Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Bồi dưỡng năng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác và Tổ hợp cho học sinh Trung học phổ thông

Chia sẻ: Dilysstran Dilysstran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:97

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu ứng dụng của số phức trong việc giải các dạng toán về lượng giác và tổ hợp (còn gọi là “phương pháp số phức trong lượng giác và tổ hợp”). Xây dựng hệ thống bài tập chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán lượng giác và tổ hợp cho học sinh bằng phương pháp số phức góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Bồi dưỡng năng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác và Tổ hợp cho học sinh Trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Cung Thế Anh HÀ NỘI – 2015
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy giáo, Cô giáo Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã truyền đạt kiến thức cho tác giả, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian học cao học. Tác giả xin tỏ lòng biết chân thành tới PGS. TS. Cung Thế Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn này Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, các giáo viên, học sinh trường Trung học phổ thông Trung Văn, Hà Nội đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian đi học và làm luận văn tốt nghiệp. Xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, khích lệ, giúp đỡ để tác giả tập trung học tập. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 5 tháng 11 năm 2015 Tác giả Lê Thị Hà i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ ĐHSP Đại học sư phạm Nxb Nhà xuất bản THPT Trung học phổ thông tr. Trang ii
MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Danh mục các chữ viết tắt ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 1.Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3.Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Đối tượng nghiên cứu 2 5. Phạm vi nghiên cứu 2 6. Giả thuyết khoa học 3 7. Phương pháp nghiên cứu 3 8. Những đóng góp của luận văn 3 9. Cấu trúc luận văn 4 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5 1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán 5 1.1.1. Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông 5 1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán 6 1.1.3. Dạy học phương pháp giải bài toán 8 1.2. Lý luận về năng lực giải toán của học sinh 12 1.2.1. Nguồn gốc của năng lực 12 1.2.2. Khái niệm về năng lực, năng lực Toán học 13 1.2.3. Năng lực giải toán 15 1.2.4. Bồi dưỡng năng lực giải toán 17 1.3. Tình hình dạy học số phức và vấn đề bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp trong trường phổ thông 20 iii
1.3.1. Các nội dung Số phức trong chương trình Giải tích lớp 12 THPT 21 1.3.2. Thực trạng dạy học nội dung số phức ở trường THPT hiện nay 24 1.3.3. Sự cần thiết của việc dạy học ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp ở trường THPT 25 1.4. Kết luận Chương 1 26 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP 27 2.1. Định hướng sư phạm 27 2.2. Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp 27 2.2.1. Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác 27 2.2.2. Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để tính tổng các số Cnk 41 2.3. Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng số phức vào giải một số dạng toán lượng giác và tổ hợp 46 2.3.1. Định hướng xây dựng hệ thống bài tập 46 2.3.2. Hệ thống bài tập 48 2.4. Đề xuất hướng sử dụng chuyên đề 67 2.5. Kết luận chương 2 68 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 69 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 69 3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm 69 3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 69 3.2. Phương pháp thực nghiệm 69 3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm 70 3.3.1. Nội dung thực nghiệm 70 3.3.2. Tổ chức thực nghiệm 70 3.3.3. Nội dung giảng dạy chuyên đề và đề kiểm tra 72 iv
3.4. Kết quả của thực nghiệm sư phạm 79 3.4.1. Nhận xét, đánh giá qua thực nghiệm 79 3.4.2. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra 81 3.5. Kết luận chương 3 83 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 85 PHỤ LỤC 86 v
vi
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hiện nay, nội dung Số phức được đưa vào chương trình Toán THPT ở lớp 12 nhằm hoàn thiện việc xây dựng hệ thống số ở chương trình toán phổ thông và để phù hợp với thông lệ quốc tế. Tuy nhiên, vì là chương cuối cùng trong chương trình Giải tích 12 và việc giảng dạy vẫn theo lối cũ, chủ yếu là các khái niệm và các dạng toán cơ bản liên quan đến nội tại số phức, chưa quan tâm nhiều đến việc liên hệ với các nội dung khác trong chương trình, nên học sinh và có lẽ là cả phần lớn giáo viên không hiểu tại sao lại đưa nội dung số phức vào chương trình toán phổ thông. Sự tồn tại của số phức trong đời sống cũng khó hình dung hơn so với các loại số khác như số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực. Có lẽ rằng nếu nội dung số phức không phải là một câu hỏi thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi vào đại học thì nó đã không được chú trọng giảng dạy trên lớp. Chúng ta biết rằng số phức ra đời từ nhu cầu giải các phương trình đại số bậc cao và sau đó đã phát triển mạnh mẽ trở thành một chuyên ngành độc lập trong toán học gọi là Giải tích phức, nhờ đóng góp của những nhà toán học kiệt xuất như Euler, Gauss, Cauchy,... và ngày nay Giải tích phức đã trở thành một ngành có rất nhiều ứng dụng, trong cả toán học và trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác. Tất nhiên với trình độ của học sinh phổ thông, và có lẽ kể cả giáo viên toán ở phổ thông, khó có thể trình bày được hết ý nghĩa và tầm quan trọng của số phức. Tuy nhiên, với trình độ đó, ta có thể làm cho họ thấy ý nghĩa và ứng dụng của số phức như là một công cụ hữu hiệu để giải và sáng tác những bài toán phổ thông, từ những bài toán cơ bản đến những bài toán khó. Từ đó sẽ góp phần giúp việc giảng dạy và học tập nội dung số phức ở trường phổ thông hiệu quả hơn. Điều này cũng thể hiện tư tưởng dạy học tích hợp, một xu hướng tiên tiến trong dạy học hiện nay. 1
Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác và Tổ hợp cho học sinh Trung học phổ thông” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp. Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp cho học sinh THPT. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán: năng lực và năng lực giải toán. - Điều tra, tìm hiểu thực tiễn tiễn việc sử dụng số phức như một công cụ để giải toán lượng giác và tổ hợp ở THPT. - Nghiên cứu ứng dụng của số phức trong việc giải các dạng toán về lượng giác và tổ hợp (còn gọi là “phương pháp số phức trong lượng giác và tổ hợp”). - Xây dựng hệ thống bài tập chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán lượng giác và tổ hợp cho học sinh bằng phương pháp số phức góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT. -Trên cơ sở thực tế giảng dạy và thực nghiệm, rút ra các kết luận sư phạm và khuyến nghị về việc giảng dạy nội dung số phức trong chương trình Toán THPT và quan hệ của nó với các nội dung khác, nói riêng là với lượng giác và tổ hợp. 4. Đối tượng nghiên cứu Trên cơ sở lý luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy ứng dụng số phức trong giải toán lượng giác và tổ hợp. Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập nhằm rèn luyện và bồi dưỡng năng lực giải toán, phát triển tư duy sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh. 5. Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu việc phát triển năng lực ứng dụng của số phức trong lượng giác và tổ hợp. 2
6. Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng được một số chuyên đề ứng dụng của số phức để giải các bài toán lượng giác và tổ hợp, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm phù hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông. 7. Phương pháp nghiên cứu 7.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan dến đề tài luận văn. - Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và nước ngoài có liên quan đến bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp. 7.2. Phương pháp điều tra, quan sát - Phỏng vấn, điều tra thu thập ý kiến giáo viên về thực trạng việc dạy nội dung số phức và ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp. - Mẫu khảo sát: Học sinh lớp 12A1 trường THPT Trung Văn, Hà Nội; Giáo viên tổ toán trường THPT Trung Văn. 7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Dạy thực nghiệm và kiểm tra kết quả sau khi thi thực nghiệm. - Xử lý số liệu thu được từ bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu. 8. Những đóng góp của Luận văn - Trình bày cơ sở lý luận về dạy học bài tập toán, năng lực giải toán của học sinh. - Thực trạng về việc dạy học ứng dụng số phức trong giải toán lượng giác và tổ hợp ở THPT. - Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh bằng số phức góp phần rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT. 3
- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và giáo viên Toán ở các trường THPT, sinh viên toán ở các trường ĐHSP. 9. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày theo 3 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Xây dựng chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải một số dạng toán lượng giác và tổ hợp. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 4
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán 1.1.1. Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [8, tr. 82]. Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT như sau. 1.1.1.1. Mục đích Để đào tạo được những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội ngày nay, những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí tuệ, có khả năng lao động kĩ thuật cao,... trong các nhà trường THPT đã đặt ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo. Vì vậy, trong dạy toán nói chung, giải bài tập toán nói riêng cần xác định những mục đích cụ thể, sát thực. Có thể thấy rõ một số mục đích bài tập toán ở trường phổ thông là: - Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này. - Làm cho học sinh từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào 5
những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác. - Thông qua việc giải bài tập, học sinh khắc sâu các kiến thức đã học, biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thức mới đối với học sinh. Qua đó học sinh rèn luyện tư duy lôgic, sáng tạo, tính kiên trì, cần cù, chịu khó... . - Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới. 1.1.1.2. Vai trò của bài tập toán Toán học có vai trò lớn trong đời sống, khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp của toán học” [3,tr. 5]. Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa... Mặt khác, môn toán cũng rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo,… 1.1.1.3. Ý nghĩa Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học. Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về rất nhiều mặt. 1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán 1.1.2.1. Vị trí “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán 6
học. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [7, tr. 201]. 1.1.2.2. Các chức năng của bài tập toán Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,.... Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các chức năng đó là: - Chức năng dạy học; - Chức năng giáo dục; - Chức năng phát triển; - Chức năng kiểm tra, đánh giá. Các chức năng đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. - Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. - Chức năng giáo dục: Thông qua giải bài tập mà học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở bản thân học sinh và phẩm chất của con người lao động mới. - Chức năng phát triển: Bài tập giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy hình thành phẩm chất tư duy khoa học. - Chức năng kiểm tra: Bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá được mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá mức 7
độ tiếp thu tri thức, khả năng độc lập học toán và trình độ pháp triển của học sinh cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên. Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh, những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh. Qua đó có thể bổ sung, rèn luyện, và bồi dưỡng tiếp cho học sinh. 1.1.3. Dạy học phương pháp giải bài toán Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh. Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại: Loại 1: Loại có sẵn thuật toán. Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn. Yêu cầu cho học sinh là:  Nắm vững quy tắc giải đã học;  Nhận dạng đúng bài toán;  Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo. Loại 2: Loại chưa có sẵn thuật toán. Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh. Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán. Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thể thiếu trong dạy học giải toán. Theo G. Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. 8
Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và hơn nữa còn phải có hứng thú để giải bài toán đó. Vì thế giáo viên cần chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và hướng dẫn học sinh hiểu bài toán. Muốn vậy để tìm hiểu bài toán đã cho cần chú ý các yếu tố cơ bản sau: - Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, cái phải chứng minh. - Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để diễn tả đề bài. - Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn tả các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không? Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Yếu tố quan trọng khi giải được bài toán chính là việc xây dựng chương trình giải cho bài toán đó. Vì vậy khi thực hiện, chúng ta cần chú ý: - Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc. - Huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc...) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán sau đó lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm dự đoán kết quả. - Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh (phản chứng, qui nạp toán học...), toán quỹ tích.... Bước 3: Thực hiện chương trình giải. - Trình bày lại lời giải sau khi đã điều chỉnh ở Bước 2. Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. - Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải. - Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một bài toán nào đó. - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể). - Khai thác kết quả có thể có của bài toán. - Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hoá bài toán... 9
Như vậy, có thể nói “Quá trình học sinh học phương pháp chung để giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo” [9, tr. 423] . Sau đây là ví dụ sử dụng 4 bước giải bài toán của G.Polya để làm bài toán sau: Ví dụ 1: Tính các tổng sau: A  C2014 0  C2014 2  C2014 4  ...  C2014 2012  C2014 2014 ; B  C2014 1  C2014 3  C2014 5  ...  C2014 2011  C2014 2013 . Lời giải Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Giáo viên: Nhận xét về các số hạng trong tổng A, B? Học sinh: Các chỉ số chập của các số tổ hợp cách nhau hai đơn vị, các số hạng trong mỗi tổng đan dấu nhau và hai số hạng cách đều số hạng đầu và cuối có trị tuyệt đối bằng nhau. Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Giáo viên: Để tính các tổng A, B ta sử dụng khai triển nào? Học sinh: Khai triển (1  x)2014 theo công thức nhị thức Newton với x  i. Giáo viên: Sử dụng công thức nào về số phức để biến đổi khai triển đó thành dạng đại số a  bi(a, b ¡ ) ?. Học sinh: Sử dụng: i 4n  1, i 4n1  i, i 4n2  1, i 4n3  i(n ¥ ) . Giáo viên: Hãy nhận xét về phần thực và phần ảo của số phức thu được?. Học sinh: Kết quả thu được tổng A, B lần lượt là phần thực và phần ảo của khai triển đó. Bước 3: Thực hiện chương trình giải. 10
Xét khai triển 2014 . (1+x)2014 =C02014 +xC12014 +x 2C22014 +...+x 2014C2014 (*) Thay x  i vào khai triển trên, ta có (1+i)2014 =C02014 +iC12014 +i2C22014 +...+i2014C2014 2014 =  C02015 -C22015 +C42015 -...+C2012 2015  C2014    C2014 -C2014 +C2014 -...-C2014 +C2014  i . 2014 1 3 5 2011 2013 Mặt khác 2014 π π (1 +i)2014  ( 2)2014  cos  isin   4 4  2014π 2014π   ( 2)2014  cos + isin  4 4  = ( 2)2014  cos π  isin π   2 2  21007 i . So sánh phần thực và phần ảo của (1 + i )2014 trong hai cách tính trên ta được A  C2014 0  C2014 2  C2014 4  ...  C2014 2012  C2014 2014  0, B  C2014 1  C2014 3  C2014 5  ...  C2014 2011  C2014 2013  21007 . Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Giáo viên: Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải. Học sinh:…. Giáo viên: Có thể tính (1 +i)2014 theo cách khác không? Học sinh: Có thể biển đổi (1 +i)2014 như sau: (1 +i)2014  (1  i)2  1007  22007 i. Giáo viên: Nếu từ khai triển (*), nếu ta thay x lần lượt bởi 1 và -1 ta thu được kết quả gì? 2014 +C 2014  2 Học sinh: C02014 +C12014 +C22014 +...+C2013 2014 2014 , C02014 -C12014 +C2014 2 2013 -...-C2014 2014 +C2014  0. 11
Giáo viên: Lần lượt cộng và trừ vế với vế của hai hệ thức trên ta thu được gì? 2014 +C2014  2 Học sinh: C= C02014 +C22014 +...+C2012 2014 2013 , 2014 +C2014  2 D= C12014 +C32014 +...+C2011 2013 2013 . Giáo viên: Nếu lấy A+C, B+D ta thu được kết quả gì? Học sinh: .... Giáo viên: Từ đó ta có thể tạo ra nhiều bài toán mới như bài toán tính tổng trên. 1.2. Lý luận về năng lực giải toán của học sinh 1.2.1. Nguồn gốc của năng lực Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của năng lực, tài năng. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như về thực tiễn. Một là: Những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng lực). Hai là: Năng lực con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Mỗi một con người của thế hệ sau được sinh ra và phát triển trong thế giới tự nhiên và xã hội mà đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trường văn hóa - xã hội cho thế hệ sau. Có người khi đã sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được. Ba là: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh 12