zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9

Chia sẻ: Nguồn SKKN | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Báo xấu

69
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là đưa ra cho học sinh nắm được một số dạng toán cơ bản về cực trị phương pháp giải, học sinh biết áp dụng để giải các bài toán về cực trị xuất hiện trong đề thi vào THPT, đề thi học sinh giỏi lớp 9. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9

“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” I. PHẦN MỞ ĐẦU : I.1. Lý do chọn đề tài : Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng. Trong chương trình Toán ở bậc THCS, học sinh ít được tiếp cận với các bài toán về cực trị nhưng lại là một trong những nội dung quan trọng trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Chính vì vậy khi gặp các bài toán tìm cực trị học sinh thường rất khó khăn khi định hướng cách giải, trong quá trình giải học sinh thường hay mắc phải những sai lầm cơ bản hoặc ngộ nhận. Trước thực tế đó nhằm giúp học sinh nắm được một cách hệ thống và có kĩ năng giải các dạng toán này một cách thành thạo nhằm phát huy khả năng suy luận sáng tạo và linh hoạt của học sinh, từ đó tôi viết chuyên đề về “Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN,GTNN cho học sinh lớp 9” I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài : Củng cố cho học sinh kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất. Đưa ra cho học sinh nắm được một số dạng toán cơ bản về cực trị phương pháp giải, học sinh biết áp dụng để giải các bài toán về cực trị xuất hiện trong đề thi vào THPT, đề thi học sinh giỏi lớp 9 Giáo viên : THCS Trang 1
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” Chỉ ra cho học sinh một số sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán cực trị. Nâng cao chất lượng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường Giúp cho các giáo viên có thể tham khảo nghiên cứu và áp dụng trong từng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào từng đối tượng học sinh. I.3. Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 9 ở bậc trung học cơ sở Trường THCS Huy ện ČưMgar các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 20142015. I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu : Sáng kiến này áp dụng tốt cho học sinh khá, giỏi nhằm chuẩn bị cho các kì thi, các kì kiểm tra đặc biệt là kì thi học sinh giỏi, kì thi giải toán trên mạng, kì thi vào lớp 10. I.5. Phương pháp nghiên cứu : Để thực hiện nghiên cứu đề tài này tôi đã dùng các phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu tài liệu. Phương pháp thu thập và xử lý số liệu. Phương pháp thực nghiệm. Phương pháp đàm thoại. II. PHẦN NỘI DUNG : II.1. Cơ sở lý luận : Toán học là một ngành khoa học cơ bản và giữ một vai trò vô cùng quan trọng trong đời sống kinh tế, xã hội. Toán học là cơ sở, là phương tiện để nghiên cứu các ngành khoa học khác. Với mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, Giáo viên : THCS Trang 2
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản. Phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo của học sinh, nhằm nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề, rèn luyện thực hiện kĩ năng vào thực tế, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Dựa trên cơ sở đó giáo viên cần kết hợp giữa phương pháp dạy học truyền thống với các phương pháp dạy học hiện đại như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ.....Hạn chế tối đa việc áp đặt kiến thức, giáo viên chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, gợi mở giúp học sinh tự khám phá kiến thức mới. II.2. Thực trạng : a. Thuận lợi khó khăn : * Thuận lợi : Nhà trường rất quan tâm đến việc giảng dạy bộ môn toán và luôn tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên và học sinh. Tập thể giáo viên tổ, nhóm chuyên môn nhiệt tình thường xuyên dự giờ góp ý để có được các bài dạy tốt hơn. Có tập thể học sinh đoàn kết, ngoan ngoãn và say mê học tập. Bản thân tôi thực sự cố gắng, nỗ lực phấn đấu và học hỏi thêm các đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy. * Khó khăn : Một số học sinh các em chưa có ý thức tự giác học, mà còn mang tính ỷ lại lười suy nghĩ chưa độc lập trong việc tiếp thu kiến thức. Gia đình các em đa số làm nông nghiệp, kinh tế còn khó khăn nên chưa quan tâm nhiều đến các em. Các em chỉ học ở trên lớp mà thiếu hẳn việc luyện tập và thực hành ở nhà nên kiến thức học nhanh quên, kỹ năng thực hành kém. Bên cạnh đó cũng có những học sinh thực sự ham học, dẫn đến sự cách biệt về Giáo viên : THCS Trang 3
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” kiến thức trong cùng một lớp, gây khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức của giáo viên. b. Thành công hạn chế : Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Rèn luyện cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận… qua đó có tác dụng tốt rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, góp một phần không nhỏ cho các em khi bước vào các kì kiểm tra, kì thi đặc biệt là kì thi vào THPT sắp tới. Tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu chỉ trong một nội dung nhỏ nên chưa bao quát được tổng thể tất cả các nội dung, nhưng đó cũng là nền móng vững chắc để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. c. Mặt mạnh mặt yếu : * Mặt mạnh : Qua đề tài giúp học sinh hào hứng, say mê học tập và chịu khó nghiên cứu, tư duy lôgíc để tìm lời giải và mở rộng ra các bài toán tương tự. Đề tài cũng giúp giáo viên nâng cao và củng cố thêm được mạch kiến thức đại số qua tìm tòi ở các sách tham khảo, các dạng đề thi. Phát huy được tính tự học và tự rèn của giáo viên. * Mặt yếu : Việc tư duy của một số học sinh chưa nhanh, khả năng phát hiện, vận dụng, suy luận và biến đổi chưa thật tốt, chưa thật linh hoạt. Lực học của các học sinh trong 1 lớp không đồng đều nên giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức cho cả 3 đối tượng học sinh khá; giỏi; trung bình và yếu. Giáo viên : THCS Trang 4
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động : Do thời gian có hạn nên tôi chỉ nêu ra một số dạng toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phương pháp giải các dạng toán đó, để từ đó có thể giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra một tiết, kiểm tra học kì và các kì thi học sinh giỏi, kì thi vào THPT...... Do chất lượng đầu vào của học sinh còn thấp nên ảnh hưởng một phần không nhỏ đến kết quả học tập của học sinh. Do một số học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc học. Do địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình không ổn định, còn khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em. Do cơ sở vật chất của trường còn thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh. II.3. Giải pháp, biện pháp : a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp : Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán. Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh. Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS. Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn. Giáo viên : THCS Trang 5
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” Rèn luyện kĩ năng giải các dạng toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường gặp trong sách giáo khoa, trong các đề thi vào lớp 10, trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi giải toán trên mạng . . . b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp : A. Cơ sở về lý thuyết : 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN): Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn. +Với mọi x thuộc D thì f(x) M, M là hằng số. +Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M. 2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: +Với mọi x thuộc D thì f(x) m, m là hằng số. +Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m. 3. Các hằng đẳng thức đáng nhớ : Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta GTLN của tích, GTNN của tổng. Giáo viên : THCS Trang 6
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” a) Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: Chứng minh :Nếu a, b có a + b = k ( k là hằng số ) thì (a + b) 2 4ab k2 k2 ta có a.b do đó max(a.b) = khi và chỉ khi a = b. 4 4 b)Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: Chứng minh :Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 4ab Min (a + b)2 = 4h, (khi và chỉ khi a = b) Min (a + b) = 2 h , (khi và chỉ khi a = b). 4. Ñònh nghóa vaø tính chaát giaù trò tuyeät ñoái cuûa moät soá a.Định nghĩa: a = a nếu a 0 a = a nếu a 0. 3) a b a b ( đẳng thức xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 ) 5. Một số tính chất và bất đẳng thức thường gặp : 1 1 a b �� 0 an > bn, ∀n �N * a > b �� 0 a> b Bất đẳng thức côsi : Giáo viên : THCS Trang 7
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” a b Với a 0, b 0 thì ab (Dấu “=” xảy ra a b) 2 Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : Cho hai bộ số a1 , a 2 ; b1 , b2 . Ta có a1 a2 b22 ( Dấu “=” xảy ra khi ) 2 a1 .b1 a 2 .b2 a12 a 22 b12 b1 b2 B. Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải : Dạng 1 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng : f(x) = ax2 + bx + c. (a, b, c là hằng số, a 0 ) Phương pháp giải: 2 2 b b2 b2 Ta có: f(x) = ax + bx + c = a ( x + x + 2 ) + c = a 4a 4a b (b 2 4ac ) = a (x + )2 + 2a 4a * Nếu a > 0 (b 2 4ac ) b GTNN của f(x) là khi x = và không có GTLN. 4a 2a * Nếu a
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” 16 1 1 Nên maxB = khi x = 0 hay x = 3 3 3 16 1 Vậy maxB = khi x = 3 3 Bài tập tự luyện : Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 8 x 1 Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B 2 x 2 4 x 1 Bài tập 3: Tìm giá trị nếu có của C 3x 2 4x 1 Dạng 2 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng : f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f. (a,b,c,e,f là hằng số a.b 0 ). Phương pháp giải: Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f. 1 1 1 = a x 2 (cy d ) x 2 (cy d ) 2 (cy d ) 2 by 2 ey f a 4a 4a 2 1 = ……. = a x (cy d) m( y q) 2 p 2a 1 Suy ra GTNN, GTLN của f(x,y) ( khi x = (cy d ) và y = q.) 2 Ví dụ minh họa : Tìm GTNN của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15. Giải: C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + 2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 10 Giáo viên : THCS Trang 9
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” x + 2 – y = 0 x = 3 Nên minC = 10 khi y + 1 = 0 y = 1 Vậy minC = 10 khi x = 3, y = 1 Dạng 3 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai Phương pháp giải: 1 1 Sử dụng tính chất : a
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” 1 1 nên maxB = x = 0. Điều này không đúng vì không là giá trị lớn 4 4 1 1 nhất của B. Chẳng hạn x = 3 thì B = . 5 4 Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang phân số có tử và mẫu là số nguyên. 3 * Ví dụ 2: Tìm GTLN của phân thức: E 2 x 2x 4 3 3 3 3 Giải: Ta có E 2 2 2 2 x 2x 4 x 2x 4 x 2x 1 3 x 1 3 3 3 3 Vì x 1 2 3 3 nên 2 1 x 1 3 3 x 1 3 Vậy E 1 ; Dấu “=” xảy ra khi x 1 = 0 x 1 Vậy min E = 1 khi x = 1 Dạng 4 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức có bậc tử thức bằng bậc mẫu thức Phương pháp giải : Ax 1 Tổng quát: f x M , C x 0 . Từ đó suy ra GTLN, GTNN. Bx C x x2 2x b bx 2 2bx b 2 b 1 x2 x 2 2bx b 2 Đặc biệt f x x2 bx 2 bx 2 2 b 1 x b b 1 ; b bx 2 b Dấu “=” xảy ra khi x �b = 0 � x = mb Ví dụ minh họa : 3x 2 4 x *Ví dụ 1: Tìm GTLN của B Và giá trị x tương ứng x2 1 2 3x 2 4 x 4x 2 4 x 2 4x 4 x 2 Giải: B 4 4 x2 1 x2 1 x2 1 Giáo viên : THCS Trang 11
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” Dấu “=” xảy ra khi x 2 = 0 x = 2 Vậy MaxB = 4 khi x = 2 *Ví dụ 2: (Trích đề thi vào lớp 10 –Quảng Ngãi năm 20132014) x 2 − 2 x + 2014 Với x 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 Hướng dẫn giải : x 2 − 2 x + 2014 A= 2 � Ax 2 = x 2 − 2 x + 2014 � ( A − 1) x 2 + 2 x − 2014 = 0 ( 1) x * Với A = 1 � x = 1007 * Với A 1 PT (1) là pt bậc 2 ẩn x có ∆ ' = 1 + 2014 ( A − 1) = 1 + 2014 A − 2014 = 2014 A − 2013 2013 PT (1) có nghiệm khi ∆ �� ' 0 −�۳ 2014 A 2013 0 A 2014 2013 Kết hợp với trường hợp A=1 ta có Amin = 2014 Bài Tập Tự Luyện : (Trích đề thi vào lớp 10Cao Bằng năm 20122013) x2 − 4x + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 Dạng 5 : Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bất đẳng thức Côsi a b Với a 0, b 0 thì ab (Dấu “=” xảy ra a b) 2 Ví dụ minh họa : *Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức A 3x 5 7 3x Giáo viên : THCS Trang 12
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi. Vì vậy nếu ta bình phương biểu thức A thì ta sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến a b đây vận dụng bất đẳng thức Côsi: ab hay 2 ab a b 2 5 7 Giải: ĐKXĐ: x 3 3 A2 3x 5 7 3x 2 3 x 5 7 3x Mà 2 3x 5 7 3x 3x 5 7 3x 2 Nên A 2 2 2 4 , dấu “=” xảy ra 3x 5 7 3x x 2 Vậy maxA = 2 khi x = 2 * Ví dụ 2 : (trích đề thi vào lớp 10Phú Thọ năm 20132014) Cho x, y là 2 số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P x( 2 x y) y (2 y x) Hướng dẫn giải : a b Áp dụng Bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương ab 2 Ta có 3x 2 x y 5x y 3x(2 x y) (1) 2 2 3y 2y x 5y x 3 y (2 y x) ( 2) 2 2 3( x y) 3( x y) 3 P Từ (1) và (2) ta có 3 x(2 x y) 3 y (2 y x) 6x 6 y 3 2 3 3x 2x y Min( P ) x y 3 3y 2y x Giáo viên : THCS Trang 13
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” 3 x 4 16 *Ví dụ 3: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A x3 16 Nhận xét: 3x và có tích không phải là hằng số. Muốn khử được x 3 x3 thì ở tử phải có x 3 x.x.x do đó phải biểu diễn 3x = x + x + x và dùng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương. 3 x 4 16 16 16 16 Giải: A 3x x x x 44 x.x.x. 4.2 8 x3 x3 x3 x3 16 Dấu “=” xảy ra khi x x=2 x3 Vậy minA = 8 khi x=2 *Ví dụ 4 : (Trích đề thi vào lớp 10 – Hà Nội năm 20122013) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ nhất x 2 + y2 của biểu thức: M = xy Hướng dẫn giải : x2 + y2 x2 y 2 x y x y 3x Ta có M = = + = + = ( + )+ xy xy xy y x 4y x 4y x y Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Cô si cho 2 số dương ; ta có 4y x x y x y + 2 . = 1 , 4y x 4y x dấu “=” xảy ra x = 2y x 3 x 6 3 Vì x ≥ 2y =2 � . , dấu “=” xảy ra x = 2y y 4 y 4 2 3 5 Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra x = 2y 2 2 5 Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y 2 Giáo viên : THCS Trang 14
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” *Ví dụ 5 : (Trích đề thi vào lớp 10Quảng Ngãi năm 20122013) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức −2 xy A= . 1 + xy Hướng dẫn giải : Với x > 0, y > 0 ta có x2 + y 2 1 3 1 2 2 4 �+ ۳۳ �� xy xy 1 xy 2 2 2 1 + xy 3 1 + xy 3 −2 xy 2 4 2 Do đó A = = −2 + −2 + =− . 1 + xy 1 + xy 3 3 Dấu “=” xảy ra khi x = y . x > 0, y > 0 2 Từ x = y �x= y= 2 x2 + y2 = 1 2 2 Vậy min A = − khi x = y = . 3 2 Dạng 6 : Vận dụng bất đẳng thức Bất đẳng thức Bunhiacốpxki Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bất đẳng thức Bunhiacốpxki Cho hai bộ số a1 , a 2 ; b1 , b2 . Ta có 2 a1 .b1 a 2 .b2 a12 a 22 b12 b22 a1 a2 Dấu “=” xảy ra khi b1 b2 Ví dụ minh họa : *Ví dụ 1: Cho x 2 y 10 . Tìm GTNN của x + y 2 2 Nhận xét: x y x y Giáo viên : THCS Trang 15
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai bộ số (1;2) và ( x; y ) 2 Ta được: 1. x 2 y 12 22 x y 10 2 5x y x y 20 y Dấu “=” xảy ra khi x x = 4, y = 16 1 2 Vậy min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16 * Ví dụ 2 : (Trích đề thi vào lớp 10Bắc Ninh năm 20122013) Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x + y = 1. Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x2 + y2. Hướng dẫn giải : * Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có 1 = x + y hay 1 1= (x + y)2 2 x 2 y2 x2 y2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 là 1/2 khi x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m) * Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 1 A Ta có A = x2 + y2 hay xy = (*) vì x + y =1 mà x 0; y 0 xy 0 2 Do đó theo (*) có A 1 . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 Dạng 7 : Phương pháp miền giá trị của hàm số Phương pháp : Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) với x D. Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương trình (ẩn x ) sau có nghiệm: Giáo viên : THCS Trang 16
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” f ( x) y 0 (1) x D (2) Tuỳ dạng của hệ (1) , (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng a y0 b (3) . Vì y 0 là một giá trị bất kỳ của f (x) nên từ (3) ta thu được: Min f ( x ) a và Max f ( x) b trong đó x D. Như vậy thực chất của phương pháp này là đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của: x2 x 1 A x2 x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có x2 x 1 nghiệm a (1) x2 x 1 Do x 2 x 1 0 nên (1) ax 2 ax a x2 x 1 )(a 1) x 2 (a 1) x (a 1) 0(2) + TH1: Nếu a 1 thì (2) có nghiệm x 0 + TH2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là 0 , tức là: (a 1) 2 4( a 1) 2 0 � (a + 1 + 2a − 2)(a + 1 − 2a + 2) �0 (3a 1)(a 3) 0 Giáo viên : THCS Trang 17
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” 1 a 3 (a 1) . 3 1 (a 1) (a 1) Với a hoặc a 3 thì nghiệm của (2) là: x 3 2(a 1) 2(1 a ) 1 Với a thì x 1, với a 3 thì x 1 3 Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có: 1 MinA x 1 3 MaxA 3 x 1 x2 6x 1 Ví dụ 2 : Tìm Max và Min của biểu thức E = 2 . x 1 Hàm số xác định với mọi giá trị của x R (vì x2 + 1 > 0, x ). x2 6x 1 Gọi yo là một giá trị của hàm. Phương trình yo = 2 có x 1 nghiệm. Suy ra yo(x2 + 1) = x2 + 6x + 1 có nghiệm (yo – 1)x2 – 6x + yo – 1 = 0 có nghiệm. Ta xét : Nếu yo = 1 x = 0 (thích hợp). Nếu yo 1, lập ’ = 9 – (yo – 1)2 0 (yo – 1)2 9 | yo – 1 | 3 – 2 y 4. Vậy Min y = – 2 x= 1 Max y = 4 x= 1 Ví dụ 3 : (Trích đề thi vào lớp 10Ninh Bình năm 20122013) x Cho x; y R , thỏa mãn x2 + y2 = 1. Tìm GTLN của : P y 2 Hướng dẫn giải : Giáo viên : THCS Trang 18
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” Từ x 2 y2 1 1 x, y 1 2 1 y 2 1 2 x Vì P x P( y 2 ) thay vào x 2 y2 1 y 2 Đưa về pt: ( P 2 1) y 2 2 2 P 2 y 2 P 2 1 0 2 x= 2 Dùng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai P 1 PMax = 1 2 y=− 2 Bài tập áp dụng : Tìm Max và Min của biểu thức D = x2 +y2 biết rằng x2 +y2 –xy = 4 Một vài dạng khác : Bài toán 1: (Trích đ ề thi vào lớp 10Hà Nam năm 20132014) y 2x + 3 + 1 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn = 2x + 3 y +1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = xy – 3y 2x – 3. Hướng dẫn giải : y 2x + 3 + 1 = 2x + 3 y +1 � y y + y = (2x + 3) 2x + 3 + 2x + 3 ( ) ( ) 3 3 � y − 2x + 3 + y − (2x + 3) = 0 � ( y − 2x + 3 ) ( y + y(2x + 3) + 2x + 3 + y + 2x + 3 = 0 ) Có y + y. 2x + 3 + 2x + 3 + y + 2x + 3 với mọi x, y dương y − 2x + 3 = 0 y = 2x + 3 Q = x(2x + 3) – 3(2x + 3 ) – 2x – 3 = 2x2 + 3x – 6x 9 – 2x 3 Giáo viên : THCS Trang 19
“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ” �2 5 � �2 5 25 � 25 = 2x2 – 5x – 12 = 2 �x − x �− 12 = 2 �x − 2.x. + �− − 12 � 2 � � 4 16 � 8 2 � 5 � 121 121 = 2 �x − �− − với mọi x > 0 � 4� 8 8 5 5 5 22 11 Dấu bằng xảy ra khi x = 0 � x = � y = 2. + 3 = = 4 4 4 4 2 121 5 11 GTNN của Q = − � x = và y = 8 4 2 Bài toán 2: Tìm GTNN của: M = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 Giải: M = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4 Ta có: x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x x −1+ 4 − x = 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay 1 x 4 x − 2 + x −3 = x − 2 + 3− x x − 2+ 3− x =1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay 2 x 3 Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3 . Bài toán 3: Tìm x Z để biểu thức D = x 2 + x 8 đạt GTNN. Giải: Ta có D = x 2 + x 8 = x 2 + 8 x x 2 8 x = 6. Dấu “=” xảy ra khi (x2) (8x) 0. Lập bảng xét dấu: x 2 8 x 2 0 + + 8 x + + 0 (x2)(8x) 0 + 0 Giáo viên : THCS Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.01: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2019

315 tài liệu

1700 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.