intTypePromotion=1

Sáng kiến kinh nghiệm : Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

Chia sẻ: Vo Anh Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

0
943
lượt xem
325
download

Sáng kiến kinh nghiệm : Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm : Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực trị trong đại số

  1. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              a - ® Æt vÊn ®Ò I-Lêi më ®Çu : T rong tr êng phæ th«ng m«n To¸n cã mét vÞ trÝ rÊt quan t räng. C¸c kiÕn thøc vµ ph ¬ng ph¸p To¸n häc lµ c«ng cô thiÕt y Õu gióp häc sinh häc tèt c¸c m«n häc kh¸c, ho¹t ®éng cã h iÖu qu¶ trong mäi lÜnh vùc. §ång thêi m«n To¸n cßn gióp h äc sinh ph¸t triÓn nh÷ng n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ; rÌn l uyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t d uy tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng t ¹o; gi¸o dôc cho häc sinh t t ëng ®¹o ®øc vµ thÈm mü cña n g êi c«ng d©n. ë t r ßng THCS, trong d¹y häc To¸n: cïng víi viÖc h×nh t hµnh cho häc sinh mét hÖ thèng v÷ng ch¾c c¸c kh¸i niÖm, c ¸c ®Þnh lÝ; th× viÖc d¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n cã tÇm quan t räng ®Æc biÖt vµ lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m cña p h ¬ng ph¸p d¹y häc To¸n ë tr êng phæ th«ng. §èi víi häc sinh T HCS, cã thÓ coi viÖc gi¶i bµi to¸n lµ mét h×nh thøc chñ y Õu cña viÖc häc to¸n. C ïng víi viÖc h×nh thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng v ÷ng ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó häc sinh cã thÓ vËn d ông vµo lµm bµi tËp th× viÖc båi d ìng häc sinh kh¸ giái lµ m ôc tiªu quan träng cña ngµnh gi¸o dôc nãi chung vµ bËc h äc THCS nãi riªng. Do ®ã viÖc h íng dÉn häc sinh kÜ n¨ng t ×m tßi s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt vµ k h«ng thÓ thiÕu ® îc. L µ mét gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n to¸n ë tr êng T HCS t«i ®i s©u nghiªn cøu néi dung ch ¬ng tr×nh vµ qua t hùc tÕ d¹y häc t«i thÊy: trong ch ¬ng tr×nh To¸n THCS "C¸c b µi to¸n vÒ cùc trÞ trong ®¹i sè" rÊt ®a d¹ng, phong phó vµ 1
  2. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              t hó vÞ, cã mét ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi c¸c em häc s inh ë bËc häc nµy. ë T HPT ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ c ùc trÞ ®¹i sè ng êi ta th êng dïng ®Õn "c«ng cô cao cÊp" cña t o¸n häc lµ: ®¹o hµm cña hµm sè. ë T HCS, v × kh«ng cã (hay nãi chÝnh x¸c h¬n lµ kh«ng ® îc phÐp dïng) " c«ng cô cao cÊp" cña To¸n häc nãi trªn, nªn ng êi ta ph¶i b »ng c¸c c¸ch gi¶i th«ng minh nhÊt, t×m ra c¸c biÖn ph¸p h÷u h iÖu vµ phï hîp víi tr×nh ®é kiÕn thøc ë bËc häc THCS ®Ó g i¶i quÕt c¸c bµi to¸n lo¹i nµy. ChÝnh v× vËy, c¸c bµi to¸n c ùc trÞ ®¹i sè ë THCS kh«ng theo quy t¾c hoÆc khu«n mÉu n µo c¶, nã ®ßi hái ng êi häc ph¶i cã mét c¸ch suy nghÜ logic s ¸ng t¹o, biÕt kÕt hîp kiÕn thøc cò víi kiÕn thøc míi mét c¸ch l ogic cã hÖ thèng. T rªn thùc tÕ gi¶ng d¹y To¸n 8-9 nh÷ng n¨m qua t«i nhËn t hÊy: phÇn "C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè" lµ mét trong n h÷ng phÇn träng t©m cña viÖc båi d ìng häc sinh kh¸ giái ë t r êng THCS. ThÕ nh ng thùc tr¹ng häc sinh tr êng chóng t«i vµ n h÷ng tr êng t«i ®· tõng d¹y lµ: häc sinh kh«ng cã høng thó v íi lo¹i to¸n nµy, bëi lÏ c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë tr êng T HCS kh«ng theo mét ph ¬ng ph¸p nhÊt ®Þnh nªn c¸c em rÊt l óng tóng khi lµm to¸n vÒ cùc trÞ, c¸c em kh«ng biÕt b¾t ® Çu tõ ®©u vµ ®i theo h íng nµo. HÇu hÕt häc sinh rÊt ng¹i k hi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµ kh«ng biÕt vËn dông ®Ó gi¶i q uyÕt c¸c bµi tËp kh¸c. T hùc tr¹ng ®ã khiÕn t«i lu«n b¨n kho¨n suy nghÜ: "Lµm t hÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng thÊy ng¹i vµ cã høng thó víi lo¹i t o¸n nµy". Víi tr¸ch nhiÖm cña ng êi gi¸o viªn t«i thÊy m×nh c Çn gióp c¸c em häc tèt h¬n phÇn nµy. 2
  3. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              T «i ®· dµnh thêi gian ®äc tµi liÖu, nghiªn cøu thùc tÕ g i¶ng d¹y cña b¶n th©n vµ cña mét sè ®ång nghiÖp; qua sù t ×m tßi thö nghiÖm, ® îc sù gióp ®ì cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp. § Æc biÖt lµ nh÷ng bµi häc sau nh÷ng n¨m ë tr êng s p h¹m. T «i m¹nh d¹n chän nghiªn cøu ®Ò tµi: "H íng dÉn häc sinh T HCS gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè". V íi ®Ò tµi nµy t«i hi väng sÏ gióp häc sinh kh«ng bì ngì k hi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, gióp c¸c em häc tèt h¬n. § ång thêi h×nh thµnh ë häc sinh t d uy tÝch cùc, ®éc lËp, s ¸ng t¹o, n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, r Ìn luyÖn kh¶ n¨ng vËn d ông kiÕn thøc vµo ho¹t ®éng thùc tiÔn, rÌn luyÖn nÕp nghÜ k hoa häc lu«n mong muèn lµm ® îc nh÷ng viÖc ®¹t kÕt qu¶ c ao nhÊt, tèt nhÊt. I I. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu. 1, §èi víi häc sinh :. Thùc tr¹ng khi nhËn chuyªn m«n p h©n c«ng d¹y to¸n 8 ë nh÷ng tiÕt ®Çu tiªn t«i c¶m thÊy hôt h Èng tr íc c¸ch häc cña häc sinh. §Ó Thèng kª n¨ng lùc tiÕp thu bµi cña häc sinh t«i dïng n hiÒu h×nh thøc ph¸t vÊn tr¾c nghiÖm rót ra mét hiÖn t îng n æi bËt häc sinh tr¶ lêi râ rµng m¹ch l¹c nh ng mang tÝnh c hÊt häc vÑt chÊp hµnh ®óng nguyªn b¶n, qu¸ tr×nh d¹y ®Ó k iÓm tra viÖc thùc hµnh øng dông cña häc sinh t«i ® a ra mét s è vÝ dô th× häc sinh lóng tóng kh«ng biÕt chøng minh nh t hÕ nµo. Tr íc thùc tr¹ng trªn t«i ®· ®iÒu tra häc sinh qua nhiÒu b iÖn ph¸p kÕt qu¶ cho thÊy. SØ Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm Líp SL % SL % Sl % SL % sè 8 49 02 06 31 10 3
  4. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              S au khi kiÓm tra t«i thÊy r»ng häc sinh hiÓu vµ lµm rÊt m ¬ hå, mét s« häc sinh lµm ® îc chØ n»m vµo mét sè häc s inh kh¸- giái. Sè cßn l¹i chñ yÕu lµ häc sinh TB, YÕu, kÐm k h«ng biÕt gi¶i thÝch bµi to¸n nh t hÕ nµo. 2, §èi víi gi¸o viªn : Thùc tr¹ng nµy kh«ng thÓ ®æ lçi cho tÊt c¶ häc sinh bëi v × ng êi gi¸o viªn lµ ng êi chñ ®éng, chñ ®¹o kiÕn thøc, còng c hØ tu©n theo SGK mµ d¹y bµi to¸n nµy ®ßi hái häc sinh p h¶i t d uy tèt vµ ph¶i th©u tãm ® îc kiÕn thøc ®· häc ®Ó tËn d ông vµo lµm bµi tËp . §«i khi gi¸o viªn ¸p ®Æt gß bã c¸c em ph¶i thª nµy, ph¶i t hÕ nä mµ kh«ng ® a ra thùc tÕ ®Ó c¸c em nh×n nhËn vÊn ® Ò. VÒ phÝ häc sinh c¶m thÊy khã tiÕp thu bëi v× ®©y lµ d ¹ng to¸n mµ c¸c em rÊt Ýt ® îc gÆp chÝnh v× lÝ do ®ã mµ n g êi thÇy ph¶i t×m ra PP phï hîp nhÊt ®Ó häc sinh cã høng h äc, b íc ®Çu häc sinh lµm quen víi d¹ng bµi to¸n “ To¸n Cùc c hØ” nªn c¶m thÊy m¬ hå ph©n v©n t¹i sai l¹i ph¶i lµm nh v Ëy. NÕu kh«ng biÕn ®æi th× cã t×m ® îc kÕt qu¶ kh«ng. T õ nh÷ng b¨n kho¨n ®ã cña häc sinh gi¸o viªn kh¼ng ®Þnh n Õu kh«ng biÕn ®æi nh v Ëy th× kh«ng tr¶ lêi yªu cÇu cña b µi to¸n. Sau ®©y t«i xin ® a ra mét sè kinh nghiÖm h íng dÉn häc s inh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8. 4
  5. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              B - gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I - c¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn 1 . Kh¸i niÖm vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc C ho biÓu thøc nhiÒu biÕn sè P(x, y, ..., z) víi x, y, ..., z t huéc miÒn S nµo ®ã x¸c ®Þnh. NÕu víi bé gi¸ trÞ cña c¸c (x 0 , y 0 , ...z 0 ) ∈ S m µ ta cã: P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) ≥ P (x, b iÕn y , ..., z) hoÆc P(x 0 , y 0 , ...z 0 ) ≤ P (x, y, ..., z) th× ta nãi P(x, y, . .., z) lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) trªn miÒn S. P (x, y, ..., z) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) ∈ S c ßn g äi lµ P ®¹t cùc ®¹i t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m a x t ¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ). T ¬ng tù ta cã: P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) ∈ S c ßn gäi lµ P ®¹t cùc tiÓu t¹i (x 0 , y 0 , ...z 0 ) hoÆc P m i n t ¹i ( x 0 , y 0 , ...z 0 ). G i¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P trªn miÒn x¸c ®Þnh S g äi lµ c¸c cùc trÞ cña P trªn miÒn S. 2 . Nguyªn t¾c chung t×m cùc trÞ cña mét biÓu t høc T ×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc trªn mét miÒn x¸c ®Þnh n µo ®ã lµ vÊn ®Ò réng vµ phøc t¹p, nguyªn t¾c chung lµ: 5
  6. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              * ) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z) t rªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai b íc: - C høng tá r»ng P ≥ k ( v íi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ c ña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S - C hØ ra tr êng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. * ) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z) t rªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai b íc: - C høng tá r»ng P ≤ k ( v íi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ c ña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S - C hØ ra tr êng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. C hó ý r»ng kh«ng ® îc thiÕu mét b íc nµo trong hai b íc t rªn . C ho biÓu thøc A = x 2 + ( x - 2) 2 V Ý dô : M ét häc sinh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh s au: x 2 ≥ 0 ; ( x - 2) 2 ≥ 0 n ªn A ≥ 0 . T a cã VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0. Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng? Gi¶i : L êi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn lµ míi c høng tá r»ng A ≥ 0 n h ng ch a chØ ra ® îc tr êng hîp x¶y ra d Êu ®¼ng thøc. DÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, v× kh«ng thÓ c ã ®ång thêi: x 2 = 0 v µ ( x - 2) 2 = 0 . L êi gi¶i ®óng lµ: A = x 2 + ( x - 2) 2 = x 2 + x 2 - 4 x +4 = 2x 2 - 4 x + 4 = 2 (x 2 - 2x - +1) + 2 = 2(x - 1) 2 + 2 6
  7. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              (x - 1) 2 T a cã: ∀x ≥0, ⇒ 2 (x - 1) 2 + 2 ∀x ≥2 ⇒ A ∀x ≥2 ⇔ D o ®ã A = 2 x = 1. V Ëy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng 2 víi x = 1. 3 . K iÕn thøc cÇn nhí: § Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ®¹i sè, ta cÇn n ¾m v÷ng: a ) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, c¸c c¸ch chøng m inh bÊt ®¼ng thøc. b ) Sö dông thµnh th¹o mét sè bÊt ®¼ng thøc quen t huéc: * a2 ≥ 0 , tæng qu¸t: a 2 k ≥ 0 ( k nguyªn d ¬ng) X ¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0 * -a 2 ≤ 0 , tæng qu¸t: -a 2 k ≤ 0 ( k nguyªn d ¬ng) X ¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0 a ≥0. ⇔ * ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0) * - a ≤a≤ a . ⇔ ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0) a + b ≥ a+b ⇔ * ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ab ≥ 0) * a − b ≥ a−b ⇔ ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a ≥ b ≥ 0 h oÆc a ≤ b ≤ 0) 1 1 * a+ ≥2 , vµ a + ≤ −2 , ∀a >0 ∀a
  8. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              2 a + b2  a + b  ≥  ≥ ab ⇔ * ∀ a,b ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a= 2 2  b) 1 1 ≤ ⇒ ⇔ *a b , ab >0 ( X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a ≥ a b = b) II - c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn (Mét sè d¹ng bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè) T h«ng qua c¸c bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa (s¸ch tham k h¶o) t«i tiÕn hµnh ph©n lo¹i thµnh mét sè d¹ng c¬ b¶n nhÊt v Ò c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè ë THCS råi h íng dÉn häc s inh t×m kiÕn thøc cã liªn quan cÇn thiÕt ®Ó gi¶i tõng d¹ng t o¸n ®ã. Sau ®©y lµ mét sè d¹ng c¬ b¶n th êng gÆp: D¹ng 1 : b µi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét b iÓu thøc lµ tam thøc bËc hai. VÝ dô 1 : T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A (x) = x 2 - 4x+1 T rong ®ã x lµ biÕn sè lÊy c¸c gi¸ trÞ thùc bÊt k ú. H í ng dÉn gi¶i : Gîi ý : § Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) ta c Çn ph¶i biÕn ®æi vÒ d¹ng A(x) ≥ k (k lµ h»ng sè) víi mäi gÝa t rÞ cña biÕn vµ chØ ra tr êng hîp x¶y ra ®¼ng thøc L êi gi¶i : A (x) = x 2 - 4x+1 8
  9. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              = x 2 - 2.2x+1 = ( x 2 - 2.2x+4)- 3 = ( x- 2) 2 - 3 Víi mäi gi¸ trÞ cña x: (x - 2) 2 ≥ 0 nªn ta cã: A (x) = (x- 2) 2 - 3 ≥ -3 VËy A(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -3 khi x=2 § ¸p sè : A (x) n h á n h Ê t = - 3 v íi x=2 V Ý dô 2 : T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x) = -5x 2 - 4x+1 Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy gi¸ trÞ thùc bÊt kú H í ng dÉn gi¶i : Gîi ý : § Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x) ta cÇn p h¶i biÕn ®æi ® a B(x) vÒ d¹ng B(x) ≤ k ( k lµ h»ng sè) víi mäi g i¸ trÞ cña biÕn khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña B(x)= k vµ chØ ra k hi nµo x¶y ra ®¼ng thøc Lêi gi¶i : B (x) = -5x 2 – 4 x+1 4 = - 5 (x 2 + x) +1 5 2 2 2  2 2 2 = - 5  x + 2. x +   −    + 1 5 5 5      4 2 2 − 5 x +  −  + 1 = 5 25     2  2 4 = -5  x +  + + 1 5 5  9
  10. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              2  2 9 = -5  x +  +  5 5 2 2  2  2 ≥ 0 n ªn -5  x +  ≤ 0 Víi mäi gi¸ trÞ cña x:  x +   5  5 2 9 9  2 ≤ suy ra: B(x)= -5  x +  + 5 5  5 9 2 VËy B(x)®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi B(x)= , khi x = - 5 5 9 2 §¸p sè : B (x) l í n n h Ê t = v íi x = - 5 5 V Ý dô 3 : ( Tæng qu¸t) Cho tam thøc bËc hai P = ax 2 + bx + c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a > 0 T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a < 0 H í ng dÉn gi¶i : Gîi ý : § Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña P ta cÇn p h¶i biÕn ®æi sao cho P = a.A 2 (x) + k. Sau ®ã xÐt víi tõng t r êng hîp a>0 hoÆc a
  11. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              2  b D o  x +  ≥ 0 n ªn:  2a  2  b +NÕu a>0 th× a x +  ≥ 0 d o ®ã P ≥ k  2a  2  b +NÕu a0) hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng k (nÕu a
  12. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              2 3 3  1 ≥ = x+  + 4 4  2 3 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x + 1 b »ng v íi x = - 4 2 2 3 9 Tr¶ lêi: G i¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng   = v íi x = - 4 16 1 2 VÝ dô 5 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 4 – 6 x 3 + 1 0x 2 – 6 x + 9 H í ng dÉn gi¶i : Gîi ý: - H·y viÕt biÓu thøc d íi d¹ng A 2 (x) + B 2 (x) ≥ 0 - XÐt xem x¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi nµo? Gi¸ trÞ n há nhÊt cña biÓu thøc b»ng bao nhiªu? L êi gi¶i : x 4 - 6 x 3 + 1 0x 2 - 6 x +9 = x 4 - 2 .x 2 .3x + (3x) 2 + x 2 - 2 x.3 +3 2 = ( x 2 - 3 x) 2 + ( x - 3) 2 ≥ 0 X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi: x 2 –3x = 0 x (x-3) = 0 x=0 x=3 x=3   x–3=0 x–3=0 x=3 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3 § ¸p sè : G i¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3 D¹ng 3 : b µi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña ®a t høc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 12
  13. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              V Ý dô6 : T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = ι x - 1 ι + ι x - 3ι H í ng dÉn gi¶i : G îi ý: B µi to¸n ®Ò cËp tíi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi do ®ã c hóng ta ph¶i nghØ tíi c¸c kho¶ng nghiÖm vµ ®Þnh nghÜa g i¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc. A N Õu A ≥ 0 ι Aι = - A N Õu A ≤ 0 C ¸ch 1 : § Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta tÝnh gi¸ trÞ c ña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm. So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A t rong c¸c kho¶ng nghiÖm ®ã ®Ó t×m ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Lêi gi¶i ι x - 2 ι = - ( x -2) = 2 - x + T rong kho¶ng x < 1 th× ι x - 5 ι = - ( x - 5) = 5 - x ⇒ A = 2 - x + 5 - x = 7 - 2x Do x < 2 nªn -2x > -4 do ®ã A = 7 - 2x >3 ι x - 2ι = x - 2 + T rong kho¶ng 2 ≤ x ≤ 5 t h× ι x - 5 ι = - ( x - 5) = 5 - x ⇒ A=x-2+5-x=3 ι x - 2ι = x - 2 + T rong kho¶ng x > 5 th× ι x - 5ι = x - 5 ⇒ A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7 13
  14. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              D o x > 5 nªn 2x > 10 do ®ã A = 2x – 7 > 3 So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng trªn, ta t hÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x ≤5 §¸p sè: A m i n = 3 k hi vµ chØ khi 2 ≤ x ≤ 5 C ¸ch 2 : T a cã thÓ sö dông tÝnh chÊt: g i¸ trÞ tuyÖt ®èi cña m ét tæng nhá h¬n hoÆc b»ng tæng c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Tõ ® ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A. A = ι x - 2 ι + x −5 = ι x - 2 ι + 5 − x Lêi gi¶i: ι x - 2ι + ι 5 - xι ≥ ι x - 2 + 5 - xι = 3 T a cã: ι x - 2ι ≥ 0  ( x - 2) (5 - x) ≥ 0 A=3 ι 5 - xι ≥ 0 2≤x≤5 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x ≤5 d¹ng 4 : B µi to¸n T×m gtnn, gtln cña ph©n thøc cã tö lµ h»ng s è, mÉu lµ tam thøc bËc hai 3 V Ý dô 7 : T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = 4x - 4x + 5 2 H í ng dÉn gi¶i : 1 1 ≤ Gîi ý : S ö dông tÝnh chÊt a ≥ b , ab >0 ⇒ a b hoÆc theo quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cïng tö, tö vµ m Éu ®Òu d ¬ng. 14
  15. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              L êi gi¶i: 3 3 3 XÐt M = = (2 x) 2 − 4 x + 1 + 4 = (2x - 1)2 + 4 4x - 4x + 5 2 Ta thÊy (2x - 1) 2 ≥ 0 n ªn (2x - 1) 2 + 4 ≥ 4 3 3 Do ®ã: (2x - 1)2 + 4 ≤ 4 3 1 Tr¶ lêi: V Ëy M lín nhÊt b»ng k hi 2x – 1 = 0 => x = 4 2 3 1 §¸p sè : M l í n n h Ê t = v íi x = 4 2 1 VÝ dô 8 : T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = 2x - x 2 - 4 H í ng dÉn gi¶i : 1 1 1 Ta cã: B = =- = - (x - 1)2 + 3 x - 2x + 4 2x - x 2 - 4 2 (x - 1) 2 ≥ 0 = > (x + 1) 2 + 3 ≥ 3 V× 1 1 1 1 => (x - 1)2 + 3 ≤ ≥- => - (x - 1) + 3 2 3 3 1 V Ëy B nhá nhÊt b»ng - k hi x – 1= 0 => x =1 3 1 §¸p sè : M n h á n h Ê t = - v íi x = 1 3 Chó ý: K hi gÆp d¹ng bµi tËp nµy c¸c em th êng xuyªn l Ëp luËn r»ng M (hoÆc B) cã tö lµ h»ng sè nªn M (hoÆc B) l ín nhÊt (nhá nhÊt) khi mÉu nhá nhÊt (lín nhÊt) 15
  16. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              L Ëp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi p h©n thøc 1 x −3 2 MÉu thøc x 2 - 3 c ã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -3 khi x = 0 1 1 Nh ng víi x = 0 th× =- k h«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín x −3 2 3 n hÊt cña ph©n thøc 1 1 Ch¼ng h¹n víi x = 2 th× =1>- x −3 2 3 1 1 Nh v Ëy tõ -3 < 1 kh«ng thÓ suy ra - > 3 1 1 1 VËy tõ a < b chØ suy ra ® îc > k hi a vµ b cïng a b d Êu . d¹ng 5 : Bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña ph©n thøc c ã mÉu lµ b×nh ph ¬ng cña nhÞ thøc x2 + x + 1 VÝ dô 9 T ×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = ( x + 1) 2 C¸ch1 : G îi ý: H ·y viÕt tö thøc d íi d¹ng lòy thõa cña x + 1, råi ® æi biÕn b»ng c¸ch viÕt A d íi d¹ng tæng c¸c biÓu thøc lµ 1 l òy thõa cña . Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. x +1 x 2 + x + 1 = ( x 2 + 2 x + 1) - (x +1) + Lêi gi¶i : T a cã: 1 = ( x + 1) 2 - ( x + 1) + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 1 1 1 − + D o ®ã A= 2= 1 - + ( x + 1) 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 2 x +1 16
  17. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              1 § Æt y= k hi ®ã biÓu thøc A trë thµnh: A=1-y+ x +1 y2 1 1 3 A = 1 - y + y 2 = y 2 – 2 .y. + ( )2 + T a cã: 2 2 4 2 3 3  1 ≥ = y−  + 4 4  2 3 V Ëy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng k hi vµ chØ khi: 4 1 1 1 1 y=− =0⇒ y= ⇔ = x +1 2 2 2 ⇔ x+1=2 ⇔ x=1 3 §¸p sè : Anhá nhÊt = k hi x = 1 4 C¸ch 2 : Gîi ý : T a cã thÓ viÕt A d íi d¹ng tæng cña mét sè víi mét b iÓu thøc kh«ng ©m. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Lêi gi¶i: x 2 + x + 1 4 x 2 + 4 x + 1 3x 2 + 6 x + 3 + x 2 − 2 x + 1 A= = = ( x + 1) 2 4( x + 1) 4( x + 1) 2 2 3( x + 1) 2 + ( x − 1) 2 A= 4( x + 1) 2 3 ( x − 1) 2 A= + 4 4( x + 1) 2 2 3  x −1  A= +  4  2( x + 1)  17
  18. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              3  x −1  2 3 ≥ A= + 4  2( x + 1)  4 3 ⇒ x =1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng k hi x-1=0 4 3 §¸p sè : A n h á n h Ê t = k hi x=1 4 d¹ng 6 : b µi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña mét biÓu A( x) A( x) ≥ 0 ( hoÆc ≤ 0) t høc ®¹i sè b»ng c¸ch ® a vÒ d¹ng 2 k2 k VÝ dô 10 : 3 x 2 + 6 x + 10 T ×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M (x) = x2 + 2x + 3 ( Víi x thuéc tËp hîp sè thùc) H í ng dÉn gi¶i : 3 x 2 + 6 x + 10 Gîi ý : T õ M ( x ) =2 t a cã: x + 2x + 3 3x 2 + 6 x + 9 + 1 3( x 2 + 2 x + 3) + 1 M(x) = = x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 3 ( ?) T a cã thÓ chia c¶ tö thøc vµ mÉu thøc cña biÓu x 2 + 2 x + 3 ® îc kh«ng? V× sao? t høc cho Tr¶ lêi : V × x 2 + 2 x + 3 = x 2 + 2 x + 1 + 2 = (x+1) 2 > 0 v íi m äi gi¸ trÞ cña x. nªn sau khi chia c¶ tö vµ mÉu cho x 2 + 2 x + 3 t a ® îc 1 M(x) = 3 + ( x + 1) 2 + 2 ( ?) B µi to¸n xuÊt hiÖn ®iÒu g× míi? 18
  19. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              T r¶ lêi: B µi to¸n trë thµnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu t høc 1 ( x + 2) 2 + 2 1 ( ?) H ·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña ( x +) 2 + 2 t õ ®ã suy ra g i¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) Tr¶ lêi: V × (x+1) 2 ≥ 0 V íi mäi x (x+1) 2 + 2 ≥ 2 Nªn v íi mäi x 1 1 Do ®ã ( x + 1) 2 + 2 ≤ 2 T õ ®ã ta cã: 1 1 1 M (x) = 3 + ( x + 1) 2 + 2 ≤ 3 + =3 2 2 DÊu “=” x¶y ra khi x+1=0 hay x=-1 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) = 3 k hi vµ chØ khi x=-1 2 1 §¸p sè : M (x) L ín n h Ê t = 3 v íi x = -1 2 19
  20. H í n g   d É n  h ä c  sin h   l í p   8  g i¶i  c¸c  b µ i  t o ¸n  c ù c  t r Þ  t ro ng   ®¹ i   s è                              C . KÕt luËn 1. Thùc tiÔn kh¶o s¸t sau khi ¸p dông. Sauk hi ¸p dôngc¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8 t hùc tÕ häc sinh dÇn dÇn chó träng khi gi¶i to¸n chø kh«ng l óng tóng nh t r íc. KÕt qu¶ t«i ®· thu ® îc sau khi ¸p dông ®Ò tµi nµy ® îc thÓ h iÖn ë b¶ng sau: SØ Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm Líp SL % SL % Sl % SL % sè 8 49 05 10 34 0 2. KÕt qu¶: Sau khi thùc hiÖn gi¶ng d¹y phÇn “ C ¸c bµi to¸n cùc trÞ t rong ®¹i sè 8” t heo néi dung ®Ò tµi nµy kÕt qu¶ mµ t«i thu ® îc kh¸ kh¶ quan. §Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë líp 8 c¸c em p h¶i biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®aÞ sè, ph¶i biÕn ® æi vµ sö dông kh¸ nhiÒu c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí tõ d ¹y ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Ngoµi ra cßn liªn quan mËt thiÕt ® Õn c¸c kiÕn thøc chøng minh ®¼ng thøc bëi thÕ nãi c¸c bµi t o¸n cùc trÞ ®¹i sè 8 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc sinh cã ®iÒu k iÖn ®Ó rÌn luyÖn kÜ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu t høc ®¹i sè, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t d uy. §Ò tµi nµy gióp häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ t rong ®¹i sè 8 cã PP h¬n, cã hiÖu qu¶ h¬n vµ vËn dông vµo g i¶i quyÕt c¸c bµi tËp cã liªn quan kÝch thÝch ® îc sù ®am 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản