Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán về giới hạn dãy số và đạo hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm định hướng cho học sinh THPT một số cách tiếp cận lời giải các bài toán dãy số và đạo hàm , từ đó phát triển tư duy , năng lực toán học cho các em; Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình môn Toán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa và thực tiễn cuộc sống.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán về giới hạn dãy số và đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ ĐẠO HÀM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2023
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG * Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ ĐẠO HÀM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Họ và tên: Đậu Hoàng Hưng Số điện thoại: 0983.566.166 NGHỆ AN – 2023
MỤC LỤC Trang A. ĐẶT VẤN ĐỀ ………………………………………………………..… 1 I. Lý do chọn đề tài……………………………………………………….... 1 II. Mục đích nghiên cứu………………………………………………….... 2 III.Phương pháp nghiên cứu…………………………………………....… 3 IV. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài……………………………… 3 B. NỘI DUNG…………………………………………………………….. 4 I. Cơ sở lý luận……………………………………………………………. 4 II. Cơ sở thực tiễn………………………………………………………… 5 III. Nội dung đề tài……………………………………………………….. 7 0. Một số khái niệm và tính chất cơ bản……………………………….... 7 1.Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán giới hạn hữu hạn của dãy số, đạo hàm cho dưới dạng tường minh từ kiến thức cơ bản................................ 8 2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán biện luận sự tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số có phụ thuộc tham số…....... 17 3. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán chứng minh sự tồn tại và tìm giới hạn hữu hạn của dãy số cho dưới dạng dãy ẩn……………………........... 31 4. Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua việc ứng dụng tính chất giới hạn của dãy số……………………....… 38 C. KẾT LUẬN…………………………………………………………....... 45 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………....... 46
1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài Nền giáo dục Việt Nam nói chung, mấy chục năm qua đã có rất nhiều thành tựu trong việc đào tạo nguồn nhân lực cho đất nước. Những thành tựu đó không thể không khẳng định. Nhưng hoàn cảnh lịch sử đã khác, trước yêu cầu cấp bách của sự phát triển kinh tế-xã hội trong bối cảnh toàn cầu hóa, đã nảy sinh nhiều bất cập đòi hỏi chúng ta phải có sự nhận thức lại, nhìn nhận lại một cách nghiêm túc thực trạng nền giáo dục Việt Nam. Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ một thực trạng hiện nay là “… công việc giảng dạy, học tập, thi cử, kiểm tra và đánh giá kết quả còn lạc hậu, thiếu thực chất…’’. Như vậy, theo xu thế đổi mới, mục tiêu giáo dục được thay đổi từ quan niệm tiếp cận nội dung, nghĩa là quan tâm đến việc người học sẽ lĩnh hội được những kiến thức gì, sang cách tiếp cận phát triển năng lực, nghĩa là học sinh có thể làm được gì sau khi lĩnh hội được các kiến thức ở nhà trường. Vì vậy, vấn đề hình thành và phát triển năng lực trở thành một trong những yêu cầu tất yếu trong việc xây dựng chương trình cũng như việc tổ chức dạy học ở nhiều nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam. Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học". Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 của Quốc hội về đổi mới Chương trình, Sách giáo khoa phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới, đó là "Đổi mới chương trình, Sách giáo khoa GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh".
2 Cụ thể hóa các Nghị quyết của Đảng và Nhà nước, chương trình GDPT 2018 môn Toán (được ban hành theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT) nêu rõ “Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán…”. Để thực hiện tốt các yêu cầu, mục tiêu của chương trình GDPT 2018, chúng tôi lựa chọn và viết sáng kiến với đề tài “Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán về giới hạn dãy số và đạo hàm” . II. Mục đích nghiên cứu - Định hướng cho học sinh THPT một số cách tiếp cận lời giải các bài toán dãy số và đạo hàm , từ đó phát triển tư duy , năng lực toán học cho các em. - Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình môn Toán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa và thực tiễn cuộc sống. - Phát triển tư duy sáng tạo và lập luận toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. III. Phương pháp nghiên cứu - Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa Giải tích 11, 12 (cơ bản) chúng tôi xây dựng, khai thác, phát triển, sắp sếp các vấn đề, lồng ghép vào các ví dụ (được tham khảo từ đề thi HSG môn Toán bậc THPT) để phân hoạch thành các dạng toán cụ thể theo từng mức độ để phù hợp với từng nhu cầu, năng lực của các em học sinh. - Tham khảo bài viết của các đồng nghiệp trong và ngoài nước ở các tạp chí có nội dung liên quan đến đề tài. - Trao đổi với các đồng nghiệp ở Tổ Toán-Tin ở Trường Huỳnh Thúc Kháng, Trường THPT chuyên Phan Bội Châu và một số đơn vị bạn trong tỉnh có
3 quan tâm đến vấn đề này để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải các bài toán, triển khai đề tài. - Trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh chúng tôi trực tiếp hoặc gián tiếp giảng dạy để kiểm nghiệm và rút kinh nghiệm. IV. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả - Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho các em học sinh lớp THPT trong và ngoài trường. - Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán THPT, học viên Cao học, Nghiên cứu sinh chuyên nghành Phương pháp giảng dạy Toán . - Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo trong lĩnh vực này để phục vụ công tác giảng dạy của giáo viên, công việc học tập cho học sinh và công tác nghiên cứu của các nhà giáo dục. Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của của các độc giả để bản thân tôi ngày càng hoàn thiện hơn và đạt được nhiều kết quả tốt hơn nữa trong việc giảng dạy phần dãy số và đạo hàm. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.
4 B. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận Qua nhiều công trình nghiên cứu về Giáo dục cho thấy, có thể chia quá trình nhận thức của con người thành hai cấp độ: nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính. Trong đó, nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác,…) có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra vấn đề mà bằng nhận thức cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được. Muốn nhận thức và giải quyết được những vấn đề như vậy, con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy). Tư duy được xét như một quá trình kế tiếp nhau gồm nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình này được minh họa bởi sơ đồ sau: Nhận thức vấn đề Xuất hiện các liên tưởng Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết Kiểm tra giả thuyết Chính xác hoá Khẳng định Phủ định Hoạt động tư duy mới Giải quyết vấn đề Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy việcnhận thức, phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề giữ vai trò hết sức quan trọng. Trước đây, phương pháp dạy học truyền thống thực hiện theo chương trình giáo dục tiếp cận nội dung, việc phát hiện
5 vấn đề và giải quyết vấn đề chủ yếu dành cho người dạy, còn người học chỉ việc thực hiện lại các thao tác, yêu cầu mà người dạy cung cấp, khó có điều kiện tìm tòi bởi kiến thức, kĩ năng đã được cung cấp sẵn. Công việc đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung, đối với bộ môn Toán nói riêng đang thực hiện bước chuyển mạnh mẽ từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, từ phương pháp dạy học truyền thống theo lối “truyền thụ một chiều” , “thầy đọc trò chép” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy , và người học tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của người dạy. Việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực hiện nay thường được thể hiện qua việc người dạy tổ chức, hướng dẫn cho người học tự tiến hành các hoạt động học tập, tìm hiểu các kiến thức mới; vận dụng một cách sáng tạo những kiến thức đã biết để phát hiện và đưa ra các hướng giải quyết các tình huống nảy sinh trong học tập hoặc trong thực tiễn; đồng thời người dạy phải chú trọng rèn luyện cho người học biết khai thác sách giáo khoa và các tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức mới, định hướng cho học sinh cách tư duy như phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa , khái quát hóa… để từ đó dần hình thành và phát triển năng lực sáng tạo. Bên cạnh đó, người dạy phải xây dựng các tình huống, hệ thống câu hỏi, bài tập hay các sự kiện để tăng cường công tác phối hợp học tập, làm việc tập thể , nhằm vận dụng sự hiểu biết và kinh nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ chung. Đây là cơ sở lí luận để chúng tôi tiến hành công việc triển khai đề tài. II. Cơ sở thực tiễn Qua thực tế giảng dạy chương trình Toán THPT, chúng tôi tạm thời chia ra thành 03 phần chính gồm Hình học, Đại số và Giải tích. Trong các phần Đại
6 số và Giải tích thì toàn bộ lớp 10 và học kỳ 1 của lớp 11 học sinh được học về Đại số; học kỳ 2 lớp 11 và lớp 12 học sinh được học về Giải tích. Chương trình Đại số ở bậc THPT được kế thừa từ những lớp ở cấp học dưới. Điều này chứng tỏ trước khi tiến hành học phần Giải tích thì học sinh đã có một thời gian dài học Đại số (bao gồm các cấu trúc, phép toán cơ bản của các tập hợp các số) là những đối tượng tĩnh, rời rạc và “hữu hạn”. Điều này có vẻ đối lập với các đối tượng nghiên cứu của Giải tích, là những đối tượng biến thiên, liên tục và “vô hạn”. Do đó, một số “tư duy kiểu Đại số” mà các em có được trong quá trình học Đại số có thể không phù hợp khi tiếp cận các đối tượng của Giải tích và các em học sinh thường cảm thấy rất khó khi bắt đầu học về các khái niệm Giải tích cũng như các vận dụng của nó. Các yếu tố trong Giải tích thường mang tính “động” hơn là tính “tĩnh” như trong Đại số, điều này đòi hỏi chúng ta cần có cách nhìn khác, tiếp cận khác và vận dụng khác về khái niệm trong Giải tích so với trong Đại số. Ví dụ như khi dạy về khái niệm giới hạn (hữu hạn) của dãy số thì quá trình xây dựng khái niệm giới hạn của dãy số  un  trong sách giáo khoa được bắt đầu bằng việc xét một dãy số  un  cụ thể và sau đó xem xét sự thay đổi của un đó khi cho n “dần tới” dương vô cực. Đây là những hình ảnh trực quan hết sức quan trọng cho định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số, để từ đó đi đến phát biểu định nghĩa theo ngôn ngữ dãy số. Trong định nghĩa ta thấy, đẳng thức lim un  a không còn thuần túy là sự bằng nhau về giá trị của hai biểu thức mà n  học sinh được học ở lớp dưới. Người giáo viên phải có sự gợi mở, giải thích để học sinh có cách nhìn mới linh hoạt và biện chứng hơn là đại lượng un thay đổi “xung quanh” a và có xu thế ngày càng gần a nhưng có thể không bao giờ nhận giá trị a . Hơn thế nữa, để vận dụng tốt các tính chất của Giải tích thì người giáo viên phải hướng dẫn học sinh hiểu được bản chất, tìm kiếm các dấu hiệu “Giải tích” để làm cơ sở nhận dạng khi gặp các tình huống cụ thể. Đây là cơ sở thực tiễn để chúng tôi tiến hành công việc triển khai đề tài.
7 III. Nội dung đề tài Trước hết, để thuận lợi cho việc trình bày của chúng tôi cũng như việc theo dõi của người đọc, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng cho những phần sau. 0. Một số khái niệm và tính chất cơ bản Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về Giải tích trong chương trình Toán THPT cần dùng ở những phần sau. 0.1 Định nghĩa. Dãy số thực  u n  được gọi là dãy số tăng un1  un và được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n   * ta có un1  un . Nếu dãy số  u n  hoặc tăng, hoặc giảm thì được gọi là dãy số đơn điệu . 0.2 Định nghĩa. Dãy số thực  un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho un  M n  * , bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho un  m n  * và được gọi là bị chặn nếu đồng thời bị chặn trên, bị chặn dưới. 0.3 Định nghĩa. Dãy số  un  được gọi là có giới hạn a ( hữu hạn) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều cách a một khoảng nhỏ hơn số dương đó và viết lim un  a . n  0.4 Định lý. Nếu dãy số  un  đơn điệu và bị chặn thì  un  có giới hạn hữu hạn. 0.5 Định nghĩa. (i) Dãy số thực  un  được gọi là có giới hạn âm vô cực nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó và viết : lim un   . n (ii) Dãy số thực  un  được gọi là có giới hạn dương vô cực nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó và viết lim un   . n 0.6 Định nghĩa. (i) Cho hàm số y  f ( x) xác định trên  a; b  ( có thể trừ điểm x0   a; b  ). Ta nói f ( x) có giới hạn L khi x dần đến x0 nếu với mọi dãy số  x    a; b  \  x  : lim x n 0 n  n  x0 thì lim f  xn   L và viết lim f ( x )  L . n  x  x0
8 Nếu lim f ( x)  f ( x0 ) thì y  f ( x) được gọi là liên tục tại x0 và x  x0 y  f ( x) được gọi là liên tục trên  a; b  nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. (ii) Ta nói hàm số f ( x) xác định trên khoảng  a;   có giới hạn L khi x dần đến dương vô cực nếu với mọi dãy số  xn    a;   mà n xn   lim thì lim f  xn   L và ký hiệu lim f ( x)  L . n  x  (iii) Ta nói hàm số f ( x) xác định trên khoảng  ;a  có giới hạn L khi x dần đến âm vô cực nếu với mọi dãy số  xn    ; a  mà n xn   lim thì lim f  xn   L và ký hiệu: lim f ( x)  L . n  x  0.7 Định lý. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên  a; b  và f ( a ) f (b)  0 thì phương trình f ( x )  0 có nghiệm thuộc đoạn  a; b . 0.8 Định nghĩa. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng  a; b  và f ( x)  f ( x0 ) x0   a; b  . Nếu tồn tại giới hạn lim hữu hạn thì giới hạn này được x  x0 x  x0 gọi là đạo hàm của f ( x) tại x0 và ký hiệu f '( x0 ) . 0.9 Định lý. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên  a; b và có đạo hàm trên  a; b  f (b)  f (a ) thì tồn tại c   a; b  sao cho: f '(c)  . ba (Định lý Lagrange) 1.Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán giới hạn hữu hạn của dãy số, đạo hàm cho dưới dạng tường minh từ kiến thức cơ bản Giới hạn hữu hạn của dãy số đóng vai trò hết sức quan trọng trong chương trình Toán bậc THPT, là sự “khởi dầu” của chương trình Giải tích bậc phổ thông; trong kì thi chọn học sinh giỏi các cấp của môn Toán THPT luôn xuất hiện bài toán này, đặc biệt ở kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia
9 môn Toán hàng năm. Vì lý do đó nên lĩnh vực giới hạn hữu hạn của dãy số luôn nhận được sự quan tâm đặc biệt của nhiều đồng nghiệp và đã thu được nhiều kết quả, công cụ quan trọng. Điều này dẫn đến hiện tượng “khủng hoảng thừa” công cụ tìm giới hạn của dãy số, đó cũng là một phần nguyên nhân dẫn đến hiện tượng nhiều giáo viên chỉ lo cung cấp công cụ, học sinh mải miệt tích lũy, rèn luyện các kĩ năng để đối phó với kỳ thi mà quên mất mục tiêu giảng dạy và học tập của phần Giới hạn dãy số là phát triển tư duy sáng tạo cho người học. Trong mục này, chúng tôi tiến hành rèn luyện tư duy sáng tạo, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức cơ bản cho các em thông qua việc định hướng để tìm giới hạn hữu hạn của dãy số từ khái niệm giới hạn hữu hạn của sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Chúng ta bắt đầu bằng ví dụ cơ bản sau: u1  1;2   Bài toán 1.1 Cho dãy số (un ) xác định bởi  1 2 un 1  1  un  un n   *  2 Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Phân tích và định hướng. Bài toán yêu cầu chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn, chứng tỏ giới hạn hữu hạn của dãy luôn tồn tại. Mặt khác, nếu tìm được giới hạn hữu hạn thì yêu cầu thứ nhất của bài toán cũng sẽ thực hiện xong. Từ đó ta có lời giả bài toán như sau: Lời giải. Giả sử giới hạn hữu hạn của dãy số (un ) là a. Khi đó, từ giả thiết 1 un 1  1  un  un2 n  * , 2 2 a cho n   ta được: a  1  a   a  2 . 2  Ta sẽ chứng minh n un  2 bằng cách chứng minh n un  2  0 . lim lim  Thật vậy, ta có un2 un1  2  1  un   2 2 . 1  un  2 un  2  1 n  *. 2 3 Mà 1  un  n  2 nên: 2
10 1 un  2  1  2   2n  2 2 n 1  1  22  un  2  ...  u2  2    n  2 .  2     Cho n   ta được lim un  2  0. n   Như vậy, dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và lim un  2 . n  Nhận xét 1.1. - Để tìm giới hạn a của dãy số, ta thường tìm a bằng cách giải phương trình thu được sau khi chuyển qua giới hạn của hệ thức truy hồi xác định dãy số đó (a là nghiệm của phương trình đó). Sau đó ta chứng minh a chính là giới hạn cần tìm bằng cách chứng minh lim  un  a   0 . n  - Bài toán 1.1 là một bài giải tích yêu cầu khảo sát sự hội tụ của một dãy truy hồi có dạng un1  f (un ) và để giải quyết bài toán này, chúng ta đã sử dụng kết quả quen thuộc: “Nếu tồn tại số thực q  (0;1) sao cho un1  qun n  * thì lim un  0 ”. n Nhằm mục đích rèn luyện kỹ năng cho cách định hướng, ta xét tiếp các bài toán sau:  1 u1   2  Bài toán 1.2 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u  un  1 n   * 2  n 1  2 1 1 a) Chứng minh rằng:   un  n  * . 2 8 b) Tìm giới hạn hữu hạn (nếu có) của dãy số (un ) . Phân tích và định hướng. Xây dựng và chứng minh bằng phương pháp quy nạp là “mô hình” thường được dùng khi xử lý các tình huống trong bài toán dãy số. Trên cơ sở đặc biệt hóa để tìm quy luật, phán đoán; từ đó tổng quát hóa là một hướng để nâng cao năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Đây cũng là cơ sở định hướng cho việc giải quyết yêu cầu của Bài toán 1.2 a. Do đó, ta có lời giải
11 cho bài toán như sau: 1 1 Lời giải.a) Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức   un  n  * bằng phương 2 8 pháp quy nạp. 1 Thật vậy, do u1   nên thấy bất đẳng thức đúng với n  1 . Giả sử bất 2 1 1 1 đẳng thức đúng với đến n  k ( k  1) , nghĩa là   uk   0  uk2  . Khi 2 8 4 u 1 2 1 1 đó, do uk 1  k nên   uk 1  . Theo nguyên lý quy nạp ta có 2 2 8 1 1   un  n  * . 2 8 b) Giả sử dãy số  un  có giới hạn hữu hạn là a , từ giả thiết un2  1 un 1  n  * , 2 a 1 2 cho n   ta được: a  . 2 1 1  1 1 Kết hợp với   un  n  * ta có a    ;  , suy a  1  2 . 2 8  2 8 Tiếp theo, ta sẽ chứng minh lim un  1  2 bằng cách chứng minh n  lim un  2  0 . n   Thật vậy, ta có 1 a2 a  u1  a   2 2 u12  1 1 2 1 1 a  u2  a   ( a  u12 )  ( a  u1 )( a  u1 )  2 a 2 (a  u1 ) 2 2 2 2 ..... n 1 2 a  un    a (a  u1 )(a  u2 )...(a  un1 ). 2 1 Mặt khác, do a  un | a |  | un | 2  1   1n  * nên 2 n 1 a  un    n  * . 2 Cho n   ta có lim(un  a )  0 hay lim un  1  2 . n  n  
12 u1  1  Bài toán 1.3 Cho dãy số  u n  xác định bởi:  n . un 1  un  3 un  n  *  un  n a) Chứng minh rằng lim  0. n u n n2 b) Tìm giới hạn lim ?. n  u n (VMO-2020) Lời giải. a) Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp u n  n 2 n  2 . - Với n  2 thì u 2  5  2 2 nên khẳng định đúng. - Giả sử ta đã có un  n 2 với n  2 , khi đó: un1  un  3 un  n2  3n  (n  1)2 . Do đó, theo nguyên lý quy nạp thì u n  n 2 n  2 . n 1 Ta có un  n 2 n  2  0   n  2 , cho n   và sử dụng nguyên lý un n n kẹp ta được: lim  0. n  u n n b) Do u n  n 2 n  2 nên  1 n  2 , bằng phương pháp quy nạp ta chứng un 9 minh được un  n2 n  2 . (1.3.1) 4 2 2  3 Ta có un1  un  3 un    un    2 n  2 . Áp dụng bất đẳng thức 3  2 b ab  a  a  b  0 ta được: a 2  3 3 2 un1   u n    2  un   n  2 .  2 2 3 u n 2 Kết hợp với (1.3.1) ta có:
13 3 2 un1  un   n  2 2 n 3n  1 1  un1  1   2 1   ...   n  2 . (1.3.2) 2  2 n 1 1 Mặt khác, do 1   ...   n n  * nên từ (1.3.1) và (1.3.2) ta suy ra: 2 n 3n 3n  2 n  un1  n  2 2 2 3 2 u 3    n1  n  2 . 2 n n 2 n2 4 Cho n   và sử dụng nguyên lý kẹp ta suy ra được: lim  . n  u 9 n  Nhận xét 1.3. - Điểm mấu chốt của câu a) bài toán 1.3 là đánh giá u n  n 2 n  2 . Cơ sở của đánh giá này chính là dựa vào phương pháp đặc biệt hóa một số giá trị để phát hiện quy luật. Sau đó tổng quát hóa kết quả để dự đoán và chứng minh dự đoán đúng bằng phương pháp quy nạp. - Cơ sở để thực hiện các ước lượng nhằm xây dựng bất đẳng thức và kẹp trong lời giải câu b) chính là (1.3.1). Một vấn đề được đặt ra ở đây là làm thế nào để 9 có được hệ số trong (1.3.1). Để trả lời được câu hỏi này theo tôi , chúng ta có thể 4 áp dụng định lý Stolz như sau: n un 1 3 un  3 2  un 1  un un n un Xét hiệu :   n  2 . (n  1)  n 2 2 2n  1 1 2 n n 2 3 9 Ta thấy, nếu lim  a thì theo định lý Stolz ta phải có a  a a . n  u n 2 4 Bên cạnh việc khái thác “ triệt để” định nghĩa giới hạn của dãy số trong việc định hướng tìm lời giải cho bài toán tìm giới hạn hữu hạn của dãy số như trên, chúng ta có thể định hướng cho học trò khai thác các tính chất của dãy số như tính chất đơn điệu, tính chất bị chặn, … để tìm kiếm lời giải cho bài toán.
14 u1  u2  1, u3  2  Bài toán 1.4 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u u 7 . un3  n1 n 2 n  *  un a) Chứng minh rằng u n   n   * . u2 n  2 u b) Chứng minh rằng tồn tại các giới hạn hữu hạn lim , lim 2 n1 và n u n u 2 n 1 2n tìm các giới hạn đó. (P145-Tạp chí Pi, Tập 2, số 5- 2018) Phân tích và định hướng. Thông thường, trong các bài toán về dãy số, để chứng minh các số hạng của một dãy số được cho bởi dạng phân thức hoặc căn thức là các số nguyên, một cách làm thông dụng là biến đổi, tìm kiếm một hệ thức truy hồi có dạng đa thức với hệ số nguyên và chuyển về chứng minh các số hạng đầu của dãy số là số nguyên. Ta có lời giải cho bài toán như sau: Lời giải. a) Từ giả thiết của dãy số (un ) ta có u 4  9, u n  0 n   * và u n  3u n  u n 1u n  2  7 n   *  un4un1  un 2un3  7 n   . Do đó, với mọi số nguyên dương n ta có: un4un1  un3un  un2un3  un1un2   un4  un2  un1   un2  un  un3 n * . Kết hợp với u n  0 n   * ta được: un  4  u n  2 u n  2  u n  n  * . un  3 un1 Do đó với mọi số nguyên dương k ta có:  u2 k 3  u2 k 1 u2 k 1  u2 k 1 u u  u   ...  3 1  3  2k 2 u2 k u2   u2 k  4  u2 k  2  u2 k  2  u2 k  ...  u4  u2  5   u2 k 3 u2 k 1 u3 u2 k 3  3u2 k  2  u 2 k 1  k   * . u2 k  4  5u2 k 3  u 2 k  2
15 Kết hợp với u1 , u2 , u3 , u4  ta có u n   n   * . u2 n u b)Với mỗi số nguyên dương n ta đặt xn  và yn  2 n 1 .Từ giả thiết ta có: u2 n1 u2 n un3un  un1un 2 n  * un3 un1   n  * , suy ra các dãy số  xn  và  y n  đều là u n  2 un dãy số tăng. (1.4.1) u4  u2 u u Mặt khác, do xn   5 n  2 và yn  3 1  3 n  1 nên các u3 u2 dãy số  xn  và  y n  bị chặn trên. (1.4.2) Từ (1.4.1) và (1.4.2) suy ra các dãy số  xn  và  y n  có giới hạn hữu hạn hay u2 n  2 u lim , lim 2 n1 tồn tại hữu hạn. Đặt lim xn   và lim yn   , ta có: n u n u n n 2 n1 2n 2  x1    5 và 2  y1    3 . u  3u2 k  2  u2 k 1 Từ hệ thức:  2 k 3 k  * , cho k   ta được hệ u2 k  4  5u2 k 3  u 2 k  2  1  yn  3  xn   . (1.4.3) x  3  1  n  yn  1   3    Cho n   trong (4.3) ta có hệ phương trình:  . Giải hệ kết hợp với   5  1     15  165    6 điều kiện của  ,  ta suy ra:  .   15  165   10 u2 n 2 15  165 u 15  165 Do đó ta có lim  và lim 2 n1  . n u 6 n  u 10 2 n 1 2n
16  Nhận xét 1.4. Việc khảo sát tính đơn điệu của hai dãy số ( xn ) và ( yn ) ngoài cách khai thác các tính chất dựa vào hệ thức của dãy (un ) như ở lời giải còn có thể thực hiện bằng cách khảo sát sự biến thiên của hàm số.  1 u1  2  Bài toán 1.5 Cho dãy số  u n  xác định bởi:  . un un1  2 n   *   n u n  un  1 2 Tìm lim n3un  ? n un Lời giải. Từ giả thiết un1  n  * ta có n un  u n  1 2 2 un 1 un1   2 n  * . n 2 un n n Với mỗi n   , đặt vn   uk ; suy ra dãy số  v n  là dãy số tăng. Mặt khác, do * k 1 n n n n 1 1 vn   uk  u1   uk  1   1   3 n  * k  2 ( k  1) k 2 (k  2)(k  1) 2 k 1 k 2 nên dãy số  v n  bị chặn trên, suy ra  v n  có giới hạn hữu hạn, giả sử c  lim vn . n  un Cũng từ giả thiết un1  n  * ta có n un  u n  1 2 2 1 1 1 1  n 2  un  n  *    n 2  un n  * . un1 un un1 un 1 1 1 1 Do đó   12  u1 ;… ;   (n  1)2  un1 . Cộng theo vế các đẳng u2 u1 un un1 thức với nhau ta được : 1 1 (n  1)n(2n  1) n 1     uk n  * . un u1 6 k 1 1 ( n  1) n(2n  1) vn1  2  3  3  3 n  * . (1.5.1) n un 6n n
17 2  vn Do lim vn  c nên lim  0 . Trong đẳng thức (1.5.1) cho n   ta n  n  n3 1 (n  1) n(2n  1) 1 được lim  lim  hay lim n3un  3 . n n3u n 6n 3 3 n n  Bài tập 1.1. Cho a là số thực lớn hơn hoặc bằng 1 và dãy số (un ) xác định bởi: u1  a  un2  2un  . ( trong đó  x  , x lần 2  un 1  n  * un  2  lượt là kí hiệu phần nguyên, phần thập phân của x ). Chứng minh rằng (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. (T7/285 THTT) Bài tập 1.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u0  1   1 . un 1   n    3  un Chứng minh rằng (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. (T10/308 THTT) Bài tập 1.3. Cho số thực   0 và dãy số (un ) xác định bởi: u0     1 u .  un1  un  n n    2 2 Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán biện luận sự tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số có phụ thuộc tham số Trong mục này, chúng tôi tiến hành rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc định hướng tìm lời giải cho bài toán biện luận sự tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số có phụ thuộc tham số. Chúng ta bắt đầu bằng ví dụ cơ bản sau: