intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Nguyên hàm, tích phân

Chia sẻ: Le Huutuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST
Báo xấu
64
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Nguyên hàm, tích trình bày lý thuyết đạo hàm cơ bản; định nghĩa, các phép toán nguyên hàm; phương pháp tính nguyên hàm, tích phân...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Nguyên hàm, tích phân

  1. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT Đạo hàm các hàm cơ bản C' 0  x  '   .x   1 I. VI PHÂN du( x)  u '( x).dx Ví dụ 1: ứng dụng vi phân 1  ax  b   d  ax  b   a.dx  dx  .d (ax  b)  d   a  a   d x 1     d x 1    1 .x .dx  x .dx   1 (với   1 ) 1 1  d ln x  dx hay dx  d ln x x x Lưu ý: f ( x).dx  dF ( x) {với F ( x) là một nguyên hàm của f  x  ( F '( x)  f ( x) } Biến x Biến F ( x) II. Nguyên hàm 2.1 Định nghĩa.  F ( x) được gọi là một nguyên hàm của f  x  khi F '( x)  f ( x) . Khi đó F ( x)  C đgl họ nguyên hàm của f  x   Kí hiệu:  f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x)  Lưu ý:  f ( x)dx : đgl nguyên hàm của f(x) theo biến x PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM lưu k ý ỹ thuật đổi biến. Phần lớn sử dụng vi phân. 1
  2. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2.2 Các phép toán nguyên hàm    f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx   k. f ( x)dx  k. f  x dx (với k là hằng số) B. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Có hai phương pháp tính nguyên hàm – tích phân:  Phương pháp đổi biến  Phương pháp từng phần BẢNG NGUYÊN HÀM 1 ĐA THỨC – PHÂN THỨC  ax  b  1  dx  d    d  ax  b   a  a x 1 t  1   x dx   C   t  dt   C  1  1 Lưu ý: dt  t '.dx {với t chính là hàm t ( x) nào đó} dx dt   x  ln x  C    ln t  C t MŨ  e x dx  de x da x  a x dx  ln a LƯỢNG GIÁC  sin xdx  d   cos x   cos xdx  d sin x dx dx  2  d tan x; 2  d   cot x  cos x sin x 2
  3. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN  f u( x) .u '( x).dx   f (u( x))du( x)   f t  dt {với t  u( x) } Biến x Biến t Sử dụng vi phân và bảng 1. DẠNG TOÁN 1. x 1 t  1   x dx    C   t dt   C  1  1 Ví dụ cơ bản 1. Tìm nguyên hàm 1.  dx  x  C x2 2.  ( x  3)dx   3x  C 2  1 7  2 3 7 3.   x   3  2 = x  ln x  2  2 x  C  x x  3 2x Để đưa ra đáp số câu 3, thực hiện NHÁP: 1 1 1 7 1 x2 x 31 x   3  2  x2  ;+x 1  ln x ;-7x 3  -7. +2  2x x x 1 1 3  1 2 1 x  x 2 dấu  là nguyên hàm tương ứng Ví dụ cơ bản 2. Sử dụng vi phân đổi biến Tìm nguyên hàm 1 1 1.  (ax  b)dx  a  (ax  b).d (ax  b)  a  tdt (với t  ax  b ) t2  C 2a (ax  b)2  C 2a  x  9 5  ( x  9) dx   ( x  9) d  x  9  C 4 4 2. 5 3
  4. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  ( x  1) xdx Phân tích: Biểu thức trong nguyên hàm dạng tích và  x  1 là biểu thức 6 6 3. phức tạp. Nên ta nghĩ đến đổi biến x thành biến x+1. Chuyển phức tạp về đơn giản bằng cách đổi biến. Bg xdx    x  1  x  1  1 d ( x  1)    x  1   x  1 d  x  1 6  ( x  1) 6 7 6    x  1  x  1 8 7   C 8 7 Lưu ý: x   ax  b   b đây là cách đổi biến thường dùng. a 1 1  x  2 x 1 dx  4   2 x 1  1  2 x 1 d  2 x 1  4   2 x 1   2 x 1 d  2 x 1 3 3 4 3 4. 1   2 x  1  2 x  1  5 4     C 4 5 4   Bài tập áp dụng 1. Tìm nguyên hàm   x  2 2018 1. xdx   3x  2  8 2. xdx dx dt   x  ln x  C    ln t  C t Ví dụ cơ bản 3. (Dạng phân thức) dx 1 d  ax  b  ln ax  b  ax  b  a  ax  b  a C dx 1.  x  1  ln x  1  C dx 1 2.  3x  1  3 .ln 3x 1  C KỸ THUẬT TÁCH MẪU SỐ Công thức: dx 1   ax  b  a ln ax  b  C a.dx   ax  b  ln ax  b  C 4
  5. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN P( x) Bài toán tổng quát 1.  ax  bdx với P( x) là đa thức Phương pháp giải: Dùng kỹ thuật chia đa thức lấy tử số chia cho mẫu. P( x) c  Q( x)  ax  b ax  b Bài 1.1 Tìm nguyên hàm (Tạo hệ số x tử và mẫu giống nhau) x5 ( x  1)  4  4  1.  x  1dx   x 1 dx   1  dx  x  4ln x  1  C  x 1  x5 1 2 x  10 1 (2 x  1)  11 1  11  2.  2 x 1dx  2  2x 1 dx   2 2 x 1   1  dx 2  2 x 1  1  11    x  ln 2 x  1  C  2 2  x 3 1 3x  9 1  3x  2  7dx  1  7  x 7 3.  3x  2dx  3  3x  2dx  3  3x  2 3   3x  2  1 dx   ln 3x  2  C 3 3 3x  1 3 6x  2 4.  2 x  1dx  2  6 x  3dx  ...??? Bài tập áp dụng 1.1 Tìm nguyên hàm x3 1.  x  1dx 2x 1 2.  3x  5dx Bài tập áp dụng 1.2 Tìm nguyên hàm ln x  3 1.  x(ln x  1)dx 2 ln x  1 2.  x(3ln x  5)dx ex  3 x 3.  e x  1.e dx sin x 4.  dx cos x  2 sin x  1 5.  .cos xdx 2sin x  9 sin 2 x  sin x 6.  dx cos x  2 5
  6. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN P( x) Bài toán tổng quát 2.  ax 2  bx  c dx 1 ?  ax  b   ?  cx  d    ?. Mạnh dạn lấy hai biểu thức ở mẫu trừ cho nhau  ax  b  cx  d   ax  b  cx  d  làm sao mất biến x. Mục tiêu tạo mẫu là hàm bậc nhất. Như vậy ? phải điền số tương ứng như sau 1 1 c  ax  b   a  cx  d  1  c a   .  .    ax  b  cx  d  cb  ad  ax  b  cx  d  cb  ad  cx  d ax  b  x ?  ax  b   ?  cx  d    ?. Mạnh dạn lấy hai biểu thức ở mẫu trừ cho nhau  ax  b  cx  d   ax  b  cx  d  làm sao mất hằng số tự do. Mục tiêu tạo mẫu là hàm bậc nhất. Như vậy ? phải điền số tương ứng như sau x 1 d  ax  b   b  cx  d  1  d b   .  .    ax  b  cx  d  da  bc  ax  b  cx  d  da  bc  cx  d ax  b  LƯU Ý: a b c d Ax  B A B A B   ax  b  cx  d dx  a b ln ax  b  a b ln cx  d  C a. c. c d c d Bài 2.1 Tìm nguyên hàm dx 1  x  1   x  3 1  1 1  1.   x  1 x  3 4  ( x  1)( x  3) dx  4   x  3  x  1 dx  1 1 x 3  ln x  3  ln x  1   C  ln C 4 4 x 1 A Lưu ý: ln A  ln B  ln  AB  ;ln A  ln B  ln B dx 1 2  x  3   2 x  1 1  2 1  2.   2 x  1 x  3  7   2 x  1 ( x  3) dx     dx 7  2 x 1 x  3  1 1 2x 1  ln 2 x  1  ln x  3   C  ln C 7 7 x3 6
  7. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x x 1  x  1   x  1 1  1 1  3. x 2 1 dx    x  1 x  1 dx   2  x  1 x  1 dx     dx 2  x  1 x 1   1 2  ln x  1  ln x  1   C  ln x 2  1  C 1 2 Bài tập áp dụng 2.1 Tìm nguyên hàm dx 1.   x  1 x  2  dx 2.   2 x  1 x  4  xdx 3.   x  1 x  3 xdx 4.   x  1 2 x  3 xdx 5.  2x 2  5x  2 Bài toán tổng quát 3. (Phương pháp hữu tỉ hóa) f  u ( x) dx Phương pháp giải.  Đặt t  u ( x)  t 2  u ( x)  d  t 2   du ( x)  2tdt  u '( x)dx  dx  2tdt 2tdt  u '( x) g  t  f  2tdt  Suy ra: u ( x) dx   f (t ). g t  Bài 3.1 Tìm nguyên hàm dx 1.  1 x2 xdx 2.  1  2x 1 x3 3.  dx 1 x 1 Bài giải 1. Đặt t  1  x  2  t  1  x  2  t 2  2t  1  x  2  (2t  2)dt  dx dx 2t  2  2 Suy ra  1 x2  t dt    2  dt  2t  2ln t  C  t 7
  8. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN     2 1  x  2  2ln 1  x  2  C  BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Bài 1. (Dạng toán xuất hiện ln x ) dx Dùng vi phân:  d ln x x Tìm nguyên hàm ln x 1.  x  3ln x  1dx 2ln x  1 2. x ln x  1 dx (Dạng hữu tỷ hóa vì xuất hiện căn. Đặt t  ln x  1  t 2  ln x  1 ln x. 3 9ln 2 x  1 3.  x dx Bài 2. (Dạng toán xuất hiện e x ) Dùng vi phân: e x dx  de x Tìm nguyên hàm e x dx 1.  ex  1 dx 2.   x e 1 dx 3.  x e 2 dx 4.  x e  2e x  3 e2 x 5.  ex 1 dx dx 6.  x 2 1 Bài 3. (Dạng toán xuất hiện lượng giác) Dùng vi phân cos dx  d sin x ; sin xdx  d   cos x   d cos x Tìm nguyên hàm   2cos x 1 .sin xdx 3 1. 8
  9. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN sin xdx 2.  3cos x  1 sin xdx 3.  1  2 cos x sin 2 xdx 4.  1  3cos x sin 2 x  cos x 5.  dx Lưu ý: sin 2 x  2sin x.cos x sin x  1 x tan .sin x.(1 sin x) 4 2 1 6. I dx ĐS: I C. cos3 x cos x sin 3 x 1 1 7. I dx ĐS: I 3 C. cos4 x 3cos x cos x tan 2 x 8. I tan x tan3 x dx ĐS: I C. 2 dx tan 3 x 1 9. I ĐS: I 2 tan x C. cos x sin 2 x 4 3 tan x PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 9
  10. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x) . Do đó ta có  F '( x)dx  F ( x)  C (u.v) '  u '.v  v '.u   (uv) ' dx   u '.vdx   v '.udx  uv   vdu   udv   udv  uv   vdu u ' dx NHẬN XÉT: Dấu hiệu tích phân từng phần là ta thấy biểu thức dưới dấu nguyên hàm xuất hiện tích hai họ hàm khác nhau:  f ( x).g ( x)dx   g ( x)dF ( x) {Quan sát xem hai hàm f  x  , g ( x) hàm nào dễ nhìn thấy nguyên hàm hơn. Dễ ta chọn đưa vào làm dv } DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM THƯỜNG XUẤT HIỆN Dạng 1. Xuất hiện tích của hai họ hàm khác nhau {trong đó có hàm e x , hoặc hàm lượng giác}. Đây là dấu hiệu dùng phương pháp từng phần. Các hàm dễ tìm nguyên hàm như 1 1 e x ,sin x, cos x, 2 , 2 ưu tiên làm dv . cos x sin x   f ( x).e dx   f  x .de x x   udv  f ( x).e x   e x df ( x)  f ( x).e x   e x . f '( x).dx f ( x)   f ( x).sin x.dx   f ( x)d ( cos x);  f ( x).cos xdx   f ( x)d sin x;  cos 2 x dx   f ( x)d tan x   u.dv Ví dụ cơ bản 1.1: Tìm nguyên hàm  x.e dx   x.de  x.e   e dx  xe  e  C x x x x x x 1.  (3x 1)e dx   (3x 1)de  (3x 1)e   e d 3x 1  (3x 1)   e .3.dx  3x 1  3e C x x x x x x 2.  x e dx   x de  x e   e dx  x e  2 xe dx  ... Tiếp tục dùng từng phần. 2 x 2 x 2 x x 2 2 x x 3. 10
  11. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 4.  x sin xdx 5.  x cos 2 xdx x  e2 x 6.  e x dx ax b eax b 1 ax b   cos  ax  b   1 Lưu ý: e dx  d  de ; sin(ax  b)dx  d    d cos(ax  b) … a a  a  a F ( x) DẠNG 2.  f ( x).ln x.dx   ln x.dF ( x)  F ( x).ln x   F ( x)d ln x  F ( x) ln x   x dx { ln x  u; dF ( x)  dv với F ( x) là một nguyên hàm của f  x  } Ví dụ cơ bản 2.1 Tìm nguyên hàm 1.  ln x.dx  x ln x   xd ln x  x ln x   dx  x ln x  x  C 1 {Giải thích: ln x  u; dx  dv và x.d ln x  x.  ln x  '.dx  x. .dx  dx } x  x2  x2 x2 x2 x x 2 ln x x 2 2.  x ln xdx   ln xd    2 2  ln x  2 d ln x  2 ln x  2 dx  2  C 4   2x 1 ln xdx   ln xd ( x  x)  ... 2 3.  x ln xdx 2 4. ln x 5. x2 dx ln xdx 6.  x 7.  ln( x  1)dx  ln( x  x)dx 2 8. BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1. Tính các nguyên hàm sau: 1. I (1 2x) e x dx ĐS: I (3 2x) e x C. x2 2. I (2x 1) ln x dx ĐS: I ( x2 x)ln x x C. 2 x3 ln 2 x x3 3. I x2 ln 2 x dx ĐS: I C. 3 9 x 1 1 4. I (x 1) sin 2 x dx ĐS: I cos 2 x sin 2 x C. 2 4 11
  12. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x x x 5. I x sin dx ĐS: I 2 x cos C. 4 sin 2 2 2 x2 ln(1 x) (1 x)2 6. I x ln(1 x) dx ĐS: I ln(1 x) C. 2 2 4 2 x x sin 2x cos 2 x 7. I x sin 2 x dx ĐS: I C. 4 4 8 8. I ln( x 1 x2 ) dx ĐS: I x ln( x 1 x2 ) 1 x2 C. 1 x x2 1 1 x 9. I x ln dx ĐS: I x ln C. 1 x 2 1 x ln x ln x 1 10. I dx ĐS: I 2 C. x3 2x 4 x2 1 1 11. I x sin x cos x dx ĐS: I x cos 2 x sin 2 x C. 4 8 x dx 1 1 12. I ĐS: I x tan x ln cos x C. 1 cos 2 x 2 2 x 1 13. I x (2 cos2 x 1) dx ĐS: I sin 2 x cos 2 x C. 2 4 x4 ln x x4 14. I x3 ln x dx ĐS: I C. 4 16 x 15. I dx ĐS: I x cot x ln sin x C. sin 2 x 16. I x ln( x2 1) dx ĐS: I ( x2 1)ln( x2 1) x2 1 C. BÀI 2.Tính các nguyên hàm sau: x2 1 1 1 1. I ln x dx ĐS: I x ln x x C. x2 x x 2. I cos x dx ĐS: I 2 x sin x 2cos x C. 3. I sin x dx ĐS: I 2 x cos x 2sin x C. ĐS: I (4x2 1) e x 2 2 2 4. I (8x3 2x) e x dx 4e x C. 1 2 x2 1 x2 ĐS: I 2 5. I x3 .e x dx xe e C. 2 2 6. I x e x dx ĐS: I 2xe x 4 xe x 4e x C. 1 2 7. I x ln( x2 1) dx ĐS: I ( x 1)ln( x2 1) x2 x C. 2 1 ln( x 1) 1 1 x 8. I dx ĐS: I ln x 1 ln C. x2 x x x 1 9. I e x ln(e x 1) dx ĐS: I (e x 1)ln(e x 1) e x C. BÀI 3. Tìm nguyên hàm (Dạng lặp) ex 1. I e x cos x dx ĐS: I (sin x cos x) C. 2 2. I e sin x sin 2x dx ĐS: I 2sin x.esin x 2esin x C. 12
  13. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN y y  f  x (H) O x a b Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường: y  f ( x), y  0, x  a, x  b (như hình vẽ f ( x)  0, x   a; b ) b Diện tích hình phẳng (H): S   f ( x)dx a  ĐỊNH NGHĨA: Hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b . F ( x) là một nguyên hàm f  x  . b  a f ( x)dx  F ( x) |ba  F (b)  F (a)  Tính chất. b a   a f ( x)dx   f ( x)dx b b c b  a f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (Công thức áp dụng cho tích phân chứa a c dấu giá trị tuyệt đối)       3 Ví dụ 1. 1 (2 x  1)dx  x 2  x |13  32  3  12  1  6 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN  f u( x) .u '( x)dx   f u( x) du( x) b b Đổi biến: (Đặt t  u( x) khi đó ta phải đổi cận tương ứng) a a u (b)  f (t )dt u(a) 13
  14. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN b b Từng phần:  a udv  uv |ba   vdu a NHẬN XÉT: Như vậy bài toán tích phân và bài toán nguyên hàm bản chất cách làm tương tự nhau. Ví dụ 2. Tính tích phân 1 1  x  2 x 1 dx  4  (2 x 1)  1  2 x 1 d  2 x 1  4  t  1t dt 1 1 1 (với t  2 x  1 ) 4 4 4 1. 0 0 1 1  t6 t5  1  1 1 5 4  4 1 t   t dt      |1  4 6 5  1 10 e e x2 x2 e x 2 e2 e xdx 2. 1 x ln xdx   ln xd 1 2  ln x |1e  2 1 2 d ln x    2 1 2 e x e e2 e2  1 e2  1 2 2   |1    2 4 2 4 4 Ví dụ 3. Tính tích phân (Phương pháp hữu tỷ hóa. Dấu hiệu nhận biết thấy xuất hiện căn trong biểu thức tích phân) 3 dx 1. A   0 1 x 1 e ln x. 3 9ln 2 x  1 2. B   dx 1 x Bài giải. 1. Đặt t  1  x  1  t  1  x  1  t 2  2t  x  (2t  1)dt  dx Đổi cận: x  0  t  2; x  3  t  3 2t  2 3 2 dt    2  dt   2t  2ln t  |32  2  2ln 3 3 Suy ra A   2 t 2  t 2 2. Đặt t  3 9ln 2 x  1  t 3  9ln 2 x  1  3t 2 dt   9ln 2 x  1 '.dx  18ln x dx x ln xdx t 2 dt   x 6 Đổi cận: x  1  t  1; x  e  t  2 t3 et 4 e e4  1 Suy ra B   dt  |1  1 6 24 24 BÀI TẬP 1. 14
  15. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. Tính các tích phân sau 𝜋 1 1 2𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 5 1. ∫0 𝑥(1 + 2𝑥 2 )4 𝑑𝑥 2. ∫0 𝑑𝑥 3. ∫04 𝑑𝑥 4. ∫2 𝑥 5 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 (𝑥 2 +4)2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝜋 1 𝜋 5. ∫0 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 6. ∫0 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 7. ∫0 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 2 Bài 2. Tính tích phân. 𝑙𝑛3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 1. 𝐴 = ∫0 2. 𝐴 = ∫1 3. 𝐴 = ∫1 √(𝑒 𝑥 +1)3 𝑥√1+𝑥 3 𝑥+√𝑥−1 4 𝑙𝑛3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛5 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 √7 𝑥 3 𝑑𝑥 4. 𝐴 = ∫0 5. 𝐴 = ∫𝑙𝑛2 6. 𝐴 = ∫0 3 (𝑒 𝑥 +1)√𝑒 𝑥 +1 √𝑒 𝑥 −1 1+ √𝑥 4 +1 CÒN NỮA…. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  DIỆN TÍCH 15
  16. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN  y  f ( x)   Hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0  x  a; x  b, (a  b)  b Diện tích hình phẳng (H) là S( H )   f ( x) dx a Lưu ý: Nếu đề toán hình phẳng (H) cho khuyết a hoặc b thì ta giải phương trình f ( x)  0 khi đó pt sẽ có nghiệm a hoặc b. ( y  0 chính là trục hoành Ox ).  THỂ TÍCH  y  f ( x)   Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0 . Xoay hình phẳng (H) quanh trục  x  a; x  b, (a  b)  Ox ta được khối tròn xoay (T). Khi đó thể tích khối tròn xoay (T) là b V(T )    f 2 ( x)dx a Ví dụ 1.  y  x2 1  1. Cho (H) giới hạn  y  0 . Tính diện tích hình phẳng (H)  x  0; x  2  Bg 2 S( H )   x 2  1dx 0 Đến đây ta phải xét dấu biểu thức x 2  1 trên đoạn 0; 2 để phá dấu trị tuyệt đối. Ta có trên đoạn 0; 2 pt: x2  1  0  x  1 1 2 1 2  x2  1  x2 2 Suy ra S( H )   x 2  1dx   x 2  1dx   (1  x 2 )dx   ( x 2  1)dx   x   |0    x  |1 0 1 0 1  2  2   y  x 2  3x  2  2. Cho (H) giới hạn  y  0 . Tính diện tích hình phẳng (H) x  1  Bg. Hình phẳng (H) thiếu x  ? nên ta giải pt để tìm thêm 1 cận. x  1 Ta có x 2  3x  2  0   x  2 16
  17. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2 Do đó S( H )   x 2  3x  2 dx 1 x  1 Nhận xét: Trên đoạn 1; 2 biểu thức x2  3x  2 không đổi dấu vì x 2  3x  2  0   . x  2 Suy ra S( H )   x 2  3x  2 dx     x 2  3x  2 dx  ... 2 2 1 1 17
  18. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN PHÂN TÍCH ĐỊNH HƯỚNG CON ĐƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN  DIỆN TÍCH  y  f ( x)   Hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0  x  a; x  b, (a  b)  b Diện tích hình phẳng (H) là S( H )   f ( x) dx a Lưu ý: Nếu đề toán hình phẳng (H) cho khuyết a hoặc b thì ta giải phương trình f ( x)  0 khi đó pt sẽ có nghiệm a hoặc b. ( y  0 chính là trục hoành Ox ).  THỂ TÍCH  y  f ( x)   Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi  y  0 . Xoay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được  x  a; x  b, (a  b)  khối tròn xoay (T). Khi đó thể tích khối tròn xoay (T) là b V(T )    f 2 ( x)dx a KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG VỚI CÁC HÌNH PHẲNG HÌNH - HÌNH ĐA DIỆN – HÌNH TRÒN XUAY.  Tính diện tích hình cong phẳng (hay đa giác phẳng): Phương pháp: + Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp + Chọn x trên đoạn  a; b nằm trên trục hoành. + Tính độ dài giá trị f  x  . Tổng tất cả các giá trị f  x  khi biến x chạy từ a đến b chính là diện tích hình cần tìm.  Tính thể tích khối tròn xoay (T) (hay khối đa diện): Phương pháp: + Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp + Chọn x trên đoạn  a; b nằm trên trục hoành, tương ứng ta có thiết diện hình S là mp vuông góc trục hoành tại x cắt hình (T) + Tính diện tích hình S là S  x  . Tổng tất cả các diện tích S  x  khi biến x chạy từ a đến b chính là thể tích khối (T) cần tìm. 18
  19. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài toán 1 [Nguyễn Việt Hải – CQT]. Một ruột xe như hình vẽ đường kính ruột xe d  10cm . Khi đặt ruột xe nằm trên mặt phẳng thì đường kính đường tròn trong R1  0,5m . Tính thể tích ruột xe. Phân tích: - Đầu tiên học sinh cần nhận ra được hình vẽ của bài toán là một hình tròn xoay. - Việc tiếp theo cực kỳ quan trọng: xác định được đường sinh của hình tròn xoay đó và trục của nó (theo các khái niệm trong sách Hình học 12 – chương trình chuẩn, trang 31). Cụ thể trong bài, khi đặt vòng xuyến nằm trên một mặt phẳng  P  thì trục là đường thẳng qua tâm của vòng tròn và vuông góc với  P  , đường sinh là một đường tròn nằm trong mặt phẳng chứa trục (theo sách Hình học 12 Nâng cao, trang 47 – 48). Cụ thể sẽ xuất hiện trong bài giải. - Dựng mô hình thực tế: một học sinh cầm trên tay một vòng tròn, lòng bàn tay đặt vuông góc với mặt đất. Dùng cơ thể làm trục, xoay đúng 1 vòng, vết của đường tròn sẽ tạo nên một hình, hình đó chính là vòng xuyến.Ta bắt gặp rất nhiều hình ảnh của vòng xuyến trong đời sống như: ruột xe (xăm xe), kiềng đeo cổ, các vòng đá đeo tay,… Giải quyết bài toán Giải tích hóa bài toán một cách đơn giản bằng hình y ảnh cụ thể như sau: - Chọn trục là trục hoành. I m - Đường sinh là đường tròn  C  có tâm I nằm trên r trục tung như hình vẽ. Khi đó:  C  có tâm I  0; R  r  và bán kính r . R - Vậy hình xuyến trong bài toán chính là hình tạo thành khi xoay  C  quanh trục Ox . O x - Nhận xét: r  x  r Phương trình đường tròn  C  : x 2   y  R  r   r 2  y  R  r  r 2  x 2 . 2 Gọi m là đường thẳng đi qua I và vuông góc với Oy . m chia  C  thành hai nữa đường tròn: 19
  20. Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - 1/2 đường tròn phía trên m :  C1  : y  r 2  x 2  R  r . - 1/2 đường tròn phía dưới m :  C2  : y   r 2  x 2  R  r . Vậy thể tích của vòng xuyến:       r 2 2 r V    r 2  x2  R  r   r 2  x 2  R  r dx  4  R  r   r 2  x 2 dx r   r    Đặt x  r sin t , t    ;  dx  r cos tdt .  2 2  Đổi cận: x r r   t  2 2   2 2  V  4  R  r   r 2  r 2 sin 2 t .r cos tdt  4 r 2  R  r   cos 2 tdt   2 2    1 2 2  2 r 2  R  r   1  cos 2t  dt  2 r 2  R  r   t  sin 2t   2 2 r 2  R  r  .    2   2 2 Nhận xét:Ta có thể giải quyết một cách khác bằng cách dùng công thức tổng diện tích với thiết diện của vòng xuyến cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox là một hình vành khăn có bán kính đường tròn nhỏ là R và bán kính đường tròn lớn là R  2r . Tuy nhiên, xét về mặt kỹ thuật tính toán, giải theo cách này thực sự không hiệu quả hơn phương pháp đã giải. Chi tiết xin dành cho đọc giả. Đặt vấn đề: Khi chúng ta thay đổi đường sinh từ đường tròn sang một đường khác ta cũng được một số kết quả khá thú vị. Ở đây tôi sẽ dùng đường sinh là một tam giác vuông, ta có bài toán sau đây: Bài toán 2 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
925 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2