Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TRƯƠNG HÀ HẢI

PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN BIÊN

CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mã số : 62.46.30.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. GS.TS Đặng Quang Á

2. TS. Vũ Vinh Quang

HÀ NỘI - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung

thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác.

Những kết quả viết chung với các cán bộ hướng dẫn đã được sự đồng ý

khi đưa vào luận án.

Nghiên cứu sinh

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các

Thầy hướng dẫn, PGS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Tôi

vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quí báu mà các Thầy đã dành cho tôi

trong suốt quá trình thực hiện luận án. Nhờ những ý tưởng mà các Thầy

đã gợi ý, những tài liệu bổ ích mà các Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng

dẫn, chỉ bảo nhiệt tình của các Thầy về công việc nghiên cứu, tôi đã hoàn

thành đề tài của mình. Đặc biệt, từ tận đáy lòng, tôi xin cảm ơn PGS.

TS Đặng Quang Á. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn

và kiên trì dìu dắt tôi từ một học viên còn rất non nớt trong công việc

nghiên cứu khoa học cho đến khi hoàn thành được luận án. Chính nhờ sự

quan tâm và động viên của Thầy đã giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượt

qua được những khó khăn, vất vả trong suốt quá trình nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trong

Viện Công nghệ thông tin. Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo cho

tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời

động viên, nhắc nhở giúp tôi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy trong Viện Toán đã góp ý và nhiệt

tình chỉ bảo, cho tôi tham dự các buổi Seminar khoa học và các Hội thảo

Toán học giúp tôi bổ sung những kiến thức Toán học cần thiết cho luận

án trong quá trình nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường ĐH Công nghệ thông tin

và Truyền thông - Đại học Thái nguyên đã động viên và tạo điều kiện về

mặt thời gian cũng như công việc giúp tôi tập trung vào công việc nghiên

cứu.

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn của tôi đến tất cả các đồng nghiệp và

bạn bè của tôi đã chia sẻ buồn, vui và những kinh nghiệm hết sức quí báu

trong cuộc sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học.

Cuối cùng, luận án sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự động

viên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình. Luận án này và những công việc

tôi đang cố gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, anh chị em và những

người thân trong gia đình với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất.

iii

Xin chân thành cảm ơn.

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu

DDM Phương pháp chia miền

BAM Phương pháp xấp xỉ biên

SFBIM Phương pháp tích phân biên

LPIS Giá đỡ thẳng bên trong

Không gian Euclide n chiều Miền giới nội trong không gian Rn

Ω

Biên của miền Ω

∂Ω

Toán tử Laplace

∆

Toán tử Gradient

∇

C k(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

L2(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích

H s(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số s

Chuẩn xác định trên không gian V

Tích vô hướng xác định trên không gian V

(cid:107).(cid:107)V (., .)V

Toán tử đơn vị

I

Đạo hàm riêng của u cấp |α|

Dαu

Không gian năng lượng của toán tử A

HA

Danh sách hình vẽ

1.1 Các véc tơ pháp tuyến và tiếp tuyến tại điểm P . . . . . . . . . 16

1.2 Miền Ω và các ký hiệu biên tương ứng. . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

. . . . . . . . . . 48 2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.5.

. . . . . . . . . . 49 2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.3.

2.4 Miền hình học dạng L với các miền con Ω1 và Ω2 . . . . . . . . 49

2.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong miền dạng L . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán trong môi trường 3 lớp

không đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.8 Miền Ω với các miền con và các phần biên tương ứng . . . . . . 55

2.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với các hàm: a) Hàm u1; b) Hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

u2; c) Hàm u3.

2.10 Hình miền và các điều kiện biên của bài toán Motz . . . . . . . 65

2.11 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.12 Dáng điệu đạo hàm tại điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 Miền Ω và các phần biên của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Miền Ω với các điều kiện biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Miền Ω và các miền con của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Bài toán vết nứt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5 Đồ thị nghiệm của bài toán vết nứt . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6 Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết

nứt: theo DDM (bên trái) và theo SFBIM (bên phải) . . . . . . 85

3.7 Bản với một giá đỡ bên trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.8 Bản với hai giá đỡ bên trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.9 Bài toán có một LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét

trong 1/4 bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.10 Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét

trong 1/4 bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

. . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.11 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2

3.12 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ có độ dài khác nhau . . . . . 96

3.13 Độ dốc của bản theo hướng x và y dọc theo giá đỡ . . . . . . . 96

3.14 Mặt võng của toàn bản có một LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.15 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.1 . . . 97

3.16 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.3 . . . 97

. . . . . . . . . . . . . . . 98 3.17 Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2, Ω3

3.18 Độ dốc của bản theo hướng x dọc theo LPIS . . . . . . . . . . 101

3.19 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS . . . 101

3.20 Mặt võng của 1/4 bản với hai LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.21 Mặt võng của toàn bản có hai LPIS . . . . . . . . . . . . . . . 101

. . 102 3.22 Độ dốc của bản theo hướng x với LPIS đặt tại vị trí tùy ý

3.23 Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS . . . 102

3.24 Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý . . . . . . 102

3.25 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π =

0.1, e2/π = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.26 Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π =

0.2, e2/π = 0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

vii

Danh sách bảng

. . . . . . . . . . . . . 48 2.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.5

. . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.3

2.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán trong miền dạng L . . 50

. . . . . . . . 82 3.1 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3

3.2 Sự hội tụ của quá trình lặp trong Ví dụ 3.2.5 . . . . . . . . . . 83

3.3 Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán vết nứt . . . . . . . . 84

3.4 Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3. . . . . . . . . 93

3.5 Sự hội tụ của quá trình lặp trong trường hợp không biết

trước nghiệm đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của

bản với 1 LPIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.7 Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của

viii

bản với 2 LPIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . . iv

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ . . . . . . . 8

1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Một số ký hiệu và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Không gian Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3. Công thức Green và bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song

điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai với các điều

kiện biên hỗn hợp, không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2. Bài toán biên của phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . 15

1.3. Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Lược đồ lặp hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2. Định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp . . . . . . . . . . . 20

1.4. Xây dựng thư viện chương trình giải bài toán biên hỗn hợp yếu 21

1.4.1. Bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2. Bài toán với điều kiện biên Neumann trên ít nhất một cạnh .

Chương 2. Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên của

phương trình elliptic cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2. Một số hướng tiếp cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3. Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.4. Một trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình

elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.3. Một trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.4. Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp 63

2.2.5. Áp dụng giải bài toán Motz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Chương 3. Phương pháp giải gần đúng bài toán biên của phương

trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . .

3.1. Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hòa . . . . . . . . 68

3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên

hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.2. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.3. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.4. Sơ đồ lặp kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2.5. Các ví dụ thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.6. Giải gần đúng một bài toán vết nứt trong cơ học. . . . . . . . 83

3.3. Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có

giá đỡ bên trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.1. Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong . . . 86

3.3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS 89

3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai LPIS . . . . . . . . . 97

Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Danh mục các công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . 109

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình

đạo hàm riêng. Trong lý thuyết các bài toán biên đối với các phương trình

này thì các bài toán biên hỗn hợp, trong đó dạng các điều kiện biên thay

đổi trong phạm vi của một mặt hay một đường đủ trơn trên biên của miền

được đặc biệt quan tâm, vì tại vị trí phân cách các dạng điều kiện biên

thường xuất hiện kỳ dị của các đại lượng nào đó, ví dụ như luồng nhiệt,

điện thế, ứng suất, môment lực hay lực cắt,...Theo G. I. Popov và N. A.

Rostovtsev, các bài toán trên được gọi là các bài toán hỗn hợp thực sự

"Sobstvenno smexannye" [57]. Trong luận án này, để thuận tiện chúng tôi gọi

các bài toán này là các bài toán hỗn hợp mạnh (theo nghĩa trên một phần

biên trơn có sự thay đổi các loại điều kiện biên). Nói chung rất khó để có

thể tìm được lời giải đúng của các bài toán này. Vì vậy, việc giải gần đúng

các bài toán hỗn hợp bằng các phương pháp số trở thành công cụ phổ biến

như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp

phần tử biên, phương pháp không lưới,... Bản chất của các phương pháp

số là rời rạc hóa bài toán vi phân trong miền hoặc trên biên và kết quả

dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính nói chung là cỡ lớn.

Chất lượng của các phương pháp cho mỗi bài toán được đặc trưng bởi độ

chính xác của lời giải gần đúng của bài toán, độ phức tạp tính toán tức

khối lượng tính toán và dung lượng bộ nhớ cần thiết để thu được lời giải

gần đúng đó.

Trong khoảng ba thập kỷ nay để giải các bài toán trong miền hình học

phức tạp, phương pháp chia miền đã được đề xuất và phát triển nhằm

đưa các bài toán trong các miền hình học phức tạp về các bài toán trong

các miền hình học đơn giản, mà đối với chúng đã sẵn có các thuật toán

hữu hiệu và phần mềm tiện lợi. Điều cốt yếu trong phương pháp này như

Herrera đã chỉ ra trong [32] là "thu thập thông tin trên biên phân chia các

miền con, đủ để các bài toán trong mỗi miền con là đặt chỉnh". Thông

thường, thông tin trên biên phân chia là giá trị của ẩn hàm. Giá trị này

được cập nhật bởi một quá trình lặp. Phụ thuộc cách cập nhật giá trị của

ẩn hàm người ta phân biệt hai cách tiếp cận chính (xem [59]): phương pháp

Dirichlet-Neumann và phương pháp Neumann-Neumann. Trong ngữ cảnh

miền Ω của bài toán biên Dirichlet được phân chia thành hai miền con

Ω1 và Ω2 bởi biên nhân tạo Γ thì trong phương pháp Dirichlet-Neumann

trên mỗi bước lặp đầu tiên bài toán Dirichlet với giá trị xấp xỉ đã biết của

ẩn hàm được giải trong một miền, sau đó giải bài toán với điều kiện biên

Neumann trên biên Γ trong miền khác và cập nhật giá trị của ẩn hàm

trên Γ. Phương pháp này đã được đề xuất và nghiên cứu bởi Bjostard và

Windlund (1986), Marini và Quadteroni (1989), Saito và Fujita (2001) [66].

Trong phương pháp Neumann-Neumann đầu tiên các bài toán Dirichlet

được giải trong mỗi miền con, sau đó để cập nhật giá trị của ẩn hàm

trên biên phân chia người ta phải giải hai bài toán chứa điều kiện biên

Neumann trên phần biên đó. Phương pháp này đã được đề xuất và nghiên

cứu bởi Bourgat, Glowinski [28], Le Tallec và Vidrascu [47]. Ngoài hai

phương pháp nêu trên, với sự cập nhật điều kiện Dirichlet một số tác giả

còn sử dụng điều kiện hỗn hợp Robin dạng

+ λui trên biên chia miền

∂ui ∂νi

như Lions [43], Hou và Lee [34], Lube [49].

Mới đây trong luận án Tiến sĩ của Vũ Vinh Quang (2007) [78], các tác

giả đã đề xuất một phương pháp chia miền mới, trong đó khác với các tác

giả trước, đạo hàm pháp tuyến của ẩn hàm được cập nhật thay cho giá

trị của ẩn hàm. Các bài toán đã được xét đến trong luận án này là: Bài

toán biên của phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet, bài toán

biên của phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp yếu (theo nghĩa

trên một phần biên trơn chỉ có một loại điều kiện biên) và bài toán biên

của phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được giải bằng

phương pháp lặp tuần tự. Các thực nghiệm tính toán cho các miền hình

học đơn giản và phức tạp đã chứng tỏ phương pháp này hội tụ nhanh hơn

các phương pháp cập nhật ẩn hàm mặc dù về mặt lý thuyết chưa chứng

minh được tính vượt trội của nó.

Nhận thức được tính hữu hiệu của phương pháp chia miền mới này,

luận án đặt mục đích tiếp tục phát triển phương pháp và kết hợp với các

kỹ thuật lặp để xây dựng các phương pháp mới, giải gần đúng các bài toán

phức tạp hơn các bài toán trên và có tính ứng dụng trong thực tế. Đó là:

(1) Bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai với các hệ số gián đoạn,

ở đó có thể có các bước nhảy của hàm và đạo hàm qua một hoặc nhiều

mặt phân cách (bài toán này được phát biểu cụ thể trong mục 2.1.3,

chương 2).

(2) Các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai và phương trình

song điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh (phát biểu trong

các mục 2.2.1, chương 2 và mục 3.2.1, chương 3).

(3) Một số bài toán trong cơ học, đó là các bài toán vết nứt (Crack Prob-

lems), bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ

bên trong (The bending of rectangular plates with line partial internal

supports).

Để giải gần đúng các bài toán trên, luận án sử dụng các phương pháp

trong giải tích số cho phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp chia

miền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai, kỹ

thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân. Các phương pháp

trên sẽ được kết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mới

phù hợp với từng bài toán cụ thể. Để nghiên cứu sự hội tụ của các phương

pháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toán tử biên thích

hợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác định

dương hoặc dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và áp

dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng. Việc hiện thực hóa các bước lặp này

chính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp hai trong các miền

hình học đơn giản.

Phải nói rằng ý tưởng đưa các bài toán đối với phương trình cấp hai

phức tạp về dãy các bài toán cấp hai đơn giản hơn và đưa các bài toán

đối với phương trình cấp bốn về dãy các bài toán đối với phương trình cấp

hai là các ý tưởng chung rất tự nhiên và đã được phát triển bởi nhiều tác

giả như Palsev [58], Meller và Dorodnisyn [50], Glowinski và Pironneau

[28], Abramov và Ulijanova [3], Đặng Quang Á [14], [16], [17]... Tuy nhiên

việc vận dụng các ý tưởng chung này vào các bài toán cụ thể là không

đơn giản, đặc biệt khi phải kết hợp cả hai ý tưởng hạ cấp phương trình

và chia miền của bài toán. Vì vậy, việc nghiên cứu các phương pháp gần

đúng theo ý tưởng này để giải một số các bài toán biên của phương trình

elliptic là nhiệm vụ xuyên suốt trong toàn bộ luận án.

Nội dung chính của luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý

thuyết và thực nghiệm tính toán khi xây dựng các phương pháp mới, bao

gồm:

- Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh

giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián

đoạn.

- Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic

với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz.

- Phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu

chỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa

với điều kiện biên hỗn hợp mạnh.

- Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hình

chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong.

Luận án được viết trên cơ sở của các công trình [18, 19, 20, 21, 22, 76,

77, 75] đã được công bố trong vòng 4 năm qua và được bố cục thành 3

chương:

• Chương 1 : Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị và kết quả

bổ trợ bao gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev và

phương trình elliptic, phương trình song điều hòa, lý thuyết về các sơ

đồ lặp và các kết quả xây dựng thư viện chương trình giải số bài toán

biên với điều kiện biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic với hệ

số hằng trong miền chữ nhật ứng với các điều kiện biên khác nhau,

dựa trên thuật toán thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev.

Các kiến thức cơ bản và các kết quả thu được trong chương 1 sẽ đóng

vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình

bày trong chương 2 và chương 3.

• Chương 2 : Trình bày các kết quả nghiên cứu mới, giải gần đúng một

số bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai. Bao gồm: Phát

triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá

trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách giải bài toán biên của

phương trình elliptic với hệ số gián đoạn, đưa bài toán mặt phân cách

trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán

con trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục,

phương pháp này đã được chứng minh hội tụ ở cả mức liên tục và

mức rời rạc, thiết lập được công thức cho tham số lặp tối ưu trong

một trường hợp riêng và bằng nhiều ví dụ thử nghiệm chứng tỏ được

tốc độ hội tụ nhanh của phương pháp. Đồng thời, trong chương này

cũng trình bày một phương pháp lặp song song mới giải bài toán biên

của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, cho phép

giải bài toán hỗn hợp mạnh trên các hệ thống tính toán song song.

• Chương 3 : Trình bày các kết quả nghiên cứu mới về phương pháp kết

hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải

bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn

hợp mạnh (chênh nhau 3 cấp đạo hàm), trong đó các bài toán biên đối

với phương trình song điều hòa được dẫn về các bài toán cấp hai bởi

một quá trình lặp, tại mỗi bước lặp các bài toán cấp hai với điều kiện

biên hỗn hợp mạnh sẽ được giải bằng phương pháp chia miền đưa về

các bài toán biên hỗn hợp yếu để sử dụng các thuật toán hiệu quả có

sẵn cho các bài toán cuối. Sự hội tụ của phương pháp được nghiên

cứu bằng cách đưa vào một toán tử biên được định nghĩa một cách

thích hợp, từ đó việc chứng minh sự hội tụ của các phương pháp được

thực hiện bằng việc nghiên cứu các tính chất liên tục, tuyến tính, đối

xứng và dương của toán tử. Trên cơ sở lý thuyết đã đạt được, luận

án đã đưa ra các sơ đồ lặp kết hợp giải bài toán vết nứt và bài toán

về độ uốn của bản với một hoặc hai giá đỡ bên trong. Đặc biệt, với

bài toán bản có hai giá đỡ bên trong có thể đây là các kết quả đầu

tiên tìm được.

Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các chương

trình thử nghiệm dựa trên các hàm trong thư viện chương trình RC2009

trong môi trường MATLAB.

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

1. The 5th International Conference on High Performance Scientific Com-

puting, March 5-9, 2012-Hanoi, Vietnam.

2. The 9th Workshop on Optimization and Scientific Computing, April

20-23, 2011-BaVi, Vietnam.

3. Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ V "Nghiên cứu cơ bản và ứng

dụng CNTT", tháng 08, 2011-Biên Hòa, Việt Nam.

4. The 20th International Conference on Finite and Infinite Dimensional

Complex Analysis and Applications, Hanoi, July 29-August 3, 2012

5. Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ 12 (2009), 13 (2010), 14 (2011):

"Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và Truyền thông".

6. Đề tài khoa học và công nghệ cấp Bộ, mã số B2010-TN07-02 đã

nghiệm thu đạt loại xuất sắc, 2012.

7. Các buổi Seminar khoa học của phòng Các phương pháp toán học

trong CNTT, Viện CNTT- Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ cần

thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [7],

[61], [62] và [64].

1.1. Không gian Sobolev

1.1.1. Một số ký hiệu và định nghĩa

Cho Ω là một tập mở của Rn và f : Ω (cid:55)−→ R là một hàm xác định

trong Ω ⊂ Rn. Ta sử dụng các ký hiệu sau:

• Dαf (x) =

∂xα1

∂|α|f (x) 1 ∂xα2

2 ...∂xαn

là đạo hàm riêng cấp |α| của hàm f (x), trong đó α = (α1, ..., αn) là

i=1 αi.

một đa chỉ số với mỗi thành phần αi là một số nguyên không âm và |α| = (cid:80)n

•

(cid:26) (cid:27) (cid:90)

L2(Ω) =

f : Ω (cid:55)−→ R|

(f (x))2dΩ < +∞

.

Ω

là không gian các hàm bình phương khả tích trong Ω ⊂ Rn.

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng:

(cid:90)

f (x)g(x)dΩ.

(f, g)L2(Ω) =

Ω

Chuẩn trong L2(Ω) là:

(cid:113)

(f, f )L2(Ω).

(cid:107)f (cid:107)L2(Ω) =

Định nghĩa 1.1.1. [7] (Biên Lipschitz)

N ), và các ánh xạ địa

Biên ∂Ω là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hai hằng số c1 > 0 và c2 > 0, và một số hữu hạn M hệ tọa độ địa phương (˜xm, xm

phương Φm (m = 1, ..., M ) xác định trên tập

Rm = (cid:8)˜xm ∈ RN −1, ˜xm = (xm

1 , ..., xm

N −1) , |xm

i | (cid:54) c1, ∀i = 1, ..., N − 1(cid:9) ,

M (cid:91)

là liên tục Lipschitz trên miền xác định của nó, sao cho:

∂Ω =

Γm,

m=1

trong đó, với bất kỳ m = 1, ..., M,

Γm = {(˜xm, xm

N ) |xm

N = Φm (˜xm) , ˜xm ∈ Rm} ,

và

Ωm = {(˜xm, xm

N ) |Φm (˜xm) < xm

N < Φm (˜xm) + c2, ˜xm ∈ Rm} ⊂ Ω,

Cm = {(˜xm, xm

N ) |Φm (˜xm) − c2 < xm

N < Φm (˜xm) , ˜xm ∈ Rm} ⊂ Rn\Ω.

Tập ∂Ω thuộc lớp C k, trong đó k là số nguyên dương, nếu với bất kỳ

m = 1, ..., M ánh xạ Φm thuộc C k(Rm).

1.1.2. Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.1.2. [61] Cho Ω là một tập mở của Rn và k là một số

nguyên dương. Ta gọi không gian Sobolev cấp k trên Ω là không gian được

xác định bởi các hàm thuộc L2(Ω), sao cho tất cả các đạo hàm (phân bố)

đến cấp k thuộc L2(Ω):

H k(Ω) = (cid:8)f ∈ L2(Ω) : Dαf ∈ L2(Ω), ∀α : |α| ≤ k(cid:9) .

Ta có H k+1(Ω) ⊂ H k(Ω) với k ≥ 0 và bao hàm thức này là liên tục.

Đôi khi không gian L2(Ω) được ký hiệu bởi H 0(Ω).

Không gian H k(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(cid:90) (cid:88)

(Dαf )(Dαg)dΩ

(f, g)k =

Ω

|α|≤k

và chuẩn (cid:90) (cid:113) (cid:88)

(Dαf )2dΩ.

(f, f )k =

(cid:107)f (cid:107)H k(Ω) =

Ω

|α|≤k

(cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)

Định lý 1.1.3. [61] Cho Ω là một miền của Rn với biên ∂Ω và k ≥ 1.

Khi đó tồn tại một và chỉ một toán tử tuyến tính và liên tục

γ0 : H k(Ω) (cid:55)−→ L2(∂Ω),

sao cho γ0v = v|∂Ω, ∀v ∈ H k ∩ C 0(Ω) và tồn tại hằng số C > 0 sao cho

(cid:107)γ0v(cid:107)L2(Γ) ≤ C (cid:107)v(cid:107)H k(Ω) .

γ0v được gọi là vết của v trên ∂Ω. Kết quả vẫn đúng nếu xét toán tử vết γΓ : H k(Ω) (cid:55)−→ L2(Γ) trong đó Γ là một phần biên có độ đo dương của

biên của Ω.

Cho γ0 là toán tử vết từ H 1(Ω) vào L2(∂Ω). Ta ký hiệu

H 1

0 (Ω) = (cid:8)v|v ∈ H 1(Ω), γ0v = 0(cid:9) .

Giả sử Γ là một mặt chia Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2. Ta ký hiệu

H 1/2

0 (Ω)(cid:9) .

00 (Γ) = (cid:8)v|Γ, v ∈ H 1

Với mỗi số thực p, 1 ≤ p < ∞ ta có không gian

(cid:26) (cid:27) (cid:90)

Lp(Ω) =

v : Ω (cid:55)−→ R|

|v(x)|p dΩ < ∞

Ω

với chuẩn (cid:19)1/p (cid:18)(cid:90)

|v(x)|p dΩ

.

(cid:107)v(cid:107)Lp(Ω) =

Ω

Nếu 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞,

Lq(Ω) ⊂ Lp(Ω) ⊂ L1(Ω).

Nếu Ω ⊂ Rn và n > 1, biên ∂Ω là liên tục Lipschitz, ta có các bao hàm

thức sau là liên tục:

- Nếu 0 < 2s < n thì H s(Ω) ⊂ Lq(Ω) với ∀q, 1 ≤ q ≤ q∗, q∗ = 2n/(n−2s);

- Nếu 2s = n thì H s(Ω) ⊂ Lq(Ω) với ∀q, 1 ≤ q < ∞;

- Nếu 2s > n thì H s(Ω) ⊂ C 0(Ω).

Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Sobolev W k,p(Ω))

Cho k là số nguyên không âm và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian W k,p(Ω) được

xác định như sau

W k,p(Ω) = {v ∈ Lp(Ω) : Dαv ∈ Lp(Ω), |α| ≤ k} .

1/p

Với 1 ≤ p < ∞ đây là không gian Banach với chuẩn

  (cid:88)

.

(cid:107)Dαv(cid:107)p

 

(cid:107)v(cid:107)W k,p(Ω) =

Lp(Ω)

|α|≤k

Trong trường hợp k = 0, W k,p(Ω) = Lp(Ω), và với p = 2, W k,2(Ω) =

H k(Ω).

Định nghĩa 1.1.5. Ký hiệu H −1(Ω) là không gian Banach được xác định

0 (Ω))(cid:48) với chuẩn

0 (Ω)

bởi H −1(Ω) = (H 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

.

(cid:107)F (cid:107)H −1(Ω) = sup

H 1

0 (Ω)\{0}

0 (Ω)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:104)F, u(cid:105)H −1(Ω),H 1 (cid:107)u(cid:107)H 1

Định lý 1.1.6. [7] Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó H 1/2(∂Ω) là

một không gian Banach với chuẩn được xác định bởi

(cid:90) (cid:90) (cid:90)

(cid:107)u(cid:107)1/2

|u(x)|2 dsx +

H 1/2(∂Ω) =

∂Ω

|u(x) − u(y)|2 |x − y|N +1 dsxdsy.

Định nghĩa 1.1.7. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz, ta ký hiệu

H −1/2(∂Ω) là không gian Banach được xác định bởi H −1/2(∂Ω) = (H 1/2(∂Ω))(cid:48)

với chuẩn

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

.

(cid:107)F (cid:107)H −1/2(∂Ω) =

sup H 1/2(∂Ω)\{0}

(cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:104)F, u(cid:105)H −1/2(∂Ω),H 1/2(∂Ω) (cid:107)u(cid:107)H 1/2(∂Ω)

1.1.3. Công thức Green và bất đẳng thức Poincare

Công thức Green. Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và u, v ∈ H 1(Ω). Khi

đó (cid:90) (cid:90) (cid:90)

u

dx = −

dx +

v

γ(u)γ(v)nids,

∂v ∂xi

∂u ∂xi

Ω

∂Ω

với 1 ≤ i ≤ N , trong đó n = (n1, n2, ..., nN ) là véc tơ pháp tuyến ngoài

của Ω.

0 (Ω) ,

Bất đẳng thức Poincare. Tồn tại một hằng số CΩ sao cho

(cid:54) CΩ(cid:107)∇u(cid:107)L2(Ω), ∀u ∈ H 1

(cid:19) . trong đó ∇u =

,

, ...,

(cid:107)u(cid:107)L2(Ω) (cid:18) ∂u ∂u ∂x2 ∂x1

∂u ∂xn

CΩ là hằng số phụ thuộc vào Ω được gọi là hằng số Poincare.

Từ bất đẳng thức Poincare suy ra rằng: (cid:107)u(cid:107) ≡ (cid:107)∇u(cid:107)L2(Ω) là một chuẩn 0 (Ω) tương đương với chuẩn của H 1(Ω) đã được xác định. trên H 1

Mệnh đề 1.1.8. (Bất đẳng thức Poincare suy rộng)[7]

Cho Ω là miền liên thông. Giả sử rằng ∂Ω là liên tục Lipschitz và ∂Ω =

Γ1 ∪ Γ2, trong đó Γ1 và Γ2 là hai phần rời nhau và Γ1 có độ đo dương. Khi

đó, tồn tại một hằng số CΩ sao cho

(cid:107)u(cid:107)L2(Ω) ≤ CΩ (cid:107)∇u(cid:107)L2(Ω) , ∀u ∈ H 1(Ω), γ(u) = 0 trên Γ1,

hằng số CΩ phụ thuộc vào Ω.

1.2. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai

và phương trình song điều hòa

Giả sử Ω ⊂ Rn là miền giới nội với biên Γ = ∂Ω. Xét phương trình đạo

hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u(x), x ∈ Ω

(cid:88) (1.2.1)

Au =

aα(x)Dαu = f (x),

|α|≤2m

trong đó aα(x) và f (x) là các hàm cho trước, A là một toán tử vi phân

tuyến tính. Ta có:

- Với m = 1, (1.2.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.

- Với m = 2, (1.2.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.

Bài toán tìm nghiệm của (1.2.1) được gọi là bài toán biên nếu trên biên Γ

nghiệm u(x) thỏa mãn một số điều kiện biên

(1.2.2)

j = 0, 1, ..., m − 1,

Bj(u) = gj,

trong đó Bj, j = 0, 1, ..., m − 1, là các toán tử biên.

1.2.1. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai với các

điều kiện biên hỗn hợp, không thuần nhất

Các khái niệm, bài toán phát biểu trong phần này được tham khảo từ

tài liệu [61].

Ta xét bài toán biên của phương trình Poisson:

−∆u = f trong Ω,

u = g trên ΓD,

(1.2.3)

= φ trên ΓN ,

∂u ∂n

trong đó ΓD và ΓN là các phần của biên ∂Ω, ΓD ∪ ΓN = ∂Ω, ΓD ∩ ΓN = ∅, ΓD (cid:54)= ∅ để đảm bảo tính duy nhất nghiệm của bài toán. Giả sử f ∈ L2(Ω), g ∈ H 1/2(ΓD) và φ ∈ L2(ΓN ), ký hiệu Rg là hàm liên tục thỏa mãn

Rg ∈ H 1(Ω), Rg|ΓD = g.

Đặt

(Ω)

◦ u |ΓD = u|ΓD − Rg|ΓD = 0, nghĩa là

◦ u ∈ H 1 ΓD

◦ u = u − Rg. Khi đó (Ω) ký hiệu không gian con các hàm thuộc H 1(Ω) và triệt tiêu trên

(H 1 ΓD

ΓD), ∇u = ∇

◦ u +∇Rg. Ta có phát biểu yếu của bài toán hỗn hợp (1.2.3)

là:

Tìm

(Ω) thỏa mãn

◦ u ∈ H 1 ΓD

◦ u, v) = F (v)

(1.2.4)

a(

(Ω),

v ∈ H 1 ΓD

trong đó (cid:90) (cid:90) (cid:90)

F (v) =

f vdΩ +

φvdγ −

∇Rg.∇vdΩ.

Ω

ΓN

Tổng quát hơn, ta có bài toán elliptic sau đây

Lu = f

trong Ω,

u = g

trên ΓD, (1.2.5)

= φ trên ΓN ,

∂u ∂nL

2 (cid:88)

trong đó (cid:19) (cid:18)

Lu = −

+ σu.

aij

∂ ∂xi

∂u ∂xj

i,j=1

Các hệ số aij, σ ≥ 0 là các hàm được xác định trên Ω. Trường hợp σ = 0

thì ΓD phải khác rỗng để bài toán có nghiệm duy nhất.

2 (cid:88)

Đạo hàm

(1.2.6)

=

aij

ni

∂u ∂nL

∂u ∂xj

i,j=1

được gọi là đạo hàm đối pháp tuyến của u gắn với toán tử L (nó trùng với

đạo hàm thông thường khi Lu = −∆u). Giả sử các hệ số aij : Ω → R là các hàm số liên tục với mọi i, j = 1, 2 và

2 (cid:88)

tồn tại hằng số dương α sao cho

(1.2.7)

∀ξ = (ξ1, ξ2)T ∈ R2,

aij(x)ξiξj ≥ α

ξ2 i trong Ω.

i,j=1

i=1

Khi đó, phát biểu yếu của bài toán (1.2.5) là:

(1.2.8) Tìm

(Ω)

(Ω) : a(

◦ u, v) = F (v) ∀v ∈ H 1 ΓD

◦ u ∈ H 1 ΓD

với F là phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định:

(cid:90) (cid:90)

f vdΩ +

φvdγ,

F : V → R, F (v) = −a(Rg, v) +

Ω

ΓN

trong đó V = H 1(Ω), và

2 (cid:88)

 (cid:90)

+ σuv

a(u, v) =

aij

  dΩ. 

∂u ∂xj

∂v ∂xi

Ω

i,j=1

1.2.2. Bài toán biên của phương trình song điều hòa

1.2.2.1. Toán tử song điều hòa

Nội dung tóm tắt trong phần này được tham khảo trong tài liệu [62]

Trong không gian C 4(Ω) chứa các hàm số u(x1, x2) liên tục cùng các

đạo hàm riêng cấp 4 trong miền đóng Ω, xét toán tử song điều hòa

(1.2.9)

∆2u =

+ 2

+

.

∂x2

∂4u ∂x4 1

∂4u 1∂x2 2

∂4u ∂x4 2

Hình 1.1: Các véc tơ pháp tuyến và tiếp tuyến tại điểm P

Chọn hàm v ∈ C 4(Ω) tùy ý, xét tích vô hướng (∆2u, v). Sử dụng công

thức Green và công thức tích phân từng phần, qua các phép biến đổi (xem

[62]) với mọi hàm u ∈ C 4(Ω) và v ∈ C 4(Ω) ta có (cid:19) (cid:90)

+

dx+

+ 2

∂2u ∂x1∂x2

Ω

(cid:18)∂2u ∂x2 1 (cid:21)(cid:27) (cid:90)

+

v

(n2

(∆u) +

−

dS−

n1n2 +

n1n2

∂2u ∂2v ∂x2 ∂x2 2 2 1 − n2

2) +

(∆2u, v) = (cid:26) ∂ ∂n

∂2v ∂x2 1 (cid:20) ∂ ∂s

∂2v ∂x1∂x2 ∂2u ∂x1∂x2

∂2u ∂x2 1

∂2u ∂x2 2

(cid:90) (1.2.10)

−

∂2u ∂n2 dS.

∂v ∂n Trong lý thuyết đàn hồi, toán tử song điều hòa thường được viết trong

dạng

(cid:19) (cid:20) (cid:21)

∆2u =

+ σ

+ 2

(1 − σ)

+

∂2 ∂x1∂x2

∂2u ∂x1∂x2

(1.2.11) (cid:19)

+

+ σ

,

∂2 ∂x2 1 ∂2 ∂x2 2

(cid:18)∂2u ∂x2 1 (cid:18)∂2u ∂x2 2

∂2u ∂x2 2 ∂2u ∂x2 1

(cid:19) (cid:21) (cid:90)

(∆2u, v) =

+ 2(1 − σ)

+ σ

dx+

∂2u ∂x1∂x2

Ω

(cid:19)(cid:21) (cid:90) (cid:90)

vN udS −

dx −

+ σ

+

M udS,

Ω

trong đó σ là một số thực (hằng số Poisson, 0 (cid:54) σ < 1). Ta có ∂2v ∂x1∂x2 (cid:90) ∂v ∂n (cid:18) ∂2v ∂x2 1 (cid:18) ∂2v ∂x2 2 (cid:20)∂2u ∂x2 1 (cid:20)∂2u ∂x2 2

∂2v ∂x2 2 ∂2v ∂x2 1

(1.2.12)

trong đó

N u = −

(∆u) + (1 − σ)

,

∂ ∂n

∂3u ∂s2∂n

(1.2.13)

M u = σ∆u + (1 − σ)

∂2u ∂n2 .

1.2.2.2. Phương trình song điều hòa và các điều kiện biên

Khi σ = 0 thì (1.2.10) là trường hợp riêng của (1.2.12).

Xét phương trình song điều hòa

(1.2.14)

∆2u = f trong Ω

với các điều kiện biên

u = 0,

(1.2.15)

= 0 trên Γ,

∂u ∂n

hoặc các điều kiện

u = 0,

(1.2.16)

M u = 0 trên Γ,

hoặc các điều kiện

M u = 0,

(1.2.17)

N u = 0 trên Γ,

Các điều kiện trong (1.2.15) tương đương với các điều kiện

u = 0,

(1.2.18)

= 0,

= 0 trên Γ,

∂u ∂x1

∂u ∂x2

Ngoài các điều kiện biên đã nêu ra ở trên, phương trình (1.2.14) còn

có thể gắn với các điều kiện biên khác. Ở đây ta chỉ giới hạn bởi các điều

kiện biên thường hay gặp nhất trong các ứng dụng.

Ký hiệu M1, M2, M3 là các không gian con tuyến tính của L2 gồm các

hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 4 trong Ω và thỏa mãn tương

ứng các điều kiện (1.2.15), hoặc (1.2.16), hoặc (1.2.17). Ký hiệu A1, A2, A3

là các toán tử song điều hòa xét trong các không gian tuyến tính M1, M2

và M3 tương ứng. Người ta đã chứng tỏ rằng:

- Toán tử A1 là đối xứng và xác định dương trong M1 và

(1.2.19)

(cid:107)u(cid:107)2.

(A1u, u) ≥

1 c2 1

Nghiệm suy rộng u0(x) của bài toán được xét trong không gian HA1 làm

(cid:19)2 (cid:19)2 (cid:19)2(cid:35) (cid:90) (cid:90) (cid:18) ∂2u

+

+ 2

dx − 2

f udx,

F1u =

∂x1∂x2

Ω

cực tiểu phiếm hàm: (cid:34)(cid:18)∂2u ∂x2 1 (cid:18)∂2u ∂x2 2

(1.2.20)

- Toán tử A2 là đối xứng và xác định dương trong M2 và với giả thiết

0 ≤ σ < 1 ta có bất đẳng thức

(1.2.21)

(cid:107)u(cid:107)2.

(A2u, u) ≥

1 − σ c2

Nghiệm suy rộng u0(x) của bài toán được xét trong không gian HA2 làm

cực tiểu phiếm hàm: (cid:19)2 (cid:19)2 (cid:19)2(cid:35) (cid:90) (cid:18) ∂2u

+ 2σ

+ 2(1 − σ)

dx−

+

F2u =

∂x1∂x2

(cid:34)(cid:18)∂2u ∂x2 1

∂2u ∂x2 1

∂2u ∂x2 2

Ω

(cid:18)∂2u ∂x2 2

(cid:90) (1.2.22)

−2

f udx.

Ω

Chú ý 1.2.1. Nếu miền Ω là hình chữ nhật có các cạnh song song với các

trục tọa độ, thì trong trường hợp điều kiện biên u = 0 trên Γ các phiếm

hàm (1.2.20) và (1.2.22) là trùng nhau, vì

(cid:19)2 (cid:90) (cid:90) (cid:18) ∂2u

dx =

dx.

∂x1∂x2

Ω

∂2u ∂x2 1

∂2u ∂x2 2

Chú ý 1.2.2. Trong trường hợp đối với phương trình cấp hai có các điều

kiện biên hỗn hợp, chẳng hạn, các điều kiện biên (1.2.15) có thể được cho

trên phần biên Γ1, còn trên phần biên Γ2 cho các điều kiện biên (1.2.16)

(các điều kiện biên (1.2.17) không cho trên cả biên) có thể thiết lập được

tính xác định dương của toán tử song điều hòa trong không gian tuyến

tính của các hàm thỏa mãn các điều kiện biên hỗn hợp.

Chú ý 1.2.3. (Các điều kiện biên không thuần nhất) Xét phương trình

song điều hòa

(1.2.23)

∆2u = 0

với các điều kiện biên không thuần nhất

u = g1(s) trên Γ,

(1.2.24)

= g2(s) trên Γ.

∂u ∂n

Nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.23)-(1.2.24) có thể tìm được là hàm

làm cực tiểu phiếm hàm (1.2.20) (với f (x) ≡ 0)

(cid:19)2 (cid:19)2 (cid:19)2(cid:35) (cid:90) (cid:18) ∂2u (1.2.25)

+ 2

dx,

+

∂x1∂x2

Ω

(cid:34)(cid:18)∂2u ∂x2 1 (cid:18)∂2u ∂x2 2

trong lớp các hàm đủ trơn thỏa mãn các điều kiện (1.2.24).

1.3. Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp

1.3.1. Lược đồ lặp hai lớp

Trong phần này mô tả phương pháp lặp tổng quát để giải phương trình

toán tử

(1.3.1)

Au = f,

trong đó A : H → H là toán tử tuyến tính, H là không gian Euclid hữu

hạn chiều. Trong trường hợp chung, giả sử rằng A = A∗ > 0, f ∈ H là

một véc tơ tùy ý. Các phương pháp lặp nhằm xác định liên tiếp các xấp

xỉ u1, u2, ..., uk+1, ... của phương trình (1.3.1) với xấp xỉ ban đầu u0 ∈ H.

Mỗi xấp xỉ như vậy được xem như là giá trị lặp sau số lần lặp tương ứng

k = 1, 2, ... Giá trị uk+1 có thể nhận được thông qua các giá trị ở các bước

trước uk, uk−1, ....

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hay phương

pháp lặp hai lớp nếu như giá trị lặp ở bước sau được tính thông qua giá

trị lặp của một bước trước.

Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước tuyến tính nếu

nó có dạng

(1.3.2)

Bkuk+1 = Ckuk + Fk, k = 0, 1, 2, ...

trong đó Bk và Ck là các toán tử tuyến tính từ H vào H, Bk là khả nghịch.

Đưa vào tham số τk+1, khi đó dạng chuẩn tắc của sơ đồ lặp hai lớp là

(1.3.3)

Bk

+ Auk = f, k = 0, 1, 2, ...

uk+1 − uk τk+1

Nếu Bk = I là toán tử đơn vị thì (1.3.3) được gọi là sơ đồ lặp hiện, nếu

Bk (cid:54)= I thì (1.3.3) được gọi là sơ đồ lặp ẩn.

Nếu sơ đồ lặp

(1.3.4)

B

+ Auk = f, k = 0, 1, ...

uk+1 − uk τ

trong đó B là toán tử hằng, τ là hằng số thì (1.3.4) được gọi là sơ đồ lặp

dừng.

1.3.2. Định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp

Xét sơ đồ lặp dừng (1.3.4) cho phương trình (1.3.1). Ký hiệu zk = uk −u

là sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ. Khi đó phương trình đối với

zk có dạng

B

+ Azk = 0, k = 0, 1, 2, ...

zk+1 − zk τ

z0 = u0 − u.

Giả sử toán tử B là tự liên hợp và tồn tại B−1, ta có định lý

Định lý 1.3.1. [64] Nếu A là toán tử dương, tự liên hợp (A = A∗ > 0)

thì

B > 0.5τ A hoặc (Bx, x) > 0.5τ (Ax, x), ∀x ∈ H, x (cid:54)= 0,

là điều kiện đủ cho sự hội tụ của sơ đồ lặp (1.3.4) trong không gian HA

với tốc độ hội tụ là cấp số nhân và có đánh giá

ρ < 1,

(cid:107)zk+1(cid:107)A ≤ ρ(cid:107)zk(cid:107)A, k = 0, 1, ...,

(cid:32) (cid:33)1/2

trong đó ρ =

1 −

là công bội của cấp số nhân, δ = min

λk (A),

2τ δ∗δ (cid:107)B(cid:107)2

δ∗ = min λk (B0 − 0.5τ A), B0 = (B + B∗)/2 là phần đối xứng của toán

tử B, λk(A) là các giá trị riêng của A.

Chú ý 1.3.2. Với B cố định thì định lý trên đưa ra qui tắc lựa chọn

các giá trị τ để sơ đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = I, điều kiện sẽ

được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng phụ thuộc vào mối quan hệ

λk(I − 0.5τ A) = 1 − 0.5τ λk(A) > 0 hoặc 1 − 0.5τ (cid:107)A(cid:107) > 0. Như vậy, các

phép lặp sẽ hội tụ với mỗi τ thỏa mãn 0 < τ <

.

2 (cid:107)A(cid:107)

1.4. Xây dựng thư viện chương trình giải bài toán

biên hỗn hợp yếu

Với mục đích đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về các bài toán biên

hỗn hợp yếu nên nhiệm vụ đầu tiên của luận án là: Xây dựng một thư

viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp

toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số. Trên cơ sở của

phương pháp thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev [64], trong

phần này chúng tôi sẽ giới thiệu tóm tắt về các kết quả xây dựng thư viện

chương trình RC2009. Đây là một công cụ quan trọng để thực hiện việc

cài đặt các thuật toán được đề xuất trong chương 2 và chương 3. Các kết

quả đã được công bố trong công trình [75].

Xét bài toán biên của phương trình elliptic:

(1.4.1)

+ cu = f (x), x ∈ Ω,

−k1

− k2

∂2u ∂x2 1

∂2u ∂x2 2

trong đó các hệ số ki > 0, i = (1, 2), c (cid:62) 0, f (x) là hàm số cho trước,

Ω là miền chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1 và L2, cùng với các điều

kiện biên loại Dirichlet hoặc Neumann hoặc điều kiện biên hỗn hợp.

Xuất phát từ phương pháp lưới, chia miền Ω thành (M × N ) điểm lưới,

trong đó N = 2n, n > 0. Ký hiệu h1 = L1/M, h2 = L2/N là các bước

lưới, b1, b2, b3, b4 lần lượt là các véc tơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặc

Neumann trên các biên trái, phải, dưới và trên của miền chữ nhật (Hình

1.2), ϕ là véc tơ hàm vế phải của phương trình. Ngôn ngữ được lựa chọn

Hình 1.2: Miền Ω và các ký hiệu biên tương ứng.

để cài đặt các thuật toán là Matlab version 8.0.

1.4.1. Bài toán biên Dirichlet

Xét bài toán

+ cu = f (x), x ∈ Ω,

−k1

− k2

∂2u ∂x2 1

∂2u ∂x2 2

(1.4.2)

u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.

1 + h2

2), ta đưa bài toán vi phân (1.4.2) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình

Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h2

véc tơ ba điểm

−Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj, j = 1, 2, ...N − 1,

(1.4.3)

Y0 = F0, YN = FN ,

trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp (M − 1), C là ma

trận hệ số cấp (M − 1) × (M − 1) được xác định như sau

Yj = (u1,j, u2,j, ..., uM −1,j), j = 0, ..., N,

F0 = (b3(1), b3(2), ..., b3(M1)),

FN = (b4(1), b4(2), ..., b4(M − 1)).

Ma trận C có dạng    

0 d −r

0 ...

0 h2 2 k2

0 −r

d −r ...

0 ϕ1,j + rg0,j h2 2 k2

C =

, Fj =

ϕ2,j ...

0 0 ... ... d −r

... ... ...

0 −r ... ... 0 0

d ... 0

0 ... 0

ϕM −2,j

h2 2 k2

0 ... −r

d −r

                           

ϕM −1,j + rgM,j

                               

h2 2 k2

0 ...

0 −r

d

trong đó

r =

, d = 2(r + 1) + c

.

k1 k2

h2 2 k2

h2 2 h2 1

Để giải hệ (1.4.3), dựa trên thuật toán thứ nhất trong phương pháp thu

gọn khối lượng tính toán [64], xây dựng các modul sau:

- Hàm RC(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n) thực hiện thuật toán

thu gọn, trong đó ϕ là hàm vế phải, b1, b2, b3, b4 lần lượt là các véc tơ giá

trị điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các biên trái, phải, dưới,

trên của miền chữ nhật.

- Hàm v0000(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n, p1, p2, q1, q2) trả về

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.4.2) bắt đầu từ tọa độ (p1, q1) đến

(p2, q2).

Độ chính xác của thuật toán được kiểm tra bằng cách: Xuất phát từ

nghiệm đúng u∗(x1, x2) của (1.4.2) với các tham số l1 = l2 = 1, k1 =

3/4, k2 = 7, c = 3 (Các tham số này được sử dụng thống nhất cho các ví

dụ thử nghiệm trong những phần sau của thuật toán), xác định các véc tơ

ϕ, b1, b2, b3, b4 và thực hiện thuật toán. Ký hiệu sai số của quá trình tính (cid:12) toán là ε = max (cid:12) (cid:12), 0 (cid:54) i (cid:54) M, 0 (cid:54) j (cid:54) N , thời gian tính toán

i,j − ui,j

(cid:12)u∗

Bảng 1.1 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0000.m (Biên Dirichlet)

là t giây. Kết quả thử nghiệm được đưa ra trong Bảng 1.1

1.4.2. Bài toán với điều kiện biên Neumann trên ít nhất một

cạnh

Xét bài toán

+ cu = f (x), x ∈ Ω,

−k1

− k2

∂2u ∂x2 1

∂2u ∂x2 2

(1.4.4)

lu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω,

trong đó l là toán tử điều kiện biên (lu = u nếu điều kiện biên là Dirichlet,

lu = ∂u/∂ν nếu điều kiện biên là Neumann). Ta xét các trường hợp sau:

Neumann. Sử dụng phương pháp sai phân với độ chính xác O(h2

• Trường hợp 1. Điều kiện biên trên cạnh trên của hình chữ nhật là loại 1+h2 2) ta đưa bài toán vi phân (1.4.4) về bài toán sai phân tương ứng với hệ

phương trình véc tơ ba điểm

−Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj, 1 (cid:54) j (cid:54) N − 1,

(1.4.5)

Y0 = F0, −2YN −1 + CYN = FN .

Các véc tơ nghiệm Yj và véc tơ Fj là các véc tơ cấp (M − 1) được

xác định như sau Yj = (u1,j, u2,j, ..., uM −1,j), j = 0, ..., N ,

F0 = (b3(1), b3(2), ..., b3(M − 1)) ,

   

ϕ1,N + 2h2b4(1) + rb1(N )

ϕ1,j + rb1(j)

h2 2 k2

, Fj =

FN =

ϕ2,N + 2h2b4(2) ...

ϕ2,j ...

ϕM −2,N + 2h2b4(M − 2)

ϕM −2,j

h2 2 k2

                                                       

ϕM −1,N + 2h2b4(M − 1) + rb2(N )

ϕM −1,j + rb2(j)

h2 2 k2

Ma trận hệ số C có các thành phần được xác định như trong bài toán

Dirichlet ở trên.

Để giải hệ (1.4.5), dựa trên thuật toán thứ hai trong phương pháp

thu gọn khối lượng tính toán [64] áp dụng trong trường hợp đã biết

véc tơ F0, ta xây dựng các modul:

Hàm RC0001(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n) thực hiện thuật

toán thu gọn.

Hàm v0001(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n, p1, p2, q1, q2) trả về

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.4.5) từ tọa độ (p1, q1) đến

(p2, q2).

Trong trường hợp điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là

loại Neumann, ta sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của

hàm chuẩn RC0001 xây dựng các hàm v0010(), v0100(), v1000() trả

lại nghiệm số của các bài toán tương ứng. Kết quả thử nghiệm được

Bảng 1.2 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0001.m (Một biên Neumann)

đưa ra trong Bảng 1.2.

• Trường hợp 2. Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình

chữ nhật là loại Neumann. Sử dụng phương pháp sai phân với độ

1 + h2

2) bài toán (1.4.4) được đưa về hệ phương trình véc tơ ba điểm (1.4.5), trong đó Fj là các véc tơ cấp M , C là ma trận

chính xác O(h2

hệ số cấp M × M có các thành phần được xác định như trong bài

toán Dirichlet, các véc tơ nghiệm Yj, Fj và FN được xác định như sau

Yj = (u1,j, u2,j, ..., uM,j), 0 (cid:54) j (cid:54) N, F0 = (b3(1), b3(2), ..., b3(M )) ,

   

ϕ1,N + 2h2b4(1) + rb1(N )

ϕ1,j + rb1(j)

h2 2 k2

FN =

, Fj =

ϕ2,N + 2h2b4(2) ...

ϕ2,j ...

ϕM −1,N + 2h2b4(M − 1)

ϕM −1,j

h2 2 k2

                                                       

ϕM,N + 2h2b4(M ) + 2rh1b2(N )

ϕM,j + 2rh1b2(j)

h2 2 k2

Để giải hệ (1.4.5), dựa trên thuật toán thứ hai trong phương pháp

thu gọn khối lượng tính toán [64] áp dụng trong trường hợp đã biết

véc tơ F0, xây dựng các modul:

Hàm RC0002(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n) thực hiện thuật

toán thu gọn.

Hàm v0101(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n, p1, p2, q1, q2) trả về

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.4.5) từ tọa độ (p1, q1) đến

(p2, q2).

Trong trường hợp điều kiện biên trên hai cạnh khác thuộc loại Neu-

mann, ta sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm

chuẩn RC0002 xây dựng các hàm v1010(), v1001(), v0110() trả lại

nghiệm số của các bài toán tương ứng. Kết quả thử nghiệm được đưa

ra trong Bảng 1.3.

• Trường hợp 3. Điều kiện biên trên ba cạnh của hình chữ nhật thuộc

loại Neumann.

Tương tự như trên, ta xây dựng hàm

RC0003(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n), thực hiện thuật toán

Bảng 1.3 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0002.m (Hai biên Neumann)

thu gọn khối lượng và xây dựng các hàm v0111(), v1110(), v1101(),

v1011() trả về nghiệm bằng số cho các bài toán tương ứng. Kết quả

Bảng 1.4 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0003.m (Ba biên Neumann)

thử nghiệm được đưa ra trong Bảng 1.4

• Trường hợp 4. Điều kiện biên trên tất cả các cạnh của hình chữ nhật

thuộc loại Neumann.

1 + h2

2), bài toán vi phân (1.4.4) tương ứng với

Với độ chính xác O(h2

hệ phương trình véc tơ ba điểm

CY0 − 2Y1 = F0, j = 0,

(1.4.6)

−Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj, j = 1, ..., N − 1,

−2YN −1 + CYN = FN , j = N,

trong đó Fj là các véc tơ cấp (M + 1), C là ma trận hệ số cấp

(M + 1) × (M + 1) và các véc tơ nghiệm Yj được xác định như sau:

Yj = (u0,j, u1,j, ..., uM,j), 0 (cid:54) j (cid:54) N,

(cid:19)

,

Fj =

ϕ0,j + rb1(j),

ϕ1,j, ...,

ϕM −1,j,

ϕM,j + 2rh1b2(j)

h2 2 k2

(cid:18)h2 2 k2

h2 2 k2

 

ϕ0,0 + 2h2b3(1) − 2rh1b1(1)

h2 2 k2

,

F0 =

ϕ1,0 + 2h2b3(2) ...

ϕM −1,0 − 2h2b3(M − 1)

h2 2 k2

                           

ϕM,0 − 2h2b3(M ) + 2rh1b2(1)

h2 2 k2

 

ϕ0,N + 2h2b4(1) + rb1(N )

h2 2 k2

.

FN =

ϕ1,N + 2h2b4(2) ...

ϕM −1,N + 2h2b4(M − 1)

h2 2 k2

                           

ϕM,N + 2h2b4(M ) + 2rh1b2(N )

h2 2 k2

Dựa trên thuật toán thứ hai [64] áp dụng trong trường hợp tổng quát,

xây dựng các hàm

RC0004(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n)

và v1111(ϕ, b1, b2, b3, b4, l1, l2, k1, k2, c, M, N, n, p1, p2, q1, q2)

trả về ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.4.6) từ tọa độ (p1, q1)

đến (p2, q2). Kết quả thử nghiệm được đưa ra trong Bảng 1.5

Qua thử nghiệm tính toán, các hàm được xây dựng ở trên đều đảm bảo

1 + h2

2) và độ phức tạp tính toán là O(M N logN ). Trong chương 2 và chương 3, để kiểm tra tính đúng đắn của các thuật toán được

độ chính xác O(h2

Bảng 1.5 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0004.m (Bốn biên Neumann)

đề xuất và giải gần đúng các bài toán đều sử dụng thư viện chương trình

RC2009.

Kết luận chương 1.

Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev,

các khái niệm và phát biểu yếu cho các bài toán biên của phương trình

elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất, phương trình

song điều hòa và các điều kiện biên thường gặp trong các ứng dụng, lý

thuyết về các sơ đồ lặp của Samarskii-Nikolaev. Đặc biệt, luận án đã đưa

ra các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009 giải số các bài toán

biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic cấp hai với hệ số hằng trong

miền chữ nhật với các loại điều kiện biên khác nhau. Đây là một công cụ

quan trọng để cài đặt chương trình thử nghiệm tất cả các thuật toán được

đề xuất để giải các bài toán được xét đến trong các chương sau. Các kết

quả đã đưa ra trong chương 1 là nền tảng quan trọng cho việc trình bày

các nội dung nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm trong các chương

tiếp theo của luận án.

Chương 2

Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai

Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu phát triển phương pháp

chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm

qua mặt phân cách, giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số

gián đoạn là mô hình toán học của bài toán mặt phân cách và phương

pháp lặp song song giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp

mạnh. Các kết quả này đã được công bố trong các công trình [18], [21].

2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên el-

liptic với hệ số gián đoạn

2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách

Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) là bài toán biên của phương

trình elliptic, trong đó các hệ số của phương trình hoặc hàm vế phải bị

gián đoạn qua một hoặc vài mặt phân cách giữa các vật liệu xuất phát từ

tính chất vật lý của bài toán. Trong thực tế, đó chính là các bài toán về

dòng chảy dừng nhiều pha, các bài toán về sự phân bố nhiệt qua các vật

liệu khác nhau trong môi trường phân lớp không đồng nhất, các bài toán

về điện từ, các bài toán về tối ưu hình dạng,... Các bài toán này thường

dẫn tới phương trình elliptic dạng:

(2.1.1)

Lu := −∇(k(x)∇u(x)) + a(x)u(x) = f (x),

x ∈ Ω,

với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trong đó, x = (x1, x2), Ω là miền giới nội trong R2 với biên ∂Ω, a(x) (cid:62) 0, hệ số k(x) = (k1(x), k2(x))

là hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω.

Ký hiệu là đạo hàm đối pháp tuyến của u gắn với toán tử L được xác

∂u ∂νL định theo công thức:

= k1

cos(n, x1) + k2

cos(n, x2),

∂u ∂νL

∂u ∂x1

∂u ∂x2

trong đó n là đơn vị pháp tuyến ngoài của biên.

(cid:21)

Γ pháp tuyến của u qua mặt phân cách Γ.

Vì sự gián đoạn của hệ số k(x) dẫn tới các bước nhảy: [u]Γ là bước nhảy (cid:20) ∂u của u qua mặt phân cách Γ, và là bước nhảy của đạo hàm đối ∂νL

Trong thực tế, tính chất gián đoạn của bài toán phát sinh từ một số hiện

(cid:21) tượng vật lý. Ví dụ, [u]Γ biểu diễn sự chênh lệch điện thế qua một màng tế bào hoặc sự chênh lệch áp lực trong một luồng hai pha và là (cid:20) ∂u ∂νL

sự chênh lệch điện tích trên bề mặt trong tĩnh điện học. Trong mô hình

truyền nhiệt với môi trường phân lớp không đồng nhất, thực tế có thể xảy

ra các trường hợp sau đây: (cid:21)

= 0, mô tả tính liên tục của nhiệt độ và thông

[u]Γ = 0 và

(cid:20) ∂u ∂νL

lượng nhiệt khi dịch chuyển qua mặt phân cách Γ trong quá trình truyền

dẫn nhiệt. (cid:21)

= α(x), mô tả tính liên tục của nhiệt độ trong khi

[u]Γ = 0 và

(cid:20) ∂u ∂νL

thông lượng nhiệt bị gián đoạn khi đi qua mặt phân cách Γ, hàm α(x) mô

tả sự phân bố nguồn nhiệt trên bề mặt Γ .

(cid:21)

= 0, mô tả thông lượng là liên tục trong khi

[u]Γ = β(x) và

(cid:20) ∂u ∂νL nhiệt độ lại gián đoạn qua mặt phân cách Γ.

Theo [29], do tính gián đoạn của hệ số k(x), nghiệm yếu

u ∈ H 1

0 (Ω) := (cid:8)u ∈ H 1(Ω) : u(x) = 0, x ∈ ∂Ω(cid:9)

của bài toán (2.1.1) thỏa mãn hệ thức tích phân:

(cid:90) (cid:90)

(k(x)∇u.∇v + a(x)uv)dx =

f (x)v(x)dx,

∀v ∈ H 1

0 (Ω).

Ω

trong đó H 1

0 (Ω) là không gian Sobolev. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm 0 (Ω) của bài toán Dirichllet (2.1.1) đã được đưa ra trong tài

yếu u ∈ H 1

liệu [29].

2.1.2. Một số hướng tiếp cận

Bài toán mặt phân cách có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật

nên đã thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học. Để giải bài toán

mặt phân cách, một số phương pháp giải gần đúng đã được đề xuất như:

Các phương pháp sai phân hữu hạn với phương trình elliptic có dạng

−∇(k(x)∇u(x)) + a(x)u(x) = f (x)

trong miền Ω thuộc không gian một hoặc hai chiều được phát triển trong

[39], trong đó Ω được giả thiết là miền đơn giản (cụ thể là miền chữ nhật)

được phủ bởi một lưới đều, các hàm k(x), a(x) và f (x) là gián đoạn qua

mặt phân cách Γ thuộc Ω.

Phương pháp sử dụng các phép nhúng sai phân hữu hạn/phần tử hữu

hạn để tìm nghiệm bằng số cho các bài toán mặt phân cách cũng được

nhiều tác giả nghiên cứu và phát triển [5, 23, 39, 40, 82], cụ thể như R. E.

Ewing và các đồng nghiệp [23] đã sử dụng một phép nhúng trong không

gian hữu hạn chiều để giải bài toán mặt phân cách elliptic trong đó các

hàm cơ sở được chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện bước nhảy qua Γ.

Gần đây, X. M. He ([33], 2009) và các đồng nghiệp đề xuất một phương

pháp nhúng phần tử hữu hạn song tuyến tính giải phương trình khuyếch

tán với hệ số gián đoạn tìm được nghiệm số của bài toán mặt phân cách

với tốc độ hội tụ O(h2) (trong chuẩn L2) và O(h) (trong chuẩn H 1).

Một phương pháp sai phân đặc biệt được I-Liang Chern và Yu-Chen

Shu [41] đề xuất vào năm 2007 theo hướng xây dựng công thức sai phân

đặc biệt xung quanh lân cận các điểm kỳ dị hoặc biên phân cách, phương

pháp này đưa bài toán về các hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm

bằng số của bài toán chuyển về việc giải các hệ phương trình đại số bằng

các phương pháp giải đúng hoặc gần đúng.

Với bài toán truyền nhiệt dừng, trong [70] các tác giả Seyidmamedo và

Ozbilge đã đề xuất một phương pháp sai phân trên lưới không đều giải bài

toán mặt phân cách với các biên phân cách dẫn đến hai mô hình: mô hình

bài toán mặt phân cách trong môi trường hai lớp không đồng nhất và mô

hình bài toán trong môi trường ba lớp không đồng nhất, các kết quả đạt

được là khá hiệu quả với độ chính xác O(h2).

Khác với các phương pháp trên, do sự gián đoạn của các hệ số k(x)

qua mặt phân cách, dựa theo ý tưởng của phương pháp chia miền, coi mặt

phân cách Γ như một biên nhân tạo chia miền Ω thành hai miền con Ω1 và

Ω2, đưa bài toán trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy

các bài toán con trong các miền con trong đó tính chất của môi trường

là liên tục và các bài toán con này là "dễ giải " bằng các thuật toán hữu

hiệu và phần mềm có sẵn. Từ đó, luận án đề xuất một phương pháp lặp

hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách, nghiên cứu sự

hội tụ của phương pháp và thiết lập tham số lặp tối ưu trong một trường

hợp riêng. Các kết quả về lý thuyết sẽ được kiểm chứng qua nhiều ví dụ

thử nghiệm và so sánh với những kết quả đạt được bằng phương pháp sai

phân trên lưới không đều của các tác giả Seyidmamedo và Ozbilge [70].

Kết quả này đã được công bố trong công trình [18].

2.1.3. Phương pháp lặp

2.1.3.1. Phát biểu bài toán

Xét bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn: (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

Lu := −

−

+ a(x)u = f (x), x ∈ Ω,

k1(x)

k2(x)

∂ ∂x1

∂u ∂x1

∂ ∂x2

∂u ∂x2

(2.1.2)

(cid:21) (2.1.3)

= ψ2,

[u]Γ = ψ1,

(cid:20) ∂u ∂νL

(2.1.4)

u = ϕ,

x ∈ ∂Ω,

trong đó x = (x1, x2), Ω là miền giới nội trong R2 với biên ∂Ω, các hệ số

k1(x) và k2(x) là gián đoạn qua mặt phân cách Γ, điều kiện trong (2.1.3)

mô tả bước nhảy của nghiệm u và đạo hàm đối pháp tuyến của u qua mặt

phân cách Γ.

Để giải bài toán (2.1.2)-(2.1.4), ta chia miền Ω thành hai miền con

không giao nhau Ω1 và Ω2 với biên phân cách Γ (Hình 2.1).

Ký hiệu Γ1 = ∂Ω1\Γ, Γ2 = ∂Ω2\Γ, ui = u|Ωi, [u]Γ = u2 − u1, fi = f |Ωi, k1i = k1(x), k2i = k2(x), x ∈ Ωi, i = 1, 2.

Ký hiệu ni là pháp tuyến ngoài của Γ đối với Ωi. Khi đó đạo hàm đối pháp

tuyến của ui trên Γ được biểu diễn bởi

(2.1.5)

= k1i

cos(ni, x1) + k2i

cos(ni, x2).

∂ui ∂x1

∂ui ∂x2

∂ui ∂νLi

Hình 2.1: Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2

với giả thiết

(2.1.6)

a(x) (cid:62) 0.

0 < b1 (cid:54) k1(x), k2(x) (cid:54) b2,

2.1.3.2. Mô tả phương pháp lặp

Xét sơ đồ lặp tìm hàm g = trên biên Γ.

∂u1 ∂νL1

(i) Xuất phát từ một giá trị xấp xỉ g(0) trên Γ, ví dụ, g(0) = 0 trên Γ.

(ii) Biết g(k), (k = 0, 1, 2, ...) trên Γ, giải lần lượt hai bài toán

Lu(k)

trong Ω1,

(2.1.7)

= g(k)

1 = f1 u(k) 1 = ϕ trên Γ1, ∂u(k) 1 ∂νL1

trên Γ,

Lu(k)

trong Ω2,

(2.1.8)

2 = f2 u(k) 2 = ϕ trên Γ2, 2 = u(k) u(k)

1 + ψ1

trên Γ.

(iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới

(2.1.9)

g(k+1) = (1 − τ )g(k) − τ

+ τ ψ2,

∂u(k) 2 ∂νL2

trong đó τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn.

2.1.3.3. Nghiên cứu sự hội tụ

Trước khi nghiên cứu về sự hội tụ của quá trình lặp (2.1.7)-(2.1.9), ta

giả thiết về tính trơn của các dữ liệu hàm số như sau: fi ∈ L2(Ωi), (i = 1, 2), ϕ ∈ H 1/2(∂Ω), ψ1 ∈ H 1/2(Γ), ψ2 ∈ H −1/2(Γ). Với các giả thiết này, i ∈ H 1(Ωi, L), theo [1], các bài toán (2.1.7), (2.1.8) có nghiệm duy nhất uk

trong đó

H 1(Ωi, L) = {u ∈ H 1(Ωi)|Lu ∈ L2(Ωi)}

và theo [42], ta có g(k+1) ∈ H −1/2(Γ). Giả sử bài toán mặt phân cách (2.1.2)-(2.1.4) có nghiệm duy nhất u và ui = u|Ωi ∈ H 1(Ωi, L).

Để nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp lặp được đề xuất ở trên, ta

viết lại công thức (2.1.9) dưới dạng

(2.1.10)

+ g(k) +

= ψ2.

g(k+1) − g(k) τ

∂u(k) 2 ∂νL2

Tiếp theo, đặt

(i = 1, 2)

i = u(k) e(k) i − ui, ξ(k) = g(k) − g.

(2.1.11)

1 và e(k)

thỏa mãn các bài toán Khi đó, các sai số e(k)

Le(k)

(2.1.12)

trên Γ,

= ξ(k)

1 = 0 trong Ω1, e(k) 1 = 0 trên Γ1, ∂e(k) 1 ∂νL1

Le(k)

(2.1.13)

2 = 0 trong Ω2, e(k) 2 = 0 trên Γ2, 2 = e(k) e(k)

trên Γ,

Từ (2.1.10) và công thức thứ hai trong (2.1.11), ta có

(2.1.14)

+ ξ(k) +

= 0.

ξ(k+1) − ξ(k) τ

∂e(k) 2 ∂νL2

Đưa vào toán tử biên Si tác động lên hàm ξ bởi công thức

(2.1.15)

(i = 1, 2)

,

Siξ =

∂vi ∂νLi

trong đó vi là nghiệm của bài toán

Lvi = 0 trong Ωi,

(2.1.16)

vi = 0 trên Γi,

trên Γ.

vi = ξ

Các toán tử này là các toán tử Steklov-Poincare đã biết trong [59]. Rõ

ràng, vi là L-thác triển của ξ từ Γ tới Ωi. Để ngắn gọn ta viết vi = Liξ. Khi đó, toán tử nghịch đảo S−1 của Si được xác định như sau

(2.1.17)

S−1

i η = wi,

trong đó wi là nghiệm của bài toán

Lwi = 0 trong Ωi,

wi = 0 trên Γi,

(2.1.18)

= η

trên Γ.

∂wi ∂νLi

Với cách định nghĩa các toán tử như trên, từ (2.1.12) và (2.1.13), ta thu

được

1 ξ(k),

(2.1.19)

e(k) 1 = S−1

(2.1.20)

.

S2e(k)

1 =

∂e(k) 2 ∂νL2

Do đó, có thể viết công thức (2.1.14) dưới dạng

+ ξ(k) + S2e(k)

1 = 0.

ξ(k+1) − ξ(k) τ

lên hai vế của đẳng thức trên, ta có Tác động S−1

+ e(k)

1 S2e(k)

1 + S−1

1 = 0.

e(k+1) − e(k) 1 1 τ

Do đó

(2.1.21)

e(k+1) 1

= (I − τ B) e(k) 1 ,

trong đó

(2.1.22)

B = I + S−1

1 S2.

Để thiết lập sự hội tụ của quá trình lặp (2.1.7)-(2.1.9), hoặc sơ đồ

00 (Γ) = (cid:8)v|Γ : v ∈ H 1

lặp tương đương (2.1.21) ta xét toán tử B trong một không gian hàm

(Γ) ([59]).

thích hợp. Trước hết, chú ý rằng toán tử Si, (i = 1, 2) tác động giữa 0 (Ω)(cid:9) và không gian đối ngẫu không gian H = H 1/2 H(cid:48) = H −1/2

Từ công thức yếu (2.1.16), ta có định nghĩa tương đương của các toán

tử Si

(cid:18) (cid:19) (cid:90)

dx, ∀ξ, η ∈ H.

k1i

+ k2i

(cid:104)Siξ, η(cid:105)H,H(cid:48) =

∂(Liξ) ∂x1

∂(Liη) ∂x1

∂(Liξ) ∂x2

∂(Liη) ∂x2

Ωi

(2.1.23)

Trong trường hợp, nếu Siξ ∈ L2(Γ) ta có

(cid:104)Siξ, η(cid:105)H(cid:48),H = (Siξ, η)L2(Γ).

Do đó, Si là đối xứng và xác định dương, vì với mọi ξ ∈ H

(cid:32) (cid:19)2 (cid:19)2(cid:33) (cid:90)

dx

+ k2i

k1i

(cid:104)Siξ, ξ(cid:105)H,H(cid:48) =

Ωi (cid:90)

(2.1.24) (cid:18) ∂vi ∂x2 (cid:19)2(cid:35) (cid:19)2

+

dx

Ωi

(cid:62) k0 (cid:18) ∂vi ∂x1 (cid:34)(cid:18) ∂vi ∂x1 (cid:18) ∂vi ∂x2

Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức Poincare (xem Mệnh đề 1.1.8, chương

1) và định lý vết 1.1.3 (chương 1) ta có

1ib1 (cid:107)vi(cid:107)2

(cid:62) C 2

(cid:104)Siξ, ξ(cid:105)H,H(cid:48) (cid:62) C 2

2i (cid:107)ξ(cid:107)H 1/2(Γ) .

H 1(Ωi)

Trong các ước lượng trên, vi = Liξ và vi là nghiệm của (2.1.16), C1i và

C2i là các hằng số dương không phụ thuộc vào ξ và η.

Mặt khác, từ ước lượng đối với nghiệm của bài toán (2.1.16) và đẳng thức

(2.1.14), ta có

3i (cid:107)ξ(cid:107)2

H 1/2(Γ) .

(2.1.25) (cid:54) C 2

(cid:104)Siξ, ξ(cid:105)H,H(cid:48) (cid:54) b2 (cid:107)vi(cid:107)2

H 1(Ωi)

Từ (2.1.24) và (2.1.25), ta thu được các ước lượng hai phía

(2.1.26) (cid:54) C3i(cid:107)ξ(cid:107)H 1/2(Γ),

C2i(cid:107)ξ(cid:107)H 1/2(Γ)

(cid:54) (cid:104)Siξ, ξ(cid:105)1/2 H(cid:48),H

trong đó, hằng số C3i là hằng số dương không phụ thuộc vào ξ và η. Do đó,

(cid:104)S1ξ, η(cid:105)H,H(cid:48) xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ H và chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là tương đương với chuẩn của H 1/2(Γ). Ký hiệu tích vô hướng

. Với (ξ, η)S1 = (cid:104)S1ξ, η(cid:105)H(cid:48),H, ta

này và chuẩn tương ứng bởi (., .)S1 và (cid:107).(cid:107)S1 có

(Bξ, η)S1 = (cid:10)S1(I + S−1

1 S2)ξ, η(cid:11)

H(cid:48),H = (cid:104)S1ξ, η(cid:105)H(cid:48),H + (cid:104)S2ξ, η(cid:105)H(cid:48),H .

Vì S1 và S2 là đối xứng, như đã chỉ ra ở trên, toán tử B là đối xứng.

Hơn nữa, giả sử rằng khi chia Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2, tồn tại các hằng số 0 < m (cid:54) M sao cho

(2.1.27)

m (cid:54)

(cid:54) M,

∀ξ ∈ H.

(cid:104)S2ξ, ξ(cid:105)H(cid:48),H (cid:104)S1ξ, ξ(cid:105)H(cid:48),H

Khi đó, ta có

.

(cid:54) (Bξ, ξ)S1

(1 + m) (cid:107)ξ(cid:107)2 S1

(cid:54) (1 + M ) (cid:107)ξ(cid:107)2 S1

Nghĩa là

(1 + m)I (cid:54) B (cid:54) (1 + M )I

trong không gian năng lượng của S1. Theo lý thuyết tổng quát của lược

đồ lặp hai lớp [63], nếu

(2.1.28)

0 < τ <

2 1 + M

< 1. Do đó, quá trình lặp (2.1.21) hội tụ, nghĩa là

→

(cid:13) (cid:13) (cid:13)S1 và

→ 0. Bây giờ, sử dụng ước lượng của

(cid:13) (cid:13)e(k) (cid:13) 1 |Γ (cid:13) (cid:13) (cid:13)H 1/2(Γ)

(cid:13) (cid:13)e(k) (cid:13) thì (cid:107)I − τ B(cid:107)S1 1 |Γ 0 khi k → ∞. Với các chuẩn tương đương đã nhắc đến ở trên (cid:107).(cid:107)S1 (cid:107).(cid:107)H 1/2(Γ) ta cũng có nghiệm của các bài toán elliptic (2.1.12) và (2.1.13), theo [42] ta có

(2.1.29)

.

|Γ

(cid:54) C0 (cid:13) (cid:13)e(k) (cid:13) (cid:13) (cid:13)e(k) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)H 1/2(Γ) (cid:13) (cid:13) (cid:13)H 1(Ωi)

trong đó C0 là một hằng số dương không phụ thuộc vào ξ và η. Do đó, ta

có

(2.1.30)

→ 0

(cid:13) (cid:13)e(k) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)H 1(Ωi)

hoặc

(2.1.31) trong H 1(Ωi) khi k → ∞.

u(k) i → ui

Hơn nữa, ta cũng có

(2.1.32)

(Γ)

khi k → ∞ (i = 1, 2) trong H −1/2

→

∂u(k) i ∂νLi

∂ui ∂νLi

hoặc tương đương

→ 0 khi k → ∞ (i = 1, 2)

trong H −1/2

(Γ).

∂e(k) i ∂νLi

Vì theo (2.1.20), (2.1.19), (2.1.11), (2.1.7) và ký hiệu của g thì các giới hạn

cuối cũng chính là

(Γ).

Sie(k)

1 → 0 khi k → ∞ trong H −1/2

Điều này được suy ra từ đánh giá

∀ξ, η ∈ H,

|(Siξ, η)| (cid:54) b2||Liξ||H 1(Ωi)||Liη||H 1(Ωi),

và có tính đến (2.1.30). là hệ quả của (2.1.23) và (2.1.6) khi đặt ξ = e(k) 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ

Xét đến (2.1.31), (2.1.32), ta thấy rằng giới hạn của nghiệm xấp xỉ được

tính bởi quá trình lặp (2.1.7)-(2.1.9) chính là nghiệm của bài toán (2.1.2)-

(2.1.4).

Theo [63], giá trị tối ưu của tham số lặp τ trong quá trình lặp (2.1.21) là

(2.1.33)

.

τopt =

2 2 + m + M

Giá trị này của τ thỏa mãn đánh giá

(2.1.34)

,

≤ ρk(cid:13) (cid:13)e(0) (cid:13)

(cid:13) (cid:13)e(k) (cid:13) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ (cid:13) (cid:13) (cid:13)S1 (cid:13) (cid:13) (cid:13)S1

trong đó

(2.1.35)

.

ρ =

M − m 2 + m + M

(2.1.36) Theo các chuẩn tương đương ||.||S1 và ||.||H 1/2(Γ), từ (2.1.29) ta thu được ≤ Cρk(cid:13) (cid:13)e(0) (cid:13) (cid:13) (cid:13)e(k) (cid:13) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ (cid:13) (cid:13) (cid:13)H 1/2(Γ) (cid:13) (cid:13) (cid:13)H 1(Ωi)

với một số hằng số C.

Từ các kết quả thu được ở trên, ta có định lý về sự hội tụ của phương

pháp lặp giải bài toán (2.1.2)-(2.1.4) như sau:

Định lý 2.1.1. Với giả thiết (2.1.27) về các miền con Ω1 và Ω2, phương

pháp lặp (2.1.7)- (2.1.9) giải bài toán (2.1.2)-(2.1.4) hội tụ nếu tham số lặp

τ thỏa mãn điều kiện (2.1.28). Và với giá trị tối ưu τopt cho bởi (2.1.33) ta có ước lượng (2.1.36) cho các sai số, trong đó e(k)

i − ui và ρ được

i = u(k)

tính bởi (2.1.35).

2.1.4. Một trường hợp riêng

Xét một trường hợp đơn giản của bài toán (2.1.2) với điều kiện biên

Dirichlet u|∂Ω = 0, khi

• Miền Ω là miền chữ nhật [0, 1] × [0, b] được chia thành hai miền con bởi biên phân cách Γ := {x1 = r, 0 (cid:54) x2 (cid:54) b}, 0 < r < 1. Ký hiệu

Ω1 là miền con bên trái và Ω2 là miền con bên phải.

• Các hệ số a(x) = 0 và k1(x), k2(x) được cho như sau

 

k11,

x ∈ Ω1

k1 (x) =

(2.1.37) 

k12,

x ∈ Ω2

x ∈ Ω,

k2 (x) = 1,

trong đó k11, k12 là các hằng số dương.

Trong trường hợp này, bằng phương pháp tách biến ta tìm nghiệm của bài

toán (2.1.16) dưới dạng

(cid:19)

sinh

x1

∞ (cid:88)

v1 (x) =

ξn

n=1

(cid:19) en (x2) ,

sinh

r

(cid:18) λn√ k11 (cid:18) λn√ k11

(cid:19)

sinh

(1 − x1)

∞ (cid:88)

v2 (x) = −

ξn

n=1

(cid:19) en (x2) ,

(1 − r)

sinh

(cid:18) λn√ k12 (cid:18) λn√ k12

trong đó

λn =

, en (x2) =

sin (λnx2) ,

nπ b

(cid:114)2 b (cid:90) b

ξ (x2) en (x2) dx2, n = 1, 2, ...

ξn = (ξ, en)L2(Γ) =

Do đó, ta có

∞ (cid:88)

(cid:19)

coth

r

=

S1ξ =

en (x2) ,

ξn

∂v1 ∂ν1

∂v1 ∂x1

λn√ k11

n=1

(cid:18) λn√ k11 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)x1=r

∞ (cid:88)

(cid:19)

coth

(1 − r)

= −

=

S2ξ =

en (x2) ,

ξn

∂v2 ∂ν2

∂v2 ∂x1

λn√ k12

n=1

(cid:18) λn√ k12 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)x1=r

∞ (cid:88)

và (cid:19) (2.1.38)

r

,

(S1ξ, ξ) =

ξ2 n coth

λn√ k11

n=1

(cid:18) λn√ k11

∞ (cid:88)

(cid:19) (2.1.39)

(1 − r)

,

(S2ξ, ξ) =

ξ2 n coth

λn√ k12

n=1

(cid:18) λn√ k12

Để có được các hằng số m và M trong (2.1.27) ta biểu diễn (S2ξ, ξ) dưới

dạng

∞ (cid:88)

(cid:19) (cid:115) (2.1.40)

r

qn,

(S2ξ, ξ) =

ξ2 n coth

k11 k12

λn√ k11

n=1

(cid:18) λn√ k11

trong đó (cid:19)

r

(cid:18) λn√ k11 (2.1.41)

qn =

(cid:19).

tanh

(1 − r)

tanh (cid:18) λn√ k12

Bổ đề 2.1.2. Cho b, k11, k12 và r là các số dương, và r < 1, λn = nπ/b,

qn được cho bởi (2.1.41). Ký hiệu

(2.1.42)

qn,

qn

γ1 = inf n(cid:62)1

γ2 = sup n(cid:62)1

Khi đó, ta có (cid:19)

tanh

(2.1.43)

γ1 + γ2 = 1 +

(cid:19).

tanh

(cid:18) πr √ b k11 (cid:18)π (1 − r) √ k12 b

Chứng minh. Xét hàm số sau

Q (t) =

,

(C1, C2, t > 0)

tanh (C1t) tanh (C2t)

Ta có

Q(cid:48)(t) =

. sinh (C2t − C1t) .

cosh (C2t − C1t) sinh2 (C2t) cosh2 (C1t)

Như vậy, nếu C2 > C1 thì Q(cid:48)(t) > 0 và hàm Q(t) là tăng dần. Ngược lại,

nếu C2 < C1 thì hàm Q(t) là giảm dần.

Đặt

,

C1 =

, C2 =

r √ k11

1 − r √ k12

√

k11 √

với hàm Q(t), ta có thể viết qn = Q(λn). Trong trường hợp C2 > C1, hoặc

k11+

k12

tương đương, r < , vì hàm Q(t) tăng nên ta có

q1 (cid:54) qn < q∞ = 1.

Do đó

qn = q1,

qn = 1.

γ1 = inf n(cid:62)1

γ2 = sup n(cid:62)1

√

k11 √

√

< r <

k11 +

k12

Trong trường hợp C2 < C1, điều này tương đương với 1, vì hàm Q(t) giảm nên ta có 1 = q∞ < qn (cid:54) q1, and γ1 = 1, γ2 = q1.

Như vậy, trong cả hai trường hợp ta có

(cid:19)

tanh

γ1 + γ2 = 1 + q1 = 1 +

(cid:19).

tanh

(cid:18) πr √ b k11 (cid:18)π (1 − r) √ k12 b

Bổ đề đã được chứng minh.

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (2.1.44)

,

(S1ξ, ξ) (cid:54) (S2ξ, ξ) (cid:54)

qn

(S1ξ, ξ)

inf n(cid:62)1

sup n(cid:62)1

Quay lại với công thức (2.1.40). Ta có √ k11√ k12

√ k11√ k12

hoặc với các ký hiệu trong (2.1.42), ta có

γ1

(S1ξ, ξ) ≤ (S2ξ, ξ) ≤ γ2

(S1ξ, ξ) .

√ k11√ k12

Do đó

(2.1.45) (cid:54) M,

.

trong đó m = γ1

, M = γ2

m (cid:54) (S2ξ, ξ) (S1ξ, ξ) (cid:114)k11 k12

(cid:114)k11 k12 Theo (2.1.29) ta có thể chọn tham số lặp τ bởi công thức

.

τopt =

2 +

(γ1 + γ2)

2 (cid:114)k11 k12

Sử dụng công thức (2.1.43) trong bổ đề 2.1.2 ta có

2

(2.1.46)

.

τopt =

(cid:19)  

tanh

2 +

1 +

(cid:19)       (cid:114)k11 k12

tanh

(cid:18) πr √ b k11 (cid:18)π (1 − r) √ k12 b

Trong trường hợp khi k11 = k12 = 1 ta nhận được công thức như đã biết

trong [12].

2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm

Các thử nghiệm số được thực hiện với một số ví dụ cụ thể để kiểm tra

sự hội tụ của phương pháp lặp đã được đề xuất và chỉ ra sự lựa chọn tối ưu

cho tham số lặp τ . Trong tất cả các ví dụ, để giải bài toán (2.1.7)-(2.1.8)

ta sử dụng lược đồ sai phân với sai số cắt cụt bậc hai trên lưới 65 × 65

nút. Mỗi bài toán trên các miền con sẽ được giải bằng cách sử dụng các

hàm trong thư viện chương trình RC2009 [75]. Các đạo hàm trong công

thức (2.1.9) được tính bằng các công thức xấp xỉ bậc hai.

Ví dụ 2.1.3. Xét bài toán (2.1.2) trong miền Ω = [0, 1] × [0, 1] có nghiệm

đúng là

  trong Ω1 = [0, r] × [0, 1] ,

u (x1, x2) =

1 + 1(cid:1) ex2 1 + x1 + 0.5(cid:1) ex2

(cid:0)x2 (cid:0)x2  trong Ω2 = [r, 1] × [0, 1] .

với điều kiện biên Dirichlet tương ứng và các hệ số là các hằng số

2,

 

x ∈ Ω1

,

k1 (x) =

k2 (x) = 1 trong Ω.

1,



x ∈ Ω2

Nghiệm đúng u và đạo hàm đối pháp tuyến của u là liên tục hoặc gián đoạn (có bước nhảy) qua mặt phân cách Γ = {x1 = r, 0 (cid:54) x2 (cid:54) 1} phụ

thuộc vào giá trị của r. Cụ thể, với r = 0.5 thì u và đạo hàm đối pháp

tuyến của u là liên tục, nhưng với r (cid:54)= 0.5 thì u và đạo hàm đối pháp

tuyến của u có thể gián đoạn (tồn tại các bước nhảy) qua mặt phân cách

Γ.

(cid:111)

max

< T OL.

,

2 − u(k−1)

1 − u(k−1)

(cid:110)(cid:13) (cid:13)u(k) (cid:13) Trong thuật toán, để dừng quá trình lặp ta sử dụng điều kiện: (cid:13) (cid:13) (cid:13)∞ (cid:13) (cid:13) (cid:13)∞

(cid:111) . Sự hội là số bước lặp, sai số error = max

,

(cid:13) (cid:13)u(k) (cid:13) Sau đây là các kết quả thử nghiệm với T OL = 10−4. Trong các bảng, K (cid:110)(cid:13) (cid:13)u1 − u(k) (cid:13) (cid:13) (cid:13)u2 − u(k) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)∞ (cid:13) (cid:13) (cid:13)∞

tụ của quá trình lặp tương ứng với các trường hợp r = 0.5 và một trường

hợp r = 0.3 được cho trong các Bảng 2.1 và 2.2 cùng với các đồ thị nghiệm

tương ứng được cho trong các Hình 2.2 và 2.4.

Như vậy, từ các kết quả nhận được trong các bảng 2.1 và 2.2 cho ta

thấy sự hội tụ nhanh của phương pháp và sai số giữa nghiệm xấp xỉ tìm

được và nghiệm đúng của bài toán là rất nhỏ (10−6). Đặc biệt, phương

pháp lặp được đề xuất ở trên còn có thể mở rộng trong trường hợp bài

toán mặt phân cách xét trong miền hình học phức tạp như trong ví dụ cụ

thể sau đây.

Bảng 2.1: Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.5

τ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

K 15 11 8 5 7 11

error 6.3896e-005 1.9146e-005 4.1084e-005 2.8750e-006 1.2959e-005 9.9911e-006

Hình 2.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.5.

Bảng 2.2: Sự hội tụ của quá trình lặp với r = 0.3

τ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

K 16 11 9 7 7 10

error 7.7293e-005 7.2464e-005 1.4580e-005 2.4241e-006 5.0697e-006 1.2143e-005

Hình 2.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng với r = 0.3.

Ví dụ 2.1.4. Xét bài toán (2.1.2) với miền Ω dạng L được mô tả trong

Hình 2.4 với nghiệm đúng được cho như trong Ví dụ 2.1.3. Khi đó, miền

Ω được chia thành hai miền con tương ứng Ω1 và Ω2 có một phần biên

Hình 2.4: Miền hình học dạng L với các miền con Ω1 và Ω2

chung tại r = 0.5.

Thực hiện quá trình lặp với điều kiện dừng lặp như ví dụ trên, áp dụng

cho bài toán trong miền dạng L ta nhận được kết quả kiểm tra về sự hội

Bảng 2.3: Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán trong miền dạng L

τ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

K 15 11 7 5 6 9 13

error 5.4122e-006 2.1876e-006 5.0309e-006 1.5524e-006 1.5843e-006 1.7808e-006 2.9831e-006

Hình 2.5: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong miền dạng L

tụ cho trong Bảng 2.3.

Ví dụ 2.1.5. Trong ví dụ này, chúng tôi áp dụng phương pháp lặp đã

đề xuất cho mô hình bài toán truyền nhiệt (2.1.2) trong môi trường 3 lớp

không đồng nhất với lớp cách nhiệt có độ dày hữu hạn (Hình 2.6).

δ và Γ+

δ . Sự cách nhiệt giữa Ω1 và Ω2 được đặc trưng bởi miền Ωδ. Hệ số dẫn nhiệt trong

Miền Ω được chia thành 3 miền với 2 biên phân cách Γ−

Hình 2.6: Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ

từng miền giả sử là

k11(x),

x ∈ Ω1,

(2.1.47)

k1 (x) =

γ,

x ∈ Ωδ,

  

k12(x),

x ∈ Ω2.

Mô hình này đã được các tác giả Seyidmamedov và Ozbilge nghiên cứu và

giải bằng phương pháp sai phân trên lưới không đều [70]. Xét bài toán với

nghiệm đúng



(−1.0499x2

(x1, x2) ∈ Ω1,

1 + x1 + 1)ex2,

u(x1, x2) =

(10.0364x2

(x1, x2) ∈ Ωδ,

1 − 4.266x1 + 1)ex2,

(−1.8988x2

(x1, x2) ∈ Ω2,

1 + 2x1 + 1)ex2,

 

với điều kiện biên Dirichlet và các hệ số được cho bởi



2,

(x1, x2) ∈ Ω1,

k1(x) =

0.001,

(x1, x2) ∈ Ωδ,

1,

(x1, x2) ∈ Ω2,

 

trong đó Ω = Ω1 ∪ Ωδ ∪ Ω2. Các miền con Ω1, Ωδ và Ω2 được xác định như

Ω1 := (cid:8)(x1, x2) ∈ R2 : x1 ∈ (0, 0.475), x2 ∈ (0, 1)(cid:9) ,

Ωδ := (cid:8)(x1, x2) ∈ R2 : x1 ∈ (0.475, 0.525), x2 ∈ (0, 1)(cid:9) , Ω2 := (cid:8)(x1, x2) ∈ R2 : x1 ∈ (0.525, 0), x2 ∈ (0, 1)(cid:9) .

δ := {(0.475, x2) : x2 ∈ (0, 1)} và Γ+ Γ−

δ := {(0.525, x2) : x2 ∈ (0, 1)} .

Các biên phân cách

Áp dụng phương pháp lặp chia miền đã được đề xuất ở trên ta thu được

nghiệm xấp xỉ của bài toán sau 7 bước lặp với sai số so với nghiệm đúng là

10−4. Đồ thị nghiệm xấp xỉ được cho trong Hình 2.7 tương tự như đồ thị

nghiệm xấp xỉ đã thu được bằng phương pháp sai phân trên lưới không

Hình 2.7: Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán trong môi trường 3 lớp không đồng nhất

đều của các tác giả Seyidmamedo và Ozbilge trong [70].

Nhận xét. Qua các kết quả nghiên cứu cả về lý thuyết và thực nghiệm,

phương pháp được đề xuất để giải bài toán biên của phương trình elliptic

cấp hai với hệ số gián đoạn đã chứng tỏ được một số ưu điểm: Dựa vào

tính chất gián đoạn của các hệ số qua mặt phân cách, sử dụng một phương

pháp lặp dựa trên chia miền, đưa bài toán phức tạp về một dãy các bài toán

đơn giản hơn, từ đó tận dụng được những thuật toán với độ chính xác cao

có sẵn để giải các bài toán con này. Sự hội tụ nhanh của phương pháp

cũng đã được chứng minh và kiểm tra qua các ví dụ thử nghiệm. Hơn nữa,

phương pháp này còn đặc biệt hiệu quả khi miền tính toán bao gồm các

hình chữ nhật, khi đó miền tính toán sẽ được chia thành nhiều miền con

và mỗi bài toán bậc hai trong các miền con sẽ được giải bằng các phần

mềm hiệu quả có sẵn.

Một cách tự nhiên, chúng tôi thấy rằng với tư tưởng của phương pháp

chia miền ta đã chia một bài toán thành nhiều bài toán con "dễ giải" (theo

nghĩa bài toán có sẵn các phương pháp giải hiệu quả). Vì vậy, nếu chúng

ta xây dựng được một sơ đồ lặp song song cho phép giải các bài toán con

một cách độc lập thì có thể tăng tốc độ giải bài toán bằng cách xử lý đồng

thời các bài toán con trên các hệ máy tính đa nhiệm với nhiều bộ vi xử lý.

Đây chính là nội dung được trình bày trong phần tiếp theo của chương 2.

2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán biên của phương trình elliptic

với điều kiện biên hỗn hợp mạnh trong hình chữ nhật, ở đó xảy ra sự

chuyển đổi loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann tại một hoặc nhiều

điểm trên một cạnh. Để giải quyết bài toán này, người ta thường đưa nó về

các phương trình chuỗi cặp hoặc các phương trình tích phân cặp và sau đó

các phương trình cuối được đưa về phương trình tích phân Fredhom, rồi áp

dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp: Mandal B.N ([52], 1999), Mandrik P.A

([53], 2001). Trong [48] Zi-Cai Li và các đồng nghiệp đề xuất các phương

pháp xấp xỉ biên đặc biệt tìm nghiệm của bài toán biên hỗn hợp mạnh

dưới dạng khai triển của các hàm cơ sở, phương pháp này có thuận lợi là

giảm được số chiều của bài toán nhưng lại gặp phải những khó khăn như:

để nhận được độ chính xác cần thiết có thể phải cần đến một số lượng

lớn các hàm cơ sở (thường là các nghiệm riêng). Khi đó, với các bài toán

biên hỗn hợp, hay các bài toán trên miền vô hạn,... khó có thể tìm được

một khai triển của các hàm cơ sở đúng trên toàn miền. Chính sự thay đổi

các điều kiện biên trên một phần biên trơn tự nhiên đưa đến sự phân chia

miền tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Gần đây, trong các công

trình ([12], [13]), các tác giả đề xuất phương pháp lặp hiệu chỉnh giá trị

đạo hàm trên biên phân cách, đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về một dãy

các bài toán biên hỗn hợp yếu trên các miền con và các bài toán biên hỗn

hợp yếu trên mỗi miền con được giải một cách tuần tự. Với mục đích tăng

tốc độ giải bài toán bằng cách xử lý đồng thời các bài toán con trên các hệ

máy tính đa nhiệm với nhiều bộ vi xử lý, trong công trình [77] chúng tôi

đã đề xuất một sơ đồ lặp dạng song song. Tuy nhiên, tính song song của

thuật toán chưa được giải quyết một cách triệt để. Trong phần này, chúng

tôi trình bày một phương pháp lặp song song mới, cho phép giải các bài

toán con một cách độc lập, đồng thời trên các bộ vi xử lý. Áp dụng giải

bài toán Motz, một bài toán mẫu thường được sử dụng để thử nghiệm các

phương pháp số giải các bài toán biên hỗn hợp [51], khảo sát dáng điệu

đạo hàm tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Sự hội tụ của phương

pháp đã được chứng minh và các thử nghiệm tính toán cũng được thực

hiện để kiểm tra hiệu quả của phương pháp. Kết quả đã được công bố

trong công trình [21].

2.2.1. Mô tả phương pháp

Trong miền chữ nhật Ω = {(x1, x2) | 0 < x1 < l1, 0 < x2 < l2} với biên

∂Ω được cấu thành từ hai phần biên ΓN = {(x1, 0) | a < x1 < l1} và

ΓD = ∂Ω\ΓN , xét bài toán biên hỗn hợp mạnh có dạng:

Lu = f (x),

x ∈ Ω,

u = g(x),

x ∈ ΓD,

(2.2.1)

= ϕ(x),

x ∈ ΓN .

∂u ∂ν

trong đó L là toán tử elliptic

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (2.2.2)

Lu ≡ −

−

,

k1(x)

k2(x)

∂ ∂x1

∂u ∂x1

∂ ∂x2

∂u ∂x2

0 < ci (cid:54) ki(x), (i = 1, 2) là các hàm số liên tục và ∂u/∂ν là đạo hàm

pháp tuyến của u. Giả thiết rằng bài toán (2.2.1) có nghiệm duy nhất và

đủ trơn.

Để giải bài toán (2.2.1), ta chia miền Ω thành hai miền con Ω1 (bên

trái) và Ω2 (bên phải) bởi đường thẳng x1 = a và biên phân cách các miền

con là Γ (Hình 2.8).

Hình 2.8: Miền Ω với các miền con và các phần biên tương ứng

Ký hiệu biên của miền Ωi bởi ∂Ωi, (i = 1, 2) và ΓD1 = ∂Ω1 ∩ ΓD,

ΓD2 = ∂Ω2 ∩ ΓD, u = (u1, u2), với ui là nghiệm trong miền Ωi, νi là pháp

tuyến ngoài của ∂Ωi, (i = 1, 2). Bài toán (2.2.1) sẽ giải được nếu chúng

ta tìm được trên Γ. Vì vậy, ta đặt

= ψ trên Γ và sơ đồ lặp song

∂u1 ∂ν1

song tìm ψ được đề xuất như sau:

(i) Cho trước ψ(0) ∈ L2(Γ), chẳng hạn ψ(0) = 0, x ∈ Γ.

(ii) Với mỗi giá trị ψ(k), k = (0, 1, 2, ...) trên Γ tiến hành giải song song

các bài toán hỗn hợp yếu

Lu(k)

(2.2.3)

= ψ(k) trên Γ,

1 = f trong Ω1, u(k) 1 = g trên ΓD1, ∂u(k) 1 ∂ν1

2 = f trong Ω2,

= ϕ trên ΓN ,

(2.2.4)

= −ψ(k) trên Γ,

Lu(k) ∂u(k) 2 ∂ν2 u(k) 2 = g trên ΓD2, ∂u(k) 2 ∂ν2

(iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới

(2.2.5)

ψ(k+1) = ψ(k) − τ [u(k)]Γ trên Γ.

trong đó (cid:2)u(k)(cid:3)

|Γ và τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn.

|Γ −u(k) 2

Γ = u(k)

2.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp

Để nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp lặp song song, ta đưa vào

toán tử biên B xác định trên L2(Γ) bởi công thức:

(2.2.6)

Bh = [w]Γ,

trong đó [w]Γ = w1|Γ − w2|Γ, w1 và w2 là nghiệm của các bài toán

(2.2.7)

= h trên Γ,

Lw1 = 0 trong Ω1, ∂w1 ∂ν1 w1 = 0 trên ΓD1,

= 0 trên ΓN ,

(2.2.8)

Lw2 = 0 trong Ω2, ∂w2 ∂ν2 w2 = 0 trên ΓD2,

= −h trên Γ.

∂w2 ∂ν2

Mệnh đề 2.2.1. Toán tử B là đối xứng và dương trong L2(Γ) và B là

một ánh xạ hoàn toàn liên tục từ L2(Γ) vào H 1(Γ).

Chứng minh. Cho h và ˆh thuộc L2(Γ). Ký hiệu w = (w1, w2) và ˆw = ( ˆw1, ˆw2) là các nghiệm tương ứng của các bài toán (2.2.7), (2.2.8) ứng với h và ˆh.

Theo định nghĩa toán tử B ta có:

(cid:90) (2.2.9)

ˆh(w1 − w2)ds.

(Bh, ˆh)L2(Γ) =

Sử dụng công thức Green ta thu được

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:88)

ds −

dx

0 =

ki

L ˆw.w1dx =

w1.

∂ ˆw1 ∂ν1

∂w1 ∂xi

∂ ˆw1 ∂xi

Ω1

∂Ω1

(cid:90) (cid:90) (cid:88)

=

ˆhds −

dx.

w1

ki

∂w1 ∂xi

∂ ˆw1 ∂xi

Ω1

Tương tự

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:88)

0 =

dx.

L ˆw2.w2dx = −

w2.ˆhds −

ki

∂w2 ∂xi

∂ ˆw2 ∂xi

Ω2

Từ các đẳng thức trên và (2.2.9) ta nhận được

(cid:90) (cid:88)

dx.

ki

(Bh, ˆh)L2(Γ) =

∂w ∂xi

∂ ˆw ∂xi

Ω

Do đó

(Bˆh, h)L2(Γ) = (Bh, ˆh)L2(Γ).

Điều đó có nghĩa toán tử B là đối xứng trong L2(Γ). Hơn nữa, ta có

(Bh, h)L2(Γ) ≥ 0 và (Bh, h)L2(Γ) = 0 nếu và chỉ nếu h = 0. Vì vậy, tính

đối xứng và dương của B được chứng minh.

Tính hoàn toàn liên tục của B suy ra từ độ trơn của nghiệm của bài toán

biên hỗn hợp [27] và các định lý nhúng của không gian Sobolev [42].

Tiếp theo, ta đưa bài toán tìm hàm ψ = ∂u1/∂ν1 trên Γ về một phương

trình toán tử với toán tử B. Để làm điều này, ta nhận xét rằng nghiệm

của bài toán (2.2.1) có thể biểu diễn dưới dạng:

u1 = ˆu1 + v1 trong Ω1,

u2 = ˆu2 + v2 trong Ω2,

trong đó ˆui và vi, (i = 1, 2) là các nghiệm của các bài toán

Lˆu1 = f trong Ω1,

ˆu1 = g trên ΓD1,

= 0 trên Γ,

∂ ˆu1 ∂ν1

Lˆu2 = f trong Ω2,

(2.2.10)

ˆu2 = g trên ΓD2,

= ϕ trên ΓN ,

= 0 trên Γ.

∂ ˆu2 ∂ν2 ∂ ˆu2 ∂ν2

Lv1 = 0 trong Ω1,

v1 = 0 trên ΓD1,

= ψ trên Γ,

∂v1 ∂ν1

Lv2 = 0 trong Ω2,

(2.2.11)

v2 = 0 trên ΓD2,

= 0 trên ΓN ,

= −ψ trên Γ.

∂v2 ∂ν2 ∂v2 ∂ν2

Rõ ràng Bψ = [v]Γ. Vì [u]Γ = [v]Γ + [ˆu]Γ ta nhận được phương trình

(2.2.12)

Bψ = F,

trong đó

(2.2.13)

F = −[ˆu]Γ

Từ các kết quả trên ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2.2. Hàm ψ = ∂u1/∂ν1, trong đó u1 là nghiệm của bài toán

(2.2.1) trên Ω1 là nghiệm của phương trình toán tử (2.2.12), (2.2.13).

Xét lược đồ lặp giải (2.2.12)

(2.2.14)

+ Bψ(k) = F,

(k = 0, 1, 2, ...)

ψ(k+1) − ψ(k) τ

Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2.3. Quá trình lặp (2.2.3)-(2.2.5) là sự thực hiện lược đồ lặp

(2.2.14).

Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề trên ta biểu diễn u(k) dưới dạng

v(k) + ˆu, trong đó ˆu được cho bởi (2.2.10), (2.2.11) và theo định nghĩa của toán tử B, ta có Bψ(k) = [v(k)]Γ = v(k)

1 |Γ − v(k)

2 |Γ, hay

Bψ(k) = (u(k)

1 − ˆu1)|Γ − (u(k)

2 − ˆu2)|Γ.

Γ − [ˆu]Γ .

hoặc Bψ(k) = (cid:2)u(k)(cid:3)

Do đó (2.2.5) tương đương với (2.2.14).

Giả sử f ∈ L2(Ω), g ∈ H 1(ΓD) và ϕ ∈ L2(ΓN ). Với các kết quả đã

chứng minh ở trên về tính chất của toán tử B, áp dụng định lý 12 (tr 98)

trong sách của Tikhonov [73] (hoặc áp dụng bổ đề A.1 trong Phụ lục A

[17]) ta có định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp như sau:

Định lý 2.2.4. Lược đồ lặp (2.2.14) hội tụ trong L2(Γ) nếu

(2.2.15)

0 < τ <

.

2 (cid:107)B(cid:107)

2.2.3. Một trường hợp riêng

Việc xác định hay ước lượng ||B|| để xác định khoảng tham số lặp τ là

rất khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đánh giá ||B|| trong một trường hợp riêng,

khi toán tử vi phân L là toán tử Laplace và để đơn giản ta đặt l1 = l2 = 1.

Trong trường hợp này, bằng phương pháp tách biến có thể nhận được dạng

tổng quát của nghiệm w1 và w2 của bài toán (2.2.7) và (2.2.8)

∞ (cid:88)

(cid:113)

w1 =

cn sinh(

λ(1) n x1)e(1)

n (x2),

n=1 ∞ (cid:88)

(2.2.16) (cid:113)

w2 =

dn sinh(

λ(2) n (1 − x1))e(2)

n (x2),

n=0

trong đó

√

n = (nπ)2, λ(1) (cid:18)(cid:18)

e(1) n (x2) = (cid:19)2 (cid:19)

2 sin(nπx2), n = 1, 2, ... (cid:19)

(cid:18)(cid:18) (cid:19)

√

n +

π

, e(2)

2 sin

n +

, n = 0, 1, ...

πx2

λ(2) n =

n (x2) =

1 2

(2.2.17)

αn

cn =

(cid:19), dn = − (cid:19). (cid:113) (cid:18)(cid:113) (cid:113)

βn (cid:18)(cid:113)

λ(1) n cosh

λ(1) n a

λ(2) n cosh

λ(1) n (1 − a)

(2.2.18)

Trong hai công thức cuối αn và βn là các hệ số Fourier của hàm h trong (cid:111)∞ (cid:110) (cid:111)∞ (cid:110) hệ cơ sở trực giao và của L2(0, 1), nghĩa là:

e(1) n

e(2) n

n=1 αn = (h, e(1)

n=0 βn = (h, e(2)

n )L2(0,1),

n )L2(0,1).

(2.2.19)

Từ (2.2.16) và (2.2.18) ta có

(cid:19) (cid:18)(cid:113)

tanh

λ(1) n a

∞ (cid:88)

αne(1)

w1|Γ =

n (x2),

n=1

(cid:113)

λ(1) n

(cid:19) (cid:18)(cid:113)

tanh

λ(2) n (1 − a)

∞ (cid:88)

w2|Γ = −

βne(2)

n (x2).

n=0

(cid:113)

λ(2) n

Ký hiệu Bi là toán tử ánh xạ hàm h ∈ L2(Γ) vào hàm gi = wi|Γ, (i = 1, 2).

Ta có

(2.2.20)

B = B1 − B2,

∞ (cid:88)

(2.2.21)

B1h =

n e(1) ρ(1)

n (x2),

n=1

∞ (cid:88)

(2.2.22)

B2h =

n e(2) ρ(2)

n (x2),

n=0

trong đó

(cid:113) (cid:113)

tanh(

λ(1) n a)

λ(2) n (1 − a))

(2.2.23)

, ρ(2)

.

ρ(1) n =

n =

tanh( (cid:113)

(cid:113)

λ(1) n αn

λ(2) n βn

Giả sử h ∈ H s(Γ) (s ≥ 0). Ta sẽ chỉ ra rằng Bh ∈ H s+1(Γ).

∞ (cid:88)

Thật vậy, vì h ∈ H s(Γ), ta có (xem [42])

(2.2.24)

|λ(1)

|λ(2)

n |s|αn|2 < ∞,

n |s|βn|2 < ∞.

n=0

n=1

Từ (2.2.23) và (2.2.24) chúng ta nhận được

∞ (cid:88)

(cid:113)

|λ(1)

λ(1) n a))2|αn|2 <

n |s|αn|2 < ∞,

n |s+1|ρ(1)

n |2 =

n |s(tanh(

n=1

∞ (cid:88)

(cid:113)

|λ(2)

λ(2) n (1 − a)))2|βn|2 < ∞.

n |s+1|ρ(2)

n |2 =

n |s(tanh(

n=0

Điều đó có nghĩa B1h và B2h thuộc H s+1(Γ). Do đó, ta cũng có Bh ∈ H s+1(Γ).

Vì vậy, B là toán tử hoàn toàn liên tục từ H s(Γ) vào H s+1(Γ).

Bây giờ, từ (2.2.21)-(2.2.23)và B1, B2 là các toán tử trong L2(Γ) ta có

,

.

(cid:107)B1(cid:107) =

(cid:107)B2(cid:107) =

tanh(πa) π

tanh(π(1 − a)/2) π/2

Do đó

+

.

(cid:107)B(cid:107) ≤ γ2(a),

với γ2(a) =

tanh(πa) π

tanh(π(1 − a)/2) π/2 Qua kết quả khảo sát hàm γ2(a), với bất cứ 0 (cid:54) a (cid:54) 1 thì

(2.2.25)

γ2(a) (cid:54) 0.7455.

Đánh giá trên của (cid:107)B(cid:107) và Định lý 2.2.4 bảo đảm rằng, nếu

(2.2.26)

0 < τ < 2.6826

thì quá trình lặp (2.2.3)-(2.2.5) hội tụ.

2.2.4. Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp

Ngoài phương pháp song song đã trình bày ở trên, để dẫn bài toán biên

hỗn hợp mạnh về một dãy các bài toán hỗn hợp yếu có thể áp dụng các

phương pháp chia miền khác, trong đó trên mỗi bước lặp cần giải liên tiếp

hai bài toán hỗn hợp yếu trong từng miền con đó là: Phương pháp lặp tìm

giá trị hàm trên biên phân chia của Saito-Fujita ([66], 2001) và phương

pháp lặp tìm giá trị đạo hàm trên biên phân chia của Đặng Quang Á-Vũ

Vinh Quang ([12], 2006). Cả hai phương pháp này đều tiến hành giải tuần

tự các bài toán hỗn hợp yếu trên hai miền con.

Chúng tôi tiến hành thử nghiệm cả 3 phương pháp cho bài toán trong

hình chữ nhật với l1 = l2 = 1, a = 0.5. Xuất phát từ nghiệm đúng cho

trước u(x1, x2) tính vế phải và các điều kiện biên tương ứng của bài toán (2.2.1). Sau đó tiến hành xác định nghiệm xấp xỉ u(k)(x1, x2) bằng cả ba

phương pháp. Trong các thử nghiệm đều chọn bước lưới h = 1/64, tiêu

chuẩn dừng lặp là ε = 10−4. Các hàm nghiệm đúng được chọn như sau:

u1 = sin x1 sin x2,

u2 = (1 − x1)2 sin x2 + (1 − x2)2 sin x1,

u3 = ex1 sin x2 + ex2 sin x1.

Trong các bảng số liệu, ký hiệu τ là tham số lặp, k là số lần lặp và error là

sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ tính trong chuẩn max. Các thử

nghiệm trên được thực hiện trên cùng một máy tính tuần tự với một bộ

vi xử lý. Qua các kết quả thử nghiệm (Bảng 2.4, 2.5, 2.6) ta thấy phương

pháp lặp song song cho phép giải các bài toán con đồng thời trên các hệ

thống tính toán song song, tuy nhiên vấn đề tăng tốc độ hội tụ cũng cần

được nghiên cứu tiếp để phương pháp hiệu quả hơn.

Bảng 2.4 Sự hội tụ của các phương pháp lặp ứng với hàm nghiệm đúng u1

Bảng 2.5 Sự hội tụ của các phương pháp lặp ứng với hàm nghiệm đúng u2

Bảng 2.6 Sự hội tụ của các phương pháp lặp ứng với hàm nghiệm đúng u3

2.2.5. Áp dụng giải bài toán Motz

Ta xét bài toán Motz [51] với các điều kiện biên tương ứng như sau:

∆u = 0, x ∈ Ω,

u = 0, x ∈ OD,

(2.2.27)

u = 500, x ∈ AB,

= 0, x ∈ OA ∪ BC ∪ CD,

∂u ∂ν

Hình 2.9: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với các hàm: a) Hàm u1; b) Hàm u2; c) Hàm u3.

trong đó Ω = {(x, y)| − 1 (cid:54) x (cid:54) 1, 0 (cid:54) y (cid:54) 1}. Sự kỳ dị xuất hiện tại

x = y = 0, ở đó các điều kiện biên thay đổi đột ngột từ u = 0 sang

∂u/∂y = 0 (Hình 2.10). Vì vậy, để giải bài toán Motz, ta chia miền Ω

Hình 2.10: Hình miền và các điều kiện biên của bài toán Motz

thành hai miền Ω1 (bên trái) và Ω2 (bên phải) với biên nhân tạo Γ tại

điểm O. Khi đó bài toán Motz được đưa về hai bài toán hỗn hợp yếu trên

hai miền con Ω1 và Ω2 tương ứng. Sử dụng phương pháp lặp song song ta

nhận được đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz sau 38 lần lặp (Hình

2.11). Kết quả này giống như kết quả nghiệm xấp xỉ tính với 15 hệ số đầu

tiên của bài toán Motz được Z. C. Li và các đồng nghiệp giải bằng phương

pháp xấp xỉ biên [48]. Kết quả khảo sát sự gián đoạn mạnh của giá trị

đạo hàm do có sự thay đổi đột ngột các loại điều kiện biên qua điểm kỳ

dị (điểm phân cách giữa điều kiện biên Dirichlet và Neumann) được chỉ ra

Hình 2.11: Nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz

Hình 2.12: Dáng điệu đạo hàm tại điểm kỳ dị

trong Hình 2.12. Như vậy, qua kết quả thử nghiệm tính toán chứng tỏ khi

tiến đến các điểm phân chia giữa điều kiện biên Dirichlet và Neumann thì

giá trị đạo hàm sẽ tiến đến vô cùng, điều này phù hợp với tính chất của

các bài toán cơ học trong thực tế là tại các điểm đó thường xảy ra hiện

tượng gãy nứt các vật liệu.

Nhận xét.

Trên cơ sở các kết quả đã đạt được về lý thuyết và nhiều ví dụ thực

nghiệm tính toán, chúng tôi có một số nhận xét sau đây:

• Phương pháp lặp song song luôn hội tụ và trong một trường hợp riêng

đã chỉ ra được khoảng tham số lặp tối ưu τ . Từ đó ta có thể sử dụng

phương pháp lặp song song giải các bài toán biên hỗn hợp trên các

hệ thống tính toán song song.

• Để phương pháp lặp song song hiệu quả hơn thì việc tăng tốc độ hội

tụ của phương pháp này cần được nghiên cứu và một trong các hướng

tăng tốc độ hội tụ là áp dụng phương pháp ngoại suy theo tham số

[10, 11].

Kết luận chương 2.

Chương 2 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc phát triển

phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo

hàm của ẩn hàm, dựa vào tính chất gián đoạn của hệ số qua mặt phân

cách đưa bài toán biên với hệ số gián đoạn về các bài toán đơn giản hơn

trong các miền con có tính chất liên tục. Với bài toán biên của phương

trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh đã xây dựng được một sơ đồ

lặp song song cho phép giải bài toán biên hỗn hợp trên các hệ thống tính

toán song song. Áp dụng phương pháp giải bài toán Motz và khảo sát sự

kỳ dị xuất hiện tại điểm phân cách các loại điều kiện biên. Sự hội tụ của

các phương pháp lặp đều đã được chứng minh về lý thuyết và trong một

số trường hợp riêng đã thiết lập được công thức tính tham số lặp tối ưu

hoặc xác định được khoảng tham số lặp tối ưu. Sự hội tụ của phương pháp

và độ chính xác của nghiệm xấp xỉ còn được kiểm tra qua nhiều ví dụ thử

nghiệm. Các kết quả áp dụng giải một số bài toán mẫu và so sánh với các

phương pháp khác cho thấy hiệu quả của các phương pháp lặp được đề

xuất trong chương này. Trên cơ sở những kết quả đã đạt được, chúng tôi

sẽ tiếp tục phát triển phương pháp chia miền kết hợp với các phương pháp

khác cho bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được

trình bày trong chương 3.

Chương 3

Phương pháp giải gần đúng bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình song

điều hòa và kiểu song điều hòa là các lớp phương trình mô tả nhiều bài

toán trong cơ học. Chương này trình bày kết quả nghiên cứu về phương

pháp kết hợp các ý tưởng: hạ cấp phương trình, chia miền và kỹ thuật

lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều hòa với các điều kiện

biên hỗn hợp mạnh, từ đó đưa ra lời giải của hai bài toán: Bài toán vết

nứt (Crack Problem) và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong

(Problems for Plates with Partial Internal Supports). Các kết quả đã được

công bố trong các công trình [19] và [20].

3.1. Một số hướng tiếp cận giải phương trình song

điều hòa

Lý thuyết về phương trình song điều hòa đã và đang thu hút được sự

quan tâm lớn của rất nhiều nhà cơ học và các nhà toán học. Năm 2003 một

bài tổng quan của Meleshko [54] trong tạp chí "Applied Mechanics Review"

của Hội kỹ sư cơ học Mỹ đã trình bày một số khía cạnh lịch sử và tổng kết

khá nhiều phương pháp mà các nhà cơ học đã sử dụng để giải quyết bài

toán song điều hòa hai chiều như phương pháp hàm Green, phương pháp

hàm phức và một số phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp

chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov-Galerkin với các

hàm cơ sở được chọn là các hàm trơn đối với một số miền đặc biệt như

hình chữ nhật, hình ellip,... Trong bài này các vấn đề về định tính cũng

như các đánh giá về độ phức tạp (khối lượng tính toán) của các phương

pháp chưa được đề cập đến.

Các phương pháp gần đúng giải tích cũng được nhiều tác giả sử dụng để

giải phương trình song điều hòa như phương pháp bình phương cực tiểu,

phương pháp nghiệm cơ bản [56], phương pháp phương trình tích phân

biên [8, 35, 36, 25]. Đặc biệt, trong [8] Cakoni F. và các đồng nghiệp đã

xét đến vấn đề định tính của bài toán biên hỗn hợp với phương trình song

điều hòa

(3.1.1)

u = f,

= g trên ΓD,

∆2u = 0 trong Ω, ∂u ∂ν

M u = p, N u = q trên ΓN ,

trong đó M và N là các toán tử vi phân đã được nhắc đến trong chương

1. Bằng phương pháp phương trình tích phân biên, tác giả đã chứng minh

được rằng: Với f ∈ H 3/2(ΓD), g ∈ H 1/2(ΓD), p ∈ H −1/2(ΓN ) và q ∈ H −3/2(ΓN ), thì bài toán biên hỗn hợp (3.1.1) tồn tại duy nhất nghiệm yếu trong H 2(Ω, ∆2), trong đó

(cid:110) (cid:111)

H 2(Ω, ∆2) :=

u ∈ H 2(Ω) : ∆2u ∈ ˜H −2(Ω)

với ˜H −2(Ω) là không gian đối ngẫu của H 2(Ω). Đây là một kết quả quan

trọng làm cơ sở cho chúng tôi giải số một bài toán vết nứt ở phần sau của

luận án.

Một số phương pháp số hữu hiệu giải phương trình song điều hòa đã

được nhiều nhà toán học nghiên cứu và phát triển. Trước hết phải kể đến

phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương pháp phần

tử biên [37, 38]. Các phương pháp này rời rạc hóa bài toán vi phân và

dẫn đến hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn. Một số tác giả khác đã

rời rạc hóa bài toán Dirichlet cho phương trình song điều hòa nhờ phương

pháp phổ Galerkin sử dụng hàm cơ sở là các đa thức đặc biệt. Chẳng hạn

như Bialecki [6] sử dụng đa thức Legendre và đa thức Chebyshev xây dựng

được thuật toán có độ phức tạp O(N 3) trong đó N là số nút chia trên mỗi

cạnh hình vuông.

Trong các phương pháp số giải lặp để tìm nghiệm số trị cho lớp các bài

toán biên đối với phương trình song điều hòa và phương trình kiểu song

điều hòa, cách tiếp cận đưa các bài toán cấp cao về các bài toán cấp hai

với mục đích sử dụng những phần mềm về các phương pháp và thuật toán

hữu hiệu có sẵn của các bài toán cấp hai được sử dụng khá hiệu quả. Ý

tưởng đưa việc giải bài toán biên Dirichlet cho phương trình song điều hòa

về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson được thực hiện đầu tiên

bởi Meller, Dorodnisyn và Palsev [50, 58]. Một cách khác đưa bài toán

biên Dirichlet cho phương trình song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai

thuộc về Glowinski và Pironneau [28], trong đó một phương pháp lặp dẫn

bài toán song điều hòa về các bài toán cấp hai đã được chứng minh là hội

tụ xong không thu được đánh giá về tốc độ hội tụ và vấn đề chọn tham số

lặp không được đề cập tới.

Năm 1992, Abramov và Ulijanova [3] đã đề xuất một phương pháp lặp

đưa bài toán biên Dirichlet với phương trình song điều hòa về dãy các bài

toán cấp hai và dự đoán là phương pháp sẽ hội tụ nhưng không chứng

minh được bằng lý thuyết, mặc dù một số thực nghiệm đã chứng tỏ điều

này. Sau đó, một phương pháp chung để nghiên cứu sự hội tụ của các quá

trình lặp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai với ý tưởng là:

đưa bài toán cấp cao về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương

hoặc dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert thích hợp và

áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho phương trình cuối đã được đề xuất và

phát triển trong [14, 15], sau đó các tác giả trong [78] đã sử dụng phương

pháp chia miền giải bài toán song điều hòa với các điều kiện biên đơn giản

là u và ∆u cho trên toàn bộ biên được xét. Năm 2009, các tác giả Đặng

Quang Á và Lê Tùng Sơn [17] đã đề xuất một phương pháp lặp (không

chia miền) giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp chênh

nhau một cấp đạo hàm có dạng (Hình 3.1):

trong Ω,

= g2

trên Γ1,

= g1,

∆2u = f ∂∆u ∂x

∂u ∂x

u = g3,

+ b∆u = g4

trên Γ2,

∂u ∂y

(3.1.2)

= g5,

= g6

trên Γ3,

∂u ∂x

∂∆u ∂x

u = g7

trên Γ4 ∪ Γ5,

− b∆u = g8

trên Γ4,

∂u ∂y

∆u = g9

trên Γ5,

Để giải các bài toán song điều hòa với điều kiện biên phức tạp hơn

(chênh nhau ba cấp đạo hàm, được mô tả trong Hình 3.2) chúng tôi nghiên

cứu một phương pháp kết hợp giữa các ý tưởng hạ cấp phương trình, chia

miền và lặp hiệu chỉnh đạo hàm bằng cách: Trước hết đưa bài toán song

Hình 3.1: Miền Ω và các phần biên của nó

điều hòa về các bài toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, sau đó

trên mỗi bước lặp ta sử dụng phương pháp chia miền kết hợp với lặp hiệu

chỉnh đạo hàm đưa các bài toán cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

về các bài toán biên hỗn hợp yếu dễ giải. Sự hội tụ của phương pháp đã

được chứng minh bằng lý thuyết và kiểm tra qua các ví dụ thử nghiệm,

từ đó áp dụng giải gần đúng hai bài toán điển hình trong cơ học đó là bài

toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong.

3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều

hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

3.2.1. Phát biểu bài toán

Xét bài toán song điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh dạng

tổng quát như sau:

∆2u = f

trong Ω,

u = g0

trên Γ1,

(3.2.1)

= g1

trên ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2,

= g2

trên Γ2,

∂u ∂ν ∂∆u ∂ν

trong đó Ω là hình chữ nhật (−L, L) × (0, 1), và Γ1 = SA ∪ SC, Γ2 =

SB ∪ SD ∪ SE, SA, SB, SC, SD và SE là các phần của biên Γ = ∂Ω (Hình

3.2 ), ∆ là toán tử Laplace, f và gi (i = 0, 2 ) là các hàm cho trước trong

Ω và trên các phần của biên Γ tương ứng.

Hình 3.2: Miền Ω với các điều kiện biên hỗn hợp

Bài toán (3.2.1) với vế phải của phương trình bằng không và với các

điều kiện biên đặc biệt là một trong hai mô hình bài toán nứt gãy hai chiều

(model fracture problems) đã được nghiên cứu bởi Li và các đồng nghiệp

[45]. Trong [25] Elliotis, Georgios và Xenophontos đã giải xấp xỉ kiểu bài

toán này bằng phương pháp tích phân biên hàm kỳ dị (Singular Function

Boundary Integral Method-SFBIM) tuy nhiên sự hội tụ của phương pháp

chưa được khẳng định về mặt lý thuyết.

3.2.2. Mô tả phương pháp

Giả thiết rằng bài toán (3.2.1) có nghiệm duy nhất và đủ trơn.

Đặt

∆u = v

trong Ω,

v|Γ1 = ϕ.

Khi đó, bài toán (3.2.1) được đưa về dãy các bài toán cấp hai với các

điều kiện biên hỗn hợp mạnh như sau

∆v = f

trong Ω,

v = ϕ trên Γ1,

(3.2.2)

= g2

trên Γ2,

∂v ∂ν

∆u = v

trong Ω,

u = g0

trên Γ1, (3.2.3)

= g1

trên Γ2,

∂u ∂ν

trong đó ϕ là hàm chưa biết nhưng có quan hệ với u qua điều kiện thứ ba

trong (3.2.1) trên Γ1, đó là công thức

(3.2.4)

= g1

trên Γ1.

∂u ∂ν

Quá trình lặp tìm ϕ được thực hiện như sau:

(i) Cho ϕ(0) ∈ L2(Γ1), ví dụ,

(3.2.5)

ϕ(0) = 0 trên Γ1.

(k = 0, 1, ...), giải lần lượt hai bài toán cấp hai

(ii) Biết ϕ(k) trên Γ1

với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

∆v(k) = f

trong Ω,

v(k) = ϕ(k)

trên Γ1, (3.2.6)

= g2

trên Γ2,

∂v(k) ∂ν

∆u(k) = v(k)

trong Ω,

u(k) = g0

trên Γ1, (3.2.7)

= g1

trên Γ2.

∂u(k) ∂ν

(iii) Tính xấp xỉ mới

(cid:17) (3.2.8)

ϕ(k+1) = ϕ(k) − τ

,

− g1

(cid:16)∂u(k) ∂ν (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ1

trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn.

3.2.3. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp

Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp, sơ đồ lặp (3.2.8) được

viết dưới dạng lược đồ lặp hai lớp (xem [63]) như sau:

(3.2.9)

+

− g1 = 0 trên Γ1.

ϕ(k+1) − ϕ(k) τ

∂u(k) ∂ν

Đưa vào toán tử B tác động lên hàm biên ϕ bởi công thức:

(3.2.10)

Bϕ =

trên Γ1,

∂u ∂ν

trong đó u và v là nghiệm tìm được từ các bài toán sau

∆v = 0

trong Ω,

v = ϕ trên Γ1,

(3.2.11)

= 0 trên Γ2,

∂v ∂ν

∆u = v

trong Ω,

u = 0 trên Γ1,

(3.2.12)

= 0 trên Γ2.

∂u ∂ν

Ta biểu diễn nghiệm của (3.2.2)-(3.2.3) dưới dạng:

(3.2.13)

u = u1 + u2;

v = v1 + v2,

trong đó u1, v1 thỏa mãn các bài toán (3.2.11)-(3.2.12) và u2, v2 là các

nghiệm của các bài toán:

trong Ω,

∆v2 = f

v2 = 0 trên Γ1,

(3.2.14)

= g2

trên Γ2,

∂v2 ∂ν

trong Ω,

∆u2 = v2

u2 = g0

trên Γ1, (3.2.15)

= g1

trên Γ2.

∂u2 ∂ν

Theo định nghĩa của toán tử B ở trên ta có

(3.2.16)

Bϕ =

trên Γ1.

∂u1 ∂ν

Vì hàm u tìm được từ các bài toán (3.2.2)-(3.2.3) thỏa mãn mối quan hệ

(3.2.4), theo cách biểu diễn (3.2.13) ta thu được phương trình

(3.2.17)

Bϕ = F,

trong đó

(3.2.18)

F = g1 −

trên Γ1.

∂u2 ∂ν

Như vậy, bài toán (3.2.1) được đưa về phương trình toán tử (3.2.17).

Vế phải F của phương trình hoàn toàn xác định được từ các dữ liệu

f, g0, g1, g2.

Mệnh đề 3.2.1. Quá trình lặp (3.2.6)- (3.2.8) là sự thực hiện lược đồ lặp

hai lớp

(3.2.19)

+ Bϕ(k) = F,

(k = 0, 1, ...)

ϕ(k+1) − ϕ(k) τ

đối với phương trình toán tử (3.2.16).

Chứng minh. Thật vậy, nếu trong (3.2.6), (3.2.7) chúng ta đặt

(3.2.20)

u(k) = u(k)

v(k) = v(k)

1 + u2,

1 + v2,

trong đó u2, v2 là nghiệm của các bài toán (3.2.14)-(3.2.15) thì

trong Ω,

∆v(k)

trên Γ1, (3.2.21)

= 0 trên Γ2,

1 = 0 v(k) 1 = ϕ(k) ∂v(k) 1 ∂ν

trong Ω,

∆u(k)

(3.2.22)

= 0 trên Γ2.

1 = v(k) u(k) 1 = 0 trên Γ1, ∂u(k) 1 ∂ν

Từ đó ta thấy rằng

Bϕ(k) =

trên Γ1.

∂u(k) 1 ∂ν

Như vậy, theo (3.2.20) và đẳng thức trên, từ (3.2.8) ta thu được (3.2.19).

Mệnh đề đã được chứng minh.

Mệnh đề 3.2.1 cho phép chúng ta đưa việc nghiên cứu sự hội tụ của quá

trình lặp (3.2.6)-(3.2.8)về nghiên cứu lược đồ lặp (3.2.19).

Mệnh đề 3.2.2. Toán tử B được xác định bởi (3.2.10)-(3.2.12) là tuyến

tính, đối xứng, dương và là toán tử compact trong không gian L2(Γ1).

Chứng minh. Dễ thấy toán tử B là tuyến tính. Để chứng minh các tính

chất khác của B ta xét tích vô hướng (Bϕ, ¯ϕ) với hai hàm tùy ý ϕ và ¯ϕ

trong L2(Γ1). Nhắc lại rằng toán tử B tác động lên ϕ được xác định bởi

(3.2.10)-(3.2.12). Ký hiệu ¯v và ¯u là nghiệm của (3.2.11) và (3.2.12), trong

đó thay ϕ bởi ¯ϕ.

Ta có (cid:90) (cid:90) (3.2.23)

(Bϕ, ¯ϕ) =

¯ϕ dΓ =

¯v dΓ,

∂u ∂ν

Γ1

vì

= 0 trên Γ \ Γ1. Tiếp theo, do đặt v = ∆u, sử dụng công thức Green

∂u ∂ν ta có

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (3.2.24)

v¯vdx =

¯vdΓ −

∆u¯vdx =

∇u.∇¯vdx.

∂u ∂ν

Ω

Từ (3.2.23) và (3.2.24) kéo theo

(cid:90) (cid:90) (3.2.25)

(Bϕ, ¯ϕ) =

v¯vdx +

∇u.∇¯vdx.

Ω

Để tính tích phân thứ hai trong (3.2.25) ta nhận thấy

(cid:90)

∆¯vudx = 0,

Ω

vì ∆¯v = 0 trong Ω, và

(cid:90) (cid:90) (cid:90)

udΓ −

∇¯v.∇udx = 0.

∆¯vudx =

∂¯v ∂ν

Ω

Do đó, ta có (cid:90) (cid:90)

∇¯v.∇udx =

udΓ.

∂¯v ∂ν

Ω

Mặt khác, vì

= 0 trên Γ2 và u = 0 trên Γ1 nên tích phân trong vế phải

∂¯v ∂ν

là bằng 0. Vì vậy, (cid:90)

∇¯v.∇udx = 0.

Ω

Cuối cùng, từ (3.2.25) ta có

(cid:90) (3.2.26)

(Bϕ, ¯ϕ) =

v¯vdx = (B ¯ϕ, ϕ).

Ω

Như vậy toán tử B là đối xứng. Ta lại có

(cid:90)

v2dx ≥ 0.

(Bϕ, ϕ) =

Ω

Nếu (Bϕ, ϕ) = 0 thì v = 0 hầu khắp mọi nơi trong Ω, do đó ϕ = v|Γ1 = 0.

Vậy, B là toán tử dương.

Để chứng minh tính compact của toán tử B, ta giả thiết rằng ϕ ∈

là

H s(Γ1) với s ≥ 0. Khi đó bài toán (3.2.11) có nghiệm duy nhất v ∈ H s+1/2(Ω), và bài toán (3.2.12) có nghiệm duy nhất u ∈ H s+5/2(Ω), nghĩa ∈ H s+1(Γ1). Vì vậy, toán tử B ánh xạ H s(Γ1) vào H s+1(Γ1). Vì

(cid:12) (cid:12)Γ1

∂u ∂ν

H s+1(Γ1) ⊂ H s(Γ1) (xem [42]) nên B là toán tử compact H = L2(Γ1).

Do đó, mệnh đề đã được chứng minh.

Định lý 3.2.3. Quá trình lặp (3.2.6)-(3.2.8) hoặc sơ đồ lặp tương đương

(3.2.19) là hội tụ nếu

(3.2.27)

0 < τ <

.

2 ||B||

Chứng minh. Định lý này được chứng minh bằng cách áp dụng định lý 12

(tr 98) trong sách của Tikhonov [73] hoặc áp dụng bổ đề A1 trong Phụ

lục A trong công trình [17] vì các tính chất đối xứng, dương và compact

của toán tử B đã được thiết lập bởi Mệnh đề 3.2.2.

Việc xác định hay ước lượng ||B|| là rất phức tạp, nhưng trong phần

sau, bằng các thử nghiệm số chúng tôi có thể tìm được một khoảng của τ

sao cho quá trình lặp hội tụ là tốt nhất.

3.2.4. Sơ đồ lặp kết hợp

Để thực hiện phương pháp lặp ở mức rời rạc, ta phải giải lần lượt hai

bài toán biên hỗn hợp mạnh (3.2.6), (3.2.7) trong miền Ω. Để giải các bài

toán này, chúng tôi sử dụng phương pháp chia miền (DDM) trên cơ sở lặp

hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm tại biên phân cách các miền con.

Do đó, để giải (3.2.1) cần thực hiện 2 vòng lặp: vòng lặp bên trong của

DDM với mỗi bài toán bậc hai và vòng lặp ngoài đã được mô tả trong quá

trình lặp (3.2.5)-(3.2.8) để tìm ϕ từ đó tìm u.

Chia miền Ω thành hai miền con Ω1 (bên trái) và Ω2 (bên phải) bởi

đường thẳng x = 0 và ký hiệu biên phân cách hai miền con là SI, ui =

u |Ωi, (i = 1, 2) (Hình 3.3).

Hình 3.3: Miền Ω và các miền con của nó

Khi thực hiện quá trình tính toán kiểm tra các sơ đồ lặp trên, trong

công trình [76] chúng tôi đã đưa ra sơ đồ lặp cải tiến với mục đích giảm

bớt khối lượng tính toán nhằm tăng tốc độ hội tụ của phương pháp lặp.

Hoàn toàn tương tự, trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng sơ đồ lặp

kết hợp sau đây:

Bước 1. Cho trước

(3.2.28)

ϕ(0) = 0 trên SA ∪ SC; ξ(0) = 0, η(0) = 0 trên SI.

Bước 2. Với mỗi giá trị ϕ(k), ξ(k), η(k), (k = 0, 1, ...), tiến hành giải lần

lượt:

1 và u(k)

Các bài toán với v(k)

 

∆v(k)

∆u(k)

1 = f

1 = v(k)

trong Ω1, trong Ω2,

trên SA, trên SA,

(3.2.29)

= g2

trên SE,

= g1

trên SE ∪ SD1,

= ξ(k)

= η(k)

trên SI, trên SI,    

v(k) 1 = ϕ(k) ∂v(k) 1 ∂ν1 ∂v(k) 1 ∂ν1

u(k) 1 = g0 ∂u(k) 1 ∂ν1 ∂u(k) 1 ∂ν1

2 và u(k)

Các bài toán với v(k)

 

∆u(k)

∆v(k)

2 = v(k)

2 = f

trong Ω2, trong Ω2,

trên SC, trên SC,

= g2

= g1

trên SB ∪ SD2, trên SB ∪ SD2,

trên SI, trên SI,    

v(k) 2 = ϕ(k) ∂v(k) 2 ∂ν2 2 = v(k) v(k)

u(k) 2 = g0 ∂u(k) 2 ∂ν2 2 = u(k) u(k)

(3.2.30)

Bước 3. Tính các xấp xỉ mới

ξ(k+1) = (1 − θ)ξ(k) − θ

trên SI,

(3.2.31)

η(k+1) = (1 − θ)η(k) − θ

∂v(k) 2 ∂ν2 ∂u(k) 2 ∂ν2

trên SI, (cid:33) (cid:32)

ϕ(k+1) = ϕ(k) − τ

− g1

trên SA ∪ SC, i = 1, 2,

∂u(k) i ∂νi

trong đó θ, τ là các tham số lặp sẽ được lựa chọn để các sơ đồ lặp trên hội

tụ.

3.2.5. Các ví dụ thử nghiệm

Để kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.2.28)-(3.2.31), trong các ví

dụ dưới đây, miền tính toán được bao phủ bởi lưới đều. Các phương trình

Poisson (3.2.6), (3.2.7) được rời rạc hóa bởi lược đồ sai phân xấp xỉ bậc

hai. Để tính các đạo hàm trong (3.2.8) sử dụng công thức với sai số bậc

hai. Quá trình lặp (3.2.6)-(3.2.8) sẽ dừng khi (cid:107) u(k+1) − u(k) (cid:107)∞≤ ε, trong đó ε là độ chính xác O(h2), h là bước lưới.

Ví dụ 3.2.4. Xét trường hợp đã biết trước nghiệm đúng u(x, y) của bài

toán (3.2.1) trong miền Ω = [−1, 1] × [0, 1], giá trị hàm vế phải f (x, y)

và các điều kiện biên được xác định từ nghiệm đúng. Quá trình lặp được

thực hiện cho đến khi (cid:107) u(k) − u (cid:107)∞≤ ε, trong đó u(k) là giá trị nghiệm

xấp xỉ tại bước lặp thứ k, u là nghiệm đúng.

Các hàm nghiệm đúng được lựa chọn như sau:

u1(x, y) = sin x sin y;

u2(x, y) = x2 + y2;

u3(x, y) = ex sin y + ey sin x.

Các kết quả tính toán trên lưới đều 65 × 65 nút được cho trong Bảng 3.1,

Bảng 3.1: Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3

τ 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

K1 14 13 13 13 20 21

K2 31 29 26 24 24 25

K3 21 16 16 17 23 23

trong đó Ki, i = 1, 3 là số bước lặp để nhận được nghiệm đúng ui(x, y) với độ chính xác ε = 10−4.

Như vậy, với các hàm ui(x, y) chúng tôi thấy rằng (3.2.6)-(3.2.8) hội tụ

tốt nhất với tham số lặp chia miền θ = 0.7 và tham số lặp hiệu chỉnh trên

biên τ ∈ [1.4; 1.6].

Ví dụ 3.2.5. Xét trường hợp khi bài toán (3.2.1) không biết trước nghiệm

đúng, các hàm f, g0, g1, g2 là tùy ý. Quá trình lặp được thực hiện cho tới

khi (cid:107) u(k) − u(k−1) (cid:107)∞≤ ε. Dưới đây là các kết quả thử nghiệm với hai bộ

dữ liệu:

(i)

f = 0,

g0 = sin x sin y

g1 = − sin x sin y + log(x + y + 2),

g2 = ex sin y + ey sin x.

(ii)

f = 0,

g0 = x2 + y2 + 5,

g1 = sin x sin y + log(x + y + 2),

g2 = ex1+x2.

Các kết quả tính toán trên lưới đều 65 × 65 nút được cho trong Bảng

3.2, trong đó Ki, i = 1, 2 là số bước lặp với điều kiện dừng lặp là ε = 10−4

Bảng 3.2: Sự hội tụ của quá trình lặp trong Ví dụ 3.2.5

τ 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

K2 39 39 38 36 35 40

K1 17 14 14 13 12 16

cho các bộ dữ liệu (i), (ii).

Như vậy, qua các kết quả thử nghiệm, quá trình lặp (3.2.6)-(3.2.8) giải

bài toán (3.2.1) luôn luôn hội tụ, và tốc độ hội tụ là tốt nhất với tham số

lặp tối ưu τ ∈ [1.4; 1.7].

3.2.6. Giải gần đúng một bài toán vết nứt trong cơ học

Chúng tôi áp dụng phương pháp lặp được đề xuất ở trên cho bài toán

vết nứt được mô tả trong Hình 3.4 (xem [25]), trong đó u là hàm ứng suất

Airy. Các điều kiện

= 0,

∂u ∂y

các điều kiện biên tương ứng

= 0,

= 0;

∂∆u ∂y

∂3u ∂y3 = 0 trên các phần biên SB và SD dẫn tới ∂3u ∂u ∂u ∂x3 = 0 trên các ∂x ∂y = 0. Do đó, bài toán có dạng (3.2.1).

= 0,

∂u ∂x

∂∆u ∂x

phần biên SE dẫn tới Quá trình lặp giải bài toán trên lưới 65 × 65 nút với độ chính xác 10−4,

tham số τ = 1.7 hội tụ sau 14 bước lặp. Đồ thị nghiệm xấp xỉ được chỉ ra

Hình 3.4: Bài toán vết nứt

Bảng 3.3: Sự hội tụ của quá trình lặp giải bài toán vết nứt

τ 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

k 18 16 15 15 14 21

trong Hình 3.5.

Sử dụng nghiệm xấp xỉ thu được của bài toán Crack, tính đạo hàm bậc

hai của nghiệm trên biên y = 0 biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt. So

sánh kết quả này với kết quả tính đạo hàm bậc hai của nghiệm thu được

bằng phương pháp SFBIM với 15 hệ số đầu tiên trong khai triển tiệm cận

của hàm ứng suất Airy gần với đỉnh vết nứt [25], các đồ thị tương ứng

Hình 3.5: Đồ thị nghiệm của bài toán vết nứt

Hình 3.6: Dáng điệu đạo hàm bậc hai biểu diễn ứng suất dọc theo vết nứt: theo DDM (bên trái) và theo SFBIM (bên phải)

được cho trong Hình 3.6.

Từ Hình 3.6 chúng ta thấy rằng ứng suất dọc theo vết nứt thu được

bởi hai phương pháp DDM và SFBIM là tương đương.

3.3. Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong

3.3.1. Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong

Xét bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ

bên trong (line partial internal supports-LPIS) được mô tả trong Hình 3.7

Hình 3.7: Bản với một giá đỡ bên trong.

Hình 3.8: Bản với hai giá đỡ bên trong.

(trường hợp có một giá đỡ) và Hình 3.8 (trường hợp có hai giá đỡ). Giả

sử bản có tải trọng q được phân bố đều, các cạnh trên và dưới của bản

là ngàm, còn các cạnh trái và phải là gối tự do. Khi đó mô hình toán học

tương ứng của bài toán là: tìm nghiệm u(x, y) của phương trình song điều

hòa:

(3.3.1)

∆2u = f

với u(x, y) là hàm độ võng, f = q/D, D là độ cứng của bản. Vì giá đỡ

bên trong đặt ở giữa bản và hàm độ võng đối xứng theo cả hai chiều nên

có thể xét bài toán với các điều kiện biên trên 1/4 bản. Khi đó, ta có bài

toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh xét trong 1/4 bản với

trường hợp một giá đỡ và hai giá đỡ được biểu diễn trong các Hình 3.9 và

Hình 3.10 tương ứng.

Nghiên cứu đầu tiên về vấn đề uốn của bản hình chữ nhật với một LPIS

bằng phương pháp phương trình tích phân thuộc về Yang [83], sau đó

Hình 3.9: Bài toán có một LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản

Hình 3.10: Bài toán có hai LPIS với các điều kiện biên tương ứng xét trong 1/4 bản

nhiều tác giả đã sử dụng phương pháp phần tử biên cho bài toán LPIS với

các điều kiện biên khác nhau ([30, 31, 55]). Năm 2002, Wei và các đồng

nghiệp [79, 80] đã đề xuất và phát triển phương pháp tích chập rời rạc

(DSC) dựa trên lý thuyết phân bố và lý thuyết sóng xấp xỉ hàm và đạo

hàm của nó, đã chứng minh được hiệu quả của phương pháp trong việc

giải nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp. Nhưng theo hiểu biết của chúng

tôi, sự biện luận chặt chẽ cho DSC chưa được thiết lập, mặc dù bài báo

[80] đề cập đến việc phân tích dao động của bản với các giá đỡ thẳng bên

trong người ta không thấy phần toán học nào ngoại trừ các kết quả tính

toán. Gần đây Sompornjaroensuk và Kiattikomol [68, 69] đã đưa bài toán

với một LPIS về các phương trình chuỗi cặp, sau đó bằng một phép biến

đổi Hankel đưa các phương trình chuỗi cặp về một phương trình tích phân

Fredholm. Với phương pháp này, vế phải của phương trình được biểu diễn

bằng một chuỗi gồm các hàm Hankel loại 1 và loại 2, do đó việc xử lý số

với các phương trình tích phân là rất phức tạp. Hơn nữa, độ võng và độ

dốc của bản dọc theo đường giá đỡ ở giữa bản không biểu diễn trực tiếp

qua nghiệm của phương trình tích phân, nhưng các hệ số của chuỗi liên

quan tới phương trình tích phân. Do đó, việc tính toán và ước lượng sai

số cho các đại lượng vật lý là rất khó khăn, thậm chí là không thể.

Để khắc phục những khó khăn trên, chúng tôi đề xuất một phương pháp

lặp đơn giản đưa bài toán (3.3.1) với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh được

mô tả trong các Hình 3.9 và Hình 3.10 về một dãy các bài toán biên cho

phương trình Poisson với mục đích sử dụng các phương pháp hiệu quả và

các phần mềm có sẵn cho các phương trình cuối. Phương pháp này không

chỉ áp dụng cho bài toán một LPIS mà còn sử dụng rất hiệu quả cho bài

toán hai LPIS trong khi với trường hợp bản có hai LPIS thì phương pháp

phương trình chuỗi cặp [68, 69] sẽ đưa bài toán về các phương trình chuỗi

bộ ba rất phức tạp.

Với các bài toán được mô tả trong các Hình 3.9 và Hình 3.10, ta có

- Trên cạnh y = 0 cặp điều kiện biên

= 0,

∂u ∂y

∂3u ∂y3 = 0 là tương đương với

cặp điều kiện

= 0,

= 0.

∂u ∂y

∂∆u ∂y

= 0,

- Trên cạnh SC(x = b) cặp các điều kiện biên

∂u ∂x

∂3u ∂x3 = 0 là tương

đương với cặp điều kiện

= 0,

= 0.

∂u ∂x

∂∆u ∂x

- Trên cạnh SE(x = 0) cặp các điều kiện biên u = 0,

∂2u ∂x2 = 0 là tương

đương với cặp điều kiện u = 0, ∆u = 0.

Trong phần tiếp theo, để trình bày về phương pháp lặp chúng tôi sẽ sử

, trong dụng các điều kiện biên tương đương dưới dạng u,

, ∆u và

∂u ∂ν

∂∆u ∂ν

đó ν là pháp tuyến ngoài của biên, nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp,

áp dụng cho bài toán một LPIS cho trong Hình 3.9. Sau đó phát triển

phương pháp lặp cho bài toán với hai LPIS cho trong Hình 3.10.

3.3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS

3.3.2.1. Mô tả phương pháp

Xét bài toán song điều hòa dạng tổng quát như sau

∆2u = f

trong Ω,

u = g0

trên SB ∪ SD ∪ SE,

= g1

trên Γ \ SE, (3.3.2)

∂u ∂ν ∆u = g2

trên SE,

∆u = g3

trên SA ∪ SC,

∂ ∂ν

trong đó Ω là hình chữ nhật (0, a) × (0, b), SA, SB, SC, SD và SE là các

phần của biền Γ = ∂Ω như đã mô tả trong Hình 3.9, ∆ là toán tử Laplace,

f và gi (i = 0, 3) là các hàm cho trong Ω và trên các phần của biên Γ

tương ứng.

Trong trường hợp nếu tất cả các hàm gi = 0 (i = 0, 3) ta có bài toán

về độ uốn của 1/4 bản hình chữ nhật với một LPIS (Hình 3.9).

Trước hết, giả sử rằng bài toán (3.3.2) có nghiệm duy nhất và đủ trơn.

Ký hiệu Γ1 = SB ∪ SD.

Để đưa bài toán song điều hòa về dãy các bài toán cấp hai, ta đặt

∆u = v trong Ω, v |Γ1= ϕ.

Khi đó bài toán (3.3.2) được đưa về dãy các bài toán cho phương trình

Poisson với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh như sau

∆v = f

trong Ω,

v = ϕ trên Γ1,

(3.3.3)

v = g2

trên SE,

= g3

trên SA ∪ SC,

∂v ∂ν

∆u = v

trong Ω,

u = g0

trên Γ1 ∪ SE, (3.3.4)

= g1

trên SA ∪ SC,

∂u ∂ν

trong đó ϕ là hàm chưa biết nhưng có quan hệ với u bởi điều kiện:

(3.3.5)

= g1

trên Γ1.

∂u ∂ν

Xét quá trình lặp tìm ϕ từ đó tìm u như sau:

(i) Cho ϕ(0) ∈ L2(Γ1), ví dụ,

(3.3.6)

ϕ(0) = 0

trên Γ1.

(k = 0, 1, ...), giải lần lượt hai bài toán

(ii) Biết ϕ(k) trên Γ1

∆v(k) = f

trong Ω,

v(k) = ϕ(k)

trên Γ1,

(3.3.7)

v(k) = g2

trên SE,

= g3

trên SA ∪ SC,

∂v(k) ∂ν

∆u(k) = v(k)

trong Ω,

u(k) = g0

trên Γ1 ∪ SE, (3.3.8)

= g1

trên SA ∪ SC,

∂u(k) ∂ν

(iii) Tính các xấp xỉ mới

(cid:17) (3.3.9)

ϕ(k+1) = ϕ(k) − τ

− g1

trên Γ1, (cid:16)∂u(k) ∂ν (cid:12) (cid:12) (cid:12)Γ1

trong đó τ là tham số lặp được chọn sau.

Nghiên cứu sự hội tụ. Bằng cách đưa vào toán tử biên B, thiết lập các

tính chất đối xứng, dương, hoàn toàn liên tục của B. Khi đó, sự hội tụ

của phương pháp lặp giải bài toán (3.3.2) được chứng minh tương tự như

3.3.2.2. Sơ đồ lặp kết hợp

phần 3.2.3.

Chia miền Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2 bởi đường x = e và ký hiệu

biên phân cách hai miền con là SI, ui = u |Ωi, (i = 1, 2) (Hình 3.11).

Hình 3.11: Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2

Sơ đồ lặp kết hợp như sau:

Bước 1. Cho

(3.3.10)

ϕ(0) = 0 trên SB ∪ SD; ξ(0) = 0, η(0) = 0 trên SI.

2 và u(k)

2 = f

Bước 2. Biết ϕ(k), ξ(k), η(k), (k = 0, 1, ...), giải lần lượt các bài toán sau: Các bài toán với v(k)   trong Ω2, trong Ω2,

= ϕ(k)

2 = v(k) 2 = g0

trên SB ∪ SD2, trên SB ∪ SD2

= g1

trên SC,

= g3

trên SC,

= η(k)

= ξ(k)

trên SI, trên SI,    

∆u(k) u(k) 2 ∂u(k) 2 ∂ν2 ∂u(k) 2 ∂ν2

∆v(k) v(k) 2 ∂v(k) 2 ∂ν2 ∂v(k) 2 ∂ν2

(3.3.11)

1 và u(k)

Các bài toán với v(k)

1 = f

 trong Ω1,  trong Ω1,

= ϕ(k)

1 = v(k) 1 = g0

trên SD1, trên SE ∪ SD1,

= g2

trên SE,

= g1

trên SA ∪ SD1,

= g3

trên SA,   trên SI,

∆u(k) u(k) 1 ∂u(k) 1 ∂ν1 u(k) 1

= u(k) 2

  trên SI,

∆v(k) v(k) 1 v(k) 1 ∂v(k) 1 ∂ν1 v(k) 1

= v(k) 2

(3.3.12)

Bước 3. Tính các xấp xỉ mới

ξ(k+1) = (1 − θ)ξ(k) − θ

trên SI

(3.3.13)

η(k+1) = (1 − θ)η(k) − θ

trên SI

∂v(k) 1 ∂ν1 ∂u(k) 1 ∂ν1

(cid:17)

ϕ(k+1) = ϕ(k) − τ

i = 1, 2,

trên SB ∪ SD,

− g1

(cid:16)∂u(k) i ∂νi

3.3.2.3. Các ví dụ thử nghiệm

trong đó θ, τ là các tham số lặp cần lựa chọn để các sơ đồ lặp trên hội tụ.

Ví dụ 3.3.1. Xét trường hợp đã biết trước nghiệm đúng u(x, y) của bài

toán (3.3.2) trong miền Ω = [0, π/2] × [0, π/2], e = π/4. Giá trị hàm vế

phải f (x, y) và các điều kiện biên được xác định từ nghiệm đúng. Quá

trình lặp được thực hiện cho tới khi (cid:107) u(k) − u (cid:107)∞≤ ε.

Các hàm nghiệm đúng được lựa chọn như sau:

u1(x, y) = sin x sin y;

u2(x, y) = x2 + y2;

u3(x, y) = ex sin y + ey sin x.

Các kết quả tính toán trên lưới đều 65 × 65 nút trên mỗi miền con

và với tham số lặp chia miền θ = 0.7 được cho trong Bảng 3.4, trong

đó Ki, i = 1, 3 là số bước lặp để đạt được nghiệm chính xác ui(x, y) tương ứng (i = 1, 2, 3) với độ chính xác ε = 10−4. Với các hàm ui(x, y) ta

nhận thấy rằng quá trình lặp (3.3.10)-(3.3.13) hội tụ tốt với tham số lặp

τ ∈ [1.3; 1.8].

Bảng 3.4: Sự hội tụ của quá trình lặp với 3 hàm u1, u2, u3.

τ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

K1 18 17 16 16 15 14 14 17 25

K2 41 38 36 34 32 30 28 28 42

K3 41 39 37 36 34 33 32 30 41

Ví dụ 3.3.2. Kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.3.10)-(3.3.13) cho

trường hợp bài toán (3.3.2) không biết trước nghiệm đúng, các hàm f, g0, g1, g2, g3 là tùy ý. Quá trình lặp (3.3.10)-(3.3.13) được thực hiện cho tới khi ||u(k) −

u(k−1)||∞ ≤ ε. Thử nghiệm với hai bộ dữ liệu được chọn như sau:

(i)

f = 0,

g0 = x2 + y3 + 5,

g1 = (x − 1)2ey + (y − 1)2ex,

g2 = ex+y,

g3 = sin x sin y.

(ii)

f = 0,

g0 = sin xey + sin yex,

g1 = − sin x sin y + log(x + y + 2),

g2 = ex+y,

g3 = x4 + y4.

Các kết quả tính toán trên lưới đều 65 × 65 nút cho mỗi miền con được

Bảng 3.5: Sự hội tụ của quá trình lặp trong trường hợp không biết trước nghiệm đúng

τ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

K2 34 33 31 30 29 28 27 25 35

K1 50 48 46 44 42 41 40 38 43

cho trong Bảng 3.5, với ε = 10−4 cho các bộ dữ liệu (i), (ii).

Từ các kết quả thử nghiệm số ở trên, chúng ta thấy rằng quá trình lặp

(3.3.10)-(3.3.13) để giải bài toán (3.3.2) luôn hội tụ với cách chọn tham số

lặp τ phù hợp.

Ví dụ 3.3.3. Bây giờ, chúng tôi áp dụng phương pháp lặp cho bài toán

với bản hình chữ nhật đã được mô tả trong Hình 3.9, trong đó u(x, y) là

hàm độ võng, f = qa4/π4D, D độ cứng của bản được xác định bởi công

thức D = Eh3/12(1 − σ2), h là độ dày của bản, σ và E là tỷ lệ Poisson

và modul Young tương ứng.

Để so sánh với các kết quả giải bằng phương pháp phương trình chuỗi

cặp của các tác giả Sompornjaroensuk và Kiattikomol đã trình bày trong

[68]. Chúng tôi thực hiện quá trình lặp (3.3.10)-(3.3.13) giải bài toán bản

với một LPIS trong miền Ω = [0, π/2] × [0, π/2] được thực hiện trên lưới

65 × 65 nút trên mỗi miền con với ε = 10−4, độ dày của bản là h = 0.5,

tải trọng đều q = 0.3, tham số lặp τ = 1.4 hội tụ sau 14 bước lặp. Trong

Hình 3.12 là kết quả biểu diễn các hàm độ võng tương ứng với các vị trí

đặt giá đỡ (e/π) khác nhau cho bản có các điều kiện biên trên các cạnh

như trong Hình 3.9. Độ dốc của bản theo hướng của x và y dọc theo giá

đỡ bên trong được biểu diễn trong Hình 3.13. Mặt võng của toàn bản được

biểu diễn trong Hình 3.14.

Các kết quả thu được ở trên giống như các kết quả thu được bằng đồ

thị của các tác giả Sompornjaroensuk và Kiattikomol trong [68]. Các kết

quả tính toán trong Bảng 3.6 chỉ rõ độ võng của bản phụ thuộc vào vị trí

đặt giá đỡ và độ dài của giá đỡ, trong đó các giá trị: e/π là vị trí đặt giá

đỡ, umax là độ võng lớn nhất và (xmax1 − xmax2, ymax) là tọa độ của khoảng

chứa các điểm tương ứng với umax. Các đường đồng mức (contours) của

độ võng trong các trường hợp e/π = 0.1 và e/π = 0.3 được biều diễn

trong các Hình 3.15 và Hình 3.16. Qua các kết quả thử nghiệm có thể thấy

phương pháp lặp được tính toán đơn giản và rất nhanh. Hơn nữa, phương

pháp lặp đã được đề xuất có thể dễ dàng áp dụng cho các bài toán phức

tạp hơn.

Hình 3.12: Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ có độ dài khác nhau

Hình 3.13: Độ dốc của bản theo hướng x và y dọc theo giá đỡ

Hình 3.14: Mặt võng của toàn bản có một LPIS

Bảng 3.6: Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 1 LPIS

e/π 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.49

umax 0.1574 0.1574 0.1575 0.1575 0.1576 0.1607 0.1806 0.2223 0.3124 0.3477

(xmax1 − xmax2, ymax) (0.4719 - 0.5, 0.5) (0.4750 - 0.5, 0,5) (0.4727 - 0.5, 0.5) (0.4719 - 0.5, 0.5) (0.4648 - 0.5, 0.5) (0.2484 - 0.3250, 0.4844) (0.2352 - 0.2516, 0.4375) (0.2063 - 0.2250, 0.3438) (0.1969 - 0.2180, 0.1719) (0.1991 - 0.2220, 0)

Hình 3.15: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.1

Hình 3.16: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e/π = 0.3

3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai LPIS

Với các kết quả đạt được của phương pháp lặp giải bài toán về độ võng

của bản trong trường hợp có một LPIS, chúng tôi tiếp tục áp dụng phương

pháp lặp để giải bài toán về độ võng của bản có hai LPIS.

3.3.3.1. Mô tả phương pháp

Xét bài toán về bản có hai LPIS dạng tổng quát:

∆2u = f

trong Ω,

u = g0

trên SB ∪ SD ∪ SE,

= g1

trên Γ \ SD, (3.3.14)

∂u ∂ν ∆u = g2

trên SD,

∆u = g3

trên SA ∪ SC ∪ SF ,

∂ ∂ν

trong đó Ω là hình chữ nhật (0, a) × (0, b), SA, SB, SC, SD, SE và SF là các

phần của biên Γ = ∂Ω đã được mô tả trong Hình 3.10, f và gi, (i = 0, 3)

là các hàm cho trong Ω và các phần tương ứng của biên Γ.

Chia miền Ω thành ba miền con Ω1, Ω2 và Ω3 bởi các đường x = e1

và x = e2, và ký hiệu các biên phân cách các miền con này là SI1 và SI2

Hình 3.17: Miền Ω và các miền con Ω1, Ω2, Ω3

(Hình 3.17). Xét phương pháp lặp kết hợp trong đó chúng tôi hiệu chỉnh

i = 0, η(0)

i = 0 trên SIi, (i = 1, 2).

đồng thời v = ∆u trên SB ∪ SE và ξ = ∂∆u/∂ν, η = ∂u/∂ν trên các biên

, (k = 0, 1, ...), (i = 1, 2) giải lần lượt: phân cách SI1, SI2 như sau: Bước 1. Cho ϕ(0) = 0 trên SB ∪ SE; ξ(0) Bước 2. Biết ϕ(k), ξ(k) , η(k) i

2 và u(k)

Các bài toán với v(k)

2 = f

  trong Ω2, trong Ω2,

= ϕ(k)

2 = v(k) 2 = g0

trên SB ∪ SE2, trên SB ∪ SE2

trên SIi, (i = 1, 2), trên SIi, (i = 1, 2),

= ξ(k) i

= η(k) i

   

∆u(k) u(k) 2 ∂u(k) 2 ∂ν2

∆v(k) v(k) 2 ∂v(k) 2 ∂ν2

(3.3.15)

1 và u(k)

Các bài toán với v(k)

1 = f

1 = v(k) 1 = g0

  trong Ω1, trong Ω1,

trên SD1,

= g3

trên SA ∪ SF ,

= g1

trên SA ∪ SF , trên SE1,

    trên SI1, trên SI1,

∆v(k) ∂v(k) 1 ∂ν1 v(k) 1 v(k) 1

= ϕ(k) = v(k) 2

∆u(k) u(k) 1 ∂u(k) 1 ∂ν1 u(k) 1

= u(k) 2

(3.3.16)

3 và u(k)

Các bài toán với v(k)

3 = f

 trong Ω3,  trong Ω3,

= g3

3 = v(k) 3 = g0

trên SC, trên SD ∪ SE3,

= ϕ(k)

trên SE3,

= g1

trên SC,

trên SD,   trên SI2,

∆u(k) u(k) 3 ∂u(k) 3 ∂ν3 u(k) 3

= u(k) 2

  trên SI2,

∆v(k) ∂v(k) 3 ∂ν3 v(k) 3 v(k) 3 v(k) 3

= g2 = v(k) 2

(3.3.17)

Bước 3. Tính các xấp xỉ mới

= (1 − θ)ξ(k)

trên SI1

ξ(k+1) 1

1 − θ

= (1 − θ)η(k)

trên SI1

η(k+1) 1

1 − θ

(3.3.18)

= (1 − θ)ξ(k)

trên SI2

ξ(k+1) 2

2 − θ

= (1 − θ)η(k)

trên SI2

η(k+1) 2

2 − θ

∂v(k) 1 ∂ν1 ∂u(k) 1 ∂ν1 ∂v(k) 3 ∂ν3 ∂u(k) 3 ∂ν3

(cid:17)

ϕ(k+1) = ϕ(k) − τi

− g1

trên SB ∪ SE, (cid:16)∂u(k) i ∂νi

trong đó θ, τi là các tham số được chọn sau cho các miền con tương ứng

Ωi, ui = u |Ωi, ∂/∂νi, i = (1, 2, 3) là các đạo hàm theo hướng tương ứng

3.3.3.2. Ví dụ thử nghiệm

trên các phần của biên.

Chúng tôi áp dụng phương pháp lặp kết hợp cho bài toán bản với hai

LPIS như đã mô tả trong Hình 3.8, và xét bài toán với 1/4 bản được mô

tả trong Hình 3.10.

Xét các trường hợp sau đây:

(a) Trường hợp 1: Trong 1/4 bản, miền Ω là miền chữ nhật, một giá

đỡ đặt tại phần giữa của cạnh trên của hình chữ nhật, khi đó miền

Ω được chia thành ba miền con bằng nhau bởi các biên phân cách

SI1 = {x = e1, 0 ≤ y ≤ b} và SI2 = {x = e2, 0 ≤ y ≤ b}.

Quá trình lặp (3.3.15)-(3.3.18) giải bài toán với hai LPIS trong miền

Ω = [0, π/2] × [0, π/2], e1 = π/6, e2 = π/3, h = 0.5, q = 0.3, trên lưới 65 × 65 nút cho mỗi miền con với ε = 10−4, các tham số lặp θ = 0.7,

τ1 = τ3 = 0.9, τ2 = 0.3 hội tụ sau 14 bước lặp. Độ dốc theo hướng x

100

dọc theo giá đỡ và độ dốc theo hướng y tại điểm giữa của giá đỡ được

cho trong các Hình 3.18 và Hình 3.19. Độ võng của 1/4 bản được cho

Hình 3.18: Độ dốc của bản theo hướng x dọc theo LPIS

Hình 3.19: Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS

Hình 3.20: Mặt võng của 1/4 bản với hai LPIS

Hình 3.21: Mặt võng của toàn bản có hai LPIS

trong Hình 3.20 và độ võng với toàn bản trong Hình 3.21.

(b) Trường hợp 2: Trong 1/4 bản, miền Ω là hình chữ nhật, một giá đỡ

được đặt tại vị trí tùy ý trong khoảng [e1/π, e2/π] ở cạnh trên của

hình chữ nhật, khi đó miền Ω được chia thành ba miền con không

bằng nhau bởi các biên phân cách SI1 và SI2. Quá trình lặp (3.3.15)-

(3.3.18) cũng được thực hiện trên lưới đều 65 × 65 nút với các tham

101

số lặp như Trường hợp 1. Các kết quả tính toán cho thấy số lần lặp

để đạt được độ chính xác 10−4 nằm trong khoảng [14, 22]. Các Hình

3.22, Hình 3.23, Hình 3.24 là các kết quả tương ứng biểu diễn: Độ dốc

của bản theo hướng x, y và độ võng của 1/4 bản với giá đỡ đặt tại vị

trí tùy ý. Bảng 3.7 chỉ rõ độ võng lớn nhất của bản có hai giá đỡ phụ

thuộc vào độ dài và vị trí đặt giá đỡ tương ứng. Các đường đồng mức

của độ võng trong trường hợp e1/π = 0.1, e2/π = 0.2 và e1/π = 0.2

Hình 3.22: Độ dốc của bản theo hướng x với LPIS đặt tại vị trí tùy ý

Hình 3.23: Độ dốc của bản theo hướng y xét tại điểm giữa của LPIS

Hình 3.24: Mặt võng của 1/4 bản với giá đỡ đặt tại vị trí tùy ý

và e2/π = 0.4 được biểu diễn trong các Hình 3.25 và Hình 3.26. Từ

102

Bảng 3.7 chúng ta thấy rằng: Độ võng của bản sẽ giảm khi giá đỡ di

Bảng 3.7: Vị trí đặt giá đỡ, độ võng lớn nhất và tọa độ tương ứng của bản với 2 LPIS

e1/π 0.05 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1

e2/π 0.1 0.2 0.3 0.4 0.3 0.4 0.4

umax 1.0136 0.5222 0.2319 0.1644 0.2341 0.1639 0.1638

(xmax1 − xmax2, ymax) (0.4938 - 0.5, 0) (0.4906 - 0.5, 0) (0.4844 - 0.5, 0.4063) (0.4375 - 0.5, 0.5) (0.4844 - 0.5, 0.3906) (0.4656 - 0.5, 0.5) (0.4672 - 0.5, 0.5)

Hình 3.25: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π = 0.1, e2/π = 0.2

Hình 3.26: Đường đồng mức của độ võng trong trường hợp e1/π = 0.2, e2/π = 0.4

chuyển từ cạnh gối đơn đến tâm của bản và khi độ dài của giá đỡ tăng.

theo biến y, cụ thể q = cos(y). Tất cả các tham số lặp và các dữ liệu

khác giống như Trường hợp 2 và kết quả nhận được độ chính xác 10−4

sau 16 lần lặp.

Qua các kết quả nghiên cứu về độ võng của bản có giá đỡ bên trong với

các điều kiện biên ngàm hoặc gối tự do giúp cho chúng ta có thể xác định

được độ võng của bản phụ thuộc vào các thông số như: số giá đỡ bên trong,

vị trí đặt các giá đỡ, độ dài của giá đỡ, tải trọng tác động lên bản,...Bằng

phương pháp lặp tìm nghiệm của bài toán song điều hòa với điều kiện biên

103

hỗn hợp được đề xuất ở trên, chúng ta có thể xác định được độ võng của

bản trong từng trường hợp có thể xảy ra. Điều này rất có ý nghĩa trong

thực tế.

Kết luận chương 3.

Chương 3 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới trên cơ sở kết hợp

hai ý tưởng hạ cấp phương trình và chia miền, luận án đã đề xuất một

phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với các điều kiện biên phức

tạp, nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp và kiểm tra sự hội tụ bằng

nhiều ví dụ thử nghiệm. Áp dụng giải hai mô hình bài toán trong cơ học,

đó là bài toán về vết nứt và bài toán về độ võng của bản có một hoặc

hai giá đỡ bên trong. Qua các kết quả nghiên cứu cả về lý thuyết và thử

nghiệm, so sánh với một số phương pháp như: Phương pháp SFBIM giải

bài toán vết nứt, phương pháp phương trình chuỗi cặp giải bài toán bản

với một giá đỡ, các kết quả tính toán đã chứng tỏ hiệu quả của phương

pháp là: Các phép lặp hội tụ nhanh, sự tính toán là đơn giản và dễ dàng

thực hiện trên máy tính điện tử, khắc phục được những khó khăn của các

phương pháp khác khi trên biên xuất hiện nhiều điểm phân cách các dạng

điều kiện biên. Phương pháp lặp kết hợp này còn có thể áp dụng cho các

bài toán:

• Với một hoặc nhiều giá đỡ bên trong, các giá đỡ này có thể được đặt

ở vị trí không đối xứng qua tâm của bản.

• Khi tải trọng được phân bố không đều và là một hàm chẵn theo biến

y.

• Khi có một cạnh được gối ngang với hạn chế quay đàn hồi không đều:

D∆u + K(s)

= 0.

∂u ∂n

104

Phương pháp lặp cũng có thể sử dụng để giải bài toán về thanh trượt

phẳng (The planar stick-slip) [26] với nhiều phần thanh trượt, trong khi

105

với phương pháp SFBIM thì khó có thể áp dụng được.

KẾT LUẬN CHUNG

Kết hợp các ý tưởng chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh

đạo hàm, luận án đã đề xuất các phương pháp hiệu quả giải một số bài

toán đối với phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp phức tạp

nảy sinh từ cơ học và vật lý. Các kết quả chính của luận án bao gồm:

(1) Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh

giá trị đạo hàm trên biên phân chia giải bài toán biên elliptic với hệ số

gián đoạn, đưa bài toán mặt phân cách trong môi trường không đồng

nhất về các bài toán con, trong các miền ở đó tính chất của môi trường

là liên tục. Các kết quả đã được chứng minh bằng lý thuyết và kiểm

tra bằng các chương trình thực nghiệm tính toán trên một số miền cả

đơn giản và phức tạp.

(2) Đề xuất một phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương

trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, chứng minh sự hội tụ

của phương pháp, tìm khoảng tham số lặp tối ưu cho một trường hợp

riêng và áp dụng giải bài toán Motz. Phương pháp này cho phép giải

bài toán biên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song.

(3) Đề xuất một phương pháp kết hợp giữa chia miền, hạ cấp phương

106

trình và lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán biên của phương trình

song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các kết quả đã được

chứng minh chặt chẽ về mặt lý thuyết và được kiểm tra trên nhiều

thực nghiệm tính toán. Đặc biệt, hiệu quả của phương pháp đã được

khẳng định qua các kết quả giải các bài toán:

- Bài toán vết nứt

- Bài toán về độ uốn của bản mỏng có một hoặc hai giá đỡ bên trong.

Đặc biệt, kết quả về bài toán bản với hai giá đỡ bên trong là hoàn

toàn mới, và đang trong quá trình in xuất bản trên tạp chí Journal of

Engineering Mathematics (SCI).

Các thử nghiệm tính toán đã được thực hiện trên nhiều ví dụ và so

sánh với các phương pháp khác (Phương pháp SFBIM, phương pháp

phương trình chuỗi cặp,...) chứng tỏ tính hiệu quả của các phương

pháp đã được đề xuất.

(4) Xây dựng một thư viện chương trình giải số bài toán biên hỗn hợp

yếu của phương trình elliptic với hệ số hằng trong miền chữ nhật với

các điều kiện biên khác nhau dựa trên thuật toán thu gọn khối lượng

tính toán của Samarskij-Nikolaev. Thư viện chương trình này là công

cụ quan trọng để giải số các bài toán phức tạp được nghiên cứu trong

luận án.

Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:

• Nghiên cứu biện pháp làm tăng tốc độ hội tụ của các phương pháp

lặp trên cơ sở phương pháp ngoại suy tham số .

• Phát triển các phương pháp lặp đã đề xuất đối với các miền hình học

phức tạp và điều kiện biên phức tạp hơn.

• Ứng dụng các phương pháp này đối với một số mô hình bài toán khác

107

trong cơ học và vật lý.

• Nghiên cứu phương pháp lặp dựa trên chia miền đối với các dạng

108

phương trình hyperbolic và parabolic.

Danh mục các công trình đã công bố

(1) Dang Q. A, Trương H. H, Vu V. Q, Domain Decomposition Method for

Elliptic Interface Problems, Vietnam Journal of Math. Vol. 39, No. 4,

485-499, 2011.

(2) Dang Q. A, Truong H. H, Vu V. Q, Iterative method for a biharmonic

problem with crack, Applied Mathematical Sciences. Vol. 6, No. 62,

3095 - 3108, 2012.

(3) Dang Q. A, Trương H. H, Simple Iterative Method for Solving Prob-

lems for Plates with Partial Internal Supports, Journal of Engineering

Mathematics (SCI), DOI:10.1007/s10665-013-9652-7 (in press).

(4) Đặng Quang Á, Trương Hà Hải, Phương pháp lặp song song giải bài

toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trình elliptic, Kỷ yếu hội thảo

quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc của CNTT và TT", NXB KH và

KT, 370-382, 2010.

(5) Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Tiếp cận chia miền

tới bài toán về mặt phân cách, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn

đề chọn lọc của CNTT và TT", NXB KH và KT, 311-320, 2011.

109

(6) Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng bộ

chương trình RC2009 giải số bài toán biên elliptic với hệ số hằng số.

Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 7(69), 63-70,

2010.

(7) Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải. Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối

với bài toán song điều hòa. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học

Thái nguyên, 1(75), 38-47, 2008.

(8) Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư, Mô hình tính toán

song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền. Tạp

110

chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 2 (50), 52-57, 2009.

Tài liệu tham khảo

[1] Aubin J. P. Approximation of elliptic boundary-value problems, Wiley-

Interscience, 1971.

[2] Adams, R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York. 1975.

[3] Abramov A. A. and Ulijanova V. I., A method for solving biharmonic-

type equations with a singularly occurring small parameter, J. of Comp.

Math. and Math. Phys., v. 32, No 4, 481-487, 1992.

[4] Andrea Toselli, Olof Widlund, Domain Decomposition Methods: Algo-

rithms and Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005.

[5] Bosko S. Jovanovie and Lubin G. Vulkov, Finite Difference Approx-

imation of an Elliptic Interface Problem with Variable Coefficients,

Numerical Analysis and Its Applications, Lecture Notes in Computer

Science, Vol 3401/2005, 46-55, 2005.

[6] Bialecki B., Karageorghis A., A Legendre Special Galerkin Method

for the Biharmonic Dirichlet Problem, SIAM Journal on Scientific

Computing, Vol 22, Issue 5, 1549-1569, 2000.

[7] Cioranescu D. and Patrizia D., An Introduction to Homogenization,

111

Oxford Press, 1999.

[8] Cakoni F., Hsiao G. C. and Wendland W. L., On the Boundary In-

tegral Equation Method for a Mixed Boundary Value Problem of the

Biharmonic Equation, Complex Variables, Theory and Application,

Vol 50, 681-696, 2005.

[9] Ciarlet P. G., The Finite Element Method for Elliptic Problems,

North-Holland, Amsterdam, 1978.

[10] Dang Q. A, Approximate method for solving an elliptic problem with

discontinuous coefficients, Journal of Comput. and Applied Math.,51,

193-203, 1994.

[11] Dang Q. A, Parametric extrapolation as a parallel method in math-

ematical physics., Tạp chí Tin học và Điều khiển học , No 1, 1-9,

2001.

[12] Dang Q. A, V. V. Quang, Domain decomposition method for solv-

ing an elliptic boundary value problem, in book: Method of Complex

and Clifford Analysis, SAS International Publications, Delhi, 309-319,

2006.

[13] Dang Q. A, Vu V. Q., A domain decomposition method for strongly

mixed boundary value problems for the Poisson equation, In book H.G.

Bock et al (eds): Modeling, Simulation and Optimization of Complex

Processes, Springer, 65-76, 2012.

[14] Dang Q. A, Boundary operator method for approximate solution of

biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math. Vol. 22, No. 1-2,

112

114-120, 1994.

[15] Dang Q. A, Mixed boundary-domain operator method in approximate

solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math. Vol.

26, No. 3, 243-252, 1998.

[16] Dang Q. A, Iterative method for solving the Neumann boundary value

problem for biharmonic type equation, Journal of Comput. and Ap-

plied Math., Vol. 196, No 2, 634-643, 2006.

[17] Dang Q. A and Le T. S, Iterative methods for Solving a Problem with

Mixed Boundary Conditions for Biharmonic Equations, Advances in

Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 1, No. 5, 1-16, 2009.

[18] Dang Q. A, Trương H. H, Vu V. Q, Domain Decomposition Method

for Elliptic Interface Problems, Vietnam Journal of Math. Vol. 39, No.

4, 485-499, 2011.

[19] Dang Q. A, Truong H. H, Vu V. Q, Iterative method for a biharmonic

problem with crack, Applied Mathematical Sciences. Vol. 6, No. 62,

3095 - 3108, 2012.

[20] Dang Q. A, Trương H. H, Simple Iterative Method for Solving Prob-

lems for Plates with Partial Internal Supports, Journal of Engineering

Mathematics (SCI), DOI:10.1007/s10665-013-9652-7 (in press).

[21] Đặng Quang Á, Trương Hà Hải, Phương pháp lặp song song giải bài

toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trình elliptic, Kỷ yếu hội thảo

quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc của CNTT và TT", NXB KH và

113

KT, 370-382, 2010.

[22] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Tiếp cận chia miền

tới bài toán về mặt phân cách, Kỷ yếu hội thảo quốc gia "Một số vấn

đề chọn lọc của CNTT và TT", NXB KH và KT, 311-320, 2011.

[23] Ewing. R. E. , Z. Li, T. Lin, and Y. Lin, The immersed finite volume

element methods for the elliptic interface problems, Mathematics and

Computers in Simulation 50, no. 1–4, 63–76, 1999.

[24] Elliotis M., Georgiou G. and Xenophontos C., Solution of the stick-

slip problem with the singular function boundary integral method, 5th

GRACM International Congress on Computational Mechanics, Limas-

sol, 29 June, 2005.

[25] Elliotis M., Georgiou G. and Xenophontos C., The singular function

boundary intergral method for biharmonic problems with crack singu-

larities, Eng. Anal. Bound. Elem. 31, 209-215, 2007.

[26] Elliotis M., Georgiou G. and Xenophontos C., Solution of planar New-

tonian stick-slip problem with the singular function boundary integral

method, Int. J. Numer. Mech. Fluids, 48: 1001-1021, 2005.

[27] Grisvard P., Elliptic problems in nonsmooth domains, Pitman Pub-

lishing, Boston 1985.

[28] Glowinski R. and Pironneau O., Numerical methods for the first bi-

harmonic equation and for the two-dimensional Stokes problem, SIAM,

Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 21, No. 2, 167-

212, 1979.

[29] Gilbarg D., N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of

114

Second Order, Springer, Berlin,1977.

[30] Guminiak M, Sygulski R., The analysis of internally supported thin

plates by the boundary element method. Part 1 Static analysis. Foun-

dation of Civil and Environmental Engineering, 9: 17-41, 2007.

[31] Guminiak M, Sygulski R., The analysis of internally supported thin

plates by the boundary element method. Part 2 Free vibration analysis.

Foundation of Civil and Environmental Engineering, 9: 43-74, 2007.

[32] Herrera I., Unified Theory of Domain Decomposition Methods, 14th

Int. Conf. on Domain Decomposition Methods, Editors: Ismael Her-

rera, David E. Keyes, Olof B. Widlund, Robert Yates, www.DDM.org,

243-248 2003.

[33] He. X. M. , T. Linand Y. Lin, A Bilinear Immersed Finite Volume

Element Method for the Diffusion Equation with Discontinuous Coef-

ficient, Commun. Comput. Phys., 6, 185-202, 2009.

[34] Hou L.S. and Jangwoon Lee, A Robin-Robin non-overlapping domain

decomposition method for an elliptic boundary control problem, In-

ternational Journal of Numerical Analysis and Modeling, Volume 8,

Number 3, 443–465, 2011.

[35] Jeon Y., Scalar boundary integral equation formulas for the biharmonic

equation-numerical experiments, Journal of Comp. and App. Math.

(JCAM) 115, 269-282, 2000.

[36] Jeon Y., New indirect scalar boundary intergral equation formulas for

115

the biharmonic equation, JCAM 135, 313-324, 2001.

[37] Katsikadelis J. T. and Kallivokas L. F., Clamped Plates on Pasternak-

Type Elastic Foundation by The Boundary Element Method , J. Appl.

Mech. ASME, 53, 909-917, 1986.

[38] Katsikadelis J. T. and Kallivokas L. F., Plates on Biparametric Elastic

Foundation by BDIE Method, J. Engrg. Mech., 114, 847-875, 1998.

[39] Li. Z, An overview of the immersed interface method and its applica-

tions, Taiwanese Journal of Mathematics, v. 7, no 1, 1-49, 2003.

[40] Li. Z. and K. Ito, The Immersed Interface Method: Numerical So-

lutions of PDEs Involving Interfaces and Irregular Domains, SIAM,

Philadelphia, 2006.

[41] Liang Chern, Yu-Chen Shu, A coupling interface method for elliptic

interface problems, Journal of Computational Physics, 225, 2138–2174,

2007.

[42] Lions J. L. and E. Magenes, Problemes aux Limites Non Homogens et

Application, Vol. 1, Dunod, Paris, 1968.

[43] Lions P. L., On the Schwarz alternating methods III: a variant for

nonoverlapping subdomains, in Third International Symposium on Do-

main Decomposition Methods for Partial Differential Equations, T.

F. Chan, R. Glowinski, J. Periaux, and O. B. Wildlund, eds., SIAM,

Philadelphia, PA, 202-231, 1990.

[44] Li Z. C. and T. T. Lu, Singularities and Treatments of Elliptic Bound-

ary Value Problems, Mathematical and Computer Modeling, 31, 97-45,

116

2000.

[45] Li Z. C, Lu T. T, Hu H. Y, The collocation Trefftz method for bihar-

monic equations with crack singularities, Eng. Anal. Bound. Elem.;

28, 79-96, 2004.

[46] Lurie A. I., Theory of Elasticity, published by Springer, 2005.

[47] Le Tallec P. et al., Domain decomposition methods for large linearly

elliptic three dimensional problems, Rapprts de Recherche, No 1182,

INRIA, France, 1990.

[48] Li. Z. C., Y. L. Chan, G. C. Georgiov, C. Xenophontos, Special

Boundary Approcimation Methods For Laplace Equation problems

with Boundary Singularities Application to Motz problem, J. Com-

puters and Mathematics with Applications 51, 115-142, 2006.

[49] Lube G., M¨uller L. and M¨uller H., A new non-overlapping domain

decomposition method for stabilized finite element methods applied to

the non-stationary Navier-Stokes equations. Numer. Linear Algebra

Appl., 7: 449–472, 2000.

[50] Meller N. A. and Dorodnisyn A. A., Some approaches to solving sta-

tionary Navier–Stokes equations, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 8:2,

393–402, 1968.

[51] Motz. H, The treatment of singularities in relaxation methods, Quart.

Appl. Math. 4, 371-377, 1946.

[52] Mandal B.N. and N. Mandal, Advances in Dual Integral Equations.

Research Notes in Mathematics, Chapman and Hall-CRC, New York,

117

1999.

[53] Mandrik P.A., The method of the dual integral equation for analysis of

heat transfer processes, Mathematical Modeling and Analysis, 6:280-

288, 2001 .

[54] Meleshko V. V., Selected topics in the history of the two-dimensional

biharmonic problem, Applied Mechanics Reviews, vol. 56, issue 1, 33-

85, 2003.

[55] Pawlak Z., Guminiak M., The application of fundamental solutions in

static analysis of thin plates resting on the internal elastic support,

Foundation of Civil and Environmental Engineering, No 11: 67-96,

2008.

[56] Pollikkas A., Karageorghis A., Georgiou G., Methods of fundamen-

tal solutions for harmonic and biharmonic boundary value problems,

Computational Mechanics 21, 416-423, 1998.

[57] Popov G.I, Rostovtsev N. A., Contact and Mixed Problems of Elastic-

ity, Proceedings of Symposium on Theoretical and Applied Mechanics,

Moscow, No 3, 235-252, 1966.

[58] Palsev B. V., On the expansion of the Dirichlet problem and a mixed

problem for biharmonic equation into series of decomposed problems,

J. of Comp. and Math. Phys., Vol 6, No 1, 43-51, 1966 (Russian).

[59] Quarteroni A., Valli A,. Numerical approximation of partial differen-

tial equations, Springer-Verlag Berlin Heidelburg, 1994.

[60] Quarteroni A. and Valli A., Domain Decomposition Methods for Par-

118

tial Differential Equations, Oxford Science Publications, Oxford. 1999.

[61] Quarteroni A., Numerical Models for Differential Problems, Vol. 2,

Springer-Verlag Italia, Milan 2009.

[62] Rectorys K., Variational Methods in Mathematics, Science and Engi-

neering, Dordrecht, Boston, 1980.

[63] Samarskii A. A., The Theory of Difference Schemes, New York, Marcel

Dekker, 2001.

[64] Samarskii A., and Nicolaev E., Numerical methods for grid equations,

vol. 1: Direct Methods, Birkhauser, Basel, 1989.

[65] Shen J., Effcient spectral-Galerkin method II. Direct solvers of second-

and fourth-order equations using Chebyshev polynomials, SIAM J. Sci.

Comput,. 16, 74-87, 1995.

[66] Saito N. , H. Fujita, Operator Theoretical Analysis to Domain Decom-

position Methods, 12th Int. Conf. on Domain Decomposition Methods,

63-70, 2001.

[67] Szilard R., Theory and Analysis of Plates, Prentice-Hall, 1974.

[68] Sompornjaroensuk Y. and Kiattikomol K., Dual-series equations for-

mulation for static deformation of plates with a partial internal line

support, Theoret. Appl. Mech, Vol. 34, No.3, 221-248, Belgrade, 2007.

[69] Sompornjaroensuk Y., and Kiattikomol K., Exact analytical solutions

for bending of rectangular plates with a partial internal line support,

Journal of Engineering Mathematics, Vol. 62, No 3, 261-276, 2008.

[70] Seyidmamedo. Z. M., E. Ozbilge, A mathematical model and numerical

119

solution of interface problems for steady state heat conduction, Math-

ematical Problems in Engineering, Volume 2006, Artice ID 20898, 18

papes, DOI: 10.1155/MPE/2006/20898.

[71] Timoshenko S. P. and Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and

Shells, McGraw-Hill, New York, 1970.

[72] Tikhonov A. N., and Samarskii A. A., Homogeneous difference

schemes, USSR Comput. Math. and Math. Phys., Vol 1, No 1, 5-67,

1962.

[73] Tikhonov A. N. and Arsenin V. Y., Solutions of ill posed problems,

Nauka, 1979.

[74] Truong Ha Hai, Vu Vinh Quang, Do Diep Anh, The result of con-

structing two domain decomposition methods for solving biharmonic

problem, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 1

(30): 12-20, 2009.

[75] Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng bộ

chương trình RC2009 giải số bài toán biên elliptic với hệ số hằng số.

Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 7(69), 63-70,

2010.

[76] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải. Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối

với bài toán song điều hòa. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học

Thái nguyên, 1(75), 38-47, 2008.

[77] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Cao Thị Anh Thư, Mô hình tính

toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền.

Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái nguyên, 2 (50), 52-57,

120

2009.

[78] Vũ Vinh Quang, Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp

hai và phương trình song điều hòa trong miền hình học phức tạp. Luận

án tiến sĩ, 2007.

[79] Wei G.W., Zhao Y.B., Xiang Y. Discrete singular convolution and

its application to the analysis of plates with internal supports. Part1:

Theory and algorithm, International Journal for Numerical Methods

in Engineering, 55:913-946, 2002.

[80] Xiang Y., Zhao Y.B., WeiG. W., Discrete singular convolution and

its application to the analysis of plates with internal supports. Part2:

Applications, International Journal for Numerical Methods in Engi-

neering, 55:947-971, 2002.

[81] Xenophontos, M. Elliotis, and G. Georgiou, A singular function bound-

ary integral method for Laplacian problems with boundary singulari-

ties, SIAM J. Sci. Comp., Vol 28, No 2, 517-532, 2006.

[82] Yan Gong, Bo Li, and ZhiLin Li, Immersed-Interface Finite-Element

Methods for Elliptic Interface Problems with Nonhomogeneous Jump

Conditions, SIAM J. Numer. Anal., Vol 46, Issue 1, 472-495, 2008.

[83] Yang W. H., On an integral equation solution for a plate with internal

121

support, Q J Mechanics Appl Math 21 (4): 503-515, 1968.