Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 8

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

177
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 8', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 8

168 Chương 3. Quá trình Martingale Ta có {T = n} = {r1 = −1, ..., rn−1 = −1, rn = 1} ∈ Fn và P (T = n) = (1/2)n . V y P (T < ∞) = 1 và T là th i đi m d ng. Ta có XT = 1 do đó EXT = 1 trong khi EXn = EX0 = 0 v i m i n. V y EXT = EX0 . V y tính ch t martingale không đư c b o toàn qua phép thay th th i đi m d ng này. Ta cũng th y đi u ki n (3.3) trong đ nh lý 3.9 b vi ph m. Th t v y 2n − 1 |Xn |dP = (2n − 1)P {T > n} = → 1, khi n → ∞. 2n {T >n} Như v y m c dù trò chơi là công b ng n u s ván chơi đư c n đ nh trư c. Tuy nhiên n u s ván chơi không n đ nh trư c nhưng ngư i chơi A v n có chi n lu c chơi (chi n lư c khát nu c: tăng g p đôi s ti n cư c sau m i ván thua và d ng chơi khi th ng) đ luôn ch c ch n thu lãi 1 đô la. Nhưng mu n v y A ph i có s v n vô h n, đư c quy n đ t cư c theo ý mình và d ng chơi b t c lúc nào anh ta mu n. Đó là m t đi u không hi n th c. Đ nh lý 3.14. Cho (Xn ) là m t martingale đ i v i (Fn ) và T là th i đi m d ng v i ET < ∞. Gi s r ng t n t i h ng s C > 0 sao cho v i m i n trên t p {T ≥ n} ta có E |Xn+1 − Xn | Fn ≤ C. Khi đó E |XT | < ∞, và EXT = EX0 . n Ch ng minh. Đ t Y0 = X0 , Yi = |Xi − Xi−1 . Khi đó |Xn | ≤ Yi . Suy ra i=0 T T |XT | ≤ Y i → E | XT | ≤ E Yi . i=0 i=0
3.2. Martingale th i gian r i r c 169 Ta có T T E Yi = Yi dP Ω i=0 i=0 ∞ n ∞ n = ( Yi )dP = Yi dP n=0 {T =n} i=0 {T = n } n=0 i=0 ∞∞ ∞ = Yi dP = Yi dP. {T = n } {T ≥ i } i=0 n=i i=0 Vì {T ≥ i} = Ω \ {T < i} ∈ Fi−1 nên Yi dP = E (Yi |Fi−1 )dP ≤ CP (T ≥ i). {T ≥ i } {T ≥ i } Vy T ∞ E | XT | ≤ E Yi ≤C P (T ≥ i) = CET < ∞. i=0 i=0 n T Ti p theo trên {T > n} ta có Yi ≤ Yi do v y i=0 i=0 n |Xn |dP ≤ ( Yi )dP {T >n} {T >n} i=0 T ≤ ( Yi )dP → 0 khi n → ∞ {T >n} i=0 T vì như đã ch ng minh E Yi < ∞. Theo đ nh lý 3.6 ta có EXT = i=0 EX0 . H qu 3.2 (H ng đ ng th c Wald). Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p có cùng phân b có kỳ v ng h u h n. G i Fn là sig -trư ng sinh b i Y1 , ..., Yn . Gi s T là m t th i đi m d ng đ i v i Fn tho mãn ET < ∞. Khi đó T E Yi = (ET )(EY1). i=1
170 Chương 3. Quá trình Martingale N u DYn < ∞ thì 2 T E Yi − T µ = (ET )(DY1 ). i=1 Ch ng minh. Đ t Yn = Yn − µ đó µ = EY1 và Xn = n=1 Yi = Sn − nµ i n trong đó Sn = i=1 Yi . D th y (Xn ) là martingale. Ta có E |Xn+1 − Xn | Fn = E (|Yn+1 − µ|Fn ) = E |Yn+1 − µ| ≤ 2µ. Theo đ nh lý 3.14 EXT = EX1 = 0. Suy ra EST = µET. 2 Tương t ta xét martingale Zn = Xn − nDY1 ta thu đư c EZT = 0, thành th 2 EXT = (ET )(DY1 ). Ta nêu ra m t s áp d ng c a h ng đ ng th c Wald. Ví d 3.8. Cho (rn ) là dãy các ĐLNN đ c l p cùng phân b 1 P (rn = 1) = P (rn = −1) = 2 n Đ t Sn = i=1 ri . Sn mô t du đ ng ng u nhiên đ i x ng trên đư ng th ng xu t phát t 0. Gi s i = 0 là m t đi m nguyên trên đư ng th ng. Xét th i đi m T là th i đi m l n đ u tiên Sn = i. Như đã bi t T là th i đi m Markov. M t khác tr ng thái i là h i quy nên P (T < ∞) = 1(xem thí d chương 1). Do đó T là th i đi m d ng và do ST = i nên EST = i. Ta ch ng minh r ng ET = ∞ t c là i là tr ng thái h i quy không. Th t v y n u ET < ∞ thì theo h ng đ ng th c Wald EST = (ET )(Er1) = 0. Mâu thu n.
3.2. Martingale th i gian r i r c 171 Ví d 3.9. (Bài toán phá s n c a ngư i đánh b c.) M t ngư i A có s v n N đôla và c n có thêm M đô la n a. Anh ta quy t đ nh ki m M đô la này b ng cách vào sòng b c chơi trò chơi s p ng a. M i ván chơi m t đ ng xu đư c tung lên. N u đ ng ti n s p anh ta th ng và đư c m t đô la. N u đ ng ti n ng a anh ta thua và m t m t đô la. Anh ta quy t đ nh chơi cho đ n khi nào ho c ki m đư c M đô la mong mu n ho c m t s ch N đô la. Ta mu n tìm xác su t th ng M đô la c a A, xác su t phá s n (thua N đô la) và s ván chơi c n thi t. Gi s p là xác su t ra m t s p và q là xác su t ra m t ng a c a đ ng xu. G i (rn ) là dãy các ĐLNN đ c l p cùng phân b P (rn = 1) = p, P (rn = −1) = q. n G i Sn là s ti n thu đư c c a A ván th n. Ta có Sn = i=1 ri G i T là th i đi m d ng cu c chơi. Khi đó T = inf {n ≥ 1 : Sn = M ho c Sn = −N }. Ta bi t r ng T là th i đi m d ng và ET < ∞. G i α = P (ST = −N ) là xác suât phá s n và β = P (ST = M ) là xác su t th ng c a A. Ta có α + β = 1.N u trò chơi là công b ng p = q = 1/2 thì theo h ng đ ng th c Wald 0 = EST = −Nα + Mβ . K t h p v i đi u ki n α + β = 1 ta suy ra M N α= ,β = . M +N M +N L i theo h ng đ ng th c Wald suy ra s ván chơi trung bình là ET = EST = αN 2 + βM 2 = MN. 2 Trong trư ng h p p = q ta xét martingale Xn = (q/p)Sn ta tìm đư c E (q/p)ST = E (q/p)S1 = 1. Thành th α(q/p)−N + β (q/p)M = 1. K t h p v i α + β = 1 suy ra (q/p)M − 1 1 − (q/p)N α= , β= . (3.8) (q/p)M − (q/p)N (q/p)M − (q/p)N
172 Chương 3. Quá trình Martingale Theo h ng đ ng th c Wald EST = (Er1 )ET = (p − q )ET . V y s ván chơi trung bình là EST ET = = βM − αN p−q đó α, β đư c cho theo công th c (3.8). 3.2.3 M t s b t đ ng th c cơ b n Có nhi u b t đ ng th c hay liên quan đ n martingale và martingale trên, dư i. Dư i đây s trình bày m t vài b t đ ng th c cơ b n nh t. Các b t đ ng th c này s đư c s d ng đ thi t l p các đ nh lý h i t và lu t s l n cho martingale. Đ nh lý 3.15 (B t đ ng th c Doob). Cho (Xn ) là martingale dư i không âm đ i v i Fn . Gi s ∗ Xn = max |Xi | 0≤ i ≤ n . Khi đó v i m i n ≥ 0, a > 0 ta có 1 EXn ∗ 1) P (Xn ≥ a) ≤ Xn dP ≤ a a ∗ {X n ≥ a } p ∗ 2) Xn ≤ Xn p p p−1 = E (|Y |)p )1/p là chu n Lp c a Y ∈ Lp . trong đó Y p Ch ng minh. Đ t T = min{i ≤ n : Xi ≥ a} và T = n n u Xi < a, v i m i i = 1, 2, ..., n. Khi đó vì T ≤ n nên theo đ nh lý EXn ≥ EXT = XT dP + XT dP ∗ ∗ {X n ≥ a } {Xn
3.2. Martingale th i gian r i r c 173 Thành th ∗ aP (Xn ≥ a) ≤ EXn − Xn dP = Xn dP ≤ EXn . ∗ ∗ {Xn 1 ta có ∞ p tp−1P (X ≥ t)dt. EX = p 0 Vy ∞ E (Xn )p ∗ tp−1P (Xn ≥ t)dt ∗ =p 0 ∞ t p− 2 ≤p Xn dP ∗ 0 {X n ≥ t } ∗ ∞ Xn p− 2 tp−2dt dP =p t Xn I{Xn ≥t} dt = p Xn ∗ 0 Ω Ω 0 p E ( X n ( Xn ) p − 1 ) . ∗ = (3.9) p−1 Theo b t đ ng th c Honde ta l i có E ( X n ( Xn ) p − 1 ) ≤ X n ∗ ( Xn ) p − 1 ∗ = Xn p E [(Xn )p ]1/q ∗ (3.10) p q p đó q = T (3.2.3) và (3.10) ta suy ra b t đ ng th c th hai. p− 1 H qu 3.3. N u (Xn ) là m t martingale thu c Lp thì v i m i p ≥ 1 ta có E | Xn | p P ( max |Xi | > a) ≤ . ap 0≤ i ≤ n Nói riêng n u Sn = Y1 + · · · + Yn đó (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p có kỳ v ng 0 và phương sai h u h n thì ta có b t đ ng th c Kolmogorov sau đây n DXi i=1 P ( max |Si| > a) ≤ . a2 1≤ i ≤ n
174 Chương 3. Quá trình Martingale Th t v y ta ch c n áp d ng b t đ ng th c Doob cho martingale dư i không âm (|Xn |p ). H qu 3.4. Cho (Xn ) là martingale thu c L2 . Khi đó E (max Xi2 ) ≤ 4EXn . 2 i ≤n Cho trư c hai s a < b. Đ i v i dãy (Xn ) các ĐLNN ta đ nh nghĩa các th i đi m ng u nhiên (Tn ) như sau: T0 = 0 T1 = min{n > 0 : Xn ≤ a} T2 = min{n > T1 : Xn ≥ b} ........ T2m−1 = min{n > T2m−2 : Xn ≤ a} T2m = {n > T2m−1 : Xn ≥ b} ................ Đ t Tk = 0 n u t p h p tương ng là tr ng. Ti p theo v i m i n ≥ 1 ta đ nh nghĩa  max{m : T ≤ n} n u T ≤ n 2m 2 βn (a, b) = 0 n u T2 > n. Theo đ nh nghĩa trên ta g i β (a, b) là s l n c t đo n [a, b] (t dư i lên trên) b i dãy (Xn ). Dãy (Xn ) các ĐLNN có gi i h n limn Xn h u ch c ch n khi và ch khi s l n c t đo n [a, b] (v i a, b h u t b t kỳ) c a (Xn ) là h u h n v i xác su t 1. Đ nh lý dư i đây cho c n trên c a s l n c t trung bình gi a đo n [a, b] c a m t martingale dư i. B t đ ng th c này s đư c áp d ng đ nghiên c u s h i t c a martingale trong ti t sau. Đ nh lý 3.16 (B t d ng th c c t ngang). Cho (Xn ) là martingale dư i. Khi đó v i m i n ≥ 1 E [Xn − a]+ Eβn (a, b) ≤ b−a
3.2. Martingale th i gian r i r c 175 Ch ng minh. S l n c t đo n [a.b] c a martingale dư i (Xn ) chính b ng s l n c t đo n [0, b − a] c a martingale dư i không âm ([Xn − a]+). Thành th ta ch c n ch ng minh r ng v i martingale dư i không âm (Xn ) ta có Xn Eβn (0, b) ≤ . b Đ nh nghĩa X0 = 0 và  1 n u T < i ≤ T m+1 v i m l nào đó m φi = 0 n u Tm < i ≤ Tm+1 v i m ch n nào đó. D th y n bβn (0, b) ≤ φi [Xi − Xi−1 ] i=1 và {φi = 1} = [{Tm < i} \ {Tm+1 < i}] ∈ Fi−1 . ml Vì th n bEβn(0, b) ≤E φi [Xi − Xi−1 ] i=1 n = [Xi − Xi−1 ]dP {φi =1} i=1 n = E (Xi − Xi−1 |Fi−1 )dP {φi =1} i=1 n = E [(Xi |Fi−1 ) − Xi−1 ]dP {φi =1} i=1 n ≤ E [(Xi |Fi−1 ) − Xi−1 ]dP Ω i=1 n = (EXi − EXi−1 ) = EXn . i=1
176 Chương 3. Quá trình Martingale Đ nh lý 3.17 (B t đ ng th c Burkholder). Cho (Xn , Fn ) là martingale, 1 < p < ∞. Đ t D1 = X1 , Dn = Xn − Xn−1 , n = 2, 3, ... . Ký hi u n 2 [X ]n = Di . i=1 Khi đó t n t i các h ng s chung C1 , C2 (ch ph thu c p) sao cho C1 [X ]n ≤ Xn ≤ C2 [X ]n p p p = (E |X |p )1/p ký hi u chu n Lp c a ĐLNN X . trong đó X p Chú ý r ng trong trư ng h p dãy (Di ) là dãy các ĐLNN đ c l p, (t c là martingale (Xn ) là t ng các ĐLNN đ c l p có kỳ v ng 0), b t đ ng th c Burkholder chính là b t đ ng th c Khinchin ( ng v i p = 2) và b t đ ng th c Marcinkievicz-Zigmund ( v i 1 < p < ∞). Tuy nhiên b t đ ng th c Marcinkievicz-Zigmund đúng v i c p = 1 trong khi b t đ ng th c Burkholder nói chung không đúng khi p = 1. 3.2.4 Các đ nh lý h i t , lu t s l n Đ nh lý sau đây là đ nh lý cơ b n trong toàn b các đ nh lý v s h i t c a martingale dư i. Đ nh lý 3.18 (Doob). Cho (Xn , Fn ) là martingale dư i tho mãn đi u ki n sup E |Xn | < ∞. n Khi đó h u ch c ch n t n t i gi i h n limn Xn = X và E |X | < ∞. Ch ng minh. Gi s r ng P (lim sup Xn > lim inf Xn ) > 0. Khi đó ta tìm đư c hai s h u t a < b sao cho P (lim sup Xn > b > a > lim inf Xn ) > 0. (3.11)
3.2. Martingale th i gian r i r c 177 Gi s β (a, b) là s l n c t t dư i lên trên đo n [a, b] c a dãy X1 , ..., Xn. Theo b t đ ng th c c t ngang ta có E [Xn − a]+ + EXn + |a| Eβn (a, b) ≤ ≤ . b−a b−a Đ t β (a, b) = limn βn (a, b), ta rút ra + supn EXn + |a| Eβ (a, b) = lim Eβn (a, b) ≤ b−a n supn E |Xn | + |a| ≤ 1. Đ cho dãy (Xn ) h i t trong Lp đi u ki n c n và đ là (Xn ) b ch n trong Lp . Ch ng minh. Đi u ki n c n là hi n nhiên. Đ o l i gi s (Xn ) b ch n trong Lp t c là sup E |Xn |p < ∞. n
178 Chương 3. Quá trình Martingale Khi đó theo đ nh lý Doob dãy (Xn ) h i t h u ch c ch n t i ĐLNN X . Ta s ch ng minh X ∈ Lp và Xn → X trong Lp . T b đ Fatou ta có E |X |p ≤ sup E |Xn |p < ∞, n v y X ∈ Lp . Theo b t đ ng th c Doob pp E max |Xn |p ) E | Xn | p ≤( p−1 i ≤n suy ra E (sup |Xn |p) < ∞. n Đ t X ∗ = supn |Xn |p ta có X ∗ ∈ Lp . Vì |Xn − X |p ≤ 2p−1 (|Xn |p + |X |p ) ≤ 2p−1 (|X ∗ |p + |X |p) nên áp d ng đ nh lý h i t b ch n ta rút ra lim E |Xn − X |p = 0. n Đ nh lý trên không đúng n u p = 1 . Ta hãy xem ví d sau đây Ví d 3.10. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p cùng phân b v i P (Yn = 0) = P (Yn = 2) = 1/2. Ta có EYn = 1 v i m i n. Đ t Xn = Πn=1 Yi . Như đã bi t (ví d (Xn ) là m t i martingale. Vì EXn = Πn=1 EYi = 1 nên nó là m t martingale b ch n trong i L1 . Rõ ràng P (Xn → 0) ≤ P (∃i : Yi = 0) = 1 do đó Xn → 0 v i xác su t 1. N u s h i t là trong L1 thì ta ph i có EXn → 0. Mâu thu n. Đ nh lý sau đây cho tiêu chu n h i t trong L1 c a martingale.
3.2. Martingale th i gian r i r c 179 Đ nh lý 3.20. Gi s (Xn , Fn ) là martingale thu c Lp . Các đi u ki n sau đây là tương đương: 1. (Xn , Fn ) là martingale chính quy t c là t n t i X ∈ L1 sao cho ta có bi u di n Xn = E (X |Fn . 2. (Xn ) kh tích đ u. 3. Dãy (Xn ) h i t trong L1 . Ch ng minh. 1) → 2) Gi s có bi u di n Xn = E (X |Fn ). Khi đó |Xn | ≤ E (|X ||Fn ) do đó E |Xn | ≤ E |X |. V y (Xn ) b ch n trong L1 . Ti p theo v i c > 0, b > 0 b t kỳ ta có |Xn |dP ≤ |X |dP {|Xn |≥c} {|Xn |≥c} ≤bP (|Xn | ≥ c) + |X |dP {|X |≥b} b ≤ E |Xn | + |X |dP c {|X |≥b} b ≤ E |X | + |X |dP. c {|X |≥b} Thành th lim sup |Xn |dP ≤ |X |dP. c→∞ {|Xn |≥c} {|X |≥b} Cho b → ∞ ta đư c lim sup |Xn |dP = 0. c→∞ {|Xn |≥c} V y (Xn ) kh tích đ u.
180 Chương 3. Quá trình Martingale 2) → 3) Vì (Xn ) kh tích đ u nên nó b ch n trong L1 . Vì th theo đ nh lý h i t Doob dãy (Xn ) h i t h u ch c ch n. Vì dãy (Xn ) kh tích đ u nên theo đ nh lý 3.9 s h i t là trong L1 . 3) → 1) Gi s Xn → X trong L1 . Khi đó v i m i m c đ nh và v i m i n>m E |E (Xn |Fm ) − E (X |Fm )| ≤ E |Xn − X | → 0. Suy ra E (Xn |Fm ) → E (X |Fm ) khi n → ∞. Nhưng E (Xn |Fm ) = Xm . Thành th Xm = E (X |Fm ). Đ nh lý 3.21 (Levy). Gi s X ∈ L1 và (Fn ) là dãy tăng cácσ - đ i s . Ký hi u F∞ là σ - đ i s bé nh t ch a t t c các Fn . Khi đó v i xác su t 1 ta có lim E (X |Fn ) = E (X |F∞ ). n Ch ng minh. Đ t Xn = E (X |Fn ). Theo đ nh lý trư c, (Xn ) là martingale chính quy do đó nó kh tích đ u và h i t trong L1 t i m t ĐLNN Z . Ta c n ch ng minh Z = E (X |F∞ ). Th t v y gi s m > n và A ∈ Fn . Khi đó Xm dP = Xn dP = E (X |Fn ) = XdP. A A A A Do Xm → Z ∈ L1 khi m → ∞ nên Xm dP → ZdP khi m → ∞. V y A A v i m i n m i A ∈ ∪∞ Fn n=1 ZdP = XdP A A Hai v c a đ ng th c trên là hàm t p c ng tính đ m đư c trên trư ng ∪∞ Fn . Vì F∞ là σ - trư ng sinh b i ∪∞ Fn nên theo đ nh lý thác tri n đ n=1 n=1 đo ta có ZdP = XdP = E (X |F∞ )dP. A A A
3.2. Martingale th i gian r i r c 181 v i m i A ∈ F∞ . Nhưng Z và E (X |F∞ ) đ u F∞ )-đo đư c nên t đó suy ra Z = E (X |F∞ ) H qu 3.7 (Lu t 0-1). Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p và Fn là σ - trư ng sinh b i (Yi ), i ≤ n và Xn làσ - trư ng sinh b i (Yi ), i > n. Gi s X = ∞ Xn là σ - trư ng đuôi. Khi đó v i m i A ∈ X ta có P (A) = 0 ho c n=1 P (A) = 1. Ch ng minh. Theo đ nh lý Levy v a ch ng minh v i xác su t 1 E (IA |Fn ) → E (IA |F∞ ). N u A ∈ X thì A đ c l p v i Fn v i m i n .Do v y E (IA |Fn ) = EIA = P (A). L i có E (IA |F∞ ) = IA . Thành th P (A) = IA h.c.c nên P (A) = 0 ho c P (A) = 1. Cho (Xn ) là m t martingale dư i đ i v i Fn . Khi đó ta có khai tri n Doob sau đây Xn = Mn + An trong đó (Mn ) là m t martingale còn (An ) là dãy tăng 0 = A0 ≤ A1 ≤ ... ≤ An ≤ ... và d báo đư c t c là An ∈ Fn−1 . Ta có đ nh lý sau: Đ nh lý 3.22. Cho (Xn ) là martingale dư i không âm. N u A∞ = lim An < ∞ n h u ch c ch n thì (Xn ) h i t h.c.c.
182 Chương 3. Quá trình Martingale Ch ng minh. V i m i a > 0 xét th i đi m Markov Ta = inf {n ≥ 1 : An+1 > a} trong đó Ta = ∞ n u An ≤ a v i m i n. Ta có EXn∧Ta = EMn∧Ta + EAn∧Ta ≤ EM1 + a. Đ t Yn = Xn∧Ta . Khi đó (Yn ) là m t martingale dư i không âm và supn EYn < ∞ do đó h i t h.k.n. Vì trên t p {A∞ ≤ a} = {Ta = ∞} ta có Xn = Yn nên trên đó (b qua m t t p có xác su t 0) (Xn ) h i t . M t khác {A∞ } = {A∞ ≤ a} a∈Q nên suy ra trên A∞ = limn An < ∞ (Xn ) h i t h.c.c. Bây gi gi s (Xn ) là m t martingale bình phương kh tích t c là Xn ∈ 2 L2 v i m i n. Khi đó (Xn ) là m t martingale du i và do đó ta có khai tri n Dood 2 Xn = Mn + An . Ta ký hi u dãy (An ) là < X > t c là < X >n = An và g i đây là đ c trưng bình phương c a martingale bình phương kh tích X . Đ nh lý sau đây cho ta đi u ki n h i t c a martingale bình phương kh tích thông qua đ c trưng < X > c a nó Ta có n −1 E (Xi2 |Fi) − Xi2 . < X >n = +1 i=0 D ch ng minh đư c E (Xi2 |Fi) − Xi2 = E (Di+1 ||Fi ) 2 đó Di+1 = Xi+1 − Xi +1 t c là n 2 < X >n = E (Di |Fi−1). i=1
3.2. Martingale th i gian r i r c 183 Đ nh lý 3.23. Cho (Xn ) là m t martingale binh phương kh tích. Khi đó nu ∞ 2 < X >∞ = E (Di |Fi−1 ) < ∞ i=1 thì dãy (Xn ) h i t h.c.c. Ch ng minh. Xét hai martingale dư i (Xn ) và (Xn +1)2 . Khi đó t công th c 2 xác đ nh đ c trưng bình phương trên d ki m tra r ng < X >n =< X +1 >n . 2 Vì th ta có < X >∞ =< X + 1 >∞ < ∞ h.k.n Suy r a theo đ nh lý trên Xn và (Xn + 1)2 h i t h.c.c Suy ra (Xn + 1)2 − Xn − 1 2 Xn = 2 cũng h i t h.c.c. Như là m t áp d ng hay c a đ nh lý này ta có lu t m nh s l n r t t ng quát cho martingale như sau: Đ nh lý 3.24. Cho(Xn , Fn ) là martingale bình phương kh tích và (Bn ) là dãy tăng các ĐLNN sao cho B1 ≥ 1, Bn → ∞ và Bn ∈ Fn−1 . N u v i xác su t 1 ∞ 2 E (Di |Fi−1 )
184 Chương 3. Quá trình Martingale Ch ng minh. Đ t n Di Zn = . Bi i=1 Ta d dàng ki m tra đư c (Zn ) là m t martingale bình phương kh tích và Zi − Zi−1 = Di . Do đó i B n 2 E (Di |Fi−1 ) < Z >n = . Bi2 i=1 Thành th theo đ nh lý trên Zn h i t v i xác su t 1 t c là chu i ∞ Di Bi i=1 h i t h u ch c ch n. Đ n đây ta c n t i b đ sau c a gi i tích c đi n g i là b đ Kroneker. B đ 3.1 (Kronecker). Gi s 0 < bn là m t dãy s dương tăng ra vô cùng. N u chu i s xn h i t thì n 1 bi xi → 0 bn i=1 khi n → ∞. Do đó áp d ng b đ Kroneker cho ta n 1 Di Xn − X0 Bi = →0 Bn Bi Bn i=1 hay Xn → 0. n
3.3. Martingale v i th i gian liên t c 185 H qu 3.8 (Lu t m nh s l n Kolmogorov). Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p. Gi s µi = EYi . Khi đó n u ∞ DYi
186 Chương 3. Quá trình Martingale c a A đư c g i là m t l c n u Fs ⊂ Ft n u s < t. L c (Ft , t ∈ R+ ) đư c g i là liên t c ph i n u v i m i t ∈ R+ Ft = Ft+ = Fs . s>t Đ cho g n, t nay tr đi ta khi nói v l c (Ft ) ta hi u là ta xét l c (Ft , t ∈ R+ ). M t quá trình ng u nhiên X = (Xt ) trên t p con I ⊂ R+ là m t h X = (Xt , t ∈ I ) các ĐLNN v i t p ch s I . Nói cách khác đó là m t hàm X : I × Ω → R sao cho v i m i t ∈ I , X (t, ω ) : Ω → R là A- đo đư c. Quá trình ng u nhiên X = (Xt ), t ∈ R+ đư c ký hi u đơn gi n là X = (Xt ). Quá trình X g i là đo đư c n u ánh x X : I × Ω → R là B (I ) × A - đo đư c . Quá trình Y = (Yt ) đư c g i là m t b n sao c a quá trình X = (Yt ) n u v i m i t ∈ R+ = ta có P (Xt = Yt ) = 1. V i m i ω ∈ Ω c đ nh, hàm t → X (t, ω ) đư c g i là m t qu đ o (hay hàm ch n) c a X . Quá trình X đư c g i là liên t c (liên t c ph i) n u h u h t các qu đ o c a nó là liên t c (liên t c ph i). Đ nh nghĩa 3.4. Cho l c Ft. Quá trình X = (Xt , Ft) đư c g i là m t martingale n u Xt ∈ L1 v i m i t ∈ R+ và E (Xt |Fs ) = Xs v i m i s < t. Ta g i X là martingale trên n u d u đ ng th c trên đư c thay b ng d u≤ E (Xt |Fs ) ≤ Xs v i m i s
3.3. Martingale v i th i gian liên t c 187 Đ nh lý 3.25. Cho m t dãy các martingale (X n = (Xtn ). Gi s v i m i t t n t i gi i h n lim Xtn = Xt n trong Lp . Khi đó X = (Xt ) cũng là m t martingale. Th t v y ta có E (Xtn |Fs ) = Xs n v i m i s < t. Chú ý r ng kỳ v ng có đi u ki n là m t toán t tuy n tính liên t c trên Lp qua gi i h n ta có E (Xt |Fs ) = Xs v im is