Chuyên đề Toán luyện thi đại học [năm] tốt nhất, chuẩn nhất

Lời nói đầu!

Sau những ngày tháng vật lộn với kì thi đại học, mình cũng sưu tầm được kha khá

tài liệu môn Toán, đây là môn học mang tính tuy duy cao, nó không chỉ là kiến thức phục

vụ trực tiếp cho các kì thi, mà qua Toán học ta có thể nâng cao sự tư duy, hoàn thiện bản

thân hơn, hãy đam mê nó sẽ thấy được những vẻ đẹp kì điều kì diệu của Toán học.

Những đường cong quyến rũ của đồ thị, mê cung kì diệu của hệ phương trình hay những

hình không gian hết sức trừu tượng, bộ tài liệu này mình khá là tâm đắc vì được mình sưu

tầm trên http:onluyentoan.vn .Hi vọng cuốn tài liệu này là những bước đầu trên con

đường chinh phục đỉnh cao Toán học . Quan trọng hơn là kì thi đại học sắp tới, nó sẽ là

những bước ngoặt lớn trong cuộc đời, chúc các bạn thành công!

Qua cuốn tài liệu này mình muốn gửi lời cảm ơn tới các thành viên của Diễn Đàn

“ Ôn luyện toán” và đặc biệt tới các thành viên như : Hâm-hấp; tkvn; nguoivn;

K.K.Đ.Đ.Đ.L.T; binhncb; dzitxiem; Storm Spirit; kienqb; tranphongk33;

cokeu14_bl…… Qua cách giải bài, trình bày, lí luận và tư duy, mình đã học hỏi được rất

nhiều, không chỉ có học mà từng cách ứng xử, lời ăn tiếng nói cũng được các thành viên

chỉ bảo lẫn nhau, đó là điều hứng thú nhất mà mình cảm thấy đây là diễn đàn đầu tiên

cảm nhận được vậy, cám ơn diễn đàn rất nhiều, hi vọng ngày càng nhiều thành viên tham

gia diễn đàn, chúc diễn đàn ngày càng lớn mạnh .

Nếu thấy hữu ích hãy gửi cho mình 1 SMS để là lời động viên cho mình nhé, My

phone : 01645362939, 01258774067 

Dù đã cố gắng nhưng không thể không có sai sót, rất mong sự góp ý của các bạn

để mình hoàn thiện tài liệu này.

Thân ái:

Vũ Tùng Lâm

H/s: THPT Lục Ngạn số 3. A3K11.

S/v: BK2.15 K57.

Phụ Lục

Chuyên đề I: Khảo sát hàm số…………………………………………………

Phần 1: Hàm số bậc 3………………………………………………… 2

Phần 2: Hàm bậc nhất trên bậc nhất…………………………………. 35

Phần 3: Hàm số bậc 4………………………………………………… 52

Chuyên đề II: Phương Trình Lượng giác, PT-Hệ PT ………………………….

Phần 1: Phương Trình Lượng Giác……………………………………. 61

Phần 2: Hệ Phương Trình……………………………………………… 108

Phần 3: PT mũ – logarit……………….……………………………….. 173

Phần 4: Phương Trình vô tỉ…………………………………………….. 235

Chuyên đề III: Tích Phân, Nguyên Hàm............................................................ 304

Chuyên đề IV: Thể tích khối chóp...................................................................... 317

Chuyên đề V: Tọa độ trong mặt phẳng, không gian................................................

Phần 1 : Tọa độ trong không gian……………………………………….. 335

Phần 2: Tọa độ trong mặt phẳng………………………………………….339

Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3

E-mail: Mobile_lam@yahoo.com  :01645362939

- 2 -

Lời Giải:

Trước tiên, đạo hàm của hàm số 3 2

( ) 3( 1) 3 ( 2) 12 8

f x x m x m m x m

      

là

2 2

( ) 3 6 ( 1) 3 6 .

f x x x m m m

    

2 2 2 2

( ) 0

3 6 ( 1) 3 6 0 2 ( 1) 2 0

( 1) 1

f x

x x m m m x x m m m

x m

x m x m





           

 



     



Không mất tính tổng quát, ta có thể cho

x m



là hoành độ điểm

và

x m

 

là hoành độ

điểm

. Khi đó, ta tìm được tọa độ của chúng là:

3 2 3 2

( , 3 12 8), ( 2, 3 12 4).

A m m m m B m m m m

      

Khi đó,

2 3 2 2 2 3 2 2

( 3) ( 3 12 6) ( 1) ( 3 12 2) .

MA MB m m m m m m m m              Áp dụng

Cauchy- Schwarz:

2 3 2 3 2 3 2

2 3 2 2 3 2 3 2

(3 ) ( 3 12 6)· 1 4 3 2( 3 12 6) 2 6 25 15,

( 1) ( 3 12 2) · 1 4 ( 1) 2( 3 12 2) 2 6 25 5.

m m m m m m m m m m m

               

                 

Do đó,

5 10 2 5

  

 

. Do đó, giá trị nhỏ nhất của



là

2 5,

xảy ra khi và chỉ khi





Có thể xứ lí gọn hơn như sau:

Nhận thấy

2 5,

AB  do đó theo bất đẳng thức tam giác ta có:

2 5.

AM BM AB  

Đẳng thức xảy ra khi:

, 0.

AM k AB k

 

 

Từ đó ta tìm được



Chuyên đề I: Khảo sát hàm số

Phần 1: Hàm số bậc 3

Coppy right ©: Mobile_lam

Bài 1:

Cho hàm số 3 2

3( 1) 3 ( 2) 12 8

y x m x m m x m

      

có đồ thị là

( )

Tìm

để

( )

có hai điểm cực trị A,

sao cho

AM BM



nhỏ nhất với

(3;2).

Bài 2:

Chứng minh rằng 3 2 2 3

( ) : 3 3( 1) 3

C y x mx m x m m

      luôn tiếp xúc với hai đường thẳng

cố định.

Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3

E-mail: Mobile_lam@yahoo.com  :01645362939

- 3 -

Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng: 3

y ax b

 

. Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi

( ) 3( ) 3 (1)

3( ) 3 3 (2)

x m x m ax b

x m a

    

  



để PT (2) có nghiệm m thì:

 

và khi đó ta thu được

x m a

   

(3) và

x x m a

    

(4)

Thay (3) vào (1) ta được: 3

( 1) 3( 1) 3 ( 1)

a a a m a b

         

có nghiệm với mọi

Phương trình bậc nhất

. 0

A m B

 

có nghiệm với mọi

khi

A B

 

.Suy ra



và



Thay (4) vào (1) ......................Suy ra



và

 

Câu a. Để tìm điểm cố định, ta coi phương trình đã cho có ẩn là

còn

x y

là tham số. Điểm

( , )

A x y

là điểm cố định nếu phương trình ẩn m kia nghiệm đúng với mọi m.

Với phương trình

am b

 

thì nghiệm đúng với mọi

khi

a b

 

Áp dụng vào bài này ta

viết phương trình thành

32 2 1

3 6 0.

3 3

m x x x x y

 

      

 

  Phương trình này có nghiệm với

mọi

khi và chỉ khi

3 0

6 0

xx x

x x y

  







   





Giải ta được

0, .

x y

 

Vậy

 

 

 

là điểm cố

định.

Câu b. Cực trị của hàm số liên quan đến dấu của đạo hàm cấp một, với hàm số bậc ba nó có hai

cực trị tương đương đạo hàm cấp một có hai nghiệm phân biệt. Ta có

2( 1) 3( 2).

y mx m x m



    

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì đạo hàm cấp một phải có hai

nghiệm phân biệt, điều kiện cần là





Khi đó

2 2

( 1) 3 ( 2) 0 2 4 1 0. (1)

m m m m m



           Với điều kiện

(1),

ta tính được hai nghiệm

của phương trình





rồi thế vào đẳng thức đề cho để giải tìm

chú ý rằng dấu của

sẽ cho

Bài 3:

Cho hàm số 3 2

1 1

( 1) 3( 2) .

3 3

y mx m x m x

     

Tìm điểm cố định của họ đồ thị của hàm số.

Với giá trị nào của

thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và

cực tiểu

1 2

x x

thỏa mãn điều kiện 1 2

2 1.

x x

 

Với giá trị nào của

thì hàm số đồng biến trên

[2, ).

 

Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3

E-mail: Mobile_lam@yahoo.com  :01645362939

- 4 -

ta hai trường hợp của

1 2

, .

x x

Câu c. Hàm số đồng biến trên

[2, )

 

khi đạo hàm cấp một không âm, khác hằng trên đó. Ta viết

lại 2

( 2 3) 2 6.

y m x x x



    

Khi đó





sẽ tương đương với

6 2

( ), [2, ).

2 3

m g x x

x x



     

  Yêu cầu của bài toán dẫn đến ta cần tìm

để cận trên của

( )

g x

trên

[2, )

 

không vượt quá m.

Ta lập bảng biến thiên hàm

để tìm ra kết quả.



Phân tích hướng giải câu b. Khi nói đến cực đại và cực tiểu ta cần chú ý nó liên quan đến đạo hàm

cấp một, nghiệm và dấu của của y'. Đặc biệt bài toán lại đòi hỏi tính đối xứng của hai điểm qua

một đường thẳng cho trước nên ta cần biết tính chất hình học của nó bao gồm hai ý: đường thẳng

đi qua hai điểm phải vuông góc với đường thẳng cho trước và trung điểm của hai điểm đó phải

thuộc đường thẳng cho trước.

Lời giải. Ta có tập xác định:





Lại có: 2

3 6 .

y x ax

  Từ đó:

0 3 6 0 3 ( 2 ) 0

0, 2

y x ax x x a

x x a



      

   Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình





có hai nghiệm phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua hai nghiệm đó. Điều đó tương thích với

điều kiện lúc này là



Gọi tọa độ hai cực điểm đó là 3

(0,4 ), (2 ,0).

A a B a

Hướng giải 1. Ta có phương trình thẳng AB:

2 3

1 2 4 .

2 4

x y

y a x a

a a

      Gọi

là trung

điểm của AB thì tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình:

A B

x x

x a

y y

y a



 





 





Vậy

( ,2 ).

I a a

Có

A B

đối xứng qua đường thẳng

y x



khi có điều kiện:

Bài 4 :

Cho hàm số

3 2 3

3 4 .

y x ax a

  

Với a>0 cố định, hãy khảo sát sự biến của hàm số.

Xác định

để các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số là đối xứng với nhau qua đường thẳng

y x



Xác định

để đường thẳng

y x



cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt

, ,

A B C

sao cho

AB BC



Vũ Tùng Lâm I: Hàm Số THPT Lục Ngạn 3

E-mail: Mobile_lam@yahoo.com  :01645362939

- 5 -

1( 2 )·1 1

1 2

2 2

2 4

AB d

k k aa a

I d a a

     

     

 



 Hướng giải 2. Ta quan sát thấy tọa độ hai

điểm

A B

rất đặc biệt đúng không? Thật vậy,

, .

A Ox B Oy

 

Lại một điều đặc biệt nữa đó là

đường thẳng

y x



là đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ nên điều kiện của bài toán

thỏa khi ta có: 3 2

1 2

4 2 .

2 2

A B

x y a a a a

y x



      



 Vậy giá trị cần tìm là

a 



C, Hoành độ

, ,

A B C

là nghiệm của phương trình 3 2 3

3 4 . (1)

x tx t x   Yêu cầu của bài toàn thì

phương trình này phải có ba nghiệm phân biệt và

AB BC



Ta giả sử phương trình này đã có ba

nghiệm phân biệt rồi (tẹo nữa ta kiểm tra lại) và ba nghiệm đó theo thứ tự là

, ,

abc

(ứng với các

hoành độ của

, , .

A B C

Và thế thì tọa độ của

( , ), ( , ), ( , ).

A a a B b b C c c

Ta có:

2 2 2 2

2( ) 2( ) 2 3 .

AB BC b a c b b a c b b a c b a b c

               

Nhưng, theo

định lý Viette cho phương trình bậc ba thì

3 .

a b c t

  

Thế cho nên

b t



Thay

b t



vào

phương trình

(1)

ta tìm được

1 1

0, , .

2 2

t t t    Giờ, ta kiểm tra lại xem với

nào thì

phương trình

(1)

có đủ ba nghiệm phân biệt là xong. Việc này mời các bạn tiếp tục nhé!



Gọi

0 0

( ; )

M x y

vì

thuộc đường thẳng

 

nên 0

( ; 2)

M x



và

( )



là tiếp tuyến có dạng

( ) 2

y k x x

  

Để từ

kẻ được 3 tiếp tuyến của đồ thì

( )



Hệ phương trình

3 2

3 2 ( ) 2

3 6

x x k x x

y x x k



    

  

 có

nghiệm phân biệt



3 2

0 0

2 3( 1) 6 4 0

x x x x x

    

( ) 2 (1 3 ) 2 0

f x x x x







    



Để qua

kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị

( )

hàm số thì phương trình

( ) 0

f x



có hai nghiệm

phân biệt khác

Bài 5 :

Tìm điểm

trên đường thẳng

 

mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị hàm số 3 2

3 2

y x x

  

ba tiếp tuyến, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.

Chuyên đề Toán luyện thi đại học

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi