zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi tốt nghiệp 2013 chuyên đề nguyên hàm tích phân

Chia sẻ: Đỗ Thành Trung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Báo xấu

144
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1. Nguyên hàm. a. Định nghĩa. Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu : . b. Định lý. Nếu là nguyên hàm của hàm số trên thì mọi hàm số có dạng cũng là nguyên hàm của trên và chỉ những hàm số có dạng mới là nguyên hàm của trên . Ta gọi là họ nguyên hàm của trên và ký hiệu là . Vậy :

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi tốt nghiệp 2013 chuyên đề nguyên hàm tích phân

HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Chuyên đề 4 Chuyên đ 4 NGUYỄN HOÀNG MINH THPT Nguyễn Trung Trực 1. Nguyên hàm. a. Định nghĩa. Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu : F ( x ) = f ( x ) ; ∀x K. b. Định lý. Nếu F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi hàm số có dạng F ( x ) + C cũng là nguyên hàm của f ( x ) trên K và chỉ những hàm số có dạng F ( x ) + C mới là nguyên hàm của f ( x ) trên K . Ta gọi F ( x ) + C là họ nguyên hàm của f ( x ) trên K và ký hiệu là f ( x ) dx . Vậy : f ( x ) dx = F ( x ) + C c. Tính chất. i. Tính chất 1. � ( x ) dx = k �( x ) dx ( k 0) kf f ii. Tính chất 2. � ( x) g ( x ) � = �( x ) dx �( x ) dx �f dx f g � � Nguyên hàm của những hàm số thường gặp. ( m, n ι ﾡ ; m 0) 2. dx = x + C kdx = kx + C 1 ( mx + n ) xα +1 α +1 +C(α −1) xα dx = ( mx + n ) dx = + C ( α −1) α α +1 α +1 m dx dx 1 = ln x + C = ln mx + n + C mx + n m x 1 e x dx = e x + C e mx + n dx = e mx + n + C m 1 a mx + n ax a mx + n dx = a x dx = +C +C ln a m ln a 1 sin xdx = − cos x + C sin ( mx + n ) dx = − cos ( mx + n ) + C m 1 cos xdx = sin x + C cos ( mx + n ) dx = sin ( mx + n ) + C m dx dx 1 = tan ( mx + n ) + C = tan x + C cos ( mx + n ) m cos 2 x 2 dx dx 1 = − cot ( mx + n ) + C = − cot x + C sin ( mx + n ) sin 2 x 2 m Trang 30
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013 Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số hàm số này thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. 3. a. Định lý. f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : Nếu f �( x ) � ( x ) dx = F �( x ) � C + u u u �� b. Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp. Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số t = sin x � = m sin x + n f ( sin x ) cos xdx t t = cos x � = m cos x + n t f ( cos x ) sin xdx t = ln x � = m ln x + n t 1 f ( ln x ) dx x t = tan x � = m tan x + n t 1 f ( tan x ) dx cos 2 x t = cot x � = m cot x + n t 1 f ( cot x ) dx sin 2 x f ( e x ) e x dx t = e x � = me x + n t f ( x k ) x k −1dx t = x k � = mx k + n t ( ) u ( x) Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn thì thường ta n đặt t = n u ( x ) . Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần. 4. Định lý. � = uv − � udv vdu Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp từng phần thường gặp. Dạng 1 . p ( x ) q ( x ) dx (trong đó p ( x) là hàm số đa thức, q ( x ) là hàm số sin α ( x ) hoặc cos α ( x ) hoặc eα ( x ) ) u = p ( x) Trong trường hợp này ta đặt : dv = q ( x ) dx Dạng 2. p ( x ) q ( x ) dx Trang 31
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013 (trong đó p ( x) là hàm số đa thức, q ( x ) là hàm số log a α ( x ) ) u = q ( x) Trong trường hợp này ta đặt : dv = p ( x ) dx BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh rằng hàm số F ( x ) = e ( x + 1) là nguyên hàm của hàm số x 2 f ( x ) = e x ( x + 1) . 2 Bài 2. Chứng minh rằng hàm số F ( x ) = x ln x − x − 3 là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln x . Bài 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos x ( 2 − 3 tan x ) . 1 + 2x 2 Bài 4. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = thỏa mãn điều kiện F ( −1) = 3 x . Bài 5. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos x − 3sin x thỏa mãn điều kiện F(π) = 0. Bài 6. Tính : 2 1� � � 2� ( 3 + 2sin x ) cos xdx c. e � − x � 2x 3 dx a. x � + �dx b. x � e� � x� cos 2 x − sin 2 x b. dx cos x Bài 7. Tính : cos xdx sin xdx 3 a. cos x sin xdx b. c. 3sin x + 5 cos3 x ( cot x + 1) dx 2 2 tan x + 1 3 sin x d. e cos xdx e. f. dx cos 2 x sin 2 x dx e x dx ln 4 xdx g. h. i. ex + 3 x ln x x ( ln x + 2 ) dx 2 x 2 dx 2 x + 1dx j. k. l. 2 x3 + 1 x x 2 dx 3 x + 2dx x + 1xdx 3 2 m. n. p. x +2 3 Bài 8. Tính : ( x + 3) e x dx ( 4 x + 1) sin xdx a. 2 x cos xdx b. c. ( 3x + 2 x ) ln xdx ( 1 + e ) xdx 2 2 x d. 3x ln xdx e. f. ( 3 + cos x ) xdx ( 3x − sin x ) xdx ( x sin x + 2 ) dx g. h. i. Trang 32
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013 5. Tích phân. a. Định nghĩa. b f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) b a b.Tính chất. b a �( x ) dx = −�( x ) dx f f Tính chất 1. a b b b Tính chất 2. � ( x ) dx = k �( x ) dx ( k 0) kf f a a b b b Tính chất 3. � ( x ) g ( x ) � = �( x ) dx �( x ) dx �f dx f g � � a a a b c b Tính chất 4. �( x ) dx = �( x ) dx + �( x ) dx f f f a a c Chú ý. Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm. 5.1 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Dạng tổng quát : β f �( x ) � ( x ) dx u u �� α Cách đặt. Đặt t = u ( x ) � dt = u ( x ) dx β b Khi đó: ��( x ) � ( x ) dx = �( t ) dt ; trong đó u ( α ) = a, u ( β ) = b f� � u u f α a Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp. Tương tự như trong phần nguyên hàm. 5.2 Tính tích phân bằng phương pháp từng phần. Định lý. b b � = ( uv ) a − � b udv vdu a a Trang 33
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013 Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp. Tương tự như trong phần nguyên hàm. BÀI TẬP . Bài 1. Tính các tích phân sau đây : 0 1 0 �2 x 1 � ( cos 2 x − 3sin x ) dx c. x ( 2 − x ) dx 2 �−x e dx a. b. � e −1 � � −π 0 ( 1− 2x) 2 2 dx d. x 1 Bài 2. Tính các tích phân sau đây : π π e dx 2 6 cos xdx 6 cos x + 1sin xdx a. b. c. x ( ln x + 1) 2 2sin x + 1 π 1 0 3 1 3 e 19 ln 4 xdx xdx 3 x + 1dx d. e. f. x x2 + 8 3 0 1 0 π π π ( 1 − cos x ) sin xdx tan x 4 2 g. e 2dx ( 2sin x + 1) cos xdx 3 h. i. 4 cos x 0 0 0 e 1 + ln 2 x dx j. x 1 Bài 3. Tính các tích phân sau đây : π π 2 ( x− ) 2 2 b. � sin x − 2 x � ( 4sin x cos x + 1) dx 4 x + 1 dx a. c. 3 dx � � � + cos x 1 � 0 0 0 � 3ln x + 1 � e − 1� . dx d. � � � x � � 1 Bài 4. Tính các tích phân sau đây : π ) ( 2 e x + ln 3 x 2 ( 4sin x cos x + 1) sin xdx 2 x + 1 − 3 x xdx 2 dx a. b. c. 2 x 0 1 0 π d. � cos x3+ sin x � 24 3 dx � � cos x � � 0 Bài 5. Tính các tích phân sau đây : π 5 e ln xdx 2 b. sin x cos xdx x + 4 xdx a. c. x ( ln x + 3) cos x + 1 0 1 0 π 22 x 3dx 2 d. sin x cos xdx dx e. . x2 + 1 3sin x + 1 0 0 Bài 6. Tính các tích phân sau đây : Trang 34
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013 π 0 1 ( 1 − x ) cos xdx ( 4 x + 1) e x dx a. 2 x sin xdx b. c. −π 0 0 e 2 2 ( 3x − 2 x ) ln xdx ( 2 x + 1) ln xdx 3 2 d. x ln xdx e. f. 1 1 1 Bài 7. Tính các tích phân sau đây : π 0 e ( 1 − e ) xdx ( 2 + cos x ) xdx ( 1 + ln x ) dx x a. b. c. −1 0 1 π π π (e − sin x ) xdx ( sin x − 3x ) xdx ( sin x + cos x ) xdx x d. e. f. 0 0 0 Bài 8. Tính các tích phân sau đây : π 1 e ( 3 + xe ) xdx ( 2 − x cos x ) xdx ( 1 + x ln x ) dx x a. b. c. 0 0 1 π ( x sin x − cos x ) xdx d. 0 Bài 9. Tính các tích phân sau đây : 1 e e x 2 ln x + 1dx 2� � b. x ( 2 + x ln x ) dx c. e � + x � x x dx a. � e� x 0 1 1 π 3 d. cos x ( x − tan x ) dx 0 6. Ứng dụng của tích phân. 6.1 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) ; x = a; x = b ( a < b) (trong đó hai đường x = a, x = b có thể thiếu một hoặc cả hai) Công thức. b f ( x ) − g ( x ) dx S= a Các bước thực hiện. Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) & ( C2 ) để tìm các ( a; b ) . Giả sử được các nghiệm là : x1 , x2 ,K , xn nghiệm thuộc và a < x1 < x2 < L < xn < b . Bước 2: Áp dụng công thức : x1 b b S = �( x ) − g ( x ) dx = �( x ) − g ( x ) dx + L + � ( x ) − g ( x ) dx f f f a a xn x1 b � ( x) − g ( x) � +L + �f ( x ) − g ( x ) � = � � f dx dx � � � � a xn Trang 35
HĐBM Toán An Giang- Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập thi TN 2013 Chú ý : Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất của phương trình f ( x ) = g ( x ) tương ứng là a và b. Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình f ( x ) = g ( x ) ta chỉ nhận những nghiệm thuộc ( a; b ) (nếu có). Những nghiệm không thuộc [ a; b ] phải loại bỏ. 6.2 Thể tích của khối tròn xoay. Công thức. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi : ( C ) : y = f ( x ) ; Ox; x = a; x = b ( a < b ) (trong đó hai đường thẳng x = a & x = b có thể thiếu một hoặc cả hai). Quay hình (H) xung quanh trục Ox. Khi đó thể tích của khối tròn xoay được sinh ra tính bởi công thức: b V = π � ( x ) �dx 2 f � � a Các bước thực hiện. Bước 1: Nếu hai đường x = a & x = b đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình f ( x ) = 0 để tìm. Bước 2 : Áp dụng công thức. Chú ý : Nếu đề bài đã cho đầy đủ cả hai đường x = a & x = b thì không cần giải phương trình f ( x ) = 0 . Nếu đề bài không cho hai đường x = a & x = b thì giải phương trình f ( x ) = 0 để tìm. Phương trình này có thể có nhiều hơn hai nghiệm. Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a và nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn lại không cần phải chèn vào trong quá trình tính tích phân. 6.3 Bài tập. Bài 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây : a. ( C ) : y = e ; Ox; Oy; x = 2 b. ( C ) : y = x − 3x + 1; ( d ) : y = 3 x 3 c. ( C ) : y = x − x ; Ox d. ( C ) : y = e ; ( d ) : y = e; Oy 4 2 x e. ( C ) : y = e − 1; Ox; x = 2 f. ( C ) : y = x − x; Ox x 3 g. ( C ) : y = e − e ; Ox; x = 1 h. ( C ) : y = ln x; Ox; x = e −x x i. ( C ) : y = ln x; ( d ) : y = 1; x = 1 j. ( C ) : y = x x ; Ox; x = 4 Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây xung quanh trục Ox. a. ( C ) : y = 1 − e ; Ox; x = 1 b. ( C ) : y = e ; Ox; x = −1; Oy −x x 1 d. ( C ) : y = e − e ; Ox; x = 1 c. ( C ) : y = 1 − ; Ox; x = 2 −x x x 2 e. ( C ) : y = ; Ox; Oy; x = 1 3x + 4 Trang 36

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.