Luận án Tiến sĩ Vật lý: Xây dựng và khảo sát mô hình khối lượng neutrino với đối xứng vị A4 bằng phương pháp nhiễu loạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

PHÍ QUANG VĂN

XÂY DỰNG VÀ KHẢO SÁT MÔ HÌNH

KHỐI LƯỢNG NEUTRINO VỚI ĐỐI XỨNG VỊ A 4

BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

HÀ NỘI – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

PHÍ QUANG VĂN XÂY DỰNG VÀ KHẢO SÁT MÔ HÌNH

KHỐI LƯỢNG NEUTRINO VỚI ĐỐI XỨNG VỊ A 4

BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 62 44 01 03

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Anh Kỳ

Hà Nội – 2017

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới thầy Nguyễn Anh

Kỳ, người đã tận tình hướng dẫn, định hướng, dìu dắt, giúp đỡ tôi trên con đường

nghiên cứu khoa học cũng như tác phong làm việc nghiêm túc và không biết mệt

mỏi của Thầy trong thời gian hướng dẫn tôi làm nghiên cứu sinh và hoàn thành

luận án tiến sĩ này.

Luận án cũng không thể được hoàn thành nếu thiếu sự giúp đỡ nhiệt thành

và phong cách làm việc chuyên nghiệp của TS. Nguyễn Thị Hồng Vân, TS. Đinh

Nguyên Dinh trong việc trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm, cùng những buổi sinh hoạt

nhóm, thảo luận chuyên môn dài bất tận, có thể nói tôi đã học được rất nhiều điều

từ đây, với những gì đã nhận được tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới họ.

Môi trường và điều kiện học tập, nghiên cứu rất tốt tại cơ sở đào tạo cũng góp

phần không nhỏ trong việc hình thành kỹ năng làm việc và kết quả nghiên cứu

luận án của tôi. Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn đến nơi tôi được đào tạo, nghiên cứu

là Viện Vật lý và Học viên Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công

nghệ Việt Nam.

Nhân đây, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Kỹ thuật

- Hậu cần CAND cùng các đồng nghiệp nơi tôi công tác đã giúp đỡ, động viên, hỗ

trợ và tạo nhiều điều kiện tốt nhất về công tác cho tôi trong thời gian làm nghiên

cứu sinh và hoàn thành luận án này.

Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến chương trình học bổng thuộc Đề án 911, Quỹ phát

triển khoa học và công nghệ Quốc gia (Nafosted) theo đề tài số 103.03-2012.49 và

quỹ học bổng Odon Vallet thuộc Tổ chức Gặp gỡ Việt Nam đã hỗ trợ một phần kinh

phí cho tôi trong thời gian làm nghiên cứu sinh.

Và trên hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới bố mẹ, gia đình nhỏ, anh chị và bạn bè

những người đã hết sức ủng hộ, động viên về mọi mặt để tôi vững tin hoàn thành

luận án này.

Hà Nội, Mùa Thu 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan kết quả luận án "Xây dựng và khảo sát mô hình khối lượng

neutrino với đối xứng vị A4 bằng phương pháp nhiễu loạn" là kết quả nghiên cứu

của bản thân cùng sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn và sự hợp tác của nhóm

nghiên cứu. Kết quả luận án là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các

luận án và công trình đã có.

Hà Nội, 26-09-2016

Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Mở đầu 2

1 Mô hình chuẩn và vấn đề khối lượng neutrino 11

1.1 Mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Cấu trúc gauge của mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2 Phá vỡ đối xứng tự phát. Cơ chế Higgs . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 Tương tác Yukawa và khối lượng các fermion . . . . . . . . . . 16

1.1.4 Các dòng tương tác điện yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Khối lượng và chuyển hoá neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Số hạng khối lượng Dirac và Majorana . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Ma trận trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3 Cơ chế cầu bập bênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.4 Chuyển hoá neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.5 Khối lượng neutrino trong một số mở rộng mô hình chuẩn . . 36

44 2 Khối lượng và chuyển hoá neutrino trong mô hình A(1) 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1 Biểu diễn của nhóm A4 và các mô hình A4 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mô hình chuẩn mở rộng A(1) 4

2.3 Phần vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Phần lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Khối lượng và trộn neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog . . . . . . . . . . . . . . . 62

iii

MỤC LỤC MỤC LỤC

3 Khối lượng và chuyển hoá neutrino trong mô hình A(10) 68

3.1 Mô hình chuẩn mở rộng A(10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Phần vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Phần lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Khối lượng và chuyển hoá neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5 Nhận xét và so sánh sơ lược giữa hai mô hình . . . . . . . . . . . . . . 87

Kết luận 89

Danh mục các công trình đã công bố 91

A Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino 92

95 B Biểu diễn của nhóm A4

C Biểu thức khai triển nhiễu loạn 101

Tài liệu tham khảo 105

Danh sách hình vẽ

1 Nguồn neutrino mặt trời [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Nguồn neutrino khí quyển (do tia vũ trụ bắn phá hạt nhân ở bầu khí

quyển) [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Đồ thị mô tả dạng thế Higgs [97] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Góc trộn neutrino biểu diễn theo góc Euler liên hệ gữa cơ sở trạng

thái riêng và trạng thái khối lượng [109]. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Cơ chế cầu bập bênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Khối lượng neutrino hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . 28 1.5 Cơ chế seesaw I, III (hình trái), seesaw II (hình phải)

1.6 Cơ chế seesaw I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Cơ chế seesaw II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8 Cơ chế seesaw III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9 Các hướng để xây dựng mô hình vật lý nghiên cứu về neutrino. . . . 37

2.1 Trường thành phần trong mô hình chuẩn với đối xứng vị A4 × ZN [109]. 48

. . . . . . . . . . 64 2.2 Phân bố của δCP trong trường hợp NO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp NO.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

64 2.4 Phân bố của δCP trong trường hợp IO. 2.5 Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp IO. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 66 2.6 Phân bố của JCP trong trường hợp NO và IO.

3.1 Neutrino hiệu dụng trong cơ chế see-saw I. . . . . . . . . . . . . . . . 69

69 3.2 Cơ chế see-saw I với đối xứng vị A4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Khối lượng hiệu dụng |(cid:104)mee(cid:105)| là hàm của khối lượng neutrino; đồ thị

(hình trái) thu được bởi (3.72) với θij ∈ 3σ và δ, α21, α31 ∈ [0, 2π], đồ thị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 (hình phải) từ [6].

DANH SÁCH HÌNH VẼ DANH SÁCH HÌNH VẼ

3.4 JCP là hàm của θ13 (hình trái) và là hàm của δCP (hình phải) với các

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 góc trộn θij ∈ 3σ và pha δCP ∈ [0, 2π].

3.5 Phân bố của δCP trong NO (hình trái) và IO (hình phải) với 2 nghiệm

phân biệt tương ứng với màu đỏ và xanh . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6 Sự liên hệ giữa δCP và θ13 trong NO (hình trái) và IO (hình phải), ở

vùng 1σ, 2σ and 3σ tương ứng với màu đỏ, xanh lá cây và xanh da trời. 85

85 3.7 Phân bố của JCP trong NO và IO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 3.8 JCP là hàm của θ13 trong NO (hình trái) và IO (phải phải) . . . . . . .

95 B.1 A4 là nhóm đối xứng của hình tứ diện đều. . . . . . . . . . . . . . . . .

Danh sách bảng

1.1 Một số nhóm gián đoạn được sử dụng trong việc mở rộng mô hình

chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

47 2.1 Các phiên bản mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4 . . . . . . .

49 2.2 Các trường lepton và vô hướng với nhóm biến đổi A4, Z3, Z4. . . . . . .

2.3 Dữ liệu thực nghiệm của trường hợp NO và IO [6, 7]. . . . . . . . . . . 61

2.4 Giá trị trung bình của δCP và |JCP | trong trường hợp NO và IO của

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 mô hình A(1) 4 .

. . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1 Mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A(10)

3.2 Thang khối lượng của mô hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Giá trị trung bình của δCP và |JCP | trong trường hợp NO và IO của

mô hình A(10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

96 B.1 Lớp liên hợp của A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mở đầu

Giới thiệu về neutrino

Neutrino là hạt fermion có spin 1/2, trung hoà điện và có khối lượng rất nhỏ. Nó là

hạt cơ bản rất đặt biệt và khó ghi nhận do tương tác rất yếu với vật chất, chỉ tương

tác thông qua lực yếu và hấp dẫn, nhưng lại là loại hạt có rất nhiều trong vũ trụ.

Neutrino có 3 loại: neutrino electron (νe), neutrino muon (νµ) và neutrino tau (ντ ),

mật độ trung bình của neutrino trong vũ trụ là nν ≈ 336 cm−3, trong thiên hà của

chúng ta mật độ có thể lớn hơn do các phản ứng hạt nhân. Neutrino nguyên thuỷ

được tạo ra từ khoảng 13 tỉ năm trước, thời kỳ đầu sau Vụ nổ lớn (bigbang), thời kỳ

này vũ trụ là nóng, đậm đặc bao gồm các hạt cơ bản và neutrino. Nó được sinh ra từ

nhiều nguồn như: mặt trời, khí quyển trái đất, lò phản ứng hạt nhân, supernova,

bigbang [1–5]...

Kể từ khi được phát hiện, neutrino đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý hạt

cơ bản, vật lý thiên văn, vũ trụ học, nó cũng là mảnh ghép trọng yếu trong nhận

thức của chúng ta về vật chất và vũ trụ. Do những tính chất hết sức đặc biệt và

những hiểu biết về nó còn hạn chế nên các vấn đề về vật lý neutrino và các đối

tượng liên quan luôn là những chủ đề được quan tâm cần phải giải quyết. Hiện nay

chúng ta chỉ mới biết neutrino là hạt có khối lượng rất nhỏ, nhưng chưa biết khối

lượng chính xác của chúng bằng bao nhiêu.

Năm 1967, ba nhà vật lý Sheldon Glashow, Abdus Salam và Steven Weinberg

đề xuất lý thuyết điện yếu. Lý thuyết này mô tả tương tác điện từ, yếu giữa các hạt

cơ bản, khi kể đến tương tác mạnh (cũng được phát triển trong thời gian này), gọi là

mô hình chuẩn (MHC), và là lý thuyết gauge của đối xứng SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y .

Mô hình chuẩn đã đem lại những thành công lớn trong vật lý hạt cơ bản: như tiên

đoán sự tồn tại của boson W ±, Z, dòng trung hoà, quark t và c... Tuy nhiên, ngoài

những thành công trên MHC cũng còn những hạn chế chưa thể giải quyết được

như: không thống nhất được tương tác hấp dẫn, không giải thích được sự tồn tại

Mở đầu

của 3 thế hệ fermion, vấn đề phân bậc khối lượng, bất đối xứng giữa vật chất - phản

vật chất, bản chất của vật chất tối và năng lượng tối..., và vấn đề về khối lượng và

chuyển hoá neutrino.

Trong mô hình chuẩn, neutrino là hạt có khối lượng bằng không, nhưng thực

nghiệm đã cho thấy khối lượng của neutrino khác không. Khối lượng này không thể

được giải thích bởi cơ chế sinh khối lượng-cơ chế Higgs trong mô hình chuẩn được,

do trong mô hình không có neutrino phân cực phải, số lepton bảo toàn và thực

nghiệm không tìm được hệ số tương tác Yukawa đủ bé ( 10−12) để sinh khối lượng

neutrino. Do vậy cần có cơ chế mới sinh khối lượng neutrino, một trong những cơ

chế đó là cơ chế cầu bập bênh (seesaw), cơ chế này sinh khối lượng neutrino rất bé

(< 0.2eV [6, 7]) do tỉ lệ với bình phương khối lượng neutrino Dirac ∼ 100GeV và tỉ

lệ nghịch khối lượng neutrino Majrorana phân cực phải ∼ 1015GeV . Đây chính là

một trong những định hướng quan trọng để các nhà vật lý mở rộng mô hình chuẩn

và cũng là hướng tiếp cận luận án này khi nghiên cứu về khối lượng và chuyển hoá

neutrino thông qua việc mở rộng mô hình chuẩn.

Lịch sử và phát triển về nhận thức neutrino trải qua nhiều giai đoạn với sự đóng

góp không mệt mỏi của cộng đồng vật lý [3, 5, 8–11]. Ý tưởng về neutrino xuất hiện

lần đầu tiên trong giả thuyết của W. Pauli vào năm 1930, và có thể coi đây là dấu mốc ra đời của vật lý neutrino. Ý tưởng này được biết đến trong nội dung lá thư mở

của W. Pauli gửi đến hội nghị Tubingen, Thuỵ sĩ ngày 4 tháng 9 năm 1930, trong đó

ông đã giả thuyết sự tồn tại của hạt mới trung hoà có spin 1/2 và được tạo ra cùng electron trong phân rã β. Từ thí nghiệm của C. D. Ellis và W. A. Wooster về phân rã β, cho thấy năng lượng trung bình của electron được sinh ra trong phân rã nhỏ hơn năng lượng giải phóng toàn phần. Do đó, để đảm bảo định luật bảo toàn năng

lượng không bị vi phạm thì giả thiết có sự tồn tại hạt trung hoà điện, với khối lượng

bé và có khả năng đâm xuyên lớn (lớn hơn cả photon), hạt này được gọi là neutrino (theo tiếng Ý neutrino được ghép từ 2 từ: neutral có nghĩa là trung hoà và từ nino

có nghĩa là bé - do E. Fermi gợi ý). Thời điểm này vấn đề neutrino chưa thu hút

được sự quan tâm nhiều của giới vật lý. Nó chỉ thực sự được chú tới sau khi các hạt neutron, muon, pions, kaons, Λ và những hạt lạ khác được phát hiện, và càng chú ý hơn sau công trình của B. Pontecorvo (năm 1957) về chuyển hoá neutrino [12].

Ý tưởng của B. Pontecorvo đã đề xuất neutino có khối lượng bé và có sự chuyển hoá tương tự như chuyển hoá (K 0, K ) [13, 14]. Sự chuyển hoá cho thấy trạng thái vị (một số tài liệu gọi là hương - flavor) và trạng thái khối lượng của neutrino là khác nhau, chúng liên hệ với nhau bởi ma trận trộn. Ma trận trộn này được tham

số hoá bởi 3 góc trộn và 3 pha (1 pha Dirac và 2 pha Majorana) gọi là ma trận trộn

Mở đầu









s13e−iδ

(1)

UP M N S =

0 eiα1/2

s23c13

   

   

   

   

eiα2/2

s12c13 c12c13 c23c12 − s13s23s12eiδ −c23s12 − s13s23c12eiδ s23s12 − s13c23c12eiδ −s23c12 − s13c23s12eiδ

c23c13

Pontecorvo-Maki- Nakagawa-Sakata có dạng

ở đây, cij = cos θij, sij = sin θij, i, j = 1, 2, 3, δ là pha Dirac và α1, α2 là pha Majorana

∈ [0, 2π]. Ma trận UP M N S khác với ma trận trộn UCKM của phần quark bởi 2 pha

Majorana, do neutrino có thể là hạt Majrorana (tức đồng nhất với phản hạt của

nó).

Hình 1: Nguồn neutrino mặt trời [13]

Hình 2: Nguồn neutrino khí quyển (do tia vũ trụ bắn phá hạt nhân ở bầu khí quyển) [13]

Hiện nay có rất nhiều thí nghiệm khảo sát sự chuyển hoá neutrino như thí

nghiệm Super-Kamiokande, T2K, KamLAND (Nhật Bản), SNO (Canada), RENO

(Hàn Quốc), Double CHOOZ (Pháp), NOνA (Mỹ), Daya Bay (Trung Quốc) từ các

nguồn neutrino mặt trời, khí quyển, (minh hoạ trong hình 1, 2), lò phản ứng hạt

nhân và máy gia tốc. Các thí nghiệm này có thể xác định các đại lượng như góc trộn

Mở đầu

ij. Việc xác

θij, pha Dirac vi phạm CP δCP và chênh lệch bình phương khối lượng ∆m2

định được các đại lượng trên có ý nghĩa rất lớn không chỉ trong vật lý hạt và vũ trụ

học mà còn hỗ trợ trong việc xây dựng các mô hình vật lý hiện tượng luận.

Lý do chọn đề tài

Các thí nghiệm trên đến nay đã xác định được 5 tham số neutrino gồm: 3 góc

∆m2 trộn θ23 ≈ 41, 40, θ12 ≈ 33, 70, θ13 ≈ 8, 80 và 2 chênh lệch bình phương khối lượng 12 = 7, 54.10−5eV 2, |∆m2| = 2, 43.10−3 [6]. Tuy nhiên, vật lý neutrino vẫn còn

những vấn đề thực nghiệm chưa xác định được [3, 8–11] như:

• Neutrino là hạt Dirac hay Majorana?

• Phần lepton có vi phạm CP không? Giá trị của pha CP bằng bao nhiêu?

• Đặc trưng phổ khối lượng neutrino là gì? Phổ khối lượng là phân bậc thuận

hay phân bậc ngược?

• Giá trị khối lượng tuyệt đối neutrino bằng bao nhiêu?

• Có tồn tại neutrino trơ/lạ (sterile) không?

Để mô tả các dữ liệu đã được thực nghiệm xác định và giải quyết các thách thức

trên thì cần phải có mô hình lý thuyết phù hợp, nhưng hiện tại chưa có mô hình

nào có thể giải quyết trọn vẹn, thuyết phục vấn đề trên. Đây là lý do, các nhà vật

lý cần phát triển mô hình lý thuyết để giải quyết những thách thức này. Luận cứ

chính cho hầu hết các mô hình lý thuyết được phát triển hiện nay là mở rộng trên

cơ sở mô hình chuẩn. Đến thời điểm hiện tại, có rất nhiều hướng mở rộng MHC,

trong đó các vấn đề neutrino được nghiên cứu như mô hình siêu đối xứng [15–19],

lý thuyết thống nhất lớn [20, 21], mô hình chuẩn đối xứng trái phải [22–24], mô

hình 3-3-1 [25–40], mô hình đối xứng gương [41, 42], mô hình Zee [43–46], mô hình

Zee-Babu [47–50] và mô hình đối xứng thế hệ (đối xứng vị hay hương) v.v...

Một trong những hướng trên thu hút được quan tâm hiện nay là mở rộng mô

hình chuẩn với đối xứng vị. Như chúng ta đã biết trong mô hình chuẩn các thế hệ

hạt quark và lepton biến đổi như nhau dưới đối xứng chuẩn và số thế hệ là bất kỳ

(về lý thuyết). Việc đưa thêm đối xứng vị vào trong mô hình chuẩn góp phần vào

việc xác định khối lượng của các quark, lepton và cách thức trộn giữa các quark và

lepton một cách hiệu quả và thuận tiện hơn [51].

Mở đầu

Đối xứng vị là đối xứng tác dụng trong không gian thế hệ và luôn được coi có khả

năng bị phá vỡ ở thang năng lượng cao (lớn hơn thang điện yếu) trong các nghiên

cứu về neutrino và chúng giao hoán với nhóm gauge. Do đó, các mô hình chuẩn mở

rộng có thể thêm vào nhóm đối xứng vị, ví dụ như SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y × GF

(gọi tắt là mô hình đối xứng vị), trong đó GF là nhóm đối xứng vị [51–53].

Nhóm đối xứng vị có thể là nhóm đối xứng liên tục hoặc gián đoạn và có thể

là Abel hay không Abel. Tuy nhiên, nhóm đối xứng gián đoạn không Abel luôn

được xem là sự lựa chọn ưu tiên hơn các nhóm gián đoạn khác khi thêm vào mô

hình chuẩn mở rộng trong các hướng nghiên cứu về neutrino. Do chúng có ưu điểm

là có hữu hạn biểu diễn bất khả quy và thường được xét với số chiều nhỏ hơn 4

(để chúng có sự đồng nhất với 3 thế hệ trong mô hình chuẩn), ví dụ với các nhóm

GD = {S3, S4, A4, A5, T 7, ∆(27), ...} [54–58]. Ngoài ra, trong mô hình đối xứng vị sẽ

không có thêm boson Goldstone hoặc boson gauge phát sinh trái với đối xứng gauge

trong MHC và còn có thể làm cho việc tính toán các phần trộn của quark và lepton

được thuận tiện hơn.

Trong các mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị gián đoạn thì mô hình với đối

xứng vị A4 là được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất vì nó là nhóm nhỏ nhất chứa

biểu diễn bất khả quy 3 chiều và để có thể cho mô tả 3 thế hệ. Ý tưởng này xuất

phát từ các công trình thời kỳ đầu xây dựng mô hình đối xứng vị của G. Altarelli,

F. Feruglio, Ernest Ma, Steve King [59–63] và một số nhà vật lý khác, khi các mô

hình này đã mô tả chính xác ma trận trộn dạng tribimaximal (TBM) do Harrison-

Perkins-Scott đưa ra trong năm 2002 [64] mà không áp đặt lên mô hình bất kỳ điều

kiện nào và khá phù hợp với thực nghiệm thời kỳ đó. Ma trận TBM có dạng

 

. (2) − UT BM =         − (cid:113) 2 3 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 3 (cid:113) 1 3 − (cid:113) 1 3 0 (cid:113) 1 2 (cid:113) 1 2

Ma trận UT BM chính là ma trận UP M N S khi sin2 θ12 = 1/3, sin2 θ23 = 1/2 và θ13 = 0,

chúng ta có thể thấy rằng UT BM chênh lệch rất bé so với ma trận UP M N S mà thực

nghiệm hiện tại xác định. Ngoài ra mô hình có đối xứng A4 là một trong mô hình

mở rộng khá tiết kiệm về số lượng các trường bổ sung mở rộng và biểu diễn của A4

là khá phù hợp với các thế hệ của neutrino. Đây là lý do chính chúng tôi chọn hướng

mở rộng này khi nghiên cứu khối lượng và chuyển hoá neutrino.

Mở đầu

Mục tiêu của luận án

Xây dựng và khảo sát mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4, trong đó tính toán

khối lượng và chuyển hoá neutrino bằng phương pháp nhiễu loạn cho các kết quả

phù hợp với thực nghiệm và thu được biểu thức giải tích liên hệ giữa pha Dirac vi

phạm CP δCP với các góc trộn θij. Mô hình xây dựng có khả năng tiên đoán giá trị

δCP và khối lượng hiệu dung trong phân rã beta kép không neutrino (khối lượng

hiệu dụng) |(cid:104)mee(cid:105)| phù hợp giới hạn thực nghiệm hiện tại.

Vấn đề đặt ra của luận án

Hiện nay có rất nhiều đề xuất phát triển mô hình đối xứng vị A4 khác nhau để

giải quyết các vấn đề còn tồn tại về khối lượng neutrino, θ13, δCP và khối lượng hiệu

dung |(cid:104)mee(cid:105)|. Nhưng hầu hết các mô hình đều bộc lộ những hạn chế nhất định chưa

giải quyết được như có mô hình tính được θ13 nhưng không tính được δCP [71, 72]

hoặc ngược lại [73–77], có mô hình tính được cả θ13, δCP nhưng không tính được khối

lượng [78–81]. Ngoài ra có rất nhiều mô hình khi xây dựng đã áp đặt các điều kiện

lên giá trị trung bình chân không (VEV) của các trường vô hướng theo cách không

rõ nguồn gốc, lý do và thậm chí một số không xét đến các tương tác giữa các trường

vô hướng nên không đánh giá được ảnh hưởng VEV của chúng lên mô hình, khối

lượng và chuyển hoá neutrino [82–86].

Do đó, chúng tôi đã xây dựng mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4 để giải

quyết các vấn đề trên. Mô hình này có thể khảo sát được một cách đầy đủ tương

tác của các trường vô hướng, sau đó thông qua điều kiện thế năng cực tiểu có thể

xác định được VEV của chúng và từ đó đánh giá được những đóng góp, ảnh hưởng

của VEV lên khối lượng neutirno, đồng thời xác định được nguồn gốc của những

đóng góp vào giá trị θ13, δCP . Cùng với đó mô hình cũng đã tiên đoán được các giá

trị θ13, δCP và mi (khối lượng neutrino) phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Hơn nữa

mô hình mà chúng tôi xây dựng đã đưa ra được biểu thức giải tích liên hệ giữa θij

và δCP . Từ biểu thức này sẽ cho tiên đoán giá trị của δCP khá phù hợp với những dữ

liệu công bố trong [6, 7] khi sử dụng các giá trị thực nghiệm θij.

Tuy nhiên, kết quả trên đạt được lại phụ thuộc vào việc chéo hoá ma trận khối

lượng neutrino Mν. Đây là công việc thực sự khó khăn không chỉ với mô hình của

chúng tôi mà còn với các mô hình khác. Khó khăn ở đây là do ma trận Mν phụ

thuộc vào số lượng lớn tham số đầu vào là các hằng số tương tác Yakawa và VEV

Mở đầu

khác nhau của các trường vô hướng. Nếu cứ tiến hành chéo hoá theo cách thông

thường thì chúng ta sẽ nhận được biểu thức khối lượng và ma trận trộn neutrino

rất phức tạp gồm nhiều tham số đầu vào chưa biết nên không thể so sánh với số

liệu thực nghiệm được (cụ thể giá trị thực nghiệm gồm 3 góc trộn θij, 2 chênh lệch

bình phương khối lượng, trong khi đó số lượng tham số đầu vào lớn hơn rất nhiều),

do vậy điều này là không khả thi. Để khắc phục khó khăn này, có rất nhiều cách

thức, thủ thuật khác nhau chéo hoá Mν như áp đặt các điều kiện để hạn chế các

tham số đầu vào hay sử dụng bổ đính vô cùng bé vào khối lượng neutrino, nhưng

nhìn chung chưa có cách nào thực sự hiệu quả và triệt để. Câu hỏi đặt ra là cách

thức và phương pháp của luận án giải quyết vấn đề này như thế nào?

Phương pháp giải quyết

Trong luận án chúng tôi đã sử dụng phương pháp nhiễu loạn [87] để thực hiện việc

chéo hoá ma trận Mν. Phương pháp này cũng được sử dụng trong công trình [82],

khi nhóm tác giả áp dụng mô hình Altarelli-Feruglio [59] trong nghiên cứu của

mình nhưng chỉ tính được θ13 (với sai số rất lớn so với giá trị thực nghiệm), mà lại

áp đặt tuỳ tiện các điều kiện về VEV của các trường vô hướng (do không xét tương

tác giữa các vô hướng nên không đánh giá được VEV) cũng như không xét hết các

tương tác Yukawa trong mô hình. Điều đó dẫn đến kết quả tính toán thiếu độ tin

cậy, thậm chí có thể sai lệch hoàn toàn. Ngoài ra một số tác giả khác cũng dùng

phương pháp nhiễu loạn để tính toán ma trận UP M N S quanh ma trận UT BM nhưng

không xuất phát từ mô hình vật lý [88, 89] mà chỉ thuần tuý về mặt tính toán ước

lượng, không cho giá trị đại lượng vật lý để so sánh với số liệu thực nghiệm. Do vậy,

các công trình này đã bộc lộ những hạn chế không thể giải quyết được.

Độc lập cách thức và kết quả của công trình trên, chúng tôi sử dụng phương

pháp nhiễu loạn để tính toán và thu được biểu thức giải tích liên hệ giữa các góc

trộn θij và pha Dirac vi phạm CP δCP [90–93]. Từ biểu thức giải tích này, với các số

liệu thực nghiệm θij, chúng tôi sử dụng phần mềm ROOT (do Trung tâm hạt nhân

Châu âu-CERN phát triển) và Matlab để vẽ được đồ thị phân bố của δCP , JCP và

đồ thị sự phụ thuộc của δCP vào góc trộn θ13 trong cả hai trường hợp phân bậc khối

lượng thuận và ngược của neutrino. Từ những đồ thị đó, chúng tôi xác định được

các giá trị trung bình của δCP và JCP và thấy khá gần với dữ liệu trong [6, 7]. Việc

xác định được giá trị δCP là rất quan trọng vì nó chứng tỏ được sự khác nhau giữa

xác suất quá trình chuyển hoá neutrino P (νl → νl(cid:48) ) và quá trình chuyển hoá phản

Mở đầu

neutirno P (νl → νl(cid:48) ) trong chân không. Ngoài ra, một điều rất có ý nghĩa nữa đối

với mô hình chúng tôi xây dựng, là khi tiến hành tính toán số các đại lượng θ13, δCP

và mi để kiểm định độ tin cậy của mô hình, chúng cho các kết quả rất gần với số

liệu thực nghiệm, trong [6, 7], với θ13 ≈ 9◦, δCP = 1.39π và mi cỡ 0.1 eV. Kết quả này

càng khẳng định tính đúng đắn của mô hình xây dựng và phương pháp tính toán

mà chúng tôi sử dụng.

Ngoài ra, kết quả luận án thu được cũng không thể thiếu các công cụ về cơ sở lý

thuyết trường lượng tử, vật lý hạt cơ bản, mô hình chuẩn và lý thuyết nhóm, cụ thể

là nhóm A4, cùng với đó là các công cụ rất hữu dụng khác như phương pháp tính,

phần mềm tính toán: ROOT [94] (do CERN phát triển trên nền ngôn ngữ lập trình

C++ để phân tích và xử lý số liệu thực nghiệm), Mathematica, Matlab để xử lý số

liệu, vẽ đồ thị và so sánh với giá trị thực nghiệm, đánh giá và phân tích kết quả.

Kết quả nghiên cứu của luận án

Luận án triển khai nghiên cứu hai phiên bản của mô hình chuẩn mở rộng với đối

xứng vị A4. Phiên bản thứ nhất, chúng tôi đề xuất mô hình chuẩn với đối xứng

A4 × Z3 × Z4 để xác định khối lượng và chuyển hoá neutrino, trong đó chúng tôi

thu được biểu thức giải tích sự liên hệ giữa các góc trộn θij với δCP , và các giá trị số

θ13, δCP và tham số Jarlskog JCP rất gần với các số liệu thực nghiệm [91, 92]. Trong

mô hình có thêm đối xứng Z3 × Z4 với mục đích loại trừ các phần tử tương tác không

mong muốn và đảm bảo không phá vỡ cấu trúc khối lượng lepton tích. Với phiên

bản thứ 2 xuất phát từ ý tưởng xây dựng một mô hình đối xứng A4 chứa neutrino có

khối lượng một cách đơn giản và "tự nhiên" hơn. Trong đó, mô hình gồm: 4 trường

thành phần lepton của mô hình chuẩn, 4 trường neutrino và 4 trường vô hướng, mà

từng loại này có số trường bằng với số biểu diễn bất khả quy của nhóm A4. Nói cách

khác, cả 3 loại trường này trong đó lần lượt có tương ứng với 4 biểu diễn bất khả quy của A4 là 3, 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48). Do vậy, một cách "tự nhiên", khối lượng neutrino được sinh

ra trong mô hình là tổng toàn bộ các quá trình seesaw tương ứng với từng trường

neutrino phân cực phải (có cấu trúc gồm tam tuyến và đơn tuyến tương ứng với tất

cả các biểu diễn bất khả quy của A4) [93]. Ở đây quá trình seesaw thông thường có

thể coi như là một quá trình hiệu dụng từ các quá trình thành phần ứng với từng

biểu diễn bất khả quy khác nhau của A4. Cách tiếp cận này khá độc đáo và chưa

được xem xét trong các hướng mở rộng mô hình chuẩn có đối xứng vị từng được

công bố. Mô hình xây dựng cũng cho các kết quả tính toán về δCP , JCP và |(cid:104)mee(cid:105)|

Mở đầu

khá gần với các kết quả với thực nghiệm [6, 7], nhưng có ưu điểm hơn phiên bản 1

là không cần đưa vào đối xứng Z3 × Z4. Một sự khác nhau nữa giữa 2 phiên bản là

tham số (đối tượng) nhiễu loạn khác nhau: trong phiên bản thứ nhất xử lý nhiễu

loạn theo VEV của các trường vô hướng, còn trong phiên bản 2 thì nhiễu loạn theo

hệ số tương tác Yukawa và VEV của trường vô hướng đơn tuyến A4.

Cấu trúc luận án

Với lý do, mục tiêu nghiên cứu, vấn đề, phương pháp và kết quả đạt được của luận

án, chúng tôi đã bố cục luận án thành 5 chương:

(cid:5) Chương Mở đầu: Giới thiệu về neutrino, lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên

cứu luận án đạt được, vấn đề đặt ra của luận án và phương pháp giải quyết

đề. Cuối cùng là giới thiệu sơ lược kết quả đạt được của luận án.

(cid:5) Chương 1: Trình bày tổng quan nội dung mô hình chuẩn, các vấn đề về khối

lượng và chuyển hoá neutrino để làm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu mở

rộng mô hình chuẩn.

4 để nghiên cứu khối lượng và

(cid:5) Chương 2: Xây dựng và khảo sát mô hình A(1)

chuyển hoá neutrino. Trong mô hình sử dụng phương pháp nhiễu loạn trung

bình chân không của trường vô hướng để khảo sát và tính toán các đại lượng

khối lượng, góc trộn neutrino, δCP , JCP , và biểu thức liên hệ giữa δCP với góc

trộn θij.

(cid:5) Chương 3: Xây dựng và khảo sát mô hình A(10) để nghiên cứu khối lượng và

chuyển hoá neutrino. Trong mô hình sử dụng phương pháp nhiễu loạn đối với

hằng số tương tác Yukawa của các neutrino phân cực phải để khảo sát và tính

toán các đại lượng khối lượng, góc trộn neutrino, δCP , JCP , |(cid:104)mee(cid:105)|, và biểu thức

liên hệ giữa δCP với góc trộn θij.

(cid:5) Chương Kết luận: Thảo luận kết quả nghiên cứu và định hướng các hướng

nghiên cứu tiếp theo của luận án.

Chương 1

Mô hình chuẩn và vấn đề khối

lượng neutrino

1.1 Mô hình chuẩn

Mô hình chuẩn được xây dựng từ những năm 60 và đầu những năm 70 của thể kỉ

trước để mô tả tương tác mạnh, điện từ và yếu. Lý thuyết này đã đạt được rất nhiều

thành công (như đã trình bày trong chương mở đầu) khi tiên đoán được sự tồn tại

của các hạt mới như boson vector W ±, Z, các quark c, b, t (quark duyên, đáy, đỉnh),

hạt boson vô hướng Higgs, dòng trung hoà và những tiên đoán này phù hợp rất tốt

với thực nghiệm. Đặc biệt, năm 2012 thí nghiệm LHC (máy gia tốc va chạm lớn) tại

CERN đã phát hiện và xác định được khối lượng boson Higgs [95, 96], nhưng đến

nay chưa có đủ thông tin để xác nhận boson Higgs này có phải là boson Higgs trong

mô hình chuẩn tiên đoán hay không, việc này cần thêm thông tin và thời gian để

xác định kết quả trên.

Một trong những lý do chính cho sự ra đời của mô hình là các nhà vật lý cố gắng

xây dựng một lý thuyết tái chuẩn hoá của tương tác yếu (lý thuyết tương tác dòng

V-A), như trong lý thuyết điện động lực học lượng tử cùng thời kỳ. Từ đây, ba nhà

vật lý Sheldon Glashow, Abdus Salam và Steven Weinberg đã đề xuất lý thuyết tái

chuẩn hoá của tương tác yếu xây dựng trên sự thống nhất tương tác điện từ và yếu

gọi là lý thuyết Glashow - Weinberg - Salam (GWS) hay lý thuyết mô hình chuẩn

(khi có mô tả thêm tương tác mạnh). Sau đó, năm 1971, Gerardus’t Hooft cùng với

thầy hướng dẫn nghiên cứu sinh của mình là Martinus Veltman đã chứng minh mô

hình chuẩn là lý thuyết tái chuẩn hoá được, đây cũng được coi góp phần vào thành

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

công của mô hình chuẩn.

Mô hình chuẩn được xây dựng trên 2 bước chính: thứ nhất là bất biến gauge

đối với các trường không khối lượng, và thứ 2 là phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế

Higgs để tạo ra khối lượng của các trường không khối lượng, trừ trường điện từ,

nghĩa là mô hình coi trước khi phá vỡ đối xứng tự phát các hạt đều không có khối

lượng.

Nội dung chương này chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu về bất biến gauge, phá vỡ

đối xứng tự phát, cơ chế Higgs, khối lượng các fermion và các hạt mà mô hình đã

tiên đoán: W ±, Z và Higgs v.v.

1.1.1 Cấu trúc gauge của mô hình chuẩn

Như đã trình bày ở trên, trước hết chúng tôi sẽ trình bày cấu trúc gauge của mô

hình chuẩn.

Đầu tiên, chúng ta có thể xét Lagrangian tự do của trường ψ(x)

(1.1) L0 = ψ(x) (cid:0)iγλ∂λ − m(cid:1) ψ(x),

trong đó ψ(x) là lưỡng tuyến của nhóm SU (2). Tiếp theo, chúng ta sẽ xét phép biến

đổi gauge SU (2) định xứ

ψ(cid:48)(x) = U (x)ψ(x), (1.2)

2 i (cid:126)τ (cid:126)θ(x), với (cid:126)τ = (τ 1, τ 2, τ 3) là các ma trận Pauli và θi(x) là các hàm

ở đây U (x) = e 1

tuỳ ý của x. Từ đạo hàm ∂λψ(x) và phép biến đổi SU (2) vô cùng bé, thì chúng ta thu

được (cid:18) (cid:19) (cid:126)θ(x) ψ(cid:48)(x). (1.3) ∂λψ(x) = U †(x) ∂λ − i (cid:126)τ ∂λ 1 2

Chúng ta thấy, ψ(x) và ∂λψ(x) trong (1.2) và (1.3) không cùng phép biến đổi, do vậy

Lagrangian (1.1) là không bất biến với phép biến đổi (1.2). Để lý thuyết bất biến với

phép biến đổi (1.2), chúng ta có thể giả sử ψ(x) tương tác với trường vector và xét

đạo hàm hiệp biến (cid:19) (cid:18) ψ(x), (1.4) ig (cid:126)τ (cid:126)Aλ(x) Dλψ(x) = ∂λ + 1 2

λ(x) là trường vector.

ở đây g là hằng số không thứ nguyên và Ai

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

Từ đây, chúng ta có thể đi xét biến đổi của đạo hàm hiệp biến

(1.5) Dλψ(x) = U †(x)U (x)DλU †(x)ψ(cid:48)(x).

Trong biểu thức trên, khi tiến hành tính U (x)DλU †(x) chúng ta thu được

λ (x) = D(cid:48) λ,

(cid:126)τ (cid:126)A (cid:48) (1.6) U (x)DλU †(x) = ∂λ + ig 1 2

trong đó

λ (x) = (cid:126)Aλ(x) −

(cid:126)A (cid:48) (1.7) ∂λ (cid:126)θ(x) − (cid:126)θ(x) × (cid:126)Aλ(x). 1 g

Do đó, từ (1.5) và (1.6) chúng ta có

λψ(cid:48)(x).

(1.8) Dλψ(x) = U †(x)D(cid:48)

Đến đây, với (1.2) và (1.8), chúng ta thấy rằng dưới phép biến đổi (1.2) của ψ(x)

và biến đổi gauge (1.7) của trường vector Aλ(x) thì đạo hàm hiệp biến Dλψ(x) và

trường ψ(x) có cùng phép biến đối. Do vậy, chúng ta có thể rút ra kết luận, nếu

trong Lagrangian tự do (1.1), thay đạo hàm thường ∂λ bằng đạo hàm hiệp biến Dλ

thì khi đó Lagrangian tự do sẽ trở thành

(1.9) LI = ψ(x) (cid:0)iγλDλ − m(cid:1) ψ(x),

và nó sẽ bất biến với phép biến đổi gauge định xứ.

Từ (1.9), chúng ta có thể thấy, LI là bằng tổng Lagrangian tự do L0 của trường

ψ(x) và Lagrangian tương tác của trường ψ(x) với trường vector Aλ(x). Do đó, trong

Lagrangian toàn phần cũng phải có Lagrangian tự do của trường vector Aλ(x) và

nó phải bất biến với phép biến đổi (1.7).

Trong trường hợp xét mô hình điện yếu GWS bất biến với nhóm gauge định xứ

SU (2)L × U (1)Y thì cũng phải thay đạo hàm thường ∂λψ(x) bằng đạo hàm hiệp biến

Dλψ(x), khi đó Dλψ(x) có dạng

(cid:19) (cid:18) ψ(x), (1.10) Y Bλ(x) Dλ(x) = ∂λ + ig 1 2 (cid:126)τ (cid:126)Aλ(x) + ig(cid:48) 1 2

ở đây, Aλ(x) và Bλ(x) là các trường gauge của đối xứng SU (2)L và U (1)Y , g và g(cid:48) là

hằng số tương tác tương ứng. Nhóm đối xứng U (1)Y có toán tử siêu tích Y và siêu

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

tích này liên hệ với điện tích Q bởi công thức Gell-Mann - Nishijima [2, 3]

. (1.11) Q = I3 + Y 2

Tóm lại, trong lý thuyết để bất biến gauge định xứ thì phải thay đạo hàm thường

bởi đạo hàm hiệp biến. Ngoài ra, chúng ta thấy trong lý thuyết số hạng khối lượng

của trường vector Aλ(x) không bất biến với phép biến đổi (1.7), là do đối xứng gauge

định xứ SU (2) bị vi phạm. Trong mô hình chuẩn, các thành phần ψL(x) (cid:54)= ψR(x)

dưới phép biến đổi SU (2)L, do đó số hạng mψψ = m(ψLψR + ψRψL) không bất biến,

vậy các fermion cũng không có khối lượng. Nội dung tiếp sau, chúng tôi sẽ trình

bày cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát của đối xứng gauge.

1.1.2 Phá vỡ đối xứng tự phát. Cơ chế Higgs

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày bước thứ 2 để xây dựng mô hình chuẩn đó là

vi phạm đối xứng tự phát, cơ chế Higgs. Mô hình GWS bất biến với nhóm đối xứng

gauge định xứ SU (2)L ×U (1)Y nên Lagrangian của trường Higgs cũng phải bất biến

với nhóm đối xứng gauge này. Khi đó Lagrangian của trường Higgs có dạng

(1.12) LS = (Dλφ)† (cid:0)Dλφ(cid:1) − V (φ†φ).

trong đó, trường Higgs φ là lưỡng tuyến SU (2)L, và

hφ†φ + λh(φ†φ)2,

V (φ†φ) = −µ2 (1.13)

h và λh là các hằng số dương. Từ (1.13) chúng ta dễ dàng tìm cực tiểu của thế

với µ2

năng, minh hoạ trong hình 1.1, là

v√ 2

  0 , (1.14) V (φ†φ)M in = − tại φ0 =   µ4 h 4λh

Từ đây, chúng ta có thể tham số hóa lưỡng tuyến vô hướng với sự dịch chuyển so với

trạng thái chân không như

    ϕ+ 0 φ(x) = eiτ iθi(x) (1.15)    ,  = 1 √ 2 ϕ0 v + H(x)

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

ở đây, θi(x) gọi là các boson Goldstone và H(x) là boson Higgs. Mô hình bất biến với

Hình 1.1: Đồ thị mô tả dạng thế Higgs [97]

phép biến đổi gauge định xứ

U (x) = e−iτ iθi(x), (1.16)

nên chúng ta có phép biến đổi của trường φ

  0 φ(cid:48) = U (x)φ = (1.17) √   . (v + H(x))/ 2

Từ Lagrangian (1.12), chúng ta thu được số hạng Lagrangian Higgs

λW λ +

(v + H)2W † (2vH + H 2)2, (1.18) LH = ∂λH∂λH + (v + H)2ZλZ λ − g2 + g(cid:48)2 8 λ 4 1 2 g2 4

trong đó, W λ là trường boson tích W ± viết như

1 − iAλ 2√ 2

Aλ , W λ = (1.19)

λ − sin θW Bλ,

(1.20) Zλ = cos θW A(cid:48)3

λ + cos θW Bλ,

(1.21) Aλ = sin θW A(cid:48)3

với

, , (1.22) sin θW = cos θW = g(cid:48) (cid:112)g2 + g(cid:48)2 g (cid:112)g2 + g(cid:48)2

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

và ở đây θW gọi là góc Weinberg. Từ (1.18) ta viết được Lagrangian khối lượng của

W, Z và H như

W W †

ZZλZ λ −

HH 2,

λW λ +

Lm = m2 m2 m2 (1.23) 1 2 1 2

trong đó

W =

Z =

H = 2λv2 = 2µ2.

m2 g2v2, m2 (g2 + g(cid:48)2)v2, m2 (1.24) 1 4 1 4

Hiện nay, thực nghiệm đã xác định một cách tương đối chính xác với các đại

lượng trên [6, 95–97] là

mW = 80, 385 ± 0, 015GeV, mZ = 91, 1876 ± 0, 0021GeV,

(1.25) mH = 125, 15 ± 0, 24GeV.

Tóm lại trong mô hình sau khi phá vỡ đối xứng tự phát thì boson Goldstone θ bị

các boson gauge ăn mất và các boson vector W ±, Z 0 trở thành trường có khối lượng

còn trường Aλ không có khối lượng.

1.1.3 Tương tác Yukawa và khối lượng các fermion

Tương tác Yukawa trong mô hình chuẩn là tương tác giữa trường Higgs với các

trường quark và lepton không khối lượng. Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát thì các

quark và lepton này trở nên có khối lượng và khối lượng của chúng tỉ lệ với VEV

của trường Higgs. Mô hình chuẩn gồm 6 quark là u (trên), d (dưới), c (duyên), s

(quark lạ), t (đỉnh) và b (đáy), và 3 lepton tích là e (electron), m (muon) và t (tau) và

3 neutrino tương ứng với 3 lepton tích là νe (neutrino electron), νµ (neutrino muon)

và ντ (neutrino tau). Chúng được phân thành 3 thế hệ và được sắp xếp vào các lưỡng

tuyến và đơn tuyến của nhóm SU (2)L như

    Uk νl , (1.26) QkL = , UkR, DkR, (k = 1, 2, 3), ψlL = lR, (l = e, µ, τ ),     l Dk

trong đó QkL, ψkL là lưỡng tuyến gồm các thành phần phân cực trái và UkR, DkR, lR

là đơn tuyến phân cực phải của nhóm SU (2)L.

Lagrangian của mô hình chuẩn

(1.27) LSM = LF + LG + LS + LY .

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

3 (cid:88)

Trong đó, LF là Lagrangian phần động năng của các quark và lepton tích có dạng

µ QkL +

µ UkR +

µ DkR

k=1

(1.28) LF = U kRiγµD(q,l) DkRiγµD(q,l) QkLiγµD(q)

k=1 (cid:88)

µ ψlL +

l=e,µ,τ

(cid:88) + lR, ψlLiγµD(lep) lRD(q,l) µ

với

µ =

L Bµ

R Bµ

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) = g(cid:48)Y q,lep , D(q,l) g(cid:48)Y q,l . (1.29) ∂µ + ig . (cid:126)Aµ + i ∂µ + i D(q,lep) µ 1 2 (cid:126)τ 2 1 2

λ có dạng

LG là Lagrangian tự do của các trường vector Bλ và Ai

(cid:126)F λβ, (1.30) LG = − BλβBλβ − (cid:126)Fλβ 1 4 1 4

với

(1.31) Bλβ = ∂λBβ − ∂βBλ, (cid:126)Fλβ = ∂λ (cid:126)Aβ − ∂β (cid:126)Aλ − g (cid:126)Aλ × (cid:126)Aβ.

LS là Lagrangian của trường Higgs có dạng

(1.32) LS = (Dµφ)† (Dµφ) − V (φ†φ).

Và LY là Lagrangian tương tác Yukawa của các quark và lepton tích

R + h.c.

kj QkLφDjR + Γ(U ) Γ(D)

kj QkL (cid:101)φUjR

ll(cid:48) ψlLφl(cid:48) Γ(lep)

k,j

l,l(cid:48) =e,µ,τ

(cid:17) (cid:16) (cid:88) (cid:88) − (1.33) LY = −

kj , Γ(U )

kj và Γ(lep)

ll(cid:48)

ở đây, Γ(D) là hằng số tương tác Yukawa; (cid:101)φ = iτ2φ∗ và nó có siêu tích là

-1. Từ (1.33) và φ, ta có thể viết được số hạng Lagangian khối lượng của các quark

và lepton tích

mass = −

kj DjR −

k,j UjR −

k,j

l,l(cid:48) =e,µ,τ

(cid:88) (cid:88) (cid:88) L(ql) (1.34) DiLM (D) U iLM (U ) l(cid:48) R + h.c. lLM (lep) ll(cid:48)

trong đó,

kj = Γ(U )

kj = Γ(D)

ll(cid:48) = Γ(lep)

ll(cid:48)

, M (U ) , M (lep) M (D) (1.35) v √ 2 v √ 2 v √ 2

là các ma trận khối lượng tổng quát của các quark.

Sử dụng phép biến đổi bi-unitary trong từng số hạng của (1.34), ta có thể chéo

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

hóa các ma trận khối lượng (Phụ lục A)

U , M (D) = VD m(D) W †

D, M (lep) = VL m(lep) W † L,

(1.36) M (U ) = VU m(U ) W †

ở đây, VD,U,L, WD,U,L là các ma trận unitary và mD,U,(lep) là các ma trận chéo.

Vậy từ (1.34) và (1.36) ta có thể viết số hạng khối lượng của quark và lepton tích

(cid:48)

như sau

mass = −U

LQ m(U )U (cid:48) − D m(D)D(cid:48) − L m(lep)L(cid:48) (1.37)













(cid:48)

(cid:48) d

(cid:48) u

(cid:48)

, L

(cid:48) = L

, D

= D

= U

(1.38)

(cid:48) µ

(cid:48) s

L + L

R =

L + D

R =

L + U

R =

   

   

   

   

   

   

(cid:48)

(cid:48) b









m(U ) =

, m(D) =

, m(lep) =

(1.39)

0 mc

0 ms

0 mµ

   

   

   

   

0 mt

0 mb

0 mτ

trong đó,

Chúng ta có thể rút ra kết luận, mô hình sau khi phá vỡ đối xứng tự phát thì các

quark và lepton tích trở thành hạt có khối lượng.

1.1.4 Các dòng tương tác điện yếu

Từ Lagrangian (1.28), ta có thể viết dưới dạng dòng tương tác

µ Bµ, J Y

(1.40) LI = −g (cid:126)Jµ (cid:126)Aµ − g(cid:48) 1 2

µ là dòng siêu tích được viết như

ở đây Jµ là dòng vector và J Y

l=e,µ,τ

(cid:48)

(cid:88) (cid:88) (1.41) lRγµlR ψlLγµψlL + J Y µ = Y Lep L Y Lep R 1 2 1 2 1 2

l=e,µ,τ (cid:88)

(cid:48) Q

iLγµQ(cid:48)

iL +

iRγµU (cid:48)

iR +

iRγµD(cid:48)

iR.

i=1,2,3

i=u,c,t

i=d,s,b

(cid:88) (cid:88) + U D Y q L Y q,up R Y q,down R 1 2 1 2 1 2

Từ biểu thức Gell-Man - Nishijima, ta có

µ = J EM J Y

µ − J 3 µ,

(1.42) 1 2

Mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

là dòng tương tác điện từ có dạng trong đó J EM

(cid:48)

iγµU (cid:48)

i +

iγµD(cid:48)

i + (−1)

i=u,c,t

i=d,s,b

l=e,µ,τ

(cid:18) (cid:88) (cid:19) (cid:88) (cid:88) U − D (1.43) lγµl. J EM µ = 2 3 1 3

Vậy từ (1.40) có thể viết LI thành

I + LN C

, (1.44) LI = LCC

I =

µ W µ + h.c. J CC

trong đó, (cid:18) (cid:19) LCC − , (1.45) g √ 2 2

là dòng tích của fermion và với J CC

I = −gJ 3

µA(cid:48)3µ − g(cid:48) 1 2

LN C (1.46) J Y µ Bµ.

Từ biểu thức (1.20) và (1.21), Lagrangian LN C trên có dạng

I = −

µ Z µ − eJ EM J N C

µ Aµ,

LN C (1.47) g 2 cos θW

trong đó,

µ = 2J 3 J N C

µ − 2 sin2 θW J EM

. (1.48)

Với những biến đổi trên, LI có thể viết dưới dạng

µ W µ + h.c. J CC

µ Z µ − eJ EM J N C

µ Aµ.

(cid:18) (cid:19) − − (1.49) LI = g 2 cos θW g √ 2 2

Từ nội dung mô hình chuẩn cho chúng ta hiểu rõ hơn việc phân loại, tương

tác của hạt cơ bản, cơ chế sinh khối lượng của các hạt boson, fermion (trừ các hạt

neutrino), các dòng tương tác và việc tiên đoán những đại lượng trong mô hình

phù hợp rất tốt với dữ liệu thực nghiệm. Tuy nhiên, trong mô hình chuẩn lại coi

neutrino là hạt không có khối lượng, đây là một trong những hạn chế lớn nhất của

mô hình và cũng là tiền đề, gợi ý cho các nhà vật lý tiến hành mở rộng mô hình để

giải quyết vấn đề của neutrino. Với vai trò đặc biệt quan trọng trong vật lý hạt cơ

bản, mô hình chuẩn được trình bày và bố cục ngay ở đầu chương để làm kiến thức

nền tảng và công cụ cho những nghiên cứu về neutrino thông qua việc mở rộng mô

hình chuẩn, sẽ được trình bày trình tự ở các phần tiếp sau.

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

1.2 Khối lượng và chuyển hoá neutrino

Trong phần này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu về khối lượng và chuyển hoá

neutrino. Đây là những vấn đề hết sức quan trọng trong việc tìm hiểu vật lý neu-

trino cả trong lý thuyết và thực nghiệm. Như trình bày ở phần trên cho thấy trong

mô hình chuẩn neutrino là hạt có khối lượng bằng không, nhưng thực nghiệm đã

cho thấy khối lượng của nó khác không. Khối lượng này không thể được giải thích

bởi cơ chế sinh khối lượng-cơ chế Higgs trong mô hình chuẩn được. Do vậy cần có

cơ chế mới sinh khối lượng neutrino, một trong những cơ chế đó là cơ chế cầu bập

bênh (seesaw), cơ chế này sinh khối lượng neutrino rất bé cỡ < 0.2eV , sẽ được trình

bày trong mục 1.2.3. Thực nghiệm đã xác định có chuyển hoá neutrino, điều này

chứng tỏ đã có sự trộn lẫn nhau giữa các trạng thái của chúng, nội dung này sẽ

được nghiên cứu trong mục 1.2.4. Trước hết chúng tôi sẽ đi khảo sát số hạng khối

lượng Dirac và Majorana.

1.2.1 Số hạng khối lượng Dirac và Majorana

Số hạng Lagrangian khối lượng tổng quát chứa neutrino thông thường phân cực

trái νlL và neutrino trơ/lạ (sterile) phân cực phải νlR là

L + νLMDνR +

(1.50) − LDM = νLMLνc νc RMRνR + h.c., 1 2 1 2

ở đây, ML, MR là các ma trận đối xứng 3 × 3 phức, nhìn chung là không chéo và

  νeR

. (1.51) νR = νµR         ντ R

Ta có thể viết lại (1.50) như

L + h.c.

(1.52) − LDM = ηLMDM ηc 1 2

trong đó,   νL (1.53) ηL =   , νc R

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

D MR

và   ML MD (1.54) MDM =   M T

là ma trận đối xứng 6 × 6. Ma trận MDM này có thể được chéo hóa bởi ma trận U

như

(1.55) MDM = UMU T ,

ở đây, U là ma trận unitary 6 × 6 và mik = miσik, (i, k = 1, .., 6).

6 (cid:88)

Từ (1.52) và (1.55) ta có

i=1

νMMνM = (1.56) − LDM = U †ηLM(U †ηL)c + h.c. = miνiνi, 1 2 1 2 1 2

trong đó,

L = U †ηL, hay ηL = UνM νM L

(1.57)

và  

L + (νM

L )c =

. νM = νM (1.58)         ν1 ... ν6

6 (cid:88)

Từ (1.57) ta có biểu thức sau

αR =

i=1

(1.59) UαiνiL, ναL = UαiνiL, νc

ở đây, U là ma trận trộn 6 × 6 unitary.

Ta thấy rằng, trong trường hợp này ναL là trộn từ 6 trường phân cực trái của

αR cũng được trộn từ các

hạt Majorana với khối lượng mi, và trường neutrino trơ νc

thành phần tương tự.

Để minh hoạ cho những tính toán trên về khối lượng và ma trận trộn neutrino,

chúng tôi xét chi tiết trường hợp đơn giản nhất là khi Lagrangian có 2 neutrino, do

đó trong trường hợp này số hạng khối lượng Dirac và Majorana có dạng

L + mDνLνR +

RνR + h.c..

(1.60) mLνLνc mRνc − Ldm = 1 2 1 2

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Chúng ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng ma trận

(1.61) − Ldm = ηLMdm(ηL)c + h.c., 1 2

ở đây     νL mL mD (1.62) ηL =  .  , và Mdm =   mD mR νc R

Ma trận Mdm có thể được chéo hoá bởi ma trận U và thu được

 0 m1 M ≡ (1.63)    = U T MdmU, 0 m2

D |,

trong đó, (cid:113) (1.64) m1,2 =| (mR + mL) ± (mR − mL)2 + 4m2 1 2 1 2

và   cos θ sin θ U = (1.65)   , − sin θ cos θ

với

tan 2θ = . , cos 2θ = (1.66) 2mD mR − mL mR − mL (cid:112)(mR − mL)2 + 4m2

Từ (1.61) và (1.63) ta có

i=1,2

(cid:88) νmν = (1.67) − Ldm = miνiνi, 1 2 1 2

ở đây,   ν1 (1.68) νM = U †nL + (U †nL)c =  .  ν2

Rõ ràng rằng

(1.69) νc i = νi.

Từ (1.61) và (1.68) ta có biểu thức trộn

(1.70) νL = cos θν1L + sin θν2L,

(1.71) νc R = − sin θν1L + cos θν2L.

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Vậy trong trường hợp này có sự trộn các trạng thái neutrino hay nói cách khác

trạng thái vị neutrino là sự chồng chập của các trạng thái khối lượng neutrino.

Phần tiếp sau sẽ trình bày rõ dạng ma trận trộn neutrino trong trường hợp tổng

quát.

1.2.2 Ma trận trộn

Số góc trộn và pha của ma trận trộn

Từ số hạng khối lượng Dirac và Majorana ta có biểu thức

(cid:88) (1.72) ναL(x) = UαiνiL(x), α = e, µ, τ,

trong đó, U là ma trận trộn unitary và νi(x) là trường neutrino có khối lượng mi.

Bây giờ, chúng tôi xét trường hợp tổng quát với ma trận U là ma trận vuông

n × n. Khi đó U sẽ có n2 tham số thực và có số góc tham số hoá là

. (1.73) nθ = n(n − 1) 2

Vậy khi đó số pha của ma trận U là

= (1.74) nϕ = n2 − n(n − 1) 2 n(n + 1) 2

Do đó, số pha trong những trường hợp riêng (pha Dirac và Majorana) thường có

thêm điều kiện ràng buộc nên luôn phải nhỏ hơn số pha nϕ.

Xét trường hợp neutrino là neutrino Dirac, từ biểu thức về dòng tích trong

(cid:48)

chương 1 và (1.72) ta có

αLγλν (cid:48)

αLγλUαiν (cid:48)

αL = 2

iL,

α,i

(cid:88) (cid:88) l l (1.75) J CC λ = 2

αL = eiϕαlαL, ν (cid:48)

iL = eiϕiνiL. Vậy (1.75), ta thu được

các trường lαL và νiL biến đổi như l(cid:48)

λ = 2e−i(ϕβ −ϕk) (cid:88) J CC

α,i

(1.76) lαLγλe−i(ϕα−ϕβ )Uαiei(ϕi−ϕk)νiL.

Từ biểu thức trên ta thấy ma trận U sẽ có 2n − 1 pha tuỳ ý, trong đó gồm: 1 pha

(ϕβ − ϕk), n − 1 pha (ϕα − ϕβ) và n − 1 pha (ϕi − ϕk). Do vậy, chúng ta sẽ có số pha

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

trong trường hợp neutrino Dirac

− (2n − 1) = , (1.77) nD ϕ = n(n + 1) 2 (n − 1)(n − 2) 2

được gọi là số pha Dirac.

Bây giờ xét trường hợp của neutrino Majorana, chúng ta đã biết neutrino là hạt

i . Lúc này biểu thức dòng tích có dạng

Majorana thì có điều kiện νi = νC

α,i

(cid:88) (1.78) lαLγλe−i(ϕi−ϕβ )UαieiϕiνiL. J CC λ = 2

Do vậy trong trường hợp này chúng ta sẽ có n − 1 pha Majorana. Từ đây chúng ta

sẽ có tổng số pha của ma trận trộn Majorana là

+ (n − 1) = . (1.79) nM ϕ = (n − 1)(n − 2) 2 n(n − 1) 2

Với trường hợp 3 neutrino, thì ma trận trộn neutrino là ma trận 3 × 3 và có

n = 3. Từ công thức (1.73), (1.77) và số pha Majorana, thì ma trận trộn neutrino có

ϕ = 1 và số pha Majorana là 2. Kết quả này sẽ

số tham số góc nθ = 3, số pha Dirac nD

được sử dụng trong chương 2 và 3.

Tham số hóa ma trận trộn 3 × 3

Từ (1.59) với trường hợp 3 neutrino, ta có biểu thức trộn các trạng thái

|ν(mix)(cid:105) = U |ν(cid:105), (1.80)

trong đó U là ma trận trộn neutrino. Theo nội dung phần 2.3.1 trên thì tham số

hoá ma trận trộn này sẽ gồm 3 góc trộn và 3 pha (1 Dirac và 2 Majorana). Ở đây,

chúng ta sẽ sử dụng phép quay Euler để thực hiện việc tham số hoá ma trận này.

Phép quay Euler gồm 3 phép quay cơ bản U (3), U (2), U (1) là U = U (3)U (2)U (1), trong đó, (cid:0)U (3), U (2), U (1)(cid:1) là các phép quay quanh các vector (|3(cid:105), |2(cid:105), |1(cid:105)) ứng với các góc

(θ12, θ13, θ23), chúng được minh hoạ trong hình 1.2. Do đó, ma trận U có dạng

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

      1 0 0 c13 0 s13e−iδ c12 s12 0

U = (1.81) 0 0 1 0 c23 s23 −s12 c12 0                         0 0 0 −s23 c23 −s13eiδ 0 c13

 1  c13s12 c13s12 s13e−iδ

. = (1.82) −c23s12 − s23c12s13eiδ c23c12 − s23s12s13eiδ c13s23         s23s12 − c23c12s13eiδ −s23c12 − c23s12s13eiδ c13c23

Hình 1.2: Góc trộn neutrino biểu diễn theo góc Euler liên hệ gữa cơ sở trạng thái riêng và trạng thái khối lượng [109].

1.2.3 Cơ chế cầu bập bênh

Từ ma trận khối lượng neutrino 6 × 6 (1.54)

D MR

  ML MD (1.83) MDM =   , M T

chúng ta có thể thực hiện chéo hoá ma trận này, thì sẽ tìm được ma trận khối lượng

chéo và ma trận trộn neutrino

(1.84) MDM = UMU T .

Nếu ML ≈ 0 và MR rất lớn so với MD, thì ma trận khối lượng neutrino chéo hoá có

dạng [1–3]   0 M1 M = (1.85)   , 0 M2

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Hình 1.3: Cơ chế cầu bập bênh

DM −1

R MD và M2 ≈ MR là hai ma trận chéo 3 × 3. Từ đây, ta có

trong đó, M1 ≈ −M T

thể thấy hai ma trận khối lượng M1, M2 được tạo ra một rất bé và một rất lớn, giống

như là cầu bập bênh được hình minh hoạ trong hình 1.3. Cơ chế sinh khối lượng

này của neutrino được gọi là cơ chế cầu bập bênh (seesaw).

Ma trận trộn U có dạng

DM ∗−1 R 1

R M T D

    1 M ∗ 1 U U = (1.86)   ≡   . −M −1 −U † 1

Do đó ta có

L + Uijνjc R ,

  νi(cid:48) L = νi i, j = 1, 2, 3. (1.87)

R = −U † νi(cid:48)

ijνj

L + νic R ,



Ví dụ đơn giản ta xét cơ chế seesaw với số hạng neutrino trong trường hợp có hai

trường neutrino giống như trường hợp riêng trong mục 2.1, từ (1.65) và điều kiện

mD (cid:28) MR, mL = 0 ta thu được khối lượng neutrino

(1.88) (cid:28) mD, m2 (cid:39) MR (cid:29) mD, m1 (cid:39) m2 D MR

và từ (1.64) ta tìm được

(cid:28) 1. θ (cid:39) (1.89) mD MR

Do đó, từ (1.70) và (1.89) ta thu được biểu thức trộn giữa trạng thái vị và trạng thái

khối lượng neutrino

ν2L,   νL = ν1L + mD MR (1.90)

R = − mD νc MR

 ν1L + ν2L.

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Số hạng mD/MR là đặc trưng bởi tỉ số của thang điện yếu và thang vi phạm số

(cid:39) 1015GeV . lepton. Nếu ta ước lượng mD (cid:39) mt (cid:39) 170GeV và m1 (cid:39) 5.10−2eV thì khi đó MR (cid:39) m2 D m1

Từ tính toán trên có thể rút ra điều kiện của cơ chế seesaw sinh khối lượng

neutrino như sau:

1. Số hạng khối lượng Majorana phân cực trái bằng không mL = 0.

2. Khối lượng mD được sinh bởi cơ chế Higgs, tức là độ lớn của mD cỡ bậc khối

lượng của các hạt quark hoặc lepton.

3. Số hạng khối lượng Majorana phân cực phải không bảo toàn số lepton và có

thang độ lớn lớn hơn rất nhiều thang điện yếu mR ≡ MR (cid:29) mD.

Do vậy, chúng ta có thể rút ra nhận xét, nếu cơ chế seesaw thực sự tồn tại trong

tự nhiên thì neutrino phải là hạt Majorana, khối lượng neutrino nhỏ hơn rất nhiều

khối lượng của lepton, quark, và hạt neutrino Majorana nặng (trơ) phải tồn tại.

Cơ chế seesaw cũng có thể được biễu diễn thông qua cách tiếp cận của toán tử

nhiều chiều, gọi là toán tử Weinberg 5-chiều, được Weinberg đề xuất năm 1979 [3]

với số hạng Lagrangian hiệu dụng

ν =

αL),

Lef f (1.91) (f αLH)(H †f c λαβ ν Λ

trong đó, Λ ở thang lý thuyết thống nhất lớn,

    H 0 ναL α = e, µ, τ, với H = (1.92) fαL =   ,   . H − αL

Lagrangian hiệu dụng (1.91), minh hoạ trong hình 1.4, có thể có các trường hợp

khác nhau tương ứng với các mô hình seesaw khác nhau, nó phụ thuộc vào quá

trình tương tác của neutrino với trường Higgs. Các trường fαL và H là 2 lưỡng

tuyến của SU (2)L, nên chúng có tích tensor 2 × 2 = 3 + 1. Do đó, sẽ có các trường

hợp như đỉnh tương tác neutrino - Higgs - fermion (fermion là đơn tuyến N ) hoặc

neutrino - Higgs - fermion (fermion là tam tuyến Σ), minh hoạ trong hình 1.5-bên

trái, được gọi là cơ chế seesaw I hoặc III tương ứng và trường hợp neutrino tương

tác Higgs thông qua trường vô hướng đơn tuyến S hoặc trường vô hướng tam tuyến

∆ như trong hình 1.5-bên phải, được gọi là cơ chế seesaw II. Tiếp sau, chúng tôi sẽ

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

lần lượt giới thiệu từng cơ chế seesaw I, II, III.

Hình 1.4: Khối lượng neutrino hiệu dụng

Hình 1.5: Cơ chế seesaw I, III (hình trái), seesaw II (hình phải)

Cơ chế seesaw I

Những năm 1978-1980, các nhà vật lý Minkowski (1977); Yanagida; Glashow; Gell-

Mann, Ramond, Slansky; Mohapatra, Senjanovic (1979) và Schechter, Valle (1980)

đã đề xuất cơ chế seesaw I [98–100], trong đó Lagrangian (1.91) có đỉnh tương tác

là neutrino -Higgs - fermion đơn tuyến N , biểu diễn trong hình 1.6.

Hình 1.6: Cơ chế seesaw I

αL,

(1.93) L = MνναLνc

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

trong đó,

(1.94) Mν = λv2 Λ

là ma trận khối lượng neutrino, với (cid:104)H(cid:105) = v.

So sánh (1.94) với M1, ta có thang năng lượng Λ

. (1.95) Λ = −λv2 MR m2 D

Cơ chế seesaw II

Cơ chế seesaw II được đưa ra vào những năm 1980-1981 bởi các nhà vật lý Magg,

Wetterich; Schechter, Valle (1980); Mohapatra, Senjanovic; Lazarides, Shafi, Wet-

terich (1981) [98, 101, 102]. Trong cơ chế này thì Lagrangian (1.91) sẽ có tương tác

của neutrino với Higgs thông qua trường vô hướng tam tuyến ∆, như minh hoạ

trong hình 1.7,

Hình 1.7: Cơ chế seesaw II

√   2∆0 ∆− − ∆ = (1.96) √   2∆−− −∆−

và có trung bình chân không

  0 vT (cid:104)∆(cid:105) = (1.97)   . 0 0

Trong trường hợp này, ta thấy

αL ∼ ναLνc

αL.

(1.98) L ∼ f αLf c

Do đó,

αL.

(1.99) L = λ(cid:48)f αLiτ2∆f c

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Suy ra

αL,

(1.100) L = MνναLνc

trong đó,

(1.101) Mν = λ(cid:48)vT .

Mặt khác, thế tương tác của ∆ với trường Higgs H của mô hình chuẩn theo (1.92)

có dạng

∆T r(∆∆†) + αH †iτ2∆H.

V (∆, H) = −M 2 (1.102)

Với điều kiện thế năng cực tiểu của (1.102), ta tìm được

(1.103) vT = αv2 M 2 ∆

Từ (1.101) và (1.103), chúng ta thu được khối lượng neutrino

, (1.104) Mν = λ(cid:48) αv2 M 2 ∆

Cơ chế seesaw III

Năm 1989-2002 các nhà vật lý Foot, Lew, He, Joshi (1989); E. Ma và D. P. Roy

(2002) đã đưa cơ chế cầu seesaw III [98, 103, 104], loại này cũng tương tự như cơ

chế seesaw I chỉ khác trong Lagrangian (1.91) đỉnh tương tác là neutrino -Higgs -

fermion tam tuyến Σ, minh hoạ trong hình 1.8.

Hình 1.8: Cơ chế seesaw III

Tam tuyến fermion có dạng

√   Σ0/ 2 Σ+ Σ = (1.105)   . Σ− −Σ0/ √ 2

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Trong trường hợp này, ta thấy

(1.106) L ∼ f lLΣc (cid:101)H.

Do đó, √ (1.107) T r{ΣMΣΣc}, 2yΣΣc (cid:101)H + L = f αL 1 2

phần tử đầu của (1.107) chính là số hạng Dirac có mD = yΣv, phần tử thứ 2 chính

là số hạng Majorana và có khối lượng là MΣ, theo cơ chế seesaw trong phần 2.4

, (1.108) Mν = − m2 D MΣ

là ma trận khối lượng neutrino.

1.2.4 Chuyển hoá neutrino

Khái niệm trộn neutrino được Pontecorvo đưa ra vào năm 1947 [3, 106], do sự

chuyển dịch tuần hoàn các trạng thái vị neutrino và được gọi là sự chuyển hoá (dao

động) neutrino. Đến thời điểm hiện tại có rất nhiều các thí nghiệm đã và đang tiến

hành kiểm chứng, khảo sát, do đạc chuyển hoá neutrino như thí nghiệm: Super

Kamiokande khí quyển, SNO mặt trời, KamLAND phản ứng hạt nhân, Homes-

takes mặt trời, GALLEX-GNO, SAGE và các thí nghiệm gia tốc K2K, gia tốc MI-

NOS.....Hầu hết các neutrino được tạo ra trong các thí nghiệm bởi tương tác yếu

dòng tích như: π+ → µ+ + νµ, µ+ → e+ + νe + νe, (A, Z) → (A, Z + 1) + e− + νe, ....

Chuyển hoá của các trạng thái neutrino

Theo lý thuyết trường lượng tử các trạng thái phụ thuộc vào thời gian và tuân theo

phương trình Schrodinger [107, 108]

i = H|Ψ(t)(cid:105), (1.109) ∂|Ψ(t)(cid:105) ∂t

trong đó H là Hamiltonian toàn phần. Ở đây, chúng ta sẽ xét biến đổi trạng thái

trong chân không và H là Hamiltonian tự do. Phương trình (1.109) có nghiệm tổng

quát

|Ψ(t)(cid:105) = e−iHt|Ψ(0)(cid:105), (1.110)

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

trong đó, |Ψ(0)(cid:105) là trạng thái tại thời điểm ban đầu t = 0.

Chúng ta có thể coi (1.110) là chùm neutrino và trạng thái đầu là các trạng thái vị

neutrino να (α = e, µ, τ ) thì |Ψ(0)(cid:105) = |να(cid:105). Vậy ta có phương trình

(1.111) H|νi(cid:105) = Ei|νi(cid:105),

i + m2 p2 i .

trong đó, (cid:113) (1.112) Ei =

3 (cid:88)

Từ đây chúng ta sẽ tìm được trạng thái neutrino phân cực trái tại thời điểm t ≥ 0

αi|νi(cid:105),

i=1

e−iEitU ∗ (1.113) |να(t)(cid:105) = e−iHt|να(cid:105) =

3 (cid:88)

và trạng thái phản neutrino phân cực phải tại thời điểm t ≥ 0

i=1

(1.114) |να(t)(cid:105) = e−iHt|να(cid:105) = e−iEitUαi|νi(cid:105).

3 (cid:88)

Từ (1.113) chúng ta tính được biên độ chuyển dịch να → να(cid:48) tại thời điểm t

(cid:48) (t) =

i=1

(1.115) Aνα→ν Uα(cid:48) ie−iEitU ∗ αi.

3 (cid:88)

Tương tự với biên độ chuyển dịch να → να(cid:48) tại thời điểm t

(cid:48) (t) =

α(cid:48) ie−iEitUαi. U ∗

i=1

(1.116) Aνα→ν

Do đó, trạng thái vị να(t) có dạng

α(cid:48)

trong đó, (cid:104)να(cid:48) |e−iHt|να(cid:105) là biên độ xác suất để tìm να(cid:48) tại thời điểm t từ να tại thời điểm ban đầu t = 0. Do vậy, ta có

3 (cid:88)

(cid:48) (t).

αi =

α(cid:48) i ≡ Aνα→ν

i=1

i,i(cid:48)

(cid:88) (1.118) Uα(cid:48) ie−iHtU ∗ (cid:104)να(cid:48) |e−iHt|να(cid:105) = Uα(cid:48) i(cid:48) (cid:104)νi(cid:48) |e−iHt|νi(cid:105)U ∗

(cid:48) (t) trong (1.115) gồm các phần tử:

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Theo (1.118) thì biên độ chuyển dịch Aνα→ν

αi là biên độ chuyển dịch từ trạng thái vị |να(cid:105) thành trạng thái khối lượng |νi(cid:105) của neutrino; e−iEit mô tả sự dịch chuyển trong trạng thái khối lượng; Uα(cid:48) i là biên độ chuyển dịch từ trạng thái |νi(cid:105) thành trạng thái |να(cid:48)(cid:105) và được lấy tổng trên các trạng

U ∗

thái khối lượng.

Theo cơ học lượng tử thì xác suất bằng bình phương biên độ chuyển dịch, nên ta

3+n (cid:88)

có xác suất chuyển dịch νβ → νβ(cid:48) và νβ → νβ(cid:48) , β = e, µ, τ, ζ1, ζ2, ....ζn, là

(cid:48) (t) = |

βi|2, Pνβ→ν

β(cid:48) ie−iEitUβi|2. U ∗

i=1

(1.119) Pνβ→ν Uβ(cid:48) ie−iEitU ∗

Với tính unitary của ma trận trộn (3 + n) × (3 + n), ta có

(cid:48) (t) =

βiUβje−i(Ei−Ek)t =

β(cid:48) jU ∗

β(cid:48)

β(cid:48) ,i,j

(cid:88) (cid:88) (cid:88) (1.120) |Uβi|2 = 1. Pνβ→ν Uβ(cid:48) iU ∗

Từ (1.120) suy ra

(cid:48) (t) = 1 −

ζ=ζ1,ζ2,...,ζn

α(cid:48) =e,µ,τ

(cid:88) (cid:88) (1.121) Pνα→ν Pνα→νζ (t).

Như chúng ta đã biết, hiện nay chưa có bằng chứng khẳng định sự tồn tại của

(cid:48) (t) trong phương trình

α(cid:48) =e,µ,τ Pνα→ν

neutrino trơ, nhưng nếu có thể xác định được (cid:80)

(cid:48) (t) là xác

α(cid:48) =e,µ,τ Pνα→ν

(1.121) nhỏ hơn 1 thì có thể chứng tỏ có sự chuyển dịch của neutrino thông thường thành neutrino trơ, chứng tỏ neutrino trơ tồn tại. Ở đây, (cid:80)

suất toàn phần của chuyển dịch neutrino vị να thành tất cả các khả năng của các

neutrino thông thường (νe, νµ, ντ ).

3+n (cid:88)

Xét phương trình (1.119), xác suất chuyển dịch có thể biểu diễn dưới dạng

(cid:48) (t) = |

βie−i(Ei−Ej )t|2.

i=1

(1.122) Pνβ→ν Uβ(cid:48)iU ∗

Nếu chọn j cố định, khi đó xác suất chuyển dịch phụ thuộc vào số phần tử của ma

trận trộn neutrino và 2 + n pha khác nhau.

Chúng ta giả thiết trạng thái của neutrino được đặc trưng bởi moment p và khối

i /p2 (cid:28) 1, ta có

lượng mi. Khi đó, giả sử pi → p (cid:39) E từ (1.112) và m2

, (1.123) Ei (cid:39) E + ⇒ Ei − Ej (cid:39) m2 i 2E ∆m2 ji 2E

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

j . Trong (1.122) t là khoảng

i − m2

ji = m2

trong đó E là năng lượng neutrino và ∆m2

thời gian từ lúc neutrino được sinh ra đến lúc được dò thấy, nên ta có thể đặt t (cid:39) L,

ở đây L là khoảng cách giữa vị trí neutrino được sinh ra tới vị trí neutrino được dò

thấy. Do đó trong (1.122) có sự chuyển hoá pha

L. (1.124) (Ei − Ej)t (cid:39) ∆m2 ji 2E

Đến đây, biểu thức xác suất chuyển dịch neutrino (1.122) có thể viết dưới dạng sau

∆mji 2E L

(cid:48) (E, L) =

βiUβje−i

β(cid:48) jU ∗

i,j

(cid:88) Pνβ→ν Uβ(cid:48) iU ∗

∆mji 2E L

βiUβje−i

β(cid:48) jU ∗

i>j

(cid:32) (cid:33) (cid:88) (cid:88) = . (1.125) Uβ(cid:48) iU ∗ |Uβ(cid:48) i|2|Uβi|2 + 2(cid:60)

βi = δβ(cid:48) β,

Áp dụng điều kiện unitary (cid:88) (1.126) Uβ(cid:48) iU ∗

βiUβj

(cid:48) (E, L) = δβ(cid:48) β − 2

β(cid:48) jU ∗

i>j

(cid:19) (cid:17) (cid:18) (cid:16) (cid:88) 1 − cos (cid:60) L ⇒ Pνβ→ν Uβ(cid:48) iU ∗ ∆mji 2E

βiUβj

β(cid:48) jU ∗

i>j

(cid:16) (cid:17) (cid:88) + 2 L. (cid:61) sin (1.127) Uβ(cid:48) iU ∗ ∆m2 ji 2E

ở đây ký hiệu (cid:60) và (cid:61) là thành phần thực và thành phần ảo của số phức tương ứng.

Tương tự ta cũng có với xác suất chuyển dịch của phản neutrino νβ → νβ(cid:48)

βiUβj

(cid:48) (E, L) = δβ(cid:48) β − 2

β(cid:48) jU ∗

i>j

(cid:19) (cid:16) (cid:17) (cid:18) (cid:88) (cid:60) 1 − cos L Pνβ→ν Uβ(cid:48) iU ∗ ∆m2 ji 2E

βiUβj

β(cid:48) jU ∗

i>j

(cid:16) (cid:17) (cid:88) L. − 2 (cid:61) sin (1.128) Uβ(cid:48) iU ∗ ∆m2 ji 2E

Đến đây chúng ta có thể kết luận rằng xác suất chuyển dịch của neutrino và

phản neutrino phụ thuộc vào tham số L/E, và những xác suất chuyển dịch này

được xác định bởi các phần tử ma trận trộn neutrino Uβi và 2 + n số hạng chênh lệch

ji độc lập.

bình phương khối lượng ∆m2

Khối lượng và chuyển hoá neutrino MHC và vấn đề KL neutrino

Chuyển hoá 3 neutrino và sự vi phạm CP

Trong phần này chúng ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể sự chuyển hoá neutrino trong chân

không cho trường hợp có trộn 3 neutrino. Từ biểu thức trộn neutrino ở phần trên

3 (cid:88)

ta có biểu thức liên hệ giữa 3 neutrino vị và 3 neutrino khối lượng

i=1

(1.129) ναL = UαiνiL, α = e, µ, τ,

ở đây, U là ma trận trộn unitary 3 × 3, được gọi là ma trận Pontecorvo-Maki-

Nakagava-Sakata, UP M N S, trường νi có thể là trường neutrino Dirac hoặc Majorana.

Từ phần Ma trận trộn ta thấy ma trận trộn Dirac và ma trận trộn Majorana khác

nhau bởi số pha CP, do đó ma trận trộn Majorana có dạng

αi = Uαieiρi,

U M (1.130)

ở đây, ρi, (i = 0, 1, 2, ρ0 = 0) là pha Majorana và ma trận U có dạng của ma trận

3 (cid:88)

Dirac. Công thức về biên độ chuyển dịch neutrino Majorana có dạng

(cid:48) (t) =

(cid:48) (t).

να→ν

α(cid:48) i =

α(cid:48) i = AD

i=1

AM (1.131) Uα(cid:48) ie−iEitU ∗ U M α(cid:48) ie−iEitU M ∗

Ta thấy biên độ chuyển dịch neutrino Majorana và neutrino Dirac là bằng nhau.

Nghĩa là khi nghiên cứu về chuyển hoá neutrino không thể biết được bản chất của

neutrino là hạt Dirac hay Majorana. Nếu muốn tìm hiểu bản chất của neutrino thì

chúng ta nghiên cứu qua trình phân rã-β kép không có neutrino của hạt nhân, quá

trình này số lepton toàn phần không bảo toàn. Từ đây trở đi việc xét chuyển hoá

neutrino, chúng ta sẽ sử dụng ma trận trộn Dirac U , ma trận này được tham số hoá

bởi 3 góc trộn và 1 pha CP như trong phần (2.3.2).

Từ công thức (1.127) và (1.128) chúng ta có thể viết lại xác suất chuyển dịch của

neutrino dưới dạng

(cid:48) (E, L) = δα(cid:48) α + Bα(cid:48) α +

(1.132) Pνα→ν ACP α(cid:48) α 1 2

và phản neutrino

(cid:48) (E, L) = δα(cid:48) α + Bα(cid:48) α −

(1.133) Pνα→ν ACP α(cid:48) α, 1 2

Một số mở rộng mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

αiUαj

α(cid:48) jU ∗

i>j

trong đó, (cid:19) (cid:17) (cid:18) (cid:16) (cid:88) 1 − cos L , (cid:60) (1.134) Bα(cid:48) α = −2 Uα(cid:48) iU ∗ ∆m2 ji 2E

αiUαj

α(cid:48) α = 4

α(cid:48) jU ∗

i>j

(cid:16) (cid:17) (cid:88) ACP (cid:61) sin L. (1.135) Uα(cid:48) iU ∗ ∆m2 ji 2E

(cid:48) (E, L) = 1, thì (cid:80)

α(cid:48) =e,µ,τ Pνα→ν

α(cid:48) =e,µ,τ ACP α(cid:48) α Vậy trong trường hợp trộn 3 neutrino thì chỉ tồn tại phản đối xứng CP độc lập.

Với điều kiện bảo toàn xác suất (cid:80) = 0.

α(cid:48) α có dạng

Lúc này, biểu thức ACP

α(cid:48) α = 4J 21 α(cid:48) α

(cid:18) (cid:19) ACP sin L + sin L − sin L , (1.136) ∆m2 12 2E ∆m2 23 2E ∆m2 13 2E

αiUαj

α(cid:48) jU ∗

trong đó, (cid:16) (cid:17) , = (cid:61) (1.137) Uα(cid:48) iU ∗ J ij α(cid:48) α

23).

12 + ∆m2

13 = ∆m2

i (∆m2

j − m2

ij = m2

và ∆m2

23)

12 + ∆m2

α(cid:48) α = 16J sin

(∆m2 ⇒ ACP L sin L sin L, (1.138) ∆m2 12 2E ∆m2 23 2E 2E

ở đây J được gọi là tham số Jarlskog, nó là đại lượng phản đối xứng trong tất cả các

trường hợp (chỉ số). Từ biểu thức (1.137) và tham số hoá ma trận trộn UP M N S trong

phần (2.2.2) ta có biểu thức của tham số Jarlskog

13s12s23s13 sin δ.

(1.139) J = −c12c23c2

1.2.5 Khối lượng neutrino trong một số mở rộng mô hình

chuẩn

Vấn đề khối lượng và chuyển hoá neutrino luôn đóng vai trò quan trọng trong các

hướng nghiên cứu mở rộng mô hình chuẩn. Hiện nay có nhiều hướng tiếp cận khác

nhau để nghiên cứu về neutrino, minh hoạ hình 1.9. Các hướng này được các nhà

vật lý cụ thể hoá bằng việc xây dựng các mô hình lý thuyết để nghiên cứu như mô

hình siêu đối xứng [15–19], mô hình 3-3-1 [25–40], mô hình đối xứng gương [41,42],

mô hình Zee [43–46] , Zee - Babu [47–50], lý thuyết thống nhất lớn [20,21], mô hình

chuẩn đối xứng trái phải [22–24], v.v... Trong khuôn khổ luận án này chúng tôi giới

thiệu ba hướng tiếp cận là mô hình 3-3-1, mô hình đối xứng gương và mô hình

Hình 1.9: Các hướng để xây dựng mô hình vật lý nghiên cứu về neutrino.

chuẩn mở rộng với đối xứng gián đoạn, do ba hướng này chúng tôi đã có thời gian

nghiên cứu về chúng. Sau đây chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu ba mô hình này.

Mô hình 3-3-1

Mô hình 3-3-1 là mô hình mở rộng từ mô hình chuẩn với đối xứng SU (3)C ×SU (2)L ×

U (1)Y thành đối xứng SU (3)C × SU (3)L × U (1)X, nó cũng mô tả tương tác mạnh, yếu

và điện từ. Do mô hình 3-3-1 được mở rộng từ mô hình chuẩn nên nó cũng có tính

tiên đoán được các kết quả của mô hình chuẩn. Ý tưởng hình thành mô hình và

phát triển bởi các nhóm nghiên cứu khác nhau như H. Fritzsch và P.Minkowski

năm 1976 [25], M. Singer, J. Valle và J. Schechter đầu những năm1980 [26, 27], và

được tiếp tục nghiên cứu và phát triển trong những năm 1990 bới các tác giả khác

(ví dụ, xem [28–33]). Hiện nay mô hình này cũng đang được tiếp tục nghiên cứu bởi

một số nhóm tác giả trên thế giới, trong đó có các tác giả Việt Nam (ví dụ, xem một

số công trình liên quan neutrino [34, 35] và đối xứng vị [36–38] là những vấn đề

nghiên cứu trong luận án này).

Trong mô hình 3-3-1 có đặc điểm là các trường fermion được tập hợp trong các

tam tuyến hoặc đơn tuyến của nhóm SU(3) thứ hai (trong tích nói trên) thay cho

lưỡng tuyến hoặc đơn tuyến của nhóm SU(2) trong mô hình chuẩn. Mô hình 3-3-

1 có nhiều phiên bản nhưng hai trong số chúng được nghiên cứu sớm nhất và phổ

biến nhất vẫn là phiên bản 3-3-1 tối thiểu [28–30] và phiên bản 3-3-1 với 2 neutrino

trong tam tuyến lepton [26,27,31]. Phiên bản 3-3-1 tối thiểu là không sử dụng thêm

trường mới ngoài các trường có trong mô hình chuẩn. Phiên bản 3-3-1 với 2 neutrino

Một số mở rộng mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

trong tam tuyến lepton sử dụng thêm một số trường mới, bao gồm neutrino mới như

neutrino phân cực phải (NPCP), ngoài các trường của mô hình chuẩn. Ý tưởng mô

hình 3-3-1 với NPCP được đề xuất bởi J. Montero, F. Pisano và V. Pleitez [31] (và

xa hơn nữa tại [25]) và được nghiên cứu phát triển sau đó bởi F. Pisano, R. Foot, H.

N. Long và T. A. Tuấn [32, 33]. Theo hiểu biết của chúng tôi thì công trình [34, 35]

là một trong những công trình đầu tiên nghiên cứu cơ chế seesaw trong mô hình

3-3-1 với NPCP thông qua lục tuyến vô hướng và công trình [35] là công trình đầu

tiên nghiên cứu các neutrino trơ nhẹ trong mô hình 3-3-1 nói chung.

Hiện nay có rất nhiều hướng tiếp cận và kết hợp với mô hình 3-3-1 được triển

khai để nghiên cứu về neutrino, siêu đối xứng, vật chất tối và vũ trụ học như: mô

hình 3-3-1 ban đầu, mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải, mô hình 3-3-1 với

đối xứng vị gián đoạn, mô hình siêu đối xứng 3-3-1 và một số mô hình 3-3-1 cho

vật chất tối và vũ trụ học, v.v... Trong giới hạn của luận án này khi nghiên cứu về

neutrino, chúng tôi sẽ xét một ví dụ liên hệ có thể coi là một trường hợp riêng của

mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải, khi mô hình có thành phần thêm vào

tam tuyến ferimon là neutrino trơ hoặc lạ (sterile), có thể có khối lượng lớn, mà

chúng sẽ cho khối lượng bởi cơ chế sinh khối lượng là cơ chế Higgs và cơ chế seesaw,

gọi là mô hình 3-3-1 với neutrino trơ/lạ, kết quả nghiên cứu này đã được công

bố trong [35]. Mô hình có lepton là:

L, la

L, N a

L)T ∼ (1, 3, −1/3),

(1.140) f a L = (νa la R ∼ (1, 1, −1),

ở đây a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ. Các vô hướng trong mô hình gồm 3 tam tuyến

2 , η0 3

η = (cid:0)η0, η− (cid:1)T ∼ (1, 3, −1/3), (1.141)

1 , ρ0

2, ρ+ 3

(cid:1)T ∼ (1, 3, 2/3), ρ = (cid:0)ρ+ (1.142)

2 , χ0 3

1, χ−

(cid:1)T ∼ (1, 3, −1/3), χ = (cid:0)χ0 (1.143)

và 1 lục tuyến

√   √ 2 τ 0 1 √ ∼ (1, 6, −2/3). S = (1.144) 2         √ 2 T − 1 / T −− 2 T − 3 T 0 1 / τ 0 2 / 2 τ 0 2 / T 0 3 τ 0 3

L. Mà tích

Một số mở rộng mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

Khối lượng neutrino được sinh ra bởi tương tác của boson Higgs với f Lf c tensor của 2 phản tam tuyến SU (3)L của f L và f c L là phân thành tổng trực tiếp của tam tuyến và phản lục tuyến 3∗ ⊗ 3∗ = 3 ⊕ 6∗. Do đó, các đỉnh tương tác kết hợp

L với phản tam tuyến 3 hoặc lục tuyến 6 đều bất biến với SU (3)L. Chúng ta có

f Lf c

thể xây dựng mô hình có phản tam tuyến và lục tuyến thông qua tích tensor của 2

tam tuyến η và χ [35] 3 ⊗ 3 = 3∗ ⊕ 6. Dạng ma trận có thể viết

   

η ⊗ χ = ≡ T ⊕ Σ, ⊕ (1.145)                 t− 1 t0 2 t− 3 s0 13 s− 23 s0 33 s− s0 12 11 12 s−− s− 22 s− s0 23 13

ở đây

1 = (η− t−

2 χ0

3 − η0

3χ−

2 )/2,

2 = (η0 t0

3χ0

1 − η0

1χ0

3)/2,

3 = (η− t−

1 χ0

2 − η0

2χ−

1 )/2,

(1.146)

và

i, j = 1, 2, 3. (1.147) sij = (ηiχj + ηjχi)/2,

Kết hợp T và Σ với f L(fL)c, ta sẽ có Lagrangian tương tác hiệu dụng

abf

a L(f b

L)cT + h.c.,

ef f = gT

Lf f T (1.148)

a L(f b

L)cΣ + h.c.,

ef f = gΣ abf

Lf f Σ (1.149)

a,b

là hằng số tương tác hiệu dụng. Với tương tác (1.148) và

là thành phần bất khả quy được phân tách từ tương tác 4-hạt không tái chuẩn hoá f L(fL)cηχ, ở đây gT,Σ (1.149), phản tam tuyến T chỉ cho khối lượng Dirac của hai neutrino, trong khi đó

Σ có thể cho cấu trúc khối lượng neutrino phong phú hơn.

Trong mô hình này, cơ chế cầu bập bênh sinh khối lượng neutrino thường rất bé thì

neutrino trơ hoặc lạ có khối lượng rất lớn.

Tuy nhiên, theo một số lập luận gần đây, nếu khối lượng neutrino m2 cỡ vài

keV có thể giải quyết được một số vấn đề về vật lý thiên văn và câu hỏi về vũ trụ

học [111–113]. Nếu m1 ∼ 0.1 − 1eV và m2 ∼ 103eV , chúng ta có

(cid:19) ∼ 10−1 − 10−2. (1.150) (cid:18) ΛSU (2) ΛSU (3)

Một số mở rộng mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

Theo hướng ngược lại, nếu thang phá vỡ đối xứng SU (3) cỡ T eV , thì chúng ta có

khối lượng neutrino trơ cỡ vài keV , và điều này có thể giải thích được một số vấn đề

trong vật lý thiên văn và vũ trụ học ví dụ như: vật chất tối trong vũ trụ học, nguồn

gốc vận tốc rất lớn của các pulsars quan sát được và sự ion hoá của vũ trụ [113],....

Mô hình đối xứng gương

Mô hình đối xứng gương được xây dựng trên cơ sở mô hình chuẩn và có sự mở rộng

các trường thành phần mà trong đó có thêm các lưỡng tuyến phân cực phải và đơn

tuyến phân cực trái của SU (2)L, các trường này được coi như là đối xứng gương với

các lưỡng tuyến trái và đơn tuyến phân cực phải của mô hình chuẩn. Do vậy, các





ναL

ψαL =

lαR = (1, 1, Y /2 = −1),

 = (1, 2, Y /2 = −1/2),



lαL





ψM

lM αL = (1, 1, Y /2 = −1),

αR =

 = (1, 2, Y /2 = −1/2),



νM αL lM αR





QL =

= (3, 2, Y /2 = 1/6), UiR = (3, 1, Y /2 = 2/3), DiR = (3, 1, Y /2 = −1/3),









= (3, 2, Y /2 = 1/6), U M

R =

iL = (3, 1, Y /2 = 2/3), DM

iL = (3, 1, Y /2 = −1/3),





U M R DM R

trường fermion trong mô hình gồm [42]:

ở đây ký hiệu chỉ số trên “M “ là chỉ các fermion gương (như là đối xứng gương với

các fermion trong mô hình chuẩn) và α = e, µ, τ , i = 1, 2, 3. Mô hình có các trường





ϕ+

φ =



 = (1, 2, Y /2 = 1/2), φS = (1, 1, Y /2 = 0),

ϕ0





χ+





κ+

κ++

= (1, 3, Y /2 = 0).

−→τ · −→κ =

χ0



 = (1, 3, Y /2 = 1), χ =

(cid:101)κ =

1 √ 2

1√ 2 κ0

κ+

   

   

− 1√ 2

χ−

Higgs

Ý tưởng chính xây dựng mô hình là để nó có chứa neutrino phân cực phải với khối

lượng ở thang điện từ yếu mà thực nghiệm trong tương lai gần có thể phát hiện

được. Nó khác với khối lượng neutrino phân cực phải trong mô hình thông thường

là cỡ ∼ 1015GeV rất lớn so với thang điện từ và thực nghiệm trong tương lai gần khó

Một số mở rộng mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

có thể đạt được. Chính từ điều này nên trong mô hình có đưa thêm vào các fermion

D/MR,

gương như trên. Thông qua cơ chế seesaw để sinh khối lượng neutrino cỡ ∼ m2

có m2

trong đó MR có cùng độ lớn với thang điện từ yếu (ΛEW ) thì thang khối lượng Dirac D ∼ 10−6ΛEW , chú ý rằng mD độc lập với thang ΛEW . Để đảm bảo các tương tác Yukawa không bị cấm và ρ = 1 thì trong mô hình có thêm 2 tam tuyến và 1 đơn

tuyến Higgs [41].

Từ các trường thành phần, chúng ta có số hạng Lagrangian Dirac

αR φS + H.c.

LS = −ψ

αLgSψ0,M αLgSν0,M

αLgSe0,M

αR + e0

αR )φS + H.c.,

= −(ν0 (1.151)

ở đây, gS là ma trận hệ số tương tác 3 × 3. Trường Higgs φS có trung bình chân

không (cid:104)φS(cid:105) = vS thì ma trận khối lượng neutrino Dirac là

(1.152) mD = gSvS.

Chúng ta có số hạng Lagrangian Majorana

αR + H.c.

αR σ2gM (τ2(cid:101)κ)ψM

(1.153) LM = ψM,T

ở đây, gM là ma trận hệ số tương tác 3 × 3 (trong trường hợp này chỉ xét 3 thế hệ, có

thể tổng quát n thế hệ). Khi trung bình chân không của (cid:104)κ0(cid:105) = vM thì ma trận khối

lượng Majorana của neutrino phân cực phải là

(1.154) MR = gM vM .

Từ (1.152) và (1.154) ta có khối lượng của neutrino thông qua cơ chế seesaw [1–3]:

DM −1

R mD.

(1.155) mν = −mT

S/gM ) ∼ O(1), vS (cid:28) vM ∼ ΛEW thì vS ∼ O(105)eV với giới hạn khối lượng

Nếu (g2

neutrino mν ≤ 1eV .

Tóm lại mô hình đối xứng gương là mở rộng của mô hình chuẩn với các fermion

gương, 2 tam tuyến và một đơn tuyến Higgs. Trong mô hình này khối lượng neutrino

được sinh ra thông qua cơ chế seesaw, với khối lượng neutrino phân cực phải cỡ

Một số mở rộng mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

thang điện yếu và được giới hạn MZ/2 ≤ MR < 246GeV [41], do đó mô hình này còn

được gọi là mô hình có neutrino phân cực phải ở thang điện yếu. Với kết quả tiên

đoán của mô hình, chúng ta hi vọng các thí nghiệm Tevatron, LHC hoặc ILC có thể

kiểm nghiệm được khối lượng neutrino phân cực phải MR trong tương lai gần, do

thang khối lượng của nó không quá lớn, cỡ vài trăm GeV.

Mô hình đối xứng gián đoạn

Trong Vật lý neutrino các số liệu thực nghiệm hiện tại về góc trộn và chênh lệch

bình phương khối lượng neutrino đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc xác

định bản chất và khối lượng neutrino. Việc xây dựng một mô hình thực sự để có

thể mô tả bản chất, tính chất neutrino và đồng thời có khả năng tiên đoán các hiện

tượng vật lý khác cũng như thoả mãn các dữ liệu thực nghiệm là nhiệm vụ quan

trọng và hết sức cần thiết. Một trong những hướng nghiên cứu để đáp ứng yêu cầu

trên là mở rộng mô hình chuẩn với các đối xứng vị (đối xứng gián đoạn).

Hiện tại, trong hướng nghiên cứu này có rất nhiều cách tiếp cận để nghiên cứu mô hình chuẩn mở rộng có thêm đối xứng vị như SN ,AN , DN , QN , T (cid:48), Σ(2N 2), ∆(3N 2), Σ(3N 3), ∆(6N 3), T7 [54, 57–63, 71, 75, 77, 80, 82, 115–221], mô tả trong bảng

1.1. Việc áp dụng các nhóm này vào mô hình chuẩn xoay quanh việc tìm lớp liên

hợp, đặc biểu, biểu diễn và tích tensor của các biểu diễn với các quan hệ đại số được

đưa ra. Đối xứng vị có thể là tàn dư của đối xứng không thời gian nhiều chiều (> 4

chiều) sau đó nó bị phá vỡ xuống đối xứng Poincare 4-chiều.

Biểu diễn TT Nhóm Số phần tử nhóm

X 3 = Y 2 = (XY )2 = 1 X 3 = Y 2 = (Y X)3 = 1 X 7 = Y 2 = (XY )2 = 1 X 4 = Y 2 = (XY )3 = 1

X 3 = Y 2 = (Y X)5 = 1 X 7 = Y 3 = 1, XY = Y X 4 X, Y 1 D3 ∼ S3 6 A4 2 D7 3 S4 4 T (cid:48) 5 A5 6 T7 7 ∆(27) 8 12 14 24 24 60 21 27 Biểu diễn bất khả quy 1, 1(cid:48), 2 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48), 3 1, 1(cid:48), 2, 2(cid:48), 2(cid:48)(cid:48) 1, 1(cid:48), 2, 3, 3(cid:48) 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48), 2, 2(cid:48), 2(cid:48)(cid:48), 3 X 3 = (XY )3 = R2 = 1, Y 2 = R 1, 3, 3(cid:48), 4, 5 1, 1(cid:48), 1(cid:48), 3, 3 11, 12, ..., 19, 3, 3

Bảng 1.1: Một số nhóm gián đoạn được sử dụng trong việc mở rộng mô hình chuẩn.

Trọng tâm khi xây dựng mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị là mô tả khối

lượng phần quark, lepton và ma trận trộn khối lượng của quark, lepton, vi phạm

CP phù hợp giá trị thực nghiệm và tiên đoán các tính chất vật lý khác như vật

Một số mở rộng mô hình chuẩn MHC và vấn đề KL neutrino

chất tối, năng lượng tối, không gian nhiều chiều,... Từ mô hình chuẩn có rất nhiều

cách kết hợp, phát triển với các nhóm gián đoạn khác nhau như: D3, S3 [115–123], D7 [124, 125], A4 [59–63, 71, 75, 77, 80, 82, 126–168], S4 [169–194], T (cid:48) [195–202],

A5 [203–208], T7 [209–213], ∆(27) [214–221], và chúng đã thu được những kết quả

nhất khả quan khi so sánh với dữ liệu thực nghiệm.

Với những ưu thế đem lại khi nghiên cứu đối xứng vị nói chung và đối xứng vị

A4 nói riêng trong các mô hình vật lý, chúng đã cho những kết quả rất tốt về khối

lượng và chuyển hoá neutrino so với thực nghiệm. Do đó, có thể nói đối xứng vị

đã khẳng định vai trò là công cụ mạnh trong nghiên cứu các mô hình khối lượng

neutrino. Chương tiếp theo chúng tôi sẽ triển khai nghiên cứu chi tiết về khối lượng

và chuyển hoá neutrino trong mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4.

Chương 2

trong mô hình A

Khối lượng và chuyển hoá neutrino (1) 4

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu về khối lượng và

chuyển hoá (KL và CH) neutrino thông qua mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng

vị A4 và đây cũng là một trong những kết quả chính của luận án. Mô hình được

xây dựng trên cơ sở mô hình chuẩn cùng với các trường thành phần lepton và vô

hướng mới được thêm vào, và chúng biến đối theo đối xứng chuẩn SU (2)L × U (1)Y

và đối xứng vị A4. Việc có thêm sự có mặt các trường mới sẽ dẫn đến những đóng

góp vào cơ chế sinh khối lượng neutrino, cơ chế seesaw. Khi đó, chúng tôi sẽ làm

việc với khối lượng neutrino mà phụ thuộc vào sự góp mặt của các trường neutrino

và VEV các trường vô hướng. Điều này chứng tỏ rằng, ngoài những tương tác của

neutrino với các trường vô hướng để sinh khối lượng neutrino, thì những ảnh hưởng

từ tương tác giữa các trường vô hướng với nhau cũng là điều hết sức quan trọng. Vì

qua những tương tác đó, chúng ta mới có thể đánh giá được các giá trị VEV của các

trường vô hướng (từ việc xác định cực trị thế năng), mà chúng sẽ đóng góp vào khối

lượng neutrino. Nên khi nghiên cứu mô hình, chúng tôi sẽ triển khai tính toán chi

tiết các tương tác của các trương vô hướng với nhau, nhằm đánh giá các giá trị VEV

của chúng.

Sau khi có khối lượng neutrino từ cơ chế seesaw, khối lượng ở dạng ma trận,

chúng tôi tiến hành chéo hoá ma trận này để tìm khối lượng và ma trận trộn neu-

trino. Như chúng ta sẽ thấy, nếu tiến hành chéo hoá ma trận khối lượng một cách

thông thường thì chúng sẽ cho ra kết quả gồm các tham số liên hệ rất phúc tạp và

có rất ít dấu hiệu, điều kiện ràng buộc để tiên đoán các đại lượng cho phù hợp với

Biểu diễn của nhóm A4 và các mô hình A4 KL và CH neutrino trong A(1) 4

các dữ liệu thực nghiệm là các góc trộn θij và chênh lệch bình phương khối lượng

ij, đã trình bày ở chương mở đầu. Do đó, cần phải có cách nào đó xử lý

neutrino δm2

việc chéo hoá ma trận khối lượng neutrino để có kết quả phù hợp với dữ liệu thực

nghiệm. Xuất phát từ vấn đề này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp nhiễu loạn

(Phụ lục C) để chéo hoá ma trận khối lượng neutrino trong mô hình. Phương pháp

này dựa trên việc có sự chênh lệch rất nhỏ giữa ma trận trộn PMNS và TBM, nên

có thể tiến hành nhiễu loạn xung quanh ma trận TBM. Từ đây với các tính toán

sẽ cho kết quả số về khối lượng, góc trộn neutrino cũng như tiên đoán pha Dirac vi

phạm CP phù hợp khá tốt với số liệu thực nghiệm trong các công trình [6, 7]. Kết

quả này đã khẳng định sự tin cậy của mô hình và phương pháp mà chúng tôi sử

dụng.

Nội dung chính trong chương này, chúng tôi đề xuất một phiên bản của mô hình

chuẩn với đối xứng vị A4, như trình bày phía dưới để khảo sát khối lượng và chuyển

hoá neutrino. Trước khi đi vào chi tiết mô hình, chúng tôi giới thiệu sơ lược cơ sở

của biểu diễn nhóm A4 để làm công cụ cho các nghiên cứu tiếp sau.

2.1 Biểu diễn của nhóm A4 và các mô hình A4

2.1.1 Biểu diễn của A4

Nhóm A4 là nhóm hoán vị chẵn của 4 vật, là nhóm đối xứng của hình tứ diện đều,

A4 có 12 phần tử và chia thành 4 lớp liên hợp nên có 4 biểu diễn bất khả quy. A4 có

thể biểu diễn thông qua 2 hoán vị cơ sở S và T

S2 = T 3 = (ST )3 = 1. (2.1)

Các biểu diễn unitary được cho bởi

1 : S = 1 T = 1,

1(cid:48) : S = 1 T = ei2π/3 ≡ ω,

1(cid:48)(cid:48) : S = 1 T = ei4π/3 ≡ ω2.

Biểu diễn của nhóm A4 và các mô hình A4 KL và CH neutrino trong A(1) 4

A4 có quy tắc nhân nhóm (Phụ lục B) như

1 × 1 = 1,

1(cid:48) × 1(cid:48)(cid:48) = 1,

(2.2) 3 × 3 = 1 + 1(cid:48) + 1(cid:48)(cid:48) + 3S + 3A.

Nhóm A4 có hai cách biểu diễn cơ sở là cơ sở Ma-Rajasekaran và cơ sở Altarelli-

Feruglio (Phụ lục B).

Trước hết, chúng ta xét cơ sở Ma-Rajasekaran, trong cơ sở này chọn vi tử S là

chéo thì có biểu diễn unitary 3 chiều

    1 0 0 0 1 0

S = , T = . (2.3) 0 0 −1 0 0 1                 0 0 −1 1 0 0

Nếu chúng ta có 2 tam tuyến 3a ∼ (a1, a2, a3) và 3b ∼ (b1, b2, b3), khi đó phép nhân

nhóm của 2 tam tuyến (2.2) có các dạng

1 = a1b1 + a2b2 + a3b3,

1(cid:48) = a1b1 + ω2a2b2 + ωa3b3,

1(cid:48)(cid:48) = a1b1 + ωa2b2 + ω2a3b3,

3S ∼ (a2b3, a3b1, a1b2),

(2.4) 3A ∼ (a3b2, a1b3, a2b1).

Tiếp theo, chúng ta xét cơ sở Altarelli-Feruglio, trong cơ sở này chọn vị tử T là

chéo thì

    −1 2 2 1 0 0

, T (cid:48) = V †T V = , S (cid:48) = V †SV = (2.5) 2 −1 2 0 ω 0 1 3                 2 2 −1 0 0 ω2

trong đó,   1 1 1

. V = (2.6) 1 ω ω2 1 √ 3         1 ω2 ω

Biểu diễn của nhóm A4 và các mô hình A4 KL và CH neutrino trong A(1) 4

Ma trận V là ma trạn unitary 3 × 3 trong đó tất cả các phần tử có giá trị tuyệt đối là

1. Nếu chúng ta có 2 tam tuyến 3a ∼ (a1, a2, a3) và 3b ∼ (b1, b2, b3), khi đó phép nhân

nhóm của 2 tam tuyến (2.2) có các dạng

1 = a1b1 + a2b3 + a3b2,

1(cid:48) = a3b3 + a1b2 + a2b1,

1(cid:48)(cid:48) = a2b2 + a1b3 + a3b1,

(2a1b1 − a2b3 − a3b2, 2a3b3 − a1b2 − a2b1, 2a2b2 − a1b3 − a3b1) , 3S ∼

(2.7) 3A ∼ (a2b3 − a3b2, a1b2 − a2b1, a1b3 − a3b1) . 1 3 1 3

2.1.2 Các mô hình A4

Trong phần này chúng tôi tổng hợp các phiên bản của mô hình chuẩn mở rộng có

. đối xứng A4 từ các kết quả nghiên cứu của các nhóm tác giả khác nhau và từ kết 4 , A(10) quả nghiên cứu của nhóm chúng tôi A(1)

ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48) N liL φh φN φE lc Ri

1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) − 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1

1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 3 3 − 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) (−) 3 1

1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) − − − 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 3 − 1 − Tài liệu tham khảo [90–92] [168] [126, 128, 129, 167] [162] [80] 3 3 3 3 A(1) 4 A(2) 4 A(3) 4 A(4) 4 A(5) 4

1, 1(cid:48) 3 3 3 3 1, 1 3 A(6) 4

1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) − − 1(cid:48)(1(cid:48)(cid:48)) 3 3 3

1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) − 3 3 3 1

1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) − 3 − − − 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) [54, 60, 75, 82, 137, 139, 149, 156, 166] [131] [158, 160, 163] [155] [93] 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 3 3, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 3, 3, 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 1 3 A(7) 4 A(8) 4 A(9) 4 A(10) 4

Bảng 2.1: Các phiên bản mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4

Trong đó, liL = (leL, lµL, lτ L), lc Ri

= (eR, µR, τR), φh là các trường thành phần trong , N, φE, φN , ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48) khi có thêm đối xứng A4, mô hình chuẩn và các trường mới: lc Ri

chú ý dấu ” − ” trong bảng chỉ mô hình không có trường thành phần tương ứng.

Mô hình chuẩn mở rộng A(1) 4 KL và CH neutrino trong A(1) 4

Tất cả các trường trên sẽ biến đổi như đơn tuyến hoặc tam tuyến của nhóm A4 tuỳ

4 và A(10)

theo từng mô hình xây dựng. Phần tiếp sau, luận án sẽ trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu từ 2 mô hình A(1) [90–93] mà nhóm chúng tôi đề xuất khi

nghiên cứu khối lượng và chuyển hoá neutrino.

2.2 Mô hình chuẩn mở rộng A(1) 4

Theo phần trên đã giới thiệu, có rất nhiều phiên bản mở rộng mô hình chuẩn với

đối xứng vị A4, các phiên bản khác nhau sẽ có các trường lepton và vô hướng khác

nhau (ở đây các mô hình nói đến không xét phần quark). Do đó, chúng sẽ có những

đóng góp khác nhau vào mô hình để có thể tính được khối lượng và ma trận trộn

neutrino cho kết quả tính toán và tiên đoán để so sánh với thực nghiệm.

(bảng 2.1) nghiên cứu ở đây, ngoài các trường của mô hình Trong mô hình A(1) 4

chuẩn, còn có thêm 6 trường mới gồm: 1 trường fermion N , 2 trường vô hướng ϕE, ϕN là tam tuyến của A4 và 3 trường vô hướng ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48) là đơn tuyến của A4. Cả 6 trường

này đều là đơn tuyến của phép biến đổi SU (2)L [90].

tất cả các trường thành phần đã bao toàn Như chúng ta thấy, trong mô hình A(1) 4

bộ biểu diễn bất khả quy của nhóm A4, và việc lựa chọn này cũng để bảo đảm giữ

4 , chúng tôi bổ sung các đối xứng Z4 và Z3 (như minh hoạ trong

được tối đa cấu trúc tương tác của các lepton trong mô hình chuẩn. Ngoài ra khi xây dựng mô hình A(1)

hình 2.1) để loại bỏ những số hạng tương tác không phù hợp về vật lý trong mô hình

và cũng như không phá vỡ cấu trúc và đại lượng của mô hình chuẩn.

Hình 2.1: Trường thành phần trong mô hình chuẩn với đối xứng vị A4 × ZN [109].

Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1) 4

Khi đó, các trường thành phần lepton và vô hướng sẽ biến đối theo nhóm SU (2)L×

U (1)Y × A4 × Z3 × Z4 và được biểu diễn trong bảng 2.2.

(cid:96)L 2 3 ω2 i ˜eR 1 1 1 1 ˜µR 1 1(cid:48) 1 1 ˜τR φh N ϕE ϕN 1 1 1 2 1(cid:48)(cid:48) 3 1 3 ω2 ω ω 1 -1 i 1 1 1 3 1 i ξ 1 1 ω -1 ξ(cid:48)(cid:48) ξ(cid:48) 1 1 1(cid:48) 1(cid:48)(cid:48) ω ω2 i i SU(2)L A4 Z3 Z4

Bảng 2.2: Các trường lepton và vô hướng với nhóm biến đổi A4, Z3, Z4.

Trong mô hình này chúng tôi sử dụng biểu diễn nhóm A4 theo cơ sở T chéo (2.5)

và quy tắc nhân nhóm (2.2) có các biểu diễn (2.7). Sau khi có cấu trúc mô hình,

nhiệm vụ tiếp theo chúng ta sẽ xét các tương tác giữa các trường vô hướng với nhau

và tương tác Yukawa.

2.3 Phần vô hướng

Với các trường thành phần của mô hình được biểu diễn trong bảng 2.2, thì thế tương tác của các trường ϕE, ϕN , ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48) có dạng

V(φh, ϕE, ϕN , ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48)) = V1(φh) + V2(ϕE, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48)) + V3(ϕN , φh, ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48)) + V4(ξ, φh). (2.8)

Trong đó,

h(φ†

hφh) + λh(φ†

hφh)2,

(2.9) V1(φh) = µ2

V2(ϕE, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48)) = α1(ϕEϕE)1(ϕEϕE)1 + α2(ϕEϕE)1(cid:48) (ϕEϕE)1(cid:48)(cid:48)

+ α3(ϕEϕE)3s(ϕEϕE)3s + α4(ϕEϕE)3a(ϕEϕE)3a

, (2.10) (cid:105) (ϕEϕE)1(ξ(cid:48)ξ(cid:48)(cid:48))1 + h.c. + α5(ϕEϕE)3s(ϕEϕE)3a + (cid:104) α6 2

Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1) 4

1(cid:48)(cid:48)

(cid:17) (cid:16) (cid:17)2 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) ϕ†

N ϕN (cid:17)

1(cid:48) ϕ†

N ϕN

V3(ϕN , φh, ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48)) = µ2 (cid:16) (cid:16) + λ1 (cid:16) ϕ† N ϕN (cid:17) + 2λ2 (cid:16) ϕ† N ϕN (cid:16) (cid:17) ϕ† N ϕN (cid:17) ϕ† ϕ† ϕ† + λ4 + λ3

3s (cid:17)

N ϕN

N ϕN (cid:17)

(cid:16) (cid:16) ϕ† ϕ† + 2λ5

3a (cid:16)

N ϕN

1 + γ2

(cid:16) (cid:17) ϕ† + γ1

1 (cid:17)

3s (cid:0)ξ†ξ(cid:1) (cid:16)

1(cid:48)(cid:48) (cid:17)

N ϕN

1(cid:48)

1(cid:48)(cid:48)

(cid:16) ϕ† N ϕN (cid:16) ξ(cid:48)(cid:48)†ξ(cid:48)(cid:48)(cid:17) (cid:16) 1(cid:48) (cid:17) (cid:16) , ϕ† ξ(cid:48)†ξ(cid:48)(cid:17) + γ ϕ† (2.11) + γ3 φ† hφh

và

1 + χ1

1 + χ2

(cid:16) (cid:17) (cid:0)ξ†ξ(cid:1) (cid:0)ξ†ξ(cid:1)2 (cid:0)ξ†ξ(cid:1) , (2.12) V4(ξ, φh) = η2 1 φ† hφh

ở đây µh, µ, αi, λk, γj, η1, ξ1,2 là hệ số của thế tương tác, và để thuận tiện cho tính toán

về sau ta có thể nhân hệ số λ2 và λ5 với 2 ở trong (2.11).

Trong mô hình sự có mặt của đối xứng Z3 × Z4 làm nhiệm vụ loại trừ các tương

tác giữa trường ϕE và ϕN , như các tương tác

N ϕN )3a

N ϕN )3s + ρ2(ϕEϕE)3s(ϕ†

V5(ϕE, ϕN ) = ρ1(ϕEϕE)3s(ϕ†

N ϕN )3a

+ ρ3(ϕEϕE)3a(ϕ†

N ϕN )3s + ρ4(ϕEϕE)3a(ϕ† N ϕN )1 + ρ6(ϕEϕE)1(cid:48) (ϕ†

N ϕN )1(cid:48)(cid:48)

+ ρ5(ϕEϕE)1(ϕ†

N ϕN )1(cid:48) + h.c.,

(2.13) + ρ7(ϕEϕE)1(cid:48)(cid:48) (ϕ†

V6(ϕE, ϕN ) =κ1(ϕEϕE)3sϕN + κ2(ϕEϕE)3aϕN

N ϕN )3sϕE + κ4(ϕ†

N ϕN )3aϕE + h.c.

(2.14) + κ3(ϕ†

và tương tác Yukawa giữa ϕN với các lepton tích

e (lLφh)˜eR

Y = λf

(cid:1)(cid:48)(cid:48) (cid:1)(cid:48) −Lf (cid:0)lLφh ˜µR (cid:0)lLφh ˜τR (cid:0)N cN (cid:1) ϕE + h.c., + λf µ + λf τ + gf N ϕN Λ ϕN Λ ϕN Λ

(2.15)

vì nếu các tương tác này xuất hiện, chúng sẽ phá huỷ hoàn toàn cấu trúc của khối

lượng lepton tích mà những cấu trúc này đã được mô tả và kiểm chứng trong mô

hình chuẩn.

Các trường vô hướng ξ, ξ(cid:48), ξ(cid:48)(cid:48), ϕE := (φ1, φ2, φ3) và ϕN := (ϕ1, ϕ2, ϕ3) có trung bình

Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1) 4

chân không như

(2.16) (cid:104)ξ(cid:105) = σa, (cid:104)ξ(cid:48)(cid:105) = σb, (cid:104)ξ(cid:48)(cid:48)(cid:105) = σc,

(2.17) (cid:104)φh(cid:105) = vh, (cid:104)ϕE(cid:105) = (v1, v2, v3) , (cid:104)ϕN (cid:105) = (u1, u2, u3) .

Với thế tương tác trên, chúng ta có thể xác định giá trị trung bình chân không

của các trường ϕE và ϕN bằng cách xét điều kiện thế năng cực trị của thế tương tác.

Trước hết, chúng tôi xét thế năng cực trị đối với trường ϕE = (φ1, φ2, φ3) là

= 0, (i = 1, 2, 3). (2.18) ∂V ∂φi (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:104)φi(cid:105)=vi

Từ (3.10) và (2.17), chúng tôi thu được hệ phương trình với ẩn vi như

3) + 4(α1 + α2)v1v2v3 + α6rv1σbσc = 0,

2 + v3

3)(v3

1 + (α2 − α(cid:48)

3)v3

 2(α1 + α(cid:48)

3 + α6rv3σbσc = 0,

3)v2v2

2 + (4α1 + α2 + 3α(cid:48)

1v3 + 3(α2 − α(cid:48)

3)v1v2

(2.19) 2(α1 + α2)v2

2v3 + α6rv2σbσc = 0,

3)v2

3 + (4α1 + α2 + 3α(cid:48)

3)v1v2

1v2 + 3(α2 − α(cid:48)

2(α1 + α2)v2  

trong đó,

3 =

6).

α(cid:48) (2.20) (α6 + α∗ , α6r = 4α3 9 1 2

Giải hệ phương trình trên sẽ cho nghiệm và một trong các nghiệm đó là

, (2.21) v2 = v3 = 0. v2 1 = v2 = −α6rσbσc 2(α1 + α(cid:48) 3)

Việc chọn nghiệm này để ma trận khối lượng của lepton tích được chéo hoá một

cách dễ dàng.

Tiếp theo, chúng tôi xét thế năng cực trị với trường ϕN := (ϕ1, ϕ2, ϕ3)

= 0, (i = 1, 2, 3), (2.22) ∂V ∂ϕi (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:104)ϕi(cid:105)=vi

Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(1) 4

thì từ (2.22) và (2.17), chúng tôi thu được hệ phương trình của ui như

3)u3

1 + (2λ2 − λ(cid:48)

3 + λ(cid:48)

5)(u3

2 + u3

3) + 2(2λ1 + 4λ2 − λ(cid:48)

5)u1u2u3 + β2u3

 λ0u1 + 2(λ1 + λ(cid:48)

+β3u2 = 0,

5)u2

1u3 + (6λ2 − 3λ(cid:48)

3 − λ(cid:48)

5)u1u2

2 + (4λ1 + 2λ2 + 3λ(cid:48)

3 − λ(cid:48)

5)u2u2 3

λ0u3 + 2(λ1 + 2λ2 + λ(cid:48)

+β2u2 + β3u1 = 0,

1u2 + (6λ2 − 3λ(cid:48)

3 − λ(cid:48)

5)u1u2

3 + (4λ1 + 2λ2 + 3λ(cid:48)

3 + λ(cid:48)

5)u2

2u3 + β2u1

λ0u2 + 2(λ1 + 2λ2)u2

  +β3u3 = 0,

(2.23)

trong đó,

a + γv2

h, λ(cid:48)

3 =

5 =

, λ(cid:48) , (2.24) λ0 = µ2 + γ1σ2 4λ3 9 4λ5 9

c , β3 = γ3σ2 b .

(2.25) β2 = γ2σ2

Hệ phương trình (2.23) có 4 loại nghiệm:

(2.26) Loại-1: (0, 0, 0) , tức là, u1 = u2 = u3 = 0,

, (2.27) Loại-2: (u, 0, 0) , u2 =

≡ u2, Loại-3: (u, u, u) , u2 = − (2.28) λ0 2(λ1 + λ(cid:48) 3) λ0 + β2 + β3 6(λ1 + 2λ2)

(2.29) Loại-4: (u1, u2, u3) , u1 (cid:54)= u2 (cid:54)= u3 (cid:54)= u1, ui (cid:54)= 0.

Các nghiệm (2.29) rất phức tạp và dài nên không viết ở đây, nhưng sẽ được tính toán

số cụ thể ở phần sau. Chúng ta thấy rằng, nghiệm của hệ phương trình (2.23) được

phân thành 4 loại nghiệm (2.26), (2.27), (2.28) và (2.29). Việc phân chia này rất rõ

ràng, hai loại nghiệm đầu (2.26) và (2.27) sẽ không dẫn tới mô hình có ma trận dạng

UP M N S cũng như dạng UT BM . Loại nghiệm (2.28) sẽ dẫn tới mô hình TBM (nghĩa là

mô hình sẽ cho ma trận trộn neutrino có dạng TBM). Cuối cùng, loại nghiệm (2.29)

sẽ dẫn tới mô hình không TBM (nghĩa là mô hình sẽ cho ma trận trộn neutrino

tổng quát, không có dạng TBM). Thực tế, với số liệu thực nghiệm hiện tại, ma trận

trộn neutrino không TBM có sự chệnh lệch rất nhỏ so với ma trận TBM. Mà trong

mô hình đang xét, sự chênh lệch giữa ma trận trộn PMNS với ma trận TBM đến từ

chênh lệch của các giá trị VEV u1, u2, u3 của ϕN . Do đó, các VEV này sẽ quyết định

Phần lepton KL và CH neutrino trong A(1) 4

giá trị chênh lệch của hai ma trận trộn PMNS và TBM. Các loại nghiệm (2.28) và

(2.29) sẽ được xem xét cụ thể ở phần phía dưới.

2.4 Phần lepton

Từ cơ sở đối xứng SU (2)L × U (1)Y × A4 × Z3 × Z4 của mô hình, chúng ta có thể xây

dựng được Lagrangian tương tác Yukawa cho phần lepton

Y = λe(lLφh)˜eR

(cid:1)(cid:48)(cid:48) (cid:1)(cid:48) −Lnew + λµ + λτ (cid:0)lLφh ˜µR (cid:0)lLφh ˜τR + λD(cid:96)L ˜φhN ϕE Λ

(cid:0)N cN (cid:1) (2.30) ϕE Λ (cid:0)N cN (cid:1) ϕN + gξ + gN ϕE Λ 1 ξ + h.c.,

trong đó, λe, λµ, λτ , λD, gN và gξ là các hệ số tương tác của Lagrangian, Λ ở mức

thang năng lượng của đối xứng A4.

Từ Lagrangian (2.30) chúng ta có ma trận khối lượng của lepton tích

λev1 Λ

λµv2 Λ

λτ v3 Λ

 

λev3 Λ

λµv1 Λ

λτ v2 Λ

. (2.31) Ml = vh

λev2 Λ

λµv3 Λ

λτ v1 Λ .

         

Như đã trình bày ở phần trên, chúng ta có thể chọn giá trị VEV (2.21) của ϕE là

(2.32) (cid:104)ϕE(cid:105) = (v, 0, 0).

Việc chọn VEV của ϕE này chính là có sự phá vỡ đối xứng A4 xuống nhóm con GT

của nó [60]. Do đó, ma trận khối lượng lepton tích (2.31) sẽ tự chéo hoá và có dạng

  0 0 yevh

, (2.33) Ml = 0 0 yµvh         0 0 yτ vh

ở đây

. (2.34) ye = , yµ = , yτ = λµv Λ λτ v Λ λev Λ

Từ Lagrangian (2.30), chúng ta có thể viết được ma trận khối neutrino Majorana

Phần lepton KL và CH neutrino trong A(1) 4

MN và ma trận khối lượng Dirac MD lần lượt là

  2b1 + d −b3 −b2

, (2.35) MN = −b3 2b2 −b1 + d         −b2 −b1 + d 2b3

và   1 0 0

, (2.36) MD = λDvh 0 0 1         0 1 0

trong đó

(2.37) gN u1, b2 = gN u2, b3 = gN u3. d = 2gξσa, b1 = 2 3 2 3 2 3

Từ cơ chế see-saw trình bày ở phần 2.3, thì ma trận khối lượng neutrino sẽ là

DM −1

N MD.

(2.38) Mν = −M T





−b2

2b2

2 + b3(b1 − d)

(2.39)

Mν =

−b2

2b2

1 + 2b1d − d2 + 4b2b3 2b2 2 + b3(b1 − d)

1 D

   

   

2b2

3 + b1b2 − b2d

3 + 4b1b2 + 2b2d 1 − b1d − d2 + b2b3

3 + b1b2 − b2d 1 − b1d − d2 + b2b3 2b3(2b1 + d) − b2 2

Ở đây, thang của MN là rất lớn và chưa cố định (chỉ xét đối với (2.38)), để tiện tính toán về sau, chúng ta có thể thực hiện tính toán trong thang năng lượng này với MD ∼ 1, hay (λDvh)2 ∼ 1. Đến đây, chúng ta thay (2.35) và (2.36) vào (2.38) thì thu được

trong đó D = det(MN ) là định thức của ma trận MN và có dạng

1 + 3b2

1d + 6b1b2b3 − 2b3

2 + 6b2b3d − 2b3

3 − d3.

D = −2b3 (2.40)

l Uν, trong đó Ul là ma trận trộn lepton tích và Uν là ma trận trộn neutrino, là một trong những nhiệm

Chúng ta có thể thấy việc xác định ma trận trộn UP M N S = U †

vụ rất quan trọng cả trong thực nghiệm và lý thuyết của neutrino. Tuy nhiên, trong

thực nghiệm hiện tại không phát hiện có sự trộn của các lepton tích, nên được hiểu

là các lepton tích không bị trộn hoặc bị trộn rất bé với nhau, có thể bỏ qua. Do vậy,

việc tìm kiếm ma trận trộn lepton UP M N S trong thực nghiệm hay trong mô hình lý

thuyết chính là đi tìm ma trận trộn neutrino, nghĩa là khi chéo hoá ma trận khối

Phần lepton KL và CH neutrino trong A(1) 4

lượng neutrino trên cơ sở của lepton tích thì sẽ tìm được ma trận trộn lepton. Cụ

thể trong mô hình này chúng ta thấy phần khối lượng lepton tích tự chéo với ma

trận chéo là ma trận đơn vị, do đó việc xác định ma trận trộn neutrino chính là việc

đi chéo hoá ma trận khối lượng neutrino (2.39) hay tương đương với việc chéo hoá

chéo hoá ma trận bậc hai

(2.41) Mν ≡ MνM † ν ,

để có các trị riêng không âm như

  0 0 |m1|2

. (2.42) diag(Mν) = 0 0 |m2|2         0 0 |m3|2

Chúng tôi thấy rằng, trong ma trận Mν (2.39) có chứa VEV (u1, u2, u3) của ϕN ,

nhưng VEV này lại có 2 loại nghiệm (2.28) và (2.29). Do đó, khi chéo hoá ma trận

Mν, chúng tôi xét hai trường hợp: u1 = u2 = u3 = u (2.28) và u1 (cid:54)= u2 (cid:54)= u3 (cid:54)= u1 (2.29).

Với trường hợp VEV u1 = u2 = u3 = u trong (2.28) tương ứng b1 = b2 = b3 ≡ b, lúc

này ma trận Mν (2.39) có dạng

  3b2 + 2bd − d2 −3b2 + bd −3b2 + bd

≡ (2.43) Mν0 = −3b2 + bd 3b2 + 2bd 3b2 − bd − d2 M (cid:48) 0, 1 D0 1 D0         −3b2 + bd 3b2 − bd − d2 3b2 + 2bd

N ) là định thức của ma trận MN trong trường hợp u1 = u2 = u3 và

ở đây D0 = det(M 0

có giá trị

(2.44) D0 = 9b2d − d3.

ν0, chúng tôi thu được

Khi chéo hoá ma trận Mν0 = Mν0M †

  0 0 |mν01|2

tbm

= U T (2.45) diag(Mν0) = Mν0Utbm, 0 0 |mν02|2         0 0 |mν03|2

Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1) 4

trong đó,  

. (2.46) − Utbm =         − (cid:113) 2 3 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 3 (cid:113) 1 3 − (cid:113) 1 3 0 (cid:113) 1 2 (cid:113) 1 2

Vậy trường hợp u1 = u2 = u3 trong mô hình đối xứng SU (2)L × U (1)Y × A4 × Z3 × Z4

sẽ dẫn tới mô hình TBM.

Với trường hợp VEV u1 (cid:54)= u2 (cid:54)= u3 (cid:54)= u1 của ϕN trong (2.29), tương ứng b1 (cid:54)= b2 (cid:54)=

b3 (cid:54)= b1, khi đó ma trận khối lượng neutrino là Mν trong (2.39), thì nhiệm vụ đặt ra

đối với chúng tôi là phải chéo hoá ma trận khối lượng neutrino Mν này. Khi chéo

hoá Mν để ma trận chéo là unitary và trị riêng là xác định dương (Phụ lục A), chúng tôi sẽ tiến hành chéo hoá ma trận Mν trong (2.41)

pmns

(2.47) diag(Mν) = U † MνUpmns.

ở đây, Upmns là ma trận trộn, tương đương với UP M N S, có thể sai khác nhau bởi phần tử pha. Việc chéo hoá ma trận khối lượng Mν để có ma trận trộn neutrino dạng

Upmns phù hợp với thực nghiệm là nhiệm vụ thực sự rất khó khăn. Giải quyết vấn

đề này, có rất nhiều phương pháp khác nhau, như trình bày ở đầu chương, ở đây

chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp nhiễu loạn quanh ma trận UT BM để tìm ma trận

trộn Upmns và so sánh với ma trận UP M N S thực nghiệm.

2.5 Khối lượng và trộn neutrino

Như trình bày trong chương Mở đầu, ở đây chúng ta có ma trận trộn neutrino trong

mô hình dạng chính tắc

  c12c13 s12c13 s13e−iδ

, (2.48) Upmns = −c23s12 − s13s23c12eiδ c23c12 − s13s23s12eiδ s23c13         s23s12 − s13c23c12eiδ −s23c12 − s13c23s12eiδ c23c13

trong đó, sij = sin θij, cij = cos θij với θij ∈ [0, π/2] là các góc trộn và δ ≡ δCP ∈ [0, 2π]

23 = 1

12 = 1

2, s2

3 (ở đây chúng tôi sẽ chọn s23 = − (cid:113) 1

3). Dữ liệu thực nghiệm hiện

3, nhưng cũng có thể chọn s23 =

2, s12 =

Utbm (2.46) khi s13 = 0, s2 là pha Dirac vi phạm CP. Mô hình TBM, thì ma trận Upmns trở thành ma trận (cid:113) 1 2, (cid:113) 1 (cid:113) 1 s12 =

Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1) 4

tại θ13 ≈ 8.8◦, θ23 ≈ 42◦, θ12 ≈ 33◦ [7] chứng tỏ rằng ma trận Upmns có sự chênh lệch

bé với Utbm bởi các bổ đính khác nhau và độ chênh lệch là

  0.006 −0.029 0.153e−iδ

. (2.49) ∆Utn = −0.008 + 0.084eiδ 0.047 + 0.056eiδ 0.054         0.041 − 0.095eiδ −0.027 − 0.064eiδ 0.034

Do đó, chúng tôi có thể xét ma trận Upmns như là nhiễu loạn nhỏ quanh ma trận

Utbm, đây cũng là một trong những định hướng để xây dựng mô hình có điều kiện

với các tham số của nó.

Chúng tôi thấy rằng, Mν trong (2.39) có thể viết thành

(2.50) Mν = M0 + V,

với

0 có dạng tương đương trong (2.43), và V là ma trận gồm các phần tử rất

, (2.51) M0 = M (cid:48)(cid:48) 0 D

0 được chéo hoá bởi ma

trong đó M (cid:48)(cid:48) bé được biểu diễn phía dưới. Ngoài ra, ma trận M0 = M0M †

trận UT BM như

T BM

U T (2.52) M0UT BM = diag(|m01|2, |m02|2, |m03|2),

trong đó,  

(2.53) − UT BM = × P0 ∼ (cid:0)|10(cid:105), |20(cid:105), |30(cid:105)(cid:1) ,         − (cid:113) 2 3 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 3 (cid:113) 1 3 − (cid:113) 1 3 0 (cid:113) 1 2 (cid:113) 1 2

m0i, i = 1, 2, 3, là khối lượng không nhiễu loạn và

2 , ei α02

2 , 1

(cid:16) (cid:17) ei α01 . (2.54) P0 = diag

Chú ý rằng ma trận Utbm trong (2.46) có thể sai khác UT BM (2.53) bởi phần tử pha

P0.

Bây giờ, chúng tôi sẽ xét nhiễu loạn bậc nhất của ma trận Mν quanh M0 có dạng

0 V + V †M0

(cid:16) (cid:17) M † . (2.55) Mν = M0 +

Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1) 4

Trong đó, bình phương khối lượng neutrino |mi|2 thu được bởi chéo hoá ma trận Mν

là

(2.56) |mi|2 = |m0i|2 + δ|mi|2,

với |m0i|2 chính là bình phương khối lượng không nhiễu loạn trong (2.52) có dạng

. (2.57) , m02 = , m03 = m01 = (3b − d)d D 9b2 − d2 D (3b + d)d D

Chúng ta có thể thấy, biểu thức VEV (cid:104)ϕN (cid:105)0 = (u1, u1, u1) đã đưa mô hình về dạng

TBM. Nhưng thực nghiệm hiện tại không phải là dạng TBM, nên chúng ta phải xét

biểu thức VEV (cid:104)ϕN (cid:105) = (u1, u2, u3) (2.29), mà nó có sự chênh lệnh

(2.58) (u1, u2, u3) = (u1, u1 + (cid:15)2, u1 + (cid:15)3); (cid:15)2, (cid:15)3 (cid:28) 1,

5 được chọn cùng độ lớn và rất lớn so với λ0, tức là

3 và λ(cid:48)

ở đây, (0, (cid:15)2, (cid:15)3) là nhiễu loạn nhỏ của (cid:104)ϕN (cid:105) quanh mức (u1, u1, u1). Điều kiện này được thoả mãn nếu λ1, λ2, λ(cid:48)

5 ≡ λ,

3 ≈ λ(cid:48)

(2.59) λ0 (cid:28) λ1 ≈ λ2 ≈ λ(cid:48)

và β2, β3 được chọn cùng độ lớn nhưng rất nhỏ so với λ, tức là

(2.60) β2 ≈ β3 (cid:28) λ.

Từ (2.37) ta thấy rằng (u1, u2, u3) tỉ lệ với (b1, b2, b3), mà (b1, b1, b1) đưa mô hình về

dạng TBM. Do vậy (b1, b2, b3) cũng phải có chênh lệch với (b1, b1, b1)

(2.61) (b1, b2, b3) = (b1, b1 + e2, b1 + e3); e2, e3 (cid:28) 1.

Với điều kiện (2.59)-(2.61) ta có

  4b(e2 + e3) −de3 + b(4e2 + e3) −de2 + b(e2 + 4e3)

V = . (2.62) −de3 + b(4e2 + e3) 4be2 + 2de2 − 2be3 b(e2 + e3) 1 D         −de2 + b(e2 + 4e3) b(e2 + e3) 4be3 + 2de3 − 2be2

Thực tế, để có V trong (2.62) chỉ cần điều kiện e2, e3 (cid:28) D (hay (cid:15)2, (cid:15)3 (cid:28) D/gN ), nhưng

ở đây chúng tôi có điều kiện mạnh hơn là e2, e3 (cid:28) 1 và (cid:15)2, (cid:15)3 (cid:28) 1.

Bây giờ, chúng ta có thể khai triển nhiễu loạn quanh trạng thái TBM (2.53). Sử

Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1) 4

dụng công thức nhiễu loạn (Phụ lục C)

k(cid:54)=n

(cid:88) |n(cid:105) = |n0(cid:105) + (2.63) akn|k0(cid:105) + ...,

với |n0(cid:105), n = 1, 2, 3, được định nghĩa (2.53) và

0 V + V †M0|n0(cid:105).

n|2 − |m0

k|2)−1Vkn, Vkn = (cid:104)k0|M †

(2.64) akn = (|m0

Từ (2.63), ma trận Mν có thể được chéo hoá

(2.65) U †MνU = diag (cid:0)|m1|2, |m2|2, |m3|2(cid:1) ,

bởi ma trận

  ∆U13

3 + ∆U11 6 + ∆U21 6 + ∆U31

3 + ∆U12 3 + ∆U22 − 3 + ∆U32

2 + ∆U23 2 + ∆U33

(2.66) − U = UT BM + ∆U = × P0,         (cid:113) 2 (cid:113) 1 (cid:113) 1 (cid:113) 1 (cid:113) 1 (cid:113) 1 (cid:113) 1 (cid:113) 1 −

tương ứng khai triển nhiễu loạn từ UT BM trong (2.53) và thêm bởi ma trận nhiễu

loạn bậc 1 là ∆U , trong đó

Y − Z, ∆U11 = X ∗, ∆U12 = − X, ∆U13 = − (cid:114)2 3 (cid:114) 2 3 (cid:114)1 3 (cid:114) 1 3

X ∗ − X − Y − Z, Y ∗, ∆U22 = Z ∗, ∆U23 = ∆U21 = (cid:114)1 6 (cid:114)1 2 (cid:114) 1 6 (cid:114)1 3 (cid:114) 1 3 (cid:114)1 2

X ∗ + X + Y − Z, (2.67) ∆U31 = Y ∗, ∆U32 = Z ∗, ∆U33 = (cid:114) 1 6 (cid:114) 1 2 (cid:114) 1 6 (cid:114) 1 3 (cid:114)1 3 (cid:114) 1 2

với

(2.68) X = −a12, Y = −a13, Z = −a23.

Chúng ta thấy rằng tham số aij, i, j = 1, 2, 3 trong ∆U được xác định từ các phần tử

ma trận V trong (2.62) dưới khai triển nhiễu loạn (2.61) mà có điều kiện ràng buộc

tham số mô hình trong (2.59) và (2.60).

Tiếp theo, chúng tôi sẽ tiến hành tính toán số để kiểm tra độ tin cậy của mô

hình [90]. Để đơn giản, chúng tôi giả sử tham số gN , d, λ0, λ là số thực, với giả thiết

Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1) 4

này hệ phương trình (2.23) có 27 nghiệm (u1, u2, u3) thuộc 4 loại dưới đây:

(2.69) Loại-1: (0, 0, 0) , tức là, u1 = u2 = u3 = 0,

Loại-2: (u, 0, 0) , u (cid:54)= 0, (2.70)

Loại-3: (u, u, u) , u (cid:54)= 0, (2.71)

(2.72) Loại-4: (u1, u2, u3) , u1 (cid:54)= u2 (cid:54)= u3 (cid:54)= u1, ui (cid:54)= 0.

Chúng tôi đã khảo sát và thầy rằng các nghiệm Loại-1, Loại-2 và Loại-3 không dẫn đến mô hình có ma trận trộn PMNS như mong muốn (mà trong đó chỉ có nghiệm

Loại-3 là dẫn tới mô hình TBM), do đó các nghiệm Loại-1, 2, 3 bị loại bỏ, và chúng

tôi sẽ chọn Loại-4 để tính toán.

(cid:33)

(cid:32)

, −(0.019 − 0.32i)

, −(0.17 − 0.26i)

−(0.14 + 0.28i)

(2.73)

(u1, u2, u3) =

(cid:114) λ0 λ1

Một trong các nghiệm của Loại-4 có dạng

(2.74)

(b1, b2, b3) = (−(0.14 + 0.28i)K, −(0.019 − 0.32i)K, −(0.17 − 0.26i)K) , K = gN

(cid:114) λ0 λ1

và với nghiệm này, chúng tôi có thể tính toán các đại lượng vật lý cho kết quả phù hợp với dữ liệu thực nghiệm hiện tại. Thậy vậy, từ giá trị (u1, u2, u3) trong (2.73), chúng tôi tính được

Khối lượng neutrino (2.56) bây giờ có dạng (Phụ lục C) [87]

1 = m2

01 + V11, m2

2 = m2

02 + V22, m2

3 = m2

03 + V33,

m2 (2.75)

ở đây Vii được tính theo biểu thức (2.64) là

0 V + V †M0|i0(cid:105),

i = 1, 2, 3. (2.76) Vii = (cid:104)i0|M †

Sử dụng dữ liệu thực nghiệm của các chênh lệch bình phương khối lượng neutrino

21 và ∆m2

32 trong bảng 2.3 ta có

∆m2

21 = m2

2 − m2

1 = 7, 54 · 10−5,

∆m2   (2.77)

31 = m2

3 − m2

1 = 2, 47 · 10−3.

∆m2 

Từ hệ phương trình (2.77), chúng tôi tìm được K và d trong (2.74), (2.35), ở đây

dữ liệu được lấy cho trường hợp phân bậc khối lượng thuận (NO) để khảo sát, còn

Khối lượng và trộn neutrino KL và CH neutrino trong A(1) 4

trường hợp phân bậc khối lượng ngược (IO) làm tương tự. Một trong những nghiệm

của (2.77) là

K = 1, 74 + 0, 05i, d = −9, 01. (2.78)

Từ nghiệm (2.78), chúng tôi tính được

= 0, 0003 + 0, 0015i, = −0, 0001 + 0, 0014i, (2.79) e2 D e3 D

và

X = 0, 326 + 0, 034i, Y = −0, 007 + 0, 003i,

Z = −0, 082 + 0, 251i. (2.80)

Với giá trị của X, Y và Z ở trên, U13 tính được là

(2.81) U13 = 0, 053 − 0, 148i.

21/10−5 eV2 (NO or IO)

Tham số Vùng 3σ Vùng 1σ

Best fit 7.54 3.08 2.47 2.42 2.34 2.40 4.37 4.55 Vùng 2σ 7.32 – 7.80 7.15 – 8.00 6.99 – 8.18 2.91 – 3.25 2.75 – 3.42 2.59 – 3.59 2.41 – 2.53 2.34 – 2.59 2.27 – 2.65 2.36 – 2.48 2.29 – 2.55 2.23 – 2.61 2.15 – 2.54 1.95 – 2.74 1.76 – 2.95 2.18 – 2.59 1.98 – 2.79 1.78 – 2.98 4.14 – 4.70 3.93 – 5.52 3.74 – 6.26 4.24 – 5.94 4.00 – 6.20 3.80 – 6.41 ∆m2 sin2 θ12/10−1 (NO or IO) 31/10−3 eV2 (NO) ∆m2 32|/10−3 eV2 (IO) |∆m2 sin2 θ13/10−2 (NO) sin2 θ13/10−2 (IO) sin2 θ23/10−1 (NO) sin2 θ23/10−1 (IO)

Bảng 2.3: Dữ liệu thực nghiệm của trường hợp NO và IO [6, 7].

Sử dụng nghiệm (2.78), chúng tôi tính được giá trị tuyệt đối của khối lượng neutrino

(2.82) m1 = 0, 1109 eV, m2 = 0, 1114 eV, m3 = 0, 1217 eV,

kết quả này khá phù hợp với sự đánh của thực nghiệm hiện tại [6] (do thực nghiệm

chưa xác định được chính xác khối lượng tuyệt đối của neutrino mà chỉ đưa ra được

giới hạn trên của khối lượng neutrino < 0.2 eV).

So sánh biểu thức (2.81) với U13 = s13e−iδ trong ma trận trộn UP M N S thì thu được

s13 ≈ 0, 157 (hay θ13 = 9, 03◦) và δ ≈ 1, 39π. Ở đây, chúng ta có thể thấy giá trị của s13

rất gần với giá trị thực nghiệm trong (2.49) hay trong [6] và một điều hết sức thú vị

Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1) 4

là giá trị của pha Dirac vi phạm CP δCP ≈ 1, 39π là trùng hợp một cách đáng ngạc

nhiên với giá trị phù hợp nhất (best fit) trong [7]. Phần tiếp sau, chúng tôi sẽ đưa

ra biểu thức giải tích liên hệ giữa δCP và các góc trộn θij.

2.6 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog

Trong ma trận (2.66) với các phần tử Uij, i, j = 1, 2, 3, chúng tôi tìm được phương

trình √ (2.83) 2 (cid:0)|U21|2 − |U31|2(cid:1) − (cid:0)|U22|2 − |U32|2(cid:1) = −2 2Re(U13).

Từ phương trình (2.83), chúng tôi so sánh các phần tử trong phương trình với các

phần tử tương ứng của ma trận trộn tham số hoá UP M N S. Ma trận UP M N S được viết

lại để tiện việc so sánh

  c12c13 s12c13 s13e−iδ

× P, (2.84) UP M N S = −c23s12 − s13s23c12eiδ c23c12 − s13s23s12eiδ s23c13         s23s12 − s13c23c12eiδ −s23c12 − s13c23s12eiδ c23c13

trong đó P (thường sẽ khác P0 trong trường hợp tổng quát) là ma trận chéo có dạng

2 , ei α2

2 , 1

(cid:17) (cid:16) ei α1 P = diag

với α1 and α2 là pha Majorana. Từ việc so sánh trên, chúng tôi thu được biểu thức

liên hệ giữa pha Dirac vi phạm CP, δCP ≡ δ với các góc trộn neutrino θij

23 − s2 23

12 − c2 12

√ (cid:0)c2 (cid:1) (cid:0)2s2 (2.85) (cid:1) + 12s13s23c23s12c12 cos δ = −2 2s13 cos δ,

trong đó đã bỏ qua số hạng O(λ2) và số hạng nhiễu loạn bậc cao. Từ (2.85), chúng

23)(2s2

12 − c2

12)

23 − c2 √

ta có thể đưa về dạng

cos δ = . (2.86) (s2 2(3 √ 2 2s23c23s12c12 + 1)s13

với δ ∈ [0, 2π]. Nếu δ0 là nghiệm của phương trình (2.86) thì 2π − δ0 cũng là nghiệm

của phương trình. Từ giá trị δCP cũng có thể tìm được tham số Jarlskog JCP của mô

hình.

Trên cơ sở biểu thức (2.86) và dữ liệu thực nghiệm đầu vào từ bảng 2.3, δCP có

Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1) 4

thể tính được giá trị số. Sử dụng dữ liệu thực nghiệm của các góc trộn trong khoảng

1σ, quanh giá trị phù hợp nhất (best fit) [6, 7], trong trường hợp phân bậc khối

lượng thuận thì vẽ được đồ thị phân bố của δCP hình 2.2 và sự phụ thuộc δCP với

s2 13 hình 2.3, còn trong trường hợp phân bậc khối lượng ngược thì vẽ đồ thị ứng với

hình 2.4 và 2.5. Trong tất cả các đồ thị hình vẽ, ký hiệu "Mean" có nghĩa là giá trị

trung bình và "RMS" là độ lệch chuẩn.

Ở đây, trong từng phân bố, gồm 10000 sự kiện được tạo ra thì δCP được tính theo

từng sự kiện đó. Trong từng sự kiện này tương ứng với sij có giá trị ngẫu nhiên

được tạo ra trên cơ sở của phân bố Gaussian có giá trị best fit và các vùng σ trong

bảng 2.3. Trong 2 hình 2.2 và 2.4, mỗi hình gồm 2 phân bố tương ứng với 2 nghiệm

phân biệt của (2.86), biểu diễn bởi màu xanh và đỏ. Trong hai nghiệm này, chúng

ta thấy rằng nghiệm nằm trong khoảng [π, 2π] thì gần giá trị best fit hơn. Ngoài ra,

trong 2 hình 2.3 và 2.5, mỗi hình đều có 3 màu khác nhau là màu đỏ, xanh lá cây

và xanh dương là tương ứng với ba vùng 1σ, 2σ và 3σ.

Hình 2.2: Phân bố của δCP trong trường hợp NO.

Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1) 4

Hình 2.3: Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp NO.

Hình 2.4: Phân bố của δCP trong trường hợp IO.

Hình 2.5: Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp IO.

Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1) 4

Trong trường hợp NO biểu diễn trong hình 2.2, thấy rằng δCP có hai nghiệm

tương ứng lần lượt với 2 giá trị trung bình (Mean) 2.265 ≈ 0.72π và 4.018 ≈ 1.28π và

hai giá trị cực đại là 2.35 ≈ 0.75π và 3.95 ≈ 1.26π. Chúng ta thấy rằng nghiệm thứ

hai (ứng với cả giá trị trung bình và giá trị cực đại) nằm trong vùng 1σ chứa giá

trị best fit 1.39π cho trong [6, 7]. Trong trường hợp IO biểu diễn trong hình 2.4, δCP

có hai nghiệm tương ứng lần lượt với 2 giá trị trung bình (Mean) 1.769 ≈ 0.56π và

4.514 ≈ 1.44π, và hai giá trị cực đại là 2.15 ≈ 0.68π và 4.17 ≈ 1.33π. Chúng ta cũng

thấy rằng nghiệm thứ hai (cho cả giá trị trung bình và giá trị cực đại) nằm trong

vùng 1σ chứa giá trị best fit 1.31π trong [6, 7].

Từ những kết quả trên chúng ta có thể thấy phân bố và nghiệm từ (2.86) cho giá

trị δCP rất gần với δCP trong [6, 7] của cả hai trường hợp NO và IO. Một lần nữa cho

thấy, đây cũng là dấu hiệu để khẳng định sự tin cậy của mô hình được đề xuất.

Khi đã có các góc trộn và pha Dirac vi phạm CP, chúng tôi có thể xác định được

tham số Jarlskog JCP ≡ J. Thật vậy, từ biểu thức JCP trong (1.139) như

13s12s23s13 sin δ|.

(2.87) |JCP | = |c12c23c2

Chúng tôi thu được |JCP | ≤ 0.038 and |JCP | ≤ 0.039 với trường hợp NO và IO tương

ứng, phân bố của JCP được biểu diễn trên hình 2.6. Từ phân bố, chúng tôi thu được

giá trị trung bình và cực đại của JCP trong trường hợp NO là

mean = 0.024 và J N O J N O

max = 0.027,

(2.88)

và trong trường hợp IO là

mean = 0.027 và J IO J IO

max = 0.033.

(2.89)

Kết quả này cũng tương tự kết quả thu được trong các công trình [222–226] bởi các

phương pháp khác nhau của các tác giả khác nhau.

Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1) 4

Hình 2.6: Phân bố của JCP trong trường hợp NO và IO.

Để đơn giản hơn, chúng tôi tổng kết các kết quả tính toán trên trong bảng 2.4

[90].

Phân bậc khối lượng Phân bậc khối lượng thuận neutrino ngược neutrino

1.28 1.44 δCP /π

0.024 0.027 |JCP |

Bảng 2.4: Giá trị trung bình của δCP và |JCP | trong trường hợp NO và IO của mô hình A(1) 4 .

Kết luận và đánh giá kết quả của mô hình

Tóm lại, kết quả nghiên cứu của phần này, chúng tôi đã đề xuất mô hình chuẩn mở

rộng khi thêm đối xứng vị A4 × Z3 × Z4. Quá trình khảo sát mô hình cho thấy ma

trận khối lượng neutrino được sinh ra thông qua cơ chế seesaw phụ thuộc vào cấu

trúc VEV của ϕN . Các tính toán VEV của ϕN trong trường hợp tổng quát dẫn đến

mô hình có dạng không TBM, nhưng trong trường hợp đặc biệt của VEV thì nó trở

về mô hình TBM. Bên cạnh đó, dữ liệu thực nghiệm hiện tại về trộn neutrino cho

thấy ma trận UP M N S có sự chênh lệch rất bé so với UT BM . Do vậy, chúng tôi sử dụng

phương pháp nhiễu loạn để chéo hoá ma trận khối lượng neutrino bằng cách khai

triển nhiễu loạn quanh ma trận UT BM để thu được ma trận UP M N S và khối lượng

neutrino. Từ đây, bằng các tính toán, chúng tôi thiết lập được biểu thức giải tích

(2.86) liên hệ giữa δCP với các góc trộn θij. Từ biểu thức (2.86) với các tính toán và

sử lý số liệu thực nghiệm của các góc trộn, chúng tôi xác định được pha Dirac vi

phạm CP δCP và tham số bất biến Jarlskog JCP phù hợp khá tốt với vùng dữ liệu

Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog KL và CH neutrino trong A(1) 4

thực nghiệm cho phép hiện tại trong cả trường hợp phân bậc khối lượng neutrino

thuận và ngược (NO và IO).

Ngoài ra, trong mô hình chúng tôi cũng tiến hành tính toán số, và thu được

các đại lượng s13 ≈ 0, 157 (hay θ13 = 9, 03◦) và δ ≈ 1, 39π và m1 = 0, 1109 eV, m2 =

0, 1114 eV, m3 = 0, 1217 eV phù hợp rất tốt với giới hạn dữ liệu thực nghiệm [6, 7].

Những kết quả này góp phần khẳng định sự tin cậy của mô hình và phương pháp

tiếp cận. Kết quả nghiên cứu trong phần này của chúng tôi đã được công bố trên

[90].

Chương 3

trong mô hình A

Khối lượng và chuyển hoá neutrino (10) 4

3.1 Mô hình chuẩn mở rộng A(10)

Nội dung chương này chúng tôi sẽ triển khai nghiên cứu khối lượng và chuyển hoá

neutrino trong một phiên bản khác của mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4, đó là phiên bản A(10) trong bảng 2.1. Như chúng ta thấy, biểu diễn A4, trình bày

trong mục 2.1 của chương 2, có 4 biểu diễn bất khả quy gồm một biểu diễn ba chiều

và ba biểu diễn một chiều. Từ điều này, ý tưởng xây dựng một mô hình đối xứng A4

chứa neutrino có khối lượng một cách đơn giản và "tự nhiên" hơn được hình thành.

Trong đó, mô hình gồm: 4 trường thành phần lepton của mô hình chuẩn, 4 trường

neutrino và 4 trường vô hướng, mà từng loại này có số trường bằng với số biểu

diễn bất khả quy của nhóm A4. Nghĩa là trong mô hình ngoài các trường của mô

hình chuẩn (cid:96)Li và (cid:96)Ri lần lượt là tam tuyến và 3 đơn tuyến của A4, còn có 4 trường

neutrino Majorana phân cực phải mà trong đó gồm 1 neutrino N là tam tuyến A4

và 3 neutrino NS, NS(cid:48), NS(cid:48)(cid:48) là đơn tuyến A4, và 4 trường vô hướng mà trong đó gồm 1 vô hướng Φh là tam tuyến A4 và 3 vô hướng S, S (cid:48), S (cid:48)(cid:48) là đơn tuyến A4. Nói cách

khác, cả 3 loại trường này trong đó lần lượt tương ứng với 4 biểu diễn bất khả quy của A4 là 3, 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48), được tổng hợp trong bảng 3.1. Do vậy, một cách "tự nhiên", khối

lượng neutrino được sinh ra trong mô hình - minh hoạ trong hình 3.1 là tổng toàn

bộ khối lượng trong các quá trình seesaw tương ứng với từng trường neutrino phân

cực phải (có cấu trúc gồm tam tuyến và đơn tuyến tương ứng với tất cả các biểu

diễn bất khả quy của A4) - minh hoạ trong hình 3.2. Ở đây quá trình seesaw thông

Mô hình chuẩn mở rộng A(10) KL và CH neutrino trong A(10)

thường có thể coi như là một quá trình hiệu dụng từ các quá trình thành phần ứng

với từng biểu diễn bất khả quy khác nhau của A4. Mô hình này cũng cho các kết

quả tính toán δCP , JCP và |(cid:104)mee(cid:105)| gần với các kết quả thực nghiệm [93].

Hình 3.1: Neutrino hiệu dụng trong cơ chế see-saw I.

Hình 3.2: Cơ chế see-saw I với đối xứng vị A4.

(cid:96)Ri 1/2 1, 1, 1 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) 0 1 1(cid:48)(cid:48) 0 1 1(cid:48) (cid:96)Li 1/2 2 3 Φh S S (cid:48) S (cid:48)(cid:48) NT NS NS(cid:48) NS(cid:48)(cid:48) 1/2 0 1 2 1(cid:48)(cid:48) 3 1/2 1/2 1/2 1 1 1 1(cid:48) 1 3 0 1 1 Spin SU (2)L A4

Bảng 3.1: Mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A(10)

Từ bảng 3.1, các trường thành phần trong mô hình biển đối với đối xứng SU (2)L

và A4, ở đó (cid:96)Li và (cid:96)Ri, i = 1, 2, 3, là lepton tích của 3 thế hệ tương ứng, các trường

h = (φh1, φh2, φh3), với φhi =

Higgs   ϕ+ i ΦT i = 1, 2, 3, (3.1)     , ϕ0 i

Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(10)

và S, S (cid:48), S (cid:48)(cid:48). Trong đó, VEV của các trường Higgs tương ứng là

h(cid:105)T = (cid:0)(cid:104)ϕ0

1(cid:105), (cid:104)ϕ0

2(cid:105), (cid:104)ϕ0

3(cid:105)(cid:1) :=

(cid:104)Φ0 (3.2) (v1, v2, v3). 1 √ 2

(3.3) (cid:104)S(cid:105) = s1, (cid:104)S (cid:48)(cid:105) = s2, (cid:104)S (cid:48)(cid:48)(cid:105) = s2.

Cấu trúc VEV của các trường này sẽ được xét chi tiết trong phần thế Higgs ở nội

dung tiếp sau. Chúng ta chú ý rằng các trạng thái của (cid:96)i ((cid:96)Li và (cid:96)Ri) trong trường

hợp tổng quát có thể không hoàn toàn trùng với các trạng thái l = e, µ, τ , mà chúng

liên hệ với nhau bởi phép quay, điều này sẽ được trình bày ở phía dưới.

Khi nghiên cứu mô hình này chúng tôi sử dụng biểu diễn nhóm A4 theo cơ sở S

chéo (2.3) và quy tắc nhân nhóm (2.2). Trước hết, chúng tôi sẽ xét thế tương tác của

trường Higgs để đánh giá VEV của chúng, vì các VEV có đóng góp rất quan trọng

vào khối lượng neutrino.

Do một số ký hiệu của các thành phần trường và hệ số tương tác trong các mô

hình được đặt tên giống nhau, để tránh nhầm lẫn, lưu ý các ký hiệu đó chỉ có hiệu

lực trong chính mô hình đang sử dụng chúng.

3.2 Phần vô hướng

Từ các trường vô hướng trong mô hình, được biểu diễn ở bảng 3.1, chúng tôi xét thế

Higgs có dạng tổng quát

(3.4) V = V (Φh) + V (Φh, S, S (cid:48), S (cid:48)(cid:48)) + V (S, S (cid:48), S (cid:48)(cid:48)),

với

1 + λ2(Φ†

hΦh)1(cid:48) (Φ†

V (Φ) = µ2

0(Φ† + λ3(Φ†

hΦh)1 + λ1(Φ† hΦh)3s(Φ†

hΦh)2 hΦh)3s + λ4(Φ†

hΦh)1(cid:48)(cid:48) hΦh)3a + λ5(Φ†

hΦh)3a(Φ†

hΦh)3s(Φ†

hΦh)3a,

(3.5)

hΦh)1(S†(cid:48)S (cid:48)(cid:48))1

V (Φ, S, S (cid:48), S (cid:48)(cid:48)) = γ1(Φ†

+ β1(Φ†

hΦh)1(cid:48) (S†(cid:48)(cid:48)S)1(cid:48)(cid:48) hΦh)1(cid:48)(cid:48) (S†(cid:48)S)1(cid:48) + h.c.,

hΦh)1(S†S)1 + γ2(Φ† hΦh)1(cid:48) (S†(cid:48)S (cid:48))1(cid:48)(cid:48) + β2(Φ† hΦh)1(cid:48)(cid:48) (S†(cid:48)(cid:48)S (cid:48)(cid:48))1(cid:48) + η2(Φ†

(3.6) + η1(Φ†

Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(10)

V (S, S (cid:48), S (cid:48)(cid:48)) = α0(S†S) + α1(S†S)2

+ α2(S†S)1(S (cid:48)†S (cid:48)(cid:48))1 + α3(S†(cid:48)S (cid:48)(cid:48))1

(3.7) + α4(S†(cid:48)S (cid:48)(cid:48))1(S†(cid:48)S (cid:48)(cid:48))1 + α5(S†(cid:48)S (cid:48))1(cid:48)(cid:48) (S†(cid:48)(cid:48)S (cid:48)(cid:48))1(cid:48) + h.c..

trong đó,

1√ 2

    ϕ+ 2 ϕ+ 1 φh2 = φh1 =     ,     , (v1 + h1 + iξ1) (v2 + h2 + iξ2)

1√ 2

  ϕ+ 3 (3.8) φh3 =     , (v3 + h3 + iξ3)

và trung bình chân không của S, S (cid:48) và S (cid:48)(cid:48)

(3.9) (cid:104)S(cid:105) = s1, (cid:104)S (cid:48)(cid:105) = s2, (cid:104)S (cid:48)(cid:48)(cid:105) = s3.

Trong mô hình, đối xứng vị A4 ở thang năng lượng rất lớn (rất lớn so với thang điện yếu) nên chúng tôi giả thiết rằng các trường vô hướng S, S (cid:48) và S (cid:48)(cid:48) là các trường vô

hướng lạ (ứng viên của vật chất tối), chúng tương tác rất yếu với trường Higgs Φh.

Do đó, chúng tôi coi tương tác của (3.6) là rất bé so với tương tác của (3.5) trong

thang năng lượng điện yếu. Nội dung này sẽ được triển khai nghiên cứu trong công

trình khác của tác giả ngoài khuôn khổ luận án.

Xét điều kiện cực trị thế Higgs Φh,

= 0, (i = 1, 2, 3), (3.10) ∂V ∂φhi (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:104)φhi(cid:105)=vi

thì chúng tôi thu được hệ phương trình của VEV Φh như

0 + 2(λ1 + λ2)v2 µ2

1 + (2λ1 − λ2 + 2λ4 + λ5)v2

2 + (2λ1 − λ2 + 2λ3 + λ5)v2

3 = 0,



2 + (2λ1 − λ2 + 2λ3 + λ5)v2

1 + (2λ1 − λ2 + 2λ4 + λ5)v2

3 = 0,

µ2 0 + 2(λ1 + λ2)v2

3 + (2λ1 − λ2 + 2λ3 + λ5)v2

2 + (2λ1 − λ2 + 2λ4 + λ5)v2

1 = 0.

µ2 0 + 2(λ1 + λ2)v2  

(3.11)

Giải hệ phương trình này sẽ thu được nghiệm

1 = v2 v2

2 = v2

3 := v2 =

· (3.12) −µ2 0 2(3λ1 + λ3 + λ4 + λ5)

Phần vô hướng KL và CH neutrino trong A(10)

Nghiệm (3.12) có 8 lựa chọn khác nhau,

(3.13) ± v1 = ±v2 = ±v3 = ±v,

của cấu trúc VEV Φh.

Trong trường hợp tổng quát của trường Higgs Φh thì định nghĩa ở trên là trạng

thái vị không phải là trạng thái khối lượng. Để tìm trạng thái khối lượng, chúng tôi

h trong số hạng

phải chéo hoá ma trận khối lượng Higgs M 2

  h1 (cid:17) (cid:16) , (3.14) VM (Φ) ∼ M 2 h h1 h2 h3 h2 1 2         h3

Ở đây,   p q q

h =

M 2 , (3.15) q p q         q q p

với

p =2v2(λ1 + λ2 + λ3 + λ4),

q =v2(2λ1 − λ2 + λ5).

Ma trận (3.15) là ma trận đối xứng thực, do đó trị riêng của nó là khối lượng của

trường Higgs ΦH cũng luôn là thực. Từ đây, Chúng tôi chéo hoá ma trận (3.15) như

h) = U T

HM 2

hUH,

diag(M 2 (3.16)

3 −

trong đó,  

, (3.17) UH =         (cid:113) 1 (cid:113) 1 3 (cid:113) 1 3 (cid:113) 2 3 (cid:113) 1 6 − (cid:113) 1 6 0 (cid:113) 1 2 (cid:113) 1 2

và   m2 0 0

H1 0 m2

H = diag(M 2

h) =

H2 0 m2

M 2 , (3.18) 0         0

Phần lepton KL và CH neutrino trong A(10)

H là ma trận bình phương chéo với

ở đây M 2

m2 (3.19)

0 − 3(2λ1 − λ2 + λ5)v2,

H1 =p + 2q = 2(3λ1 + λ3 + λ4 + λ5)v2 = −µ2 0, H3 = p − q = (3λ2 + 2λ3 + 2λ4 − λ5)v2 = −µ2

H2 = m2

m2 (3.20)

là khối lượng của các trạng thái khối lượng Higgs Hi. Do vậy, chúng liên hệ với

trạng thái vị hi thông qua phép quay

    h1 H1

. (3.21) = UH h2 H2                 h3 H3

3.3 Phần lepton

Trong nội dung phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát phần lepton tích và neutrino

của mô hình. Từ các trường thành phần trong bảng (3.1), thì số hạng Lagrangian

Yukawa đối với phần lepton tích có dạng

(3.22) −LYcl = y1((cid:96)LΦh)(cid:96)R1 + y2((cid:96)LΦh)(cid:48)(cid:48)(cid:96)R2 + y3((cid:96)LΦh)(cid:48)(cid:96)R3 + h.c.

= y1(v1(cid:96)L1 + v2(cid:96)L2 + v3(cid:96)L3)(cid:96)R1 + y2(v1(cid:96)L1 + ωv2(cid:96)L2 + ω2v3(cid:96)L3)(cid:96)R2

+ y3(v1(cid:96)L1 + ω2v2(cid:96)L2 + ωv3(cid:96)L3)(cid:96)R3 + h.c..

Sau khi phá vỡ đối xứng vị A4 và gauge thì ma trận khối lượng lepton tích thu được

là   y1v1 y2v1 y3v1

. (3.23) Mlept = y1v2 ωy2v2 ω2y3v2         y1v3 ω2y2v3 ωy3v3

(v, v, v), Từ giá trị VEV (3.12), không mất tính tổng quát, chúng tôi giả sử (cid:104)Φh(cid:105)T = 1√ 2

việc chọn các trường hợp khác của v1, v2, v3 khác dấu trong (3.13) vẫn cho kết quả

tương tự. Khi đó, ma trận khối lượng lepton tích có dạng

  0 0 me

, (3.24) Mlept = UL 0 0 mµ 1 √ 2         0 0 mτ

Phần lepton KL và CH neutrino trong A(10)

trong đó,

(3.25) me = y1v, mµ = y2v, mτ = y3v,

là khối lượng các lepton tích e, µ, τ , và

  1 1 1

. (3.26) UL = 1 ω ω2 1 √ 3         1 ω2 ω

Tiếp theo, chúng tôi lần lượt xét các số hạng Lagrangian Yukawa Dirac và Majorana

của các neutrino theo bảng (3.1). Trước hết là Lagrangian Yukawa Dirac

T a

Yν = yν

(cid:17) (cid:17) −LD (3.27) · NT · NT + yν T b

32 · NS(cid:48) + yν S(cid:48)(cid:48)

31 · NS + yν S(cid:48)

1(cid:48)

1(cid:48)(cid:48)

(cid:17) (cid:16) ¯(cid:96)L (cid:101)Φh (cid:17) · NS(cid:48)(cid:48) + h.c.. (cid:16) ¯(cid:96)L (cid:101)Φh (cid:16) ¯(cid:96)L (cid:101)Φh (cid:16) ¯(cid:96)L (cid:101)Φh (cid:17) (cid:16) ¯(cid:96)L (cid:101)Φh + yν S

Từ Lagrangian này, chúng tôi thu được ma trận khối lượng neutrino Dirac

  0 yν S(cid:48)(cid:48)v1

T bv1

T bv2 yν T av3 yν yν yν Sv1 S(cid:48)v1 S(cid:48)v2ω2 Sv2 yν T av1 yν yν 0 S(cid:48)v3ω yν yν yν Sv3 0

. (3.28) MD =         yν T bv3 T av2 yν yν yν S(cid:48)(cid:48)v2ω S(cid:48)(cid:48)v3ω2

Tiếp đến, Lagrangian Yukawa Majorana sẽ là

Yν =yM T1

1(cid:48)(cid:48) S (cid:48)

(cid:1) −LM (cid:0)N T NT (cid:0)N T NT (cid:0)N T NT

+ yM 1 (cid:0)N S(cid:48) NS(cid:48)(cid:48) (cid:1)

+ yM 3

1(cid:48)(cid:48) S (cid:48) 1(cid:48) S (cid:48)(cid:48) + h.c..

(3.29) + yM 5 (cid:0)N SNS (cid:0)N S(cid:48) NS(cid:48) (cid:1) (cid:0)N S(cid:48)(cid:48) NS(cid:48)(cid:48) (cid:1) (cid:1) 1(cid:48) S (cid:48)(cid:48) + yM 1 S (cid:0)N SNS(cid:48)(cid:48) (cid:1) (cid:0)N SNS(cid:48) (cid:1) (cid:1) 1 S + yM (cid:1) 1 S + yM 1(cid:48)(cid:48) S (cid:48) + yM 1(cid:48) S (cid:48)(cid:48) + yM

Lagrangian (3.29) có thể được viết lại như

Yν =

− LM (3.30) (NR)c · MR · NR + h.c., 1 2

trong đó,

(3.31) NT = (NT 1, NT 2, NT 3)T , NR = (NT 1, NT 2, NT 3, NS, NS(cid:48), NS(cid:48)(cid:48))T ,

Phần lepton KL và CH neutrino trong A(10)

và   0 0 0 0 0 M11

0 0 0 0 0 M22

0 0 0 0 0 M33 , (3.32) MR = 0 0 0 M44 M45 M46

0 0 0 M54 M55 M56                           0 0 0 M64 M65 M66

với

T3 s3,

M11 = yM

T3 s3,

M22 = yM

T2 s2 + yM T2 s2 + ω yM T2 s2 + ω2yM

T3 s3,

M33 = yM

T1 s1 + yM T1 s1 + ω2yM T1 s1 + ω yM 1 s1, M56 = M65 = yM

2 s1,

M44 = yM

3 s2, M46 = M64 = yM

4 s2,

M55 = yM

5 s3, M45 = M54 = yM

6 s3.

(3.33) M66 = yM

Khi làm việc với Lagrangian (3.29), ta có thể giả thiết (để thuận tiện cho tính toán

về sau)

1 = yM

2 tương ứng M44 = M56 = M65 do cùng bậc tương tác với S.

• yM

4 tương ứng M55 = M46 = M64 do cùng bậc tương tác với S (cid:48).

3 = yM

• yM

5 = yM

6 tương ứng M66 = M45 = M54 do cùng bậc tương tác với S (cid:48)(cid:48).

• yM

Lúc này ma trận khối lượng Majorana có dạng

  0 0 0 0 0 M11

0 0 0 0 0 M22

0 0 0 0 0 M33 . (3.34) MR = 0 0 0 M44 M66 M55

0 0 0 M66 M55 M44                           0 0 0 M55 M44 M66

Từ (3.27) và (3.30), chúng tôi viết gọn lại Lagrangian Yukawa của neutrino

Yν + LM Yν

(3.35) LYν = LD

KL và CH neutrino trong A(10) Phần lepton

như sau

(3.36) nLMseesaw(nL)c + h.c, LYν = 1 2

trong đó,

(3.37) nL = (νL, (NR)c)T ,

D MR

và   0 MD (3.38) Mseesaw =   . M T

Từ các biểu thức trên, theo cơ chế seesaw I thì thu được ma trận khối lượng neutrino

là

D(MR)−1MD.

(3.39) Mν = −M T

Đến đây, chúng ta sẽ chuyển sang làm việc với cơ sở mà trong đó ma trận khối lượng

lepton tích đã chéo hoá thì lúc này ma trận khối lượng neutrino được biến đối như

LMνU ∗ L.

(3.40) Mν = U †

hay

D(MR)−1MD.

(3.41) Mν = −MT

Trường hợp tổng quát, từ cơ chế seesaw của mô hình, chúng ta có thể tìm được sự

liên hệ giữa thang khối lượng MR, MD and Mν, được liệt kê trong bảng 3.2.

Thang KL MR (GeV) Mν (GeV) MD = (MνMR)1/2 (GeV) < 10−10 < 10−10 < 10−10 < 10−10 < 10−10 < 10−10 ∼ 102 ÷ 103 ∼ 10−4 ÷ 10−3 ∼ 10−5 ∼ 10−7 ÷ 10−6 ∼ 10−8 ∼ 10−10 ÷ 10−9 ∼ 1015 ∼ 103 ∼ 100 ∼ 10−3 ∼ 10−6 ∼ 10−9 yD = MDv−1 ∼ 100 ÷ 101 ∼ 10−6 ÷ 10−5 ∼ 10−7 ∼ 10−9 ÷ 10−8 ∼ 10−10 ∼ 10−12 ÷ 10−11 GUT TeV GeV MeV keV eV

Bảng 3.2: Thang khối lượng của mô hình.

Từ dữ liệu thực nghiệm hiện tại cho giới hạn trên của khối lượng neutrino thông

thường là cỡ 10−1 eV = 10−10 GeV, nếu biết được thang của MD thì chúng ta có ước

lượng thang khối lượng MR và ngược lại nếu chúng ta biết MR thì có thể xác định

được MD. Do đó, thang MR và MD vẫn có khả năng thay đổi trong vùng rộng lớn

của tương tác điện yếu từ 102 GeV đến 1 TeV=103 GeV.

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

3.4 Khối lượng và chuyển hoá neutrino

Từ Lagrangian Yukawa (3.36), chúng tôi đã khảo sát thấy nếu

S = yν yν

S, M55 = M66,

S(cid:48) = yν

S(cid:48)(cid:48) ,

(3.42) yta, ytb (cid:28) yν

nghĩa là hằng số tương tác Yukawa Dirac của các đơn tuyến neutrino bằng nhau,

hằng số tương tác Yukawa Dirac của tam tuyến neutrino NT rất bé so với hằng số

tương tác Yukawa Dirac của đơn tuyến, và hệ số khối lượng M55, M66 của neutrino

Majorana bằng nhau thì ma trận khối lượng neutrino có dạng

S)2

  −3M66(yν −3M66(yν

S)2

S)2 S)2 3(M44 + M66)(yν

S)2 3(M44 + M66)(yν S)2

S)2

, (3.43) Mν0 = −3M66(yν −3M66(yν 1 Λ         −3M66(yν −3M66(yν 3(M44 + M66)(yν S)2 S)2

ở đây

(3.44) Λ = (M44 − M66)(M44 + 2M66).

Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino (3.43) thì thu được

tbm,

tbmMν0U (cid:48)

(3.45) diag(Mν0) = U (cid:48)T

trong đó,  

tbm =

U (cid:48) (3.46) −         − (cid:113) 2 3 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 6 (cid:113) 1 3 (cid:113) 1 3 − (cid:113) 1 3 0 (cid:113) 1 2 (cid:113) 1 2

và

2 )2(cid:1) .

1 − zν

S)2 − (zν

2 )2, 3(yν

1 + 2zν

S)2 + (zν

2 )2, 3(yν

1 − zν

S)2 + (zν

(cid:0)3(yν (3.47) diag(Mν0) = 1 Λ

tbm và

Do vậy, với điều kiện (3.42) thì mô hình đang xét sẽ trở về mô hình TBM. Một lưu ý nhỏ, hai ma trận U (cid:48)

 

(3.48) Utbm =         (cid:113) 2 3 (cid:113) 1 − 6 (cid:113) 1 6 − (cid:113) 1 3 (cid:113) 1 3 (cid:113) 1 3 0 (cid:113) 1 2 (cid:113) 1 2

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

có thể chuyển đổi lẫn nhau, do đó việc dùng một trong hai ma trận này đều không

ảnh hưởng đến kết quả tính toán, và để thuận tiện trong các thao tác với dữ liệu

thực nghiệm, từ đây về sau ta sẽ sử dụng ma trận Utbm này trong các tính toán.

Như chúng ta đã biết dữ liệu thực nghiện hiện tại không phải là ma trận trộn

TBM do sin θ13 (cid:54)= 0, mà thực tế có sự chênh lệnh nhỏ giữa ma trận trộn PMNS thực

nghiệm với ma trận trộn TBM. Do vậy, chúng tôi coi ma trận PMNS là nhiễu loạn

nhỏ quanh ma trận TBM hay ma trận ∆U là chênh lệch giữa UP M N S [6] và UT BM

như sự bổ đính bé (sai khác phần tử pha)

  0.006 −0.029 0.153e−iδ

∆U = . (3.49) −0.008 − 0.084eiδ 0.047 − 0.056eiδ −0.054         −0.041 − 0.095eiδ 0.027 − 0.064eiδ 0.034

Do đó, việc chéo hoá ma trận khối lượng neutrino để xác định ma trận PMNS của

mô hình chính là thực hiện nhiễu loạn quanh TBM [91].

S và M44 (cid:54)= M55 (cid:54)= M66, không giống như (3.42), do đó, ma trận khối lượng neutrino khi chéo hoá sẽ thu được ma trận chéo ˜U không

S và M55 chênh lệch rất bé với M66. Giải thiết này

S(cid:48)(cid:48) chênh lệch rất bé so với yν

(cid:54)= yν Mô hình đang xét có yν S(cid:48) (cid:54)= yν S(cid:48)(cid:48)

có dạng TBM. Bên cạnh đó, với điều kiện (3.42) thì mô hình đưa về dạng TBM. Để có sự chênh lệch giữa ma trận ˜U của mô hình và ma trận TBM, chúng tôi giả thiết S(cid:48) , yν yν tương đương với các biểu thức

S + (cid:15)1, yν

S + (cid:15)2,

S(cid:48)(cid:48) = yν

S(cid:48) = yν yν

i = 1, 2, (3.50) với O2((cid:15)i) ≈ 0,

với O2(σ) ≈ 0. (3.51) M55 = M66 + σ,

Từ những điều kiện trên, chúng tôi viết lại ma trận khối lượng

(3.52) MD = MD0 + δMD

và

R = M −1 R0

M −1 (3.53) + δIR.

Do vậy, Mν có dạng

(3.54) + δIR)(MD0 + δMD). Mν = (MD0 + δMD)T (M −1 R0

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

Biến đổi biểu thức trên thu được

(3.55) Mν = Mν0 + W,

trong đó,

D0M −1 R0

(3.56) Mν0 = −M T MD0.

Ma trận Mν0 có dạng giống trong biểu thức (3.43). Do đó, khi chéo hoá ma trận này

sẽ thu được ma trận làm chéo dạng TBM. Ma trận W có biểu thức rút gọn là

  e1 e2 e∗ 2

, W = (3.57) 1 Λ(cid:48)         e2 e4 e3 2 e3 e∗ e∗ 4

với

Λ(cid:48) = (3.58) 2(M44 − M66) [(M44 − M66)(M44 + 2M66) − 3M66σ] yν S

và

e1 = − 4((cid:15)1 + (cid:15)2)(M44 − M66) [M66(2M66 + σ) − (M44 + M66)(M44 − σ)] (M44 + 2M66)

S(M44 − M66)2 (M44 + 2M66)

6yν + ,

√ e2 = ((cid:15)1 + (cid:15)2)(M66 − M44)(M66 + 2M44) + 3 3iM66((cid:15)1 − (cid:15)2)(M44 − M66) √ + 2σ((cid:15)1 − 2(cid:15)2)(ωM44 − M66) − 2 3iM66σ(2(cid:15)1 − (cid:15)2),

e3 = −2((cid:15)1 + (cid:15)2)(M44 − M66)(M44 + 2M66) + 2M44σ((cid:15)1 − 2(cid:15)2) − 2M66σ((cid:15)2 − 5(cid:15)1),

e4 = 2(M44 + 2M66) [2((cid:15)1 + (cid:15)2)(M44 − M66) − 3ωσyν S]

(3.59) + 4σ((cid:15)1 + (cid:15)2)(2ωM66 − ω2M44 − 3M66).

Ma trận trộn TBM có thể biểu diễn thành các vector riêng |n0(cid:105), n = 1, 2, 3 như

(3.60) UT BM = (cid:0)|10(cid:105), |20(cid:105), |30(cid:105)(cid:1) .

Từ (3.55), chúng tôi thu được biểu thức ma trận bậc 2 là

ν0Mν0 +

ν0W + W †Mν0

νMν = M†

(cid:17) (cid:16) M† M† . (3.61)

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

Bây giờ, chúng tôi áp dụng phương pháp nhiễu loạn (Phụ lục C) để chéo hoá bình

νMν

phương ma trận khối lượng neutrino M†

νMν

˜U †M† (3.62) ˜U = diag (|m1|2, |m2|2, |m3|2),





−

˜U =

(3.63)

−

   

   

(cid:113) 2 (cid:113) 1 (cid:113) 1

(cid:113) 1 (cid:113) 1 (cid:113) 1

(cid:113) 2 (cid:113) 1 (cid:113) 1

(cid:113) 1 (cid:113) 1

(cid:113) 2 (cid:113) 1 (cid:113) 1

−

3 + 6 + 6 +

3 x∗ 3 x∗ − 3 x∗ +

(cid:113) 1 2 y∗ (cid:113) 1 2 y∗ (cid:113) 1

3 − 3 + 3 +

3 x 6 x − 6 x +

(cid:113) 1 2 z∗ − 2 z∗ (cid:113) 1

2 + 2 +

3 y − 6 y − 6 y −

(cid:113) 1 3 z (cid:113) 1 3 z (cid:113) 1 3 z

trong đó ma trận ˜U được nhiễu loạn quanh ma trận Utbm bởi biểu thức khai triển nhiễu loạn (2.63). Chúng tôi tiến hành tính toán thì thu được ma trận

với

(3.64) x = −λ12, y = −λ13, z = −λ23.

Ngoài ra, ma trận U (cid:48) liên hệ với ˜U bởi biểu thức U (cid:48) = ˜U × P (cid:48), ở đây

3/2(cid:17)

1/2, eiα(cid:48)

2/2, eiα(cid:48)

2, α(cid:48)

1, α(cid:48)

3, cũng có thể chéo hoá được ma trận M†

νMν. Do vậy, ma trận UP M N S có

(cid:16) P (cid:48) = diag eiα(cid:48) ,

với α(cid:48) thể định nghĩa sai khác ma trận pha P (cid:48) so với ma trận ˜U là

(3.65) UP M N S = ˜U × P (cid:48),

Chúng ta có thể viết lại P (cid:48) như

1−α(cid:48)

3/2diag

3)/2, ei(α(cid:48)

2−α3)/2, 1

3/2diag

21/2, eiα(cid:48)

31/2, 1

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) P (cid:48) = eiα(cid:48) ei(α(cid:48) ≡ eiα(cid:48) eiα(cid:48) , (3.66)

3 có thể bỏ qua khi định nghĩa lại biến đổi trường như trong trường hợp của P . Do đó, chúng ta có thể viết dạng của P (cid:48) tương tự P trong (3.66)

và thấy rằng pha α(cid:48)

21/2, eiα(cid:48)

31/2, 1

(cid:16) (cid:17) P (cid:48) = diag eiα(cid:48) . (3.67)

Sử dụng các tính chất trong ma trận PMNS, chúng ta có tan2 θ12 = |U12|2/|U11|2,

sin θ13 = |U13|, tan2 θ23 = |U23|2/|U33|2. Từ đây, áp dụng với (3.63), chúng tôi thu được

các biểu thức tại nhiễu loạn bậc nhất

√ √ , (3.68) tan2 θ12 ≈ 1 − 2 2 + 2 2Re(x) 2Re(x)

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

y + z , (3.69) sin θ13 = (cid:114)1 3 (cid:114)2 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

6y −

3z)

6y −

3z)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) √ (cid:113) 1 (cid:113) 1 2Re( 1 + 2 . (3.70) tan2 θ23 ≈ √ (cid:113) 1 (cid:113) 1 1 − 2 2Re(

Ngoài ra, từ phương trình (3.65) và (2.84), ta dễ dàng có

21/2 = c12c13eiα21/2,

3 +

(cid:16)(cid:113) 2 (cid:113) 1 eiα(cid:48)

3x∗(cid:17) (cid:113) 2 (cid:17)

31/2 = s12c13eiα31/2,

(cid:16)(cid:113) 1 (3.71) eiα(cid:48)

3 − (cid:16)

3y −

(cid:17) (cid:113) 2 − = s13e−iδ. (cid:113) 1 3z

21 (cid:54)= α21 và α(cid:48)

31 (cid:54)= α31, nhưng trong trường

Trong trường hợp tổng quát, x là phức, α(cid:48)

21 = α21 và α(cid:48)

31 = α31.

hợp x thực ta có α(cid:48)

Phần tiếp theo, chúng tôi khảo sát mô hình này khi xét trường hợp tham số x là





(cid:113) 1

(cid:113) 2

−

× P.

(3.72)

−

UP M N S =

(cid:113) 1 3 z (cid:113) 1 6 y −

3 y − 2 +

(cid:113) 1 3 z

   

   

3 + (cid:113) 1 (cid:113) 1

3 x (cid:113) 1 (cid:113) 1

(cid:113) 2 (cid:113) 1 (cid:113) 1

(cid:113) 1 (cid:113) 1

(cid:113) 1

−

6 + 6 +

3 x − 3 x +

(cid:113) 1 2 y∗ (cid:113) 1 2 y∗ (cid:113) 1

3 − 3 + 3 +

3 x 6 x − 6 x +

(cid:113) 2 (cid:113) 1 2 z∗ − 2 z∗ (cid:113) 1

2 +

6 y −

(cid:113) 1 3 z

thực, tức là P (cid:48) = (eiα21/2, eiα31/2, 1) = P . Lúc này ma trận PMNS (3.65) có dạng

Từ đây, bằng cách so sánh các phần tử ma trận (UP M N S)11, (UP M N S)13 và (UP M N S)23

trong (3.72) với phần tử tương ứng của ma trận PMNS tại giá trị best fit thực

nghiệm của dữ liệu các góc trộn θ13 trong [6, 7], chúng tôi thu được các giá trị của x,

y và z. Sau đó, chúng tôi thay giá trị x, y và z ngược lại (3.72), sẽ thu được ma trận

PMNS của mô hình

  0.8221 0.5695 0.1530 e−iδ

P M N S =

U model × P. (3.73) −0.4337 − 0.0883 eiδ 0.6252 − 0.0624 eiδ 0.6533         0.3716 − 0.0883 eiδ −0.5373 − 0.0624 eiδ 0.7609

P M N S này, chúng tôi sẽ phân tích và khảo sát một số đại lượng vật lý

Từ ma trận U model

của mô hình này như khối lượng hiệu dụng của phân rã beta kép không có neutrino

|(cid:104)mee(cid:105)|, pha Dirac vi phạm CP δCP ≡ δ và tham số Jarlskog JCP . Sau đó so sánh

với dữ liệu thực nghiệm hiện tại [6, 7] để có thể khẳng định mức độ tin cậy của mô

hình.

Phân rã beta kép không có neutrino (0νββ) là quá trình phát xạ 2 electron từ

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

các hạt nhân thích hợp mà không tạo ra các neutrino (hoặc phản neutrino), do

vậy có sự vi phạm số lepton là 2 [227–234]. Cùng với phân rã 0νββ thì bức xạ

phát ra của cặp neutrino (RENP) từ nguyên tử [235–237] là hai quá trình, đến

thời điểm này, được dùng để các thí nghiệm xác định bản chất của neutrino (là

neutrino Dirac hay Majorana). Với tầm quan trọng để xác định bản chất neutrino,

nên quá trình phân rã 0νββ đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý

trong cả khía cạnh lý thuyết và thực nghiệm. Hiện tại, các thí nghiệm có độ nhạy

nhất đã xác định được giới hạn trên của khối lượng hiệu dụng phân rã 0νββ là

khoảng |(cid:104)mee(cid:105)| < 0.2 − 0.6 eV (thí nghiệm Heidelberg-Moscow [238]), 0.3 − 0.71 eV

(thí nghiệm COURICINO [239]), hay 0.14 − 0.38 eV (thí nghiệm EXO-200 [240]),

trong khi các thế hệ tiếp theo của các thí nghiệm [241,242] có thể thu được tín hiệu

của phân rã nếu |(cid:104)mee(cid:105)| là không nhỏ hơn (2 − 5) × 10−2 eV.

Trong mô hình này, khối lượng hiệu dụng 0νββ có dạng

e1 + m2U 2

e2eiα21 + m3U 2

e3eiα31(cid:12) (cid:12) .

(3.74) |(cid:104)mee(cid:105)| = (cid:12) (cid:12)m1U 2

Từ biểu thức trên, chúng tôi biểu diễn được sự phụ thuộc của |(cid:104)mee(cid:105)| với các phần

tử ma trận trộn PMNS vào khối lượng neutrino m0 trong hình 3.3.

Hình 3.3: Khối lượng hiệu dụng |(cid:104)mee(cid:105)| là hàm của khối lượng neutrino; đồ thị (hình trái) thu được bởi (3.72) với θij ∈ 3σ và δ, α21, α31 ∈ [0, 2π], đồ thị (hình phải) từ [6].

Việc đo pha Dirac vi phạm CP δ là một thách thức lớn, nhưng với giá trị θ13 (cid:54)= 0

thu được từ các thí nghiệm gần đây, thì phép đo của δ dần trở lên khả thi hơn. Cách

thức đơn giản và trực tiếp, để bố trí thực hiện thí nghiệm, là xác định sự sai khác

giữa xác suất của chuyển dịch neutrino và phản neutrino, như đã trình bày chi tiết

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

trong mục 4 chương 2,

CP = P(να → νβ) − P(¯αα → ¯νβ) = −16Jαβ sin ∆12 sin ∆23 sin ∆31,

A(α,β) (3.75)

ijL/4E, and Jαβ là đại lượng bất biến Jarlskog [244],

ở đây ∆ij ≡ ∆m2

α1U ∗

β2Uα1Uβ2} = J max

CP sin δ.

(3.76) Jαβ = JCP = Im{U ∗

Từ (3.76) sử dụng các phần tử trong ma trận PMNS, ta có thể dễ dàng thu được

CP = cos θ12 sin θ12 cos θ23 sin θ23 cos2 θ13 sin θ13. J max

(3.77)

CP có giá trị trong

Từ (3.77), với giá trị thực nghiệm của θ13 trong bảng 2.3 thì J max

khoảng [0.032 − 0.042], khi các góc trộn khác biến đổi trong khoảng 3σ (chi tiết trong

hình 3.4 - trái). Còn với các góc trộn θij biến đổi trong khoảng 3σ thì chúng ta thấy

rằng hầu hết các giá trị của δ là ở xung quanh π/2 (=90◦) và 3π/2 (=270◦), trong đó

CP , nằm trong 0.032 − 0.042 (chi tiết

|JCP | cho giá trị, mà thực tế giá trị cực đại J max

trong hình 3.4 - phải).

Hình 3.4: JCP là hàm của θ13 (hình trái) và là hàm của δCP (hình phải) với các góc trộn θij ∈ 3σ và pha δCP ∈ [0, 2π].

Khi x là thực, từ các phương trình (3.68)-(3.70) cho thấy giá trị của góc trộn θ12

chỉ phụ thuộc vào x, trong khi hai góc trộn θ13, θ23 và pha Dirac δ được xác định

thông qua y và z, như trong phương trình

6y −

3z)

6y −

3z)

√ (cid:113) 1 (cid:113) 1 1 + 2 2Re( y − z, . (3.78) tan2 θ23 = sin θ13e−iδ = − √ (cid:113) 1 (cid:113) 1 (cid:114) 2 3 (cid:114)1 3 1 − 2 2Re(

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

Do y và z là các số phức nên chúng chứa 4 tham số. Từ các phương trình trên, chúng

ta có thể thấy, nếu một trong những tham số (của y, z ) có thể sử dụng để đồng bộ

với pha Majorana (như đã đề cập phía trên) còn hai trong chúng được dùng để cố

định góc trộn θ13 and θ23, thì một tham số còn lại sẽ được dùng cho pha Dirac vi

phạm CP δ. Do vậy, về mặt lý thuyết δ có giá trị bất kỳ trong khoảng [0, 2π].

Tiếp theo chúng tôi xét trường hợp đặc biệt của các tham số y và z, ví dụ y = 0

hoặc z = 0. Trong trường hợp y = 0 và z tuỳ ý (hoặc z = 0 và y tuỳ ý), thì chúng ta

chỉ có 2 tham số tự do để cố định 3 phép đo θ13, θ23 và δ, do đó δ có thể biểu diễn theo

các số hạng của θ13, θ23. Do vậy, với y = 0, từ (3.78) thu được

3z)

√ (cid:113) 1 1 + 2 2Re(− − . (3.79) z = sin θ13e−iδ, tan2 θ23 = √ (cid:114)1 3 1 − 2 2Re(− (cid:113) 1 3z

Rút gọn z trong các phương trình (3.79), chúng tôi thu được biểu thức liên hệ

. (3.80) sin θ13 cos δ = tan2 θ23 − 1 tan2 θ23 + 1 1 √ 2 2

Trên cơ sở của (3.80), chúng tôi biểu diễn được phân bố của δ trong trường hợp phân

bậc khối lượng thuận (NO) và phân bậc khối lượng ngược (IO) trong hình 3.5.

Hình 3.5: Phân bố của δCP trong NO (hình trái) và IO (hình phải) với 2 nghiệm phân biệt tương ứng với màu đỏ và xanh

Ngoài ra, từ biểu thức liên hệ giữa δ và sin θ13, chúng tôi vẽ được đồ thị mô tả sự

phụ thuộc của hai đại lượng này trong hình 3.6 cho cả hai trường hợp NO và IO.

Phân bố δ và JCP (đồ thị trong hình 3.5 và 3.7), được tạo ra bởi 10000 sự kiện. Các

sự kiện này được tính toán theo các số liệu đầu vào sij mà lấy ngẫu nhiên trên cơ sở

phân bố Gaussian, đặc trưng bởi giá trị thực nghiệm phù hợp nhất (best fit) và các

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

vùng xung quanh best fit là 1σ, 2σ, 3σ, biểu diễn trong bảng 2.3. Các phân bố này cho best fit ¯δN O = 4.417 ≈ 1.41π (với NO) và ¯δIO = 4.616 ≈ 1.47π (với IO) mà chúng

rất gần với các giá trị δ = δN O ≡ 1.39π và δ = δIO ≡ 1.31π trong [6, 7].

Hình 3.6: Sự liên hệ giữa δCP và θ13 trong NO (hình trái) và IO (hình phải), ở vùng 1σ, 2σ and 3σ tương ứng với màu đỏ, xanh lá cây và xanh da trời.

Từ (3.76) và (3.77), các phân bố của JCP trong 2 trường hợp NO và IO được mô

tả trong hình 3.7 và sự phụ thuộc của JCP vào θ13 3.8 cho chúng ta thấy giá trị best

fit của JCP thu được quanh giá trị 0.032 (với NO) and 0.034 (với IO) là rất gần với

giá trị trong [6].

Hình 3.7: Phân bố của JCP trong NO và IO

Khối lượng và chuyển hoá neutrino KL và CH neutrino trong A(10)

Hình 3.8: JCP là hàm của θ13 trong NO (hình trái) và IO (phải phải)

Để tiện theo dõi các kết quả tính toán của mô hình, chúng tôi tổng kết các kết

quả này trong bảng 3.3 [93].

Phân bậc khối lượng Phân bậc khối lượng thuận neutrino ngược neutrino

1.41 1.47 δCP /π

0.032 0.034 |JCP |

Bảng 3.3: Giá trị trung bình của δCP và |JCP | trong trường hợp NO và IO của mô hình A(10) 4

Kết luận và đánh giá kết quả của mô hình

Mô hình đối xứng vị A(10) xuất phát từ ý tưởng thiết kế một mô hình khối lượng

neutrino, trong đó gồm 3 loại trường lepton tích, neutirno và vô hướng mà trong

từng loại đều có số trường thành phần bằng với số biểu diễn bất khả quy của đối

xứng A4. Khối lượng neutrino trong mô hình được sinh ra chính bằng tổng đóng

góp của 4 quá trình seesaw từ các trường neutrino và vô hướng thành phần. Sử

dụng phương pháp nhiễu loạn với sự chênh lệch nhỏ của hằng số tương tác Yukawa

và VEV của trường vô hướng là đơn tuyến của nhóm A4, chúng tôi thu được khối lượng neutrino và ma trận ˜U . Từ đây, chúng tôi đánh giá được sự phụ thuộc của

khối lượng hiệu dung |(cid:104)mee(cid:105)| vào khối lượng neutrino m0, và sự phụ thuộc của θ13,

δCP vào tham số JCP , biểu diễn bởi đồ thị hình 3.3 và 3.4, các kết quả này khá phù

hợp với các đánh giá từ thực nghiệm.

Ngoài ra, khi chúng tôi tiến hành tính toán đối với một trường hợp đặc biệt

(y = 0 hoặc z = 0 của ma trận UP M N S (3.72)) thì thu được biểu thức giải tích (3.80)

liên hệ giữa các góc trộn θij và δCP . Từ biểu thức liên hệ và sử dụng dữ liệu thực

Nhận xét và so sánh sơ lược giữa hai mô hình KL và CH neutrino trong A(10)

nghiệm θij, mô tả phân bố của δCP , JCP theo hình 3.5, 3.7, và sự phục thuộc của

δCP , JCP vào θ13 ở hình 3.6, 3.8 trong cả trường hợp NO và IO. Từ các đồ thị chúng

tôi xác định được giá trị trung bình của δCP và JCP trong cả hai trường hợp NO và

IO, biểu diễn trong bảng 3.3, các giá trị này khá gần với dữ liệu thực nghiệm [6, 7].

Điều đó càng khẳng định thêm độ tin cậy và phương pháp tính toán trong mô hình

xây dựng.

3.5 Nhận xét và so sánh sơ lược giữa hai mô hình

Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng ta có thể nhận thấy hai mô hình có sự khác

biệt và mỗi mô hình đều có những ưu thế riêng, tuy nhiên sẽ là thiếu sót nếu bỏ

qua việc so sánh sự giống và khác nhau trong hai mô hình này.

4 và A(10)

Hai mô hình A(1) có sự giống nhau là cùng mở rộng mô hình chuẩn với

đối xứng vị A4, nhưng có sự khác nhau là thành phần trường trong từng mô hình

khác nhau, từ đó dẫn tới cấu trúc tương tác và có những đóng góp khác nhau vào

theo cơ sở Altarelli-Feruglio, trong

theo cơ sở Ma-

thì mô

cần áp đặt thêm đối xứng Z3 × Z4 để không phá vỡ cấu trúc của mô hình khối lượng neutrino. Hai mô hình xây dựng theo hai cơ sở biểu diễn khác nhau của đối xứng A4: Các biểu diễn trong mô hình A(1) 4 đó có vi tử T chéo và S không chéo, còn các biểu diễn trong A(10) Rajasekaran trong đó có vi tử S chéo và T không chéo. So với mô hình A(10) hình A(1) 4

chuẩn và loại được các số hạng tương tác không mong muốn.

Trong cả hai mô hình, nguồn gốc khối lượng và trộn neutrino đều được giải thích

4 khối lượng và trộn neutrino

theo cơ chế cầu bập bênh (seesaw) và xử lý bằng phương pháp nhiễu loạn. Nhưng từng mô hình lại có đặc trưng riêng. Trong mô hình A(1)

thì chúng được tìm ra từ quá trình được tìm ra như là kết quả của nhiễu loạn trung bình chân không (u1, u2, u3) của trường vô hướng φN , còn trong mô hình A(10)

nhiễu loạn của hệ số tương tác Yukawa của các trường neutrino khi tương tác với

các trường vô hướng và kết hợp với nhiễu loạn trung bình chân không của trường

vô hướng đơn tuyến A4.

Một điểm khác biệt đáng chú ý khác của hai mô hình là cơ chế seesaw áp dụng

4 giống như cơ chế seesaw nguyên thuỷ (seesaw-I) khi chỉ đưa vào

trong mô hình A(1)

là tổng toàn bộ các quá trình một neutrino phân cực phải (đơn tuyến SU (2)L) mặc dù ở đây nó có cấu trúc tam tuyến A4, còn seesaw áp dụng trong mô hình A(10)

seesaw tương ứng với từng trường neutrino phân cực phải (có cấu trúc gồm tam

Nhận xét và so sánh sơ lược giữa hai mô hình KL và CH neutrino trong A(10)

tuyến và đơn tuyến tương ứng với tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm A4).

Ở đây quá trình seesaw thông thường có thể coi như là một quá trình hiệu dụng từ

các quá trình thành phần ứng với từng biểu diễn bất khả quy khác nhau của A4 .

Hai mô hình mở rộng này không mâu thuẫn với mô hình chuẩn tại giới hạn đó

và kết quả tính toán về khối lượng và trộn neutrino khá phù hợp với dữ liệu thực

nghiệm. Từng mô hình đều có những ưu điểm riêng của mình, nhưng để khẳng định

mô hình nào là mô hình vật lý thực sự thì cần triển khai nhiều hơn nữa nghiên cứu

lý thuyết và thực nghiệm đặc biệt là nghiên cứu các quá trình ngoài phạm vị vật lý

neutrino.

Kết luận

Kết quả luận án đạt được:

4 và A(10)

1. Đề xuất hai mô hình, ký hiệu là A(1) , bằng cách mở rộng mô hình

chuẩn với nhóm đối xứng vị A4, để khảo sát khối lượng và chuyển hoá neu-

trino. Hai mô hình này được xây dựng một cách khá điển hình và tự nhiên khi

có số trường lepton và vô hướng bằng số biểu diễn bất khả quy của nhóm A4.

2. Sử dụng phương pháp nhiễu loạn để xây dựng và khảo sát hai mô hình, bao

gồm xác định ma trận trộn neutrino U khi nhiễu loạn quanh ma trận trộn

4 nhiễu loạn được thực hiện

kiểu TBM UT BM , đây luôn là công việc khó khăn nói chung đối với các mô

4 nhiễu loạn được thực hiện trên

hình được xây dựng từ trước tới nay. Sự khác nhau giữa áp dụng phương pháp nhiễu loạn với hai mô hình là trong mô hình A(1) trên VEV của trường vô hướng, còn trong A(10)

hệ số tương tác Yukawa.

3. Đánh giá cấu trúc trung bình chân không (VEV) của các trường vô hướng và

hệ số tương tác trong hai mô hình và ảnh hưởng của chúng tới khối lượng

neutrino, khảo sát giới hạn nhiễu loạn khi tính toán khối lượng neutrino. Đây

là một trong những thành công của chúng tôi trong phạm vi của hai mô hình

này, do phần lớn các mô hình A4 khác thường áp đặt điều kiện lên VEV của các

vô hướng khá tùy tiện hoặc chọn VEV một cách rất tự do và không có nguồn

gốc nên các kết quả (khối lượng và tính chất của neutrino) dựa vào đó không

có cơ sở vật lý vững chắc.

4. Tìm được trong cả hai mô hình biểu thức giải tích liên hệ giữa các góc trộn và

pha Dirac δCP , từ đây, mô tả phân bố (bằng các đồ thị) của δCP và của JCP dựa

trên các dữ liệu thực nghiệm của các góc trộn. Các phân bố cho thấy giá trị

trung bình của δCP và JCP rất gần với kết quả thực nghiệm. Ngoài ra, các kết

quả tính toán số cũng phù hợp tốt với dữ liệu thực nghiệm. Ví dụ, góc trộn và

Kết luận

4 rất sát với đánh giá thực nghiệm hiện nay.

pha Dirac (sin θ13 ≈ 9, 03◦, δCP ≈ 1, 39π) và khối lượng neutrino (mi < 0.2eV ) xác định trong mô hình A(1)

Ngoài ra, trong quá trình nghiên cứu nghiên cứu sinh đã lĩnh hội và tích luỹ

được các kiến thức về lý thuyết trường lượng tử, hạt cơ bản, lý thuyết nhóm và các

kỹ năng về tính toán và xử lý số. Đây là những công cụ không thể thiếu trong việc

nghiên cứu vật lý năng lượng cao, vật lý lý thuyết và vật lý toán, và có thể phục vụ

lâu dài cho công tác nghiên cứu và giảng dạy của nghiên cứu sinh.

Kết quả nghiên cứu trong luận án phù hợp với thực nghiệm, đây cũng là định

hướng để có thể mở rộng các nghiên cứu về sau:

i. Áp dụng nhiễu loạn bậc cao hơn để nâng độ chính xác của kết quả lý thuyết

khi tham chiếu số liệu thực nghiệm (thường có độ chính xác càng ngày càng

cao).

ii. Mở rộng các nghiên cứu đối với phần quark để có thể đánh giá toàn diện hơn

về mô hình được xây dựng. Tiến hành khảo sát khối lượng của các trường vô

hướng trong các mô hình này ở các nghiên cứu tiếp theo.

iii. Các mô hình trong luận án có cấu trúc trường phong phú (chứa nhiều trường

hơn so với mô hình chuẩn), nên có thể triển khai các nghiên cứu theo hướng

nghiên cứu vật chất tối hoặc neutrino trơ/lạ ở các thang năng khác nhau, bao

gồm các thang năng lượng thấp, cũng như một số hướng khác trong vật lý hạt

cơ bản và vũ trụ học mà mô hình chuẩn chưa giải quyết được.

iv. Hai mô hình được đề xuất nói trên đều cho kết quả phù hợp với thực nghiệm.

Tuy nhiên, một câu hỏi đặt ra là mô hình nào trong hai mô hình mới là mô

hình vật lý thật sự vẫn còn bỏ ngỏ và đòi hỏi khảo sát sâu hơn.

Danh mục các công trình đã công

bố

1. Nguyen Anh Ky, Phi Quang Văn and Nguyen Thi Hong Vân, “A neutrino mix-

ing model based on an A4 × Z3 × Z4 flavour symmetry”, Phys. Rev. D 94, no. 9,

095009 (2016), arXiv:1610.00304 [hep-ph].

2. Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Phi Quang Văn and Nguyen Thi Hong

Vân, “A see-saw scenario of an A4 flavour symmetric standard model”,

arXiv:1602.07437 [hep-ph].

3. Phi Quang Van and Nguyen Thi Hong Van, “On the CP violation phase in

a neutrino mixing model with an A4 flavor symmetry” Communications in

Physics, vol. 26, (2016), pp. 1-9.

4. Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Phi Quang Van and Nguyen Thi Hong

Van, “A prediction of δCP for a normal neutrino mass hierarchy in an extended

standard model with an A4 flavour symmetry”, J. Phys. Conf. Ser. 627, no. 1,

012003 (2015).

5. Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Nguyen Thi Hong Vân and Phi Quang

Văn, “Model of neutrino effective masses”, Phys. Rev. D 74, 077701 (2006).

Các kết quả chính của luận án dựa trên các công bố của tác giả từ 1 đến 4.

Phụ lục A

Chéo hoá ma trận khối lượng

neutrino

Xét ma trận phức M n × n. Ta thấy M M † là ma trận phức có trị riêng là dương [3]

(A.1) M M †|ψi(cid:105) = Xi|ψi(cid:105),

trong đó (cid:88) i, j = 1, 2, ..., n. (A.2) Xi = (cid:104)ψi|M M †|ψi(cid:105) = |(cid:104)ψi|M |ψj(cid:105)| > 0,

i . Ta có

Giả sử đặt Xi = m2

M M † = U m2U †, (A.3)

ij = m2

i δij.

trong đó, U là ma trận unitary và m2

Ma trận M có thể được viết dưới dạng

M = U mV †, (A.4)

√ ở đây m = m2 và giả thiết tất cả trị riêng của M M † khác không, ta có

V † = m−1U †M, (A.5)

ma trận V là ma trận unitary. Từ (A.5) ta có

V = M †U m−1. (A.6)

Phụ lục A Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino

Từ (A.1), (A.5) và (A.6) ta có

V †V = m−1U †M M †U m−1 = m−1U †U m2U †U m−1 = 1. (A.7)

Chúng ta thấy rằng ma trận phức không tầm thường M n × n có thể được chéo hoá

bởi phép biến đổi bi-unitary (A.4). Phương trình (A.4) được dùng để chéo hoá các

ma trận khối lượng quark, lepton và neutrino.

Bây giờ chúng ta đi chéo hoá ma trận phức M là ma trận đối xứng

M = M T (A.8)

Từ việc chéo hoá ma trận phức trên, ta có

M = V mW †, (A.9)

trong đó V và W là hai ma trận unitary và mik = miδij, mi > 0. Từ (A.8) và (A.9) ta

có

M T = (W T )†mV T . (A.10)

Từ (A.9) và (A.10) ta có

M M † = V m2V †, M T (M T )† = (W †)T m2W T . (A.11)

Từ giả thiết M là ma trận phức đối xứng, ta thu được biểu thức

V m2V † = (W †)T m2W T . (A.12)

Suy ra

W T V m2 = m2W T V. (A.13)

Từ công thức trên ta thấy ma trận W T V giao hoán với ma trận m2 và ma trận W T V

là ma trận chéo. Ta có

W T V = S(α), (A.14)

ở đây

(A.15) Sij = eiαiδij.

Phụ lục A Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino

Do đó,

W † = S∗(α)V T . (A.16)

Vậy từ (A.9) và (A.16) ta tìm được

M = U mU T , (A.17)

ở đây U = V S∗ (cid:0) α (cid:1) .

Do vậy, ma trận đối xứng phức M được chéo hoá theo (A.17), việc chéo hoá này

được dùng để chéo hoá ma trận khối lượng neutrino Majorana.

Phụ lục B

Biểu diễn của nhóm A4

Nhóm A4 là nhóm hoán vị chẵn của 4 vật, là nhóm đối xứng của hình tứ diện đều,

minh hoạ hình B.1, A4 có 12 phần tử và chia thành 4 lớp liên hợp (bảng B.1) nên có

4 biểu diễn bất khả quy [55, 57]

(B.1) m1 + m2 + m3 + ... = 4

Các lớp liên hợp

Hình B.1: A4 là nhóm đối xứng của hình tứ diện đều.

Mà ta có biểu thức trực giao

(cid:88) (cid:88) (cid:3)2 = (B.2) mnn2 = m1 + 4m2 + 9m3 + ... = 12 (cid:2)χα(C1)

trong đó mn là số biểu diễn bất khả quy và n là số chiều trong biểu diễn bất khả quy.

mi thỏa mãn (B.1), do đó từ (B.2) thu được nghiệm duy nhất (m1, m2, m3) = (3, 0, 1). Do vậy, nhóm A4 có 3 đơn tuyến 1, 1(cid:48), 1(cid:48)(cid:48) và 1 tam tuyến 3 Nhóm A4 có thể biểu diễn

Phụ lục B Biểu diễn của nhóm A4

n χ1 χ1(cid:48) χ1(cid:48)(cid:48) χ3 3 1 1 ω 0 4 ω2 0 4 -1 1 3 1 ω2 ω 1 1 1 1 1 Lớp C1 C2 C3 C4

Bảng B.1: Lớp liên hợp của A4

thông qua 2 hoán vị cơ sở S và T

S2 = T 3 = (ST )3 = 1. (B.3)

Các biểu diễn unitary được cho bởi

1 : S = 1 T = 1,

1(cid:48) : S = 1 T = ei2π/3 ≡ ω,

1(cid:48)(cid:48) : S = 1 T = ei4π/3 ≡ ω2,

√ ở đây, ω = ei2π/3 = −1/2 + 3/2, thoả mãn ω2 = ω∗ và 1 + ω + ω2 = 0.

Và có biểu diễn unitary 3 chiều

    0 1 0 1 0 0

. , T = S = (B.4) 0 0 1 0 −1 0                 1 0 0 0 0 −1

Phụ lục B Biểu diễn của nhóm A4

Ma trận 3 × 3 của tam tuyến biểu diễn 3 chiều là

  1 0 0

, C1 : 0 1 0         0 0 1

        0 0 1 0 0 1 0 −1 0 0 0 −1

, , , , C2 : 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0                                 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0

        0 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0

, , , , C3 : 0 0 1 0 1 0 0 0 −1 0 0 −1                                 1 0 0 0 0 0 1 0 0

   −1   −1 0  1 0 0 0 −1 0 0 −1 0

, , , (B.5) C4 : 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0                         0 0 1 0 0 0 −1 0 −1

ở đây từng ma trận là tích của các vi tử S và T trong (B.4).

A4 có quy tắc nhân

1 × 1 = 1, (B.6)

1(cid:48) × 1(cid:48)(cid:48) = 1,

1(cid:48) × 1(cid:48) = 1(cid:48)(cid:48),

1(cid:48)(cid:48) × 1(cid:48) = 1,

1(cid:48)(cid:48) × 1(cid:48)(cid:48) = 1(cid:48),

3 × 3 = 1 + 1(cid:48) + 1(cid:48)(cid:48) + 3S + 3AS.

Nếu chúng ta có 2 tam tuyến 3a ∼ (a1, a2, a3) và 3b ∼ (b1, b2, b3), với phép nhân nhóm

ta có 3 đơn tuyến và 2 tam tuyến

(B.7) 1 = a1b1 + a2b2 + a3b3,

1(cid:48) = a1b1 + ω2a2b2 + ωa3b3,

1(cid:48)(cid:48) = a1b1 + ωa2b2 + ω2a3b3,

3S ∼ (a2b3, a3b1, a1b2),

3A ∼ (a3b2, a1b3, a2b1).

Phụ lục B Biểu diễn của nhóm A4

Ngoài biểu diễn theo cơ sở S chéo như trong (B.4), A4 cũng có biểu diễn theo cơ

sở T chéo, cơ sở này thu được qua biến đổi unitary

  1 0 0

, T (cid:48) = V †T V = (B.8) 0 ω 0        

0 0 ω2   −1 2 2

S (cid:48) = V †SV = , (B.9) 2 −1 2 1 3         2 2 −1

trong đó,   1 1 1

. V = (B.10) 1 ω ω2 1 √ 3         1 ω2 ω

Ma trận V là ma trạn unitary 3 × 3 trong đó tất cả các phần tử có giá trị tuyệt đối

là 1.

Phụ lục B Biểu diễn của nhóm A4

Trong cơ sở này các ma trận của biểu diễn 3 chiều là:

  1 0 0

, C1 : 1 = 0 1 0         0 0 1

    −1 2ω 2ω2 1 0 0

, , ST = C2 : T = 2 −ω 2ω2 0 ω 0 1 3                 2ω −ω2 2 0 0 ω2

    −1 2 2 −1 2ω2 2ω

, ST S = , T S = 2ω −ω 2ω 2ω2 −ω 2 1 3 1 3                 2ω 2 −ω2

2ω2 2ω2 −ω2     1 0 0 −1 2ω2 2ω

, ST 2 = , C3 : T 2 = 0 ω2 0 2 −ω2 2ω 1 3                 0 0 ω 2ω2 −ω

  2   −1 2 2 −1 2ω 2ω2

, , T ST = T 2S = 2ω2 −ω2 2ω2 2ω −ω 2 1 3 1 3                 2ω −ω 2ω2 2 −ω2

2ω     −1 2 2 −1 2ω 2ω2

, , T 2ST = C4 : S = 2 −1 2 2ω2 −1 2ω 1 3 1 3                 2 2 −1 2ω 2ω2 −1

  −1 2ω2 2ω

. T ST 2 = (B.11) 2ω −1 2ω2 1 3         2ω2 2ω −1

Trong cơ sở này tích của hai tam tuyến 3a ∼ (a1, a2, a3) và 3b ∼ (b1, b2, b3) là

(B.12) 3 × 3 = 1 + 1(cid:48) + 1(cid:48)(cid:48) + 3S + 3A

Phụ lục B Biểu diễn của nhóm A4

có khác so với trong cơ sở S chéo, biểu diễn sau

(B.13) 1 = a1b1 + a2b3 + a3b2,

(B.14) 1(cid:48) = a3b3 + a1b2 + a2b1,

(B.15) 1(cid:48)(cid:48) = a2b2 + a1b3 + a3b1,

(B.16) (2a1b1 − a2b3 − a3b2, 2a3b3 − a1b2 − a2b1, 2a2b2 − a1b3 − a3b1) , 3S ∼

(B.17) 3A ∼ (a2b3 − a3b2, a1b2 − a2b1, a1b3 − a3b1) . 1 3 1 3

Nhóm A4 có hai nhóm con GS và GT , GS là nhóm con phản chiếu tạo bởi vi tử S và

GT là nhóm con tạo bởi vi tử T . Nếu đối xứng vị A4 bị phá vỡ bởi trung bình chân

không của tam tuyến vô hướng Φ = (φ1, φ2, φ3) thì sẽ có hai cách phá vỡ

Thứ nhất A4 phá vỡ xuống GS, có trung bình chân không (cid:104)Φ(cid:105) = (vs, vs, vs).

Thứ hai A4 phá vỡ xuống GT , có trung bình chân không (cid:104)Φ(cid:105) = (vT , 0, 0).

Như chúng ta thấy rằng GS và GT là các đối xứng ở năng lượng thấp liên hệ với

phần neutrino và lepton tích. Và cũng cho thấy ma trận khối lượng TB là bất biến

với nhóm GS và ma trận khối lượng lepton tích chéo là bất biến với nhóm GT hoặc

ngược lại.

100

Phụ lục C

Biểu thức khai triển nhiễu loạn

Giả sử chúng ta biết năng lượng riêng và trạng thái riêng của phương trình [87]

n|n0(cid:105),

(C.1) H0|n0(cid:105) = E0

và phổ năng lượng không suy biến. Tập các trạng thái riêng thoả mãn điều kiện

(cid:88) |n0(cid:105)(cid:104)n0| = 1. (C.2)

Hệ có Haminltonian toàn phần là H0 + V nên (C.1) có thể viết

n|n(cid:105)λ,

(C.3) (H0 + λV )|n(cid:105)λ = Eλ

với λ rất nhỏ, trị riêng En của trạng thái vector thứ n nhiễu xung quanh giá trị E0 n,

do vậy có giá trị dich chuyển tại mức n như sau:

(C.4) ∆n ≡ En − E0 n.

Phương trình Schrodinger được giải:

n − H0

(cid:0)E0 (C.5) (cid:1) |n(cid:105) = (λV − ∆n) |n(cid:105).

Nhân trái cả hai vế của (C.5) với (cid:104)n0|, ta có

(C.6) (cid:104)n0| (λV − ∆n) |n(cid:105) = 0.

101

Phụ lục C Biểu thức khai triển nhiễu loạn

Giả sử chúng ta định nghĩa toán tử hình chiếu

k(cid:54)=n

(cid:88) |k0(cid:105)(cid:104)k0|. (C.7) φn ≡ 1 − |n0(cid:105)(cid:104)n0| =

n − H0), ta có

Nhân phải hai vế của phương trình (C.7) với 1/(E0

k(cid:54)=n

(cid:88) |k0(cid:105)(cid:104)k0|. (C.8) φn = E0 E0 1 n − H0 1 n − E0 k

Từ (C.6) và (C.7), suy ra

(C.9) (λV − ∆n) |n(cid:105) = φn (λV − ∆n) |n(cid:105).

Với λ (cid:54)= 0, chúng ta luôn có nghiệm |n(cid:105) của phương trình (C.1) dạng

(C.10) |n(cid:105) = cn(λ)|n0(cid:105) + φn(λV − ∆n)|n(cid:105), E0 1 n − H0

ở đây,

(C.11) cn(λ) = 1. lim λ→0

Chú ý rằng

(C.12) cn(λ) = (cid:104)n0|n(cid:105).

Từ các biểu thức trên và quy ước chuẩn hoá

(cid:104)n|n(cid:105) = 1, (C.13)

chúng ta có

(C.14) (cid:104)n0|n(cid:105) = cn(λ) = 1.

Với các điều kiện chuẩn hoá của vector ket, chúng ta cũng có

(C.15) φn → E0 E0 1 n − H0 φn n − H0

và tương tự

(C.16) φn = φn = φn φn. E0 E0 E0 1 n − H0 1 n − H0 1 n − H0

102

Phụ lục C Biểu thức khai triển nhiễu loạn

Do đó,

|n(cid:105) = |n0(cid:105) + (C.17) (λV − ∆n)|n(cid:105). E0 φn n − H0

Từ (C.6) và (C.14), ta có

(C.18) ∆n = λ(cid:104)n0|V |n(cid:105).

Mục đích của chúng ta là khai triển |n(cid:105) và ∆n theo bậc luỹ thừa của λ mà λ nằm

trong khoảng (0, 1), ta có thể viết

|n(cid:105) = |n0(cid:105) + λ|n(1)(cid:105) + λ2|n(2)(cid:105) + · · ·,

n + · · ·.

n + λ2∆(2)

(C.19) ∆n = λ∆(1)

Thay (C.19) vào (C.18) thì chúng ta có hệ số của các luỹ thừa của λ là:

n = (cid:104)n0|V |n0(cid:105),

O(λ1) : ∆(1)

n = (cid:104)n0|V |n(0)(cid:105),

O(λ2) : ∆(2)

n = (cid:104)n0|V |n(N −1)(cid:105),

... ...

O(λN ) : ∆(N ) ... ... (C.20)

Từ (C.17) mà sử dụng khai triển (C.19), ta có

n − λ2∆(2)

n − · · ·(cid:1) (cid:0)|n0(cid:105) + λ|n(1)(cid:105) + · · ·(cid:1) .

Chúng ta cũng có hệ số của các luỹ thừa của λ trong khai triển trên là:

O(λ1) : |n(1)(cid:105) = V |n0(cid:105), (C.22) E0

và

n = (cid:104)n0|V

∆(2) V |n0(cid:105). (C.24) E0 φn n − H0

103

Phụ lục C Biểu thức khai triển nhiễu loạn

Từ các biến đổi trên, chúng ta có thể viết biểu thức khai triển của ∆n và |n(cid:105) như

n = λVnn + λ2 (cid:88)

k(cid:54)=n

+ · · ·, (C.25) ∆n ≡ En − E0 E0 |Vnk|2 n − E0 k

trong đó,

(C.26) Vnk ≡ (cid:104)n0|V |n0(cid:105) (cid:54)= (cid:104)n|V |n(cid:105),

k(cid:54)=n (cid:32)

(cid:88) |n(cid:105) = |n0(cid:105) + λ |k0(cid:105) E0 Vkn n − E0 k

n − E0

n − E0 l )

k(cid:54)=n

l(cid:54)=n

k(cid:54)=n

(cid:33) (cid:88) (cid:88) (cid:88) + · · ·. + λ2 − (C.27) (E0 |k0(cid:105)VklVln k) (E0 |k0(cid:105)VnnVkn k)2 n − E0 (E0

104

Tài liệu tham khảo

[1] R. N. Mohapatra and P. B. Pal, “Massive neutrinos in physics and astro-

physics”, World Sci. Lect. Notes Phys. 60, 1 (1998) [World Sci. Lect. Notes Phys.

72, 1 (2004)].

[2] C. Giunti and C. W. Kim, “Fundamentals of neutrino physics and astro-

physics", Oxford university press, New York, 2007.

[3] S. Bilenky, Introduction to the physics of massive and mixed neutrinos, Lect.

Notes Phys. 817, 1 (2010).

[4] J. Lesgourgues, G. Mangano, G. Miele and S. Pastor, “Neutrino cosmology",

Cambridge university press, New York, 2013.

[5] F.J.P. Soler, Colin D. Froggatt, Franz Muheim, “Neutrinos in Particle Physics,

Astrophysics and Cosmology", Taylor-Francis Group, 2009.

[6] K. Nakamura and S. T. Petcov in K. A. Olive et al. [Particle Data Group col-

laboration], “Review of Particle Physics”, Chin. Phys. C 38, 090001 (2014).

[7] F. Capozzi, G. L. Fogli, E. Lisi, A. Marrone, D. Montanino and A. Palazzo,

Status of three-neutrino oscillation parameters, circa 2013, Phys. Rev. D 89,

093018 (2014).

[8] Vernon Barger, Danny Marfatia, Kerry Whisnant, The physics of Neutrinos,

Princeton University Press, 2012.

[9] Zhi-Zhong Xing, Shun Zhou, Neutrinos in Particle Physics, Astronomy and

Cosmology, Zhejiang University Press, Hangzhou, 2011.

[10] Masataka Fukugita, Tsutomu Yanagida, Physics of Neutrinos and Application

to Astrophysics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2003 .

105

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[11] A. de Gouvea et al. [Intensity Frontier Neutrino Working Group Collabora-

tion], Working Group Report: Neutrinos, arXiv:1310.4340 [hep-ex].

[12] B. Pontecorvo, Mesonium and anti-mesonium, Sov. Phys. JETP 6, 429 (1957)

[Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33, 549 (1957)].

[13] R. Slansky, S. Raby, J. T. Goldman and G. Garvey, The oscillating neutrino: An

introduction to neutrino masses and mixings, Los Alamos Sci. 25, 28 (1997).

[14] T. Morii, C. S. Lim, S. N. Mukherjee, The Physics of the Standard Model and

Beyond, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2004.

[15] E. Ma, Supersymmetry and neutrino masses, PoS corfu 98, 047 (1998), hep-

ph/9902450.

[16] E. Ma, Neutrino, lepton, and quark masses in supersymmetry, Phys. Rev. D 64,

097302 (2001), hep-ph/0107177.

[17] E. Ma, Supersymmetric Model of Radiative Seesaw Majorana Neutrino

Masses, Annales Fond. Broglie 31, 285 (2006), hep-ph/0607142.

[18] M. A. Diaz, Neutrinos in supersymmetry, eConf C 050318, 0208 (2005), hep-

ph/0507044.

[19] R. N. Mohapatra, Unification And Supersymmetry. The Frontiers Of Quark -

Lepton Physics, New York, USA: Springer (2003) 421 p.

[20] H. Georgi and S. L. Glashow, Unity of All Elementary Particle Forces, Phys.

Rev. Lett. 32, 438 (1974).

[21] K. Hagiwara and N. Okamura, Quark and lepton flavor mixings in the SU(5)

grand unification theory, Nucl. Phys. B 548, 60 (1999), hep-ph/9811495.

[22] M. Chaichian and K. Enqvist, Nonperturbative Neutrino Masses In Left-right

Symmetric Models, Phys. Lett. B 131, 377 (1983).

[23] J. R. Bhatt, P. H. Gu, U. Sarkar and S. K. Singh, Left-right symmetric model of

neutrino dark energy, Phys. Lett. B 663, 83 (2008), arXiv:0711.2728 [hep-ph].

[24] J. Chakrabortty, Type I and new seesaw in left-right symmetric theories, Phys.

Lett. B 690, 382 (2010), arXiv:1005.1377 [hep-ph].

106

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[25] H. Fritzsch and P. Minkowski, SU(3) as Gauge Group of the Vector-Like Weak

and Electromagnetic Interactions, Phys. Lett. 63B, 99 (1976).

[26] M. Singer, J. W. F. Valle and J. Schechter, Canonical Neutral Current Predic-

tions From the Weak Electromagnetic Gauge Group SU(3) X u(1), Phys. Rev. D

22, 738 (1980).

[27] J. W. F. Valle and M. Singer, Lepton Number Violation With Quasi Dirac Neu-

trinos, Phys. Rev. D 28, 540 (1983).

[28] F. Pisano and V. Pleitez, An SU(3) x U(1) model for electroweak interactions,

Phys. Rev. D 46, 410 (1992)

[29] P. H. Frampton, Chiral dilepton model and the flavor question, Phys. Rev. Lett.

69, 2889 (1992).

[30] R. Foot, O. F. Hernandez, F. Pisano and V. Pleitez, Lepton masses in an SU(3)-

L x U(1)-N gauge model, Phys. Rev. D 47, 4158 (1993).

[31] J. C. Montero, F. Pisano and V. Pleitez, Neutral currents and GIM mechanism

in SU(3)-L x U(1)-N models for electroweak interactions, Phys. Rev. D 47, 2918

(1993).

[32] F. Pisano and Tran Anh Tuan, báo cáo tại XIV Encontro National de Física de

Partícular e Campos, Caxambu, 1993.

[33] R. Foot, H. N. Long and T. A. Tran, SU (3)L ⊗ U (1)N and SU (4)L ⊗ U (1)N gauge

models with right-handed neutrinos, Phys. Rev. D 50, no. 1, R34 (1994).

[34] N. A. Ky and N. T. H. Van, Scalar sextet in the 331 model with right-handed

neutrinos, Phys. Rev. D 72, 115017 (2005), hep-ph/0512096.

[35] Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Nguyen Thi Hong Van and Phi Quang

Van, Model of neutrino effective masses, Phys. Rev. D 74, 077701 (2006).

[36] P. V. Dong, H. N. Long, C. H. Nam and V. V. Vien, The S3 flavor symmetry in

3-3-1 models, Phys. Rev. D 85, 053001 (2012).

[37] P. V. Dong, H. N. Long, D. V. Soa and V. V. Vien, The 3-3-1 model with S4 flavor

symmetry, Eur. Phys. J. C 71, 1544 (2011).

107

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[38] P. V. Dong, L. T. Hue, H. N. Long and D. V. Soa, The 3-3-1 model with A4 flavor

symmetry, Phys. Rev. D 81, 053004 (2010)

[39] A. Gusso, C. A. de S. Pires and P. S. Rodrigues da Silva, Neutrino mixing and

the minimal 3-3-1 model, Mod. Phys. Lett. A 18, 1849 (2003), hep-ph/0305168.

[40] A. G. Dias, C. A. de S.Pires and P. S. Rodrigues da Silva, Naturally light

right-handed neutrinos in a 3-3-1 model, Phys. Lett. B 628, 85 (2005), hep-

ph/0508186.

[41] P. Q. Hung, A Model of electroweak-scale right-handed neutrino mass, Phys.

Lett. B 649, 275 (2007), hep-ph/0612004.

[42] P. Q. Hung, Consequences of Pati-Salam unification of electroweak-scale active

nu(R) model: keV sterile neutrinos: four families, Nucl. Phys. B 805, 326 (2008),

arXiv:0805.3486 [hep-ph].

[43] A. Zee, A theory of lepton number violation and neutrino Majorana masses,

Phys. Lett. 93B 389(1980); ibidem 161B(1985)141.

[44] A. Y. Smirnov and M. Tanimoto, Is Zee model the model of neutrino masses?,

Phys. Rev. D 55, 1665 (1997), hep-ph/9604370.

[45] C. Jarlskog, M. Matsuda, S. Skadhauge and M. Tanimoto, Zee mass ma-

trix and bimaximal neutrino mixing, Phys. Lett. B 449, 240 (1999), hep-

ph/9812282.

[46] Y. Koide, Can the Zee model explain the observed neutrino data?, Phys. Rev. D

64, 077301 (2001), hep-ph/0104226.

[47] K. S. Babu and C. Macesanu, Two loop neutrino mass generation and its

experimental consequences, Phys. Rev. D 67, 073010 (2003), hep-ph/0212058.

[48] D. Aristizabal Sierra and M. Hirsch, Experimental tests for the Babu-Zee

two-loop model of Majorana neutrino masses, JHEP 0612, 052 (2006), hep-

ph/0609307.

[49] M. Nebot, J. F. Oliver, D. Palao and A. Santamaria, Prospects for the Zee-Babu

Model at the CERN LHC and low energy experiments, Phys. Rev. D 77, 093013

(2008), arXiv:0711.0483 [hep-ph].

108

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[50] T. Ohlsson, T. Schwetz and H. Zhang, Non-standard neutrino interactions in

the Zee-Babu model, Phys. Lett. B 681, 269 (2009), arXiv:0909.0455 [hep-ph].

[51] H. Ishimori, T. Kobayashi, H. Ohki, H. Okada, Y. Shimizu and M. Tani-

moto, An introduction to non-Abelian discrete symmetries for particle physi-

cists, Lect. Notes Phys. 858, 1 (2012).

[52] M. Raidal et al., Flavour physics of leptons and dipole moments, Eur. Phys. J.

C 57, 13 (2008), [arXiv:0801.1826 [hep-ph]].

[53] Y. Nir, Flavour Physics and CP Violation, CERN-2015-001, pp.123-156,

[arXiv:1605.00433 [hep-ph]].

[54] G. Altarelli and F. Feruglio, Discrete Flavor Symmetries and Models of Neu-

trino Mixing, Rev. Mod. Phys. 82, 2701 (2010), arXiv:1002.0211 [hep-ph].

[55] H. Ishimori, T. Kobayashi, H. Ohki, Y. Shimizu, H. Okada and M. Tani-

moto, Non-Abelian Discrete Symmetries in Particle Physics, Prog. Theor. Phys.

Suppl. 183, 1 (2010), arXiv:1003.3552 [hep-th].

[56] S. F. King and C. Luhn, On the origin of neutrino flavour symmetry, JHEP

0910, 093 (2009), arXiv:0908.1897 [hep-ph].

[57] S. F. King and C. Luhn, Neutrino Mass and Mixing with Discrete Symmetry,

Rept. Prog. Phys. 76, 056201 (2013), arXiv:1301.1340 [hep-ph].

[58] D. Hernandez and A. Y. Smirnov, Lepton mixing and discrete symmetries,

Phys. Rev. D 86, 053014 (2012), arXiv:1204.0445 [hep-ph]

[59] G. Altarelli and F. Feruglio, Tri-bimaximal neutrino mixing, A(4) and the mod-

ular symmetry, Nucl. Phys. B 741, 215 (2006), hep-ph/0512103.

[60] G. Altarelli and D. Meloni, A Simplest A4 Model for Tri-Bimaximal Neutrino

Mixing, J. Phys. G 36, 085005 (2009), arXiv:0905.0620 [hep-ph].

[61] E. Ma, A(4) symmetry and neutrinos with very different masses, Phys. Rev. D

70, 031901 (2004), [hep-ph/0404199].

[62] E. Ma, Tetrahedral family symmetry and the neutrino mixing matrix, Mod.

Phys. Lett. A 20, 2601 (2005), [hep-ph/0508099].

109

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[63] S. F. King, Neutrino Mass and Flavour Models, AIP Conf. Proc. 1200, 103

(2010), [arXiv:0909.2969 [hep-ph].

[64] P. F. Harrison, D. H. Perkins and W. G. Scott, Tri-bimaximal mixing and the

neutrino oscillation data, Phys. Lett. B 530, 167 (2002), hep-ph/0202074.

[65] K. Abe et al. [T2K collaboration], “Observation of electron neutrino ap-

pearance in a Muon neutrino beam”, Phys. Rev. Lett. 112, 061802 (2014),

[arXiv:1311.4750 [hep-ex]].

[66] J. K. Ahn et al. [RENO collaboration], “Observation of reactor electron an-

tineutrino disappearance in the RENO experiment”, Phys. Rev. Lett. 108,

191802 (2012).

[67] Y. Abe et al. [Double Chooz collaboration], “Reactor electron antineutrino dis-

appearance in the Double Chooz experiment”, Phys. Rev. D 86, 052008 (2012)

[arXiv:1207.6632 [hep-ex]].

[68] G. Pawlosky [NOvA Collaboration], The NOvA Experiment, PoS NEUTEL

2015, 037 (2015).

[69] F. P. An et al. [Daya Bay collaboration], “Spectral measurement of electron an-

tineutrino oscillation amplitude and frequency at Daya Bay”, Phys. Rev. Lett.

112, 061801 (2014) [arXiv:1310.6732 [hep-ex]].

[70] B. Z. Hu [Daya Bay Collaboration], “New results from the Daya Bay reactor

neutrino experiment”, arXiv:1402.6439 [hep-ex].

[71] S. Morisi, D. V. Forero, J. C. Romão and J. W. F. Valle, Neutrino mixing

with revamped A4 flavor symmetry, Phys. Rev. D 88, no. 1, 016003 (2013),

[arXiv:1305.6774 [hep-ph]].

[72] D. Borah, Deviations from Tri-Bimaximal Neutrino Mixing Using Type II See-

saw, Nucl. Phys. B 876, 575 (2013), [arXiv:1307.2426].

[73] W. Rodejohann and H. Zhang, Simple two Parameter Description of Lepton

Mixing, Phys. Rev. D 86, 093008 (2012), [arXiv:1207.1225 [hep-ph]].

[74] P. M. Ferreira, L. Lavoura and P. O. Ludl, A new A4 model for lepton mixing,

Phys. Lett. B 726, 767 (2013), [arXiv:1306.1500 [hep-ph]].

110

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[75] G. J. Ding, S. F. King and A. J. Stuart, Generalised CP and A4 Family Sym-

metry, JHEP 1312, 006 (2013), [arXiv:1307.4212 [hep-ph]].

[76] L. Lavoura, New texture-zero patterns for lepton mixing, J. Phys. G 42, 105004

(2015), [arXiv:1502.03008 [hep-ph]].

[77] S. Pramanick and A. Raychaudhuri, A4-based seesaw model for realis-

tic neutrino masses and mixing, Phys. Rev. D 93, no. 3, 033007 (2016),

[arXiv:1508.02330 [hep-ph]].

[78] Y. H. Ahn, H. Y. Cheng and S. Oh, An extension of tribimaximal lepton mixing,

Phys. Rev. D 84, 113007 (2011), [arXiv:1107.4549 [hep-ph]].

[79] Y. H. Ahn, C. S. Kim and S. Oh, Recent Neutrino Data and Type III Seesaw

with Discrete Symmetry, Phys. Rev. D 86, 013007 (2012), [arXiv:1103.0657

[hep-ph]].

[80] H. Ishimori and E. Ma, New Simple A4 Neutrino Model for Nonzero θ13 and

Large δCP , Phys. Rev. D 86, 045030 (2012), [arXiv:1205.0075 [hep-ph]].

[81] G. Altarelli, F. Feruglio, L. Merlo and E. Stamou, Discrete Flavour

Groups, theta13 and Lepton Flavour Violation, JHEP 1208, 021 (2012),

[arXiv:1205.4670 [hep-ph]].

[82] M. Honda and M. Tanimoto, Deviation from tri-bimaximal neutrino mixing

in A(4) flavor symmetry, Prog. Theor. Phys. 119, 583 (2008), [arXiv:0801.0181

[hep-ph]].

[83] A. Hayakawa, H. Ishimori, Y. Shimizu and M. Tanimoto, Deviation from tri-

bimaximal mixing and flavor symmetry breaking in a seesaw type A(4) model,

Phys. Lett. B 680, 334 (2009), [arXiv:0904.3820 [hep-ph]].

[84] T. Araki, J. Mei and Z. z. Xing, Intrinsic Deviation from the Tri-bimaximal

Neutrino Mixing in a Class of A4 Flavor Models, Phys. Lett. B 695, 165 (2011),

[arXiv:1010.3065 [hep-ph]].

[85] N. Memenga, W. Rodejohann and H. Zhang, A4 flavor symmetry model for

Dirac neutrinos and sizable Ue3, Phys. Rev. D 87, no. 5, 053021 (2013),

[arXiv:1301.2963 [hep-ph]].

111

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[86] B. Karmakar and A. Sil, Spontaneous CP violation in lepton-sector: A common

origin for θ13, the Dirac CP phase, and leptogenesis, Phys. Rev. D 93, no. 1,

013006 (2016), [arXiv:1509.07090 [hep-ph]].

[87] J. J. Sakurai and J. Napolitano, Modern quantum physics, Boston, USA:

Addison-Wesley (2011) 550 p

[88] B. Brahmachari and A. Raychaudhuri, Perturbative generation of theta13

from tribimaximal neutrino mixing, Phys. Rev. D 86, 051302 (2012),

[arXiv:1204.5619 [hep-ph]].

[89] B. Brahmachari and P. Roy, Testable constraint on near-tribimaximal neutrino

mixing, JHEP 1502, 135 (2015), [arXiv:1407.5293 [hep-ph]].

[90] Nguyen Anh Ky, Phi Quang Van and Nguyen Thi Hong Van, Neutrino mixing

model based on an A4 ×Z3 ×Z4 flavor symmetry, Phys. Rev. D 94, no. 9, 095009

(2016), [arXiv:1610.00304 [hep-ph]].

[91] Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Phi Quang Van and Nguyen Thi Hong

Van, A prediction of δCP for a normal neutrino mass hierarchy in an extended

standard model with an A4 flavour symmetry, J. Phys. Conf. Ser. 627, no. 1,

012003 (2015).

[92] Phi Quang Van anh Nguyen Thi Hong Van, On the CP violatioin phase in

a neutrino mixing model with an A4 flavour symmetry, Communications in

Physics, Vol. 26, No. 1 (2016), pp. 1-9.

[93] Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Phi Quang Van and Nguyen Thi

Hong Van, A see-saw scenario of an A4 flavour symmetric standard model,

arXiv:1602.07437 [hep-ph].

[94] https://root.cern.ch/root/html/tutorials/

[95] G. Aad et al. [ATLAS Collaboration], Observation of a new particle in the

search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the

LHC, Phys. Lett. B 716, 1 (2012), [arXiv:1207.7214 [hep-ex]].

[96] S. Chatrchyan et al. [CMS Collaboration], Observation of a new boson at a

mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC, Phys. Lett. B 716, 30

(2012), [arXiv:1207.7235 [hep-ex]].

112

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[97] Nguyen Anh Ky and Nguyen Thi Hong Van, Was the Higgs boson discovered?,

arXiv:1503.08630 [hep-ph].

[98] J. Lesgourgues, G. Mangano, G. Miele and S. Pastor, Neutrino cosmology,

Cambridge University Press (2013), 392 p.

[99] P. Minkowski, µ → eγ at a Rate of One Out of 109 Muon Decays?, Phys. Lett.

67B, 421 (1977).

[100] J. Schechter and J. W. F. Valle, Phys. Rev. D 22, 2227 (1980).

[101] R. N. Mohapatra and G. Senjanovic, Neutrino Masses and Mixings in Gauge

Models with Spontaneous Parity Violation, Phys. Rev. D 23, 165 (1981).

[102] G. Lazarides, Q. Shafi and C. Wetterich, Proton Lifetime and Fermion Masses

in an SO(10) Model, Nucl. Phys. B 181, 287 (1981).

[103] R. Foot, H. Lew, X. G. He and G. C. Joshi, Seesaw Neutrino Masses Induced

by a Triplet of Leptons, Z. Phys. C 44, 441 (1989).

[104] E. Ma and D. P. Roy, Heavy triplet leptons and new gauge boson, Nucl. Phys.

B 644, 290 (2002)

[105] T. P. Cheng and L. F. Li, Gauge Theory Of Elementary Particle Physics, Ox-

ford, Uk: Clarendon ( 1984) 536 P. ( Oxford Science Publications)

[106] U. Dore and L. Zanello, Bruno Pontecorvo and neutrino physics,

arXiv:0910.1657 [physics.hist-ph].

[107] Lewis H. Ryder, Quantum field theory, Cambridge University Press, 1996.

[108] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to quantum field theory,

Reading, USA: Addison-Wesley (1995) 842 p.

[109] S. F. King, Models of Neutrino Mass, Mixing and CP Violation, J. Phys. G 42,

123001 (2015), [arXiv:1510.02091 [hep-ph]].

[110] H. N. Long, The 331 model with right handed neutrinos, Phys. Rev. D 53, 437

(1996), hep-ph/9504274.

113

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[111] C. R. Watson, J. F. Beacom, H. Yuksel and T. P. Walker, Direct X-ray Con-

straints on Sterile Neutrino Warm Dark Matter, Phys. Rev. D 74, 033009

(2006), astro-ph/0605424.

[112] K. Abazajian and S. M. Koushiappas, Constraints on Sterile Neutrino Dark

Matter, Phys. Rev. D 74, 023527 (2006), astro-ph/0605271.

[113] P. L. Biermann and A. Kusenko, Relic keV sterile neutrinos and reionization,

Phys. Rev. Lett. 96, 091301 (2006), astro-ph/0601004.

[114] M. S. Chanowitz and M. Golden, Higgs Boson Triplets With M (W ) = M (Z)

cos θω, Phys. Lett. B 165, 105 (1985).

[115] J. Kubo, A. Mondragon, M. Mondragon and E. Rodriguez-Jauregui, The Fla-

vor symmetry, Prog. Theor. Phys. 109, 795 (2003)

[116] J. Kubo, Majorana phase in minimal S(3) invariant extension of the standard

model, Phys. Lett. B 578, 156 (2004), hep-ph/0309167.

[117] F. Feruglio and Y. Lin, Fermion Mass Hierarchies and Flavour Mixing from

a Minimal Discrete Symmetry, Nucl. Phys. B 800, 77 (2008), hep-ph/0302196.

[118] S. L. Chen, M. Frigerio and E. Ma, Large neutrino mixing and normal mass

hierarchy: A Discrete understanding, Phys. Rev. D 70, 073008 (2004), hep-

ph/0404084.

[119] C. Y. Chen and L. Wolfenstein, Consequences of approximate S(3) symmetry

of the neutrino mass matrix, Phys. Rev. D 77, 093009 (2008), arXiv:0709.3767

[hep-ph].

[120] M. Picariello, Neutrino CP violating parameters from nontrivial quark-lepton

correlation: A S(3) × GUT model, Int. J. Mod. Phys. A 23, 4435 (2008), hep-

ph/0611189.

[121] S. Kaneko, H. Sawanaka, T. Shingai, M. Tanimoto and K. Yoshioka, Flavor

Symmetry and Vacuum Aligned Mass Textures, Prog. Theor. Phys. 117, 161

(2007), hep-ph/0609220.

[122] Y. Koide, S(3) symmetry and neutrino masses and mixings, Eur. Phys. J. C

50, 809 (2007), hep-ph/0612058.

114

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[123] T. Teshima and Y. Okumura, Quark/lepton mass and mixing in S3 invari-

ant model and CP-violation of neutrino, Phys. Rev. D 84, 016003 (2011),

arXiv:1103.6127 [hep-ph].

[124] A. Blum, C. Hagedorn and M. Lindner, Fermion Masses and Mixings from Di-

hedral Flavor Symmetries with Preserved Subgroups, Phys. Rev. D 77, 076004

(2008), arXiv:0709.3450 [hep-ph].

[125] A. Blum, C. Hagedorn and A. Hohenegger, theta(C) from the Dihedral flavor

symmetries D(7) and D(14), JHEP 0803, 070 (2008), arXiv:0710.5061 [hep-ph].

[126] E. Ma and G. Rajasekaran, Softly broken A(4) symmetry for nearly degenerate

neutrino masses, Phys. Rev. D 64, 113012 (2001), hep-ph/0106291.

[127] E. Ma, Aspects of the tetrahedral neutrino mass matrix, Phys. Rev. D 72,

037301 (2005), hep-ph/0505209.

[128] E. Ma, Tribimaximal neutrino mixing from a supersymmetric model with A4

family symmetry, Phys. Rev. D 73, 057304 (2006), hep-ph/0511133.

[129] E. Ma, Suitability of A(4) as a Family Symmetry in Grand Unification, Mod.

Phys. Lett. A 21, 2931 (2006)

[130] E. Ma, Supersymmetric A(4) x Z(3) and A(4) realizations of neutrino tribimax-

imal mixing without and with corrections, Mod. Phys. Lett. A 22, 101 (2007),

hep-ph/0610342.

[131] M. Hirsch, A. S. Joshipura, S. Kaneko and J. W. F. Valle, Predictive flavour

symmetries of the neutrino mass matrix, Phys. Rev. Lett. 99, 151802 (2007),

hep-ph/0703046.

[132] K. S. Babu, E. Ma and J. W. F. Valle, Underlying A(4) symmetry for the neu-

trino mass matrix and the quark mixing matrix, Phys. Lett. B 552, 207 (2003),

hep-ph/0206292.

[133] M. Hirsch, J. C. Romao, S. Skadhauge, J. W. F. Valle and A. Villanova del

Moral, Phenomenological tests of supersymmetric A(4) family symmetry model

of neutrino mass, Phys. Rev. D 69, 093006 (2004), hep-ph/0312265.

115

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[134] M. Hirsch, A. Villanova del Moral, J. W. F. Valle and E. Ma, Predicting neu-

trinoless double beta decay, Phys. Rev. D 72, 091301 (2005), hep-ph/0507148.

[135] A. Zee, Obtaining the neutrino mixing matrix with the tetrahedral group,

Phys. Lett. B 630, 58 (2005), hep-ph/0508278.

[136] X. G. He, Y. Y. Keum and R. R. Volkas, A(4) flavor symmetry breaking scheme

for understanding quark and neutrino mixing angles, JHEP 0604, 039 (2006),

hep-ph/0601001.

[137] B. Adhikary, B. Brahmachari, A. Ghosal, E. Ma and M. K. Parida, A(4) sym-

metry and prediction of U(e3) in a modified Altarelli-Feruglio model, Phys.

Lett. B 638, 345 (2006), hep-ph/0603059.

[138] L. Lavoura and H. Kuhbock, Predictions of an A(4) model with a five-

parameter neutrino mass matrix, Mod. Phys. Lett. A 22, 181 (2007), hep-

ph/0610050.

[139] B. Brahmachari, S. Choubey and M. Mitra, The A(4) flavor symmetry and

neutrino phenomenology, Phys. Rev. D 77, 073008 (2008), arXiv:0801.3554

[hep-ph].

[140] F. Bazzocchi, S. Morisi and M. Picariello, Embedding A(4) into left-right fla-

vor symmetry: Tribimaximal neutrino mixing and fermion hierarchy, Phys.

Lett. B 659, 628 (2008), arXiv:0710.2928 [hep-ph].

[141] P. H. Frampton and S. Matsuzaki, Renormalizable A(4) Model for Lepton

Sector, arXiv:0806.4592 [hep-ph].

[142] F. Bazzocchi, S. Kaneko and S. Morisi, A SUSY A(4) model for fermion

masses and mixings, JHEP 0803, 063 (2008), arXiv:0707.3032 [hep-ph].

[143] S. Morisi, M. Picariello and E. Torrente-Lujan, Model for fermion masses

and lepton mixing in SO(10) × A(4), Phys. Rev. D 75, 075015 (2007), hep-

ph/0702034.

[144] W. Grimus and H. Kuhbock, Embedding the Zee-Wolfenstein neutrino mass

matrix in an SO(10) x A(4) GUT scenario, Phys. Rev. D 77, 055008 (2008),

arXiv:0710.1585 [hep-ph].

116

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[145] F. Bazzocchi, S. Morisi, M. Picariello and E. Torrente-Lujan, Embedding A(4)

into SU(3) × U(1) flavor symmetry: Large neutrino mixing and fermion mass

hierarchy in SO(10) GUT, J. Phys. G 36, 015002 (2009), arXiv:0802.1693 [hep-

ph].

[146] F. Bazzocchi, M. Frigerio and S. Morisi, Fermion masses and mixing in

models with SO(10) × A(4) symmetry, Phys. Rev. D 78, 116018 (2008),

arXiv:0809.3573 [hep-ph].

[147] G. Altarelli, F. Feruglio and C. Hagedorn, A SUSY SU(5) Grand Uni-

fied Model of Tri-Bimaximal Mixing from A(4), JHEP 0803, 052 (2008),

arXiv:0802.0090 [hep-ph].

[148] P. Ciafaloni, M. Picariello, E. Torrente-Lujan and A. Urbano, Neutrino

masses and tribimaximal mixing in Minimal renormalizable SUSY SU(5)

Grand Unified Model with A(4) Flavor symmetry, Phys. Rev. D 79, 116010

(2009), arXiv:0901.2236 [hep-ph].

[149] Y. Lin, Tri-bimaximal Neutrino Mixing from A(4) and θ13 ∼ theta(C), Nucl.

Phys. B 824, 95 (2010)

[150] S. Antusch, S. F. King and M. Spinrath, Measurable Neutrino Mass Scale in

A4× SU(5), Phys. Rev. D 83, 013005 (2011), arXiv:1005.0708 [hep-ph].

[151] C. Csaki, C. Delaunay, C. Grojean and Y. Grossman, A Model of Lep-

ton Masses from a Warped Extra Dimension, JHEP 0810, 055 (2008),

arXiv:0806.0356 [hep-ph].

[152] F. del Aguila, A. Carmona and J. Santiago, Neutrino Masses from an A4

Symmetry in Holographic Composite Higgs Models, JHEP 1008, 127 (2010),

arXiv:1001.5151 [hep-ph].

[153] A. Kadosh and E. Pallante, An A(4) flavor model for quarks and leptons in

warped geometry, JHEP 1008, 115 (2010), arXiv:1004.0321 [hep-ph].

[154] K. M. Parattu and A. Wingerter, Tribimaximal Mixing From Small Groups,

Phys. Rev. D 84, 013011 (2011), arXiv:1012.2842 [hep-ph].

[155] D. Meloni, S. Morisi and E. Peinado, Neutrino phenomenology and stable

dark matter with A4, Phys. Lett. B 697, 339 (2011), arXiv:1011.1371 [hep-ph].

117

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[156] Y. Shimizu, M. Tanimoto and A. Watanabe, Breaking Tri-bimaximal Mixing

and Large θ13, Prog. Theor. Phys. 126, 81 (2011), arXiv:1105.2929 [hep-ph].

[157] S. F. King and C. Luhn, A4 models of tri-bimaximal-reactor mixing, JHEP

1203, 036 (2012), arXiv:1112.1959 [hep-ph].

[158] Y. H. Ahn and S. K. Kang, Non-zero θ13 and CP violation in a model with A4

flavor symmetry, Phys. Rev. D 86, 093003 (2012), arXiv:1203.4185 [hep-ph].

[159] E. Ma, A. Natale and A. Rashed, Scotogenic A4 Neutrino Model for Nonzero

θ13 and Large δCP , Int. J. Mod. Phys. A 27, 1250134 (2012), arXiv:1206.1570

[hep-ph].

[160] Y. H. Ahn, S. Baek and P. Gondolo, Simple renormalizable flavor symme-

try for neutrino oscillations, Phys. Rev. D 86, 053004 (2012), arXiv:1207.1229

[hep-ph].

[161] S. Morisi and J. W. F. Valle, Neutrino masses and mixing: a flavour symmetry

roadmap, Fortsch. Phys. 61, 466 (2013). arXiv:1206.6678 [hep-ph].

[162] M. C. Chen, J. Huang, J. M. O’Bryan, A. M. Wijangco and F. Yu, Compati-

bility of θ13 and the Type I Seesaw Model with A4 Symmetry, JHEP 1302, 021

(2013), arXiv:1210.6982 [hep-ph].

[163] Y. H. Ahn, S. K. Kang and C. S. Kim, Spontaneous CP Violation in A4

Flavor Symmetry and Leptogenesis, Phys. Rev. D 87, no. 11, 113012 (2013),

arXiv:1304.0921 [hep-ph].

[164] S. F. King, S. Morisi, E. Peinado and J. W. F. Valle, Quark-Lepton Mass Re-

lation in a Realistic A4 Extension of the Standard Model, Phys. Lett. B 724, 68

(2013), arXiv:1301.7065 [hep-ph].

[165] S. Bhattacharya, E. Ma, A. Natale and A. Rashed, Radiative Scal-

ing Neutrino Mass with A4 Symmetry, Phys. Rev. D 87, 097301 (2013),

arXiv:1302.6266 [hep-ph].

[166] B. Karmakar and A. Sil, Nonzero θ13 and leptogenesis in a type-I seesaw model

with A4 symmetry, Phys. Rev. D 91, 013004 (2015)

118

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[167] G. N. Li and X. G. He, CP violation in neutrino mixing with δ = −π/2 in A4

Type-II seesaw model, Phys. Lett. B 750, 620 (2015), arXiv:1505.01932 [hep-

ph].

[168] A. Dev, P. Ramadevi and S. U. Sankar, Non-zero θ13 and δCP in a neutrino

mass model with A4 symmetry, JHEP 1511, 034 (2015), arXiv:1504.04034

[hep-ph].

[169] E. Ma, Neutrino mass matrix from S(4) symmetry, Phys. Lett. B 632, 352

(2006), hep-ph/0508231.

[170] F. Bazzocchi and S. Morisi, S(4) as a natural flavor symmetry for lepton mix-

ing, Phys. Rev. D 80, 096005 (2009), arXiv:0811.0345 [hep-ph].

[171] F. Bazzocchi, L. Merlo and S. Morisi, Fermion Masses and Mixings in a S(4)-

based Model, Nucl. Phys. B 816, 204 (2009), arXiv:0901.2086 [hep-ph].

[172] D. Meloni, A See-Saw S(4) model for fermion masses and mixings, J. Phys. G

37, 055201 (2010). arXiv:0911.3591 [hep-ph].

[173] F. Bazzocchi, L. Merlo and S. Morisi, Phenomenological Consequences of See-

Saw in S(4) Based Models, Phys. Rev. D 80, 053003 (2009), arXiv:0902.2849

[hep-ph].

[174] W. Grimus, L. Lavoura and P. O. Ludl, Is S(4) the horizontal symmetry of

tri-bimaximal lepton mixing?, J. Phys. G 36, 115007 (2009), arXiv:0906.2689

[hep-ph].

[175] R. Z. Yang and H. Zhang, Minimal seesaw model with S4 flavor symmetry,

Phys. Lett. B 700, 316 (2011), arXiv:1104.0380 [hep-ph].

[176] S. Morisi and E. Peinado, An S4 model for quarks and leptons with maximal

atmospheric angle, Phys. Rev. D 81, 085015 (2010), arXiv:1001.2265 [hep-ph].

[177] R. N. Mohapatra, M. K. Parida and G. Rajasekaran, High scale mixing uni-

fication and large neutrino mixing angles, Phys. Rev. D 69, 053007 (2004),

hep-ph/0301234.

[178] H. Ishimori, K. Saga, Y. Shimizu and M. Tanimoto, Tri-bimaximal Mixing

and Cabibbo Angle in S4 Flavor Model with SUSY, Phys. Rev. D 81, 115009

(2010), arXiv:1004.5004 [hep-ph].

119

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[179] D. Meloni, Bimaximal mixing and large θ13 in a SUSY SU(5) model based on

S4, JHEP 1110, 010 (2011), arXiv:1107.0221 [hep-ph].

[180] H. Ishimori, Y. Shimizu and M. Tanimoto, S(4) Flavor Symmetry of

Quarks and Leptons in SU(5) GUT, Prog. Theor. Phys. 121, 769 (2009),

arXiv:0812.5031 [hep-ph].

[181] C. Hagedorn, M. Lindner and R. N. Mohapatra, S(4) flavor symmetry and

fermion masses: Towards a grand unified theory of flavor, JHEP 0606, 042

(2006), hep-ph/0602244.

[182] C. Hagedorn, S. F. King and C. Luhn, A SUSY GUT of Flavour with S4 x

SU(5) to NLO, JHEP 1006, 048 (2010), arXiv:1003.4249 [hep-ph].

[183] Y. Cai and H. B. Yu, A SO(10) GUT Model with S4 Flavor Symmetry, Phys.

Rev. D 74, 115005 (2006), hep-ph/0608022.

[184] B. Dutta, Y. Mimura and R. N. Mohapatra, An SO(10) Grand Unified Theory

of Flavor, JHEP 1005, 034 (2010), arXiv:0911.2242 [hep-ph].

[185] R. de Adelhart Toorop, The interplay between grand unified and flavour sym-

metries in a Pati-Salam × S4 model, J. Phys. Conf. Ser. 259, 012099 (2010),

arXiv:1010.3406 [hep-ph].

[186] H. Ishimori, Y. Shimizu, M. Tanimoto and A. Watanabe, Neutrino masses

flavor twisting, Phys. Rev. D 83, 033004 (2011), and mixing from S4

arXiv:1010.3805 [hep-ph].

[187] Y. H. Ahn, S. K. Kang, C. S. Kim and T. P. Nguyen, A direct link between neu-

trinoless double beta decay and leptogenesis in a seesaw model with S4 symme-

try, Phys. Rev. D 82, 093005 (2010), arXiv:1004.3469 [hep-ph].

[188] S. F. King and C. Luhn, Trimaximal neutrino mixing from vacuum alignment

in A4 and S4 models, JHEP 1109, 042 (2011), arXiv:1107.5332 [hep-ph].

[189] Z. h. Zhao, Realizing Tri-bimaximal Mixing in Minimal Seesaw Model with

S4 Family Symmetry, Phys. Lett. B 701, 609 (2011), arXiv:1106.2715 [hep-ph].

[190] F. Bazzocchi and L. Merlo, Neutrino Mixings and the S4 Discrete Flavour

Symmetry, Fortsch. Phys. 61, 571 (2013), arXiv:1205.5135 [hep-ph].

120

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[191] R. Krishnan, P. F. Harrison and W. G. Scott, Simplest Neutrino Mixing from

S4 Symmetry, JHEP 1304, 087 (2013), arXiv:1211.2000 [hep-ph].

[192] G. J. Ding, S. F. King, C. Luhn and A. J. Stuart, Spontaneous CP viola-

tion from vacuum alignment in S4 models of leptons, JHEP 1305, 084 (2013),

arXiv:1303.6180 [hep-ph].

[193] F. Feruglio, C. Hagedorn and R. Ziegler, A realistic pattern of lepton mixing

and masses from S4 and CP, Eur. Phys. J. C 74, 2753 (2014), arXiv:1303.7178

[hep-ph].

[194] Y. Shimizu and M. Tanimoto, Testing the minimal S4 model of neutrinos with

the Dirac and Majorana phases, JHEP 1512, 132 (2015), arXiv:1507.06221

[hep-ph].

[195] P. H. Frampton and T. W. Kephart, Simple nonAbelian finite flavor groups

and fermion masses, Int. J. Mod. Phys. A 10, 4689 (1995), hep-ph/9409330.

[196] A. Aranda, C. D. Carone and R. F. Lebed, U(2) flavor physics without U(2)

symmetry, Phys. Lett. B 474, 170 (2000), hep-ph/9910392].

[197] A. Aranda, C. D. Carone and R. F. Lebed, Maximal neutrino mixing from a

minimal flavor symmetry, Phys. Rev. D 62, 016009 (2000), hep-ph/0002044.

[198] A. Aranda, Neutrino mixing from the double tetrahedral group T (cid:48), Phys. Rev.

D 76, 111301 (2007), arXiv:0707.3661 [hep-ph].

[199] P. H. Frampton and T. W. Kephart, Flavor Symmetry for Quarks and Leptons,

JHEP 0709, 110 (2007), arXiv:0706.1186 [hep-ph].

[200] G. J. Ding, Fermion Mass Hierarchies and Flavor Mixing from T (cid:48) Symmetry,

Phys. Rev. D 78, 036011 (2008), arXiv:0803.2278 [hep-ph].

[201] M. C. Chen, J. Huang, K. T. Mahanthappa and A. M. Wijangco, Large θ13 in a SUSY SU(5) ×T (cid:48) Model, JHEP 1310, 112 (2013), arXiv:1307.7711 [hep-ph].

[202] L. Merlo, A T (cid:48) Flavour Model for Fermions and its Phenomenology,

arXiv:1108.4459 [hep-ph].

121

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[203] L. L. Everett and A. J. Stuart, Icosahedral (A(5)) Family Symmetry and the

Golden Ratio Prediction for Solar Neutrino Mixing, Phys. Rev. D 79, 085005

(2009), arXiv:0812.1057 [hep-ph].

[204] F. Feruglio and A. Paris, The Golden Ratio Prediction for the Solar Angle

from a Natural Model with A5 Flavour Symmetry, JHEP 1103, 101 (2011),

arXiv:1101.0393 [hep-ph].

[205] I. K. Cooper, S. F. King and A. J. Stuart, A Golden A5 Model of Leptons with

a Minimal NLO Correction, Nucl. Phys. B 875, 650 (2013), arXiv:1212.1066

[hep-ph].

[206] J. Gehrlein, J. P. Oppermann, D. Sch ¨afer and M. Spinrath, An SU(5) × A5

golden ratio flavour model, Nucl. Phys. B 890, 539 (2014), arXiv:1410.2057

[hep-ph].

[207] J. Gehrlein, S. T. Petcov, M. Spinrath and X. Zhang, Leptogenesis in an

SU(5) × A5 Golden Ratio Flavour Model, Nucl. Phys. B 896, 311 (2015),

arXiv:1502.00110 [hep-ph].

[208] J. Gehrlein, S. T. Petcov, M. Spinrath and X. Zhang, Leptogenesis in an SU(5)

x A5 Golden Ratio Flavour Model: Addendum, Nucl. Phys. B 899, 617 (2015),

arXiv:1508.07930 [hep-ph].

[209] Q. H. Cao, S. Khalil, E. Ma and H. Okada, Observable T7 Lepton Flavor

Symmetry at the Large Hadron Collider, Phys. Rev. Lett. 106, 131801 (2011),

arXiv:1009.5415 [hep-ph].

[210] H. Ishimori, S. Khalil and E. Ma, CP Phases of Neutrino Mixing in a Super-

symmetric B − L Gauge Model with T7 Lepton Flavor Symmetry, Phys. Rev. D

86, 013008 (2012), arXiv:1204.2705 [hep-ph].

[211] C. Luhn, K. M. Parattu and A. Wingerter, A Minimal Model of Neutrino

Flavor, JHEP 1212, 096 (2012), arXiv:1210.1197 [hep-ph].

[212] C. Bonilla, S. Morisi, E. Peinado and J. W. F. Valle, Relating quarks and lep-

tons with the T7 flavour group, Phys. Lett. B 742, 99 (2015), arXiv:1411.4883

[hep-ph].

122

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[213] A. E. Cárcamo Hernández and R. Martinez, Fermion mass and mixing pat-

tern in a minimal T7 flavor 331 model, PoS PLANCK 2015, 023 (2015),

arXiv:1511.07997 [hep-ph].

[214] I. de Medeiros Varzielas, S. F. King and G. G. Ross, Neutrino tri-bi-maximal

mixing from a non-Abelian discrete family symmetry, Phys. Lett. B 648, 201

(2007), hep-ph/0607045.

[215] E. Ma, Near tribimaximal neutrino mixing with ∆(27) symmetry, Phys. Lett.

B 660, 505 (2008), arXiv:0709.0507 [hep-ph].

[216] W. Grimus and L. Lavoura, A Model for trimaximal lepton mixing, JHEP

0809, 106 (2008), arXiv:0809.0226 [hep-ph].

[217] F. Bazzocchi and I. de Medeiros Varzielas, Tri-bi-maximal mixing in viable

family symmetry unified model with extended seesaw, Phys. Rev. D 79, 093001

(2009), arXiv:0902.3250 [hep-ph].

[218] C. C. Nishi, Generalized CP symmetries in ∆(27) flavor models, Phys. Rev. D

88, no. 3, 033010 (2013), arXiv:1306.0877 [hep-ph].

[219] M. Abbas and S. Khalil, Fermion masses and mixing in ∆(27) flavour model,

Phys. Rev. D 91, no. 5, 053003 (2015), arXiv:1406.6716 [hep-ph].

[220] M. Abbas, S. Khalil, A. Rashed and A. Sil, Neutrino masses and deviation

from tribimaximal mixing in ∆(27) model with inverse seesaw mechanism,

Phys. Rev. D 93, no. 1, 013018 (2016), arXiv:1508.03727 [hep-ph].

[221] S. C. Chuliá, R. Srivastava and J. W. F. Valle, Predicting CP Violation from

Flavor Symmetry in a Lepton Quarticity Dark Matter Model, arXiv:1606.06904

[hep-ph].

[222] I. Girardi, S. T. Petcov and A. V. Titov, Predictions for the Dirac CP Violation

Phase in the Neutrino Mixing Matrix, Int. J. Mod. Phys. A 30 (2015) 1530035,

arXiv:1504.02402 [hep-ph].

[223] I. Girardi, S. T. Petcov and A. V. Titov, Determining the Dirac CP violation

phase in the neutrino mixing matrix from sum rules, Nucl. Phys. B894, 733

(2015), arXiv:1410.8056 [hep-ph].

123

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[224] S. T. Petcov, Predicting the values of the leptonic CP violation phases in

theories with discrete flavour symmetries, Nucl. Phys. B892, 400 (2015),

arXiv:1405.6006 [hep-ph]].

[225] S. T. Petcov, The nature of massive neutrinos, Adv. High Energy Phys. 2013,

852987 (2013), arXiv:1303.5819 [hep-ph].

[226] S. Chakdar, K. Ghosh and S. Nandi, A predictive model of Dirac neutrinos,

Phys. Lett. B734, 64 (2014), arXiv:1403.1544 [hep-ph].

[227] S. R. Elliott and J. Engel, Double beta decay, J. Phys. G 30 (2004) R183 [hep-

ph/0405078].

[228] F. T. Avignone, III, S. R. Elliott and J. Engel, Double Beta Decay, Ma-

jorana Neutrinos, and Neutrino Mass, Rev. Mod. Phys. 80 (2008) 481

[arXiv:0708.1033 [nucl-ex]].

[229] W. Rodejohann, Neutrino-less Double Beta Decay and Particle Physics, Int. J.

Mod. Phys. E 20 (2011) 1833 [arXiv:1106.1334 [hep-ph]].

[230] S. R. Elliott and P. Vogel, Double beta decay, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 52

(2002) 115, hep-ph/0202264.

[231] S. M. Bilenky, C. Giunti, J. A. Grifols and E. Masso, Absolute values

of neutrino masses: Status and prospects, Phys. Rept. 379 (2003) 69, hep-

ph/0211462.

[232] S. M. Bilenky and C. Giunti, Neutrinoless double-beta decay: A brief review,

Mod. Phys. Lett. A 27 (2012) 1230015, arXiv:1203.5250 [hep-ph].

[233] J. J. Gomez-Cadenas, J. Martin-Albo, M. Mezzetto, F. Monrabal and

M. Sorel, The Search for neutrinoless double beta decay, Riv. Nuovo Cim. 35

(2012) 29, arXiv:1109.5515 [hep-ex].

[234] B. Schwingenheuer, Searches for neutrinoless double beta decay, J. Phys.

Conf. Ser. 375 (2012) 042007, arXiv:1201.4916 [hep-ex].

[235] M. Yoshimura, Solitons and Precision Neutrino Mass Spectroscopy, Phys.

Lett. B 699 (2011) 123, arXiv:1101.2749 [hep-ph].

124

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

[236] D. N. Dinh, S. T. Petcov, N. Sasao, M. Tanaka and M. Yoshimura, Observables

in Neutrino Mass Spectroscopy Using Atoms, Phys. Lett. B 719 (2013) 154,

arXiv:1209.4808 [hep-ph].

[237] A. Fukumi, S. Kuma, Y. Miyamoto, K. Nakajima, I. Nakano, H. Nanjo,

C. Ohae and N. Sasao et al., Neutrino Spectroscopy with Atoms and Molecules,

PTEP 2012 (2012) 04D002, arXiv:1211.4904 [hep-ph].

[238] H. V. Klapdor-Kleingrothaus et al., Latest results from the Heidelberg-

Moscow double beta decay experiment, Eur. Phys. J. A 12 (2001) 147,hep-

ph/0103062.

[239] E. Andreotti et al., 130Te Neutrinoless Double-Beta Decay with CUORICINO,

Astropart. Phys. 34 (2011) 822, arXiv:1012.3266 [nucl-ex].

[240] M. Auger et al. [EXO-200 Collaboration], Search for Neutrinoless Double-

Beta Decay in 136Xe with EXO-200, Phys. Rev. Lett. 109 (2012) 032505,

arXiv:1205.5608 [hep-ex].

[241] F. Bellini et al., Monte Carlo evaluation of the external gamma, neutron and

muon induced background sources in the CUORE experiment, Astropart. Phys.

33 (2010) 169, arXiv:0912.0452 [physics.ins-det].

[242] R. Gornea [EXO-200 Collaboration], Search for double beta decay with the

EXO-200 TPC and prospects for barium ion tagging in liquid xenon, J. Phys.

Conf. Ser. 309 (2011) 012003.

[243] S. M. Bilenky and S. T. Petcov, Massive Neutrinos and Neutrino Oscillations,

Rev. Mod. Phys. 59 (1987) 671 [Rev. Mod. Phys. 61 (1989) 169] [Rev. Mod.

Phys. 60 (1988) 575].

[244] C. Jarlskog, Commutator of the Quark Mass Matrices in the Standard Elec-

troweak Model and a Measure of Maximal CP Violation, Phys. Rev. Lett. 55

(1985) 1039.

125