Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
(
)
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D
P A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
Đặ
t
( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
α( );( ) cosαcos ; ..
n n A A B B C C
P P n n n n
+ +
=⇒= = = + + + +
Chú ý:
( )
0 0
1 2
α( );( ) 0 α90
P P=⇒≤ ≤
(
)
(
)
0
1 2 1 2
/ /
α0
⇔ = ⇒=
P P n kn
(
)
(
)
0
1 2 1 2
. 0
α90 .
P P n n⊥ ⇔ = ⇒=
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho hai mặt phẳng
( ): 3 1 0
( ):(2 1) 3 0
P x y z
Q m x my z m
+ + − =
+ + − + + =
Tìm m
để
a)
( ) ( )
P Q
⊥
b)
( )
( );( )
α
P Q
=
v
ớ
i
5
cosα
33
=
(
Đ/s:
m
= –1)
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho hai mặt phẳng ( ): 1 0
( ):( 1) 3 (4 3) 3 0
+ + + =
− + + − + =
P x y z
Q m x y m z
Tìm
m
để
( )
( );( )
α
P Q
=
với
8
sinα
35
=
(
Đ/s: m = 1)
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a)
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =
− + − =
b)
1 0
5 0
+ − + =
− + − =
x y z
x y z
c)
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0
− + + =
+ + − =
x y z
x y z
d)
2 2 3 0
2 2 12 0
− − + =
+ + =
x y z
y z
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Xác
đị
nh m
để
góc gi
ữ
a các c
ặ
p m
ặ
t ph
ẳ
ng sau b
ằ
ng
α
cho tr
ướ
c?
a)
0
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
α90
− − + + =
+ − + − =
=
m x my z
mx m y z
b)
0
2 12 0
7 0
α45
+ + − =
+ + + =
=
mx y mz
x my z
c)
0
( 2) 2 5 0
( 3) 2 3 0
α90
+ + − + =
+ − + − =
=
m x my mz
mx m y z
d)
0
3 0
(2 1) ( 1) ( 1) 6 0
α30
− + + =
+ + − + − − =
=
mx y mz
m x m y m z
06. BÀI TOÁN VỀ GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng d
1
và d
2
có véc tơ chỉ phương lần lượt là
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; , ; ; .
= =
u a b c u a b c
Đặ
t
( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
β; cosβcos ; ..
+ +
=⇒= = =
+ + + +
u u a a b b c c
d d u u u u
a b c a b c
Chú ý:
( )
0 0
1 2
β; 0 β90
=⇒≤ ≤d d
(
)
(
)
0
1 2 1 2
/ /
β0
⇔ = ⇒=
d d u ku
(
)
(
)
0
1 2 1 2
. 0
β90 .
⊥ ⇔ = ⇒=
d d u u
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho các đường thẳng
1
1 3
:
2 1 1
− −
= =
−
x y z
d và
2
3 ( 1)
: –1 3
4
= + +
= +
= +
x m t
d y t
z mt
Tìm m
để
a)
d1 và d2 c
ắ
t nhau. Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng. (
Đ
/s: m = 1)
b)
( )
1 2
165
;α; sinα
15
= =d d
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a)
1 2
1 2 2 –
: –1 : –1 3
3 4 4 2
= + =
= + = +
= + = +
x t x t
d y t d y t
z t z t
b)
1 2
1 2 4 2 3 4
: ; :
2 1 2 3 6 2
− + − + − +
= = = =
− −
x y z x y z
d d
c)
1
3 1 2
:
2 1 1
+ − −
= =
x y z
d
và d
2
là các trục tọa độ
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Xác định m để góc giữa các cặp mặt phẳng sau bằng α cho trước?
0
1 2
1 2
: 2; : 1 2;
α60
2 2
= − + = +
= − = + =
= + = +
x t x t
d y t d y t
z t z mt
III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là
(
)
; ;
=
d
u a b c
và mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến
(
)
; ; .
=
P
n A B C
Đặt
( )
( )
2 2 2
.
γ; sin γcos ; ..
+ +
=⇒= = = + + + +
d P
d P
d P
u n Aa Bb Cc
d P u n u n
a b c A B C
Chú ý:
( )
0 0
γ; 0 γ90
=⇒≤ ≤d P
(
)
/ / . 0 0
⇔ = ⇔ + + =
d P
d P u n Aa Bb Cc
( )
⊥ ⇔ = ⇔ = =
d P
a b c
d P u kn
ABC
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
( )
1 1
:2 1 1
:3 2 5 3 0
+ −
= =
−
− + − =
x y z
d
P x y z
b)
( )
1 2
: 2 ; :2 2 1 0
3
= +
= − − + − =
=
x t
d y t P x y z
z t
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tìm tham s
ố
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng d song song v
ớ
i (P):
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
a)
( )
1 2
:2 3 1
: (2 1) 3 1 0
+ −
= =
−
− + + − + =
x y z
d
P x m y mz m
b)
( )
2 2
: 1 3 ; : 2 (1 ) 2 3 0
= −
= + − − + − + =
=
x t
d y t P mx m y z m
z t
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Tìm
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
d
t
ạ
o v
ớ
i (
P
) góc 300
a)
( )
2 1
:1 2 1
:( 1) 2 0
+ +
= =
−
+ + + − =
x y z
d
P m x my z m
b)
( )
1
: 2 ; : ( 2) 5 3 0
3
= +
= − + + + + − =
=
x t
d y t P x m y mz m
z t
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
1 2
:1 1 1
:2 ( 2) 3 0
− −
= =
−
+ + + − =
x y z
d
P x m y mz
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
a)
d
// (
P
)
Đ
/s: Không t
ồ
n t
ạ
i
m
.
b)
d
t
ạ
o v
ớ
i (
P
) góc
φ
v
ớ
i
7
cosφ
3
= Đ/s:
m
= 2;
m
= –4
Ví dụ 5:
[ĐVH].
Cho đường thẳng và mặt phẳng
( )
1 1
:1 3 2
:2 ( 3) (4 1) 1 0
+ −
= =
−
+ + + − + =
x y z
d
P x m y m z
Tìm giá trị của tham số
m
để
a)
d
// (
P
) Đ/s: Không tồn tại
m
.
b)
d
tạo với (
P
) góc φ với
8
sinφ
406
= Đ/s:
m
= 1