zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chia sẻ: Duc Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Báo xấu

180
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này sẽ tập trung vào một phương pháp tương đối mới mẻ đối với học sinh phổ thông “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” đó là phương pháp tìm cực trị trong giải toán. Phương pháp này giúp các em sinh viên chuyển dạng khó thành quen và giải nó một cách dễ dàng. Mời các em cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất A. ĐặT VấN Đề Trong chương trình toán trung học cơ sở, một số vấn đề tuy không đưa vào sách giáo khoa để giảng dạy. Nhưng trong thực tế thi cử, đặc biệt là thi học sinh giỏi lại hay bắt gặp.dạng toán tính “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” là một trong những loại đó. Do yêu cầu day. Học môn toán ngày càng đòi hỏi cao, chú trọng việc phát huy khả năng tư duy logic cho học sinh.Nên nó càng thôi thúc, đòi hỏi tôi tìm tòi hướng dẫn học sinh có kĩ năng giải loại toán này. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết đề tài này để trao đổi với các bạn đồng nghiệp , mong các bạn cùng cùng trao đổi để học hỏi lẫn nhau vì chúng ta cùng mục đích nâng cao chất lượng dạy và học. 1
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất B. NộI DUNG I . THựC TRạNG Qua quá trình dạy học và thực tế trong thi cử, khi gặp dạng tính toán”Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)” của biểu thức, hầu như học sinh đã không giải được hoặc có những học sinh giải được lại mắc sai lầm không đáng có. Nên thực tế học sinh rất ngại khi bắt gặp dạng toán này. Chính vì vậy khi bồi dưỡng học sinh giỏi và trong các giờ dạy toán tôi tìm ra nguyên nhân yếu kém của học sinh vì: Học sinh chưa hiểu chắc chắn về khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức đại số. Học sinh chưa có phương pháp (chưa biết các bước giảic) loại này. Chưa biết đưa các dạng toán lạ về dạng tổng quát đã gặp Ngoài ra, có mọt số học sinh khi giải loại này thường gặp một số sai lầm ngộ nhận Ví dụ: Cho A ( x 2 5) 2 .Tìm GTNN của A Học sinh thường hấp tấp trả lời: Vì ( x 2 5) 2 là bình phương của một biểu thức nên A 0 , nên GTNN của A =0 Sai lầm này ở học sinh rất phổ biến. Vì HS chỉ biết A 0 nhưng không nhận ra được dấu bằng không thể xẩy ra. Vì x 2 5 5 thì sao có thể xẩy ra A = 0 khi x 2 5 0 ? Hoặc HS dễ sai lầm hấp tấp kết luận khi gặp bài toán sau: Cho B ( x 1) 2 ( x 2) 2 .Tìm GTNN của B. 2
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất Hs dễ sai lầm: Do ( x 1) 2 0 và ( x 2) 2 0 nên B 0 nên suy ra GTNN của B =0. Mà HS không thấy mọi sai lầm ở chỗ không có giá trị thoả mãn của x để B =0. II . CáCH LàM MớI Như đã nói trên, các yếu kém của HS trong dạng toán “Tìm GTLN, GTNN” của một biểu thức đại số là thiếu khái niệm thiếu phương pháp. Vì vậy điều đầu tiên là hệ thống hoá kiến thức cơ bản, tìm ra các bước giải. 1. Khái niệm về GTLN, GTNN của một biểu thức đại số Cho biểu thức F (x,y,…) trên tập xác định (TXĐ) của biểu thức nếu ta chứng minh được F ( x, y,...) A hoặc F ( x, y,...) B (A, B là hằng số) và chỉ ra được ít nhất một bộ x= x0 ,y= y 0 , … để tại đó F(x,y,…)= A hoặc F(x,y,…)= B thì ta nói rằng biểu thức F(x,y,…) có GTLN = A và kí hiệu Max F =A. Hoặc F (x,y,…) có GTNN =B và kí hiệu Min F =B. Như vậy để tìm GTLN hay GTNN của một biểu thức đại số ta làm như sau: 2. Phương pháp giải (Các bước giải) Bước 1: Tìm TXĐ của F (x,y,…) Bước 2: Trên TXĐ của F ( x, y,...) A hoặc F ( x, y,...) B Bước 3: Chỉ ra bộ số (ít nhất 1 bộ số) x0 , y 0 ,... sao cho F ( x0 , y 0 ,...) A hoặc F ( x0 , y 0 ,...) B Bước 4: Kết luận Max F =A khi x= x0 ,y= y 0 ,… Hoặc Min F =B khi x= x0 ,y= y 0 ,… 3
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất Sau khi đã cung cấp cho HS khái niệm và phương pháp giải loại này, tuy HS chưa biết cách làm song với bài dễ thì làm được, nhưng bài khó thì bó tay HS chưa có kỹ năng biến khó thành dễ, biến dạng lạ thành dạng cơ bản.Vì vậy tôi từng bước hưỡng dẫn từng ví dụ cụ thể đưa về dạng tổng quát, rồi từ tổng quát giải quyết từng bài toán cụ thể. Để đạt được mục tiêu đó tôi đã tiến hành làm như sau: 3. Rèn kỹ năng giải các dạng (Dạng này phổ biến nhất ở toán trung học cơ sở) Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A x 2 2 x 5 (Cho HS áp dụng các bước giải trên) Giải: TXĐ: R A x2 2 x 5 = x 2 2 x 1 4 A ( x 1) 2 4 4 vì ( x 1) 2 0 Vậy Min A =4 khi x=1 (Khi có các bước giải trên thì loại này dễ đối với HS) Ví dụ 2: Tìm Min B hoặc Max B nếu có: B x2 2x 5 Giải: TXĐ: R B x2 2x 6 1 x2 2x 1 6 (x 2 2 x 1) 6 ( x 1) 2 6 B 6 ( x 1) 2 6 Vậy Max B V =6 khi x=1 Từ ví dụ 1 và ví dụ 2 cho HS rút ra nhận xét: 4
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất + Dạng biểu thức A và B sự giống nhau và khác nhau + Từ ví dụ 1 và ví dụ 2 rút ra tổng quát và chứng minh. Dạng 1: (Dạng tam thức bậc haiD) F ( x) ax 2 bx c b c b b2 b2 c F ( x) a( x 2 x ) a( x 2 2 x ) a a 2a 4a 2 4a 2 a 2 b b2 4ac =a x 2a 4a 2 b 2 F ( x) a( x ) (Với b2 4ac ) 2a 4a 2 b Nếu a >0 thì F ( x) 2 . Dấu “=” xảy ra khi x 4a 2a b Vậy Min F = 2 khi x 4a 2a b Nếu a 0 thì Min F= 2 khi x 4a 2a b Nếu a
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất a, Biểu thức nào có giá trị Min? biểu thức nào có giá trị Max? Vì sao? b, Tìm Min A,MaxB (Học sinh dễ nhận ra A và B đều có dạng F ( x) ax 2 bx c ( a 0 ) ) Trong đó A có a =2>0 A có GTNN và B có a =2
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất y 2 (1 3 x) 2 (*) Thế (*)vào M lại biến đổi đưa được về dạng 1.v 1 2 1 1 M 3x 2 (1 3 x) 2 3x 2 1 6 x 9 x 2 12 x 2 6 x 1 12( x ) 4 4 4 1 1 Vậy Min M = khi x= 4 4 Dạng 3: Vận dụng tính chất giá trị tuyệt đối Kiến thức cơ bản: 1, |A| =|A| 2, |A| + |B| |A+B|. Dấu “=” xảy ra khi A.B 0 Ví dụ 1: Tìm GTNN của A biết: A=|x+1|+|x2| Do |A| =|A| nên ta có |x 2| = |2x| Vậy A V = |x+1| + |x2| = |x+1| +|2x| |x+1+2x| = |3|=3 Min A=3 Khi (x+1)(2x) 0 Min A =3 khi 1 x 2 Sau khi hướng dẫn phương pháp giải và cho biết các dạng thì HS có thể giải quyết vấn đề nhanh, linh hoạt các bài tập tương tự. Ví dụ: Tìm GTNN của A: a, A= |x2007|+| x2008| b, A= |x7|+ |x+5| c, A= | x 2 x 1 | + | x 2 x 12 | d, A= x 2 2 x 1 x2 4x 4 Dạng 4: Dạng phân thức. A. Phân thức có tử là hằng số 7
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất Với loại nàycó thể biến đổi mẫu về dạng ( x a) 2 b , nếu mẫu đạt GTLN a thì phân thức có GTNN. Nghĩa là M . Nếu f (x) có giá trị Min thì M f (x) có giá trị Max Nếu f(x) có giá trị Max thì M có giá trị Min Với dạng này cần hướng dẫn HS các bước: + Tìm TXĐ + Chỉ ra phân thức có giá trị dương + Xét giá trị của mẫu thức + Từ đó suy ra giá trị Mim hay Max 3 Ví dụ 1: Cho M 2 .Tìm GTLN của M 4x 4x 5 Hướng dẫn HS xét mẫu: 4 x 2 4 x 5 (2 x 1) 2 4 4 Do mẫu dương D, tử dương nên M>0 3 3 M 2 do M>0 M có GTLN khi (2 x 1) 2 4 có 4x 4x 5 (2 x 1) 2 4 GTNN mà (2 x 1) 2 4 4 3 1 Vậy Max M = khi x= 4 2 Chú ý: HS dễ sai lầm khi nói rằng tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất lập luận trên dễ dẫn đến lầm sau: 1 Ví dụ: M 2 x 3 1 1 Mẫu có GTNN là 3 khi x=0. Lúc đó M 2 không phải là GTLN x 3 3 của phân thức 1 1 1 Chẳng hạn khi x =2 thì M 2 2 1> x 3 2 3 3 8
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất 1 1 (*) NHớ RằNG: Từ a khi a, b cùng dấu a b B. Dạng phân thức tử và mẫu đều chứa biến x2 x 2 Cho M Tìm Max M x2 x 1 Hướng dẫn HS dùng phép biến đổi làm mất biến ở tử để có thể áp dụng như đã nêu ở ví dụ1 (Tử là hằng số) x2 x 2 1 1 M 1 2 1 2 x x 1 x x 1 1 3 (x ) 2 2 4 4 7 1 Max M= 1+ khi x= 3 3 2 Như vậy chỉ qua một phép biến đổi đã chuyển dạng phức tạp về dạng đơn giản C. Dạng phân thức vừa tồn tại GTLN,GTNN x2 2x 3 Ví dụ: Cho B 2 Tìm Max B x 2 Cách1: Tìm Max x2 2x 3 2( x 2 2) ( x 1) 2 ( x 1) 2 B 2 2 x 2 x2 2 x2 2 ( x 1) 2 ( x 1) 2 Do ( x 1) 2 0 và x 2 2 2 nên 0 .Do đó 0 x2 2 x2 2 Vì thế B 2 .Vậy Max B =2 khi x=1 Tìm Min x2 2x 3 (x2 2) ( x 2 4 x 4) 1 ( x 2) 2 1 B 2 x 2 2( x 2 2) 2 2( x 2 2) 2 1 Min B= khi x=2 2 9
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất Như vậy thủ thuật biến đổi thật quan trọng, thường ta nên dựa vào mẫu để biến đổi theo mục đích của bài toán Cách 2: Ta có thể hướng dẫn HS sử dụng miền giá trị x2 2x 3 Đặt y 2 x 2 y( x 2 2) x2 2x 3 x 2 ( y 1) 2 x 2 2y 3 0 ' 12 ( y 1)(2 y 3) 2y2 5y 2 0 1 y 2 2 1 1 Vậy Min B = ; Max B =2 khi Min B= thì x =2 2 2 Max B =2 thì x =1 Dạng 5: Có thể sử dụng bất đẳng thức quen thuộc đã biết A. Bất đẳng thức Côsi: a b Với a 0, b 0 thì ab .Dấu “=” xảy ra khi a =b 2 1 1 Ví dụ 1: Cho A (a b)( ) với a >0, b>0. Tìm Max A a b Hướng dẫn HS: Dựa vào giả thiết a >0,b>0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: a b 2 ab (1) 1 1 1 2 (2) a b ab 1 1 1 Nhân hai vế (1) và (2) ta có A (a b)( ) 4 ab 4 a b ab A 4 .Vậy Min A =4 khi a=b 10
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất x y t Ví dụ 2: Cho A với x >0, y >0, t >0 .Tìm Min A y t x Chỉ cần hướng dẫn HS sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương thì bài toán giải quyết hết sức đơn giản x y t x y t A 3 3 y t x y t x x y t A 3 dấu “=” xảy ra khi x=y=t y t x 1 1 Ví dụ 3: Cho M (x 2 2 )( y 2 ) trong đó x, y là các số dương thoả mãn y x2 x+y=1 .Tìm Min M Hướng dẫn cho HS biến đổi để sử dụng bất đẳng thức Côsi. Ta có: 1 1 x2 y2 1 x2 y2 1 x2 y2 1 2 1 2 M (x 2 )( y 2 ) ( ) ( xy ) y2 x2 y2 x2 xy xy 1 1 15 Mặt khác ta có: xy ( xy ) (1) xy 16 xy 16 xy áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1 1 1 xy 2 xy (2) 16 xy 16 xy 2 1 x y 1 Ta lại có: xy nên xy (3) 2 2 4 1 1 15 17 Từ (1),(2),(3) xy 4 xy 2 16 4 1 2 17 2 289 M ( xy ) ( ) xy 4 16 1 289 xy 1 Vậy Min M = khi 16 xy x y thoả mãn x +y=1 16 2 x y 11
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất Ví dụ 4: Tìm Max f ( x) x 1 2 x 3x 2 Hướng dẫn HS tìm TXĐ của f (x) rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi: 1 Điều kiện để f (x) có nghĩa: 1 2 x 3x 2 0 1 x (2) 3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi. (1 x) (1 3 x) 1 2 x 3x 2 (1 x)(1 3 x) 1 x 2 1 Với x 1; . Do f ( x) x 1 x 1 Vì f (x) =1 1+x=13x 3 1 x 0 1; . 3 Nên Max f (x) =1 khi x=0 B. Bất đẳng thức Bunhia Cho a,b,x,y R : (ax by ) 2 (a 2 b 2 )( x 2 y2) a b Dấu “=” xảy ra khi x y Ví dụ : Cho 2 x 2 3 y 2 5 Và A =2x+3y. Tìm Max A, Min A? Giáo viên hướng dẫn HS: 2 2 2 3 3 3 Như vậy để áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta chỉ cần biến đổi A 2 x 3 y 2 ( 2 x) 3( 3 y) 2 A 2 2 ( 2 x) 3 ( 3 y) ( 2)2 ( 3 ) 2 ( 2 x) 2 ( 3 y) 2 A 2 (2 3)(2 x 2 3y 2 ) 5 5 25 12
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất x 2 y 3 A 2 25 A 5 5 A 5 Dấu ‘=” xảy ra khi x y 1 2 3 Vậy Max A =5 khi x=y=1 Min A=5 khi x=y=1 Ví dụ 2: Cho A=|2x+3y|. Biết x 2 y2 13 . Tìm Max A? Theo Bunhia: A 2 (2 x 3 y ) 2 (2 2 3 2 )( x 2 y 2 ) 13 13 A 2 13 13 13 A 13 x y Dấu “=” xảy ra khi 2y 3x 2 3 3x 9x 2 Mặt khác: x 2 y 2 13 x 2 ( )2 13 x 2 13 2 4 13 x 2 13 4 x2 4 x 2 Với x =2 thì y =3 : X=2 thì y =3 Vì A =|2x+3y| Dođó Max A =13 khi x 2, y 3. 4 . Một số chú ý khi giải bài toán tìm cực trị Chú ý 1: dùng các phép biến đổi cơ bản đưa về dạng quen biết Ví dụ: Cho A ( x 1) 2 ( x 1) 2 Dùng hằng đẳng thức khai triển về dạng tìm Min, Max của f ( x) ax 2 bx c (a 0) Chú ý 2: Có thể biến đổi đưa về dạng quen thuộc. Ví dụ 2: Cho B ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ,Tim Min B? Biến đổi B ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x 2 5 x 4)( x 2 5 x 6) Đặt y x 2 5 x 6 B y ( y 2) y2 2y Như vậy đã về dạng f ( x) ax 2 bx c Chú ý 3: Có thể chia khoảng để tìm cực trị sau đó so sánh các giá trị tìm được ứng với từng khoảng của biến. 13
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất y Ví dụ: A Với x,y N. Tìm Max A 5 ( x y) Giải: Xét x y 4 . Nếu y =0 A 0 y Nếu 1 y 3 A 3 5 ( x y) Nếu y =4 thì x =0 A 4 Xét x +y 6 thì A 0 So sánh các giá trị A ta thấy Max AS =4 khi x=0, y=4. Chú ý 4: Có thể dùng bất đẳng thức như đã biết. Chú ý 5: Trong các bất đẳng thức cần chú ý 2 mệnh đề cho ta GTLN của tích, GTNN của tổng. Nếu hai số có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Để chứng minh ta dùng bất đẳng thức: (a b) 2 4ab (1) k2 Nếu a +b=k (K hằng số) thì (1) ab 4 k2 Max ab a b 4 + Nếu hai số dương a, b có ab=k (k hằng số) thì a +b nhỏ nhất ( a b) 2 nhỏ nhất GTNN của (a+b)=4k a=b. 5. Bài tập áp dụng 5.1 Tìm GTNN của các biểu thức sau: 14
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất a, A ( x 8) 4 ( x 6) 4 b, B x2 x 1 x2 x 2 c, C x 2 y 1 với |x| +|y|=5 d, D= 36 m 5 n Với m, n N * x y e, E Với x >0,y>0,z>0; x+y+z=1 xyz x2 4x 1 h, H x2 27 12 x f, F x2 9 8x 3 m, M 4x 2 1 5.2 Tìm GTLN của các biểu thức sau: x2 a, A x4 1 x y b, B Với x, y N x y 8 (x y) c, C x 2 x C. So sánh kết quả Trong quá trình dạy học tôi cho học sinh làm một đề ra giống nhau trong vòng 10 phút: Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của: a. A 2 x 2 5 x 3 b. B x 2007 x 2008 3x 5 c. C 2 x 3x 1 Kết quả cụ thể: Giỏi % Khá % Trung bình % Yếu % 15
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất Chưa áp dụng 0% 2% 50% 48% Đã áp dụng 10% 30% 50% 10% 16
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất D. Bài học kinh nghiệm Khi dạy toán THCS có rất nhiều vấn đề cần phải rèn luyện kỹ năng cho HS .Đặc biệt đối với khả năng suy luận lôgic nhận dạng, biến đổi dạng lạ thành dạng quen đối với HS còn yếu.nguyên nhân của sự yếu kém là ít được rèn luyện .Có khi GV chưa mạnh dạn đưa ra phương pháo mới . Qua quá trình áp dụng đề tài này tôi rút ra được một số vấn đề sau: - Để giải một loại toán cần cung cấp cho HS cơ sở lý thuyết để áp dụng HS phải tự đặt câu hỏi: Bài này thuộc dạng toán nào? Đã có dạng tổng quát chưa? Các bước giải loại này như thế nào: Nếu gặp dạng lạ thì HS phải đặt câu hỏi: Dạng này có thể biến đổi đưa về dạng tổng quát không? Biến đổi như thế nào? Dựa vào cơ sở nào để biến đổi; Như vậy rèn luyện khả năng nhận dạng cho HS là vấn đề then chốt trong dạy và học toán. Nhận dạng và áp dụng phương pháp đặc trưng cho từng dạng Trong khi giải toán cần rèn cho HS ý thức cần cù chịu khó. Cứ tin rằng “Khó = Dễ+Dễ”. Nghĩa là tìm ra các bước trung gian (là bài toán dễ), đi đến kết luận là khó Ví dụ: A>B>C>E>F Nhưng khi ra đề thường bỏ qua trung gian (B>C>F) mà bắt người giải phải chứng minhA >F. Như vậy về mặt tâm lý giáo dục 17
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất cho HS không nản lòng khi gặp dạng toán lạ và khó.Hãy mày mò để tìm ra các bài toán nhỏ trung gian bắc cầu cho cái giải quyết cuối cùng. Khi dạy toán, sau khi giải một bài cần rút ra được cách giải các bài tương tự và rèn cho HS phải có thói quen đó. Dùng nhiều cách giải khác nhau để làm một bài toán, qua đó so sánh từng phương pháp để rút ra cách tối ưu nhất cho dạng toán. E. kết luận Trên đây là một số ý kiến của tôi về phương pháp tìm cực trị trong giải toán. Đây là việc làm có kết quả mà tôi mạnh dạn trình bày tất nhiên không thể đưa ra nhiều ví dụ để minh hoạ. Vì vậy tôi rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý bổ sung ®Ó chÊt lîng d¹y vµ häc ®îc n©ng cao. 18
ến kinh nghiệm : Sáng ki ương pháp tìn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ph nhất 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020

290 tài liệu

513 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.