Phương trình mặt phẳng trong không gian
83
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:
1.
Hai véctơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , ; ; ;
u a a a v b b b
= =
là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP)
của mặt phẳng (
α
)
⇔
, 0
u v
≠
; không cùng phương và các giá của chúng
song song hoặc nằm trên mặt phẳng (
α
)
2.
Véctơ
( )
; ;
n a b c
=
là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (
α
)
⇔
(
α
)
⊥
giá của
n
3.
Nhận xét
: Mặt phẳng (
α
) có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp
tuyến đồng thời
[
]
// ,
n u v
.
Nếu
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
=
=
là một cặp VTCP của mp(
α
) thì VTPT là:
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
a a a a a a
n u v b b b b b b
= =
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
1. Phương trình tham số:
Phương trình mp(
α
) đi qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) với cặp VTCP
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
=
=
là:
( )
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
= + +
= + + ∈
= + +
2. Phương trình tổng quát:
2.1. Phương trình chính tắc:
0
Ax By Cz D
+ + + =
với
2 2 2
0
A B C
+ + >
.
Nếu D
=
0 thì
0
Ax By Cz
+ + =
⇔
(
α
) đi qua gốc tọa độ.
Nếu A
=
0, B
≠
0, C
≠
0 thì (
α
):
0
By Cz D
+ + =
sẽ song song hoặc chứa với trục
x
’O
x
.
Nếu A
≠
0, B
=
0, C
≠
0 thì (
α
):
0
Ax Cz D
+ + =
sẽ song song hoặc chứa với trục
y
’O
y
.
Nếu A
≠
0, B
≠
0, C
=
0 thì (
α
):
0
Ax By D
+ + =
sẽ song song hoặc chứa với trục
z
’O
z
.
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương
84
2.2.
Phương trình tổng quát của mp(
α
) đi qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) với cặp VTCP
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
=
=
hay VTPT
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
a a a a a a
n u v b b b b b b
= =
là:
( ) ( ) ( )
2 3 3 1 1 2
0 0 0
2 3 3 1 1 2
0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
− + − + − =
2.3.
Phương trình tổng quát của mp(
α
) đi qua 3 điểm
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ; , , ; , ,
A x y z B x y z C x y z
không thẳng hàng có VTPT là:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
, , ,
y y z z z z x x x x y y
n AB AC y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
= =
− − − − − −
 
nên phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
0
y y z z z z x x x x y y
x x y y z z
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
− + − + − =
− − − − − −
Đặc biệt:
Phương trình mặt phẳng đi qua
(
)
(
)
(
)
; 0; 0 , 0; ; 0 , 0; 0;
A a B b C c
là:
( )
1 0
y
xzabc
a b c
+ + = ≠
3. Phương trình chùm mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng cắt nhau
(
)
(
)
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
: 0; : 0
a x b y c z d a x b y c z d
α + + + = α + + + =
với
(
)
(
)
(
)
1 2
∆ = α α
∩
.
Mặt phẳng (
α
) chứa (
∆
) là
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
0
p a x b y c z d q a x b y c z d
+ + + + + + + =
với
2 2
0
p q
+ >
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG
Cho 2 mặt phẳng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
(
)
1 1 1 1
, ,
n A B C
=
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
(
)
2 2 2 2
, ,
n A B C
=
.
Nếu
1 2
,
n n
không cùng phương thì (
α
1
) cắt (
α
2
).
Nếu
1 2
,
n n
cùng phương và (
α
1
), (
α
2
) không có điểm chung thì (
α
1
) // (
α
2
)
Nếu
1 2
,
n n
cùng phương và (
α
1
), (
α
2
) có điểm chung thì (
α
1
) ≡ (
α
2
)
Phương trình mặt phẳng trong không gian
85
IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc giữa 2 mặt phẳng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤
ϕ
≤
90
°
) thỏa mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
với
1 2
,
n n
là 2 VTPT của (
α
1
), (
α
2
).
V. KHOẢNG CÁCH
1.
Khoảng cách từ M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) đến mặt phẳng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
2.
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:
(
)
(
)
(
)
; ;d d M M
α β = β ∀ ∈ α
(
)
(
)
(
)
; ;d d M M
α β = α ∀ ∈ β
VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.
Lập phương trình tổng quát của mp(
α
) đi qua A(2; 1;
−
1) và vuông góc
với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(
−
1; 0;
−
4), C(0;
−
2;
−
1).
Mp(
α
) đi qua A nhận
( )
1; 2;3
BC = −

làm VTPT nên phương trình mp(
α
) là:
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 3 1 0
x y z
− − − + + =
⇔
2 3 3 0
x y z
− + + =
Bài 2.
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của mp(
α
) đi qua
(
)
2; 1; 4
A−
,
(
)
3; 2; 1
B
−
và vuông góc với
(
)
: 2 3 0
x y z
β + + − =
HD:
( )
1; 3; 5
AB
= −

,
(
)
1;1; 2
nβ=
. Do mp(
α
) đi qua A, B và
(
)
(
)
α ⊥ β
nên (
α
)
nhận
,
b
AB n

làm cặp VTCP. Suy ra VTPT của (
α
) là:
( )
3 5 5 1 1 3
; ; 11; 7; 2
1 2 2 1 1 1
n− −
= = − −
. Mặt khác (
α
) đi qua
(
)
2; 1; 4
A−
nên
phương trình mp(
α
):
(
)
(
)
(
)
11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0
x y z x y z
− − + − − = ⇔ − − − =
.
Bài 3.
Lập phương trình mp(
α
) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
.
Lập phương trình mp(
β
) đi qua 3 điểm B(1;
−
2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)
và tính góc nhọn
ϕ
tạo bởi 2 mp(
α
) và (
β
).
HD:
mp(
α
) // (
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
có
(
)
2; 1;1
n= −
⇒
(
α
):
2 0
x y z c
− + + =
(
α
) đi qua A(1; 0; 5)
⇒
2 1 0 5 0 7
c c
⋅ − + + = ⇔ = −
⇒
PT (
α
):
2 7 0
xyz
− + − =
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương
86
mp(
β
) nhận 2 véc tơ
( ) ( )
0; 2; 1 , 1;3; 1
BC BD
= − = − −
 
làm cặp VTCP nên có
VTPT là:
( )
2 1 1 0 0 2
; ; 1;1; 2
3 1 1 1 1 3
nβ
− −
= =
− − − −
.
Vậy phương trình mp(
β
):
(
)
1 2 0 2 1 0
x y z x y z
+ − + = ⇔ + + − =
( )
2 2
2 1 1 1 1 2 31
cos cos , 60
6 2 3
2 1 1 1 1 2
n nβ
⋅ − ⋅ + ⋅ π
ϕ = = = = ⇒ϕ = = °
+ + + +
Bài 4.
Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (
∆
):
2 0
3 2 3 0
x z
x y z
− =
− + − =
và vuông góc với mặt phẳng (P):
2 5 0
x y z
− + + =
HD:
Phương trình chùm mặt phẳng chứa (
∆
) là:
( )
( )
(
)
2 2
2 3 2 3 0 , ; 0
m x z n x y z m n m n
− + − + − = ∈ + >
⇔
(
)
(
)
3 2 2 3 0
m n x ny n m z n
+ − + − − =
⇒
mp(
α
) chứa (
∆
) có VTPT
(
)
3 ; 2 ; 2
u m n n n m
= + − −
Mặt phẳng (P) có VPPT
(
)
1; 2;1
v= −
nên để (
α
)
⊥
(P) thì
0
u v
⋅ =
(
)
(
)
(
)
1 3 2 2 1 2 0
m n n n m
⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − =
8 0
n m
⇔ − =
.
Cho
1
n
=
suy ra
8
m
=
, khi đó phương trình mp(
α
) là:
11 2 15 3 0
x y z
− − − =
Bài 5.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa O
z
và lập với mặt phẳng (
α
):
2 5 0
x y z
+ − =
một góc 60
°
.
HD:
Mặt phẳng (P) chứa O
z
⇒
(P) có dạng:
0
mx ny
+ =
(
2 2
0
m n
+ >
)
⇒
VTPT
(
)
; ; 0
u m n
=
. Mặt phẳng (
α
) có VTPT
(
)
2;1; 5
v= −
suy ra
( )
2 2 2 2
2. 1. 0. 5
1
cos , cos 60
2
215
m n
u v
m n
+ −
= ° ⇔ =
+ + +
( )
(
)
2
2 2
2 2 10
m n m n
⇔ + = +
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
4 4 4 10 2 3 8 3 0
m mn n m n m mn n
⇔ + + = + ⇔ + − =
Cho
1
n
=
⇒
2
1
3 8 3 0 3
3
m m m m
+ − = ⇔ = − ∨ =
.
Vậy
(
)
: 3 0
P x y
− =
hoặc
(
)
: 3 0
P x y
+ =
Phương trình mặt phẳng trong không gian
87
Bài 6.
Viết phương trình tổng quát của mp(
α
) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo
với (O
xy
) một góc 60
°
.
HD:
(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
qua M, N suy ra:
0; 3 0
C D A D
+ = + =
⇒
3 ; 3
C A D A
= = −
. Mặt phẳng (O
xy
) có VTPT là
(
)
0; 0;1
suy ra
2 2 2
2 2 2 2 2
31
cos 60 36 10
2
10
C A
A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +
2 2
26 26
A B B A
⇔ = ⇔ = ±
. Do
2 2 2
0
A B C
+ + ≠
⇒
0
A
≠
.
Cho
1
A
=
suy ra mp(
α
):
26 3 3 0
x y z
− + − =
hoặc
26 3 3 0
x y z
+ + − =
Bài 7.
Cho A(
a
; 0;
a
), B(0;
b
; 0), C(0; 0;
c
) với
a
,
b
,
c
là 3 số dương thay đổi
luôn luôn thỏa mãn
2 2 2
3
abc
+ + =
. Xác định
a
,
b
,
c
sao cho khoảng cách từ O
đến mặt phẳng (ABC) đạt Max.
HD:
(ABC):
1 0
y
xz
a b c
+ + − =
. Suy ra
( )
2 2 2
1 1 1 1
;d O ABC
a b c
= + +
⇒
2 2 2 2
1 1 1 1
d a b c
= + +
⇒
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
9 3
3 3
abc
abc
= + + + + ≥ ⋅ =
2
1 1
3
3
d d⇒≤⇒≤
. Với
1
abc
= = =
thì
1
Max
3
d=
Bài 8.
Cho chùm mặt phẳng
(
)
(
)
: 2 1 1 0
m
P x y z m x y z
+ + + + + + + =
.
Chứng minh rằng: (P
m
) luôn đi qua (d) cố định
∀
m
Tính khoảng cách từ O đến (d). Tìm
m
để (P
m
)
⊥
(
)
0
: 2 1 0
P x y z
+ + + =
HD:
Với mọi
m
, (P
m
) luôn đi qua đường thẳng cố định (d):
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + + =
Mặt phẳng
2 1 0
x y z
+ + + =
có VTPT:
(
)
2;1;1
u=
và
1 0
x y z
+ + + =
có
VTPT
(
)
1;1;1
v=
suy ra (d) có VTCP là:
[
]
(
)
; 0; 1;1
a u v= = −
.
Mặt khác (d) đi qua
(
)
0; 0; 1
M
−
⇒
( )
( )
[
]
2
2
1 0 0
1
,
2
0 1 1
OM a
d O d a
⋅+ +
= = =
+ +

(
)
(
)
(
)
(
)
: 2 1 1 1 0
m
P m x m y m z m
+ + + + + + + =
có VTPT
(
)
1
2; 1; 1
n m m m
= + + +
;
Trường hợp đặc biệt mặt phẳng
(
)
0
P
có VTPT
(
)
2
2;1;1
n=
.
Để (P
m
)
⊥
(P
0
) thì
( ) ( ) ( )
1 2
3
0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0
2
n n m m m m m
−
⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =