Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Quan hệ giữa Hình học và Đại số trong dạy học số phức ở lớp 12

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Quan hệ giữa Hình học và Đại số trong dạy học số phức ở lớp 12 giới thiệu tới các bạn những nội dung về số phức – quan hệ giữa Hình học và Đại số một nghiên cứu tri thức luận; số phức – quan hệ giữa Hình học và Đại số một nghiên cứu thể chế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Quan hệ giữa Hình học và Đại số trong dạy học số phức ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thanh Tuyền QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thanh Tuyền QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở LỚP 12 Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :  PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người cô đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn.  TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã tận tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc cho chúng tôi trong những ngày đầu làm quen với Didactic toán và từ đó quý thầy cô đã truyền thụ cho chúng tôi sự say mê, niềm hứng thú đối với chuyên ngành này.  GS.Annie Bessot, GS.Alain Birebent đã cho chúng tôi những lời góp ý chân thành và quý báu, giúp chúng tôi có những định hướng tốt hơn cho luận văn của mình và có cái nhìn rộng mở đối với các vấn đề về Didactic. Tôi xin chân thành cám ơn :  Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này.  Ban giám hiệu trường THCS &THPT Thuận Mỹ đã hỗ trợ về nhiều mặt giúp tôi yên tâm tập trung cho việc học.  Tập thể học sinh lớp 12A1 trường THCS & THPT Thuận Mỹ và trường THPT Đoàn Thị Điểm đã nhiệt tình tham gia các buổi thực nghiệm.  Các anh chị và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 21 đã chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập.  Ba mẹ và anh chị trong gia đình đã luôn tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi về mọi mặt. Lê Thị Thanh Tuyền
MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN.......................................................................................................... MỤC LỤC ............................................................................................................... DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .................................................................... MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 3 3. Khung lý thuyết tham chiếu ............................................................................... 3 3.1. Thuyết nhân học ......................................................................................... 4 3.2. Lý thuyết tình huống ................................................................................. 5 4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu ............................ 5 5. Cấu trúc luận văn ............................................................................................... 6 Chương một : SỐ PHỨC – QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ-MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN ..................................................................... 8 1. Quan hệ giữa hình học và đại số trong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm số phức ........................................................................................................... 8 2. Quan hệ giữa hình học và đại số của số phức trong các giáo trình toán ở bậc đại học ................................................................................................................... 14 2.1. Phân tích giáo trình [A] ............................................................................ 15 2.2. Phân tích giáo trình [B] ............................................................................ 27 3. Kết luận chương 1 ............................................................................................ 33 Chương hai : SỐ PHỨC – QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ- MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ................................................................................. 34 1. Số phức trong chương trình và SGK Giải tích 12 Việt Nam ........................... 35 1.1. Mục đích của dạy học số phức ................................................................ 35 1.2. Về số phức và các khái niệm liên quan ................................................... 36
1.3. Về các phép toán trên số phức................................................................. 36 1.4. Về các dạng biểu diễn số phức và vai trò của chúng .............................. 37 1.5. Về các tổ chức toán học liên quan số phức ............................................. 41 2. Số phức trong sách Mathematiques 12 ème .................................................... 49 2.1. Về số phức và các khái niệm liên quan ................................................... 49 2.2. Về các phép toán ..................................................................................... 49 2.3. Về các kiểu nhiệm vụ .............................................................................. 50 3. Kết luận chương 2 ............................................................................................ 53 Chương ba : THỰC NGHIỆM .......................................................................... 55 1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................................... 55 2. Hình thức thực nghiệm .................................................................................... 55 3. Xây dựng tình huống thực nghiệm .................................................................. 55 3.1. Một vài điểm tựa ...................................................................................... 55 3.2. Tiểu đồ án didactic .................................................................................. 58 3.3. Dàn dựng kịch bản................................................................................... 59 4. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................... 61 4.1. Biến didactic, biến tình huống và giá trị của chúng ................................ 61 4.2. Các chiến lược ........................................................................................ 67 4.3. Phân tích kịch bản .................................................................................. 67 5. Phân tích hậu nghiệm ....................................................................................... 69 6. Kết luận chương 3 ............................................................................................ 79 KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... PHỤ LỤC................................................................................................................. 1. Phụ lục 1 : Phiếu câu hỏi thực nghiệm 2. Phụ lục 2 : Phiếu làm bài của học sinh 3. Phụ lục 3 : Biên bản nhóm 2
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ Tên đầy đủ viết tắt [A] Hàm biến phức và phép biến đổi Laplaxaơ, Phan Bá Ngọc [B] Hàm biến phức và ứng dụng, B.A. Fukxơ, B.A.Sabat KNV Kiểu nhiệm vụ SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên [P] Sách Mathematiques 12 ème [V] Sách Giải tích 12 nâng cao THPT Trung học phổ thông
MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Thoạt tiên, như chúng ta đã biết, số phức xuất hiện do nhu cầu phát triển của toán học về giải các phương trình đại số. Theo sự phát triển của mình, ngày nay phạm vi ứng dụng của số phức được mở rộng không chỉ ở nhiều chuyên ngành của toán học mà còn vào cả các khoa học khác. Đối với toán phổ thông, số phức được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán của nhiều nước trên thế giới. Ở Việt Nam, số phức đã từng có mặt ở lớp 10 trong chương trình trước cải cách giáo dục và ở lớp 12 chương trình phân ban thí điểm năm 1995-2000. Ngắt quãng một thời gian khá dài, số phức chính thức xuất hiện trở lại ở lớp 12 trong chương trình toán phổ thông từ năm học 2008-2009 như một sự cần thiết để đáp ứng nhu cầu thực tiễn khoa học cũng như tiếp cận với trình độ giáo dục phổ thông của các nước trên thế giới. Từ đó cho đến nay số phức luôn có mặt trong các kỳ thi quốc gia như tốt nghiệp trung học phổ thông, tuyển sinh cao đẳng và đại học. Chính tầm quan trọng đó đã thúc đẩy chúng tôi tìm hiểu thật rõ về đối tượng tri thức này. Số phức có thể được tiếp cận bằng những cách khác nhau. “Coi tập hợp  là tập hợp  2 các cặp số thực [...]  a −b  Coi  là tập hợp các ma trận cấp hai dạng   (a, b là số thực) với phép toán cộng, b a  nhân các ma trận cấp hai [...] Coi  là vành thương [X] của vành đa thức một ẩn X (trên trường số thực) (X 2 + 1) chia cho iđêan sinh bởi đa thức X2 + 1 [...]” ([18], trang 234) Ba cách xây dựng số phức trên khá “cao cấp” và trừu tượng đối với học sinh THPT. Vì lẽ đó, chúng tôi chỉ xét hai cách tiếp cận số phức sau :
- Theo cách tiếp cận thứ nhất, số phức được xem là một biểu thức đại số có dạng z = a + ib và ở đây thì các tính toán trên số phức được thực hiện theo kỹ thuật biến đổi đa thức một biến trên trường số thực. Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận đại số. - Trong cách tiếp cận thứ hai, chúng tôi gọi là tiếp cận hình học, số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Với cách tiếp cận này, những tính chất và quan hệ trên số phức được chuyển dịch sang các quan hệ hình học, các phép toán trên số phức liên hệ mật thiết với các phép toán về vectơ và các phép biến hình trên mặt phẳng phức. Câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là : Trong toán học, tại sao lại cần có hai cách tiếp cận đó ? Chúng có quan hệ gì ? Trong thực tế dạy học toán ngày nay, quan hệ đó được thiết lập ra sao? Những câu hỏi này là nguồn gốc hình thành nên chủ đề nghiên cứu của chúng tôi : “Quan hệ giữa hình học và đại số trong dạy học số phức ở lớp 12”. “Giữa “hình” và “số”, giữa các phép biến hình và các phép biến đổi về số có quan hệ sâu sắc…hình học trực quan hóa đại số nghĩa là làm cho những quan hệ đại số trừu tượng trở nên có hình ảnh còn đại số cho thấy mối quan hệ sâu xa bên trong giữa những hiện tượng hình học bề ngoài nhiều khi rất khác nhau” ([25], trang 47). Tham khảo các tài liệu nghiên cứu về số phức, đặc biệt là các công trình nghiên cứu trong didactic toán, chúng tôi tìm thấy hai luận văn thạc sĩ gắn với nội dung số phức. - “Số phức và ý nghĩa hình học trong dạy học ở chương trình phổ thông” của tác giả Lê Thị Huyền (2010). - “Dạy học số phức ở trường phổ thông” của tác giả Nguyễn Thị Duyên (2009). Cả hai luận văn đều cho thấy trong thể chế dạy học ở Việt Nam thì dạng đại số của số phức chiếm ưu thế, ý nghĩa hình học của số phức và các phép toán trên số phức không được chú trọng, vai trò hình học của số phức khá mờ nhạt, vấn đề liên quan phép biến hình trên mặt phẳng phức không được đưa vào tường minh. Tuy nhiên, dường như hai luận văn trên chưa giúp cho chúng tôi hiểu rõ tính cần thiết của cách tiếp cận hình học. Có thể thấy ngay là khái niệm môđun, argumen
tạo thuận lợi cho phép nâng lên lũy thừa một số phức và từ đó thiết lập công thức khai căn một số phức. Thế còn việc gắn số phức với phép biến hình sẽ mang lại lợi ích gì ? Những ghi nhận trên khiến chúng tôi nảy sinh thêm băn khoăn “Việc thể chế dạy học ở Việt Nam chỉ chú ý cách tiếp cận đại số mà ít chú trọng tiếp cận hình học nói chung, cách tiếp cận qua các phép biến hình nói riêng, đã mang lại cho học sinh ý nghĩa gì về số phức và những khái niệm liên quan? Làm thế nào để thiết lập mối liên hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong dạy học số phức ở trường phổ thông?”. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm câu trả lời cho những câu hỏi được đặt ra là mục đích nhắm tới của luận văn. Cụ thể nhiệm vụ của chúng tôi là : - Làm rõ vai trò và mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận đại số và hình học đối với đối tượng số phức trong thể chế dạy học số phức ở lớp 12. - Phân tích ảnh hưởng của sự lựa chọn thể chế lên quan niệm của học sinh đối với đối tượng số phức. - Xây dựng và triển khai tình huống dạy học cho phép thiết lập mối quan hệ giữa hình học và đại số trong trường hợp số phức. Cụ thể, chúng tôi nhắm tới việc xây dựng tình huống thể hiện mối liên hệ giữa các phép biến hình trong mặt phẳng với phép nhân hai số phức. 3. Khung lý thuyết tham chiếu Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng mà chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời đó. Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong phạm vi Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các hiện tượng trong giảng dạy và học tập” ([3], trang 9). Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là số phức; I là thể chế dạy học hiện hành ở Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong việc dạy học số phức ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm quan hệ
thể chế của thuyết nhân học do Chevallard đặt nền móng. Câu hỏi “Việc thể chế dạy học ở Việt Nam chỉ chú ý cách tiếp cận đại số mà ít chú trọng cách tiếp cận hình học nói chung, cách tiếp cận qua các phép biến hình nói riêng, đã mang lại cho học sinh ý nghĩa gì về số phức và những khái niệm liên quan?” liên quan đến khái niệm quan hệ cá nhân của lý thuyết này. Cá nhân cụ thể được xét ở đây là đối tượng học sinh đã được học về số phức. Câu hỏi “Làm thế nào để thiết lập mối liên hệ giữa hai cách tiếp cận hình học và đại số trong dạy học số phức?” liên quan đến khái niệm đồ án didactic của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất. Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. Phần trình bày các khái niệm này được trích lọc từ quyển giáo trình song ngữ Việt - Pháp “Những yếu tố cơ bản của Didactic toán”. 3.1. Thuyết nhân học  Quan hệ thể chế R(I, O) Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I.  Quan hệ cá nhân R(X, O) Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao,…Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O. Trở lại với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm, phân tích R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được cuộc sống của O trong I từ đó chúng tôi sẽ làm rõ vai trò, phạm vi tác động cũng như mối liên hệ của hai cách tiếp cận số phức. Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O thì lại cần phải nghiên cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân đối với O. Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải xem xét quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với đối tượng tri thức mà chúng tôi
quan tâm. Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối quan hệ R(I, O) thì cần phải dùng đến khái niệm tổ chức toán học.  Tổ chức toán học (TCTH) Một TCTH là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, τ , θ , Θ ] trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ . Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O. Do đó, việc chúng tôi lựa chọn thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình dường như là hoàn toàn thỏa đáng. 3.2. Lý thuyết tình huống  Đồ án didactic Đồ án didactic là một hay một chuỗi tình huống dạy học do nhà nghiên cứu didactic xây dựng. Một đồ án được thiết kế dựa trên các khái niệm cơ bản trong lý thuyết tình huống của Brousseau, như tình huống cơ sở, biến didactic, môi trường... 4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi ban đầu và trình bày lại thành ba câu hỏi nghiên cứu sau : Gọi đối tượng O là số phức; I là thể chế dạy học số phức theo chương trình nâng cao hiện hành ở Việt Nam. CH1 : Trong I, hai cách tiếp cận đại số và hình học được trình bày ra sao? Những mong muốn và ràng buộc nào của thể chế đối với O trong hai cách tiếp cận này? Tổ chức toán học nào cho phép thiết lập mối liên hệ giữa chúng? CH2 : Đặc biệt, trong cách tiếp cận hình học, những kiến thức hình học nào đã được thể chế sử dụng để mang lại nghĩa hình học cho khái niệm số phức và các phép toán trên tập số phức, những khái niệm thường được định nghĩa một cách hình thức qua các biểu thức đại số ?
CH3 : Đồ án dạy học nào cho phép mang lại nghĩa hình học cho phép nhân các số phức ? Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc phân tích SGK, SBT và SGV Giải tích lớp 12 theo chương trình nâng cao. Mặt khác, mối quan hệ thể chế với đối tượng O có thể thay đổi từ thể chế này sang thể chế khác. Với mong muốn làm nổi rõ những đặc trưng của mối quan hệ thể chế R(I, O), chúng tôi đặt phân tích của mình trong sự so sánh với thể chế khác đó là thể chế dạy học của Pháp. Công cụ lý thuyết chủ yếu chúng tôi sử dụng để phân tích là quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân và tổ chức toán học. Tuy nhiên trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích về O ở cấp độ cao hơn. Bởi vì để tồn tại trong một thể chế nào đó thì mỗi tri thức phải được biến đổi cho phù hợp. Chính sự biến đổi đó đã tạo nên một khoảng cách giữa tri thức được trình bày trong SGK và tri thức bác học. Vì vậy để có sự hiểu biết đầy đủ về O thì một phân tích O ở góc độ tri thức bác học là thật sự cần thiết. Tuy nhiên, do hạn chế về tài liệu tham khảo đặc biệt là các tư liệu lịch sử nên chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ. Do đó, chúng tôi sẽ chỉ tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp các kết quả đã có về số phức và phân tích vài giáo trình toán ở bậc đại học – nơi mà tri thức trình bày trong đó được xem là có khoảng cách gần hơn (so với tri thức trong chương trình, SGK phổ thông) tri thức bác học. Việc tổng hợp và phân tích các tài liệu này nhằm trả lời cho câu hỏi : CH0 : Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò gì? Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập nên mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận đó? Kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận và phân tích SGK sẽ là cơ sở cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic nhằm tạo cơ hội cho học sinh thấy rõ mối quan hệ giữa phép nhân hai số phức và phép đồng dạng trong mặt phẳng. 5. Cấu trúc luận văn
+ Chương 1 : Số phức - Quan hệ giữa hình học và đại số – một nghiên cứu tri thức luận. Chúng tôi trình bày việc phân tích số phức trong các công trình nghiên cứu đã có và trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Qua đó, chúng tôi sẽ phải chỉ rõ : Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò gì? Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận đó? + Chương 2 : Số phức - Quan hệ giữa hình học và đại số – một nghiên cứu thể chế. Chương này là một nghiên cứu về cuộc sống của đối tượng O trong các thể chế khác nhau. Mở đầu, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng số phức ở lớp 12 theo chương trình và SGK hiện hành của Việt Nam. Tiếp đến là phân tích SGK của Pháp. + Chương 3 : Thực nghiệm. Ở đây, chúng tôi trình bày cách xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic. Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 12 đã học về số phức theo chương trình nâng cao.
Chương 1 8 Chương một SỐ PHỨC - QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN Mở đầu Nghiên cứu ở chương này nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi CH0. Chúng tôi xin nhắc lại nội dung của câu hỏi này : CH0 : Về mặt toán học, cách tiếp cận số phức bằng đại số và hình học có vai trò gì? Những tri thức toán học nào góp phần thiết lập mối quan hệ giữa hai cách tiếp cận đó? Như chúng tôi đã trình bày ở phần mở đầu của luận văn, do hạn chế về tư liệu tham khảo nên chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ. Vì vậy, chúng tôi chỉ giới hạn trong việc tổng hợp các kết quả đã có từ một số công trình nghiên cứu khoa học luận về số phức và phân tích hai giáo trình toán dùng ở bậc đại học. Phân tích trong chương này được xem là cơ sở tham chiếu cho những nghiên cứu tiếp theo. 1. Quan hệ giữa hình học và đại số trong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm số phức Phân tích của chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu sau : [1] Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh. [2] Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2003), Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, ĐHSP TP. Hồ Chí Minh. [15] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý và áp dụng, Trường ĐH Khoa học tự nhiên - ĐH quốc gia Hà Nội.
Chương 1 9 Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVI. Khi ấy, loài người đã biết đến số thực cũng như cách giải phương trình bậc hai. Lúc bấy giờ chỉ có căn bậc hai của một số thực dương là được thừa nhận. Căn bậc hai của một số thực âm có dạng như −1, b −1,a + b −1 xuất hiện đầu tiên trong các công trình của các nhà toán học Italia như “Ars Magna” (1545) của G.Cardano (1501-1576) và “Algebra” (1572) của R.Bombelli (1530-1572). Lịch sử chỉ ra rằng, Cardano đã nhắc đến các nghiệm phức khi giải một bài toán “Tìm hai số a và b sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 40” ([15], trang 13). Ông đã tìm được số a = 5 + −15 và số b = 5 − −15 thỏa mãn điều kiện nhưng rõ ràng các số dạng này không tồn tại theo những kiến thức đã có thời bấy giờ. Khi đó, ông gọi các nghiệm này là “nghiệm âm ngụy biện”. Năm 1547, Cardano công bố phương pháp giải tổng quát phương trình bậc ba. Xét phương trình x3 + px + q =0 (1) với p, q là hai số thực cho trước, công thức q q2 p3 3 q q2 p3 nghiệm có dạng x = 3 − + + + − − + . Thực chất mọi phương 2 4 27 2 4 27 trình bậc ba tổng quát ay3 + by2 + cy +d = 0 đều có thể đưa về dạng (1) bằng cách 1 1 1 1 đặt y = x - c − ab + 2a 2 . Có một khó khăn nảy sinh trong b , p = c − a2 , q = 3 3 3 27 quá trình giải là sự xuất hiện căn bậc hai của số âm. Cụ thể nếu ta gọi δ là căn 2 3 q q p bậc hai của q + p và lấy u, v sao cho u 3 =− + δ ; v3 =− − δ (với uv = − ) thì x 4 27 2 2 3 q 2 p3 = u + v là một nghiệm của phương trình (1). Nếu + < 0 thì gặp phải căn bậc 4 27 hai của số thực âm. Chẳng hạn, phương trình x3 - 15x - 4 = 0 có q 2 p3 + =- 4 27 121, theo công thức nghiệm ta tìm được x = 3 2 + −121 + 3 2 + −121 . Dựa vào những hiểu biết tại thời điểm đó thì dường như phương trình này vô nghiệm nhưng rõ ràng x = u + v = 2 + −121 + 2 − −121 = 4 là một nghiệm của phương trình. Mâu thuẫn này được giải quyết bởi Bombelli. Năm 1572 trong tác phẩm “Algebra”, ông đưa vào kí hiệu −1 và định nghĩa các phép tính số học cho kí
Chương 1 10 hiệu mới đó. Với kí hiệu này ông đã tìm được nghiệm thực của các phương trình bậc ba. Như vậy, chính trong quá trình tìm nghiệm thực cho phương trình bậc ba đã làm nảy sinh khái niệm căn bậc hai của số thực âm. Tuy chúng thực sự hữu ích nhung chúng chưa mang một “nghĩa” xác định nào “ [...] Ở đây không có một số mới nào xuất hiện, mà chỉ có sự nảy sinh của các “dấu” hay “cách viết” trung gian [...]” ([2], trang 51). Bước sang thế kỉ 17, 18, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu về những tính chất và ứng dụng của số phức. Chẳng hạn, Euler (1707-1783) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738). Ông thay kí hiệu −1 bằng kí hiệu i, gọi nó là đơn vị ảo và tìm ra công thức= eix cos x + i sin x . Nhà toán học người Anh, Moivre (1667-1754) đã nghiên cứu và giải các bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức. Ông đưa ra công thức nổi tiếng (cos x + i sin x) n =cos nx + i sin nx . Cho đến giai đoạn này, tuy có nhiều phát minh về số phức và cho thấy số phức không chỉ có vai trò quan trọng trong việc giải phương trình mà còn có mối liên hệ sâu sắc với những kiến thức toán học khác như hàm lượng giác, hàm mũ ,.. nhưng “bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn” ([15], trang 14). Số phức chỉ được xem là một “kí hiệu hình thức” và đóng vai trò như một công cụ toán hữu ích. Ký hiệu −1 là gì vẫn còn là một câu hỏi không được giải đáp “Ngay cả tên gọi và kí hiệu i:= −1 là đơn vị ảo cũng đã gây nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem đó là kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i2 = -1”([15], trang 12). Thậm chí đối với nhiều nhà toán học lớn thời kì này, căn bậc hai của số âm rất khó được chấp nhận. “Lịch sử ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số” ([15, trang 14), còn G.Leibniz (1646 – 1716) thì ví số phức như “[…] một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật” ([15], trang 14).
Chương 1 11 Vì vậy cho đến tận cuối thế kỉ 19 1 vấn đề hợp thức hóa căn bậc hai của số âm luôn là mối bận tâm của nhiều toán học. Họ mong muốn tìm được một đối tượng thực tế (trong toán học) để biểu diễn cho các đại lượng ảo. Lịch sử ghi nhận rằng các nhà toán học đã giải quyết triệt để vấn đề này trong cả phạm vi đại số và hình học. Trong phạm vi hình học, hình ảnh của số phức trong thực tế được thể hiện qua nhiều công trình của các nhà toán học như Jean Robert Argand (1768–1822), Caspar Wessel (1745–1818), Mourey, John Warren…Chúng tôi chỉ quan tâm trường hợp của Arand và Wessel. Xét mô hình của Wessel, trước tiên, ông định nghĩa phép cộng của hai đường đồng phẳng. Tiếp theo, ông sử dụng khái niệm độ nghiêng của một đường “Độ nghiêng được xác định bởi góc do đường đó tạo nên với phương nằm ngang tính từ trái sang phải” ([1], trang 95) để định nghĩa tích hai đường đồng phẳng “[...] là một đường có độ nghiêng bằng tổng các độ nghiêng, chiều dài bằng tích các chiều dài.” ([1], trang 95). Đơn vị ảo i được ông mô tả một cách trực quan “Wessel quy ước kí hiệu một đoạn thẳng đơn vị đã được xác định bởi ký hiệu +1, đoạn thẳng đơn vị đối với nó là -1. Một đoạn thẳng đơn vị khác, vuông góc với đoạn thẳng đầu và có chung gốc thì được kí hiệu là δ . Khi đó, theo định nghĩa về phép nhân hai đường thì δ . δ = -1, tức δ = −1 .” ([1], trang 97). Trong trường hợp của Argand, ông “biểu diễn các số thực trên một trục, sau đó xét một trục vuông góc với trục thực tại O. Trên trục đó các đơn vị sẽ được ghi là −1, − −1 .” ([1], trang 98, 99). Tiếp theo, để biểu diễn các đại lượng ảo, ông đưa vào một khái niệm mới được gọi là “đường định hướng”. Ông quan niệm rằng “Mọi đường thẳng, nếu song song với trục thực thì được viết là ± a , nếu 1 “Mầm mống biểu diễn hình học các đại lượng ảo đã xuất hiện trước thế kỉ 19 trong công trình của nhà toán học J.Wallis (1616 –1703)... Ông đã cho các đại lượng ảo một ‘nghĩa” sơ khai đầu tiên, bằng cách tổng quát “mô hình cộng” của những “được” và “mất” đã được dùng cho trường hợp số âm...Nhưng cũng cần nhấn mạnh rằng: hình ảnh hình học sơ khai này của các đại lượng ảo vẫn chỉ tồn tại trong tưởng tượng mà thôi.” ([2], trang 56).
Chương 1 12 vuông góc với trục thực thì được viết là ±b −1 và mọi đường thẳng của mặt phẳng sẽ được biểu diễn ở dạng a + b −1 .” ([1], trang 99). Từ đó ông đã liên kết khái niệm này với các đại lượng ảo và “thiết lập được sự tương ứng giữa các phép toán trên đại lượng ảo với việc dựng hình học các đường.” ([1], trang 99). Rõ ràng, nhờ hình học mà đại lượng ảo đã khoác lên mình một hình ảnh rất thực tế. Tuy nhiên, nếu nhìn lại lịch sử phát triển toán học nói chung thì giai đoạn thế kỉ XIX là giai đoạn mà khuynh hướng đại số hóa hình học nói riêng và đại số hóa toán học nói chung đang thịnh hành và phát triển, quan niệm đại số hình thức đang là trào lưu thời bấy giờ. Do đó việc lấy nghĩa của số phức trong phạm vi hình học dường như không làm thỏa mãn các nhà toán học thời kì này. Họ quan niệm “khả năng biểu diễn bằng hình học các số phức không giải quyết thực sự vấn đề “cơ chế” của đối tượng số phức. Nói cách khác, “Số phức là gì?”, câu trả lời phải có bản chất đại số, chúng phải được xây dựng từ chính các số thực đã biết,[...], chứ không thể vay mượn từ một hình ảnh hình học thuần túy” ([2], trang 62). Số phức chính thức lấy “nghĩa” trong phạm vi đại số là nhờ những đóng góp to lớn của các nhà toán học như: Gauss (1777-1855), W.Hamilton (1805-1865) và Cauchy (1789 – 1857). Hamilton cho rằng có thể bắt đầu từ mặt phẳng để định nghĩa những cặp sắp thứ tự và mỗi số phức được đồng nhất với một cặp số thực có thứ tự (a, b) thỏa mãn : + Quan hệ đồng nhất : (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d + Phép cộng : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) + Phép nhân : (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc) Đây thực sự là một định nghĩa thuần túy đại số của số phức. Các quy tắc tính toán trên số phức được diễn đạt trên ngôn ngữ các thành phần là những số thực và đơn vị ảo i chỉ là một cặp số thực (0, 1). Gauss là người đầu tiên dùng thuật ngữ “số phức” và ông đã dùng kí hiệu a + bi để chỉ số phức. Đồng thời, ông cũng thành công trong việc chứng minh định lí cơ bản của đại số khẳng định trong trường số phức  mọi phương trình
Chương 1 13 đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường đại số mở rộng của trường số thực. Trường hợp của Cauchy, trong một công trình công bố năm 1847, ông đã chỉ ra rằng tập hợp số phức có thể được coi là vành thương của vành đa thức một ẩn X trên trường số thực chia cho iđean sinh bởi đa thức X2 + 1. “Với các kết quả đạt được, số phức không còn là những “đại lượng ảo” không có nghĩa, mà là những đối tượng đại số - những đối tượng trên đó có thể thực hiện các phép tính đại số” ([2], trang 62). Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là vai trò hình học của số phức mất đi. Trong định nghĩa nhân hai số phức của Hamilton, phép tính này vừa bảo toàn tính chất của các phép toán đại số trên tập số thực vừa giữ nguyên được ý nghĩa hình học đẹp đẽ mà Argand, Wessel,..đã chỉ ra trước đó. Hơn nữa, trong quá trình mở rộng kết quả tính toán cho bộ ba các số thực mà khó khăn lớn nhất là xây dựng tích của hai bộ ba thì việc trở lại với các tính chất hình học của phép nhân số phức đóng một vai trò quan trọng “Cuối cùng, chính bằng cách xem xét các tính chất hình học của phép nhân các số phức mà ông đã có một bước quyết định về khám phá các quaternions 2.” (Dorier, 1994 - dẫn theo [2], trang 63). Nhận xét : Số phức ra đời trong phạm vi đại số nhằm tìm nghiệm của phương trình bậc ba. Trong một khoảng thời gian dài số phức chỉ đóng vai trò là công cụ và được xem là số ảo, số tưởng tượng. Trong quá trình đi tìm sự hợp thức cho đối tượng này, các nhà toán học đã xem xét chúng trong những phạm vi khác nhau, có khi là hình học có khi là đại số. Chính sự thay đổi đó đã đem lại kết quả to lớn, không chỉ cung cấp “nghĩa” cho khái niệm số phức mà còn góp phần làm nảy sinh các đối tượng toán học mới như vectơ, quaternions. Về phương diện đại số, tuy các phép toán trên số phức được quy về tính toán trên những số thực nhưng phép nhân hai số phức lại ẩn chứa một vẻ huyền bí khó hiểu và do đó chúng cần đến sự giải thích trong phạm vi hình học. 2 Xem [2], trang 62, 63
Chương 1 14 Về phương diện hình học, mỗi số phức được biểu diễn bởi một vectơ, đơn vị ảo i chỉ đơn giản là một vectơ đơn vị nằm trên một trục vuông góc với trục thực Ox. Theo đó, phép cộng hai số phức được dẫn về phép cộng hai vectơ, phép nhân hai số phức được thực hiện bằng những phép dựng hình học dựa trên cơ sở lấy tổng các argumen và lấy tích các độ dài của hai vectơ tương ứng biểu diễn hai số phức đã cho. Biểu diễn hình học số phức và các khái niệm vectơ, argumen chính là những mắt xích trong sợi dây liên kết hai cách tiếp cận số phức với nhau. Đồng thời, chính sự tác động qua lại giữa hai cách tiếp cận này đã mang đến cho chúng ta một hệ thống số phức hoàn chỉnh về mặt toán học nhưng không hề ảo và trừu tượng. Qua đó, chúng ta đã phần nào thấy được vai trò của sự thay đổi phạm vi 3 đối với sự phát triển của một khái niệm toán học. Mối quan hệ giữa hai phạm vi này trong số phức còn được thể hiện ra sao và chúng có vai trò gì nữa hay không? Chúng tôi tiếp tục đi tìm sự giải đáp qua việc phân tích một vài giáo trình toán dùng ở bậc đại học. 2. Quan hệ giữa hình học và đại số của số phức trong các giáo trình toán ở bậc đại học Chúng tôi chỉ quan tâm đến hai cách tiếp cận số phức : - Tiếp cận đại số : mỗi số phức được xem là một biểu thức đại số và các phép toán trên số phức không khác gì những phép biến đổi đại số thông thường trên tập số thực. - Tiếp cận hình học : mỗi số phức là một điểm trên mặt phẳng. Khi đó, phép cộng và phép trừ hai số phức được quy về các phép toán trên vectơ, phép nhân hai số phức gắn liền với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong hình học. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn phân tích một giáo trình tiếp cận số phức bằng đại số và một giáo trình tiếp cận số phức bằng hình học. - Phan Bá Ngọc (1996), Hàm biến phức và phép biến đổi Laplaxaơ, NXB Giáo dục. 3 R.Douady, 1986 – dẫn theo [2], trang 64.