Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chia sẻ: Bobietbo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là hệ quả của bất đẳng thức Côsi cũng không kém phần quan trọng, áp dụng rất nhiều vào việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức. Nhưng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si không được đề cập trong sách toán THCS. Đối với giáo viên nhất là giáo viên dạy nâng cao hoặc bồi dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu và áp dụng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của nó cho các bài tập toán ở lớp 9. Trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, học sinh cũng có thể gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến bất đẳng thức Côsi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN I. ĐẶT VẤN ĐỀ Bất đẳng thức Cô-si là bất đẳng thức rất quan trọng trong toán học, áp dụng nhiều trong bài tập chứng minh bất đẳng thức và những bài tập tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức. Nhưng bất đẳng thức Côsi không được đề cập trong sách giáo khoa toán THCS mà chỉ có trong một bài tập của sách bài tập toán 9. Hệ quả của bất đẳng thức Côsi cũng không kém phần quan trọng, áp dụng rất nhiều vào việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức. Nhưng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si không được đề cập trong sách toán THCS. Đối với giáo viên nhất là giáo viên dạy nâng cao hoặc bồi dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu và áp dụng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của nó cho các bài tập toán ở lớp 9. Trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, học sinh cũng có thể gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến bất đẳng thức Côsi. Với mong muốn có được một tài liệu để dạy cho học sinh ở THCS tôi sưu tầm, tuyển chọn một số bài toán tìm GTLN, GTNN ở bậc THCS và viết thành đề tài: “Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán tìm GTLN, GTNN” để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS. II. NỘI DUNG a) Bất đẳng thức Côsi : Với hai số không âm thì trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó. ab Cụ thể: Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì  ab . Dấu “ = ” xảy ra  a = b 2 b) Hệ quả 1: Nếu tổng của hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. S2 Cụ thể: a  b  2 ab mà a + b = S không đổi nên S  2 ab  a.b  . 4 S2 Vậy max a.b = a b. 4 c) Hệ quả 2: Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Cụ thể: a  b  2 ab mà a.b = P không đổi nên a  b  2 P . Vậy min (a + b) = 2 P  a  b a bc 3 d) Mở rộng với 3 số: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì  abc . Dấu “ = ” xảy ra 3  a = b = c. 1
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 III. ÁP DỤNG 1) Một số bài toán đại số vận dụng bất đẳng thức Côsi a2  a  2 Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức : M = với mọi giá trị của a. a2  a 1 Giải a2  a  2 a2  a 1 1 1 Ta có: M =    a2  a 1  a2  a 1 a2  a 1 a2  a 1 a 2  a 1 1 Vì a2  a 1  0 ;  0 nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: a  a 1 2 1 1 M = a  a 1 + 2 2 a 2  a  1.  2 . Vậy min M = 2 a  a 1 2 a  a 1 2 1 a  0 Dấu “ = ” xảy ra khi: a  a  1   a 2  a  1  1  a(a  1)  0   2 a2  a 1 a  1 Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2011-2012) 25 Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 a b c Q   . 2 b 5 2 c 5 2 a 5 Giải 25 Do a, b, c > (*) nên suy ra: 2 a  5  0 , 2 b  5  0 , 2 c  5  0 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: a  2 b  5  2 a (1) 2 b 5 b  2 c  5  2 b (2) 2 c 5 c  2 a  5  2 c (3) 2 a 5 Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q  5.3  15 . Dấu “ = ” xẩy ra  a = b = c = 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15  a = b = c = 25 Ví dụ 3: 8 Cho P = với -3< x < 5. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. (x  3)(5  x) 2
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 Giải Ta giải bài này bằng cách dùng hệ quả 1 của BĐT Cô-si: Đặt A= (x  3)(5  x) . Nhận xét P > 0 nên P đạt min khi A đạt max khi và chỉ khi (x+3)(5 – x) đạt max. Xét tổng (x+3) +(5 – x) = 8 là số không đổi. Vậy tích (x+3)(5 – x) đạt max  x+3 = 5 – x  2x = 2  x = 1(TMĐK). Thay x = 1 vào P  min P = 2 khi x = 1 Ví dụ 4: x 2  72 Cho biểu thức: N  (x > 0). Tìm x để N đạt giá trị nhỏ nhất. 3x Giải x 2  72 x 24 x 24 N   . Vì  0 ;  0 nên áp dụng hệ quả 2 của BĐT Cô-si. 3x 3 x 3 x x 24 x 24 x 24 Xét tích .  8 không đổi   đạt min    x  6 2 (vì x > 0) 3 x 3 x 3 x Thay x  6 2 vào N ta có min N  4 2  x  6 2 . Ví dụ 5: Tìm GTNN của: 1 3 x a) A  x  (x  1) b) B   0  x  1) x 1 x 1 x Giải 1 a) Ta biến đổi A để áp dụng được BĐT Côsi cho hai số dương: x  1 và x 1 1 1 1 Ta có : A  (x  1)   1 . Theo BĐT Cô-si: (x  1)   2 (x  1). 2 x 1 x 1 x 1 1 Vậy A  2  1  3  min A = 3  x  1   (x  1)2  1  x  2 (loại x = 0 vì x>1) x 1 b) Ta biến đổi B sao cho áp dụng được BĐT Cô-si 3 x 3 x 3(1  x) x B   3 3  3. x 1 x x 1 x x 1 x 3(1  x) x Vì 0 < x < 1 nên  0 và 0 x 1 x 3(1  x) x Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:  2 3 x 1 x 3(1  x) x Vậy B  2 3  3 . Suy ra min B  2 3  3   x 1 x 3
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017  3 3  x1   2 x2  6 x  3  0   2 3 3 Vậy min B  2 3 3  x   3 3 2  x2   1 (loại)  2 Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2016-2017) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   F   2a  2b  3 a 3  b3  7 (a  b)2 . Giải Vì a, b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a  b  2 ab  2  2a  2b  2(a  b)  4  2a  2b  3  0 (do ab = 1) Mặt khác, ta có: a  b  2 (ab)  2 (do ab = 1) 3 3 3  (2a  2b  3)(a3  b3 )  2(2a  2b  3)  4(a  b)  6 7 7(a  b) 7(a  b) 7 18(a  b) Khi đó ta có: F  4(a  b)  6     6 (a  b) 2 8 8 (a  b) 2 8 7(a  b) 7(a  b) 7 18 21 18 15  3. 3 . .  .2 ab  6    6  8 8 (a  b)2 8 4 4 4 15 Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng . Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b =1 4 a b Ví dụ 7: Cho a, b > 0 cho trước. Các số x, y > 0 thay đổi sao cho   1. x y Tìm x, y để S = x + y đạt giá trị nhỏ nhất theo a, b. Giải a b a b bx ay Ta có:   1 S   x  y    a  b   x y  x y  y x bx ay  S  ab2 .  a  b  2 ab y x 2 ay bx x a x a  min S  a  b  2 ab        x y  y b y b a b   x  a  ab Mà   1   x y  y  b  ab  4
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 2 1 Ví dụ 8 : Tìm GTNN của hàm y =  với 0 < x < 1 1 x x Giải 2 1 2  2x  2x 1 x  x Ta có: y =    ( 0 < x < 1) 1 x x 1 x x 2x 1 x 2x 1  x = 3   3 2 .  3 2 2 1 x x 1 x x 2x 1  x Dấu “ = ” xẩy ra    x  2 1 1 x x 2) Một số bài toán hình học vận dụng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 1: ( Bài 67 SBT Toán 9 – Tập 1) a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất; b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất. Giải Gọi a, b là kích thước của hình chữ nhật. Ta có a >0, b >0. b ab a Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:  ab 2 ab a) Với các hình chữ nhật có cùng chu vi thì không đổi (bằng một phần tư 2 ab chu vi). Suy ra ab đạt giá trị lớn nhất bằng khi a = b. Điều này có nghĩa là 2 trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. ab b) Với các hình chữ nhật có cùng diện tích thì tích a.b không đổi nên ta có: 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng ab khi a = b. Điều này có nghĩa là trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất. Ví dụ 2: ( Bài tập 95 SBT Toán 9 – Tập 1) a) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất; b) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất. Giải c Gọi a, b,c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có a > 0, b > 0, c > 0. a b 5
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 a bc 3 Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:  abc 3 abc a) Với các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì không đổi. 3 abc Suy ra 3 abc đạt giá trị lớn nhất bằng khi a = b = c. Điều này có nghĩa là 3 trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất. b) Với các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì tích a.b.c không đổi nên ta có: abc đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 abc khi a = b = c. Điều này có nghĩa là trong 3 các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất. Ví dụ 3: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2006-2007) Từ điểm S ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Cát tuyến qua S (cắt bán kính OB) cắt đường tròn tại M, N. Qua O, vẽ đường thẳng vuông góc với OS cắt các tia SA, SB thứ tự tại E, F. Khi đường tròn (O; R) và đường thẳng MN cố định, tìm vị trí của S trên đường thẳng MN để diện tích tam giác SEF nhỏ nhất. Giải Ta có: SSEF = 2.SSOE = SE.OA = (SA+AE).R SSEF đạt giá trị nhỏ nhất  SA+AE đạt giá trị nhỏ nhất. Theo hệ thức lượng trong ∆SOE vuông tại O E A Ta có: SA. AE = OA2 = R2 ( không đổi ) Nên SA + AE nhỏ nhất  SA = AE = R (theo hệ quả 2 bất đẳng thức Cô-si ) S O  ∆SOE vuông cân tại E và ∆SOA vuông M cân tại A  SA = OA = R  OS  R 2 . N Vậy S là giao điểm của đường tròn tâm O, B F bán kính R 2 với đường thẳng MN. Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2007-2008) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R không đổi. Vẽ hai dây BM, CN sao cho cắt nhau tại H. Tia BN cắt CM tại A. Tìm vị trí của điểm P trên trên đoạn thẳng BC để tích PH. PA đạt giá trị lớn nhất. 6
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 Giải A PH PB Ta có: ∆PBH ∽∆PAC(g-g)    PH.PA  PB.PC PC PA  PH.PA đạt giá trị lớn nhất  PB.PC đạt giá trị lớn nhất. M Mà PB + PC = BC = 2.OB = 2.R ( không đổi ) N  PB.PC đạt giá trị lớn nhất  PB = PC = R (theo hệ quả 2)  P ≡ O. H Vậy P ≡ O thì PH.PA lớn nhất và Max PH.PA = R2. B P O C Ví dụ 5: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2009-2010) Cho đường tròn tâm O có các đường kính MN, PQ (PQ không trùng MN). Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn tâm O thứ tự ở E, F. Khi MN cố định, PQ thay đổi, tìm vị trí của E và F khi diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ nhất. Giải N 1 Ta có : SNEF  .MN.EF . Do MN không đổi 2 P nên SNEF đạt giá trị nhỏ nhất O  EF đạt giá trị nhỏ nhất. Theo hệ thức Q lượng trong ∆NEF vuông tại N, ta có: F E ME.MF = MN2 không đổi. M Mà ME + MF = EF  EF  (ME  MF)  4.ME.MF  4MN2 (theo bđt Cô-si) 2 2  EF  2MN (do EF > 0). Do đó Min EF = 2MN  ME = MF = MN. Vậy vị trí của E và F cùng cách tiếp điểm M một khoảng bằng MN khi MN cố 1 định, PQ thay đổi thì SNEF đạt giá trị nhỏ nhất. Min SNEF  .MN.EF  MN 2 2 Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2012-2013) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (D ∈ BC, E ∈ AC).Gọi F là giao điểm của tia CH với AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu AD BE CF thức: Q    . HD HE HF A Giải Đặt SBHC = S1, SAHC = S2, SAHB = S3, SABC = S. E Vì ∆ABC nhọn nên trực tâm H nằm bên trong ∆ABC, F do đó: S = S1 + S2 + S3 . H AD SABC S Ta có:   (1) HD SBHC S1 D B C 7
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 BE SABC S   (2) HE SAHC S2 CF SABC S   (3) HF SAHB S3 Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được: AD BE CF S S S 1 1 1 Q       S    HD HE HF S1 S2 S3  S1 S2 S3  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương, ta có: 1 1 1 3 S  S1  S2  S3  3 3 S1.S2 .S3 (4) ;    (5) . S1 S2 S3 3 S1.S2 .S3 Nhân vế theo vế (4) và (5), ta được: Q ≥ 9. Đẳng thức xẩy ra  S1  S2  S3 hay H là trọng tâm của ∆ABC, nghĩa là ∆ABC đều. Vậy Min Q = 9 Ví dụ 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC ( M khác B và C). Kí hiệu SABM , SDCM lần lượt là diện tích của các tam giác ABM, DCM. Chứng minh tổng SABM + SDCM không đổi. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để 2 S ABM  SDCM 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. Giải BM . AB a.BM A a B Ta có: S AMB   ( do AB = a) 2 2 DC.MC a.MC S DCM   ( do DC = a) 2 2 a M a.BM a.MC a.( BM  MC ) Vậy S AMB  S DCM    2 2 2 a.BC a 2 D C   không đổi (do BC = a). 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có : 2 S ABM  SDCM 2  2.S ABM .SDCM  2(S ABM 2  SDCM 2 )  S ABM 2  SDCM 2  2.S ABM .SDCM 2 (S ABM  S DCM )2 1  a 2  a 4 S 2 ABM S 2 DCM      2 2 2  8 a4 a2 Vậy giá trị nhỏ nhất của: S 2 ABM S 2 DCM  đạt được khi: S ABM  S DCM  8 4  điểm M là trung điểm BC. 8
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi x, y, z theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M ở trong tam giác tới các cạnh BC, AC, AB. a b c Xác định vị trí của điểm M để tổng   có giá trị nhỏ nhất. x y z Giải Gọi S là diện tích tam giác ABC A  S = SMBC + SMAC + SMAB 1 S= (ax + by + cz) 2 z y b  ax + by + cz = 2S không đổi. c M Ta xét biểu thức: a b c x P = (ax + by + cz)(   ) B a x y z C x y y z x z = a2 + b2 + c2 + ab(  ) + bc(  ) + ca(  ) y x z y z x Theo bất đẳng thức Côsi với x, y, z > 0 x y Ta có:   2 , dấu “ = ” xảy ra khi x = y y x y z   2 , dấu “ = ” xảy ra khi y = z z y x z   2 , dấu “ = ” xảy ra khi x = z z x a b c Do đó P  a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc Hay 2S(   )  (a + b + c)2 2 2 2 x y z a b c a  b  c a  b  c 2 2 a b c     Nên min (   )=  x=y=z x y z 2S x y z 2S  M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 3) Bài tập tương tự x2  2 1 ( HD: Áp dụng : x  1 và 2 Bài 1: Tìm GTNN của ) x2 1 x2 1 x 8 9 Bài 2: Tìm GTNN của với x > 1 (HD: Áp dụng : x  1 và ) x 1 x 1 9
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học : 2016-2017 2 Bài 3: Tìm GTLN của A = x 1 x với -1≤ x ≤ 1 (HD: Áp dụng : x2 và 1 – x2) 2 1 2x 1 x Bài 4: Tìm GTNN của y =  với 0 < x < 1(HD: Áp dụng : và ) 1 x x 1 x x yz x  1  xz y  2  xy z  3 Bài 5: Tìm GTLN của B = với x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 xyz x 1 y2 z 3 1 1 1 (HD: B       ) x y z 2 2 2 2 3 x2  x  2 1 Bài 6: Tìm GTNN của C = (HD: Áp dụng : x 2  x  1 và ) x2  x  1 x2  x 1 IV. KẾT LUẬN Bất đẳng thức Côsi và hệ quả rất quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức nên chúng ta cần khai thác và tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức này. Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn trong giải toán, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao năng lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học. Để gây hứng thú và niềm say mê nghiên cứu khoa học cho học sinh, trước hết người thầy giáo phải nêu cao tấm gương tự học, tự nghiên cứu nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của mình. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ mà tôi tích luỹ được khi dạy các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có vận dụng bất đẳng thức Côsi, hy vọng rằng đề tài này của tôi góp phần tăng thêm hiệu quả học tập của học sinh. Dù đã cố gắng học hỏi trau dồi kiến thức song không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự quan tâm góp ý chân thành của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để đề tài ngày một hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn. Ngày 04/01/2017 10