Mệnh đề

Chia sẻ: Hoang Huu Tuyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:130

Thêm vào BST

Báo xấu

160
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mệnh đề

§1 MỆNH ĐỀ 1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là m ệnh đề, câu nào là m ệnh đ ề ch ứa bi ến? a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x 3 ” 1.8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó, với: Q: “−4 ﾵ ; ﾵA c) Nếu ﾵ =900 thì ABC là tam giác vuông. A -1-
1.14. Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau: a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó; b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó; c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó; d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó. 1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng a) ∀ x ∈ ﾵ : x2≤ 0 b) ∃ x ∈ ﾵ : x2≤0 2 2 x −1 x −1 c) ∀ x ∈ ﾵ : d) ∃ x ∈ ﾵ : = x +1 = x +1 x −1 x −1 e) ∀ x ∈ ﾵ : x 2+ x +1>0 f) ∃ x ∈ ﾵ : x 2+ x +1>0 1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó a) ∀ x ∈ ﾵ : x .1= x b) ∀ x ∈ ﾵ : x . x =1 c) ∀ n ∈ ﾵ : n x2. b) ∀ x ∈ ﾵ , |x| < 3  x< 3. c) ∀ x ∈ N, n2+1 không chia hết cho 3. d) ∃ a ∈ ﾵ , a2=2. 1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng: A: ” 15 là số nguyên tố” B: ”∃ a ∈ ﾵ , 3a=7” C: “∀ a ∈ ﾵ , a2≠3” 1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc m ột đ ường th ẳng th ứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5. d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương. 1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau. b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3. d) Nếu a=b thì a2=b2 . 1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ” “Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có m ột góc b ằng 600” 1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng: a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau. b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 7. c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương. d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9. 1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích. a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng. c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng t ổng hai góc còn l ại. d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến b ằng nhau và có m ột góc b ằng 0 60 . BÀI TẬP THÊM 1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau : -2-
a/ Hình thoi là hình bình hành b/ Số 4 không là nghiệm của phương trình : x2 − 5x + 4 = 0 11 7 3 ) ∧(3 < π) > ) ∨(42 < 0) c/ ( 2 > d/ ( 3 2 e/ (5.12 > 4.6) ⇒ (π2 < 10) f) (1< 2 ) ⇒ 7 là số nguyên tố 2. Phủ định các mệnh đề sau : b/ x ≤ −2 hay x ≥ 4 a/ 1 < x < 3 c/ Có một ∆ ABC vuông hoặc cân d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3 e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém. f/ x< 2 hay x=3. g/ x ≤ 0 hay x>1. h/ Pt x2 + 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm 3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau : a/ ∀x ∈ R , x2 + 1 > 0 b/ ∀x ∈ R , x2 − 3x + 2 = 0 c/ ∃ n ∈ N , n2 + 2 chia hết cho 4 d/ ∃ n ∈ Q, 2n + 1 ≠ 0 e/ ∀a ∈ Q , a > a f) ∀x ∈ R , x2 +x chia hết cho 2. 2 4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh: a) A⇒ B = B b) AΛB = A A B d) A � B � ) = ( A � ) � A � ) ( B( C C c) A �B = A �B B. SUY LUẬN TOÁN HỌC 5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ" a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng. b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1 d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5. e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm. 6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần" a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau. b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau. c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. d/ Nếu a = b thì a3 = b3. e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. 7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR : a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. c/ Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0 1 thì x + 2y − 2xy − 1 = 0 d/ Nếu x = 1 hay y = 2 1 1 1 d/ Nếu x ≠ − và y ≠ − thì x + y + 2xy ≠ − 2 2 2 e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2. f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3. 8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có: -3-
a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2 b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1) n (n + 1) c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n = 2 n (n + 1)(n + 2) a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) = 3 1 1 1 1 n + + + ......... + = b) n.(n + 1) n + 1 1.2 2.3 3.4 1 1 1 1 n + + + ......... + = c) ( 2n − 1).(2n + 1) 2n + 1 1.3 3.5 5.7 n (n + 1)(2n + 1) d) 12 + 22 + 32 + . . . . . . . . . . + n2 = 6 2 2 n (n + 1) e) 13 + 23 + 33 + . . . . . . + n3 = 4 f) 2 1 + 22 + 23 + . . . . .+ 2 n = 2(2 n – 1) 3 g) 31 + 32 + 33 + . . . . + 3 n = ( 3 n – 1 ) 2 h) n 3 +2n chia hết cho 3 i) n3 +11n chia hết cho 6 j) n3 +5n chia hết cho 6 k) 3 2n + 63 hết 72 l) 3 2n + 1 + 2 n + 2 chia hết cho 7 m) 6 2n + 3 n + 2 + 3 n chia hết cho 11 n) 3 2n – 2 n chia hết cho 7 o) 4 n + 15.n – 1 chia hết cho 9 §1 MỆNH ĐỀ 1.3. a) P⇒Q: “ Nếu góc A bằng 90 thì BC =AB2+AC2”→ đúng 0 2 Q⇒P: “ Nếu BC2=AB2+AC2 thì góc A bằng 900 ”→ đúng b) P⇒Q: “ ﾵ = B thì tam giác ABC cân”→ đúng Aﾵ Q⇒ P:” “Nếu tam giác ABC cân thì ﾵ = B ”→ sai (vì có thể ﾵ = C Aﾵ Aﾵ 1.4. a) ∃ x ∈ ﾵ : x2=−1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng −1”→ sai ∀ x ∈ ﾵ : x2≠−1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác −1” b) ∀ x ∈ ﾵ :x2+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x2+x+2≠0” → đúng ∃ x ∈ ﾵ :x2+x+2=0 1 1.5. a) Đúng. P : “ 3 + 2 ” 3− 2 ( ) 2 2− 8 8 b) Sai. P : c) Đúng vì ( ) ( ) 2 2 3 + 12 3 + 12 =27 là số hữu tỉ. P : “ là số vô tỉ” x2 − 4 = 0” d) Sai. P :” x=2 khônglà nghiệm của phương trình x−2 1.8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó, với: a) Nếu 2
a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân →đúng 1.12. b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC → mđ sai a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA →cả hai đúng 1.13. b) Nếu AB>BC thì C > ﾵ ; → đúng và mđ đảo đúng ﾵA c) Nếu ﾵ =900 thì ABC là tam giác vuông. → đúng và mđ đảo sai (vuông tại B hoặc C) A b) ∀ x ∈ ﾵ : x +0=0 a) ∃ n ∈ ﾵ : n không chia hết cho n 1.14. 1 c) ∃ x ∈ ﾵ : x < d) ∀ n ∈ ﾵ : n>−n x 1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1→ sai b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0→đúng x2 − 1 = x + 1 → Sai c) Với mọi số thực , sao cho x −1 x2 − 1 = x + 1 → Đúng d) Có số thực, sao cho x −1 e) Với mọi số thực x , sao cho x 2+ x +1>0→ đúng f) Có một số thực x , sao cho x 2+ x +1>0→ đúng a) ∃ x ∈ ﾵ : x .1≠ x → sai 1.16. b) ∃ x ∈ ﾵ : x . x ≠1→ đúng c) ∃ n ∈ ﾵ : n≥n2 → đúng a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi”→ sai 1.17. b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều”→ sai 1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đ ề ph ủ định của m ỗi m ệnh đ ề: a) ∃ x ∈ ﾵ , 4x2-1= 0→ sai; mđ phủ “ ∀ x ∈ ﾵ , 4x2-1≠0” b) ∃ n ∈ ﾵ , n2+1 chia hết cho 4→ Sai vì Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (k ∈ N) ⇒ n2+1 = 4k2+1 không chia hết cho 4 Nếu n là số tự nhiên le : n = 2k+1 (k ∈ N) ⇒ n2+1 = 4(k2+k)+2 không chia hết cho 4 Mđ phủ định “ ∀ n ∈ ﾵ , n2+1 không chia hết cho 4” c) ∀ x ∈ ﾵ , (x-1)2 ≠ x-1. → Sai khi x =0 mđ phủ định “∃ x ∈ ﾵ ,(x-1)2 =x-1” 1.19. a) đúng, ví dụ x =1/10 b) sai, vì khi x
c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương” d) Đúng. 1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích. a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó b ằng nhau b) Sai. c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì B + C = ﾵ . Ngược lại nếu B + C = ﾵ thì ﾵﾵA ﾵﾵA ﾵA + B + C = 1800 � 2 ﾵA = 1800 � ﾵA = 900 ﾵﾵ d) Đúng. Vì ABC đều thì 2 trung tuyến bằng nhau. Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối x ứng B qua M Khi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhauQ A P Mà CQ=BP⇒ AB=AC⇒ ABC cân. N M G B H C §2 TẬP HỢP 1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa . - Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các ph ần t ử của t ập h ợp đặt trong cặp dấu { }. - Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a∈ A, ngược lại ta viết a ∉ A. - Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu ∅ 2. Cách xác định tập hợp: có 2cách - Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, gi ữa các ph ần t ử có d ấu ph ẩy ho ặc d ấu ch ấm phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấm VD : A = {1; 3; 5; 7} B = { 0 ; 1; 2; . . . . ;100 } C={1;3;5;...;15;17} - Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu gạch đứng VD : A = {x∈ N | x lẻ và x
J={ x | x là bội nguyên dương của 15} K= {n ∈ ﾵ | n là ước chung của 6 và 14} L= { n ∈ ﾵ | n là bội của 6 và 8} 2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng A={2;3;5;7} B= {1;2} C={2;4;6;8;...;88;90} D={4;9;16;25} 2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng? A = {x ∈ ﾵ | x2-x+1=0 } B = {x ∈ ﾵ | x2-4x+2= 0} C = {x ∈ ﾵ | 6x2-7x+1= 0} D = {x ∈ ﾵ | | x| < 1} . 2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào? B = { x ∈ N | x
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ B §3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1.Pheùp giao 2. Pheùp hôïp 3. Hieäu cuûa 2 taäp hôïp A∪ B = {x| x∈ A hoaëc x∈ B} A\ B = {x| x∈ A vaø x∉ B} A∩ B = {x|x∈ A vaø x∈ B} { x ∈ A x ∈ A xA x∈ A ∪ B   x ∈ A\B  x∈ A ∩ B   xB x ∈ B x ∈ B Tính chất Tính chất Tính chất A ∪ A=A A\ ∅ =A A ∩ A=A A ∪ ∅=A A\A= ∅ A∩∅=∅ A ∪ B= B ∪ A A ∩ B=B ∩ A A\B≠B\A 4. Phép lấy phần bù: Neáu A ⊂ E thì CEA = E\A = {x ,x∈E vaø x∉A} Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}. Tính A ∪ B, (A ∩ B) ∪ C, A ∪ C, (A ∪ B) ∪ C, A\ B, A\ C BÀI TẬP §3 3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính A ∩ B, B ∪ C, C\A, (A ∪ B)\ (B ∪ C) 3.2. Cho A = {x∈N | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8} a) Xác định A ∪ B ; A∩B ; A\B ; B\ A b) CMR : (A ∪ B)\ (A∩ B) = (A\B)∪ (B\ A) 19 3.3. Cho R={3k-1| k ∈ ﾵ , -5≤ k ≤5}, S={x ∈ ﾵ | 3
§4 CÁC TẬP HỢP SỐ 1. Các tập số đã học ﾵ , ﾵ *, ﾵ , ﾵ , ﾵ 2. Các tập con thường dùng của ﾵ Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn 0 Tập số thực (-∞ ;+∞ ) //////////// [ Đoạn [a ; b] {x∈R, a ≤ x ≤ b} ////////////( ) ///////// Khoảng (a ; b ) {x∈R, a < x < b} Khoảng (-∞ ; a) {x∈R, x < a} )///////////////////// Khoảng(a ; + ∞ ) {x∈R, a< x } ///////////////////( Nửa khoảng [a ; b) {x∈R, a ≤ x < b} ////////////[ ) ///////// Nửa khoảng (a ; b] {x∈R, a < x ≤ b} ///////////////////[ Nửa khoảng (-∞ ; a] {x∈R, x ≤ a} ]///////////////////// Nửa khoảng [a ; ∞ ) {x∈R, a ≤ x } ///////////////////[ [a ; b]= {x∈R, a ≤ x ≤ b},.....R+=[0;+∞ ), R−=(−∞;0] Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn các khoảng, n ửa khoảng, đoạn trên trục s ố: Ho ặc gạch bỏ phần không thuộc khoảng hay đoạn đó, hoặc tô đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn đó. Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách (−2;5), [−3;1], ([−1;4] Chú ý 2: -Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng một trục số. Phần còn lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp. -Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng một trục số,sau đó tiến hành tô đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tô đậm trên trục số. -Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), phần tô đậm còn lại là kết quả cần tìm. Ví dụ: Tính a) (−1;2] ∩ [1;3) = [1;2] 1 1 b) [−3; ) ∩ (−1;+ ∞ ) =[−1; ) 2 2 1 1 c) (− ;2) ∪ (1;4) =(− ;4) 2 2 1 1 d) (− ;2]\(1;4) =(− ;1] 2 2 BÀI TẬP §4-C1 4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục s ố. A={ x ∈ ﾵ | x ≥ −3} B={ x ∈ ﾵ | x
Tính A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A. 4.5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số a) (−5;3) ∩ (0;7) b) (−1;5) ∪ (3;7) c) ﾵ \(0;+∞ ) d) (−∞;;3) ∩ (−2;+∞ ) 4.6. Xác định A\B , A ∩ B, A ∪ B và biểu diễn chúng trên trục số a) A=(−3;3) B=(0;5) b) A=(−5;5) B=(−3;3) c) A= ﾵ B=[0;1] d) A=(−2;3) B=(−3;3) 4.7. Xác định tập hợp C ∩ D, biết D=(−3;2) ∪ (3;7) a) C=[1;5] b) C=(−5;0) ∪ (3;5) D=(−1;2) ∪ (4;6) 4.8. Xác định các tập sau a) (−3;5] ∩ ﾵ b) (1;2) ∩ ﾵ c) [−3;5] ∩ ﾵ 4.9. Xác định các tập sau a) ﾵ \((0;1) ∪(2;3)) b) ﾵ \((3;5) ∩ (4;6)) c) (−2;7)\[1;3] d) ((−1;2) ∪(3;5))\(1;4) 4.10. Xác định các tập sau 1 1 11 27 a) (−∞; ) ∩ ( ;+∞ ) b) (− ;7) ∪ (−2; ) 3 4 2 2 c) (0;12)\[5;+∞ ) d) ﾵ \[−1;1) BÀI TẬP THÊM 1. Cho 3 tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6} a/ Tìm A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C b/ Tìm A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B d/ Tìm A ∩ (B ∪ C) và (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Có nhận xét gì về hai tập hợp này ? 2. Cho 3 tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5}. Tìm (A ∩ B) ∪ C và (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Nhận xét ? 3. Cho 3 tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b} a/ CMR : A ∩ (B \ C} = (A ∩ B) \ (A ∩ C) b/ CMR : A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) 4. Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; A \ B ; B \ A , biết rằng : a/ A = (2, + ∞ ) ; B = [−1, 3] b/ A = (−∞, 4] ; B = (1, +∞ ) d/ A = (1, 2] ; B = [2, +∞ ) c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] e/ A = [0, 4] ; B = (−∞, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, 7 ) 5. Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d}. Xác định các t ập X sao cho A ∪ X = B 6. A= {x ∈ N / 0< x < 10} ; A, B ⊂ X ; A ∩ B = {9, 4, 6} A∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ; B∪ { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Xác định A, B. -10-
§5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ 1. Số gần đúng Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết s ố g ần đúng của nó. Ví dụ: giá trị gần đúng của π là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414;… Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của m ột đại lượng và giá trị g ần đúng của nó. Đ ể đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối. 2. Sai số tuyệt đối: a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng Nếu a là số gần đúng của a thì ∆ a=| a −a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. b) Độ chính xác của một số gần đúng Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được ∆ a. Tuy nhiên ta có thể đánh giá ∆ a không vượt quá một số dương d nào đó. Nếu ∆ a ≤ d thì a−d≤ a ≤ a+d, khi đó ta viết a =a ± d d gọi là độ chính xác của số gần đúng. Ví dụ: Giaû söû a = 2 vaømoätgiaùtrò gaànñuùngcuûanoùlaø a =1,41.Tacoù : (1,41)2 = 1,9881 < 2 ⇒ 1,41 < 2 ⇒ 2 - 1,41 > 0. (1,42)2 = 2,0164 > 2 ⇒ 1,42 > 2 ⇒ 2 -1,41 < |1,42-1,41|=0,01. Do ñoù : ∆ a = a − a = 2 − 1,41 < 0,01 Vaäy sai soá tuyeätñoái cuûa 1,41 laø khoângvöôït quaù 0,01. *Sai số tương đối δ a ∆a d δa = do đó δ a ≤ , . |a| |a| Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm (nhân với 100%). d Nếu càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao. |a| * Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó đ ược ph ản ánh qua sai s ố tương đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn. 3. Quy tròn số gần đúng * Nguyên tắc quy tròn các số như sau: - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên ph ải nó bởi 0. - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn. Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là 1 chữ số sau nó là 6) Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn là 1 ch ữ s ố sau nó là 4) Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn là 6 ch ữ s ố sau nó là 4). Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy tròn Ở vd1 ta có ∆ a=|7216,4-7220|=3,6
Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01 (d=0,01). Khi đó s ố quy tròn của a là 173,5 * Chú ý: - Kí hiệu khi viết gần đúng là ≈ - Khi thực hiện quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên. - Hàng phần chục, phần trăm,… là những số sau đấu phẩy. - Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm,… là những số trước dấu phẩy. 4. Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3) Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d không vượt quá ( ≤ )nửa đơn vị của hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị của hàng có chữ số đó thì chữ số đó không chắc) Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn. Những chữ số đứng bên phải chữ số không chắc là không chắc. Ví dụ 1: Cho a =1379425±300, xác định các chữ số chắc chắn 100 1000 = 50 < d < 500 = nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng nghìn Ta có 2 2 chắc chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn. Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm 2 ± 0,06 cm2 . Tìm các chữ số chắc của S. 0,1 1 = 0,05 < d = 0,06 < = 0,5 nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ số hàng Ta có 2 2 đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn. 5. Dạng chuẩn của số gần đúng - Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà m ọi ch ữ s ố của nó đều là chữ chắc chắn. - Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10 k trong đó A là số nguyên , k là hàng thấp nhất có chữ số chắc (k ∈ N). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn) Khi đó độ chính xác d=0,5.10k Ví dụ: Giá trị gần đúng của 5 viết ở dạng chuẩn là 2,236. Nên độ chính xác d=0,5.10 -3=0,0005, do đó 2,236-0,0005≤ 5 ≤2,236+0,0005 6. Kí hiệu khoa học của một số Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng α.10n, 1≤|α|
5.9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x=43m±0,5m, chiều dài y=63m±0,5m. chứng minh rằng chu vi P của miếng đất là P=212m±2m -13-
Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1 HÀM SỐ I. Ôn tập về hàm số 1. Hàm số: Cho D ⊂ ﾵ . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi x ∈D là một và chỉ một số y ∈ ﾵ , kí hiệu là y= f(x). Khi đó: + x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x; + D gọi là tập xác định (hay miền xác định); + f( x ) là giá trị của hàm số tại x. 2. Cách cho hàm số + Hàm số cho bằng bảng. + Hàm số cho bằng biểu đồ. + Hàm số cho bằng công thức: y=f( x ) Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm số y=f( x ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f( x ) có nghĩa”. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số 3 a) y=f( x )= x −3 x +1 + 1− x b) y= c) y= x+2 2x +1 khi x 0 Ví dụ 2: Cho y = − x2 khi x < 0 a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Tính f(−1), f(1), f(0). 3. Đồ thị hàm số Đồ thị của hàm số y=f( x ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng t ọa đ ộ v ới x ∈D. mọi II. Sự biến thiên của hàm số Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó: f đồng biến ( tăng) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK) III. Tính chẵn lẻ của hàm số + f gọi là chẵn trên D nếu ∀ x∈ D ⇒ −x ∈ D và f(−x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. + f gọi là lẻ trên D nếu ∀ x∈ D ⇒ −x ∈ D và f(−x) = − f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng. (Ban CB đến III) * Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p) Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= - x * Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy : + Lên trên q đơn vị được A1(x ; y+q) + Xuống dưới q đơn vị được A1(x ; y−q) + Sang trái p đơn vị được A1(x−p ; y) + Sang phải p đơn vị được A1(x+p ; y) -14-
CÁC DẠNG BÀI TẬP I. Tìm tập xác định của hàm số *Phương pháp + Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là: D = {x ∈ ﾵ | f(x) ∈ ﾵ } + Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một s ố trường h ợp sau : a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ; y = | u ( x) | … là D = ﾵ (không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…) u ( x) là D = { x ∈ ﾵ | v(x) ≠ 0 } b) Miền xác định hàm số y = v( x) u ( x) là D = { x ∈ ﾵ | u(x) ≥ 0 } c) Miền xác định hàm số y= u ( x) là D = { x ∈ ﾵ | u(x) > 0 } d) Miền xác định hàm số y = v( x ) e) Miền xác định hàm số y = u ( x) + v( x) là u ( x) ≥ 0  D= {x ∈ ﾵ | u(x) ≥ 0 } ∩ {x ∈ ﾵ | v(x) ≥ 0 } tức là nghiệm của hệ  v( x) ≥ 0  VÍ DỤ : Tìm tập xác định của các hàm số sau II. Xét sự biến thiên của hàm số * Phương pháp + Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x). + Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ). + Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau: . Giả sử ∀x1,x2∈ K, x1 < x2 . Tính f(x2) - f(x1) f ( x2 ) − f ( x1 ) . Lập tỉ số T = x2 − x1 Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng bi ến trên (a;b) Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch bi ến trên (a;b). VÍ DỤ: III. Xét tính chẵn lẻ của hàm số * Phương pháp + Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x) + Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D + Tính f(-x), khi đó . Nếu f(-x) = f(x) với ∀ x ∈ D thì y =f(x) là hàm số chẵn . Nếu f(-x) = -f(x) với ∀ x ∈ D thì y = f(x) là hàm số lẻ. . Nếu có một x0∈ D sao f(-x0) ≠ f(x0) & f(-x0) ≠ -f(x0) thì hàm số y = f(x) không chẵn và không lẻ. VÍ DỤ: IV. Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p) -15-
BÀI TẬP §1-C2 1.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau 3x − 1 b) y = a) y= 3x3− x +2 −2 x + 2 c) y= 3 x − 2 d) y= −2 x + 1 − x − 1 2x + 1 1 f) y= + x + 1 e) y= 2 x − 2x + 1 x 1 h) y = 2 x2 + 1 g) y= x + 4x + 5 1- x neá x 0 u 1.2. Cho hàm số y= . x neá x >0 u Tính các giá trị của hàm số đó tại x =−3; x =0; x =1 2x − 3 khi x 0 1.3. Cho hàm số y= x − 1 − x 2 + 2 x khi x > 0 Tính giá trị của hàm số đó tại x =5; x =−2; x = 2 −3 x + 8 vôù x
1.9. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra a) y= −2 x +3 trên ﾵ b) y= x2+10 x +9 trên (−5;+∞ ) 1 c) y= − trên (−3;−2) và (2;3) x +1 1.10. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra a) y = x2+4x-2 ; (- ∞ ;2) , (-2;+ ∞ ) b) y = -2x2+4x+1 ; (- ∞ ;1) , (1;+ ∞ ) 4 ; (-1;+ ∞ ) c) y = x +1 3 ; (2;+ ∞ ) d) y = 2−x 1.11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau a) y= −4 b) y= 3x2−1 − x4 + x2 + 1 c) y= − x 4+3 x −2 d) y= x 1.12. Xét tính chẵn lẻ của các số sau a) y = x4-x2+2 b) y= -2x3+3x c) y = | x+2| - |x-2| d) y = |2x+1| + |2x-1| e) y = (x-1)2 f) y = x2+2 a 1.13. Cho hàm số y= f(x) = , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch bi ến trên các x−2 khoảng xác định của nó. − 2( x − 2) neáu ≤ x < 1 -1  1.14. Cho hàm số f ( x) =  2  x −1 neáu≥ 1 x a) Tìm tập xác định của hàm số f. 2 b) Tính f(-1), f(0,5), f( ), f(1), f(2). 2 BÀI TẬP THÊM 1 Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau : 3x + 5 3x + 5 1 a) y = b) y = D= ﾵ \{− } D= ﾵ 2x +1 x − x +1 2 2 x−2 x −1 c) y = 2 D=[1;+∞ )\{2} d) y = D= ﾵ \{1;2} x − 3x + 2 x−2 x2 − 2 3x + 1 e) y = f) y = D=(−1;+∞ ) D= ﾵ \{−3;3} x2 − 9 ( x + 2) x + 1 x −3 2− x x g) y = − −x D=(−∞;0]\{−1} h) y = D=(−2;2] 1 − x2 x+2 1 x −1 + 4 − x i) y = j) y= 2 x + 1 − 3 − x D=[− ;3] D=[1;4]\{2;3} ( x − 2)( x − 3) 2 − 2( x − 2) neáu ≤ x < 1 -1 {  Bài tập 2 : Cho hàm số f ( x) =  coù TXÑ: D1 f1 ( x ) y = f ( x) =  x2 − 1 neáu≥ 1 x  coù TXÑ: D2 f2 ( x ) D=[−1;∞ ) a) Tìm tập xác định của hàm số f. Khi ñoù D1 U D2 D= 2 b) Tính f(-1), f(0,5), f( ), f(1), f(2). 2 -17-
Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1), điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x 2-2x+1. Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ 2 ), điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x)= x 2+ x −3 . Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó: a) y= x2+2x-2 trên mỗi khoảng (-∞ ;-1) và (-1;+∞ ) T= x2+x1+2 −∞ −1 +∞ x +∞ +∞ y=x2+2x-2 −3 b) y= -2x2+4x+1 trên mỗi khoảng (-∞ ;1) và (1;+∞ ) T=−2(x1+x2−2) −∞ +∞ x 1 3 y=-2x2+4x+1 −∞ −∞ −2 2 trên mỗi khoảng (-∞ ;3) và (3;+∞ ) c) y= T= ( x1 − 3)( x2 − 3) x−3 −∞ +∞ x 1 +∞ 2 0 y= −∞ 0 x−3 1 trên mỗi khoảng (-∞ ;2) và (2;+∞ ) d) y= x−2 −1 T= ( x1 − 2)( x2 − 2) e) y= x2-6x+5 trên mỗi khoảng (-∞ ;3) và (3;+∞ ) T= x2+x1−6 f) y= x +1 trên khoảng (-∞ ;+∞ ) 2005 x1 x1 005 < x 2 2 2005 => f(x )= 2005 +1< 2005 +1=f(x )⇒ đồng biến x1 x2 1 2 Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên (A) −∞ −2 +∞ x 1 +∞ 3 y=-2x2+4x+1 −1 −∞ (B) −∞ +∞ x 1 +∞ 1 0 y= −∞ 0 x (C) −∞ +∞ x 2 1 y=f(x) −∞ −∞ Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau : a) y=x4−3x2+1 chẵn lẻ b) y= -2x3+x c) y= |x+2| - |x-2| lẻ chẵn d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵn 2 e) y= |x| f) y=(x+2) lẻ g) y=x3+x h) y=x2+x+1 D=[−1;1] chẵn j) y= 1 + x + 1 − x lẻ i) y=x|x| D=[−1;1] lẻ k) y= 1 + x − 1 − x -18-
Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d): a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị. Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3. Ta có thể coi (d’) có đ ược là do tịnh tiến (d): a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị? (d’): y=2x−3= f(x)−3 b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị? 3 (d’): y=2x−3= 2(x− ) 2 2 Bài 10: Cho đồ thị (H) của hàm số y= − x a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào? b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào? c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ th ị nhận đ ược sang trái 3 đ ơn v ị, ta đ ược đ ồ th ị hàm số nào? Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b). Hãy tính t ọa đ ộ các đi ểm có đ ược khi tịnh tiến các điểm đã cho: a) Lên trên 5 đơn vị b) Xuống dưới 3 đơn vị c) Sang phải 1 đơn vị d) Sang trái 4 đơn vị. BÀI TẬP THÊM 2 1. Tìm tập xác định của hàm số a) y = |x+2| - | 3x2-4x-3| D= ﾵ b) y = | x 2 + x − 4 | D= ﾵ 1 c) y = | 5 x + 6 | + D= ﾵ 5 1 d) y = D= ﾵ x +1 2 | 2x − 3 | e) y = 2 D= ﾵ x + x+6 1 f) y= 2 D= ﾵ \{0;3} x − 3x 1 g) y = 1 − x + D=(−1;1]\{0} x 1+ x 2x − 1 h) y = D=(0;+∞ )\{4} x| x−4| 1 i) y = 3 − x + D=(−∞;3]\{−1;1} x −1 2 1 D= ﾵ vì 2 x 2 − 4 x + 4 = ( 2 x − 2) 2 + 2 >0 ∀x j) y = 2 2x − 4x + 4 1 D=[ − k) y = 6 − x + 2 x 2 x + 1 ;6] 2 2x + 1 l) y = D= ﾵ \{−1;0;1} x(| x | −1) x2 +1 + x 1+ x m) y = D=[−1;2) 2− x -19-
1 + ( x + 2) x + 3 D=[−3;+∞ ) vì x 2 + 3 x + 3 ≠0 ∀ x n) y= x + 3x + 3 2 1 + | x +1| x2 − x + 6 o) D= ﾵ y= x 2 + 3x + 5 3 11 x 2 + 3 x + 5 = ( x + ) 2 + >0 ∀ x vì 2 4 1 23 x 2 − x + 6 = ( x − ) 2 + >0 ∀ x 2 4 |x| p) D= ﾵ y= | x − 2 | + | x 2 + 2x | vì không có giá trị nào của x để |x−2|+|x2+2x|=0. Thật vậy: nếu x−2=0⇒ x=2 thì x2+2x≠ 0 3x + 5 q) D= ﾵ \{−1;1} y= 3 x2 −1 x2 + 2x + 1 + x − 3 r) D=[3;+∞ ) y= x2 − 2x + 1 + x − 3 - x − 4 +1 s) D=[4;+∞ ) y= 1 t) D= ﾵ \{1} y= | x − 3x + 2 | + | x 2 − 1 | 2 vì khi x=1 thì mẫu bằng 0 (tương tự câu p) | x | −1 x2 − | x | − u) D= ﾵ \{−1;1} y= 2 x − 1 x 2 − 2 | x | +1 x 2 − 2 x + 1 , khi x 0 2 x − 2 | x | +1 x 2 + 2 x + 1 , khi x < 0 1− | x | v) D=[−1;1] y= 1 w) y = D= ﾵ \{−1;1} | x2 −1 | 1- x neáu ≤ x ≤ 0 -2  y = f(x)=  x) D=[−2;2] x neáu ≤ x ≤ 2 0  2. Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra −6 2x 3 trên ( ;+ ∞) a) y = T= (2 x2 − 3)(2 x1 − 3) 2x − 3 2 2 b) y = 3x2-4x+1 trên (- ; ) T=3x2 + 3x1−4 3 2 − 3x + 1 trên (1;+ ∞ ) c) y = T= ( x2 − 1)( x1 − 1) x −1 −5 x+3 trên (2; + ∞ ) d) y = T= ( x2 − 2)( x1 − 2) x−2 e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2) ∀ x ∈ (−2;2) khi đó −2< x 0; x−2