intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề: Nguyên Hàm và Tích Phân - ThS. Bùi Anh Tuấn

Chia sẻ: Đặng Thành Lợi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
121
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề: Nguyên Hàm và Tích Phân do ThS. Bùi Anh Tuấn biên soạn nhằm củng cố thêm kiến thức cho các em học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp và Đại học được tốt hơn. Tài liệu bao gồm các phần lý thuyết và bài tập cụ thể để các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Nguyên Hàm và Tích Phân - ThS. Bùi Anh Tuấn

  1. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân Thầy viết chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG này với mong muốn các em có tinh thần học tập tốt. Với phương châm: “Tự học là cách tốt nhất để không quên”. Hy vọng nhiều em sẽ được điểm tối đa trong bài tích phân của các kỳ thi tốt nghiệp và đại học. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I/ NGUYÊN HÀM Cô sôû lí thuyeát: 1. F '( x)  f ( x) x  K  F ( x) laø nguyeân haøm cuûa f ( x) treân K. 2. Neáu F ( x) laø nguyeân haøm cuûa f ( x) treân K thì F ( x)  C ( C laø haèng soá) cuõng laø nguyeân haøm cuûa f ( x) . Khi ñoù F ( x)  C ñöôïc goïi laø hoï nguyeân haøm cuûa f ( x) treân K. Kí hieäu:  f ( x)dx  F ( x)  C Ta coù moái quan heä sau:  f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x)  dF ( x)  f ( x)dx 3. Tính chaát nguyeân haøm: a)  f '( x)dx  f ( x)  C b)  k. f ( x)dx  k. f ( x)dx  C c)  [ f ( x)  g ( x)]dx  f ( x)dx   g ( x)dx 1 d) Nếu  f (u)  F (u)  C thì  f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C Chú ý: Một hàm số có vô số nguyên hàm, tất cả các nguyên hàm của hàm số sai khác nhau một hằng số. Nghĩa là nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x), với C là một hằng số. 4. Baûng nguyeân haøm  dx  x  C  kdx  kx  C x1 1  ax  b  1  x dx    1  C    1    ax  b  dx    C    1,a  0  a  1 dx dx 1  x  ln x  C  ax  b  a ln ax  b  C  a  0   e dx  e C x x 1 e dx  eax  b  C ax  b a Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 1
  2. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân ax 1  a dx  lna  C x  cos  ax  b dx  a sin  ax  b   C 1  cosxdx  sin x  C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C  sin xdx   cos x  C dx 1  cos  ax  b  a tg  ax  b  C 2 dx  cos 2 x  tgx  C dx 1 dx  sin  ax  b   a cotg  ax  b  C 2  sin 2 x  cotgx  C 1  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C  tan xdx   ln cos x  C 1  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C  cot xdx  ln sin x  C Daïng 1. Tìm nguyeân haøm baèng baûng nguyeân haøm Baøi 1. Duøng caùc coâng thöùc cô baûn tính caùc nguyeân haøm sau 2 x4  3 x 1 1 1/  x2 dx 2/  x3 dx 3/  ( x  3 x )dx 4/  ( 3 x2  x )dx ( x  1)2 2e2 x  x2e x 5/  x dx 6/  2sin3xcos2xdx 7/  e x (1  xe x )dx 8/  ex dx e x 2x 1 9/  tan 2 xdx 10/   tanx – cotx  dx 11/  ex (2  12/  2 )dx dx cos2 x x Bài nguyên hàm có chứa thì chúng ta chú ý tới công thức , tương tự đối với dx 1 . Sau đó chúng ta dùng công thức nguyên hàm  2   cotg  ax  b   C và dùng công sin  ax  b  a dx 1 thức nguyên hàm   tg  ax  b   C cos  ax  b  a 2 Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  sin x  2 x , biết F ( )  0 Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x  cos x , biết rằng F      ln2 sin x  cos x  4 Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 2
  3. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân Hai bài tập trên chúng ta tìm nguyên hàm giống như các bài 1, tuy nhiên ta cần phải tìm hằng số C bằng cách sử dụng giả thiết F ( )  0 ở bài 2 và giả thiết F      ln2 ở bài 3.  4 Daïng 2. Tìm nguyeân haøm baèng phöông phaùp ñoåi bieán Cô sôû lí thuyeát: ∫ ( ) ( ) ∫ ( ( )) ( ) ( ) Phương pháp đổi biến số này chúng ta sẽ dùng trong trường hợp nào?? Thông thường các tích phân dạng tích, thương của một loại hàm. Chỉ có hàm logarit ( hàm logarit Nepe) thì xuất hiện hai loại hàm khác nhau. Khi đổi biến và tính tích phân xong ta chuyển về ẩn cũ. Đặt t = u(x), sau đó chuyển về nguyên hàm của hàm số với biến t. Baøi 1. Tìm caùc nguyeân haøm sau: 3x 2  1 4x  2 1/  (2 x  3)( x  3x  1) dx 2 2 2/  5x 2 x  1dx 3 3/  3 dx 4/  dx x x2 x2  x ex e3 x eln x dx 5/  e x (3e x  1)3 dx 6/  ex 1 dx 7/  x dx 8/  x dx 9/  x ln 2 x Baøi 2. Tìm caùc nguyeân haøm sau: 1/  x2  2  x3  dx dx dx 2/  x.  x 3/ x 5 4 1  9  x5 xdx dx 4/  x5 . x3  2dx 5/ x 6/  x  2  x2 2 3 x Baøi 3. Tìm caùc nguyeân haøm sau: (sin x  cos x)dx x3 dx 1 ex 1  ex a)  b)  dx c)  ( HD :  ) 3 sin x  cos x x2  1 1  ex ex  1 ex  1 sin 2 xdx sin 2 x sin x(cos x  1)  sin x ln ( x  a) x  a .( x  b) x b  d ) ( HD : 2 ) e)  dx cos x  1 cos x  1 cos x  1 ( x  a)( x  b) tan 4 x dx cos 2 x f ) cos5 xdx g ) dx h)  i) dx cos 2 x 4sin x  2 sin 2 x  3cos 2 x 2 (sin x  cos x)2 Daïng 3: Tìm nguyeân haøm baèng phöông phaùp töøng phaàn Cô sôû lí thuyeát: Định lý:  u( x).v '( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u '( x)dx Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 3
  4. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân Để chứng minh định lý này chúng ta sử dụng đạo hàm của một tích và (∫ ( ) ) ( ) Các em hãy thử tìm cách chứng minh xem. Phöông phaùp: -Bieåu dieãn f ( x)dx veà daïng tích udv  u.v ' dx + Choïn u sao cho du deã tính. + Choïn dv =v’.dx sao cho deã tính v . Việc tìm v khi đặt dv, chính là bài toán tìm nguyên hàm đơn giản ∫ . + AÙp duïng coâng thöùc. Loaïi 1: sin(ax  b)  sin(ax  b)  cos(ax  b)  cos(ax  b)  Daïng  P( x).   dx ( P( x) laø ña thöùc) Ñaët u  P( x), dv    dx  tan(ax  b)   tan(ax  b)   ax b   ax b  e  e  Baøi 1. Tìm caùc nguyeân haøm sau: a)  x.e x dx b)  ( x 2  2 x  1)e x dx c)  x cos x dx d )  x 2 cos x dx e)  x e3 x dx xdx xdx f )  x 2 sin x dx g ) h)  i)  ( x 2  1)e x dx sin 2 x cos 2 x Loaïi 2: Daïng  P( x).ln xdx ( P( x) laø ña thöùc) Ñaët u  ln x, dv  P( x)dx Baøi 1. Tìm caùc nguyeân haøm sau: ln x a)  (2 x  1) ln x dx b)  x 2 ln( x  1) dx c)  dx d )  (2 x  1) ln x dx x3 BÀI TẬP Tìm các nguyên hàm sau ln x a)  x.sin  x  2 dx b)  x.e2 x1dx c)  dx d)  x.tan 2 xdx x h)  x.ln 1  x2  dx x  1  cos 2 xdx f)  x2 .sin 2 xdx  ln x 2 e) g) dx i)  e x .ln 1  e x dx j)   x  sin x  .cos xdx k)  e x  sin x  .sin xdx Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 4
  5. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân x  sin x x.cos x x l)  cos 2 x dx m)  sin 2 x dx n)  sin 2 x dx * Tuy nhiên, các em ghi nhớ rằng trong 2 loại trên chúng ta đặt : { Việc tìm v khi đặt dv, chính là bài toán tìm nguyên hàm đơn giản ∫ . MOÄT SOÁ DAÏNG NGUYEÂN HAØM THÖÔØNG GAËP A. NGUYEÂN HAØM HAØM HÖÕU TÆ Daïng P( x) Phöông phaùp:  Q( x) dx  Neáu baäc töû nhoû hôn baäc maãu: Chuù yù: + Phaân tích: 1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b + C P( x)  A  B  2 Cx  D Q( x ) x   ( x   ) 2 ax  bx  c 1 1 u n du   u  n du  (n  1).u n  1 +C + Ñoàng nhaát 2 veá ñaúng thöùc tìm A,B,C,D vaø ñöa veà t/phaân cô baûn.  Neáu baäc töû lôùn hôn maãu thì chia ña thöùc vaø ñöa veà daïng treân. Nếu mẫu thức là một tam thức bậc 2 còn tử thức là hằng số thì chúng ta sẽ tính ( tìm ) nguyên hàm của hàm phân thức đó dựa vào số nghiệm của tam thức bậc hai. Cụ thể: Nếu tam thức bậc hai có nghiệm kép thì bài toán đơn giản; Nếu tam thức bậc hai vô nghiệm thì ta dùng hàm tan; Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì chúng ta dùng đồng nhất thức. Trong nhiều bài toán tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ ta có thể sử dụng công thức: ( ) ∫ | ( )| ( ). Công thức (*) các em thử chứng minh xem! ( ) Baøi 1: Tìm nguyeân haøm sau dx x2 x4  2 1/  x2  4 x  5 2/  x2  9 dx 3/  x3  xdx Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 5
  6. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân dx x3 dx x3 4/  2 5/  2 dx 6/  2 7/  2 dx x  4x  4 x  2x 1 x 1 x 9 sin x  3cos x Baøi 2: Cho haøm soá f ( x)  2sin x  cos x  2cos x  sin x  a) Xaùc ñònh caùc soá A, B ñeå f ( x)  A  B    2sin x  cos x  sin x  3cos x b) Tìm  2sin x  cos xdx a sin x  b cos x c) Toång quaùt cho tröôøng hôïp  c sin x  d cos xdx B. NGUYEÂN HAØM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC Daïng Phöông phaùp 1.  f (sin x).cos xdx Ñoåi bieán t  sin x 2.  f (cos x).sin xdx Ñoåi bieán t  cos x 3.  f (tan x)dx Ñoåi bieán t  tan x  2 1  cos 2 x cos x  2 4.  f (sin Duøng coâng thöùc haï baäc:  2n x,cos2n x)dx sin 2 x  1  cos 2 x  2 1 5.  sin ax.cos bx.dx Duøng coâng thöùc sin A.cos B  sin  A  B   sin  A  B  2 1  sin ax.sin bx.dx Duøng coâng thöùc sin A.sin B  cos  A  B   cos  A  B  2 1  cos ax.cos bx.dx Duøng coâng thöùc cos A.cos B  cos  A  B   cos  A  B  2 dx x 2t 1  t2 6.  a cos x  b sin x Ñoåi bieán: t  tan , thì sin x  2 1  t2 vaø cos x  1  t2 BÀI TẬP Tìm các nguyên hàm Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 6
  7. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 1  cos 4 x a)  sin 2 xdx b)  2 dx c)  sin 2 x.cos xdx d)  sin x .cos xdx sin 3 x e)  cos  sin x  .cos xdx f)  sin 2 x.cos4 xdx g)  cos x. 3 cos x dx h)  cos3 xdx 1 i)  cot xdx j)  sin5 x.cos2 xdx l)  sin x dx C. NGUYEÂN HAØM HAØM VOÂ TÆ Daïng Phöông phaùp ax  b ax  b 1.  f ( x, n ).dx Ñoåi bieán t  n , giaûi tìm x   (t ) . Tính dx theo dt cx  d cx  d 2.  f ( x, a 2  x 2 ).dx Ñoåi bieán x  a.sin t hoaëc x  a.cos t . Tính dx theo dt a a 3.  f ( x, x 2  a 2 ).dx Ñoåi bieán x  hoaëc x  . Tính dx theo dt sin t cos t Ñoåi bieán x  a.tan t . Tính dx theo dt dx dx 4.  2 x  a2 hoaëc  x2  a2 1 Chuù yù: 1  tan 2   cos2  Dạng tìm nguyên hàm của hàm số vô tỷ các em để ý rằng việc đổi biến số là khác hơn so với đổi biến số mà thầy đã viết dạng 2 ở trên. Ta đặt biến x theo biến t. BÀI TẬP Tìm caùc nguyeân haøm sau: dx 3dx x dx x 2 dx a)  b) c)  d ) e) x2 4  x2 (1  x 2 )5 x2  4 x 2 (2  x 2 )3 (1  x 2 )3 dx f)  3 cos x .sin xdx g)  cos 2 x 1  tan x *Một số dạng tích phân hàm hữu tỷ khác. Các dạng tích phân sau đây tương đối khó đối với các em học lớp CƠ BẢN. Tuy nhiên nếu cố gắng các em vẫn hiểu rõ được các dạng. Muốn thế các em đọc kỹ phương pháp và ví dụ, sau đó làm các bài tập phía sau. Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 7
  8. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 1. Dạng :  R[ x; n (ax  b) m ; n (ax  b) m ,...]dx đặt ax + b = ts trong đó s là BCNN(n1;n2;…) 1 1 2 2 dx I  đăt : x  t 6  dx  6t 5 dt x x 3 6t 5 t3 1 t3 t2 dt Ví dụ: Tính: I   3 2 dt  6 dt  6 (t 2  t  1  )dt  6  6.  6t  6 C t t t 1 t 1 3 2 t 1  2t 3  3t 2  6t  6 ln | t  1 | C  2 x  33 x  66 x  6 ln | 6 x  1 | C dx 2. Dạng:  ax  bx  c 2 đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đúng rồi đưa về các tích dx x dx phân cơ bản:  a2  x2  arcsin  C; a  x k 2  ln | x  x 2  k | C dx 1 dx 1 2 Ví dụ : I      ln | x  x  | C 3x  2 2 3 x2  2 3 3 3 Ax  B 3. Dạng:  ax 2  bx  c dx; Ta tách tử số ra đạo hàm của mẫu trong căn và phân tích thành tổng hai tích phân thuộc các dạng đã biết. A Ab (2ax  b)  B  Ax  B 2a dx  A d (ax  bx  c)  ( B  Ab ) 2 dx  ax 2  bx  c dx;   2a ax 2  bx  c 2a  ax 2  bx  c 2a  ax 2  bx  c Ví dụ: x2 1 2x  5  4  5 1 d ( x 2  5 x  6) 9 dx I  dx   dx     x  5x  6 2 2 x  5x  6 2 2 x  5x  6 2 2 x  5x  6 2 1 9 dx 1 9 5 5 1 2     ln | x   ( x  ) 2   C x 2  5x  6 5 25 (x  )2   6 x 2  5x  6 2 2 2 4 2 4 dx 1 4. Dạng:  (x  k) ax  bx  c 2 đặt x – k = t đưa tích phân này về dạng đã biết. Ví dụ: dx 1 1 dt 1 1 I  đăt : x   dx   2 dt; I     ln | t  t 2  1  C   ln |  2  1 | C x x2 1 t t 1 t 2 x x Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 8
  9. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân Pn ( x) 5. Dạng:  ax 2  bx  c dx trong đó Pn(x) là đa thức bậc n. Sử dụng đồng nhất thức sau: Pn ( x) dx  ax 2  bx  c dx  Qn1 ( x) ax 2  bx  c  λ  ax 2  bx  c x 3  2 x 2  3x  4 Ví dụ: Tính:  x 2  2x  2 dx x 3  2 x 2  3x  4 dx Sử dụng đồng nhất thức :  x  2x  2 2 dx  (ax 2  bx  c) x 2  2 x  2  λ  x  2x  2 2 Lấy đạo hàm cả hai vế: x 3  2 x 2  3x  4 x 1 1  (2ax  b) x 2  2 x  2  (ax 2  bx  c) λ x 2  2x  2 x 2  2x  2 x 2  2x  2  x 3  2 x 2  3x  4  (2ax  b)( x 2  2 x  2)  (ax 2  bx  c)( x  1)  λ 1 1 7 5 Đồng nhất hệ số ta có: a  ; b  ; c  ; λ  3 6 6 2 x 3  2 x 2  3x  4 1 2 1 7 5 Vậy:  x 2  2x  2 dx  ( 3 x  6 x  6 ) x  2x  2  2 ln | x  1  x  2x  2 | C 2 2 dx {  ln | x  x 2  k | C } x k 2 6.Dạng:  x m (a  bx n ) p dx Trong đó m;n;p là các số hữu tỷ + Nếu p là số nguyên đặt x = ts , với s là BSCNN của các mẫu số các phân số m; n đưa được tích phân về dạng tích phân hữu tỷ m 1 + Nếu là số nguyên, đặt a + bxn = ts với s là mẫu số của p n m 1 +Nếu  p là số nguyên. Đặt ax-n + b = ts, với s là mẫu số của p. n Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 9
  10. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân Ví dụ: 1 1 1 2 1 x 3 1 1 1 1 3 .I   3 dx   x (1  x ) dx; có : 3 3 3 2  2  Z  Đăt : 1  x 3  t 2 ; x dx  2tdt x 1 3 3 2 1 1 1 t5 t3 6 I   x 3 .x 3 (1  x 3 ) 2 dx  3 (t 2  1)t.2tdt  6 (t 4  t 2 )dt  6  6  C  (1  3 x ) 5  2 (1  3 x ) 3  C 5 3 5 Bài tập 1 x2  x2 1 dx dx 1. I   dx 2) I   3) I   x4 1 ( x 2  1) x 2  1 3x 2  2 xn xdx 4).I   dx 5).I   e x  1dx 6).I   1  x n2 ( x 2  1) x 2  1 xdx xe arctanx x 1 7).I   8) I   dx 9).I   dx x x2 2 (1  x ) 1  x 2 2 x 1 5x  3 dx 1 x 10).I   dx 11).I   12).I   dx 2 x  8x  1 2 x 4 x 12 x π 13).I   x  x 2  3x  2dx 14).I   1  sin 2 x dx 0 x 2 D. NGUYEÂN HAØM TRUY HOÀI Daïng Phöông phaùp I n   f (n; x)dx vôùi Tính I1 , I 2 . Laäp coâng thöùc lieân heä giöõa I n , I n1 . Suy ra I n Nội dung này thầy không viết ở đây. II/ TÍCH PHÂN *Cơ sở lí thuyết b  f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a) với F ( x) laø moät nguyeân haøm cuûa f ( x) trên đoạn [a;b] b a a a b a *Chú ý:  a f ( x)dx  0;  a f ( x)dx   f ( x)dx b Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 10
  11. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân *Caùc tính chaát caàn nhôù b b a a b b c c a) k. f ( x)dx  k. f ( x)dx b) [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx c) f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a a a a a a b a b *Dạng  a f ( x) dx ta thực hiện các bước sau: - Giải phương trình f(x) = 0 trên  a; b , giả sử có các nghiệm 1,2 (saocho1  2 ) b 1 2 b 1 2 b - Khi đó  a f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  a 1 2  a f ( x)dx   1 f ( x)dx  2  f ( x)dx ( Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối ). A. Dạng 1. Tính các tích phân sau 1 8 5 2 1.   x 4  1 dx 1 2.  3 xdx 3.  2 x  4dx 4.  2x  1 dx 0 1 0 0  2 x3  x 2  1 1 0 x x 5.  dx 6.  dx 7.  cos dx 2 8.  sin 2 2xdx 0 x 1 3 1 x 0 2 0    4 2 2 2 dx 9.  tan 2 xdx 10.  2 11.  cos3x cos5 xdx 12.  sin 2 x sin 7 xdx 0 1 x x 0   2   3 2 1 2 13.  x 2  2 x dx 14.  1  cos 2 xdx 15.  e2 x  2e x  1dx 16.  1  sin xdx 2  1 0  2 1 4 x2 17.  0 x2  1 dx 18.  2 x 2  6 x  9dx 5 2 ln 3 dx .dx 19.  x2  x2 20.  ( x  1)( x  x  1)dx 1 21.  e e x x 2 0 B. Dạng 2. Dùng phương pháp đổi biến số tính tích phân *Loại 1. Đặt u = u(x)  du = u’(x).dx x = a  u = u(a) và x = b  u = u(b) Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 11
  12. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân b u b Khi đó  f u  x u '  x  dx    f u du a u a Phương pháp đổi biến số này chúng ta sẽ dùng trong trường hợp nào?? Thông thường các tích phân dạng tích, thương của một loại hàm. Đôi khi có hàm logarit ( hàm logarit Nepe) và hàm mũ cơ số e thì xuất hiện hai loại hàm khác nhau. Phải nhớ rằng, khi đổi biến ta phải đưa tích phân đã cho về hoàn toàn theo biến mới. Các bài tập sau đây không khó, các em cố gắng làm hết 27 bài tập này. Bài tập: Tính các tích phân  1 1 1 1 x2 2 x2 2 1.  (3x  2)5 dx 2.  3.  4.  xe x dx 5.  2 1  cos x .sinx dx 2 dx dx 0 0 2  x 3 0 1 x 3 0 0   2  ln x e2 e 3 3 1 dx sin x 6.  7.  8.  3 dx 9.  sin x e 10.  x 2 e x dx 3 cos x dx dx e x 1  ln x 1 x 0 cos x 0 1     (1  ln x)2 4 tgx 3 2 3 e e dx sin x 11.  2 dx 12.  13.  cos x sin xdx 3 14.  3 dx 15.  dx 0 1  cos x 0 cos x  sin 2 x 0 1 x 6   e 3 6  2ln x 4 sin 3 x 3 e 3 1  ln x ln x 16.  dx 17.  2 dx 18.  sin2 x tan x dx 19.  20.  4 dx dx x 0 cos x x 1 1 1 0 x  x 1 5x  4 sin x  cos x 1 1 1 0 4 21. x dx 22. x 3  x4  1 dx 23.  x2 1  x 2 dx 4 24. x dx 25.  sin x  cos x dx 1 2  2x  2 0 0 1 2  x2 0  3 2 dx 26.  x 1  x dx  sin 3 2 27. 4 0  x 4 b *Loại 2. Tính  f ( x)dx a Đặt x = u(t)  dx = u’(t).dt x = a  a = u(t)  t =  x = b  b = u(t)  t =  b  Khi đó  f ( x)dx   f (u(t ))u '(t )dt a Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 12
  13. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân Lưu ý: Daïng Phöông phaùp  ax  b ax  b 1.  f ( x, n ).dx Ñoåi bieán t  n , giaûi tìm x   (t ) . Tính dx theo dt  cx  d cx  d    Ñoåi bieán x  a.sin t vôùi t    ;  hoaëc x  a.cos t vôùi 2.  f ( x, a 2  x 2 ).dx  2 2 t 0;   . Tính dx theo dt    vôùi t   ;  \ 0 hoaëc x  a a Ñoåi bieán x  vôùi  sin t  2 2 cos t 3.  f ( x, x 2  a 2 ).dx   t  0;   \   . Tính dx theo dt  2     Ñoåi bieán x  a.tan t vôùi t    ;  . Tính dx theo dt dx dx  2 2 4.  hoaëc   x  a2 2  x  a2 2 1 Chuù yù: 1  tan 2   cos2  Bài tập: Tính các tích phân 1 1 1 1 1 x3 1.  dx 2.  dx 3.  dx 0 1 x x  2x  4 0 1 x 2 2 8 0 ( x 4  1)dx 1 4 1 1 4.  dx 5.  4  x dx 2 6.  0 4  x2 0 0 x6  1 √ √ 7. ∫ 8. ∫ 9. ∫ √ √ ( ) C. Dạng 3. Dùng phương pháp tích phân từng phần b b b b Công thức tích phân từng phần:  u( x).v '( x)dx  u( x).v( x) a   v( x).u '( x)dx hoặc  udv  uv a   vdu b b b a a a Lưu ý: Các em đọc lại phần phương pháp từng phần tìm nguyên hàm. Bài tập: Tính các tích phân    1 2 6 2 1)  x.e 3 x dx 2)  ( x  1) cos xdx 3)  (2  x) sin 3xdx 4)  x. sin 2 xdx 0 0 0 0 Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 13
  14. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân e e 3 1  x ln xdx  (1  x ). ln x.dx  4 x. ln x.dx  x. ln( 3  x 2 2 5) 6) 7) 8) ).dx 1 1 1 0   2  2 2  (x  1).e .dx  x. cos x.dx x  (x  2 x). sin x.dx 2 x 2 2 9) 10) 11) . cos x.dx 12) 1 0 0 0  2 1 2 ln x 2 13)  5 dx 14)  x cos xdx 2 15)  e sin xdx x 16)  sin xdx 1 x 0 0 0   e  x  sin x 3 4 17)  x ln2 xdx 18)  dx 19)  xsin x cos2 xdx 20)  x(2 cos2 x  1)dx 0 cos x 2 1 0 0  2 1 e ln(1  x) 2 21)  dx 22)  (x  1)2 e2x dx 23)  (x ln x)2 dx 24)  cos x.ln(1  cos x)dx 1 x 2 0 1 0 e ln x 1 25) 1 ( x  1)2 dx 26) ∫ 27)  ( x  2)e 2 x dx 0 e  1 e ln x 2 28)  x ln(1  x 2 )dx 29)  dx 30)  ( x  cos3 x) sin xdx 0 1 x 0 2 3 31)  (2 x  7) ln( x  1)dx 32)  ln( x 2  x)dx 0 2 D. Một số dạng khác Tính các tích phân    4 4 3 cos x sin x tan x 1. 0 sin x  cos xdx 2. 0 sin x  cos x dx 3.   tan x  cot x dx 6     2 n 2 n 2 2 cos x sin x 4. 0 sin n x  cosn xdx 5. 0 sin n x  cosn xdx 6.  cos2 x.cos2 2 xdx 0 7.  sin 2 x.cos 2 2 xdx 0 III/ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a, x b = b là S=  f ( x) dx a Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 14
  15. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân b Để tính  a f ( x) dx ta thực hiện các bước sau: - Giải phương trình f(x) = 0 trên  a; b , giả sử có các nghiệm 1,2 (saocho 1  2 ) b 1 2 b 1 2 b - Khi đó  a f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  a 1 2  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a 1 2 *Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành ta giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0, giả sử có các nghiệm a, b, c, d với a  b  c  d , khi đó d b c d b c d S   f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f (x)dx a a b c a b c 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b b là S=  f ( x)  g ( x) dx a b Để tính S=  f ( x)  g ( x) dx làm tương tự trên. a *Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) - g(x) = 0, giả sử có các nghiệm a, b, c, d với a  b  c  d , khi đó d b c d S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx a a b c b c d   [f ( x)  g ( x)]dx   [f ( x)  g ( x)]dx   [f ( x)  g ( x)]dx a b c 3. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, b các đường thẳng x = a, x = b xoay quanh trục Ox là V    f 2 ( x)dx a BÀI TẬP Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1, trục hoành, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1, trục hoành, đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x, trục hoành, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 15
  16. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân x e/ Đồ thị các hàm số sau y = xlnx, y = và đường thẳng x =1 2 x2  x  2 f/ y  , y  0, x  2, x  2 x3 Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ y  x3  3x và trục Ox b/ y  ln x, y  0, x  e c/ y  x2  2x, y  x  2 d/ y  x2  4x  3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm M(0; - 3) và N(3; 0) e/ y  2x , y  2, x  0 f/ y  sin x, y  cos x, x  0, x   Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh Ox a/ y  x  1, y  0, x  4 b/ y  x  x2 , y  0 c/ y  cos x, y  0, x  0, x   d/ y  x ln(1  x2 ), y  0, x  1 e/ y = ex ; y = e-x ; x = 1 Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a. x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x b. y=2x; y=3x và x=0 x c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  . 3 Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. Bài 6. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. Bài 7. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a) Trục Ox. Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 16
  17. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân b) Trục Oy. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 17
  18. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân Cuối cùng là những bài tập từ đơn giản đến nâng cao và một số bài tích phân trong các kỳ thi đại học, nhiều bài hơi khó thầy có hướng dẫn giải hoặc có đáp số. Tính các tích phân sau: 1. ∫ ( ) HD: Bài này chúng ta biến đổi và sử dụng công thức thông thường. 2. ∫ ( ) 3. ∫ HD: Sử dụng đồng nhất thức. ( ) 4. Tính các tích phân đơn giản sau: A=  2 x  5- 7 x dx 2 2 e 2 B=  x2 -1 dx C=  2x ln 2dx 1 x -2 0 5. Tính các tích phân sau:  e 2 3 A=  e3 cos x sin xdx 4 B=  ln xdx C*= 2 3 dx D*=  x 0 1 x  x x2  4 1 1 x -1 dx 5 6. Tính các tích phân sau:  ln 5 e I=  sin(ln x) dx dx e 4 J= dx K= 1 x  sin 2 x cot x ln 3 x  2e x  3 6   2 M=  2dx 2 L=  2 sin 2 xdx N=  sin 2 x dx 1 x -9 0 (1  cos x) 2 2 0 cos x  4 sin x 2 2 7. Tính các tích phân sau: 1 4 A=  dx B= 3 dx C=  16 - x 2 dx 0 4 - x2  x 3 2 0 3 3 E=  2 2 dx ln 2 x D=  1- e x dx 0 1 e 2 x 1 8. Tính các tích phân sau: e2  2 ln x A=  dx B*=  x sin 2x dx C*=  ln2x dx 1 x 0 1  cos x 1 x x2  1 1 e 3x 4  2 x 2 E=  F   4 dx * * D =  cos(ln x)dx dx 1 1  x 1 1 x3 Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 18
  19. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 9. Tính:   4 2 1 4 x 2 e A=  cos xdx 2 B=  cos3 xdx C=  xe x dx D=  dx E=  x ln xdx 0 0 0 1 x 1 e ln x  1 2 4 2 x 1 x F=  dx G=  x 1  2 x 2 dx H=  x 1  2 xdx I=  dx J=  dx 1 x 0 0 1 x 1 0 1 x 2 10. Tính các tích phân √ √ A. ∫ HD: Dùng đổi biến số, đặt . Đáp số: 0. √   (cos x  sin x)dx 4 3 dx 11. A.  0 3  sin 2 x (HD: §Æt t = cosx - sinx) B.   sin x. cos 3 x (HD: §Æt t = tanx) 4  2 sin 2 x  sin x 12. A.  0 1  3 cos x dx HD: t  1  3cos x , phân tích tử bằng cách dùng công thức nhân đôi. 3 xdx B.  . HD: §Æt t  1  1  x 2 0 1  x 2  (1  x 2 ) 3 ln 5 4 7 e2 x dx x3dx 13. A.  ln 2 e 1 x B.  1 0 3 x 14 HD: t  3 x4  1 x2 1 ln5 2 e x dx  1 x4  1 dx HD: chia tử, mẫu cho x . 2 14. A. B. ln 2 10  e  x ex 1 Câu A, chúng ta sử dụng đổi biến số. x2  3 3 15. A. 1 x4  2x3  2x2  6x  9 dx √ B. ∫ ( √ ) HD: Tp tphần Trong câu A chúng ta có thể chia tử và mẫu cho x2  2  1  cos x dx HD: 2 3 3 dx 4sin x  HD: t  x  4 2 16. A. B. 5 x x2  4 0 sin x  sin x.sin x  1  cos x .sin x 3 2  2  Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 19
  20. Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 1 4 HD: t  1  e x  x  ln  t 2  1  dx  ... dx dx 1 1 17. A.  0 1  ex B. x x2  9 HD: t  x x t 7  1  2sin 2 x 2 4 18. A.  0 x 2  x dx B.  0 1  sin 2 x dx HD: 1  2sin 2 x  cos 2 x , đặt t  1  sin 2 x  2   cos  2 x 19. A.  dx HD: t  x 1 B. 3 x  1 cos 2 x.dx HD: tách thành 2 tích phân. 1 1 x 1 0 3  ln x x 2  e x  2 x 2e x 3 1 20. A.   x  1 1 2 dx HD: u  3  ln x; dv  ... B. 0 1  2ex dx 21. A. ∫ . Đáp số: 1. ( ) 22. A. ∫ . Đáp số: . ( ) √ 23. A = ∫ √ HD: Đặt x = sint √ 24. A = ∫ √ HD: Đặt x =1/ sint √ 25. [B, 2005]. A = ∫ 26. ∫ ( ) ( ) 27. ∫ Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2