zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân - GV. Trương Văn Đại

Chia sẻ: Trương Văn đại | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Báo xấu

111
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề "Nguyên hàm, tích phân" trình bày phương pháp phân tích, tư duy vấn đề thông qua các bài toán nguyên hàm và tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và giảng dạy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân - GV. Trương Văn Đại

BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Như chúng ta đã biết, bài toán tính tính phân trong các đề thi đại học gần đây đã như là một câu cố định. Tuy mức độ ra đề của phần này là khá cơ bản nhưng tôi vẫn biên soạn tài liệu này bởi các lí do sau : Thứ nhất : muốn giúp các bạn học sinh có một tài liệu tham khảo thêm Thứ hai : tôi biên soạn tài liệu này theo hướng mà các kì thi gần đây yêu cầu , nghĩa là các phần khó sẽ được trình bày riêng biệt trong tài liệu này. Tránh tình trạng đánh lạc hướng các bạn học sinh khi học ôn thi chuyên đề này nhằm mục đích chinh phục bài toán tích phân trong kì thi THPTQG sắp tới (tức 2016) và tôi nghĩ ở mức độ ôn thi đại học thì tài liệu này cơ bản giúp được các bạn. Thứ ba : với tôi việc nghiên cứu tìm hiểu các kiến thức luôn là điều thôi thúc mình, tôi viết tài liệu này cũng là lúc tôi đang rèn luyện tư duy và phương pháp nghiên cứu khoa học của mình. Tài liệu này được chia làm thành 3 chương với nội dung như sau : Chương 1 : NGUYÊN HÀM , trong phần này tôi trình bày lại các kiến thức cơ bản và một số kĩ thuật tính toán một nguyên hàm. Phần này được biên soạn một cách khá nhẹ nhàng nhằm giúp bạn đọc có một cái nhìn sơ bộ về nguyên hàm – tích phân. Trong phần này tôi cố gắng đưa vào các thuật tư duy để phân tích và giải được một nguyên hàm một cách nhanh nhất và hiệu quả nhất. Chương 2 : TÍCH PHẤN , đây sẽ nội dung chính của tài lệu. Tại đây tôi trình bày khá kĩ về mặt phương pháp và cách tính một tích phân (là bài toán mà các bạn sẽ phải đối diện trong đề thi THPTQG) Chương 3 : MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍCH PHÂN, tại đây tôi trình bày một số kiến thức khó hơn trong chương 1 - 2 . Ở chương này các bài tập cũng nằm ở mức độ khó hơn thông thường với mục đích cung cấp thêm cho các bạn có nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về nguyên hàm và tích phân. Mặc dù đã cố gắng xong tài liệu này cũng sẽ không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự đồng tình và thông cảm của các bạn .
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com PHẦN 1 : NGUYÊN HÀM 1.Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K, khi đó : Nguyên hàm của hàm số f (x) là một hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. (K là khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng) VD:  Hàm F(x) = x 2  1 là một nguyên hàm của f(x) = 2x '  Vì : x 2  1 =2x  1  x   21x '  Hàm f(x) = có 1 nguyên hàm là x vì 2 x 2.Tính chất của nguyên hàm : ' 1.1 f ( x ) dx  f ( x )  C 1.2  k. f ( x)dx  k  f ( x)dx với k là một hằng số ( tức là ta có thể đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân) 1.3   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g( x)dx (tức là nguyên hàm của một tổng(hay hiệu) bằng tổng (hay hiệu)các nguyên hàm tương ứng) Chú ý : Hàm dưới dấu tích phân theo biến gì thì vi phân d phải là biến đó . tức là ;  f (t )dt  F (t )  C 3.Bảng các nguyên hàm cơ bản : 1. 0dx  C  0du  C   2. dx  x  C  du  u  C   x 1 u 1 1 1 3. x dx    C   u du   C ( ≠ -1) 4.  x dx  ln x  C   u du  ln u  C  1  1 x ax au 5. e x dx  e x  C  eu du  eu  C   6.  a dx   C   a u du   C (0
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com 7. cos xdx  sin x  C  cosudu  sinu  C   8. sin xdx   cos x  C  sinu du   cosu  C   1 1 1 1 9.  cos 2 dx  tan x  C   du  tanu  C 10.  sin dx   cot x  C   du   cotu  C x cos 2 u 2 x sin 2 u BÀI TẬP CƠ BẢN Chú ý 1 : Gặp nguyên hàm của một tổng (hoặc hiệu) các hàm thì ta thường tách thành từng tổng (hoặc hiệu) các nguyên hàm để tính cho đỡ phức tạp . 3 VD1 : Tìm  (4 x  2 x 2  1) dx Giải 3  (4 x  2 x 2  1) dx =  4 x 3dx   2 x 2 dx   1dx x4 x3 =4  C1  2  C2  x  C3 4 3 x4 x3 =4  2  x  C ( với C  C1  C2  C3 ) 4 3 Chú ý 2 : một số công thức biến đổi hay hay dùng m m m n  a a 1 n   x xn Chú ý 3 : công thức hay quên x ax 3x   a dx  ln a ; ví dụ : x  3 dx  ln 3 VD2 : Tìm họ các nguyên hàm của sau 1 a) (2 x  4) dx  b) ( x 2  4 x  ) dx  c) (3  x 2 ) 2 dx  d)  ( x )( x  2)dx x 2x 4 1 e)  x 2 dx f) ( x 3  2 x )dx x
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com Chú ý 4 : dung kĩ thuật đưa vào dấu vi phân để tìm nguyên hàm Cơ sở của kĩ thuât này là việc vận dụng công thức : ' d u  x    u  x   dx Nếu để ý chúng ta sẽ nhận thấy rằng có những nguyên hàm mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng sau :  f (u ).g(x) dx Trong đó ,  f (u ) du là nguyên hàm cơ bản và ta có thể tính ngay bằng bảng nguyên hàm cơ bản. Tuy nhiên lúc này ta chỉ có vi phân trong dấu tích phân là dx , do đó ta không thể áp dụng ngay công thức  f (u ) du ngay được . Vậy làm sao để tính ??? Câu hỏi này được trả lời khi ta nhìn lại nguyên hàm  f (u ).g(x) dx và nhận xét rằng g(x)dx có quan hệ với du ,và từ quan hệ này ta có thể chuyển g(x)dx về vi phân d(u) . Tới đây thì việc còn lại chỉ còn là áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản nữa mà thôi . Và để hiểu hơn về kĩ thuật này tôi xin trình bày một vài ví dụ điển hình sau : VD3 : Tìm họ các nguyên hàm sau , 2015 I    x  1 1 dx Nhận xét : 2015 Ta thấy rằng   x  1 dx có dạng  u  dx với u = x+1 gần với công thức  u  du do đó ta dự đoán rằng dx và du có mối quan hệ với nhau ( đây là ý tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên ) Giải : ' Ta có , d(x+1)=  x  1 dx  dx Suy ra dx = d(x+1) . 2015 Vậy   x  1 dx =   x  12015 d ( x  1)
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com 2016 =  x  1 C 2016 Bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này chưa ?, hãy cố gắng hình dung ý tưởng và tự tìm ra phương pháp cho trường n hợp tổng quát sau đây :   ax  b  dx ln 2015 ( x) I2   dx x ln 2015 ( x)  Nhận xét :cũng với tư tương như câu trước , ta thấy rằng I 2   x dx có dạng I 2   u .f(x)dx với u = lnx và 1 1 f(x) = gần với công thức  u  du do đó ta dự đoán rằng f ( x ) dx = dx và du có mối quan hệ với nhau ( đây là ý x x tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên ) Giải : 1 Ta có , d(lnx)= dx x dx Suy ra =d(lnx) x ln 2015 ( x) Vậy I 2   dx =  ln 2015 ( x ) d (ln x ) x =  ln 2016 x C 2016 Tới đây thì tôi nghĩ rằng bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này một cách rõ ràng lắm rồi , hãy chứng minh điều đó bằng cách tự tìm ra phương pháp cho trường hợp tổng quát sau đây ln n ( x  c) 1  x dx , hơn thế nữa bạn đọc có thể thấy rằng việc xuất hiện lnx và x trong biểu thức dưới dấu tích phân có thể là dấu hiệu để ta sử dụng kĩ thuật vi phân ở trên ^^. (1  tanx) 2015 I3   dx cos 2 x Giải : ' dx Ta có , d(1+tanx) = 1  tan x  dx  cos 2 x
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com dx Suy ra = d(1+tanx) cos 2 x (1  tanx) 2015 2015 Vậy I 3   cos2 x dx =  (1  tanx) d (tan x  1) (1  tanx) 2016 = C 2016 Như vậy là tôi đã trình bày 3 ví dụ theo tôi là, mang tính điển hình để bạn đọc tiện hình dung về mặt phương pháp, sau đây tôi xin giới thiệu thêm 1 hệ thống bài tập nữa để bạn đọc tự rèn lyện thêm nhé BÀI TẬP TỰ LUYỆN : TÍNH CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH SAU cos x  sin x ex a) I   cos x sin 2015 xdx ; b) I   2015 dx ; c) I   2015 dx  cos x  sin x  e x  1 2 d )I    2 ln x  1 dx ; e) I   2x  3 dx ; 4 f ) I   x 3 1  x 4  dx 2 x x  3x  2 2015 5 g) I   1  x  dx ; h)  x 1  2 x 2  dx ; i ) I   sin  2015 x  1dx Chú ý 5 : nguyên hàm của các hàm lượng giác Theo kinh nghiệm chủ quan của tôi , tôi cho rằng khi tìm nguyên hàm của một số hàm lượng giác chúng ta phải đặc biệt chú ý đến các công thức biến đổi sau ; 1  cos 2 x  sin 2 x  2 1  cos 2 x  cos 2 x  2  sin x  cos x  1 hay ý nghĩa hơn ta viết 1  sin 2 x  cos 2 x 2 2 cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 x 2 x     1   suy ra : cos x  cos  sin cos x  cos  2  2 x   2 2     sin 2 x  2sin x cos x  x x     1  suy ra : sin x  2sin cos sin x  sin  2  2 x   2 2     2  1  sin 2 x   sin x  cos x 
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com  1  tan 2 x  dx  d (tan x)  tan x  C 1    tan x   2  1  tan 2 x suy ra :  1 '  cos x   cos 2 x dx   d (tan x)  tan x  C  sin x  tan x  cos x  Gặp  F  tan x; cot x  dx thường thì ta biến đổi thành  F  sin x; cos x  dx , tức là biến đổi  cot x  cos x  sin x VD4: Tìm họ các nguyên hàm sau dx a )  sin 2 xdx ; b)  cos 2 xdx ; c)  tan 2 xdx ; d )  cot 2 xdx ; e)  ; sin x dx cos 2 x dx f)  ; g)  dx ; h)  sin 2 x cos 3 xdx ; i )  cos x sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x cos x Giải : 2 1  cos 2 x 1 1  a) Ta có  sin xdx   dx     cos 2 x dx 2 2 2  1 1 1  1  1 1    dx   cos 2 xdx   x  C1    sin 2 x  C2    x  sin 2 x   C 2 2 2  4  2 2  Với C  C1  C2 . 2 1  cos 2 x 1 1  b) Ta có  cos xdx   dx     cos 2 x dx 2 2 2  1 1 1  1  1 1    dx   cos 2 xdx   x  C1    sin 2 x  C2    x  sin 2 x   C 2 2 2  4  2 2  Với C  C1  C2 . c) Ta có :  tan 2 xdx   1  tan 2 x  1 dx   1  tan 2 x   1 dx   1  tan 2 x  dx   dx   tan x  C1    x  C2   tan x  x  C Với C  C1  C2 .
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com d) Ta có :  co t 2 xdx   1  cot 2 x  1 dx   1  cot 2 x   1 dx   1  cot 2 x  dx   dx    cot x  C1    x  C2   cot x  x  C Với C  C1  C2 . e) Phân tích : x x dx dx  Ta để ý rằng : sin x  2sin cos , do đó  sin x   2 2 x x 2sin cos 2 2 x x sin 2  cos 2 dx 1 dx 1 2 2 dx  Lại tiếp tục : 1  sin 2 x  cos 2 x , do đó      x x 2 x x 2 x x 2sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 x x x x x x sin 2  cos 2 sin 2 cos 2 sin cos  Vì 2 2 2  2  2 2 nên ta có x x x x x x x x sin cos sin cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 x x   x x   x x  sin 2  cos 2   sin cos    sin cos 1 2 2 dx  1 2 2 dx  1 2 dx  2 dx  2    x x      x  sin cos 2   cos x sin x   2  cos x sin  2 2   2 2    2 2   x x   x x  sin cos sin cos 11 x 2 d  1 x 2 d    1  x 2 d  2 d   x             2  2 cos x  2  2 sin x  2   4  cos x  2    x  2   sin   2 2   2 2  1  x   x     ln cos  C1    ln sin  C2   4  2   2  Vậy bài giải là : x x sin 2  cos 2 dx dx 1 dx 1 2 2 dx Ta có       sin x x x 2 x x 2 x x 2sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com   x x   x x  sin cos   sin cos 1  2 2 dx  1  2 dx  2 dx          2   cos x sin x   2  cos x x  sin    2 2    2 2   x x   x x   sin cos   sin cos 1 1    2 d x 1 2 d x  1 2 d x 2 d  x  2  2 cos x  2  2  sin x  2   4   cos x  2   sin x  2              2 2   2 2  1  x   x  1 x x    ln cos  C1    ln sin  C2     ln cos  ln sin  C 4  2   2  4 2 2 Với C  C1  C2 dx sin 2 x  cos 2 x sin 2 x cos 2 x f) Ta có   cos2 x sin 2 x  cos2 x sin 2 x dx   cos2 x sin 2 x  cos2 x sin 2 xdx dx  1 1  2 dx   2 dx   tan x  C1     cot x  C2   tan x  cot x  C cos x sin x Với C  C1  C2 . cos 2 x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x sin 2 x g) Ta có dx   cos2 x sin 2 x  cos2 x sin 2 x dx   cos2 x sin 2 x  cos2 x sin 2 x dx dx  1 1  2 dx   dx    cot x  C1    tan x  C2     cot x  tan x   C sin x cos 2 x Với C  C1  C2 . 1 h) Ta để ý rằng sin 2 x cos 3 x   sin 5 x  sin x  do đó 2 1 1 1  sin 2 x cos 3xdx  2   sin 5x  sin x  dx  2  sin 5 xdx  2  sin xdx  1   1  1 1    cos 5 x  C1     cos x  C2    cos 5 x  cos x  C  10   2  10 2 Với C  C1  C2 .
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com dx i)  cos x  1 cos x dx cos xdx   2   Ta có  cos x cos x cos x cos 2 x cos xdx  d ( sinx) ; cos 2 x  1  s in 2 x  1  s inx 1  s inx   dx d ( sinx) 1  1 1       dx cos x 1  s inx 1  s inx  2  1  s inx 1  s inx  1    ln  1  sin x   ln  1  sin x    C 2 Chú ý 6 : nguyên hàm bằng kĩ thuật đổi biến 6.1 dấu hiệu để sử dụng đổi biến Khi gặp các bài toán tìm nguyên hàm mà biểu thức dưới dấu tích phân có những đặc điểm sau thì ta có thể dung phương pháp đổi biến để giải +)Không ở dạng nguyên hàm cơ bản +)Chỉ chứa một loại hàm , nếu có 2 loại hàm thì chú ý thấy đạo hàm của hàm này sẽ ra hàm còn lại Cụ thể là biểu thức dưới dấu tích phân có dạng  f (u)udx Trong đó u là hàm theo x 6.2 các bước thực hiện Bước 1 : chọn biểu thức để đổi biến , giả sử ta đổi biến t  f ( x) Bước 2 : tính du , ta có d (t )  d  f ( x )   f ( x ) dx Rút phần còn lại của nguyên hàm theo t Bước 3 : thay vào nguyên hàm ban đầu ta được 1 nguyên hàm cơ bản 6.3 các dạng đổi biến thường gặp Dạng 1 : gặp biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn mà căn không có điều gì đặc biệt thì ta đặt t bằng Căn . Ví dụ : tìm các nguyên hàm sau
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com dx dx 3x 2 I1   5  2 xdx I 2   I 3   x 2  1.xdx I 4   I5   dx 2x 1 x (1  x ) 2 5  2 x3 Giải : I1   5  2 xdx Đặt t  5  2 x  t 2  5  2 x  2tdt  2dx  dx  tdt 2 t3 Thay vào I1 ta được  5  2 xdx   t (t )dt    t dt   C 3 dx I2   2x 1 Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  2tdt  2dx  dx  tdt dx tdt Thay vào I 2     t C 2x 1 t I 3   x 2  1.xdx Đặt t  x 2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2 xdx  tdt  xdx t3 Thay vào I 3   x 2  1.xdx   t.  tdt    t 2 dt  C 3 dx I4   x (1  x ) 2
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com 1 1 Đặt t  1  x  dt  dx  dx  2dt 2 x x dx 2dt 2 Thay vào I 4   2   2   C x (1  x ) t t 3x 2 I5   dx 5  2 x3 Đặt t  5  2 x 3  t 2  5  2 x 3  2tdt  6 x 2 dx  3 x 2 dx  tdt 3x 2 tdt Thay vào I 5   dx    t C 5  2x 3 t Dạng 2: gặp biểu thức dưới dấu tích phân chỉ chứa e x hoặc luỹ thừa của e x tức là ta cần tính tích phân  F  e  dx thì ta đặt t= e x x (hoặc t= e x +C tuỳ theo đề bài mà đặt cho phù hợp) Ví dụ : tìm các nguyên hàm sau e2 x dx I1   dx I 2   1  ex 1  ex Giải e2 x I1   dx 1  ex Đặt t  e x  e x  t 2  e x dx  2tdt t3 2 2  I1  2 dt  t3  t 2  2t  2 ln t  1  C  e x e x  e x  2 e x  2 ln e x  1  C 1 t 3 3 dx I2   1 ex
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com Đặt t  e x  dt  e x dx (1) dx e x dx Ta lại để ý I 2    1  e x  e x 1  e x  dx e x dx dt 1 1  Thay (1 )vào ta được I 2          dt  ln t  ln t  1  C e 1  e  x 1 e x x t 1  t   t t  1   ln e x  ln e x  1  C ln x   1 Dạng 3: gặp biểu thức dưới dấu tích phân chứa  1 tức là ta cần tính tích phân  F  ln x, x  dx thì ta đặt t= ln x  x (hoặc t= ln x +C tuỳ theo đề bài mà đặt cho phù hợp) Ví dụ : tìm các nguyên hàm sau : I1    ln x  2016  dx x Giải 1  ln x  2016  dx  t  2016 dt Đặt t  ln x  dt  x dx  I1   x   t2 ln 2 x    t  2016  dx   2016t  C   2016 ln x  C 2 2 Để ý rằng ta có thể đặt t  ln x  2016 I2    ln 2 x  x 2  dx x Giải Ta có I 2    ln 2 x  x 2  dx  ln 2 x dx   xdx x x
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com ln 2 x Ta tính  x dx 1 Đặt t  ln x  dt  dx x ln 2 x ln 2 x 2 t3 ln 3 x Thay vào  x dx ta được  x dx   t dt   C  C 3 3 x2  xdx = 2  C ln 3 x x 2 Vậy I 2   C 3 2 Dạng 4: đổi biến một số hàm lượng giác có tính chất đặc biệt Xét tích phân dạng  F (s inx, cosx)dx Trường hợp 1 : nếu F (  s inx, cosx)=-F (s inx, cosx) tức là F (s inx, cosx) lẻ đối với sinx khi đó ta đặt t  cos x Ví dụ : tính tích phân sau dx I1   sin x Phân tích : 1 1 1 Ta thấy hàm dưới dấu tích phân là F  s inx, cosx    F   s inx, cosx     F  s inx, cosx  sin x  sin x s inx Vậy ta đặt t  cosx , và ta để ý rằng với t  cosx thì dt   sin xdx  sin xdx  dt mà nguyên hàm ta đang tính không có sinxdx do đó để xuất hiện lượng sinxdx ta sẽ phải nhân cả tử và mẫu cho sinx thì bài toán được tháo gỡ. Giải dx s inxdx s inx Ta có I1    2  dx sin x sin x 1  cos 2 x
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt thay vào ta được s inx dt dt 1 1 1  I1   2 dx   2      dt 1  cos x 1 t 1  t 1  t  2  1 t 1 t     ln 1  t  ln 1  t  C     ln 1  cos x  ln 1  cosx  C  Trường hợp 2 : nếu F (s inx, cosx)= -F (s inx, cosx) tức là F (s inx, cosx) lẻ đối với cosx khi đó ta đặt t  sin x Ví dụ : tính tích phân sau dx I2   cosx Phân tích : 1 1 1 Ta thấy hàm dưới dấu tích phân là F  s inx, cosx    F  s inx, cosx     F  s inx, cosx  cosx cosx cos x Vậy ta đặt t  s inx , và ta để ý rằng với t  s inx thì dt  cosxdx mà nguyên hàm ta đang tính không có cosxdx do đó để xuất hiện lượng cosxdx ta sẽ phải nhân cả tử và mẫu cho cosx thì bài toán được tháo gỡ. Giải dx cosxdx cosx Ta có I1    2  dx cosx cos x 1  sin 2 x cosx dt  1 1  Đặt t  sin x  dt  cos xdx thay vào ta được I1   2 dx   2     dt 1  sin x 1 t  1 t 1 t    ln 1  t  ln 1  t  C    ln 1  sin x  ln 1  sin x  C  Trường hợp 3: nếu F (  s inx, cosx)= F (s inx, cosx) tức là F (s inx, cosx) chẵn đối với sinx , cosx khi đó ta t  tan x đặt  t  cotx Ví dụ : tính tích phân sau dx I3   sin xcos 4 x 2
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com Phân tích : Ta thấy hàm dưới dấu tích phân là 1 1 F  s inx, cosx   2 4  F   s inx, cosx    F  s inx, cosx  sin xcos x sin xcos 4 x 2 t  tan x Vậy ta sẽ đặt  thì bài toán được giải quyết t  cotx Giải dx 1 I3   2 4 , đặt t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dx  dx  dt sin xcos x 1 t2 2 t2 1 sin x  co s 2 x  1 t2 1 t2 2 Suy ra I 3   2 dx  1 t2   1 dt    t 2  2  2  dt 4 2 sin xcos x t  t  t3 1 tan 3 x 1   2t   C   2 tan x  C 3 t 3 tan x Chú ý : khi gặp tích phân dạng  F (s inx, cosx)dx tổng quát ( tức là ta chưa thấy được cách đặt nào thoả) thì x có thể nhớ đến cách đặt t  tan 2 Khi đó ta có 2 2t 1 t2 dx  2 dt ; sin x  ; cos x  1 t 1 t2 1 t2 Ví dụ tính các nguyên hàm sau : dx I4   4sin x  3cos x  5 Giải x đặt t  tan 2
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com khi đó 2 dx 1 t2 dt dt I4    dt   2  4sin x  3cos x  5  2t 1 t 2 t  4t  4 t  2 2 4  3  5 1 t2 1 t2 1 1  C  C t2 x tan  2 2 Chú ý 7: Tìm nguyên hàm bằng kĩ thuật nguyên hàm từng phần 7.1 Cơ sở của phương pháp Ta có: d  u.v   udv  vdu  udv  d  u.v   vdu Lấy tích phân hai vế ta được  udv   d  u.v   vdu   u.v   vdu 7.2 Dấu hiệu để sử dụng nguyên hàm từng phần Khi gặp nguyên hàm dạng  f  x  .g  x  dx trong đó f  x  , g  x  là hai loại hàm khác nhau thì ta nên ưu tiên tính nguyên hàm này theo phương pháp từng phần. Ví dụ: Các tích phân sau sẽ tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần I1   x.e x dx ; I 2   x.cos xdx ; I 3   e x .cos xdx ;  7.3 Các bước tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Xét tích phân I   f  x  .g  x  dx  u  g  x   u  f  x  Bước 1. Đặt  hoặc  dv  f  x  dx dv  g  x  dx Chú ý: Đặt u ưu tiên theo thứ tự Logarit  Đa thức  Lượng giác  Mũ Ví dụ 1:
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com  f  x   x  Da thuc   ux I1   x.e x dx thì  x Suy ra đặt  x  g  x   e  Mu  dv  e dx Ví dụ 2: x  f  x   e x  Mu   u  cos x I 2   e .cos xdx thì  suy ra đặt  x  g  x   cos x  L. giac  dv  e dx Ví dụ 3:  f  x   x  Da thuc   ux I 2   x.cos xdx thì  suy ra đặt   g  x   cos x  L. giac  dv  cos xdx u  du   Lay vi phan  Bước 2: Từ   dv  v   Lay nguyen ham  Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần  udv  u.v   vdu Bài tập mẫu: Tìm các nguyên hàm sau: 1) I1   x.cos xdx Giải:  ux  du  dx Đặt   dv  cos xdx v  s inx Khi đó I1  x.s inx   sin xdx  x.s inx  cos x  C 2) I 2   e x .sin xdx Giải:  u  ex  du  e x dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x Khi đó I 2  e x .cos x     cos x  e x dx  e x .cos x   e x .cos x Đặt J   e x .cos xdx . Ta tính J như sau x  u  e du  e x dx    dv  cos xdx  v  s inx  J  e x s inx   e x sin xdx  e x s inx  I 2 Vậy
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com I 2  e x cos x  e x s inx  I 2  2 I 2  e x  s inx  cos x  e x  s inx  cos x   I2  C 2 Cách khác: I 2   e x .sin xdx  u  s inx du  cos xdx Đặt  x  x dv  e dx  v  e Khi đó I 2  e x s inx   e x cos xdx Đặt J   e x cos xdx . Ta tính J như sau  u  cos x du   sin xdx Đặt  x  dv  e dx  v  ex  J  e x cos x   e x .   sin xdx   e x cos x   e x sin xdx  e x cos x  I 2 Vậy I 2  e x s inx   e x cos x  I 2   e x s inx  e x cos x  I 2  2 I 2  e x  s inx  cos x  e x  s inx  cos x   I2  C 2 Nhận xét: Bài tập trên cho ta thấy rằng Thứ nhất: Thứ tự ưu tiên Logarit  Đa thức  Lượng giác  Mũ có thể được thay đổi là Logarit  Đa thức  Mũ  Lượng giác. Thứ hai: Có thể ta sẽ từng phần nhiều lần cho một tích phân. Tuy nhiên ta chú ý rằng thứ tự đặt ở các lần khác nhau đều phải giống nhau. Ví dụ: Lần 1 đặt u là đa thức thì đặt lần 2 vẫn phải giữ nguyên u là đa thức.  ux x   du  dx 1) I3   dx . Đặt  dx   cos 2 x dv  cos 2 x v  tanx  I 3  x tan x   tanxdx . Đặt J   tanxdx s inx  d  cos x  Khi đó J   dx     ln cos x  C cos x cos x Vậy I 3  x tan x    ln cos x   C  x tan x  ln cos x  C ln  s inx  2) I4   dx . Đặt cos 2 x
BIÊN SOẠN : TRƯƠNG VĂN ĐẠI (SĐT : 01672828224) Cao Học Toán _k9 Email : truongvandai123@gmail.com u  ln  s inx   du  cot xdx  dx    dv  cos 2 x  v  tanx   I 4 =tanx.ln  s inx    tanx.cotxdx  tanx.ln  s inx    dx  tanx.ln  s inx   x  C Như vậy chúng ta điểm qua sơ lược về nguyên hàm. Tiếp theo đây tôi sẽ trình bày các kỹ thuật mang tính tổng quan và sâu hơn khi tìm nguyên hàm thông qua nội dung tích phân xác định. Đây cũng chính là nội dung chính của tài liệu này. CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN 2.1) Định nghĩa b b Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Khi đó  f  x  dx  F  x  a  F b  F  a  a b Khi đó  f  x  dx đgl Tích phân cận từ a đến b vủa hàm f  x  ; a , b là cận của tích phân. a b Nhận xét: Để tính tích phân  f  x  dx ta thực hiện hai bước sau: a Bước 1 : Tìm một nguyên hàm F  x  của  f  x  dx b Bước 2: Thay cận theo công thức F  x  a  F  b   F  a  2.2) Một số tính chất của tích phân (cần nhớ) b b a 1)  f  x  dx  0 2)  f  x  dx    f  x  dx a a b b c b 3)  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx ; c   a; b  a a c Ngoài ra các tính chất của nguyên hàm cũng đúng cho tích phân 2.3) Một số kĩ thuật tính tích phân 2.3.1) Kĩ thuật đưa vào dấu vi phân : Kĩ thuật này đã được trình bày khá chi tiết về phương pháp trong chương I, do đó ở đây tôi chỉ trình bày thêm một số ví dụ để tiện cho việc rèn luyện cho các bạn. Bài tập mẫu: Tính các tích phân sau

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.