BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
Chƣơng Hoa Anh
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA
MÔĐUN -MINIMAX
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
Chƣơng Hoa Anh
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA
MÔĐUN -MINIMAX
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM
Thành phố Hồ Chí Minh – 2015
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của
thầy giáo PGS.TS Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí
Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN-SĐH của
trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của
mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh
Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, GS.TS Bùi Xuân Hải và các quý
thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số
khóa 24 của trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh.
Cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Minh Trí (Đại học Đồng Nai) đã dành thời gian đọc
toàn bộ luận văn và cho tôi nhiều nhận xét, góp ý rất quí báu để luận văn được hoàn
thành tốt hơn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên,
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong
quá trình thực hiện luận văn.
Tp.HCM, ngày 1 tháng 9 năm 2015
Chương Hoa Anh
BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
Spec R : Tập các iđêan nguyên tố của vành R.
Ass(M) : Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M.
V() : Tập các iđêan nguyên tố (trong vành R cho trước) chứa iđêan .
: Tập tất cả các R-đồng cấu f : M ⟶ N. HomR(M, N)
Supp(M) : Giá của môđun M.
Gdim M : Chiều Goldie của môđun M.
: Chiều Goldie -tương đối của môđun M. GdimM
: Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan .
E(M) : Bao nội xạ của môđun M.
: Môđun con -xoắn của môđun M.
: Địa phương hóa của môđun M tại iđêan nguyên tố P. MP
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................... 3
1.1 Hàm tử Ext ..................................................................................................... 3
1.2 Địa phương hóa .............................................................................................. 5
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết và giá ..................................................................... 9
1.4 Hàm tử -xoắn .............................................................................................. 12
1.5 Môđun đối đồng điều địa phương ............................................................... 14
1.6 Bao nội xạ ..................................................................................................... 16
1.7 Số Bass ......................................................................................................... 20
Chƣơng 2: MÔĐUN -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE ..................................... 21
2.1 Chiều Goldie ................................................................................................ 21
2.2 Môđun minimax ........................................................................................... 22
2.3 Môđun -minimax ........................................................................................ 24
Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX ....... 32
3.1 Môđun -cominimax và đối đồng điều địa phương ................................... 32
3.2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết ................................... 36
KẾT LUẬN................................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 41
1
MỞ ĐẦU
Cho R là một vành Noether giao hoán, là iđêan của R, M là R-môđun hữu
hạn sinh. Một câu hỏi quan trọng trong đại số giao hoán được đưa ra là khi nào thì
tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i là
là hữu hạn. Brodmann và Lashgari [11, Định lý 2.2] đã chỉ ra rằng nếu cho
M là R-môđun hữu hạn sinh và một số nguyên không âm t sao cho các môđun đối
đồng điều địa phương là hữu hạn sinh. Khi đó,
là hữu hạn.
Theo [5] thì một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn ( ) nếu M
không chứa tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác không, hoặc bao nội xạ
E(M) của M được phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con không
phân tích được (nội xạ). Ngoài ra, một R-môđun M có chiều Goldie -tương đối
hữu hạn nếu chiều Goldie của môđun con -xoắn Γ(M ) của M là hữu hạn. Ta gọi
R-môđun M là -minimax nếu chiều Goldie -tương đối của bất kỳ môđun thương
trong M là hữu hạn.
Luận văn này sẽ trình bày khái niệm, tính chất của môđun -minimax (viết tắt
là -minimax) và cho thấy rằng kết quả của Brodmann và Lashgari ở trên vẫn đúng
cho lớp R-môđun -minimax. Cụ thể nội dung chính trong luận văn này là chúng
tôi sẽ chứng minh định lý sau đây:
Định lý 3.2.2. Cho R là vành giao hoán Noether, là một iđêan của R và M là
một R-môđun -minimax. Cho t là một số nguyên không âm sao cho là -
thì minimax với mọi i < t . Khi đó, với mọi R-môđun con -minimax N của
2
R-môđun là -minimax. Nói riêng, chiều Goldie của
là hữu hạn và do đó là hữu hạn.
Nội dung của luận văn bao gồm 3 chương, có thể tóm tắt như sau:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái niệm và một
số kết quả về hàm tử Ext, địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, hàm tử
-xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, bao nội xạ và số Bass.
Chƣơng 2: Môđun -minimax và chiều Goldie. Chương này trình bày khái
niệm về chiều Goldie, môđun -minimax và một số tính chất của môđun -
minimax, trong đó có tính chất quan trọng là Mệnh đề 2.3.3 được áp dụng để chứng
minh Định lý 3.2.2.
Chƣơng 3: Đối đồng điều địa phƣơng của môđun -minimax. Chương này
được chia 2 mục nhỏ là 3.1 và 3.2. Mục 3.1 trình bày khái niệm về môđun -
cominimax và một số tính chất của nó, trong đó có tính chất quan trọng là Hệ quả
3.1.6 được áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2. Mục 3.2 sẽ cho thấy rằng kết quả
của Brodmann và Lashgari trong [11, Định lý 2.2] vẫn đúng cho lớp R-môđun -
minimax, đây cũng là phần chính của luận văn này.
Trong Chương 1 thì vành R luôn là vành giao hoán, Chương 2 và Chương 3
thì vành R luôn là vành giao hoán Noether và có đơn vị khác không, là một iđêan
của R. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo iđêan được định nghĩa
n≥1
như sau:
Độc giả có thể tham khảo thêm trong [12, Định lý 1.3.8].
3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm, tính chất, mệnh đề
mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3, vành R trong chương này
luôn là vành giao hoán. Chúng tôi không chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh
đề, định lý ở chương này, độc giả có thể tham khảo thêm ở một số tài liệu [1], [2],
[3], [4], [7], [12], [15], [16].
1.1 Hàm tử Ext
Cho A, C là các R-môđun. Xét phép giải xạ ảnh của C
Phức thu gọn tương ứng của X là:
Ta có dãy nửa khớp sau:
trong đó các đồng cấu với mọi
Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này là:
đã được chỉ rõ, ta kí hiệu đơn giản hơn là Extn(C,A).
gọi là tích mở rộng n-chiều của môđun A bởi C, kí hiệu là Ext (C,A). Khi vành R
Mệnh đề 1.1.1. Cho A, C là các R-môđun. Khi đó
4
Ext0(C,A) ≅ Hom(C,A).
Mệnh đề 1.1.2. Tích mở rộng n-chiều Extn là hàm tử của hai biến, phản biến theo
biến thứ nhất và hiệp biến theo biến thứ hai. Nói riêng, (tương ứng
) là các hàm tử phản biến (tương ứng hàm tử hiệp biến) từ phạm trù các
môđun và các đồng cấu tới phạm trù Ab các nhóm Abel, với mọi môđun A (tương
ứng mọi môđun B).
Mệnh đề 1.1.3. Với mỗi R-môđun G và bất kì dãy khớp ngắn các R-môđun
ta luôn có các khớp dài sau:
Các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên (bên trái) tương ứng là 0 ⟶ Hom(C,G) = Ext0(C,G) (đối với dãy (1)) và 0 ⟶ Hom(G,A) = Ext0(G,A) (đối
với dãy (2)) và kéo dài về bên phải theo tất cả n = 0, 1, 2,….
Mệnh đề 1.1.4. Cho A là môđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây
là tương đương
(i) A là xạ ảnh.
(ii) với mọi môđun B trên vành R.
(iii) với mọi n > 0 và mọi môđun B trên vành R.
Mệnh đề 1.1.5. Cho B là môđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây
là tương đương
(i) B là nội xạ.
(ii) với mọi môđun A trên vành R.
5
(iii) với mọi n > 0 và mọi môđun A trên vành R.
Mệnh đề 1.1.6. Cho họ các môđun và R-môđun A. Khi đó, ta có đẳng cấu
Mệnh đề 1.1.7. Cho A và B là các R-môđun tùy ý,
là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là môđun xạ ảnh trên R. Khi đó ta có
Mệnh đề 1.1.8. Cho A và B là các R-môđun tùy ý,
là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó J là môđun nội xạ trên R. Khi đó ta có
1.2 Địa phƣơng hóa
Vành R ở đây là vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0.
Định nghĩa 1.2.1 ( Iđêan nguyên tố)
Iđêan P của R được gọi là nguyên tố nếu P ≠ R và với mọi x,y ∈ R, từ xy ∈
P suy ra hoặc x ∈ P hoặc y ∈ P.
Iđêan nguyên tố P của R được gọi là tối tiểu trên nếu nó là iđêan nguyên tố
thực sự nhỏ nhất chứa .
Định nghĩa 1.2.2. Một tập S ⊂ R được gọi là tập con nhân của R nếu S thỏa 2 tính
chất là: 1 ∈ S và với mọi x,y ∈ S thì xy ∈ S.
6
Giả sử S là tập con nhân của R. Trên tập ta định nghĩa quan hệ hai
ngôi ~ như sau: khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên . Kí hiệu tập thương là
. Kí hiệu lớp tương đương của phần tử là . Ta đặt
Với mọi , ta định nghĩa * Phép cộng (+) :
* Phép nhân (.) :
Khi đó ( R,+, .) là vành giao hoán có đơn vị, gọi là vành các thương của vành R
theo tập con nhân S.
Định nghĩa 1.2.3 (Địa phƣơng hóa của vành R)
Cho P là iđêan nguyên tố của vành R. Tập là tập con nhân của R. Ta
kí hiệu RP = R. Khi đó, vành RP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là
tập hợp và được gọi là địa phương hóa của vành R theo
iđêan nguyên tố P.
Định nghĩa 1.2.4 (Môđun các thƣơng)
Cho R-môđun M, S là tập con nhân của R. Trên tập ta định nghĩa quan
hệ hai ngôi ~ như sau: khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên . Kí hiệu tập
7
thương là . Kí hiệu lớp tương đương của phần tử là . Ta
đặt
,với mọi ta định nghĩa Với mọi
* Phép cộng (+) :
* Phép nhân (.) :
Khi đó là một -môđun gọi là môđun các thương của R-
môđun M theo tập con nhân S. Hiển nhiên cũng là một R-môđun với phép
nhân ngoài .
Định nghĩa 1.2.5 (Địa phƣơng hóa của R-môđun M)
Cho P là iđêan nguyên tố của vành R. Tập là tập con nhân của R. Ta
là địa phương hóa của vành R
kí hiệu và . Ta gọi RP và MP
và môđun M theo iđêan nguyên tố P.
Mệnh đề 1.2.6. Cho dãy khớp các R-môđun
và giả sử S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có dãy khớp các S -1R-môđun
sau:
8
Mệnh đề 1.2.7. Cho N là một môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng
nhân của R thì ta có đẳng cấu S-1R-môđun
Mệnh đề 1.2.8. Cho f : N ⟶ M và g : M ⟶ L là những đồng cấu R-môđun. Khi
đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) Dãy
là khớp
(ii) Dãy
là khớp với mọi iđêan nguyên tố P của R.
(iii) Dãy
là khớp với mọi iđêan cực đại của R.
Mệnh đề 1.2.9 (Tính bảo toàn tổng qua địa phƣơng hóa). Cho {Mi}i∈I là một họ
các môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có
Mệnh đề 1.2.10 (Tính bảo toàn tổng trực tiếp qua địa phƣơng hóa). Cho {Mi}i∈I
là một họ các môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó
ta có
9
Mệnh đề 1.2.9 (Tính bảo toàn giao hữu hạn qua địa phƣơng hóa). Cho
{M1,…,Mn} là một họ hữu hạn các môđun con của R-môđun M và S là một tập
đóng nhân của R. Khi đó ta có
Mệnh đề 1.2.10. Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R
thì là một -môđun Noether.
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết và giá
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là
iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M ( x ≠ 0 ) sao cho P = Ann(x).
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssRM. Nếu vành R được
chỉ rõ thì ta có thể kí hiệu đơn giản hơn là Ass(M) .
Giá của môđun M, kí hiệu: SuppRM = { P ∈ Spec R | MP ≠ 0 }. Nếu vành R
được chỉ rõ thì ta có thể kí hiệu đơn giản hơn là Supp(M).
Đặt V() = { P ∈ Spec R | ⊆ P } là tập các iđêan nguyên tố trong R chứa .
Nếu R là vành Noether và là một iđêan của R thì Supp(R / ) = V().
Mệnh đề 1.3.2. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và là một
iđêan của R. Khi đó Supp(M ) ⊂ V() khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho
kM = 0.
Định lý 1.3.3. Cho M là một R-môđun và là một iđêan của R. Khi đó, ta có:
(i) M ≠ 0 khi và chỉ khi Supp(M ) ≠ ∅.
(ii) V() = Supp(R / ).
10
(iii) Nếu M = Σ Mi thì Supp(M ) = ∪ Supp(Mi ) .
(iv) Nếu M là hữu hạn sinh thì Supp(M ) = V(Ann(M )).
Mệnh đề 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, là một iđêan bất kì của R,
khi đó:
Supp(M / M ) = V(+AnnM ).
Định lý 1.3.5. Cho R là vành Noether, M là R-môđun khác 0. Khi đó:
(i) Phần tử tối đại của F = {Ann(x) | 0 ≠ x ∈ M } là iđêan nguyên tố liên kết
của M. Hay AssRM ≠ ∅.
(ii) Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết
của M.
Mệnh đề 1.3.6. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là
một R-môđun bất kỳ. Khi đó :
Ass(HomR(M, N )) = Supp(M ) ∩ Ass(N ).
Mệnh đề 1.3.7. Cho M, N, P là các R-môđun và dãy khớp ngắn
0 ⟶ M ⟶ N ⟶ P ⟶ 0.
Khi đó, ta có:
(i) Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P).
(ii) Supp(N ) = Supp(M ) ∪ Supp(P).
Mệnh đề 1.3.8. Cho R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi
đó, ta có:
(i) AssRM là tập hữu hạn.
(ii) AssRM ⊂ Supp(M).
11
(iii) Tập các phần tử tối tiểu của AssRM và Supp(M) trùng nhau.
Mệnh đề 1.3.9. Nếu N là một môđun con của một R-môđun M thì
Ass(N ) ⊆ Ass(M ).
Mệnh đề 1.3.10. Cho M là một R-môđun. Khi đó ta có các khẳng định sau đây:
(i) Nếu M = 0 thì Ass(M) = ∅.
(ii) Nếu M ≠ 0 và R là vành Noether thì Ass(M) ≠ ∅.
) = {P}. (iii) Nếu P là một iđêan nguyên tố của vành R thì AssR(
Mệnh đề 1.3.11. Nếu có một dãy lồng nhau các môđun con của M
,
thì
Mệnh đề 1.3.12. Cho M là một R-môđun Artin khi đó là tập hữu hạn.
Định lý 1.3.13. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R,
. Khi đó tồn tại một dãy các môđun con
và một họ các iđêan nguyên tố của R sao cho
với mọi , đồng thời
Định lý 1.3.15. Cho là một họ tùy ý các R-môđun với I là một tập khác
rỗng. Khi đó
12
1.4 Hàm tử -xoắn
Cho là một iđêan của vành giao hoán R. Với m i R-môđun M, ta đặt:
Trong đó: , môđun được gọi là môđun -xoắn
của R-môđun M. Chú ý rằng là môđun con của M.
Mệnh đề 1.4.1. Gọi f : M ⟶ N là một đồng cấu giữa các R-môđun. Khi đó
Do đó ta có đồng cấu
là thu hẹp của f trên .
Khi đó, là một hàm tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù các R-môđun vào
chính nó, và còn được gọi là hàm tử -xoắn. Thật vậy, nếu
là các đồng cấu R-môđun và r ∈ R, ta kiểm tra được
,
(IdM là ánh xạ đồng nhất từ M vào M )
Mệnh đề 1.4.2. Cho , là các iđêan của vành R. Với mỗi R-môđun M, ta có
13
khi và chỉ khi Mệnh đề 1.4.3. Cho , là các iđêan của vành R. Khi đó,
.
Mệnh đề 1.4.4. Cho R là vành Noether, là một iđêan của R, M là một R-môđun.
Khi đó, ta có :
(i) và
(ii) Nếu thì
Định nghĩa 1.4.5. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, là iđêan khác không của R
và M là R-môđun. Ta nói M là -xoắn tự do nếu và M là -xoắn khi
Γ(M) = M.
Mệnh đề 1.4.6. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, là một iđêan khác không của
R. Khi đó với mỗi R-môđun M, ta có: .
Mệnh đề 1.4.7. Nếu M là R-môđun nội xạ thì cũng là R-môđun nội xạ.
Mệnh đề 1.4.8. Cho I là một R-môđun nội xạ thì dãy khớp
là dãy chẻ.
Mệnh đề 1.4.9. Cholà một iđêan của vành Noether R. Cho M là một R-môđun -
xoắn. Khi đó tồn tại một đơn cấu i : M ⟶ I sao cho I là môđun nội xạ và là môđun
-xoắn.
Mệnh đề 1.4.10. Với là iđêan của R và với bất kỳ dãy khớp ngắn các R-môđun
14
Dãy sau đây là khớp
.
Mệnh đề 1.4.11. Cho M là một R-môđun. Khi đó, ta có:
(i)
(ii)
1.5 Môđun đối đồng điều địa phƣơng
Định nghĩa 1.5.1 (Các hàm tử đối đồng điều địa phƣơng)
Với mỗi i ∈ ℕ, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ được kí hiệu là
được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với iđêan .
Với mỗi R-môđun M, ta gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i
của M theo iđêan .
Mệnh đề 1.5.2. Cho R là vành giao hoán Noether, là iđêan của R và dãy khớp
ngắn Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng
điều địa phương
Mệnh đề 1.5.3. Với mọi nhóm giao hoán G và với mọi a ∈ ℤ, ta có:
với mọi i ≥ 2.
n≥1
Định lý 1.5.4. Với mọi R-môđun M và với mọi i ∈ ℕ, ta có
15
Mệnh đề 1.5.5. Cho M là một R-môđun -xoắn. Khi đó, tồn tại một phép giải nội
trong đó xạ của M : là R-môđun -xoắn với mọi
Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành giao hoán Noether, là iđêan của R, M là R-môđun.
với mọi Khi đó, nếu M là -xoắn thì
Mệnh đề 1.5.7.
(i) Với mỗi R-môđun N thì với mọi
(ii) Với mỗi R-môđun N thì toàn cấu chiếu cảm sinh các
đẳng cấu
. với mọi
Mệnh đề 1.5.8. Cho M là một R-môđun -xoắn và một phép giải nội xạ của M
.
Khi đó phức
cũng là một phép giải nội xạ của M.
Mệnh đề 1.5.9. Cho , là hai iđêan của vành giao hoán R và M là một R-môđun
-xoắn. Khi đó, ta có đẳng cấu
với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.5.10. Cho là iđêan của vành giao hoán Noether R, M là R-môđun.
với mọi Nếu được sinh bởi t phần tử thì
16
là Artin. Khi đó, M là Mệnh đề 1.5.11. Cho M là một R-môđun -xoắn và
Artin.
Mệnh đề 1.5.12. Cho (R,) là vành giao hoán địa phương và M là một R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó là Artin với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.5.13. Cho là Artin và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó
là Artin với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.5.14. Nếu M là R-môđun nội xạ thì với mọi .
Mệnh đề 1.5.15. Cho là một iđêan của vành Noether R, cho n ∈ ℕ và M là một R-
môđun. Khi đó, môđun đối đồng điều là môđun -xoắn.
1.6 Bao nội xạ
Định nghĩa 1.6.1 (Mở rộng cốt yếu).
(i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một R-môđun không tầm
thường M, nếu M ⊆ E và với mỗi môđun con khác không N của E thì ta
luôn có N ∩ M ≠ 0.
(ii) Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M được gọi là mở rộng cốt yếu cực đại
của M, nếu mọi mở rộng thực sự E’ của E không thể là mở rộng cốt yếu của
M.
Ta có một số nhận xét:
1) Rõ ràng m i môđun luôn là một mở rộng cốt yếu của chính nó. Ngoài ra
của M và M là một mở rộng cốt yếu của N thì E là một mở rộng cốt yếu của
khái niệm mở rộng cốt yếu còn có tính chất: Nếu E là một mở rộng cốt yếu
N.
17
2) E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi với m i phần tử 0
≠ x ∈ E luôn tồn tại phần tử a ∈ R sao cho 0 ≠ ax ∈ M.
3) Cho và là những R-môđun. Giả sử ta có biểu đồ sau là
≅ ≅
giao hoán
trong đó j và là các phép nhúng tự nhiên. Khi đó dễ dàng suy ra được
rằng, nếu E là mở rộng cốt yếu của M thì cũng là một mở rộng cốt yếu
của .
Mệnh đề 1.6.2. Cho là một họ các R-môđun. Giả sử với mỗi i ∈ I, Ei là một
là một mở rộng cốt yếu của . mở rộng cốt yếu của Mi . Khi đó
Định lý 1.6.3. Cho E là một R-môđun. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) E là R-môđun nội xạ.
(ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức nếu là một mở rộng cốt
yếu của E thì .
Định nghĩa 1.6.4 (Bao nội xạ). Cho M là R-môđun. Một R-môđun E được gọi là
bao nội xạ của M, nếu E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M. Kí
hiệu là E(M ).
Định lý 1.6.5. Cho E là một mở rộng của R-môđun M. Khi đó các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) E là một bao nội xạ của M.
(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.
18
Mệnh đề 1.6.6. Mỗi R-môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, giả sử E
và sao là những bao nội xạ của M, khi đó tồn tại một R-đẳng cấu f : E ⟶
cho f(x) = x với mọi x ∈ M.
Nhận xét: R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi E(M ) = M.
Hệ quả 1.6.7. Cho f : M ⟶ N là một R-đẳng cấu và i : M ⟶ E(M ) , j : N ⟶ E(N )
là các phép nhúng tự nhiên của chúng vào bao nội xạ tương ứng. Khi đó tồn tại
f g
đẳng cấu g : E(M ) ⟶ E(N ) sao cho biểu đồ sau giao hoán
tức goi = jof .
Mệnh đề 1.6.8. Với mỗi R-môđun M cho trước, luôn tồn tại dãy khớp dài các R-
môđun.
trong đó E0 = E(M ), E1 = E(E0/Imε), Ei = E(Ei-1/Imfi-2) với mọi i ≥ 2.
Một dãy khớp như trên được gọi là phép giải nội xạ cực tiểu của M. Hơn nữa, phép
giải nội xạ là xác định duy nhất sai khác đẳng cấu. Tức, nếu
là một phép giải nội xạ cực tiểu khác của M, khi đó tồn tại những R-đẳng cấu
với mọi i ≥ 0, nghĩa là làm cho với mọi i ≥ 0, sao cho
biểu đồ sau là giao hoán
19
1M δ0 δ1 δ2
Định nghĩa 1.6.9. Một R-môđun khác không M được gọi là không phân tích được,
nếu M chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là 0 và M.
Mệnh đề 1.6.10. Cho R là vành Noether và , khi đó
(i) là không phân tích được.
(ii) Mọi môđun nội xạ không phân tích được đều đẳng cấu với một
trong Q ∈ SpecR.
(iii) Nếu thì phép nhân với x cảm sinh một tự đẳng cấu của
. (iv) Nếu P ≠ Q thì
đều bị linh hóa bởi một lũy thừa của P. (v) Mỗi phần tử x ∈
(vi) Nếu Q ⊂ P thì là một RP-môđun và
Mệnh đề 1.6.11. Cho E là một R-môđun nội xạ khác không. Khi đó, E không phân
tích được khi và chỉ khi E là bao nội xạ của mọi R-môđun con khác không của E.
Mệnh đề 1.6.12. Cho M là môđun trên vành Noether R và là một iđêan nguyên tố
tùy ý của R. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của (i)
(ii)
Mệnh đề 1.6.13. Mọi môđun nội xạ trên vành Noether luôn phân tích được thành
tổng trực tiếp những môđun nội xạ không phân tích được.
20
1.7 Số Bass
Ở mục này, chúng tôi chỉ nói sơ qua về định nghĩa và một tính chất cơ bản của
số Bass chủ yếu để độc giả có thể hiểu rõ hơn Định nghĩa 2.1.1 và Nhận xét 2.1.4
trong Chương 2. Độc giả có thể tìm hiểu thêm về một số tính chất của số Bass
trong [9], [12], [13].
Định nghĩa 1.7.1. Cho R là vành Noether và M là R-môđun và là phép giải
nội xạ cực tiểu của M. Khi đó
trong đó: với
được gọi là số Bass thứ i của M đối với iđêan nguyên tố .
Chú ý rằng khi i = 0 thì
Mệnh đề 1.7.2. [9, Bổ đề 2.7]. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh trên vành giao
hoán Noether thì với mọi và
21
Chƣơng 2: MÔĐUN -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE
Trong cả chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether.
2.1 Chiều Goldie
Định nghĩa 2.1.1 (Chiều Goldie). Với mỗi R-môđun M, chiều Goldie của M được
định nghĩa chính là số các môđun con không phân tích được (nội xạ) của E(M)
trong sự phân tích E(M) thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích
được (nội xạ) đó. Kí hiệu: GdimM.
Từ định nghĩa trên ta có thể viết:
trong đó
là số Bass thứ 0 của M đối với iđêan nguyên tố . Chiều Goldie của R-môđun M được gọi là hữu hạn nếu GdimM < ∞ và vô hạn nếu
GdimM = ∞.
Định nghĩa 2.1.2 (Chiều Goldie -tƣơng đối). Cho là iđêan của R và R-môđun
M, chiều Goldie -tương đối của M được định nghĩa là
Chiều Goldie -tương đối của M được gọi là hữu hạn nếu GdimM < ∞ và vô hạn
nếu GdimM = ∞ .
Mệnh đề 2.1.3. Cho là một iđêan của R, M là một R-môđun và Γ(M) là môđun
con -xoắn của M. Khi đó
GdimM = GdimΓ(M).
22
Chứng minh:
Cho là một iđêan nguyên tố của R. Theo Mệnh đề 1.6.10 thì m i phần tử của
được linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của và với m i phần tử r ∈ R \
thì phép nhân với r sẽ cảm sinh một đẳng cấu của Ngoài ra, nếu ⊆ thì
là -xoắn, ngược lại thì là -xoắn tự do.
Mặt khác , dễ thấy là một mở rộng
là một R-môđun nội xạ (theo Mệnh đề cốt yếu của Γ(M). Ngoài ra
1.4.7), do đó ≅ E(Γ(M)). Suy ra
. ∎
Nhận xét 2.1.4.
(i) Nếu = 0 thì GdimM = GdimM .
(ii) Nếu M là R-môđun Noether thì GdimM < ∞.
Chứng minh:
(i) Nếu = 0 thì Γ(M) = M, theo Mệnh đề 2.1.3 thì GdimM = GdimΓ(M) =
GdimM.
(ii) Nếu M là R-môđun Noether thì M cũng là R-môđun hữu hạn sinh do đó từ
Mệnh đề 1.3.8 và Mệnh đề 1.7.2 thì ta suy ra GdimM < ∞. ∎
2.2 Môđun minimax
Trong bài báo [19], H.Z chinger đã giới thiệu một lớp môđun minimax được
định nghĩa như sau:
23
Định nghĩa 2.2.1. Một R-môđun K được gọi là môđun minimax nếu tồn tại một
môđun con hữu hạn sinh L của K sao cho là môđun Artin.
Từ định nghĩa ta suy ra rằng lớp các môđun minimax chứa tất cả các môđun
hữu hạn sinh và tất cả các môđun Artin. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của lớp
các môđun minimax.
Mệnh đề 2.2.2. Cho R là một vành Noether và cho
là dãy khớp các R-môđun. Khi đó N là minimax khi và chỉ khi và cùng là
minimax.
Chứng minh:
Ta có thể giả sử là môđun con của N và . Nếu N là minimax
thì từ định nghĩa ta có thể suy ra ngay rằng và là minimax. Giả sử
và là minimax, khi đó tồn tại môđun con hữu hạn sinh T của sao cho
là Artin. Đặt và Ta có dãy khớp
trong đó là Artin và là minimax (lưu ý rằng ). Bây
giờ, vì là minimax nên từ định nghĩa suy ra tồn tại môđun con hữu hạn
sinh của là Artin. Vì hữu hạn sinh nên tồn
sao cho tại môđun con hữu hạn sinh K của L sao cho Khi đó vì
ta suy ra rằng là Artin. Do đó từ dãy khớp
24
kéo theo rằng là Artin. Đặc biệt từ đó suy ra M là minimax. Vì
và K là môđun con của M, nên tồn tại môđun con S của N sao cho . Vì T
và K là hữu hạn sinh, nên S hữu hạn sinh. Như vậy
là Artin. Từ đó suy ra N là minimax. ∎
Hệ quả 2.2.3.
(i) Môđun thương và môđun con của R-môđun minimax là R-môđun minimax.
(ii) Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun minimax là R-môđun
minimax.
Chứng minh:
(i) Giả sử M là một R-môđun minimax, N là một môđun con bất kỳ của M. Khi
đó ta có dãy khớp ngắn
.
Áp dụng Mệnh đề 2.2.2 ta suy ra N và là R-môđun minimax.
(ii) Giả sử , trong đó Mi là R-môđun minimax với mọi i. Bằng
phương pháp quy nạp ta thấy rằng chỉ cần chứng minh cho trường hợp n =
2. Với n = 2 thì ta có dãy khớp ngắn
Áp dụng Mệnh đề 2.2.2 thì là minimax. ∎
2.3 Môđun -minimax
Ngoài Định nghĩa 2.2.1 về môđun minimax ở trên, trong bài báo [18] và [20]
thì môđun minimax còn được định nghĩa như sau: “Cho R là vành Noether, một
25
môđun là minimax khi và chỉ khi chiều Goldie của mọi môđun thương trong nó đều
hữu hạn”. Từ điều này, trong [8] J.Azami, R.Naghipour và B.Vakili đã định nghĩa
một lớp môđun -minimax sau:
Định nghĩa 2.3.1. Cho là một iđêan của R. Một R-môđun M được gọi là -
minimax (minimax theo iđêan ) nếu chiều Goldie -tương đối của bất kỳ môđun
thương trong M là hữu hạn, nghĩa là với bất kỳ môđun con N trong M thì
.
Từ định nghĩa của môđun -minimax, ta rút ra một số nhận xét cơ bản sau đây:
Nhận xét 2.3.2. Cho là một iđêan của R và M là một R-môđun, khi đó:
(i) Nếu = 0 thì M là -minimax khi và chỉ khi M là minimax.
(ii) Nếu M là -xoắn thì M là -minimax khi và chỉ khi M là minimax.
(iii) Nếu M là Noether thì M là -minimax.
(iv) Nếu là một iđêan của R sao cho và M là -minimax thì M là -
minimax. Nói riêng, mỗi môđun minimax là -minimax.
Chứng minh:
(i) Nếu = 0 thì GdimM = GdimM (Nhận xét 2.1.4) và do GdimM hữu hạn
(M là -minimax) nên GdimM cũng hữu hạn. Ta suy ra M là minimax.
Ngược lại, giả sử M là minimax. Nếu = 0 thì Γ(M) = M nên Γ(M) là
minimax, do đó GdimΓ(M) hữu hạn nên từ Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra
GdimM hữu hạn. Vậy M là -minimax.
(ii) Giả sử M là minimax và Γ(M) = M. Từ Mệnh đề 2.1.3, ta có
GdimM = GdimΓ(M) = GdimM < ∞.
Do đó M là -minimax.
26
Ngược lại thì cũng chứng minh tương tự.
(iii) Nếu M là R-môđun Noether thì Γ(M) cũng là R-môđun Noether, nên từ
Nhận xét 2.1.4 thì GdimΓ(M) < ∞. Do đó từ Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra
GdimM < ∞. Vậy M là -minimax.
(iv) Do nên , từ giả thiết M là -minimax, ta có:
Vậy M là -minimax.
Nói riêng, nếu N là một R-môđun minimax bất kỳ thì từ (i) ta có N là một
0-minimax. Mặt khác, nên từ chứng minh trên, ta suy ra N là -
minimax. Vậy m i môđun minimax đều là -minimax. ∎
Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh một mệnh đề quan trọng của môđun -
minimax. Mệnh đề này sẽ được sử dụng nhiều trong luận văn này, mà chủ yếu là
ứng dụng nó để rút ngắn chứng minh định lý chính của luận văn này.
Mệnh đề 2.3.3: Cho là một iđêan của R và dãy khớp ngắn các R-môđun
và Khi đó, M là -minimax khi và chỉ khi đều là -minimax.
Chứng minh:
Ta xem là một môđun con của M và . Nếu M là -minimax,
và từ định nghĩa của môđun -minimax ta dễ dàng suy ra được
minimax. Giả sử và là - đều là -minimax, cho N là một môđun con bất kỳ
trong M và cho Khi đó ta có dãy khớp ngắn
27
cảm sinh dãy khớp
trong đó: .
Mặt khác, ta có .
Trong đó đều hữu hạn nên ta và
suy ra và do đó từ định nghĩa suy ra M là -minimax. ∎
Từ định nghĩa của môđun -minimax và áp dụng Mệnh đề 2.3.3 ta có Hệ quả
2.3.4 sau, hệ quả này dùng để rút ngắn chứng minh một số kết quả quan trọng được
trình bày trong luận văn này.
Hệ quả 2.3.4. Cholà một iđêan của R. Khi đó
(i) Môđun thương và môđun con của môđun -minimax là môđun -minimax.
(ii) Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun -minimax là môđun -minimax.
Chứng minh:
(i) Cho M là R-môđun -minimax và N là một môđun con bất kỳ của M. Khi đó,
ta có dãy khớp ngắn sau:
Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 thì ta suy ra N và là R-môđun -minimax.
28
(ii) Giả sử , trong đó Mi là -minimax với mọi i. Bằng phương pháp
quy nạp ta thấy rằng chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 2. Với n = 2 thì ta có
dãy khớp ngắn
Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 thì là -minimax. ∎
Hệ quả 2.3.5. Cho là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N
và đều là R-môđun là một R-môđun -minimax. Khi đó,
và đều là các R- -minimax với mọi i. Nói riêng,
môđun -minimax với mọi i.
Chứng minh:
Khi R là Noether và M là hữu hạn sinh, giả sử M có một phép giải tự do sau :
trong đó, các môđun tự do Fi đều có hạng hữu hạn với mọi i ≥ 0.
Như vậy, là môđun thương của môđun tổng
trực tiếp các bản sao của N. Từ Hệ quả 2.3.4 ta suy ra là -minimax
với mọi . Tương tự, ta cũng suy ra .∎ là -minimax với mọi
Mệnh đề 2.3.6. Cho là một iđêan của R và M là một R-môđun -minimax sao cho
. Khi đó, . là -minimax với mọi
Chứng minh :
29
Nếu i = 0, thì là môđun con của M, áp dụng Mệnh đề 2.3.3,
ta suy ra và là -minimax. Mặt khác, do
ta suy ra . Do đó, theo Mệnh đề 1.5.7 (i) thì
với mọi i > 0. Vậy ta suy ra . ∎ là -minimax với mọi
Định lý 2.3.7. Cho là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N
là một R-môđun tùy ý. Cho t là một số nguyên không âm sao cho là -
minimax với mọi . Khi đó, với mọi R-môđun hữu hạn sinh L thỏa Supp L ⊆
Supp M thì . là -minimax với mọi
Chứng minh:
Từ giả thiết Supp L ⊆ Supp M, ta áp dụng định lý Gruson [17, Định lý 4.1] thì
luôn tồn tại một chu i hữu hạn
trong đó các nhân tố là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn các bản
sao của M. Bằng cách sử dụng các dãy khớp ngắn thích hợp, ta có thể quy về
trường hợp k = 1. Khi đó, có một dãy khớp ngắn
(*)
với n ∈ ℕ và R-môđun K hữu hạn sinh.
Bây giờ, ta chứng minh định lý bằng phép quy nạp trên t. Thật vậy với t = 0,
do là một môđun con của nên từ giả thiết và Hệ quả
, ta giả sử 2.3.4 ta suy ra là -minimax. Với
30
và với mọi R-môđun hữu hạn sinh là -minimax với mọi
thỏa . Từ dãy khớp ngắn (*) sẽ cảm sinh ra dãy khớp dài
Do giả thiết quy nạp nên ta có . Mặt khác, là -minimax với mọi
theo Hệ quả 2.3.4 thì là -minimax. Ta áp dụng
Mệnh đề 2.3.3 suy ra là -minimax với mọi ∎
Hệ quả 2.3.8. Cho là một iđêan của R, và cho t là số nguyên không âm. Khi đó,
với mọi R-môđun M thì các điều kiện sau là tương đương:
(i) là -minimax với mọi
(ii) Với mọi iđêan của R chứa thì là -minimax với mọi
(iii) Với mọi R-môđun hữu hạn sinh N thỏa SuppN ⊆ V() thì là -
minimax với mọi
(iv) Với mọi iđêan nguyên tố tối tiểu trên thì là -minimax
với mọi
Chứng minh:
Dễ thấy từ (i) ta suy ra được (iii), từ (iii) ta suy ra (ii) và từ (ii) ta cũng suy ra
được (iv). Do đó, ta chỉ cần chứng minh từ (iv) ta suy ra được (i). Giả sử
là các iđêan nguyên tố tối tiểu của , theo giả thiết thì các R-môđun
. Theo Hệ quả 2.3.4, là các -minimax với mọi
31
là -minimax. Mặt khác
nên từ Định lý 2.3.7 ta suy ra rằng là -minimax.∎
32
Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA
MÔĐUN -MINIMAX
Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether.
3.1 Môđun -cominimax và đối đồng điều địa phƣơng
Cho R là vành Noether, là một iđêan của R và M là một R-môđun. M được
là R-môđun gọi là -cofinite nếu thỏa điều kiện Supp M ⊂ V() và
hữu hạn sinh với mọi i (độc giả có thể tham khảo thêm trong [14]). Từ định nghĩa
của lớp các môđun -cofinite và môđun -minimax ở trên, trong [8] J.Azami,
R.Naghipour và B.Vakili đã cho một định nghĩa về mối liên quan giữa 2 lớp môđun
đó, đó là định nghĩa về lớp các môđun -cominimax.
Định nghĩa 3.1.1. Cho R là vành Noether và là một iđêan của R. M được gọi là
R-môđun -cominimax nếu thỏa điều kiện Supp M ⊆ V() và là -
. minimax với mọi
Ví dụ 3.1.2.
(i) Cho là một iđêan của R và M là một R-môđun -minimax thỏa
. Khi đó, áp dụng Hệ quả 2.3.5 ta suy ra M là -cominimax. Nói
riêng, mọi R-môđun minimax với giá nằm trong V() đều là -cominimax.
(ii) Với là một iđêan của R thì mọi R-môđun -cofinite đều là -cominimax. Nói
riêng, mọi môđun Noether với giá trong V() đều là -cominimax.
Mệnh đề 3.1.3. Cho là một iđêan của R và dãy khớp ngắn các R-môđun
33
trong đó hai trong số các môđun , M, là -cominimax. Khi đó, tất cả 3
môđun , M, đều là -cominimax .
Chứng minh: Dãy khớp
cảm sinh nên dãy khớp dài
Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 ở trên, ta có điều phải chứng minh. ∎
Hệ quả 3.1.4. Cho là một iđêan của R. Cho f : M ⟶ N là đồng cấu giữa hai môđun -cominimax sao cho một trong ba môđun Kerf, Imf và Cokerf là -
cominimax. Khi đó, cả ba môđun đó đều là -cominimax.
Chứng minh: Ta có các dãy khớp sau:
Sau đó, áp dụng Mệnh đề 3.1.3 ta có điều cần chứng minh. ∎
Mệnh đề 3.1.5. Cho là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun sao cho
và có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó, M có chiều Goldie
hữu hạn.
Chứng minh:
, áp dụng định Từ giả thiết 0:M có chiều Goldie hữu hạn và
lý Bourbaki [13, Bài tập 1.2.27] ta suy ra là hữu hạn. Mặt khác, với mọi
thì có đẳng cấu
34
với không gian vector, . Vì vậy là hữu hạn, suy ra
. ∎
Từ Mệnh đề 3.1.5 ta có ngay hệ quả sau:
Hệ quả 3.1.6. Cho là một iđêan của R và M là một R-môđun -cominimax. Khi
đó, M có chiều Goldie hữu hạn. Nói riêng, tập các iđêan nguyên tố liên kết của M
là hữu hạn.
Mệnh đề 3.1.7. Cho là một iđêan của R. Cho M là một R-môđun sao cho
là -cominimax với mọi i. Khi đó, là -minimax với mọi i.
Chứng minh:
Trường hợp thì mệnh đề luôn đúng. Với , ta quy nạp theo i. Ta có
thể xem . Thật vậy, đặt . Khi đó ta có dãy khớp dài
và các đẳng cấu với mọi i > 0.
Theo Mệnh đề 2.3.3, ta giả sử M là -xoắn tự do. Gọi E là bao nội xạ của M
và đặt . Khi đó, và nên ta suy ra các
đẳng cấu và với mọi . Do
đó ta được điều phải chứng minh. ∎
35
Mệnh đề 3.1.8. Cho là một iđêan của R và M là một R-môđun sao cho
là -minimax với mọi i. Nếu t là số nguyên không âm sao cho
thì là -cominimax với mọi là -cominimax.
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo t. Đặt thì và
. Nếu , theo giả thiết thì với mọi là -
cominimax với mọi i. Áp dụng Mệnh đề 3.1.7 thì là -minimax với
, giả sử mệnh đề đúng cho . Với mọi i, do đó là -cominimax. Với
là -cominimax và từ dãy khớp dài cảm sinh
cho phép chúng ta giả sử rằng M là -xoắn tự do. Gọi E là bao nội xạ của M và đặt
. Khi đó, và , do đó ta được các đẳng cấu
và , với mọi . Giả thiết
quy nạp được áp dụng cho L với là -cominimax. Do đó ta được điều phải
chứng minh. ∎
Hệ quả 3.1.9. Cho là một iđêan của R và M là một R-môđun -minimax. Nếu t là
số nguyên không âm sao cho thì là -cominimax với mọi là -
cominimax.
Chứng minh: Hệ quả này được suy ra từ Hệ quả 2.3.5 và Mệnh đề 3.1.8. ∎
36
Hệ quả 3.1.10. Cho là một iđêan chính của R và M là một R-môđun -minimax.
Khi đó . là -cominimax với mọi
Chứng minh:
Với là môđun con của M, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 và Ví dụ 3.1.2 (i) ta
suy ra với mọi . Áp dụng Hệ là -cominimax. Ngoài ra,
quả 3.1.9 ta có điều phải chứng minh. ∎
3.2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết
Ở đây chúng tôi chủ yếu là áp dụng các kết quả đã chứng minh ở trên để
chứng minh tính hữu hạn này. Cụ thể tính hữu hạn này được trình bày ở định lý
3.2.2. Đây cũng chính là phần khái quát hóa kết quả của Brodmann và Lashgari cho
lớp môđun -minimax. Để độc giả có thể dễ nắm được cách chứng minh, chúng tôi
sẽ chứng minh ý quan trọng trước là Định lý 3.2.1, sau đó là áp dụng trực tiếp Định
lý 3.2.1 vào chứng minh Định lý 3.2.2.
Định lý 3.2.1. Cho là một iđêan của R và cho M là một R-môđun. Cho t là một số
nguyên không âm sao cho và là -cominimax với mọi
và mọi R- là -minimax. Khi đó, với mọi môđun con -minimax N của
môđun hữu hạn sinh L thỏa thì R-môđun là -
minimax.
Chứng minh: Từ dãy khớp ngắn
cảm sinh dãy khớp dài sau:
37
Theo Hệ quả 2.3.5 thì là -minimax. Vậy theo Mệnh đề 2.3.3 với
R-môđun là -minimax thì sẽ là -
minimax. Theo Hệ quả 2.3.8, ta chỉ cần chứng minh R-môđun
là -minimax. Ta chứng minh bằng quy nạp theo t.
Khi , theo giả thiết thì R-môđun là -
minimax nên ta suy ra là -minimax. Mặt khác, ta có đẳng
cấu nên là -
minimax. Với , giả sử định lý đúng cho . Do là -cominimax nên
. Mặt khác, từ dãy khớp ngắn là -minimax với mọi
cảm sinh nên dãy khớp
Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 và các giả thiết thì R-môđun là -
minimax. Với và với mọi
nên ta suy ra là một -cominimax với mọi i < t. Do đó, ta có thể
Gọi E là bao nội xạ của M và đặt thì ta có xem
và , như vậy thì ta có thể suy ra rằng và
với mọi . Giả thiết quy nạp được áp dụng
38
là -minimax. Vậy ta suy ra cho M1 với giả thiết
là -minimax. ∎
Bây giờ, chúng tôi đã có các công cụ cần thiết để chứng minh định lý chính
của luận văn này, một khái quát hóa kết quả của Brodmann và Lashgari.
Định lý 3.2.2. Cho là một iđêan của R và cho M là một R-môđun -minimax.
Cho t là số nguyên không âm sao cho . Khi đó, là -minimax với mọi
thì R-môđun với mọi môđun con -minimax N của
là hữu hạn, do đó tập là -minimax. Nói riêng, chiều Goldie của
là hữu hạn.
Chứng minh:
Do M là R-môđun -minimax, nên là -minimax, với SuppM
là -cominimax với mọi
⊆ V(), nên
Ta có dãy khớp
ngắn
cảm sinh dãy khớp dài sau:
Theo Hệ quả 2.3.5 thì là -minimax, Từ Định lý 3.2.1 cho ta suy ra
rằng R-môđun là -minimax. Do đó, theo Mệnh đề 2.3.3 thì
là -minimax. Từ (*) ta có dãy khớp dài
39
Dùng cách quy nạp như trong Định lý 3.2.1, ta suy ra là -
⊆ V(). minimax với mọi i. Mặt khác, do Supp M ⊆ V() nên
Do đó có chiều là -cominimax. Theo Hệ quả 3.1.6 thì
Goldie hữu hạn và tập là hữu hạn. ∎
Từ Định lý 3.2.2, chúng tôi kết luận rằng, đối với lớp môđun -minimax thì
kết quả về tính hữu hạn của Brodmann và Lashgari [11, Định lý 2.2] vẫn đúng.
40
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được các kết quả chủ yếu sau:
Định nghĩa và một số tính chất của môđun -minimax như Mệnh đề 2.3.6,
Định lý 2.3.7, Hệ quả 2.3.8.
Một số tính chất đặc trưng của đối đồng điều địa phương của môđun -
cominimax như Mệnh đề 3.1.7, Mệnh đề 3.1.8, Hệ quả 3.1.10.
Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của đối đồng điều địa
phương của môđun -minimax như Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.3.
Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu
sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp góp ý và chỉ dẫn thêm để luận
văn được hoàn chỉnh hơn.
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Tự Cường (2006), Giáo trình đại số hiện đại, NXB Đại Học Quốc Gia, Hà
Nội.
[2] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc Gia,
Tp. Hồ Chí Minh.
[3] Nguyễn Tiến Quang (2008), Giáo trình môđun và nhóm Aben, NXB Đại học Sư
Phạm, Hà Nội.
[4] Dương Quốc Việt (2013), Cơ sở lí thuyết module, NXB Đại học Sư Phạm, Hà Nội.
Tiếng Việt
[5] K.Divaani-Aazar, M.A. Esmkhani. (2005), Artinanness of local cohomology modules
of ZD-modules, Comm. Algebra 33, 2857-2863.
[6] M.Aghapournahr, L.Melkersson. (2010), Finiteness properties of minimax and
coatomic local cohomology modules, Arch. Math.519-528.
[7] M.F.Atiyah, I.G.Macdonald. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison –
wesley Publishing Company, Inc.
[8] J.Azami, R.Naghipour, B.Vakili. (2008), Finiteness properties of local cohomology
modules for -minimax modules, Proc. Amer. Math. Soc.137, 439-448.
[9] H. Bass (1963), On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Z. 82, 8-28.
[10] K.Bahmanpour, R.Naghipour. (2008), On the cofiniteness of local cohomology
modules, Proc. Amer. Math. Soc.136, 2359-2363.
Tiếng Anh
42
[11] M.P.Brodmann, F.A.Lashgari. (2000), A finiteness result for associated primes of
local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc.128, 2851-2853.
[12] M.P.Brodmann, R.Y.Sharp. (1998), Local Cohomology : an algebraic introduction
with geometric applications, Cambridge University Press, Cambridge.
[13] W.Bruns, J.Herzog.(1998), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced
Mathematics, Vol.39, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[14] R.Hartshorne. (1970), Affine duality and cofiniteness, Invent. Math.9, 145-164.
[15] H.Matsumura. (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin.
[16] H.Matsumura. (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press.
[17] W.Vasconcelos. (1974), Divisor Theory in Module Categories, North – Holland
Publishing Company, Amsterdam.
[18] T.Zink. (1974), Endlichkeitsbedingungen
moduln
einem Noetherschen
ring, math. Nachr.164, 239-252.
[19] H.Z chinger. (1986), Minimax – moduln, J. Algebra 102. 1-32.
[20] H.Z chinger. (1988),
radikalvole Untermoduln,
Hokkaido Math. J. 17, 101-116.
