zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Phương pháp và các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số

Chia sẻ: Phan Sy Tan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

1.752
lượt xem 561
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chú ý: Các bạn cần nắm vững kiến thức KSHS , cùng kết hợp với các dạng Bài Toán dưới đây thì khả năng của bạn giải quết phần rất là dể dàng (hehe ….  ) và điều quan trọng là các bạn phải nhớ thật kĩ các dạng đừng để nhầm dạng nhé nếu không thì Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để hàm số nghòch bieán trên ¡ ? Phương pháp: TXĐ: D = ¡ Ta có: y’ = ax2 + bx + c Để hàm số đồng biến...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp và các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số

PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS Ta có: y’ = ax2 + bx + c Để hàm số đồng biến trên ¡ thì y ' ≥ 0 ∀ x ∈ ¡ ⇔ a> 0  ∆ ≤ 0 Sinh vieân: Phan Syõ Taân Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Lôùp:k16kkt3 Định m để hàm số nghòch bieán trên ¡ ? Phương pháp: Chú ý: Các bạn cần nắm vững kiến thức KSHS , TXĐ: D = ¡ cùng kết hợp với các dạng Bài Toán dưới đây thì khả Ta có: y’ = ax2 + bx + c năng của bạn giải quết phần KSHS trong đề thi ĐH Để hàm số đồng biến trên ¡ thì y ' ≤ 0 ∀ x ∈ ¡ ⇔ rất là dể dàng (hehe ….  ) và điều quan trọng là a< 0  các bạn phải nhớ thật kĩ các dạng đừng để nhầm dạng ∆ ≤ 0 nhé nếu không thì L Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. GOOD LUCDK Định m để đồ thị hàm số có cực trị? Phương pháp: BA CÔNG THỨC TÍNH NHANH ĐẠO HÀM TXĐ: D = ¡ CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ Ta có: y’ = ax2 + bx + c ax + b ad − bc Đồ thị hàm số có cực trị khi phương trình y’ = 0 có 2 +y= ⇒ y' = nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm cx + d ( cx + d ) 2 a≠ 0 đó ⇔  ax + bx + c 2 adx + 2aex + ( be − cd ) 2 ∆ > 0 +y= ⇒ y' = dx + e ( dx + e) 2 Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. + Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luoân luoân a x 2 + b1 x + c1 y= 1 2 coù cöïc trò ? a 2 x + b2 x + c 2 Phương pháp: (a b − a 2 b1 ) x 2 + 2( a1c 2 − a 2 c1 ) x + b1c 2 − b2 c1 ⇒ y' = 1 2 TXĐ: D = ¡ (a 2 x 2 + b2 x + c 2 ) 2 Ta có: y’ = ax2 + bx + c Xét phương trình y’ = 0, ta có: CHUYÊN ĐỀ: CÁC CÂU HỎI THỨ HAI TRONG ĐỀ THI KHẢO SÁT HÀM SỐ LTĐH ∆ =….>0, ∀m Vậy với mọi m đồ thị hàm số đã cho luôn luôn có cực trị. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để hàm số ñoàng bieán trên ¡ ? Định m để đồ thị hàm số khoâng coù cöïc trò ? Phương pháp: Phương pháp: TXĐ: D = ¡ Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 1/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS TXĐ: D = ¡ Để hàm số đi qua điểm cực trị M(x 0;y0) thì Ta có: y’ = ax2 + bx + c  f '( x0 ) = 0  Hàm số không có cực trị khi y’ không đổi dấu trên toàn  f ( x0 ) = y0 a≠ 0 Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và tập xác định ⇔  ∆ ≤ 0 M(x0;y0)∈(C). Viết PTTT taïi điểm M(x0;y0) ? Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Phương pháp: Định m để đồ thị hàm số ñaït cöïc ñaïi tại x0? Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x0) Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) là TXĐ: D = ¡ y – y0 = f’(x0).( x – x0 ) Ta có: y’ = ax2 + bx + c Các dạng thường gặp khác :  f '( x0 ) = 0 1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì  có hòanh độ x0.  f ''( x0 ) < 0 Ta tìm: + y0 = f(x0) Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. + f’(x) ⇒ f’(x0) Định m để đồ thị hàm số ñaït cöïc tieåu tại x0? Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là Phương pháp: y – y0 = f’(x0).( x – x0 ) TXĐ: D = ¡ 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x)= 0. Ta có: y’ = ax2 + bx + c Ta tìm: + f’(x)  f '( x0 ) = 0 Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì  + f”(x)  f ''( x0 ) > 0 +Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x0 Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. + y0 và f’(x0). Suy ra PTTT. Định m để đồ thị hàm số đạt cực trị bằng h tại x0? Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết Phương pháp: TXĐ: D = ¡ phương trình tiếp tuyến (d) của (C) Ta có: y’ = ax2 + bx + c a/ Song Song với đường thẳng y = ax + b. Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x 0 thì  f '( x0 ) = 0 b/ Vuoâng goùc với đường thẳng y = ax + b.   f ( x0 ) = h Phương pháp: Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. a/ Tính: y’ = f’(x) Định m để đồ thị hàm số ñi qua điểm cực trị Vì tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y = ax + b M(x0;y0)? nên (d) có hệ số góc bằng a. Phương pháp: Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là hoành độ tiếp điểm) TXĐ: D = ¡ Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm được. Ta có: y’ = ax2 + bx + c Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): y – y0 = a. ( x – x0 ) b/ Tính: y’ = f’(x) Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 2/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y = ax + b Giải (a) hoặc (b) để tìm x rồi→ y tương ứng. 1 Từ đó kết luận các điểm cố định cần tìm. nên (d) có hệ số góc bằng − . a Dạng 14: Giả sử (C1) là đồ thị của hàm số y = f(x) 1 và (C2) là đồ thị của hàm số y = g(x). Biện luận số Ta có: f’(x) = − (Nghiệm của phương trình này chính giao điểm của hai đồ thị (C1), (C2). a là hoành độ tiếp điểm) Phương pháp: Tính y0 tương ứng với mỗi x0 tìm được. Phương trình hoành độ giao điểm của y = f(x) Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): và y = g(x) là 1 f(x) = g(x) y – y0 = − . ( x – x0 ) a ⇔ f(x) – g(x) = 0 (*) Chú ý: Số giao điểm của hai đồ thị (C1), (C2) chính là số nghiệm của phương trình (*). + Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x. + Đường phân giác của góc phần tư thứ hai y = - x. Dạng 15: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), bieän luaän theo m số nghiệm của phương trình f(x) + g(m) = 0 Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b] Phương pháp: Phương pháp: Ta có: f(x) + g(m) = 0 Ta có: y’ = f’(x) ⇔ f(x) = g(m) (*) Giải phương trình f’(x) = 0, ta được các điểm cực trị: x 1, Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đồ thị (C): x2, x3,…∈ [a;b] y = f(x) và đường g(m). Tính: f(a), f(b), f(x1), f(x2), f(x3),… Dựa vào đồ thị (C), ta có:…v.v… Từ đó suy ra: max y = ; min y = Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). CMR [ a ;b ] [ a ;b ] điểm I(x0;y0) là taâm ñoái xöùng của (C). Phương pháp chung ta thường lập BBT Phương pháp: Dạng 13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m là Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ tham số.Tìm ñieåm coá ñònh mà họ đường cong trên đi uur OI = ( x0 ; y0 ) . qua với mọi giá trị của m. Phương pháp:  x = X + x0 x+ 2 Công thức đổi trục:  y= Ta có: y = f(m,x)  y = Y + y0 x− 3 ⇔ Am + B = 0, ∀m (1) Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X) 2 Hoặc Am + Bm + C = 0, ∀m (2) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C). Đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm M(x;y) khi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình: Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). CMR  A= 0 đường thẳng x = x0 là truïc ñoái xöùng của (C).  (a) (đối với (1)) B= 0 Phương pháp: uur  A= 0 Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI = ( x0 ;0 )  Hoặc  B = 0 (b) (đối với (2)) C = 0  Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 3/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS  x = X + x0 Phương pháp +Định đkiện để đồ thị hàm số bậc 3 có Công thức đổi trục  các y= Y điểm cực trị M 1 ( x1 , y1 ) & M 2 ( x 2 , y 2 ) Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X) ( x1 , x 2 là nghiệm của pt y' = 0) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C). 1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt ⇔ x1 < 0 < x 2 2)Nếu (D) là đthẳng x = m thì ycbt ⇔ x1 < 0 < x 2 Dạng 18: Sự tieáp xuùc của hai đường cong có 3)Nếu (D) là đthẳng ax + by + c = 0 thì: phương trình y = f(x) và y = g(x). Phương pháp: ycbt ⇔ ( ax1 + by1 + c )( ax 2 + by 2 + c ) < 0 Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau @ Nếu (D) là đường tròn thì cũng giống trường hợp 3) khi và chỉ khi hệ phương trình  f ( x) = g ( x)   f '( x) = g '( x) Dạng 21: Định đkiện để đồ thị hàm bậc 3 có CĐ , CT nằm về cùng 1 phía đối vớI (D). Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó Phương pháp +Định đkiện để đồ thị hàm số bậc 3 có các điểm cực trị M 1 ( x1 , y1 ) & M 2 ( x 2 , y 2 ) Dạng 19: Tìm điểm A ,từ A kẻ đc n tiếp tuyến tới đồ ( x1 , x 2 là nghiệm của pt y' = 0) thị y = f (x) (C) 1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt Phương pháp ⇔ x1 < x 2 < 0 ∨ 0 < x1 < x 2 +Giả sử A( x0 , y 0 ) 2)Nếu (D) là đthẳng x = m thì + Pt đthẳng đi qua A( x0 , y 0 ) có hệ số góc k có dạng : ycbt ⇔ x1 < x 2 < m ∨ 0 < x1 < x 2 (d ) : y = k( x − x0 ) + y0 3)Nếu (D) là đthẳng ax + by + c = 0 thì: +Đthẳng (d) tiếp xúc vớI đồ thị (C) khi hệ sau có ycbt ⇔ ( ax1 + by1 + c )( ax 2 + by 2 + c ) > 0 nghiệm @ Nếu (D) là đường tròn thì cũng giống trường hợp 3)  f ( x ) = k ( x − x 0 ) + y 0 (1)  '  f ( x ) = k (2) Dạng 22: Định đkiện để đồ thị hàm số (C) cắt đthẳng Thay (2) vào (1) được : f ( x ) = f ( x )( x − x 0 ) + y 0 (3) ' (D) tại 2 điểm phân biệt thoả 1 trong nhưng đkiện sau: +Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ 1)Thuộc cùng 1 nhánh ⇔ (I) có nghiệm phân biệt nằm từ A tớI đồ thị (C) cùng 1 phía đốI vớI x = m ( (I) là PTHĐGĐ của (C) và (D) ; x = m là t/cận đứng của (C) ) Do đó từ A kẻ được k tiếp tuyến tớI đồ thị (C) ⇔ có k nghiệm phân biệt ⇒ điểm A (nếu có) 2) Cùng 1 phía Oy ⇔ (I ) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu 3)Khác phía Oy ⇔ (I ) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu Dạng 20: Định đkiện để đồ thị hàm số bậc 3 có CĐ , CT nằm về 2 phía (D) Dạng 23: Tìm điểm trên đồ thị hàm số (C) sao cho: Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 4/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS Tổng các khoảng cách từ đó đến 2 t/cận là Min Dạng 27:Lập pt đ/t đi qua 2 điểm cực trị của hàm số hữu Phương pháp: ax 2 + bx + c +Xét M 0 ( x0 , y 0 ) thuộc (C) ⇔ (x , y0 ) tỉ : y = ( Cm ) 0, a ' x + b' thoã y = thương +dư /mẫu Phương pháp: +Dùng BĐT Côsi 2 số ⇒ kquả U ( x) Đặt y = V( x ) Dạng 24:Tìm điểm trên đồ thị hàm số (C) sao cho:khoảng cách từ đó đến 2 trục toạ độ là Min (U ) V ( x) ' ( x) − (V( x ) ) U ( x ) ' + có y ' = Phương pháp: (V ) ( x) 2 +Xét M 0 ( x0 , y 0 ) thuộc (C) +GọI A ( x1 , y1 ) là điểm cực trị của ( C m ) +Đặt P = d ( M 0 , Ox ) + d ( M 0 , Oy ) ⇒ P = x0 + y 0 ' U x1 U x1 ⇒ y ' = 0 ⇔ U x1V x1 = V x'1U x1 ⇔ ' = ' = y1 (1) +Nháp :Cho x0 = 0 ⇒ y 0 = A; y 0 = 0 ⇒ x 0 = B V x1 V x1 GọI L = min ( A , B ) +Ta xét 2 trường hợp : + GọI B ( x 2 , y 2 ) là điểm cực trị của ( C m ) TH1: x0 > L ⇒ P > L ' U x2 TH2: x0 ≤ L .Bằng ppháp đạo hàm suy ra đc kquả ⇒ ........... ⇔ .................... ⇔ ....... y 2 = (2) V x' 2 Dạng 25:Tìm đkiện cần và đủ để 3 điểm M,N,P cung ' Ux thuộc đthị (C) thẳng hàng? Từ (1), (2) suy ra pt đ/t đi qua 2 điểm cực trị là y = V x' Phương pháp: M ,N,P thẳng hàng ⇔ vetơ MN cùng phương vớI vectơ Dạng 28:Lập pt đ/t đi qua 2 điểm cực trị của hsố bậc 3 −b ( C m ) , khi ko tìm đc 2 điểm cực trị MP ⇔ x M + x N + x P = a Phương pháp: y cx + d Dạng 26: Tìm trên đồ thị (C) :y = f(x) tất cả các +Chia = ax + b + (cx+d :là phần dư của điểm cách đều 2 trục toạ độ y' y' phép chia) ⇒ y = ( ax + b ) y '+ cx + d Phương pháp: +Tập hợp những điểm cách đều 2 trục toạ độ trong +Goi A( ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) là 2 điểm cực trị của hàm (Oxy) là đường thẳng y = x và y = -x .Do đó : số ( C m ) ⇒ y ' x1 = y ' x 2 = 0 +Toạ độ của điểm thuộc (C) :y = f(x) đồng thờI cách +Do A ∈ ( C m ) nên y1 = ( ax1 + b ) y1 '+ cx1 + d  y = f ( x)  ⇒ y1 = cx1 + d  y= x (1) đều 2 trục toạ độ là nghiệm của : ⇒ kquả  y = f ( x) +Do B ∈ ( C m ) nên y 2 = ( ax 2 + b ) y 2 '+ cx 2 + d    y= −x ⇒ y 2 = cx2 + d (2) Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 5/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS Từ (1),(2) suy ra pt đ/t đi qua 2 điểm cực trị : ( C2 ) là phần đốI xứng của ( C1 ) qua Oy y = cx + d Dạng 32 :Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) (C) Dạng 29:Định đkiện để đồ thị hàm số bậc 3 có điểm CĐ và CT đốI xứng nhau qua 1 đ/t y = mx + n Phương pháp: ( m ≠ 0) + Vẽ đồ thị y = f ( x ) (C ') Phương pháp:  f ( x ) , f ( x ) ≥ 0(C1 ) +Định đkiện để hàm số có CĐ, CT (1) +Có y = f ( x ) =  +Lập pt đ/t (D) đi qua 2 điểm cực trị  − f ( x ) , f ( x ) < 0(C 2 ) +Gọi I là trung điểm đoạn nốI 2 điểm cực trị ⇒ Đồ thị (C) gồm đồ thị ( C1 ) và đồ thị ( C 2 ) VớI ( C1 ) ≡ ( C ') lấy phần dương của (C') (nằm trên  dk (1) Ox)  +ycbt ⇔  y = mx + n ⊥ ( D) ⇒ kq ( C2 ) là phần đốI xứng của phần âm (nằm dướI  I ∈ y = mx + n  Ox ) của (C') qua Ox Dạng 30:Tìm 2 điểm thuộc đthị (C) y = f(x) đốI xứng @:Chú ý :Đồ thi y = f ( x ) sẽ nằm trên Ox nhau qua điểm I ( x 0 , y 0 ) Dạng 33 :Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) (C) Phương pháp: Phương pháp: + Vẽ đồ thị y = f ( x ) (C ') +Giả sử M ( x1 , y1 ) ∈ ( C ) : y1 = f ( x1 ) (1) +GọI N ( x 2 , y 2 ) đốI xứng M qua I suy ra toạ độ điểm N +Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) (C1) theo x1 , y1 +Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) (C2) +Do N thuộc (C): y 2 = f ( x 2 ) (2) (1),(2) :giảI hệ , Tìm x1 , y1 ⇒ x 2 , y 2 CHUYÊN ĐỀ :CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ LTĐH Dạng 1: Tiếp tuyến Dạng 31:Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) (C) Bài 1: (2,0 điểm) Cho hàm số 2x − 4 y= (C ) . x+ 1 Phương pháp: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm + Vẽ đồ thị y = f ( x ) (C ') số. 2. Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp  f ( x ) , x ≥ 0(C1 ) tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. +Có y = f ( x ) =   f ( − x ) , x < 0(C 2 ) CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M. ⇒ Đồ thị (C) gồm đồ thị ( C1 ) và đồ thị ( C 2 ) VớI : ( C1 ) ≡ ( C ') lấy phần x ≥ 0 Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 6/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS − x+ 1 Bài 8: (2,0 điểm) Bài 2:Cho hàm số : y = (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của 2x + 1 x− 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. hàm số y = . x+ 1 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến 2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox. I ( − 1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I 2x − 1 Bài 3: ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = . là trung điểm của đoạn MN. x− 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ 2x + 1 Bài 9: (2 ®iÓm). Cho hµm sè y= cã ®å thÞ lµ thị ( C ) của hàm số. x+ 2 2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) đồ thị ( C ) mà tiếp tuyến này cắt 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè các trục Ox , Oy lần lượt tại các 2.Chøng minh ®êng th¼ng d: y = -x + m lu«n điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m m ®Ó Bài 4: (2 ®iÓm) cho hµm sè: y = x 3 − 3x (C). ®o¹n AB cã ®é dµi nhá nhÊt. 1, kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. Bài 10: (2 điểm) Cho hàm số 2, T×m c¸c ®iÓm M ∈ d: x=2 sao cho qua M kÎ ®îc 3 y = x + 2mx + (2m + 3) x + 4 3 2 (1) tiÕp tuyÕn ph©n biÖt ®èi víi (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số x+ 2 khi m = 1. Bài 4: Cho hàm số: y = (C ) 2x + 3 2. Cho điểm K(1; 3) và đường thẳng ∆: y = x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của + 4. Tìm m để ∆ cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 hàm số. điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết giác KBC có diện tích bằng 8 2 . tiếp tuyến đó cắt ox, oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại O 2x Bài 5: Cho hµm sè: y = x+ 1 Dạng 3: Biện luận phương trình theo hàm số trị tuyệt đối 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho. x+ 1 Bài 11: (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = (C) 2. T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (C), biÕt tiÕp x− 1 tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t hai trôc Ox, Oy t¹i 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm 1 sè. A, B vµ tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng 4 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã hai Dạng 2: Tương giao giữa đồ thị và đường x+ 1 nghiÖm thùc ph©n biÖt: = m thẳng x− 1 Bài 6: (2®iÓm) cho hµm sè: Bài 12: (2 ®iÓm) Cho hàm số: y = x + (4m − 1) x 2 − 3( m − 1) x − m − 3 (C m ) 3 y = x − 3 x + 3mx − 3m + 2 (Cm ) 3 2 1, kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m=1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của 2,T×m m sao cho (C m ) c¾t 0x t¹i 3 ®iÓm ph©n hàm số với m = 0. biÖt. 2) Biện luận theo m số nghiệm của các phương Bài 7: (2,0 điểm) Cho hàm số trình sau: y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 4 + 2m (1), với m là tham số. a) 3x 2 − x 3 = m b) 3x2 - |x|3 = c) x − 3x + 2 = m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của 3 2 m hàm số (1) khi m = 1 . Bài 13: (2 ®iÓm) 2. Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm m < 0. sè: y = x3 - x2 - x + 1 Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 7/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS 2) BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph- x− 1 Bài 19: Cho hµm sè: y = ¬ng tr×nh: ( x − 1) 2 x + 1 = m 2x − 1 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. Bài 14: Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2) T×m c¸c ®iÓm trªn ®å thÞ hµm sè cã to¹ ®é lµ c¸c sè (1). nguyªn. 2. Với các giá trị nào của m, phương trình Bài 20: 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña x 2 x 2 − 2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? Bài 15: Cho hµm sè: y = x3 - 6x2 + 9x x+ 1 hµm sè: y = 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. x− 2 2) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 2) T×m c¸c ®iÓm trªn ®å thÞ (C) cña hµm sè cã to¹ ®é lµ nh÷ng sè nguyªn. 3 2 x − 6x + 9 x − 3 + m = 0 3) T×m c¸c ®iÓm trªn ®å thÞ (C) sao cho tæng kho¶ng Bài 16: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 c¸ch tõ ®iÓm ®ã ®Õn hai tiÖm cËn lµ nhá nhÊt. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dạng 5: Cực trị của hàm số Bài 21: Cho hàm số: 2. Biện luận số nghiệm của phương trình 1 2 y= ( m+1)x3 – mx2 + 2(m – 1)x – . (1) m 3 3 x 2 − 2x − 2 = theo tham số m. x− 1 1.Khảo sát hàm số (1) khi m = 1. 2.Tịm m để (1) có cực đại, cực tiểu và hoành độ x1 , x2 của các điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn: 2x1 + x2 = 1. Dạng 4: Tiệm cận và tọa độ số của hàm số Bài 22: Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số. 2x + 1 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Bài 16: (2 điểm) Cho hàm số: y = (C). x− 3 đã cho khi m = - 1. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C). 2.Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực 2)Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT. M đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C) là nhỏ nhất. Bài 17: (2 ®iÓm) Bài 23: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m x+ 2 = 1. x− 3 2. Xác định m để (Cm) có các điểm cực 2) T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè ®iÓm M sao cho kho¶ng đại và cực tiểu đối xứng nhau qua c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn ®êng tiÖm cËn ®øng b»ng kho¶ng đường thẳng y = x. c¸ch tõ M ®Õn ®êng tiÖm cËn ngang. Bài 24: (2 ®iÓm) Cho hµm sè : 3 2 1 3 2x + 1 y = x3 − mx + m (C m ). Bài 18: Cho hµm sè y = cã ®å thÞ (C). 2 2 x− 1 1, kh¶o s¸t hµm sè víi m=1. 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè . 2. Víi ®iÓm M bÊt kú thuéc ®å thÞ (C) tiÕp tuyÕn t¹i M 2, t×m m: (C m ) cã cùc trÞ & cùc trÞ ®èi c¾t 2 tiÖm cËn t¹i Avµ B . Gäi I lµ giao hai tiÖm cËn , T×m vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi xøng qua d: x-2y+3=0 tam gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 8/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS Bài 25: Cho hµm sè: y = -x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi - m2 m = 1. 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè trªn khi m = 1. 2) CMR: (Cm) lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh A, B víi 2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ ∀m. cña ®å thÞ hµm sè trªn. 3) T×m m ®Ó c¸c tiÕp tuyÕn víi (C m) t¹i A, B vu«ng gãc Bài 26:Cho hµm sè: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1) víi nhau. 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) 4) X¸c ®Þnh m ®å thÞ hµm sè (C m) c¾t trôc hoµnh t¹i khi m = 1. bèn ®iÓm lËp thµnh cÊp sè céng. 2) T×m m ®Ó hµm sè (1) cã ba ®iÓm cùc trÞ. Bài 32:Cho hµm sè y = x3 - 3mx2 + 9x + 1 (1) (m Bài 27: Cho hµm sè: y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè øng lµ tham sè) víi m = 0. 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm 2) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè chØ cã cùc sè (1) khi m = 2. tiÓu vµ kh«ng cã cùc ®¹i? 2) T×m m ®Ó ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè (1) Dạng 6: Một số dạng khác thuéc ®êng th¼ng y = x + 1. Bài 28: Cho hµm sè: y = ( 2m − 1) x − m 2 (1) (m lµ CHUYÊN ĐÊ: CÁC HÀM KSHS x− 1 Hàm đa thức: tham sè) Bài 1. . Cho hàm số: y = x 3 − 3mx 2 + 9 x + 1 (1) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 (1) øng víi m = -1. 2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) 2) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®êng cong thuộc đường thẳng y = x + 1 (C) vµ hai trôc to¹ ®é. Bài 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 m 2 1 3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) tiÕp xóc víi y= x − x + 3 2 3 ®êng th¼ng y = x. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của Bài 29: Cho hµm sè: y = x3 - 3x2 + m (1) hàm số khi m = 2 1) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) cã hai ®iÓm ph©n biÖt 2) Gọi M ∈ (Cm ) có hoành độ bằng -1. Tìm M ®èi xøng víi nhau qua gèc to¹ ®é. để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với 2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) đường thẳng d: 5 x − y = 0 khi m = 2 . Bài 3.. Cho hàm số: y = x 3 − 3 x 2 + 2 (C ) Bài 30: Cho hµm sè: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 (1) 2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;2) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) Bài 4.. Cho hàm số: y = x 3 − 3 x 2 + 4 (C ) khi m = 2. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) X¸c ®Þnh m sao cho hµm sè (1) ®ång biÕn trªn tËp 2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm x¸c ®Þnh. I(1;2) với hệ số góc k, k>-3 đều cắt đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm Bài 31:Cho hµm sè: y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (Cm) của đoạn AB. Bài 5.. Cho hàm số y = mx 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 (1) Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 9/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Tính điện tích hình phẳng giưói hạn bởi (C) và hai với m = 1 trục toạ độ. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị 2x Bài 2.. Cho hàm số y = (C ) Bài 6.. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + m (1) x+ 1 1) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với nhau qua gốc toạ độ 2)Tìm điểm M ∈ (C ) , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1 với m =2 Ox, Oy tại A, B mà diện tích ∆ OAB bằng 1 3 4 Bài 7.. Cho hàm số y = x − 2 x 2 + 3x (C ) Bài 3. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 3 x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= 2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn x− 1 và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 2) Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị (C) nhỏ nhất. tại hai điểm phân biệt Bài 8.. Cho hàm số x+ 2 Bài 4.. Cho hàm số: y = (C ) y = − x + 3 x + 3(m − 1) x − 3m − 1 (1) 3 2 2 2 2x + 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. với m = 1 2)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm đó cắt ox, oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. O Hàm số hữu tỷ 2/1 (Dành cho chương trình NC) Bài 9.. Cho hàm số y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 (1) Bµi 1. 1. kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 (1) y= x + 3x + 3 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp x+ 2 tuyến đi qua M(-1;-9) 2.biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Bài 10.. Cho hàm số: x2+(3-a)x+3-2a=0 vµ so s¸nh c¸c nghiÖm ®ã víi -3 y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2 (1) vµ -1 Bµi 2: 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 (1) với m = 1 y= 2x − 4x − 3 2) Tìm k để phương trình − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có 2( x − 1) 3 nghiệm phân biệt 2.T×m m ®Ó pt 2x2-4x-3 +2m x − 1 =0 cã2 nghiÖm ph©n 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực biÖt. trị của hàm số (1) Bµi 3: 1. kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y= Bài 11.. Cho hàm số: y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4 2 2 x − 3x + m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số víi m=2 3 x− 1 2) Tìm m để phương trình: 2 x − 9 x 2 + 12 x − 4 = m 2 2 x − 3x + m có 6 nghiệm phân biệt 2. BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt +log1/2a=0 x− 1 Bµi 4: 1.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 2 y= x − 2x + 4 (1) Hàm phân thức hữu tỷ 1/1 ( phần chung :NC& CB) x− 2 2.T×m m ®Ó ®êng th¼ng dm : y=mx+2-2m c¾t ®å thÞ hµm (2m − 1) x − m 2 sè t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt Bài 1.. Cho hàm số: y = (1) x− 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = − 1 2 1.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y= x + 4x + 5 Bµi 5: x+ 2 Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 10/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS 2.T×m M ∈ ( C ) ®Ó kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn (∆ ) 3)Xác định m để hàm số (1) có cực trị và viết phương :y+3x+6=0 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm 2 số (1) Bµi 6: 1.kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ y= x + x+ 1 (C) 4)Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại tại x =2. x+ 1 Bài2.Cho hàm số: 2.BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt x2+(1-m)x+1-m=0 y = x 3 − 3x 2 + 3mx − 3m + 2 (Cm ) 3.T×m k ®Ó tån t¹i Ýt nhÊt 1 tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ s«ng song víi y=kx+2.Tõ ®ã t×m k ®Ó mäi tiÕp tuyÕn cña ®å 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số thÞ ®Òu c¾t y=kx+2 với m = 0. 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình Bµi 7: 1.Kh¶o s¸t y= x − 3x + 3 sau: x− 2 a) 3x 2 − x3 = m b) 3x 2 − x = m 2 2.T×m 2 ®iÓm M,N thuéc ®å thÞ ®èi xøng nhau c) x − 3 x + 2 = m qua A(3;0) 3 2 2 Bµi 8: cho hµm sè y= x + mx + 1 3) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. x− 1 4) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu. 1.T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu 5) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương. Bài 3. Cho hàm số: y = 4 x − 6 x + 4 x − 1 (C ) 2 3 2 2.BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt x +1 = k x− 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 1) Tại điểm A(1;1) Bµi 9: Cho hµm sè 2) Tại điểm B có hoành độ bằng 2. 2 y= x − 2x + m (1) (m lµ tham sè ) 3) Tại điểm C có tung độ bằng -1. 4) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d 1): y = x− 2 4x – 1 1.X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n [-1;0] 5) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d 2): 2.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m=1 3.T×m a ®Ó pt sau cã nghiÖm x + 28 y + 1 = 0 1+ 1− 2 t − ( a + 2) 1+ 1− 2 t + 2a + 1 = 0 6) Biết tiếp tuyến tại điểm M ∈ (C ) có hệ số góc nhỏ 9 3 nhất. Chứng minh rằng: M là tâm đối xứng của đồ thị 2 Cho hµm sè y= x + mx (C) Bµi 10 : (1) 7) Chứng minh rằng: trên (C) không tồn tại điểm mà 1− x qua nó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m=1 1 3 2 2.T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ,Khi nµo Bài 4. Cho hàm số: y = x − x 2 + (C ) kho¶ng c¸ch gi÷a chóng = 10 3 3 2 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Bµi 11: Cho hµm sè y= mx + x+ m (1) (m lµ tham 2)Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau: x− 1 1 3 1 3 2 sè ) a. x − x 2 + 5m = 0 b. x − x2 + = m 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m=1 3 3 3 2.T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm ph©n 1 3 2 1 3 2 c. x − x + = m x − x2 + = m 2 biÖt cã hoµnh ®é d¬ng d. 3 3 3 3 3)Viết phương trình tiếp tuyến với (C) Bài tập tự luyện 2 a.Tại điểm có tung độ bằng . Bài 1. Cho hàm số 3 m 3 b.Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= x − (m − 1) x 2 + (m + 1) x + 2m − 3 (1) d1 : y = − 3x + 9 3 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với c.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng m= −1 1 d2 : y = x+ 5 2)Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên R 8 Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 11/10-LTĐH2011
PHƯƠNG PHÁP & CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KSHS d.Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1;0) "CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG TRONG HỌC TẬP" Cách học tốt môn Toán là phải làm Bài Tập nhiều .bên cạnh đó  ( hehe... ) Sytan1992@gmail.com Trang 12/10-LTĐH2011

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.01: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2019

315 tài liệu

1700 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.