Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG Ổn định là điều kiện cần đối với một hệ ĐKTĐ, song chưa phải là đủ để hệ thống được sử dụng trong thực tế. Nhiều yêu cầu đòi hỏi hệ thống phải thỏa mãn được cùng một lúc các tiêu chuẩn chất lượng khác nhau như độ chính xác, độ ổn định, đáp ứng quá độ, độ nhạy, khả năng chống nhiễu... Sau đây là một số tiêu chuẩn thường dùng để đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển. ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

156 5 Chöông ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 5.1 CAÙC TIEÂU CHUAÅN CHAÁT LÖÔÏNG OÅn ñònh laø ñieàu kieän caàn ñoái vôùi moät heä ÑKTÑ, song chöa phaûi laø ñuû ñeå heä thoáng ñöôïc söû duïng trong thöïc teá. Nhieàu yeâu caàu ñoøi hoûi heä thoáng phaûi thoûa maõn ñöôïc cuøng moät luùc caùc tieâu chuaån chaát löôïng khaùc nhau nhö ñoä chính xaùc, ñoä oån ñònh, ñaùp öùng quaù ñoä, ñoä nhaïy, khaû naêng choáng nhieãu... Sau ñaây laø moät soá tieâu chuaån thöôøng duøng ñeå ñaùnh giaù chaát löôïng heä thoáng ñieàu khieån. Hình 5.1 1- Sai soá xaùc laäp (5.1) exl = lim e( t ) = lim sE( s) s→0 t→∞
157 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN e(t) = r(t) – c(t) Sai soá laø hieäu soá giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu hoài tieáp. Muïc ñích muoán tín hieäu ra qua voøng hoài tieáp luoân luoân baùm ñöôïc tín hieäu vaøo mong muoán. Ñieàu ñoù coù nghóa sai soá xaùc laäp baèng khoâng. 2- Ñoä voït loá (ñoä quaù ñieàu chænh ) cm a x − cxl (5.2) × 100 POT% = cxl 3- Thôøi gian ñaùp öùng • Thôøi gian leân ñænh laø thôøi gian ñaùp öùng ra ñaït giaù trò cöïc ñaïi (tp = tpeak). • Thôøi gian quaù ñoä ts = tset xaùc ñònh bôûi thôøi ñieåm ñaùp öùng ra töø sau ñoù trôû ñi khoâng vöôït ra khoûi mieàn giôùi haïn sai soá ∆ quanh giaù trò xaùc laäp. Ví duï: ∆ coù theå laø ± 2%, ± 5%... 4- Ñoä döõ tröõ oån ñònh Ñònh nghóa: Khoaûng caùch töø truïc aûo ñeán nghieäm cöïc gaàn nhaát (nghieäm thöïc hoaëc phöùc) ñöôïc goïi laø ñoä döõ tröõ oån ñònh cuûa heä. Kyù hieäu khoaûng caùch ngaén nhaát aáy laø λo, neáu λo caøng lôùn thì quaù trình quaù ñoä caøng nhanh veà xaùc laäp. Ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä baäc n: ( p +λ )t n n c( t) = ∑ λi ⋅ e pit = e−λ ot ∑ λi ⋅ e i o (5.3) i=1 i=1 trong ñoù Re (pi + λo) ≤ 0 5- Tieâu chuaån tích phaân Trong thöïc teá moät heä thoáng ÑKTÑ ñöôïc thieát keá phaûi thoûa yeâu caàu ôû caû hai cheá ñoä xaùc laäp vaø quaù ñoä. Quaù trình quaù ñoä coù theå ñöôïc ñaùnh giaù thoâng qua giaù trò tích phaân cuûa sai leäch giöõa giaù trò ñaët vaø giaù trò töùc thôøi ño ñöôïc cuûa ñaïi löôïng caàn ñieàu chænh.
158 CHÖÔNG 5 5.2 SAI SOÁ XAÙC LAÄP Xeùt heä thoáng hoài tieáp aâm coù sô ñoà khoái nhö hình veõ: Hình 5.2 Heä thoáng hoái tieáp aâm Sai soá cuûa heä thoáng laø G( s)   E( s) = R( s) − C( s) H ( s) = R( s) −  R( s) H ( s) 1 + G( s) H ( s)    R( s) ⇒ E( s) = 1 + G( s) H ( s) Sai soá xaùc laäp exl = lim e( t ) = lim sE( s) s→0 t→+∞ sR( s) (5.4) exl = lim ⇒ s→0 1 + G( s) H ( s) Sai soá xaùc laäp khoâng nhöõng phuï thuoäc vaøo caáu truùc vaø thoâng soá cuûa heä thoáng maø coøn phuï thuoäc vaøo tín hieäu vaøo. 1- Tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò 1 r( t) = u( t ) ⇒ R( s) = s 1 s⋅ 1 s exl = lim = s→0 1 + G( s) H ( s) 1 + lim G( s) H ( s) s→0 Ñaët K p = lim G( s) H ( s) : heä soá vò trí s→0 1 (5.5) ⇒ exl = 1+ Kp 2- Tín hieäu vaøo laø haøm doác ñôn vò 1 r( t ) = tu( t ) R( s) = ⇒ s2
159 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 1 s⋅ 1 1 s2 exl = lim = lim = s→0 1 + G( s) H ( s) s→0 s + sG( s) H ( s) lim sG( s) H ( s) s→0 Ñaët K v = lim sG( s) H ( s) : heä soá vaän toác s→0 1 (5.6) exl = Kv 3- Tín hieäu vaøo laø haøm parabol t2 1 R( s) = r( t ) = u( t ) ⇒ s3 2 1 s⋅ 1 1 s3 exl = lim = lim 2 = s→0 s + s2 G( s) H ( s) 2 s→0 1 + G( s) H ( s) lim s G( s) H ( s) s→0 Ñaët K a = lim s2G( s) H ( s) : heä soá gia toác s→0 1 (5.7) exl = Ka Nhaän xeùt Tuøy theo soá khaâu tích phaân lyù töôûng coù trong haøm truyeàn hôû G( s) H ( s) maø Kp , Kv , Ka coù giaù trò nhö baûng sau: Heä soá vò trí Heä soá vaän toác Heä soá gia toác Soá khaâu tích phaân trong G(s)H(s) Kp Kv Ka Kp < ∞ 0 0 0 ∞ Kv < ∞ 1 0 ∞ ∞ Ka < ∞ 2 ∞ ∞ ∞ >3 - Neáu G(s)H(s) khoâng coù khaâu tích phaân lyù töôûng thì heä thoáng kín theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo laø haøm naác vôùi 1 sai soá exl = vaø khoâng theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo 1+ Kp laø haøm doác vaø haøm parabol.
160 CHÖÔNG 5 - Neáu G(s)H(s) coù moät khaâu tích phaân lyù töôûng thì heä thoáng kín theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo laø haøm naác vôùi sai soá exl = 0 , vaø theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo laø haøm doác vôùi 1 sai soá exl = vaø khoâng theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo laø Kv haøm parabol ⇒ heä thoáng coù moät khaâu tích phaân lyù töôûng goïi laø heä voâ sai baäc moät. - Neáu G(s)H(s) coù hai khaâu tích phaân lyù töôûng thì heä thoáng kín theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo laø haøm naác vaø haøm doác vôùi sai soá exl = 0 , theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo laø haøm 1 parabol vôùi sai soá exl = ⇒ heä thoáng coù hai khaâu tích phaân lyù Ka töôûng goïi laø heä voâ sai baäc hai. - Neáu G(s)H(s) coù ba khaâu tích phaân lyù töôûng thì heä thoáng kín theo kòp söï thay ñoåi cuûa tín hieäu vaøo laø haøm naác, haøm doác vaø haøm parabol vôùi sai soá exl = 0 ⇒ heä thoáng coù ba khaâu tích phaân lyù töôûng goïi laø heä voâ sai baäc ba. ⇒ Heä thoáng coù n khaâu tích phaân lyù töôûng goïi laø heä voâ sai baäc n. 5.3 ÑAÙP ÖÙNG QUAÙ ÑOÄ Ñaùp öùng quaù ñoä laø ñaùp öùng cuûa heä thoáng khi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò. 5.3.1 Heä quaùn tính baäc moät Haøm truyeàn 1 / Ts 1 Gk ( s) = = 1 + 1 / Ts Ts + 1 1 Heä thoáng kín chæ coù moät cöïc thöïc s = − . T
161 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN Hình 5.3 Giaûn ñoà cöïc - zero Hình 5.4 Ñaùp öùng quaù ñoä cuûa cuûa heä quaùn tính baäc nhaát heä quaùn tính baäc nhaát Ñaùp öùng cuûa heä thoáng khi tín hieäu vaøo laø haøm naác 1 1 1 1 1 T C( s) = R( s) ⋅ Gk ( s) = . =− =− s Ts + 1 s Ts + 1 s s + 1 / T t − ⇒ c( t ) = 1 − e T Nhaän xeùt (xem hình 5.4) • Ñaùp öùng quaù ñoä cuûa khaâu quaùn tính baäc nhaát khoâng coù voït loá. • Thôøi haèng T laø thôøi ñieåm c(t) ñaït 63.2% giaù trò xaùc laäp, T caøng nhoû ñaùp öùng caøng nhanh. • Thôøi gian xaùc laäp ts (settling time) laø thôøi gian ñeå sai soá giöõa c(t) vaø giaù trò xaùc laäp nhoû hôn ε (ε = 5% hay 2%). • Sai soá xaùc laäp baèng 0. 5.3.2 Heä dao ñoäng baäc hai Haøm truyeàn ω2 n s2 + 2ξωn s ω2 1 n Gk ( s) = = = ω2 2 ω2 22 s + 2ξωn s + T s + 2ξTs + 1 n n 1+ 2 s + 2ξωn s
162 CHÖÔNG 5 1 trong ñoù T = ωn Heä thoáng coù caëp cöïc phöùc lieân hôïp (H.5.5) s1,2 = −ξωn ± j ωn 1 − ξ2 Hình 5.5 Giaûn ñoà cöïc - zero cuûa Hình 5.6 Ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä dao ñoäng baäc hai heä dao ñoäng baäc hai Ñaùp öùng cuûa heä thoáng khi tín hieäu vaøo laø haøm naác 1 1 C ( s) = R( s) ⋅ Gk ( s) = ⋅ 2 2 s T s + 2ξTs + 1 e−ξωn t sin  (ωn 1 − ξ2 )t + θ  c(t) = 1 − ⇒     2 1−ξ trong ñoù ñoä leäch pha θ xaùc ñònh bôûi cos θ = ξ Nhaän xeùt (xem hình 5.6) • Ñaùp öùng quaù ñoä cuûa khaâu dao ñoäng baäc hai coùù daïng dao ñoäng vôùi bieân ñoä giaûm daàn. - Neáu ξ = 0 : c( t ) = 1 − sin ωn t , ñaùp öùng cuûa heä laø dao ñoäng khoâng suy giaûm vôùi taàn soá ωn ⇒ ωn goïi laø taàn soá dao ñoäng töï nhieân. - Neáu 0 < ξ < 1 : ñaùp öùng cuûa heä laø dao ñoäng vôùi bieân ñoä giaûm daàn ⇒ ξ goïi laø heä soá taét (hay heä soá suy giaûm), ξ caøng lôùn dao ñoäng suy giaûm caøng nhanh.
163 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN • Ñaùp öùng cuûa khaâu dao ñoäng baäc hai coù voït loá. Toång quaùt, ñoä voït loá (POT – Percent of Overshoot) ñöôïc ñònh nghóa laø cm a x − cxl (5.8) ⋅ 100% POT = cxl (cmax - giaù trò cöïc ñaïi cuûa c(t); cxl - giaù trò xaùc laäp cuûa c(t)) Ñoái vôùi heä dao ñoäng baäc hai, ñoä voït loá POT ñöôïc tính bôûi coâng thöùc   ξπ  ⋅ 100% (5.9) POT = exp  −   1 − ξ2   • Thôøi gian xaùc laäp ts laø thôøi gian ñeå sai soá giöõa c(t) vaø giaù trò xaùc laäp nhoû hôn ε (ε = 5% hay 2%). Ñoái vôùi heä baäc hai 3 - Theo tieâu chuaån 5%: (5.10) txl = ξωn 4 - Theo tieâu chuaån 2%: (5.11) txl = ξωn • Thôøi gian leân tr: (rise time) laø thôøi gian ñeå c(t) taêng töø 10% ñeán 90% giaù trò xaùc laäp. Ñoái vôùi heä baäc hai 1 (1, 589ξ3 − 0, 1562ξ2 + 0, 924ξ + 1, 0141) (5.12) tr = ωn Chuù yù: Neáu ξ ≥ 1 ta khoâng goïi laø heä dao ñoäng baäc hai vì trong tröôøng hôïp naøy ñaùp öùng cuûa heä khoâng coù dao ñoäng. • Neáu ξ = 1 heä thoáng kín coù moät nghieäm keùp (thöïc). π tp = ωn 1 − ϕ2
164 CHÖÔNG 5 Ñaùp öùng cuûa heä thoáng ω2 n C( s) = s( s2 + 2ωn s + ω2 ) n ⇒ c( t ) = 1 − e−ωnt − ωn t ⋅ e−ωnt • Neáu ξ > 1 heä thoáng kín coù hai nghieäm thöïc phaân bieät Ñaùp öùng cuûa heä thoáng A B C C( s) = + + s s + p1 s + p2 ⇒ c( t ) = A − Be− p1t − Ce− p2t
165 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 5.3.3 Heä baäc cao Hình 5.7 Caëp cöïc quyeát ñònh cuûa heä baäc cao Heä baäc cao coù nhieàu hôn hai cöïc. Ñaùp öùng töông öùng vôùi caùc cöïc naèm caøng xa truïc aûo suy giaûm caøng nhanh. Do ñoù coù theå xaáp xæ heä baäc cao veà heä baäc hai vôùi caëp cöïc laø hai cöïc naèm gaàn truïc aûo nhaát. Caëp cöïc naèm gaàn truïc aûo nhaát cuûa heä baäc cao goïi laø caëp cöïc quyeát ñònh. 5.4 CAÙC TIEÂU CHUAÅN TOÁI ÖU HOÙA ÑAÙP ÖÙNG QUAÙ ÑOÄ 1- Tieâu chuaån tích phaân sai leäch IE (Integrated Error) ∞ IE = ∫ e( t)dt → MIN 0 Ñoái vôùi heä coù ñaùp öùng quaù ñoä khoâng dao ñoäng (ñöôøng 1 hình 5.3) thì tieâu chuaån IE chính laø dieän tích cuûa haøm sai leäch e(t) taïo vôùi truïc thôøi gian t caàn ñaït giaù trò cöïc tieåu thì chaát löôïng ñaït toát nhaát.
166 CHÖÔNG 5 Hình 5.8 Tieâu chuaån IE vaø IAE Song ñoái vôùi heä coù ñaùp öùng quaù ñoä dao ñoäng oån ñònh (ñöôøng 2) thì tieâu chuaån IE khoâng phaûn aùnh ñuùng chaát löôïng cuûa heä thoáng do coù mieàn dieän tích aâm ñaõ ñöôïc tröø bôùt ñi. Keát quaû giaù trò tích phaân nhoû nhöng quaù trình quaù ñoä xaáu. Vì vaäy phaûi söû duïng tieâu chuaån tích phaân trò soá tuyeät ñoái cuûa sai leäch. 2- Tieâu chuaån IAE (Integral of the Absolute Magnitude of the Error - tích phaân trò tuyeät ñoái bieân ñoä sai soá) +∞ (5.13) ∫ e( t) dt J1 = 0 Ñoái vôùi heä baäc hai: J1 → min khi ξ = 0, 707 3- Tieâu chuaån ISE (Integral of the Square of the Error - tích phaân cuûa bình phöông sai soá) +∞ 2 (5.14) ∫ e (t)dt J2 = 0
167 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN ISE xem nheï nhöõng dieän tích beù vì bình phöông moät soá nhoû hôn 1 beù hôn trò soá tuyeät ñoái cuûa soá aáy. Moät trong nhöõng lyù do khieán tieâu chuaån ISE thöôøng ñöôïc söû duïng laø coâng vieäc tính toaùn vaø thöïc hieän ñôn giaûn. Coù theå tính öôùc löôïng ISE theo bieán ñoái Fourier hoaëc theo coâng thöùc (phuï luïc...) ∞ 1 2 ISE = ∫ E( jω) dω π 0 Ñoái vôùi heä baäc hai: J2 → min khi ξ = 0, 5 4- Tieâu chuaån ITAE (Integral of Time multiplied by the Absolute Value of the Error- tích phaân cuûa thôøi gian nhaân vôùi trò tuyeät ñoái cuûa sai soá) +∞ (5.15) ∫ t e( t) dt J3 = 0 Ñoái vôùi heä baäc hai: J3 → min khi ξ = 0, 707 Trong ba tieâu chuaån toái öu hoùa ñaùp öùng quaù ñoä vöøa trình baøy ôû treân, tieâu chuaån ITAE ñöôïc söû duïng nhieàu nhaát. Ñeå ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä thoáng baäc n laø toái öu theo chuaån ITAE thì maãu soá haøm truyeàn kín heä baäc n phaûi coù daïng Baäc Maãu soá haøm truyeàn s + ωn 1 s2 + 1, 414ωn s + ω2 2 n s3 + 1, 75ωn s2 + 2, 15ω2 s + ω3 3 n n s4 + 2, 1ωn s3 + 3, 4ω2 s2 + 2, 7ωn s + ωn 3 4 4 n Neáu maãu soá haøm truyeàn heä kín coù daïng nhö treân vaø töû soá haøm truyeàn heä kín cuûa heä baäc n laø ωn thì ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä n thoáng laø toái öu vaø sai soá xaùc laäp baèng 0. 5- Tieâu chuaån tích phaân coù tính ñeán aûnh höôûng cuûa toác ñoä thay ñoåi cuûa sai leäch e(t)
168 CHÖÔNG 5 ∞ 2  de    e2 ( t ) + α  J= ∫   dt  dt   0   vôùi α laø haèng soá ñöôïc choïn thích hôïp cho töøng tröôøng hôïp. Ví duï: α lôùn khoâng cho pheùp dao ñoäng lôùn. Ngöôïc laïi, α nhoû cho pheùp quaù ñoä dao ñoäng lôùn. 5.5 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG QUAÙ TRÌNH QUAÙ ÑOÄ THEO ÑAËC TÍNH TAÀN SOÁ CUÛA HEÄ THOÁNG Hình 5.9 1- Ñaùnh giaù theo phaân boá cöïc zero cuûa haøm truyeàn heä thoáng kín hoaëc theo nghieäm phöông trình ñaëc tính vaø theo ñieàu kieän ban ñaàu. 2- Ñaùnh giaù theo tieâu chuaån tích phaân. 3- Ñaùnh giaù quaù trình quaù ñoä theo ñaëc tính taàn soá cuûa heä thoáng. 4- Tieâu chuaån tích cuûa tích thôøi gian nhaân vôùi trò tuyeät ñoái cuûa sai soá ITAE (Integral of Time Multiplied by the Absolute Value of Error) ∞ ITAE = ∫ t e(t) dt 0
169 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN ITAE ruùt ngaén thôøi gian quaù ñoä (tính tra baûng) Taàn soá caét L ( ωc ) = 0 Hoaëc G( jωc ) = 1 vôùi ñoä nghieâng taïi ωc laø -20dB/dec Ñoä döï tröõ pha ΦM = 30o ÷ 60o 4π π Thôøi gian quaù ñoä: < ts < ω* ω* c c ω* laø taàn soá caét môùi thoûa ñoä döï tröõ pha theo yeâu caàu. c Xaây döïng phaàn thöïc ñaëc tính taàn soá heä kín theo ñaëc tính bieân ñoä pha cuûa heä hôû (Bieåu ñoà Nichols) Xeùt heä hoài tieáp - moät ñôn vò coù ñöôøng cong Nyquist veõ treân hình 5.10. Hình 5.10 G( s) GK ( s) = = P( ω) + jQ( ω) 1 + G( s) G( s) OB Phaàn thöïc: P( ω) = Re = cos( θ1 − θ2 ) 1 + G( s) AB OB CB P ( ω) = cos θ = AB AB
170 CHÖÔNG 5 trong ñoù CB laø hình chieáu cuûa vectô OB leân vectô AB trong maët phaúng phöùc G(jω) Ñöôøng cong P(ω) = 0 laø ñöôøng troøn ñöôøng kính baèng moät taâm 1 naèm treân truïc thöïc coù taâm (- , j0) ( H.5.11). 2 Hình 5.11 Phöông trình ñöôøng cong P(ω) = const = C deã daøng nhaän ñöôïc baèng caùch: G( j ω) P( ω) = Re 1 + G( jω) trong ñoù: G(jω) = X + jY X (1 + X ) + Y 2 X + jY Töø ñoù: P( ω) = Re = (1 + X )2 + Y 2 1 + X + jY X (1 + X ) + Y 2 Vôùi P(ω) = C ta coù phöông trình: =C (1 + X )2 + Y 2 Ñaây laø phöông trình cuûa caùc ñöôøng troøn coù taâm naèm treân truïc thöïc vaø taâm ñieåm coù toïa ñoä ( − 1 1 − 2C , j 0) vôùi baùn kính baèng Error! (H.5.12). 2 1−C
171 ÑAÙNH GIAÙ CHAÁT LÖÔÏNG HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN Hình 5.12 Caùch xaây döïng ñöôøng troøn P(ω) = const Hình 5.13 4π Thôøi gian quaù ñoä ñöôïc tính gaàn ñuùng: ts = ωo ωo laø taàn soá nhoû nhaát maø ñöôøng troøn taâm(-1/2, j0) baùn kính 1/2 caét ñöôøng cong Nyquist G(jω) Hoaëc ωo coù theå xaùc ñònh laø giao ñieåm ñaàu tieân cuûa ñöôøng cong P(ω) vôùi truïc hoaønh ω.