Luận văn: Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

97
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Do ý nghĩa quan trọng về cả lý thuyết lẫn thực tế, bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu mạnh mẽ trong khoảng 30 năm trở lại đây. Bài toán bất đẳng thức biến phân liên quan đến nhiều bài toán khác của giải tích phi tuyến (bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán bù,...). Nhiều vấn đề của bài toán biến phân (tồn tại nghiệm, ổn định nghiệm,...) đã được nghiên cứu khá kỹ....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu

§¹i Häc Th¸i Nguyªn Trêng §¹i häc S ph¹m ------------------------------ NguyÔn Song Hµ TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
§¹i Häc Th¸i Nguyªn Trêng §¹i häc S ph¹m NguyÔn Song Hµ TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu Chuyªn ngµnh: Gi¶i tÝch M· sè: 60.46.01 LuËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: PGS. TS. T¹ Duy Phîng Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 C¸c kÝ hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 CÊu tróc vµ tÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu 6 1.1 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 C¸c ®Þnh lÝ tån t¹i nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ . . . . . . . . 11 1.1.4 TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ affine ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . 25 1.2.1 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n affine . . . . . . . . . 25 1.2.2 C¸c ®Þnh lý tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.3 TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ affine. . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2.4 Bµi to¸n tèi u vÐc t¬ ph©n thøc tuyÕn tÝnh vµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n affine . . . . . . . . . . . . . . 39 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2 C¸c thÝ dô tÝnh tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu 44 2.1 ThÝ dô 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 ThÝ dô 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3 ThÝ dô 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 ThÝ dô 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 ThÝ dô 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6 ThÝ dô 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.7 ThÝ dô 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.8 ThÝ dô 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.9 ThÝ dô 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tµi liÖu tham kh¶o 89 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Lêi nãi ®Çu Do ý nghÜa quan träng vÒ c¶ lý thuyÕt lÉn thùc tÕ, bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®· ®îc nghiªn cøu m¹nh mÏ trong kho¶ng 30 n¨m trë l¹i ®©y. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n liªn quan ®Õn nhiÒu bµi to¸n kh¸c cña gi¶i tÝch phi tuyÕn (bµi to¸n tèi u, bµi to¸n c©n b»ng, bµi to¸n bï,...). NhiÒu vÊn ®Ò cña bµi to¸n biÕn ph©n (tån t¹i nghiÖm, æn ®Þnh nghiÖm,...) ®· ®îc nghiªn cøu kh¸ kü. Tuy nhiªn, theo chóng t«i, trong khi cÊu tróc tËp nghiÖm (tån t¹i nghiÖm, tÝnh liªn th«ng, tÝnh co rót ®îc) cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu ®· ®îc quan t©m nghiªn cøu nhiÒu, th× cÊu tróc tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cßn cha ®îc quan t©m ®Çy ®ñ. Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña c¸c bµi b¸o [4], [9], [11]. §ång thêi chóng t«i còng tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ cña b¶n th©n vÒ vÊn ®Ò nµy. LuËn v¨n nµy nghiªn cøu tÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n víi tËp chÊp nhËn ®îc kh«ng nhÊt thiÕt compact. VÊn ®Ò trung t©m, xuyªn suèt c¸c ch¬ng cña luËn v¨n lµ tr¶ lêi cho c¸c c©u hái: Víi ®iÒu kiÖn nµo th× bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã nghiÖm? Víi ®iÒu kiÖn nµo th× tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n lµ mét tËp liªn th«ng? NÕu tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n lµ kh«ng liªn th«ng th× tËp nghiÖm ®ã cã cÊu tróc nh thÕ nµo? LuËn v¨n gåm 2 ch¬ng: Ch¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc chung vÒ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ph©n vÐc t¬ vµ c¸c bµi to¸n liªn quan. Ch¬ng 2 x©y dùng c¸c vÝ dô lµm s¸ng tá lý thuyÕt ®· tr×nh bµy ë ch¬ng 1 vµ ®a ra mét sè nhËn xÐt vÒ cÊu tróc vµ tÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm. LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn díi sù híng dÉn cña PGS. TS. T¹ Duy Phîng. T«i xin bµy tá sù kÝnh träng vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®èi víi thÇy híng dÉn ®· tËn t×nh gióp ®ì ®Ó cã ®îc c¸c kÕt qu¶ trong luËn v¨n nµy. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®èi víi Trung t©m §µo t¹o Sau ®¹i häc §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn, Khoa To¸n trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn, Khoa To¸n - Tin trêng §¹i häc Khoa häc Th¸i Nguyªn, tËp thÓ líp cao häc To¸n - K15, b¹n bÌ ®ång nghiÖp vÒ sù quan t©m gióp ®ì. Vµ cuèi cïng, xin c¶m ¬n nh÷ng ngêi th©n trong gia ®×nh cña t«i ®· gióp ®ì, ®éng viªn vµ khÝch lÖ rÊt nhiÒu trong thêi gian dµi häc tËp. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
C¸c kÝ hiÖu •Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, ..., n} + • x, y x y lµ tÝch v« híng cña hai phÇn tö vµ trong kh«ng gian Hilbert. •x x lµ chuÈn cña phÇn tö trong kh«ng gian Hilbert. •intA A lµ phÇn trong cña . •clA A lµ bao ®ãng cña . •∂A A lµ biªn cña . ¯ •B (x0 , ) x0 lµ h×nh cÇu ®ãng t©m , b¸n kÝnh . •B (x0 , ) x0 lµ h×nh cÇu më t©m , b¸n kÝnh . 2Y •G : X Y G:X hoÆc lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a c¸c kh«ng gian t«p« X, Y . •A ∈ Rr×n AT r×n A lµ ma trËn cÊp vµ lµ chuyÓn vÞ cña ma trËn . •x ∈ Rn xT x th× lµ chuyÓn vÞ cña vÐc t¬ . •N∆ (x) ∆ x lµ nãn ph¸p tuyÕn cña t¹i . •0+ ∆ ∆ lµ nãn lïi xa cña tËp . 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 CÊu tróc vµ tÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm trong bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu 1.1 BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ ®¬n ®iÖu 1.1.1 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ∆ ⊂ Rn F : ∆ → Rn Gi¶ sö lµ tËp con låi, ®ãng, kh¸c rçng, lµ mét to¸n tö (¸nh x¹) cho tríc. §Þnh nghÜa 1.1.1. x∈∆ ¯ Bµi to¸n t×m ®iÓm tháa m·n F (¯), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆, x ¯ (1.1) ®îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (variational inequality problem) hay, ®¬n gi¶n lµ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (variational inequality) vµ ®îc kÝ hiÖu lµ VI. x∈∆ Sol( ) ¯ TËp nghiÖm VI cña VI lµ tËp tÊt c¶ tháa m·n (1.1). NhËn xÐt 1.1.2. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (1.1) cã thÓ viÕt díi d¹ng sau: 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
x∈∆ ¯ T×m ®iÓm sao cho F (¯), y − x ∈ −R+ \ {0}, ∀y ∈ ∆. x ¯/ (1.2) x ∈ Sol( 0 ∈ F (¯) + N∆ (¯) ¯ ) x x DÔ dµng kiÓm tra r»ng VI khi vµ chØ khi , N∆ (¯) x ∆ x ¯ trong ®ã lµ nãn ph¸p tuyÕn cña t¹i , ®Þnh nghÜa bëi {z ∈ Rn : z , x − x ≤ 0, ∀x ∈ ∆} x∈∆ ¯ ¯ nÕu , N∆ (¯) = x (1.3) ∅ x∈∆ ¯/ nÕu . 1.1.2 C¸c ®Þnh lÝ tån t¹i nghiÖm MÖnh ®Ò 1.1.3. x ∈ ∆. NÕu tån t¹i mét sè ε > 0 sao cho ¯ Gi¶ sö ¯x F (¯), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆ ∩ B (¯, ε). x ¯ (1.4) x ∈ Sol( ¯ ) Khi Êy VI . y∈∆ ε>0 Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i tháa m·n (1.4). Râ rµng, víi mçi tån ¯x t =∈ (0, 1) zt := x + t(y − x) ∆ ∩ B (¯, ε) ¯ ¯ t¹i sao cho thuéc tËp . Theo (1.4), 0 ≤ F (¯), zt − x = t F (¯), y − x F (¯), y − x ≥ 0 x ¯ x ¯ x ¯ . Tõ ®©y suy ra r»ng y∈∆ x ∈ Sol( ) ¯ víi mäi . Do ®ã VI . MÖnh ®Ò 1.1.3 chØ ra r»ng mäi nghiÖm ®Þa ph¬ng cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (nghiÖm cña (1.4)) còng lµ nghiÖm toµn côc (nghiÖm cña (1.1)). §Þnh lÝ Hartman-Stampacchia díi ®©y lµ ®Þnh lÝ c¬ b¶n vÒ sù tån t¹i nghiÖm trong bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. Nã ®îc chøng minh nhê ®Þnh lÝ ®iÓm bÊt ®éng Brouwer. §Þnh lý 1.1.4. (Xem [5] trang 12). 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
∆ ⊂ Rn F : ∆ → Rn NÕu lµ kh¸c rçng, låi, compact vµ lµ liªn tôc, th× bµi to¸n VI cã nghiÖm. Víi ®iÒu kiÖn phï hîp (®iÒu kiÖn bøc - coercivity conditions), chóng ta ∆ cã ®Þnh lÝ tån t¹i cho trêng hîp tËp h¹n chÕ kh«ng compact. §Þnh lý 1.1.5. (Xem [5] trang 14). ∆ ⊂ Rn lµ tËp låi, ®ãng, kh¸c rçng vµ F : ∆ → Rn lµ ¸nh x¹ liªn Gi¶ sö 0 ∈ ∆ sao cho tôc. NÕu tån t¹i x F (y ) − F (x0 ), y − x0 → +∞ y → +∞, y ∈ ∆, khi (1.5) y − x0 th× bµi to¸n VI cã nghiÖm. NhËn xÐt 1.1.6. γ>0 BiÓu thøc (1.5) cã ý nghÜa lµ: Víi cho tríc, cã thÓ t×m ®îc mét ρ>0 sè sao cho F (y ) − F (x0 ), y − x0 ≥γ y∈∆ y > ρ. ®óng víi mäi tháa m·n y − x0 x0 ∈ ∆ ∆ DÔ dµng nhËn thÊy r»ng nÕu lµ compact th× víi mäi ®iÒu kiÖn x0 ∈ ∆ (1.5) ®îc tháa. NÕu tån t¹i sao cho (1.5) x¶y ra th× ta nãi r»ng ®iÒu kiÖn bøc (coercivity condition) ®îc tháa m·n. §iÒu kiÖn bøc ®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trong trêng hîp tËp ∆ h¹n chÕ kh«ng compact. Chó ý r»ng (1.5) chØ lµ mét trong rÊt nhiÒu d¹ng cña ®iÒu kiÖn bøc. x0 ∈ ∆ α>0 NÕu tån t¹i vµ sao cho F (y ) − F (x0 ), y − x0 ≥ α y − x0 2 , ∀y ∈ ∆ (1.6) th× (1.5) ®îc tháa m·n. α>0 NÕu tån t¹i mét sè sao cho F (y ) − F (x), y − x ≥ α y − x 2 , ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, (1.7) th× (1.6) ®îc tháa m·n. Do ®ã (1.5) còng ®îc tháa m·n. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
§Þnh nghÜa 1.1.7. α>0 F ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu NÕu tån t¹i sao cho (1.7) ®îc tháa m·n th× ∆ m¹nh (strongly monotone) trªn . F ∆ ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu (monotone) trªn nÕu F (y ) − F (x), y − x ≥ 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆. (1.8) F ∆ ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt (strictly monotone) trªn nÕu F (y ) − F (x), y − x > 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x = y. (1.9) Bæ ®Ò 1.1.8. (Bæ ®Ò Minty - Xem [8] trang 89). ∆ ⊂ Rn lµ tËp låi, ®ãng vµ F : ∆ → Rn lµ ¸nh x¹ liªn tôc, monotone NÕu th× x ∈ Sol ( ) khi vµ chØ khi x ∈ ∆ vµ ¯ ¯ VI F (y ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆. ¯ (1.10) x ∈ Sol( ¯ ) F Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö VI . Do lµ monotone nªn ta cã F (y ) − F (¯), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆. x ¯ KÕt hîp ®iÒu nµy víi (1.1) dÉn tíi F (y ), y − x ≥ F (¯), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆ ¯ x ¯ TÝnh chÊt (1.10) ®îc chøng minh. x∈∆ y∈∆ ¯ §iÒu kiÖn ®ñ: Gi¶ thiÕt r»ng vµ (1.10) ®îc tháa m·n. Chän y (t) := x + t(y − x) ∈ ∆ t ∈ (0, 1) ∆ ¯ ¯ nµo ®ã. Do lµ tËp låi, víi mäi . Thay y = y (t) vµo (1.10) ta ®îc 0 ≤ F (y (t)), y (t) − x = F (¯ + t(y − x), t(y − x) . ¯ x ¯ ¯ Hay ta cã F (¯ + t(y − x), y − x ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1). x ¯ ¯ 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
t→0 F (¯), y − x ≥ 0 F x ¯ Cho , vµ kÕt hîp víi tÝnh liªn tôc cña ta nhËn ®îc . y∈∆ x ∈ Sol( ) ¯ BÊt ®¼ng thøc nµy ®óng víi mäi nªn ta cã VI . MÖnh ®Ò 1.1.9. Nh÷ng kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng: F ∆ th× bµi to¸n (i) NÕu lµ ®¬n ®iÖu chÆt (stricly monotone) trªn VI kh«ng thÓ cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm. F ∆ (ii) NÕu lµ liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu (monotone) trªn th× tËp nghiÖm cña bµi to¸n VI lµ ®ãng vµ låi (cã thÓ b»ng rçng). F Chøng minh. (i) Gi¶ thiÕt ph¶n chøng r»ng lµ liªn tôc vµ stricly monotone F (¯), y − ∆ x ¯ y ¯ x¯ trªn nhng bµi to¸n VI cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ . Khi Êy x ≥0 F (¯), x − y ≥ 0 ¯ y¯ ¯ vµ . KÕt hîp hai bÊt ®¼ng thøc nµy ta ®îc F (¯) − F (¯), y − x ≥ 0 F (¯) − x y¯¯ y . Nhng bÊt ®¼ng thøc nµy m©u thuÉn víi F (¯), y − x > 0 x¯ ¯ . y∈∆ F ∆ (ii) Gi¶ sö r»ng lµ liªn tôc vµ monotone trªn . Víi mçi ta kÝ x∈∆ F (y ), y − x ≥ 0 Ω(y ) ¯ ¯ hiÖu lµ tËp tÊt c¶ tháa m·n bÊt ®¼ng thøc . Râ Ω(y ) rµng r»ng lµ låi ®ãng. Tõ Bæ ®Ò 1.1.8 suy ra r»ng Sol( )= Ω(y ). VI y ∈∆ Sol( ) Do ®ã VI lµ mét tËp låi, ®ãng (cã thÓ rçng). NhËn xÐt 1.1.10. F : ∆ → Rn NÕu lµ ¸nh x¹ liªn tôc, ®¬n ®iÖu m¹nh (strongly monotone) th× F bµi to¸n VI cã duy nhÊt nghiÖm. ThËt vËy, v× lµ ®¬n ®iÖu m¹nh nªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc, do ®ã theo §Þnh lÝ 1.1.5 th× bµi to¸n VI cã nghiÖm. H¬n F F lµ ®¬n ®iÖu chÆt, nªn theo i) cña MÖnh ®Ò n÷a, lµ ®¬n ®iÖu m¹nh th× 1.1.9 th× bµi to¸n VI kh«ng thÓ cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.3 Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ Trong môc nµy ta sö dông c¸c kÝ hiÖu díi ®©y: H = Rn H Gi¶ sö lµ kh«ng gian Hilbert thùc (trêng hîp ®Æc biÖt ta cã ) ∆⊆H vµ lµ tËp con låi, ®ãng. Fi : ∆ → H (i = 1, 2, ..., m) lµ c¸c hµm gi¸ trÞ vÐc t¬. F := (F1 , F2 , ..., Fm ) = (Fi )m x ∈ ∆, v ∈ H vµ víi mçi ta viÕt i=1 F (x)(v ) := ( F1 (x), v , F2 (x), v , ..., Fm (x), v ). C ⊆ Rm Díi ®©y ta lu«n gi¶ thiÕt r»ng lµ nãn låi, ®ãng, nhän, ®Ønh t¹i gèc vµ cã phÇn trong kh¸c rçng nÕu kh«ng nãi g× thªm. Ta gäi C ∗ := {(ξi )m ∈ Rm : ξ , c ≥ 0, ∀c ∈ C } i=1 C. lµ nãn ®èi ngÉu cña §Þnh nghÜa 1.1.11. x∈∆ ¯ Bµi to¸n t×m ®iÓm sao cho: ( F1 (¯), y − x , ..., Fm (¯), y − x ) ∈ −C \{0}, ∀y ∈ ∆, x ¯ x ¯/ (1.11) bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ (vector variational ®îc gäi lµ inequality problem), viÕt gän lµ VVI. x∈∆ Sol( ) ¯ TËp nghiÖm VVI cña bµi to¸n VVI lµ tËp tÊt c¶ c¸c tho¶ m·n (1.11). §Þnh nghÜa 1.1.12. x∈∆ ¯ Bµi to¸n t×m ®iÓm sao cho: ( F1 (¯), y − x , ..., Fm (¯), y − x ) ∈ −intC, ∀y ∈ ∆, x ¯ x ¯/ (1.12) bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ yÕu (weakly vector ®îc gäi lµ w variational inequality problem), viÕt gän lµ VVI . w )w x∈∆ Sol( ¯ TËp nghiÖm VVI cña bµi to¸n VVI lµ tËp tÊt c¶ c¸c tho¶ m·n (1.12). 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
§Þnh nghÜa 1.1.13. ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ C ∗ x∈∆ ¯ Víi mäi , bµi to¸n t×m ®iÓm sao cho: m ξi Fi (¯), y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆, x ¯ (1.13) i=1 ®îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n phô thuéc tham sè (parametric variational inequality problem) viÕt gän lµ VI . ξ x∈∆ Sol( )ξ ¯ TËp nghiÖm VI cña bµi to¸n VI lµ lµ tËp tÊt c¶ c¸c tho¶ ξ m·n (1.13). §Þnh nghÜa 1.1.14. Λ⊂C 0∈Λ ∀x ∈ C \{0} C / lµ c¬ së cña mét nãn Ta gäi nÕu vµ tho¶ m·n ∃t ∈ R+ tx ∈ Λ th× sao cho . MÖnh ®Ò 1.1.15. C∗ C ⊂ Rm NÕu lµ nãn låi, ®ãng vµ cã phÇn trong kh¸c rçng th× cã mét c¬ së låi, compact. Λ := {ξ ∈ C ∗ : intC = ∅ ⇒ ∃c ∈ intC, c = 0 Chøng minh. Do . §Æt 1 ξ , c = 1} 0∈Λ / t= . HiÓn nhiªn . H¬n n÷a, nÕu ta chän th× ξ, c C∗ ∀x ∈ C \{0} : tx ∈ Λ Λ . Hay lµ c¬ së cña . Rm Λ Hµm tÝch v« híng lµ liªn tôc nªn lµ tËp con ®ãng vµ bÞ chÆn trong , Λ vµ v× vËy nã lµ tËp compact. DÔ thÊy lµ tËp låi. intC ∗ = ∅. (C ∗ )∗ C NhËn xÐt 1.1.16. NÕu lµ nãn nhän th× Nãn ®èi ngÉu C ∗ lµ nãn C . Tõ nay vÒ sau ta Λ := {ξ ∈ C ∗ : cña lu«n sö dông kÝ hiÖu ξ , c = 1} nÕu kh«ng nãi g× thªm. §Þnh lÝ díi ®©y cho ta mèi liªn hÖ gi÷a tËp nghiÖm cña c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. §Þnh lý 1.1.17. 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ta cã )w = )ξ ⊆ Sol( ) ⊆ Sol( Sol( Sol( )ξ VI VVI VVI VI (1.14) ξ ∈intC ∗ ξ ∈C ∗ )w F Sol( H¬n n÷a, nÕu lµ liªn tôc th× lµ tËp ®ãng. VVI Chøng minh. Tõ ®Þnh nghÜa bao hµm thøc thø hai lµ hiÓn nhiªn. Ta chøng minh bao hµm thøc thø nhÊt )ξ ⊆ Sol( Sol( ). VI VVI (1.15) ξ ∈intC ∗ ThËt vËy, ta cã )ξ ⇒ ∃ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ intC ∗ : x ∈ Sol( ∀x ∈ Sol( )ξ . VI VI ξ ∈intC ∗ MÆt kh¸c ta cã m m ξi Fi (x), y − x = ξ T F (x)(y − x), ∀y ∈ ∆, 0≤ ξi Fi (x), y − x = i=1 i=1 (1.16) ξT trong ®ã lµ kÝ hiÖu chuyÓn vÞ. BÊt ®¼ng thøc (1.16) chøng tá r»ng kh«ng y∈∆ F (x)(y − x) ∈ −C \{0} x ∈ Sol( ) cã nµo ®Ó . Hay VVI . Ta chøng minh bao hµm thøc thø ba )w = Sol( Sol( )ξ . VVI VI ξ ∈C ∗ ThËt vËy, ta cã )ξ ⇒ ∃ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ C ∗ \{0} : x ∈ Sol( ∀x ∈ Sol( )ξ . VI VI ξ ∈C ∗ \{0} Ta ¸p dông (1.16) suy ra )w . )ξ ⊆ Sol( Sol( VI VVI ξ ∈C ∗ \{0} 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ξ=0 Trong trêng hîp th× bao hµm thøc còng lu«n ®óng. Do ®ã )w . )ξ ⊆ Sol( Sol( VI VVI ξ ∈C ∗ )w x ∈ Sol( {F (x)(y − x) : y ∈ ∆} ∩ (−intC ) = ∅ MÆt kh¸c, nÕu VVI th× . Theo ®Þnh lÝ t¸ch tËp låi ta cã ˜ ˜ ˜ ∃ξ ∈ C ∗ \{0} : inf ξ, F (x)(y − x) ≥ sup ξ, v , y ∈∆ v ∈−intC ˜ ˜ ∃ξ ∈ C ∗ \{0} : (ξ )T F (x)(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ ∆ x ∈ Sol( )ξ ˜ hay . Suy ra VI . Ω = C \(−intC ) τ (x) = {x ∈ ∆ : F V× lµ tËp ®ãng vµ lµ liªn tôc nªn F (x)(y − x) ∈ Ω} lµ ®ãng. V× vËy )w = Sol( τ (x) VVI x∈∆ lµ tËp ®ãng. NhËn xÐt 1.1.18. )ξ , ∀ξ ∈ C ∗ \{0}, ∀t > 0 Sol( )tξ = Sol( Ta cã VI VI . Do ®ã ®Þnh lÝ trªn cã thÓ viÕt l¹i díi d¹ng )w = )ξ ⊆ Sol( ) ⊆ Sol( Sol( Sol( )ξ . VI VVI VVI VI ξ ∈Λ∩intC ∗ ξ ∈Λ NhËn xÐt 1.1.19. C ∗ = Rn H = Rn C = Rn Trong truêng hîp ®Æc biÖt vµ th× ta cã vµ + + n Λ = {ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Rn : ξi = 1} . Do ®ã + i=1 )w = )ξ ⊆ Sol( ) ⊆ Sol( Sol( Sol( )ξ . VI VVI VVI VI ξ ∈Λ∩intRn ξ ∈Λ + §Þnh nghÜa 1.1.20. 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
∃α > F ®îc gäi lµ hµm ®¬n ®iÖu m¹nh (strongly monotone) nÕu Hµm 0, ∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ Λ; ∀x, x ∈ ∆ ta cã m m ξi Fi (x), x − x ≥ α x − x 2 . ξi Fi (x ) − i=1 i=1 ∀ξ = (ξ1 , ..., ξm ) ∈ F (monotone) Hµm ®îc gäi lµ hµm ®¬n ®iÖu nÕu Λ; ∀x, x ∈ ∆ ta cã m m ξi Fi (x ) − ξi Fi (x), x − x ≥ 0. i=1 i=1 NhËn xÐt 1.1.21. )w ) ⊆ Sol( Sol( Ta biÕt r»ng VVI VVI . Ta sÏ chØ ra r»ng ngay c¶ trong F lµ strongly monotone th× bao hµm thøc ngîc l¹i vÉn cã thÓ trêng hîp Sol( ) kh«ng ®óng. Trong vÝ dô díi ®©y ta sÏ chØ ra ®iÒu nµy vµ VVI lµ tËp )w Sol( con thùc sù cña VVI . H = R2 , ∆ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0}, C = R2 VÝ dô 1.1.22. Gi¶ sö + 1 F1 (x) = (x1 − 1, x2 ), F2 (x) = ( 2 x1 , x2 − 1) F = (F1 , F2 ) vµ trong ®ã . C∗ = F Víi c¸c gi¶ thiÕt nh trªn, dÔ thÊy r»ng lµ strongly monotone, C = R2 Λ = {(ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 : ξ1 + ξ2 = 1} . Do ®ã cã thÓ chän lµ c¬ së + + C∗ compact cña . ∀ξ ∈ Λ, x ∈ Sol( )ξ ⇔ ξ1 F 1(¯) + ξ2 F2 (¯) ∈ −N∆ (¯) ¯ x x x NhËn xÐt r»ng VI . x ∈ int∆ N∆ (¯) = {(z1 , z2 ) : z1 ≤ 0, z2 = 0} N∆ (¯) = 0 x ¯ x §Ó ý r»ng nÕu vµ x ∈ ∂∆ ¯ nÕu . TÝnh to¸n cho ta 2 )w = {x = (¯1 , x2 ) ∈ K : x2 = 2 + , 0 ≤ x1 ≤ 1}, Sol( ¯ x¯ ¯ ¯ VVI x1 − 2 ¯ vµ 2 ) = {x = (¯1 , x2 ) ∈ K : x2 = 2 + , 0 < x1 < 1}. Sol( ¯ x¯ ¯ ¯ VVI x1 − 2 ¯ )w x = (0, 1) ∈ Sol( y∈∆ ˜ LÊy VVI . Khi ®ã ta cã víi mäi ( F1 (˜), y − x , F1 (˜), y − x ) = (−y1 + y2 − 1, 0) = R × {0}. x ˜ x ˜ 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(y1 , y2 ) = (0, 0) ∈ ∆ ⇒ F (˜)(y − x) = (−1, 0) ∈ −R2 x ˜ Nh vËy nÕu chän . + ˜ x ∈ Sol( x = (1, 0) ∈ Sol( ˜/ ) ˜ / ) Do ®ã VVI . T¬ng tù ta suy ra VVI . §Þnh nghÜa 1.1.23. ∆⊂H int∆ = ∅ ∀x = x ∈ ∆ : thÓ låi chÆt TËp con gäi lµ mét nÕu vµ {xt = (1 − t)x + tx : t ∈ (0, 1)} ⊂ int∆ . )w Sol( ) = Sol( §Þnh lÝ duíi ®©y cho ta mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó VVI VVI . §Þnh lý 1.1.24. C ⊆ Rm ∆⊆H Gi¶ sö H lµ kh«ng gian Hilbert thùc, lµ mét thÓ låi chÆt. x ∈ ∆, lµ nãn låi, ®ãng vµ cã phÇn trong kh¸c rçng. Víi mçi to¸n tö ϕ : H → Rm v → F (x)v tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi lµ toµn ¸nh. Khi ®ã )w Sol( ) = Sol( VVI VVI . Chøng minh. Gi¶ sö r»ng )w ⇒ ∃y ∈ Sol( )w \Sol( Sol( ) = Sol( ). VVI VVI VVI VVI Do ) ⇒ ∃z = y, z ∈ ∆ : F (y )(z − y ) ∈ −C \{0}. y = Sol( VVI (1.17) ∀t ∈ (0, 1) : θt = (1 − t)y + tz ∈ int∆ ∆ Do lµ thÓ låi chÆt nªn . Tõ (1.17) suy ra F (y )(θt − y ) ∈ −C \{0}. (1.18) ¯ ¯ B (θt , ) ⊂ ∆ >0 B (θt , ) LÊy sao cho: , trong ®ã lµ h×nh cÇu ®ãng t©m ϕ : H → Rm x∈∆ θt b¸n kÝnh . Víi mäi , to¸n tö tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh bëi ¯ v → F (x)v B (θt , ) − y lµ toµn ¸nh nªn nã lµ ¸nh x¹ më. Do lµ mét l©n cËn ¯ ¯ θt − y F (y )(B (θt , ) − y ) := {F (y )(x − y ) : x ∈ B (θt , )} cña nªn lµ mét µt := F (y )(θt − y ) l©n cËn cña . ¯ F (y )(B (θt , ) − y ) ∃ρ > 0 Do lµ tËp më nªn sao cho ¯ ¯ B (µt , ρ) ⊂ F (y )(B (θt , ) − y ). 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
¯ intC = ∅ B (µt , ρ) ∩−intC = ∅ MÆt kh¸c v× vµ (1.18) ta cã . §iÒu nµy chøng ¯ ∃x ∈ B (θt , ) F (y )(x − y ) ∈ −intC \{0} tá r»ng sao cho . M©u thuÉn. 1.1.4 TÝnh liªn th«ng cña tËp nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vÐc t¬ F Trong phÇn nµy chóng ta sÏ chØ ra r»ng nÕu lµ strongly monotone th× )w Sol( ) Sol( F VVI vµ VVI lµ c¸c tËp liªn th«ng ®êng. NÕu lµ monotone )w Sol( th× VVI lµ tËp liªn th«ng ®èi víi t«p« yÕu. Ta vÉn sö dông c¸c kÝ hiÖu trong môc 3. §Þnh nghÜa 1.1.25. X Gi¶ sö lµ mét kh«ng gian t«p«. X X ®îc gäi lµ liªn th«ng nÕu kh«ng thÓ biÓu diÔn ®îc díi d¹ng hîp cña hai tËp con më thùc sù, rêi nhau cña nã. ∀x, y ∈ X X liªn th«ng ®êng nÕu ®îc gäi lµ tån t¹i ¸nh x¹ liªn tôc γ : [0, 1] → X γ (0) = x, γ (1) = y sao cho . ψ : X × [0, 1] → X X ®îc gäi lµ co rót ®îc nÕu tån t¹i ¸nh x¹ liªn tôc a∈X ∀x ∈ X ψ (x, 0) = x, ψ (x, 1) = a vµ mét diÓm sao cho ta cã . §Þnh nghÜa 1.1.26. ¸ G:X Y X G ®îc gäi lµ ®ãng trªn nh x¹ ®a trÞ nÕu ®å thÞ cña , tøc {(x, y ) ∈ X × Y : y ∈ G(x)} X ×Y lµ mét tËp ®ãng trªn . §Þnh nghÜa 1.1.27. ¸ G:X Y X ®îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn trªn nh x¹ ®a trÞ nÕu víi a∈X G(a) ⊂ Ω Ω mäi vµ víi mäi tËp më tho¶ m·n th× tån t¹i mét l©n cËn G(a ) ⊂ Ω a ∈U U a cña sao cho víi mäi . Bæ ®Ò 1.1.28. 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
G:X Y Y G lµ nöa liªn NÕu ¸nh x¹ ®a trÞ lµ ®ãng vµ lµ compact th× X. tôc trªn trªn §Þnh lý 1.1.29. (Xem [10] trang 484). X, Y G:X Y Gi¶ sö lµ hai kh«ng gian t«p« vµ lµ ¸nh x¹ ®a trÞ. NÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau tho¶ m·n: X lµ liªn th«ng. i) x∈X G(x) lµ kh¸c rçng vµ liªn th«ng. ii) Víi mäi tËp X. iii) G lµ nöa liªn tôc trªn trªn G(X ) = G(x) lµ liªn th«ng. th× x∈X §Þnh nghÜa 1.1.30. M ⊂ Rm , N ⊂ Rl f : Rn × M → Rn Gi¶ sö lµ c¸c tËp kh¸c rçng. lµ hµm Rn g:N gi¸ trÞ vÐc t¬. lµ hµm ®a trÞ víi tËp gi¸ trÞ lµ låi, ®ãng. x ∈ g (λ) ¯ Bµi to¸n t×m ®iÓm sao cho: f (¯, ξ ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ g (λ), x ¯ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n phô thuéc vµo cÆp tham sè ®îc gäi lµ (ξ, λ) ∈ M × N vµ ®îc kÝ hiÖu lµ VI (ξ,λ) . ¯ ¯ ¯ λ ∈ N, ∀x ∈ g (λ) g (λ, x) gäi lµ gi¶ Lipschitz t¹i Víi mçi , ¸nh x¹ nÕu ¯ V λ W x k>0 tån t¹i mét l©n cËn cña , mét l©n cËn cña vµ mét h»ng sè sao ∀λ, λ ∈ N ∩ V cho ta cã g (λ) ∩ W ⊆ g (λ ) + k λ − λ B , Rn B trong ®ã lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong . X x U µ ¯ NÕu tån t¹i mét l©n cËn låi ®ãng cña , mét l©n cËn cña vµ h»ng p>0 sè sao cho f (x , µ ) − f (x, µ) ≤ p( x − x + µ − µ ), ∀µ, µ ∈ M ∩ U ; ∀x, x ∈ X f (x, µ) ¯ ®îc gäi lµ Lipschitz ®Þa ph¬ng t¹i th× . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn