Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY
SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp
A. Một số kiến thức bổ trợ
1) Định lý tồn tại nghiệm của hàm số liên tục:
Định lý: Nếu hàm số ()
f
x liên tục trên đoạn
;ab và ().() 0fa fb thì tồn tại ít nhất một điểm
;cab
sao cho () 0fc
2) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu:
Định lý: Cho hàm số ()yfx có đạo hàm trong khoảng (a;b)
a) Nếu '( ) 0fx với mọi

;
x
ab thì hàm số ()yfx đồng biến trên khoảng đó
b) Nếu '( ) 0fx với mọi

;
x
ab thì hàm số ()yfx nghịch biến trên khoảng đó
2) Liên hệ giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình:
Định lý: Nếu hàm số

yfx đồng biến trên
a;b và
ygx làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch
biến trên
a;b thì phương trình

fx gx có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng
a;b
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có

0
xa;b sao cho
 
00
fx gx thì phương trình
fx gx có nghiệm duy nhất trên
a;b
3) Nguyên lý kẹp:
Cho ba dãy số

,,
nn n
uvw
sao cho: 00
,, lim
lim lim
nn n
n
n
nn
nn
nnnnuvw
va
uwa 
 




4) Tiêu chuẩn hội tụ:(Tiêu chuẩn Weierstrass)
1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
5) Định lý LAGRANGE:
Nếu ()
f
x là hàm số liên tục trên đoạn
;ab , có đạo hàm trong khoảng
;ab thì tồn tại
;cab sao cho
() ()
'( )
bfa
fc ba
hay ( ) ( ) '( )( )
f
bfa fcba
www.vietmaths.com
2
B. Các bài toán.
Bài toán 1.
Xét phương trình 22
11 1 11
... ...
14 1 1 12xx kx nx


trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
và ký
hiệu nghiệm đó là n
x
.
2) Chứng minh rằng lim 4
n
nx

Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất.
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass và định lý Lagrange để tìm giới hạn.
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
1;
Xét phương trình 22
11 1 11
... ...
14 1 1 12xx kx nx


với
1;x
 (1)
Biến đổi 22
11 1 1 1
(1) ( ) ... ... 0
2141 1 1
n
fx xx kx nx


(2)
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
n
f
x trên
1;
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên

1; 
Do

 

22
'
22 2
2
2
14
( ) ... ... 0, 1;
1
141 1
n
kn
fx x
nx
xx kx






nên ( )
n
f
x nghịch biến trên

1;x
. (3)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
Do ( )
n
f
x liên tục trên

1;  và 1
lim ( )
1
lim ( ) 2
n
x
n
x
fx
fx


nên tồn tại
01;x
 sao cho 0
()0
n
fx
(4)
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong

1;  .
2) Ký hiệu nghiệm đó là n
x
.Chứng minh rằng lim 4
n
nx

So sánh ( )
nn
f
x và (4)
n
f, ta có
 


22
22
2
11 1 1 1
(4) ... ...
2214 1 21 21
111111 11 1111
1 1 ... ... ( Do )
233521212121 22121
21
10
22 1
n
f
kn
kk nn kk
k
n
 
 



  


www.vietmaths.com
3
Do ( ) 0
nn
fx nên ( ) (4)
nn n
fx f.
Do ( )
n
f
x nghịch biến trên

1;  và ( ) (4)
nn n
fx fnên theo định nghĩa tính đơn điệu suy ra 4
n
x
Lại tiếp tục đánh giá n
x
. Áp dụng định lý Lagrange cho ( )
nn
f
x trên
;4
n
x, ta suy ra với mỗi số n
nguyên dương, tồn tại

;4
nn
cx sao cho
 
''
1
4 ( ) ( )(4 ) ( ) 22 1 4
nn nn n nn
n
ffxfcxfc nx
 

Mặt khác


22
'
22 2
2
2
14 1
( ) ... ... 9
1
141 1
nn
n
nn n
kn
fc nc
cc kc


 



(Do
 
2
2
11
14019 9
1
nn n
n
xc c
c

) nên
 
11 9
4
22 1 4 9 22 1
n
n
x
nx n


Tóm lại ta luôn có:

9
44
22 1 n
x
n

với mỗi số nguyên dương n (5)
Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim 4
n
nx

.
Bài toán 2.
Xét phương trình 22
11 1 1 1
... ... 0
214xx x x k xn

 trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1 và ký
hiệu nghiệm đó là n
x
.
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n
n
x

Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1
Xét phương trình 22
11 1 1 1
... ... 0
214xx x x k xn

 với
0;1x (1)
Đặt 22
11 1 1 1
( ) ... ...
214
n
fx
x
xx xk xn


Khảo sát tính đơn điệu của ( )
n
f
x trên
0;1
Do
 
 

'
22 2 2
22
21 1 1
( ) ... ... 0, 0;1
21
n
fx x
xx xk xn






nên ( )
n
f
x nghịch biến trên

0;1 . (2)
www.vietmaths.com
4
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;1
Do ( )
n
f
x liên tục trên

0;1 và 0
1
lim ( )
lim ( )
n
x
n
x
fx
fx


nên tồn tại
00;1x sao cho 0
()0
n
fx
(3)
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;1 .
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n
n
x

Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của
n
x
Với mỗi số nguyên dương n ta có:
 

122
22
12
11 1 1 1 1 1
( ) ... ... ( )
214 11
1
( ) 0 (do 0 1)
1
nn nn
nn n n n nn
nn n
n
fx fx
xx x xk xnxn xn
fx x
xn

  


Mặt khác 1
0
lim ( )
n
x
fx
 và 1()
n
f
x
nghịch biến trên
0; n
x
nên suy ra phương trình 1() 0
n
fx
có
duy nhất nghiệm trên

0; n
x
, gọi nghiệm duy nhất này là 1n
x
. Do

0; 0;1
n
x nên 1
0nn
x
x
Dãy

n
x
là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim n
n
x
 .
Bài toán 3.
Xét phương trình 210
n
xxx trong đó n là số nguyên dương và 2n.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là n
x
.
2) Tìm lim n
n
x

Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
0;
Xét phương trình 210
n
xxx với
1;x

Đặt

21
n
f
xxxx
Khảo sát tính đơn điệu của ( )
f
x trên
0;
Do 1
'( ) 2 1
n
f
xnx x

nên ( )
n
f
x nghịch biến trên

1;x. (3)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
Do ( )
n
f
x liên tục trên

1;  và 1
lim ( )
1
lim ( ) 2
n
x
n
x
fx
fx


nên tồn tại
01;x
 sao cho 0
()0
n
fx
(4)
www.vietmaths.com
5
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong

1;  .
2) Ký hiệu nghiệm đó là n
x
.Chứng minh rằng lim 1
n
nx

Do xn là nghiệm của phương trình (1) nên : 22
10 1
nn
nnn n nn
xxx x xx
 
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2
2
22 sô 1
1 sô 1
1 1 ... 1
1 1 .1.1...1
nn
nnn
nn
nnn nn
n
xx
x
xn
xxx xx nn



(5)
(Trong (5) không có dấu bằng bởi vì 1
n
x nên 211
nn
xx
)
Kết hợp với 2
n
x, với mọi 1,2...n ta được: 26
nn
xx
(6)
Từ (5) và (6) suy ra: 6
11
n
xn

Do 6
lim 1 1
nn





và theo nguyên lý kẹp suy ra lim 1
n
nx

Bài toán 4.
Xét phương trình 21 1
n
x
x
 trong đó n là số nguyên dương .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có một nghiệm duy nhất và ký
hiệu nghiệm đó là n
x
.
2) Tìm lim n
n
x

Hướng dẫn tư duy:
+ Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất
+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn
Lời giải
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm duy nhất
Xét phương trình 21 1
n
x
x

với x
(1)
Ta có:
21 2
111
nn
xx xx

(2)
+ Với 1x thì 21
n
x nên (2) 0VT
, suy ra (2) vô nghiệm trên
;1

+ Với 01
x
 thì 21
n
x nên (2) 0VT
, suy ra (2) vô nghiệm trên
0;1
+ Với 10x thì 21 01
n
x
x
 nên (2) 1VT
, suy ra (2) vô nghiệm trên
1; 0
Suy ra: (2) vô nghiệm trên

;1 nên (1) vô nghiệm trên
;1
(3)
Khảo sát tính đơn điệu của

21 1
n
f
xx x

trên
1;
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên
1; 
Ta lại có:
2
'( ) 2 1 1 0, 1;
n
fx n x x

nên ( )
f
x đồng biến trên
1;x
. (4)
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1;
www.vietmaths.com