Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 9

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

179
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 9', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 9

Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 180-218. Từ khoá: Quá trình ngẫu nhiên, Tính toán ngẫu nhiên Quá trình Wiener, Tích phân Wiener, Tích phân ngẫu nhiên Ito, Công thức Ito, Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Chương 4 Tính toán ng u nhiên 4.1 Quá trình Wiener và ti ng n tr ng . . . . . . . 196 4.2 Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.3 Tích phân ng u nhiên Ito ............. 206 4.4 Công th c Ito .................... 213 4.5 Phương trình vi phân ng u nhiên . . . . . . . . . 221 4.6 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Năm 1908 nhà v t lý n i ti ng ngư i Pháp Langevin khi nghiên c u chuy n đ ng h n lo n c a m t h t trong ch t l ng đã đ c p t i phương trình sau đây ˙ Xt = −αXt + σξt ˙ trong đó Xt là thành ph n v n t c c a h t t i th i đi m t còn α, σ là các h ng s dương. Thành ph n σξt th hi n s tác đ ng c a l c ngoài do va ch m ng u nhiên v i các phân t c a môi trư ng ch t l ng. ξt đư c các nhà
196 Chương 4. Tính toán ng u nhiên v t lý g i là n tr ng. Ti ng n tr ng đư c các nhà v t lý hi u như m t quá trình Gauss d ng v i trung bình 0 và m t đ ph là h ng s trên toàn đư ng th ng. Tuy nhiên v m t toán h c m t quá trình d ng như v y không t n t i. Phương trình Langevin là trư ng h p đ c bi t c a các phương trình d ng sau đây xu t hi n trong nhi u mô hình mô t các hi n tư ng t nhiên kinh t và tài chính ˙ Xt = f (t, Xt ) + g (t, Xt)ξt . Đ x lý m t cách ch t ch toán h c phương trình vi phân lo i này m t lý thuy t toán h c m i đã ra đ i. Đó là tính toán ng u nhiên Ito. M c đích c a chương này là trình bày nh ng nét r t cơ s c a lý thuy t quan tr ng này. 4.1 Quá trình Wiener và ti ng n tr ng Trong m c này ta đi m qua m t s tính ch t c a quá trình Wiener mà ta đã trình bày trong các chương trư c. Nh l i r ng m t quá trình Wiener (Wt ), t ≥ 0 là m t quá trình gia s đ c l p v i giá tr ban đ u W0 = 0 gia s Wt − Ws có phân b chu n v i kỳ v ng 0 phương sai t − s. H u h t các qu đ o c a Wt là các hàm liên t c. Vi c Wt là m t quá trình gia s đ c l p và gia s Wt − Ws có phân b d ng (t c là ch ph thu c vào đ dài t − s) khi n cho ta có th áp d ng các đ nh gi i h n cho t ng các đ i lu ng ng u nhiên đ c l p cùng phân b vào vi c nghiên c u dd l n s thăng giáng c a qu đ o c a quá trình Wiener. Lu t m nh s l n kh ng đ nh r ng v i xác su t 1 Wt lim = 0. t→∞ t C p chính xác c a s thăng giáng qu đ o c a quá trình Wiener đư c cho b i lu t loga l p . Lu t loga l p kh ng đ nh r ng v i h u h t các qu đ o ta có Wt lim sup √ =1 2t log log t t→∞
4.1. Quá trình Wiener và ti ng n tr ng 197 và Wt lim inf √ = −1. 2t log log t t→∞ Ta có b đ sau đây B đ 4.1. N u (Wt) là quá trình Wiener thì các quá trình sau đây: • −Wt • cWt/c2 đó c = 0 • W t +s − W s đó s c đ nh t ≤ 0 cũng là quá trình Wiener. S d ng b đ trên, áp d ng lu t loga l p cho quá trình Wiener tW1/t ta thu đư c v i h u h t các qu đ o c a (Wt ) Wt lim sup =1 2tlog log 1/t t→0+ và Wt lim inf = −1. + 2tlog log 1/t t→0 H qu c a s ki n này là trong m i kho ng [0, ) qu đ o c a quá trình Wiener có vô s không đi m, các không đi m này có đi m t t i t = 0. Kh ng đ nh này cũng đúng v i m i kho ng [s, s + ) vì Xt = Wt+s − Ws là m t quá trình Wiener. M c dù qu đ o c a quá trình Wiener là m t hàm liên t c song theo m t đ nh lý c a chính Wiener, qu đ o là m t hàm không kh vi t i b t c đi m nào. Ch ng minh đi u này khá ph c t p ta không nêu ra đây. Tuy nhiên có th hình dung như sau. Vì r ng (Wt+h − Wt )/h có phân b chu n v i phương sai là 1/h nên v i m i t p B P {(Wt+h − Wt )/h ∈ B } → 0
198 Chương 4. Tính toán ng u nhiên khi h → 0. V y thì (Wt+h − Wt )/h không th h i t v i xác su t dương t i m t ĐLNN h u h n. N u quá trình Wiener là mô hình toán h c c a chuy n đ ng Brown thì tính ch t không đâu kh vi nói lên r ng h t ph n hoa th c hi n chuy n đ ng h n lo n đó không có v n t c m i th i đi m. M t tính ch t b t bình thư ng khác c a quá trình Wiener là qu đ o c a nó là m t hàm không có bi n phân gi i n i. B đ 4.2. Gi s a = t0 < t1 < ... < tn là m t phân ho ch đo n [a, b]. Ký hi u δn = max(ti+1 − ti ). Khi đó t ng n −1 (Wti+1 − Wti )2 = b − a. Sn = (4.1) i=0 h i t bình phương trung bình t i b − a khi δ → 0. N u δn h i t t i 0 đ nhanh sao cho δn < ∞ thì t ng trên h i t b − a n v i xác su t 1. Ch ng minh. Ta tính kỳ v ng và phương sai c a t ng (4.1) n −1 E (Wti+1 − Wti )2 E ( Sn ) = i=0 n −1 = (ti+1 − ti ) = b − a i=0 n −1 2 D(Wti+1 − Wti )2 E (Sn − (b − a)) = DSn = i=0 n −1 [E ((Wti+1 − Wti )4 − (E (Wti+1 − Wti ))2 )] = i=0 n −1 n −1 2 2 2(ti+1 − ti)2 = [3(ti+1 − ti) − (ti+1 − ti) = 2 i=0 i=0 n −1 ≤ 2δn ti+1 − ti = 2δn (b − a) → 0 i=0
4.1. Quá trình Wiener và ti ng n tr ng 199 khi δn → 0. N u n δn < ∞ thì n E (Sn − (b − a))2 < ∞ do đó v i xác su t 1 2 n (Sn − (b − a)) < ∞. Nói riêng h u ch c ch n Sn − (b − a) → 0. Đ c bi t n u ta xét các đi m chia ti = a + (b − a)i/2n , i = 0, 1, ..., 2n thì δn = (b − a)/2n do đó n δn < ∞. V trái c a b t đ ng th c 2n − 1 2n − 1 (Wti+1 − Wti )2 ≤ sup |Wti+1 − Wti )| |Wti+1 − Wti | i i=0 i=0 h i t h.c.c. t i b − a. Vì r ng qu đ o Wt (ω ) liên t c nên supi |Wti+1 − Wti )| → 0 khi n → ∞ . V y v i trên qu đ o y 2n − 1 |Wti+1 − Wti | → ∞. i=0 V y v i xác su t 1 qu đ o (hàm ch n) c a Wt có bi n phân không b ch n. Bây gi ta s đ nh nghĩa ti ng n tr ng. Cho K là không gian các hàm φ(t) xác đ nh trên R kh vi vô h n l n và có giá compac. Tôpo c a nó đư c xác đ nh như sau: M t dãy (φn ) ∈ K đư c nói là h i t t i φ = 0 n u t t c các hàm này tri t tiêu bên ngoài m t kho ng b ch n nào đó đ ng th i dãy hàm này cũng như dãy các đ o hàm m i c p c a nó h i t đ u t i 0. M i phi m hàm tuy n tính liên t c trên K đư c g i là m t hàm suy r ng. M i hàm thông thư ng f là m t hàm suy r ng khi nó đư c đ t tương ng v i phi m hàm ∞ Tf ( φ) = f (t)φ(t)dt. −∞ T công th c tích phân t ng ph n ta có n u f (t) kh vi thì ∞ ˙ φ(t)f˙(t)dt = −Tf˙ (φ). Tf ( φ) = − −∞ Vì th ta có th đ nh nghĩa đ o hàm c a hàm suy r ng như sau: ˙ Đ nh nghĩa 4.1. Cho hàm suy r ng T . Đ o hàm c a T ký hi u là T là hàm suy r ng xác đ nh b i ˙ ˙ T (φ) = −T (φ).
200 Chương 4. Tính toán ng u nhiên Như v y m i hàm suy r ng đ u có đ o hàm m i c p, các đ o hàm này l i là các hàm suy r ng. Đó chính là tính ưu vi t c a khái ni m hàm suy r ng. Quá trình ng u nhiên có th đ nh nghĩa là m t hàm ng u nhiên. Vì th ta cũng có khái ni m hàm ng u nhiên suy r ng hay thư ng g i là quá trình ng u nhiên suy r ng như sau: Đ nh nghĩa 4.2. M t phi m hàm ng u nhiên tuy n tính liên t c trên K đư c g i là m t quá trình ng u nhiên suy r ng. M t phi m hàm ng u nhiên tuy n tính liên t c T trên K là m t ánh x tuy n tính liên t c T : K → L2 . Hay nói cách khác T là m t quá trình ng u nhiên c p 2 v i t p ch s K . Hàm trung bình c a T là m(φ) = ET φ và hàm t tương quan K (φ, ψ ) = cov(T φ, T ψ ). Cho quá trình ng u nhiên Xt có qu đ o liên t c v i hàm trung bình m(t) và hàm t tương quan r(s, t). Khi đó có th đ t tương ng nó v i phi m hàm ng u nhiên tuy n tính T b i công th c Tφ = φ(t)Xt dt. R Khi đó m(φ) = φ(t)m(t)dt và R K (φ, ψ ) = r(s, t)φ(t)ψ (s)dtds. R2 Tương t như trư ng h p hàm suy r ng, đ o hàm c a m t quá trình ng u nhiên suy r ng luôn t n t i và là m t quá trình ng u nhiên suy r ng. Đ o ˙ hàm T c a quá trình ng u nhiên suy r ng T là m t quá trình ng u nhiên suy r ng xác đ nh b i ˙ ˙ T φ = −T (φ).
4.1. Quá trình Wiener và ti ng n tr ng 201 T đ nh nghĩa suy ra r ng n u T có hàm trung bình m(φ) và hàm t tương ˙ ˙ quan K (φ, ψ ) thì đ o hàm T c a nó có hàm trung bình m(φ) = −m(φ) và ˙ hàm t tương quan là ˙˙ ˙ K (φ, ψ ) = K (φ, ψ). Xét quá trình Wiener Wt . Nó đư c tương ng v i quá trình ng u nhiên suy r ng W cho b i ∞ Wφ = φ(t)Wtdt = φ( t ) W t R 0 đây Wt = 0(t < 0). G i m(φ), K (φ, ψ ) tương ng là hàm trung bình và hàm t tương quan c a W . Vì Wt có hàm trung bình m(t) = 0 và hàm t tương quan r(s, t) = min(s, t) nên m(φ) = 0 và ∞ ∞ K (φ, ψ ) = min(s, t)φ(t)ψ (s)dtds. 0 0 Sau m t s tinh toán sơ c p và tích phân t ng ph n ta có ∞ ˆ ˆ ˆ ˆ K (φ, ψ ) = (φ(t) − φ(∞))(ψ(t) − ψ (∞)) 0 trong đó t t ˆ ˆ φ( t ) = φ(s)ds, ψ(t) = ψ (s)ds. 0 0 ˙ Đ nh nghĩa 4.3. Đ o hàm W c a quá trình ng u nhiên suy r ng W đư c g i là n tr ng. ˙ G i m(φ), K (φ, ψ ) tương ng là hàm trung bình và hàm t tương quan ˙ ˙ c a W . T các công th c trên ta suy ra m(φ) = 0 và ˙ ∞ ˙ K (φ, ψ ) = φ(t)ψ (t)dt. 0 Công th c này có th vi t dư i d ng ∞ ∞ ˙ K (φ, ψ ) = δ (t − s)φ(t)ψ (t)dt. 0 0
202 Chương 4. Tính toán ng u nhiên ˙ Nghĩa là n u W tương ng v i m t quá trình ng u nhiên ξt thì ξt có hàm t tương quan là δ (t − s) do v y ξt và ξs đ c l p n u t = s. Nhưng không t n t i m t quá trình ng u nhiên như v y. Do đó ti ng n tr ng ch là m t quá trình ng u nhiên suy r ng. Tuy nhiên ngu i ta v n vi t m t cách hình th c ˙ trong các tài li u k thu t ξt = Wt . 4.2 Tích phân Wiener Trong m c này ta xây d ng tích phân Wiener d ng b f (t)dW (t) a trong đó f (t) ∈ L2 [a, b]. Trư c tiên ta đ nh nghĩa tích phân trên cho các hàm đơn gi n. N u f là hàm đơn gi n t c là f coá d ng n −1 f= ck IAk (4.2) k =0 trong đó a = t0 < t1 < ... < tn = b là m t phân ho ch h u h n c a [a, b], (ck ) là các s th c Ak = [tk , tk+1 ) còn IA ký hi u hàm ch tiêu c a t p A. Trong tru ng h p f có d ng (4.2) trên thì n −1 b f (t)dW (t) = ck (Wtk+1 − Wtk ). a k =0 G i S là không gian các hàm đơn gi n trên [a, b]. Ta đã bi t r ng S là m t không gian tuy n tính con c a L2 [a, b] và trù m t trong L2 [a, b]. Ký hi u b I (f ) = f (t)dW (t). a Ta có Đ nh lý 4.1. V i f ∈ S thì I (f ) ∈ L2 (Ω) và là ĐLNN Gauss có trung bình 0 và phương sai f L2 . Hơn n a ánh x I : S → L2 (Ω) là tuy n tính, đ ng
4.2. Tích phân Wiener 203 c và b o toàn tích vô hư ng t c là I (af + bg ) = aI (f ) + bI (g ) I (f ) = f < I (f ), I (g ) > =< f, g > . Ch ng minh. Ta chú ý r ng (Wtk+1 − Wtk ), (k = 0, 1, 2, ..., n − 1) là dãy các ĐLNN đ c l p có kỳ v ng 0 và phương sai (tk+1 − tk ). Do đó I (f ) có kỳ v ng 0 và n −1 2 c2 (tk+1 − tk ) I (f ) = k k =0 b f (t)2dt = f 2 = . a Tính ch t tuy n tính là hi n nhiên. Tính ch t b o toàn tích vô hư ng suy t tính ch t đ ng c và đ ng th c hình bình hành 2 2 u+v − u−v < u, v >= . 4 Vì S là trù m t trong L2 [a, b] nên ánh x I : S → L2(Ω) đư c thác tri n thành m t ánh x I : L2 [a, b] → L2 (Ω) tuy n tính , đ ng c và b o toàn tích vô hư ng. Ta đ nh nghĩa v i m i f ∈ L2 [a, b] b I (f ) = f (t)dW (t). a T tính ch t c a ánh x I (f ) ta suy ra các tính ch t cơ b n sau c a tích
204 Chương 4. Tính toán ng u nhiên phân Wiener b E f (t)dW (t) = 0 , a b b b E f (t)dW (t) g (t)dW (t) = f (t)g (t)dt , a a a b b f 2 (t)dt , Var f (t)dW (t) = a a c b E f (t)dW (t) g (t)dW (t) = 0 , v i a ≤ c ≤ d ≤ b , a d c b c g (t)dW (t) = σ 2 E f (t)dW (t) f (t)g (t)dt v i a ≤ c ≤ b . a a a Đ nh lý 4.2. 1. N u hàm f (t) liên t c trên [a, b] thì n b f (t)dW (t) = lim f (si ) W (ti+1 ) − W (ti ) , a i=0 khi |∆| = max |ti+1 − ti| → 0 trong đó ∆ là phân ho ch tuỳ ý a = t0 < t1 < t2 < ... < tn+1 = b , si là các đi m tuỳ ý thu c [ti, ti+1 ] . S h i t là trong L2 . 2. (Công th c tích phân t ng ph n) N u hàm f (t) kh vi liên t c trên [a, b] thì b b f (t)dW (t) = f (b)W (b) − f (a)W (a) − f (t)W (t)dt = a a b b = f (t)W (t) − f (t)W (t)dt a a Ch ng minh. 1. Vì f (t) liên t c trên [a, b] nên liên t c đ u trên [a, b] do đó ∀ > 0∃δ > 0 sao cho n u |t − s| < δ thì |f (t) − f (s)| < . Đ t g∆ (t) = n=0 f (si )I(ti,ti+1 ] , trong đó |∆| < δ , ta suy ra i b |f (t) − g∆ (t)|2 dt ≤ 2 (b − a). a
4.2. Tích phân Wiener 205 M t khác n b 2 E f (si )[W (ti+1) − W (ti )] − f (t)dW (t) = a i=0 b b 2 |f (t) − g∆ (t)|2dt ≤ 2 =E [g∆ (t) − f (t)]dW (t) = (b − a). a a Thành th n b lim f (si )[W (ti+1) − W (ti)] = f (t)dW (t) |∆→0 a i=0 đây s h i t là trong L2 . 2. Ta có n b f (t)dW (t) = lim f (si )[W (ti+1) − W (ti)] = |∆|→0 a i=0 n = lim f (b)W (b) − f (a)W (a) − W (ti+1 )[f (ti+1) − f (ti )] |∆|→0 i=0 L i có n n ti+1 W (ti+1 )[f (ti+1) − f (ti )] = W (ti+1 )f (s)ds. ti i=0 i=0 Do đó suy ra n b ti+1 W (s)f (s)ds − W (ti+1 )f (s)ds ≤ a ti i=0 n ti+1 ≤ |f (s)|. W (s) − W (ti+1 ) ds ≤ K (b − a) ti i=0 trong đó K = sups∈[a,b] |f (s)| còn W (u) − W (v ) < n u |u − v | < δ do ánh x W (t) : [a, b] → L2 (Ω) là liên t c đ u. V y n b lim W (ti+1 )[f (ti+1) − f (ti )] = W (t)f (t)ds. |∆|→0 a i=0 Công th c tích phân t ng ph n đã đư c ch ng minh.
206 Chương 4. Tính toán ng u nhiên H qu 4.1. Ánh x I : K → L2 (Ω) cho b i ∞ I ( φ) = φ(t)dW (t) −∞ chính là ti ng n tr ng. Th t v y t công th c tích phân t ng ph n suy ra ˙ ˙ I (φ) = −W (φ) = W (φ). ˙ V y I = W . Thành th m t cách hình th c ta vi t dWt = ξt dt n u ξt là quá trình (suy r ng) ng v i I . 4.3 Tích phân ng u nhiên Ito Ta mu n m r ng tích phân Wiener cho phép hàm dư i d u tích phân là m t hàm ng u nhiên. Chúng ta s đ nh nghĩa tích phân d ng T I (f ) = f (t, ω )dWt 0 cho m t l p nào đó các hàm ng u nhiên. Ký hi u Ft là σ -trư ng bé nh t sinh b i các ĐLNN {Ws , s ≤ t}. Chúng ta quan ni m r ng Ft là các thông tin v l ch s c a Ws cho t i th i đi m t. Ta có Fs ⊂ Ft n u s < t t c là h (Ft) là m t l c. Ta g i đó là l c t nhiên sinh t quá trình (Wt ). Đ nh nghĩa 4.4. Gi s f (t, ω ) là m t hàm ng u nhiên xác đ nh trên [0, ∞) × Ω. Ta nói r ng f (t, ω ) là phù h p ( đ i v i l c (Ft) ) n u đ i v i m i t ánh x ω → f (t, ω ) là Ft - đo đư c.
4.3. Tích phân ng u nhiên Ito 207 Đ nh nghĩa 4.5. Ký hi u N = N (0, T ) là l p các hàm ng u nhiên f (t, ω ) : [0, ∞) → R tho mãn đi u ki n 1. (t, ω ) → f (t, ω ) là đo đư c đ ng th i theo c hai bi n nghĩa là B × F -đo đư c, đó B là σ - trư ng Borel c a [0, ∞). 2. f (t, ω ) là phù h p. T f (t, ω )2 dt] < ∞. 3. E [ 0 Tư tư ng c a vi c xây d ng tích phân ng u nhiên Ito cũng tương t như tư tư ng xây d ng tích phân Wiener. Trư c h t ta đ nh nghĩa I (f ) cho các hàm sơ c p. M t hàm f ∈ N đư c g i là sơ c p n u nó có d ng f (t, ω ) = ci (ω )IAi (t) (4.3) i trong đó Ai = (ti , ti+1] và (Ai ) l p thành m t phân ho ch h u h n c a [0, T ]. Chú ý r ng vì f (t, ω ) là phù h p nên ta ta có ci là Fti -đo đư c. Bây gi đ i v i hàm sơ c p f (t, ω ) có d ng (4.3) ta đ nh nghĩa I (f ) = ci (ω )[Wti+1 − Wti ]. i Ta có các nh n xét quan tr ng sau. B đ 4.3. Ta có đ ng th c sau (g i là đ ng c u Ito) 2 T T f 2 (t, ω )dt]. E f (t, ω )dWt = E[ 0 0 Ch ng minh. Ký hi u Zi = Wti+1 − Wti . Khi đó v i i < j E (ci cj Zi Zj ) = E [E (ci cj Zi Zj |Ftj )] = E [ci cj Zi EZj ] = 0.
208 Chương 4. Tính toán ng u nhiên N u i = j thì E (c2 Zi2 ) = Ec2 EZi2 = E (c2 )(ti+1 − ti). V y thì i i i EI (f )2 = E (ci cj Zi Zj ) i,j T E (c2)(ti+1 f 2 (t, ω )dt]. = − ti ) = E [ i 0 i B đ 4.4. Gi s f ∈ N b ch n và f (., ω ) liên t c v i m i ω . Khi đó có t n t i dãy hàm sơ c p (gn ) ∈ N sao cho T (f − gn )2dt] → 0 E[ khi n → ∞. 0 Ch ng minh. Đ nh nghĩa gn (t, ω ) = (ti, ω )I(ti,ti+1 ]. f Khi đó gn là hàm sơ c p , g ∈ N và vì f (.ω ) liên t c nên T (f − gn )2 dt → 0 khi n → ∞ v i m i ω. 0 Theo đ nh lý h i t b ch n T (f − gn )2dt] → 0 khi n → ∞. E[ 0 B đ 4.5. Gi s h ∈ N b ch n. Khi đó tôn t i dãy hàm b ch n fn ∈ N có qu đ o liên t c và T (h − fn )2 dt] → 0 E[ khi n → ∞. 0
4.3. Tích phân ng u nhiên Ito 209 Ch ng minh. Gi s |h(t, ω )| ≤ M v i m i (t, ω ). V i m i n g i ψn là hàm không âm liên t c trên R sao cho i) ψn (x) = 0 v i x ≤ −1/n ho c x ≥ 0 và ∞ ii) ψn (x)dx = 1. −∞ Ta đ nh nghĩa hàm fn (t, ω ) như sau t fn (t, ω ) = ψn (s − t)h(s, ω )ds. 0 Khi đó fn (., ω ) liên t c v i m i ω và |fn (t, ω )| ≤ M . Do h ∈ N nên fn (t, .) là Ft-đo đư c v i m i t ( ta s d ng t ng đ x p x tích phân trong công th c xác đ nh fn ). Hơn n a v i m i ω T (fn (s, ω ) − h(s, ω ))2 ds → 0 khi n → ∞. 0 Áp d ng đ nh lý h i t b ch n ta thu đư c T (h − fn )2dt] → 0 khi n → ∞. E[ 0 B đ 4.6. Gi s f ∈ N . Khi đó có t n t i dãy hn ∈ N b ch n v i m i n và T (f − hn )2 dt] → 0 E[ khi n → ∞. 0 Ch ng minh. Đ t  −n  n u f (t, ω ) < −n   hn (t, ω ) = f (t, ω ) n u −n ≤ f (t, ω ) ≤ n    n nêú f (t, ω ) > n. Khi đó k t lu n suy ra t đ nh lý h i t b ch n
210 Chương 4. Tính toán ng u nhiên G i S là không gian tuy n tính các hàm sơ c p. Theo các b đ v a ch ng minh trên S là trù m t trong N . Ta đ nh nghĩa m t ánh x ng u nhiên I t S vào L2(Ω) b i I (f ) = ci (ω )[Wti+1 − Wti ] i n u f (t, ω ) có d ng (4.3) T đ ng c u Ito suy ra f là đ ng c . T đó I (f ) có th m r ng thành m t đ ng c trên toàn N . Ký hi u T I (f ) = f (t, ω )dWt (ω )dt. 0 Ta có đ ng c Ito đư c vi t l i thành 2 T T f 2 (t, ω )dt]. E f (t, ω )dWt = E[ 0 0 Đ nh lý sau đây cho ta m t s tính ch t c a tích phân Ito. Đ nh lý 4.3. Cho f, g ∈ N (0, T ) và gi s 0 < a < c < b < T . Ta đ nh nghĩa b T f (t, ω )dWt = f (t, ω )I[a,b]dWt . a 0 Khi đó ta có b c c i) f dWt = fdWt + fdWt a a a b c b ii) (αf + βg )dWt = fdWt + β fdWt a a c b iii) E fdWt = 0. a Ch ng minh. Đ nh lý hi n nhiên đúng khi f, g là các hàm sơ c p. B ng cách chuy n qua gi i h n ta thu đư c kh ng đ nh đúng v i f, g ∈ N (0, a). Gi s f ∈ N (0, T ). Bây gi ta nghiên c u tính ch t c a quá trình Xt , t ∈ [0, T ] xác đ nh b i t Xt == f (s, ω )dWs . 0
4.3. Tích phân ng u nhiên Ito 211 Đ nh lý 4.4. Gi s f ∈ N (0, T ) . Khi đó 1. Xt là phù h p đ i v i h Ft. 2. (Xt ) là m t martingale đ i v i h Ft. 3. Xt có b n sao liên t c. 4. N u t1 < t2 thì t (Ef 2 (s, ω ))ds. EXt1 Xt2 = 0 5. T 1 f (s, ω )2 ds]. P [ sup |Xt | ≥ c] ≤ 2 E [ c t∈[0,T ] 0 Ch ng minh. Ta ch c n ch ng minh 3) Gi s gn là hàm sơ c p sao cho b (f − gn )2dt] → 0 khi n → ∞. E[ a Đt t In (t, ω ) = gn (s, ω )dWs , 0 t I (t, ω ) = f (s, ω )dWs . 0 Khi đó In (t) = In (., ω ) là liên t c v i m i n. Hơn n a In (t) là m t martingale đ i v i Ft v i m i n. Th t v y t s E [In (s)|Ft] = E [ gn dW + gn dW |Ft ] 0 t t = gn dW = In (t) khi t < s. 0 Do đó In (t) − Im (t) là m t martingale. Theo b t đ ng th c martingale ta có 1 E |In (T ) − Im (T )|2 P { sup |In (t) − Im(t)| > ε} ≤ ε2 t∈[0,T ] T 1 (gn − gm )2ds] → 0 = E| khi m, n → ∞. ε2 0
212 Chương 4. Tính toán ng u nhiên Do đó ta có th ch n đư c dãy con nk tăng ra ∞ sao cho P [ sup |Ink+1 (t) − Ink (t)| > 2−k ] < 2−k . t∈[0,T ] Theo b đ Borel Cattely v i h u h t ω có t n t i k (ω ) sao cho khi k > k1 (ω ) thì sup |Ink+1 (t) − Ink (t)| < 2−k . t∈[0,T ] Thành th Ink (t) h i t đ u t i hàm ng u nhiên Jt (ω ) v i các qu đ o liên t c. L i có Ink (t) → I (t) trong L2 v i m i t nên Jt (ω ) = It (ω ) h u ch c ch n. Kh ng đ nh 4) suy ra t b t đ ng th c Doob đ i v i martingale liên t c và đ ng c u Ito. H qu 4.2. Xt là quá trình gia s không tương quan. Th t v y gi s r < t < u < v . Theo tính ch t 4 c a đ nh lý trên ta có E (Xv − Xu )(Xt − Xr ) = EXv Xt − EXv Xr − EXu Xt + EXu Xr t r t (Ef 2 (s)ds − (Ef 2 (s)ds − (Ef 2 (s)ds = 0 0 0 r (Ef 2 (s)ds = 0. + 0 Chú ý: M c dù Xt là quá trình gia s không tương quan nhưng nó nói chung không ph i quá trình gia s đ c l p. Tuy nhiên, n u f (s, ω ) = f (s) là m t hàm không ng u nhiên thì Xt là quá trình Gauss không tương quan do đó là quá trình gia s đ c l p. Tích phân Ito f dW có th đư c đ nh nghĩa cho m t l p hàm r ng hơn l p N . C th xét l p M = M (0, T ) các hàm ng u nhiên f tho mãn đi u ki n: 1. (t, ω ) → f (t, ω ) là đo đư c đ ng th i theo c hai bi n nghĩa là B ×F -đo đư c, đó B là σ - trư ng Borel c a [0, ∞).
4.4. Công th c Ito 213 2. f (t, ω ) là phù h p. T f (t, ω )2 dt < ∞] = 1. 3. P [ 0 N u f ∈ M ta có th ch ng minh r ng v i m i t có t n t i dãy hàm sơ c p fn ∈ N (0, t) sao cho |fn − f |2 ds → 0 theo xác su t. V i dãy (fn ) như v y ta t có 0 fn (s, ω )dWs h i t theo xác su t t i m t ĐLNN và gi i h n đó không ph thu c vào vi c ch n dãy x p x (fn ). Khi đó ta đ nh nghĩa t t f (s, ω )dWs = lim fn (s, ω )dWs n 0 0 đó s h i t là h i t theo xác su t. Ta cũng ch ng minh đư c s t n t t i m t b n sao liên t c c a quá trình ng u nhiên Xt = 0 f (s, ω )dWs . Tuy nhiên Xt không nh t thi t là martingale. 4.4 Công th c Ito Quan h t Xt = f (s, ω )dWs 0 có th vi t dư i d ng vi phân như sau dXt = f (t, ω )dWt . Đ ng th c này g i là m t vi phân ng u nhiên. Ta đ nh nghĩa vi phân ng u nhiên t ng quát hơn như sau. Gi s quá trình Xt có d ng sau đây t t Xt = X 0 + f (s, ω )ds + g (s, ω )dWs . 0 0 Khi đó ta nói Xt là m t quá trình Ito có vi phân ng u nhiên như sau dXt = f (t, ω )dt + g (t, ω )dWt .