Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 7

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

225
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3. Quá trình Martingale Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 143-194. Từ khoá: Quá trình ngẫu nhiên, Quá trình Martingale, Kỳ vọng có điều kiện, Thời điểm Markov, Các định lý hội tụ, Luật số lớn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 7

Chương 3. Quá trình Martingale Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 143-194. Từ khoá: Quá trình ngẫu nhiên, Quá trình Martingale, Kỳ vọng có điều kiện, Thời điểm Markov, Các định lý hội tụ, Luật số lớn. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Chương 3 Quá trình Martingale 3.1 Kỳ v ng có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.2 Martingale th i gian r i r c . . . . . . . . . . . . 148 3.2.1 Đ nh nghĩa, ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.2.2 Th i đi m Markov và th i đi m d ng . . . . . . . 154 3.2.3 M t s b t đ ng th c cơ b n . . . . . . . . . . . . 172 3.2.4 Các đ nh lý h i t , lu t s l n . . . . . . . . . . . 176 3.3 Martingale v i th i gian liên t c . . . . . . . . . 185 3.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Vi c nghiên c u s ph thu c c a các ĐLNN trong quá trình ng u nhiên t o nên các l p quá trình ng u nhiên khác nhau. Đ i v i quá trình Markov s ph thu c th hi n tính Markov: Quá kh đ c l p v i tương lai khi bi t hi n t i. Trong qua trình d ng d a trên tính ch t c a hàm tương quan. Chương này nghiên c u m t l p qúa trình khác mà s ph thu c d a trên tính ch t kỳ v ng có đi u ki n. Chương này đư c chia làm hai ph n. Ph n
144 Chương 3. Quá trình Martingale đ u trình bày Martingale v i th i gian r i r c. Ph n sau trình bày các k t qu tương ng cho trư ng h p Martingale v i th i gian liên t c. Tuy nhiên do khuôn kh cu n sách trong ph n B chúng tôi t p trung vào vi c gi i thi u các khái ni m, đ nh nghĩa . Các đ nh lý đư c nêu ra và gi i thích ý nghĩa, nêu ví d minh ho ch không ch ng minh chi ti t. 3.1 Kỳ v ng có đi u ki n Kỳ v ng có đi u ki n là m t khái ni m r t quan tr ng trong lý thuy t xác su t đ c bi t là trong lý thuy t martingale. Trong ti t này chúng ta s tóm t t nh ng nét ch y u c a khái ni m này. Cho không gian xác su t (Ω, A, P ). Ta đã bi t khái ni m xác su t có đi u ki n P (A|B ) đư c đ nh nghĩa là xác su t c a A đư c tính trong đi u ki n B đã x y ra. Ta có công th c sau P (AB ) P (A|B ) = . P (B ) N u X là m t ĐLNN kh tích thì ta đ nh nghĩa kỳ v ng có đi u ki n E (X |B ) là m t s xác đ nh b i công th c sau 1 E ( X |B ) = XdP. P (B ) B Gi s (Bn )∞ là m t phân ho ch đ m đư c c a Ω và F là σ -trư ng sinh n=1 b i phân ho ch này. Ta đ nh nghĩa kỳ v ng có đi u ki n E (X |F ) b i công th c sau ∞ E (X |F ) = E (X |Bn )IBn . n=1 Như v y E (X |F ) là m t ĐLNN F -đo đư c và trên Bn ta có 1 E (X |F ) = E (X |Bn ) = XdP. P (Bn ) Bn T đó suy ra E (X |F ) là m t ĐLNN F -đo đư c và tho mãn h th c sau E (X |F )dP = XdP. B B
3.1. Kỳ v ng có đi u ki n 145 Tính ch t này s đư c dùng làm đ nh nghĩa kỳ v ng có đi u ki n đ i v i m t σ - trư ng b t kỳ. Đ nh lý 3.1. Cho F là m t σ -trư ng. Cho X là ĐLNN không âm v i EX < ∞. Khi đó t n t i duy nh t m t ĐLNN Y không âm,F - đo đư c sao cho v i m i A ∈ F ta có Y dP = XdP. A A Ta g i Y là kỳ v ng có đi u ki n c a X đ i v i F và ký hi u là Y = E (X |F ). Ch ng minh. V i m i A ∈ F đ t Q(A) = XdP. A Rõ ràng A → Q(A) là m t đ đo trên (Ω, F ) và P (A) = 0 kéo theo Q(A) = 0. V y Q liên t c tuy t đ i đ i v i P . Theo đ nh lý Radon-Nyko dym t n t i duy nh t hàm Y : Ω → R+ là F - đo đư c sao cho Q(A) = Y dP. A N u X là ĐLNN v i E |X | < ∞ ta đ nh nghĩa E (X |F ) = E (X + |F ) − E (X − |F ). Sau đây là các tính ch t cơ b n c a kỳ v ng có đi u ki n mà ta s thư ng xuyên s d ng trong chương này. Các đ ng th c hay b t đ ng th c trong các tính ch t đã nêu đư c hi u là đúng h u ch c ch n. 1. N u X là F -đo đư c thì E (XY |F = XE (Y |F ). 2. N u X ≤ Y thì E (X |F ) ≤ E (Y |F ). Nói riêng |E (X |F )| ≤ E (|X ||F ).
146 Chương 3. Quá trình Martingale 3. N u a, b ∈ R thì E (aX + bY |F ) = aE (X |F ) + bE (Y |F ). (Tính ch t tuy n tính c a kỳ v ng có đi u ki n). 4. N u X và F đ c l p thì E (X |F ) = EX . 5. E [(E (X |F )] = EX. 6. N u F1 ⊂ F2 thì E [(E (X |F2 )|F1] = E [(E (X |F1)|F2 ] = (E (X |F1 ). Ti p theo là m t lo t các đ nh lý v chuy n gi i h n dư i d u kỳ v ng có đi u ki n: 1. N u |Xn | ≤ Y, EY < ∞ và Xn → X thì lim E (Xn |F ) = E (X |F ) n và lim E (|Xn − X ||F ) = 0. n 2. N u Xn ≥ Y, EY > −∞ thì E (lim inf Xn |F ) ≤ lim inf E (Xn |F ). n n 3. N u Xn ≥ 0 v i m i n thì E( Xn F ) = E (Xn |F ). n n B t đ ng th c sau đóng vai trò quan tr ng.
3.1. Kỳ v ng có đi u ki n 147 Đ nh lý 3.2 (B t đ ng th c Jensen). N u f : R → R là m t hàm l i t c là v i m i x, y ∈ R, v i m i α > 0.β > 0, α + β = 1 ta có f (αx + βy ) ≤ αf (x) + βf (y ) thì g (E (Xn |F )) ≤ E (f (X )|F ). Nói riêng n u p > 1 thì p |(E (Xn |F )| ≤ E (|X |p |F ). Do đó n u X ∈ Lp thì E (X |F ) ∈ Lp và Xn → X trong Lp kéo theo (E (Xn |F ) → (E (X |F ) trong Lp . Thành th ánh x tuy n tính E F : X → E (X |F ) là m t toán t tuy n tính liên t c t Lp (Ω, A, P ) vào Lp (Ω, F , P ) và có chu n b ng 1. Hơn n a khi p = 2 thì E F chính là phép chi u tr c giao t không gian Hilbert L2(Ω, A, P ) lên không gian con L2 (Ω, F , P ). Th t v y, gi s S là phép chi u tr c giao là phép chi u tr c giao t không gian Hilbert L2(Ω, A, P ) lên không gian con L2 (Ω, F , P ). Khi đó X − SX vuông góc v i m i ph n t c a L2 (Ω, F , P ). Nghĩa là v i m i Y ∈ L2 (Ω, F , P ) ta có < X − SX, Y >= 0 →< X, Y >=< SX, Y > hay Y XdP = Y SX. Ω Ω L y Y = IB v i B ∈ F ta đư c XdP = SXdP. B B V y SX = E (X |F . T k t lu n này ta suy ra trong s các ph n t c a L2(Ω, F , P ) thì E (X |F ) là ư c lư ng có sai s bình phương trung bình bé nh t t c là E [X − E (X |F )]2 ≤ E |X − Y |2 v i m i Y ∈ L2 (Ω, F , P ).
148 Chương 3. Quá trình Martingale 3.2 Martingale th i gian r i r c 3.2.1 Đ nh nghĩa, ví d Lý thuy t Martingale b t ngu n t trò chơi c b c nay tr thành m t lo i quá trình ng u nhiên có r t nhi u ng d ng v lý thuy t cũng như th c ti n, đ c bi t là m t công c không th thi u trong tính toán ng u nhiên và toán h c trong tài chính. Gi s r ng m t ngu i đánh b c đ t cư c các th i đi m r i r c n = 1, 2, ... và thu ho ch c a anh ta sau l n đ t cư c th n là m t ĐLNN Xn . Như v y X0 là s ti n v n c a anh ta lúc b t đ u chơi, các giá tr Xn có th là s âm hay s dương. Th nào thì trò chơi đư c g i là công b ng. N u các gia s Xn+1 − Xn là các ĐLNN đ c l p thì ta nói trò chơi là công b ng khi v i m i n kỳ v ng E (Xn+1 − Xn ) = 0. N u các kỳ v ng này dương thì trò chơi đư c g i là có l i (cho ngư i chơi) còn n u các kỳ v ng này âm thì trò chơi đư c g i là thi t h i (cho ngư i chơi). Tuy nhiên trò chơi v n có th công b ng mà không nh t thi t các gia s này ph i là đ c l p. Ch ng h n ngư i chơi có th s d ng m t quy t c chơi nào đó ph thu c vào k t qu c a các ván trư c. Trò chơi đư c g i là công b ng khi kỳ v ng có đi u ki n c a gia s Xn+1 − Xn v n b ng 0 n u bi t t t c các thông tin cho t i th i đi m n. Gi s (Ω, F .P ) là không gian xác su t, G ∈ F là σ -trư ng con c a F . M t ĐLNN X đư c g i là tương thích v i G n u X là G -đo đư c. Trong trư ng h p y ta vi t X ∈ G . M t dãy Fn , n = 1, 2, .. đư c g i là m t dãy tăng các σ - trư ng n u Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F , ∀n. Đ nh nghĩa 3.1. 1. Cho dãy tăng các σ - trư ng Fn Dãy các ĐLNN (Xn ) đư c g i là tương thích v i dãy Fn n u v i m i n, Xn ∈ Fn .
3.2. Martingale th i gian r i r c 149 2. Dãy(Xn ) đư c g i là thu c Lp và ta vi t (Xn ) ∈ Lp n u v i m i n E |Xn |p < ∞. 3. Dãy (Xn ) ∈ L1 đư c g i là m t martingale đ i v i dãy Fn n u nó tương thích v i dãy Fn và v i m i m < n thì E (Xn |Fm) = Xm . 4. Dãy (Xn ) ∈ L1 đư c g i là m t supermartingale (martingale trên) đ i v i dãy Fn n u nó tương thích v i dãy Fn và v i m i m < n thì E (Xn |Fm ) ≤ Xm . 5. Dãy (Xn ) ∈ L1 đư c g i là m t submartingale ( martingale dư i) đ i v i dãy Fn n u nó tương thích v i dãy Fn và v i m i m < n thì E (Xn |Fm ) ≥ Xm . Chú thích: • Đi u ki n E (Xn |Fm ) = Xm tương đương v i E (Xn+1 |Fn ) = Xn . Th t v y, do Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính ch t c a kỳ v ng có đi u ki n thì E (Xn+2 |Fn ) = E (Xn+2 |Fn+1 |Fn ) = E (Xn+1 |Fn ) = Xn . Ti p t c như v y, b ng quy n p ta có v i m i k thì E (Xn+k |Fn ) = Xn . Tương t cho các đi u ki n E (Xn |Fm ) ≤ Xm cũng như E (Xn |Fm ) ≥ Xm .
150 Chương 3. Quá trình Martingale • Dãy (Xn ) là martingale trên đ i v i dãy Fn khi và ch khi −Xn là martingale dư i đ i v i dãy Fn • Gi s σ (X )n là σ -trư ng bé nh t sinh b i {Xm , m ≤ n}. Hi n nhiên dãy (σ (X )n ) là m t dãy tăng và ta g i nó là σ - trư ng t nhiên sinh b i dãy (Xn ). Hi n nhiên dãy (Xn ) luôn tương thích v i dãy (σ (X )n ) . Ta nói l(Xn ) m t martingale n u nó là m t martingale đ i v i σ - trư ng t nhiên . Ví d 3.1. Cho dãy σ -trư ng tăng Fn và gi s X là m t ĐLNN X ∈ L1 . Đ t Xn = E (X |Fn ). Khi đó v i m < n ta có do tính ch t c a kỳ v ng có đi u ki n E (Xn |Fm ) = E (E (X |Fn )|Fm ) = E (X |Fm ) = Xm . V y (Xn ) là m t martingale đ i v i Fn . Ví d 3.2. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p v i EYn = 0 v i m i n. Gi s Fn = B (Y1, ..., Yn). Khi đó các t ng riêng S n = Y1 + Y2 + · · · Yn l p thành martingale đ i v i Fn . Th t v y do Sn ∈ Fn và Yn+1 đ c l p v i Fn nên ta có E (Sn+1 |Fn ) = E (Sn + Yn+1 |Fn ) = Sn + E (Yn+1 |Fn ) = Sn + E (Yn+1 ) = Sn . Ví d 3.3. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p và EYn = 1 v i m i n. Gi s Fn = B (Y1, ..., Yn). Khi đó các tích riêng Un = Y1 .Y2 . · · · .Yn
3.2. Martingale th i gian r i r c 151 l p thành martingale đ i v i Fn . Th t v y do Un ∈ Fn và Un+1 đ c l p v i Fn nên ta có E (Un+1 |Fn ) = E (Un .Yn+1 |Fn ) = Un .E (Yn+1 |Fn ) = Un .E (Yn+1 ) = Un . Ví d 3.4. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l p có kỳ v ng 0 EYn = 0 v i m i n. G i Fn là σ -đ i s sinh b i (Y1 , ..., Yn). Gi s (Vn ) là dãy các ĐLNN sao cho v i m i n > 1 thì Vn ∈ Fn−1 . Xét dãy (Xn ) như sau X0 = 0, Xn+1 = Xn + Vn+1 Yn+1 Khi đó (Xn ) là m t martingale đ i v i dãy (Fn ). Th t v y, vì Vn+1 ∈ Fn , EYn+1 = 0 nên Xn ∈ Fn và E (Xn+1 |Fn ) = E (Xn |Fn ) + E (Vn+1 Yn+1 |Fn ) = Xn + Vn+1 EYn+1 = Xn . Ví d 3.5. Cho dãy σ -trư ng tăng Fn và F∞ là σ -trư ng bé nh t ch a ∪∞ Fn . Cho Q là đ đo xác su t trên F∞ . G i Pn , Qn tương ng là thu h p n=1 dQn c a P và Q trên Fn . Gi s Qn liên t c tuy t đ i đ i v i Pn và g i Xn = dPn là đ o hàm Radon- Nikodim c a Qn đ i v i Pn . Khi đó v i m i A ∈ Fm và v i m i m < n ta có Xm dP = Qm (A) = Qn (A) = intA Xn dP. A Vy E (Xn |Fm ) = Xm do đó (Xn ) là martingale. Đ nh lý 3.3. Cho (Xn ) là martingale đ i v i Fn . Cho Φ là hàm l i sao cho Φ(Xn ) ∈ L1. Khi đó (Φ(Xn )) là m t martingale dư i đ i v i Fn .
152 Chương 3. Quá trình Martingale Ch ng minh. Theo b t đ ng th c Jensen ta có v i m < n Φ(Xm ) = Φ (E (Xn |Fm )) ≤ E (Φ(Xn )|Fm ). Nói riêng |Xn | là martingale dư i và n u Xn ∈ Lp , p > 1 thì |X |p là martin- gale dư i. Đ nh lý 3.4. 1. Cho (Xn ) là m t martingale đ i v i Fn . Khi đó kỳ v ng EXn là m t h ng s (không ph thu c n). 2. Cho (Xn ) là m t martingale dư i đ i v i Fn . Khi đó dãy kỳ v ng an = EXn là dãy không gi m theo n. 3. Cho (Xn ) là m t martingale đ i v i Fn và Xn ∈ Lp , p > 1. Khi đó dãy un = E |Xn |p dãy không gi m theo n. Th t v y, v i m ≤ n ta có EXm = E [(EXn |Fm )] = EXn n u (Xn ) là m t martingale . N u (Xn ) là m t martingale dư i thì EXm ≤ E [(EXn |Fm )] = EXn . K t qu sau đư c g i là khai tri n Doob đóng vai trò quan tr ng trong lý thuy t martingale. Trong trư ng h p th i gian r i r c ch ng minh khá đơn gi n nhưng s là m t ch ng minh r t khó trong trư ng h p th i gian liên t c. Đ nh lý 3.5 (Khai tri n Doob). Cho (Xn ) là m t martingale dư i đ i v i Fn . Khi đó ta có khai tri n Doob sau đây Xn = Mn + An
3.2. Martingale th i gian r i r c 153 trong đó (Mn ) là m t martingale còn (An ) là dãy tăng 0 = A0 ≤ A1 ≤ ... ≤ An ≤ và kh đoán t c là An ∈ Fn−1 Khai tri n này là duy nh t. Ch ng minh. Đ t M0 = X0 , A0 = X0 và Mi+1 − Mi = Xi+1 − E (Xi+1 |Fi ), i = 0, 1, ... Ai+1 − Ai = E (Xi+1 |Fi) − Xi , i = 0, 1, .... hay n −1 Mn = M0 + Xi+1 − E (Xi+1 |Fi) i=0 n −1 An = E (Xi+1 |Fi ) − Xi . i=0 D dàng ki m tra r ng b ng cách xác đ nh như v y (Mn ) là m t martingale và (An ) là dãy tăng, d báo đư c. Ti p theo ta ch ng minh khai tri n là duy nh t. Th t v y gi s Xn = Mn + An là m t khai tri n khác đó (Mn ) là m t martingale còn (An ) là m t dãy tăng, d báo đư c. Khi đó An+1 − An = (An+1 − An ) + (Mn+1 − Mn ) − (Mn+1 − Mn ). L y kỳ v ng có đi u ki n đ i v i Fn , ta thu đư c An+1 − An = An+1 − An . Vì A0 = A0 = 0 nên t đó rút ra An = An và do đó Mn = Mn . Bây gi gi s (Xn ) là m t martingale bình phương kh tích t c là Xn ∈ 2 L2 v i m i n. Khi đó (Xn ) là m t martingale du i và do đó ta có khai tri n Dood 2 Xn = Mn + An .
154 Chương 3. Quá trình Martingale Ta ký hi u dãy (An ) là < X > t c là < X >n = An và g i đây là đ c trưng bình phương c a martingale bình phương kh tích X . Ta có n −1 E (Xi2 |Fi) − Xi2 . < X >n = +1 i=0 D ch ng minh đư c E (Xi2 |Fi) − Xi2 = E (Di+1 ||Fi ) 2 đó Di+1 = Xi+1 − Xi +1 t c là Xn − X0 = D1 + . . . + Dn ta thu đư c n 2 < X >n = E (Di |Fi−1). i=1 Ta có Xn − X0 = D1 + · · · + Dn . Nói riêng n u X0 = 0 thì Xn = D1 + · · · + Dn . N u (Di ) là dãy các ĐLNN đ c l p thì Di đ c l p đ i v i Fi−1 do v y n 2 < X >n = E ( Di ) . i=1 Nghĩa là trong trư ng h p này < X > là dãy tăng các s dương. 3.2.2 Th i đi m Markov và th i đi m d ng Trong ti t này ta s trình bày khái ni m th i đi m Markov và th i đi m d ng . Đây là m t công c quan tr ng đ nghiên c u lý thuy t martingale. Đ nh nghĩa 3.2. Cho T là ĐLNN (có th nh n giá tr ∞). Ta nói r ng T là m t th i đi m Markov đ i v i dãy Fn n u {ω : T (ω ) = n} ∈ Fn . Th i đi m Markov T g i là th i đi m d ng n u T h u h n h u ch c ch n. Ta th y r ng T là th i đi m Markov khi và ch khi {ω : T (ω ) ≤ n} ∈ Fn .
3.2. Martingale th i gian r i r c 155 Th t v y, ch ng minh suy ra t các đ ng th c sau n {ω : T (ω ) ≤ n} = {ω : T (ω ) = k } ∈ Fn k =1 {ω : T (ω ) = n} = {ω : T (ω ) ≤ n} \ {ω : T (ω ) ≤ n − 1}. V i m i th i đi m d ng T ta đ nh nghĩa σ -trư ng FT các bi n c quan sát đư c cho t i th i đi m T như sau A ∈ FT ↔ A ∈ F∞ và A ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} ∈ Fn . Ta có FT qu là m t σ -trư ng. Th t v y • Ω ∈ FT vì Ω ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} = {ω : T (ω ) ≤ n} ∈ Fn . • Gi s Ak ∈ FT v i k = 1, 2, .... Khi đó ta có ∞ ∞ ( Ak ) ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} = (Ak ∩ {ω : T (ω ) ≤ n}) ∈ Fn k =1 k =1 ∞ vì Ak ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} ∈ Fn v i m i k . Suy ra Ak ∈ FT . k =1 • Gi s A ∈ FT và Ac = Ω \ A. Khi đó Ac ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} = Ω ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} \ A ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} {ω : T (ω ) ≤ n} \ A ∩ {ω : T (ω ) ≤ n} ∈ Fn . Suy ra Ac ∈ FT . Ví d 3.6. (Th i đi m đ u tiên ch m vào t p h p B .) Cho (Xn ) là dãy các ĐLNN và B là m t t p Borel c a R. G i T là th i đi m đ u tiên (Xn ) ch m ∞ vào B t c là T (ω ) = min{n : Xn (ω ) ∈ B } trong trư ng h p ω ∈ {Xn ∈ B } n=1 và T (ω ) = ∞ n u trái l i. Khi đó T là th i đi m Markov đ i v i σ -trư ng t nhiên. Ch ng minh suy ra t đ ng th c sau n {ω : T (ω ) ≤ n} = {Xk ∈ B } ∈ B (X1 , ..., Xn). k =0
156 Chương 3. Quá trình Martingale Sau đây là m t s tính ch t c a th i đi m Markov: 1. Gi s T là th i đi m Markov đ i v i (Fn ). Khi đó {T < n} ∈ Fn . Đi u này suy t đ ng th c n {T < n} = {T ≤ n − k } ∈ Fn . k =0 2. Gi s T1, T2 là th i đi m Markov đ i v i (Fn ). Khi đó các đ i lư ng min(T1, T2), max(T1, T2) và T1 + T2 cũng là các th i đi m Markov đ i v i (Fn ). Đi u này suy ra t đ ng th c {min(T1, T2) ≤ n} = {T1 ≤ n} ∪ {T1 ≤ n} {max(T1, T2) ≤ n} = {T1 ≤ n} ∩ {T1 ≤ n} n {T1 + T2 ≤ n} = {T1 = k } ∩ {T2 = n − k }. k =0 3. N u (Tk ) là dãy các th i đi m Markov đ i v i (Fn ). Khi đó inf k Tk , supk Tk cũng là các th i đi m Markov đ i v i (Fn ). Đi u này suy t đ ng th c ∞ {inf Tk ≤ n} = {TK = k } k k =0 ∞ {sup Tk ≤ n} = {TK = k }. k k =0 4. N u T là th i đi m Markov đ i v i (Fn ). thì T ∈ FT . Hơn n a n u S là th i đi m Markov đ i v i (Fn ). mà P (S ≤ T ) = 1 thì FS ⊂ FT .
3.2. Martingale th i gian r i r c 157 Th t v y, gi s A = {T ≤ m}. Ta ph i ch ra A ∈ FT t c là ph i ch ra A ∩ {T ≤ n} ∈ Fn . Ta có {T ≤ m} ∩ {T ≤ n} = {T ≤ min(m, n)} ∈ Fn . Bây gi gi s A ∈ FS . Khi đó do P (S ≤ T ) = 1 hai t p A ∩ {T ≤ n} và A ∩ {T ≤ n} ∩ {S ≤ n} ch sai khác m t t p có xác su t không. Do Fn đ y đ mà A ∩ {S ≤ n} ∩ {T ≤ n} thu c Fn nên A ∩ {T ≤ n} ∈ Fn . V y A ∈ FT . 5. N u (Tk ), k = 1, 2, .. là dãy các th i đi m Markov đ i v i (Fn ). và T = inf k Tk thì AT = ATk k Qu v y theo tính ch t 4 ta có AT ⊂ ATk . Đ o l i n u A ∈ ATk k k thì A ∩ { T ≤ n} = A ∪ {Tk ≤ n} k = (A ∩ {Tk ≤ n}) ∈ Fn . k (Xn ) là dãy các ĐLNN tương thích đ i v i (Fn ) và T là th i đi m Markov đ i v i (Fn ). Ta đ nh nghĩa hàm XT : Ω → R như sau  X T (ω ) (ω ) n u T (ω ) < ∞ XT ( ω ) = 0 n u T (ω ) = ∞. Đ nh lý 3.6. XT ∈ FT . Hơn n a n u Z là ĐLNN không âm hay có kỳ v ng thì E (Z |FT ) = E (Z |Fn ) trên t p {T = n}. Ch ng minh. Gi s B là m t t p Borel b t kỳ trên đư ng th ng. Ta có {XT ∈ B } ∩ {T = n} = {Xn ∈ B } ∩ {T = n} ∈ Fn
158 Chương 3. Quá trình Martingale vì {Xn ∈ B } ∈ Fn . Đi u này ch ng minh XT ∈ FT . Ti p theo gi s Z là ĐLNN không âm. Đ t ∞ Y= E (Z |Fn )I{T =n}. n=1 Ta ph i ch ng minh Y = E (Z |FT ). Th t v y, vì thu h p c a Y trên {T = n} b ng E (Z |Fn ) do đó là Fn - đo đư c do đó Y là FT -đo đư c. M t khác v i A ∈ FT b t kỳ ta có ∞ Y dP = E (Z |Fn )dP A A∩{T =n} n=1 ∞ = ZdP = ZdP A∩{T =n} A n=1 = E (Z |FT )dP. A Đi u này ch ng minh Y = E (Z |FT ). V i Z là ĐLNN có kỳ v ng b t kỳ ta phân tích Z = Z + − Z − r i áp d ng đi u v a ch ng minh cho Z + , Z − Đ nh lý 3.7. Cho (Xn ) là martingale ( martingale dư i) đ i v i Fn và T là th i đi m Markov đ i v i Fn . Xét dãy (Yn ) xác đ nh b i Yn = XT ∧n . Khi đó (Yn ) cũng là martingale ( martingale dư i) đ i v i Fn . Ch ng minh. Ta có n −1 Yn = XT ∧n = Xm I{T =m} + Xn I{T ≥n}. m=0 Do v y Yn ∈ Fn và Yn ∈ L1 . Hơn n a Yn+1 − Yn = I{T >n}(Xn+1 − Xn ). Thành th E (Yn+1 − Yn |Fn ) = I{T >n}E (Xn+1 − Xn |Fn ) = 0. Tương t cho trư ng h p martingale dư i.
3.2. Martingale th i gian r i r c 159 Ta bi t r ng n u (Xn ) là m t martingale thì v i m i n ta có EXn = EX0 . M t câu h i quan tr ng đ t ra là: Tính ch t trên còn đúng hay không khi thay th i đi m t t đ nh n b i th i đi m ng u nhiên T ?. T ng quát hơn: Li u tính ch t martingale cũng như martingale dư i v n còn đư c b o toàn khi thay th i đi m t t đ nh n b i th i đi m d ng ng u nhiên hay không? Ta s th y r ng đi u này không ph i luôn luôn đúng v i m i th i đi m d ng. (Ví d 3.6 s cho th y x y ra trư ng h p EXT = EX0 .) . Các đ nh lý dư i đây s cho ta các đi u ki n đ đ tính ch t martingale cũng như martingale dư i v n còn đư c b o toàn khi thay th i đi m t t đ nh n b i th i đi m d ng ng u nhiên và do đó có đ ng th c EXT = EX0 . Đ nh lý 3.8. Cho (Xn ) là martingale trên đ i v i Fn . Cho T, S là hai th i đi m d ng đ i v i Fn . Gi s r ng T, S là h u h n h u ch c ch n t c là t n t i s nguyên dương N sao cho P (T ≤ N ) = P (S ≤ N ) = 1. Khi đó E (XS |FT ) ≤ XT (3.1) h u ch c ch n trên t p S ≥ T . Do đó E (XS |FT ∧S ) ≤ XT ∧S . Trong trư ng h p (Xn ) là martingale đ i v i Fn thì E (XS |FT ) = XT h u ch c ch n trên t p S ≥ T . Do đó E (XS |FT ∧S ) = XT ∧S . Ch ng minh. Đ u tiên ta chú ý r ng N E | XS | = |XS |dP {S = n } n=0 N = |Xn |dP {S = n } n=0 N ≤ E |Xn | < ∞. n=0
160 Chương 3. Quá trình Martingale Ti p theo vì {S ≥ T } = N=0 {T = n} ∩ {S ≥ n} nên ta ch c n ch ng minh n b t đ ng th c (3.1) trên t p En = {T = n} ∩ {S ≥ n}. L i có trên t p này thì theo đ nh lý XT = Xn , E (XS |FT ) = E (XS |Fn ) do đó ta ch c n ch ng minh r ng trên t p En Xn ≥ E (XS |Fn ) hay tương đương v i m i A ∈ Fn (Xn − XS )dP ≥ 0. (3.2) A∩En Do (Xn ) là martingale trên nên Xn ≥ E (Xn+1 |Fn ). Vì t p Bn = A ∩ {T = n} ∩ {S > n} ∈ Fn nên ta có Xn dP ≥ E (Xn+1 |Fn ) = Xn+1 . Bn Bn Bn Thành th (Xn − XT )dP A∩En = (Xn − XT )dP + (Xn − XT )dP A∩{T =n}{S =n} Bn = (Xn − XT )dP Bn ≥ (Xn+1 − XT )dP Bn = (Xn+1 − XT )dP. A∩En+1 Ti p t c như v y suy ra (Xn − XT )dP ≥ intA∩EN (Xn − XT )dP = 0. A∩En B t đ ng th c (3.6) đư c ch ng minh.
3.2. Martingale th i gian r i r c 161 H qu 3.1. Cho (Xn ) là martingale trên đ i v i Fn . Cho T, S là hai th i đi m d ng h u h n đ i v i Fn và P (T ≤ S ≤ N ) = 1. Khi đó EXN ≤ E (XS ) ≤ E (XT ) ≤ EX0 . N u (Xn ) là martingale thì ta có EXN = E (XS ) = E (XT ) = EX0 . Bây gi ta m r ng k t lu n c a đ nh lý trên cho th i đi m d ng không nh t thi t b ch n. Đ nh lý 3.9. Cho (Xn ) là martingale trên đ i v i Fn . Cho T, S là hai th i đi m d ng đ i v i Fn . Gi s r ng E |XT | < ∞, E | XS | < ∞ (3.3) lim |Xn |dP = 0. (3.4) n→∞ {S ≥ n } Khi đó E (XS |FT ) ≤ XT (3.5) h u ch c ch n trên t p S ≥ T . Do đó E (XS |FT ∧S ) ≤ XT ∧S . Trong trư ng h p (Xn ) là martingale đ i v i Fn thì E (XS |FT ) = XT (3.6) h u ch c ch n trên t p {S ≥ T }. Ch ng minh. Ta ch c n ch ng minh v i m i A ∈ FT thì XS dP ≤ XT . A∩{S ≥T } A∩{S ≥T } Đi u này tương đương v i ( do T là h u h n h.c.c.): V i m i n XS dP ≤ XT A∩{S ≥T }∩{T =n} A∩{S ≥T }∩{T =n}