Lý thuyết đạo hàm

Chia sẻ: Maichi Tho | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

848
lượt xem 243
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Lý thuyết đạo hàm

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết đạo hàm

Lý thuyết đạo hàm I Định nghĩa đạo hàm 1) Đạo hàm tại 1 điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) Nếu lim (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f'(x0) : Δx→0 f'(x0) = lim (Δy/Δx) = lim [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx Δx→0 Δx→0 Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có: Đạo hàm 1 phía a) Bên phải b) Bên trái 2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b) f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'( tồn tại 3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó không có dấu chỉ chiều ngược lại 4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng : 5/ Các công thức đạo hàm cơ bản Cho hàm u ,v ta có các công thức sau : II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN 1/ Đạo hàm cấp cao Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x). Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định một cách quy nạp như sau : [f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x) [f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x) [f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x) ........... [f(x)(n-1)]' = f(x)(n) : đạo hàm cấp n của f(x) 2/ Vi phân Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay Δx = dx và có : df(x0) = f(x0)dx Tổng quát : df(x) = f'(x)dx III- Một số bài toán về tính đạo hàm Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
Ví dụ 1:Tính đạo hàm cấp 1 của Riêng về những dạng đạo hàm thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có : Từ đó ==> đạo hàm cần tìm IV. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 1/ Tính đơn điệu của hàm số a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b) f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b) f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b) b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b) f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b) f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b) c/ Hàm hằng f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b) 2/ Chứng minh bất đẳng thức a/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc (a;b) sao cho * Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB * Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho : m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M Suy ra : b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên - Khảo sát sự biến thiên của hàm f - Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f') 3/ Biện luận phương trình và bất phương trình a/ Phương trình f(x) = m - Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và đồ thị hàm số (C): y = f(x) - Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C) - Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương trình - Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f b/ Bất phương trình f(x) < m Gọi D là MXĐ của f(x) - Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường thẳng (d): y = m - Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d) - Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
thẳng (d) ** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m BÀI TẬP ĐẠO HÀM Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y = 2x − 1 tại x0 = 5  1 Giải: Tập xác định D =  x : x ≥   2 • Với ∆ x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì • ∆ y = 2(5 + ∆x) − 1 - 10 − 1 ∆y 9 + 2∆x − 9 ∆y • Ta có: = Khi đó: y’(5)= lim = ∆x ∆x ∆x →0 ∆x lim ( 9 + 2∆x − 3 )( 9 + 2 ∆x + 3 ) ∆x →0 ∆x ( 9 + 2∆x + 3 ) 9 + 2∆x − 9 2 1 lim lim • = ∆x →0 ∆x ( 9 + 2∆x + 3 ) = ∆x →0 ( 9 + 2∆x + 3 ) = 3 x Bài 2 : Chứng minh hàm số y = liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại x +1 điểm đó. x ,neá x ≥ 0 u HD: Chú ý định nghĩa: x =  -x ,neá x< u 0 Cho x0 = 0 một số gia ∆ x ∆x ∆ y = f(x0+ ∆ x) –f(x0) = f( ∆ x) –f(0) = ∆x + 1 ∆y ∆x = ∆x ∆x ( ∆x + 1) ∆y ∆x 1 • Khi ∆ x → 0+ ( thì ∆ x > 0) Ta có: lim+ = ∆lim+ x →0 ∆x ( ∆x + 1) = ∆lim+ x →0 ( ∆x + 1) =1 ∆x →0 ∆x − x 2 , neá x ≥ 0 u Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =  x , neá x< u 0 a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao? Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
(x − 1) 2 , neá x ≥ 0  u Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =  2 không có đạo hàm tại x = -x  , neá x< u 0 0. Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ? (x − 1) 2 , neá x ≥ 0  u Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =  2 không có đạo hàm tại x0 = (x+ , neá x<  1) u 0 0, nhưng liên tục tại đó. ∆y ∆y ∆y ∆y HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1; lim+ = -2; lim− = 2 ⇒ lim+ ≠ lim− ⇒ hàm số ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x không có đạo hàm tại x0 = 0 b) Vì ∆lim+ f (x) =1; ∆lim− f (x) =1; f(0) = 1 ⇒ ∆lim+ f (x) = ∆lim− f (x) = f(0) = 1 x →0 x →0 x →0 x →0 ⇒ hàm số liên tục tại x0 = 0 cos x, Neá x ≥ 0 u Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =   − sin x Neá x< u 0 a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0. π b) Tính đạo hàm của f(x) tại x = 4 HD:a) Vì xlim+ f (x) = xlim+ cos x =1 và x →0− f (x) = x →0− (− sin x) = 0; →0 →0 lim lim f(0) = cos0 = 1 ⇒ lim f (x) ≠ lim− f (x) x → 0+ x →0 ⇒ hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0) Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y = ( x 2 -3x+3)( x 2 +2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9 2. y = ( x 3 -3x+2)( x 4 + x 2 -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x 2  3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =  + 3x  x  ( x −1 ) 2  Giải: y’ =  + 3x  ' x  ( ) 2  x − 1 +  + 3x  x  ( )  2  x −1 ' =  − 2 + 3  x  ( ) 2  1  x − 1 =  + 3x  x   2 x   2  =  − 2 + 3  x  ( ) x −1 + 1 x x + 3x 2 x 3. y = ( x +1 )  1  − 1  x  Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
4. y = ( 3 )( x + 2 1 + 3 x 2 + 3x ) 5. y = ( x -1)( x -4)( x -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x 2 2 2 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) 1+ x 7. y = 1 + 2x 1 − 3 2x 8. y = 1 + 3 2x x +1 1 9. y = ; Đs:- x −1 (x + 1)(x − 1)3 1− x2 2x 10. y = ; Đs:- 1+ x2 (1 − x )(1 + x 2 )3 2  1− x  1  1− x     sin  2 2  1+ x;  1+ x   Đs: x (1 + x ) 2 11. y = cos   12. y = (1+sin2x)4; Đs: (1 + sin x) sin 2x 2 3 13. y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x sin x − cos x 2 14. y = ; Đs: sin x + cos x (sin x + cos x) 2 sin 3x 15. y = sin 2 x.cos x x 1 − cos x − x sin x 518) y = f(x) = ; y’ = ( 1 − cos x ) 2 1 − cos x tan x x − sin x cos x 519) y = f(x) = ; y’ = x x 2 cos 2 x sin x 1 522) y = f(x) = ; y’ = 1 + cos x 1 + cos x x sin x + cos x + x(sin x − cos x) 523) y = f(x) = ; y’ = sin x + cos x 1 + sin 2x 1 1 526) y = f(x) = tan 4 x ; y’ = tan3x. 4 cos 2 x 1 527) y = f(x) = cosx − cos x ; y’ = -sin3x 3 3 3 528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = sin 2x(2 − sin x) 2 1 3 529) y = f(x) = tan x –tanx + x; y’ = tan4x 3 Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
1 x +1 535) y = f(x) = tan ; y’ = x +1 2 2 cos 2 2 539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x x2 −1  1 544) y = f(x) = 1 + tan  x +  ; y’ =  1  1  x 2x 2 cos 2  x +  1 + tan  x +   x  x 3 672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = sin2x(cosx-2) 2 2sin 2 x 2sin 2x 682) y = f(x) = ; y’ = cos 2x cos 2 2x x x tan + cot 2(x cos x + sin x) 684) y = f(x) = 2 2 ; y’ = − x 2 sin 2 x x x x 1 x 2x 1 2 x 685) y = f(x) = sin 2 cot ; y’ = cot sin − sin …. 3 2 3 2 3 2 2 tan x(1 + 2 tan 2 x) 689) y = f(x) = 1 + tan x + tan x ; y’ = 2 4 cos 2 x 1 + tan 2 x + tan 4 x 1 1 694) y = f(x) = sin 6 3x − sin 8 3x ; y’ = sin53xcos33x 18 24 705) y = f(x) = cosx. ( ) 1 + sin 2 x ; y’ = − 2sin 3 x 1 + sin 2 x  2x + 1  2  2x + 1  706) y = f(x) = 0.4  cos − sin 0.8x  ; y’ = -0.8  cos − sin 0.8x   2   2   2x + 1   sin + cos 0.8x   2  1 sin 2x − 713) y = f(x) = ; y’ = 2 ( 1 + sin 2 x ) 3 1 + sin 2 x 721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2) 2 cos x 2sin x 722) y = f(x) = ; y’ = cos 2x cos 2x cos 2x Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG 1 1.Tìm đạo hàm của hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = cot2x 2 x 2 x − sin 2 2x 2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin2xcosx+cos2x y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’ = 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx) x 3. Cho hàm số : y = x2 + x +1 Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R 2x + 1 2(x 2 + x + 1) − x(2x + 1) x 2 + x + 1 − x. y’ = 2 x2 + x +1 = =… (x + x + 1) 2 3 x + x +1 2 Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x; HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x = [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x =1 ⇒ y’ = 0 (đpcm) Cách 2: y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’] = 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x) Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học
π  π   2π   2π   −x  + x  − x  − x b) y = cos2  3  +cos2  3  +cos2  3  +cos2  3  -2sin2x. Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình : a) y = 2x − x 2 ; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e 2xsin5x; y"-4y'+29y = 0 ( ) 2 d) y = x 3 [cos(lnx)+sin(lnx)]; x 2 y"-5xy'+10y = 0. e) y = x + x 2 + 1 ; (1+ x 2 )y"+xy'-4y =0 Bài : Cho hàm số y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”( π ). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0. x −1 Bài : Cho hàm số y = f(x) = cos2x 2 a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng: 60 64 sin 3x  cos 3x  f(x) = 3x+ − +5; b) f(x) = +cosx- 3  sin x +  x x3 3  3  Giải: 60 64.3x 2 60 64.3  20 64  f’(x) = 3 − 2 + == 3 − 2 + 4 == 3  1 − 2 + 4  x x6 x x  x x   20 64  f’(x) = 0 ⇔  1 − 2 + 4  = 0 ⇔ x4-20x2+64 = 0 (x ≠ 0) ⇔ … { ±2; ±4}  x x  Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học