intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp phân tích bình phương để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
25
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học và phát huy năng lực học tập của học sinh, TaiLieu.VN đã sưu tầm và gửi tới các bạn sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp phân tích bình phương để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ” trong chương trình toán Trung học cơ sở. Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp phân tích bình phương để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  1. Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ. 2 I. Lý do chọn đề tài....................................................................................... 2 II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................ 2 III. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................. 2 1. Mục tiêu nghiên cứu.................................................................................. 2 2. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................ 3 IV.Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 3 V. Những đóng góp mới của đề tài................................................................ B. PHẦN NỘI DUNG 4 I. Cơ sở khoa học ........................................................................................ 4 1. Cơ sở lý luận............................................................................................. 4 4 2. Cơ sở thực tiễn........................................................................................... 4 II. Thực trạng của vấn đề .............................................................................. 4 1. Thuận lợi................................................................................................... 2. Hạn chế..................................................................................................... 5 III.Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với khoảng giá trị của 5 biến trong chương trình toán Trung học cơ sở .............................................. 5 1. Khái niệm.................................................................................................. 5 2. Hằng đẳng thức......................................................................................... 6 3. Chú ý khi giải ........................................................................................... 6 4. Một số bài toán ........................................................................................ 11 Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến 18 Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến IV. Kết quả đạt được .................................................................................... 19 19 C. KẾT LUẬN 19 I. Những bài học kinh nghiệm...................................................................... 20 II. Ý nghĩa của sáng kiến.............................................................................. 21 III. Khả năng ứng dụng và khai triển............................................................ IV. Kiến nghị, đề xuất .................................................................................. Danh mục tài liệu tham khảo........................................................................ Năm học: 2021 - 2022 1
  2. Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng. Trong thời đại công nghiệp hóa, hiện đại hóa hiện nay nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí. Vì vậy phải có chiến lược nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học. Vậy dạy toán ở trường Trung học cơ sở ngoài mục đích cung cấp tri thức cho học sinh, điều đặc biệt là dạy cho học sinh cách phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức. Với mục tiêu trên, việc lên lớp và truyền thụ kiến thức cho học sinh vô cùng quan trọng. Vì vậy, tôi đặt ra cho mình mục tiêu giáo dục nhằm hình thành và phát triển các kỹ năng cơ bản và sử dụng phương pháp linh hoạt, phát triển năng lực trí tuệ, khả năng tư duy, quan sát, dự đoán và tưởng tượng, tư duy lôgíc. Hình thành cho hoc sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán. Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học và phát huy năng lực học tập của học sinh tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp phân tích bình phương để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ” trong chương trình toán Trung học cơ sở. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Đề tài tập trung nghiên cứu về một số bài toán liên quan đến tìm cực trị của biểu thức là đa thức, phân thức và một số bài về căn thức và phát huy hiệu quả của phương pháp giải toán cụ thể trong chương trình toán 8,9. Đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8; 9 và học sinh ôn thi vào lớp 10 Trung học phổ thông và Trung học phổ thông chuyên. III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 1. Mục tiêu nghiên cứu. Đề tài chú trọng nghiên cứu các bài toán liên quan đến cực trị của biểu thức. Qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp giải toán cực trị của biểu thức qua việc phân tích, nghiên cứu, tìm tòi tìm ra mối quan hệ giữa các kiến thức liên quan trong bài toán, để tìm ra phương pháp giải phù hợp. Từ đó đào sâu khai thác phát triển bài toán và làm công cụ cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, gạt bỏ dần tư tưởng e ngại của học sinh khi gặp bài toán cực trị. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Năm học: 2021 - 2022 2
  3. Sáng kiến kinh nghiệm - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, sách tham khảo về bài toán cực trị. - Tiến hành điều tra tìm hiểu thực tiễn của học sinh về việc giải các bài toán tìm cực trị của biểu thức. - Xác định các biện pháp sư phạm để áp dụng phương pháp dạy học phù hợp. - Thực hiện sư phạm để kiểm định tính khả thi của đề tài. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. - Phương pháp phân loại các bài toán - Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp. - Phương pháp điều tra thực tế. - Phương pháp thực nghiệm giáo dục để kiểm định tính khả thi của đề tài. - Phương pháp thống kê, tổng hợp. V. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI. Trong thực tiễn có rất nhiều tài liệu liên quan đến cực trị của biểu thức. Nhưng thông qua đề tài này học sinh có được cách nhìn tổng quan, hiểu sâu bản chất và có phương pháp vận dụng tốt hơn để giải toán. Nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Đề tài không những là nguồn tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên đang giảng dạy trực tiếp và bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng mà còn là tài liệu bổ ích cho hs khối 8, 9 và học sinh thi vào lớp 10 Trung học phổ thông và Trung học phổ thông chuyên. Năm học: 2021 - 2022 3
  4. Sáng kiến kinh nghiệm B. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận Toán học có một vai trò và vị trí quan trọng trong khoa học kỷ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả. Thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững nội dung toán học và phương pháp giải toán. Từ đó vận dụng vào các môn khoa học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học là cở sở của mọi nghành khoa học. Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường học phổ thông, nó đòi hỏi ở người giáo viên mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán. Vậy làm thế nào để thông qua các giờ học toán để giúp các em nắm được kiến thức và rèn luyện được phương pháp giải. Qua đó hình thành cho các em tư duy, tích cực độc lập sáng tạo, nâng cao khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng vào thực tiễn đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh. 2. Cơ sở thực tiễn. Các bài toán tìm cực trị của biểu thức là một dạng toán khó, đa dạng thường xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi toán lớp 8, lớp 9, và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông và Trung học phổ thông chuyên. Mặc dù quá trình học tập của học sinh, đã có những tài liệu để hỗ trợ, nhưng khi gặp dạng toán này học sinh vẫn thường lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi đã tìm hướng giải quyết có hiệu quả nhất cho bản thân, cũng như cho học sinh khi triển khai chuyên đề về dạng toán tìm cực trị. Qua đó tôi nhận thấy học sinh đã tiếp thu và làm các dạng bài tập liên quan thật hào hứng. Đồng thời thông qua đó giúp các em biết phân tích, tìm tòi, phát triển bài toán ban đầu ra nhiều bài toán khác. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 1. Thuận lợi Hiện nay, điều kiện học tập của học sinh và điều kiện dạy học của giáo viên đã được cải thiện rõ rệt. Cùng với sự phát triển chung của xã hội, người giáo viên cũng như học sinh có điều kiện tiếp thu với nhiều nguồn thông tin, nhiều nguồn tư liệu phong phú và các phương tiện dạy - học hiện đại,... Sự quan tâm của các cấp, các nghành đã tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy - học của giáo viên và học sinh. Năm học: 2021 - 2022 4
  5. Sáng kiến kinh nghiệm Nhiều giáo viên rất tâm huyết với công tác dạy học, tích cực đổi mới phương pháp dạy học để không ngừng nâng cao chất lượng của bộ môn. 2. Hạn chế. Trên thực tế tài liệu viết về “Toán tìm cực trị của biểu thức” thì rất nhiều nhưng cụ thể viết về phương pháp giải dạng toán cực trị bằng phương pháp phân tích bình phương, thì rất ít hầu hết chỉ là các bài tập ở dạng đơn lẻ, do đó nhiều giáo viên gặp khó khăn khi gặp dạng toán này để dạy cho học sinh một cách có hệ thống. Đối với học sinh + Không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bài học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng. + Không phân tích được bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán.... + Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động. + Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải toán. + Việc đầu tư cho thời gian tự đọc sách tham khảo của các em học sinh còn hạn chế. III. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC. 1. Khái niệm. 1.1. Cho biểu thức f(x, y...) Ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y...), kí hiệu maxf = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: - Với mọi x,y ...để f(x, y...) xác định thì f(x, y...)  M (M là hằng số) - Tồn tại x0 , y0 ... sao cho f( x0 , y0 ...) = M 1.2. Cho biểu thức f(x, y...) Năm học: 2021 - 2022 5
  6. Sáng kiến kinh nghiệm Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y...), kí hiệu min f = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: - Với mọi x,y ...để f(x, y...) xác định thì f(x, y...)  m (m là hằng số) - Tồn tại x0 , y0 ... sao cho f( x0 , y0 ...) = m 2. Hằng đẳng thức. ( A + B ) = A2 + 2AB + B 2 2 ( A − B ) = A2 − 2AB + B 2 2 3. Chú ý khi giải. Dựa vào hằng đẳng thức : ( A + B ) = A2 + 2AB + B 2 hoặc 2 ( A − B ) = A2 − 2AB + B 2 2 để đưa biểu thức về dạng: a) T = a +  f ( x) với a là hằng số, f(x) là biểu thức có chứa biến x. Vì 2  f ( x)  0 với mọi x nên T  a . Khi đó giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi 2 f ( x) = 0 (ta phải tìm x để f ( x) = 0 ). b) T = b −  f ( x) với b là hằng số, f(x) là biểu thức có chứa biến x. Vì 2 −  f ( x)   0 với mọi x nên T  b . Khi đó giá trị lớn nhất của T bằng b khi 2 f ( x) = 0 (ta phải tìm x để f ( x) = 0 ). 4.Một số bài toán. Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến. Bài 1. (Bài 19a, b Sách bài tập Toán 8 tập 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức. a) P= x 2 − 2x + 5 b) Q= 2x 2 − 6x Phân tích bài toán. Bài 1a) áp dụng chú ý (3a) học sinh dễ dàng thực hiện được. Còn đối với bài 1b một số em còn lúng túng vì hệ số của hạng tử x 2 không là số chính phương, vấn đề là biến đổi 2x 2 − 6x = 2(x 2 − 3x) đưa về bài toán 1a Lời giải a) P = x 2 − 2x + 5 = (x 2 − 2x+1) + 4 = (x −1)2 + 4 . Vì (x −1)2  0 với mọi x nên P = (x −1)2 + 4  4 với mọi x. Năm học: 2021 - 2022 6
  7. Sáng kiến kinh nghiệm Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 khi x −1 = 0 hay x = 1.  2 3 3  2 3 2  2 3 9 b) Q = 2x − 6x = 2(x − 3x) = 2  x − 2x +    − 2.   = 2  x −  − 2 2   2 2   2  2 2 2 2 Vì 2  x −   0 với mọi x nên Q = 2  x −  −  − với mọi x. 3 3 9 9      2  2 2 2 2 Suy ra giá trị nhỏ nhất của Q bằng − khi  x −  = 0 hay x = . 9 3 3   2  2 2 Bài 2. (Bài 20 Sách bài tập Toán 8 tập 1). Tìm giá trị lớn nhất của đa thức. a) A= 4x − x2 + 3 . b) C = 2x − 2x 2 − 5 . Phân tích bài toán. Với bài toán 2a) áp dụng chú ý (3b) học sinh dễ dàng thực hiện được, còn với bài 2b) khó khăn hơn là hệ số của hạng tử x 2 không phải là số chính phương (không kể dấu). Vấn đề là biết biến đổi ( ) 2x − 2x 2 − 5 = −2 x 2 − x − 5 . Sau đó áp dụng chú ý (3b) bài toán được giải quyết. Lời giải a) A= 4x − x 2 + 3 = − ( x 2 − 4x + 4 ) + 4 + 3 = − ( x − 2 ) + 7 . 2 Vì − ( x − 2 )  0 với mọi x nên A = − ( x − 2 ) + 7  7 với mọi x. 2 2 Suy ra giá trị lớn nhất của A bằng 7 khi x − 2 = 0 hay x = 2. b)  1 1  2 1 2  2 1 9 ( ) 2x − 2x 2 − 5 = −2 x 2 − x − 5 = −2  x 2 − 2.x. +    + 2.   − 5 = −2  x −  − . 2 2  2  2 2    2 2 Vì −2  x −   0 với mọi x nên B = −2  x −  −  − với mọi x. 1 1 9 9      2  2 2 2 9 1 1 Suy ra giá trị lớn nhất của B bằng − khi x − = 0 hay x = . 2 2 2 Khai thác bài toán. 1. Bài toán tổng quát. Cho tam thức bậc hai P = ax 2 + bx + c. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a  0 . b) Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a  0 . Lời giải Năm học: 2021 - 2022 7
  8. Sáng kiến kinh nghiệm 2  b   b  b2 P = ax 2 + bx + c = a  x 2 + x  + c = a  x +  + c − .  a   2a  4a 2 b2  b  Đặt c − = k . Do  x +   0 với mọi x nên: 4a  2a  2 a) Nếu a  0 thì a  x +   0 với mọi x, do đó P  k ; b    2a  b Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng k khi và chỉ khi x = − . 2a 2 b) Nếu a  0 thì a  x +   0 với mọi x, do đó P  k ; b    2a  b Suy ra giá trị lớn nhất của P bằng k khi và chỉ khi x = − . 2a 2. Bài toán 1a) và 2b) có thể phát biểu dưới dạng khác như sau. Bài 1.1. a) Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến. x 2 − 2x + 5 . b) Chứng minh rằng biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của biến. 2x − 2x 2 − 5 . 3.Từ cách giải bài toán 1 và 2 dễ dàng làm được bài toán sau. Bài 1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) M = ( x + 3) + 2 ( x − 1) ; 2 2 b) N = x + x c) P = x 2 − 2x + 5 ; d) Q = x − 2 x − 3 . Bài 1.3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 1 + 2x − x 2 + 3 ; b) B = x + 2 − x . Hướng dẫn. a) A = 1 + 2x − x 2 + 3 = 1 + 4 − ( x − 1)  1 + 4 = 3 . 2 2 b) B = x + 2 − x = −  2 − x −   . 9 1 9   4  2 4 Bài 1.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x − 2 x − 4 + 3 ( x  4 ) ; b) B = x2 + 4x − 2 2x + 3 − 3  x  −  ; 3    2 c) C = 3x 2 − 12x + 16 + x 4 − 8x 2 + 17 ; c) D = x 2 +6x + 10 + 3 2x 2 +12x + 27 + 4 x 4 − 18x 2 + 82 . Hướng dẫn. Năm học: 2021 - 2022 8
  9. Sáng kiến kinh nghiệm a) A = x − 2 x − 4 + 3 = ( x − 4 − 1) + 6  6 ( x  4 ) . 2 b) B = x 2 + 4x − 2 2x + 3 − 3 = ( x + 1) + ( 2x + 3 − 1) − 8  −8  x  −  . 2 2 3    2 c) C = 3x 2 − 12x + 16 + x 4 − 8x 2 + 17 = 3 ( x − 2 ) + 4 + (x ) 2 2 2 − 4 +1  4 + 1 = 3 . d) D = x 2 +6x + 10 + 3 2x 2 +12x + 27 + 4 x 4 − 18x 2 + 82 ( x + 3) ( ) + 1 + 3 2 ( x + 3) + 9 + 4 x 2 − 9 + 1  2 + 3 9 2 2 2 = 4. Từ bài 1b ta có Q= 2x 2 − 6x = x 2 + (x 2 − 6x + 9) − 9 = x 2 + ( x − 3)2 − 9 = x 2 + y 2 − 9 (đặt y = x − 3 ) Thêm điều kiên bài toán x − y = 3 . Ta có bài toán mới sau. Bài 1.5. Cho x − y = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Q = x2 + y2 − 9 . Bài toán tương tự. Bài 1.6. Cho x + y = 2 . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + y 2 . (Đề thi thử kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2012 - 2013). b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xy . 1 1 1 1 5. Từ bài 1a) P = (x −1)2 + 4  4 nên  (theo tính chất a  b thì  với a, b P 4 a b cùng dấu) do đó có thể chuyển bài toán về dạng sau. 1 Bài 1.7. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = . x − 2x + 5 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 B= với x  1 − 2 2,1 + 2 2  .   2+ 2x − x 2 + 7 3x 2 + 6x + 10 Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2 x + 2x + 3 (Đề thi HSG Toán 8 huyện Lâm Thao - Phú Thọ, năm học 2009 - 2010). 3x 2 + 6x + 10 1 1 Hướng dẫn: P = = 3+  3+ . x + 2x + 3 ( x + 1) + 2 2 2 2 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. a) A = ( x 2 + 5x + 4 ) ( x + 2 )( x + 3) Năm học: 2021 - 2022 9
  10. Sáng kiến kinh nghiệm b) B = x ( x − 3)( x − 4 )( x − 7 ) . Phân tích bài toán. Đối với bài 3a) nếu nhân đa thức với đa thức thì được đa thức bậc 4 nên khó thực hiện, nếu chú ý ( x + 2 )( x + 3) = x 2 + 5x + 6 . Hai đa thức x2 + 5x + 6 và x2 + 5x + 4 4+6 có chung x2 + 5x . Do đó nếu ta đặt x 2 + 5x + = y , đưa bài toán về dạng 2 A = ( y − 1)( y + 1) = y 2 − 1 . Bài toán được giải quyết. Còn đối với bài 3b) nhiều học sinh còn lúng túng nhưng chú ý phát hiện đặc điểm x ( x − 7 ) = x 2 − 7x và ( x − 3)( x − 4 ) = x 2 − 7x + 12 , đưa biểu thức về dạng bài 3a) Lời giải a) A = ( x 2 + 5x + 4 ) ( x + 2 )( x + 3) = ( x 2 + 5x + 4 )( x 2 + 5x + 6 ) Đặt x 2 + 5x + 5 = y thì A = ( y − 5 )( y + 5 ) = y 2 − 25  −25 với mọi y. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2  2 5 5  5 2 2  5 2  5 y = 0  x + 5x + 5 = 0   x + 2.x. +    −   + 5 = 0   x +  =  2  2     2 2  2   2    5 5  5 −5 x + = x =  2 2  2  5 5  − 5 −5 x + = − x =  2 2  2 5 −5 − 5 −5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng -25 khi và chỉ khi x = hoặc x = . 2 2 b) B = x ( x − 3)( x − 4 )( x − 7 ) = ( x 2 − 7x )( x 2 − 7x + 12 ) Đặt y= x2 − 7x+6 thì A= ( y − 6 )( y + 6 ) = y 2 − 36  −36. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi  2 7 7  7 2 2  7 2 5 2 y = 0  x − 7x + 6 = 0   x − 2.x. +    −   + 6 = 0   x −  =   2   2 2  2   2 2  7 5 x − 2 = 2 x = 6   x − 7 = − 5 x = 1   2 2 Năm học: 2021 - 2022 10
  11. Sáng kiến kinh nghiệm Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng – 36 khi và chỉ khi x = 6 hoặc x = 1 . Khai thác bài toán. Bài toán tổng quát. Cho a, b, c, d, m là các hằng số, a + d = b + c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) + m . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x + 2) + ( x − 4) . 4 4 Phân tích bài toán. Ta có ( a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4 và 4 (a − b) 4 = a 4 − 4a 3b + 6a 2b 2 − 4ab3 + b 4 2−4 Do đó ( a + b ) + ( a − b ) = 2 ( a 4 + 6a 2b 2 + b 4 ) nên đặt x + 4 4 = t hay x = t + 1 thì ta có 2 ( ) A = ( t + 3) + ( t − 3) = 2 t 4 + 6.t 2 .32 + 34 = 2t 4 + 108t 2 + 162  162 4 4 Lời giải Đặt x = t + 1 thì ta có ( ) A = ( t + 3) + ( t − 3) = 2 t 4 + 6.t 2 .32 + 34 = 2t 4 + 108t 2 + 162  162 , t  R . 4 4 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi t = 0  x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 162 khi x = 1 . Khai thác bài toán. Bài toán tổng quát. Cho a,b là các hằng số cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: (a + b) + (a − b) 4 4 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3x 2 − 8x + 6 A= . x 2 − 2x + 1 Phân tích bài toán. Ta thấy mẫu thức có dạng x 2 − 2x + 1= ( x − 1) do đó nghĩ đến việc đặt ẩn phụ là 2 3y2 − 2 y +1 2 1 x − 1 = y thì x = y + 1. Khi đó A = 2 = 3− + 2 y y y 1 Đặt = z thì A = 3 − 2z+z 2 = ( z − 1) + 2  2 ( biến đổi tương tự bài 1). 2 y Năm học: 2021 - 2022 11
  12. Sáng kiến kinh nghiệm Lời giải ĐK: x  1 . Đặt x − 1 = y ( y  0 ) thì x = y + 1. Ta có: 3 ( y + 1) − 8 ( y + 1) + 6 2 3y2 − 2 y +1 2 1 A= == = 3− + 2 . y2 y 2 y y 1 Đặt = z thì A = 3 − 2z+z 2 = ( z − 1) + 2  2 . 2 y 1 Giá trị nhỏ nhất của A bằng 2  z = 1  y = 1  =1 x = 2. x −1 Khai thác bài toán. Bài toán tương tự. Bài 4.1. Cho x  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x A= . ( x + 2000 ) 2 x Bài 4.2. Tìm x để hàm số y = có giá trị lớn nhất . ( x + 2004 ) 2 (Đề thi học sinh giỏi quận Hoàn Kiếm - Hà Nội năm 2003 – 2004). x 2 − 2x + 2001 Bài 4.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 (Đề thi tuyển sinh khối Trung học phổ thông chuyên Toán – Tin Trường Đại học Vinh năm 2003). x 2 − 2x + 2008 Bài 4.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . x2 (Đề thi OLympic Toán 8 - Trường Trung học cơ sở Nguyễn Trãi - năm 2007 – 2008). Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa nhiều biến. Bài 5. (Bài 19c Sách bài tập Toán 8 tập 1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x2 + y 2 − x + 6 y + 10. Phân tích bài toán. Nhóm biểu thức M thành các nhóm M = ( x2 − x) + ( y 2 + 6 y) + 10. Áp dụng phương pháp làm bài 1. Lời giải 1 1 3 M = x 2 + y 2 − x + 6 y + 10 = ( x 2 − x) + ( y 2 + 6 y ) + 10 = ( x 2 − 2 x + ) + ( y 2 + 6 y + 9) + 2 4 4 2  1 3 =  x −  + ( y + 3) + 2  2 4 Năm học: 2021 - 2022 12
  13. Sáng kiến kinh nghiệm 2 Vì  x −   0 với mọi x và ( y + 3)  0 với mọi y nên 1 2    2 2  1 3 3 M =  x −  + ( y + 3) +  với mọi x; y. 2  2 4 4  1  1 x− =0 x = Dấu “=” xẩy ra   2   2 . y + 3 = 0   y = −3   1 3 x = Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng   2 . 4  y = −3  Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. a) A = x2 − 2xy + 2 y 2 + 2x −10y + 17 . b) B = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y. c) C = 2x 2 + 2xy + 5 y 2 − 8x − 22 y. Phân tích bài toán. Đối với bài này sử dụng cách tách như bài 4 là không thực hiện được. Vấn đề đặt ra là phải làm như thế nào. Ta coi y là tham số rồi áp dụng chú ý (3a) biến đổi biểu thức có chứa bình phương của biểu thức chứa biến x. a) A= x2 − 2xy + 2 y 2 + 2x −10y + 17 = ( x2 − 2xy + 2x) + 2 y 2 −10y + 17 Tiếp tục biến đổi x 2 − 2xy + 2x =  x 2 − 2x ( y − 1) + ( y − 1)  − ( y − 1) = ( x − y + 1) − y 2 + 2 y − 1 2 2 2   A = ( x − y + 1) − y 2 + 2 y − 1 + 2 y 2 − 10y + 17 = ( x − y + 1) + y 2 − 8 y + 16 = ( x − y + 1) + ( y − 4 )  0 2 2 2 2 b) B = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y = ( x 2 + xy − 3x ) + y 2 − 3 y y −3  y −3  y −3  y − 3  y2 − 6 y + 9 2 2 2 Biến đổi x + xy − 3x=x + 2 x 2 +2  −  =x+  − 2  2   2   2  4 y − 3  3y2 − 6 y − 9 2 Khi đó B =  x +   + .  2  4 3 y 2 − 6 y − 9 3( y 2 − 2 y + 1) − 12 3 Tiếp tục biến đổi = = ( y − 1) − 3 . 2 4 4 4 y −3 3 2   + ( y − 1) − 3  −3 . 2 B =x+  2  4 c) C = 2x + 2xy + 5 y 2 − 8x − 22 y = ( 2x 2 + 2xy − 8x ) + 5 y 2 − 22 y . Biến đổi 2  y−4  y−4   y−4 2 2  y − 4  y 2 − 8 y + 16 2 2x 2 + 2xy − 8x= 2  x 2 + 2 x +   − 2  = 2 x +  − .   2  2    2    2  2 y − 4  9 y 2 − 36 y − 16 2  Khi đó C = 2  x +  + . Tiếp tục biến đổi  2  2 Năm học: 2021 - 2022 13
  14. Sáng kiến kinh nghiệm 9 y 2 − 36 y − 16 9 = ( y − 2 ) − 26 . 2 2 2 y−4 9 2   + ( y − 2 ) − 26  −26 2 C = 2 x +  2  2 Lời giải a) Ta có A = x 2 − 2xy + 2 y 2 + 2x − 10y + 17 = ( x 2 − 2xy + 2x) + 2 y 2 − 10y + 17 =  x 2 − 2x ( y − 1) + ( y − 1)  − ( y − 1) + 2 y 2 − 10y + 17 2 2   = ( x − y + 1) + y 2 − 8 y + 16 = ( x − y + 1) + ( y − 4 ) . 2 2 2 Vì ( x − y + 1)  0 với mọi x; y và ( y − 4 )  0 với mọi x nên 2 2 A = ( x − y + 1) + ( y − 4 )  0 với mọi x; y. 2 2 x − y +1 = 0 x = 3 Dấu “=” xẩy ra    . y − 4 = 0 y = 4 x = 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 0   y = 4 b) B = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y = ( x 2 + xy − 3x ) + y 2 − 3 y  y −3  y −3   y −3 2 2  y − 3  y2 − 6 y + 9 2 =  x2 + 2x +  −  + y2 − 3y =  x +  − + y2 − 3y  2  2    2   2  4  y −3 3 2   + ( y − 1) − 3. 2 =x+  2  4 y −3 2 Vì  x + 3   0 với mọi x; y và 4 ( y − 1)  0 với mọi y nên 2   2  y −3 3 2   + ( y − 1) − 3  −3 với mọi x; y . 2 B =x+  2  4  y −3 x + =0 x = 1 Dấu “=” xẩy ra   2  .  y −1 = 0 y =1  Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng -3  x = 1 và y = 1. c) C = 2x 2 + 2xy + 5 y 2 − 8x − 22 y = ( 2x 2 + 2xy − 8x ) + 5 y 2 − 22 y  2 y−4  y−4   y−4 2 2 = 2 x + 2x +   − 2  + 5 y − 22 y 2   2  2    2   y − 4  y 2 − 8 y + 16 2  = 2 x +  − + 5 y 2 − 22 y  2  2 y−4 9 2   + ( y − 2 ) − 26 2 = 2 x +  2  2 Năm học: 2021 - 2022 14
  15. Sáng kiến kinh nghiệm y−4 2 Vì  x + 9   0 với mọi x; y và ( y − 2 )  0 với mọi y. 2   2  2 y−4 9 2   + ( y − 2 ) − 26  −26 với mọi x; y. 2 C = 2 x +  2  2  y−4 x+ =0 x = 1 Dấu “=” xẩy ra    2  . y − 2 = 0  y=2  Giá trị nhỏ nhất của C bằng -26  x = 1 và y = 2 . Khai thác bài toán. 1. Bài toán tương tự Bài 6.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x 2 + 2xy + y 2 − 2x + 2 y + 2 khi các số thực x, y thay đổi. (Đề thi HSG Toán 8 năm học 2013 -2014 ) Bài 6.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 − x y + x + y − y + 1 với y  0 . (Đề 3, Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông và Trung học phổ thông chuyên) Bài 6.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 − 3xy + 3 y 2 + 2x − 3y + 2 (Đề kiểm tra khảo sát chất lượng Toán 9 năm học 2013 -2014) Bài 6.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a) A = 2x 2 + 2 y + y 2 − 2x+2y + 2 ; b) B = 2x 2 + y 2 − 2xy − 2x + 3. c) C = x 2 + y 2 − xy − 2x − 2y ; d) D = x 4 − 4 y ( x 2 − y ) + x 2 − 6x + 10 e) E = x 6 + 2 x ( x 2 + y ) + x 2 + y 2 + 26 . Hướng dẫn. d) D = x 4 − 4 y ( x 2 − y ) + x 2 − 6x + 10 = ( x 2 − 2 y ) + ( x − 3) + 1  1 . 2 2 e) E = x 6 + 2 x ( x 2 + y ) + x 2 + y 2 + 26 = ( x3 + 1) + ( x + y ) + 25  25 2 2 Bài 6.5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a) A = −x 2 − 4 y 2 +2xy + 2x+ 10y + 5. b) B = 2015 − x 2 − 3 y 2 +2xy −10x+14y. c) C = 17x 2 − x 4 − 4 y ( x + y ) − 76. Hướng dẫn. c) C = 17x 2 − x 4 − 4 y ( x + y ) − 76 = 5 − ( x + 2 y ) − ( x 2 − 9 )  5 2 2 1 1 2. Theo tính chất a  b thì  với a, b cùng dấu) do đó có thể thay đổi yêu cầu, a b chuyển bài toán về dạng sau. Bài 6.6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Năm học: 2021 - 2022 15
  16. Sáng kiến kinh nghiệm 1000 2014 a) A = ; b) B = x + y − 20(x + y) +2215 x + ( x − 2 y ) − 2 ( x − 2 y ) − 4x +2021 2 2 2 2 3.Từ bài 6b) ta có y −3 3 2   + ( y − 1) − 3 2 B = x + xy + y − 3x − 3 y =  x + 2 2  2  4 Nếu B = 0 thì y −3 3 y −3 2 2   3  + ( y − 1) − 3 = 0   x +  = − ( y − 1) + 12   0 2 2 x+  2  4  2  4  Do đó ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng sau. Bài 7 . Tìm x, để y đạt giá trị lớn nhất thỏa mãn. x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y = 0 Lời giải y −3 3 2 Ta có: x + xy + y − 3x − 3 y = 0   x +  + ( y − 1) − 3 = 0 2 2 2   2  4 y −3 2  3  = − ( y − 1) + 3  0  ( y − 1)  12  y − 1  2 3 2 2 x+  2  4  y −1  2 3  y  2 3 +1 Dấu “=” xẩy ra  x = 1 − 3 Vậy giá trị lớn nhất của y bằng 2 3 + 1  x = 1 − 3 . Khai thác bài toán. 1. Bài tập tương tự Bài 7.1 Tìm x, để y đạt giá trị lớn nhất thỏa mãn. x 2 + 2 xy + 2 y 2 − 8x − 4 y = 0 . (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông - năm 2010 - 2011). 2. Từ bài toán 6) nếu đặt T = x + y , từ giả thiết x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y = 0  x 2 − xT + T 2 + 3T = 0 . Chuyển bài toán về dạng sau. Bài 8. Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y = 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y . Lời giải T = x + y  y = T − x .Từ giả thiết x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y = 0  x 2 + x(T − x) + (T − x) 2 − 3t = 0  x 2 + xT − x 2 + T 2 − 2Tx + x 2 − 3t = 0  x 2 − xT + T 2 + 3T = 0 2  T 3   x −  =  − (T + 2 ) + 12   0 2  2 4   (T + 2 )  12  T + 2  2 3  −2 − 2 3  T  −2 + 2 3 2 T= −2 − 2 3  x = − 3 − 1 và y = − 3 − 1 . T= −2 + 2 3  x = 3 −1 và y = 3 − 1 . Năm học: 2021 - 2022 16
  17. Sáng kiến kinh nghiệm Vậy giá trị lớn nhất của T bằng −2 + 2 3  x = 3 −1 và y = 3 − 1 . Giá trị nhỏ nhất của T bằng −2 − 2 3  x = − 3 − 1 và y = − 3 − 1 . Khai thác bài toán. Bài 8.1. Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 + 6( x + y) + 2xy + 2 y 2 + 6 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y . (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông – năm học 2008 - 2009). Bài 8.2. Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: ( x+y ) + 7( x + y) + y 2 + 10 = 0 . Tìm giá 2 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y . Bài 8.3. Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x 2 − 4xy + 4 y 2 + z 2 + 5x − 10 y + 2z − 5 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 2 y . Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x4 −10x3 + 26x 2 −10x + 30 . Phân tích bài toán. Đây là đa thức bậc 4 vì thế rất nhiều học sinh gặp khó khăn, nhưng nếu chú ý đặt y = x2 thì ta có P = y 2 −10xy + 26x 2 −10x + 30 . Đưa bài toán về dạng bài 6. Lời giải Đặt y = x2 ( y  0 ) thì ta có P = y 2 − 10xy + 26x 2 − 10x + 30 ( ) = y 2 − 10xy + 26x 2 − 10x + 30 =  y 2 − 2.y.5x + ( 5x )  − ( 5x ) + 26x 2 − 10x + 30  2  2 ( = ( y − 5x ) + ( x − 5 ) + 5 = x 2 − 5x ) + ( x − 5) 2 2 2 2 +5 ( ) = ( x − 5) x2 + 1 + 5 . 2 Do x2 + 1  0 x ; ( x − 5 )  0 x  ( x − 5) ( x 2 + 1) + 5  5 x 2 2 Nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 5  x = 5 . Khai thác bài toán. Bài toán tương tự. Bài 9.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x4 − 4x3 + 5x 2 − 4x + 14 ; b) B = 4x4 − 24x3 + 37x 2 − 6x + 29 ; 2x + 1 Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = . x2 + 2 (Đề thi tuyển sinh khối Trung học phổ thông chuyên Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2000 – 2001.). Năm học: 2021 - 2022 17
  18. Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích bài toán. 2x + 1 1 Đặt ẩn phụ P = = với 2x + 1  0 thì x2 + 2 t t ( 2x + 1) = x 2 + 2  x 2 − 2tx − t +2=0 . (1) Đưa về bài toán tìm x để t đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thỏa mãn (1).(Dạng bài 7) Lời giải 1 * Nếu 2x + 1 = 0  x = − thì P = 0 . 2 * Nếu 2x + 1  0 . 2x + 1 1 Đặt P = =  t ( 2x + 1) = x 2 + 2  x 2 − 2tx − t +2=0 x +2 t 2  t 1   9 2  1  9 2  x 2 − 2tx + t 2 =  t 2 + 2 +    −  ( x − t ) =  t +  −  0 . 2   2 2  2   2 4 t  1 2  1  9 1 3  t +    t +    .  2 4 2 2 t  −2 −1 Do đó  P 1. 2 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1  x = 1 −1 giá trị nhỏ nhất của P bằng  x = −2 2 Khai thác bài toán. Bài toán tương tự. Bài 10.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 + 4x 2x + 3 x 2 + 2x + 3 a) A = ; b) B = ; c) B = x2 + 2x + 2 x2 + x + 1 x2 + x + 1 3 y 2 − 4xy Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 x +y Phân tích bài toán. x 3− 4 3 y − 4xy 2 3 − 4t y x A= = = 2 ( Với y  0 và t = ). x +y 2 2 x 2 t +1 y  y  +1   Đưa bài toán về dạng bài 8. Lời giải * Nếu y = 0 thì A = 0 . * Nếu y  0 thì x 3− 4 3 y − 4xy 2 3 − 4t y x A= = = 2 , với t = . x +y 2 2 x 2 t +1 y  y  +1   Năm học: 2021 - 2022 18
  19. Sáng kiến kinh nghiệm 1 Đặt A = thì ta có k ( 3 − 4t ) = t 2 + 1  t 2 + 4kt + 4k 2 = 4k 2 + 3k − 1 k 2 2  3  25  3  25 3 5  ( t + 2k ) =  2k +  − 2  0   2k +    2k +   4  16  4  16 4 4  3 5  2k + 4  4  1   k  4  2k + 3  − 5    k  −1  4 4 Do đó −1  A  4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng -1 khi chẳng hạn x = 2 và y = 1. Giá trị lớn nhất của A bằng 4 khi chẳng hạn x = −1 và y = 2 . Khai thác bài toán. Bài toán tương tự. y2 Bài 11.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = . 3x 2 + 3xy + 2 y 2 (Đề thi tuyển sinh khối Trung học phổ thông chuyên Toán – Tin Trường Đại học Vinh năm 2002). x 2 - xy + y 2 Bài 11.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = . x 2 + xy + y 2 Bài 11.3 . Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( 2 x 2 +6xy ) . x + 2xy + 3 y 2 2 Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 − 2x + 5 − x 2 + 4x . Phân tích bài toán. Điều kiện xác định: −1  x  5 . Ta có A = 3 − 2x + 5 − x 2 + 4x  A + 2x − 3 = 5 − x 2 + 4x  ( A + 2x − 3) = 5 − x 2 + 4x với A + 2x − 3  0 2  A2 + 5x 2 + 4 Ax − 6A −16x + 4 = 0 . Đưa bài toán về dạng: Tìm số thực x thỏa mãn điều kiện −1  x  5 để A đạt giá trị lớn nhất sao cho A2 + 5x 2 + 4 Ax − 6A −16x + 4 = 0 và A + 2x − 3  0 (Dạng bài 8). Lời giải Điều kiện xác định: −1  x  5 . Ta có A = 3 − 2x + 5 − x 2 + 4x  A + 2x − 3 = 5 − x 2 + 4x . (1) Điều kiện A + 2x − 3  0 . Do đó (1)  ( A + 2x − 3) = 5 − x 2 + 4x 2 Năm học: 2021 - 2022 19
  20. Sáng kiến kinh nghiệm ( )  A2 + 5x 2 + 4 Ax − 6A − 16x + 4 = 0  A2 + 2A+1 − 45 = − ( 5 x + 2A − 8 )  0 2  ( A+1)  3 5  A+1  3 5  −3 5 − 1  A  3 5 − 1 . 2 6 5 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 3 5 − 1  x = 2 − . 5 Khai thác bài toán. Bài toán tương tự. Bài 11.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A và tìm giá trị lớn nhất của B. 3x a) A = + 3 − x 2 + 2x . 2 b) A = 2x + 1 − x 2 − 4x . IV. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC. Khi chưa áp dụng chuyên đề trên vào thực tế giảng dạy. Tôi đã tiến hành khảo sát học sinh lớp 8A năm học 202020 - 202021, đa số học sinh còn lúng túng, ái ngại khi gặp dạng toán này. Cụ thể kết quả khảo sát chất lượng thu được trước khi thực hiện chuyên đề như sau: Lớp Tổng số hs Giỏi Khá Trung bình Yếu 8A 28 3 (11%) 9 (32%) 9 (32%) 7 (25%) Sau khi áp dụng chuyên đề, tôi thấy việc hoạt động của học sinh tương đối tốt, các em không còn cảm giác lúng túng mà tự tin hơn, bước đầu đã hình thành cho mình thói quen giải toán sao cho có hiệu quả, một số em đã biết khai thác từ các bài toán bất đẳng thức ban đầu thành các bài toán tương tự và các bài toán mới. Số học sinh khá giỏi tăng, số học sinh trung bình giảm. Kết quả khảo sát chất lượng thu được như sau. Lớp Tổng số hs Giỏi Khá Trung bình Yếu 8A 28 8 (29%) 11 (38%) 5 (18%) 4 (15%) Năm học: 2021 - 2022 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2