zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp tính tích phân - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Le Vy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

136
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo: Phương pháp tính tích phân dành cho các bạn học sinh nhằm trau dồi và củng cố kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Phương pháp tính tích phân - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tài li u bài gi ng: 12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1 Th y ng Vi t Hùng D NG 1. PP LƯ NG GIÁC HÓA x = a sin t dx = a cos tdt  N u f(x) có ch a a 2 − x 2 →  2   a − x = a − a sin t = a cos t 2 2 2 2   adt dx =  a 2 + x 2 x = a tan t   cos 2 t N u f(x) có ch a    → a 2 + x2   a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a   cos t  −a cos dt dx = sin 2 t a x=  N u f(x) có ch a x 2 − a 2   →sin t  x2 − a2 = a2 − a 2 = a cot t   sin 2 t Chú ý: Sau khi t n ph ta ph i i c n theo n ph v a t. Ví d 1: Tính các tích phân sau 1 2 9 + 3x 2 3 2 2 x2 a) I1 = ∫ 1 − x 2 dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx 0 1 x2 0 1 − x2 4 x2 − 4 3 3 dx d) I 4 = ∫ e) I 5 = ∫ dx 0 9 + x2 2 x3 L i gi i: dx = cos tdt  a) t x = sin t ⇒   1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2  x = 0 ⇒ t = 0  ic n:  1 π  cos t = cos t → x = 2 ⇒ t = 6  1 π π π π 1 6 2 6 6 16 1 π 3 ⇒ I1 = ∫ 1 − x dx = ∫ 2 1 − sin 2 t cos tdt = ∫ cos 2 tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = + 0 0 0 20 2 4 0 12 8  3dt  dx =  cos 2 t b) t x = 3 tan t ⇒   9 + 3 x 2 = 9 + 9 tan 2 t = 3   cos t  π x = 1 ⇒ t = 6  ic n:   cos t = cos t → x = 3 ⇒ t = π   4 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i dành 9 i m Toán! H c Online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - πhttp://www.simpopdf.com π π π 9 + 3x 9 + 9 tan t 3 2 4 2 4 4 4 dt dt cos tdt I2 = ∫ x 2 dx = 3∫ 2 2 π 3tan t cos t dt = 3∫ sin t 2 = 3∫ 2 π cos t .sin t = 3∫ 2 2 π cos t .sin t = 1 π cos t.cos 2 t 6 6 cos 2 t 6 6 π π π 4 d (sin t ) 4  1 1  3  1 1 1  = 3∫ = 3∫  + 2  d (sin t ) = 3∫  + +  d (sin t ) = π (1 − sin t ).sin t π  1 − sin t π  2(1 − sin t ) 2(1 + sin t ) sin 2 t  2 2 2 sin t  6 6 6 π π π π π 4 3 d (sin t ) 3 d (sin t ) d (sin t ) 3 1 + sin t 4 4 4 3 4 3 2+ 2  6 = ∫ + ∫ + 3∫ = ln − =  ln  2− 2 − ln 3  + 6 −  2 π 1 − sin t 2 π 1 + sin t π sin t 2 2 1 − sin t π sin t π 2  2 6 6 6 6 6 dx = cos tdt  c) t x = sin t ⇒   1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2  x = 0 ⇒ t = 0  ic n:  2 π  cos t = cos t → x = ⇒t =  2 4 π π π π π π 1 1 4 π 1 4 2 4 2 4 2 4 4 x dx sin t cos t sin t cos t 1 I3 = ∫ =∫ dt = ∫ dt = ∫ sin 2 tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − . 0 1− x 2 0 1 − sin t 2 0 cos t 0 20 2 4 0 8 4   dx = cos 2 t = 3 (1 + tan t ) dt 3dt 2 d) t x = 3tan t ⇒  9 + x 2 = 9 (1 + tan 2 t )  x = 0 ⇒ t = 0 π π (1 + tan 2 t )dt 1 4 π 3  dx 4 ic n:  π  I 4 = ∫ → = 3∫ = t = x = 3 ⇒ t = 4 9 + x2 9 + 9 tan 2 t 3 0 12  0 0  2cos tdt dx = − sin 2 t 2  e) t x = ⇒ 2 sin t  x 2 − 4 = 4 cos t = 2 cot t   sin 2 t  π x = 2 ⇒ t = 2  ic n:   cot t = cot t → x = 4 ⇒ t = π   3 3 4 π π π π 3 x −4 2 3 2cos t.2cos t 1 1 2 1 1 2 π 2 3 Ta có I 5 = ∫ 3 dx = − ∫ dt = ∫ cos 2 tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = − 2 x π sin t .sin 2 t . 8 2π 4π 4 2  π 24 16 3 2 sin 3 t 3 3 BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Tính các tích phân sau : 1 2 1 2 2 2 2 x dx a) ∫ 0 1− x 2 dx b) ∫0 1− x 2 dx c) ∫ 0 1 − x2 Bài 2: Tính các tích phân sau : 3 2 1 2 dx 1− x 2 ∫ x 4 − x dx ∫ ∫ 2 2 a) b) c) dx 1 0 (1 − x 2 )3 2 x2 2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i dành 9 i m Toán! H c Online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bài 3: Tính cácMerge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF tích phân sau : 3 1 1 2 dx x 2 x2 a) ∫ 0 4 − x2 b) ∫ 0 4 − x2 dx c) ∫ 0 9 − x2 dx Bài 4: Tính các tích phân sau : 3 2− x 2 2 2 ∫x ∫x 2 x − x dx ∫ 2 2 2 a) 1− x dx b) c) dx 2 0 0 x+2 2 Bài 5: Tính các tích phân sau : 1 1 2 1 2 2 x dx x dx a) ∫ 0 4− x 6 b) ∫ 0 3 + 2x − x 2 c) ∫ 0 1 − 2 x 1 − x 2 dx π π 3 3 /.s: a) I = b) I = + −4 18 2 2 Bài 6: Tính các tích phân sau: 3 1 1 dx dx xdx a) ∫ 9 + x2 0 b) ∫ 0 (1 + x 2 )3 c) ∫x 0 4 + x2 + 1 Bài 7: Tính các tích phân sau: 1 1 0 dx dx dx a) ∫ 4 b) ∫ c) ∫ 0 x + 4 x2 + 3 0 (1 + x 2 ) 2 −1 x + 2x + 2 2 Bài 8: Tính các tích phân sau: x2 − 1 x2 − 9 2 6 1 1 a) ∫ dx b) ∫ dx c) ∫ dx 1 x 3 x 0 (1 + x ) 2 3 Bài 9: Tính các tích phân sau 1+ 2 2 x2 − 2 x − 1 3 3 5 1 x a) ∫ x2 x2 − 9 dx b) ∫ 3 x −1 dx c) ∫ 0 x2 + 4 dx 3 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i dành 9 i m Toán! H c Online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tài li u bài gi ng: 12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2 Th y ng Vi t Hùng D NG 2. PP T N PH Trong bi u th c c a f(x)dx có ch a căn thì t căn ó b ng t. Trong bi u th c c a f(x)dx có ch a bi u th c lũy th a b c cao thì t bi u th c ó b ng t. Trong bi u th c c a f(x)dx có ch a hàm mũ v i bi u th c trên mũ là m t hàm s thì t bi u th c trên mũ b ng t. Ví d 1: Tính các tích phân sau: 7 5 1 x 3 dx 1. I1 = ∫ 0 3 1 + x2 2. I 2 = ∫ x( x − 4) 20 dx 4 3. I 3 = ∫ x15 1 + 3x8 dx 0 e3 − 2 1 + 3ln x ln x x2 + 1 e 2 ln x 4. I 4 = ∫ 1 x dx 5. I 5 = ∫ x ln x + 1 dx 6. I 5 = −2 ∫ x x2 + 1 dx 1 L i gi i:  2 xdx = 3t dt  2 1. t 3 1 + x2 = t ⇔ 1 + x2 = t 3 ⇒  2 3 x = t −1  x = 0 ⇒ t = 1 2 3 (t 3 − 1)t 2  3t 5 3t 2  7 7 2 2  x3 dx x 2 .xdx 3 4 141 ic n:   I1 = → ∫ = ∫ = ∫ dt = ∫ (t − t )dt =  −  = x = 7 ⇒ t = 2  1 + x2 1+ x 21 t 21  10 4  1 20 3 3 2 0 0  dx = dt 2. t x − 4 = t ⇒  x = t + 4 1 x = 4 ⇒ t = 0 5 1 1 1  t 22 4t 21  109 ic n:   I 2 = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + 4 ∫ t 20 dt =  → +  = x = 5 ⇒ t = 1 4 0 0 0  22 21  0 462  tdt 24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12 7 7  3. t 1 + 3 x8 = t ⇔ 1 + 3 x8 = t 2 ⇒   x8 = t − 1 2   3 x = 0 ⇒ t = 1 ic n:  x = 1 ⇒ t = 2 2 1 (t 2 − 1) 1  t5 t3  1 2 2 2 1 29  I 3 = ∫ x → 15 1 + 3 x dx = ∫ x 8 8 1 + 3x .x dx = ∫ 8 7 .t.tdt = ∫ (t 4 − t 2 )dt =  −  = . 0 1 12 1 3 36 1 36  5 3  1 270 1 + 3ln x ln x e e 4. I 4 = ∫ dx = ∫ 1 + 3ln x ln xd (ln x) 1 x 1 3d (ln x) = 2tdt  t 1 + 3ln x = t ⇔ 1 + 3ln x = t ⇒  t2 −1 2  ln x =  3 2 x = 1 ⇒ t = 1 e 2 t2 −1 2 2 2  2t 5 2t 3  116 ic n:   I 4 = ∫ 1 + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t. → . tdt = ∫ (t 4 − t 2 )dt =  −  = . x = 3 ⇒ t = 2 1 1 3 3 91  45 27  1 135 e3 e3 ln 2 x ln 2 x 5. I 5 = ∫ dx = ∫ d (ln x) 1 x ln x + 1 1 ln x + 1  d (ln x) = 2tdt t 1 + ln x = t ⇔ 1 + ln x = t 2 ⇒  ln x = t − 1 2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 2 Simpo  x = 1 ⇒ t = 1 and Splite Unregistered Version 1) 2http://www.simpopdf.comt 5 PDF Merge ln 2 x 2 (t 2 − - 2t 3 2  2t 3  76 ic n:   I 5 = ∫ → d (ln x) = ∫ dt = 2 ∫ (t − 2t + 1)dt = 2  − 4 2 +t = . x = e ⇒ t = 2 ln x + 1 3 1 1 t 1 5 3  1 15  xdx = tdt 6. tx2 + 1 = t ⇔ x2 + 1 = t 2 ⇒  2 2 x = t −1   x = −2 ⇒ t = 5 − 2 x2 + 1 3 t2 3 2 t −1 +1 3  1  ic n:   I 6 = ∫ → dx = ∫ t 2 − 1 dt = ∫ t 2 − 1 dt = ∫ 1 + t  dt x = − 2 ⇒ t = 3  −2 x x + 1 2 5 5 5  2 −1 5 dt  1 t − 1  1 3 −1 5 −1 3 3 3 1 dt 1 = ∫ dt + ∫ t −1 − 2 ∫ t + 1 =  t + 2 ln t + 1   = 3 − 5 +  ln − ln  5 2 5 5  5 2  3 +1  5 +1 Ví d 2: Tính các tích phân sau: 2  2  ( ) 2 2 xdx 2  8  dx =  ( x + 2 ) − 4 x + 2  = 3 1. I1 = ∫ = ∫ x + 2 − 2 2 −1 0 x+2 0 x+2 3 0 3 3 x x − 1dx 3 ( x − 7) ( x − 1)dx 3 6 x − 1dx 3 3 ( x − 1)dx 2. I 2 = ∫ =∫ +∫ = ∫ x − 1d ( x − 1) − 6 ∫ 1 x−7 1 x−7 1 x−7 1 1 x−7 ( x − 1)dx 3 3 3 2 4 2 = ( x − 1) 2 − 6 I 2′ = ′ − 6I 2 ′ v i I2 = ∫ 3 1 3 1 x−7 3 ( x − 1)dx ′ tính I 2 = ∫ ta t x −1 = t ⇒ x = t2 + 1 1 x−7 2  t− 6  ( ) 2 2 ′ 2t 2 dt  6  ⇒ I2 = ∫ t −6 2 = 2 ∫ 1 + 2 0  t −6  dt = 2  t + 3ln   =2  t+ 6  2 + 3ln(2 − 3) 0  0 32 2 Do ó: I 2 = 48ln(2 − 3) − 3 6 1 3. I 3 = ∫ dx 2 2x + 1 + 4x + 1 i bi n t = 4 x + 1 ⇒ t 2 = 4 x + 1 ⇒ tdt = 2dx 5 d (t + 1) d (t + 1)   1  5 5 5 tdt 1 3 ⇒ I3 = ∫ 2 =∫ −∫ =  ln ( t + 1) +    = − + ln 3 t + 2t + 1 3 (t + 1) 3 (t + 1)  t +1 3 2  12 2 10 dx 4. I 4 = ∫5 = 2 ln 2 + 1 ( i bi n t = x − 1 ) x − 2 x −1 1 5. I 5 = ∫ x8 1 − x3 0 i bi n t = 1 − x 3 ⇒ t 2 = 1 − x3 ⇒ 2tdt = −3 x 2 dx 1 2  t 6 2t 5 t 3  0 1 ⇒ I 5 = − ∫ (1 − t 2 ) t 2 dt = ∫ ( t 6 − 2t 4 + t 2 ) dt =  − 2 2 2 +  = .... 31 30 3 7 5 3 0 3x + 2 1 6. I 6 = ∫ dx. ( i bi n t = 2 x + 1 + 1 ) 0 2x + 1 + 1 ( x + 2) − 4 ( x + 2) + 3 2 x2 − 1 2 2 2  1 1 −  3 dx = ∫ ( x + 2 ) 2 − ( x + 2 ) 2 + 3 ( x + 2 ) 2  dx − 7. I 7 = ∫ dx = ∫ 1 ( x + 2) x+2 1 ( x + 2)2 3 1  2 2 3 1 −  1 5 =  ( x + 2) 2 − 2 ( x + 2) 2 − 6 ( x + 2) 2  = 2 3 − 3 1 3 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Simpo2PDF Merget = 1+ x Split Unregistered Version 3 http://www.simpopdf.com 2 and 3  t 7 2t 5 t 3  - ∫ t (t − 1) dt =  − 2 2 8. I 8 = ∫ x 5 1 + x 2 dx = +  = ... 2 2 0 1 7 5 3 1 1 e2 x 1 ex 1  1  9. I 9 = ∫ dx = ∫ d ( ex ) = ∫  ex − 1 +  d ( e − 1) x 0 ex −1 0 e −1 x 0 e −1  x 1 2 3 1  =  ( e x − 1) 2 + 2 ( e x − 1) 2  = 2 e −1 ( e + 2)  3 0 3 ln 3 ex 10. I10 = ∫ dx . t t = e x + 1 ⇒ t 2 = e x + 1 ⇒ 2tdt = e x dx (e + 1) x 3 0 2 2 2 2tdt 2dt 2 ⇒ I10 = ∫ t3 = ∫ t2 = − t 2 = 2 −1 2 2 e 3 − 2 ln x 11. I11 = ∫ dx 1 x 1 + 2 ln x 1 t t = 2 ln x + 1 ⇒ t 2 = 2 ln x + 1 ⇒ tdt = dx x 2 4 − t2   2 2 3 ⇒ I11 = ∫ tdt = ∫ ( 4 − t ) dt =  4t − t3  = 103 2 − 11 2 1 t 1  1 3 2x + 1 4 12. I12 = ∫ dx 0 1+ 2x + 1 t t = 1 + 2 x + 1 ⇒ ( t − 1) = 2 x + 1 ⇒ dx = ( t − 1) dt 2 4 t −1  t2  4 4 ( t − 1) dt = ∫  t − 2 +  dt =  − 2t + ln t  = 2 + ln 2  1 ⇒ I12 = ∫  2 2 t t 2 2 1   1 1 dx = ∫ xd ( e 2 x ) + ∫ d ( 4 − x2 ) x3 1 1 x2 13. I13 = ∫  xe 2 x −  0 4 − x2  20 2 0 4 − x2 1 4 1 e2 x  1 4−t 1  e2 1  1  2 3 4 =  xe2 x −  − ∫ dt =  +  −  8 t − t 2  2 2 0 2 3 t 2 2 2 2 3 3 e 2 + 1 1  32  e 2 61 = −  −6 3 = +3 3 − 4 2 3  4 12 BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Tính các tích phân sau: 3x − 4 3x − 4 2 3 3 a) ∫ x x + 2dx 1 b) ∫ 0 4− x dx c) ∫ −4 3 4− x dx Bài 2: Tính các tích phân sau: x2 + 1 3 7 3 x3 ∫ ∫ ∫x 1 + x 2 dx 3 a) dx b) dx c) 0 x +1 0 3 1+ x 2 0 Bài 3: Tính các tích phân sau: 7 x +1 3 2 1 ∫ ∫ 8 − 4xdx ∫x x 2 + 1dx 3 a) dx b) c) 0 3 3x + 1 0 0 Bài 4: Tính các tích phân sau: Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 5 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com2 1 a) ∫ 3 − 2x dx b) ∫ x 2 x − 1dx c) ∫ x 4 − x dx 0 1 0 2 Bài 5: Tính các tích phân sau: 2 2 4 x2 ∫ x x − 8dx ∫ ∫x x 2 + 9dx 23 3 a) b) dx c) 0 0 3 1+ x 3 0 Bài 6: Tính các tích phân sau: ( x − 1) 4 1 3 2 1 1 a) ∫ 0 1+ x dx b) ∫ 0 1+ x dx c) ∫ 0 x +1 dx Bài 7: Tính các tích phân sau: 1 2 3 2 2 dx dx dx a) ∫ x x +42 b) ∫ 2 x x −1 2 c) ∫ (2 x + 3) 1 4 x 2 + 12 x + 5 5 − 3 2 Bài 8: Tính các tích phân sau: 2 2 2 dx dx a) ∫x 1 x3 + 1 b) ∫ 1 x 2 + 2013dx 6. ∫ 1 x 2 + 2013 Bài 9: Tính các tích phân sau: x2 +1 1 1 3 ∫ x 1 + x dx ∫ (1 − x 2 ) 3 dx ∫x 2 2 a) b) c) dx 0 0 1 2 x2 +1 Bài 10: Tính các tích phân sau: 2 2 1+ x 2 1 2 dx dx a) ∫ 0 1− x dx b) ∫ 0 (1 + x ) 2 3 c) ∫ 0 (1 − x 2 ) 3 Bài 11: Tính các tích phân sau: 1 + 3 ln x ln x 1 ln 3 e dx dx a) ∫1+ x + −1 x2 +1 b) ∫ 0 ex +1 c) ∫ 1 x dx Bài 12: Tính các tích phân sau: π cos 2 x + 2 3 tan x x5 + x3 3 0 3 cos 2 x ∫ ∫ x (e + 3 x + 1)dx ∫ 2x a) dx b) c) dx 0 1+ x 2 −1 0 cos 2 x Bài 13: Tính các tích phân sau: π sin 2 x + sin x ln 2 ln 2 e x dx e 2 x dx 2 a) ∫ 0 (e x + 1) 3 b) ∫ 0 ex +1 c) ∫ 0 1 + 3 cos x dx Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.