zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Lượng giác - Luyện thi đại học

Chia sẻ: Vo Anh Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Báo xấu

637
lượt xem 156
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu một trong hai tam giác có thể thu được nhờ việc mở rộng (hay thu hẹp) cùng lúc tất cả các cạnh tam giác kia theo cùng tỷ lệ. Điều này chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi các góc tương ứng của chúng bằng nhau, ví dụ hai tam giác khi xếp lên nhau thì có một góc bằng nhau và cạnh đối của góc đã cho song song với nhau. Yếu tố quyết định về sự đồng dạng của tam giác là độ dài các cạnh của...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lượng giác - Luyện thi đại học

LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt: * Cung đối nhau: cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx * Cung bù nhau: cos( π - x) = - cosx sin( π - x) = sinx tg( π - x) = - tgx cotg( π - x) = -cotgx * Cung phụ nhau: π π π π cos( − x ) = sinx sin( − x ) = cosx tg( − x ) = cotgx cotg( − x ) = tgx 2 2 2 2 * Cung hơn kém nhau π : cos( π + x) = - cosx sin( π + x) = - sinx tg( π - x) = tgx cotg( π - x) = cotgx 2) Công thức cộng: cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa tga + tgb tga − tgb tg(a + b) = tg(a - b) = 1 − tgatgb 1 + tgatgb 3) Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a; 2 tga tg2a = 1 − tg 2 a 4) Công thức hạ bậc: 1 − cos 2a 1 1 sin 2 a = (1 − cos 2a ) ; cos 2 a = (1 + cos 2a ) ; tg 2 a = 1 + cos 2a 2 2 a 5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg 2 2 1− t 2t 2t sin a = cos a = tga = ; ; 1+ t2 1+ t2 1− t2 6) Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a−b cos a + cos b = 2 cos cos ; 2 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 a+b a−b sin a + sin b = 2 sin cos ; 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 sin(a + b) sin(a − b) tga + tgb = tga − tgb = ; cos a. cos b cos a. cos b 7) Công thức biến đổi tích thành tổng: 2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b) 2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b) 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát: 1) PTLG cơ bản:  u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  ; cou = cos v ⇔ u = ± v + k 2π  u = π − v + k 2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ; cot gu = cot gv ⇔ u = v + kπ 2) PT bậc nhất, bậc hai, ... theo một HSLG 3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c a b = cos α; = sin α - Cách giải: Chia hai vế cho a 2 + b 2 . Đặt: 2 a +b a + b2 2 2 - Điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2 4) Phương trình đẳng cấp: a sin 2 u + b sin u cos u + c. cos 2 u = 0 - Xét cosu = 0 - Trường hợp cosu ≠ 0 , chia hai vế của phương trình cho cos2u 5) Phương trình theo sin u ± cos u và sinu.cosu: t 2 −1 - Đặt t = sin u ± cos u , suy ra: sinu.cosu = ± 2 π - Lưu ý: sin u ± cos u = 2 sin(u ± ) , u ≤ 2 4 Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình: π a) tg ( x − ) + cot gx = 0 b) cos(1150 - 2x) = -sin3x c) tgx.cotg3x = 1 5 Bài 2: Giải các phương trình: 3 93 b) sin 2 x − 2 cos x + = 0 2 2 c) sin 2x + 4 tgx = a) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4 2 π π  5 1 d) cos 2 x +  + 4 cos − x  = e) cos 2x + 2 sin 2 x − tgx + = 0  3 6 2 2 Bài 3: Giải các phương trình: π b) sin( + 2 x ) + 3 sin( π − 2 x ) = 1 a) sin x + 3 cos x = 2 2 π π 3 3 2x   − 3 sin x − 4 = 0 c) 2 sin  x +  + sin  x −  = d) 8 sin 2 4 4 2   Bài 4: Giải các phương trình 1 a) sin x + sin 2x − 2 cos x = 2 2 b) sin 3 x + 2 sin 2 x. cos x − 3 cos 3 x = 0 2 c) 8sin2x.cosx = 3 sinx + cosx Bài 5: Giải các phương trình: x x b) sin x + 2 2 (sin − cos ) − 3 = 0 a) 2(sinx + cosx ) + 3sin2x - 2 = 0 2 2 c) sin x + cos x = 1 + ( 2 − 2) sin x cos x d) 5(sin x + cos x ) + sin 3x − cos 3x = 2 2 (2 + sin 2 x ) 3 3 e) 1 - sin2x = |cosx + sinx| Một số gợi ý giải phương trình lượng giác: - Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác thích hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó. - Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về cùng một góc lượng giác. 2
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tan, cot thì phải đặt điều kiện trước khi giải. Tùy theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường minh ra x. - Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện tương ứng). - Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tan2x, cot2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tanx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được) Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp. Bài 6. Giải các phương trình sau: a) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x b) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x c) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 d) (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2x = 3 e) cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx 1 f) cos5 x + sin 7 x + (cos3 x + sin 5 x )sin 2 x = cos x + sin x 2 g) cos 2 2 x + 2(cos x + sin x ) 3 − 3 sin 2 x − 3 = 0 h) cos3x + cos2x + 2 sinx - 2 = 0 Bài 7: Giải các phương trình sau: 1 a) 2 sin 3 x − cos 2 x + cos x = 0 b) 3 sin x + 2 cos x = 3(1 + tgx ) − cos x c) tanx.sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) d) 5 + cos2x = 2(2 - cosx)(sinx -cosx) e) sin x − 4 sin 3 x + cos x = 0 g) 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = (2sin2x + 1)cos4x i) cos 3 x + sin x − 3 cos x sin 2 x = 0 h) cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x − cos x + 4 = 0 Bài 8: Giải các phương trình sau: cos x − 2 sin x cos x 1 − cos 2x =3 a) 1 + cot g 2 x = b) 2 cos 2 x + sin x − 1 2 sin 2 x cos 3x + sin 3x   cot g 2 x − tg 2 x d) 5 sin x +  = cos 2 x + 3 = 16(1 + cos 4 x ) c) 1 + 2 sin 2 x   cos 2 x (2 − sin 2 2x ) sin 3x sin 4 x + cos 4 x 1 1 f) tg 4 x + 1 = = cot g 2 x − e) cos 4 x 5 sin 2 x 2 8 sin 2 x cos 2 x 1 2 g) cot gx − 1 = + sin 2 x − sin 2 x (A-2003) h) cot gx − tgx + 4 sin 2x = (B-2003) 1 + tgx 2 sin 2 x Bài 9: Giải các phương trình sau: π  π 3  a) cos x + sin x + cos x −  sin  3x −  − = 0 4 4 (D - 2005)  4  4 2 b) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (B - 2005) 2 2 c) cos 3xcos2x - cos x = 0 (A - 2005) Bài 10: Giải các phương trình sau: 2(cos6 x + sin 6 x) − sin x cos x x = 0 (A-2006) b) cot x + sin x(1 + tan x.tan ) = 4 (B-2006) a) 2 − 2sin x 2 c) cos3x + cos2x –cosx –1 = 0 (D-2006) d) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x cos x − sin 2 x =3 g) (sin4x + cos4x) + sin4x – 2 = 0 e) 2 cos 2 x − sin x − 1 Bài 11: Giải các phương trình sin 3x sin 5 x = a) 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sinx) = 2 b) 3 5 3
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 1 Bài 12: Định m để phương trình: sin 4 x + cos 4 x − cos 2 x + sin 2 2 x + m = 0 có nghiệm 4 ππ � � 4m − 4 tan 2 x + +5=0 a) Định m để phương trình sau có nghiệm thuộc � ; � : 22 cos x � � �π� 0; b) Định m để phương trình sau có nghiệm thuộc � � : � 2� �4 � �2 � 2 � 2 + cos 2 x � m � + − cos x � 1 = �x cos ��x cos � c) Định m để phương trình sau có nghiệm: (m + 1) tan 4 x − 3m(1 + tan 2 x) tan 2 x + 4m(1 + tan 2 x)2 = 0 Bài 13. Giải các phương trình 2 b) 2cos x − 2sin x = sin x − cos x a) 3x = cos x d) 2sin 2 x − 2 2 sin x + 3tan 2 2 x − 2 3 tan 2 x + 2 = 0 c) sinx + cosx = tanx + cotx e) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 0 5 f) sin 8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + cos 2 x 4 Bài 14:Giải các phương trình sau : a) (A-2007) (1 + sin 2 x) cos x + (1 + cos 2 x) sin x = 1 + sin 2 x b) (B-2007) 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x 2  x x c) (D-2007)  sin + cos  + 3 cos x = 2  2 2  7π  1 1 + = 4 sin  − x 3π   4  d) (A-2008) sin x sin  x −   2 e) (B-2008) sin 3 x − 3 cos 3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x f) (D-2008) 2 sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x g) (D-2009) 3 cos 5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 ( ) h) (B-2009) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 cos 4 x + sin x 3 ( 1 − 2sin x ) cos x =3 i) (A-2009) ( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x ) k) (D-2010) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 l) (B-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 π ( 1 + sin x + cos 2 x ) sin � + � 1 x � � m) (A-2010) � 4� = cos x 1 + tan x 2 Bài 15. Giải các phương trình sau (các đề thi dự bị) 2+3 2 a) (A-2006) cos 3 x cos 3 x − sin 3 x sin 3 x = 8  5x π  x π 3x −  − cos −  = 2 cos b) (B-2007) sin  2 4 2 4  2 sin 2 x cos 2 x + = tan x − cot x c) (B-2007) cos x sin x d) (A-2007) 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) 1 1 e) (A-2007) sin 2 x + sin x − − = 2 cot 2 x 2 sin x sin 2 x 4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Lượng giác trong tam giác: MỘT SỐ LƯU Ý - Nắm vững các hệ thức lượng trong tam giác ABCπ ABπC ; + + = suy ra + = − ; A + B = π − C - Giữa các góc, ta có: A + B + C = π 2222 2222  A B C suy ra: sin(A + B) = sinC; cos(A + B) = -cosC; sin  +  = cos ........  2 2 2 - Ta thường biến đổi cạnh ra góc, góc ra cạnh bằng định lí hàm số sin và cosin: b2 + c2 − a 2 a a = 2RsinA, sin A = ; cos A = 2R 2bc BÀI TẬP Bài 1: Trong tam giác ABC, chứng minh: A B C A B C a) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 AB BC CA c) tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC d) tg tg + tg tg + tg tg = 1 22 22 22 2 2 2 e) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC e) cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A cos B cos C Bài 2: Trong tam giác ABC, chứng minh: a 2 + b2 + c2 R b) S = 2R2sinAsinBsinC a) cot gA + cot gB + cot gC = abc R 12 2 c) S = (a cos A + b cos B + c cos C) d) S = (a sin 2B + b sin 2A) 2 4 p R= r A B C = sin sin sin A B C e) f) 4 cos cos cos 4R 2 2 2 2 2 2 Bài 3: a) Cho tam giác ABC không vuông và góc A = 450. Chứng minh: (1 + cotB)(1 + cotC) = 2 b) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: Nếu: b4 + c4 = a4 thì: 2sin2A = tanB.tanC A C c) Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC, nếu : 2b = a + c thì: cot g . cot g = 3 2 2 d) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: Nếu a + b = c + 4R 2 2 2 2 tgAtgB + 1 = tg 2 C thì tgAtgB − 1 A B C e) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: nếu cotg cot g ,cot g , cot g lập thành cấp số cộng 2 2 2 A C thì: cot g . cot g = 3 . 2 2 Bài 4: Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu thỏa một trong các điều kiện sau: C b) tanA + 2tanB = tanA.tan2B a) tanA + tanB = 2cot 2 cos 2 A + cos 2 B 1    C C = (cot g 2 A + cot g 2 B) c) a  cot g − tgA  = b tgB − cot g  d) 2 2  2   2 sin A + sin B 2 5
LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 1 + cos B 2a + c C f) sin B = e) a + b = tg (atgA + btgB) 4a 2 − c 2 2 Bài 5: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu thỏa một trong các điều kiện sau: b c a 1 a + = + cot gA = a) b) c−b cos B cos C sin B sin C sin A 1 c) sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cos B + cos C d) S = ( a + b − c)(a + c − b ) 4 Bài 6: Chứng minh tam giác ABC vuông hoặc cân nếu thỏa mãn một trong các hệ thức: A+B b) atgB + btgA = (a + b) tg a) acosB - bcosA = asinB - bsinA 2 Bài 7: Chứng minh tam giác ABC đều nếu thỏa mãn một trong các hệ thức: a b c2 a = 2b cos C +− =1  b a ab  b)  2 b 3 + c 3 − a 3 a)  c) 3S = 2R2(sin3A + sin3B + sin3C) a= 1 cos A cos B =  b+c−a    4 d) 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) = a + b + c A B C e) cotgA + cotgB + cotgC = tg + tg + tg 2 2 2 Bài 8: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 > 8 Bài 9: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 sin A + sin B + sin C

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.