zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học môn Toán: Hệ phương trình đồng bậc - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

302
lượt xem 53
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Hệ phương trình đồng bậc - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về hệ phương trình đồng bậc thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Hệ phương trình đồng bậc - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 10. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 2 x 2 − 4 xy + y 2 = −1 Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3 x + 2 xy + 2 y = 7 2 2  x 2 + 2 xy − 3 y 2 = 0 Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x x + y y = −2  x3 − 8 x = y 3 + 2 y  ( ) Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2  x − 3 = 3 y + 1 2  x3 + 4 y = y 3 + 16 x Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  1 + y = 5 (1 + x ) 2 2 ( 2 y x 2 − y 2 = 3x  ) Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  (  x x + y = 10 y 2 ) 2 Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  ( )  x 2 1 + y 2 = 2  x 2 y 2 + xy = 3 x 2 − 1  x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9 (1) Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2  x − 4 xy + 5 y = 5 ( 2 ) 2 Hướng dẫn giải: Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc x = 5y ⇒ 5 ( x 2 − 2 xy + 3 y 2 ) = 9 ( x 2 − 4 xy + 5 y 2 ) ⇔ 4 x 2 − 26 xy + 30 y 2 = 0 ⇔ ( x − 5 y )( 2 x − 3 y ) = 0 ⇔  Với 2 x = 3 y 1 2 5 2 x = 5 y thay vào (1) ta có 18 y 2 = 9 ⇔ y 2 = ⇔ y = ± tương ứng x = ± . 2 2 2 3y Với x = thay vào (1) ta có y 2 = 4 ⇔ y = ±2 tương ứng x = ±3 . 2 5 2 2   5 2 2 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là  ;  ;  − ;−  ; ( 3; 2 ) ; ( −3; −2 ) .  2 2   2 2   x y + y x = 30 (1) 2 2 Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3  x + y = 35 ( 2 ) 3 Hướng dẫn giải: Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp đồng bậc. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc  x = − y  7 ( x 2 y + y 2 x ) = 6 ( x3 + y 3 ) ⇔ 6 x3 − 7 x 2 y − 7 y 2 x − 6 y 3 = 0 ⇔ ( x + y )( 2 x − 3 y )( 3 x − 2 y ) = 0 ⇔  x = y Với 3  2  2 x = y  3 x = − y thay vào (2) suy ra vô nghiệm. 3 +) Với x = y thay vào (2) ta có y 3 = 8 ⇔ y = 2 suy ra x = 3 . 2 2 +) Với x = y thay vào (2) ta có y 3 = 27 ⇔ y = 3 suy ra x = 2 . 3 Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = {( 3; 2 ) , ( 2;3)} .  2 2 x 2 − y 2 = y 2 − 2 x 2 + 3, (1) Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x − 2 y = y − 2 x, (2) 3 3 Hướng dẫn giải: Điều kiện: 2 x 2 ≥ y 2 .  2x2 − y 2 = 1 Ta có (1) ⇔ (2 x − y ) + 2 2 x − y − 3 = 0 ⇔  2 2 2 2 ⇒ 2 x 2 − y 2 = 1.  2 x 2 − y 2 = −3 < 0  Khi đó (2) ⇔ x3 − 2 y 3 = ( y − 2 x).1 ⇔ x3 − 2 y 3 = ( y − 2 x).( x 2 − 2 y 2 ) ⇔ x3 − 2 y 3 = 2 x 2 y − 4 x3 − y 3 + 2 xy 2 ⇔ 5 x3 − 2 x 2 y − 2 xy 2 − y3 = 0, (*) Do y = 0 không thỏa mãn (*) nên chia (*) cho y ≠ 0 ta được 3 2 x x x x  − 2   − 2   − 1 = 0 . Đặt t = ta có phương trình 5t − 2t − 2t − 1 = 0 3 2 5 y  y   y y t = 1 ⇔ (t − 1)(5t 2 + 3t + 1) = 0 ⇔  2 5t + 3t + 1 = 0 ⇒ vno x = 0 ⇒ y = 0 Với t = 1 ⇒ x = y. Thay vào (2) ta được x − x = 0 ⇔  x = −1 ⇒ y = −1 3  x = 1 ⇒ y = 1 Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta được x = y = 1 và x = y = −1 thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {(1;1),(−1; −1)}.  x + y + x − y = 2 y (1) Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình   x + 5 y = 3 ( 2) Hướng dẫn giải: Điều kiện của phương trình x ≥ y ≥ 0 Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc 2 y − x ≥ 0 x + y + x − y = 2 y ⇔ 2x+2 x 2 − y 2 = 4 y ⇔ x 2 − y 2 = 2 y − x ⇔  2  x − y = ( 2 y − x ) 2 2 2 y ≥ x 2 y ≥ x  ⇔ 2 ⇔  y = 0 5 y − 4 xy = 0   5 y − 4 x = 0 Với y = 0 thay vào (2) ta suy ra x = 9 (loại) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 4 Với 5 y − 4 x = 0 thay vào (2) ta có x =1⇔ x =1⇒ y = (thỏa mãn). 5  4 Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;  .  5  x 2 + xy + y 2 = 3  Ví dụ 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  x5 + y 5 31  x3 + y 3 = 7  Hướng dẫn giải: Điều kiện của phương trình x ≠ − y  x 2 + xy + y 2 = 3  2  5  x + xy + y 2 = 3 (1)  x + y 5 31 ⇔   x3 + y 3 = 7 7 ( x + y ) = 31( x + y ) ( 2 ) 5 5 3 3  Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc 21( x5 + y 5 ) = 31( x 2 + xy + y 2 )( x3 + y 3 ) ⇔ 10 x5 + 31x 4 y + 31x3 y 2 + 31xy 4 + 10 y 4 = 0 ( 3 ) . Rõ ràng x = y = 0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x = ty thay vào (3) ta được: y 5 (10t 5 + 31t 4 + 31t 3 + 31t + 10 ) = 0 ⇔ 10t 5 + 31t 4 + 31t 3 + 31t + 10 = 0 t + 1 = 0 ⇔ ( t + 1) (10t 4 + 21t 3 + 10t 2 + 21t + 10 ) = 0 ⇔  4 10t + 21t + 10t + 21t + 10 = 0 3 2 Với t + 1 = 0 ⇔ t = −1 hay x = − y ⇔ x + y = 0 (loại). Với 10t 4 + 21t 3 + 10t 2 + 21t + 10 = 0 ( 3) . Vì t = 0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế  1  1 phương trình cho t 2 ta được: 10  t 2 + 2  + 21 t +  + 10 = 0 ,  t   t 1 1 1 Đặt u = t + ⇒ u ≥ 2; u 2 = t 2 + 2 + 2 ⇒ t 2 + 2 = u 2 − 2 . Khi đó (3) trở thành t t t  2  u = (loại) 5 10u 2 + 21u − 10 = 0 ⇔  u = − 5  2 t = −2 5 1 5 +) Với u = − ta có t + = − ⇔ 2t + 5t + 2 = 0 ⇔  2 2 t 2 t = − 1  2 +) Với t = −2 ta có x = −2 y thế vào (1) ta có 3 y = 3 ⇔ y = 1 ⇔ y = ±1 tương ứng x = ∓2 . 2 2 1 +) Với t = − ta có y = −2 x thế vào (1) ta có 3 x 2 = 3 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 tương ứng y = ∓2 . 2 Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là (1; −2 ) , ( −1; 2 ) , ( 2; −1) , ( −2;1) .  x y − y = 7 3 4 Ví dụ 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2  x y + 2 xy + y = 9 2 3 Hướng dẫn giải:  y ( x − y ) = 7 (1)  3 3  x y − y = 7 3 4 Ta có hệ tương đươnng với  2 ⇔  x y + 2 xy + y = 9  y ( x + y ) = 9 ( 2 ) 2 3 2 Từ hệ suy ra x.y ≠ 0; x ≠ ± y, y > 0 . Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn. Lấy hai phương trình thu được chia cho y3 ( x3 − y3 ) 3 73 nhau ta thu được phương trình đồng bậc: = . Đặt x = ty ta được phương y4 ( x + y ) 8 94 (t ) 3 3 −1 73 trình: = ( 3) . Từ phương trình này suy ra t > 1 . ( t + 1) 8 94 (t ) 3 3 −1 Xét f (t ) = ; ∀t > 1. ( t + 1) 8 ( ) ( t + 1) ( − 8 ( t + 1) t 3 − 1 ) = (t ) ( t + 1) ( 9t ) 2 3 2 9t 2 t 3 − 1 −1 + 9t 2 − 8t 3 + 8 8 7 3 7 3 f' ( t ) = ( t + 1) ( t + 1) 8 8 (t ) ( t + 1) ( t ) > 0 ∀t > 1 2 −1 + 9t 2 + 8 3 7 3 = ( t + 1) 8 Vậy f(t) đồng biến với mọi t > 1 . Nhận thấy t = 2 là nghiệm của (3). Vậy t = 2 là nghiệm duy nhất. Với t = 2 ta có x = 2 y thế vào (1) ta được y 4 = 1 ⇔ y = 1 (vì y > 0 ) suy ra x = 2 . Vậy hệ có nghiệm là ( 2;1) . BÀI TẬP LUYỆN TẬP:  y 2 − 3 xy = 4 Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau   x − 4 xy + y = 1 2 2 3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11 Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau   x + 2 xy + 3 y = 17 2 2 3 x 2 − 5 xy − 4 y 2 = −3 Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2 9 y + 11xy − 8 x = 6 2 2 x + 3 xy + y = 15 2 2 Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2  x + xy + 2 y = 8 2 6 x 2 − xy − 2 y 2 = 56 Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2 5 x − xy − y = 49 2  x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9 Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau   x − 4 xy + 5 y = 5 2 2  x 2 + 2 xy + 3 y 2 = 9 Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2 2 x + 2 xy + y = 2 2  x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9 Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2 2 x − 13 xy + 15 y = 0 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 y (  x 2 x − y = 1 2 2 ) Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  ( )  x x2 + y 2 = 2  y  x 2 + y 2 + xy = 3 Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau   x + 2 y = y + 2 x 3 3  4 x 2 + 2 xy = 3 Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2  y + 2 xy = −2  x + y − xy = 1 2 2 Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau   2 x = x + y 3  x3 + y 3 = 2 x 2 y 2 Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2 y + x = 3 xy  x 2 + y 2 = 2 Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau   x + y + xy = x + 2 y 3 3 2  x + y = 2 xy 3 Bài 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2 x + y = 3 x y 3 3 3 3 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.