zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nghiệm phân rã của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng trên tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiệm phân rã của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng trên tuyến tính trình bày việc xem xét nghiệm tích phân phân rã khi phần tăng trưởng trên tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm phân rã của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng trên tuyến tính

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIỆM PHÂN RÃ CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ CÓ TRỄ HỮU HẠN VỚI PHẦN TĂNG TRƯỞNG TRÊN TUYẾN TÍNH Vũ Nam Phong1, Trần Phương Liên1 1 Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG    1 (  I  A) 1   e  t S (t )dt , 0 Ta xét bài toán (*):   C D0 u (t )  Au (t )  F (t , ut ), t  0 (*1) S (t ) x    ( )W (t  ) xd , 0    u ( s )   ( s ), s  [ h,0] (*2) (  1I  A) 1   e  t t  1P (t ) dt , C  0 Trong đó: D0 - đạo hàm bậc phân số   theo nghĩa Caputo, 0    1 ; A - toán tử P (t ) x     ( )W (t  ) xd , x  X , 0 tuyến tính đóng trong không gian Banach X, 1( ) n1  sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh W () ; hàm  ( )    n1 (n  1)! (n )sin( n ) . đa trị F :[0, T ]  h  v( X ) ; ut - hàm trễ, Nếu W (t )  Me  t , ta có đánh giá: ([1]) ut ( s )  u (t  s ) , s  [ h,0] , hàm φ cho trước. S (t ) x  ME ,1 (  t  ) x , Bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ (*2) nhận được sự quan tâm trong những P (t ) x  ME , (  t  ) x , x  X ; với: năm gần đây vì một số vấn đề trong vật lí  zn không thể mô tả chính xác bằng bao hàm Ea ,b ( z )   , z  , a  0, b  0 . n  0  ( an  b) thức vi phân thường. Bài báo này sẽ xem xét nghiệm tích phân (Định nghĩa 1.1) phân rã Đặt: khi phần tăng trưởng trên tuyến tính. hT  C ([ h, T ]; X ), h  C ([ h,0]; X ), Định nghĩa 1.1. [4] Hàm u: [h, T] → X T  C ([0, T ]; X ) , h  C ([ h, ); X ); được gọi là nghiệm tích phân của (*) trên [h, cho trước   h , đặt T] khi và chỉ khi u (t )   (t ) t  [h,0] và t C  {u  T | u (0)   (0)} và ||  || là chuẩn u (t )  S (t ) (0)   (t  s ) 1P (t  s ) f ( s ) ds sup trong T , h , hT và h . 0 với mọi t  [0, T ] , f  Fp (u ) .  (t ), t  [ h,0] Với u  C , đặt u[ ](t )   ; 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU u (t ), t  (0, T ]  (t  s ), s  t  [ h,0] Định nghĩa 2.1. [4] Hàm u[ ]t ( s )   , Fp (u[ ]) u (t  s ), s  t  (0, T ] f  C ([0, T ]; X ) có đạo hàm bậc phân số 1   (0,1) theo nghĩa Caputo được xác định  { f  Lp (0, T ; X ) | f (t )  F (t , u[ ]t ) với hầu bởi công thức: hết t  [0, T ]} . 1 t X là không gian Banach, đặt  ( X )   (t  s )  u( s ) ds . C  D0 u (t )  (1   ) 0 { A  X : A  } , b ( X )  { A   ( X ) | A bị Cặp giải thức S , P được xác định bởi: chặn}, v( X )  { A   ( X ) | A lồi, compact}. 42
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 Ta xét toán tử nghiệm:  : T   (T ) : W (t ) x  Me  t x , t  0, x  X .  (u )(t )  S (t ) (0)  Q  Fp (u[ ])(t ) (F) 1, F :[0, T ]  h  v( X ) thỏa mãn: t F (, v) đo được mạnh với mỗi v  h , F (t , ) với Q ( f )(t )   (t  s ) 1P (t  s ) f ( s )ds . 0 nửa liên tục trên với mỗi t  [0, T ] . Do đó, u là điểm bất động của  khi và 2, F (t , v)  p (t )G ( v  ) t  [0, T ], v  h , chỉ khi u là nghiệm tích phân của (*). Bổ đề 2.1. [4] Đặt g1 (t )  E ,1 (  t  ) và 1 p  Lqloc (  ), q  ; G liên tục, không âm và  g 2 (t )  t  1E , (  t  ) , với mọi   0 ta có: G (r ) 1 t 1. g1 , g 2  L1loc (  ); g1 , g 2 là hàm không âm. lim sup . sup I (t )  , I (t )   g3 ( s )ds , r 0 r t[0,T ] M 0 2. g1 là hàm không tăng, g1 (t )  1, t  0 . g3 ( s )  g 2 (t  s ) p ( s ) . Có: BC0  {u  h : lim u (t )  0} với chuẩn 3, F (t , v)  p (t )G ( v  ) t  0, v  h ; G, t  u   sup u (t ) là không gian Banach. Cho p không âm; t  h p  Lqloc (  ), q  1 /  ; G  C (  ) , G không   h , BC0  {u  BC0 : u (0)   (0)} là G (r ) 1 không gian con đóng của BC0 với chuẩn sup. giảm, lim sup .sup I (t )  và r 0 r t 0 M Định nghĩa 2.2. [2] Hàm g : b ( E )    t /2 là độ đo không compact trên không gian lim sup J (t )  0 với J (t )   g3 ( s )ds . T  t T 0 Banach E nếu: g (co )  g ()   b ( E ) , 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU với co  là bao lồi đóng của Ω. ([2]) Ta sử dụng độ đo không compact Định lí 3.1. Các giả thiết (A), (F1-2) được Hausdorff  () được cho bởi công thức: thỏa mãn và      0 . Khi đó bài toán (*)  ()  inf{  0 |  có một ε - lưới hữu hạn}. có nghiệm tích phân trên [h, T].  T , T  0 là hàm cắt trên BC0,  T ( D) là Chứng minh: đặt   lim sup[G (r ) / r ] và r 0 hạn chế của D  BC0 trên đoạn [h, T]. Đặt m1  sup I (t ) . Từ (F2), ta có thể lấy   0 d (D)  limsupsup x(t) ,  (D)  sup T (T (D)) t[0,T ] T  t T xD T 0 thỏa mãn M (   ) m1  1 . Hơn nữa, tồn tại và  * ( D)   ( D)  d ( D) ,  * ( D)  0 thì D   0 thỏa mãn G (r ) / r     , r  (0, 2 ] . compact tương đối trong BC0.  1  M (   ) I (t ) Định nghĩa 2.3. [2] Cho F là ánh xạ đa trị, Đặt  0  inf , dễ thấy F : Z  E   ( E ) , F được gọi là χ - nén nếu M t [0,T ] g1 (t )  (   ) I (t ) với mọi tập bị chặn   Z , bất đẳng thức  0  0 . Đặt   min{ 0 ,} . Nếu   h thỏa  ()   ( F ()) suy ra tính compact tương mãn     thì u[ ]s ( )  u     đối của Ω.     ,   [ h,0] . Hình cầu đóng trong Bổ đề 2.2. [2] Cho M là tập đóng, lồi, bị C với tâm tại gốc, bán kính  là B . Xét chặn trong E và  : M  v( M ) đóng và χ- nén. Khi đó Fix  {x  M : x   ( x)}   .  : B   (C ) , với mỗi z (t )   (u )(t ) , lấy Với F (t , v)  sup   :   F (t , v) , để f  Fp (u ) mà z (t )  S (t ) (0)  Q( f )(t )  t chỉ ra sự tồn tại tập compact các nghiệm phân z (t )  Mg1 (t )  (0)  M  g 2 (t  s ) f ( s ) ds 0 rã của bài toán (*), ta cần các giả thiết: t (A) C0 - nửa nhóm {W (t )}t 0 được sinh bởi A  Mg1 (t )  M  g2 (t  s) F (s, us ) ds 0 là compact t  0 và bị chặn mũ, tức là t M  1,   0 thỏa mãn:  Mg1 (t )  M  g 2 (t  s ) p( s )G ( us  )ds 0 43
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 t  Mg1 (t )  M  g3 ( s )(   )(   ) ds u n  n ,  (u n )  n . Khi đó  (u n )(t )  0   t  Mg1 (t )  M (   )(   ) I (t )   (xem  0 )  Mg1 (t )  (0)  M  g3 ( s )G usn ds 0    (u )(t )   , t  [0, T ] và  (B )  B .  M (   )    n   g 3 ( s )ds t  Mg1 (t )    Do  compact, áp dụng định lí điểm bất 0 động thu được điều phải chứng minh. M    M (   )(    n)m . Ta suy ra Định lí 3.2. Các giả thiết (A), (F1-3) được 1 M 1  (u n )    [1  (   )m]  M (   )m. thỏa mãn và      0 . Khi đó bài toán (*) n n có tập compact các nghiệm phân rã. Lấy giới hạn khi n   , ta được mâu thuẫn. Chứng minh: đặt m  sup I (t ) , ta sẽ chỉ ra Xét  : B  B , ta chỉ ra  là  * - nén. t 0 Nếu D  B thì T ( D)  0    ( D )  0  d  (  ( D))  M (   )md  ( D ) với mọi tập bị  * ( (D))   ( ( D))  d ( ( D))  d ( (D)) chặn D  BC0 . Lấy v   ( D) và u  D mà  M (   )md ( D)  M (   )m * ( D)   * ( D). v   (u ) . Tương tự như định lí 3.1, ta có: t Do đó  là  * - nén và có điểm cố định. Gọi v(t )  Mg1 (t )  M (   ) g3 (s) sup u[]s ( ) ds 0 [ h,0]  là các tập các điểm cố định của  trong t/2 B , khi đó  đóng và    ( ) . Vì vậy,  Mg1 (t )  2 M (   )  g3 ( s )ds 0 * ()  * ( ())  M (   )m* ()  * ()  0  M (  )[sup sup u[ ]s ( ) ] g3 ( s )ds . t và  là tập compact. Kết thúc chứng minh. s  t / 2  [  h ,0] t/2 Ta chọn T1  2(T  h) , với t  T1 , thu được: 4. KẾT LUẬN v(t )  Mg1 (t )  2 M (   ) J (t ) Bài viết đưa ra một số giả thiết cụ thể để bài toán bao hàm thức vi phân bậc phân số có  M (   )[sup u[ ]( s ) ] g 3 ( s )ds t 0 trễ với phần tăng trưởng trên tuyến tính có s T nghiệm phân rã.  Mg1 (t )  2 M (  ) J (t )  M (   )[supsup u[ ]( s ) ]I (t ) 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO uD s T  sup v (t )  Mg1 (T1 )  2 M (   ) sup J (t ) [1] N.T. Anh, T.D. Ke. 2014. Decay integral t T1 t T1 solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays. Math. Methods  M (   )[supsup u[ ]( s ) ]sup I (t ) . Appl. Sci. 38 (2015), No. 8, 1601-1622. uD s T t T1 [2] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Do v   ( D) được lấy tùy ý nên ta được: 2001. Condensing multivalued Maps and sup sup v(t )  Mg1 (T1 )  2 M (  )sup J (t ) Semilinear Differential Inclusions in v ( D ) t T1 t T1 Banach Spaces. In: de Gruyter Series in  M (   )[supsup u[ ]( s ) ]sup I (t ) . Nonlinear Analysis and Applications, vol. uD s T t T1 7, Walter de Gruyter, Berlin. Cho T   thì T1   , khi đó ta nhận [3] T.D. Ke, D. Lan. 2014. Decay integral solutions for a class of impulsive fractional được: d  (  ( D))  M (   )md  ( D )  d  ( D) . differential equations in Banach spaces, Tiếp theo ta chứng minh tồn tại   0 thỏa Fract. Calc. Appl. Anal. 17:1, 96-121. mãn  (B )  B bằng phản chứng. Giả sử [4] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. 2006. Theory and Applications of Fractional với mỗi n   , tồn tại u n  BC0 thỏa mãn Differential Equations, Elsevier, Amsterdam. 44

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.