TR NG THPT THANH BÌNH 2ƯỜ Đ THI TH Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2011Ề Ử Ạ Ọ
KH I: AỐ
Th i gian: 180 phút(ờkhông k th i gian phát đ )ể ờ ề
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2,0 đi m)ể. Cho hàm s ố
2
1
x
yx
=−
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tm trên đ th (C) hai đi m B, C thu c hai nhánh sao cho tam giác ABC cân t i đ nh A v i A(2;0). ồ ị ể ộ ạ ỉ ớ
Câu II (2,0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trnh ả ươ
)
2
sin(2
cossin
2sin
cot
2
1
π
+=
+
+x
xx
x
x
2. Gi i b t ph ng trnh : ả ấ ươ
2 2
35 5 4 24x x x+ < − + +
Câu III (1,0 đi m)ể . Tính tích phân :
2
4
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5)
xdx
x x x
π
π
−
− +
−
Câu IV (1,0 đi m)ể. Cho hnh lăng tr tam giác đ u ụ ề
'''. CBAABC
có
).0(',1 >== mmCCAB
Tm
m
bi tế
r ng góc gi a hai đ ng th ng ằ ữ ườ ẳ
'AB
và
b ng ằ
0
60
.
Câu V (1,0 đi m).ể Tm m đ ph ng trnh sau có 2 nghi m phân bi t : ể ươ ệ ệ
2 2
10x 8 4 (2 1). 1x m x x+ + = + +
II. PH N RIÊNG (Ầ3,0 đi m)ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ
A. Theo ch ng trnh Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1. Trong mp to đ (Oxy) cho 2 đ ng th ng: (dạ ộ ườ ẳ 1):
7 17 0x y− + =
, (d2):
5 0x y+ − =
. Vi t ph ngế ươ
trnh đ ng th ng (d) qua đi m M(0;1) t o v i (d ườ ẳ ể ạ ớ 1),(d2) m t tam giác cân t i giao đi m c a (dộ ạ ể ủ 1),(d2).
2. Cho ba đi m A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tm t a đ đi m D thu c đ ng th ng AB sao cho ể ọ ộ ể ộ ườ ẳ
đ dài đo n th ng CD nh nh t. ộ ạ ẳ ỏ ấ
Câu VII.a (1,0 đi m). ểGi i ph ng trnh sau trên t p s ph c (zả ươ ậ ố ứ 2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0
B. Theo ch ng trnh Nâng caoươ
Câu VI.b (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng th ng d: x - 5y - 2 = 0 và đ ng trn (C): ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ ẳ ườ
2 2
2 4 8 0x y x y+ + − − =
.Xác đ nh t a đ các giao đi m A, B c a đ ng trn (C)và đ ng th ng d (cho bi tị ọ ộ ể ủ ườ ườ ẳ ế
đi m A có hoành đ d ng). Tm t a đ C thu c đ ng trn (C)sao cho tam giác ABC vuông B.ể ộ ươ ọ ộ ộ ườ ở
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t c u (S) và m t ph ng (P) có ph ng trnh làớ ệ ọ ộ ặ ầ ặ ẳ ươ
2 2 2
( ) : 4 2 6 5 0, ( ) : 2 2 16 0S x y z x y z P x y z+ + − + − + = + − + =
.
Đi m M di đ ng trên (S) và đi m N di đ ng trên (P). Tính đ dài ng n nh t c a đo n th ng MN. Xácể ộ ể ộ ộ ắ ấ ủ ạ ẳ
đ nh v trí c a M, N t ng ng.ị ị ủ ươ ứ
Câu VII.b (1 đi m). ểGi i ph ng trnh sau trên t p s ph cả ươ ậ ố ứ z4-z3+
2
2
z
+z+1 = 0
-------------------------------H T-------------------------------Ế
Cán b coi thi không gi i thích g thêm.ộ ả
Đ S 15Ề Ố
H và tên thí sinh...........................................................................s báoọ ố
danh.....................................................
TRUNG TÂM LUY N THI ĐH SÔNG LÔỆ
Đ/c: Đ ng Th nh -Sông Lô - V.Phúc ồ ị ĐT :
0987.817.908; 0982.315.320 ĐÁP ÁN CHÍNH
TH C Ứ
Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG L N III NĂM 2011 MônỀ Ử Ạ Ọ Ẳ Ầ
thi : TOÁN - kh i A. ốTh i gian làm bài : 150 phút không k th iờ ể ờ
gian giao đ ề
Câu ƯN i dungộĐi mể
I 2
1Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1,00 đi m)ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố ể
-T p xác đ nh: R\{1} -S bi n thiên: ậ ị ự ế
( )
2
2
' 0 1
1
y x
x
−
= < ∀
−
. Hàm s ngh ch bi n trên m i kho ngố ị ế ỗ ả
( )
;1−1
và
( )
1;+;
0.25
-
( ) ( )
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
− +
−+
= −x= +im =
là ti m c n đ ng -ệ ậ ứ
lim lim 2 2
x x
y y y
y−yl+m
= =y=
là ti m c n ngangệ ậ 0.25
-B ng bi n thiên ả ế
-
-
∞
∞
+
∞
∞
2
2
2
2
y
y
y '
'
x
x
-
-
-
-
+
∞
∞
1
1
-
∞
0.
25
-Đ th : H c sinh t v . Yêu c u v đ th cân đ i, đ m b o tính đ i x ng c a 2 nhánh qua giao đi mồ ị ọ ự ẽ ầ ẽ ồ ị ố ả ả ố ứ ủ ể
c a hai đ ng ti m c n. Th hi n đúng giao đi m c a đ th v i các tr c to đ . ủ ườ ệ ậ ể ệ ể ủ ồ ị ớ ụ ạ ộ
0.25
2 Tm to đ hai đi m B, C… ạ ộ ể 1,0
Ta có
2
( ) : 2 1
C y x
= + −
; G i ọ
2 2
( ; 2 ), ( ; 2 ),
1 1
B b C c
b c
+ +
− −
v i ( b < 1 < c).ớ
G i H, K l n l t là hnh chi u c a B, C lên tr c Ox, ta cóọ ầ ượ ế ủ ụ
; 90AB AC CAK BAH CAK ACK BAH ACK= + = = + =�
và
0
90 AH CK
BHA CKA ABH CAK HB AK
=
= = ∆ = ∆� � =
=
=
=
H
HK
K
B
B
A
A
C
0
,5
Hay
2
2 2 1
1
23
2 2
1
bb
c
c
c
b
− = + = −
−−=
+ = −
−
−
−−
−
� �
�
�
�
�
.V y ậ
( 1;1), (3;3)B C−
.
0,5
II 2,0
1 Gi i ph ng trnh …ả ươ 1,0
§iÒu kiÖn:
.0cossin,0sin ≠+≠ xxx
PT
2
cos 2 sin cos cos 2 cos
2 cos 0 0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos sin cos 4
2 sin 2 sin
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
π
+ − = − = + − =� �
+ +
� �
� �
� �
0.5
+)
.,
2
0cos c∈+=⇔= kkxx
π
π
+)
0,25
2
2 2 4
4
sin 2 sin( ) , Z
2
42 2 4 3
4
x m
x x m
x x m n
n
x
x x n
π
ππ
π
π
π π
π
π π
= +
= + +
= + � � �
= +
= − − +
=
==
=== =
=
==
= =
2
4 3
t
x
π π
= +�
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ
π
π
kx += 2
;
.,,
3
2
44∈+= tk
t
x
ππ
0.25
2 Gi i b t ph ng trnh….ả ấ ươ 1,0
BPT t ng đ ng: ươ ươ
2 2 2 2
2 2
11
35 24 5 4 5 4 11 (5 4)( 35 24)
35 24
x x x x x x x
x x
+ − + < − < − < − + + +� �
+ + +
0.25
a)N u xế
4
5
5
không th a măn BPTỏ
0.25
b)N u x > 4/5: Hàm s ế ố
2 2
(5 4)( 35 24)y x x x= − + + +
v i x > 4/5 yớ’=
2 2
2 2
1 1
5( 35 24) (5 4)( )
35 24
x x x
x x
+ + + + − +
+ +
>0 m i x>4/5 V y HSĐB. +N u 4/5<xọ ậ ế
ế
1
th y(x)
11 +N u x>1 th y(x)>11 V y nghi m BPT x>1ế ậ ệ
0.5
III Tính tích phân 1,0
2
4
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5)
xdx
Ix x x
π
π
−
=− +
−
. Đăt
2
tan 1
dt
t x dx t
= =�+
. Ta co
1 1
2
2 2
1 1
2
2 ln 3
2 5 3 2 5
t dt dt
It t t t
− −
= = + −
− + − +
� �
0.5
Tinh
1
12
1
2 5
dt
It t
−
=− +
−
. Đăt
0
1
4
1 1
tan
2 2 8
tu I du
π
π
−
−= = =��
. Vây
2 3
2 ln 3 8
I
π
= + −
.
0,5
IV 1,0
Hnh V ẽ
KÎ
// ' ( ' ')BD AB D A BB
0
60)',()','( ==⇒ BCBDBCAB
0
60' =∠⇒ DBC
hoÆc
.120' 0
=∠DBC
0,25
NÕu
0
60'=∠DBC
. V× l¨ng trô ®Òu nªn
' ( ' ' '),BB A B C⊥
¸p dông ®Þnh lý Pitago
vµ ®Þnh lý cosin ta cã
1' 2+== mBCBD
vµ
.3'=DC
KÕt hîp
0
60'=∠DBC
ta
suy ra
'BDC∆
®Òu. Khi đó
.231
2=⇔=+ mm
0,5
NÕu
0
120'=∠DBC
. ¸p dông ®Þnh lý cosin cho
'BDC∆
suy ra
0=m
(lo¹i). VËy
.2=m
0,25
V Tm m đ ph ng trnh … ể ươ 1,0
2 2 2
1 0 8x 4 2(2 1) 2( 1)x x x+ + = + + +
(3) ⇔
2
2 2
2 1 2 1
2 2 0
1 1
x x
m
x x
+ +� � � �
� �
� �
- + =
� �
� �
� �
��
�
� � � �
+ +
.
0,25
Đ t ặ
2
2 1
1
xt
x
+=
+
Đi u ki n : ề ệ -2< t
55
. Rút m ta có: m=
2
2 2t
t
+
.
0,25
Lập bảng biên thiên được đáp số
12
45
m<2
hoặc -5 <
4m< -
0,5
VI
a
2,0
1 Vi t ph ng trnh đ ng th ng ...ế ươ ườ ẳ 1,00
Ph ng trnh đ ng phân giác góc t o b i dươ ườ ạ ở 1, d2 là:
1
2 2 2 2 2
3 13 0 ( )
7 17 5
3 4 0 ( )
1 ( 7) 1 1
x y
x y x y
x y
+ − = ∆
− + + − −
=+ =− − = ∆
−
+ − +
0,5
PT đ ng c n tm đi qua M(0;1) và song song v i ườ ầ ớ
1 2
,∆ ∆
nên ta có hai đ ng th ng tho mănườ ẳ ả
3 3 0x y+ − =
và
3 1 0x y− + =
0,5
2 Tm to đ đi m D… ạ ộ ể 1,00
Ta có
( )
1; 4; 3AB = − − −
uuur
Ph ng trnh đ ng th ng AB: ươ ườ ẳ
1
5 4
4 3
x t
y t
z t
= −
=
== −
=
== −
=
0,25
Đ đ dài đo n CD ng n nh t=> D là hnh chi u vuông góc c a C trên c nh ABể ộ ạ ắ ấ ế ủ ạ 0,25
G i t a đ đi m D(1-a;5-4a;4-3a)ọ ọ ộ ể
( ; 4 3;3 3)DC a a a= − −�uuur
. V
AB DC⊥
uuur uuur
=>-a-16a+12-9a+9=0<=>
21
26
a=
. T a đ đi m ọ ộ ể
5 49 41
; ;
26 26 26
D� �
� �
� �
0.5
VII
a
Gi i ph ng trnh trên t p s ph cả ươ ậ ố ứ 1,00
Ta th y z = 0 không là nghi m c a ph ng trnh . Chia c hai v cho zấ ệ ủ ươ ả ế 2 và đ t ặ
2
3 6z z
tz
+ +
=
,
D n t i ph ng trnh : tẫ ớ ươ 2+2t-3 = 0 ⇔t=1 ho c t=-3.ặ
0,5
01 V i t=1 , ta có : zớ2+3z+6 = z ⇔ z2+2z+6 = 0 ⇔ z = -1±
5
i0,25
02 V i t=-3 , ta có : zớ2+3z+6 = -3z ⇔ z2+6z+6 = 0⇔ z = -3 ±
3
0,25
VI
b
2,0
1Tm to đ đi m C ạ ộ ể 1,00
T a đ giao đi m A, B là nghi m c a h ph ng trnh ọ ộ ể ệ ủ ệ ươ
2 2
0; 2
2 4 8 0
1; 3
5 2 0
y x
x y x y
y x
x y
= =
=+ + − − = +
+
� � = − = −
− − = −
−
.V
A có hoành đ d ng nên ta đ c A(2;0), B(-3;-1).ộ ươ ượ
0,5
V
0
90ABC =
nên AC là đ ng kính đ ng trn, t c là đi m C đ i x ng v i đi m A qua tâm Iườ ườ ứ ể ố ứ ớ ể
c a đ ng trn. Tâm I(-1;2), suy ra C(-4;4).ủ ườ
0,5
2Tm to đ các đi m M, N ạ ộ ể 1,0
M t c u (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3. Kho ng cách t I đ n m t ph ng (P):ặ ầ ả ừ ế ặ ẳ
( )
( )
( )
2.2 2. 1 3 16
, 5
3
d d I P d R
+ − − +
= = = >�
.
0,25
Do đó (P) và (S) không có đi m chung.Do v y, min MN = d -R = 5 -3 = 2. Trong tr ng h p này, M vể ậ ườ ợ ở ị
trí M0 và N v trí Nở ị 0. D th y Nễ ấ 0 là hnh chi u vuông góc c a I trên m t ph ng (P) và M ế ủ ặ ẳ 0 là giao đi mể
c a đo n th ng INủ ạ ẳ 0 v i m t c u (S).ớ ặ ầ
0,25
G i ọ
∆
là đ ng th ng đi qua đi m I và vuông góc v i (P), th Nườ ẳ ể ớ 0 là giao đi m c a ể ủ
∆
và (P). Đ ngườ
th ng ẳ
∆
có vect ch ph ng là ơ ỉ ươ
( )
2; 2; 1
P
n= −
r
và qua I nên có ph ng trnh là ươ
( )
2 2
1 2
3
x t
y t t
z t
= +
=
== − +
=
== −
=
=
.
0,
25
T a đ c a Nọ ộ ủ 0 ng v i t nghi m đúng ph ng trnh:ứ ớ ệ ươ
( ) ( ) ( )
15 5
2 2 2 2 1 2 3 16 0 9 15 0 9 3
t t t t t+ + − + − − + = + = = − = −� �
.Suy ra
0
4 13 14
; ;
3 3 3
N� �
− −
� �
� �
. Ta
0,
25
có
0 0
3.
5
IM IN=
uuuur uuur
Suy ra M0(0;-3;4)
VII
b
Gi i ph ng trnh trên r p s ph c ...ả ươ ậ ố ứ 1,00
. z4-z3+
2
2
z
+z+1 = 0 ⇔ (z4+1)-(z3-z)+
2
2
z
=0.
0,5
Chia c hai v cho zả ế 2, ta đ c : (zượ 2+
2
1
z
) -(z-
1
z
) +
1
2
=0 ⇔
2
50,
2
w w
- + =
(v i ớ
1
zz
w
= -
) ⇔
1 3 ,
2 2i
w
= +
ho c ặ
1 3
2 2i
w
= -
+ Ph ng trnh : z-ươ
1
z
=
1
2
+
3
2
i cho nghi m zệ1=1+i ; z2 =-
1
2
(1-i) +
Ph ng trnh : z-ươ
1
z
=
1
2
-
3
2
i cho nghiêm z3=-
1
2
(1+i) ; z4= 1-i
0,5