i)

aei = abs(ei)

do 5 j = j l, nsite

jk = nz(j)

L69

if (ko(jk)) goto 5

dx = x(jk) - xi

if (i .It. jk .and. abs(dx) .ge. ss) goto 10

dy = y(jk) - yi

eij = aei + abs( e(jk)) + abs( ei - e(jk))

r = sqrt( dx*dx + dy*dy )

dĩ = r + eij

1 = 1+1

if (dr .ge. ss) goto 5

if (jk .ge. jmax) jmax = jk

ko(jk) = .true.

kb(l) = jk

if ( abs(x(jk) - xmax) .le. de) goto 15

continue

continue

10 = 0

do 7 j = j l, jmax

jk = nz(j)

if (.not. ko(jk)) then

10 = 10 + 1

kc(10) = jk

end if

continue

if (1 .eq. 0) goto 14

no = 1

mass = mass + no

jmin = nsite

170

do 12 11 = 1. no

kbll = kb(ll)

ka(U) = kbll

if ( khi Ì .It. jmin ) jmin = khu

12

continue

do 6 li =0,10-1

nz( j m a x - ll ) = kc( 10-11 )

continue

jl = mass + Ì

jt = 0

xi = x(jmin)

do 35 jn = jmax-l, j l, -Ì

jt = j t +l

jk = nz(jn)

if(ko(jk))goto 35

if (jk .ge. jmin) goto 35

absdx = abs( x(jk) - xi)

if ( absdx -ge. ss ) goto 36

continue

jl = jmax-jt

goto 50

lpercol= -1

goto 16

lpercol = 1

Return

End

********************************************

FUNCTION RAN3( IDUM ) (xem phụ lục 2.1)

171