Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 10

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

200
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 10

216 Chương 4. Tính toán ng u nhiên t as Th t v y đ t Xt = b e dWs ta có 0 Yt = e−atXt dXt = beatdWt . Xét hàm u(t, x) = e−at x . Ta có Yt = u(t, Xt ), ut = −ae−atx, ux = e−at, uxx = 0. Công th c Ito cho ta dYt = (−ae−atXt + 0 + 0)dt + e−at beatdWt = −ae−atXt dt + bdWt = −aY (t)dt + bdWt . Ch ng minh công th c Ito. Ta ch c n ch ng minh công th c Ito cho trư ng h p f, g là các hàm b c thang. Tru ng h p t ng quát đư c suy ra b ng cách chy n qua gi i h n. Vì các hàm b c thang là t h p tuy n tính các hàm h ng s nên ta ch c n xét trư ng h p khi f (t, ω ) = f (ω ) và g (t, ω ) = g (ω ) là đ . Như v y quá trình Xt c a ta có d ng Xt = X0 + f (ω )t + g (ω )Wt . Quá trình Yt có d ng Yt = u(t, Xt ) = u(t, X0 + f (ω )t + g (ω )Wt ). Gi s r ng 0 = t0 < t1 < ... < tn = t ≤ T . Khi đó n Yt − Yt 0 = u(tk , Xtk ) − u(tk−1 , Xtk−1 . k =1 Công th c Taylor cho ta u(tk , Xtk ) − u(tk−1 , Xtk−1 = = ut(tk−1 + dk (tk − tk−1 ), Xtk−1 )(tk − tk−1 ) + ux (tk−1 , Xtk−1 )(Xtk − Xtk−1 ) 1 + uxx tk−1 , Xtk−1 + hk (Xtk − Xtk−1 (Xtk − Xtk−1 )2 (4.6) 2
4.4. Công th c Ito 217 trong đó 0 < dk , hk < 1. Do tính liên t c c a Xt , ut và uxx ta th y có t n t i các ĐLNN αn , βn h i t t i 0 v i xác su t 1 khi δn = max(tk − tk−1 ) → 0 và tho mãn ư c lư ng sau max |ut (tk−1 + dk (tk − tk−1 ), Xtk−1 ) − ut (tk−1 , Xtk−1 | ≤ αn max |uxx tk−1 , Xtk−1 + hk (Xtk − Xtk−1 − uxx(tk−1 , Xtk−1 | ≤ βn . Ngoài ra ta còn có n ( t k − t k −1 ) = t − t 0 k =1 và n (Xtk − Xtk−1 )2 = g 2(t − t0). P − lim δn →0 k =1 Thành th công th c Ito đư c ch ng minh n u ta ch ra n P − lim [ut(tk−1 , Xtk−1 )(tk − tk−1 ) δn →0 k =1 +ux (tk−1 , Xtk−1 )(Xtk − Xtk−1 ) 1 + uxx(tk−1 , Xtk−1 )(Xtk − Xtk−1 )2] = 2 t 1 ut (s, Xs ) + ux(s, Xs )f + uxx(s, Xs )g 2 ds 2 0 t + ux(s, Xs )gdWs . 0 Do gi thi t liên t c ta có n t lim ut(tk−1 , Xtk−1 )(tk − tk−1 ) = ut (s, Xs )ds δn →0 0 k =1
218 Chương 4. Tính toán ng u nhiên và n P − lim ux(tk−1 , Xtk−1 )(Xtk − Xtk−1 ) δn →0 k =1 t t = ux (s, Xs )fds + ux (s, Xs )gdWs . 0 0 Ta còn c n xét t ng n uxx (tk−1 , Xtk−1 )(Xtk − Xtk−1 )2 = k =1 n f2 uxx (tk−1 , Xtk−1 )(tk − tk−1 )2 k =1 n +2f g uxx (tk−1 , Xtk−1 )(tk − tk−1 )(Wtk − Wtk−1 ) k =1 n 2 uxx (tk−1 , Xtk−1 )(Wtk − Wtk−1 )2 . +g k =1 Hai s h ng đ u tiên c a v ph i h i t t i 0 v i xác su t 1 vì tính liên t c c a uxx và Wt . V y ta c n ch ng minh n t 2 P − lim uxx (tk−1 , Xtk−1 )(Wtk − Wtk−1 ) = uxx(s, Xs )ds. δn →0 0 k =1 Vì r ng n t lim uxx(tk−1 , Xtk−1 )(tk − tk−1 ) = uxx(s, Xs )ds δn →0 0 k =1 nên ta ch c n ch ng minh P − lim Sn = 0 δn →0 đó n uxx (tk−1 , Xtk−1 ) (Wtk − Wtk−1 )2 − (tk − tk−1 ) . Sn = k =1
4.4. Công th c Ito 219 Bây gi ta s kh đi nh ng giá tr l n c a ux x b ng k thu t c t. V i m i s nguyên dương m ta đ nh nghĩa  1 n u X ≤ m v i m i i ≤ k ti m Ik (ω ) = 0 n u trái l i. Đt εk = (Wtk − Wtk−1 )2 − (tk − tk−1 ) và n m m Sn = uxx(tk−1 , Xtk−1 )Ik−1εk k =1 Vì Eεk = 0, Eε2 = 2(tk − tk−1 )2 và các εk là đ c l p v i nhau và cũng đ c k m l p v i uxx (tk−1 , Xtk−1 )Ik−1 nên m ESn = 0 và n E ( Sn ) 2 m E (uxx (tk−1 , Xtk−1 )Ik−1 )2 Eε2 m = k k =1 n ( t k − t k −1 ) 2 ≤2 max |uxx (s, y ) 0
220 Chương 4. Tính toán ng u nhiên m là m t bi n ng u nhiên h u h n h u ch c ch n nên P (Sn = Sn ) có th làm nh tuỳ ý khi m đ l n . Vì m m P (|Sn | > ε) ≤ P (|Sn | > ε) + P (Sn = Sn ) ta suy ra P − lim Sn = 0. δn →0 T ng quát hơn ta xét n quá trình Ito X1 (t), X2 (t), ..., Xn(t) v i các vi phân ng u nhiên Ito dXi (t) = fi (t, ω )dt + gi (t, ω )dWt . Gi s r ng u = u(t, x1, x2, ..., xn) là m t hàm s xác đ nh trên [0, T ] × Rn v i các đ o hàm riêng liên t c ut , uxi , uxixj v i m i i, j ≤ n. Xét quá trình Yt = u(t, X1(t), X2 (t), ..., Xn(t). Ta có công th c Ito suy r ng sau đây: Đ nh lý 4.6 (Công th c Ito m r ng). Quá trình Yt = u(t, X1 (t), X2(t), ..., Xn(t) là m t quá trình Ito v i vi phân ng u nhiên cho b i n n n 1 dYt = utdt + uxi dXi + uxixj dXi dXj 2 i=1 i=1 i=1 trong đó tích dXi dXj đư c tính theo quy ư c sau (dt)2 = dW dt = dtdW = 0, (dWt )2 = dt. Như v y dXi dXj = gi gj dt và n n n n 1 dYt = ut + uxi fi + uxi xj gi gj dt + uxi gi dWt . 2 i=1 i=1 i=1 i=1
4.5. Phương trình vi phân ng u nhiên 221 Ví d 4.4. Xét hàm u(t, x, y ) = xy . N u dXt = f1 (t, ω ))dt + g1 (t, ω )dWt dYt = f2 (t, ω ))dt + g2 (t, ω )dWt thì công th c Ito suy r ng cho ta d(Xt Yt ) = Xt dYt + Yt dXt + g1 (t)g2(t)dt hay vi t dư i d ng tích phân t t t Xt Yt = X0 Y0 + Xs dYs + Ys dXs + g1 (s)g2 (s)ds. 0 0 0 Công th c trên đư c g i là công th c tích phân t ng ph n. 4.5 Phương trình vi phân ng u nhiên Ta xét phương trình sau đây t t Xt = c + f (s, Xs )ds + g (s, Xs )dWs . (4.7) 0 0 Phương trình này đư c g i là phương trình vi phân ng u nhiên v i đi u ki n ban đ u X0 = c trong đó c là m t ĐLN N đã cho, f (t, x) và g (s, x) là các hàm cho trư c, n s là quá trình ng u nhiên Xt . Quá trình Xt đư c g i là nghi m c a phương trình ((4.7)) n u nó là m t quá trình v i qu đ o liên t c và tho mãn đ ng th c ((4.7)) h u ch c ch n v i m i t ∈ [0, T ]. Ngư i ta thư ng vi t phương trình (4.7) dư i d ng vi phân sau đây  dX = f (t, X )dt + g (t, X )dW t t t t (4.8) X0 = c Câu h i d t ra là: 1) V i đi u ki n nào thì phương trình (4.8) có t n t i và duy nh t nghi m ?
222 Chương 4. Tính toán ng u nhiên 2) Gi i phương trình (4.8) b ng cách nào? Chúng ta hãy đ c p t i câu h i 2) trư c thông qua m t s ví d . Qua các ví d ta s th y công c cơ b n đ tìm l i gi i c a m t phương trình vi phân ng u nhiên chính là công th c Ito. Ví d 4.5. Cho phương trình dXt = Xt dWt , X0 = 0. Ch ng minh r ng quá trình Xt = exp(Wt − t/2) là nghi m c a phương trình nói trên. Th t v y xét hàm u(t, x) = exp(x − t/2). Ta có Xt = u(t, Wt). Theo công th c Ito ta có 11 dXt = (− exp(Wt − t/2) + exp(Wt − t/2) + exp(Wt − t/2)dWt 22 = exp(Wt − t/2)dWt = Xt dWt . Chú ý r ng phương trình vi phân không ng u nhiên tương ng dxt = xt dvt ↔ xt = xt vt có nghi m là xt = c exp(vt). Ví d 4.6. (Quá trình Ornstein-Uhlenbeck) Chúng ta xét m t ví d c đi n nh t v phương trình vi phân ng u nhiên: Xét chuy n đ ng ng u nhiên c a m t h t trong ch t l ng, không có l c tác đ ng bên ngoài. G i Yt là v n t c t i th i đi m t . Khi y ta có phương trình Langevin sau đây ˙ Yt = −αYt + σξt trong đó α, σ > 0 còn ξt là ti ng n tr ng. Đây là cách vi t hình th c c a phương trình vi phân ng u nhiên sau đây dYt = −αYt dt + σdWt, Y0 = c. (4.9)
4.5. Phương trình vi phân ng u nhiên 223 Ta ch ng minh r ng quá trình t Yt = e−αt c + σ e−α(t−s) dWs (4.10) 0 là nghi m c a phương trình (4.9). t Th t v y đ t Xt = c + σ 0 eαs dWs ta có Yt = e−αt Xt dXt = σeatdWt . Xét hàm u(t, x) = e−αt x . Ta có Yt = u(t, Xt ), ut = −αe−αt x, ux = e−αt, uxx = 0. Công th c Ito cho ta dYt = (−αe−αt Xt + 0 + 0)dt + e−αt σeαtdWt = −αe−αtXt dt + σdWt = −αY (t)dt + σdWt . L i có Y0 = c. Do đó Yt là nghi m c a phương trình (4.9). Nh ng suy lu n ph c t p hơn s ch ng minh r ng Yt cho b i công th c (4.10) là nghi m duy nh t c a phương trình (4.9). Qúa trình Yt đư c g i là quá trình Ornstein- Uhlenbeck. V i gi thi t giá tr ban đ u c là m t ĐLNN có phân b chu n N (0.σ 2/2α) thì Yt là m t quá trình Gauss d ng v i kỳ v ng 0 và hàm tương quan là K (t, s) = e−α|t−s| σ 2/2α. Ví d 4.7. (Mô hình Black-Scholes.) Năm 1973 hai nhà kinh t h c và toán tài chính M.Black và M.Scholes đưa ra m t mô hình toán h c cho phép đ nh giá tài s n c a ngư i đ u tư c phi u trên th trương ch ng khoán. Giá St c a m t c phi u (stock) đư c mô t b i phương trình vi phân ng u nhiên sau đây (g i t t là phương trình B-S) dSt = µSt dt + σSt dWt , trong đó µ là t l trung bình c a giá ch ng khoán luân chuy n ( mean rate of return), σ bi u th s bi n đ ng giá ch ng khoán.
224 Chương 4. Tính toán ng u nhiên Ta s ch ng minh r ng phương trình B-S có nghi m duy nh t cho b i công th c sau St = S0 exp (µ − σ 2/2)t + σWt . (4.11) a) S t n t i: Th t v y xét quá trình Ito Xt v i vi phân Ito dXt = (µ − σ 2/2)dt + σdWt (4.12) Xét quá trình St = eXt = u(Xt ) đó u(x) = ex. Công th c Ito cho ta 1 eXt (µ − σ 2/2) + eXt σ 2 dt + eXt σdWt dSt = 2 = eXt µdt + eXt σdWt = µSt dt + σSt dWt . Như v y St là nghi m c a phương trình vi phân ng u nhiên đang xét. M t khác t ( (4.12)) ta có Xt = X0 + (µ − σ 2/2)t + σdWt. Thay vào ta đư c công th c (4.11). b)Tính duy nh t: Gi s Xt m t nghi m c a phương trình B-S nghĩa là dXt = µXt dt + σXtdWt . Cách 1:Xét hàm u(x) = ln x. Theo công th c Ito ta có 1 1 22 d(ln Xt ) = ( µXt − σ Xt )dt 2Xt2 Xt 1 σXt dWt = (µ − σ 2/2)dt + σdWt. + Xt Vy ln Xt − ln X0 = (µ − σ 2/2)t + σWt hay Xt = c exp (µ − σ 2 /2)t + σWt .
4.5. Phương trình vi phân ng u nhiên 225 Cách 2: Ta xét quá trình Zt cho b i S0 2 Zt = = exp (µ1 − σ1 /2)t + σ1Wt St đó µ1 = −µ + σ 2, σ1 = −σ . Ta có dZt = µ1 Zt dt + σ1 Zt dWt , Z0 = 1. Công th c tích phân t ng ph n cho ta d(Xt Zt ) = Xt dZt + Zt dXt − σ 2dt = Xt Zt (µ1 dt + σ1dWt ) + Zt Xt (µdt + σdWt ) − σ 2dt = 0. V y Xt Zt = X0 Z0 hay Xt = x0Zt−1 = St . Ví d 4.8. (Mô hình tăng trư ng dân s .) Xét mô hình tăng trư ng dân s dNt = a(t)Nt (4.13) dt trong đó Nt là s lu ng cá th c a qu n th t i th i di m t, a(t) là t l tăng dân s (hay t c đ tăng tương đ i) t i th i đi m t. Trong mô hình đơn gi n nh t ta gi s a(t) = r là m t h ng s không thay đ i theo th i gian. Khi y d th y phương trình vi phân trên có nghi m là Nt = N0 ert . Đây chính là lu t Mantuyt v s tăng dân s theo hàm mũ. Trong môi trư ng ng u nhiên ta gi s r ng a(t) ch u s tác đ ng c a m t nhân t ng u nhiên do đó a(t) = r(t) + αξt đó r(t) là hàm không ng u nhiên, α là h ng s còn ξt là n tr ng.
226 Chương 4. Tính toán ng u nhiên Trong mô hình đơn gi n nh t ta gi s r(t) = r là h ng s . Khi đó phương trình (4.13) có d ng dNt = rNt dt + αNt ξt dt = rNt dt + αNt dWt . Đây chính là phương trình B-S đã xét ví d trên. Phương trình này có nghi m duy nh t là Nt = N0 exp (r − α2 /2)t + αWt . Ta hãy kh o sát tính ch t c a nghi m. Đ t mt = ENt là dân s trung bình c a qu n th t i th i đi m t. Ta s ch ra r ng n u N0 đ c l p v i Wt thì mt = m0ert t c là mt là m t hàm mũ ( lu t Mantuyt). Th t v y đ t Yt = eαWt . Công th c Ito cho ta 1 dYt = αeαWt dWt + α2 eαWt dt 2 hay t t 1 Ys dWs + α2 Yt = Y0 + α Ys ds. 2 0 0 t L y kỳ v ng hai v , chú ý r ng E ( Ys dWs ) = 0 (do tính ch t c a tích phân 0 Ito) ta thu đư c t 1 EYt = EY0 + α2 EYs ds 2 0 t c là d 1 EYt = α2 EYt , EY0 = 1. dt 2 12 Suy ra EYt = exp( 2 α t). M t khác do N0 đ c l p v i Wt nên mt = ENt = EN0EYt exp(r − α2 /2)t = m0 ert. Ngoài ra d a vào công th c hi n c a Nt và lu t loga l p c a quá trình Wiener ta còn thu đư c k t lu n sau
4.5. Phương trình vi phân ng u nhiên 227 • N u r > 1 α2 thì Nt → ∞ khi t → ∞ (S bùng n dân s c a qu n 2 th ) • N u r < 1 α2 thì Nt → 0 khi t → ∞ ( S di t vong dân s c a qu n 2 th ). • N u r = 1 α2 thì Nt giao đ ng gi a giá tr l n tuỳ ý và giá tr nh tuỳ 2 ý. M t đi u lý thú là n u 0 < r < 1 α2 thì 2 lim Nt = 0, h.c.c t→∞ nhưng lim ENt = lim m0ert = +∞. t→∞ t→∞ Ví d 4.9. T ng quát hơn ta xét phương trình dYt = µ(t, ω )Yt dt + σ (t, ω )YtdWt . Ta ch ng minh r ng nghi m c a phương trình trên là t t (µ(s) − σ 2(s)/2)ds + Yt = Y0 exp σ (s)dWs . (4.14) 0 0 Th t v y xét quá trình Ito Xt v i vi phân Ito dXt = (µ(t) − σ 2 (t)/2)dt + σ (t)dWt. (4.15) Xét quá trình Yt = eXt = u(Xt ) đó u(x) = ex . Công th c Ito cho ta 1 eXt (µ(t) − σ 2(t)/2) + eXt σ 2 (t) dt + eXt σ (t)dWt dYt = 2 = eXt µ(t)dt + eXt σ (t)dWt = µ(t, ω )Yt dt + σ (t, ω )Yt dWt . Như v y Yt là nghi m c a phương trình vi phân ng u nhiên đang xét.
228 Chương 4. Tính toán ng u nhiên M t khác t (4.15) ta có t t 2 Xt = X0 + µ(s) − σ (s)/2)ds + σ (s)dWs . 0 0 Thay vào ta đư c công th c (4.14). Bây gi chúng ta tr l i câu h i 1) v s t n t i và duy nh t nghi m. Đ nh lý 4.7. Gi s các hàm f (t, x) và g (t, x) tho mãn các đi u ki n sau |f (t, x)| + |g (t, x)| ≤ C (1 + |x|), x ∈ R.t ∈ [0, T ] v i C là h ng s và |f (t, x) − f (t, y )| + |g (t, x) − g (t, y )| ≤ D|x − y | v i D là h ng s . G i Z là ĐLNN đ c l p v i Wt , t ≥ 0 và EZ 2 < ∞ Khi đó phương trình vi phân ng u nhiên dXt = f (t, Xt )dt + g (t, Xt )dWt , X0 = c (4.16) có nghi m duy nh t. Ch ng minh. a) Tính duy nh t: Gi s Xt và Yt là hai nghi m. Đ t a(s, ω ) = f (s, Xs ) − f (s, Ys ), b(s, ω ) = g (s, Xs ) − g (s, Ys ). Ta có t t 2 bdWs )2 E (Xt − Yt ) = E (X0 − Y0 + ads + 0 0 t t 2 2 bdWs )2| ≤ 3E |X0 − Y0 | + 3E |( ads) | + 3E |( 0 0 t t ≤ 3E |X0 − Y0 |2 + 3tE ( a2ds) + 3E ( b2ds) 0 0 t ≤ 3E |X0 − Y0 |2 + 3(1 + t)2D2 E |Xs − Ys |2ds. 0
4.5. Phương trình vi phân ng u nhiên 229 Do đó hàm v (t) = E |Xt − Yt |2 ; t ∈ [0, T ] tho mãn b t đ ng th c t v (t) ≤ F + A v (s)ds 0 t trong đó F = 3E |X0 − Y0 |2 , A = 3(1 + T )2D2 . Đ t w(t) = v (s)ds. Khi đó 0 w (t) ≤ F + Aw(t). Vì w(0) = 0 suy ra w(t) ≤ F/A(exp(At) − 1). Do đó v (t) ≤ F exp(At). Vì X0 = Y0 = Z nên F = 0 do đó v (t) = 0, ∀t ∈ [0, T ]. V y P (Xt = Yt ) = 1∀t ∈ [0, T ]. b) S t n t i: Đ t Yt0 = X0 và ta xác đ nh Ytk+1 m t cách truy h i như sau t t Ytk+1 = X0 + f (s, Ysk )ds + g (s, Ysk )dWs . 0 0 Khi đó b ng tính toán tương t như khi ch ng minh tính duy nh t ta có t E |Ytk+1 Ytk |2 2 E |Ysk − Ysk−1 |2 ds − ≤ 3(1 + T ) D 0 và E |Yt1 − Yt0 |2 ≤ A1t 2 trong đó h ng s A1 ch ph thu c vào C, T, EX0 . B ng quy n p theo k ta có Ak+1 tk+1 E |Ytk+1 − Ytk |2 ≤ 2 (k + 1)! trong đó A2 là m t h ng s . Ti p theo T |Ytk+1 Ytk | |f (s, Ysk ) − f (s, Ysk−1 )ds sup − ≤ t∈[0,T ] 0 t (g (s, Ysk ) − g (s, Ysk−1 )dWs |. + sup | t∈[0,T ] 0
230 Chương 4. Tính toán ng u nhiên Do b t đ ng th c martingale Doob ta thu đư c P ( sup |Ytk+1 − Ytk | > 2−k ) t∈[0,T ] T |f (s, Ysk ) − f (s, Ysk−1 )ds)2 > 22k−2 ) ≤ P |( 0 t (g (s, Ysk ) − g (s, Ysk−1 )dWs | > 2−k−1 ) +P ( sup | t∈[0,T ] 0 T ≤ 22k+2 T E |f (s, Ysk ) − f (s, Ysk−1 )2 ds 0 T +22k+2 E |(g (s, Ysk ) − g (s, Ysk−1 |2 )ds 0 T Ak tk (4A2 T )k+1 2 ≤ 22k+2 D2 (T + 1) dt ≤ k! (k + 1)! 0 n u ch n A2 ≥ 4D2 (T + 1). Do đó theo b đ Borel-Cantelli v i h u h t ω có t n t i k0 = k0 (ω ) sao cho sup |Ytk+1 − Ytk | < 2−k , v i k > k0 . t∈[0,T ] Do đó v i h u h t ω dãy Ytn (ω ) h i t đ u theo t. Ký hi u gi i h n là Xt = Xt (ω ). Có Xt là m t quá trình liên t c vì Ytn là m t quá trình liên t c v i m i n. Hơn nũa, Xt là Ft- đo đư c vì Ytn có tính ch t đó v i m i n. Cu i cùng ta ch ng minh Xt tho mãn phương trình (4.16). V i m i n ta có t t Ytk+1 = X0 + f (s, Ysk )ds + g (s, Ysk )dWs (4.17) 0 0 và v i m > n ∞ A2T )k+1 ||Ytm − Yyn ||L2 ≤ → 0, khi n → ∞. (k + 1)! k =n Có Ytn (ω ) → Xt (ω ) đ u theo t v i h u h t ω . Theo b đ Fatou ta có T T Ytn |2 dt) |Ytm − Ytn |2dt) → 0khi n → ∞. E( |Xt − ≤ lim inf E (( m 0 0
4.5. Phương trình vi phân ng u nhiên 231 T đó b i đ ng c u Ito t t g (s, Ysn )dWs → g (s, Xs )dWs 0 0 và theo b t đ ng th c Holder t t f (s, Ysn )ds → f (s, Xs )ds 0 0 trong L2 (Ω). Qua gi i h n (4.17) ta nh n đư c t t Xt = X0 + f (s, Xs )ds + g (s, Xs )dWs . 0 0 Bây gi ta nêu lên m t s tính ch t quan tr ng c a l i gi i Xt c a phương trình vi phân ng u nhiên (không ch ng minh) dXt = f (t, Xt )dt + g (t, Xt)dWt , X0 = c. (4.18) 1. Gi s đi u ki n t n t i và duy nh t nghi m c a đ nh lý trên đư c tho mãn và Ec2n < ∞ . Khi đó E |Xt − Xs |2n ≤ C |t − s|n v i c là h ng s . Nói riêng, n u Ec2 < ∞ thì Xt liên t c bptb. 2. Gi s 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là m t phân ho ch c a [0, T ] và δn = max(tk − tk−1 ). Khi đó n T (Xtk − Xtk−1 )2 = g 2 (s, Xs )ds P − lim δn →0 0 k =1 T T đó suy ra n u = 0 g 2(s, Xs )ds > 0 thì v i xác su t 1 các qu đ o c a Xt có bi n phân không b ch n. 3. Qu đ o t → Xt (ω ) không kh vi t i s n u g (s, Xs (ω )) = 0.
232 Chương 4. Tính toán ng u nhiên 4. Xt là m t quá trình Markov trên [0, T ] v i phân b ban đ u t i t = 0 là phân b c a c v i xác su t chuy n P (s, x, t, A) = P (Xt ∈ A|Xs = x). 5. N u f (t, x), g (t, x) là hàm liên t c đ i v i t thì Xt còn là m t quá trình khuy ch tán v i h s d ch chuy n là f (t, x) và h s khuy ch tán là g 2 (t, x), nghĩa là 1 lim P (s, x, t, dy ) = 0 t−s t ↓s |y −x|>ε 1 lim (y − x)P (s, x, t, dy ) = f (s, x) t ↓s t − s |y −x|≤ε 1 (y − x)2P (s, x, t, dy ) = g 2 (s, x) lim t ↓s t − s |y −x|≤ε 6. Trong trư ng h p f (t, x) = f (x), g (t, x) = g (x) không ph thu c t thì Xt là quá trình Markov thu n nh t. 4.6 Bài t p 1. Ch ng minh tr c ti p t đ nh nghĩa công th c sau t t sdWs = tWt − Ws ds 0 0 2. Ch ng minh tr c ti p t đ nh nghĩa công th c sau t t 1 Ws2dWs = Wt3 − Ws ds 3 0 0 3. Ki m tra xem các quá trình Xt sau đây có là martingale hay không i) Xt = Wt + 4t ii) Xt = Wt2 t iii) Xt = t2Wt − 2 sWs ds 0
4.6. Bài t p 233 4. Ch ng minh tr c ti p t đ nh nghĩa r ng Xt = Wt2 − t là martingale 5. Ch ng minh r ng Xt = Wt3 − 3tWt là martingale 6. Gi s f ∈ N (0, T ) có qu đ o liên t c. Ch ng minh r ng T f (t, ω )dWt = lim f (tj , ω )∆Wj ∆tj →0 0 j đó s h i t là trong L2 (Ω) 7. Gi s hàm f ∈ N (0, T ) đ trơn theo nghĩa sau: Có t n t i h ng s K và ε > 0 sao cho E |f (s, .) − f (t, .)|2 ≤ K |s − t|1+ε , ∀s, t ∈ [0, T ] Ch ng minh r ng T f (t, ω )dWt = lim f (sj , ω )∆Wj ∆tj →0 0 j v i m i cách ch n sj ∈ [tj , tj +1 ]. 8. S d ng công th c Ito đ vi t các vi phân Ito c a các quá trình sau đây i) Xt = Wt2 ii) Xt = 2 + t + eWt . 9. V i a, b là các h ng s ta đ nh nghĩa Xt = eat+bWt . Ch ng minh r ng dXt = (a + b2 /2)Xt dt + bXt dWt .
234 Chương 4. Tính toán ng u nhiên 10. Cho Xt là quá trình Ito v i dXt = v (t, ω )dWt. i) Cho ví d ch ng t r ng Xt2 không là martingale. ii) Ch ng minh r ng t Xt2 2 Mt = − vs ds 0 là m t martingale. 11. Cho Zt là quá trình Ito v i vi phân ng u nhiên dZt = adt + bdWt v i a, b là các h ng s . Đ nh nghĩa 1 Mt = exp(Zt − (a + b2/2)t) = exp(− b2t + bWt). 2 Dùng công th c Ito ch ng minh r ng dMt = bMt dWt . T đó suy ra Mt là m t martingale (ta g i Mt là m t martingale mũ). 12. Ki m tra r ng quá trình Xt = eWt là l i gi i c a phương trình 1 dXt = Xt dt + Xt dWt . 2 13. Ki m tra r ng quá trình Wt Xt = 1+t là l i gi i c a phương trình 1 1 dXt = − Xt dt + dWt , X0 = 0. 1+t 1+t
4.6. Bài t p 235 14. Gi i các phương trình i) dXt = Xt + dWt ii) dXt = −Xt dt + e−t dWt . 15. V i a, b ∈ R xét phương trình sau b − Xt dXt = dt + dWt , t ∈ [0, 1]. 1−t Ch ng minh r ng nghi m c a phương trình là t dWs Xt = a(1 − t) + bt + (1 − t) 1−s 0 và limt→1 Xt = b h u ch c ch n. Quá trình Xt đu c g i là c u Brown t a đ n b. 16. Cho Xt là là nghi m c a phương trình vi phân ng u nhiên dXt = (aXt + a )dt + (bXt + b )dWt , X0 = 0. Xét quá trình St = exp((a − b2/2)t + bWt). i) Tìm phương trình vi phân ng u nhiên mà St tho mãn. ii) Ch ng minh r ng d(Xt St 1 ) = (a − bb )St 1 dt + b St 1 dWt ). − − − iii) Suy ra bi u th c hi n c a Xt .