Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

186
lượt xem 61
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5

84 Chương 2. Quá trình d ng Các h s hi đư c xác đ nh truy h i như sau h0 = 1 h1 = β1 + α1 = 0, 7 h2 = β2 + α1 h1 + α2 = (0, 7)(0, 7) − (0, 1) = 0, 39 hj = 0, 7hj −1 − 0, 1hj −2 j = 2, 3, .... Ví d 2.9. Xét dãy ARMA(1, 1) (Xn ) như sau Xn = αXn−1 + Wn + βWn−1 (2.7) trong đó |α| < 1, |β | < 1. Ta có Φ(z ) = 1 − αz, Φ(B ) = 1 − αB ∞ 1 1 αi z i . = = Φz 1 − αz i=0 Vy ∞ αi z i ) H (z ) = (1 + βz )( i=0 ∞ ∞ αi + β αi z i+1 = i=0 i=0 ∞ ∞ αi + β α i −1 z i = i=0 i=1 ∞ (αi + βαi−1 )z i =1+ i=1 ∞ α i −1 z i . = 1 + (α + β ) i=1 Thành th ∞ α i −1 W n −i Xn = H ( B ) W n = W n + ( α + β ) i=1
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 85 Ti p theo d a vào bi u di n trung bình trư t này ta hãy tìm hàm t tương quan c a (Xn ). Nhân hai v c a (2.7) v i Xn−h ta đư c Xn Xn−h − αXn−1 Xn−h = Wn Xn−h + βWn−1 Xn−h . L y kỳ v ng hai v ta đư c K (h) − αK (h − 1) = EWn Xn−h + βEWn−1 Xn−h . V i h = 1 chú ý r ng EWk Xm = 0 n u k > m và EWk Xk = σ 2 ta đư c K (1) − αK (0) = βσ 2. Cho h = 0 ta đư c K (0) − αK (1) = σ 2 + β (α + β )σ 2 = σ 2 (1 + αβ + β 2). V i h ≥ 2 thì EWn Xn−h = 0, EWn−1 Xn−h = 0 do đó K (h) − αK (h − 1) = 0. T đó v i h ≥ 2 K (h) = αh−1 K (1). Th K (1) − αK (0) = βσ 2 K (0) − αK (1) = σ 2 + β (α + β )σ 2 d dàng tìm đư c (α + β )2 α K (1) = σ 2 α + β + 1 − α2 (α + β )2 K (0) = σ 2 1+ 1 − α2 và K (h) = αh−1 K (1) n u h ≥ 2.
86 Chương 2. Quá trình d ng 2.1.3 Đ đo ph và m t đ ph Trong ti t này chúng ta s trình bày m t đ c trưng quan tr ng c a dãy d ng: Đó là khái ni m đ đo ph . Đ nh lý 2.11. Gi s K (h) là hàm t tương quan c a dãy d ng (Xn ). Khi đó t n t i và duy nh t m t đ đo h u h n µ trên [−π, π ] sao cho K (h) có bi u di n tích phân sau π eihx dµ(x). K ( h) = −π Đ đo µ đư c g i là đ đo ph c a dãy d ng Xn . Ch ng minh. Do K (n) là hàm xác đ nh không âm nên v i zj = e−ixj ta có n n n −1 −ix(j −k ) K (m)e−ixm(n − |m|) , ∀x . K (j − k )e = j =1 k =1 m=−(n−1) Đt n −1 1 |m | K (m)e−ixm 1 − fn (x) = . 2π n m=−(n−1) Ta có fn (x) ≥ 0 , ∀x và π fn (x)dx = K (0) −π π (vì −π e−imx dx = 0 n u m = 0). G i µn là đ đo trên [−π, π ] v i hàm m t đ fn (x). H đ đo {µn } là compact y u nên ta trích ra đư c m t dãy con {µnk } h i t y u t i đ đo h u h n µ. Ta ch ng t µ là đ đo c n tìm. Th t v y v i m i m c đ nh ta có π π imx eimx fnk (x)dx = e dµnk (x) = −π −π |m | = K ( m) 1 − , v i n k ≥ |m | . nk
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 87 Cho nk → ∞ ta đư c π eimx dµ(x) = K (m) . −π Đ đo µ là duy nh t. Th t v y gi s µ và ν là hai đ đo tho mãn π π einx dµ(x) = einx dν (x) . K ( n) = −π −π Vì m i hàm liên t c g (x) hoàn toàn có th x p x đ u b ng các đa th c n ck eikx , do đó ta suy ra lư ng giác k =1 π π g (x)dµ(x) = g (x)dν (x) , v i m i hàm liên t c g (x) . −π −π V y ta có µ = ν . Chú ý. N u Xn nh n giá tr th c thì K (h) nh n giá tr th c. Khi đó ta có π K ( h) = cos hxdµ(x). −π N u đ đo µ tuy t đ i liên t c dµ = f (x)dx thì m t đ f (x) c a µ đư c g i là m t đ ph c a Xn . Trong trư ng h p này ta nói Xn có ph liên t c. Như v y ta có: Đ nh nghĩa 2.6. Hàm f (x) đư c g i là m t đ ph c a dãy d ng (Xn ) v i hàm t tương quan K (h) n u f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ [−π, π ] và π eihxf (x)dx. K ( h) = −π Đ nh lý sau đây cho bi t khi nào m t hàm là hàm m t đ ph c a m t dãy d ng. Đ nh lý 2.12. Hàm f (x) không âm xác đ nh trên đo n [−π, π ] là hàm m t đ ph c a m t dãy d ng khi và ch khi
88 Chương 2. Quá trình d ng 1. f (x) là hàm ch n: f (x) = f (−x) ∀x ∈ [−π, π ] π 2. f (x)dx < ∞. −π Ch ng minh. Đi u ki n c n chúng ta đã ch ng minh. Bây gi ta gi thi t hàm f (x) có các tính ch t v a nêu. Đ t π eihx f (x)dx. K ( h) = −π Đ i bi n u = −x ta đư c π e−ihx f (x)dx K (−h) = −π π eihu f (−u)du = −π π eihu f (u)du = −π = K ( h) . V y K (h) là hàm ch n. Hơn n a n u a1, ..., an là các s ph c tuỳ ý thì n n π ar ¯ s eix(r−s) f (x)dx ar as K (r − s) = ¯ a −π r,s=1 r,s=1 2 n π ar eixr f (x)dx = −π r=1 ≥ 0. Do đó K (h) xác đ nh không âm . V y theo đ nh lý t n t i dãy d ng (Xn ) nh n K (h) là hàm t tương quan do đó nh n f (x) là hàm m t đ ph . Đ nh lý sau đây cho ta m t đi u ki n đ đ dãy (Xn ) có ph liên t c. Đ nh lý 2.13. N u ∞ |K ( h ) | < ∞ h=−∞
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 89 thì (Xn ) có ph liên t c và m t đ ph c a nó đư c cho b i công th c sau ∞ 1 e−ihx K (h). f ( x) = (2.8) 2π h=−∞ Ch ng minh. Đ u tiên nh n xét r ng chu i (2.8) h i t tuy t đ i do đó hàm f (x) đư c xác đ nh đúng đ n. V i m i s m nguyên dương ta đ t 1 2 E Xk e−ikx fm (x) = 2πm m 1 Xr Xs e−irxeisx = E 2πm r,s=1 1 (m − |h|)e−ihx K (h). = 2πm |h|
90 Chương 2. Quá trình d ng s là hàm t tương quan c a m t dãy d ng khi và ch khi ∞ 1 e−ihx K (h) ≥ 0. f ( x) = (2.9) 2π h=−∞ Trong trư ng h p này f (x) chính là m t đ ph c a dãy d ng. Ch ng minh. Đi u ki n c n ta v a ch ng minh. Gi s f (x) tho mãn (2.9). Do K (h) ch n nên d th y f (x) ch n. M t khác t công th c (2.9) suy ra π eihx f (x)dx. K ( h) = −π T ch ng minh c a đ nh lý 2.12 ta suy ra K (h) xác đ nh không âm. V y nó là hàm t tương quan c a m t dãy d ng . H qu trên cho ta m t phương pháp r t hi u l c đ ki m tra m t hàm ch n kh t ng tuy t đ i có ph i là hàm t tương quan hay không. Phưong pháp này t ra đơn gi n hơn so v i vi c ki m tra tính xác đ nh không âm c a hàm đang xét. Xét ví d sau (so sánh nó v i ví d 2.4). Ví d 2.10. Ta s ch ng minh r ng hàm sau đây  1 n u h = 0    K (h) = θ n u h = ±1     0 n u |h | > 1 là hàm xác đ nh không âm n u và ch n u |θ| ≤ 1/2. Th t v y K (h) rõ ràng là hàm ch n và kh t ng tuy t đ i. V y theo h qu trên nó s là hàm t tương quan khi và ch khi hàm ∞ 1 e−ihx K (h) f ( x) = 2π h=−∞ 1 = [1 + 2θ cos x] 2π
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 91 là không âm v i m i x ∈ [−π, π ]. Nhưng đi u này x y ra khi và ch khi |θ| ≤ 1/2. N u đ đo ph µ là đ đo r i r c ta nói dãy d ng (Xn ) có ph r i r c. Ch ng h n gi s U và V là hai ĐLNN không tương quan EU = EV = 0, EU 2 = EV 2 = σ 2 và λ là m t s th c. Xét dãy (Xn ) xác đ nh b i Xn = U cos λn + V sin λn. Khi đó (Xn ) là dãy d ng v i hàm t tương quan K (h) = σ 2 cos(λh). Không gi m t ng quát có th gi s λ ∈ [−π, π ]. G i µ là đ đo r i r c như sau σ2 µ{−λ} = µ{λ} = . 2 Khi đó d th y π 2 eihxdµ(x). σ cos(λh) = −π V y µ là đ đo ph r i r c c a Xn . T ng quát hơn gi s U1 , U2, ..., Um và V1 , V2 , ..., Vm là các ĐLNN v i EUk = EVk = 0, EUk = EVk2 = σk , EUi Uk = 0, (i = k ), EVi Vk = 0 (i = 2 2 k ), EUi Vj = 0 . Xét dãy (Xn ) xác đ nh b i m Xn = (Uk cos λk n + Vk sin λk n) k =1 trong đó λ1 , ...λm ∈ [−π, π ] .Như ví d 2.3 đã ch ra (Xn ) là dãy d ng v i hàm t tương quan m 2 K ( h) = σk cos λk h. k =1 Khi đó d th y đ đo ph µ là đ đo r i r c t p trung t i các đi m ±λk v i kh i lư ng σ2 µ{−λk } = µ{λk } = k . 2
92 Chương 2. Quá trình d ng Ví d 2.11. (M t đ ph c a dãy n tr ng.) N u Wn là dãy n tr ng v i tham s σ 2 thì t công th c (2.8) và bi u th c hàm t tương quan c a nó ( xem ví d 2.1) ta suy ra m t đ ph c a nó là σ2 f ( x) = . 2π Đó là m t hàm h ng s . Ví d 2.12. (M t đ ph c a dãy MA(1).) Gi s (Xn ) là dãy MA(1) xác đ nh như sau Xn = Wn + rWn−1 trong đó r là h ng s th c. T công th c (2.8) và bi u th c hàm t tương quan c a nó ( xem ví d 2.5) ta suy ra m t đ ph c a nó là σ2 (1 + r2 + r(e−ix + eix )) f ( x) = 2π σ2 (1 + 2r cos x + r2 ). = 2π Ví d 2.13. (M t đ ph c a dãy AR(1).) Gi s (Xn ) là m t dãy AR(1) tho mãn phương trình sai phân sau đây Xn = pXn−1 + Wn trong đó p là m t h ng s |p| < 1. T công th c (2.8) và bi u th c hàm t tương quan c a nó (xem ví d 2.5) ta suy ra m t đ ph c a nó là ∞ σ2 ph (e−ihx + eihx ) f ( x) = 1+ 1 − p2 h=1 2 peix pe−ix σ = 1+ + 1 − p2 1 − peix 1 − pe−ix σ2 (1 − 2p cos x + p2 )−1 . = 2π
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 93 Đ nh lý 2.14. Cho (Xn ) là m t dãy d ng v i trung bình không và hàm m t đ ph là fX (x). Cho dãy s th c (hk ) tho mãn |hk | < ∞. k ∈Z Khi đó chu i Yn = h i Y n −i i∈Z h i t h u ch c ch n và h i t bptb và dãy (Yn ) là m t dãy d ng v i trung bình không và có m t đ ph là fY (x) = |H (e−ix )|2 fX (x) = H (e−ix )H (eix )fX (x) hk z k . trong đó H (z ) = k ∈Z Ch ng minh. Theo đ nh lý 2.6 dãy (Yn ) là m t dãy d ng v i trung bình không và hàm t tương quan KY ( h ) = h k h j KX ( h + k − j ) . k ∈Z Vì Xn có m t đ ph fX (x) nên ta có π ei(h+k−j )x fX (x)dx. KX ( h + k − j ) = −π Thay vào ta đư c π ei(h+k−j )x fX (x)dx KY ( h ) = hj hk −π j,k∈Z π hj e−ijx hk eikx eihx fX (x)dx = −π j ∈Z k ∈Z 2 π eihx hj e−ijx fX (x)dx. = −π j ∈Z
94 Chương 2. Quá trình d ng T đ ng th c cu i suy ra Yn có m t đ ph fY (x) là 2 −ikx fY (x) = hk e fX (x). k ∈Z H qu 2.2. N u (Xn ) là m t dãy ARMA(p,q) tho mãn phương trình sai phân Φ(B )Xn = Θ(B )Wn thì nó có m t đ ph cho b i công th c σ 2 |Θ(e−ix)|2 f ( x) = . 2π |Φ(e−ix )|2 Th t v y ta có ∞ Θ(z ) hi z i H (z ) = = Φ(z ) i=−∞ và ∞ Xn = H ( B ) W n = h i W n −i . i=−∞ Khi đó theo đ nh lý 2.14 trên fX (x) = |H (e−ix )|2fW (x) σ 2 |Θ(e−ix )|2 = . 2π |Φ(e−ix )|2 Ví d 2.14. (M t đ ph c a quá trình ARMA(1,1).) Xét quá trình ARMA (1,1) Xn − αXn−1 = Wn + βWn−1 trong đó |α| < 1, |β | < 1 Khi đó m t đ ph c a Xn là σ 2(1 + βeix)(1 + βe−ix ) f ( x) = 2π (1 − αeix )(1 − αe−ix ) σ 2(1 + 2β cos x + β 2) = . 2π (1 − 2α cos x + α2 )
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 95 2.1.4 Bi u di n ph Trong m c này chúng ta s ch ng minh m t đ nh lý cơ b n c a dãy d ng g i là đ nh lý bi u di n ph . Ta c n m t công c m i: Tích phân đ i v i m t đ đo ng u nhiên gia s tr c giao. Cho đ n nay ta m i ch xét các đ i lư ng ng u nhiên nh n giá tr th c. Bây gi chúng ta xét c các ĐLNN nh n giá tr ph c. Vi c này làm cho nhi u công th c trong lý thuy t quá trình d ng tr nên đơn gi n hơn. Gi s (Ω, F , P ) là không gian xác su t cơ b n. Ký hi u L2 (Ω, F , P ) là không gian các ĐLNN X nh n giá tr ph c sao cho E |X |2 < ∞ . Khi đó L2 (Ω, F , P ) là không gian Hilbert v i tích vô hư ng xác đ nh b i < X, Y >= EX Y . S h i t trong L2 (Ω, F , P ) đư c g i là s h i t bình phương trung bình (bptb). Gi s (S, A) là không gian đo đư c nào đó. Hàm giá tr th c (hay ph c) Z (A) = Z (ω, A) xác đ nh v i ω ∈ Ω , A ∈ A đư c g i là đ đo ng u nhiên c ng tính h u h n n u a) V i m i A ∈ A ta có E |Z (A)|2 < ∞ . b) V i b t kỳ hai t p A1 , A2 ∈ A r i nhau A1 ∩ A2 = ∅ thì Z (A1 ∪ A2) = Z (A1) + Z (A2 ) (P − h.c.c) . Đ đo ng u nhiên c ng tính h u h n Z đư c g i là đ đo ng u nhiên n u v i b t kỳ dãy các t p A1 , A2, ... ∈ A đôi m t không giao nhau thì 2 ∞ n EZ Ak − Z (Ak ) → 0 (n → ∞) , k =1 k =1 hay ∞ ∞ Z Ak = Z (Ak ) , k =1 k =1
96 Chương 2. Quá trình d ng trong đó chu i trên h i t bptb. Đây là tính ch t c ng tính đ m đư c. Tương t như đ i v i đ đo thông thư ng tính ch t c ng tính đ m đư c c a đ đo ng u nhiên tương đưoưng v i tính ch t liên t c sau E |Z (An )|2 → 0 khi An ∅ , An ∈ A . Đ đo ng u nhiên Z đư c g i là tr c giao ( hay là đ đo v i giá tr tr c giao) n u v i hai t p b t kỳ A1 , A2 ∈ A không giao nhau thì EZ (A1)Z (A2 ) = 0 (ho c EZ (A1)Z (A2) = 0). Đi u này tương đương v i: V i hai t p b t kỳ A1, A2 ∈ A thì EZ (A1)Z (A2) = E |Z (A1 ∩ A2 )|2 . Đ t m(A) = E |Z (A)|2 ta có m là đ đo h u h n. Nó đư c g i là đ đo c u trúc c a Z . Tóm l i ta có đ nh nghĩa sau đây v đ đo ng u nhiên tr c giao ng v i m t đ đo c u trúc đã cho Đ nh nghĩa 2.7. Gi s (S, A, m) là không gian có đ đo. ánh x Z : A → L2 (Ω, F , P ) tho mãn tính ch t sau a) < Z (A1), Z (A2) >= m(A1 ∩ A2) , ∀A1, A2 ∈ A . V i {An }∞ là dãy các t p đôi m t r i nhau thu c A thì b) n=1 ∞ ∞ Z An = Z (An ) , n=1 n=1 trong đó chu i trên h i t bptb đư c g i là đ đo ng u nhiên tr c giao ng v i đ đo c u trúc m. Ngư i ta đã ch ng minh đư c r ng v i m i đ đo h u h n m cho trư c luôn t n t i đ đo ng u nhiên tr c giao ng v i đ đo c u trúc m. Ti p theo ta s xây d ng tích phân c a m t hàm (giá tr th c ho c ph c) đ i v i m t đ đo ng u nhiên tr c giao.
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 97 Cho Z : A → L2 (Ω, F , P ) là m t đ đo ng u nhiên v i đ đo c u trúc m. Ta xây d ng tích phân S f (t)dZ (t) v i f ∈ L2 (S, A, m) như sau: Ký hi u IA là hàm ch tiêu c a t p h p A t c là  I ( t) = 1 n u t ∈ A A 0 n u t ∈ A. / n Trư c h t n u f (t) là hàm đơn gi n f (t) = k =1 ck IAk (t) ta đ nh nghĩa n I (f ) = ck Z (Ak ). k =1 D ki m tra đ nh nghĩa này là đúng đ n và I là ánh x tuy n tính t không gian tuy n tính các hàm đơn gi n U vào không gian L2 (Ω, F , P ) . Ta có n n 2 I (f ) =< I (f ), I (f ) >= ci cj < Z (Ai ), Z (Aj ) > i=1 j =1 n |ci |2 m(Ai) = |f (t)|2dm. = S i=1 V y I : U → L2 (Ω, F , P ) là ph p đ ng c gi a U và môtk b ph n c a L2(Ω, F , P ). Vì U trù m t trong L2 (S, A, m) nên I đư c m r ng thành m t đ ng c t toàn b không gian L2(S, A, m) lên m t b ph n c a L2 (Ω, F , P ). Ta ký hi u I (f ) = f (t)dZ (t) S và g i dó là tích phân ng u nhiên c a f đ i v i đ đo ng u nhiên tr c giao Z. Tính ch t tuy n tính, đ ng c c a I đư c phát bi u l i thành các tính ch t sau đây c a tích phân ng u nhiên. Đ nh lý 2.15. Tích phân ng u nhiên có các tính ch t sau 1. Tuy n tính: V i các h ng s α, β ta có [αf1(t) + βf2(t)]dZ (t) = α f1 (t)dZ (t) + β f2 (t)dZ (t). S S S
98 Chương 2. Quá trình d ng 2. B o toàn tích vô hư ng f (t)dZ (t), g (t)dZ (t) = f (t)g (t)dm S S S 3. Đ ng c 2 |f (t)|2 dm. E f (t)dZ (t) = S S 4. Liên t c bptb fn (t) → f (t) trong L2 (S, A, m) khi và ch khi fn (t)dZ (t) → f (t)dZ (t) S S bình phương trung bình. Cho Z là đ đo ng u nhiên giá tr tr c giao trên (S, A) v i đ đo c u trúc m. V i g ∈ L2 (S, A, m) ta có th đ nh nghĩa m t đ đo ng u nhiên U trên (S, A) như sau U (A) = g (t)dZ (t) = IA (t)g (t)dZ (t). A S T đ nh lý trên ta d dàng suy ra U cũng là m t đ đo ng u nhiên giá tr tr c giao. Khi đó ta vi t dU (t) = g (t)dZ (t). G i l là đ đo c u trúc c a U . Ta có 2 |g (t)|2 dm. l(A) = E IA (t)g (t)dZ (t) = S A V y dl(t) = |g (t)|2dm(t). Đ nh lý 2.16. N u dU (t) = g (t)dZ (t) thì v i m i f (t) ∈ L2 (S, A, l) ta có f g ∈ L2 (S, A, m) và f (t)dU (t) = f (t)g (t)dZ (t). A A
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 99 Th t v y h th c trên đúng v i hàm đơn gi n. V i f ∈ L2 (S, A, l) b t kỳ ch n dãy hàm đơn gi n (fn ) sao cho fn → f trong L2 (S, A, l). Khi đó fn g → fg trong L2(S, A, m). Vì fn (t)dU (t) = fn (t)g (t)dZ (t). S Cho n → ∞ ta có đi u ph i ch ng minh. 1 H qu 2.3. N u dU (t) = g (t)dZ (t) và g (t) > 0 thì dZ (t) = dU (t). g (t) 1 Th t v y ký hi u h(t) = . Vì g (t) |h(t)|2dl(t) = |h(t)|2|g (t)|2dm(t) = m(S ) S S nên h(t) =∈ L2 (S, A, l) .V y h(t)dU (t) = h(t)g (t)dZ (t) = dZ (t) = Z (A). A A A Ti p theo d a trên khái ni m tích phân ng u nhiên đ i v i m t đ đo ng u nhiên ta có th đ nh nghĩa tích phân ng u nhiên d ng f (t)dX (t). R đó X (t) là m t quá trình gia s tr c giao như sau: Cho X (t) là m t quá trình ng u nhiên gia s tr c giao L2 liên t c bên trái t c là a) N u t1 < t2 < t3 < t4 thì X (t2 ) − X (t1 ), X (t4 ) − X (t3 ) = 0 b) X (t) → X (t0) theo nghĩa bptb khi t → t0 t bên trái t0 .
100 Chương 2. Quá trình d ng Ta ch ng t r ng có m t hàm th c không gi m, liên t c bên trái F (t) sao cho v i s < t thì F (t) − F (s) = E |X (t) − X (s)|2 . Th t v y, ch n c đ nh m t đi m t0 nào đó và đ nh nghĩa   E |X ( t ) − X ( t ) |2 n u t ≥ t0 0 F (t) = −E |X (t) − X (t0)|2 n u t ≤ t0 . Khi đó v i t0 ≤ s < t ta có F (t) − F (s) = E |X (t) − X (t0 )|2 − E |X (s) − X (t0)|2 . M t khác E |X (t) − X (t0 )|2 = E |X (t) − X (s) + X (s) − X (t0 )|2 = E |X (t) − X (s)|2 + E |X (s) − X (t0 )|2 (do X (t) có gia s tr c giao). Suy ra F (t) − F (s) = E |X (t) − X (s)|2 . Các trư ng h p khác ki m tra tương t . Tính liên t c bên trái c a F (t) suy ra t tính ch t L2 - liên t c bên trái c a X (t) và h th c F (t) − F (s) = E |X (t) − X (s)|2 . G i m là đ đo h u h n sinh b i hàm th c không gi m, liên t c bên trái F (t). G i ZX là đ đo ng u nhiên tr c giao trên R nh n m là đ đo c u trúc. Ta đ nh nghĩa f (t)dX (t) = f (t)dZX (t). R R Ngư c l i n u cho trư c đ đo ng u nhiên tr c giao Z trên R thì ta có th xây d ng m t quá trình ng u nhiên X (t) gia s tr c giao L2 - liên t c bên trái b ng cách đ t X (t) = Z {(−∞, t)}. D ki m tra r ng Z = XX .
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 101 Đ nh lý 2.17. N u hàm f (t) liên t c trên [a, b] thì b f (t)dX (t) a là gi i h n bptb c a t ng Riman n f (si ) X (ti+1 ) − X (ti ) , i=0 khi |∆| → 0 trong đó ∆ là phân ho ch tuỳ ý a = t0 < t1 < t2 < ... < tn+1 = b , si là đi m tuỳ ý thu c [ti, ti+1 ] |∆| = max |ti+1 − ti |. Ch ng minh. G i m là đ đo c u trúc c a ZX . Vì f (t) liên t c trên [a, b] nên nó liên t c đ u trên [a, b] ( theo đ nh lý Canto). Do đó ∀ > 0 , ∃δ > 0 sao cho n u |t − s| < δ thì |f (t) − f (s)| < . Đt n g∆ (t) = f (si )I(ti,ti+1 ] i=0 trong đó |∆| < δ , ta suy ra b |f (t) − g∆ (t)|2dm ≤ 2 m{[a, b]} . a M t khác n b 2 E f (si )[X (ti+1) − X (ti )] − f (t)dX (t) = a i=0 b b 2 |f (t) − g∆ (t)|2dm =E [g∆ (t) − f (t)]dX (t) = a a 2 ≤ m{[a, b]} Thành th n b f (si )[X (ti+1 ) − X (ti )] → f (t)dX (t) . a i=0 bình phương trung bình khi |∆| → 0.
102 Chương 2. Quá trình d ng Bây gi ta s phát bi u và ch ng minh đ nh lý v bi u di n ph c a dãy d ng Đ nh lý 2.18. Cho (Xn ) là dãy d ng (giá tr th c ho c ph c). Khi đó t n t i đ đo ng u nhiên tr c giao Z ( có th có giá tr ph c) trên [−π, π ] sao cho π einλ dZ (λ) , ∀n ∈ Z. X ( n) = −π Ch ng minh. Ký hi u M là t p h p t t c các t h p tuy n tính h u h n n ck Xk , trong đó ck ∈ C , k ∈ Z . G i H (X ) là bao kín c a M trong k =1 L2 (Ω, F , P ), µ là đ đo ph c a Xn . Xét ánh x S : M → L2 ([−π, π ], µ) xác đ nh như sau n n ck eikλ . S ck Xk = k =1 k =1 Ta có n n n 2 ck Xk = ck Xk , cj Xj = j =1 k =1 k =1 n n = ck cj < Xk , Xj > k =1 j =1 n n = ck cj K (k − j ) k =1 j =1 n n π ei(k−j )λdµ(λ) = ck cj −π k =1 j =1 n n π ck cj ei(k−j )λ dµ(λ) = −π k =1 j =1 n n π 2 2 ck eikλ dµ(λ) ck eikλ . = = −π k =1 k =1 Suy ra S là m t ánh x tuy n tính đ ng c t M vào L2 ([−π, π ], µ) . Do đó S đư c m r ng thành m t ánh x tuy n tính đ ng c t H (X ) vào S (M )
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 103 .Vì t p các hàm liên t c là trù m t trong L2 ([−π, π ], µ) và m i hàm liên t c n ck eikλ , nên đư c x p x đ u b ng các đa th c lư ng giác k =1 S (M ) = L2 ([−π, π ], µ). Như v y S là m t song ánh gi a H (X ) và L2 ([−π, π ], µ). Gi s S −1 : L2([−π, π ], µ) → H (X ). Đ t Z (A) = S −1 (IA ) . Ta ch ng t Z là m t đ đo ng u nhiên giá tr tr c giao. Th t v y 1. < Z (A), Z (B ) >=< S −1 (IA ), S −1(IB ) >= m(A ∩ B ) . ∞ ∞ Ak , trong đó Ak ∩ Aj = ∅, khi đó IA = 2. Gi s A = IAk trong k =1 k =1 ∞ L2([−π, π ], µ) do đó S −1 (IA ) = S −1 (IAk ) hay k =1 ∞ Z (A) = Z (Ak ) k =1 trong L2(Ω, F , P ) . Ti p theo ta ch ng minh r ng v i m i f ∈ L2 ([−π, π ], µ) thì π S −1 ( f ) = f (λ)dZ (λ) . −π Th t v y v i f là hàm đơn gi n thì công th c trên là đúng do đ nh nghĩa π S −1 (IA ) = Z (A) = IA dZ (λ) . −π V i f b t kỳ trong L2 ([−π, π ], µ) thì t n t i dãy hàm đơn gi n (fn ) h i t trong L2 ([−π, π ], µ) t i f . Khi đó π S −1 (fn ) = fn (λ)dZ (λ) . −π Cho n → ∞ ta thu đư c π S −1 ( f ) = f (λ)dZ (λ). −π