zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi đại học môn toán - phương pháp giới hạn vô định_02

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Huỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

193
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'luyện thi đại học môn toán - phương pháp giới hạn vô định_02', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi đại học môn toán - phương pháp giới hạn vô định_02

Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Phương pháp : Thực hiện các phép biến đổi đại số và lƣợng giác để sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản sau đây : sinx x  1, lim 1 +) lim x 0 x 0 sinx x sinax sinax sinax  lim( +) lim .a) =a.lim =a x 0 x 0 x 0 x ax ax sinax sinax bx ax sinax bx ax a  lim( . )  lim  +) lim . .lim .lim x 0 sinbx x 0 ax sinbx bx x 0 ax x 0 sinbx x 0 bx b tgax sinax a sinax a  lim( )  lim a +) lim . .lim x 0 x 0 x 0 ax x 0 cosax x ax cosax Trong quá trình biến đổi, học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức lƣợng giác, thêm bớt, nhân liên hợp … Ví dụ áp dụng 1+sinax - cosax Ví dụ 13 : L13  lim x 0 1- sinbx - cosbx Bài giải : 1+sinax - cosax 1- cosax+sinax L13  lim  lim  x 0 1- sinbx - cosbx x 0 1- cosbx - sinbx ax  ax ax  2sin  sin  cos  ax ax ax 2sin 2 +2sin cos 2 2 2 2  lim  2 2 = lim bx  bx bx  x 0 x 0 2 bx bx bx 2sin - 2sin cos 2sin  sin - cos  2 2 2 2 2 2 ax ax ax sin  cos sin 2 a 2 .lim 2 = lim x 0 bx x 0 bx bx b sin sin - cos 2 2 2 a Vậy L13   b 1  cosax Ví dụ 14 : L14  lim x2 x 0 Bài giải : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 11
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số   2 2    ax ax ax  sin 2 2 2sin sin a a  1  cosax 2 a2 2  lim  2 2  .    lim ax L14  lim  lim   ax   2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 2   2       2 a2 Vậy L14  2 1  xsinx - cos2x Ví dụ 15 : L15  lim x 0 sin 2 x Bài giải : 1  xsinx - cos2x (1 - cos2x)  xsinx L15  x 0  lim  lim x 0 2 sin 2 x sin x 2sin 2 x  xsinx sinx(2sinx  x) 2sinx  x  lim  lim  lim  x 0 x 0 x 0 2 2 sin x sin x sin x  x x  2 1  3  lim  2    2  x 0 lim x 0  sin x  sin x Vậy L15 = 3 1- cosx.cos2x...cosnx Ví dụ 16 : L16  x 0 (n  N* ) lim x2 Bài giải : 1- cosx.cos2x...cosnx L16  lim  x 0 x2 1-cosx+cosx-cosxcos2x+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x-cosx.cos2x...cosnx  lim x 0 x2 1-cosx+cosx(1- cos2x)+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx)  lim x 0 x2 1-cosx cosx(1-cos2x) cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx)  lim  lim  ...  lim x 0 x 0 x 0 2 2 x2 x x Theo kết quả bài 14 ta có : 1-cosx 12  lim x 0 x2 2 1-cos2x 22 cosx(1-cos2x)   lim cosx. lim lim x 0 x 0 x 0 x2 x2 2 … TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 12
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx)  lim x 0 x2 1- cosnx n 2  lim cosx. lim cos2x... lim cos(n-1)x. lim  x 0 x 0 x 0 x 0 x2 2 n 2 12  22  ...  n 2 n(n+1)(2n+1) 12 22 Do đó L16    ...    22 2 2 12 Trong bài tập này ta đã sử dụng thuật thêm bớt : cosx, cosxcos2x,…, cosxcos2x…cos(n - 1)x để biến đổi và tính giới hạn đã cho. Có thể nhận thấy thuật thêm bớt đóng vai trò quan trọng trong kỹ năng biến đổi đối với bài tập này. 1  x 2  cosx Ví dụ 17 : L17  x 0 lim x2 Bài giải : 1  x 2  cosx ( 1  x 2 1)  (1  cosx) L17  lim  lim  x 0 x 0 x2 x2 x 2 2sin 1  x 2 1 1  cosx ( 1  x 2 1)( 1  x 2  1) 2  lim  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x2 x2 x2 x ( 1  x  1) 2 2 2  x x 2 2sin  sin 2  1 1  x 2 1 1 2  lim  lim  lim  lim  .  x 0 2 x 0 x 0 1  x 2 1 x  0  x  2 2 x ( 1  x 2  1) x 2 11   1 22 Vậy L17 = 1. Kết luận : Để khử dạng vô định đối với hàm số lƣợng giác, học sinh cần nắm vững và vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đại số, lƣợng giác cũng nhƣ áp dụng sinx  1 đƣợc sử dụng trực tiếp, các giới hạn cơ bản. Ở đây chỉ có giới hạn x 0 lim x các kết quả còn lại khi làm bài phải chứng minh lại. TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 13
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số sinx  1 , cần đƣa hàm số cần tính giới hạn về Để vận dụng giới hạn lim x 0 x sin f (x) f (x) tgf (x) với lim f (x)  0 bằng cách dạng : lim , lim , lim x  x0 f (x) x  x0 sin f (x) x  x 0 f (x) x  x0 thêm, bớt, đổi biến hay nhân, chia đồng thời với một lƣợng thích hợp nào đó. Trong khi giải bài tập, học sinh có thể gặp khó khăn, lúng túng để đƣa về các dạng trên. Giáo viên cần khắc phục bằng cách cho học sinh làm các bài tập nhƣ : sin(x 1) sinx 2 lim , lim 2 , ... x 0 1  cosx x 1 x  3x+2 Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 1+sinx  1  sinx (a+x)sin(a+x)  asina 1) x  0 2) lim lim x 0 tgx x 2sin 2 x+sinx 1 1  cosxcos2xco3x 3) lim 4) x  0 lim 1  cosx 2sin 2 x  3sinx+1 x 0 1  cotg3x 1  cosx cos2x 3 cos3x 5) lim 6) lim 1  cos2x x  2  cotgx  cotg x x 0 π 3 4 0 6. Giới hạn dạng vô định của hàm số mũ và lôgarit. 0 Phương pháp : Thực hiện các phép biến đổi và sử dụng các giới hạn cơ bản sau đây : ex 1 1 +) x  0 lim x ln(1  x) 1 +) x  0 lim x Các giới hạn trên đều đƣợc thừa nhận hoặc đã chứng minh trong Sách giáo khoa. Ngoài ra giáo viên cần đƣa ra cho học sinh hai giới hạn sau : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 14
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số  exlna 1  a x 1 exlna 1  x 0  .ln a   lna ( Vì lim 1) +) lim lim   x 0 x x  0 xlna  x.lna  loga (1 x) ln(1 x) 1 ln(1 x)  lim   ln a +) lim . lim x 0 x  0 x.lna ln a x 0 x x Ví dụ áp dụng : eax  ebx Ví dụ 18 : L18  lim x 0 x Bài giải : (eax 1)  (ebx 1) L18  x 0 e  e  x 0 ax bx  lim lim x x (eax 1) (ebx 1)  lim  lim  x 0 x 0 x x (eax 1) (ebx 1)  a. lim  b. lim  x 0 x 0 ax bx a b Vậy L18 = a - b. Trong bài tập này để sử dụng giới hạn cơ bản ta đã thực hiện thêm bớt 1 và tách thành hai giới hạn. Cần nhấn mạnh cho học sinh khi x  0 thì ax  0 , (eax 1) ( ebx 1) 1, lim 1 . do vậy lim x 0 x 0 ax bx esin2x  esinx Ví dụ 19 : L19  lim x 0 sinx Bài giải : (esin2x 1)  (esinx 1) esin2x  esinx L19  lim  lim  x 0 x 0 sinx sinx esin2x 1 esinx 1  lim  lim  x  0 sinx x  0 sinx  esin2x 1  esinx 1  lim  .2cosx   lim  x  0  sin2x  x  0 sinx    esin2x 1  esinx 1   lim   . lim (2cosx)  lim x  0  sin2x  x  0 x  0 sinx    2 1  1 TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 15
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Vậy L19 = 1. 2x  x 2 Ví dụ 20 : L20  lim x 2 x  2 Bài giải : 2x  x 2 (2x  4)  (x 2  4) L20  lim  lim  x 2 x  2 x 2 x 2 4(2x 2  1) (x  2)(x+2) 2x  4 x2  4  lim  lim  lim  lim  x 2 x  2 x 2 x  2 x 2 x 2 x 2 x 2 2x  2  1  lim (x+2)  4ln 2  4  4 lim x 2 x  2 x 2 Vậy L20 = 4ln2 - 4 1  x 2  e2x 2 3 Ví dụ 21 : L21  x 0 lim ln(1+x 2 ) Bài giải : ( 3 1 x 2 1)  (e2x 1) 1 x 2  e2x 2 2 3 L21  lim  lim  x 0 x 0 ln(1+x 2 ) ln(1+x 2 ) ( 3 1 x 2 1)  (e2x 1) e2x 1 1  x 2 1 2 2 3  lim  lim  lim  x 0 x  0 ln(1+x 2 ) x  0 ln(1+x 2 ) ln(1+x 2 )  e2x 1 2x 2  1 x 2 1)( 3 (1 x 2 )2  3 1  x 2  1) 2 3 (   lim   lim . x  0  2x 2 ln(1+x 2 )  x 0 ( (1 x )  1  x  1)ln(1+x ) 2 3 22 2 3   e2x 1 2x 2 2 x2  lim  lim  . lim ( (1 x 2 )2  3 1 x 2  1)ln(1+x 2 ) x 0 2x x 0 ln(1+x ) x 0 3 2 2 e2x  1 2x 2 2 x2 1  lim  lim  . lim . lim x  0 ln(1+x 2 ) x  0 2x 2 x  0 ln(1+x 2 ) x 0 3 (1  x 2 ) 2  1  x 2  1 3 1 7  .1 1.(2)  3 3 7 Vậy L21  3 Kết luận : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 16
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Để tính các giới hạn dạng vô định của hàm số mũ và lôgarit, học sinh thực hiện các phép biến đổi để áp dụng các giới hạn cơ bản. Yêu cầu học sinh phải thành thạo các phép toán về luỹ thừa và lôgarit. Để sử dụng các giới hạn cơ bản, bằng cách thêm, bớt, nhân liên hợp, … học sinh phải biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về một trong các dạng : ln 1+f(x)  loga 1+f(x)  ef(x) 1 a f(x) 1 với lim f (x)  0 lim , lim , lim , lim x  x0 x  x0 f(x) x  x 0 f(x) x  x0 x  x0 f(x) f(x) Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 9x  5x 2) lim 1)  3x x  0 4x 2 3x  cosx (1  ex )(1  cosx) 3) lim 4) x  0 lim 2x3  3x 4 x2 x 0 1 1 x  esin2x  esinx 5) lim  .ln  6) x  0 lim x 0  x 1 x  5x + tg 2 x    II. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH   Giới hạn dạng vô định có dạng là :  f(x) L  lim trong đó : lim f(x)  lim g(x)   x x x x x  x0 g(x) 0 0 (x   ) (x  ) (x ) Để khử dạng vô định này, phƣơng pháp thông thƣờng là chia cả tử và mẫu f(x) cho luỹ thừa bậc cao nhất của tử và mẫu của phân thức . Cụ thể nhƣ sau : g(x) 1) Nếu f(x), g(x) là các đa thức có bậc tƣơng ứng là m, n thì ta chia cả f(x), g(x) cho xk với k = max{m, n} a m x m +a m1x m1 +...+a1x+a 0 với a m ,bn  0, m,n  N* L  lim n 1 x   b x n +b n 1x +...+b1x+b0 n Khi đó xảy ra một trong ba trƣờng hợp sau : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 17
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số +) m = n (bậc của tử và mẫu bằng nhau), chia cả tử và mẫu cho xn ta a a a a m + m1 +...+ n1 1 + 0  x n  lim a m  a m L  xlim x x đƣợc:  x  b b b b bn bn + n 1 +...+ n1 1 + 0 n  n x x x +) m > n (bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, k = m), chia cả tử và mẫu cho m x ta đƣợc : a0 a m1 a am + +...+ m11 + m L  xlim x  lim a m   x x  b b b0 x   b n bn 1 n+ +...+ 1 + m x mn x mn x mn+1 xx +) m < n (bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, k = n), tƣơng tự nhƣ trên ta có : a0 a m1 am n m  n m+1  ...  n L  xlim x x 0 x  b b bn  n 1  ...  0 xn x Học sinh cần vận dụng kết quả : 1 1 lim f (x)    lim  0, lim f (x)  0  lim  x x x  x f (x) x x x x f (x) 0 0 0 0 Sau khi xét ba trƣờng hợp này, học sinh cần tự rút ra nhận xét kết quả giới hạn cần tìm dựa vào bậc của tử và mẫu. Lƣu ý là có thể chia tử và mẫu cho xh với h min{m, n}. 2) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức có chứa căn thức thì ta quy ƣớc lấy giá m t rị ( trong đó k là bậc của căn thức, m là số mũ cao nhất của các số hạng k trong căn thức) là bậc của căn thức đó. Bậc của tử ( mẫu) đƣợc xác định là bậc cao nhất các biểu thức trên tử ( dƣới mẫu). Sau đó ta áp dụng phƣơng pháp khử nhƣ với trƣờng hợp f(x), g(x) là các đa thức. Qua đó học sinh có thể dễ dàng  phán đoán kết quả giới hạn dạng cần tìm.  Ví dụ áp dụng : 2x3  3x 2 1 Ví dụ 22 : L22  xlim 5x3  6  TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 18
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Bài giải : Chia cả tử và mẫu cho x3 ta đƣợc : 31 2  3 2 2x  3x 1 3 2 L22  xlim x x  lim 5x  6  x  3 6 5 5 3 x 2 Vậy L22  . Ta có thể trình bày theo cách sau : 5  3 1 x3  2   3  31 2  3 2 2x  3x 1 3 2 x x  L22  xlim x x  lim  lim 5x  6  x  x   6 3 6 5 5 3 x3  5  3  x  x  3x 2 (2x 1)(3x 2  x+2)  Ví dụ 23 : L23  xlim       4x 2  2x+1  Bài giải :   L23  xlim  3x  (2x 1)(3x2  x+2)   xlim 12x  (2x+1)(3x  x+2)  2 2 4 2     2  2x+1 4x 4x (2x+1)  512 4   2  3 4x  5x  x+2 3 2 x x x 4 1  lim  lim 8x  4x x  x  3 2 4 8 2 8+ x 1 Vậy L23   2 (x 1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5) Ví dụ 24 : L24  xlim (5x 1)5  Bài giải : (x 1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5) L24  lim  (5x 1)5 x   1  2  3  4   5  1  1  1  1   1   x  x  x  x   x  1   lim  x  5 55  1 5   x  1 Vậy L24  55 TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 19
Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số x+3 Ví dụ 25 : L25  lim x  x 2 1 Bài giải : Chia cả tử và mẫu cho x ta đƣợc : 1+ 3 x+3 L25  xlim x  lim  x  x 1 x 1 2 2 x Vì phải đƣa x vào trong căn bậc hai nên ta xét hai trƣờng hợp : *) x    x > 0  x  x2 1+ 3 1+ 3 1+ 3 x  lim x  lim x 1 Khi đó : lim x +  x +  x +  x 1 x 1 2 2 1 12 x x x2 *) x    x < 0  x   x 2 1+ 3 1+ 3 1+ 3 x  lim x  lim x  1 Khi đó, ta có : lim x  x  x  x 1 x 1 2 2  1 2 1 x x  x2 x+3  1, lim x+3  1 nên không tồn tại lim x+3 Vì lim x  x  x  x 2 1 x 2 1 x 2 1 9x 2  1  3 x 2  4 Ví dụ 26 : L26  xlim  16x 4  3  5 x 4  7 4 Bài giải : Chia cả tử và mẫu cho x ta đƣợc : 9x 2  1 3 x 2  4  9x  1  x  4 3 2 2 L26  lim x x  lim  x  4 x  4 16x  3  x  7 16x  3 x 7 54 54 4 4  x x 9x 2  1 3 1 4   x x3 x  lim x  4 16x 4  3 5 1 7   x x5 x Tƣơng tự Bài 25, ta xét hai trƣờng hợp : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.