Một vài biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi qua dạy học Hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Một vài biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi qua dạy học Hình học" được biên soạn nhằm giúp quý thầy cô giáo tham khảo các phương pháp nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi qua dạy học Hình học nhằm phát triển được tính nhuần nhuyễn, mềm dẻo của tư duy sáng tạo trong việc học hình học. Mời thầy cô cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một vài biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi qua dạy học Hình học

MỘT VÀI BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC. 1. Sơ lược về tư duy sáng tạo: 1.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo Tư duy sáng tạo có thể hiểu là sự kết hợp ở ñỉnh cao, hoàn thiện nhất của tư duy tích cực và tư duy ñộc lập, tạo ra những cái mới có tính giải quyết vấn ñề một cách hiệu quả và chất lượng. Tư duy sáng tạo là tư duy ñộc lập vì nó không bị gò bó, phụ thuộc vào cái ñã có. Tính ñộc lập của nó ñược bộc lộ vừa trong việc ñạt ñược mục ñích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo ñiều mang ñậm dấu ấn của mỗi cá nhân tạo ra nó. Ý tưởng mới ở ñây thể hiện ở chỗ phát hiện vấn ñề mới, tìm ra hướng ñi mới, tạo ra kết quả mới. Việc phát hiện vấn ñề mới nhiều khi còn quan trọng hơn việc giải quyết vấn ñề ñó. 1.2. Các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tư duy sáng tạo, ta có thể thấy nổi lên 5 tính chất (thành phần) cơ bản sau: 1.2.1. Tính mềm dẻo: khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt ñộng trí tuệ này sang hoạt ñộng trí tuệ khác. ðó là năng lực thay ñổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc ñộ quan niệm này sang góc ñộ quan niệm khác, ñịnh nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mối quan hệ mới hoặc chuyển ñổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và ñiều phán ñoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay ñổi dễ dàng các thái ñộ ñã cố hữu trong hoạt ñộng trí tuệ của con người. Tính mềm dẻo của tư duy còn có các ñặc trưng: - Dễ dàng chuyển từ hoạt ñộng trí tuệ này sang hoạt ñộng trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt ñộng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, cụ thể hoá các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn, tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, ñiều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại. - Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng ñã có vào hoàn cảnh mới, ñiều kiện mới trong 1
ñó có những yếu tố ñã thay ñổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ ñã có từ trước. - Nhận ra vấn ñề mới trong ñiều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của ñối tượng quen biết... 1.2.2. Tính nhuần nhuyễn: Khả năng tìm ñược nhiều giải pháp trên nhiều góc ñộ và tình huống khác nhau. ðó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, ñưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Tính nhuần nhuyễn ñược ñặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất ñịnh các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng ñộc ñáo. Trong trường hợp này, có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng. Các ñặc trưng của tính nhuần nhuyễn là: - Tính ña dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm ñược nhiều giải pháp trên nhiều góc ñộ và tình huống khác nhau. ðứng trước một vấn ñề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và ñề xuất ñược nhiều phương án khác nhau và từ ñó có thể tìm ñược phương án tối ưu. - Khả năng xem xét ñối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau; có một cái nhìn sinh ñộng từ nhiều phía ñối với các sự vật và hiện tượng chứ không phải có cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. 1.2.3. Tính ñộc ñáo: Là khả năng tìm kiếm và giải quyết vấn ñề một cách mới lạ hoặc duy nhất. Các ñặc trưng của tính ñộc ñáo là: - Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới - Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau. - Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy ñã biết các giải pháp khác. 1.2.4. Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành ñộng, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng. 1.2.5. Tính nhạy cảm vấn ñề: Là khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn ñề, mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic, chưa tối ưu,… do ñó nảy sinh ý muốn cấu trúc hợp lí, hài hòa, tạo ra cái mới. Các tính chất cơ bản của tư duy sáng tạo không tách rời nhau mà trái lại chúng còn có mối quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt ñộng trí tuệ này sang hoạt ñộng trí tuệ khác (tính 2
mềm dẻo) tạo ñiều kiện cho việc tìm ñược nhiều giải pháp trên nhiều góc ñộ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ ñề xuất ñược nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm ñược phương án lạ, ñặc sắc (tính ñộc ñáo). Các tính chất này lại quan hệ khăng khít với các tính chất khác như tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn ñề. Tất cả các tính chất ñặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, ñỉnh cao nhất trong các hoạt ñộng trí tuệ của con người. Tuy nhiên có thể thấy rằng ba tính chất ñầu tiên (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính ñộc ñáo) là ba yếu tố cơ bản, cốt lõi của sự sáng tạo với tư cách là thành phần quan trọng bậc nhất của cấu trúc năng khiếu, tài năng. 1.3. Những biểu hiện ñặc trưng của tư duy sáng tạo ðặc trưng 1: Thực hiện ñộc lập việc di chuyển những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo sang tình huống mới hoặc gần, hoặc xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiến thức. ðặc trưng 2: Nhìn thấy những nội dung mới trong tình huống bình thường. ðặc trưng 3: Nhìn thấy chức năng mới của ñối tượng quen biết. ðặc trưng 4: ðộc lập kết hợp các phương thức hoạt ñộng ñã biết ñể tạo thành cái mới. ðặc trưng 5: Nhìn thấy cấu trúc của ñối tượng ñang nghiên cứu. ðặc trưng 6: Nhìn thấy các cách giải quyết có thể, tiến trình giải theo từng cách và lựa chọn cách giải tối ưu. ðặc trưng 7: Xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc, khác với các nguyên tắc quen thuộc ñã 2. Một số tiềm năng của Hình học trong việc phát triển TDST cho HS Hình học THCS nói chung và hình học lớp 9 nói riêng ñược xây dựng trên tinh thần của phương pháp tiên ñề, các phép chứng minh ñòi hỏi tính chặt chẽ, logic. ðây là ñiều kiện rất tốt ñể rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy. Bên cạnh ñó, hình học phẳng còn tương ñối trực quan, các kết quả của hình học phần lớn ñược thấy rõ trên hình vẽ do ñó có thể lợi dụng ñiều này ñể phát triển khả năng mò mẫm, dự ñoán, thử sai cho học sinh. 3
Khác với ñại số, hình học hầu như không có thuật giải, các bài toán hình học rất ña dạng, không thể áp dụng một thuật giải cụ thể cho một dạng bài tập hình học nào ñiều này là cơ sở ñể phát triển tính ñộc ñáo của tư duy sáng tạo. ðể giải một bài toán hình học ñòi hỏi người học phải kết hợp nhiều kiến thức ñã học, phải có sự liên hệ giữa các kiến thức ñã biết với yêu cầu của bài toán. Một trong các yêu cầu của học hình học là việc vẽ thêm yếu tố phụ, như kéo dài ñường, xác ñịnh thêm giao ñiểm, kẻ thêm ñường ñiều này giúp phát triển ñược trí tưởng tượng, khả năng dự ñoán của người học. Một vấn ñề của hình học thường ñược diễn ñạt theo nhiều cách khác nhau, ñể chứng minh một tính chất hình học thường có nhiều hướng tiếp cận khác nhau, do ñó phát triển ñược tính nhuần nhuyễn, mềm dẻo của tư duy sáng tạo trong việc học hình học. 3. Một số Biện pháp rèn luyện TDST cho HS THCS trong DH Toán 3.1. Chú trọng rèn luyện các thao tác tư duy cho HS trong quá trình DH 3.1.1. Mục ñích: Ta ñã biết, với bất cứ loại hình tư duy nào dù là tư duy lô gic, tư duy sáng tạo, hay tư duy phê phán... thì việc thể hiện chúng cũng phải thông qua các thao tác tư duy. Vì vậy muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì việc không thể thiếu là phải rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản. Ở ñây việc rèn luyện các thao tác tư duy ñược xem là nhằm tạo ra sự phát triển về “lượng” khi muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 3.1.2. Cách thức thực hiện a) Rèn luyện thao tác phân tích - tổng hợp: Phân tích tổng hợp là thao tác tư duy quan trọng của quá trình tư duy, nó ñược thực hiện trong hầu hết trong các quá trình tư duy. Trong quá trình dạy học, ñể rèn luyện ñược các thao tác phân tích, tổng hợp, giáo viên cần: - Thường xuyên tập luyện cho học sinh việc phân tích ñể tìm hiểu ñề bài, nhận dạng bài toán: Với ñặc trưng là phân chia ñối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần sau ñó hợp nhất các thành phần ñã ñược tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể do ñó cặp thao tác tư duy phân tích - tổng hợp 4
thường ñược dùng ñể tìm hiểu ñề bài, nhận diện dạng bài, phân tích các mối quan hệ của các ñối tượng, tổng hợp các yếu tố, ñiều kiện vừa phân tích của ñối tượng ñể ñưa ra ñiều kiện mới, kết luận mới, tổng hợp các bước giải bộ phận ñể liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện, tổng hợp các cách giải, cách làm tạo thành phương pháp chung. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường A tròn (O), ñường cao AH. Gọi E là hình chiếu vuông góc của B trên ñường kínhAA’ của (O). E Chứng minh HE vuông góc với AC. O Từ giả thiết, ta sử dụng hai dữ kiện: AA’ là B C H ñường kính của (O), C ∈ ( O ) tổng hợp lại ñược A 'C ⊥ AC . Ta ñề xuất phương án. A' HE ⊥ AC là tổng hợp của hai ñiều kiện A 'C ⊥ AC và HE A 'C . Bài toán trở thành chứng minh HE A 'C hay phải chứng minh CA ' . Sử dụng 'A = HEA và AA thao tác phân tích, ta có ABC 'C là hai góc nội tiếp ñường tròn (O) cùng do ñó ABC chắn AC = AA = AA 'C . Vậy ta phải chứng minh ABC 'C . Lại có AH ⊥ BC; BE ⊥ AA' nên tứ giác ABHE nội tiếp do ñó ABC = AA 'C . = AEB +) Từ AHB = 90 o ⇒ Tứ giác ABHE nội tiếp (tổng hợp) ' = ABH +) Từ tứ giác ABHE nội tiếp ⇒ HEA (1) (phân tích) nội tiếp ñường tròn (O) chắn AC +) Từ ABC , AA 'C nội tiếp ñường tròn ⇒ ABC (O) chắn AC = AA 'C (2) (tổng hợp) +) Từ (1) và (2) ⇒ HE A 'C (*) (tổng hợp) +) Từ C ∈ ( O ) , AA ' là ñường kính của (O) ⇒ A'C ⊥ AC (**) (tổng hợp) +) Từ (*) và (**) ⇒ HE ⊥ AC (ñiều phải chứng minh) (tổng hợp) 5
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội A tiếp ñường tròn (O). Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác, ñường thẳng AI cắt ñường tròn (O) tại D. Chứng minh I rằng DI = DB = DC . O Từ dữ kiện I là tâm ñường tròn nội B C tiếp tam giác ABC, phân tích ñể thấy I là giao ba ñường phân giác trong tam giác , từ hai dữ hay AI là phân giác của BAC = CAD kiện BAD và chúng là hai góc D ta tổng hợp ñược BD nội tiếp (O) lần lượt chắn hai cung BD,DC = DC . = DC DB = CD là tổng hợp của hai ñiều kiện BD, CD là hai dây của (O) và BD . Vậy qua hai thao tác phân tích, tổng hợp học sinh chứng minh ñược DB = DC . ðể chứng minh DB = DI ta ñi chứng minh tam giác DBI cân bằng cách chỉ = DIB ra DBI . Ta tìm mối liên hệ giữa các góc ñó với các dữ kiện của bài toán, với các góc của tam giác ABC. Ta cụ thể là mối liên hệ giữa các góc DBI,DIB = DBI có DBI + CBI và BID = IBA + IAC ,tìm mối liên hệ giữa các góc IBC với ; CBD IBA ta tìm ñược cách giải bài toán. với BAI Giải: = CAD +) Vì I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC ⇒ BAD (phân tích) nội tiếp ( O ) chắn BD +) Ta có BAD nội tiếp ñường tròn ( O ) chắn , CAD và BAD DC = CAD ⇒ BD = DC (tổng hợp) = DC +) Từ BD ⇒ BD = CD (*) (phân tích) là góc ngoài của tam giác ABI ⇒ BID +) BID = IBA + IAB (1) (phân tích) = IBC +) Có IBD + CBD (2) = IBC +) Vì I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC ⇒ IBA (3) 6
nội tiếp ñường tròn ( O ) chắn BD +) Vì BAD , BDC nội tiếp ñường tròn ( O ) chắn CD = CD và BD ⇒ BAI = CBD (4) (tổng hợp) = DIB +) Từ (1); (2); (3); (4) ⇒ DBI (tổng hợp) = DIB +) Từ DBI ⇒ tam giác DBI cân ⇒ DB = DI (**) (phân tích) +) Từ (*) và (**) ta có DB = DI = DC (ñiều phải chứng minh) (tổng hợp) - Thường xuyên quan tâm ñến việc tổng hợp kiến thức, hệ thống hóa kiến thức: Chẳng hạn: Khi học về ñịnh nghĩa ñường tròn, giáo viên ñặt câu hỏi cho một ñiểm thuộc một ñường tròn, ta có thể khai thác ñược gì? Lúc này hình thành cho học sinh quan hệ một ñiểm thuộc ñường tròn thì có nghĩa là nó cách tâm một khoảng bằng bán kính và ngược lại. Nhưng khi học về ñường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, vẫn câu hỏi như trên, học sinh lại khai thác thêm ñược ñiểm ñó nhìn ñường kính dưới một góc vuông và ngược lại. Còn khi học về cung chứa góc, câu trả lời có thêm là ñiểm ñó nhìn một dây cố ñịnh dưới một góc không ñổi và ngược lại …v.v. Như vậy, qua quá trình dạy học, hình thành cho học sinh một hệ thống phương pháp phân tích. ðó là khi cho một ñiểm nằm trên một ñường tròn, ta có thể phân tích ñược ñiểm ñó cách tâm một khoảng bằng bán kính; ñiểm ñó nhìn một ñường kính bất kì dưới góc vuông; ñiểm ñó nhìn một dây dưới một góc không ñổi còn khi muốn chứng minh một ñiểm thuộc một ñường tròn, ta có thể chứng minh ñiểm ñó cách tâm một khoảng bằng bán kính; ñiểm ñó nhìn ñường kính dưới góc vuông hoặc ñiểm ñó nhìn một dây dưới một góc cụ thể. ðó là nguyên liệu, là vốn kinh nghiệm ñể học sinh sử dụng trong quá trình phân tích, tổng hợp. Do ñó, mỗi khi học xong một khái niệm, một ñịnh lí, một tính chất, một bài toán, giáo viên cần tạo cho học sinh một thói quen tổng hợp bằng cách tự ñặt ra câu hỏi. “ ðối tượng ñó dùng ñể làm gì? ñối tượng ñó có tính chất gì? làm thế nào ñể chứng minh ñược ñối tượng ñó có tính chất này? dấu hiệu ñể nhận biết ñối tượng ñó là gì?...” b) Rèn luyện thao tác so sánh – tương tự: 7
Thao tác so sánh – tương tự là nhân tố tích cực thức ñẩy quá trình nhận thức, nó ñược thực hiện trong các khâu của quá trình dạy học. Trong dạy học, so sánh – tương tự ñược vận dụng trong tìm sự giống và khác nhau trong phương pháp giải, so sánh các yếu tố cho trong bài toán, tìm sự giống và khác nhau giữa các sự vật hiện tượng. Việc sử dụng các thao tác so sánh – tương tự có thể giúp học sinh tìm ñược lời giải bài toán mới thông qua các phương pháp cũ, sử dụng các dữ kiện ñã cho theo hướng mới, kết hợp các phương pháp cũ ñể tìm lời giải. Thao tác so sánh – tương tự cũng có thể ñược sử dụng ñể khai thác, mở rộng, tìm tòi một bài toán ñã cho, thúc ñẩy quá trình sáng tạo. - ðể rèn luyện thao tác tư duy so sánh, tương tự cho học sinh, người giáo viên cần chú trọng việc xây dựng hệ thống bài tập phù hợp, có tính kế thừa. Việc mấu chốt là tìm ra ñược hệ thống bài tập trong ñó có một bài toán gốc và tìm cách ñưa bài toán gốc ñó vào những tình huống từ gần ñến xa, là cơ sở ñể xây dựng hệ thống bài tập có nội dung, hình thức, phương pháp giải có tính kế thừa, sử dụng những phương pháp cũ trong các tình huống mới ñể giải toán, nhằm củng cố, phát huy và làm phong phú thêm hệ thống phương pháp giải toán cho học sinh. Ví dụ 3: Cho ñường tròn (O) và ñiểm M ∉ ( O ) , qua M kẻ hai cát B tuyến MAB và MCD với (O). Chứng minh MA.MB = MC.MD . A O Giải: Xét hai tam giác MBC và MDA có: M = MDA C D Góc M chung, MBC (hai góc nội tiếp ñường tròn (O) ). Vậy MA = MC ⇒ MA.MB = MC.MD . cùng chắn AC MD MB ðây là bài toán ñơn giản, học sinh chỉ cần dùng phép phân tích là có thể tìm ra hướng giải. Tuy nhiên, giáo viên cần chú ý cho học sinh tình huống tương tự 8
của bài toán, ñó là tứ giác ABDC nội tiếp, hai cạnh ñối AB và CD cắt nhau tại M, khi ñó MA.MB = MC.MD Với chú ý này, khi gặp tích hai ñoạn thẳng chung một mút, cùng thuộc một ñường thẳng thì cố gắng áp dụng vào tình huống này, có nghĩa là tạo ra tứ giác nội tiếp và giao của hai cạnh ñối. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, hai ñường cao BD, CE cắt nhau tại H. Chứng minh BH.BD + CH.CE = BC2 . ðây là bài toán chứng minh tổng A hai tích ñoạn thẳng bằng một tích. về mặt phương hướng, ta hướng dẫn học D E sinh tìm cách tách BC2 thành tổng hai H tích rồi lần lượt so sánh BH.BD và CH.CE với hai tích ñó. Do ñó giáo viên tổ chức cho học sinh phân tích, B C F tìm cách biến ñổi tích BH.BD thành tích mới liên quan ñến BC, và xuất hiện tình huống tương tự như chú ý trên, do ñó có ý tưởng tạo ra tứ giác nội tiếp có hai ñỉnh là H, D và hai ñỉnh còn lại liên quan ñến BC từ ñó có nhu cầu kẻ ñường cao AF ñể làm xuất hiện tứ giác nội tiếp HDCF và tứ giác nội tiếp HEBF. Giải: Vẽ ñường cao AF. Dễ thấy hai tam giác BHF và BCD ñồng dạng, do BH BC ñó = ⇒ BH.BD = BF.BC . Tương tự ta có CH.CE = CF.CB . BF BD Vậy BH.BD + CH.CE = BF.BC + CF.CB = BC2 Với phương pháp giải bài toán trên, giáo viên có thể ra hàng loạt các bài toán có nội dung, hình thức và phương pháp giải tương tự ñể rèn luyện thao tác tư duy so sánh, tương tự cho học sinh. Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. I là ñiểm nằm trong tam giác, BI cắt AC tại D, CI cắt AB tại E sao cho tứ giác AEID nội tiếp. Chứng minh rằng BE.BA + CD.CA không phụ thuộc vào vị trí của I. 9
Ở ñây, học sinh dễ dàng nhận thấy sự xuất hiện tình huống ở ví dụ 6. Do ñó có thể nhận thấy: BE.BA + CD.CA = BI.BD + CI.CE . Bằng thao tác ñặc biệt hóa bài toán ñể dự ñoán giá trị không ñổi của biểu thức, ta chọn vị trí của I là trực tâm của tam giác ABC, bài toán trở thành ví dụ 7, do ñó học sinh dự ñoán ñược BI.BD + CI.CE = BC2 , với phép tương tự, giáo viên gợi cho học sinh vẽ ñường tròn ngoại tiếp tam giác IDC ñể tạo ra tứ giác nội tiếp có hai cạnh ñối cắt nhau. Vẽ ñường tròn nội tiếp tam giác IDC, nó cắt BC tại F, dễ thấy BI.BD = BF.BC . Vấn ñề còn lại là phải chứng minh CI.CE = CF.CB . Với thao tác tương tự học sinh nhận thấy cần phải chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp. Giải: A Vì tứ giác AEID nội tiếp = ADI ⇒ BEI (1) nên hai tam giác BEI và BDA ñồng dạng BE BD E ⇒ = ⇒ BE.BA = BI.BD . D BI BA I Tương tự ta chứng minh ñược CD.CA = CI.CE . Vậy BE.BA + CD.CA = BI.BD + CI.CE . B F C Vẽ ñường tròn ngoại tiếp tam giác IDC, nó cắt BC tại F. Vì tứ giác IDCF nội tiếp, tương tự cách chứng minh trên ta có BI.BD = BF.BC (*) = IDA Vì tứ giác IDCF nội tiếp nên IFC , kết hợp với (1) ta ñược BEI = IFC dẫn ñến hai tam giác CIF và CBE ñồng dạng ⇒ CI.CE = CF.CB (**). Từ (*) và (**) ta có BI.BD + CI.CE = BF.BC + CF.CB = BC2 . Vậy BE.BA + CD.CA = BC2 Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC = AC.BD (ðịnh lí Prôtêmê). Với những kinh nghiệm ñã có ñược qua việc giải những ví dụ trên, giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích nội dung bài toán ñi ñến việc phải chứng 10
AB ? minh: AB.CD = BD.? ⇔ = dẫn ñến việc dự ñoán tam giác ABD ñồng BD CD dạng với một tam giác nào ñó chứa cạnh CD, kết hợp với tứ giác ABCD nội = ACD tiếp ⇒ ABD làm xuất hiện nhu cầu tạo ra tam giác chứa cạnh CD và ñỉnh còn lại nằm trên AC ñể từ ñó nghĩ ñến tạo ñiểm E trên AC sao cho = EDC ADB . Vấn ñề còn lại, với thao tác phân tích, tổng hợp học sinh dễ dàng thấy phải chứng minh hai tam giác BCD và AED ñồng dạng. Giải: B A = BDA Trên AC lấy E sao cho CDE . lại có = ECD ABD do cùng là góc nội tiếp ñường tròn E . Vậy hai tam giác ABD và (O) cùng chắn AD ECD ñồng dạng C D AB CE ⇒ = ⇒ AB.CD = BD.CE (1). BD CD = BDA Vì CDE ⇒ CDB = EDA , kết hợp với = EAD CBD do là góc nội tiếp (O) cùng chắn CD nên hai tam giác BCD và CB EA AED ñồng dạng ⇒ = ⇒ AD.CB = DB.EA (2). Từ (1) và (2) ta có ñiều DB AD phải chứng minh. Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD, một ñường tròn tùy ý ñi qua A cắt AB, AD, AC lần lượt tại M, N, E. Chứng minh AM.AB + AN.AD = AE.AC . ðể rèn luyện thao tác tư duy so sánh, tương tự cho học sinh, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chú trọng ñến việc hướng dẫn học sinh có thói quen tổng hợp những bài toán có nội dung, hình thức và phương pháp giải tương tự thành những chuyên ñề, chủ ñiểm phù hợp, Ở những chuyên ñề này cần ghi nhớ những ñặc ñiểm chung của các bài tập, chẳng hạn: Các bài toán có hai ñường tròn cắt nhau cần lưu ý ñến ñường nối tâm (các tính chất của ñường nối tâm) ñến dây chung, ñặc biệt lưu ý ñến việc chuyển ñổi số ño cung của ñường tròn này thành số ño của ñường tròn kia bằng cách lưu ý ñến những góc ñóng hai vai trò trong hai ñường tròn. Các bài toán chứa hai ñường tròn tiếp xúc thì lưu ý ñến 11
tiếp ñiểm, ñến tiếp tuyến chung, ñến tâm ñồng dạng…. Muốn làm ñược ñiều này, sau mỗi nội dung giảng dạy, giáo viên cần chỉ rõ vị trí, vai trò của kiến thức ñó trong chuỗi kiến thức ñã học, mối quan hệ của kiến thức vừa học với các kiến thức ñã biết, khả năng phát triển của kiến thức vừa học trong tương lai. c) Rèn luyện thao tác khái quát hóa - trừu tượng hóa - ñặc biệt hóa: Ta ñã biết, mặc dù chỉ mang chức năng dự ñoán nhưng khái quát hóa là một trong các con ñường quan trọng của sáng tạo toán học. Do vậy, trong quá trình dạy học Toán, giáo viên cần thường xuyên tập luyện cho học sinh thói quen dự ñoán thông qua khái quát hóa. Ví dụ 8: Trong tam giác ñều, tâm ñường tròn ngoại tiếp, trực tâm và trọng tâm trùng nhau. Trong trường hợp tam giác cân, ta ñược ba ñiểm ñó thẳng hàng. Vậy với tam giác bất kì, tâm ñường tròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm có quan hệ gì? Từ ñó giúp học sinh dự ñoán ñể phát hiện và chứng minh ñược ba ñiểm ñó thẳng hàng và ñường thẳng ñi qua ba ñiểm ñó là ñường thẳng Ơ-le. Vậy qua quá trình khái quát hóa, từ việc nghiên cứu tam giác ñều, chuyển qua nghiên cứu tam giác cân rồi tam giác bất kì, tập ñối tượng nghiên cứu ñược mở rộng, nhưng tính chất không thay ñổi. Ví dụ 9: Từ bài toán: “ Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chứng minh: AB.CD + AD.BC = AC.BD . B Vậy khi tứ giác ABCD bất kì thì ñẳng thức trên còn ñúng hay không? A Với thao tác tường tự bài toán ban ñầu, giáo viên hướng E dẫn học sinh phân tích ñể tạo ra ñiểm E sao cho hai tam giác ABD C D và ECD ñồng dạng và vấn ñề còn lại là chứng minh hai tam giác BCD và AED ñồng dạng. Giải: 12
= ABD Tại miền trong của tứ giác lấy E sao cho ECD và EDC = ADB . Từ ñó suy ra hai tam giác ABD và ECD ñồng dạng vậy: AB EC = ⇒ AB.CD = BD.CE . BD CD DA DE Từ hai tam giác ABD và ECD ñồng dạng ⇒ = , lại có DB DC = ADB EDC ⇒ BDC = ADE suy ra hai tam giác BCD và AED ñồng dạng BC AE ⇒ = ⇒ BC.AD = BD.AE . BD AD ⇒ AB.CD + BC.AD = BD.CE + BD.AE = BD.( CE + AE ) ≥ BD.CA . Dấu ñẳng thức xẩy ra khi E nằm trên AC, khi ñó = ACD ECD hay = ACD ABD ⇔ tứ giác ABCD nội tiếp. Vậy bằng quá trình khái quát hóa, mở rộng tập nghiên cứu từ tứ giác nội tiếp sang tứ giác bất kì, kết luận của bài toán ñược tổng quát hơn, do ñó bài toán ban ñầu chỉ là trường hợp riêng của bài toán mở rộng. Ví dụ 10: Từ bài toán: “ Cho tam A giác ñều ABC nội tiếp ñường tròn (O), M là ñiểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Chứng minh MA = MB + MC.” Từ yêu cầu của bài toán, gợi mở cho O E học sinh ñặt ñoạn MC trên MA bằng cách C B lấy E trên MA sao cho ME = MC. Khi ñó bài toán chỉ còn là chứng minh MB = AE. M Giải: Trên MA lấy E sao cho ME = MC. Xét tam giác MCE có = CBA CMA = 60 0 ( hai góc nội tiếp (O) cùng chắn CA ) và MC = ME. Vậy = CAB tam giác MCE ñều ⇒ CE = CM , CEM = 60 0 ⇒ ACE = BCM . Xét tam 13
giác ACE và tam giác BCM có CA = CB , CE = CM , = BCM ACE ⇒ ∆ACE = ∆BCM ⇒ AE = BM . Vậy MC + MB = ME + EA = MA . Khi M trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC. Kết quả bài toán sẽ thay ñổi thế nào khi M là ñiểm bất kì trên mặt phẳng. Với việc khái quát hóa bài toán theo hướng mở rộng tập ñối tượng, ta có bài toán: “Cho tam giác ñều ABC và một ñiểm M bất kì, chứng minh rằng MA ≤ MB + MC ”. Trên cơ sở bài toán ban ñầu, với thao tác so sánh, tương tự giáo viên gợi ý học sinh cũng tìm cách ñặt các ñoạn MA, MB, MC thành ba cạnh của tam giác ñể sử dụng bất ñẳng thức tam giác. Giải: A Lấy ñiểm E sao cho tam giác MCE ñều (hình vẽ), dễ thấy ∆ACE = ∆BCM ⇒ AE = MB . Khi ñó MC + MB = ME + EA ≥ AM . Từ hai bài toán trên, bằng thao tác trừu tượng hóa, lật ngược vấn ñề, ta có thể ra ñược E một bài toán mới là: “ Cho tam giác ñều ABC, C B tìm vị trí của ñiểm M trên mặt phẳng sao cho MA = MB + MC”. ðể rèn luyện thao tác tư duy khái quát hóa, M trừu tượng hóa, ñặc biệt hóa trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần thường xuyên tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán theo tất cả các trường hợp, phân chia trường hợp, vẽ hình ở các góc ñộ khác nhau, nhìn nhận bài toán theo quan ñiểm mềm dẻo, tìm cách thay ñổi bài toán theo hai hướng làm lỏng hoặc chặt giả thiết ñể xem xét bài toán. 3.2. Tập luyện cho học sinh cách nhìn một bài toán dưới nhiều góc ñộ khác nhau 3.2.1. Mục ñích: Tính mềm dẻo và tính ñộc ñáo là một trong các ñặc trưng quan trọng của tư duy sáng tạo. Một trong những biểu hiện của tính mềm dẻo trong tư duy là khả năng nhìn nhận vấn ñề theo nhiều cách khác nhau. Do vậy, 14
trong quá trình dạy học toán, việc giáo viên giúp học sinh nhận thức ñược rằng cùng một nội dung có thể diễn ñạt dưới nhiều hình thức khác nhau và tập luyện cho họ cách nhìn nhận một bài toán dưới nhiều góc ñộ khác nhau sẽ giúp cho người học có ñược sự mềm dẻo trong tư duy và trong quá trình ñó người học có thể tìm ra sự ñộc ñáo trong việc giải quyết bài toán. 3.2.2. Cách thực hiện Tư duy sáng tạo là sự phát sinh những ý tưởng mới và tăng bề dày nhận thức, khi gặp một bài toán, thay vì chỉ tập trung hẹp, quan tâm ñến lời giải, kết quả của bài toán, chúng ta nên hướng học sinh ñến việc xem xét toàn diện, mọi mặt, mọi khía cạnh của bài toán, mở rộng tâm ñiểm chú ý, cố gắng xem xét bài toán theo nhiều quan ñiểm khác nhau. Ðiều này không chỉ giúp học sinh tìm ra lời giải, kết quả của bài toán mà còn làm cho học sinh có khả năng tiếp nhận nhiều thứ, những thứ trong phạm vi tình huống của bài toán với cả những kiến thức, kĩ năng ngoài phạm vi bài toán nhưng có liên quan ñến tình huống bài toán, những thứ hiện ñang phục vụ cho bài toán và cả những kiến thức, kĩ năng sẽ ñược áp dụng trong tương lai, trong các bài toán khác. Do ñó, việc tìm tòi lời giải của một bài toán theo nhiều hướng khác nhau, nhìn nhận bài toán theo nhiều quan ñiểm khác nhau nhiều khi cho ta nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán. Ở ñây giáo viên không nên áp ñặt cho học sinh một hướng cụ thể mà nên xuất phát từ chính nội dung bài toán, ñể học sinh phát huy khả năng sáng tạo của mình, tìm ra hướng ñi phù hợp. ðể phát triển ñược tính mềm dẻo của tư duy cho học sinh, người giáo viên cần tập cho học sinh thói quen nhìn nhận một vấn ñề dưới nhiều góc ñộ khác nhau, nhìn trong mối tương quan với các hiện tượng khác, cùng một nội dung có thể diễn tả dưới nhiều hình thức khác nhau, các cách tiếp cận vấn ñề khác nhau. Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, ñường A cao AH. Chứng minh AB.AC = AH.BC (ðính lí về mối liên hệ giữa cạnh và ñường cao trong tam giác). B H C Với suy nghĩ thông thường ở các chứng minh trước ñó, học sinh dễ dàng chuyển bài toán về chứng 15
AB AH minh = bằng cách chỉ ra hai tam giác ABC và HAC ñồng dạng. Nhưng BC AC ở ñây, giáo viên có thể gợi mở ñể học sinh nhận ra tích AB.AC và AH.BC ñều liên quan ñến diện tích tam giác ABC. Do ñó có thể chứng minh bài toán bằng cách so sánh hai vế của ñẳng thức cần chứng minh với diện tích tam giác ABC. Vậy có thể nhìn nhận ñẳng thức cần chứng minh dưới dạng hệ thức suy ra từ cặp tam giác ñồng dạng và cũng có thể thấy ñẳng thức ñó suy ra từ hệ thức về diện tích. Ví dụ 12: Hai tiếp tuyến tại A và B của ñường tròn (O1) cắt nhau tại C. Vẽ ñường tròn (O2) ñi qua C, tiếp xúc với ñường thẳng AB ở B và cắt ñường tròn (O1) ở M. Chứng minh rằng ñường thẳng AM chia ñoạn BC thành hai phần bằng nhau. *) Phân tích nội dung hình thức bài toán: Bài toán về ñường tròn, có tiếp tuyến, có cát tuyến, có hai ñường tròn cắt nhau. Chỉ ra ñược các chuyển ñổi số ño góc trong ñường tròn này sang ñường tròn kia. Ta ñược các góc bằng nhau, các ñoạn bằng nhau như hình vẽ. B O2 **) Xem xét tất cả các yếu tố ñể xây N dựng ý tưởng chứng P C I O1 minh N là trung ñiểm M của BC: Ý tưởng 1: Vì BC A là 1 dây của (O2) nên ñể N là trung ñiểm của BC ta chứng minh Ο 2 Ν ⊥ Β C . 16
Ý tưởng 2: Vì CI là một trung tuyến của ∆ABC , Muốn chứng minh N là trung ñiểm của BC ta chứng minh AN là trung tuyến của tam giác ABC bằng CP cách chỉ ra = 2. PI Ý tưởng 3: Vì I là trung ñiểm của BA, trong tam giác ABC, muốn N là trung ñiểm của BC ta chứng minh IN // CA. Ý tưởng 4: vì NB là tiếp tuyến, NMA là cát tuyến của (O1) ta có kết quả NB2 = NM.NA . ðể chứng minh NB = NC ta ñi chứng minh NC2 = NM.NA . Ý tưởng 5: Ta khai thác các yếu tố của ñường tròn (O2) ñể chỉ ra CB, AM là ñường chéo của một hình bình hành (tính ñộc ñáo). Ý tưởng 6: Phân tích ñược hai tam giác MCB và MBA ñồng dạng, dẫn ñến = AMB BMC suy ra MB là phân giác ngoài của tam giác MCN nên ta xây dựng BN MN ñược tỉ số = , do ñó ñể chứng minh NB = NC, ta chứng BC MC CN MN minh = . CB MC ***) Lựa chọn ý tưởng: ở ý tưởng 1, ý tưởng 3, Việc phân tích liên quan trực tiếp ñến ñiểm N mà chưa có liên hệ ñến nguyên nhân sinh ra ñiểm N, cụ thể ñể nghiên cứu ñược ñiểm N ta phải xuất phát từ việc N là giao của BC và AM. Cho nên ñây là hai ý tưởng không ñược ưu tiên hàng ñầu. Ở ý tưởng 2, phát sinh thêm ñiểm P và cũng ñi nghiên cứu trực tiếp ñiểm P, không có mối quan hệ biện chứng với nguyên nhân sinh ra P ñó là AM cắt CO1 ở P. Việc xây dựng ý tưởng giúp học sinh thoải mái lựa chọn phương án chứng minh, phát huy tối ña trí tưởng tượng phong phú, kinh nghiệm giải toán của mình ñể ñề xuất ý tưởng. Nhưng không phải phương án nào cũng khả thi, do ñó phải có sự phân tích, lựa chọn phương án tối ưu, muốn vậy phải tìm ra ñược những ưu tiên quan trọng hàng ñầu, lược bỏ những phương án ít khả thi. Các phương án khả thi là những ý tưởng có mối quan hệ biện chứng với các yếu tố khác của bài toán, mối quan hệ với giả thiết, với những ñiều ñã biết, quan tâm 17
ñến nguyên nhân, nguồn gốc của những yếu tố quan trọng. Như vậy, ta có các cánh giải cho bài toán trên như sau: Cách 1: chung, NBM Xét tam giác NMB và tam giác NBA có N = BAM ( góc nội ). Vậy tam tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung của (O1) cùng chắn BM NB NA giác NMB và tam giác NBA ñồng dạng. Vậy = ⇒ NB2 = NM.NA NM NB (1) = MBA Có MAC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và O2 B dây cung của (O1) cùng chắn ). Lại có MA = MCB MBA (góc nội N tiếp và góc tạo bởi tia C O1 M tiếp tuyến và dây cung của (O2) cùng chắn ). MB Vậy A = MCB MAC . chung, NCM Xét tam giác NCM và tam giác NAC có N = NAC ⇒ Tam giác NC NA NCM và tam giác NAC ñồng dạng. Vậy = ⇒ NC 2 = NM.NA (2). NM NC Từ (1) và (2) suy ra NB = NC (ðPCM). 18
Cách 2: Kéo dài AM cắt (O2) tại ñiểm thứ hai Q. Ta có Q = MBA BQM (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp O2 B tuyến và dây cung của (O2) ). cùng chắn BM N Lại có = MAC MBA C O1 M = MBA BQM (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp A tuyến và dây cung của (O1) ). Vậy BQA cùng chắn AM = CAQ ⇒ QB CA (1) = CBM Ta có QCM (hai góc nội tiếp (O2) cùng chắn C M ). Lại có = BAM CBM ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung của (O1) = QAB ). Vậy CQA ⇒ QC BA cùng chắn BM (2). Từ (1) và (2) suy ra QCAB là hình bình hành ⇒ hai ñường chéo cắt nhau tại trung ñiểm của mỗi ñường hay AM ñi qua trung ñiểm của CB. (ðPCM). Cách 3: = MBA Ta có: BCM = MAC , CBM = MAB (chứng minh như các cách 1, 2). CN MN Do ñó hai tam giác NCM, NAC ñồng dạng ⇒ = (1) CA MC Ngoài ra ta còn có hai tam giác MCB và MBA ñồng dạng ⇒ MB là phân giác ngoài của tam giác MCN ⇒ BN = MN (2). = BMA ⇒ BMC BC MC CN BN Từ (1) và (2) có = , mà CA = CB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) do CA BC ñó CN = BN (ðPCM). 19
Với các cách tiếp cận khác nhau ta có thể tìm ñược các lời giải khác nhau qua ñó giúp học sinh rèn luyện tư duy sáng tạo, ñiều này hết sức quan trọng trong việc dạy học môn toán. ðể có thể tìm ñược nhiều hướng ñi khác nhau cho một bài toán, trước hết giáo viên phải tạo ñiều kiện ñể học sinh nêu ñược các dữ kiện quan trọng của bài toán, các mối liên hệ giữa các dữ kiện ñó, tìm kiếm sự quen thuộc trong tư duy và thực tế, liên hệ với nội dung ñã học, ñã biết, phát huy trí tưởng tượng ñể tìm ra hướng ñi. Nhưng không phải ñề xuất nào cũng có ñường ñi ñến kết quả, do ñó phải sàng lọc các ý tưởng, lựa chọn những ñề xuất hợp lí, có khả năng tìm ñược ñến ñích. Nhưng kể cả những ñề xuất không hợp lí, không khả quan trong bài toán cụ thể cũng ñáng trân trọng, giáo viên cần phải phân tích kĩ, giúp học sinh nhận ra con ñường ñi của mình và khả năng ñến ñích, ñộng viên, khích lệ học sinh vì những ñế xuất ấy của học sinh rất có thể hữu ích trong các tình huống khác, trong các bài toán khác, ñiều ñó tạo nên kinh nghiệm giải toán cho học sinh. Ví dụ 13: Cho hình vuông ABCD cạnh a. ðiểm I di chuyển trên ñoạn CD, 1 1 tia BI cắt AD ở K. Chứng minh P = + không phụ thuộc vào vị trí của I BI BK2 2 trên CD. Sau khi dự ñoán ñược giá trị không ñổi của P. 1 1 1 Bài toán trở thành: Chứng minh P = 2 + 2 = 2. BI BK a Xây dựng phương án: Nếu nhìn nhận ñẳng thức cần chứng minh có dạng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta hướng học sinh ñến phương án chỉ ra a là ñường cao của một tam giác vuông có hai cạnh là BI và BK. Nhận thấy ñẳng thức cần chứng minh có dạng “bất thường”, giáo viên dẫn dắt học sinh ñưa biểu thức về dạng tỉ số của hai ñoạn thẳng: 2 2 1 1 1  a   a  + = ⇔   +  = 1 . ðến ñây có thể nhận thấy ñẳng thức BI 2 BK 2 a 2  BI   BK  này có dáng dấp của hằng ñẳng thức sin 2 α + cos2α = 1 , do ñó ta ñi tìm tỉ số lượng 20