Ôn thi chuyên đề: Hàm số bậc 3

Chia sẻ: Ho Quan Bang Bang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

198
lượt xem 76
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khảo sát các hàm số thường gặp

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi chuyên đề: Hàm số bậc 3

OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3 (Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn) Giaû söû : y = ax3 + bx2 + cx + d vôùi a  0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b b 1) y” = 0  x = (a  0 ) 3a b x= laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. 3a 2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau : i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm  haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng) ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm  haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm) iii)a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2  haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2. Ngoaøi ra ta coøn coù : + x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. + haøm soá taêng treân (, x1) + haøm soá taêng treân (x2, +) + haøm soá giaûm treân (x1, x2) iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2  haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù : + haøm soá giaûm treân (, x1) + haøm soá giaûm treân (x2, +) + haøm soá taêng treân (x1, x2) 3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0; thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q 4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät y'  0 coù 2 nghieäm ph n bieät x1 , x 2  aâ   y(x1 ).y(x 2 )  0  5) Giaû söû a > 0 ta coù : i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät >  y'  0 coù 2 nghieäm ph n bieät thoûa   x1  x 2 aâ    y(  )  0  y(x1 ).y(x 2 )  0  ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät <  y'  0 coù 2 nghieäm ph n bieät thoûa x1  x 2   aâ    y(  )  0  y(x1 ).y(x 2 )  0  Töông töï khi a < 0 . 6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M  (C). Neáu M  I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn. 7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau  y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán) 8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a  0) khi x =  laø 1 nghieäm cuûa (1). Neáu x =  laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1) nghieäm cuûa (1) laø x =  vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau: i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x =  ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x =  thì (1) coù duy nhaát nghieäm x =  iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät   thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x =  vaø 1 nghieäm khaùc  thì (1) coù 2 nghieäm. v) neáu (2) coù nghieäm keùp   thì (1) coù 2 nghieäm BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3 Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø y = x3 + mx2  m vaø y = kx + k + 1. (I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C). 2) Goïi  laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E   vôùi (C). 3) Tìm E   ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau. 4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh. 5) Tìm M  (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C). (II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi. 6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau. 7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. 8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. 9) Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch bieán trong (0, +). 10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng. 11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau. 12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1). 13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. BAØI GIAÛI PHAÀN I : m = 3 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm) 1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x  heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n2 + 6n  (0, 3] (vì n  (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp 1 tuyeán taïi M coù heä soá goùc laø k2 =  (vôùi 0 < k1  3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp k1
1 tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x2 + 6x =  (= k2) k1 1  3x2 – 6x  = 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0,  k1  (0, 3] neân coù 2 k1 nghieäm phaân bieät,  k1  (0, 3]. Vaäy treân (C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M. 2) E (e, 1)  . Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) + 1 (D).   x3  3n 2  3  h(x  e)  1 (D) tieáp xuùc (C)  heä  2 coù nghieäm.   3x  6x  h  Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : – x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1) 3 2  – x + 3x – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)  (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)  x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex  x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2) 2 (2) coù  = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) coù nghieäm x = 2  8 – 2(3e – 1) + 2 = 0  e = 2 5 Ta coù  > 0  e < – 1 hay e > . 3 Bieän luaän : 5 i) Neáu e < – 1 hay < e < 2 hay e > 2 3  (1) coù 3 nghieäm phaân bieät  coù 3 tieáp tuyeán. 5 ii) Neáu e = – 1 hay e = hay e = 2 3  (1) coù 2 nghieäm  coù 2 tieáp tuyeán. 5 iii) Neáu – 1 < e <  (1) coù 1 nghieäm  coù 1 tieáp tuyeán. 3 Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2,  e. 3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1),  e vaø ñöôøng x =  khoâng laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.  (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1  5  e  1 e   3   x1 , x 2 laø nghieä m cuû a (2)  (3x 2  6x )(3x 2  6x )  1 1 1 2 2  
 5  e  1 hay e  3   3e  1   x1  x 2   2 x1.x 2  1    9 x1.x 2 (x1  2)(x 2  2)  1  5  e  1 hay e    3   9 [1  (3e  1)  4]  1 55  55   e= . Vaäy E  ,1 27  27  4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa : y' = p  3x2 – 6x + p = 0 (3) Ta coù ' = 9 – 3p > 0  p < 3 Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p. Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3). Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù : x3  x 4  b  1 2 2a y3  y 4  (x3  x3 )  3(x3  x 2 )  6 2  3 4 4  1 2 2 Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M 3M4. 5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a  0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng :  M  (C), ta coù : i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M. ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Caùch 2 : Goïi M(x0, y0)  (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng : y = k(x – x0)  x3  3x2  3 0 0 (D) Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :  x3  3x2  3  (3x2  6 x)( x  x0 )  x0  3x0  3 3 2 (5)  x3  x3  3(x2  x2 )  (x  x 0 )(3x2  6x)  0 0 0  x  x 0  0  x  xx 0  x2  3x  3x 0  3x2  6x  0 2 0  x  x 0 hay 2x  (3  x 0 )x  x2  3x 0  0 2 0  x  x 0 hay (x  x 0 )(2x  x 0  3)  0 3  x0  x  x 0 hay x  2 Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0)  (C) 3  x0  x0   x0  1 2
Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán). Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0 Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), m  y + x3 = m (x2 – 1) , m x 2  1  0 x  1 x  1    hay  y  1 y  1 3 y  x  0 Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1). Vì y' = – 3x2 + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø : a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.  10  a1.a2 = – 1  9 – 4m2 = – 1  m = . 2 7) Haøm coù cöïc trò  y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät.  3x2 = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät. 2m  x = 0 vaø x = laø 2 nghieäm phaân bieät. 3  m  0. Khi ñoù, ta coù : 2  1 1  y   m 2 x  m    x  m y' 9  3 9  vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø : 2 y  m 2 x  m (vôùi m  0) 9 8) Khi m  0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù : 2m x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = 3 2  2   y(x1).y(x2) =  m 2 x1  m  m 2 x 2  m  9  9  2 4 =  m 2 (x1  x 2 )  m 2 =  m 4  m 2 9 27 Vôùi m  0, ta coù y(x1).y(x2) < 0 4 2   m 1  0 27 27 3 3  m2   m 4 2 Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
y'  0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1 , x 2   y(x1 ).y(x 2 )  0 3 3  m  2 Nhaän xeùt : 3 3 i) Khi m   thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1 nghieäm döông. 2 3 3 ii) Khi m  thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm. 2 9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2)  – 3x2 + 2mx  0, x  (1,2). Neáu m  0 ta 2m coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø . 3  2m  i) Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân  ,0 . Vaäy loaïi tröôøng hôïp m < 0  3   ii) Neáu m = 0  haøm luoân nghòch bieán (loaïi).  2m  iii) Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân 0,  3   2m  Do ñoù, ycbt  m > 0 vaø [1,2]  0,  3   2m  2  m3 3 b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0.  2m  Khi m  0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân   , vaø haøm soá cuõng  3   nghòch bieán treân [0, +). Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +) thì m  0. Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn. m 10) y" = – 6x + 2m , y" = 0  x = 3 (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau.  y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân truïc hoaønh.  3 3  3 3 m  m   2  2  m  3 2  y   0     m  m. m  m  0  3   27  9
 3 3 m  3 6   2 m  2  2m  1  0 2  27  11) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C m) vaø (Dk) laø – x3 + mx2 – m = kx + k + 1  m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3  x + 1 = 0  m(x – 1) = k + 1 – x + x2  x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11) a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät  (11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1 1  m  1  k  m  1  0   2  (m  1)  4( k  m  1)  0  k  2m  3   (*)  m 2  2m  3 k   4 b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1)  (Cm) neân ta coù : (Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.  m 2m 3   (Dk) qua ñieåm uoán  ;  3 27  m  cuûa (Cm)    2m 3 m    m  k   1  1 27 3  3 2m  27m  27  k (**) 9(m  3) Vaäy ycbt  k thoûa (*) vaø (**). 12) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng : y = k(x + 1) + 1 (Dk) Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D k) vaø (Cm) laø : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12) 2 2 3  m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 + x  x + 1 = 0  m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2  x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13) m 1  x=–1  x 2 y' (–1) = – 2m – 3 2  m  1  m  1  m  1 1 2 y'    3   2m  = (m – 2m – 3)  2   2   2  4 Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 1 y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1 4 Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1. 13) Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá goùc laø : h = – 3x2 + 2mx b m Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi x    (hoaønh ñoä ñieåm uoán) 2a 3 Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. 2  m  m2 m2 Nhaän xeùt :  3x  2mx  3 x 2    2   3 3 3 Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, ta coù : i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát. ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. PHAÏM HOÀNG DANH (Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
PHÖÔNG TRÌNH VAØ HAØM SOÁ BAÄC 4 I. CAÙCH GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN Ta thöôøng gaëp caùc daïng ñaëc bieät sau : Daïng 1: Phöông trình truøng phöông ax4 + bx2 + c = 0 (1) Ñaët t = x2, ta coù phöông trình : at2 + bt + c = 0 (1’) Nghieäm döông cuûa (1’) öùng vôùi 2 nghieäm cuûa (1) Vaäy ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå (1) coù nghieäm laø phöông trình (1’) coù ít nhaát moät nghieäm khoâng aâm. ⎧ t = x2 ≥ 0 ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ ⎨ ⎩ f (t ) = at + bt + c = 0 2 t = x2 ⇔ x = ± t ⎧Δ >0 ⎪ (1) coù 4 nghieäm ⇔(1/ ) coù 2 nghieäm döông ⇔ ⎨ P > 0 ; ⎪S> 0 ⎩ ⎧P = 0 (1) coù 3 nghieäm ⇔(1/ ) coù 1 nghieäm döông vaø 1 nghieäm baèng 0 ⇔ ⎨ ⎩S> 0 ⎧Δ=0 (1) coù 2 nghieäm ⇔(1/ ) coù 1 nghieäm döông ⇔ P < 0 hay ⎨ ; ⎩ S /2>0 (1) coù 1 nghieäm ⇔( (1/ ) coù nghieäm thoûa t1 < 0 = t2 ) hay ( (1/ ) coù nghieäm thoûa t1 = t2 = 0 ) ⎧P=0 ⎧Δ=0 ⇔ ⎨ hay ⎨ ⎩S 0 ⇔ Δ < 0 ∨ ⎨P > 0 ⇔ Δ < 0 ∨ ⎨ ⎪S< 0 ⎩S
⎧ t 2 = 9 t1 ⎪ Giaûi heä pt : ⎨ S = t1 + t 2 ⎪ P = t .t ⎩ 1 2 Daïng 2 : Phöông trình baäc 4 coù tính ñoái xöùng : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (2) 2 * Neáu a = 0, ta coù phöông trình x(bx + cx + b) = 0 * Neáu a ≠ 0, ta coù phöông trình töông ñöông : ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ a⎜ x 2 + 2 ⎟ + b⎜ x + ⎟ + c = 0 ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ 1 Ñaët t = x + phöông trình cho vieát thaønh x a(t2 – 2) + bt + c = 0 (2’) vôùi ⏐t⏐≥ 2 1 Chuù yù : Khi khaûo saùt haøm soá : t = x + , ta coù : x * Moät nghieäm lôùn hôn 2 cuûa phöông trình (2’) seõ töông öùng vôùi 2 nghieäm döông cuûa phöông trình (2). * Moät nghieäm nhoû hôn 2 cuûa phöông trình (2’) seõ töông öùng vôùi 2 nghieäm aâm cuûa phöông trình (2) * Moät nghieäm t = 2 cuûa phöông trình (2’) seõ töông öùng vôùi nghieäm x = 1 cuûa phöông trình (2) * Moät nghieäm t = – 2 cuûa phöông trình (2’) seõ töông öùng vôùi nghieäm x = –1 cuûa phöông trình (2) 1 * phöông trình t=x+ voâ nghieäm khi ⏐t⏐< 2 x Daïng 3 : ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0 (3) * Neáu a = 0, ta coù phöông trình x(bx2 + cx – b) = 0 * Neáu a ≠ 0, coù phöông trình töông ñöông ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ a⎜ x 2 + 2 ⎟ + b⎜ x − ⎟ + c = 0 ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ 1 Ñaët t = x – , phöông trình cho vieát thaønh : x a(t2 + 2) + bt + c = 0 (3’) vôùi t ∈ R. 1 Chuù yù : phöông trình t = x – coù 2 nghieäm traùi daáu vôùi moïi t x Daïng 4 : (x + a)4 + (x + b)4 = c (C) a+b a−b Ñaët t = x + , t ∈ R thì vôùi α = pt (C) vieát thaønh : 2 2 (t – α)4 + (t + α)4 = c ⇒ phöông trình truøng phöông ñaõ bieát caùch giaûi vaø bieän luaän. Daïng 5 : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vôùi a + b = c + d. Ñaët : t = x2 + (a + b)x. Tìm ñk cuûa t baèng BBT. I I . TRUÏC ÑOÁI XÖÙNG CUÛA HAØM BAÄC 4 Cho haøm baäc 4 : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c coù ñoà thò (C).
Giaû söû a > 0, (C) coù truïc ñoái xöùng neáu ta tìm ñöôïc caùc soá α, β, γ, m sao cho : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (αx2 + βx + γ)2 + m ∀x ∈ R. Duøng ñoàng nhaát thöùc cho ta coù ñöôïc caùc heä soá α, β, γ, m. III . CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM BAÄC BOÁN TRUØNG PHÖÔNG : y = ax4 + bx2 + c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 ⎡x=0 (1) ⇔ ⎢ 2 ⎢ 2ax + b = 0 ⎣ (2) 1. Haøm soá coù 3 cöïc trò ⇔ (2) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0 ⇔ a.b < 0 2. Haøm soá coù ñuùng 1 cöïc trò ⇔ (2) voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp hoaëc coù nghieäm baèng 0. ⎡ a = 0 vaøb ≠ 0 ⇔ ⎢ a ≠ 0 vaøab ≥ 0 ⎣ IV.CÖÏC TRÒ HAØM BAÄC BOÁN DAÏNG : y = ax4 + bx3 + cx2 + d y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx y’ = 0 ⇔ x(4ax2 + 3bx + 2c) = 0 ⎡x=0 ⇔ ⎢ 2 ⎣ 4ax + 3bx + 2c = 0 ⎢ (3) 1. Khi a > 0, ta coù : Haøm soá chæ coù 1 cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi. ⇔ (3) voâ nghieäm hay (3) coù nghieäm keùp hay (3) coù nghieäm x = 0. 2. Khi a < 0, ta coù: Haøm soá chæ coù 1 cöïc ñaïi maø khoâng coù cöïc tieåu. ⇔ (3) voâ nghieäm hay (3) coù nghieäm keùp hay (3) coù nghieäm x = 0. TOAÙN OÂN VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 4 Cho haøm soá baäc 4 coù ñoà thò (C a ) vôùi phöông trình : y = x4 + 8ax3 – 4(1 + 2a)x2 + 3 I. Trong phaàn naøy ta khaûo saùt haøm soá öùng vôùi a = 0 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (Co). Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm uoán. 2) Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Co) taïi M coù hoaønh ñoä m, caét (Co) taïi hai ñieåm P, Q khaùc ñieåm M. Coù giaù trò naøo cuûa m ñeå M laø trung ñieåm ñoaïn PQ. 3) Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa ñoaïn PQ khi m thay ñoåi trong ñieàu kieän caâu 2. 1 II. Trong phaàn naøy ta khaûo saùt haøm soá öùng vôùi a = − 2 4) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) 5) Cho ñöôøng thaúng ( D ) coù phöông trình y = ax + b. Tìm a, b ñeå phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (D) coù hai nghieäm keùp phaân bieät α vaø β. Tìm toïa ñoä hai ñieåm chung. 6) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù heä soá goùc baèng –8. Tìm toïa ñoä caùc tieáp ñieåm.
III. Trong phaàn naøy ta khaûo saùt haøm soá trong tröôøng hôïp toång quaùt. 7) Bieän luaän theo a soá ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá. Ñònh a ñeå haøm soá chæ coù ñieåm cöïc tieåu maø khoâng coù ñieåm cöïc ñaïi. 8) Trong tröôøng hôïp ñoà thò haøm soá coù ba ñieåm cöïc trò haõy vieát phöông trình parabol ñi qua ba ñieåm cöïc trò naøy. 9) Ñònh a ñeå ñoà thò coù hai ñieåm uoán. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm uoán naøy. BAØI GIAÛI PHAÀN I: 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C0 ) Khi a = 0 haøm soá thaønh y = x4 – 4x2 + 3 y′ = 4x3 – 8x, y / / = 12x2 – 8 y′ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x2 = 2 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 y ( 0 ) = 3, y ± 2 ( ) = –1 2 6 ⎛ 6⎞ 7 y′′ = 0 ⇔ x 2 = ⇔ x= ± ; y⎜± ⎟= 3 3 ⎝ 3 ⎠ 9 ( C0 ) ( ) coù 2 ñieåm cöïc tieåu laø ± 2 , -1 vaø 1 ñieåm cöïc ñaïi laø ( 0,3) ⎛ 6 7⎞ ( C0 ) coù 2 ñieåm uoán laø ⎜ ± , ⎟ ⎝ 3 9⎠ Baûng bieán thieân vaø ñoà thò : baïn ñoïc töï laøm. 2) ( ) Tieáp tuyeán ( D ) taïi M m , m 4 − 4m 2 + 3 thuoäc ( C0 ) coù phöông trình: y = y′ ( m ) ( x - x M ) + yM hay ( y = 4m 3 - 8m ) (x - m) + m4 – 4m2 + 3 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( D ) vaø ( C0 ) laø ( x4 – 4x2 + 3 = 4m 3 - 8m ) (x - m) + m 4 – 4m2 + 3 (1) ( Nhaän xeùt: pt (1) chaéc chaén nhaän m laøm nghieäm keùp neân ta coù: (1) ⇔ (x - m) 2 ( Ax 2 + Bx + C ) = 0 )
(1) ⇔ x4 – m4 – 4 ( x 2 - m 2 ) = ( x - m ) ( 4m 3 - 8m ) ⇔ x – m = 0 ∨ x3 + mx2 + m2x + m3 – 4 ( x + m ) = 4m3 – 8m ⇔ x=m ( ) ∨ x3 + mx2 + m 2 - 4 x – 3m3 + 4m = 0 (2) ⇔x = m ( ∨ ( x - m ) x 2 + 2mx + 3m 2 - 4 ) =0 ⇔x = m ∨ x2 + 2mx + 3m2 – 4 = 0 (3) Do ñoù, ( D ) caét ( C0 ) taïi 2 ñieåm P, Q khaùc m ⇔ (3) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc m. ⎧ m 2 + 2m 2 + 3m 2 - 4 ≠ 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ Δ′ = m - 3m + 4 > 0 2 2 ⎩ ⎧ 2 2 ⎧ 6 ⎪m ≠ ⎪m ≠ ± ⇔⎨ 3 ⇔ (4) ⎨ 3 ⎪m < 2 2 ⎪m < 2 ⎩ ⎩ Ñeå M laø trung ñieåm cuûa PQ thì x P + xQ xM = ⇒ m = –m ⇒ m = 0 2 (m = 0 thoaû (4) neân nhaän) Nhaän xeùt: pt (2) chaéc chaén coù nghieäm x = m. 3) I laø trung ñieåm cuûa PQ neân: ta coù xI = –m vaø ( 2yI = yP + yQ = 2 m 4 - 4m 2 + 3 ) ⇒ yI = x I 4 – 4 x I 2 + 3 Vaäy quó tích cuûa I laø 1 phaàn ñoà thò cuûa haøm soá y = x4 – 4x2 + 3 6 vôùi x < 2 vaø x ≠ ± 3 1 PHAÀN II: Khaûo saùt haøm soá vôùi a = – 2 1 4) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò ( C ) khi a = – : ñoäc giaû töï laøm. 2
1 a=– , haøm soá thaønh y = x4 – 4x3 + 3; y / = 4x3 – 12x2 2 5) Tìm a, b ñeå phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa y = x4 – 4x3 + 3 ( C ) vaø ñöôøng thaúng: y = ax + b ( D1 ) coù 2 nghieäm keùp phaân bieät α , β . Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( C ) vaø ( D1 ) laø x4 – 4x3 + 3 = ax + b ⇔ x4 – 4x3 – ax + 3 – b = 0 Do ñoù, yeâu caàu baøi toaùn x4 – 4x3 – ax + 3 – b = ( x - α ) ( x - β) 2 2 ⇔ ∀x maø ( x-α ) ( x-β ) 2 2 ( ) = x4 –2 ( α + β ) x3 + α 2 +β2 +4αβ x2 –2 αβ ( α + β ) x+ α2 β 2 Do ñoù, yeâu caàu baøi toaùn ⎧−2 ( α + β ) = -4 ⎪ 2 2 2 ⎪α + β + 4αβ = 0 = (α + β) + 2αβ ⇔ ⎨ ⎪2αβ ( α + β ) = a ⎪ α 2β 2 = 3 - b ⎩ ⎧α + β = 2 ⎪ 4 + 2αβ = 0( αβ = -2 ) ⎪ ⇔ ⎨ ⎪a = -8 ⎪3 - b = 4 ⎩ ⇒ a = – 8 vaø b = –1. vôùi α + β = 2 vaø αβ = -2 ⇒ (α = 1- 3 vaø β =1 + 3 ) hay (β = 1- 3 vaø α =1 + 3 ) Khi ñoù, theá x = 1 ± 3 vaø y = – 8 x – 1, ta coù 2 ñieåm chung laø ( A 1- ) ( 3, -9 + 8 3 vaø B 1 + 3, -9 - 8 3 ) 6) Goïi x laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng –8, ta coù: 4x – 12x2 = – 8 3 ⇔ 4x3 – 12x2 + 8 = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = 0
⇔ ( x - 1) ( x 2 - 2x -2 ) = 0 ⇔ x = 1 hay x = 1± 3 y (1) = 0, y 1 -( ) ( ) 3 = – 9 + 8 3 , y 1 + 3 = –9 – 8 3 Tieáp tuyeán taïi (1,0 ) laø y = – 8 ( x - 1) hay y = –8x + 8 Theo caâu 5, 2 tieáp ñieåm taïi A vaø B coù cuøng 1 tieáp tuyeán laø y = – 8x – 1 Toùm laïi coù 2 tieáp tuyeán thoûa ycbt laø : y = –8x + 8 hay y = – 8x – 1. Caùc tieáp ñieåm laø : (1,0 ) , A 1 - ( ) ( 3, -9 + 8 3 vaø B 1 + 3, -9 - 8 3 ) PHAÀN III: 7) Soá ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá laø nghieäm ñôn hay nghieäm boäi ba cuûa ña thöùc: f ′ ( x ) = 4x3 + 24ax2 – 8 (1 + 2a ) x = 4x ⎡ x 2 + 6ax - 2 (1 + 2a ) ⎤ ⎣ ⎦ Tam thöùc g(x) = x2 + 6ax – 2(1 + 2a) coù : Δ′ = 9a2 + 4a + 2 > 0 , ∀a neân 1 i) Khi a ≠ − , g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0, 2 suy ra f ′ ( x ) = 0 coù 3 nghieäm ñôn phaân bieät ⇒ coù 3 cöïc trò. 1 ii) Khi a = − thì g(x) = 0 coù 1 nghieäm baèng 0 vaø 1 nghieäm khaùc 2 0 ⇒ f ′ ( x ) = 0 coù 1 nghieäm keùp x = 0 vaø 1 nghieäm ñôn ⇒ coù 1 cöïc trò 1 Ñieàu kieän caàn ñeå haøm chæ coù 1 cöïc trò laø a = − . 2 1 Khi a = − , haøm ñaït cöïc tieåu taïi x = 3. 2 1 (Khi a = − , g(x) = 0 ⇔ x2 = 0 ∨ x = 3 2
vôùi x = 0 laø nghieäm keùp vaø x = 3 laø nghieäm ñôn). 1 Vaäy khi a = − thì haøm chæ coù cöïc tieåu vaø khoâng coù cöïc ñaïi. 2 1 8) Khi a ≠ − , haøm soá coù 3 cöïc trò. 2 1 Goïi x1, x2, x3 laø hoaønh ñoä 3 ñieåm cöïc trò khi a ≠ − , ta coù : 2 x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa f ′ ( x ) = 0. 1 Chia ña thöùc f ( x ) cho f ′ ( x ) ta coù: 4 1 f (x) = f ′ ( x ) [ x + 2a] – 2 ( 6a2 + 2a + 1) x2 + 4 ( a + 2a2 ) x + 3 4 Vaäy 3 ñieåm cöïc trò thoaû phöông trình: ( ) ( y = –2 6a2 + 2a + 1 x2 + 4 a + 2a2 x + 3 ) vì f ′ ( x1 ) = f ′ ( x 2 ) = f ′ ( x 3 ) = 0 Vaäy, phöông trình Parabol ñi qua 3 ñieåm cöïc trò laø : ( ) ( y = –2 6a2 + 2a + 1 x2 + 4 a + 2a2 x + 3 ) 9) y′ = 4x3 + 24ax2 – 8 (1 + 2a ) x y′′ = 12x2 + 48ax – 8 (1 + 2a ) y′′ = 0 ⇔ 3x2 + 12ax – 2 (1 + 2a ) = 0 (9) Vì (9) coù Δ′ = 36a2 + 6 (1 + 2a ) ( ) = 6 6a2 + 2a + 1 > 0 , ∀ a neân ñoà thò luoân coù 2 ñieåm uoán I, J coù hoaønh ñoä laø nghieäm cuûa phöông trình (9) 1 Höôùng daãn: giaû söû chia f ( x ) cho f ′′ ( x ) (veá traùi cuûa (9)) 4 1 Ta coù : f ( x ) = f ′′ ( x ) ⎡ h ( x ) ⎤ + Ax + B ⎣ ⎦ 4 thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm uoán laø: y = Ax + B.
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM HOÏC 2002 KHOÁI B: (ÑH: 2,0ñ; CÑ: 2,5ñ): Cho haøm soá : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) (m laø tham soá) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m=1 . 2. Tìm m ñeå haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò . BAØI GIAÛI 4 2 1) m = 1, y = x – 8x + 10 (C). MXÑ : D = R 3 y’ = 4x – 16x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2 2 y” = 12x2 – 16; y” = 0 ⇔ x = ± 3 x −∞ − 2 2 +∞ 3 3 y" + 0 − 0 + (C) loõm loài loõm ⎛ 2 10 ⎞ Ñieåm uoán I1 ⎛ − 2 , 10 ⎞ , I2 ⎜ , ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 9 ⎠ ⎝ 3 9 ⎠ x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 10 +∞ −6 CÑ −6 CT CT 2) y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 y y’ = 4mx3 + 2(m2 – 9)x 10 ⎡x = 0 y’ = 0 ⇔ ⎢ 2 2 ⎢2 mx + (m − 9) = 0(*) ⎣ y coù 3 cöïc trò ⇔ −2 2 (*) coù 2 nghieäm phaân bieät ≠ 0 O x ⇔ m(m2 – 9) < 0 −6 ⇔ m < −3 ∨ 0 < m < 3 ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - NAÊM 2002 – KHOÁI A (2,0 ñieåm) Cho haøm soá: y = x4 – mx2 + m – 1 (1) (m laø tham soá) 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 8. 2) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò cuûa haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. BAØI GIAÛI 1) Khi m = 8 ⇒ y = x4 – 8x2 + 7 • MXÑ : D = R. •y' = 4x3 – 16x = 4x(x2 – 4) y' = 0 ⇔ 4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±2
• y'' = 12x2 – 16; y'' = 0 ⇔ 12x2 – 16 = 0 16 4 2 3 ⇔ x2 = = ⇔x= ± 12 3 3 x −∞ −2 0 2 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + y +∞ 7 +∞ -9 −9 x 2 3 2 3 −∞ − +∞ 3 3 y'' + 0 − 0 + y +∞ loõm -17/9 loài - 17/9 loõm +∞ y 7 −2 2 O x −9 2) Xaùc ñònh m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät. • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : x4 – mx2 + m – 1 = 0 (1) 2 2 Ñaët t = x ≥ 0, t – mt + m – 1 = 0 (2) Phöông trình (1) coù 4 nghieäm phaân bieät . ⇔ Phöông trình (2) coù 2 nghieäm döông phaân bieät.
⎧Δ = m2 − 4(m − 1) = (m − 2)2 > 0 ⎪ ⎧m > 1 ⇔ ⎨S = t1 + t 2 = m > 0 ⇔ ⎨ ⎪P = t t = m − 1 > 0 ⎩m ≠ 2 ⎩ 1 2 ÑAÏI HOÏC, CAO ÑAÚNG - DÖÏ BÒ 1 - NAÊM 2004 - KHOÁI A (2 ñieåm) Cho haøm soá : y = x4 – 2m2x2 + 1 (1) vôùi m laø tham soá 1) Khaûo saùt haøm soá (1) khi m = 1. 2) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc vuoâng caân. BAØI GIAÛI 1) Khi m = 1 thì y = x4 – 2x2 + 1 MXÑ : D = R y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 - 1) , y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± 1 3 y’’=12x2 – 4 , y’’ = 0 ⇔ x = ± 3 3 4 y(0) = 1 ; y (± 1) = 0 ; y( ± )= 3 9 x −∞ –1 0 1 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + y +∞ +∞ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 x 3 3 −∞ − +∞ 3 3 y’’ + 0 – 0 + y 4 4 +∞ loõm loài loõm +∞ 9 9 y 1 -1 0 1 x 2) y’ = 4x3 – 4 m 2 x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± m . Haøm coù 3 cöïc trò ⇔ m ≠ 0. Goïi A (0;1) ; B, C laø 2 ñieåm cöïc trò coù hoaønh ñoä laø ± m suy ra tung ñoä cuûa B vaø C laø 1 – m4 uuu r uuu r ⇒ AB = (− m ; − m 4 ) vaø AC = ( m ; − m 4 ) .Vì y laø haøm chaün neân → → AC = AB. Do ñoù, yeâu caàu bt ⇔ m ≠ 0 vaø AB.AC = 0 ⇔ m ≠ 0 vaø – m2 + m8 = 0 ⇔ m6 = 1 ⇔ m = ±1
DÖÏ BÒ 1 KHOÁI B NAÊM 2005: (2 ñieåm). 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò ( C ) cuûa haøm soá y = x 4 − 6 x 2 + 5 2. Tìm m ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät : x 4 − 6 x 2 − log 2 m = 0 . 1/ Khaûo saùt y = x 4 − 6x 2 + 5 MXÑ: D= R ( ) y / = 4x3 − 12x = 4x x 2 − 3 ,y / = 0 ⇔ x = 0 hay x = ± 3 y / / = 12x 2 − 12,y / / = 0 ⇔ x = ±1 BBT x −∞ − 3 -1 0 1 3 +∞ y' - 0 + + 0 - - 0 + y '' + + 0 - - 0 + + y +∞ 5 +∞ -4 0 0 -4 Ñoà thò 2/ Tìm m ñeå pt x 4 − 6x 2 − log2 m = 0 coù 4 nghieäm phaân bieät. x 4 − 6x 2 − log2 m = 0 ⇔ x 4 − 6x 2 + 5 = log2 m + 5 Ñaët k = log2 m + 5 Ycbt ⇔ ñöôøng thaúng y= k caét (C) taïi 4 ñieåm phaân bieät 1 ⇔ −4 < k < 5 ⇔ −4 < log2 m + 5 < 5 ⇔ −9 < log2 m < 0 ⇔ < m